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This article was downloaded by: [University of California, Berkeley] On: 25 June 2015, At: 09:05 Publisher: Routledge Informa Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK Click for updates Infancia y Aprendizaje: Journal for the Study of Education and Development Publication details, including instructions for authors and subscription information: http://www.tandfonline.com/loi/riya20 Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio de las relaciones cultura-cognición en las prácticas colectivas cotidianas: un modelo de investigación Geoffrey B. Saxe a a University of California Published online: 25 Jun 2015. To cite this article: Geoffrey B. Saxe (2015): Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio de las relaciones cultura-cognición en las prácticas colectivas cotidianas: un modelo de investigación, Infancia y Aprendizaje: Journal for the Study of Education and Development, DOI: 10.1080/02103702.2015.1054669 To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/02103702.2015.1054669 PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all the information (the “Content”) contained in the publications on our platform. However, Taylor & Francis, our agents, and our licensors make no representations or warranties whatsoever as to the accuracy, completeness, or suitability for any purpose of the Content. Any opinions and views expressed in this publication are the opinions and views of the authors, and are not the views of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy of the Content should not be relied upon and should be independently verified with primary sources of information. Taylor and Francis shall not be liable for any losses, actions, claims, proceedings, demands, costs, expenses, damages, and other liabilities whatsoever or howsoever caused arising directly or indirectly in connection with, in relation to or arising out of the use of the Content. This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Any substantial or systematic reproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in any form to anyone is expressly forbidden. Terms &

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Infancia y Aprendizaje Journal for theStudy of Education and DevelopmentPublication details including instructions for authors andsubscription informationhttpwwwtandfonlinecomloiriya20

Studying culture-cognition relationsin collective practices of daily life aresearch framework El estudio delas relaciones cultura-cognicioacuten enlas praacutecticas colectivas cotidianas unmodelo de investigacioacutenGeoffrey B Saxea

a University of CaliforniaPublished online 25 Jun 2015

To cite this article Geoffrey B Saxe (2015) Studying culture-cognition relations in collectivepractices of daily life a research framework El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en laspraacutecticas colectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten Infancia y Aprendizaje Journal for theStudy of Education and Development DOI 1010800210370220151054669

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Studying culture-cognition relations in collective practices ofdaily life a research framework El estudio de las relaciones

cultura-cognicioacuten en las praacutecticas colectivas cotidianas un modelode investigacioacuten

Geoffrey B Saxe

University of California

(Received 19 January 2015 accepted 20 February 2015)

Abstract This article sketches a framework for the study and analysis ofculture-cognition relations that I present in my recent book CulturalDevelopment of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studies Taking anhistorical approach I focus on the reproduction and alteration of representa-tional forms for number and the functions that representational forms serve incollective practices in and out of school My key argument is that in thecontext of their goal-directed communicative activities in collective practicesin daily life people unwittingly reproduce and alter representational formsand the functions that these forms serve The process leads to continuities anddiscontinuities in form-function relations in communities over historical timeTo provide evidence for this process and its role in the cultural developmentof ideas I report selected findings from research conducted in 1978 1980 and2001 in Oksapmin communities I focus on historical shifts in the forms andfunctions of the Oksapmin body part counting system over time I then updatethat body of research with a sketch of a recent 2014 follow-up study I closewith reflections on the utility of my framework for the study of culture-cognition relations in other communities and on cognitive domains otherthan mathematics

Keywords mathematical cognition cognitive development Papua NewGuinea sociogenesis microgenesis representation

Resumen Este artiacuteculo esboza un modelo para el estudio y anaacutelisis de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten que he presentado en mi recientepublicacioacuten Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Desarrollo cultural de las ideas matemaacuteticas Estudios enPapuacutea Nueva Guinea) Adoptando un enfoque histoacuterico me centro en lareproduccioacuten y alteracioacuten de las formas de representacioacuten del nuacutemero y lasfunciones que estas formas representacionales desempentildean en las praacutecticascolectivas dentro y fuera de la escuela Mi principal argumento es que en el

English version pp 1ndash17 Versioacuten en espantildeol pp 18ndash34References Referencias pp 34ndash36Translated from English Traduccioacuten del ingleacutes Mercegrave RiusAuthorrsquos Address Correspondencia con el autor Graduate School of EducationUniversity of California Berkeley CA USA E-mail saxeberkeleyedu

Infancia y Aprendizaje Journal for the Study of Education and Development 2015httpdxdoiorg1010800210370220151054669

copy 2015 Fundacion Infancia y Aprendizaje

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contexto de las actividades comunicativas dirigidas a la consecucioacuten de metasen las praacutecticas colectivas en la vida cotidiana las personas involuntariamentereproducen y alteran las formas de representacioacuten y las funciones para las queesas formas se utilizan Este proceso provoca continuidades y discontinui-dades en las relaciones entre forma y funcioacuten en las comunidades a lo largodel tiempo Para mostrar evidencias de este proceso y su papel en el desarrollocultural de las ideas informo de hallazgos seleccionados de las investiga-ciones realizadas en 1978 1980 y 2001 en comunidades oksapmin Me centroen los desplazamientos histoacutericos en las formas y las funciones del sistema decoacutemputo oksapmin basado en las partes del cuerpo A continuacioacuten actualizoese cuerpo de investigacioacuten con un bosquejo de un estudio reciente deseguimiento realizado en 2014 Finalizo el artiacuteculo con algunas reflexionessobre la utilidad de mi modelo para el estudio de las relaciones entre cultura ycognicioacuten en otras comunidades y en dominios de conocimiento diferentes delas matemaacuteticas

Palabras clave cognicioacuten matemaacutetica desarrollo cognitive Papuacutea NuevaGuinea sociogeacutenesis microgeacutenesis representacioacuten

In my recent book Cultural Development of Mathematical Ideas PapuaNew Guinea Studies (Saxe 2012) I present a theoretical framework and empiricaltechniques for understanding the interplay between cultural and cognitive-developmental processes in numerical thought I use my fieldwork conducted in1978 1980 and 2001 with a remote Papua New Guinea group the Oksapmin toillustrate the framework and empirical methods The framework builds on but alsodeparts from the seminal contributions of Piaget (1963 1970b) and Vygotsky(1978 1986) as well as activity-theoretic formulations of culture-cognition rela-tions (Bateson 1972 Cole 1996 Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008Wertsch 1991) One of the novel arguments in my approach is that an adequatetreatment of cultural-cognition relations requires an understanding of the complexinterplay between cultural-historical and developmental processes in humanthought over time1 In the present article I review and build upon the bookrsquosconceptual and empirical contributions with an extension to new observationsmade in a 2014 return to Oksapmin communities

Studying the interplay between cultural-historical and developmentalprocesses in numerical thought

In everyday talk and problem solving people use representations for quantityRepresentations include expressions like lsquohow muchrsquo lsquotoo muchrsquo or lsquonotenoughrsquo as well as lsquolongrsquo lsquoshortrsquo and lsquotinyrsquo The representations and ideas alsoinclude numeration whether in the form of counting words or orthographicrepresentational forms like the Hindu-Arabic numeration system and its placevalue structure The question that frames my book is lsquoWhat is the origin of themathematical representations and ideas that populate peoplersquos everyday speechand problem solving activitiesrsquo The question lies at the intersection of culturalanthropology sociology developmental psychology and education and it invitessome answers that I consider in my book and then reject

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One answer to questions about origins appeals to biological treatments ofcognition mathematical structures or ideas are a product of the evolution of ourspecies and thus built into our central nervous system and representational formsare expressions of these native ideas But biological approaches fail to deal withhow and why collective representations take form differently over the socialhistories of different human communities Moreover they do not explain howdiverse representations and ideas originate mdash how for example representationsfor number differ in school on the job or in casual conversation

Another answer to questions about origins is that we learn mathematical ideasfrom the cultural worlds in which we participate whether in school on the job inconversations with others or as a part of the languages we learn as young childrenThis answer fails to address cultural-historical and developmental questions mdashwhat are the historical origins of representations that are learned in school on thejob or in conversations and how does the use of these representations shift aschildren develop

In the cultural-historical and developmental approach I present in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I make use of my fieldwork in Oksapmincommunities conducted in 1978 1980 and 2001 to support my arguments thatboth cognition and culture should be treated as processes that are jointly rooted inhuman activity In this article I begin by summarizing cultural-historical anddevelopmental aspects of the framework and illustrating their joint roots inactivity I then describe empirical studies that are drawn from my prior empiricalwork on the Oksapmin 27-body part counting system from 1978 through 2001 Ishow that the knowledge and use of the body system have generally beendeclining in Oksapmin communities yet at the same time new kinds of collectivepractices are emerging that support an increase in the use of the body countsystem but with an altered structure to serve novel functions I conclude byshowing how the framework and prior empirical studies informed my recent2014 research in Oksapmin I end by pointing to ways the framework can supportinquiry in other communities and into knowledge domains other thanmathematics

Cultural-historical aspects of the framework

My approach is cultural-historical in the sense that foci for analyses are recurringstructures of joint activity in communities what I refer to as collective practicesExamples of collective practices that I examine in my research include customer-store clerk transactions in Oksapmin trade stores as well as teacher-studentinteraction in Oksapmin bush schools In collective practices in these arenas ofactivity participants cognize mathematical problems that are inherently situated incultural-historical time store goods are exchanged for currency in a particulartime period in Oksapmin history and a studentrsquos efforts to solve an arithmeticproblem that a teacher has posed take place in a particular time period in thehistory of Oksapmin bush schooling As the participants attempt to solveemerging problems in collective practices problems are lsquotaken-as-sharedrsquo

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(Cobb Wood Yackel amp McNeal 1992) mdash understood in more or less commonterms in ways that support coordinated activity A store clerk and a customer forexample manage to exchange goods for currency in a trade store because theycoordinate their activities mdash owner determines how much cash is needed custo-mer produces cash and owner evaluates payment

As individual actors participate in accomplishing a taken-as-shared jointproblem in collective practices they inevitably divide the cognitive work inrelation to social positions and their goals emerge and shift in relation to theseemerging roles as well as the representational forms they use For example acustomer may create the goal to present more currency than the cost of an item atone moment and a clerk may create the goal to return appropriate change for thepayment as another For either the clerk or customer to use the Oksapmin 27-bodypart counting system to solve an arithmetic problemmdash like adding the forearm (7)to the elbow (8) mdash has implications for emergent goals and subgoals that aredifferent from those entailed in performing the same addition with a strictly verbalcounting system for number

To illustrate the culturally and historically situated problems and emerginggoals in collective practices I present an observation of one exchange thatoccurred at an Oksapmin trade store in 1978 The actors in the observation arethe store clerk and two customers shown in Figure 1 Moments prior to the scenecaptured in the photos the customers had requested cans of fish from the clerk

Figure 1 Two men making a purchase of cans of fish in the mission trade store from astore clerk

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the clerk had retrieved them and the customers presented payment For each phaseof this instance of a collective practice participating individuals accomplishedsuccessive goals that emerged in relation to each participantrsquos actions and inter-pretations In Figure 1a through Figure 1i one customer retrieved payment inPapua New Guinea currency from a small tin that he kept in his string bag andrequested additional cans of fish (Figure 1andashd) In Figure 1e the clerk returnedwith additional cans and in Figure 1fndash1i payment was made and change wasreturned Over the course of the phases the clerk constructed goals to tally thecost of items to customers and produced means of achieving them a customercreated goals of determining how much cash to present in relation to the cost ofthe items

Collective practices like that of economic exchange in the Oksapmin tradestore are relatively durable in the sense that they are common patterns of jointactivity over multiple locations and through spans of time That said they have noinherent permanence Indeed structures of activity mdash including individualsrsquoconstruction of goals and means to accomplish mdash are dynamic shifting andephemeral Further the artifacts that are constitutive of emergent numericalproblems in such exchanges mdash the cash and commodities mdash have no inherentnumerical or exchange value Rather artifacts take on meaning as they areinterpreted and used in the exchanges The recurring activity structures and themeanings attributed to artifacts are more or less predictable because they arerooted in precedent rendering them interpretable to the participants

Developmental aspects of the framework

My framework is also developmental I argue that historically rooted culturalforms (like the Oksapmin 27-body part counting system) and the functions theyserve in collective practices are not static Rather in the context of communicativeand problem solving activity individuals turn forms into means to accomplishgoals that serve cognitive functions in activity In this process forms and theirfunctions are reproduced and inevitably altered in communities over historicaltime

Figure 2 depicts relations between forms and functions on the one hand andmeans and goals on the other As illustrated in the figure in the act of counting inan exchange an individual quantifies a collection of coins (the small circles inFigure 2) by tailoring the body form to accomplish the numerical goal andgenerates goals and subgoals in relation to the form being deployed assigningbody parts in one-to-one correspondence to objects In this goal directed use of thebody form the individual reproduces but also alters the body system in relation tothe problem at hand In their reproduction and alteration we find continuity overhistorical time in culturally-elaborated forms but also alterations keyed to shiftingproblems that emerge in collective practices of cultural life

An investigation of shifting relationships between cultural forms and thefunctions they serve requires a coordinated treatment of three developmentalprocesses microgenetic the transformation of forms into means to accomplish

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emerging goals in the flow of activity sociogenetic or the reproduction andalteration of collective forms of representation in community networks throughhistorical time and ontogenetic the interplay between forms and functions as wellas means and goals in an individualrsquos activity over his or her own life course

To illustrate the developmental aspects of the framework I will focus on theOksapmin representational form for counting depicted in Figure 3 a systemelaborated over a complex cultural history To count with the 27 body-part systemone begins with the thumb on one hand and iterates names for body parts aroundthe upper periphery of the body to the little finger on the opposite hand In theOksapmin language there are no terms for number other than the body partsthemselves In traditional daily life people use the representational form of thebody part counting system to serve a variety of traditional socially recognizable

Figure 2 Relations between forms and functions (sociogenetic developments in culturalhistories) and means and goals (microgenetic constructions in action)

Figure 3 Traditional representational form for counting in Oksapmin communities

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functions (For videos of Oksapmin people displaying the system see httpwwwculturecognitioncom) Consider the ways that micro- socio- and ontogeneticprocesses are each inherent in the use of the system in Oksapmin collectivepractices

Microgenetic processes

Traditional Oksapmin people use the body part counting form to serve functionslike the quantification of a group of items Each time a person counts items theprocess of counting entails the microgenetic developmental process of construct-ing a numerical representation by turning the representational form into a meansto accomplish an emerging numerical goal For example to produce a cardinalnumber for a group of coins in a trade store interaction like the one shown inFigure 1 the customer turns the series of body parts into a numerical means as heassigns body parts in one-to-one correspondence with objects the customerrsquosactivity leads to a cardinal representation of a number like lsquoforearmrsquo for sevencoins (as schematized in Figure 2) The production of a cardinal value is amicrogenetic developmental process in the important sense that cardinal andordinal numbers are not contained in the representational form or in the objectsthemselves Rather individuals construct and interpret numerical representationsin acts of producing one-to-one correspondences summing and ordering (Piaget1970a)

Sociogenetic processes

The reproduction and alteration of collective representational forms like theOksapmin 27-body part counting system is a sociogenetic developmental processThe process occurs through many local interactions in communication and pro-blem solving in collective practices as individuals engage with emergent com-municative problems and problem solving through networks of interlocutors overhistorical time

To investigate sociogenetic developmental processes I conducted studies oncollective practices of economic exchange and of schooling with concern forunderstanding processes of reproduction of representational forms like the27-body part counting system and also the alterations of these forms To illustratemy empirical approach I focus here on Oksapmin bush schools which providedme with fertile ground in 1980 for the study of sociogenetic reproduction andalteration in the body part counting forms in a novel interplay between the bodyform and the emergence of arithmetic functions

In Oksapmin communities in the 1970s and at least part of the 1980s teachersin schools were not Oksapmin most were Papua New Guinea citizens from themore Westernized coastal regions and thus they had no knowledge of theOksapmin language or the counting system2 Instruction was in English asdictated by the Papua New Guinea national government educational policy andthe emphasis was on drill and practice approaches to mathematics instruction

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Though the body part system had not been used traditionally to solve additionand subtraction problems in Oksapmin communities (Saxe 1982 1985) in thecontext of English drill-and-practice curriculum I found that children were mak-ing sense of the mathematics in the alien English language in terms of theirindigenous body part system Further the sense making process led children tocreate novel arithmetic functions for the system Supportive evidence for thissociogenetic hypothesis mdash that engagement with arithmetical problems in schoolwas leading a community of Oksapmin children to generate novel functions forthe body system mdash came from several 1980 studies First supporting the con-jecture that traditionally the body system was not used to serve arithmeticalfunctions I found that traditional elders did not use the system effectively tosolve arithmetic problems (presented as story problems) such as 16ndash7 = Forexample as depicted in Figure 4 traditional elders correctly represented the firstterm of the problem with ear (16) but did not keep track of the subtrahend in theirsolution (Saxe 1982) iterating backwards from the ear-on-the-other side (16) ear(16) eye (15) nose (14) etc without a method of keeping track of the subtrac-tion of 7 from 16 Second in a study with Oksapmin school children (Saxe1985) I found that many children were developing novel and effective functionsfor the body system even though they had received no formal instruction with itFor example in one observational study students were documented counting ontheir bodies during an arithmetic test In another I found that when unschooledadolescents worked on solving arithmetic problems like 16ndash7 = they would usethe error-prone approach similar to that used by traditional elders (illustrated inFigure 4) In contrast even though they received no instruction with arithmeticusing the body system school children in Grades 4 and 6 almost all used adifferent approach they created correspondences that were not between bodyparts and objects but correspondences turned inward mdash correspondences betweenbody parts and body parts to serve the function of keeping track For example as

Figure 4 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual does not keep track ofthe subtraction of the second term forearm (7) from the first ear (16)

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depicted in Figure 5 to solve the same problem 16ndash7 = children would countdown from the ear (16) and keep track of the subtrahend by establishing succe-ssive correspondences between the ear (16) and the forearm (7) the eye (15) andthe first wrist (6) until the correspondence between the shoulder (10) and thethumb (1) was achieved leaving the body parts left after the subtraction of 7 orbiceps (9) Figure 6 shows a fourth grader explaining his keeping-track strategy

How did Oksapmin children develop their keeping-track-of-body-partsapproach to arithmetic problem solving The argument elaborated in my bookis that their shift to internal correspondences between body parts is the unintendedconsequence of local actions constructed to solve goals that emerged in school Iargue that as children worked on solving problems on their own and in interactionwith one another they made sense of problems and of one anotherrsquos effortsthereby reproducing the system but also altering it in innovative ways regulatedby their understanding of the numerical functions of one-to-one correspondence

Figure 5 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual keeps track of thesubtraction by creating one-to-one correspondences internal to the body system coordi-nating the subtraction of the forearm (7) from the ear (16)

Figure 6 A child using a keeping-track procedure as he creates a one-to-one correspon-dence between two body-part series (for video record of the childrsquos solution see httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Their novel constructions become new sociogenetic developments in the collec-tive representations of a community of school children these novel constructionscould over time become established in collective practices outside of school aschildren leave school and encounter similar arithmetic problems in trade storesand other contexts requiring arithmetic problem solving

Ontogenetic processes

A third developmental strand in my framework is ontogenesis mdash the developmentof cognition over an individualrsquos lifespan with a focus on the shifting relationsbetween cultural forms and the cognitive functions that they serve in activityOver the course of ontogenetic development an individual may use many differ-ent cultural forms mdash for example different forms for quantification includingwords body parts and written characters mdash though initially these forms oftenserve limited functions In the case of Oksapmin body counting for number forexample body part words may be used initially just to denote parts of the bodyLater as individuals are confronted with problems in collective practices thatinvolve number and communication about number they construct numericalfunctions and begin to treat forms like body parts for new numerical purposes

To examine ontogenetic shifts in body counting in 1978 and 1980 I conductedstudies in Oksapmin childrenrsquos developing use and understanding of their countingsystem to serve traditional functions I analysed age-related shifts in unschooledOksapmin childrenrsquos use of body-part counting when they were asked to compareor reproduce groups of objects as well as when they were asked to measure stringbags In one study conducted in 1978 (Saxe 1981) I found that although youngerOksapmin children could recite body parts in the conventional sequence they didnot use reference to body parts to mediate numerical comparisons and reproduc-tions For example if asked to reproduce numerically a group of stones childrenwould create an approximate number in their copy without the use of body parts tocount each group As another example when asked to make numerical compar-isons between different body parts in the body system children often used sym-metry between body parts to make comparative numerical judgments (iesymmetrical body parts were judged to have the same value) In contrast whenthese kinds of problems were posed to older children older children displayedgreater abilities to use the body part form to serve the numerical functions ofnumerical reproductions and comparisons Of course the form-function shift inbody parts is one of many such shifts in the ontogeny of quantification forindividuals in the Oksapmin world and in Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies I document many others

Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronicperspective

I have argued that collective practices that emerge in economic exchanges andclassrooms in Oksapmin communities are semi-durable structures of activity and

