solving the manufacturing cell design problem using …

Pontificia Universidad Catolica de Valparaıso

Facultad de Ingenierıa

Escuela de Ingenierıa Informatica

SOLVING THE MANUFACTURING CELL DESIGN PROBLEM

USING AN INVASIVE WEED OPTIMIZATION ALGORITHM

Carlos Francisco Castillo Martınez

Tesis de Grado

Magister en Ingenierıa Informatica

Mayo 2016

Pontificia Universidad Catolica de Valparaıso

Facultad de Ingenierıa

Escuela de Ingenierıa Informatica

SOLVING THE MANUFACTURING CELL DESIGN PROBLEM

USING AN INVASIVE WEED OPTIMIZATION ALGORITHM

Carlos Francisco Castillo Martınez

Profesor Guıa: Ricardo Soto De Giorgis

Programa: Magıster en Ingenierıa Informatica

Mayo 2016

Resumen

En esta tesis se describe el modelamiento y resolucion del Problema de Diseno de Celdas de Manufactura

(MCDP) a traves de un algoritmo de optimizacion basado en hierbas invasivas (IWO). El objetivo de MCDP

considera la agrupacion de maquinas y piezas en conjuntos llamados celdas de tal forma que se minimicen

sus movimientos interceldarios. El algoritmo IWO representa las soluciones como hierbas, simulando su

comportamiento de colonizacion en la agricultura. Cada hierba produce nuevas soluciones denominadas

como semillas. A partir de soluciones iniciales aleatorias, los operadores de la metaheurıstica son utilizados

para la creacion de las nuevas semillas. El conjunto formado por hierbas y semillas es filtrado de acuerdo al

fitness, ya que se realiza una eliminacion de aquellas con peores resultados. Los resultados experimentales

con el algoritmo IWO fueron satisfactorios, ya que se obtuvieron valores optimos para todas las instancias

de MCDP consideradas en este documento.

Palabras-claves: optimizacion, metaheurısticas, Invasive Weed Optimization, Manufacturing Cell Design

Problem.

Abstract

This document focuses on modeling and solving the Manufacturing Cell Design Problem (MCDP) through

an Invasive Weed Optimization (IWO) algorithm. The MCDP aims at grouping machines and parts into

sets called cells in order to minimize the inter-cell moves. The IWO algorithm represents the solutions

as weeds, simulating their colonization behavior in agriculture. Each weed produces new solutions called

seeds. Through the creation of random initial solutions, metaheuristic operators are used for the new seed

creation. The set formed by weeds and seeds is sorted according to fitness, by removing the worse ones. The

experimentation results with the IWO algorithm are interesting, because the algorithm reaches optimums for

all MCDP instances considered in this document.

Key-words: optimization, metaheuristics, Invasive Weed Optimization, Manufacturing Cell Design Prob-

lem.

Indice

1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Definicion de Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Estado del Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Manufacturing Cell Design Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.1 Representacion del MCDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 Metaheurıstica Aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.1 Inicializacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.2 Reproduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.3 Distribucion Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.4 Exclusion Competitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.1 Experimentos con instancias de Boctor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.2 Experimentos con otras instancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

A Soluciones a instancias de Boctor de dos celdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

B Soluciones a instancias de Boctor de tres celdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

C Soluciones a nuevas instancias de otros autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

i

Lista de Figuras

6.1 Grafico convergencia de IWO con MMax= 8 y C= 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.2 Grafico convergencia de IWO con MMax= 10 y C= 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.3 Grafico convergencia de IWO con MMax= 7 y C= 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

ii

Lista de Tablas

4.1 Matriz Maquina-Pieza Inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2 Matriz Maquina-Pieza Final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6.3 Resultados de IWO en MCDP, con dos celdas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.4 Resultados de IWO en MCDP, con tres celdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.5 Fuentes para nuevas instancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.6 Resultados de IWO en MCDP, para nuevas instancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

iii

1 Introduccion

La tesis realiza una investigacion aplicada acerca de la optimizacion del diseno de celdas de manufactura

(Manufacturing Cell Design Problem, MCDP). Este problema es una aplicacion de la tecnologıa de grupos

que se explica bajo la siguiente afirmacion: “las cosas parecidas debieran ser fabricadas de la misma manera”

[16]. Bajo esta premisa, MCDP consiste en encontrar una asignacion de maquinas y piezas que minimice el

movimiento de estas entre familias, o tambien denominadas como celdas.

Para llevar a cabo el proyecto, se ha escogido una tecnica de busqueda de soluciones incompleta, es decir,

que no explora el cien por ciento de las soluciones [13]. La tecnica mencionada se basa en el comportamiento

de colonizacion de las hierbas invasivas (Invasive Weed Optimization, IWO), la cual representa cada solucion

de MCDP como una hierba o weed, la cual genera soluciones modificadas denominadas como semillas o seeds,

a traves de comportamientos y operadores [27].

Uno de los propositos de esta tesis, es continuar con las investigaciones tanto del problema como de la

tecnica para la busqueda de soluciones. MCDP ha sido analizado bajo dos lıneas de investigacion distintas:

por un lado, con el uso de metodos aproximados; por otro lado, con la optimizacion global. En este contexto,

MCDP ha sido implementado y evaluado en conjunto con diversos metodos aproximados denominados como

metaheurısticas; ejemplos de ello son algoritmos geneticos como los utilizados por Venugopal y Narendran

[28], o aquellos basados en fenomenos naturales como Particle Swarm Optimization, investigado por Duran,

Rodriguez, y Consalter [6].

Para comenzar, se realiza la especificacion de los objetivos del proyecto. Mediante el Estado del Arte se

detallan las investigaciones ya llevadas a cabo para resolver MCDP. A continuacion, se realiza la descripcion

de la problematica, en donde se define la formulacion matematica que resuelve el MCDP. Por otra parte, se

describe la tecnica de busqueda escogida, la cual esta basada en el comportamiento de las hierbas invasivas

cuando se reproducen. Posterior a ello, se especifican los algoritmos o estrategias para optimizar la busqueda

de soluciones que satisfagan las restricciones del Manufacturing Cell Design Problem; todo lo anterior con el

fin de encontrar la solucion que entrega la mayor performance dentro del problema; a esta se le denominara

como Optimo Global a lo largo del documento.

