soundness amplification
DESCRIPTION
Soundness Amplification. disclaimer. נדבר היום על הסתברויות ומשחקים אקראיים, אבל אין במצגת היום אלגוריתמים אקראיים. הטלת מטבע. "בר-מוח" טוען שהוא יכול לחזות את תוצאת הטלת המטבע. אחרי הטלה אחת, יש לו סיכוי של 1/2 להצליח. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Soundness Amplification
disclaimer
נדבר היום על הסתברויות ומשחקים אקראיים, במצגת היום אלגוריתמים אקראיים.איןאבל
הטלת מטבע
"בר-מוח" טוען שהוא יכול לחזות את תוצאת •הטלת המטבע.
להצליח.1/2אחרי הטלה אחת, יש לו סיכוי של • בין קוסם אמיתי שמצליח תמיד להבדילכדי •
לחזות את הטלת המטבע לבין דרדס שחצן נבצע lהטלות .
l(1/2)הסיכוי של "בר-מוח" להצליח בכולן הוא •
)אקספוננציאלי* קטן...(
אמרתי לך
שיצא עץ!
קוביה
לא"בר-מוח" טוען שהוא יכול לחזות איזה מספר •יצא בקוביה
להצליח.5/6אחרי הטלה אחת, יש לו סיכוי של • בין קוסם אמיתי שמצליח תמיד לבין להבדילכדי •
. הטלותlדרדס שחצן נבצע l(5/6)הסיכוי של "בר-מוח" להצליח בכולן הוא •
)שוב - אקספוננציאלי* קטן...(
סמוך עלי –
לא יצא 6!
מתחילים עם soundness
"חלש"
MaxCut
.m קיים חתך בגודל מקסימלי G שבגרף נתון•-קשה.NP הוא MaxCut-קירוב ל-16/17משפט: •לכן זה יהיה "מרשים" אם רפיקי מצא חתך עם יותר •
קשתותm(16/17)מ-אבל רפיקי לא מסכים לגלות לנו את החתך שהוא •
מצא... )תירוצים?(
MaxCut
רפיקי רוצה להוכיח לנו שהוא מצא חתך בגודל • בגרף בלי לגלות לנו את החתך:m )כמעט(
חתך בגרףקובערפיקי –מכסה את הגרף–
G
MaxCut
m רפיקי רוצה להוכיח לנו שהוא מצא חתך בגודל )כמעט(•בגרף בלי לגלות לנו את החתך:
חתך בגרףקובערפיקי –מכסה את הגרף–אנחנו בוחרים קשת וחושפים–
הצמתים2את בלימה הסיכוי של רפיקי לנצח –
?למצוא חתך מקסימלי
בין חתך באמת להבדילכדי •גדול לסתם חתך אקראי
לחזור על אנחנו צריכים...המשחק הרבה פעמים
G
כל קוף יכול לנצח
בהסתברות ...1/2לפחות
MaxCut
פעמים:lחוזרים על המשחק 0.99mמה הסיכוי של רפיקי לנצח ב-•
מהמשחקים, בלי למצוא חתך יותר גדול ?m(16/17)מ-
צ'רנוף:•
Pr[# wins > m*l] =
Pr[# wins > 17/16 * )16/17(m*l] ≤
Pr[# wins > 17/16 * E)# wins(] < CE)# wins(
< Cl/2
G
Sequential Amplification
אולי אפשר•לעשות משהו
יותר יעיל?
שאלה
תשובה
שאלה
תשובה
שאלה
תשובה
Parallel Amplification
היינו רוצים:•
למשל: •
הרבה שאלות
הרבה תשובות
איך היית צובע את u1,u3,u8?