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I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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Studying culture-cognition relations in collective practices ofdaily life a research framework El estudio de las relaciones

cultura-cognicioacuten en las praacutecticas colectivas cotidianas un modelode investigacioacuten

Geoffrey B Saxe

University of California

(Received 19 January 2015 accepted 20 February 2015)

Abstract This article sketches a framework for the study and analysis ofculture-cognition relations that I present in my recent book CulturalDevelopment of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studies Taking anhistorical approach I focus on the reproduction and alteration of representa-tional forms for number and the functions that representational forms serve incollective practices in and out of school My key argument is that in thecontext of their goal-directed communicative activities in collective practicesin daily life people unwittingly reproduce and alter representational formsand the functions that these forms serve The process leads to continuities anddiscontinuities in form-function relations in communities over historical timeTo provide evidence for this process and its role in the cultural developmentof ideas I report selected findings from research conducted in 1978 1980 and2001 in Oksapmin communities I focus on historical shifts in the forms andfunctions of the Oksapmin body part counting system over time I then updatethat body of research with a sketch of a recent 2014 follow-up study I closewith reflections on the utility of my framework for the study of culture-cognition relations in other communities and on cognitive domains otherthan mathematics

Keywords mathematical cognition cognitive development Papua NewGuinea sociogenesis microgenesis representation

Resumen Este artiacuteculo esboza un modelo para el estudio y anaacutelisis de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten que he presentado en mi recientepublicacioacuten Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Desarrollo cultural de las ideas matemaacuteticas Estudios enPapuacutea Nueva Guinea) Adoptando un enfoque histoacuterico me centro en lareproduccioacuten y alteracioacuten de las formas de representacioacuten del nuacutemero y lasfunciones que estas formas representacionales desempentildean en las praacutecticascolectivas dentro y fuera de la escuela Mi principal argumento es que en el

English version pp 1ndash17 Versioacuten en espantildeol pp 18ndash34References Referencias pp 34ndash36Translated from English Traduccioacuten del ingleacutes Mercegrave RiusAuthorrsquos Address Correspondencia con el autor Graduate School of EducationUniversity of California Berkeley CA USA E-mail saxeberkeleyedu

Infancia y Aprendizaje Journal for the Study of Education and Development 2015httpdxdoiorg1010800210370220151054669

copy 2015 Fundacion Infancia y Aprendizaje

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contexto de las actividades comunicativas dirigidas a la consecucioacuten de metasen las praacutecticas colectivas en la vida cotidiana las personas involuntariamentereproducen y alteran las formas de representacioacuten y las funciones para las queesas formas se utilizan Este proceso provoca continuidades y discontinui-dades en las relaciones entre forma y funcioacuten en las comunidades a lo largodel tiempo Para mostrar evidencias de este proceso y su papel en el desarrollocultural de las ideas informo de hallazgos seleccionados de las investiga-ciones realizadas en 1978 1980 y 2001 en comunidades oksapmin Me centroen los desplazamientos histoacutericos en las formas y las funciones del sistema decoacutemputo oksapmin basado en las partes del cuerpo A continuacioacuten actualizoese cuerpo de investigacioacuten con un bosquejo de un estudio reciente deseguimiento realizado en 2014 Finalizo el artiacuteculo con algunas reflexionessobre la utilidad de mi modelo para el estudio de las relaciones entre cultura ycognicioacuten en otras comunidades y en dominios de conocimiento diferentes delas matemaacuteticas

Palabras clave cognicioacuten matemaacutetica desarrollo cognitive Papuacutea NuevaGuinea sociogeacutenesis microgeacutenesis representacioacuten

In my recent book Cultural Development of Mathematical Ideas PapuaNew Guinea Studies (Saxe 2012) I present a theoretical framework and empiricaltechniques for understanding the interplay between cultural and cognitive-developmental processes in numerical thought I use my fieldwork conducted in1978 1980 and 2001 with a remote Papua New Guinea group the Oksapmin toillustrate the framework and empirical methods The framework builds on but alsodeparts from the seminal contributions of Piaget (1963 1970b) and Vygotsky(1978 1986) as well as activity-theoretic formulations of culture-cognition rela-tions (Bateson 1972 Cole 1996 Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008Wertsch 1991) One of the novel arguments in my approach is that an adequatetreatment of cultural-cognition relations requires an understanding of the complexinterplay between cultural-historical and developmental processes in humanthought over time1 In the present article I review and build upon the bookrsquosconceptual and empirical contributions with an extension to new observationsmade in a 2014 return to Oksapmin communities

Studying the interplay between cultural-historical and developmentalprocesses in numerical thought

In everyday talk and problem solving people use representations for quantityRepresentations include expressions like lsquohow muchrsquo lsquotoo muchrsquo or lsquonotenoughrsquo as well as lsquolongrsquo lsquoshortrsquo and lsquotinyrsquo The representations and ideas alsoinclude numeration whether in the form of counting words or orthographicrepresentational forms like the Hindu-Arabic numeration system and its placevalue structure The question that frames my book is lsquoWhat is the origin of themathematical representations and ideas that populate peoplersquos everyday speechand problem solving activitiesrsquo The question lies at the intersection of culturalanthropology sociology developmental psychology and education and it invitessome answers that I consider in my book and then reject

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One answer to questions about origins appeals to biological treatments ofcognition mathematical structures or ideas are a product of the evolution of ourspecies and thus built into our central nervous system and representational formsare expressions of these native ideas But biological approaches fail to deal withhow and why collective representations take form differently over the socialhistories of different human communities Moreover they do not explain howdiverse representations and ideas originate mdash how for example representationsfor number differ in school on the job or in casual conversation

Another answer to questions about origins is that we learn mathematical ideasfrom the cultural worlds in which we participate whether in school on the job inconversations with others or as a part of the languages we learn as young childrenThis answer fails to address cultural-historical and developmental questions mdashwhat are the historical origins of representations that are learned in school on thejob or in conversations and how does the use of these representations shift aschildren develop

In the cultural-historical and developmental approach I present in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I make use of my fieldwork in Oksapmincommunities conducted in 1978 1980 and 2001 to support my arguments thatboth cognition and culture should be treated as processes that are jointly rooted inhuman activity In this article I begin by summarizing cultural-historical anddevelopmental aspects of the framework and illustrating their joint roots inactivity I then describe empirical studies that are drawn from my prior empiricalwork on the Oksapmin 27-body part counting system from 1978 through 2001 Ishow that the knowledge and use of the body system have generally beendeclining in Oksapmin communities yet at the same time new kinds of collectivepractices are emerging that support an increase in the use of the body countsystem but with an altered structure to serve novel functions I conclude byshowing how the framework and prior empirical studies informed my recent2014 research in Oksapmin I end by pointing to ways the framework can supportinquiry in other communities and into knowledge domains other thanmathematics

Cultural-historical aspects of the framework

My approach is cultural-historical in the sense that foci for analyses are recurringstructures of joint activity in communities what I refer to as collective practicesExamples of collective practices that I examine in my research include customer-store clerk transactions in Oksapmin trade stores as well as teacher-studentinteraction in Oksapmin bush schools In collective practices in these arenas ofactivity participants cognize mathematical problems that are inherently situated incultural-historical time store goods are exchanged for currency in a particulartime period in Oksapmin history and a studentrsquos efforts to solve an arithmeticproblem that a teacher has posed take place in a particular time period in thehistory of Oksapmin bush schooling As the participants attempt to solveemerging problems in collective practices problems are lsquotaken-as-sharedrsquo

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(Cobb Wood Yackel amp McNeal 1992) mdash understood in more or less commonterms in ways that support coordinated activity A store clerk and a customer forexample manage to exchange goods for currency in a trade store because theycoordinate their activities mdash owner determines how much cash is needed custo-mer produces cash and owner evaluates payment

As individual actors participate in accomplishing a taken-as-shared jointproblem in collective practices they inevitably divide the cognitive work inrelation to social positions and their goals emerge and shift in relation to theseemerging roles as well as the representational forms they use For example acustomer may create the goal to present more currency than the cost of an item atone moment and a clerk may create the goal to return appropriate change for thepayment as another For either the clerk or customer to use the Oksapmin 27-bodypart counting system to solve an arithmetic problemmdash like adding the forearm (7)to the elbow (8) mdash has implications for emergent goals and subgoals that aredifferent from those entailed in performing the same addition with a strictly verbalcounting system for number

To illustrate the culturally and historically situated problems and emerginggoals in collective practices I present an observation of one exchange thatoccurred at an Oksapmin trade store in 1978 The actors in the observation arethe store clerk and two customers shown in Figure 1 Moments prior to the scenecaptured in the photos the customers had requested cans of fish from the clerk

Figure 1 Two men making a purchase of cans of fish in the mission trade store from astore clerk

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the clerk had retrieved them and the customers presented payment For each phaseof this instance of a collective practice participating individuals accomplishedsuccessive goals that emerged in relation to each participantrsquos actions and inter-pretations In Figure 1a through Figure 1i one customer retrieved payment inPapua New Guinea currency from a small tin that he kept in his string bag andrequested additional cans of fish (Figure 1andashd) In Figure 1e the clerk returnedwith additional cans and in Figure 1fndash1i payment was made and change wasreturned Over the course of the phases the clerk constructed goals to tally thecost of items to customers and produced means of achieving them a customercreated goals of determining how much cash to present in relation to the cost ofthe items

Collective practices like that of economic exchange in the Oksapmin tradestore are relatively durable in the sense that they are common patterns of jointactivity over multiple locations and through spans of time That said they have noinherent permanence Indeed structures of activity mdash including individualsrsquoconstruction of goals and means to accomplish mdash are dynamic shifting andephemeral Further the artifacts that are constitutive of emergent numericalproblems in such exchanges mdash the cash and commodities mdash have no inherentnumerical or exchange value Rather artifacts take on meaning as they areinterpreted and used in the exchanges The recurring activity structures and themeanings attributed to artifacts are more or less predictable because they arerooted in precedent rendering them interpretable to the participants

Developmental aspects of the framework

My framework is also developmental I argue that historically rooted culturalforms (like the Oksapmin 27-body part counting system) and the functions theyserve in collective practices are not static Rather in the context of communicativeand problem solving activity individuals turn forms into means to accomplishgoals that serve cognitive functions in activity In this process forms and theirfunctions are reproduced and inevitably altered in communities over historicaltime

Figure 2 depicts relations between forms and functions on the one hand andmeans and goals on the other As illustrated in the figure in the act of counting inan exchange an individual quantifies a collection of coins (the small circles inFigure 2) by tailoring the body form to accomplish the numerical goal andgenerates goals and subgoals in relation to the form being deployed assigningbody parts in one-to-one correspondence to objects In this goal directed use of thebody form the individual reproduces but also alters the body system in relation tothe problem at hand In their reproduction and alteration we find continuity overhistorical time in culturally-elaborated forms but also alterations keyed to shiftingproblems that emerge in collective practices of cultural life

An investigation of shifting relationships between cultural forms and thefunctions they serve requires a coordinated treatment of three developmentalprocesses microgenetic the transformation of forms into means to accomplish

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emerging goals in the flow of activity sociogenetic or the reproduction andalteration of collective forms of representation in community networks throughhistorical time and ontogenetic the interplay between forms and functions as wellas means and goals in an individualrsquos activity over his or her own life course

To illustrate the developmental aspects of the framework I will focus on theOksapmin representational form for counting depicted in Figure 3 a systemelaborated over a complex cultural history To count with the 27 body-part systemone begins with the thumb on one hand and iterates names for body parts aroundthe upper periphery of the body to the little finger on the opposite hand In theOksapmin language there are no terms for number other than the body partsthemselves In traditional daily life people use the representational form of thebody part counting system to serve a variety of traditional socially recognizable

Figure 2 Relations between forms and functions (sociogenetic developments in culturalhistories) and means and goals (microgenetic constructions in action)

Figure 3 Traditional representational form for counting in Oksapmin communities

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functions (For videos of Oksapmin people displaying the system see httpwwwculturecognitioncom) Consider the ways that micro- socio- and ontogeneticprocesses are each inherent in the use of the system in Oksapmin collectivepractices

Microgenetic processes

Traditional Oksapmin people use the body part counting form to serve functionslike the quantification of a group of items Each time a person counts items theprocess of counting entails the microgenetic developmental process of construct-ing a numerical representation by turning the representational form into a meansto accomplish an emerging numerical goal For example to produce a cardinalnumber for a group of coins in a trade store interaction like the one shown inFigure 1 the customer turns the series of body parts into a numerical means as heassigns body parts in one-to-one correspondence with objects the customerrsquosactivity leads to a cardinal representation of a number like lsquoforearmrsquo for sevencoins (as schematized in Figure 2) The production of a cardinal value is amicrogenetic developmental process in the important sense that cardinal andordinal numbers are not contained in the representational form or in the objectsthemselves Rather individuals construct and interpret numerical representationsin acts of producing one-to-one correspondences summing and ordering (Piaget1970a)

Sociogenetic processes

The reproduction and alteration of collective representational forms like theOksapmin 27-body part counting system is a sociogenetic developmental processThe process occurs through many local interactions in communication and pro-blem solving in collective practices as individuals engage with emergent com-municative problems and problem solving through networks of interlocutors overhistorical time

To investigate sociogenetic developmental processes I conducted studies oncollective practices of economic exchange and of schooling with concern forunderstanding processes of reproduction of representational forms like the27-body part counting system and also the alterations of these forms To illustratemy empirical approach I focus here on Oksapmin bush schools which providedme with fertile ground in 1980 for the study of sociogenetic reproduction andalteration in the body part counting forms in a novel interplay between the bodyform and the emergence of arithmetic functions

In Oksapmin communities in the 1970s and at least part of the 1980s teachersin schools were not Oksapmin most were Papua New Guinea citizens from themore Westernized coastal regions and thus they had no knowledge of theOksapmin language or the counting system2 Instruction was in English asdictated by the Papua New Guinea national government educational policy andthe emphasis was on drill and practice approaches to mathematics instruction

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Though the body part system had not been used traditionally to solve additionand subtraction problems in Oksapmin communities (Saxe 1982 1985) in thecontext of English drill-and-practice curriculum I found that children were mak-ing sense of the mathematics in the alien English language in terms of theirindigenous body part system Further the sense making process led children tocreate novel arithmetic functions for the system Supportive evidence for thissociogenetic hypothesis mdash that engagement with arithmetical problems in schoolwas leading a community of Oksapmin children to generate novel functions forthe body system mdash came from several 1980 studies First supporting the con-jecture that traditionally the body system was not used to serve arithmeticalfunctions I found that traditional elders did not use the system effectively tosolve arithmetic problems (presented as story problems) such as 16ndash7 = Forexample as depicted in Figure 4 traditional elders correctly represented the firstterm of the problem with ear (16) but did not keep track of the subtrahend in theirsolution (Saxe 1982) iterating backwards from the ear-on-the-other side (16) ear(16) eye (15) nose (14) etc without a method of keeping track of the subtrac-tion of 7 from 16 Second in a study with Oksapmin school children (Saxe1985) I found that many children were developing novel and effective functionsfor the body system even though they had received no formal instruction with itFor example in one observational study students were documented counting ontheir bodies during an arithmetic test In another I found that when unschooledadolescents worked on solving arithmetic problems like 16ndash7 = they would usethe error-prone approach similar to that used by traditional elders (illustrated inFigure 4) In contrast even though they received no instruction with arithmeticusing the body system school children in Grades 4 and 6 almost all used adifferent approach they created correspondences that were not between bodyparts and objects but correspondences turned inward mdash correspondences betweenbody parts and body parts to serve the function of keeping track For example as

Figure 4 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual does not keep track ofthe subtraction of the second term forearm (7) from the first ear (16)

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depicted in Figure 5 to solve the same problem 16ndash7 = children would countdown from the ear (16) and keep track of the subtrahend by establishing succe-ssive correspondences between the ear (16) and the forearm (7) the eye (15) andthe first wrist (6) until the correspondence between the shoulder (10) and thethumb (1) was achieved leaving the body parts left after the subtraction of 7 orbiceps (9) Figure 6 shows a fourth grader explaining his keeping-track strategy

How did Oksapmin children develop their keeping-track-of-body-partsapproach to arithmetic problem solving The argument elaborated in my bookis that their shift to internal correspondences between body parts is the unintendedconsequence of local actions constructed to solve goals that emerged in school Iargue that as children worked on solving problems on their own and in interactionwith one another they made sense of problems and of one anotherrsquos effortsthereby reproducing the system but also altering it in innovative ways regulatedby their understanding of the numerical functions of one-to-one correspondence

Figure 5 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual keeps track of thesubtraction by creating one-to-one correspondences internal to the body system coordi-nating the subtraction of the forearm (7) from the ear (16)

Figure 6 A child using a keeping-track procedure as he creates a one-to-one correspon-dence between two body-part series (for video record of the childrsquos solution see httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Their novel constructions become new sociogenetic developments in the collec-tive representations of a community of school children these novel constructionscould over time become established in collective practices outside of school aschildren leave school and encounter similar arithmetic problems in trade storesand other contexts requiring arithmetic problem solving

Ontogenetic processes

A third developmental strand in my framework is ontogenesis mdash the developmentof cognition over an individualrsquos lifespan with a focus on the shifting relationsbetween cultural forms and the cognitive functions that they serve in activityOver the course of ontogenetic development an individual may use many differ-ent cultural forms mdash for example different forms for quantification includingwords body parts and written characters mdash though initially these forms oftenserve limited functions In the case of Oksapmin body counting for number forexample body part words may be used initially just to denote parts of the bodyLater as individuals are confronted with problems in collective practices thatinvolve number and communication about number they construct numericalfunctions and begin to treat forms like body parts for new numerical purposes

To examine ontogenetic shifts in body counting in 1978 and 1980 I conductedstudies in Oksapmin childrenrsquos developing use and understanding of their countingsystem to serve traditional functions I analysed age-related shifts in unschooledOksapmin childrenrsquos use of body-part counting when they were asked to compareor reproduce groups of objects as well as when they were asked to measure stringbags In one study conducted in 1978 (Saxe 1981) I found that although youngerOksapmin children could recite body parts in the conventional sequence they didnot use reference to body parts to mediate numerical comparisons and reproduc-tions For example if asked to reproduce numerically a group of stones childrenwould create an approximate number in their copy without the use of body parts tocount each group As another example when asked to make numerical compar-isons between different body parts in the body system children often used sym-metry between body parts to make comparative numerical judgments (iesymmetrical body parts were judged to have the same value) In contrast whenthese kinds of problems were posed to older children older children displayedgreater abilities to use the body part form to serve the numerical functions ofnumerical reproductions and comparisons Of course the form-function shift inbody parts is one of many such shifts in the ontogeny of quantification forindividuals in the Oksapmin world and in Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies I document many others

Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronicperspective

I have argued that collective practices that emerge in economic exchanges andclassrooms in Oksapmin communities are semi-durable structures of activity and

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I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 3: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

Studying culture-cognition relations in collective practices ofdaily life a research framework El estudio de las relaciones

cultura-cognicioacuten en las praacutecticas colectivas cotidianas un modelode investigacioacuten

Geoffrey B Saxe

University of California

(Received 19 January 2015 accepted 20 February 2015)

Abstract This article sketches a framework for the study and analysis ofculture-cognition relations that I present in my recent book CulturalDevelopment of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studies Taking anhistorical approach I focus on the reproduction and alteration of representa-tional forms for number and the functions that representational forms serve incollective practices in and out of school My key argument is that in thecontext of their goal-directed communicative activities in collective practicesin daily life people unwittingly reproduce and alter representational formsand the functions that these forms serve The process leads to continuities anddiscontinuities in form-function relations in communities over historical timeTo provide evidence for this process and its role in the cultural developmentof ideas I report selected findings from research conducted in 1978 1980 and2001 in Oksapmin communities I focus on historical shifts in the forms andfunctions of the Oksapmin body part counting system over time I then updatethat body of research with a sketch of a recent 2014 follow-up study I closewith reflections on the utility of my framework for the study of culture-cognition relations in other communities and on cognitive domains otherthan mathematics

Keywords mathematical cognition cognitive development Papua NewGuinea sociogenesis microgenesis representation

Resumen Este artiacuteculo esboza un modelo para el estudio y anaacutelisis de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten que he presentado en mi recientepublicacioacuten Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Desarrollo cultural de las ideas matemaacuteticas Estudios enPapuacutea Nueva Guinea) Adoptando un enfoque histoacuterico me centro en lareproduccioacuten y alteracioacuten de las formas de representacioacuten del nuacutemero y lasfunciones que estas formas representacionales desempentildean en las praacutecticascolectivas dentro y fuera de la escuela Mi principal argumento es que en el

English version pp 1ndash17 Versioacuten en espantildeol pp 18ndash34References Referencias pp 34ndash36Translated from English Traduccioacuten del ingleacutes Mercegrave RiusAuthorrsquos Address Correspondencia con el autor Graduate School of EducationUniversity of California Berkeley CA USA E-mail saxeberkeleyedu