Al final, se podran encontrar los resultados obtenidos a traves del algoritmo. Se alcanzo el valor optimo

global para el 100% de las instancias sometidas a prueba, lo que se puede visualizar mediante un conjunto de

tablas de comparacion y graficos de convergencia. Ası, se logra observar el comportamiento de la integracion

de IWO con MCDP, para la busqueda y optimizacion de soluciones a medida que este algoritmo realiza

iteraciones. En sıntesis, mediante esta tesis es posible entender el marco teorico y practico de como se

obtuvieron los valores optimos globales iguales o cercanos a los determinados mediante metodos de busqueda

completa de soluciones, pero con tecnicas incompletas.

1

2 Definicion de Objetivos

A continuacion, se describen los objetivos generales y especıficos para la presente tesis.

2.1 Objetivo General

Modelar y resolver el problema de diseno de celdas de manufactura (MCDP) mediante la utilizacion de

una metaheurıstica basada en el comportamiento de hierbas invasivas (IWO).

2.2 Objetivos Especıficos

• Analizar e implementar las variables y restricciones referentes al Manufacturing Cell Design Problem

(MCDP).

• Analizar las variables y condiciones referentes a la metaheurıstica basada en el comportamiento de

hierbas invasivas (IWO).

• Desarrollar la integracion del algoritmo de metaheurıstica con la implementacion del MCDP.

• Revisar el comportamiento de la implementacion desarrollada, aplicada en instancias complejas de

MCDP.

2

3 Estado del Arte

Distintas instancias del problema de celdas de manufactura (MCDP) se han evaluado con una o mas

tecnicas de busqueda incompletas, o llamados metodos aproximados, ası como con optimizacion global. Los

metodos aproximados buscan en zonas del espacio de busqueda una solucion optima, la cual no necesariamente

es la solucion global del problema. En general, se han obtenido resultados prometedores al hacer busquedas

incompletas de soluciones optimas para MCDP con distintos algoritmos. Por otra parte, los metodos de

optimizacion global aseguran la obtencion de la solucion optima global, pero los tiempos de ejecucion ası

como la cantidad de recursos requeridos, hacen difıcil su implementacion.

En el transcurso de la historia, se pueden identificar importantes investigaciones acerca del uso de algorit-

mos de busqueda de soluciones incompletas. El conjunto de metaheurısticas a utilizar para buscar soluciones

optimas ha aumentado, debido a la capacidad actual de los computadores para representar y procesar prob-

lemas complejos. Es ası como se pueden hallar algoritmos basados en la genetica (Genetic Algorithm, GA);

en la composicion de musica (Harmony Search); en principios fısicos, como es el caso de Particle Swarm

Optimization (PSO) y Electromagnetismo (EM). Tambien hay metaheurısticas basadas en comportamientos

de la naturaleza, dentro de las cuales se puede encontrar a Invasive Weed Optimization (IWO) [27].

Con respecto a MCDP, sus inicios se remontan a dos decadas atras, como innovacion para la estrategia

de manufacturacion o fabricacion de piezas, en la cual se busca como meta minimizar el movimiento de

las maquinas procesadoras de piezas, al momento de ser estas agrupadas en celdas [7]. Burbidge, con su

analisis del flujo de produccion en 1963, convierte su procedimiento en uno de los primeros intentos por

resolver MCDP, aunque sin utilizar la computacion [4]. Su procedimiento utiliza la matriz de incidencia

maquina-pieza y se reorganiza en una forma diagonal de bloque (Block Diagonal Form, BDF) [31].

Aparte de Burbidge, existen otros estudios para resolver MCDP con optimizacion global. De esta forma

se encuentran experimentos con programacion lineal, como los descritos en los trabajos de Purcheck [21]

y Olivia-Lopez [20]. Asimismo, Kusiak y Chow [11] propusieron modelos cuadraticos lineales, al igual que

Boctor [2]. Ademas, Sankaran [22] presenta otro paradigma para abordar MCDP con optimizacion global,

al igual que Shafer y Rogers, el cual fue denominado como Goal Programming [25]. Por ultimo, Nsakanda,

Diaby y Price formularon una solucion que combina GA con una tecnica de optimizacion de gran escala [19].

Posterior a ello, se han utilizado diferentes metaheurısticas para la formacion de celdas. Por ejemplo

Venugopal y Narendran (1992) proponen el uso de algoritmos geneticos (Genetic Algorithms, GA) [28];

Aljaber, Baek, y Chen (1997) [1], y Lozano, Dıaz, Eguıa y Onieva (1999) [14], quienes utilizan Tabu Search;

Boulif y Atif (2006) combinan la tecnica de ramifica y acota (Branch and Bound, BB) con un GA [3]; Wu,

Chang y Chung (2008) presentan un enfoque de enfriamiento simulado (Simulated Annealing, SA) en conjunto

con GA [30]. Otros autores que aportaron en la resolucion de MCDP son Duran, Rodriguez y Consalter con

su combinacion de Particle Swarm Optimization (PSO) y una tecnica de minerıa de datos [6]; James, Brown

3

y Keeling, por su parte, crearon una solucion hıbrida al utilizar tecnicas de busqueda local en conjunto con

GA [8].

Es ası, como aparece el concepto de reunir las piezas a construir en grupos segun sus propiedades; tambien

surgio la idea de agrupar las maquinas en familias o celdas. Desde entonces, se ha establecido el diseno de

las asignaciones dentro de una matriz, la cual es denominada como Maquina por Pieza (Maquina-Pieza) [31].

En definitiva, la tesis se ha estructurado segun la informacion obtenida a traves de los trabajos realizados

acerca de MCDP; esto permite establecer un marco teorico para el proyecto en desarrollo. Por lo tanto, se

continua la investigacion y experimentacion con nuevas tecnicas y comportamientos, como lo es IWO.

