solución de ecuaciones de una variable f(x) = 0 · 1 g ra fic a d e la fu n c io n ln (x )-2 -1 ....
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Ing. Deny González Msc.
SIMULACION NUMERICA / METODOS NUMERICOS
Ultima modificacion 15 / 04 / 08 *Rev 3
Solución de Ecuaciones de una variableF(x) = 0
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 5
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5G r a fi c a d e l a fu n c i o n x . 3 + 3 * x . 2 - 3 * x - 1
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Contenido
Introducción.
Método Grafico
Métodos Cerrados
Bisección, Falsa Posición Falsa Posición Modificada.
Métodos Abiertos
Newton RaphsonSecanteSustitución SucesivaBairstow.
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Método Grafico
Aplicación de y desarrollo de las técnicas de construcción de graficas de una función dada.
De manera tal de observar las raíces de la función (si posee). La precisión de la raíz dependerá de la construcción y precisión de la escala de grafica
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 5
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5G r a fi c a d e l a fu n c i o n x . 3 + 3 * x . 2 - 3 * x - 1
Instrucciones en Matlab
% f(x)= x3 + 3x2 - 3x - 1 -3 < x < 3
%Grafica de la funcion.
clear allf=inline('x.^3+3*x.^2-3*x-1','x');x=-3:0.1:3;y=f(x);plot(x,y,'k-')gridtitle('Grafica de la funcion x.^3 + 3*x.^2 -3*x -1')
Raíz exacta 0.996094
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Método Bisección
El método de bisección, también conocido como corte binario o método de bolzano, establece que:
Sea ( f ) una función continua en cada punto del intervalo cerrado [ a , b ] y se comprueba que f(a) y f(b) tiene signos distintos, se evaluara el valor de la función en el punto medio del intervalo.
2bac +
=
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Método Bisección
Flujograma del Método de Bisección
Dado, f(x), a,b
c = (a + b) / 2
Calcular f(c)
f(c)*f(a) > 0f(c) < Errorc = ab = b
c = ba = a
fin
si
no sino
Tabla Características de Bisección
Errorf ( c )f ( b )f ( a )cbaIter
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Método BisecciónPseudocódigo Bisección en Matlab
%Metodo Grafica de la funcion Biseccionclear allf=inline('x.^3+3*x.^2-3*x-1','x');x=[-5:0.5:5];y=f(x);figure('name','Grafica de funcion')plot(x,y)grid%Metodo de Biseccionclear ally=inline('x.^3+3*x.^2-3*x-1','x');x(1)=-4;x(2)=4;f(1)=y(x(1));f(2)=y(x(2));n=0;error=1;if (f(1)*f(2))>=0 fprintf('No existen raices dentro del intervalo \n') breakend
while error>=0.005 & n<=100 f(1)=y(x(1)); f(2)=y(x(2)); x(3)=(x(1)+x(2))/2; f(3)=y(x(3)); if (f(1)*f(3))<=0 x(1)=x(1); x(2)=x(3); else x(1)=x(2); x(2)=x(3); end n=n+1; error=(abs(x(1)-x(3)));endfprintf(' \n')fprintf('La raiz de la ecuacion por bisección es %f \n',x(3))fprintf(' \n')fprintf('Encontrada en %3.0f iteraciones \n',n)fprintf(' \n')fprintf('El error es %f \n',error)fprintf(' \n')
Continuación Pseudocodigo
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Método Bisección
25)( xexf x −=
Ejemplo:
Iter a b c f (a) f (b) f ( c ) Error1 0 1 0,5 1 -2,28171817 0,3987212712 0,5 1 0,75 0,398721271 -2,28171817 -0,69549998 0,253 0,5 0,75 0,625 0,398721271 -0,69549998 -0,08487904 0,1254 0,5 0,625 0,5625 0,398721271 -0,08487904 0,173023407 0,0625
Solución:
- 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2G r a f i c a d e l a fu n c i o n e x p ( x ) - ( 5 * x 2 )
Solución Exacta
x = 0.60526
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Método Bisección
LIMITANTES
El método de bisección no puede encontrar una pareja de raíces dobles, ya que la función toca de manera tangencial el eje x.
El método de bisección no reconoce la diferencia entre una raíz y una singularidad. Un punto singular es aquel valor donde la función tiende a infinito.
- 2 - 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2- 2 . 5
- 2
- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1G r a fi c a d e l a fu n c i o n l n ( x )
- 2 - 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2- 1 0
- 8
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
8G r a f i c a d e l a fu n c i o n x 3 - 1
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Método de Falsa Posición
Es un método basado en la interpolación lineal, en lugar de bisectar en forma monótona el intervalo, se utiliza una interpolación lineal ajustada a dos puntos extremos para encontrar una aproximación a la raíz.
Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x) = 0, es decir, dos puntos a y b tales que f(a)*f(b) < 0. La siguiente aproximación, c, se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos. La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [a,c] y [c,b], se toma aquel que cumpla f(x)*f(c) < 0
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Método de Falsa Posición y Falsa Posición Modificada
De esta forma se converge mas rápido y se obtiene buena precisión, de manera tal que:
Una desventaja del método es cuando aparecen extremos fijos como lo muestra la grafica anterior, dicha condición desacelera la convergencia cuando los extremos del intervalo inicial es grande.
El método de Falsa Posición Modificada evalúa la existencia de un punto fijo, el cual lo divide a la mitad si este se ha repetido mas de dos veces.
)(*)()(
afafcf
acab
−−−=
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Método de Falsa Posición y Falsa Posición Modificada
Tabla Características del método
Errorf ( c )f ( b )f ( a )cbaIter
Dado f (x), a, c
f(a) * f(c) < 0
Iter = 0
Iter = Iter + 1
No existe raíz
Iter > Itermaxo
b-a < tol
b= a – c – a * f(a) f(c) - f(a)
f(a) * f(b) < 0
a = b , c = cf(a) = f(b) , f(c) = f(c)Kl = 1 , kr = kr + 1
Si kr > 1 ; f(c) = f(c)/2
a = a , c = bf(a) = f(a) , f(c) = f(b)
Kr = 0 , kl = kl + 1Si kl > 1 ; f(a) = f(a)/2
Flujograma
SiNo
Si
No
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Método de Falsa Posición y Falsa Posición Modificada
25)( xexf x −=
Ejemplo:
Solución:
- 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2G r a f i c a d e l a fu n c i o n e x p ( x ) - ( 5 * x 2 )
Solución Exacta
x = 0.60526
Iter a b c f (a) f (b) f ( c ) Error1 0 1 0,30471843 1 -2,28171817 0,891976472 0,30471843 1 0,50012941 0,891976469 -2,28171817 0,3982875 0,195410993 0,50012941 1 0,57441739 0,398287498 -2,28171817 0,12631875 0,074287984 0,57441739 1 0,59674224 0,126318752 -2,28171817 0,03568591 0,02232485
Falsa P. ModificadaIter a b c f (a) f (b) f ( c ) Error
1 0 1 0,30471843 1 -2,28171817 0,891976472 0,30471843 1 0,60979711 0,891976469 -1,14085909 -0,01920456 0,305078693 0,30471843 0,60979711 0,59720254 0,445988234 -0,01920456 0,03377423 0,012594574 0,59720254 0,60979711 0,60700905 0,033774231 -0,00960228 -0,00736494 0,0098065
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Método Newton Raphson
Si f(x) es continua y diferenciable dos veces, siendo Xo una aproximación inicial a la raíz buscada p de la función mediante el uso de la serie de Taylor de segundo orden alrededor de la estimación Xo. Tomando un polinomio de dicha aproximación se tiene
ooo
ooo xxxxxfxxxfxfxf <<−+−+= ξξ ;!2
)(*))(()(*)(')()(2''
Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de ixrx )(xf
La recta tangente que pasa por (xi , f(xi)) es
)(*)(')()( 1 ooo xxxfxfxG −+=
La raiz de G(x) = 0 denotada por x1 satisface
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Método Newton Raphson
La raiz de G(x) = 0 denotada por x1 satisface
)(')(
1 o
oxfxf
oxx −= y sucesivamente
Formula Newton R.
El método de Newton Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, por lo que no hay ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.
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Método Newton Raphson
hxfhxfxf ii
i)()()( −+=
La derivada de la función se puede evaluar por aproximación por diferencias en vez de la forma analítica, de forma tal que f’(xi+1) mediante la aproximación por diferencias hacia adelante
El método de Newton Raphson puede utilizarse para hallar raíces complejas si el programa utilizado lo permite.
ibaf +=
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Método Newton Rapshon
25)( xexf x −=Ejemplo:
Solución:
- 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2G r a fi c a d e l a fu n c i o n e x p ( x ) - ( 5 * x 2 )
Solución Exacta
x = 0.60526
xexf x 10)(' −=
Iter x i f(x i) f ' (x i) x i+1 Error1 0,5 0,39872127 -3,35127873 0,6189758612 0,61897586 -0,05863036 -4,33273339 0,605443903 0,013531963 0,6054439 -0,00074631 -4,22237374 0,605267152 0,000176754 0,60526715 -1,2759E-07 -4,22093002 0,605267121 3,0228E-085 0,60526712 -3,5527E-15 -4,22092977 0,605267121 8,8818E-16
Tabla de Datos
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Método Secante
Método parecido al Newton Raphson, la diferencia radica en la evaluación de f’ la cual es evaluada con dos valores de iteraciones consecutivas de f.
