stadistik02

1

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2

Tema Nº 02: Tema Nº 02: MEDIDAS DE POSICION, MEDIDAS DE POSICION, DISPERSION Y DEFORMACIONDISPERSION Y DEFORMACION

Ing. Jose Manuel García Pantigozo

2008 - II

3

Objetivos de Aprendizaje

• Calcular la media aritmética, la mediana y las moda.

• Explicar las características, empleo, ventajas y desventajas de cada promedio.

• Identificar la posición de la media aritmética, la mediana, la moda, tanto para distribuciones simétricas como asimétricas o sesgadas.

4

Objetivos de Aprendizaje• Calcular varias medidas de dispersión para

datos originales o no agrupados.• Calcular varias medidas de dispersión para

datos organizados en una distribución de frecuencias.

• Explicar las características, usos, ventajas y desventajas de cada una de las medidas de distribución discretas.

• Calcular y aplicar el coeficiente de variación y del coeficiente de asimetría.

• Analizar la curtosis de una distribución.

5MEDIDASMEDIDAS DEDE POSICIONPOSICION

6

• Estas medidas tienden a ubicarse en el centro del conjunto.

• Proporcionan un valor simple y representativo, que resume un gran volumen de información.

• Media Aritmética • Media Geométrica• Media Armónica

• Moda• Mediana

Medidas de Tendencia CentralMedidas de Tendencia CentralMedidas de Tendencia CentralMedidas de Tendencia Central

8

Datos Agrupados:Datos Agrupados:

xi

ai

ni

Xi+1

fi : Frec. relativa Clase i =

MCi : Marca Clase i

X : Media Aritméticak : N° de clases

ni : Frec. absoluta Clase i

n : Tamaño Muestra

ai : Amplitud de Clase i

_

ni n

=

k

i

iXif

1

*X =

Media Aritmética de una Muestra IMedia Aritmética de una Muestra IMedia Aritmética de una Muestra IMedia Aritmética de una Muestra I

9

INTERVALOS MC fi fi*MC(1265.45 - 1268.25 ] 1266.85 8 10134.80(1268.25 - 1271.05 ] 1269.65 9 11426.85(1271.05 - 1273.85 ] 1272.45 16 20359.20(1273.65 - 1276.65 ] 1275.25 23 29330.75(1276.65 - 1279.45 ] 1278.05 12 15336.60(1279.45 - 1282.25 ] 1280.85 21 26897.85(1282.25 - 1285.05 ] 1283.65 13 16687.45(1285.05 - 1287.85 ] 1286.45 8 10291.60

110 140465.10

1276.96X =

10

Datos NO Agrupados:Datos NO Agrupados:

=

n

i

iX1

X =n

X : Media Aritmética

Xi : i-ésimo valor observado

n : Tamaño Muestra

Media Aritmética de una Muestra Media Aritmética de una Muestra IIIIMedia Aritmética de una Muestra Media Aritmética de una Muestra IIII

11

1279,51285,01280,01273,01284,01280,51275,51278,01279,51275,01267,01272,01282,01276,01269,51266,01273,51285,51275,51283,51285,01273,0

1278,01273,01280,01277,51286,01280,01281,01275,01278,51279,51273,51275,01276,51271,51284,51276,01268,51272,51284,51286,01271,01265,5

=

n

i

iX1

X =n

56191.5X =

44

1277.1X =

12

Media de una PoblaciónMedia de una PoblaciónMedia de una PoblaciónMedia de una Población

13

Media Ponderada IMedia Ponderada IMedia Ponderada IMedia Ponderada I

=

k

i

(wi*Xi)1

Xw = wi

Es un caso especial de la media aritmética. Se presenta cuando hay varias observaciones del mismo valor que pueden ocurrir si los datos se han agrupado en una distribución de frecuencias.