4

4 Manufacturing Cell Design Problem

El diseno de celdas de manufactura (Manufacturing Cell Design Problem o MCDP), se define como una

estrategia de produccion en la cual se realiza una division de las unidades de produccion de una organizacion,

las que forman grupos o familias de componentes, tambien denominadas como celdas de produccion [18]. Se

considera como una aplicacion de la tecnologıa de grupos, en donde se busca la reduccion de movimientos

de las piezas entre celdas, con el fin de aminorar tiempos, costos de produccion y utilizacion de maquinas

[32]. MCDP se entiende bajo el concepto de que “las cosas parecidas debieran ser fabricadas de la misma

manera” [16]: las piezas que sean similares ya sea por propiedades tales como peso, materiales de fabricacion

u operaciones necesarias, deben pertenecer a una misma unidad de produccion.

En primer lugar, MCDP requiere la organizacion de los elementos involucrados en una estructura rep-

resentativa de los requisitos de procesamiento que tiene el sistema de produccion. Para ello, se construyen

matrices de incidencia para resumir la informacion necesaria. La primera matriz es denominada como matriz

Maquina-Pieza; en ella se puede determinar a traves de ceros y unos las maquinas necesarias para la pro-

duccion de cada una de las piezas. Las maquinas son representadas como filas de la matriz; las piezas, como

columnas de la misma [16]. Como se puede ver en la Tabla 4.1, las posiciones de la matriz rellenadas con

unos significan que la maquina de la fila procesa la parte (pieza) correspondiente a la columna que posee un

uno como valor.

Tabla 4.1 Matriz Maquina-Pieza Inicial.

Part

Machine 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A 1 1 1

B 1 1 1

C 1 1 1

D 1 1

E 1 1

F 1 1

G 1 1

H 1 1

I 1 1 1

J 1 1 1

5

De la Tabla 4.1 se puede deducir que un grupo de maquinas procesa solo una parte de las piezas del sistema

de produccion, conformando las denominadas celdas o familias de produccion. El proposito de MCDP es

organizar la estructura de las familias de manera que, como se aprecia en la Tabla 4.2, el movimiento de piezas

entre las celdas ocurra el mınimo numero de veces posible. Esto se acentua cuando se aplica en sistemas de

produccion que utilizan recursos compartidos en sus sistemas.

Tabla 4.2 Matriz Maquina-Pieza Final.

Part

Machine 3 7 10 1 2 6 9 4 5 8

A 1 1 1

E 1 1

F 1 1

H 1 1

B 1 1 1

C 1 1 1

I 1 1 1

D 1 1

G 1 1

J 1 1 1

4.1 Representacion del MCDP

Manufacturing Cell Design Problem se concibe como un modelo con variables, dominios y restricciones,

que se deben satisfacer para encontrar una organizacion de celdas que sea optima, en cuanto a costos de

produccion [26]. Dicha estructura a buscar debe tener como caracterıstica principal reducir al mınimo los

movimientos de piezas entre grupos. Es ası como MCDP se considera un problema con restricciones que

deben ser optimizadas, el cual posee parametros, variables y dominios como los descritos a continuacion [7]:

• M , representa el numero de maquinas.

• P , representa el numero de piezas.

• C, representa el numero de celdas.

• Mmax, corresponde a la cantidad maxima de maquinas que permite una celda.

6

• A = [aij ], matriz binaria Maquina-Pieza de dimension M por P .

aij =

⎧⎨⎩

1 Si la maquina i procesa la pieza j

0 En otro caso(1)

• B = [bik], matriz binaria Maquina-Celda de dimension M por C.

bik =

⎧⎨⎩

1 Si la maquina i pertenece a la celda k

0 En otro caso(2)

• C = [cjk], matriz binaria Pieza-Celda de dimension P por C.

cjk =

⎧⎨⎩

1 Si la pieza j pertenece a la celda k

0 En otro caso(3)

• i, corresponde el ındice de maquinas (i = 1, 2, ...,M).

• j, corresponde el ındice de piezas (i = 1, 2, ..., P ).

• k, corresponde el ındice de celdas (i = 1, 2, ..., C).

La funcion objetivo de un MCDP esta definida por la combinacion de las variables y constantes declaradas

con anterioridad. La formulacion matematica de esta se presenta a continuacion, en donde se expresa que el

objetivo es minimizar el movimiento de piezas entre las celdas:

Min :C∑

k=1

M∑i=1

P∑j=1

aijcjk(1− bik) (4)

Por otra parte, al modelar MCDP como un problema con restricciones se tiene lo siguiente:

• Restriccion 1: Una maquina pertenece a una celda:

C∑k=1

bik = 1 ∀i (5)

• Restriccion 2: Una pieza pertenece a una celda:

C∑k=1

cjk = 1 ∀j (6)

• Restriccion 3: El numero de maquinas no exceda la cantidad permitida por celda:

M∑i=1

bik ≤ Mmax ∀k (7)

7

5 Metaheurıstica Aplicada

Para resolver MCDP, se ha hecho uso de una tecnica de busqueda de soluciones incompleta y poblacional.

Esta, en primer lugar, busca y crea una cantidad de soluciones consistentes. Luego, recorre dicho conjunto

mediante un algoritmo que entregue un valor optimo base con el que se pueda comenzar a trabajar. No

obstante, la solucion final que optimiza el problema se debe obtener mediante algoritmos de metaheurıstica,

los que consisten de una secuencia de procedimientos que permiten la busqueda de soluciones optimas para

el MCDP.

En esta tesis se ha utilizado la tecnica metaheurıstica Invasive Weed Optimization (IWO); esta tecnica

se basa en el comportamiento de colonizacion de las hierbas invasivas en la agricultura [17], que consiste

en la busqueda lugares adecuados para el crecimiento de las hierbas y para su reproduccion [12]. Por

lo tanto, cada solucion para MCDP sera una hierba, denominada como weed [27], la cual para efectos

del problema sera representada mediante una matriz Maquina-Celda. Luego de generar una cantidad de

soluciones que formen la poblacion inicial, se obtendra la primera solucion optima. Cada weed generara nuevas

soluciones, denominadas como semillas o seeds [27], que son obtenidas de la aplicacion de comportamientos

de reproduccion sobre las weeds. Al tener una cantidad determinada de seeds, se elabora un ranking entre

estas y las weeds segun sus respectivos valores de fitness [27]; la finalidad de esta accion es realizar una poda

de soluciones, de modo que solo queden las mejores para la proxima iteracion. El proceso completo descrito

se repite G-veces, siendo G la cantidad de generaciones de soluciones.