El método de la Secante se basa en la formula de interpolación lineal al igual que el de Falsa Posición, diferenciando que este utiliza las extrapolaciones
Representación Geométrica
Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:
y
.
Sustituyendo en la formula de Newton Raphson, obtenemos:
Notese que para calcular el valor , necesitamos conocer los dos valores anteriores y
Ec. Secante
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Método Secante Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:
25)( xexf x −=
Ejemplo:
Solución:
Solución Exacta
x = 0.60526
Iter Xi -1 X i f ( Xi -1 ) f ( Xi ) Xi +1 Error1 0,5 1 0,39872127 -2,281718172 0,5743761012 1 0,5743761 -2,28171817 0,126482595 0,596730556 0,0223544553 0,5743761 0,59673056 0,12648259 0,035734431 0,605533199 0,0088026434 0,59673056 0,6055332 0,03573443 -0,001123385 0,605264904 0,000268295
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Ejercicios Resueltos
−⋅
−+
−= 2
2
22
2
4*05,0
44*05,0cos)(
mc
mksen
ckmc
mc
mkkf
Ejemplo 1.
Solución:
C = (a + b) / 2 = 1.5E9
El diseño del sistema de suspension del automovil comprende una solucion intermedia entre comodidad y estabilidad para todas las condiciones de manejo y velocidad. Se pide determinar la estabilidad del carro (k). Si la masa es de m = 1.2x106 gramos y tiene un sistema de amortiguamiento c= 1x107 g/s.
Datos: Aplicar el metodo de biseccion si con un intervalo inicial k es, a= 1x109, b=2x109
Si evaluamos con k=1E9
ra = 28.565227501671
rb = 68556546.0040104
F(1E9) = 0.286438599625321
Si evaluamos con k= 2E9
ra = 40.6116431033707
rb = 97467943.4480896
F(2E9) = -0.351813388279876
ra rarb
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Ejercicios ResueltosEjemplo 1.
Solución:
Solución Exacta = 1.397x109
El diseño del sistema de suspension del automovil comprende una solucion intermedia entre comodidad y estabilidad para todas las condiciones de manejo y velocidad. Se pide determinar la estabilidad del carro (k). Si la masa es de m = 1.2x106 gramos y tiene un sistema de amortiguamiento c= 1x107 g/s.
n= 1, c= 1.5e+009, f(a) = 0.28644, f(b) = -0.35181, f(c) =-0.066943, error = 5e+008 n= 2, c=1.25e+009, f(a) = 0.28644, f(b) =-0.066943, f(c) = 0.10069, error = 2.5e+008 n= 3, c=1.375e+009, f(a) = 0.10069, f(b) =-0.066943, f(c) = 0.014675, error =1.25e+008 n= 4, c=1.4375e+009, f(a) = 0.014675, f(b) =-0.066943, f(c) =-0.026677, error =6.25e+007 n= 5, c=1.4063e+009, f(a) = 0.014675, f(b) =-0.026677, f(c) =-0.0061375, error =3.13e+007 n= 6, c=1.3906e+009, f(a) = 0.014675, f(b) =-0.0061375, f(c) =0.0042344, error =1.56e+007 n= 7, c=1.3984e+009, f(a) =0.0042344, f(b) =-0.0061375, f(c) =-0.0009601, error =7.81e+006 n= 8, c=1.3945e+009, f(a) =0.0042344, f(b) =-0.0009601, f(c) = 0.001635, error =3.91e+006
En 37 iteraciones …
n=37, c=1.397e+009, f(a) =9.6551e-012, f(b) =-1.0436e-014, f(c) =4.8221e-012, error = 0.00728
Respuesta final =1.39699e+009
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Ejercicios ResueltosEjemplo 2.
Solución:
Solución Exacta = 63,62 kg
Estime la masa del paracaidista, en funcion a la siguiente ecuacion,
( ))1(** *tm
ce
cmgv
−−
=
( ) )*(*)(' *
+
−= −
mtg
cge
cgmf tm
c
Datos
g = 9,8c = 14v = 35t = 7
Derivada =
Iter xi f(xi) f ' (xi) xi+1 Error1 2,000000 -33,600000 0,700000 50,0000002 50,000000 -4,930045 0,408141 62,079258 12,0792583 62,079258 -0,507563 0,327696 63,628141 1,548883
Condicion Inicial, mo = 2 kg
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SIMULACION NUMERICA / METODOS NUMERICOS
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Ejercicios Propuestos
Chapra – Canale “Metodos Numericos para Ingenieros”, Cuarta edicion
Pag. 137-138
Ejer: 5.1, 5.3, 5.7, 5.12 (fp y nm)
Pag. 165
Ejer: 6.1, 6.6, 6.9 (a, b y c)