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EngineeringONLINE LIBRARY

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Dieter Arnold' Heinz IsermannAxel Kuhn • Horst Tempelmeier (Hrsg .)

Mit 484 Abbildungen

Handbuch

0 Springer

und 77 Tabellen

Gedruckt auf s‚urefreiem Papier SPIN 10662707 68/3020 ra - 5 4 3 2 1 0

PROF. DR.-ING. DR. H .C. DIETER ARNOLD

PROF. DR.-ING. AXEL KUHN

Institut f•r F•rdertechnik und Logistiksysteme

Fraunhofer Institut MaterialflussUniversit‚t Karlsruhe (TH)

und Logistik (IML)Gotthard-Franz-Str. 8, Geb. 50 .38

Lehrstuhl Fabrikorganisation76128 Karlsruhe

Universit‚t Dortmunddieter.arnold@mach .uni-karlsruhe.de

Joseph-von-Fraunhofer-Straƒe 2-4arnold@ifl.uka.de

44227 Dortmundkuhn@imlfhg.d e

PROF. DR. HEINZ ISERMANN

Seminar f•r Logistik und Verkehr

PROF. DR. HORST TEMPELMEIER

FB Wirtschaftswissenschaften

Seminar f•r Allgemeine BetriebswirtschaftslehreJohann Wolfgang Goethe-Universit‚t

und ProduktionswirtschaftFrankfurt/Main

Universit‚t zu K•lnMertonstraƒe 17

Albertus-Magnus-Platz 160054 Frankfurt/Main

50923 K•lnisermann@wiwi.unifrankfurt.d e

tempelmeier@wiso.uni-koeln.de

ISBN 3-540-41996-9 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

Die deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Handbuch Logistik! Hrsg. : Dieter Arnold . . . - Berlin ; Heidelberg ; New York ; Barcelona ; Hongkong ; London ;Mailand ; Paris ; TokioSpringer, 2002

(VDI-Buch)ISBN 3-540-41996-9

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Einbandgestaltung : Friedhelm Steinen-Broo, Estudio Calamar, Pau/SpanienHerstellung: Renate AlbersSatz : medio Technologies AG, Berlin

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A 3-77

nisation in Produktion und Logistik. 2. Aufl . Stuttgart: Schäffer-Poeschel 1995

[Pfo96] Pfohl, H.-Ch.: Logistiksysteme. 5. Aufl . Berlin: de Gruyter 1996

[Por90] Porteus, E.L.: Stochastic inventory the-ory. In: Heyman, D.P.; Sobel, M.J. (eds.): Hand-books in operations research and mana gement science. Vol. 2. Amsterdam: Elsevier 1990, 605–652

[Rob91] Robrade, A.D.: Dynamische Einprodukt- Lagerhaltungsmodelle bei periodischer Be-standsüberwachung. Heidelberg: Physica 1991

[Sch81] Schneeweiß, Ch.: Modellierung indus-trieller Lagerhaltungssysteme. Berlin: Springer 1981

[Sil98] Silver, E.A.; Pyke, D.F.; Peterson, R.: Inven-tory management and production planning and scheduling. 3. Aufl . New York: Wiley & Sons 1998

[Tem99] Tempelmeier, H.: Material-Logistik – Modelle und Algorithmen für die Produktions-planung und -steuerung und das Supply Chain Management. 4. Aufl . Berlin: Springer 1999

A 3.5 Paletten- und Container beladung

A 3.5.1 Einführung

Ladungsträger wie Paletten und Container dienen der Zusammenfassung von Transport- und Lager-gütern (Logistikgütern) zu größeren logistischen Einheiten. Sie ermöglichen nicht nur die gemein-same Behandlung mehrerer Güter in logistischen Prozessen, sondern bereiten auch – bei der Ver-wendung einheitlicher Ladungsträger und modu-lartig aufgebauter Ladungsträgersysteme – den Weg für eine Standardisierung und Automatisie-rung logistischer Prozesse. Damit tragen sie in er-heblichem Maße zu einer Reduktion der Logis- tikkosten und zu einer Verbesserung des Logistik-service bei. Allerdings lassen sich die Kostensen-kungs- und Leistungsentwicklungspotenziale nur dann vollständig erschließen, wenn auch die Bil-dung der einzelnen logistischen Einheiten mit der größtmöglichen Sorgfalt geschieht.

Von den vielfältigen Problemen der Paletten- und Containerbeladung können hier nur einige wenige besprochen werden. Abschnitt A 3.5.2 ist ihrer gemeinsamen, allgemeinen Grundstruktur gewidmet. Außerdem werden die wichtigsten Pro-blemtypen vorgestellt. Abschnitt A 3.5.3 befasst sich zunächst mit dem Grundproblem der Palet-

tenbeladung, bei dem es im Wesentlichen darum geht, auf der durch die Palettenabmessungen de-fi nierten Packfl äche möglichst viele quaderför-mige Packstücke mit identischen Abmessungen unterzubringen. Ergänzende Ausführungen be-ziehen sich auf die Nutzung des über der Palette aufgespannten Stauraums. Den zentralen Gegen-stand von Abschn. A 3.5.4 bildet das entspre-chende Grundproblem der Containerbeladung. Dieses beinhaltet die Beladung eines Containers mit einem schwach heterogenen Packstückvorrat. Die Arbeit schließt in Abschn. A 3.5.5 mit Bemer-kungen über kommerzielle Software zur Palet-ten- und Containerbeladung und ihrem Einsatz in der Praxis.

A 3.5.2 Grundlagen

Paletten- und Containerbeladungsprobleme (P & C-Beladungsprobleme) besitzen eine einheit-liche Grundstruktur, die sich wie folgt zusammen-fassen lässt:– Es existiert eine Menge von Paletten bzw. Con-

tainer (allgemein auch als Ladungsträger be-zeichnet), die jeweils einen quaderförmigen, nach Breite, Länge und Höhe defi nierten Stau-raum bereitstellen (Stauraumangebot).

– Es existiert eine Menge von Stückgütern (im Folgenden auch Packstücke genannt) gegebe-ner, unveränderbarer Formen und Abmessun-gen, mit denen die Paletten bzw. Container be-laden werden sollen (Stauraumbedarf).

– Die Beladung soll so erfolgen, dass das Stau-raum angebot möglichst gut genutzt wird.

– Gesucht ist ein Plan (Stauplan), der angibt, wie die Packstücke den Ladungsträgern zuzuord-nen und innerhalb der Stauräume anzuordnen sind.

Aufbauend auf dieser allgemeinen Grundstruk-tur können verschiedene Merkmale zur Bildung von speziellen Problemtypen herangezogen wer-den [Dyc90]. Nach der Anzahl der Paletten bzw. Container, die das Stauraumangebot ausmachen, lassen sich P&C-Beladungsprobleme mit einem Ladungsträger (engl.: single pallet/container pro-blems) und solche mit mehreren – i. d. R. als iden-tisch unterstellten – Ladungsträgern (engl.: mul-tiple pallet/container problems) unterscheiden. Bei Beladungsproblemen mit einem Ladungsträ-ger reicht die Stauraumkapazität typischerweise nicht aus, den gesamten Packstückvorrat unter-zubringen, so dass eine Auswahl hinsichtlich der zu ladenden Packstücke getroffen werden muss.