5.1 Inicializacion

El proceso de inicializacion corresponde a la primera etapa de la metaheurıstica basada en el compor-

tamiento de las hierbas invasivas; se relaciona con la obtencion de un conjunto de soluciones para el problema

[15], las que seran analizadas de forma posterior. En primer lugar, se genera un conjunto de hierbas, denom-

inado como W , el cual consta de Pinit soluciones d-dimensionales. Pinit corresponde a la cantidad inicial de

hierbas; estas hierbas se distribuyen de manera uniforme entre el lımite inferior Xmin y el superior Xmax [27].

Para optimizar esta etapa de la metaheurıstica, solo se consideran las soluciones que cumplan las restricciones,

ignorando a las que no lo hacen. En la Ecuacion (8) se define la estructura del conjunto W :

W i ∈ (U(Xmin, Xmax)d) (1 ≤ i ≤ Pinit) (1 ≤ d ≤ D) (8)

La variable W i es la i-esima solucion del conjunto W . Asimismo, W i ∈ W , y D es conocido como el

numero de dimensiones o variables del problema. Xmin es el mınimo valor posible que puede tener una

dimension d .. (1, 2, ..., D). Por otro lado, Xmax es el maximo valor posible.

8

5.2 Reproduccion

La segunda etapa de Invasive Weed Optimization corresponde a la generacion de semillas o seeds que

cada weed realiza al reproducirse. La finalidad de este paso es mover el conjunto inicial de soluciones por

todo el espacio de busqueda, de modo de optimizar el encuentro de un optimo. El calculo del numero de

seeds se hace por cada weed mediante la formula mostrada en la Ecuacion (9).

Spnum = Smin + (

F (W p)− Fworse

Fbest − Fworse)(Smax − Smin) (1 ≤ P ≤ Pinit) (9)

Donde Spnum es la cantidad de seeds y F (wp), el valor del fitness para la i-esima weed. Smin es la cantidad

de seeds mınima; Smax, la cantidad maxima. Fbest es el valor del fitness de la mejor solucion actual y Fworse,

el de la peor solucion actual.

5.3 Distribucion Espacial

Posterior a ello, se realiza la creacion de cada semilla, para lo cual se utiliza la Ecuacion (10) para su

obtencion:

(Srd)

p = wpd +N (0, σG)

D (1 ≤ r ≤ Spnum) (1 ≤ d ≤ D) (10)

Donde Srd es la dimension d de la semilla r, de la hierba p; mientras que N (0, σG)

D representa la dis-

tribucion normal entre 0 y σG, que se denomina como desviacion estandar de la generacion G y se calcula

mediante la Ecuacion (11). Cabe destacar que σinit, σmod y σfinal son parametros de la metaheurıstica.

Niter corresponde a la cantidad de iteraciones de esta. Con la obtencion de la desviacion estandar, se puede

proceder con la proxima etapa de IWO:

σG = σfinal +(Niter −G)σmod

(Niter)σmod

(σinit − σfinal) (11)

Como se puede apreciar en la Ecuacion (9), la generacion de cada seed se realiza mediante la aplicacion

de la distribucion normal sobre su weed padre. Sin embargo, esta funcion opera con valores reales, por lo que

no aplica su uso con un problema que tiene dominios binarios (F : BD → R) [27]. Por lo tanto, se necesita

una adaptacion de la formulacion matematica, la que se puede apreciar en la Ecuacion (12):

(Srd)

p = N (wpd, σG)

D (1 ≤ r ≤ Spnum) (1 ≤ d ≤ D) (12)

La expresion matematica N (wpd, σG)

D se denomina como Operador de Vecindario Binario [27]. En primer

lugar, este operador calcula el numero de bits que seran cambiados mediante el uso de la distribucion normal

N (0, σG). Luego, se obtiene la probabilidad de cambio, que equivale al cociente entre el numero de bits a

9

ser cambiados y la dimension del problema (D). Despues, la solucion a modificar mediante el operador se

copia en una variable auxiliar, para continuar con la funcion de cambio de bits, segun el resultado de la

comparacion entre la probabilidad de cambio y un numero aleatorio entre 0 y 1 [27]. El algoritmo completo

del Operador de Vecindario Binario se puede apreciar en el Algoritmo 5.1.

Algoritmo 5.1 Algoritmo de Operador de Vecindario Binario

Require: wp, σG, D1: rbits = N+(0, σG)2: pchange = rbits

D3: S = wp

4: for d ∈ 1..D do5: random = U(0, 1)6: if random ≤ pchange then7: Sd = ¬Sd

8: end if9: end for

10: return S

5.4 Exclusion Competitiva

La ultima etapa de Invasive Weed Optimization corresponde a la seleccion de las mejores soluciones.

Esto ocurrira cuando la cantidad en conjunto de weeds y seeds exceda la cantidad maxima permitida de

soluciones, que esta representada como Pmax. Al sobrepasar dicho umbral, la colonia de weeds y seeds sera

filtrada segun el fitness de cada solucion; las que tengan peores fitness seran removidas de la colonia para la

siguiente iteracion [27].

Algoritmo 5.2 Algoritmo Invasive Weed Optimization

Require: Pinit, Niter, σG, Smax, Smin.1: Generate initial population of weeds: W = Initialization(Pinit).2: for (i = 1 : Niter) do3: while (�W ≤ Pmax) do4: for (p = 1 : D) do5: Sp

num = Reproduction(Smax, Smin, wp).

6: for (r = 1 : Spnum) do

7: for (d = 1 : D) do8: (Sr

d)p = Spatial Dispersal(wp

d, Niter, Spnum, σG).

9: end for10: end for11: end for12: end while13: W = Exclusive Competition(W , S).14: end for15: return wbest

10

6 Resultados

El proceso de implementacion de MCDP en conjunto con IWO ha permitido obtener resultados que

se describen a continuacion. Para la experimentacion, se ha definido realizar 10 intentos (G = 10) por

cada instancia conocida de los problemas; es decir, se prueba cada uno modificando la cantidad maxima de

maquinas por celda Mmax y el numero de celdas (C). Cada problema se ha probado con diferentes cantidades

de soluciones iniciales y de iteraciones a traves del IDE Netbeans, y que son especificadas a continuacion.

