Editorial

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSTEORíA DE EXPONENTES

EVALUACIóN

1. xxxxx x x x

xx44

+ + +a ck m = xx

xx444

4

c cm m

= 1

Clave C

2. M = 7 30 0+ -^ ^h h

M = 1 + 1 = 2

N = 32 + (-2)0 - 20

N = 9 + 1 - 1 = 9

Nos piden:

M + 2N = 2 + 2(9) = 20

Clave E

3. .3

3 33 3

3 1 3n

n n

n

n

2

1

2+

=+

+

+

-

- -

-

- ^ h

= 94

Clave B

4. E = . .x x x1 3 1 3 2 152- -^ ^^h h h

E = . .x x x x3 6 15 9 6 152=- - - - +

E = x0 = 1 Clave D

5. M = .x x 815

= 9

.x x8 815

= 9

.x x81

815

= 9

x 816

= 9

x2 = 32 & x = 3

Clave B

6. Dato: ab = 1 Piden

.a b

a b.

43

25

310

= aa

bb5

43

103

= .aa

bb5

4

103

= .a b4 63

= .a b2 2 = ab = 1

Clave A

7. A 723

=-

; B 24= ; C 71

=

Nos piden:

. .A C 7 71B 2 23 4

=-^ h

. .A C 7 71

77 7.B 2 223 4

= = =-

Clave D

8. M = 64 2 1- -

/ N = 27 3 1- -

Piden: 2M + N

= 2 64 272 31 1+- -- -^ h

= 2 64 2721

31

+- -^ h

= 2 641

2712

131

+c cm m

= 2 81

31

+c m

= 41

31

127

+ =

Clave B

9. . .a a a a a93 2 3 2=

.a a a3 4

= = ` El exponente de a es 4.

Clave D

10. 310 # 39 # 38 # … # 3-7 # 3-8 # 3-9 # 3-10

= 310 + 9 + 8 + … - 8 - 9 - 10 = 30 = 1

Clave E

PRACTIQUEMOS

1. 2 6 24 76 2 2 2+ + +

= 64 36 576 49+ + +

= 100 625+

= 10 + 25 = 35 Clave C

2. (x99 + x99 + … + x99) : (xx…x)

99 veces 99 veces

Reduciendo:= 99x99 : x99 = 99

Clave B

3. A = 21

31

311 2 3

+ -- - -

c c cm m m

Invirtiendo las bases:= 2 + 32 - 33 = 2 + 9 - 27 = -16

Clave C

4. A =3 3 27 512 2 3 2

1+ - -

-

^ ch m

A = 9 + 36 - (33)2 - 5A = 9 - 5 = 4 Clave D

5. A = .31 3 3

57

6+c m

A = 3

135

36 2+ = =

Clave B

6. A = .8

2 168

16 2

A = .2

2 23 8

16 4 2

^

^

h

h

A = . 122 2

22

24

16 8

24

24= =

Clave A

7. A = 32

49

2786 9 4

c c cm m m

A = .32

23

326

2

2 9

3

3 4c c cm m m

A = . .32

23

326 2 9 3 4

c cc ccm m m m m

A = .32

32

32

32 1

6 18 12 0= =

-

c c c cm m m m

Clave E

8. A = .

x x2 454 2

4 2 2 0+ +

-

^ h

Recuerda: x0 = 1; x ! 0

Luego:

A =. .2 21

2 21

4 2 2 4 4=- -^ h

A = 21

11 10 = =

Clave B

9. A = . ..

9 4 12515 63 2

3 4

A = . .

. . .3 2 55 3 3 22 3 2 2 3

3 4

^ ^

^ ^

h h

h h

A = . .. . .3 2 55 3 3 2

6 4 3

3 3 4 4

Reduciendo:

A = 336

7 = 3

Clave C

10. 5x . 25x - 1 = 1252x - 1

5x . (52)x - 1 = (53)2x - 1

5x . 52x - 2 = 56x - 3

53x - 2 = 56x - 3

Luego:3x - 2 = 6x - 3 & x = 1/3

Clave E

1.er bimestre

Editorial

6 11. 75x + 1 = 49x - 10

75x + 1 = (72)x - 10

75x + 1 = 72x - 20

Luego:5x + 1 = 2x - 20 3x = -21 & x = -7 Nos piden:x2 + 1 = (-7)2 + 1 = 50

Clave E

12. .

.

x x

x x11 21 10

2 3 45

6

2

3

^

^^

h

h h9 C

= ..

x xx x. . .

121 210

2 3 4 5 216

= .x

x xxx x331

120 216

331

3365

= =

Clave E

13. A = 3 32 22 27092

70

=

= 3 3 812 42= =

Clave B

14. Dato: aa = 3 Nos piden:

A = aa

a

a

2

3

^

^

h

h

Dando forma:

A = aaa

a

2

3

^

^

h

h

Reemplazando el dato:

A = 33 32

3=

Clave E

15. A = 3 3 3 33 3 3 3x x x x

x x x x

1 2 3 4

1 2 3 4

+ + +

+ + +- - - -

+ + + +

A = 3 .3 3 .3 3 .3 3 .3

. . . .3 3 3 3 3 3 3 3x x x x

x x x x

1 2 3 4

2 3 4

+ + +

+ + +- - - -

Factorizando:

.

.

3 31

31

31

31

3 3 1 3 3 3x

x

2 3 4

2 3

+ + +

+ + +

c

^

m

h

Multiplicamos por 34 al numerador y denominador:

A = .3

.

31

31

31

31

3 1 3 3 3 3 3

2 3 44

2 3 4

+ + +

+ + + +

c

^

m

h

A = 3 3 3 1

3 1 3 3 3 3 2433 2

5 2 35

+ + +

+ + += =

^

^

h

h

Clave D

16. L 5 52 23 30456

0

= =

= 52 = 25Clave D

17. S = 2 . 4 .82

1 2

n

n n n

6 1

+ +

+

S = . .2

2 2 2n

n n n

6 1

2 1 3 2

+

+ +^ ^h h

S = . .2

2 2 2n

n n n

6 1

2 2 3 6

+

+ +

Reduciendo:

S = 22 2 128n

n

6 1

6 87

= =+

+

Clave E

18. Dato ab = 3 Nos piden: S = 2a2b = 2(ab)2 = 2(3)2 = 18

Clave D

19. Dato: xx = 2

Nos piden: S = x xx x x2 2

+ +

Dando forma: S = xx . x + xx . xx

2

S = (xx)x + xx . (xx)x

Reemplazando el dato: S = 2x + 2 . 2x = 3 . 2x

Clave E

20. x = 2 12 1- + -- -^ ^h h

x = 21

11

2-

+-^ h

x = 41 1 4

3- =- ...(I)

y = .4 16 4 4 16= =

y = 4 …(II)

De (I) / (II): xy = -3

Clave A

21. I) 3x - 2 . 33 - x = 3 (V) II) 23^ h. 22 = 23 . 22 = 25 = 32 (V) III) (3 + 3)24 = (2 . 3)24 = 224 . 324 (F)IV) (3 . 2)12 = 312 . 212 (V)

Hay 3 verdaderas. Clave C

22. .. . ... ...