Paletten- und Containerbeladung

Planung logistischer SystemeA 3-78

Die Nutzung des Stauraumangebots ist dann opti-mal, wenn Auswahl und Anordnung der Packstü-cke so erfolgen, dass möglichst wenig Stauraum des Ladungsträgers ungenutzt bleibt. Stehen dage-gen mehrere Ladungsträger zur Verfügung, wird üblicherweise unterstellt, das Stauraumangebot sei ausreichend für die Aufnahme des gesamten Packstückvorrats. Eine optimale Stauraumnut-zung liegt dann vor, wenn die Anzahl der zur Un-terbringung aller Packstücke benötigten Ladungs-träger minimal ist.

Im Hinblick auf die Packstücke kann man Pro-bleme identifi zieren, bei denen die Packstücke entweder ausschließlich regelmäßige Formen be-sitzen (Beladung einer Palette mit Paketen oder mit zylinderförmigen Gebilden wie Farb- oder Konservendosen), oder auch unregelmäßige Pack-formen haben (Beladung eines Containers mit Bruchsteinen). Bei den meisten Problemen der Paletten- und Containerbeladung weisen die Packstücke eine einheitliche regelmäßige Form (Quader, Zylinder) auf bzw. die Probleme lassen sich so abgrenzen, dass diese Eigenschaft erfüllt ist. Sind sämtliche Packstückabmessungen iden-tisch, so nennt man das betreffende Beladungs-problem homogen, anderenfalls heterogen. Spezi-ell von einem Beladungsproblem mit schwach he-terogenem Packstückvorrat spricht man, wenn bei einem heterogenen Problem die Packstücke in einige wenige Klassen eingeteilt werden können, innerhalb derer die Abmessungen übereinstim-men. Ist eine solche Einteilung nicht möglich, so liegt ein Beladungsproblem mit stark heterogenem Packstückvorrat vor.

Wenn Paletten- und Containerbeladungspro-bleme – trotz der gemeinsamen Grundstruktur – in der Literatur voneinander unterschieden und getrennt behandelt werden, so liegt dies daran,

dass sich Palettenbeladungsprobleme oft unter Ver nachlässigung einer räumlichen Dimension auf zweidimensionale Anordnungsprobleme in der Ebene reduzieren lassen, während bei Contai-nerbeladungsproblemen die vertikale Ausdeh-nung von Stauraum und Packstücken explizit zu berücksichtigen ist. Die Abstraktion von der drit-ten räumlichen Dimension ist bei Palettenbela-dungsproblemen der Praxis möglich, wenn es sich um einen homogenen oder schwach hetero-genen Packstückvorrat handelt. In diesem Fall erfolgt die Beladung der Paletten regelmäßig in Lagen (Bild A 3.5-1). Jede Lage deckt die Stau-raumgrundfl äche möglichst vollständig ab und wird durch einen einzigen Packstücktyp gebildet. Sämtliche Packstücke einer Lage weisen die glei-che vertikale Orientierung auf, d. h., alle Pack-stücke ruhen auf der gleichen Packstückfl äche (Bodenfl äche, Seitenfl äche oder Endfl äche). Die Lage erhält damit eine einheitliche Höhe, so dass sich auf ihrer Oberseite eine weitere Lage anord-nen lässt. Beim Übereinanderstapeln mehrerer Lagen entsteht ein Lagenstapel, der die Packraum-höhe ggf. maximal ausschöpft. Die einzelnen La-gen eines solchen Stapels können dabei identisch sein, sie können aber auch voneinander abwei-chen, beispielsweise weil sie auf unterschiedli-chen Packstückorientierungen beruhen oder weil sie unterschiedliche Packstücktypen enthalten.

Auf Containerbeladungsprobleme der Praxis ist diese Vorgehensweise nicht ohne weiteres über-tragbar, da auch bei Beladungsproblemen mit schwach heterogenem Packstückvorrat kaum La-gen gebildet werden können, die den Stauraum-boden vollständig abdecken. Verbleibende Flä-chen sind mit anderen Packstücken zu belegen, so dass die ursprüngliche Anordnungsfl äche fort-gesetzt in Teilfl ächen unterschiedlicher Abmes-

Bild A 3.5-1 Lagenweise Anordnung von Packstücken auf einer Palette. a Turmstapelung; b Verbundstapelung

1000 b a 1200 1000 1200

A 3-79

sungen fragmentiert wird, die sich zudem noch auf unterschiedlichen Ebenen des Stauraums be-fi nden.

Die geschilderten Problemeigenschaften prä-gen die Lösungsverfahren, die für Paletten- und Containerbeladungsprobleme zur Verfügung ste-hen, auf unterschiedliche Weise. Im Folgenden werden die Grundzüge der Verfahren vor dem Hintergrund des jeweiligen Standardproblems dargestellt.

A 3.5.3 Palettenbeladung

A 3.5.3.1 Homogenes, zweidimensionales Packproblem (Standardproblem)

Problemformulierung

Die formale Struktur des Standardproblems der Palettenbeladung lässt sich wie folgt charakterisie-ren: Auf einem „großen“ Rechteck der Breite B und der Länge L (B £ L) sind möglichst viele

„kleine“ Rechtecke der Breite b und der Länge l (b £ l) anzuordnen, und zwar so, dass(a) alle kleinen Rechtecke innerhalb des großen

Rechtecks liegen und(b) sich die kleinen Rechtecke nicht (auch nicht

teilweise) überdecken.

Gesucht ist die Anzahl der kleinen Rechtecke, die unter Beachtung dieser Bedingungen maximal auf dem großen Rechteck untergebracht werden können, sowie eine Vorschrift, die angibt, wie die kleinen Rechtecke zu positionieren sind. Die ses Problem bezeichnet man als homogenes, zwei dimensionales Packproblem (H2DPP). Jede konkrete Ausprägungen des H2DPP lässt sich vollständig durch das Tupel P = (B, L, b, l) beschrei-ben.

Für das große Rechteck, das die Palettenfl äche bzw. die Stauraumgrundfl äche repräsentiert, wird im Folgenden der Begriff Packfl äche verwendet. Die kleinen Rechtecke werden zur Vereinfachung des Sprachgebrauchs kurz Packstücke genannt, obwohl sie strenggenommen den Grundfl ächen der Packstücke entsprechen. Jede Positionierungs-vorschrift, die über die Lage der Packstücke auf der Packfl äche Auskunft gibt und den Bedingun-gen (a) und (b) genügt, repräsentiert eine (zuläs-sige) Lösung des Problems. Sie wird im Folgen-den auch als (zulässiges) Packmuster bezeichnet. Ist die Anzahl der darin angeordneten Packstü-cke maximal, so heiße das Packmuster optimal. Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit sei

in Bezug auf die Abmessungen der Packfl äche und der Packstücke b £ B und l £ L unterstellt. Da-mit ist die Existenz sowohl einer zulässigen als auch einer optimalen Lösung gesichert.

Die folgende Darstellung beschränkt sich auf Packmuster, bei denen sämtliche Packstücke so angeordnet sind, dass ihre Kanten parallel zu den Packfl ächenkanten verlaufen. Derartige Packmus-ter bezeichnet man als orthogonal. Wenn ein Pack-stück mit der längeren Seite parallel zur länge-ren Seite der Packfl äche plaziert wird, sei die An-ordnung längsorientiert genannt. Wird die Seite der geringeren Ausdehnung parallel zur längeren Seite der Packfl äche ausgelegt, liege eine querori-entierte Anordnung vor.