Infancia y Aprendizaje Journal for the Study of Education and Development 2015httpdxdoiorg1010800210370220151054669

copy 2015 Fundacion Infancia y Aprendizaje

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contexto de las actividades comunicativas dirigidas a la consecucioacuten de metasen las praacutecticas colectivas en la vida cotidiana las personas involuntariamentereproducen y alteran las formas de representacioacuten y las funciones para las queesas formas se utilizan Este proceso provoca continuidades y discontinui-dades en las relaciones entre forma y funcioacuten en las comunidades a lo largodel tiempo Para mostrar evidencias de este proceso y su papel en el desarrollocultural de las ideas informo de hallazgos seleccionados de las investiga-ciones realizadas en 1978 1980 y 2001 en comunidades oksapmin Me centroen los desplazamientos histoacutericos en las formas y las funciones del sistema decoacutemputo oksapmin basado en las partes del cuerpo A continuacioacuten actualizoese cuerpo de investigacioacuten con un bosquejo de un estudio reciente deseguimiento realizado en 2014 Finalizo el artiacuteculo con algunas reflexionessobre la utilidad de mi modelo para el estudio de las relaciones entre cultura ycognicioacuten en otras comunidades y en dominios de conocimiento diferentes delas matemaacuteticas

Palabras clave cognicioacuten matemaacutetica desarrollo cognitive Papuacutea NuevaGuinea sociogeacutenesis microgeacutenesis representacioacuten

In my recent book Cultural Development of Mathematical Ideas PapuaNew Guinea Studies (Saxe 2012) I present a theoretical framework and empiricaltechniques for understanding the interplay between cultural and cognitive-developmental processes in numerical thought I use my fieldwork conducted in1978 1980 and 2001 with a remote Papua New Guinea group the Oksapmin toillustrate the framework and empirical methods The framework builds on but alsodeparts from the seminal contributions of Piaget (1963 1970b) and Vygotsky(1978 1986) as well as activity-theoretic formulations of culture-cognition rela-tions (Bateson 1972 Cole 1996 Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008Wertsch 1991) One of the novel arguments in my approach is that an adequatetreatment of cultural-cognition relations requires an understanding of the complexinterplay between cultural-historical and developmental processes in humanthought over time1 In the present article I review and build upon the bookrsquosconceptual and empirical contributions with an extension to new observationsmade in a 2014 return to Oksapmin communities

Studying the interplay between cultural-historical and developmentalprocesses in numerical thought

In everyday talk and problem solving people use representations for quantityRepresentations include expressions like lsquohow muchrsquo lsquotoo muchrsquo or lsquonotenoughrsquo as well as lsquolongrsquo lsquoshortrsquo and lsquotinyrsquo The representations and ideas alsoinclude numeration whether in the form of counting words or orthographicrepresentational forms like the Hindu-Arabic numeration system and its placevalue structure The question that frames my book is lsquoWhat is the origin of themathematical representations and ideas that populate peoplersquos everyday speechand problem solving activitiesrsquo The question lies at the intersection of culturalanthropology sociology developmental psychology and education and it invitessome answers that I consider in my book and then reject

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One answer to questions about origins appeals to biological treatments ofcognition mathematical structures or ideas are a product of the evolution of ourspecies and thus built into our central nervous system and representational formsare expressions of these native ideas But biological approaches fail to deal withhow and why collective representations take form differently over the socialhistories of different human communities Moreover they do not explain howdiverse representations and ideas originate mdash how for example representationsfor number differ in school on the job or in casual conversation

Another answer to questions about origins is that we learn mathematical ideasfrom the cultural worlds in which we participate whether in school on the job inconversations with others or as a part of the languages we learn as young childrenThis answer fails to address cultural-historical and developmental questions mdashwhat are the historical origins of representations that are learned in school on thejob or in conversations and how does the use of these representations shift aschildren develop

In the cultural-historical and developmental approach I present in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I make use of my fieldwork in Oksapmincommunities conducted in 1978 1980 and 2001 to support my arguments thatboth cognition and culture should be treated as processes that are jointly rooted inhuman activity In this article I begin by summarizing cultural-historical anddevelopmental aspects of the framework and illustrating their joint roots inactivity I then describe empirical studies that are drawn from my prior empiricalwork on the Oksapmin 27-body part counting system from 1978 through 2001 Ishow that the knowledge and use of the body system have generally beendeclining in Oksapmin communities yet at the same time new kinds of collectivepractices are emerging that support an increase in the use of the body countsystem but with an altered structure to serve novel functions I conclude byshowing how the framework and prior empirical studies informed my recent2014 research in Oksapmin I end by pointing to ways the framework can supportinquiry in other communities and into knowledge domains other thanmathematics

Cultural-historical aspects of the framework

My approach is cultural-historical in the sense that foci for analyses are recurringstructures of joint activity in communities what I refer to as collective practicesExamples of collective practices that I examine in my research include customer-store clerk transactions in Oksapmin trade stores as well as teacher-studentinteraction in Oksapmin bush schools In collective practices in these arenas ofactivity participants cognize mathematical problems that are inherently situated incultural-historical time store goods are exchanged for currency in a particulartime period in Oksapmin history and a studentrsquos efforts to solve an arithmeticproblem that a teacher has posed take place in a particular time period in thehistory of Oksapmin bush schooling As the participants attempt to solveemerging problems in collective practices problems are lsquotaken-as-sharedrsquo

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(Cobb Wood Yackel amp McNeal 1992) mdash understood in more or less commonterms in ways that support coordinated activity A store clerk and a customer forexample manage to exchange goods for currency in a trade store because theycoordinate their activities mdash owner determines how much cash is needed custo-mer produces cash and owner evaluates payment

As individual actors participate in accomplishing a taken-as-shared jointproblem in collective practices they inevitably divide the cognitive work inrelation to social positions and their goals emerge and shift in relation to theseemerging roles as well as the representational forms they use For example acustomer may create the goal to present more currency than the cost of an item atone moment and a clerk may create the goal to return appropriate change for thepayment as another For either the clerk or customer to use the Oksapmin 27-bodypart counting system to solve an arithmetic problemmdash like adding the forearm (7)to the elbow (8) mdash has implications for emergent goals and subgoals that aredifferent from those entailed in performing the same addition with a strictly verbalcounting system for number

To illustrate the culturally and historically situated problems and emerginggoals in collective practices I present an observation of one exchange thatoccurred at an Oksapmin trade store in 1978 The actors in the observation arethe store clerk and two customers shown in Figure 1 Moments prior to the scenecaptured in the photos the customers had requested cans of fish from the clerk

Figure 1 Two men making a purchase of cans of fish in the mission trade store from astore clerk

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the clerk had retrieved them and the customers presented payment For each phaseof this instance of a collective practice participating individuals accomplishedsuccessive goals that emerged in relation to each participantrsquos actions and inter-pretations In Figure 1a through Figure 1i one customer retrieved payment inPapua New Guinea currency from a small tin that he kept in his string bag andrequested additional cans of fish (Figure 1andashd) In Figure 1e the clerk returnedwith additional cans and in Figure 1fndash1i payment was made and change wasreturned Over the course of the phases the clerk constructed goals to tally thecost of items to customers and produced means of achieving them a customercreated goals of determining how much cash to present in relation to the cost ofthe items

Collective practices like that of economic exchange in the Oksapmin tradestore are relatively durable in the sense that they are common patterns of jointactivity over multiple locations and through spans of time That said they have noinherent permanence Indeed structures of activity mdash including individualsrsquoconstruction of goals and means to accomplish mdash are dynamic shifting andephemeral Further the artifacts that are constitutive of emergent numericalproblems in such exchanges mdash the cash and commodities mdash have no inherentnumerical or exchange value Rather artifacts take on meaning as they areinterpreted and used in the exchanges The recurring activity structures and themeanings attributed to artifacts are more or less predictable because they arerooted in precedent rendering them interpretable to the participants

Developmental aspects of the framework

My framework is also developmental I argue that historically rooted culturalforms (like the Oksapmin 27-body part counting system) and the functions theyserve in collective practices are not static Rather in the context of communicativeand problem solving activity individuals turn forms into means to accomplishgoals that serve cognitive functions in activity In this process forms and theirfunctions are reproduced and inevitably altered in communities over historicaltime

Figure 2 depicts relations between forms and functions on the one hand andmeans and goals on the other As illustrated in the figure in the act of counting inan exchange an individual quantifies a collection of coins (the small circles inFigure 2) by tailoring the body form to accomplish the numerical goal andgenerates goals and subgoals in relation to the form being deployed assigningbody parts in one-to-one correspondence to objects In this goal directed use of thebody form the individual reproduces but also alters the body system in relation tothe problem at hand In their reproduction and alteration we find continuity overhistorical time in culturally-elaborated forms but also alterations keyed to shiftingproblems that emerge in collective practices of cultural life

An investigation of shifting relationships between cultural forms and thefunctions they serve requires a coordinated treatment of three developmentalprocesses microgenetic the transformation of forms into means to accomplish

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emerging goals in the flow of activity sociogenetic or the reproduction andalteration of collective forms of representation in community networks throughhistorical time and ontogenetic the interplay between forms and functions as wellas means and goals in an individualrsquos activity over his or her own life course

To illustrate the developmental aspects of the framework I will focus on theOksapmin representational form for counting depicted in Figure 3 a systemelaborated over a complex cultural history To count with the 27 body-part systemone begins with the thumb on one hand and iterates names for body parts aroundthe upper periphery of the body to the little finger on the opposite hand In theOksapmin language there are no terms for number other than the body partsthemselves In traditional daily life people use the representational form of thebody part counting system to serve a variety of traditional socially recognizable

Figure 2 Relations between forms and functions (sociogenetic developments in culturalhistories) and means and goals (microgenetic constructions in action)

Figure 3 Traditional representational form for counting in Oksapmin communities

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functions (For videos of Oksapmin people displaying the system see httpwwwculturecognitioncom) Consider the ways that micro- socio- and ontogeneticprocesses are each inherent in the use of the system in Oksapmin collectivepractices

Microgenetic processes

Traditional Oksapmin people use the body part counting form to serve functionslike the quantification of a group of items Each time a person counts items theprocess of counting entails the microgenetic developmental process of construct-ing a numerical representation by turning the representational form into a meansto accomplish an emerging numerical goal For example to produce a cardinalnumber for a group of coins in a trade store interaction like the one shown inFigure 1 the customer turns the series of body parts into a numerical means as heassigns body parts in one-to-one correspondence with objects the customerrsquosactivity leads to a cardinal representation of a number like lsquoforearmrsquo for sevencoins (as schematized in Figure 2) The production of a cardinal value is amicrogenetic developmental process in the important sense that cardinal andordinal numbers are not contained in the representational form or in the objectsthemselves Rather individuals construct and interpret numerical representationsin acts of producing one-to-one correspondences summing and ordering (Piaget1970a)

Sociogenetic processes

The reproduction and alteration of collective representational forms like theOksapmin 27-body part counting system is a sociogenetic developmental processThe process occurs through many local interactions in communication and pro-blem solving in collective practices as individuals engage with emergent com-municative problems and problem solving through networks of interlocutors overhistorical time

To investigate sociogenetic developmental processes I conducted studies oncollective practices of economic exchange and of schooling with concern forunderstanding processes of reproduction of representational forms like the27-body part counting system and also the alterations of these forms To illustratemy empirical approach I focus here on Oksapmin bush schools which providedme with fertile ground in 1980 for the study of sociogenetic reproduction andalteration in the body part counting forms in a novel interplay between the bodyform and the emergence of arithmetic functions

In Oksapmin communities in the 1970s and at least part of the 1980s teachersin schools were not Oksapmin most were Papua New Guinea citizens from themore Westernized coastal regions and thus they had no knowledge of theOksapmin language or the counting system2 Instruction was in English asdictated by the Papua New Guinea national government educational policy andthe emphasis was on drill and practice approaches to mathematics instruction

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Though the body part system had not been used traditionally to solve additionand subtraction problems in Oksapmin communities (Saxe 1982 1985) in thecontext of English drill-and-practice curriculum I found that children were mak-ing sense of the mathematics in the alien English language in terms of theirindigenous body part system Further the sense making process led children tocreate novel arithmetic functions for the system Supportive evidence for thissociogenetic hypothesis mdash that engagement with arithmetical problems in schoolwas leading a community of Oksapmin children to generate novel functions forthe body system mdash came from several 1980 studies First supporting the con-jecture that traditionally the body system was not used to serve arithmeticalfunctions I found that traditional elders did not use the system effectively tosolve arithmetic problems (presented as story problems) such as 16ndash7 = Forexample as depicted in Figure 4 traditional elders correctly represented the firstterm of the problem with ear (16) but did not keep track of the subtrahend in theirsolution (Saxe 1982) iterating backwards from the ear-on-the-other side (16) ear(16) eye (15) nose (14) etc without a method of keeping track of the subtrac-tion of 7 from 16 Second in a study with Oksapmin school children (Saxe1985) I found that many children were developing novel and effective functionsfor the body system even though they had received no formal instruction with itFor example in one observational study students were documented counting ontheir bodies during an arithmetic test In another I found that when unschooledadolescents worked on solving arithmetic problems like 16ndash7 = they would usethe error-prone approach similar to that used by traditional elders (illustrated inFigure 4) In contrast even though they received no instruction with arithmeticusing the body system school children in Grades 4 and 6 almost all used adifferent approach they created correspondences that were not between bodyparts and objects but correspondences turned inward mdash correspondences betweenbody parts and body parts to serve the function of keeping track For example as

Figure 4 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual does not keep track ofthe subtraction of the second term forearm (7) from the first ear (16)

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depicted in Figure 5 to solve the same problem 16ndash7 = children would countdown from the ear (16) and keep track of the subtrahend by establishing succe-ssive correspondences between the ear (16) and the forearm (7) the eye (15) andthe first wrist (6) until the correspondence between the shoulder (10) and thethumb (1) was achieved leaving the body parts left after the subtraction of 7 orbiceps (9) Figure 6 shows a fourth grader explaining his keeping-track strategy

How did Oksapmin children develop their keeping-track-of-body-partsapproach to arithmetic problem solving The argument elaborated in my bookis that their shift to internal correspondences between body parts is the unintendedconsequence of local actions constructed to solve goals that emerged in school Iargue that as children worked on solving problems on their own and in interactionwith one another they made sense of problems and of one anotherrsquos effortsthereby reproducing the system but also altering it in innovative ways regulatedby their understanding of the numerical functions of one-to-one correspondence

Figure 5 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual keeps track of thesubtraction by creating one-to-one correspondences internal to the body system coordi-nating the subtraction of the forearm (7) from the ear (16)

Figure 6 A child using a keeping-track procedure as he creates a one-to-one correspon-dence between two body-part series (for video record of the childrsquos solution see httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Their novel constructions become new sociogenetic developments in the collec-tive representations of a community of school children these novel constructionscould over time become established in collective practices outside of school aschildren leave school and encounter similar arithmetic problems in trade storesand other contexts requiring arithmetic problem solving

Ontogenetic processes

A third developmental strand in my framework is ontogenesis mdash the developmentof cognition over an individualrsquos lifespan with a focus on the shifting relationsbetween cultural forms and the cognitive functions that they serve in activityOver the course of ontogenetic development an individual may use many differ-ent cultural forms mdash for example different forms for quantification includingwords body parts and written characters mdash though initially these forms oftenserve limited functions In the case of Oksapmin body counting for number forexample body part words may be used initially just to denote parts of the bodyLater as individuals are confronted with problems in collective practices thatinvolve number and communication about number they construct numericalfunctions and begin to treat forms like body parts for new numerical purposes

To examine ontogenetic shifts in body counting in 1978 and 1980 I conductedstudies in Oksapmin childrenrsquos developing use and understanding of their countingsystem to serve traditional functions I analysed age-related shifts in unschooledOksapmin childrenrsquos use of body-part counting when they were asked to compareor reproduce groups of objects as well as when they were asked to measure stringbags In one study conducted in 1978 (Saxe 1981) I found that although youngerOksapmin children could recite body parts in the conventional sequence they didnot use reference to body parts to mediate numerical comparisons and reproduc-tions For example if asked to reproduce numerically a group of stones childrenwould create an approximate number in their copy without the use of body parts tocount each group As another example when asked to make numerical compar-isons between different body parts in the body system children often used sym-metry between body parts to make comparative numerical judgments (iesymmetrical body parts were judged to have the same value) In contrast whenthese kinds of problems were posed to older children older children displayedgreater abilities to use the body part form to serve the numerical functions ofnumerical reproductions and comparisons Of course the form-function shift inbody parts is one of many such shifts in the ontogeny of quantification forindividuals in the Oksapmin world and in Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies I document many others

Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronicperspective

I have argued that collective practices that emerge in economic exchanges andclassrooms in Oksapmin communities are semi-durable structures of activity and

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I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 4: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

contexto de las actividades comunicativas dirigidas a la consecucioacuten de metasen las praacutecticas colectivas en la vida cotidiana las personas involuntariamentereproducen y alteran las formas de representacioacuten y las funciones para las queesas formas se utilizan Este proceso provoca continuidades y discontinui-dades en las relaciones entre forma y funcioacuten en las comunidades a lo largodel tiempo Para mostrar evidencias de este proceso y su papel en el desarrollocultural de las ideas informo de hallazgos seleccionados de las investiga-ciones realizadas en 1978 1980 y 2001 en comunidades oksapmin Me centroen los desplazamientos histoacutericos en las formas y las funciones del sistema decoacutemputo oksapmin basado en las partes del cuerpo A continuacioacuten actualizoese cuerpo de investigacioacuten con un bosquejo de un estudio reciente deseguimiento realizado en 2014 Finalizo el artiacuteculo con algunas reflexionessobre la utilidad de mi modelo para el estudio de las relaciones entre cultura ycognicioacuten en otras comunidades y en dominios de conocimiento diferentes delas matemaacuteticas

Palabras clave cognicioacuten matemaacutetica desarrollo cognitive Papuacutea NuevaGuinea sociogeacutenesis microgeacutenesis representacioacuten

In my recent book Cultural Development of Mathematical Ideas PapuaNew Guinea Studies (Saxe 2012) I present a theoretical framework and empiricaltechniques for understanding the interplay between cultural and cognitive-developmental processes in numerical thought I use my fieldwork conducted in1978 1980 and 2001 with a remote Papua New Guinea group the Oksapmin toillustrate the framework and empirical methods The framework builds on but alsodeparts from the seminal contributions of Piaget (1963 1970b) and Vygotsky(1978 1986) as well as activity-theoretic formulations of culture-cognition rela-tions (Bateson 1972 Cole 1996 Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008Wertsch 1991) One of the novel arguments in my approach is that an adequatetreatment of cultural-cognition relations requires an understanding of the complexinterplay between cultural-historical and developmental processes in humanthought over time1 In the present article I review and build upon the bookrsquosconceptual and empirical contributions with an extension to new observationsmade in a 2014 return to Oksapmin communities

Studying the interplay between cultural-historical and developmentalprocesses in numerical thought

In everyday talk and problem solving people use representations for quantityRepresentations include expressions like lsquohow muchrsquo lsquotoo muchrsquo or lsquonotenoughrsquo as well as lsquolongrsquo lsquoshortrsquo and lsquotinyrsquo The representations and ideas alsoinclude numeration whether in the form of counting words or orthographicrepresentational forms like the Hindu-Arabic numeration system and its placevalue structure The question that frames my book is lsquoWhat is the origin of themathematical representations and ideas that populate peoplersquos everyday speechand problem solving activitiesrsquo The question lies at the intersection of culturalanthropology sociology developmental psychology and education and it invitessome answers that I consider in my book and then reject

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One answer to questions about origins appeals to biological treatments ofcognition mathematical structures or ideas are a product of the evolution of ourspecies and thus built into our central nervous system and representational formsare expressions of these native ideas But biological approaches fail to deal withhow and why collective representations take form differently over the socialhistories of different human communities Moreover they do not explain howdiverse representations and ideas originate mdash how for example representationsfor number differ in school on the job or in casual conversation

Another answer to questions about origins is that we learn mathematical ideasfrom the cultural worlds in which we participate whether in school on the job inconversations with others or as a part of the languages we learn as young childrenThis answer fails to address cultural-historical and developmental questions mdashwhat are the historical origins of representations that are learned in school on thejob or in conversations and how does the use of these representations shift aschildren develop

In the cultural-historical and developmental approach I present in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I make use of my fieldwork in Oksapmincommunities conducted in 1978 1980 and 2001 to support my arguments thatboth cognition and culture should be treated as processes that are jointly rooted inhuman activity In this article I begin by summarizing cultural-historical anddevelopmental aspects of the framework and illustrating their joint roots inactivity I then describe empirical studies that are drawn from my prior empiricalwork on the Oksapmin 27-body part counting system from 1978 through 2001 Ishow that the knowledge and use of the body system have generally beendeclining in Oksapmin communities yet at the same time new kinds of collectivepractices are emerging that support an increase in the use of the body countsystem but with an altered structure to serve novel functions I conclude byshowing how the framework and prior empirical studies informed my recent2014 research in Oksapmin I end by pointing to ways the framework can supportinquiry in other communities and into knowledge domains other thanmathematics