. .x yx y

xy

xx x yy yyx x y y

x y

y x y x y x x y

$-

c^ ^

mh h

xy veces xy veces

= ..

. . .yx

xy

x yx x y y

y x

y x

y x

y x

xy xy

xy xy$

-

-

-

-

= xy Clave C

23. ..

x xx x

np mn

mn p

m nP1

1

-

---a k

= .x

x xmn np

m n p m np1

-

- -^ h

= .x

x xmn np

mn mp mp np

-

- -

= xmn - mp + mp - np - mn + np

= x0 = 1Clave D

24. .

. .2 5 5

2 5 2 5x x

x x x x x

3

1 2 1 21

+

-+ +

f p

= . .5 2 1

2 5 2 5 1x

x x x

3

2 1

+

-

^^f

hhp

= . .2 5 2 5 10x x

x x x1 1

= =^ ^^h h hClave C

25. A = 21

21

31

411

21

31

411 1 1

+ +-- - - -

- - -

c c c cc c c

m m m mm m m

A = 2 2 3 42 3 4+ + +

A = 2 4 27 256 289+ + + =

A = 17 172=

Clave B

26. 8 18 4 224

+ +^ h

= 2 2 3 2 4 224

+ +^ h

= 2 + 3 + .24 44 4

= 5 + 2164

= 5 + 1 = 6Clave D

27. .3 3

3 3 33

3 3 3n

n n

n

n

1

3 3-

=-

-

+

^

^

h

h

= 27 - 3 = 24Clave E

28. A = 9 9 3 3 312 2 2

111

21

= = = =- - - --^ h

D = 81 81 334 41

4 41

1= = =

-^ h

Nos piden:

. .3 1A D 31

= =Clave E

29. M = (2 . 2 . 2 . … . 2) - (2 + 2 + … + 2) 10 veces 512 sumandos

M = 210 - 2 . 512M = 210 - 2 . 29 = 210 - 210 = 0

Clave A 30. Dato: x + y = 2

Nos piden:

M = .x xx x x xx x y2 2-^ ^h h

M = .x x. .x x x xx x y2 2-

M = .x xx xx x x y2-+ + +

Pero: x + y = 2, entonces:

M = .x xx xx x2 2-+ +

M = x 10= =1

Clave A

Editorial

7CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSPOLINOMIOS

EVALUACIóN

1. R(x; y) = 3x3yb

Q(x; y) = 10xa + 1 . y4

Si son semejantes, se cumple:a + 1 = 3 & a = 2b = 4

Nos piden: a + b = 6Clave B

2. P(x) = x2 + (a + 3)x3 + 2x + a

Dato:Coef. principal de P(x) = a + 3 = 5 a = 2

Nos piden:T. I.P(x) = a = 2

Clave A

3. P(x) = 3x + 2

Sea:x = 1 & P(1) = 3(1) + 2 = 5x = 0 & P(0) = 3(0) + 2 = 2

Nos piden: P(1)P(0) = 52 = 25

Clave D

4. ;P x y ax by cxa a ba a5 3 1= + -

+-

^ h

Como P es homogéneo, se cumple:

aa - 5 = a3 = ba+ 1 I II III

De (I) y (II): aa-5 = a3 & a - 5 = 3 & a = 8

De (II) y (III): a3 = ba + 1 & 83 = b8 + 1

b9 = (23)3 = 29

b = 2

Nos piden: a + b = 8 + 2 = 10

Clave B

5. P(x) = xa + x2 + x + 1 P(x) es de tercer grado: a = 3

Nos piden: P(2) x = 2 & P(2) = 23 + 22 + 2 + 1 = 15

Clave E

6. P(x) = ax2 + bx + c ; c ! 0 Dato:

P(1) = a + b + c = 0 & a + b = -c

Nos piden:

ca b

cc 1+

=-

=-

Clave B

7. P(x) = x2 + x - a2 …(I) P(a) = 3En (I): sea x = a & P(a) = a2 + a - a2 = 3 a = 3Nos piden:T. I.P(x) = -a2 = -32 = -9

Clave E

8. x3 + 2x2 - 1 / (x + 1)[Ax2 + B(x - 1)] x3 + 2x2 - 1 / Ax3 + Bx2 - Bx + Ax2

+ Bx - 1 x3 + 2x2 - 1 / Ax3 + (A + B)x2 - 1

Como son idénticos: A = 1 A + B = 2 & B = 1

Nos piden: A . B = 1

Clave A

9. Q(x) = x + 3 ...(l) Q(a) = b ...(ll)

En (l): x = a & Q(a) = a + 3 = b

Nos piden: b - a = 3

Clave E

10. P(x; y) = 2xbyb + 1+ 5x2b yb + 3 - bxb - 5 + byb + 7

+ 7x2byb + 2

G.R(x) = 2b ...(l) G.A.(P) = 3b + 3 = 33 & b = 10

Reemplazando en (l): G.R.(x) = 2(10) = 20

Clave A

PRACTIQUEMOS

1. P(-x) = 3x + 1 Sea: x = 1 & P(-1) = 3(1) + 1 = 4 x = -1 & P(1) = 3(-1) + 1 = -2

Nos piden:P(1) + P(-1) = -2 + 4 = 2

Clave B

2.