Zwar besteht grundsätzlich die Möglichkeit, dass bei gewissen Ausprägungen des H2DPP nicht orthogonale Packmuster eine bessere Nut-zung der Packfl äche erlauben (für ein Beispiel s. [Ise87: 239]). Nichtorthogonale Packmuster wer-den trotzdem nicht weiter berücksichtigt, zum ei-nen, weil Problemausprägungen, bei denen das vorkommen kann, selten sind, zum anderen, weil nichtorthogonale Packmuster für die Praxis der Palettenbeladung kaum Bedeutung haben. Sie sind vergleichsweise schlecht zu packen und be-inhalten ein erhöhtes Risiko zur Beschädigung der Packstücke beim Transport und beim Um-schlag.

Basisanordnungen und effi ziente Packfl ächen abmessungen

Es sei zunächst angemerkt, dass es zur vollstän-digen Beschreibung der Lage eines Packstücks auf der Packfl äche ausreicht, die Lage einer Ecke des Packstücks sowie dessen Orientierung anzu-geben. Im Folgenden wird in diesem Zusammen-hang stets auf den Punkt (i,j) Bezug genommen, der – bei einer gegebenen Orientierung – von der linken unteren Ecke der Packfl äche eingenom-men wird. Dieser Punkt sei durch seine Breiten-koordinate i und seine Längenkoordinate j (i, j ganzzahlig) charakterisiert, wobei der Koordina-tenursprung (0,0) in der linken unteren Ecke der Packfl äche liege. Man sagt auch, ein Packstück sei im Punkt (i,j) (längsorientiert oder querori-entiert) angeordnet. Aus dieser Information las-sen sich die Koordinaten der Punkte, die von den übrigen Ecken der Packstückgrundfl äche belegt werden, unmittelbar ableiten.

Zur Bestimmung eines optimalen (orthogona-len) Packmusters für ein H2DPP kann man sich auf die Betrachtung der sog. Basisanordnungen

Paletten- und Containerbeladung

Planung logistischer SystemeA 3-80

[Dow84; Ise98] beschränken. Bei ihnen ist zu-nächst ein Packstück im Koordinatenursprung (0,0) angeordnet. Alle übrigen Packstücke befi n-den sich in solchen Positionen, aus denen sich kein Packstück weiter nach links oder weiter nach unten verschieben lässt. Die Punkte (i,j), die bei Zugrundelegung derartiger Basisanordnun-gen überhaupt für eine Anordnung der Packstü-cke in Betracht kommen, seien als Anordnungs-punkte bezeichnet. Für ein H2DPP der Ausprä-gung (B, L, b, l) sind die Menge KB der Breiten- koordinaten und die Menge KL der Längenkoor-dinaten der Anordnungspunkte durch alle inner-halb der Breite B bzw. Länge L der Packfl äche zulässigen Summen von ganzzahligen Vielfachen der Packstückbreite b und der Packstücklänge l gegeben, d. h.

K k k pb ql k B – b p,q NB B B B= = + £ Œ{ }; ; 0

(A 3.5-1)

bzw.

K k k mb nl k L – b m,n NL L L L= = + £ Œ{ }; ; 0

(A 3.5-2)

(N0 ist die Menge der natürlichen Zahlen ein-schließlich 0). Daraus bestimmt sich die Menge K der Anordnungspunkte als

K k k k k K K k B – l k L – l= ( ) ( )Œ £ Ÿ £{ }B L B L B L B L, , ; .

(A 3.5-3)

Für die Ausprägung P = (B = 800, L = 1200, b = 175, l = 325) des H2DPP ergeben sich

KB = {175, 325, 350, 500, 525},

KL = {175, 325, 350, 500, 525, 650, 675, 700, 825, 850, 875, 975, 1000, 1025}.

Die Menge der Anordnungspunkte ist in Bild A 3.5-2 graphisch dargestellt. Die Punkte (500,975), (500,1000), (500,1025), (525,975), (525,1000), (525,1025) gehören nicht dazu, da sie weder die längsorientierte noch die querori-entierte Anordnung einer Packfl äche erlauben.

Bild A 3.5-2 macht auch deutlich, dass die Breite B (bzw. die Länge L) der Packfl äche nicht immer vollständig durch Kombinationen der Packstückbreite b und der Packstücklänge l aus-geschöpft werden kann. Die größte Ausnutzung der Breite ergäbe sich, wenn in Punkten mit der Breitenkoordinate i = 525 noch eine Längsanord-nung von Packstückgrundfl ächen erfolgte. Dann würde die Breite der Packfl äche bis zur Breiten-koordinaten B‘ = 525+175 = 700 beansprucht. In bezug auf die Packfl ächenlänge L ist dagegen grundsätzlich noch eine volle Nutzung möglich, da die Queranordnung einer Packfl äche in einem Punkt mit der Längenkoordinate j = 1025 eine Be-anspruchung der Packfl ächenlänge bis zur Län-genkoordinaten L’ = 1025+175 = 1200 bewirkt. Allgemein lassen sich die – in dem dargestellten Sinn – maximal nutzbare Packfl ächenbreite B’

Bild A 3.5-2 Menge der Anordnungspunkte für die Ausprägung P = (800, 1200, 175, 325) des H2DPP

0

175

325

350

1025

100097

5

700

675

650

875

850

825

525

500

0

175

325350

500525

L = 1200

B = 800

700

A 3-81

und die maximal nutzbare Packfl ächenlänge L’ wie folgt aus den Daten (B, L, b, l) des H2DPP ermitteln:

B k k pb ql; k B; p q NB B B' max= = + £ Œ( ), 0

(A 3.5-4)

L k k mb nl; k L; m n NL L L' max .= = + £ Œ( ), 0

(A 3.5-5)

B’ ¥ L’ bezeichnet man auch als die in Bezug auf (B, L, b, l) effi zienten Packfl ächenabmessun-gen. Sie betragen bei dem betrachteten Beispiel 700 mm ¥ 1200 mm. In Bild A 3.5-2 ist der Be-reich schraffi ert dargestellt, der – bei Verwen-dung von Basisanordnungen – nicht von Packstü-cken belegt werden kann. Die beiden Ausprägun-gen (B, L, b, l) und (B’, L’, b, l) eines H2DPP sind äquivalent, d. h., die Anzahl der Packstückgrund-fl ächen b ¥ l, die man maximal auf einer Pack-fl äche mit den Abmessungen B ¥ L unterbringen kann, ist identisch mit derjenigen, die man maxi-mal auf einer Packfl äche mit den zugehörigen ef-fi zienten Abmessungen B’ ¥ L’ anordnen kann. Je-des für (B’, L’, b, l) optimale Packmuster ist auch für (B, L, b, l) optimal, so dass man bei der Lö-sung eines H2DPP anstelle der ursprünglichen Daten (B, L, b, l) auch die Daten des äquivalen-ten Ersatzproblems (B’, L’, b, l) mit den zugehö-rigen effi zienten Packfl ächenabmessungen B’ ¥ L’ zugrunde legen kann.