• Cantidad Weeds inicial (Pinit): 15.

• Cantidad Weeds inicial (Pmax): 30.

• Cantidad Iteraciones Metaheurıstica (Niter): 1000.

• Cantidad Seeds mınima (Smin): 20.

• Cantidad Seeds maxima (Smax): 40.

• σinit : MC

• σmod : 3

• σfinal : 1

6.1 Experimentos con instancias de Boctor

Las matrices de tamano 16x30 probadas con la solucion implementada, son extraıdas de un conjunto

de problemas estudiados por F. Boctor [2]. Los valores optimos que entrega dicha investigacion se pueden

ver en la Tabla 6.3, para problemas con numero de celdas (C) igual a 2; mientras que para aquellos con

numero de celdas (C) igual a 3, se pueden encontrar en la Tabla 6.4. Cabe destacar que para todos los

experimentos, se hizo una mejora en la generacion de la matriz pieza-celda, la cual se hace de tres formas

distintas y se selecciona la que menor Fitness obtiene. Los parametros comunes entre todas las pruebas

fueron los siguientes:

• Numero Maquinas (M): 16.

• Numero Piezas (P ): 30.

Entre los diez intentos realizados para cada instancia de los problemas de Fayez F. Boctor [2], se escoge

el que obtenga menor fitness y una representativa convergencia entre el valor alcanzado y la cantidad de

iteraciones de la metaheurıstica. Las pruebas entregaron como resultados, los que a continuacion son exhibidos

en la Tabla 6.3, para problemas con numero de celdas (C) igual a 2; en la Tabla 6.4 se encuentran los resultados

para aquellos con numero de celdas (C) igual a 3. Ademas, para cada instancia se muestra una desviacion

11

porcentual relativa (Relative Percentage Deviation, RPD), indicador que permite medir que tan lejos se

encuentran los resultados obtenidos con IWO, de los publicados por Boctor en su trabajo con tecnicas de

busqueda completa:

Tabla 6.3 Resultados de IWO en MCDP, con dos celdas.

C=2P Mmax = 8 Mmax = 9 Mmax = 10 Mmax = 11 Mmax = 12

Boctor IWO RPD (%) Boctor IWO RPD (%) Boctor IWO RPD (%) Boctor IWO RPD (%) Boctor IWO RPD (%)1 11 11 0.00 11 11 0.00 11 11 0.00 11 11 0.00 11 11 0.002 7 7 0.00 6 6 0.00 4 4 0.00 3 3 0.00 3 3 0.003 4 4 0.00 4 4 0.00 4 4 0.00 3 3 0.00 1 1 0.004 14 14 0.00 13 13 0.00 13 13 0.00 13 13 0.00 13 13 0.005 9 9 0.00 6 6 0.00 6 6 0.00 5 5 0.00 4 4 0.006 5 5 0.00 3 3 0.00 3 3 0.00 3 3 0.00 2 2 0.007 7 7 0.00 4 4 0.00 4 4 0.00 4 4 0.00 4 4 0.008 13 13 0.00 10 10 0.00 8 8 0.00 5 5 0.00 5 5 0.009 8 8 0.00 8 8 0.00 8 8 0.00 5 5 0.00 5 5 0.0010 8 8 0.00 5 5 0.00 5 5 0.00 5 5 0.00 5 5 0.00

Tabla 6.4 Resultados de IWO en MCDP, con tres celdas

C=3P Mmax = 6 Mmax = 7 Mmax = 8 Mmax = 9

Boctor IWO RPD (%) Boctor IWO RPD (%) Boctor IWO RPD (%) Boctor IWO RPD (%)1 27 27 0.00 18 18 0.00 11 11 0.00 11 11 0.002 7 7 0.00 6 6 0.00 6 6 0.00 6 6 0.003 9 9 0.00 4 4 0.00 4 4 0.00 4 4 0.004 27 27 0.00 18 18 0.00 14 14 0.00 13 13 0.005 11 11 0.00 8 8 0.00 8 8 0.00 6 6 0.006 6 6 0.00 4 4 0.00 4 4 0.00 3 3 0.007 11 11 0.00 5 5 0.00 5 5 0.00 4 4 0.008 14 14 0.00 11 11 0.00 11 11 0.00 10 10 0.009 12 12 0.00 12 12 0.00 8 8 0.00 8 8 0.0010 10 10 0.00 8 8 0.00 8 8 0.00 5 5 0.00

El algoritmo de IWO ha sido ejecutado sobre un procesador Intel Core i5 4210U con 6 GB de memoria

RAM, con Sistema Operativo Windows 8.1 Pro. El lenguaje de programacion utilizado fue Java, a traves

de Netbeans como ya se ha mencionado. En este contexto, se tienen optimos globales para las 90 instancias

de Boctor. Esto significa haber encontrado resultados promisorios, considerando que todos los RPD para

las instancias equivalen a cero, como se aprecia en las Tablas 6.3 y 6.4. No obstante, se debe destacar el

problema que IWO presenta con MCDP, al cambiar el dominio real con que trabaja la metaheurıstica, a

uno binario. Esto, produce una lenta convergencia de los resultados con un numero de celdas C = 3, lo que

provoca que se deba parametrizar una cantidad de iteraciones (Niter) mayor para el algoritmo.

Las Figuras 6.1, 6.2 y 6.3 son graficos de convergencia, los cuales muestran el comportamiento y el valor

optimo de cada iteracion del algoritmo IWO. Por medio de estas, se puede apreciar las caracterısticas de la

12

0

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Opt

imal

Val

ue

Iteration Number

Problem 1

Figura 6.1 Grafico convergencia de IWO con MMax= 8 y C= 2.

0

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Opt

imal

Val

ue

Iteration Number

Problem 9


0

5

10

15

20

25

30

35

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Opt

imal

Val

ue

Iteration Number

Problem 5


13

convergencia mencionada en el parrafo anterior, causada por la dimension binaria de las instancias de MCDP.