P x2a k= x30 - 8x27 + 5x + 1

Sea: x = 2

P 22c m= 230 - 23 . 227+ 5(2) + 1

P(1) = 230 - 230 + 11 = 11

Clave D

3. f x x1 2+ =c m Sea:x = 1 & f(1 + 2) = 1 & f(3) = 1x = 3

1 &f

311 2 3

1+ =f p

& f(5) = 31

x f51

511 2 5

1&= + =f p

& f(7) = 51

Nos piden:

3 f 5 f 7 315

1 1f = =^ ^ ^h h h

Clave C

4. P(x) = (a - 4)x3 + (b - 2)x2 + ax + 1

Como es cuadrático, entonces:a - 4 = 0 & a = 4

Como es mónico, entonces:b - 2 = 1 & b = 3

ReemplazandoP(x) = x2 + 4x + 1

Nos piden:Scoef.P(x) = P(1) = 1 + 4 + 1 = 6

Clave C

5. P(x) = a(x + 1) + b(x - 1)

Agrupando:R(x) = (a + b)x + a - b

Como es mónico, entonces:&a + b = 1 …(I)

Además:T.I. = 3 & P(0) = 3x = 0 & P(0) = a - b = 3 …(II) (I) + (II): 2a = 4 a = 2En (I):2 + b = 1 & b = -1

Nos piden:Scoef. P(x) = P(1) = 2a = 2(2) = 4

Clave C

6. P(x - m) = x2 - (m - 1)x + 3

Dato: P(1) = 17Sea: x = 1 + m

Reemplazando:P(1) = (m + 1)2 - (m - 1)(m + 1) + 3 = 17P(1) = m2 + 2m + 1 - (m2 - 1) + 3 = 17 2m + 5 = 17 & 2m = 12 m = 6Nos piden:m2 - m + 1 = 62 - 6 + 1 = 31 Clave D

Editorial

8 7. P(x) = 2x + 3

Haciendo:(*) x "x + 2 & P(x + 2) = 2(x + 2) + 3 P(x + 2) = 2x + 7(*) x " x - 2 & P(x - 2) = 2(x - 2) + 3 P(x - 2) = 2x - 1

Nos piden:P(x + 2) + P(x - 2) = 4x + 6

Clave C

8. P(x - 2) = x2 - 4Haciendo x " x + 4

Reemplazando:P(x + 4 - 2) = (x + 4)2 - 4P(x + 2) = x2 + 8x + 16 - 4P(x + 2) = x2 + 8x + 12

9. P(x - 1) = x + 2 …(I)P(f(x)) = 2x + 7 …(II)

De (I): x " f(x) + 1

Reemplazando:P(f(x)) = f(x) + 3 …(III)

Luego: (III) = (II)P(f(x)) = f(x) + 3 = 2x + 7 f(x) = 2x + 4x = 4& f(4) = 2(4) + 4 =12

Clave D

10. M(x; y) = x3yb (x-2y)-ay4

Reduciendo:M(x; y) = x3 + 2a . yb - a + 4

Dato:G. R.(x) = 3 + 2a = 13 a = 5

G. A.(M) = a + b + 7 = 18 a + b = 11 .

5 + b = 11& b = 6 Nos piden: ab = 5 . 6 = 30

Clave C

11. P(x; y) = x3yn + 2 + 5xnym - 1 - xym + 3 Como es homogéneo se cumple:

n + 5 = n + m - 1 = m + 4

I II III

(I) = (II): n + 5 = m + n - 1 m = 6(Il) = (IIl): n + m - 1 = m + 4 n = 5Entonces: m = 6 / n = 5

Clave D

12. P(x) = x2 + 2x + 2 …(I)x = -2 & P(-2) = (-2)2 + 2(-2) + 2 P(-2) = 2

Nos piden:P(P(-2)) = P(2) = ? 2De (I): x = 2P(2) = 22 + 2(2) + 2 = 10

Clave E

13. P(x + 1) = 2x - 1 …(I)Q(x - 1) = 2x + 1 …(II) De (II): x = 0 & Q(-1) = 1De (I): x = 0 & P(1) = -1

Nos piden:P(Q(-1)) + Q(P(1)) = P(1) + Q(-1) 1 -1 -1 1

= -1 + 1 = 0

Clave B

14. P(x) = x3 - 3x2 + 3x

Dando forma:P(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1 + 1 (x - 1)3

P(x) = (x - 1)3 + 1

Haciendo: x " x + 1P(x + 1) = x3 + 1

Nos piden:

x xP x

x xx

11

11

2 2

3

- +

+=

- +

+^ h

= x x

x x xx

11 1

12

2

- +

+ - += +

^ ^h h

Clave C15. P(x) = 2x

Sea:x = 1 & P(1) = 2 # 1x = 2 & P(2) = 2 # 2x = 3 & P(3) = 2 # 3 hx = 30 & P(30) = 2 # 30

Sumando:P(1) + P(2) + P(3) + … + P(30) =

2(1 + 2 + 3 + … + 30)

P(1) + P(2) + … + P(30) = . .2

2 30 31

P(1) + P(2) + ... + P(30) = 930

Clave D

16. P(x) = 2x - 1

Sea:x = 1 & P(1) = 2(1) - 1 = 1x = 2 & P(2) = 2(2) - 1 = 3x = 3 & P(3) = 2(3) - 1 = 5hx = 30 & P(30) = 2(30) - 1 = 59

Sumando:P(1) + P(2) + P(3) + … + P(30)

= 1 + 3 + 5 + … + 59 = 302 = 900

Clave C

17. P(x) = 6x - 5

Sea:x = 0 & P(0) = 6(0) - 5 = -5x = 1 & P(1) = 6(1) - 5 = 1x = 2 & P(2) = 6(2) - 5 = 7

Nos piden:P P P

30 1 2

35 1 7 1+ +

=- + +

=^ ^ ^h h h

Clave A

18. F(x) = (x - 1)2 + 10

Haciendo: x" x - 2F(x - 2) = (x - 2 - 1)2 + 10 = (x - 3)2 + 10F(x - 2) = x2 - 6x + 19

Nos piden:

xF x F x

xx x x

22

21 10 6 192 2

-

- -=

-

- + - - +^ ^ ^ ^h h h h

= xx x x x

xx

22 11 6 19

24 82 2

-- + - + -

=--

= xx2

4 24

-

-=

^ h

Clave E

19. F(x) = 3x - 1 …(I)

Haciendo: x " yF(y) = 3y - 1 …(II)

(I) # (II):

F(x) F(y) = 3x - 1 . 3y - 1 = 3x + y - 1 . 3-1

F(x) F(y) = 3 3x y 1+ -

& 3F(x) F(y) = 3x + y - 1 …(III)

En (I): x " x + y

Entonces: F(x + y) = 3x + y - 1

Reemplazando en (lll):F x F y F x y3 = +^ ^ ^h h h

F x F yF x y

3=+

^ ^^

h hh

Clave A

20. P(x) = 2x + a …(I)R(x) = x - 2 …(II)P(R(1)) = 8 …(III)

De (II): x = 1 & R(1) = 1 - 2 = -1

Reemplazando en (III):P(-1) = 8

Luego en (I):x = -1 & P(-1) = 2(-1) + a = 8 a = 10

Clave B

21. F(x + 1) = xx

35

++

Haciendo: x " m - 1

F(m - 1 + 1) = mm

1 31 5

- +- +

F(m) = mm

24 1

++

=-

& m + 4 = -m - 2 & m = -3

Clave E

Editorial

922. P(x) = ax12 - bx9 + bx6 - a3 + 1Nota:Dice: a3

Debe decir: ax3

Entonces:P(x) = ax12 - bx9 + bx6 - ax3 + 1

Sea: x = 0 & P(0) = 1Sea: x = 1 & P(1) = a - b + b - a + 1 = 1

Nos piden:M = P(…(P(P(0)))…) 2010 veces

M = P(…(P(P(1))…)

1

1

h

1 M = P(1) = 1 Clave B

23. F(x) + F x2 2010c m = 3x

Sea: x = 1

Entonces:F(1) + 2F(2010) = 3 …(I)

Sea: x = 2010Entonces:F(2010) + 2F(1) = 3 # 2010 …(II)

2(II) - (I):

3F(1) = 6 # 2010 - 3F(1) = 2 # 2010 - 1F(1) = 4019

Clave D

24. P(x + y; 2x - y) = x2 + y2

P(2; 1) = ?