Mit ähnlichen Überlegungen lassen sich An-ordnungspunkte als redundant identifi zieren und damit aus der Menge K eliminieren. Für jeden Anordnungspunkt der betrachteten Ausprägung (800, 1200, 175, 325) des H2DPP (Bild A 3.5-2) mit der Längenkoordinaten j = 650 gilt etwa, dass von den verbleibenden (1200-650 =) 550 Längen-einheiten der (effi zienten) Packfl ächenlänge ma-ximal noch 525 Längeneinheiten genutzt werden können (dies entspricht dem größten Element aus KL, das kleiner oder gleich 550 ist). Zu jeder Anordnung in einem Punkt (i,j = 650) lässt sich deshalb eine Anordnung im Punkt (i,j = 675) an-geben, der die Anordnung einer gleich großen Anzahl von Packstücken auf der Packfl äche er-laubt. Alle Anordnungspunkte (i,j = 650) sind dementsprechend redundant und können aus KL eliminiert werden. Entsprechendes gilt (bei der betrachteten Problemausprägung) für Anord-nungspunkte mit i = 325, 500 und j = 825, 975, 1000. Von den ursprünglich 84 Anordnungspunk-ten erweisen sich damit lediglich 43 als nicht red-undant. Allgemein bezeichnen wir die Menge der nicht redundanten Anordnungspunkte im Fol-

genden mit KNR(KNR Õ K). (Eine systematische Darstellung der Vorgehensweise zur Identifi zie-rung redundanter Anordnungspunkte fi ndet sich in [Dow84]).

Modellierung

Zur Erstellung eines Modells für das H2DPP ord-net man nun jedem (nicht redundanten) An-ordnungspunkt (i,j) (maximal) 2 Binärvariablen x(i,j) und y(i,j) zu, die zum Ausdruck bringen sollen, ob in dem betreffenden Punkt ein Pack-stück längsorientiert oder querorientiert ange-ordnet werden soll. Insbesondere gelte

x i j,

,

,

( )=Ï

ÌÔ

ÓÔ

1

0

wenn auf dem Anordnungspunkt (i, j) ein Packstück längsorientiert angeordnet wird,sonst

(A 3.5-6)

für alle mitNRi j K j L l, –( )Œ £

und

y i j,

,

,

( )=Ï

ÌÔ

ÓÔ

1

0

wenn auf dem Anordnungspunkt (i, j) ein Packstück querorientiert angeordnet wird,sonst

(A 3.5-7)

für alle mitNRi j K i B l, – .( )Œ £

Da in jedem Anordnungspunkt (i,j) höchstens eine Packstückgrundfl äche – unabhängig von ihrer Orientierung – angeordnet werden kann, muss offensichtlich dafür gesorgt werden, dass

x i, j y i, j i, j K( )+ ( )£ ( )Œ1 für alle NR (A 3.5-8)

erfüllt ist. Außerdem ist zu gewährleisten, dass die durch das in (i,j) angeordnete Packstück „über-deckten“ Anordnungspunkte nicht zur Anord-nung weiterer Packstücke gewählt werden. Wird das Packstück in (i,j) längsorientiert angeordnet, so ist die zugehörige Menge der K i, jx ( )– neben (i,j) – unzulässigen Anordnungspunkte durch

K i, j k kk k K

i k i b j k j lx B L

B LNR

B L( )= ( ) ( )Œ

£ < + £ < +

ÏÌÔ

ÓÔ

ÏÌÔ

ÓÔ,

, ,

,

(A 3.5-9)

festgelegt. Bei einer querorientierten Anordnung ist die Menge K i, jy ( ) der unzulässigen Anord-nungspunkte entsprechend

K i, j k kk k K

i k i l j k j by B L

B LNR

B L( )= ( ) ( )Œ

£ < + £ .< +

ÏÌÔ

ÓÔ

ÏÌÔ

ÓÔ,

, ,

, (A 3.5-10)

Paletten- und Containerbeladung

Planung logistischer SystemeA 3-82

lerdings die Anzahl der Variablen und Restrikti-onen des Optimierungssystems und mit ihnen auch der Rechenaufwand sehr schnell auf ein pro-hibitives Niveau, so dass dieser Ansatz nur in Aus-nahmefällen und bei vergleichsweise großen Pack-stückabmessungen erfolgversprechend erscheint. Spezielle exakte Lösungsverfahren, welche die spezielle Struktur des H2DPP berücksichtigen, werden in [Dow85; Dow87; Exe88; Ise87] vorge-schlagen.

Heuristische Lösungsverfahren

Für die Praxis der Palettenbeladung kommt den exakten Lösungsansätzen nur eine geringe Be-deutung zu, da mittlerweile heuristische Verfah-ren existieren, die in den meisten Fällen unmit-telbar eine optimale Lösung liefern, und diese – in Verbindung mit geeigneten Verfahren zur Be-stimmung oberer Schranken für den Zielwert – auch als optimal identifi zieren können. Viele der zur Lösung des H2DPP vorgeschlagenen Heu-ristiken lassen sich als sog. Blockheuristiken cha-rakterisieren. Ein Block entsteht dadurch, dass Packstücke in gleicher Orientierung nebeneinan-der und/oder übereinander zu einem größeren Rechteck zusammengefügt werden. Durch eine (zumindest partielle) Enumeration der auf einer Packfl äche möglichen Kombinationen von Blö-cken unterschiedlicher Größen versucht man, ein Packmuster, das eine möglichst gute Nutzung der Packfl äche erlaubt, zu fi nden.

Bei der auf Smith/De Cani zurückgehenden 4-Block-Heuristik [Smi80], anhand derer im Fol-genden – stellvertretend für alle Methoden die-ser Klasse – die Vorgehensweise der Blockheuris-

Damit lässt sich das binär-lineare Optimierungs-system (A 3.5-11) bis (A 3.5-15) für das H2DPP formulieren [Ise98: 254–256; Nau95: 124–126]. Im System (A 3.5-11) bis (A 3.5-15) steht M für eine hinreichend große, positive (ganze) Zahl (M ≥ |K|). Wird in einer Restriktion von (A 3.5-12) der Wert der Variablen x(i,j) auf Eins gesetzt, also auf dem Anordnungspunkt (i,j) ein Packstück längsorientiert angeordnet, kann diese Restrik-tion nur noch erfüllt sein, wenn sämtliche ande-ren Variablen x(r,s) und y(r,s), (r,s) Œ K i jx ,( ) so-wie y(i,j) jeweils den Wert Null annehmen. Rest-riktionen des Typs (A 3.5-12) sorgen also dafür, dass bei einer längsorientierten Packstückanord-nung in (i,j) keiner der dadurch überdeckten unzulässigen Anordnungspunkte (r,s) Œ K i jx ,( ) mehr für eine weitere An ordnung gewählt wer-den kann. Durch die Addi tion der Variablen y(i,j) wird außerdem eine querorientierte Anordnung eines Packstücks in (i,j) ausgeschlossen. Damit ist automatisch gewährleistet, dass auch die zugehö-rige Bedingung (A 3.5-8) erfüllt ist, die dement-sprechend nicht mehr explizit aufgeführt wird. Die Restriktionen des Typs (A 3.5-13) werden in ana lo ger Weise bei einer querorientierten Pack-stück anordnung in (i,j) wirksam. Die Zielfunk-tion (A 3.5-11) ermittelt die Anzahl (PZ) der an ge-ord ne ten Packstücke aus der Summe der für eine Anordnung ausgewählten Anordnungspunkte.

Zur Bestimmung einer optimalen Lösung für das Optimierungssystem (A 3.5-11) bis (A 3.5-15) kann man grundsätzlich auf die allgemeinen Me-thoden der Ganzzahligen bzw. der Binären Opti-mierung [Sch94], wie sie z. T. auch in kommerzi-eller Software verfügbar sind, zurückgreifen. Mit abnehmenden Packstückabmessungen steigt al-

PZ x i, j i, ji, j KNR i, j KNR

j≤L–l i≤B–l

= ( ) ) + (Â( )Œ ( )Œ

y

M

u.B.d.R.