Es ası, como se distingue que para las instancias con dos celdas se produce una mayor cantidad de cambios

del valor optimo actual. Un fenomeno distinto ocurre con las que poseen tres celdas, ya que estas tienen un

numero de iteraciones mas elevado para converger hacia el valor esperado. Esta caracterıstica que se puede

visualizar en la Figura 6.3, demuestra que la metaheurıstica reduce los valores optimos de las instancias con

tres celdas, en intervalos de iteraciones mayores que para aquellas con dos celdas.

6.2 Experimentos con otras instancias

Para continuar comprobando el funcionamiento del algoritmo IWO, se ha realizado la busqueda de nuevas

instancias de MCDP, extraıdas de las investigaciones hechas por otros autores. En este apartado se muestran

los resultados obtenidos para dichas instancias, las cuales corresponden a diversas combinaciones de numeros

de celdas y numero maximo de maquinas por cada una de estas. En la Tabla 6.5 se senalan los autores

desde donde se obtuvieron las matrices maquina-pieza con que se generan las 32 instancias en total. Estas

se pueden revisar en la Tabla 6.6, la cual hace la comparacion entre el optimo global obtenido con tecnicas

completas de busqueda y el resultado que se logra con el algoritmo de IWO.

Tabla 6.5 Fuentes para nuevas instancias

Problema Fuente Problema Maquinas Piezas1 King and Nakornchai [9] 5 72 Waghodekar and Sahu, Figure 4.a [29] 5 73 Seifoddini [23] 5 184 Kusiak and Cho [10] 6 85 Boctor, Figure 1.b [2] 6 116 Seifoddini and Wolfe [24] 7 127 Chandrasekharan and Rajagopalan [5] 8 20

En la Tabla 6.6 se pueden revisar los resultados de la ejecucion del algoritmo IWO por cada una de las 32

instancias. Cabe destacar que se logra llegar al optimo en el 100% de estas, comprobandose que IWO puede

funcionar con cualquier instancia de MCDP. Ademas, se deja registro acerca de una instancia para la cual

se logro encontrar una solucion con menores movimientos interceldarios que los definidos en el optimo global

conocido, siendo la reduccion de estos en un 54%.

14

Tabla 6.6 Resultados de IWO en MCDP, para nuevas instancias

Instancia Problema Maquinas Piezas Celdas MMax Optimo IWO RPD1 1 5 7 2 3 0 0 0%2 1 5 7 2 4 0 0 0%3 1 5 7 3 2 2 2 0%4 1 5 7 3 3 0 0 0%5 2 5 7 2 3 5 5 0%6 2 5 7 2 4 3 3 0%7 2 5 7 3 2 8 8 0%8 3 5 18 2 3 5 5 0%9 3 5 18 2 4 4 4 0%10 3 5 18 3 2 11 11 0%11 4 6 8 2 3 2 2 0%12 4 6 8 2 4 2 2 0%13 4 6 8 2 5 2 2 0%14 4 6 8 3 2 7 7 0%15 4 6 8 3 3 2 2 0%16 4 6 8 3 4 2 2 0%17 4 6 8 3 5 2 2 0%18 4 6 8 5 2 7 7 0%19 5 7 11 2 4 2 2 0%20 5 7 11 2 5 1 1 0%21 5 7 11 2 6 1 1 0%22 5 7 11 3 3 2 2 0%23 6 8 12 2 4 6 6 0%24 6 8 12 2 5 3 3 0%25 6 8 12 2 6 1 1 0%26 6 8 12 2 7 1 1 0%27 6 8 12 3 3 7 7 0%28 6 8 12 3 4 13 6 -54%29 7 8 20 2 4 7 7 0%30 7 8 20 2 5 7 7 0%31 7 8 20 3 3 14 14 0%32 7 8 20 3 4 7 7 0%

15

7 Conclusiones

En esta tesis se ha estudiado la aplicacion de metodos aproximados, como lo son las metaheurısticas, y

como estas tecnicas se pueden implementar mediante una plataforma determinada. Por otra parte, se ha

obtenido la informacion necesaria con respecto alManufacturing Cell Design Problem, o MCDP, estableciendo

los recursos que se requieren, ası como las restricciones propias de este caso de estudio.

De esta forma, se logro la implementacion de un solver que llevo a cabo la labor de encontrar valores

optimos para instancias de MCDP. Los avances en el proceso de investigacion e implementacion de la meta-

heurıstica basada en el crecimiento de las hierbas invasivas en la Agricultura (IWO), ası como todo lo que

se relaciona con MCDP, quedan demostrados mediante los algoritmos, tablas de resultados y graficos de

convergencia descritos en la seccion de Resultados. Al realizar un resumen de los experimentos, se destaca

la obtencion de valores optimos globales para las 90 instancias presentadas por F. Boctor en [2], ademas

de llegar a los optimos globales para las demas instancias extraıdas de los trabajos de otros autores. Estos

resultados son considerados promisorios, ya que permiten aseverar que IWO es una aceptable alternativa para

la busqueda de soluciones factibles y optimas para problemas complejos, ya sea de MCDP o para cualquier

otro problema de optimizacion.

En lo que se refiere al comportamiento del algoritmo implementado, se evidencio la conversion que se

ha hecho en IWO para que funcione con problemas que poseen un dominio binario; esto explica en parte

la pausada convergencia hacia resultados optimos con las instancias que tienen tres celdas (C=3). Cabe

destacar tambien, la parametrizacion utilizada, ya que permite a la implementacion desarrollada ejecutar el

algoritmo de IWO sobre cualquier instancia de MCDP, configurando la cantidad de maquinas, piezas, celdas

o el valor de los parametros propios de la metaheurıstica. La dimension del problema, por lo tanto, no

implica restricciones para el algoritmo de IWO, salvo la conversion a dominio binario ya mencionada. Ası,

se concluye que los avances alcanzados con el algoritmo IWO usado para MCDP, son un nuevo paso para la

resolucion de problemas complejos con tecnicas incompletas.

16

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19

Anexos

A Soluciones a instancias de Boctor de dos celdas

Tabla A.1 Problema 1, C=2, MMax=8.