Cultural-historical aspects of the framework

My approach is cultural-historical in the sense that foci for analyses are recurringstructures of joint activity in communities what I refer to as collective practicesExamples of collective practices that I examine in my research include customer-store clerk transactions in Oksapmin trade stores as well as teacher-studentinteraction in Oksapmin bush schools In collective practices in these arenas ofactivity participants cognize mathematical problems that are inherently situated incultural-historical time store goods are exchanged for currency in a particulartime period in Oksapmin history and a studentrsquos efforts to solve an arithmeticproblem that a teacher has posed take place in a particular time period in thehistory of Oksapmin bush schooling As the participants attempt to solveemerging problems in collective practices problems are lsquotaken-as-sharedrsquo

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(Cobb Wood Yackel amp McNeal 1992) mdash understood in more or less commonterms in ways that support coordinated activity A store clerk and a customer forexample manage to exchange goods for currency in a trade store because theycoordinate their activities mdash owner determines how much cash is needed custo-mer produces cash and owner evaluates payment

As individual actors participate in accomplishing a taken-as-shared jointproblem in collective practices they inevitably divide the cognitive work inrelation to social positions and their goals emerge and shift in relation to theseemerging roles as well as the representational forms they use For example acustomer may create the goal to present more currency than the cost of an item atone moment and a clerk may create the goal to return appropriate change for thepayment as another For either the clerk or customer to use the Oksapmin 27-bodypart counting system to solve an arithmetic problemmdash like adding the forearm (7)to the elbow (8) mdash has implications for emergent goals and subgoals that aredifferent from those entailed in performing the same addition with a strictly verbalcounting system for number

To illustrate the culturally and historically situated problems and emerginggoals in collective practices I present an observation of one exchange thatoccurred at an Oksapmin trade store in 1978 The actors in the observation arethe store clerk and two customers shown in Figure 1 Moments prior to the scenecaptured in the photos the customers had requested cans of fish from the clerk

Figure 1 Two men making a purchase of cans of fish in the mission trade store from astore clerk

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the clerk had retrieved them and the customers presented payment For each phaseof this instance of a collective practice participating individuals accomplishedsuccessive goals that emerged in relation to each participantrsquos actions and inter-pretations In Figure 1a through Figure 1i one customer retrieved payment inPapua New Guinea currency from a small tin that he kept in his string bag andrequested additional cans of fish (Figure 1andashd) In Figure 1e the clerk returnedwith additional cans and in Figure 1fndash1i payment was made and change wasreturned Over the course of the phases the clerk constructed goals to tally thecost of items to customers and produced means of achieving them a customercreated goals of determining how much cash to present in relation to the cost ofthe items

Collective practices like that of economic exchange in the Oksapmin tradestore are relatively durable in the sense that they are common patterns of jointactivity over multiple locations and through spans of time That said they have noinherent permanence Indeed structures of activity mdash including individualsrsquoconstruction of goals and means to accomplish mdash are dynamic shifting andephemeral Further the artifacts that are constitutive of emergent numericalproblems in such exchanges mdash the cash and commodities mdash have no inherentnumerical or exchange value Rather artifacts take on meaning as they areinterpreted and used in the exchanges The recurring activity structures and themeanings attributed to artifacts are more or less predictable because they arerooted in precedent rendering them interpretable to the participants

Developmental aspects of the framework

My framework is also developmental I argue that historically rooted culturalforms (like the Oksapmin 27-body part counting system) and the functions theyserve in collective practices are not static Rather in the context of communicativeand problem solving activity individuals turn forms into means to accomplishgoals that serve cognitive functions in activity In this process forms and theirfunctions are reproduced and inevitably altered in communities over historicaltime

Figure 2 depicts relations between forms and functions on the one hand andmeans and goals on the other As illustrated in the figure in the act of counting inan exchange an individual quantifies a collection of coins (the small circles inFigure 2) by tailoring the body form to accomplish the numerical goal andgenerates goals and subgoals in relation to the form being deployed assigningbody parts in one-to-one correspondence to objects In this goal directed use of thebody form the individual reproduces but also alters the body system in relation tothe problem at hand In their reproduction and alteration we find continuity overhistorical time in culturally-elaborated forms but also alterations keyed to shiftingproblems that emerge in collective practices of cultural life

An investigation of shifting relationships between cultural forms and thefunctions they serve requires a coordinated treatment of three developmentalprocesses microgenetic the transformation of forms into means to accomplish

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emerging goals in the flow of activity sociogenetic or the reproduction andalteration of collective forms of representation in community networks throughhistorical time and ontogenetic the interplay between forms and functions as wellas means and goals in an individualrsquos activity over his or her own life course

To illustrate the developmental aspects of the framework I will focus on theOksapmin representational form for counting depicted in Figure 3 a systemelaborated over a complex cultural history To count with the 27 body-part systemone begins with the thumb on one hand and iterates names for body parts aroundthe upper periphery of the body to the little finger on the opposite hand In theOksapmin language there are no terms for number other than the body partsthemselves In traditional daily life people use the representational form of thebody part counting system to serve a variety of traditional socially recognizable

Figure 2 Relations between forms and functions (sociogenetic developments in culturalhistories) and means and goals (microgenetic constructions in action)

Figure 3 Traditional representational form for counting in Oksapmin communities

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functions (For videos of Oksapmin people displaying the system see httpwwwculturecognitioncom) Consider the ways that micro- socio- and ontogeneticprocesses are each inherent in the use of the system in Oksapmin collectivepractices

Microgenetic processes

Traditional Oksapmin people use the body part counting form to serve functionslike the quantification of a group of items Each time a person counts items theprocess of counting entails the microgenetic developmental process of construct-ing a numerical representation by turning the representational form into a meansto accomplish an emerging numerical goal For example to produce a cardinalnumber for a group of coins in a trade store interaction like the one shown inFigure 1 the customer turns the series of body parts into a numerical means as heassigns body parts in one-to-one correspondence with objects the customerrsquosactivity leads to a cardinal representation of a number like lsquoforearmrsquo for sevencoins (as schematized in Figure 2) The production of a cardinal value is amicrogenetic developmental process in the important sense that cardinal andordinal numbers are not contained in the representational form or in the objectsthemselves Rather individuals construct and interpret numerical representationsin acts of producing one-to-one correspondences summing and ordering (Piaget1970a)

Sociogenetic processes

The reproduction and alteration of collective representational forms like theOksapmin 27-body part counting system is a sociogenetic developmental processThe process occurs through many local interactions in communication and pro-blem solving in collective practices as individuals engage with emergent com-municative problems and problem solving through networks of interlocutors overhistorical time

To investigate sociogenetic developmental processes I conducted studies oncollective practices of economic exchange and of schooling with concern forunderstanding processes of reproduction of representational forms like the27-body part counting system and also the alterations of these forms To illustratemy empirical approach I focus here on Oksapmin bush schools which providedme with fertile ground in 1980 for the study of sociogenetic reproduction andalteration in the body part counting forms in a novel interplay between the bodyform and the emergence of arithmetic functions

In Oksapmin communities in the 1970s and at least part of the 1980s teachersin schools were not Oksapmin most were Papua New Guinea citizens from themore Westernized coastal regions and thus they had no knowledge of theOksapmin language or the counting system2 Instruction was in English asdictated by the Papua New Guinea national government educational policy andthe emphasis was on drill and practice approaches to mathematics instruction

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Though the body part system had not been used traditionally to solve additionand subtraction problems in Oksapmin communities (Saxe 1982 1985) in thecontext of English drill-and-practice curriculum I found that children were mak-ing sense of the mathematics in the alien English language in terms of theirindigenous body part system Further the sense making process led children tocreate novel arithmetic functions for the system Supportive evidence for thissociogenetic hypothesis mdash that engagement with arithmetical problems in schoolwas leading a community of Oksapmin children to generate novel functions forthe body system mdash came from several 1980 studies First supporting the con-jecture that traditionally the body system was not used to serve arithmeticalfunctions I found that traditional elders did not use the system effectively tosolve arithmetic problems (presented as story problems) such as 16ndash7 = Forexample as depicted in Figure 4 traditional elders correctly represented the firstterm of the problem with ear (16) but did not keep track of the subtrahend in theirsolution (Saxe 1982) iterating backwards from the ear-on-the-other side (16) ear(16) eye (15) nose (14) etc without a method of keeping track of the subtrac-tion of 7 from 16 Second in a study with Oksapmin school children (Saxe1985) I found that many children were developing novel and effective functionsfor the body system even though they had received no formal instruction with itFor example in one observational study students were documented counting ontheir bodies during an arithmetic test In another I found that when unschooledadolescents worked on solving arithmetic problems like 16ndash7 = they would usethe error-prone approach similar to that used by traditional elders (illustrated inFigure 4) In contrast even though they received no instruction with arithmeticusing the body system school children in Grades 4 and 6 almost all used adifferent approach they created correspondences that were not between bodyparts and objects but correspondences turned inward mdash correspondences betweenbody parts and body parts to serve the function of keeping track For example as

Figure 4 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual does not keep track ofthe subtraction of the second term forearm (7) from the first ear (16)

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depicted in Figure 5 to solve the same problem 16ndash7 = children would countdown from the ear (16) and keep track of the subtrahend by establishing succe-ssive correspondences between the ear (16) and the forearm (7) the eye (15) andthe first wrist (6) until the correspondence between the shoulder (10) and thethumb (1) was achieved leaving the body parts left after the subtraction of 7 orbiceps (9) Figure 6 shows a fourth grader explaining his keeping-track strategy

How did Oksapmin children develop their keeping-track-of-body-partsapproach to arithmetic problem solving The argument elaborated in my bookis that their shift to internal correspondences between body parts is the unintendedconsequence of local actions constructed to solve goals that emerged in school Iargue that as children worked on solving problems on their own and in interactionwith one another they made sense of problems and of one anotherrsquos effortsthereby reproducing the system but also altering it in innovative ways regulatedby their understanding of the numerical functions of one-to-one correspondence

Figure 5 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual keeps track of thesubtraction by creating one-to-one correspondences internal to the body system coordi-nating the subtraction of the forearm (7) from the ear (16)

Figure 6 A child using a keeping-track procedure as he creates a one-to-one correspon-dence between two body-part series (for video record of the childrsquos solution see httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Their novel constructions become new sociogenetic developments in the collec-tive representations of a community of school children these novel constructionscould over time become established in collective practices outside of school aschildren leave school and encounter similar arithmetic problems in trade storesand other contexts requiring arithmetic problem solving

Ontogenetic processes

A third developmental strand in my framework is ontogenesis mdash the developmentof cognition over an individualrsquos lifespan with a focus on the shifting relationsbetween cultural forms and the cognitive functions that they serve in activityOver the course of ontogenetic development an individual may use many differ-ent cultural forms mdash for example different forms for quantification includingwords body parts and written characters mdash though initially these forms oftenserve limited functions In the case of Oksapmin body counting for number forexample body part words may be used initially just to denote parts of the bodyLater as individuals are confronted with problems in collective practices thatinvolve number and communication about number they construct numericalfunctions and begin to treat forms like body parts for new numerical purposes

To examine ontogenetic shifts in body counting in 1978 and 1980 I conductedstudies in Oksapmin childrenrsquos developing use and understanding of their countingsystem to serve traditional functions I analysed age-related shifts in unschooledOksapmin childrenrsquos use of body-part counting when they were asked to compareor reproduce groups of objects as well as when they were asked to measure stringbags In one study conducted in 1978 (Saxe 1981) I found that although youngerOksapmin children could recite body parts in the conventional sequence they didnot use reference to body parts to mediate numerical comparisons and reproduc-tions For example if asked to reproduce numerically a group of stones childrenwould create an approximate number in their copy without the use of body parts tocount each group As another example when asked to make numerical compar-isons between different body parts in the body system children often used sym-metry between body parts to make comparative numerical judgments (iesymmetrical body parts were judged to have the same value) In contrast whenthese kinds of problems were posed to older children older children displayedgreater abilities to use the body part form to serve the numerical functions ofnumerical reproductions and comparisons Of course the form-function shift inbody parts is one of many such shifts in the ontogeny of quantification forindividuals in the Oksapmin world and in Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies I document many others

Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronicperspective

I have argued that collective practices that emerge in economic exchanges andclassrooms in Oksapmin communities are semi-durable structures of activity and

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I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 5: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

One answer to questions about origins appeals to biological treatments ofcognition mathematical structures or ideas are a product of the evolution of ourspecies and thus built into our central nervous system and representational formsare expressions of these native ideas But biological approaches fail to deal withhow and why collective representations take form differently over the socialhistories of different human communities Moreover they do not explain howdiverse representations and ideas originate mdash how for example representationsfor number differ in school on the job or in casual conversation

Another answer to questions about origins is that we learn mathematical ideasfrom the cultural worlds in which we participate whether in school on the job inconversations with others or as a part of the languages we learn as young childrenThis answer fails to address cultural-historical and developmental questions mdashwhat are the historical origins of representations that are learned in school on thejob or in conversations and how does the use of these representations shift aschildren develop

In the cultural-historical and developmental approach I present in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I make use of my fieldwork in Oksapmincommunities conducted in 1978 1980 and 2001 to support my arguments thatboth cognition and culture should be treated as processes that are jointly rooted inhuman activity In this article I begin by summarizing cultural-historical anddevelopmental aspects of the framework and illustrating their joint roots inactivity I then describe empirical studies that are drawn from my prior empiricalwork on the Oksapmin 27-body part counting system from 1978 through 2001 Ishow that the knowledge and use of the body system have generally beendeclining in Oksapmin communities yet at the same time new kinds of collectivepractices are emerging that support an increase in the use of the body countsystem but with an altered structure to serve novel functions I conclude byshowing how the framework and prior empirical studies informed my recent2014 research in Oksapmin I end by pointing to ways the framework can supportinquiry in other communities and into knowledge domains other thanmathematics

Cultural-historical aspects of the framework

My approach is cultural-historical in the sense that foci for analyses are recurringstructures of joint activity in communities what I refer to as collective practicesExamples of collective practices that I examine in my research include customer-store clerk transactions in Oksapmin trade stores as well as teacher-studentinteraction in Oksapmin bush schools In collective practices in these arenas ofactivity participants cognize mathematical problems that are inherently situated incultural-historical time store goods are exchanged for currency in a particulartime period in Oksapmin history and a studentrsquos efforts to solve an arithmeticproblem that a teacher has posed take place in a particular time period in thehistory of Oksapmin bush schooling As the participants attempt to solveemerging problems in collective practices problems are lsquotaken-as-sharedrsquo

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(Cobb Wood Yackel amp McNeal 1992) mdash understood in more or less commonterms in ways that support coordinated activity A store clerk and a customer forexample manage to exchange goods for currency in a trade store because theycoordinate their activities mdash owner determines how much cash is needed custo-mer produces cash and owner evaluates payment

As individual actors participate in accomplishing a taken-as-shared jointproblem in collective practices they inevitably divide the cognitive work inrelation to social positions and their goals emerge and shift in relation to theseemerging roles as well as the representational forms they use For example acustomer may create the goal to present more currency than the cost of an item atone moment and a clerk may create the goal to return appropriate change for thepayment as another For either the clerk or customer to use the Oksapmin 27-bodypart counting system to solve an arithmetic problemmdash like adding the forearm (7)to the elbow (8) mdash has implications for emergent goals and subgoals that aredifferent from those entailed in performing the same addition with a strictly verbalcounting system for number

To illustrate the culturally and historically situated problems and emerginggoals in collective practices I present an observation of one exchange thatoccurred at an Oksapmin trade store in 1978 The actors in the observation arethe store clerk and two customers shown in Figure 1 Moments prior to the scenecaptured in the photos the customers had requested cans of fish from the clerk

Figure 1 Two men making a purchase of cans of fish in the mission trade store from astore clerk

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the clerk had retrieved them and the customers presented payment For each phaseof this instance of a collective practice participating individuals accomplishedsuccessive goals that emerged in relation to each participantrsquos actions and inter-pretations In Figure 1a through Figure 1i one customer retrieved payment inPapua New Guinea currency from a small tin that he kept in his string bag andrequested additional cans of fish (Figure 1andashd) In Figure 1e the clerk returnedwith additional cans and in Figure 1fndash1i payment was made and change wasreturned Over the course of the phases the clerk constructed goals to tally thecost of items to customers and produced means of achieving them a customercreated goals of determining how much cash to present in relation to the cost ofthe items

Collective practices like that of economic exchange in the Oksapmin tradestore are relatively durable in the sense that they are common patterns of jointactivity over multiple locations and through spans of time That said they have noinherent permanence Indeed structures of activity mdash including individualsrsquoconstruction of goals and means to accomplish mdash are dynamic shifting andephemeral Further the artifacts that are constitutive of emergent numericalproblems in such exchanges mdash the cash and commodities mdash have no inherentnumerical or exchange value Rather artifacts take on meaning as they areinterpreted and used in the exchanges The recurring activity structures and themeanings attributed to artifacts are more or less predictable because they arerooted in precedent rendering them interpretable to the participants

Developmental aspects of the framework

My framework is also developmental I argue that historically rooted culturalforms (like the Oksapmin 27-body part counting system) and the functions theyserve in collective practices are not static Rather in the context of communicativeand problem solving activity individuals turn forms into means to accomplishgoals that serve cognitive functions in activity In this process forms and theirfunctions are reproduced and inevitably altered in communities over historicaltime

Figure 2 depicts relations between forms and functions on the one hand andmeans and goals on the other As illustrated in the figure in the act of counting inan exchange an individual quantifies a collection of coins (the small circles inFigure 2) by tailoring the body form to accomplish the numerical goal andgenerates goals and subgoals in relation to the form being deployed assigningbody parts in one-to-one correspondence to objects In this goal directed use of thebody form the individual reproduces but also alters the body system in relation tothe problem at hand In their reproduction and alteration we find continuity overhistorical time in culturally-elaborated forms but also alterations keyed to shiftingproblems that emerge in collective practices of cultural life

An investigation of shifting relationships between cultural forms and thefunctions they serve requires a coordinated treatment of three developmentalprocesses microgenetic the transformation of forms into means to accomplish

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emerging goals in the flow of activity sociogenetic or the reproduction andalteration of collective forms of representation in community networks throughhistorical time and ontogenetic the interplay between forms and functions as wellas means and goals in an individualrsquos activity over his or her own life course

To illustrate the developmental aspects of the framework I will focus on theOksapmin representational form for counting depicted in Figure 3 a systemelaborated over a complex cultural history To count with the 27 body-part systemone begins with the thumb on one hand and iterates names for body parts aroundthe upper periphery of the body to the little finger on the opposite hand In theOksapmin language there are no terms for number other than the body partsthemselves In traditional daily life people use the representational form of thebody part counting system to serve a variety of traditional socially recognizable

Figure 2 Relations between forms and functions (sociogenetic developments in culturalhistories) and means and goals (microgenetic constructions in action)

Figure 3 Traditional representational form for counting in Oksapmin communities

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functions (For videos of Oksapmin people displaying the system see httpwwwculturecognitioncom) Consider the ways that micro- socio- and ontogeneticprocesses are each inherent in the use of the system in Oksapmin collectivepractices

Microgenetic processes

Traditional Oksapmin people use the body part counting form to serve functionslike the quantification of a group of items Each time a person counts items theprocess of counting entails the microgenetic developmental process of construct-ing a numerical representation by turning the representational form into a meansto accomplish an emerging numerical goal For example to produce a cardinalnumber for a group of coins in a trade store interaction like the one shown inFigure 1 the customer turns the series of body parts into a numerical means as heassigns body parts in one-to-one correspondence with objects the customerrsquosactivity leads to a cardinal representation of a number like lsquoforearmrsquo for sevencoins (as schematized in Figure 2) The production of a cardinal value is amicrogenetic developmental process in the important sense that cardinal andordinal numbers are not contained in the representational form or in the objectsthemselves Rather individuals construct and interpret numerical representationsin acts of producing one-to-one correspondences summing and ordering (Piaget1970a)

Sociogenetic processes

The reproduction and alteration of collective representational forms like theOksapmin 27-body part counting system is a sociogenetic developmental processThe process occurs through many local interactions in communication and pro-blem solving in collective practices as individuals engage with emergent com-municative problems and problem solving through networks of interlocutors overhistorical time

To investigate sociogenetic developmental processes I conducted studies oncollective practices of economic exchange and of schooling with concern forunderstanding processes of reproduction of representational forms like the27-body part counting system and also the alterations of these forms To illustratemy empirical approach I focus here on Oksapmin bush schools which providedme with fertile ground in 1980 for the study of sociogenetic reproduction andalteration in the body part counting forms in a novel interplay between the bodyform and the emergence of arithmetic functions

In Oksapmin communities in the 1970s and at least part of the 1980s teachersin schools were not Oksapmin most were Papua New Guinea citizens from themore Westernized coastal regions and thus they had no knowledge of theOksapmin language or the counting system2 Instruction was in English asdictated by the Papua New Guinea national government educational policy andthe emphasis was on drill and practice approaches to mathematics instruction