Maximiere

x i, j x r, s y r, s y i, j M i, j KNR j L lr,s Kx(i,j) r,s Kx(i,j)

◊ ( )+ ( ) + ( ) + ( )£ ( )Œ £( )Œ ( )Œ

für mit ; (A 3.5-12)

(A 3.5-15)

(A 3.5-14)

(A 3.5-11)

(A 3.5-13)

–

x i, j x r, s y r, s y i, j M i, j KNR i B lr,s Ky(i,j) r,s Ky(i,j)

( )+ ( ) + ( ) + · ( )£ ( )Œ £( )Œ ( )Œ

M für mit ;–

x i, j i, j KNR j L l( )Œ{ } ( )Œ £0 1, –für mit ;

y i, j i, j KNR i B l( )Œ{ } ( )Œ £0 1, –für mit ;

A 3-83

tiken dargestellt wird, beginnt man mit der Bil-dung eines ersten Blocks in der linken unteren Ecke der Packfl äche. Die Anordnung der Packstü-cke erfolge längsorientiert. Der Block bestehe aus m übereinander und n nebeneinander ange-ordneten Packstücken; er bildet damit eine rechteckige Grundfl äche mit den Abmessungen (m · b) · (n · l). Ein 2. Block wird dann – begin-nend in der rechten unteren Packfl ächenecke – auf der verbleibenden Packfl ächenlänge L – n · l aufgebaut, wobei die Packstücke nun quer ausge-richtet sind. Die Längenausdehnung des Blocks bestimmt sich aus den maximal in dieser Ausrich-tung unterzubringenden Packstücken. Diese be-trägt Î(L – n · l)/b˚. (Dabei ist Îz˚ die größte ganze Zahl kleiner oder gleich z.) Die Breitenausdeh-nung des 2. Blocks wird durch die Anzahl p der querorientiert übereinander angeordneten Pack-stücke festgelegt. Auf der verbleibenden Breite B – p · l der Packfl äche wird dann – ausgehend von der rechten oberen Packfl ächenecke – nach dem gleichen Prinzip wieder ein aus längsori-entiert angeordneten Packstücken bestehender 3. Block konstruiert. Dessen Breitenausdehnung wird durch Î(B – p · l)/b˚ Packstücke festgelegt, seine Längenausdehnung sei durch q Packstücke bestimmt. Der ausgehend von der linken oberen Packfl ächenecke zu bildende 4. Block enthält wiederum Packstücke in Queranordnung. Seine Längenausdehnung wird durch Î(L – q · l)/b˚ und seine Breitenausdehnung durch Î(B – m · b)/l˚ Packstücke gebildet. Insgesamt umfasst eine der-artig konstruierte Anordnung damit

PZ m n L n l b p

B p l b q

L q l b B m b l

= ◊ + ◊( )Î ˚ ◊+ ◊( )Î ˚ ◊+ ◊( )Î ˚ ◊ ◊( )Î ˚

– /

– /

– / – / (A 3.5-16)

Packstücke. Bei gegebenen Packstück- und Pack-fl ächenabmessungen hängt die Packstückanzahl PZ damit nur noch von den (ganzzahligen) Para-metern m, n, p und q ab. Im Rahmen der4-Block-Heuristik werden alle zulässigen (d. h. die Packfl ächenabmessungen einhaltenden und nicht zu überlappenden Anordnungen von Pack-stücken führenden) Parameterkombinationen enumeriert und die Anordnung mit der größten Packstückanzahl als Lösungsvorschlag ausgege-ben. Bild A 3.5-3 zeigt ein Packmuster, das mit Hilfe der 4-Block-Heuristik für die Ausprägung P = (800, 1200, 175, 325) des H2DPP generiert wurde. Es enthält 14 angeordnete Packstücke. Die Lösung ist optimal, wie ein Vergleich mit der – auf die effi zienten Packfl ächenabmessun-gen bezogenen – Flächenschranke für den Ziel-wert zeigt und die sich hier wie folgt bestimmt: Î(B’ ¥ L’)/(b ¥ l)˚ = Î(700 ¥ 1200)/(175 ¥ 25)˚ = Î14,76…˚ =14.

Die Parameter m, n, p und q nehmen im Ver-fahrensablauf u. a. den Wert Null an, so dass auch Packmuster mit degenerierten, lediglich aus 3 Blö cken, 2 Blöcken oder sogar nur aus 1 Block be-stehenden Blockstrukturen erzeugt werden. Die Anwendung der 4-Block-Heuristik schließt folg-lich die Anwendung der entsprechenden 3-, 2- und 1-Block-Heuristiken mit ein.

Bei Anwendung der 4-Block-Heuristik kann man beobachten, dass gelegentlich Packmuster ge-neriert werden, die jeweils in der Mitte zwischen den Blöcken eine große unbelegte Freifl äche ha-ben. Auf Bischoff/Dowsland geht die Idee zurück, diese Freifl äche durch einen weiteren, möglichst großen Block (mit längsorientiert oder querori-entiert angeordneten Packstücken) zu belegen [Bis82]. Damit wird die 4-Block-Heuristik zu ei-ner 5-Block-Heuristik erweitert. Offensichtlich lässt sich die Belegung der Freifl äche auch wie-

Bild A 3.5-3 Mit einer 4-Block-Heuristik für die Ausprägung P = (800, 1200, 175, 325) des H2DPP erzeugte Packstückanord-nung. a Ausgabe durch den Algorithmus; b Stauplan nach Aufbereitung

L = 1200

B = 800

L = 1200

B = 800

a b

Paletten- und Containerbeladung

Planung logistischer SystemeA 3-84

der mit Hilfe der 4-Block-Heuristik ermitteln, die man auf das größte, innerhalb der Freifl äche konstruierbare Rechteck als Packfl äche anwendet. Das so modifi zierte Verfahren wäre als 8-Block-Heuristik zu charakterisieren.

Keine dieser Vorgehensweisen garantiert, dass tatsächlich auch eine optimale Lösung gefunden wird. Tendenziell lässt sich aber sagen, dass Heu-ristiken, die mit einer größeren Anzahl von Blö-cken operieren, auch eine höhere Lösungsqualität aufweisen. (Für eine detaillierte Darstellung und eine eingehende Analyse dieser und anderer heu-ristischer Verfahren s. [Exe88; Nau95; Nel95]). Besonders bemerkenswert ist in diesem Zusam-menhang ein Verfahren von Morabito/Morales, das eine Verfeinerung der 5-Block-Heuristik von Bischoff/Dowsland darstellt [Mor98]. Mit die-sem Verfahren gelingt es den Autoren, mit ver-gleichsweise geringem zeitlichen Rechenaufwand von 20000 realitätsnahen Testproblemen bis auf 18 alle optimal zu lösen.

A 3.5.3.2 Sensitivitätsanalysen

Als Daten des H2DPP werden die Packfl ächen- (Paletten-) Abmessungen und Packstückabmes-sungen als gegeben unterstellt. Die Palettenab-messungen dürften in der Praxis durchaus als weitestgehend unveränderlich anzusehen sein. Verwendet werden hier v. a. Paletten mit standar-disierten Abmessungen wie die Europäische Pool-Palette (Euro-Palette) mit den Abmessungen 1200 mm ¥ 800 mm oder die UK-Palette mit den Abmessungen 1200 mm ¥ 1000 mm. Unter gewis-sen Bedingungen mag ein Überhang der Packstü-cke über die Palettenränder hinaus erlaubt sein, der dann im Wege von Alternativrechnungen auf der Grundlage des maximalen Überhangs leicht berücksichtigt werden kann.