0 10 10 11 01 01 00 10 10 11 01 00 11 01 00 11 0

20

Tabla A.2 Problema 1, C=2, MMax=9

0 10 11 00 10 11 00 10 11 01 00 11 00 11 01 00 1


1 01 00 11 00 10 10 10 10 10 10 11 01 00 11 00 1

21


1 00 10 11 00 11 00 11 01 00 11 00 10 10 11 00 1


0 10 10 11 01 01 00 10 11 01 00 10 11 01 01 01 0

22

Tabla A.6 Problema 2,MMax=8,C=2

1 01 01 01 01 01 01 00 11 00 10 10 10 10 10 10 1


1 01 01 00 11 01 01 00 11 01 00 11 00 10 10 10 1

23


1 00 11 01 00 11 00 11 01 00 10 11 00 11 00 10 1


1 01 00 11 01 00 11 00 10 10 10 11 00 11 01 00 1

24


1 01 00 11 01 00 10 10 11 01 01 01 00 11 00 11 0


1 00 10 10 11 00 11 01 00 10 11 00 11 01 01 00 1

25


1 01 01 01 01 01 00 11 01 00 10 10 10 11 00 10 1


0 10 10 11 01 00 11 01 00 10 11 01 01 01 01 00 1

26


0 11 01 01 00 11 01 00 11 01 00 11 00 11 01 01 0


1 00 11 00 10 11 01 00 11 01 00 10 11 01 00 10 1

27


1 01 01 01 01 01 01 00 10 10 10 10 11 00 10 10 1


0 10 10 10 11 01 01 00 11 00 10 11 01 01 01 00 1

28


1 00 10 11 00 10 11 01 00 10 11 00 10 11 01 01 0


1 00 11 01 01 01 01 01 00 10 10 11 01 00 11 00 1

29


1 01 01 01 00 10 11 01 01 01 00 11 01 00 11 00 1


1 01 00 10 10 10 11 01 00 11 01 00 11 00 10 11 0

30


1 01 01 01 01 00 11 00 10 10 11 00 11 01 00 10 1


0 10 11 00 11 01 00 10 11 01 01 01 01 00 11 00 1

31


1 00 10 11 01 00 11 01 00 11 01 01 01 00 11 00 1


1 01 01 01 01 00 11 01 00 11 00 11 01 00 10 11 0

32


0 10 10 11 01 00 10 11 00 10 11 01 01 00 11 01 0


0 11 01 00 10 10 10 11 01 01 01 01 00 11 00 11 0

33


1 01 01 00 10 11 01 00 11 01 00 10 10 10 11 00 1


1 01 01 00 11 01 01 00 11 01 01 00 10 11 01 00 1

34


0 10 11 01 01 01 00 11 00 10 11 01 01 01 01 01 0


1 00 10 11 01 01 00 11 01 01 00 11 00 10 10 10 1

35


1 01 01 00 10 10 11 01 00 11 01 00 11 01 00 10 1


0 11 01 01 00 10 11 01 01 00 10 10 11 01 01 00 1

36


0 11 00 10 11 01 01 01 00 11 00 11 01 01 01 01 0


0 11 00 11 01 00 11 00 11 01 01 00 11 01 01 01 0

37


1 00 10 10 10 11 01 01 00 10 10 10 11 01 01 01 0


0 11 01 00 11 01 01 00 11 01 01 00 10 10 10 10 1

38


1 01 01 01 00 10 11 00 11 00 10 11 00 11 00 10 1


0 11 01 00 11 00 10 10 10 11 01 01 00 10 11 00 1

39


1 00 10 10 11 00 10 11 01 01 01 00 11 00 10 11 0


1 01 00 10 10 11 00 10 11 00 11 00 11 00 11 01 0

40


0 10 11 01 01 01 01 01 00 11 00 11 00 10 10 11 0


0 11 00 10 10 11 00 11 01 00 11 01 01 01 00 10 1

41


1 00 10 11 00 11 01 01 00 10 11 00 10 11 01 01 0


0 10 10 10 11 01 01 00 10 10 11 01 00 11 00 11 0

42


1 01 00 11 01 00 11 00 10 11 01 00 10 10 11 00 1


1 01 01 00 10 11 00 10 10 10 11 00 11 01 00 11 0

43


1 00 11 00 10 11 00 10 10 11 01 00 11 00 11 01 0


1 01 01 00 11 01 01 00 11 00 10 10 11 01 00 11 0

44


0 10 10 11 01 01 00 11 01 00 10 10 11 01 00 11 0

45

B Soluciones a instancias de Boctor de tres celdas

Tabla B.1 Problema 1, C=3, MMax=6

0 1 00 0 10 1 00 1 00 1 00 1 00 0 10 0 10 0 11 0 00 0 11 0 01 0 01 0 01 0 01 0 0

46


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47


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0 1 01 0 00 1 00 1 00 1 00 1 00 0 10 0 10 0 10 0 11 0 00 0 10 0 10 0 10 1 01 0 0

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1 0 01 0 00 1 01 0 00 1 01 0 00 0 10 0 10 0 10 1 01 0 00 0 10 0 10 0 10 0 10 0 1


0 1 01 0 01 0 01 0 00 1 01 0 00 1 00 0 10 0 10 1 00 0 10 0 10 1 01 0 00 0 10 0 1

50


1 0 01 0 00 0 10 1 00 1 00 1 01 0 01 0 00 1 01 0 00 1 00 0 11 0 00 0 10 1 01 0 0


0 1 01 0 01 0 00 1 01 0 00 1 00 0 10 0 10 0 11 0 00 0 11 0 00 0 10 0 10 0 10 1 0

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1 0 00 1 01 0 00 0 10 0 10 1 01 0 00 1 00 0 10 1 00 1 00 0 11 0 01 0 00 1 00 0 1


0 1 01 0 00 0 10 0 10 1 00 0 11 0 01 0 00 1 01 0 00 1 01 0 00 0 10 0 10 1 00 0 1

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0 1 01 0 01 0 00 1 00 1 01 0 00 0 10 0 10 0 10 0 10 0 10 0 11 0 01 0 00 0 11 0 0