14

Media Ponderada IIMedia Ponderada IIMedia Ponderada IIMedia Ponderada II

1541

=

k

i

i(w*X)1

Xw = w

Xw =23

67Xw =

xi wi Xi*wi

65 3 195

66 5 330

67 6 402

68 7 476

69 2 138

23 1541

67

15

La media geométrica es otro estadígrafo de La media geométrica es otro estadígrafo de tendencia central, pero de poca utilización. El tendencia central, pero de poca utilización. El cálculo de la media geométrica se puede cálculo de la media geométrica se puede hacer en datos con frecuencia y datos sin hacer en datos con frecuencia y datos sin frecuenciasfrecuencias

Datos sin Frecuencias

Media geométrica

Intervalos Cerrados

Datos Con Frecuencias

Inter. Cerrados / Abiertos

Media Geométrica IMedia Geométrica IMedia Geométrica IMedia Geométrica I

16

Para el cálculo de la media geométrica sin Para el cálculo de la media geométrica sin frecuencias se aplica la siguientes frecuencias se aplica la siguientes expresión:expresión:

nn321 x ·.......·· ·x xxG

Media Geométrica IIMedia Geométrica IIMedia Geométrica IIMedia Geométrica II

17

3034111337

Su media geométrica sería:Su media geométrica sería:

Si los datos fueran los siguientes:Si los datos fueran los siguientes:

Media Geométrica IIIMedia Geométrica IIIMedia Geométrica IIIMedia Geométrica III

11,267 · 2 · 13 ·11· 43 ·03 6 G

18

Media Geométrica IVMedia Geométrica IVMedia Geométrica IVMedia Geométrica IV

Para datos en tablas FrecuenciasPara datos en tablas Frecuencias

fi ni30 234 411 513 62 37 4

)n Log f ...........n Log f n (1

kk2211 LogfN

G

Se aplica la Se aplica la

siguientesiguiente

expresión:expresión:

1,05 7313113430 G 24 426542

19

Media Geométrica VMedia Geométrica VMedia Geométrica VMedia Geométrica V

Para intervalos cerrados, Para intervalos cerrados, se considera la marca de se considera la marca de clase de cada intervalo por clase de cada intervalo por su frecuencia absoluta.su frecuencia absoluta.

Intervalos Cerrados xi ni60 64 62 3064 68 66 3468 72 70 1172 76 74 1376 80 78 380 84 82 7

La media Geométrica se calculará con el valor de la La media Geométrica se calculará con el valor de la Marca de clase de los intervalos multiplicados con la Marca de clase de los intervalos multiplicados con la frecuencias absoluta.frecuencias absoluta.

1,178 827874706662G 98 7311113430

20

Propiedades de la MediaPropiedades de la MediaPropiedades de la MediaPropiedades de la Media

• Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene un valor medio.

• Al evaluar la media se incluyen todos los valores.• Un conjunto de datos sólo tiene una media. Esta es

un valor único.• La media es una medida muy útil para comparar

dos o más poblaciones.• La media es la única medida de ubicación donde la

suma de las desviaciones de cada valor es con respecto a la media, siempre será cero.

22


Si los datos se ordenan de orden ascendente de magnitud, entonces la Mediana está dada por:

• Si n es imparSi n es impar , la Mediana es exactamente el valor del medio

• Si n es parSi n es par , la Mediana es el promedio de los valores centrales

Me =

n + 1

2

Mediana IMediana IMediana IMediana I

23

Pares:

Me = (49 +65)/2 = 57

65 36 49 84 79

43 78 37 40 68

80 75 56 45

80 64 53 74 34

CALCULO DE LA MEDIANA EN DATOS NO AGRUPADOS

Impares:

Me = 64

24

Datos Agrupados:

L : Límite inferior Clase Mediana (C Me)

Ne-1 : Frec. Acumulada hasta antes (C Me)

ne : Frecuencia Absoluta (C Me)

ae : Amplitud (C Me)

n : Tamaño de la muestra

e

e-1

en

Nn2aLMe

)( -+=

xe

ae

Ne-1= fi

i = e-1

i = 1

L

ne

Mediana IIMediana IIMediana IIMediana II

25

INTERVALOS fi Fi(1265.45 - 1268.25 ] 8 8(1268.25 - 1271.05 ] 9 17(1271.05 - 1273.85 ] 16 33(1273.85 - 1276.65 ] 23 56(1276.65 - 1279.45 ] 12 68(1279.45 - 1282.25 ] 21 89(1282.25 - 1285.05 ] 13 102(1285.05 - 1287.85 ] 8 110

110

CALCULO DE LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS

26

Datos Agrupados:

L : 1273.85 Ne-1 : 33 ne : 23ae : 2.8n : 110 : 1276.33

e

e-1

en

Nn2aLMe

)( -+=

xe

ae

Ne-1= fi

i = e-1

i = 1

L

ne

Me

28

La ModaLa ModaSe define como “La moda” al valor que mas repite Se define como “La moda” al valor que mas repite en una serie de datos.en una serie de datos.