Sea: x + y = 2 x = 1 2x - y = 1

& y = 1

Reemplazando:P(2; 1) = 12 + 12 = 2

Clave B

25. f(x + 1) = x - 2a …(I)f(1) = 4

En (I): x = 0f(1) = -2a = 4 & a = -2

Luego:f(x + 1) = x + 4 …(II)

Nos piden:f(a) = f(-2) = ?

De (II): x = -3f(-2) = -3 + 4 = 1

Clave D

26. P(2 - x) = P(-x) + x - P(1 - x) …(I)

Dato:Scoef. P(x) = P(1) = kT. I.P(x) = P(0) = 2k

Además:P(2) = 4 - k …(II)

De (I):x = 0 & P(2) = P(0) + 0 - P(1) 4 - k 2k k

4 - k = k & k = 2

De (II):P(2) = 4 - 2 = 2

Nos piden:

kP 2

22 1= =

^ h

Clave A

27. F(x) = x + a Piden:

aF x a x+ -^ ^h h

...(l)

F(x + a) = x + a + a = x + 2a

Reemplazando en (l):

ax a x2 2+ -

=

Clave B

28. P(x) = (x + 2) (x2 - 2x + 22)P(x) = x3 + 23 = x3 + 8 …(I)Q(x) = (x - 1)(x2 + x + 1) = x3 - 1 ...(II) De (l):

x = P8 8 8 8 03 3 3 3& - = - + =^ ^h h

De (II):

x = Q x2 2 1 13 3 3& = - =^ ^h h

Nos piden:0 1 1P Q8 23 3

+ = + =-^ ^h h

Clave E

29. 3P(x) + 1 = 3x + 2

Igualando exponentes:P(x) + 1 = x + 2 P(x) = x + 1

Clave A

30. F(x) = x 12+

x = 1 & F(1) = 22 1=

x = 2 & F(2) = 2 12

32

+=

x = 3 & F(3) = 3 12+

= 21

Nos piden:

[F(1) + F(2) + F(3)]-1 = 1 32

21 1

+ +-

c m

613

1361

= =-

c m

Clave B

Editorial

10CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSPRODUCTOS NOTABLES

EVALUACIóN

1. 5 3 5 36 2 6 2

2 2

2 2

+ + -

+ - -

^ ^

^ ^

h h

h h

Por Legendre se tiene:

2 5 34 6 2

2 5 34 12

2 2+

=+^ ^h h

= ..

..

2 84 4 3

2 84 2 3

23

= =

Clave E

2. S = (x - 1)(x2 + x + 1)(x - 1)(x2 - x + 1) - x6

S = (x - 1)(x2 + x +1)(x + 1)(x2 - x + 1) - x6

S = (x3 - 1)(x3 + 1) - x6

S = x6 - 1 - x6 = -1

Clave A

3. Datos:ab = 5a + b = 3 ...(I)

(I) al cubo: (a + b)3 = 33

a3 + b3 + 3ab(a + b) = 27

5 3 a3 + b3 + 45 = 27 a3 + b3 = 27 - 45 = -18

Clave B

4. E = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1)

(x2 - 1) (x4 - 1) (x8 - 1) (x16 - 1) E = x16 - 1

Clave A

5. Sea la expresión: M

M = (x - y + z - w)(x + y - z + w) + (y + w)(y + w - 2z) + z2

M = [x - (y - z + w)][x + (y - z + w)] + (y + w)2 - 2(y + w)z + z2

(y + w - z)2

M = x2 - (y - z + w)2 + (y + w - z)2 = x2

Clave D

6. S = (x + y + 1)3 - (x + y)3 - 3(x + y)(x + y + 1)Sea:x + y + 1 = a (-) & a - b = 1x + y = b Reemplazando:S = a3 - b3 - 3ab (1)S = a3 - b3 - 3ab (a - b) S = (a - b)3 = 13 = 1 Clave C

7. E = 1 3 2 1 2 1 2 1 2 12 4 8 1632 + + + + +^ ^ ^ ^h h h h

E = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2 4 8 1632 + - + + + +^ ^ ^ ^ ^h h h h h

(24-1)

(28-1)

(216-1) (232-1)

E = 21 2 1 23232 3232+ = =-

Clave E

8. Q = 10 2 10 10 2 23 3 3 2 3 3 3- + +^ ^h h

Q = 10 2 10 2 83 3 3 3- = - =^ ^h h

Clave D

9.

m m n n m m n n m n n6 3 3 6 6 3 3 6 6 6 189 + + + +- -^ ^ ^h h h

= m n m m n n n6 6 12 6 6 12 189 - + + +^ ^h h

= m n n6 3 6 3 189 - +^ ^h h

= m m189 2=

Clave B

10. Dato:a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c ! 0

Sabemos por identidad: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 + c2

-ab-bc - ac)

&a2 + b2 + c2 - ab-bc-ac = 0 a2 + b2 + c2 = ab+ bc + ac

Se cumple por propiedad:a = b = c

.a b c

ab ca a aa a a

12 12 12

2 3 2

12 12 12

2 3 2

+ +=

+ +

^ ^h h

= aa

aa

3 3 31

12

6 2

12

12= =

^ h

Clave C

PRACTIQUEMOS

1. (x + 2)2 - (x + 2)(x - 2) - 4x

Desarrollando:x2 + 4x + 4 - (x2 - 22) - 4x x2 + 4x + 4 - x2 + 4 - 4x = 8

Clave C

2. (a + b)2 - (a + b)(a - b) - 2b2

Desarrollando:a2 + 2ab + b2 - (a2 - b2) - 2b2 =a2 + 2ab + b2 - a2 + b2 - 2b2 = 2ab

Clave A

3. (x + 2)(x + 6) - (x + 4)2

Desarrollando:x2 + 8x + 12 - (x2 + 8x + 16) = x2 + 8x + 12 - x2 - 8x - 16 = -4

Clave C

4. xy = 2 …(I) x2 + y2 = 5 …(II)Además: x - y 2 0(II) - 2(I): x2 + y2 - 2xy = 5 - 4