(0,1,0)
משחק הטלפתיה
אקראיים כך ש-y ו-xאני שולח לאליס ובוב •
Pr)xy = 11( = Pr)xy = 01( = Pr)xy = 10( = 1/3 לדבר ביניהםאסורלאליס ובוב •אליס ובוב "מנצחים" אמ"ם:•
x*a ≠ y*bx
y
b
a
משחק הטלפתיה
Pr)xy = 11( = Pr)xy = 01( = Pr)xy = 10( = 1/3x*a ≠ y*bאליס ובוב "מנצחים" <-> •Pr)Alice & Bob win( = 2/3טענה: •""הוכחה•
x
y
b
a אליס ובוב נכשל על:אומרים:
(1,1)(1,1)
(0,1)(1,0)
(1,0)(0,1)
משחק הטלפתיה?המשחק פעמייםמה קורה אם אנחנו משחקים את •
Pr)A & B win twice( = )2/3(2 = 4/9
?משחק אחד כפולמה קורה אם משחקים •
x1 , x
2
y1, y2
b1, b2
a1, a
2
?טלפתיה - דוגמא נגדיתמה קורה אם משחקים משחק אחד כפול?•טענה: אם אליס ובוב משחקים•
(a1, a2( = )x2, x1)-ו (b1, b2( = )y2, y1), לנצח במשחק כפול2/3אזי יש הסתברות של
""הוכחה•אליס ובוב נכשל על:
אומרים:
(1,1)(1,1)
(0,1)(1,0)
(1,0)(0,1)
אליס ובוב אומרים:
נכשל על:
(1,1)(1,1)
(0,1)(1,0)
(1,0)(0,1)
אליס ובוב מנצחים במשחק
"הראשון"אמ"ם הם
מנצחים במשחק "השני"
?טלפתיה - דוגמא נגדית
משחק הטלפתיה הוא דוגמא לבעיות שיכולות לקרות •CSGE ל-amplificationכשעושים
CSGV ל-amplificationלכן, נדבר רק על •
וגם את זה נעשה בזהירות... :-(•
Amplification for CSGV
:CSGVהגדרה פורמלית עבור •
הרבה שאלות
הרבה תשובות
V = צמתיםΣ = צבעים
E = קשתות
Φ = אילוצים
Vl = -יות של צמתיםlΣl = -יות של צבעיםl
El = {)u,v( : ∃ i,j s.t. ui = vj or …)ui,vj( ∈ E}
Φl)u,v( = {)a,b(: ∀ i,j s.t. ui=vj → ai=bj and …
)ui,vj( ∈ E → )ai,bj( ∈ Φ)ui,vj(}
צביעה קונסיסטנטי
ת
מקיימת אילוצים מקוריים
Amplification for CSGV
דוגמא:•
הרבה שאלות
הרבה תשובות
1 2
3
1,1 1,2 1,3
2,1 2,2 2,3
3,33,23,1
Amplification for CSGV
דוגמא:•
הרבה שאלות
הרבה תשובות
1 2
3
1,1 1,2 1,3
2,2 2,3
3,3
Amplification for CSGV
דוגמא:•
הרבה שאלות
הרבה תשובות
1 2
3
1,1 1,2 1,3
2,2 2,3
3,3
דוגמא:•
Amplification for CSGVהרבה שאלות
הרבה תשובות
1 2
3
1,1 1,2 1,3
2,2 2,3
3,3
gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1]
gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1]טענה: •
הוכחה:•שלמות:–
בלי להפר אף כל הצמתים צובעת את A: V→Σאם צביעה אילוץ, אז אפשר להרחיב אותה ל-
Al)v( = )A)v1(,A)v2(,…A)vl((
בלי להפר אף אילוץVl צובעת את כל הצמתים ב-Alהצביעה
gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1]
gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1]טענה: •
הוכחה:•נאותות:–
צמתים נגדיר צביעה δl מ-Al: Vl-→Σlבהנתן צביעה
A)vi( = )Al)v((i
Al בצבע שמתאים לו ע"י Vז"א שננסה לצבוע כל צמת ב-
vשאותו צומת ב-לא יכול להיות בגלל האילוץ מהסוג הראשון –Alע"י ביותר מצבע אחד צבוע
בגלל האילוץ מהסוג השני מובטח שכל הצבעים שצבועים –Φמקיימים את האילוצים ב-
"ננסה" – כי לא כל
הצמתים Alצבועים ע"י
gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1]
צמתים δ סה"כ לא יכול להיות שהצלחנו לצבוע פחות מ-–:Vב-
1 2
3
1,1 1,2 1,3
2,1 2,2 2,3
3,33,23,1
gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1]
צמתים δ סה"כ לא יכול להיות שהצלחנו לצבוע פחות מ-–:Vב-
1 2
3
1,1 1,2 1,3
2,1 2,2 2,3
3,33,23,1