Estos valores pueden ser:Estos valores pueden ser:

•Datos no agrupadosDatos no agrupados

•Datos agrupados en intervalos de clasesDatos agrupados en intervalos de clases

29

La moda, cuando los La moda, cuando los datos no se encuentran datos no se encuentran en tabla de distribución en tabla de distribución de frecuencias, se de frecuencias, se establece los valores que establece los valores que mas se repiten.mas se repiten.

Por ejemplo:Por ejemplo:122233445566778

8,0

La Moda es: 2La Moda es: 2

La ModaLa Moda

30

La La moda,moda, cuando los datos cuando los datos no se encuentran en tabla de no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias, distribución de frecuencias, se establece los valores que se establece los valores que mas se repiten.mas se repiten.

Por ejemplo:Por ejemplo:

La Moda es: 2 y el 5,La Moda es: 2 y el 5,

es decir la serie de es decir la serie de

nueceros sería nueceros sería

BimodalBimodal

122223445555778

La ModaLa Moda

31

La moda cuando los datos La moda cuando los datos no se encuentran en tabla de no se encuentran en tabla de distribución de frecuencias , distribución de frecuencias , se establece los valores que se establece los valores que mas se repiten.mas se repiten.

Por ejemplo:Por ejemplo:

La Moda La Moda

en este caso en este caso

no existiría.no existiría.

123456789

10

La ModaLa Moda

32

La moda, cuando los datos se La moda, cuando los datos se encuentran en tabla de encuentran en tabla de distribución de frecuencias, distribución de frecuencias, será el valor que posee mayor será el valor que posee mayor frecuencia.frecuencia.

Por ejemplo:Por ejemplo: La Moda

es: 4

Notas n i1 22 33 74 105 56 37 3

La ModaLa Moda

33

La moda , cuando los datos se encuentran en tabla La moda , cuando los datos se encuentran en tabla de distribución de frecuencias , con intervalos de de distribución de frecuencias , con intervalos de clase, se debe aplicar la siguiente Formula.clase, se debe aplicar la siguiente Formula.

•Limite inferior del intervalo en en donde se encuentra la Moda

•El “ “ es la diferencia en la frecuencia Absoluta mas cercana a la frecuencia de valor mayor.

•El “ “ es la diferencia entre la frecuencia inmediatamente mayor a la frecuencia de mayor Valor.

• El valor “c” corresponde al Tamaño del Intervalo

cModa · 2

Intervalo del Inf Limite 1

1

1

2

La ModaLa Moda

34

Datos agrupados en intervalos de Clase CerradosDatos agrupados en intervalos de Clase Cerrados

98

Limite inferior del Intervalo modal = 64, por que es de mayor Limite inferior del Intervalo modal = 64, por que es de mayor FrecuenciaFrecuencia

C = 4430341 2311342

Intevalos Cerrados xi ni60 64 62 3064 68 66 3468 72 70 1172 76 74 1376 80 78 380 84 82 7

Intervalo de mayor frecuenciaIntervalo de mayor frecuencia

La ModaLa Moda

35

Datos agrupados en intervalos de Clase CerradosDatos agrupados en intervalos de Clase Cerrados

98

Intevalos Cerrados xi ni60 64 62 3064 68 66 3468 72 70 1172 76 74 1376 80 78 380 84 82 7

Intervalo de mayor frecuenciaIntervalo de mayor frecuencia

La ModaLa Moda

6559,6459,0644·0,148 64 4 · 27

4 64 4 ·

234

4 64

Moda

36

Moda para datos agrupados en intervalos de Clase Moda para datos agrupados en intervalos de Clase Cerrados / AbiertosCerrados / Abiertos

Cuando se trabaja con intervalos cerrados Cuando se trabaja con intervalos cerrados abiertos debemos considerar ahora “El limite abiertos debemos considerar ahora “El limite Real Inferior” y el tamaño del Intervalo Varía en Real Inferior” y el tamaño del Intervalo Varía en un dígito. Los demás valores Participan de la un dígito. Los demás valores Participan de la misma formamisma forma

cModa

21

1Infef. Real Limt.