1 0 00 1 01 0 00 0 10 0 10 1 00 0 10 1 00 0 10 0 10 1 01 0 00 0 10 1 00 0 10 0 1

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1 0 01 0 00 1 00 0 10 0 11 0 00 0 10 0 10 0 10 0 10 1 00 0 10 0 10 0 11 0 01 0 0


0 0 11 0 01 0 00 1 00 1 01 0 00 1 00 0 11 0 00 1 00 0 11 0 00 1 01 0 00 0 10 1 0

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1 0 00 0 11 0 01 0 00 0 10 1 00 0 10 1 00 0 11 0 01 0 00 1 00 1 01 0 00 1 01 0 0


0 1 01 0 00 1 00 1 00 0 10 1 01 0 00 1 00 0 10 0 10 1 00 1 00 1 01 0 01 0 01 0 0

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0 1 01 0 00 0 10 1 00 1 00 0 10 1 01 0 00 1 00 0 10 0 10 1 00 1 00 1 00 1 01 0 0


1 0 01 0 01 0 00 1 01 0 00 1 00 1 00 1 00 1 00 0 10 0 10 0 11 0 00 0 10 0 10 1 0

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1 0 00 1 00 0 10 0 10 1 00 1 00 0 10 1 00 1 00 0 11 0 01 0 00 1 00 1 00 0 10 0 1


0 0 10 1 00 1 00 1 00 1 00 0 10 1 01 0 00 0 10 0 10 1 00 0 11 0 00 0 10 1 01 0 0

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1 0 00 1 00 1 01 0 00 1 01 0 01 0 00 1 00 0 11 0 00 0 10 1 00 0 10 0 11 0 01 0 0


0 1 00 1 01 0 01 0 00 0 10 0 11 0 01 0 01 0 00 0 10 1 00 0 10 1 01 0 00 1 00 0 1

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0 1 01 0 00 0 10 1 00 1 01 0 00 1 00 1 01 0 00 1 00 0 11 0 01 0 01 0 00 1 01 0 0


0 1 00 1 01 0 00 1 00 1 01 0 00 0 10 1 01 0 01 0 00 0 10 0 11 0 01 0 01 0 00 1 0

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1 0 01 0 00 1 00 1 01 0 01 0 00 0 10 1 00 1 01 0 01 0 00 1 00 0 11 0 01 0 00 1 0


1 0 00 1 00 1 00 1 01 0 00 1 00 1 01 0 00 1 00 0 10 0 10 0 11 0 00 0 10 0 10 0 1

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0 1 00 1 01 0 01 0 00 0 11 0 00 0 10 1 00 0 11 0 00 0 10 0 11 0 00 0 11 0 01 0 0


0 0 11 0 01 0 01 0 00 1 00 1 00 1 01 0 01 0 00 1 00 1 00 1 00 0 10 1 01 0 00 1 0

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1 0 01 0 00 1 01 0 01 0 00 0 10 0 10 0 11 0 00 1 00 0 10 0 10 1 00 0 10 0 10 1 0


0 1 00 1 00 0 10 0 10 1 00 1 00 0 10 1 01 0 01 0 01 0 01 0 00 0 10 0 11 0 01 0 0

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1 0 00 1 01 0 00 1 00 0 10 0 10 1 00 1 01 0 01 0 00 0 11 0 00 0 10 0 10 0 10 0 1


0 1 01 0 01 0 01 0 00 1 01 0 00 1 01 0 00 0 11 0 00 0 11 0 00 0 11 0 00 0 10 0 1

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0 0 10 1 00 0 11 0 00 0 10 1 01 0 00 1 00 1 01 0 00 0 10 0 10 1 00 0 10 0 10 1 0


0 0 10 0 10 1 00 1 00 1 01 0 00 0 10 1 00 0 11 0 01 0 00 1 00 1 01 0 01 0 01 0 0

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0 1 00 1 01 0 00 0 11 0 01 0 00 1 00 0 10 1 00 1 01 0 01 0 00 1 00 0 10 0 10 0 1


0 0 11 0 00 1 00 1 00 1 01 0 00 0 10 0 10 1 01 0 00 1 00 0 11 0 00 0 10 0 11 0 0

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0 0 11 0 00 1 01 0 00 0 10 1 00 1 00 1 00 0 11 0 01 0 00 0 10 1 01 0 00 1 00 0 1

66

C Soluciones a nuevas instancias de otros autores

Tabla C.1 Instancia 1, Problema 1, C=2, MMax=3

0 10 10 11 01 0


0 11 00 10 11 0


0 0 10 1 00 1 01 0 01 0 0


1 0 00 1 00 0 10 0 11 0 0

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1 00 10 11 01 0


1 00 10 11 01 0


0 0 10 1 00 1 00 0 11 0 0


0 11 00 11 01 0

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0 10 10 10 11 0


0 1 00 0 10 1 01 0 01 0 0


1 01 00 11 00 10 1


0 11 00 10 11 00 1

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0 11 01 01 01 01 0


0 0 10 1 01 0 01 0 00 0 10 1 0


1 0 01 0 01 0 00 0 10 0 10 0 1


0 0 10 0 10 1 00 0 10 0 11 0 0

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1 0 00 0 10 1 00 0 10 0 10 0 1


0 0 1 0 00 0 0 0 10 0 0 1 00 0 0 0 11 0 0 0 00 1 0 0 0


0 10 10 11 01 00 11 0


1 01 00 10 10 11 01 0

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0 10 11 01 01 01 00 1


1 0 00 1 01 0 00 1 00 0 10 0 11 0 0


1 01 01 00 10 11 00 10 1

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0 10 11 00 10 11 00 11 0


1 01 01 01 00 11 00 10 1


0 10 11 01 00 10 10 11 0

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0 0 11 0 00 0 10 1 01 0 01 0 00 1 00 1 0


0 1 00 0 10 0 10 1 00 1 01 0 00 0 10 0 1


0 11 00 10 11 01 00 11 0

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1 01 01 00 10 11 01 00 1


1 0 01 0 00 1 00 0 10 0 10 1 00 1 00 0 1


1 0 00 1 01 0 00 0 10 0 10 0 11 0 00 1 0

75

solving the manufacturing cell design problem using …

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