(x - y)2 = 1

Sacamos :

x - y = 1 = 1Clave B

5. Sa b

a b a ab b3 3

2 2

=+

+ - +^ ^h h

Recuerda:(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3

Luego:

S = a ba b 13 3

3 3

+

+=

Clave B

6. M = aba b a b2 2+ - -^ ^h h

Recuerda:

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

luego:M = ab

ab4 4=Clave E

7. N =a b

a b a b2 2

2 2

+

+ + -^ ^h h

Recuerda:(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

Luego:

Na ba b2 22 2

2 2

=+

+=

^ h

Clave C

Editorial

11

Editorial

8. a b aba b ab

22

2

2

- +

+ -

^

^

h

h

Desarrollando:

1a b ab aba b ab ab

a ba b

2 22 2

2 2

2 2

2 2

2 2

+ +

+ +=

+

+=

-

-

Clave B

9. x

x x4

2 42

2

+

+ -^ h

Desarrollando:

xx x x

xx

44 4 4

44 12

2

2

2

+

+ + -=

+

+=

Clave C

10. Sa b

a b a ab b3 3

2 2

=-

- + +^ ^h h

Recuerda:(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

Luego:

Sa ba b 13 3

3 3=

-

-=

Clave A

11. a2 + b2 = 5 …(I)ab = 2 …(II)

Además: a + b 2 0(I) + 2(II)a2 + b2 + 2ab = 5 + 4

(a + b)2 = 9

Sacamos :

a + b = 9 = 3Clave D

12. ab = 1a + b = 3 ...(l)

Elevando al cuadrado (l):(a + b)2 = 9a2 + 2ab + b2 = 9 & a2 + b2 = 7 1

Clave C

13. ab = 2 a - b = 3 ...(l)

Elevando al cuadrado (l): (a - b)2 = 32 a2 - 2ab + b2 = 9 2 a2 + b2 = 13

Clave C

14. Sea la expresión: S S = (a + b)(a - b) + (a - 2)(a + 2) - 2a2 + b2

Desarrollando:S = a2 - b2 + a2 - 22 - 2a2 + b2 S = -4 Clave E

15. Sea la expresi{on : L L = (x + 2)(x - 2) - (x + 3)(x - 3)

DesarrollandoL = x2 - 22 - (x2 - 32)L = 9 - 4 = 5

Clave D

16. .x a ab

23

21 2

= + ... (I)

y b ba

23

21 2$= + ...(II)

ab = 32

De (I):

2ax = 3a2 + b2

Multiplicando por b:2abx = 3a2b + b3 …(a)

De (II):2by = 3b2 + a2

Multiplicando por a:2aby = a3 + 3ab2 …(b)

(a) + (b):2ab(x + y) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)3

& x + y = aba b2

3+^ h

(a) - (b):2ab(x - y) = b3 + 3a2b - a3 - 3ab2

2ab(x - y) = -(a3 - 3a2b + 3ab2 - b3)

& x - y = - aba b2

3-^ h

Nos piden:x y x y23 23+ - -^ ^h h

aba b

aba b

2 2

3 23

3 23=

+-

- -^ ^h h> >H H

= ab

a b

ab

a b

ab

a b a b

4 4 423

2

23

2

23

2 2+

=+

-- - -

^

^

^

^

^

^ ^

h

h

h

h

h

h h

= .ab

abab

4

44 2 2

23

3323 4 53

= =^

^

h

h

= 2 2 893 3= =

Clave D17. Dato:

z-1(x + y) = -1 & x + y + z = 0

Se cumple:x3 + y3 + z3 = 3xyz …(I)

Elevando al cuadrado:x6 + y6 + z6 + 2(x3y3 + y3z3 + x3z3)

= 9x2y2z2

x6 + y6 + z6 - 9x2y2z2 = -2(x3y3 + y3z3 + x3z3) …(a)

Nos piden:

Sx yz x y z

y z x x y z3

94 2 3 3

6 6 2 4 2 2

=+

+ +

-

-

^

^

h

h

Sx x yz x y zx y z x y z

39

3 2 3 3

6 6 6 2 2 2

=- +

+ + -

^ h

Sx xyz x y zx y z x y z

39

3 3 3 3

6 6 6 2 2 2

=- +

+ + -

^ h ... (II)

De (I):3xyz - x3 = y3 + z3 …(b)

Reemplazando a y b en (II):

Sx y z y zx y y z x z23 3 3 3 3

2 3 3 3 3 3

=+

+ +

+

-

^

^

h

h

Sx y y z x zx y y z x z2 23 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

=+ +

- + +=-

^ h

Clave E18. Dato:

(*) x = a(a + 1) + b(b + 1) + ab x = a2 + b2 + a + b + ab …(I)(*) y = a(a - 1) + b(b - 1) + ab y = a2 + b2 - a - b + ab …(II)

(I) + (II):x + y = 2(a2 + b2 + ab) (I) - (II):x - y = 2(a + b)

Nos piden

a bx y

a bx y x y

4 43 3

2 2

3 3-

-=

-

+ -

^ ^

^ ^

h h

h h

Reemplazando:

a b a ab ba b a b ab

a ba b

44

2 2

2 2

- + +

+ + +=

-+

^ ^

^ ^

h h

h h

Clave A

19. Dato:

x4

+ x = -2 & x2 + 2x + 4 = 0 Multiplicando por (x - 2):

(x - 2)(x2 + 2x + 4) = 0(x - 2)

x3 - 23 = 0 & x3 = 8

Nos piden:S = (x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1)

Multiplicando convenientemente:S = (x3 + 1)(x3 - 1) = x6 - 1 = (x3)2 - 1

Luego:S = 82 - 1 = 63

Clave D

20. Dato: x 3 1

333

3+ = +

x 133 3

33

- = -

Elevando al cubo:

(x - 1)3 = 3

3 33

3 3-c m

Desarrollando:

x3 - 3x2 + 3 - 1 = 327 - 3

33

3 33

3 33

33

3$ $- -c m

x - 1

x3 - 3x2 + 3x - 1 = 9 - 3 - 9(x - 1) x3 - 3x2 + 3x - 1 = 6 - 9x + 9x3 - 3x2 + 12x - 16 = 0