La ModaLa Moda

37

98

Intervalos Cerr. Abierto xi ni60 64 62 3765 69 67 3770 74 72 1075 79 77 780 84 82 7

64.5 0 64.5·5 270

064,5

Moda

La ModaLa Moda

39

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

0,3500

0,4000

0,4500

0,5000

4 5 6 70 1 2 3

Q1 Q2 Q3 Q4

Moda

MediaAritmética

Mediana

Rango

Medidas de TendenciaMedidas de TendenciaMedidas de TendenciaMedidas de Tendencia

40MEDIDAS DE MEDIDAS DE DISPERSIONDISPERSION

41

• Se llaman medidas de dispersión aquellas que permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permiten identificar la concentración de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable. Se trata de coeficiente para variables cuantitativas.

• Rango• Rango Intercuartílico• Varianza Muestral

• Desviación Media• Rango Percentil• Grafico de Cajas

Medidas de DispersiónMedidas de DispersiónMedidas de DispersiónMedidas de Dispersión

42

Dispersión: Amplitud TotalDispersión: Amplitud TotalDispersión: Amplitud TotalDispersión: Amplitud Total

Amplitud Total = Valor Mayor – Valor MenorAmplitud Total = Valor Mayor – Valor MenorAmplitud Total = Valor Mayor – Valor MenorAmplitud Total = Valor Mayor – Valor Menor

43

Dispersión: Amplitud CuartílicaDispersión: Amplitud CuartílicaDispersión: Amplitud CuartílicaDispersión: Amplitud Cuartílica

Amplitud Total = Valor Mayor – Valor MenorAmplitud Total = Valor Mayor – Valor MenorAmplitud Total = Valor Mayor – Valor MenorAmplitud Total = Valor Mayor – Valor Menor

Amplitud Total =Q3 – Q1Amplitud Total =Q3 – Q1Amplitud Total =Q3 – Q1Amplitud Total =Q3 – Q1

e

e-1

en

Nn4aLQ1

)( -+=

e

e-1

en

N3n2aLQ3

)( -+=

44

Dispersión: Varianza PoblacionalDispersión: Varianza PoblacionalDispersión: Varianza PoblacionalDispersión: Varianza Poblacional

ό2

: Variancia Poblacional

µ : Media Poblacional


N : Tamaño de la población

Xi - µ)2

ό2 =

N

45

Dispersión: Desviación Estándar PoblacionalDispersión: Desviación Estándar PoblacionalDispersión: Desviación Estándar PoblacionalDispersión: Desviación Estándar Poblacional

ό : Desviación Estándar Poblacional

µ : Media Poblacional


N : Tamaño de la población

Xi - µ)2

ό =

N

46


fi : Frec. relativa Clase i

Xi : Marca Clase i

X : Media Aritméticani : Frec. absoluta Clase i

n : Tamaño Muestra

k : N° de clases

_

=

k

i

XX iif1

2)(S2 =

_

ae

ne

xixi-1 xk

_x

ni nk


Dispersión: Varianza MuestralDispersión: Varianza MuestralDispersión: Varianza MuestralDispersión: Varianza Muestral

=

n

i

XX i1

2)(

S2 =

_

s2 : Variancia Muestral



n : Tamaño Muestra

n - 1

n - 1

47


fi : Frec. relativa Clase i

Xi : Marca Clase i

X : Media Aritméticani : Frec. absoluta Clase i

n : Tamaño Muestra

k : N° de clases

_

=

k

i

XX iif1

2)(S =_

ae

ne

xixi-1 xk

_x

ni nk


Dispersión: Desviación MuestralDispersión: Desviación MuestralDispersión: Desviación MuestralDispersión: Desviación Muestral

=

n

i

XX i1

2)(S =

_

s. : Desviación Muestral



n : Tamaño Muestra

n - 1

n - 1

48

Datos Agrupados:Datos Agrupados:Datos Agrupados:Datos Agrupados: Datos NO Agrupados:Datos NO Agrupados:

MD : Desviación Media



n : Tamaño Muestra

MD =

=

n

i

XX i1

_

n

Dispersión: Desviación MediaDispersión: Desviación MediaDispersión: Desviación MediaDispersión: Desviación Media

fi : Frec. relativa Clase iXi : Marca Clase i

X : Media Aritméticani : Frec. absoluta Clase in : Tamaño Muestrak : N° de clases| | : valor absoluto

ae

ne

xixi-1 xk

_x

ni nk

=1i

ifMD = XXi

k

49

RQ = (QRQ = (Q33– Q– Q11) / 2) / 2

xQ

L : Límite inferior Qi; i = 1,2,3,4NQí-1 : Frec. Absoluta acumulada hasta antes de la clase Q i

aQi : Amplitud cuartil i-ésimonQi : Frecuencia Absoluta de la clase del cuartil i-ésimon : Tamaño de la muestra

i

i

i Q

Q

Qin

Nin

aLQ

-*

+= - 14


ae

L

nQi

i

i

NQ -1= fii = Q -1

i = 1

i


Si los datos se ordenan de orden ascendente de magnitud, entonces el cuartil Qi, para i = 1, 2, 3, 4 está dado por

Qi =

• Puede ser necesario interpolar Puede ser necesario interpolar entre valores sucesivosentre valores sucesivos

• Nota QNota Q22 = = MeMe

i(n + 1)

4

Desviación/Rango Inter-CuartílicoDesviación/Rango Inter-CuartílicoDesviación/Rango Inter-CuartílicoDesviación/Rango Inter-Cuartílico

50

Dispersión: Amplitud CentílicaDispersión: Amplitud CentílicaDispersión: Amplitud CentílicaDispersión: Amplitud Centílica

e

e-1

en

N10n100aL10º Centil

)( -+=

e

e-1

en

N90n100aL

)( -

+=90º Centil

51MEDIDAS DE MEDIDAS DE DISPERSIONDISPERSION

52

Coeficiente de VariaciónCoeficiente de VariaciónCoeficiente de VariaciónCoeficiente de Variación

C.V. = (100)C.V. = (100)s

X

53

L : Límite inferior percentil i-ésimoNPí-1 : Frec. Absoluta acumulada hasta antes de la

clase percentil i-ésimoaPi : Amplitud percentil i-ésimonPi : Frecuencia Absoluta de la clase del percentil

i-ésimon : Tamaño de la muestra

i

i

iP

P

Pi

n

Nin

aLP

-*

+= - 1100


xP

ae

L

nPi

i

i

NP -1= fii = P -1

i = 1

RP = (PRP = (P9090 – P – P1010))


Si los datos se ordenan de orden ascendente de magnitud, entonces el percentil Pi, para i = 1, 2, .., 99 está dado por

Pi =

• Puede ser necesario interpolar Puede ser necesario interpolar entre valores sucesivosentre valores sucesivos

• Nota PNota P5050 = = MeMe

i(n + 1)

100

Dispersión: Rango PercentilDispersión: Rango PercentilDispersión: Rango PercentilDispersión: Rango Percentil

54

Representación visual para describir, simultáneamente, varias características importantes tales como• Centro• Dispersión• Desviación de la asimetría• Identificación de las observaciones (valores atípicos)

Q1 Q2 Q3

3 I RQ 3 I RQ

Mediana

Valores Atípicos

Valores Atípicos

D = Índice de Dispersión = (rangQ3- rangQ1) / (K-1)

Gráficos de CajasGráficos de CajasGráficos de CajasGráficos de Cajas

55

Comparaciones gráficas entre conjuntos de datos

1

2

3

70 80 90 100 110 120

Gráficos de CajasGráficos de CajasGráficos de CajasGráficos de Cajas

56

Índice de simetría de Pearson:

Índice de simetría de Fisher:



a4 > 0 la Distribución de Frecuencias es leptocúrtica

a4 < 0 la Distribución de Frecuencias es platicúrtica

a4 = 0 la Distribución de Frecuencias es mesocúrtica

Medidas de ApuntamientoMedidas de Apuntamiento(Curtosis o Kurtosis)(Curtosis o Kurtosis)