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Though the body part system had not been used traditionally to solve additionand subtraction problems in Oksapmin communities (Saxe 1982 1985) in thecontext of English drill-and-practice curriculum I found that children were mak-ing sense of the mathematics in the alien English language in terms of theirindigenous body part system Further the sense making process led children tocreate novel arithmetic functions for the system Supportive evidence for thissociogenetic hypothesis mdash that engagement with arithmetical problems in schoolwas leading a community of Oksapmin children to generate novel functions forthe body system mdash came from several 1980 studies First supporting the con-jecture that traditionally the body system was not used to serve arithmeticalfunctions I found that traditional elders did not use the system effectively tosolve arithmetic problems (presented as story problems) such as 16ndash7 = Forexample as depicted in Figure 4 traditional elders correctly represented the firstterm of the problem with ear (16) but did not keep track of the subtrahend in theirsolution (Saxe 1982) iterating backwards from the ear-on-the-other side (16) ear(16) eye (15) nose (14) etc without a method of keeping track of the subtrac-tion of 7 from 16 Second in a study with Oksapmin school children (Saxe1985) I found that many children were developing novel and effective functionsfor the body system even though they had received no formal instruction with itFor example in one observational study students were documented counting ontheir bodies during an arithmetic test In another I found that when unschooledadolescents worked on solving arithmetic problems like 16ndash7 = they would usethe error-prone approach similar to that used by traditional elders (illustrated inFigure 4) In contrast even though they received no instruction with arithmeticusing the body system school children in Grades 4 and 6 almost all used adifferent approach they created correspondences that were not between bodyparts and objects but correspondences turned inward mdash correspondences betweenbody parts and body parts to serve the function of keeping track For example as

Figure 4 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual does not keep track ofthe subtraction of the second term forearm (7) from the first ear (16)

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depicted in Figure 5 to solve the same problem 16ndash7 = children would countdown from the ear (16) and keep track of the subtrahend by establishing succe-ssive correspondences between the ear (16) and the forearm (7) the eye (15) andthe first wrist (6) until the correspondence between the shoulder (10) and thethumb (1) was achieved leaving the body parts left after the subtraction of 7 orbiceps (9) Figure 6 shows a fourth grader explaining his keeping-track strategy

How did Oksapmin children develop their keeping-track-of-body-partsapproach to arithmetic problem solving The argument elaborated in my bookis that their shift to internal correspondences between body parts is the unintendedconsequence of local actions constructed to solve goals that emerged in school Iargue that as children worked on solving problems on their own and in interactionwith one another they made sense of problems and of one anotherrsquos effortsthereby reproducing the system but also altering it in innovative ways regulatedby their understanding of the numerical functions of one-to-one correspondence

Figure 5 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual keeps track of thesubtraction by creating one-to-one correspondences internal to the body system coordi-nating the subtraction of the forearm (7) from the ear (16)

Figure 6 A child using a keeping-track procedure as he creates a one-to-one correspon-dence between two body-part series (for video record of the childrsquos solution see httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Their novel constructions become new sociogenetic developments in the collec-tive representations of a community of school children these novel constructionscould over time become established in collective practices outside of school aschildren leave school and encounter similar arithmetic problems in trade storesand other contexts requiring arithmetic problem solving

Ontogenetic processes

A third developmental strand in my framework is ontogenesis mdash the developmentof cognition over an individualrsquos lifespan with a focus on the shifting relationsbetween cultural forms and the cognitive functions that they serve in activityOver the course of ontogenetic development an individual may use many differ-ent cultural forms mdash for example different forms for quantification includingwords body parts and written characters mdash though initially these forms oftenserve limited functions In the case of Oksapmin body counting for number forexample body part words may be used initially just to denote parts of the bodyLater as individuals are confronted with problems in collective practices thatinvolve number and communication about number they construct numericalfunctions and begin to treat forms like body parts for new numerical purposes

To examine ontogenetic shifts in body counting in 1978 and 1980 I conductedstudies in Oksapmin childrenrsquos developing use and understanding of their countingsystem to serve traditional functions I analysed age-related shifts in unschooledOksapmin childrenrsquos use of body-part counting when they were asked to compareor reproduce groups of objects as well as when they were asked to measure stringbags In one study conducted in 1978 (Saxe 1981) I found that although youngerOksapmin children could recite body parts in the conventional sequence they didnot use reference to body parts to mediate numerical comparisons and reproduc-tions For example if asked to reproduce numerically a group of stones childrenwould create an approximate number in their copy without the use of body parts tocount each group As another example when asked to make numerical compar-isons between different body parts in the body system children often used sym-metry between body parts to make comparative numerical judgments (iesymmetrical body parts were judged to have the same value) In contrast whenthese kinds of problems were posed to older children older children displayedgreater abilities to use the body part form to serve the numerical functions ofnumerical reproductions and comparisons Of course the form-function shift inbody parts is one of many such shifts in the ontogeny of quantification forindividuals in the Oksapmin world and in Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies I document many others

Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronicperspective

I have argued that collective practices that emerge in economic exchanges andclassrooms in Oksapmin communities are semi-durable structures of activity and

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I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 6: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

(Cobb Wood Yackel amp McNeal 1992) mdash understood in more or less commonterms in ways that support coordinated activity A store clerk and a customer forexample manage to exchange goods for currency in a trade store because theycoordinate their activities mdash owner determines how much cash is needed custo-mer produces cash and owner evaluates payment

As individual actors participate in accomplishing a taken-as-shared jointproblem in collective practices they inevitably divide the cognitive work inrelation to social positions and their goals emerge and shift in relation to theseemerging roles as well as the representational forms they use For example acustomer may create the goal to present more currency than the cost of an item atone moment and a clerk may create the goal to return appropriate change for thepayment as another For either the clerk or customer to use the Oksapmin 27-bodypart counting system to solve an arithmetic problemmdash like adding the forearm (7)to the elbow (8) mdash has implications for emergent goals and subgoals that aredifferent from those entailed in performing the same addition with a strictly verbalcounting system for number

To illustrate the culturally and historically situated problems and emerginggoals in collective practices I present an observation of one exchange thatoccurred at an Oksapmin trade store in 1978 The actors in the observation arethe store clerk and two customers shown in Figure 1 Moments prior to the scenecaptured in the photos the customers had requested cans of fish from the clerk

Figure 1 Two men making a purchase of cans of fish in the mission trade store from astore clerk

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the clerk had retrieved them and the customers presented payment For each phaseof this instance of a collective practice participating individuals accomplishedsuccessive goals that emerged in relation to each participantrsquos actions and inter-pretations In Figure 1a through Figure 1i one customer retrieved payment inPapua New Guinea currency from a small tin that he kept in his string bag andrequested additional cans of fish (Figure 1andashd) In Figure 1e the clerk returnedwith additional cans and in Figure 1fndash1i payment was made and change wasreturned Over the course of the phases the clerk constructed goals to tally thecost of items to customers and produced means of achieving them a customercreated goals of determining how much cash to present in relation to the cost ofthe items

Collective practices like that of economic exchange in the Oksapmin tradestore are relatively durable in the sense that they are common patterns of jointactivity over multiple locations and through spans of time That said they have noinherent permanence Indeed structures of activity mdash including individualsrsquoconstruction of goals and means to accomplish mdash are dynamic shifting andephemeral Further the artifacts that are constitutive of emergent numericalproblems in such exchanges mdash the cash and commodities mdash have no inherentnumerical or exchange value Rather artifacts take on meaning as they areinterpreted and used in the exchanges The recurring activity structures and themeanings attributed to artifacts are more or less predictable because they arerooted in precedent rendering them interpretable to the participants

Developmental aspects of the framework

My framework is also developmental I argue that historically rooted culturalforms (like the Oksapmin 27-body part counting system) and the functions theyserve in collective practices are not static Rather in the context of communicativeand problem solving activity individuals turn forms into means to accomplishgoals that serve cognitive functions in activity In this process forms and theirfunctions are reproduced and inevitably altered in communities over historicaltime

Figure 2 depicts relations between forms and functions on the one hand andmeans and goals on the other As illustrated in the figure in the act of counting inan exchange an individual quantifies a collection of coins (the small circles inFigure 2) by tailoring the body form to accomplish the numerical goal andgenerates goals and subgoals in relation to the form being deployed assigningbody parts in one-to-one correspondence to objects In this goal directed use of thebody form the individual reproduces but also alters the body system in relation tothe problem at hand In their reproduction and alteration we find continuity overhistorical time in culturally-elaborated forms but also alterations keyed to shiftingproblems that emerge in collective practices of cultural life

An investigation of shifting relationships between cultural forms and thefunctions they serve requires a coordinated treatment of three developmentalprocesses microgenetic the transformation of forms into means to accomplish

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emerging goals in the flow of activity sociogenetic or the reproduction andalteration of collective forms of representation in community networks throughhistorical time and ontogenetic the interplay between forms and functions as wellas means and goals in an individualrsquos activity over his or her own life course

To illustrate the developmental aspects of the framework I will focus on theOksapmin representational form for counting depicted in Figure 3 a systemelaborated over a complex cultural history To count with the 27 body-part systemone begins with the thumb on one hand and iterates names for body parts aroundthe upper periphery of the body to the little finger on the opposite hand In theOksapmin language there are no terms for number other than the body partsthemselves In traditional daily life people use the representational form of thebody part counting system to serve a variety of traditional socially recognizable

Figure 2 Relations between forms and functions (sociogenetic developments in culturalhistories) and means and goals (microgenetic constructions in action)

Figure 3 Traditional representational form for counting in Oksapmin communities

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functions (For videos of Oksapmin people displaying the system see httpwwwculturecognitioncom) Consider the ways that micro- socio- and ontogeneticprocesses are each inherent in the use of the system in Oksapmin collectivepractices

Microgenetic processes

Traditional Oksapmin people use the body part counting form to serve functionslike the quantification of a group of items Each time a person counts items theprocess of counting entails the microgenetic developmental process of construct-ing a numerical representation by turning the representational form into a meansto accomplish an emerging numerical goal For example to produce a cardinalnumber for a group of coins in a trade store interaction like the one shown inFigure 1 the customer turns the series of body parts into a numerical means as heassigns body parts in one-to-one correspondence with objects the customerrsquosactivity leads to a cardinal representation of a number like lsquoforearmrsquo for sevencoins (as schematized in Figure 2) The production of a cardinal value is amicrogenetic developmental process in the important sense that cardinal andordinal numbers are not contained in the representational form or in the objectsthemselves Rather individuals construct and interpret numerical representationsin acts of producing one-to-one correspondences summing and ordering (Piaget1970a)

Sociogenetic processes

The reproduction and alteration of collective representational forms like theOksapmin 27-body part counting system is a sociogenetic developmental processThe process occurs through many local interactions in communication and pro-blem solving in collective practices as individuals engage with emergent com-municative problems and problem solving through networks of interlocutors overhistorical time

To investigate sociogenetic developmental processes I conducted studies oncollective practices of economic exchange and of schooling with concern forunderstanding processes of reproduction of representational forms like the27-body part counting system and also the alterations of these forms To illustratemy empirical approach I focus here on Oksapmin bush schools which providedme with fertile ground in 1980 for the study of sociogenetic reproduction andalteration in the body part counting forms in a novel interplay between the bodyform and the emergence of arithmetic functions

In Oksapmin communities in the 1970s and at least part of the 1980s teachersin schools were not Oksapmin most were Papua New Guinea citizens from themore Westernized coastal regions and thus they had no knowledge of theOksapmin language or the counting system2 Instruction was in English asdictated by the Papua New Guinea national government educational policy andthe emphasis was on drill and practice approaches to mathematics instruction

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Though the body part system had not been used traditionally to solve additionand subtraction problems in Oksapmin communities (Saxe 1982 1985) in thecontext of English drill-and-practice curriculum I found that children were mak-ing sense of the mathematics in the alien English language in terms of theirindigenous body part system Further the sense making process led children tocreate novel arithmetic functions for the system Supportive evidence for thissociogenetic hypothesis mdash that engagement with arithmetical problems in schoolwas leading a community of Oksapmin children to generate novel functions forthe body system mdash came from several 1980 studies First supporting the con-jecture that traditionally the body system was not used to serve arithmeticalfunctions I found that traditional elders did not use the system effectively tosolve arithmetic problems (presented as story problems) such as 16ndash7 = Forexample as depicted in Figure 4 traditional elders correctly represented the firstterm of the problem with ear (16) but did not keep track of the subtrahend in theirsolution (Saxe 1982) iterating backwards from the ear-on-the-other side (16) ear(16) eye (15) nose (14) etc without a method of keeping track of the subtrac-tion of 7 from 16 Second in a study with Oksapmin school children (Saxe1985) I found that many children were developing novel and effective functionsfor the body system even though they had received no formal instruction with itFor example in one observational study students were documented counting ontheir bodies during an arithmetic test In another I found that when unschooledadolescents worked on solving arithmetic problems like 16ndash7 = they would usethe error-prone approach similar to that used by traditional elders (illustrated inFigure 4) In contrast even though they received no instruction with arithmeticusing the body system school children in Grades 4 and 6 almost all used adifferent approach they created correspondences that were not between bodyparts and objects but correspondences turned inward mdash correspondences betweenbody parts and body parts to serve the function of keeping track For example as

Figure 4 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual does not keep track ofthe subtraction of the second term forearm (7) from the first ear (16)

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depicted in Figure 5 to solve the same problem 16ndash7 = children would countdown from the ear (16) and keep track of the subtrahend by establishing succe-ssive correspondences between the ear (16) and the forearm (7) the eye (15) andthe first wrist (6) until the correspondence between the shoulder (10) and thethumb (1) was achieved leaving the body parts left after the subtraction of 7 orbiceps (9) Figure 6 shows a fourth grader explaining his keeping-track strategy

How did Oksapmin children develop their keeping-track-of-body-partsapproach to arithmetic problem solving The argument elaborated in my bookis that their shift to internal correspondences between body parts is the unintendedconsequence of local actions constructed to solve goals that emerged in school Iargue that as children worked on solving problems on their own and in interactionwith one another they made sense of problems and of one anotherrsquos effortsthereby reproducing the system but also altering it in innovative ways regulatedby their understanding of the numerical functions of one-to-one correspondence

Figure 5 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual keeps track of thesubtraction by creating one-to-one correspondences internal to the body system coordi-nating the subtraction of the forearm (7) from the ear (16)

Figure 6 A child using a keeping-track procedure as he creates a one-to-one correspon-dence between two body-part series (for video record of the childrsquos solution see httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Their novel constructions become new sociogenetic developments in the collec-tive representations of a community of school children these novel constructionscould over time become established in collective practices outside of school aschildren leave school and encounter similar arithmetic problems in trade storesand other contexts requiring arithmetic problem solving

Ontogenetic processes

A third developmental strand in my framework is ontogenesis mdash the developmentof cognition over an individualrsquos lifespan with a focus on the shifting relationsbetween cultural forms and the cognitive functions that they serve in activityOver the course of ontogenetic development an individual may use many differ-ent cultural forms mdash for example different forms for quantification includingwords body parts and written characters mdash though initially these forms oftenserve limited functions In the case of Oksapmin body counting for number forexample body part words may be used initially just to denote parts of the bodyLater as individuals are confronted with problems in collective practices thatinvolve number and communication about number they construct numericalfunctions and begin to treat forms like body parts for new numerical purposes

To examine ontogenetic shifts in body counting in 1978 and 1980 I conductedstudies in Oksapmin childrenrsquos developing use and understanding of their countingsystem to serve traditional functions I analysed age-related shifts in unschooledOksapmin childrenrsquos use of body-part counting when they were asked to compareor reproduce groups of objects as well as when they were asked to measure stringbags In one study conducted in 1978 (Saxe 1981) I found that although youngerOksapmin children could recite body parts in the conventional sequence they didnot use reference to body parts to mediate numerical comparisons and reproduc-tions For example if asked to reproduce numerically a group of stones childrenwould create an approximate number in their copy without the use of body parts tocount each group As another example when asked to make numerical compar-isons between different body parts in the body system children often used sym-metry between body parts to make comparative numerical judgments (iesymmetrical body parts were judged to have the same value) In contrast whenthese kinds of problems were posed to older children older children displayedgreater abilities to use the body part form to serve the numerical functions ofnumerical reproductions and comparisons Of course the form-function shift inbody parts is one of many such shifts in the ontogeny of quantification forindividuals in the Oksapmin world and in Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies I document many others

Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronicperspective

I have argued that collective practices that emerge in economic exchanges andclassrooms in Oksapmin communities are semi-durable structures of activity and

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I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 7: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

the clerk had retrieved them and the customers presented payment For each phaseof this instance of a collective practice participating individuals accomplishedsuccessive goals that emerged in relation to each participantrsquos actions and inter-pretations In Figure 1a through Figure 1i one customer retrieved payment inPapua New Guinea currency from a small tin that he kept in his string bag andrequested additional cans of fish (Figure 1andashd) In Figure 1e the clerk returnedwith additional cans and in Figure 1fndash1i payment was made and change wasreturned Over the course of the phases the clerk constructed goals to tally thecost of items to customers and produced means of achieving them a customercreated goals of determining how much cash to present in relation to the cost ofthe items

Collective practices like that of economic exchange in the Oksapmin tradestore are relatively durable in the sense that they are common patterns of jointactivity over multiple locations and through spans of time That said they have noinherent permanence Indeed structures of activity mdash including individualsrsquoconstruction of goals and means to accomplish mdash are dynamic shifting andephemeral Further the artifacts that are constitutive of emergent numericalproblems in such exchanges mdash the cash and commodities mdash have no inherentnumerical or exchange value Rather artifacts take on meaning as they areinterpreted and used in the exchanges The recurring activity structures and themeanings attributed to artifacts are more or less predictable because they arerooted in precedent rendering them interpretable to the participants

Developmental aspects of the framework

My framework is also developmental I argue that historically rooted culturalforms (like the Oksapmin 27-body part counting system) and the functions theyserve in collective practices are not static Rather in the context of communicativeand problem solving activity individuals turn forms into means to accomplishgoals that serve cognitive functions in activity In this process forms and theirfunctions are reproduced and inevitably altered in communities over historicaltime

Figure 2 depicts relations between forms and functions on the one hand andmeans and goals on the other As illustrated in the figure in the act of counting inan exchange an individual quantifies a collection of coins (the small circles inFigure 2) by tailoring the body form to accomplish the numerical goal andgenerates goals and subgoals in relation to the form being deployed assigningbody parts in one-to-one correspondence to objects In this goal directed use of thebody form the individual reproduces but also alters the body system in relation tothe problem at hand In their reproduction and alteration we find continuity overhistorical time in culturally-elaborated forms but also alterations keyed to shiftingproblems that emerge in collective practices of cultural life

An investigation of shifting relationships between cultural forms and thefunctions they serve requires a coordinated treatment of three developmentalprocesses microgenetic the transformation of forms into means to accomplish

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emerging goals in the flow of activity sociogenetic or the reproduction andalteration of collective forms of representation in community networks throughhistorical time and ontogenetic the interplay between forms and functions as wellas means and goals in an individualrsquos activity over his or her own life course

To illustrate the developmental aspects of the framework I will focus on theOksapmin representational form for counting depicted in Figure 3 a systemelaborated over a complex cultural history To count with the 27 body-part systemone begins with the thumb on one hand and iterates names for body parts aroundthe upper periphery of the body to the little finger on the opposite hand In theOksapmin language there are no terms for number other than the body partsthemselves In traditional daily life people use the representational form of thebody part counting system to serve a variety of traditional socially recognizable

Figure 2 Relations between forms and functions (sociogenetic developments in culturalhistories) and means and goals (microgenetic constructions in action)

Figure 3 Traditional representational form for counting in Oksapmin communities

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functions (For videos of Oksapmin people displaying the system see httpwwwculturecognitioncom) Consider the ways that micro- socio- and ontogeneticprocesses are each inherent in the use of the system in Oksapmin collectivepractices

Microgenetic processes

Traditional Oksapmin people use the body part counting form to serve functionslike the quantification of a group of items Each time a person counts items theprocess of counting entails the microgenetic developmental process of construct-ing a numerical representation by turning the representational form into a meansto accomplish an emerging numerical goal For example to produce a cardinalnumber for a group of coins in a trade store interaction like the one shown inFigure 1 the customer turns the series of body parts into a numerical means as heassigns body parts in one-to-one correspondence with objects the customerrsquosactivity leads to a cardinal representation of a number like lsquoforearmrsquo for sevencoins (as schematized in Figure 2) The production of a cardinal value is amicrogenetic developmental process in the important sense that cardinal andordinal numbers are not contained in the representational form or in the objectsthemselves Rather individuals construct and interpret numerical representationsin acts of producing one-to-one correspondences summing and ordering (Piaget1970a)

Sociogenetic processes

The reproduction and alteration of collective representational forms like theOksapmin 27-body part counting system is a sociogenetic developmental processThe process occurs through many local interactions in communication and pro-blem solving in collective practices as individuals engage with emergent com-municative problems and problem solving through networks of interlocutors overhistorical time