Einen größeren Entscheidungsspielraum be-sitzt die Unternehmung dagegen bei der Gestal-tung der Packstückformen und -abmessungen. Geringe Veränderungen können hier große Ein-sparungen bei den Logistikkosten bedeuten. So gilt allgemein, dass quaderförmige Packstücke eine bessere Nutzung von Packfl ächen erlauben als zylinderförmige. Bei quaderförmigen Packstü-cken lassen sich durch geringfügige Variationen der Packstückabmessungen oft erheblich mehr Packstücke auf der Packfl äche unterbringen. Ob und ggf. bei welchen Packstückabmessungen der-artige Wirkungen eintreten, lässt sich grundsätz-lich analytisch bestimmen (vgl. [Dow84; Dow91]; weitergehende Überlegungen zur Sensitivitätsa-

nalyse fi nden sich in [Bis97]). Zur Beurteilung von Variationen der Packstückabmessungen sind in der Praxis – z. T. fehlerbehaftete – Palettierka-taloge gebräuchlich, die unter Zugrundelegung einer bestimmten Palettenabmessung für unter-schiedliche Abmessungskombinationen der Pack-stücke die jeweils maximale Anzahl der auf der Packfl äche unterzubringenden Packstücke aus-weist.

A 3.5.3.3 Stabilität und Höhennutzung

Wenn das Packstück tatsächlich nur auf einer be-stimmten Packstückfl äche ruhen bzw. wenn es le-diglich mit einer bestimmten vertikalen Orien-tierung auf der Palette angeordnet werden darf, erreicht man eine maximale Nutzung des über der Palette aufgespannten Stauraums, indem man Lagen mit jeweils einer maximalen Anzahl von Packstücken bis zur maximalen Packhöhe/Stauraumhöhe H übereinander anordnet. Wird dabei für jede Lage dasselbe Packmuster verwen-det, so spricht man von einer Turmstapelung (Bild A 3.5-1a). Derartige Stapelpläne erweisen sich als nicht sehr stabil und es besteht die Gefahr, dass die Palettenladung beim Transport oder Um-schlag auseinanderfällt. Dem kann man grund-sätzlich durch geeignete Ladungssicherungsmaß-nahmen (Umhüllung mit Schrumpffolie, Umrei-fung usw.) vorbeugen. Allerdings strebt man in der Praxis normalerweise von vornherein mög-lichst stabile Ladungen an, durch die sich aufwen-dige Sicherungsmaßnahmen vermeiden oder zu-mindest reduzieren lassen. Insofern werden übli-cherweise sog. Verbundstapelungen (Bild A 3.5-1b) bevorzugt, die auf Grund des „mauerwerkartigen Verbunds der Packstücke“ [Ise98: 249] einen stär-keren Zusammenhalt der Palettenladung gewähr-leisten.

Ausgehend von einem vorliegenden Packmus-ter (Basismuster), lassen sich weitere im Hinblick auf eine Verbundstapelung verwendbare Pack-mustervarianten mit einer gleich großen Anzahl von Packstücken erzeugen, indem man eine Dre-hung des Packmusters um 180 Grad, eine Spie-gelung an der L-Seite oder eine Spiegelung an der B-Seite vornimmt [Car85: 491). Zur Herstel-lung einer Verbundstapelung bildet man dann abwechselnd Lagen gemäß dem originalen Pack-muster und dieser Packmustervarianten (alternie-rende Lagenstapelung).

Sofern sich das Packstück dagegen mit mehr als einer vertikalen Orientierung auf der Pack-fl äche anordnen lässt, muss zunächst für jede er-

A 3-85

laubte vertikale Orientierung ein H2DPP gelöst werden. Kann das Packstück mit den Abmessun-gen b ¥ l ¥ h etwa auf allen 3 Packstückfl ächen ruhen, sind das die Problemausprägungen P1 = (B, L, b, l), P2 = (B, L, h, l) und P3 = (B, L, b, h). Die Lösung der Probleme liefert eine Lage mit der Höhe h, eine mit der Höhe b und eine mit der Höhe l. Im Hinblick auf eine möglichst gute Nut-zung der Stauraumhöhe sind diese unterschied-lich hohen und unterschiedliche Packstückmen-gen enthaltenden Lagen (Lagentypen) in geeig-neter Weise miteinander zu kombinieren. Diese Aufgabe lässt sich grundsätzlich als ein sog. Knapsack- (Rucksack-) Problem formulieren (vgl. [Liu97; zum Knapsack-Problem allgemein s. [Mar90]), allerdings wird es normalerweise mög-lich sein, sämtliche, die maximale Stauraumhöhe H möglichst gut ausschöpfenden Kombinatio-nen von Lagentypen einfach zu enumerieren. In [Liu97] zeigen die Autoren, wie sich – in Erweite-rung dieses Ansatzes – ein Lagenstapel mit maxi-maler Stabilität generieren lässt.

A 3.5.3.4 Varianten des Standardproblems

Grundsätzlich kann es auch bei Problemen der Pa-lettenbeladung mit einem schwach heterogenen Packstückvorrat sinnvoll sein, zunächst Lagen zu bilden, die jeweils nur aus einem Packstücktyp mit einheitlicher vertikaler Orientierung beste-hen, und diese dann lagenweise – je nach Bedarf – bis zur maximalen Stauraumhöhe übereinander zu stapeln. Schwierigkeiten treten aber dann auf, wenn der Vorrat eines Packstücktyps begrenzt ist (etwa weil der Kunde nur eine bestimmte Menge des betreffenden Gutes abnehmen will), so dass keine vollständigen Lagen gebildet werden kön-nen. Für diesen Fall haben Bischoff/Janetz/Rat-cliff einen Algorithmus entwickelt, bei dem suk-zessiv Blöcke von Packstücken auf der ursprüng-lichen Packfl äche oder auf den Oberfl ächen bereits angeordneter Blöcke angeordnet werden [Bis95c]. Bischoff/Ratcliff erweiterten das Verfah-ren für den Fall, dass mehrere Paletten zu beladen sind (engl.: multiple pallet problem) [Bis95b]. Sommerweiß stellt eine Methode vor, die Ladun-gen mit einer möglichst gleichmäßigen Gewichts-verteilung und einer möglichst großen Stabilität erzeugt [Som96].

Isermann befasst sich mit dem Problem der Be-ladung von Paletten mit zylinderförmigen Pack-stücken [Ise91]. Dabei sind alle Packstücke gleich groß. In [Geo95] werden auch unterschiedlich große Packstücke betrachtet.

A 3.5.4 Containerbeladung

A 3.5.4.1 Dreidimensionales Packproblem mit schwach heterogenem Packstückvorrat (Standardproblem)

Problemformulierung

Das hier betrachtete Standardproblem Contai-nerbeladung sei wie folgt charakterisiert: In ei-nem „großen“ quaderförmigen Objekt (Contai-ner) der Breite B, der Länge L und der Höhe H seien „kleine“ Objekte (Packstücke) anzuordnen. Die kleinen Objekte lassen sich in n Klassen ein-teilen, innerhalb derer die Objekte identische Ab-messungen aufweisen. Die Anzahl der Packstü-cke in der Klasse i, i = 1, …, n, betrage mi (dabei sei mi signifi kant größer als 1), die betreffenden Abmessungen seien mit bi (Breite), li (Länge) und hi (Höhe) vorgegeben. Es wird angestrebt, den Container mit einem möglichst großen Pack-stückgesamtvolumen zu beladen (was einer Mini-mierung des ungenutzten, durch die Container-abmessungen defi nierten Stauraums entspricht). Die Anordnung der Packstücke soll dabei so er-folgen, dass(a) sich alle ausgewählten kleinen Objekte inner-

halb des großen Objekts befi nden,(b) sich die kleinen Objekte nicht überlappen

und(c) jedes Packstück vollständig auf dem Contai-

nerboden oder auf der Oberfl äche anderer Packstücke ruht.