Clave D

Editorial

12 21. M = (1 + x)3 + (1 - x)3 - 6x2 + 8

Desarrollando:M = 1 + 3x + 3x2 + x3 + 1 - 3x + 3x2 - x3

- 6x2 + 8M = 10N = (1 + x)3 - (1 - x)3 - 2x3

DesarrollandoN = 1 + 3x + 3x2 + x3 - (1 - 3x + 3x2 - x3) - 2x3

N = 6x

Nos piden:MN = 60x

Clave A

22. Nota: Uno de los términos en el numerador dice: (4a - 6)(2 - a)

Debe decir: -(4a - 6)(2 - a)

M =

a a aa a a a a a

2 3 1 24 6 2 2 2 3 1 2 2 1

2 2 2+

- - - - - -

- - - - - - -

^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^

h h h

h h h h h h

M = a a aa a a a a a

2 3 1 22 2 3 2 2 2 3 1 2 2 1

2 2 2+ +- - - -

- - - - - - - - -

^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^

h h h

h h h h h h

6 @

M = 2

a a aa a a a a a

2 3 1 22 2 3 2 2 3 1 1

2 2 2- - + - + -

- - - + - - + - -

^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^

h h h

h h h h h h

66

@@

...(l)Luego, sea:

2a - 3 = x 1 - a = y x + y + z = 0 2 - a = z & x2 + y2 + z2 = -2[xy + xz + yz]

Reemplazando en (I):

M = x y zxz xy zy22 2 2+ +

+ +6 @

M = 1xy xz yzxz xy zy22

+ +

+ +=

--6

6@@

Clave C

23. x x

x x x x3 3 8

2 2 2 2 132 2

+ - +

+ + - - + - -

^ ^

^ ^ ^ ^

h h

h h h h6 @

= x

x x9 8

2 4 4 132

2 2

+

+

-

- - -^ ^h h

= xx

11 12

2

-

-=

Clave B

24. yx

zy

xz 0+ + =

Sea:

yx a=

zy b=

xz c=

a + b + c = 0También: abc = 1

Nos piden:

S = x

x yzy

y xzz

z xy2

2

2

2

2

2+ + +f f fp p p

Dando forma:

S = xyx yz

yzy xz

xzz xy2 2 2

+ + +f f cp p m

S = yx

xz

zy

yx

xz

zy

+ + +c c cm m m

Reemplazando:S = (a + c)(b + a)(c + b)

Recuerda:(a + b)(b + c)(a + c) + abc 1

= (a + b + c)(ab + bc + ac) 0 (a + b)(b + c)(a + c) = -1

Luego:S = -1

Clave A

25. Dato:10x4 + 10x2 + 4 = 3x2 - 610x4 + 10x2 + 10 = 3x2

Dividendo entre x2:10x2 + 10 +

x102 = 3

xx

xx

10 1 7 11072

22

2&+ =- + =-c m

Nos piden:

S x x x x x x1 2 1 12

22= + = + +c m

S = xx1 222+ +

S 2 107

1013

= - =Clave A

26. Dato:a3 + b3 + c3 = 3(a + b)(b + c)(a + c) = -1

Sabemos que:(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 3 +3(a + b)(b + c)(a + c)

-1

(a + b + c)3 = 0 & a + b + c = 0

Piden:

S = a b ca b c

1 1 1 2

2 2 2

+ +

+ +- - -

- - -

^ h

S

a b c

a b c1 1 1

1 1 1

2

2 2 2=

+ +

+ +

c m

Reduciendo:

Sab bc ac

ab bc ac2

2 2 2

=+ +

+ +

^

^ ^ ^

h

h h h

Sab bc ac abc a b c

ab bc ac22 2 2

2 2 2

=+ + + + +

+ +

^ ^ ^ ^

^ ^ ^

h h h h

h h h

Sab bc acab bc ac

12 2 2

2 2 2

=+ +

+ +=

^ ^ ^

^ ^ ^

h h h

h h h

Clave A

27. Datos:a2 + b2 = 1ab = a + b

Nos piden:S = (ab - 1)2 = (ab)2 - 2ab + 1

a + b

S = (a + b)2 - 2ab + 1S = a2 + b2 + 2ab - 2ab + 1 1S = 1 + 1= 2

Clave B

28. a a1

23

- =

Elevando al cuadrado:

a a1

232 2

- =c cm m

a aa a2 1 1

492

2- + =

aa1

49 2 4

1722+ = + =

Sumamos 2:

a aa a2 1 1

417 22

2+ + = +

a a1 2

+c m 425

=

Sacando :

a a1

25

+ =

Clave B

29. a b a ba b a b3 3

4 2 2

+ +

+ - -

^ ^

^ ^

h h

h h

= a ab ab b

a b a b a b3 9 3

32 2

2 2 2

+ + +

+ + + - -^ ^ ^h h h

= a ab b ab

a b ab3 6 3 4

3 42 2

2

+ + +

+ +^ h

3(a + b)2

a b aba b ab

3 43 4

12

2

=+ +

+ +=

^

^

h

h

Clave E

30. x x1 5+ =

Elevando al cuadrado:

x x1 5

2 2+ =c m

x x x x2 1 1 52

2$+ + =

5 2 3x x12

+ = - =

Clave E

Editorial

13CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSDIVISIóN DE POLINOMIOS

EVALUACIóN:

1. Por Horner:

3 6 -12 8 -9 0 0 - 6-3 0 12 2 -4 2 3

R(x) = 2x + 3 T.I. R(x) = 3

Clave E

2. Por Horner:

2 8 0 4 a b c-1 -4 0 -12 0 2 0 6-3 -3 0 -9 4 -2 3 0 0 0

Por dato R(x) = 0 Entonces: a - 12 - 3 = 0 & a = 15 b + 6 = 0 & b = - 6 c - 9 = 0 & c = 9 Piden: a + b + c = 15 - 6 + 9 = 18

Clave B

3. Por Ruffini:

1 - a - 2a - a2

a + 3 a + 3 3a + 9 (a + 3)(a + 9)

1 3 a + 9 7a + 2

Entonces: -a2 + (a + 3)(a + 9) = 7a + 2 -a2 + a2 + 9a + 3a + 27 = 7a + 2 5a = -25 & a = -5

Clave A

4. Por teorema del resto: x2 + 1 = 0 & x2 = -1

Reemplazando en el dividendo: x20 + 2x12 + x7 - 3x3 + 2 = (x2)10 + 2(x2)6 + (x2)3x - 3x2 . x + 2 = (-1)10 + 2(-1)6 + (-1)3 . x - 3(-1)(x) + 2 = 1 + 2 - x + 3x + 2 = 2x + 5

Clave D

5. Por Horner: Nota: en el dividendo dice: +15x2

Debe decir: 15x

4 8 6 - 23 15 4 3 6 -2-1 9 - 3 -12 4 2 3 - 4 0 8

q(x) = 2x2 + 3x - 4

6. Por teorema del resto en la división: x - 2 = 0 & x = 2

Reemplazanado en el dividendo: 4x4 - 3x3 - 12x2 + (a + 4)x + a = 4(2)4 - 3(2)3 - 12(2)2 + (a + 4)2 + a = 64 - 24 - 48 + 2a + 8 + a = 3a