To investigate sociogenetic developmental processes I conducted studies oncollective practices of economic exchange and of schooling with concern forunderstanding processes of reproduction of representational forms like the27-body part counting system and also the alterations of these forms To illustratemy empirical approach I focus here on Oksapmin bush schools which providedme with fertile ground in 1980 for the study of sociogenetic reproduction andalteration in the body part counting forms in a novel interplay between the bodyform and the emergence of arithmetic functions

In Oksapmin communities in the 1970s and at least part of the 1980s teachersin schools were not Oksapmin most were Papua New Guinea citizens from themore Westernized coastal regions and thus they had no knowledge of theOksapmin language or the counting system2 Instruction was in English asdictated by the Papua New Guinea national government educational policy andthe emphasis was on drill and practice approaches to mathematics instruction

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Though the body part system had not been used traditionally to solve additionand subtraction problems in Oksapmin communities (Saxe 1982 1985) in thecontext of English drill-and-practice curriculum I found that children were mak-ing sense of the mathematics in the alien English language in terms of theirindigenous body part system Further the sense making process led children tocreate novel arithmetic functions for the system Supportive evidence for thissociogenetic hypothesis mdash that engagement with arithmetical problems in schoolwas leading a community of Oksapmin children to generate novel functions forthe body system mdash came from several 1980 studies First supporting the con-jecture that traditionally the body system was not used to serve arithmeticalfunctions I found that traditional elders did not use the system effectively tosolve arithmetic problems (presented as story problems) such as 16ndash7 = Forexample as depicted in Figure 4 traditional elders correctly represented the firstterm of the problem with ear (16) but did not keep track of the subtrahend in theirsolution (Saxe 1982) iterating backwards from the ear-on-the-other side (16) ear(16) eye (15) nose (14) etc without a method of keeping track of the subtrac-tion of 7 from 16 Second in a study with Oksapmin school children (Saxe1985) I found that many children were developing novel and effective functionsfor the body system even though they had received no formal instruction with itFor example in one observational study students were documented counting ontheir bodies during an arithmetic test In another I found that when unschooledadolescents worked on solving arithmetic problems like 16ndash7 = they would usethe error-prone approach similar to that used by traditional elders (illustrated inFigure 4) In contrast even though they received no instruction with arithmeticusing the body system school children in Grades 4 and 6 almost all used adifferent approach they created correspondences that were not between bodyparts and objects but correspondences turned inward mdash correspondences betweenbody parts and body parts to serve the function of keeping track For example as

Figure 4 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual does not keep track ofthe subtraction of the second term forearm (7) from the first ear (16)

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depicted in Figure 5 to solve the same problem 16ndash7 = children would countdown from the ear (16) and keep track of the subtrahend by establishing succe-ssive correspondences between the ear (16) and the forearm (7) the eye (15) andthe first wrist (6) until the correspondence between the shoulder (10) and thethumb (1) was achieved leaving the body parts left after the subtraction of 7 orbiceps (9) Figure 6 shows a fourth grader explaining his keeping-track strategy

How did Oksapmin children develop their keeping-track-of-body-partsapproach to arithmetic problem solving The argument elaborated in my bookis that their shift to internal correspondences between body parts is the unintendedconsequence of local actions constructed to solve goals that emerged in school Iargue that as children worked on solving problems on their own and in interactionwith one another they made sense of problems and of one anotherrsquos effortsthereby reproducing the system but also altering it in innovative ways regulatedby their understanding of the numerical functions of one-to-one correspondence

Figure 5 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual keeps track of thesubtraction by creating one-to-one correspondences internal to the body system coordi-nating the subtraction of the forearm (7) from the ear (16)

Figure 6 A child using a keeping-track procedure as he creates a one-to-one correspon-dence between two body-part series (for video record of the childrsquos solution see httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Their novel constructions become new sociogenetic developments in the collec-tive representations of a community of school children these novel constructionscould over time become established in collective practices outside of school aschildren leave school and encounter similar arithmetic problems in trade storesand other contexts requiring arithmetic problem solving

Ontogenetic processes

A third developmental strand in my framework is ontogenesis mdash the developmentof cognition over an individualrsquos lifespan with a focus on the shifting relationsbetween cultural forms and the cognitive functions that they serve in activityOver the course of ontogenetic development an individual may use many differ-ent cultural forms mdash for example different forms for quantification includingwords body parts and written characters mdash though initially these forms oftenserve limited functions In the case of Oksapmin body counting for number forexample body part words may be used initially just to denote parts of the bodyLater as individuals are confronted with problems in collective practices thatinvolve number and communication about number they construct numericalfunctions and begin to treat forms like body parts for new numerical purposes

To examine ontogenetic shifts in body counting in 1978 and 1980 I conductedstudies in Oksapmin childrenrsquos developing use and understanding of their countingsystem to serve traditional functions I analysed age-related shifts in unschooledOksapmin childrenrsquos use of body-part counting when they were asked to compareor reproduce groups of objects as well as when they were asked to measure stringbags In one study conducted in 1978 (Saxe 1981) I found that although youngerOksapmin children could recite body parts in the conventional sequence they didnot use reference to body parts to mediate numerical comparisons and reproduc-tions For example if asked to reproduce numerically a group of stones childrenwould create an approximate number in their copy without the use of body parts tocount each group As another example when asked to make numerical compar-isons between different body parts in the body system children often used sym-metry between body parts to make comparative numerical judgments (iesymmetrical body parts were judged to have the same value) In contrast whenthese kinds of problems were posed to older children older children displayedgreater abilities to use the body part form to serve the numerical functions ofnumerical reproductions and comparisons Of course the form-function shift inbody parts is one of many such shifts in the ontogeny of quantification forindividuals in the Oksapmin world and in Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies I document many others

Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronicperspective

I have argued that collective practices that emerge in economic exchanges andclassrooms in Oksapmin communities are semi-durable structures of activity and

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I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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emerging goals in the flow of activity sociogenetic or the reproduction andalteration of collective forms of representation in community networks throughhistorical time and ontogenetic the interplay between forms and functions as wellas means and goals in an individualrsquos activity over his or her own life course

To illustrate the developmental aspects of the framework I will focus on theOksapmin representational form for counting depicted in Figure 3 a systemelaborated over a complex cultural history To count with the 27 body-part systemone begins with the thumb on one hand and iterates names for body parts aroundthe upper periphery of the body to the little finger on the opposite hand In theOksapmin language there are no terms for number other than the body partsthemselves In traditional daily life people use the representational form of thebody part counting system to serve a variety of traditional socially recognizable

Figure 2 Relations between forms and functions (sociogenetic developments in culturalhistories) and means and goals (microgenetic constructions in action)

Figure 3 Traditional representational form for counting in Oksapmin communities

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functions (For videos of Oksapmin people displaying the system see httpwwwculturecognitioncom) Consider the ways that micro- socio- and ontogeneticprocesses are each inherent in the use of the system in Oksapmin collectivepractices

Microgenetic processes

Traditional Oksapmin people use the body part counting form to serve functionslike the quantification of a group of items Each time a person counts items theprocess of counting entails the microgenetic developmental process of construct-ing a numerical representation by turning the representational form into a meansto accomplish an emerging numerical goal For example to produce a cardinalnumber for a group of coins in a trade store interaction like the one shown inFigure 1 the customer turns the series of body parts into a numerical means as heassigns body parts in one-to-one correspondence with objects the customerrsquosactivity leads to a cardinal representation of a number like lsquoforearmrsquo for sevencoins (as schematized in Figure 2) The production of a cardinal value is amicrogenetic developmental process in the important sense that cardinal andordinal numbers are not contained in the representational form or in the objectsthemselves Rather individuals construct and interpret numerical representationsin acts of producing one-to-one correspondences summing and ordering (Piaget1970a)

Sociogenetic processes

The reproduction and alteration of collective representational forms like theOksapmin 27-body part counting system is a sociogenetic developmental processThe process occurs through many local interactions in communication and pro-blem solving in collective practices as individuals engage with emergent com-municative problems and problem solving through networks of interlocutors overhistorical time

To investigate sociogenetic developmental processes I conducted studies oncollective practices of economic exchange and of schooling with concern forunderstanding processes of reproduction of representational forms like the27-body part counting system and also the alterations of these forms To illustratemy empirical approach I focus here on Oksapmin bush schools which providedme with fertile ground in 1980 for the study of sociogenetic reproduction andalteration in the body part counting forms in a novel interplay between the bodyform and the emergence of arithmetic functions

In Oksapmin communities in the 1970s and at least part of the 1980s teachersin schools were not Oksapmin most were Papua New Guinea citizens from themore Westernized coastal regions and thus they had no knowledge of theOksapmin language or the counting system2 Instruction was in English asdictated by the Papua New Guinea national government educational policy andthe emphasis was on drill and practice approaches to mathematics instruction

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Though the body part system had not been used traditionally to solve additionand subtraction problems in Oksapmin communities (Saxe 1982 1985) in thecontext of English drill-and-practice curriculum I found that children were mak-ing sense of the mathematics in the alien English language in terms of theirindigenous body part system Further the sense making process led children tocreate novel arithmetic functions for the system Supportive evidence for thissociogenetic hypothesis mdash that engagement with arithmetical problems in schoolwas leading a community of Oksapmin children to generate novel functions forthe body system mdash came from several 1980 studies First supporting the con-jecture that traditionally the body system was not used to serve arithmeticalfunctions I found that traditional elders did not use the system effectively tosolve arithmetic problems (presented as story problems) such as 16ndash7 = Forexample as depicted in Figure 4 traditional elders correctly represented the firstterm of the problem with ear (16) but did not keep track of the subtrahend in theirsolution (Saxe 1982) iterating backwards from the ear-on-the-other side (16) ear(16) eye (15) nose (14) etc without a method of keeping track of the subtrac-tion of 7 from 16 Second in a study with Oksapmin school children (Saxe1985) I found that many children were developing novel and effective functionsfor the body system even though they had received no formal instruction with itFor example in one observational study students were documented counting ontheir bodies during an arithmetic test In another I found that when unschooledadolescents worked on solving arithmetic problems like 16ndash7 = they would usethe error-prone approach similar to that used by traditional elders (illustrated inFigure 4) In contrast even though they received no instruction with arithmeticusing the body system school children in Grades 4 and 6 almost all used adifferent approach they created correspondences that were not between bodyparts and objects but correspondences turned inward mdash correspondences betweenbody parts and body parts to serve the function of keeping track For example as

Figure 4 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual does not keep track ofthe subtraction of the second term forearm (7) from the first ear (16)

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depicted in Figure 5 to solve the same problem 16ndash7 = children would countdown from the ear (16) and keep track of the subtrahend by establishing succe-ssive correspondences between the ear (16) and the forearm (7) the eye (15) andthe first wrist (6) until the correspondence between the shoulder (10) and thethumb (1) was achieved leaving the body parts left after the subtraction of 7 orbiceps (9) Figure 6 shows a fourth grader explaining his keeping-track strategy

How did Oksapmin children develop their keeping-track-of-body-partsapproach to arithmetic problem solving The argument elaborated in my bookis that their shift to internal correspondences between body parts is the unintendedconsequence of local actions constructed to solve goals that emerged in school Iargue that as children worked on solving problems on their own and in interactionwith one another they made sense of problems and of one anotherrsquos effortsthereby reproducing the system but also altering it in innovative ways regulatedby their understanding of the numerical functions of one-to-one correspondence

Figure 5 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual keeps track of thesubtraction by creating one-to-one correspondences internal to the body system coordi-nating the subtraction of the forearm (7) from the ear (16)

Figure 6 A child using a keeping-track procedure as he creates a one-to-one correspon-dence between two body-part series (for video record of the childrsquos solution see httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Their novel constructions become new sociogenetic developments in the collec-tive representations of a community of school children these novel constructionscould over time become established in collective practices outside of school aschildren leave school and encounter similar arithmetic problems in trade storesand other contexts requiring arithmetic problem solving

Ontogenetic processes

A third developmental strand in my framework is ontogenesis mdash the developmentof cognition over an individualrsquos lifespan with a focus on the shifting relationsbetween cultural forms and the cognitive functions that they serve in activityOver the course of ontogenetic development an individual may use many differ-ent cultural forms mdash for example different forms for quantification includingwords body parts and written characters mdash though initially these forms oftenserve limited functions In the case of Oksapmin body counting for number forexample body part words may be used initially just to denote parts of the bodyLater as individuals are confronted with problems in collective practices thatinvolve number and communication about number they construct numericalfunctions and begin to treat forms like body parts for new numerical purposes

To examine ontogenetic shifts in body counting in 1978 and 1980 I conductedstudies in Oksapmin childrenrsquos developing use and understanding of their countingsystem to serve traditional functions I analysed age-related shifts in unschooledOksapmin childrenrsquos use of body-part counting when they were asked to compareor reproduce groups of objects as well as when they were asked to measure stringbags In one study conducted in 1978 (Saxe 1981) I found that although youngerOksapmin children could recite body parts in the conventional sequence they didnot use reference to body parts to mediate numerical comparisons and reproduc-tions For example if asked to reproduce numerically a group of stones childrenwould create an approximate number in their copy without the use of body parts tocount each group As another example when asked to make numerical compar-isons between different body parts in the body system children often used sym-metry between body parts to make comparative numerical judgments (iesymmetrical body parts were judged to have the same value) In contrast whenthese kinds of problems were posed to older children older children displayedgreater abilities to use the body part form to serve the numerical functions ofnumerical reproductions and comparisons Of course the form-function shift inbody parts is one of many such shifts in the ontogeny of quantification forindividuals in the Oksapmin world and in Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies I document many others

Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronicperspective

I have argued that collective practices that emerge in economic exchanges andclassrooms in Oksapmin communities are semi-durable structures of activity and

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I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 9: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

functions (For videos of Oksapmin people displaying the system see httpwwwculturecognitioncom) Consider the ways that micro- socio- and ontogeneticprocesses are each inherent in the use of the system in Oksapmin collectivepractices

Microgenetic processes

Traditional Oksapmin people use the body part counting form to serve functionslike the quantification of a group of items Each time a person counts items theprocess of counting entails the microgenetic developmental process of construct-ing a numerical representation by turning the representational form into a meansto accomplish an emerging numerical goal For example to produce a cardinalnumber for a group of coins in a trade store interaction like the one shown inFigure 1 the customer turns the series of body parts into a numerical means as heassigns body parts in one-to-one correspondence with objects the customerrsquosactivity leads to a cardinal representation of a number like lsquoforearmrsquo for sevencoins (as schematized in Figure 2) The production of a cardinal value is amicrogenetic developmental process in the important sense that cardinal andordinal numbers are not contained in the representational form or in the objectsthemselves Rather individuals construct and interpret numerical representationsin acts of producing one-to-one correspondences summing and ordering (Piaget1970a)

Sociogenetic processes

The reproduction and alteration of collective representational forms like theOksapmin 27-body part counting system is a sociogenetic developmental processThe process occurs through many local interactions in communication and pro-blem solving in collective practices as individuals engage with emergent com-municative problems and problem solving through networks of interlocutors overhistorical time

To investigate sociogenetic developmental processes I conducted studies oncollective practices of economic exchange and of schooling with concern forunderstanding processes of reproduction of representational forms like the27-body part counting system and also the alterations of these forms To illustratemy empirical approach I focus here on Oksapmin bush schools which providedme with fertile ground in 1980 for the study of sociogenetic reproduction andalteration in the body part counting forms in a novel interplay between the bodyform and the emergence of arithmetic functions

In Oksapmin communities in the 1970s and at least part of the 1980s teachersin schools were not Oksapmin most were Papua New Guinea citizens from themore Westernized coastal regions and thus they had no knowledge of theOksapmin language or the counting system2 Instruction was in English asdictated by the Papua New Guinea national government educational policy andthe emphasis was on drill and practice approaches to mathematics instruction

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Though the body part system had not been used traditionally to solve additionand subtraction problems in Oksapmin communities (Saxe 1982 1985) in thecontext of English drill-and-practice curriculum I found that children were mak-ing sense of the mathematics in the alien English language in terms of theirindigenous body part system Further the sense making process led children tocreate novel arithmetic functions for the system Supportive evidence for thissociogenetic hypothesis mdash that engagement with arithmetical problems in schoolwas leading a community of Oksapmin children to generate novel functions forthe body system mdash came from several 1980 studies First supporting the con-jecture that traditionally the body system was not used to serve arithmeticalfunctions I found that traditional elders did not use the system effectively tosolve arithmetic problems (presented as story problems) such as 16ndash7 = Forexample as depicted in Figure 4 traditional elders correctly represented the firstterm of the problem with ear (16) but did not keep track of the subtrahend in theirsolution (Saxe 1982) iterating backwards from the ear-on-the-other side (16) ear(16) eye (15) nose (14) etc without a method of keeping track of the subtrac-tion of 7 from 16 Second in a study with Oksapmin school children (Saxe1985) I found that many children were developing novel and effective functionsfor the body system even though they had received no formal instruction with itFor example in one observational study students were documented counting ontheir bodies during an arithmetic test In another I found that when unschooledadolescents worked on solving arithmetic problems like 16ndash7 = they would usethe error-prone approach similar to that used by traditional elders (illustrated inFigure 4) In contrast even though they received no instruction with arithmeticusing the body system school children in Grades 4 and 6 almost all used adifferent approach they created correspondences that were not between bodyparts and objects but correspondences turned inward mdash correspondences betweenbody parts and body parts to serve the function of keeping track For example as

Figure 4 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual does not keep track ofthe subtraction of the second term forearm (7) from the first ear (16)

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depicted in Figure 5 to solve the same problem 16ndash7 = children would countdown from the ear (16) and keep track of the subtrahend by establishing succe-ssive correspondences between the ear (16) and the forearm (7) the eye (15) andthe first wrist (6) until the correspondence between the shoulder (10) and thethumb (1) was achieved leaving the body parts left after the subtraction of 7 orbiceps (9) Figure 6 shows a fourth grader explaining his keeping-track strategy

How did Oksapmin children develop their keeping-track-of-body-partsapproach to arithmetic problem solving The argument elaborated in my bookis that their shift to internal correspondences between body parts is the unintendedconsequence of local actions constructed to solve goals that emerged in school Iargue that as children worked on solving problems on their own and in interactionwith one another they made sense of problems and of one anotherrsquos effortsthereby reproducing the system but also altering it in innovative ways regulatedby their understanding of the numerical functions of one-to-one correspondence

Figure 5 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual keeps track of thesubtraction by creating one-to-one correspondences internal to the body system coordi-nating the subtraction of the forearm (7) from the ear (16)

Figure 6 A child using a keeping-track procedure as he creates a one-to-one correspon-dence between two body-part series (for video record of the childrsquos solution see httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Their novel constructions become new sociogenetic developments in the collec-tive representations of a community of school children these novel constructionscould over time become established in collective practices outside of school aschildren leave school and encounter similar arithmetic problems in trade storesand other contexts requiring arithmetic problem solving

Ontogenetic processes

A third developmental strand in my framework is ontogenesis mdash the developmentof cognition over an individualrsquos lifespan with a focus on the shifting relationsbetween cultural forms and the cognitive functions that they serve in activityOver the course of ontogenetic development an individual may use many differ-ent cultural forms mdash for example different forms for quantification includingwords body parts and written characters mdash though initially these forms oftenserve limited functions In the case of Oksapmin body counting for number forexample body part words may be used initially just to denote parts of the bodyLater as individuals are confronted with problems in collective practices thatinvolve number and communication about number they construct numericalfunctions and begin to treat forms like body parts for new numerical purposes

To examine ontogenetic shifts in body counting in 1978 and 1980 I conductedstudies in Oksapmin childrenrsquos developing use and understanding of their countingsystem to serve traditional functions I analysed age-related shifts in unschooledOksapmin childrenrsquos use of body-part counting when they were asked to compareor reproduce groups of objects as well as when they were asked to measure stringbags In one study conducted in 1978 (Saxe 1981) I found that although youngerOksapmin children could recite body parts in the conventional sequence they didnot use reference to body parts to mediate numerical comparisons and reproduc-tions For example if asked to reproduce numerically a group of stones childrenwould create an approximate number in their copy without the use of body parts tocount each group As another example when asked to make numerical compar-isons between different body parts in the body system children often used sym-metry between body parts to make comparative numerical judgments (iesymmetrical body parts were judged to have the same value) In contrast whenthese kinds of problems were posed to older children older children displayedgreater abilities to use the body part form to serve the numerical functions ofnumerical reproductions and comparisons Of course the form-function shift inbody parts is one of many such shifts in the ontogeny of quantification forindividuals in the Oksapmin world and in Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies I document many others

Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronicperspective

I have argued that collective practices that emerge in economic exchanges andclassrooms in Oksapmin communities are semi-durable structures of activity and