Außerdem seien wieder nur orthogonale Anord-nungen zugelassen, d. h.(d) sämtliche Packstückfl ächen liegen parallel zu

den Containerwänden.

Dieses Optimierungsproblem wird auch als drei-dimensionales Packproblem mit schwach heteroge-nem Packstückvorrat bezeichnet.

Jede Vorschrift, die über eine geeignete Aus-wahl der Packstücke und ihre Anordnung im Container Auskunft gibt sowie den Bedingungen (a) bis (d) genügt, sei (zulässiger) Stauplan ge-nannt. Ist das Volumen der ausgewählten Pack-stücke maximal, so heiße der Stauplan optimal.

Lösungsverfahren

Zwar existiert ein gemischt-ganzzahliges Optimie-rungssystem zur Modellierung des Container be-ladungsproblems [Che95], die Anwendung exak-ter Lösungsverfahren der gemischt-ganzzahligen

Paletten- und Containerbeladung

Planung logistischer SystemeA 3-86

Optimierung hat aber keinerlei praktische Bedeu-tung. Zur Lösung realer Containerbeladungspro-bleme dienen vielmehr ausschließlich heuristi-sche Verfahren. Ihnen ist gemeinsam, dass sie Stau pläne sukzessive aufbauen, wobei sie entwe-der nach dem Wall-Building Approach, dem Co-lumn-Building Approach oder dem Layer Ap-proach vorgehen bzw. diese Prinzipien miteinan-der kombinieren [Dav99: 510f.].

Beim Wall-Building Approach, nach dem sich u. a. die Verfahren von Bischoff/Marriott [Bis90], George/Robinson [Geo80] und Gehring/Mensch-ner/Meyer [Geh90] richten, wird vor der hinteren Seitenwand des Containers, d. h. vor der Wand mit den Abmessungen B ¥ H, eine Wand von Pack stücken aufgebaut. Diese Wand entspricht einer vertikal angeordneten Lage im Sinne der Pa-lettenbeladung, wobei allerdings unterschiedlich

„tiefe“ Packstücke ausgewählt werden können. Die Länge des Containers wird gefüllt, indem sukzessive weitere Wände vor den bestehenden errichtet werden. Die Wände sind grundsätzlich

nicht miteinander verbunden und können des-halb – etwa zur Erzielung einer gleichmäßigeren Gewichtsverteilung – nachträglich an anderen Stellen des Containers positioniert werden.

Der Column-Building Approach unterschei-det sich vom Wall-Building Approach dadurch, dass man weniger vollständige Wände, sondern vielmehr einzelne, aus übereinandergestapelten Packstücken bestehende Säulen bildet, die dann anschließend auf der Containergrundfl äche an-geordnet werden [Bis95a: 385].

Heuristische Verfahren, die auf dem Wall-Buil-ding Approach und dem Column-Building Ap-proach beruhen, haben sich v. a. bei Containerbe-ladungsproblemen mit stark heterogenem Pack-stückvorrat bewährt. Verfahren, die dem Layer Approach folgen, scheinen dagegen für die Lö-sung von Problemen mit schwach heterogenem Packstückvorrat besser geeignet zu sein. Hierzu gehört etwa das Verfahren von Bischoff/Janetz/Ratcliff [Bis95c], das ursprünglich für die Bela-dung von Paletten mit heterogenen Packstücken

Bild A 3.5-4 Ablaufschema für das heuristische Verfahren zur Containerbeladung von Bischoff/Janetz/Ratcliff (nach [Bis95: 683])

Existiert für die Packflächeeine zulässige Blockbildung?

5

Bestimme für die Packfläche eine Blockbildung mit

maximaler Flächennutzung

7

8

9

10

Erstelle Packstückliste1

2

3

Wähle eine Packfläche in geringster Höhe über

der Containergrundfläche

4

Packflächenliste: = (Containergrundfläche)

Noch Packflächen verfügbar?

Ordne Blöcke auf derPackfläche an

Update Packstückliste

Update Packflächenliste

Lösche Packflächeaus der Packflächenliste

6

N

N

J

J

Stop

A 3-87

entwickelt worden war, das aber unmittelbar zur Lösung des hier betrachteten Standardproblems der Containerbeladung anwendbar ist. Bild A 3.5-4 gibt eine Übersicht über den Ablauf des Verfahrens.

Bei diesem Verfahren wird der Container quasi vom Boden her sukzessive in (einschichtigen) La-gen beladen. Jede Lage wird dabei im Hinblick auf eine bestimmte Packfl äche und unter Beach-tung des noch vorhandenen Packstückvorrats ge-bildet. Die Packfl ächen sind immer rechteckig, die erste Packfl äche ist mit der Containergrund-fl äche identisch (Schritt 2 in Bild A 3.5-4), neue Packfl ächen entstehen auf und neben den bereits angeordneten Packstücken. Für eine ausgewählte Packfl äche wird eine Lage bestimmt, mit der die Packstückfl äche möglichst gut ausgenutzt wird (Schritt 7). Eine solche Lage wird stets nur von ei-nem Packstücktyp oder von 2 Packstücktypen ge-bildet. Die Anordnung der Packstücke erfolgt in Blockform (im Sinne der Palettenbeladung), und zwar als 1-Block-Anordnung bei Verwendung ei-nes Packstücktyps und als 2-Block-Anordnung bei Verwendung zweier Packstücktypen, wobei jeder Block nur einen Packstücktyp umfasst. Von allen möglichen 1-Block- und 2-Block-Lösungen wird die beste ausgewählt.

Mit der Anordnung der generierten Lage auf der Packfl äche sind die darin enthaltenen Packstü-cke aus der Packstückliste zu entfernen (Schritt 9), die neuen Packfl ächen in die Packfl ächenliste aufzunehmen und die aktuelle Packfl äche daraus zu streichen (Schritt 10). Bild A 3.5-5 zeigt, wel-che neue Packfl ächen bei einer 1-Block- und ei-ner 2-Block-Lösung entstehen. Bei einer 1-Block-Lösung (Bild A 3.5-5a) sind das die Fläche (A, B, E, D) auf der Ebene der Packstückoberfl ächen so-wie die Fläche (B, C, F, E) und die Fläche (D, F, I, G) auf der Ebene der Packstückgrundfl äche. Bei der 2-Block-Lösung (Bild A 3.5-5b) ergeben sich

als neue Anordnungsfl ächen (A, B, F, E) und (E, G, K, I) auf der Ebene der Packstückoberfl ächen und (B, D, H, F), (G, H, L, K) und (I, L, O, M) auf der Ebene der Packstückgrundfl äche. Offensicht-lich hätten die neuen Anordnungsfl ächen auch anders festgelegt werden können (z. B. als (B, C, I, H) und (D, E, H, G) im Fall der 1-Block-Lösung). Dabei wären jedoch eher lange, schmale Streifen zustande gekommen, die sich erfahrungsgemäß nur noch schlecht belegen lassen. Derartige Flä-chen werden deshalb nach Möglichkeit vermie-den.