Del dato R(x) = 12, entonces: 3a = 12 & a = 4

Clave D

7. Por teorema del resto en la división: x2 + 2x - 2 = 0 x2 + 2x = 2

Reemplazando en el dividendo:

x(x+2)(x - 3)(x + 5) + x + 20 =(x2 + 2x)(x2 + 2x - 15) + x + 20 2 2 = 2(2 - 15) + x + 20 = - 26 + x + 20 = x - 6

Clave C

8. Por teorema del resto en la división: xn + n + 1 = 0 xn = -n - 1

Reemplazando en el dividendo: xn +1 + xn + n + 1 = xn . x + (-n-1) + n + 1 = (-n - 1)x - n - 1 + n + 1 = (-n - 1)x

Dato: R(x) / (n - 17)x Entonces: (-n - 1)x / (n - 17)x & - n - 1 = n - 17 n = 8

Piden: n 8 2 2= =

Clave E

9. Por teorema del resto en la división: x - 1 = 0 & x = 1

Reemplazando en el dividendo: ax3 + 6x2 + bx - 6 = a(1)3 + 6(1)2 + b(1) - 6 = a + 6 + b - 6 = a + b

Dato: R(x) / 2 a b b 6+ -^^ hh

Igualando: a + b = a b b2 6+ -^ ^h h

(a + b)2 = 4(a + b)(b - 6)

a + b = 4(b - 6)

ba b

6-+ = 4

10. Por Horner:

1 1 0 0 0 0 1 1 -1-1 1 -1 0 0 1 1 0 -1 0

R(x) = -x

Clave E

PRACTIQUEMOS

1. Por Horner:

1 3 - 1 2 a a-1 -3 31 4 -4 -9 9

3 - 4 9 0 k

Dato: residuo es un término independiente, entonces:

a - 4 - 9 = 0 &a = 13k = a + 9 = 13 + 9 = 22

Clave C

2. 4 -3 -b a

2a2 . 8a c e

# 4 b d f

8a2 = 8a & a = 1b = 8a - 3 & b = 8 - 3 = 5c = 2a2b = 2(1)2(5) = 10d = c - b = 10 - 5 = 5e = 2a2d = 2(1)2(5) = 10f = e + a = 10 + 1 = 11

Resto: f = 11

Clave D

3. Por Horner:

1 1 0 1 0 1 0 10 0 -1

-1 0 00 0

0 00 -1

1 0 0 0 1 0 0

Resto = 0

Clave C

Editorial

14 12. Por Horner:

2 8 0 4 A B C-1 -4 0 -12

0 2 0 6

-3 -3 0 -9

4 -2 3 3 2 1

Luego:A - 12 - 3 = 3 & A = 18 B + 6 = 2 & B = -4 C - 9 = 1 & C = 10

Nos piden:A + B + C = 24

Clave A

13. Por Ruffinid(x) = x - 1 = 0 & x = 1

a 0 0 …. 0 0 0 2b (2b - a)

a a …. a a a a 2b + a

a a a …. a a a (2b + a) 4b

51 términos

x = 1

DatoScoef. q(1) = a + a + …+ a + 2b = 161 51 términos

51a + 2b = 161 …(I)

Resto = 4b = 16 &b = 451a + 2(4) = 16151a = 153 &a = 3

Clave C

14. ;x x

x x x x mx n R x2 3

10 9 16 02

5 4 3 2

+ -

+ - + + +=^ h

2 10 1 -9 16 m n

-1 -5 15

3 2 -6

-4 12

-3 9

5 -2 4 3 0 0

Luego:m + 12 - 3 = 0 & m = -9n + 9 = 0 & n = -9

Nos piden:mn = (-9)(-9) = 81

Clave C

15. Por Ruffini:d(x) = x - a + b = 0 & x = a - b

1 (b - a) 1 -(a - b) (a2 + ab + b2) (a3 + b3)

a - b a - b 0 a - b 0 (a3 - b3)

1 0 1 0 (a2 + ab + b2) 2a3

R = 2a3

Clave C

4. 1 1 a b 17 c

-5 -5 7 -3 7 -5(a - 5) 7(a - 5) -3(a - 5)-3 . . . 1 (a - 5) 0 0 0

Luego:17 - 3 + 7(a - 5) = 0 & 7(a - 5) = -14 a - 5 = -2 & a = 3q(x) = x + (a - 5) = x - 2

Clave E

5. x x

x x3 2

2 37 3

- -

- + -

^ ^

^ ^

h h

h h

Sabemos que:

D(x) = d(x) q(x) + R(x) … (I)

Luego:R(x) = ax + b (primer grado)

Reemplazando en (I):(x - 2)7 + (x - 3)3 = (x - 3)(x - 2)q + ax + b

Sea:x = 3 & 1 = 3ab + bx = 2 & -1 = 2a + b

Resolviendo:a = 2 y b = -5

Nos piden:R(x) = ax + b = 2x - 5

Clave C

6. x x

x x x x5 8

5 9 5 2n

2

2 2 2

+ +

+ + + + +^ ^h h

Por teorema del resto:d(x) = x2 + 5x + 8 = 0x2 + 5x = -8 D(x) = (x2 + 5x + 9)n + x2(x + 5)2 + 2D(x) = (x2 + 5x + 9)n + (x2 + 5x)2 + 2 -8 -8

R(x) = (9 - 8)n + (-8)2 + 2 = 67

Clave E

7. Por Horner:

2 6 -y -6y2 5 y3 -3y4

-y -3y 6y2

2y2 2y2 -4y3

-y3 2y4

3 -2y y2 0 -16

2y4 - 3y4 = -16 & - y4 = -16 y4 = 24

y = 2

Clave C

8. Por teorema del resto:d(x) = x - 1 = 0 & x = 1D(x) = nxn + (n - 1)xn -1 + (n - 3)xn - 2

- 3n + 16

Reemplazamos el valor de x:R(x) = n + n - 1 + n - 3 - 3n + 16 = 12

Clave B9. Teorema del resto:

d(x) = x + y + z - 3 = 0 x + y = 3 - z

D(x) = (x + y)2 + (x + y)(2z - 1) + z(z - 1)

Reemplazamos el valor de x + y: R(x) = (3 - z)2 + (3 - z)(2z - 1) + z(z - 1)R(x) = 9 - 6z + z2 + 6z - 3 - 2z2 + z