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I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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Though the body part system had not been used traditionally to solve additionand subtraction problems in Oksapmin communities (Saxe 1982 1985) in thecontext of English drill-and-practice curriculum I found that children were mak-ing sense of the mathematics in the alien English language in terms of theirindigenous body part system Further the sense making process led children tocreate novel arithmetic functions for the system Supportive evidence for thissociogenetic hypothesis mdash that engagement with arithmetical problems in schoolwas leading a community of Oksapmin children to generate novel functions forthe body system mdash came from several 1980 studies First supporting the con-jecture that traditionally the body system was not used to serve arithmeticalfunctions I found that traditional elders did not use the system effectively tosolve arithmetic problems (presented as story problems) such as 16ndash7 = Forexample as depicted in Figure 4 traditional elders correctly represented the firstterm of the problem with ear (16) but did not keep track of the subtrahend in theirsolution (Saxe 1982) iterating backwards from the ear-on-the-other side (16) ear(16) eye (15) nose (14) etc without a method of keeping track of the subtrac-tion of 7 from 16 Second in a study with Oksapmin school children (Saxe1985) I found that many children were developing novel and effective functionsfor the body system even though they had received no formal instruction with itFor example in one observational study students were documented counting ontheir bodies during an arithmetic test In another I found that when unschooledadolescents worked on solving arithmetic problems like 16ndash7 = they would usethe error-prone approach similar to that used by traditional elders (illustrated inFigure 4) In contrast even though they received no instruction with arithmeticusing the body system school children in Grades 4 and 6 almost all used adifferent approach they created correspondences that were not between bodyparts and objects but correspondences turned inward mdash correspondences betweenbody parts and body parts to serve the function of keeping track For example as

Figure 4 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual does not keep track ofthe subtraction of the second term forearm (7) from the first ear (16)

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depicted in Figure 5 to solve the same problem 16ndash7 = children would countdown from the ear (16) and keep track of the subtrahend by establishing succe-ssive correspondences between the ear (16) and the forearm (7) the eye (15) andthe first wrist (6) until the correspondence between the shoulder (10) and thethumb (1) was achieved leaving the body parts left after the subtraction of 7 orbiceps (9) Figure 6 shows a fourth grader explaining his keeping-track strategy

How did Oksapmin children develop their keeping-track-of-body-partsapproach to arithmetic problem solving The argument elaborated in my bookis that their shift to internal correspondences between body parts is the unintendedconsequence of local actions constructed to solve goals that emerged in school Iargue that as children worked on solving problems on their own and in interactionwith one another they made sense of problems and of one anotherrsquos effortsthereby reproducing the system but also altering it in innovative ways regulatedby their understanding of the numerical functions of one-to-one correspondence

Figure 5 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual keeps track of thesubtraction by creating one-to-one correspondences internal to the body system coordi-nating the subtraction of the forearm (7) from the ear (16)

Figure 6 A child using a keeping-track procedure as he creates a one-to-one correspon-dence between two body-part series (for video record of the childrsquos solution see httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Their novel constructions become new sociogenetic developments in the collec-tive representations of a community of school children these novel constructionscould over time become established in collective practices outside of school aschildren leave school and encounter similar arithmetic problems in trade storesand other contexts requiring arithmetic problem solving

Ontogenetic processes

A third developmental strand in my framework is ontogenesis mdash the developmentof cognition over an individualrsquos lifespan with a focus on the shifting relationsbetween cultural forms and the cognitive functions that they serve in activityOver the course of ontogenetic development an individual may use many differ-ent cultural forms mdash for example different forms for quantification includingwords body parts and written characters mdash though initially these forms oftenserve limited functions In the case of Oksapmin body counting for number forexample body part words may be used initially just to denote parts of the bodyLater as individuals are confronted with problems in collective practices thatinvolve number and communication about number they construct numericalfunctions and begin to treat forms like body parts for new numerical purposes

To examine ontogenetic shifts in body counting in 1978 and 1980 I conductedstudies in Oksapmin childrenrsquos developing use and understanding of their countingsystem to serve traditional functions I analysed age-related shifts in unschooledOksapmin childrenrsquos use of body-part counting when they were asked to compareor reproduce groups of objects as well as when they were asked to measure stringbags In one study conducted in 1978 (Saxe 1981) I found that although youngerOksapmin children could recite body parts in the conventional sequence they didnot use reference to body parts to mediate numerical comparisons and reproduc-tions For example if asked to reproduce numerically a group of stones childrenwould create an approximate number in their copy without the use of body parts tocount each group As another example when asked to make numerical compar-isons between different body parts in the body system children often used sym-metry between body parts to make comparative numerical judgments (iesymmetrical body parts were judged to have the same value) In contrast whenthese kinds of problems were posed to older children older children displayedgreater abilities to use the body part form to serve the numerical functions ofnumerical reproductions and comparisons Of course the form-function shift inbody parts is one of many such shifts in the ontogeny of quantification forindividuals in the Oksapmin world and in Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies I document many others

Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronicperspective

I have argued that collective practices that emerge in economic exchanges andclassrooms in Oksapmin communities are semi-durable structures of activity and

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I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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depicted in Figure 5 to solve the same problem 16ndash7 = children would countdown from the ear (16) and keep track of the subtrahend by establishing succe-ssive correspondences between the ear (16) and the forearm (7) the eye (15) andthe first wrist (6) until the correspondence between the shoulder (10) and thethumb (1) was achieved leaving the body parts left after the subtraction of 7 orbiceps (9) Figure 6 shows a fourth grader explaining his keeping-track strategy

How did Oksapmin children develop their keeping-track-of-body-partsapproach to arithmetic problem solving The argument elaborated in my bookis that their shift to internal correspondences between body parts is the unintendedconsequence of local actions constructed to solve goals that emerged in school Iargue that as children worked on solving problems on their own and in interactionwith one another they made sense of problems and of one anotherrsquos effortsthereby reproducing the system but also altering it in innovative ways regulatedby their understanding of the numerical functions of one-to-one correspondence

Figure 5 An approach to solving 16ndash7 = in which an individual keeps track of thesubtraction by creating one-to-one correspondences internal to the body system coordi-nating the subtraction of the forearm (7) from the ear (16)

Figure 6 A child using a keeping-track procedure as he creates a one-to-one correspon-dence between two body-part series (for video record of the childrsquos solution see httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Their novel constructions become new sociogenetic developments in the collec-tive representations of a community of school children these novel constructionscould over time become established in collective practices outside of school aschildren leave school and encounter similar arithmetic problems in trade storesand other contexts requiring arithmetic problem solving

Ontogenetic processes

A third developmental strand in my framework is ontogenesis mdash the developmentof cognition over an individualrsquos lifespan with a focus on the shifting relationsbetween cultural forms and the cognitive functions that they serve in activityOver the course of ontogenetic development an individual may use many differ-ent cultural forms mdash for example different forms for quantification includingwords body parts and written characters mdash though initially these forms oftenserve limited functions In the case of Oksapmin body counting for number forexample body part words may be used initially just to denote parts of the bodyLater as individuals are confronted with problems in collective practices thatinvolve number and communication about number they construct numericalfunctions and begin to treat forms like body parts for new numerical purposes

To examine ontogenetic shifts in body counting in 1978 and 1980 I conductedstudies in Oksapmin childrenrsquos developing use and understanding of their countingsystem to serve traditional functions I analysed age-related shifts in unschooledOksapmin childrenrsquos use of body-part counting when they were asked to compareor reproduce groups of objects as well as when they were asked to measure stringbags In one study conducted in 1978 (Saxe 1981) I found that although youngerOksapmin children could recite body parts in the conventional sequence they didnot use reference to body parts to mediate numerical comparisons and reproduc-tions For example if asked to reproduce numerically a group of stones childrenwould create an approximate number in their copy without the use of body parts tocount each group As another example when asked to make numerical compar-isons between different body parts in the body system children often used sym-metry between body parts to make comparative numerical judgments (iesymmetrical body parts were judged to have the same value) In contrast whenthese kinds of problems were posed to older children older children displayedgreater abilities to use the body part form to serve the numerical functions ofnumerical reproductions and comparisons Of course the form-function shift inbody parts is one of many such shifts in the ontogeny of quantification forindividuals in the Oksapmin world and in Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies I document many others

Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronicperspective

I have argued that collective practices that emerge in economic exchanges andclassrooms in Oksapmin communities are semi-durable structures of activity and

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I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 12: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

Their novel constructions become new sociogenetic developments in the collec-tive representations of a community of school children these novel constructionscould over time become established in collective practices outside of school aschildren leave school and encounter similar arithmetic problems in trade storesand other contexts requiring arithmetic problem solving

Ontogenetic processes

A third developmental strand in my framework is ontogenesis mdash the developmentof cognition over an individualrsquos lifespan with a focus on the shifting relationsbetween cultural forms and the cognitive functions that they serve in activityOver the course of ontogenetic development an individual may use many differ-ent cultural forms mdash for example different forms for quantification includingwords body parts and written characters mdash though initially these forms oftenserve limited functions In the case of Oksapmin body counting for number forexample body part words may be used initially just to denote parts of the bodyLater as individuals are confronted with problems in collective practices thatinvolve number and communication about number they construct numericalfunctions and begin to treat forms like body parts for new numerical purposes

To examine ontogenetic shifts in body counting in 1978 and 1980 I conductedstudies in Oksapmin childrenrsquos developing use and understanding of their countingsystem to serve traditional functions I analysed age-related shifts in unschooledOksapmin childrenrsquos use of body-part counting when they were asked to compareor reproduce groups of objects as well as when they were asked to measure stringbags In one study conducted in 1978 (Saxe 1981) I found that although youngerOksapmin children could recite body parts in the conventional sequence they didnot use reference to body parts to mediate numerical comparisons and reproduc-tions For example if asked to reproduce numerically a group of stones childrenwould create an approximate number in their copy without the use of body parts tocount each group As another example when asked to make numerical compar-isons between different body parts in the body system children often used sym-metry between body parts to make comparative numerical judgments (iesymmetrical body parts were judged to have the same value) In contrast whenthese kinds of problems were posed to older children older children displayedgreater abilities to use the body part form to serve the numerical functions ofnumerical reproductions and comparisons Of course the form-function shift inbody parts is one of many such shifts in the ontogeny of quantification forindividuals in the Oksapmin world and in Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies I document many others

Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronicperspective

I have argued that collective practices that emerge in economic exchanges andclassrooms in Oksapmin communities are semi-durable structures of activity and

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I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 13: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

I have provided examples of collective practices such as economic exchanges intrade stores and arithmetic lessons in classrooms I have argued that as Oksapminpeople engage in interpreting and solving these problems in these collectivepractices the strands of microgenesis sociogenesis and ontogenesis convergeindividuals turn the body part forms into means to accomplish goals (microgen-esis) these microgenetic constructions are moments in individualsrsquo own develop-mental trajectories (ontogenesis) and individualsrsquo microgenetic constructions arereproductions and alterations of forms and functions in the communicative net-works constituting cultural histories of communities (sociogenesis) With shiftingconditions of community life mdash like national educational reforms or the issue ofa new national currency mdash new problems emerge in collective practices that haveimplications for the reproduction and alteration of form-function relations as theyare constituted in micro- onto- and sociogenetic processes With shifts in recur-ring problems we find new strands of sociogenetic developments emerging alongwith associated shifts in the character of microgenetic constructions and altera-tions in the ontogenesis of form-function relations

With this necessarily partial sketch of the framework presented in CulturalDevelopment of Mathematical Ideas I turn now to my 2014 return to theOksapmin world In my recent visit I focused on sociogenetic developments inthe use of the body part counting system Was the 27-body part counting systemstill in use in collective practices Had its form shifted What functions was thesystem serving in the collective practices of daily life

A 2014 fieldtrip to Oksapmin

In my recent trip to Oksapmin in June 2014 I was accompanied by Kenton deKirby a PhD student working with me at the University of California Berkeleyand Josh Saxe my son who was also with me in Oksapmin in 2001 One of ourobjectives was to gather information on peoplersquos use of the 27-body part countingsystem in collective practices3 To set the 2014 inquiry in context I first summar-ize key findings on sociogenetic shifts in form-function relations in the body partcounting from 1978 to 2001 with a focus on collective practices of schooling Ithen turn to some key observations and preliminary findings produced in ourrecent visit

Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001

In my earliest visits in 1978 and 1980 people of all ages knew the 27-bodypart representational form and their facility was sometimes observable in dailypractices Twenty-one years later in 2001 I documented marked sociogeneticshifts in the use of the system in collective practices of economic exchangeand schooling Indeed people in 2001 were increasingly using representationsvalued in communities outside of the Oksapmin world for number theseincluded English and Tok Pisin4 number words as well as Hindu-Arabicorthographic representations In some segments of the population mdash

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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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particularly among schooled adolescents mdash the use of the body system was ona precipitous decline In one 2001 study schooled adolescents for exampleproduced substantial numbers of errors in displaying the body count system(Saxe 2012) this finding was in marked contrast to the infrequency of bodypart counting errors produced by the younger unschooled populations as wellas the (unschooled) older adults Further in an additional study of use of thesystem in cash transactions at trade stores I found that people with noschooling used indigenous methods of quantification like the body systemand that with increased schooling the use on the body system was rare inthese transactions (Saxe 2012)

Although there was evidence for declining knowledge and use of thesystem in the community there was also one context in which this was notthe case In the late 1990s the national government instituted educationalreforms that mandated that during the first three years of instruction teachersshould use the local indigenous language and only gradually integrate TokPisin and English in place of English-only instruction5 Further the reformsrequired teachers to use indigenous knowledge forms like the Oksapmin 27-body part counting system to support the transition to Western forms and tohonor indigenous heritages in these early years These reforms created newcontexts for collective practices in elementary classrooms and these practicesbecame a focus of my work at an elementary school in 2001 (shown inFigure 7)

Two teachers worked at the elementary school house depicted in Figure 7and these teachers and their classes became a focus of my research The two

Figure 7 Two-room elementary school with dirt floor (2001)

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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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teachers supported new collective practices in their instruction that engagedstudents in using the body-part counting system and then transitioning frombody-part counting to Western forms of numeric representation To supporttheir instruction teachers posted numeric wall charts (illustrated in Figure 8)and used the charts as resources for children The charts are telling They showcorrespondences between Hindu-Arabic numerals for numbers from 1 to 10(left column) the body-part names of each number in a written form of theOksapmin language (middle column mdash for example tipana means thumb (1)kata means shoulder (10)) and the English names for each number in writtenform (right column) The wall charts were not intended to support an alterationof the 27-body part count system but use of the charts and associatedinstructional practices had unintended consequences when teaching arithmeticlessons teachers used the traditional system as if it had a cyclic or basestructure For example they encouraged students to represent numbers greaterthan 27 by using shoulder (10) as a base Thus in one practice students wererequired to assemble groups of small sticks and then represent those groups inbody part terms Thus five groups of 10 sticks would be represented as littlefinger (5) shoulder (10) the practice was widespread across their instructionalactivities Interestingly teachers appeared unaware of the alterations that theirinstruction supported in the structure of body part counting Indeed they wereengaged in bridging local knowledge systems with Western arithmetical formsand in this process they were inadvertently supporting an alteration of the bodycount form

Figure 8 Chart posted on wall in each elementary classroom (2001) with correspondingrepresentations of numbers to ten Hindu-Arabic numerals (left column) body-part namesin Oksapmin language (middle column) and English number words (right column)

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In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 16: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

In my book I provide various examples of collective practices used ininstruction in 2001 As an example in a three-part lesson on counting additionand subtraction the teacher begins a lesson with a choral recitation of the body-count form to 27 (Activity 1) and then shifts to addition (Activity 2) and thensubtraction (Activity 3) The body count system was a strand in each of theaddition and subtraction activities with the body system used to represent anarithmetical problem first (with images of objects to be added or subtracted drawnand counted on a central blackboard) then in English and Hindu-Arabic numerals

In planning a return trip to Oksapmin in 2014 I wanted to understand whetherthe reproduction and alteration of the body system in collective practices of thefirst three years of instruction was sustained Further if it was altered in whatway I expected teachers to have changed but that there may well be continuity ininstruction engaging the body count system mdash a sociogenetic process involvingits reproduction and alteration in communicative networks

Arrival in Oksapmin 2014

When we landed on the dirt landing strip in an Oksapmin valley adjacent to theTekin Baptist mission station in June 2014 we found that traditional dress hadvanished mdash men no longer wore cane belts and penis sheaths and women nolonger wore grass skirts these were all common during my early visits A highschool was established in 2005 in a temporary building and a new building wasbeing constructed with Western materials to be completed in 2017 Mobilephones are in wide use and trade store transactions now include sales of lsquotopoffsrsquo manufactured cards with codes for additional minutes of talk time ormegabytes of data (though reception was poor in many locations)

During our short stay we collected pilot data on the sociogenesis of body partcounting in mathematics instruction during the first three years of schooling Tosupport rapport we interviewed elementary teachers in pairs Explaining that Ihad returned to Oksapmin to study how mathematics instruction was currentlyconducted in the elementary grades we engaged teachers in a semi-structuredinterview with probe questions about mathematics instruction as well as morefocused questions about teachersrsquo knowledge and use of the body counting systemin classrooms Organizing our research was two sets of questions One didteachers know the body system if so what was the character of their knowl-edge and did they display alterations from the traditional Two did teachers usethe system in collective practices related to instruction and if so how whatfunctions did it serve for teachers and what functions did instruction support forstudents I summarize the findings here with particular regard to themes relatedto sociogenesis mdash the reproduction and alteration of the body system throughtime

First teacherslsquo knowledge of the counting system varied While some teachersdisplayed the traditional system with facility other teachersrsquo knowledge wassketchier for example one or two missed body parts as they counted or theywere not able to translate numbers in the body system to numbers in English

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number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 17: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

number words Such a finding suggests the processes of reproduction and altera-tion in classroom communities is heterogeneous with some childrenrsquos support foruse of the body system is more like traditional approaches and in others even ifused childrenrsquos support of the system is minimal

Second teachers described instructional practices reminiscent of those I hadobserved in 2001 For example some described a chart that displayed Hindu-Arabic numerals English number words and body part words in Oksapmin Thepresence of the chart and instructional practices that reflected the chart mdash like theexpression of larger numbers by some that made use of the shoulder (10) cyclicstructure pointed to the uptake of an alteration of the traditional structure

Third a number of teachers reported using the body system when childrenwere having difficulty with arithmetic a finding that reflected teachersrsquo assump-tions that the body system is a resource for studentsrsquo learning of arithmeticbuilding on learning in their out-of-school lives (We heard differing reportsfrom teachers about whether children were learning the body system in out-of-school contexts)

Fourth many teachers demonstrated how they coordinated two numericalsequences to keep track of the addition or subtraction of values a processreminiscent of Oksapmin school children documented in studies conducted in1980 but in contrast to the strategies I documented in 1980 teachers used Englishnumber words in coordination with the traditional body part positions to solvearithmetical problems Thus to solve 16ndash7 = teachers reported beginning withthe eye (16) and counting with English number words seven body part positionsfrom eye (16) to shoulder (10) leaving the remainder biceps (9) the solution ofthe subtraction problem Figure 9 illustrates how this strategy is intended to help achild solve the subtraction problem 16ndash7 =

Figure 9 Using English number words and the Oksapmin body form to solve 16ndash7 = The teacher begins with the ear (16) and counts body parts in reverse order to sevenleaving the solution to the subtraction problem biceps (9)

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We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 18: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

We were not able to conduct a follow-up study to understand whether parti-cipation in the collective practices of elementary school was leading to the re-emergence of body part counting among younger cohorts in Oksapmin commu-nities Such a study would have required more time that we had in this return visitWe hope that at least one of us will be able to take up this work in the future

Concluding remarks

In this paper I drew from my recent book Cultural Development of MathematicalIdeas Papua New Guinea Studies and sketched some of the principal constructs ofmy framework for the analysis of culture-cognition relations The framework and theassociated program of inquiry are designed to illuminate dynamic processes of shiftingrelations between representational forms like the Oksapminrsquos 27-body part countingsystem and cognitive functions that those forms serve in collective practices of dailylife like the count of valuables the solution of arithmetic problems or instructionalfunctions in the classroom In the interplay of micro- socio- and ontogenetic processesin collective practices forms become appropriated and refined to serve newly emer-ging functions and cognitive functions emerge as individuals use what they know tocognize and accomplish newly emerging problems in collective practices in relation toprior representational forms An underlying assumption is that cultural and cognitiveprocesses are dynamic with sociogenetic reproduction and alterations of form-func-tion relations emerging as individuals unwittingly reproduce and alter form-functionrelations as they work to accomplish shifting collective problems of daily life

Although my focus in this article has been on Oksapmin with its unusual bodypart counting system I argue that the framework is a useful way of organizing andconceptualizing the interplay between collective and cognitive processes in othercommunities For example in recent work with colleagues I have extended theapproach to the study of classroom practices in elementary classrooms in the UnitedStates with a focus on the interplay between mathematics forms and functions overthe course of a lesson sequence on integers and fractions (Gearhart amp Saxe 2014Saxe de Kirby Kang Le amp Schneider 2015 Saxe de Kirby Le Sitabkhan ampKang 2014 Saxe Diakow amp Gearhart 2013) The framework as it has developedover the years has also been used productively and in varied ways by my formergraduate students and colleagues in studies of cognitive development in schoolrelated activities (Brizuela 2014 Earnest 2015 Lagrange amp Erdogan 2009Langer-Osuna 2007) and out of school (Day 2014 Horn 2013 Nasir 2000a2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor 2009) It remains to bedetermined whether the approach will be useful to illuminate the dynamics ofculture-cognition relations in other communities over extended periods of time