3n

4

n

i=1

(xi - x)a4=

S4

Pearson propuso el concepto de curtosis calculandolo mediante el coeficiente de curtosis de cuarto orden a4:

57





k > 0 la Distribución de Frecuencias es leptocúrtica

k < 0 la Distribución de Frecuencias es platicúrtica

k = 0 la Distribución de Frecuencias es mesocúrtica



0,263

(Q3 - Q1)K =

Otra coeficiente para medir curtosis. En función de los percentiles, es el coeficiente de curtosis percentílico k:

1

2 P90 - P10

58

3. Otros Estadígrafos: Relacionados con la forma de la distribución de los datos (Polígono de Frecuencias).

Asimetría (A): Simetría o Asimetría

Kurtosis (K): Apuntamiento

A= 0 A< 0 A> 0

K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

59




A= 0 A< 0 A> 0

K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

60




A= 0 A< 0 A> 0

K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

61




A= 0 A< 0 A> 0

K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

62




A= 0 A< 0 A> 0

K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

63




A= 0 A< 0 A> 0

K= 0.263 K< 0.263 K> 0.263

64

Leptocúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es más apuntada que la normal.



K= 0.263K= 0.263

65

Mesocúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es tan apuntada como la normal.



K> 0.263K> 0.263

66

Platicúrtica: Cuando la distribución de frecuencias es menos apuntada que la normal.



K< 0.263K< 0.263

67

Miden la mayor o menor simetría de la distribución. Existen dos medidas de este tipo:

Medidas de AsimetríaMedidas de Asimetría(Sesgo)(Sesgo)






1er Coeficiente de Asimetría:

Desviación Estándar

Media - Modaa1 =

2do Coeficiente de Asimetría:

Desviación Estándar

3(Media – Mediana)a1 =

68







3er Coeficiente de Asimetría:

S2

Σ (xi - X)2/na1 =

a1 > 0 la asimetría de la Distribución de Frecuencias es positiva

a1 < 0 la asimetría de la Distribución de Frecuencias es negativa

a1 = 0 la Distribución de Frecuencias es simétrica

69







Coeficiente de Asimetría para datos sin agrupar:

3n

3

i=11

(xi-x)1a=N

70







Coeficiente de Asimetría para datos agrupados

3

if

n

3

i=11

(xi-x)1a=N

71

Asimetría PositivaAsimetría PositivaAsimetría PositivaAsimetría Positiva





A< 0A< 0

72

Asimetría PositivaAsimetría PositivaMo < Me < Mo < Me < XX

Asimetría PositivaAsimetría PositivaMo < Me < Mo < Me < XX





73

Simetría Simetría Simetría Simetría





A= 0A= 0

74

Simetría Simetría Mo = Me = Mo = Me = XX

Simetría Simetría Mo = Me = Mo = Me = XX





75





Asimetría NegativaAsimetría NegativaMo > Me > Mo > Me > XX

Asimetría NegativaAsimetría NegativaMo > Me > Mo > Me > XX

76

Ejercicio: Se desea determinar las características de resistencia a la ruptura bajo cargas de tensión del concreto ofrecido por cierto proveedor. Para ello se les solicita 125 probetas de 0,5 pies de diámetro por 1 pie de longuitud. La carga de tensión se mide en lb/pug2. El laboratorio de resitencia de materiales proporciona la tabla de frecuencias

Clase Límites Marca Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia de Clase de Clase Absoluta Abs. Acuml. Relativa Relat. Acuml.

1 407,5- 412,5 410 4 4 0,032 0,0322 412,5- 417,5 415 5 9 0,040 0,0723 417,5- 422,5 420 8 17 0,064 0,1364 422,5- 427,5 425 14 31 0,112 0,2485 427,5- 432,5 430 13 44 0,104 0,3526 432,5- 437,5 435 19 63 0,152 0,5047 437,5- 442,5 440 20 83 0,160 0,6648 442,5- 447,5 445 15 98 0,120 0,7849 447,5- 452,5 450 12 110 0,096 0,880

10 452,5- 457,5 455 6 116 0,048 0,929 11 457,5- 462,5 460 7 123 0,056 0,984 12 462,5- 467,5 465 2 125 0,016 1,000

Determine: Todas las medidas de localización, escala, simetria y forma

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