+ z2 - zR = 9 - 3 = 6

Clave A

10. Por Horner:

1 1 0 a 0 b

-1 -1 -1

-1 1 1

-a -a

1 -1 a 0 0

1 - a = 0 & a = 1b - a = 0 & b = a = 1

Clave A

11. Como (x + 1) es factor de: x2 + cx + 2

2x

x cx1

2&

++ + ; R(x) = 0

Por teorema del resto:d(x) = x + 1 = 0 & x = -1D(x) = x2 + cx + 2R(x) = (-1)2 + c(-1) + 2 = 0c = -3

Como (2x - 1) es factor de dx2 + 5x - 4

,xdx x R x2 1

5 4 02

&-

+ -=^ h

Por teorema del resto:

d(x) = 2x - 1 = 0 & x = 21

D(x) = dx2 + 5x - 4

R(x) = d 521

21 4

2+ -c cm m = 0

d d4 2

5 4 0 4 23

&+ - = =

d = 6Nos piden:

dc

63

21

= =-

-

Clave C

Editorial

1521.

x xx x a x x

23 1 2

2+ +

+ + + -^ ^ ^ ^h h h h

; R(x) = 16x+4b

x xx x x x ax a

262

2 2

+ +

+ - + + +^ ^h h

Por teorema del resto:d(x) = x2 + x + 2 = 0 x2 + x = -2

D(x) = (x2 + x - 6)(x2 + x + ax + a) -2 -2

Reemplazando:R(x) = (-2 - 6)(ax + a - 2)R(x) = (-8)(ax + a - 2) = 16x + 4b

-8ax - 8(a - 2) = 16x + 4b

Igualando:-8a = 16 & a = -2-8(a - 2) = 4b & b = -2(-2 - 2) b = 8Nos piden:b - a = 8 - (-2) = 10

Clave A

22. ; ?Q xP Q x

R x22

+

+=

^

^^

h

hh

6 @

Sea: x + 2 " x

; ?Q xP Q x

R x =^

^^

h

hh

6 @

Dato:P(x) = 1000x2 + 100x + 10cQ(x) = x2 - x + 2

x " x2 - x + 2P(Q(x)) = 1000(x2 - x + 2)2 +

100(x2 - x + 2) + 10c

Por teorema del resto:d(x) = x2 - x + 2 = 0

D(x) = 1000(x2 - x + 2)2 + 100(x2 - x + 2) + 10c

Reemplazando:R(x) = 100(0)2 + 100(0) + 10c = 30 c = 32c - 1 = 2(3) - 1 = 5

Clave D

23. Por Horner:

3 6 11 a -b

-1 -2 2

1 -3 3

2 3 0 0

Luego:a + 2 - 3 = 0 & a = 1-b + 3 = 0 & b = 3

Nos piden:a - b = 1 - 3 = -2

24. Por teorema del resto: d(x;y) = x + y = 0 & x = -y D(x;y) = x3 + x - y + y3

Reemplazando: R(y) = (-y)3 + (-y) - y + y3

R(y) = -y3 - y - y + y3

& R(x) = -2y = ay (dato) a = 2

Nos piden:

a 2 22 2= =

Clave B

25. Por teorema del resto:d(x) = x - 2 = 0 & x = 2D(x) = 2nx2 + 2n + 1 . x - 1024

Reemplazando el valor de x:R(x) = 2n(2)2 + 2n+1 . 2 - 1024 = 0 2n + 2 + 2n + 2 = 1024 2 # 2n + 2 = 210

& 2n + 2 = 29

n + 2 = 9 & n = 7

Nos piden:n2 + 1 = 72 + 1 = 50

Clave D

26.

m m2 3 -2 2

1 m n 9 g

a 6 p q s

(*) m = a m2 + m = 6 & m(m + 1) = 3 # 2 m = 2n = 6 . 1 = 6p = n + 3 = 6 + 3 = 9q = 9 - 2 = 7

Luego:q(x) = 2x3 + 6x2 + 9x + 7

Clave C

27. Por Horner:

1 1 -6 5 10

4 4 -2

-2 -8 4

1 -2 -5 14

R(x) = -5x + 14

Clave E

28. Por teorema del resto:d(x) = x2 + 1 = 0 & x2 = -1

D(x) = x5 - x3 + 7D(x) = (x2)2x - x2 . x + 7

Reemplazando:R(x) = (-1)2x - (-1)x + 7R(x) = 2x + 7 = ax + b

&a = 2 / b = 7

Nos piden:ab = 14

Clave E

16. Por teorema del resto:d(x) = x + 2 = 0 & x = -2D(x) = 2x4 + x + x2 - 30 Reemplazando:R(x) = 2(-2)4 + (-2)3 + (-2)2 - 30R(x) = -2

Clave D17. Por teorema del resto:

d(x) = x + 1 = 0 & x = - 1 D(x) = x3 + x2 + 2x + 3

Reemplazando:R(x) = (-1)3 + (-1)2 + 2(-1) + 3R(x) = -1 + 1 - 2 + 3 = 1

Clave C

18. Por Ruffini:d(x) = x + 2 = 0 & x = -2

1 2 1 -5

-2 -2 0 -2

1 0 1 -7

q(x) = x2 + 1

Clave D

19. ;x x aax bx R x

21 0

2

- -

+ +=

^ ^^

h hh

1 a b 2

(a + 2) a(a + 2) -2a2

-2a

a 0 0

Luego:2 - 2a2 = 0 & 2a2 = 2 a2 = 1 & a = 1

b + a(a + 2) = 0 b + 3 = 0 & b = -3

Nos piden:4(2a + b) = 4(2 - 3) = -4

Clave D

20. ;x x x

P xR x x

1 2 13 24

+ + += -

^ ^ ^

^^

h h h

hh

Sabemos que:D(x) = d(x) q(x) + R(x)

Reemplazando:P(x) = (x + 1)(x + 2)(x4 + 1)q(x) + 3x - 2 …(I)

xP x

2 &+

^ h R(x) = P(-2) = ?

En (I): x = -2 & P(-2) = 3(-2) - 2 = -8 R1(x) = -8

xP x

1 &+

^ h R2(x) = P(-1) = ?

En (I): x = -1 & P(-1) = 3(-1) - 2 = -5 R2 = -5

Clave D

Editorial

16 29. Por Horner:

1 1 3 2 3 m

-3 -3 -1

-1 0 0

-3 -1

1 0 1 0 0

m - 1 = 0& m = 1

Clave D

30. Por teorema del resto:d(x) = x + 1 = 0 & x = -1

D(x) = 5x3 - 3x2 + 2x + 15

Reemplazando:R(x) = 5(-1)3 - 3(-1)2 + 2(-1) + 15R(x) = -5 - 3 - 2 + 15 = 5

Clave D