Von den verfügbaren Packfl ächen wird eine ausgewählt, die sich in der geringsten Höhe über der Containergrundfl äche befi ndet (Schritt 4). Dabei ist zu gewährleisten, dass auf dieser Fläche überhaupt noch ein Packstück angeordnet wer-den kann (Schritt 6). Neben den Abmessungen der Fläche ist in diesem Zusammenhang auch noch die über der Fläche bis zur Containerdecke verbleibende Entfernung zu berücksichtigen. Das Verfahren endet, wenn keine Packfl äche mehr zur Verfügung steht (Schritt 3). Bild A 3.5- 6 zeigt ei-

Bild A 3.5-5 Festlegung der neuen Packflächen nach Anordnung einer a 1-Block-Lösung; b 2-Block-Lösung

C

A

ba

B

I

G

F

D

E

D

A

B

C

O

M

N

H

E

FG

L

I

K

Block 2

Block 1 Block 1

H

Bild A 3.5-6 Mit dem Verfahren von Bischoff/Janetz/Ratcliff erzeugter Stauplan [Bis95b: 1325]

Paletten- und Containerbeladung

Planung logistischer SystemeA 3-88

nen mit Hilfe des Verfahrens von Bischoff/Janetz/Ratcliff erzeugten Stauplan.

A 3.5.4.2 Randbedingungen und Anforderungen der Praxis

Bei der Generierung von Stauplänen für reale Containerbeladungsprobleme ist üblicherweise eine Reihe von Randbedingungen und Anforde-rungen der Praxis zu beachten. Als besonders wichtige Aspekte gelten [Bis95a: 378f.):– Stabilität der Ladung. Die Ladung sollte mög-

lichst geringe Möglichkeiten zum Verrutschen bieten, da sonst die Gefahr besteht, dass die Pack stücke beim Transport und Umschlag be-schädigt werden bzw. das Personal beim Entla-den verletzt wird.

– Gewicht der Ladung. Das Gesamtgewicht der Ladung darf ggf. eine gewisse Höchstgrenze nicht überschreiten, die sich etwa aus dem zu-lässigen Gesamtgewicht eines Lkw ergibt.

– Verteilung des Ladungsgewichts. Zur Sicherstel-lung eines reibungslosen Transports und Um-schlags sollte das Gewicht im Container mög-lichst gleichmäßig verteilt sein und der Schwer-punkt möglichst nahe am geometrischen Mit - telpunkt des Containerbodens liegen.

– Packstückorientierung. Packstücke dürfen z. T. nur in einer bestimmten vertikalen Orientie-rung angeordnet werden, die im Stauplan un-bedingt eingehalten werden muss.

– Packstückabmessungen und -gewicht. Im Hin-blick auf eine leichte Handhabung kann die Anordnung von großen und schweren Artikeln auf den Containerboden oder auf Packebenen in einer gewissen (geringen) Höhe über dem Containerboden beschränkt sein.

– Packstückbelastbarkeit. Packstücke können dar-über gestapelte Packstücke nur bis zu einem ge-wissen, von der Stärke der Verpackung abhän-gigen Höchstgewicht aufnehmen. Möglicher-weise ist eine Überstapelung nicht zulässig.

– Gruppierung und Vorsortierung von Packstü-cken. Artikel, die an dieselben Kunden aus-geliefert werden, sollten im Stauplan bereits entsprechend gruppiert sein. Zur Vermeidung von Umladeprozessen sind die einzelnen Grup-pen möglichst in der Reihenfolge des Entla-dens im Container anzuordnen.

– Prioritäten. Packstücke können zu unterschied-lichen Lieferungen gehören, einige mögen eine sehr hohe Priorität haben und müssen deshalb unbedingt gepackt werden, andere lassen sich ggf. noch zurückstellen.

Einige dieser Aspekte werden in den Verfahren zur Containerbeladung unmittelbar berücksich-tigt. So sorgt beim Layer Approach der Aufbau des Stauplans vom Containerboden her bereits für eine sehr hohe Ladungsstabilität [Bis95a]. Im Zusammenhang mit dem Wall-Building Ap-proach lässt sich durch Vertauschen der Wand-reihenfolgen sowie ggf. durch „Spiegelung“ von Wänden eine gleichmäßigere Verteilung des La-dungsgewichts erreichen [Geh97; Dav99]. Im Co-lumn-Building Approach lassen sich durch eine entsprechende Anordnung der Säulen auf nahe-liegende Weise Entladungsreihenfolgen berück-sichtigen [Bis95a]. Anderen Aspekten wie der Be-schränkung der Packstückbelastbarkeit [Rat98] kann man durch einfache Verfahrensmodifi kati-onen gerecht werden.

Trotz dieser Möglichkeiten ist aber hinsichtlich der Berücksichtigung der genannten Anforderun-gen in den Methoden der Containerbeladung noch ein erheblicher Forschungsbedarf festzustel-len.

A 3.5.4.3 Varianten des Standardproblems

Einen Spezialfall des Standardproblems, das Be-laden eines Containers mit einem einzigen Pack-stücktyp, analysiert George [Geo92]. Den Fall des Containerbeladungsproblems mit stark hete-rogenem Packstückvorrat untersuchen Gehring/Bortfeld [Geh97]. Das Problem der Onlinebe-ladung eines Containers behandeln Hemminki/Leipälä/Nevalainen [Hem98].

Eine Reihe weiterer Arbeiten liegt für das Mul-tiple-Container-Loading-Problem vor. Liu/Chen [Liu81] und Bortfeld [Bor98] beschreiben spezi-elle Heuristiken. Scheithauer [Sch99] zeigt, wie sich Schranken für die Anzahl der benötigten Con tainer bestimmen lassen.

A 3.5.5 Kommerzielle Software zur Paletten- und Containerbeladung

Das Angebot an kommerzieller Software zur Lö-sung von Problemen der Paletten- und Container-beladung stellt sich für den deutschen Markt recht unübersichtlich dar. Immerhin konnten bei einer Recherche, die im Zusammenhang mit ei-ner Diplomarbeit an der Fern-Universität Hagen [Kli98] durchgeführt wurde, 20 Softwarepakete von 11 Anbietern identifi ziert werden. Die Preise für diese Produkte lagen zwischen DM 4000,– und DM 500 000,–; durchaus leistungsfähige Pa-kete, die vielfältigen Anforderungen der Praxis ge-

A 3-89

recht werden, sollten bereits ab etwa DM 10 000,– erhältlich sein.

Anwender derartiger Systeme sind in erster Li-nie Unternehmen des produzierenden Gewerbes, v. a. Produzenten von Lebensmitteln, Kosmetika, Reinigungsmitteln, Haushaltsartikeln und Phar-mazeutika. Kennzeichnend für deren P&C-Bela-dungsprobleme dürften homogene oder schwach heterogene Packstückvorräte sein. Eine vergleichs-weise geringe Verbreitung haben Programme zur Paletten- und Containerbeladung bei Logistik-unternehmen (Transporteure, Spediteure, Paket-dienste usw.) gefunden. Der Verzicht auf die Nut-zung entsprechender Software wird v. a. damit begründet, dass sie den realen Gegebenheiten nicht gerecht würde. Insbesondere wird auf die mangelnde Rentabilität der Software sowie auf Probleme bei Anwendungen in Onlineprozessen und bei der Berücksichtigung unregelmäßiger Packstückformen verwiesen [Kli98: 98-102]. Fak-tisch scheint in diesen Branchen die geringe Un-terstützung der Beladungsplanung durch geeig-nete Planungssoftware allerdings eher auf eine weitgehende Uninformiertheit der potenziellen Anwender über die Leistungsfähigkeit moderner Programmsysteme zurückzuführen zu sein.

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