Notes1 For related (and sometimes contrasting) approaches see Gauvain (Gauvain amp

Munroe 2012) Greenfield (2004) and Rogoff (2011)2 On the New Guinea island people speak over 850 natural languages and traditionally

use many language-specific counting systems

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3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 19: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

3 A second focus was the One Laptop Per Child (OLPC) program introduced to thecommunity in 2011 Prior to OLPC laptops were alien to this isolated group of smallcommunities with no electricity or plumbing We will report these findings in a laterpublication

4 Tok Pisin and English are two of the three national languages of Papua New GuineaTok Pisin was initially an English based pidgin used in trade but has now become acreole acquired by young children as a first language

5 This instructional shift to the vernacular in 2001 was now possible in Oksapminbecause at this point (unlike earlier years) many teachers were native to theOksapmin community

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El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 20: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

El estudio de las relaciones cultura-cognicioacuten en las praacutecticascolectivas cotidianas un modelo de investigacioacuten

En mi reciente libro Cultural Development of Mathematical Ideas Papua NewGuinea Studies (Saxe 2012) presento un modelo teoacuterico y teacutecnicas empiacutericaspara comprender el interjuego entre los procesos culturales y los procesos dedesarrollo cognitivo en el pensamiento numeacuterico Recurro a las investigacionesrealizadas en 1978 1980 y 2001 con un grupo remoto de Papuacutea Nueva Guinealos oksapmin para ilustrar el modelo y los meacutetodos empiacutericos El modelo seconstruye sobre a la vez que se distancia de las contribuciones seminales de Piaget(1963 1970b) y Vygotsky (1978 1986) asiacute como en formulaciones teoacuterico-praacutecticas de las relaciones entre cultura y cognicioacuten (Bateson 1972 Cole 1996Engestrom 2003 Leontiev 1981 Sfard 2008 Wertsch 1991) Una de laspropuestas novedosas de mi enfoque es que el tratamiento adecuado de lasrelaciones entre cultura y cognicioacuten requiere la comprensioacuten del complejo inter-juego entre procesos histoacuterico-culturales y los procesos de desarrollo en elpensamiento humano a lo largo del tiempo1 En este artiacuteculo reviso y ampliacuteolas propuestas conceptuales y empiacutericas desarrolladas en el libro extendieacutendolas anuevas observaciones realizadas cuando regreseacute a las comunidades oksapmin en2014

Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos enel pensamiento numeacuterico

En la conversacioacuten cotidiana y la resolucioacuten de problemas diarios las personasutilizan representaciones para las cantidades Dichas representaciones incluyenexpresiones como lsquoiquestCuaacutentorsquo lsquodemasiadorsquo o lsquono suficientersquo asiacute como lsquolargorsquolsquocortorsquo y lsquopequentildeorsquo Las representaciones y las ideas tambieacuten incluyen lanumeracioacuten ya sea en forma de teacuterminos enumerativos o bien representacionesortograacuteficas como el sistema indo-araacutebigo de numeracioacuten y su sistema de valorposicional La pregunta que enmarca mi libro es la siguiente lsquoiquestCuaacutel es el origende las representaciones y las ideas matemaacuteticas que pueblan el discurso cotidianode las personas y sus actividades de resolucioacuten de problemasrsquo Esta pregunta seencuentra en la interseccioacuten de la antropologiacutea cultural la sociologiacutea la psicologiacuteadel desarrollo y la educacioacuten e invita algunas respuestas sobre las que reflexionoen el libro y que maacutes tarde desecho

Una de las respuestas a preguntas sobre el origen apela al tratamientobioloacutegico de la cognicioacuten Las estructuras o ideas matemaacuteticas son producto dela evolucioacuten de nuestra especie y por tanto estaacuten integradas en nuestro sistema

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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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nervioso central y las formas representacionales son expresiones de estas ideasinnatas Pero los enfoques bioloacutegicos no consiguen dar respuesta a coacutemo y porqueacute las representaciones colectivas cobran forma de una manera diferente a lolargo de la historia social de diferentes comunidades humanas Ademaacutes tampocoexplican coacutemo se forman las diversas representaciones e ideas por ejemplo coacutemose diferencian las representaciones del nuacutemero en la escuela en el trabajo o enconversaciones informales

Otra respuesta a estas preguntas sobre los oriacutegenes es que aprendemos lasideas matemaacuteticas a partir de los mundos culturales en los que participamos yasea en la escuela en el trabajo o nuestras conversaciones con otros o como partedel lenguaje que aprendemos de nintildeos Pero esta respuesta no tiene en cuenta lascuestiones histoacuterico-culturales y de desarrollo iquestCuaacuteles son los oriacutegenes histoacutericosde las representaciones que aprendemos en la escuela en el trabajo o en nuestrasconversaciones y coacutemo cambia el uso de esas formas a medida que el nintildeo sedesarrolla

En el enfoque histoacuterico-cultural y del desarrollo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas recurro al trabajo de campo realizado en1978 1980 y 2001 con las comunidades oksapmin para sustentar mi propuesta deque tanto cognicioacuten como cultura deberiacutean ser tratadas como procesos que estaacutenenraizados conjuntamente en la actividad humana En este artiacuteculo empiezoresumiendo los aspectos histoacuterico-culturales y de desarrollo del modelo e ilus-trando sus raiacuteces comunes en la actividad A continuacioacuten describo estudiosempiacutericos extraiacutedos de trabajos empiacutericos anteriores realizados desde 1978hasta 2001 sobre el sistema de coacutemputo oksapmin basado en 27 partes delcuerpo Muestro que el conocimiento y el uso del sistema corporal ha idodisminuyendo en las comunidades oksapmin y aun asiacute han ido emergiendo a lavez nuevas praacutecticas colectivas que fomentan el aumento del uso del sistema decoacutemputo corporal pero con una estructura modificada que facilita nuevas fun-ciones Concluyo demostrando coacutemo el modelo y los estudios empiacutericos previosformaron la base de mis recientes investigaciones en 2014 con los oksapmin Parafinalizar sentildealo las formas en que el modelo puede apoyar a la investigacioacuten enotras comunidades y en otros dominios del conocimiento diferentes a lasmatemaacuteticas

Aspectos histoacuterico-culturales del modelo

Mi enfoque es histoacuterico-cultural en tanto que los focos de anaacutelisis son lasestructuras recurrentes de la actividad conjunta en las comunidades lo quellamo praacutecticas colectivas Entre los ejemplos de praacutecticas colectivas objeto deestudio de mis investigaciones se incluyen las transacciones cliente-dependienteen los comercios de la comunidad oksapmin asiacute como la interaccioacuten maestro-alumno en las escuelas rurales de esa comunidad En las praacutecticas colectivas deestos aacutembitos de actividad los participantes piensan en problemas matemaacuteticosque estaacuten inherentemente situados en un tiempo histoacuterico-cultural las mercanciacuteasse intercambian por dinero en un periodo de tiempo particular de la historia de los

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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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oksapmin y los esfuerzos de un alumno por resolver un problema de aritmeacuteticaque un maestro le ha planteado tienen lugar en un periodo de tiempo particular dela historia de la escolarizacioacuten rural de los oksapmin Cuando los participantestratan de resolver los problemas que surgen en las praacutecticas colectivas estosproblemas son compartidos o taken-as-shared (Cobb Wood Yackel amp McNeal1992) es decir se comprenden en teacuterminos maacutes o menos comunes de modos quesustentan la actividad coordinada Por ejemplo un dependiente y su clienteconsiguen cambiar productos por dinero en un comercio porque coordinan suactividad el propietario establece queacute suma de dinero en efectivo es necesaria elcliente entrega esa cantidad y el propietario evaluacutea el pago

Cuando agentes individuales participan en la resolucioacuten de un problemacompartido en un praacutectica colectiva inevitablemente dividen el trabajo cognitivoen relacioacuten a su posicioacuten social y sus metas emergen y cambian en relacioacuten conesos roles emergentes asiacute como a las formas representacionales que utilizan Porejemplo un cliente puede establecer la meta de presentar maacutes dinero del quecuesta un producto particular en ese momento y el dependiente puede establecer lameta de devolver el cambio apropiado para ese pago Tanto para el dependientecomo para el cliente el uso del sistema numeacuterico corporal oksapmin basado en 27partes del cuerpo para resolver un problema aritmeacutetico mdash como sumar el ante-brazo (7) al codo (8) mdash tiene implicaciones para las metas y submetas emergentesque son diferentes de las que implica realizar esa misma suma con el sistema denumeracioacuten estrictamente verbal

Para ilustrar los problemas situados cultural e histoacutericamente y las metasemergentes en las praacutecticas colectivas presento la observacioacuten de un intercambioocurrido en un comercio oksapmin en 1978 Los participantes en la observacioacuteneran el dependiente y los dos clientes que se muestran en la Figura 1 Momentosantes de la escena capturada en las fotografiacuteas los clientes habiacutean pedido aldependiente unas conservas de pescado el dependiente las habiacutea ido a buscar ylos clientes presentaron el pago Para cada fase de esta instancia de praacutecticacolectiva los individuos participantes abordaban las metas que emergiacutean sucesi-vamente en relacioacuten con las acciones e interpretaciones de cada participante Enlas Figura 1a a 1i un cliente saca dinero de Papuacutea Nueva Guinea de una pequentildeacaja metaacutelica que tiene en su bolso y solicita maacutes conservas de pescado (Figura 1aa 1d) En la Figura 1e el dependiente vuelve con maacutes latas y en la Figura 1f a 1ise realiza el pago y se devuelve el cambio En el curso de estas fases eldependiente fue construyendo metas para calcular el coste de los productos yprodujo medios de conseguirlas El cliente creoacute sus metas para determinar cuaacutentodinero debiacutea presentar en relacioacuten con el coste de los productos

Las praacutecticas colectivas tales como el intercambio econoacutemico en los comerciosoksapmin son relativamente duraderas en tanto que conforman patrones comunesde actividad conjunta en muacuteltiples lugares y a lo largo de un periodo de tiempoDicho esto no tienen una permanencia inherente Por supuesto las estructuras deactividad mdash incluida la construccioacuten de metas y los medios para conseguirlas porparte de los individuos mdash son dinaacutemicas cambiantes y efiacutemeras Ademaacutes losartefactos que constituyen los problemas numeacutericos emergentes en estos

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intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 23: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

intercambios mdash el dinero en efectivo y los productos en venta mdash no tienen unvalor numeacuterico o valor de cambio inherente Maacutes bien dichos artefactos cobransignificado cuando son interpretados y utilizados en los intercambios Las estruc-turas recurrentes de la actividad y los significados atribuidos a los artefactos sonmaacutes o menos predecibles porque estaacuten arraigados en precedentes lo que los haceinterpretables por los participantes

Aspectos evolutivos del modelo

El modelo que presento tambieacuten es evolutivo Propongo que las representacionesculturales cultural histoacutericamente arraigadas (como el sistema de coacutemputo oksap-min basado en 27 partes del cuerpo) y las funciones que estas desempentildean en laspraacutecticas colectivas no son estaacuteticas Al contrario en el contexto de la actividadcomunicativa y de resolucioacuten de problemas los individuos convierten las formasde representacioacuten en medios para alcanzar metas que sirven a funciones cognitivasen la actividad En este proceso las formas y sus funciones son reproducidas einevitablemente alteradas en las comunidades a lo largo del tiempo histoacuterico

En la Figura 2 se ilustran las relaciones entre formas y funciones por un ladoy medios y metas por el otro Como se muestra en la figura en la accioacuten decontar durante un intercambio un individuo cuantifica un puntildeado de monedas (lospequentildeos ciacuterculos de la Figura 2) adaptando la forma de representacioacuten corporal

Figura 1 Dos hombres compran conservas de pescado al dependiente del comercio de lamisioacuten

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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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para conseguir la meta numeacuterica y genera metas y submetas en relacioacuten a la formade representacioacuten que se estaacute desplegando asignando partes del cuerpo en corre-spondencia uno a uno con los objetos En este uso de la representacioacuten corporalorientado a metas el individuo reproduce pero tambieacuten altera el sistema corporal enrelacioacuten al problema en cuestioacuten En esa reproduccioacuten y alteracioacuten encontramoscontinuidad a traveacutes del tiempo histoacuterico en las formas de representacioacuten elaboradasculturalmente pero tambieacuten alteraciones orientadas hacia los problemas cambiantesque emergen en las praacutecticas colectivas de la vida cultural

La investigacioacuten de las relaciones cambiantes entre las formas culturales y lasfunciones para las cuales estas sirven requiere un tratamiento coordinado de tresprocesos de desarrollo el microgeneacutetico la transformacioacuten de las formas derepresentacioacuten en medios para conseguir las metas emergentes en el transcursode la actividad el sociogeneacutetico la reproduccioacuten y alteracioacuten de las formascolectivas de representacioacuten en las redes comunitarias a traveacutes del tiempohistoacuterico y el ontogeneacutetico el interjuego entre formas y funciones asiacute comoentre medios y metas en la actividad del individuo durante el curso de su vida

Para ilustrar aquellos aspectos del modelo relacionados con el desarrollo mecentrareacute en la forma de representacioacuten oksapmin para contar que se ilustra en laFigura 3 un sistema elaborado a lo largo de una historia cultural compleja Paracontar con el sistema de 27 partes del cuerpo se empieza con el dedo pulgar deuna mano y se repiten los nombres de las partes del extremo superior del cuerpohasta el dedo mentildeique de la otra mano En la lengua oksapmin no hay maacutesteacuterminos para indicar el nuacutemero que las partes del cuerpo En la vida cotidianatradicional la gente utiliza la forma de representacioacuten del sistema de coacutemputobasado en esas partes del cuerpo para desempentildear una serie de funciones

Figura 2 Relaciones entre forma y funcioacuten (desarrollos sociogeneacuteticos en las historiasculturales) y metas y medios (construcciones microgeneacuteticas en accioacuten)

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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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tradicionales reconocibles socialmente (Veacutease httpwwwculturecognitioncompara acceder a viacutedeos de personas oksapmin usando el sistema) Consideacuterese dequeacute modo los procesos microgeneacutetico sociogeneacutetico y ontogeneacutetico son inhe-rentes al uso del sistema en las praacutecticas colectivas oksapmin

Procesos microgeneacuteticos

Tradicionalmente los oksapmin utilizan el sistema de coacutemputo corporal paradesempentildear funciones tales como la cuantificacioacuten de un grupo de elementosCada vez que una persona cuenta elementos el proceso de contar implica elproceso de desarrollo microgeneacutetico de construir una representacioacuten numeacutericacambiando la forma de representacioacuten en un medio para alcanzar una metanumeacuterica emergente Por ejemplo para producir un nuacutemero cardinal para ungrupo de monedas en una interaccioacuten comercial como la que se muestra en laFigura 1 el cliente convierte la serie de partes del cuerpo en un medio numeacutericoasignando partes del cuerpo a los productos en una correspondencia de uno a unoLa actividad del cliente conduce a una representacioacuten cardinal de un nuacutemerocomo lsquoantebrazorsquo para siete monedas (veacutease el esquema en la Figura 2) Laproduccioacuten de un valor cardinal es un proceso de desarrollo microgeneacutetico en elsentido esencial que los nuacutemeros cardinales y ordinales no existen en la formarepresentacional o en los propios productos u objetos Maacutes bien los individuosconstruyen e interpretan representaciones numeacutericas mediante actos de produccioacutende correspondencias uno a uno sumas y ordenamientos (Piaget 1970a)

Procesos sociogeneacuteticos

La reproduccioacuten y alteracioacuten de las formas representacionales colectivas como elsistema corporal de coacutemputo oksapmin es un proceso de desarrollo sociogeneacuteticoEl proceso tiene lugar a traveacutes de muacuteltiples interacciones locales en praacutecticascolectivas comunicativas y de resolucioacuten de problemas cuando los individuos se

Figura 3 Forma tradicional de representacioacuten del coacutemputo en las comunidadesoksapmin

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implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 26: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

implican en problemas emergentes de comunicacioacuten y resolucioacuten de problemas atraveacutes de redes de interlocutores a lo largo del tiempo histoacuterico

Para investigar los procesos de desarrollo sociogeneacutetico llevamos a cabo elestudio de las praacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y de escolarizacioacutentratando de comprender los procesos de reproduccioacuten de las formas derepresentacioacuten y tambieacuten las alteraciones de esas formas Para ilustrar mi enfoqueempiacuterico me centrareacute en las escuelas rurales oksapmin que me facilitaron uncampo feacutertil en 1980 para el estudio de la reproduccioacuten y alteracioacuten sociogeneacuteticaen el sistema de coacutemputo corporal en un interjuego novedoso entre larepresentacioacuten corporal y la emergencia de funciones aritmeacuteticas

En las comunidades oksapmin en la deacutecada de los 70 y parte de los 80 losmaestros de escuela no eran oksapmin La mayoriacutea eran ciudadanos de PapuacuteaNueva Guinea originarios de las regiones costeras maacutes occidentalizadas y portanto no conociacutean la lengua oksapmin ni su sistema de coacutemputo2 La ensentildeanzase realizaba en ingleacutes como dictaban las leyes educativas del gobierno nacionalpapuacute neoguineano y con eacutenfasis en enfoques de la ensentildeanza de las matemaacuteticasbasados en la ejercitacioacuten repetitiva

Aunque el sistema corporal no se habiacutea utilizado tradicionalmente para resol-ver problemas de adicioacuten y sustraccioacuten en las comunidades oksapmin (Saxe1982 1985) en el contexto del curriacuteculum ingleacutes de praacutectica y repeticioacutenobserveacute que los nintildeos daban sentido a las matemaacuteticas en el idioma extranjeroingleacutes a partir de su sistema corporal indiacutegena Ademaacutes el proceso de elaboracioacutende sentido conduciacutea a los alumnos a crear nuevas funciones aritmeacuteticas para elsistema Varios estudios realizados en 1980 mostraron evidencias que sustentabanesta hipoacutetesis sociogeneacutetica que el trabajo con problemas aritmeacuteticos en laescuela haciacutea que una comunidad de nintildeos oksapmin generara nuevas funcionespara el sistema de coacutemputo corporal En primer lugar y en apoyo de la conjeturade que tradicionalmente no se utilizaba el sistema corporal para desempentildearfunciones aritmeacuteticas encontreacute que los ancianos tradicionales no utilizaban elsistema de un modo efectivo para resolver problemas aritmeacuteticos (presentadoscomo una historia) tales como 16ndash7 = iquest Por ejemplo como se muestra en laFigura 4 los ancianos tradicionales representaban correctamente la primera partedel problema con la oreja (16) pero no conseguiacutean registrar correctamente elsustraendo en sus soluciones (Saxe 1982) iterando hacia atraacutes desde la oreja delotro lado oreja (16) ojo (15) nariz (14) etc sin un meacutetodo para registrar paso apaso la sustraccioacuten de 7 a partir de 16 En segundo lugar en un estudio realizadocon escolares oksapmin (Saxe 1985) encontreacute que muchos nintildeos desarrollabanfunciones novedosas y efectivas para el sistema corporal a pesar de no haberrecibido ensentildeanza formal sobre ese sistema Por ejemplo en un estudio deobservacioacuten se documentoacute a los estudiantes contando con las partes del cuerpodurante un examen de aritmeacutetica En otro estudio descubriacute que cuando algunosadolescentes sin escolarizar trataban de resolver un problema aritmeacutetico como elde 16ndash7 = iquest utilizaban un enfoque propenso a errores como el utilizado por losancianos tradicionales (ilustrado en la Figura 4) En cambio aunque no hubieranrecibido instruccioacuten en aritmeacutetica utilizando el sistema corporal casi todos los

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escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 27: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

escolares de grado 4 y 6 utilizaban un enfoque diferente creaban corresponden-cias no entre partes del cuerpo y objetos sino correspondencias internas al sistemacorporal es decir correspondencias entre unas partes del cuerpo y otras partes delcuerpo que serviacutean a la funcioacuten de seguimiento paso a paso de las operacionesaritmeacuteticas Por ejemplo como se muestra en la Figura 5 para resolver el mismoproblema 16ndash7 = iquest los escolares contaban hacia atraacutes a partir de la oreja (16) yrealizaban el seguimiento del sustraendo estableciendo correspondencias sucesi-vas entre la oreja (16) y el antebrazo (7) el ojo (15) y la primera muntildeeca (6) hastaconseguir la correspondencia entre el hombro (10) y el pulgar (1) llegando a laparte restante despueacutes de la sustraccioacuten de 7 el biacuteceps (9) La Figura 6 muestra unescolar de 4ordm grado explicando su estrategia de registro y seguimiento

Figura 4 Una aproximacioacuten para resolver la operacioacuten 16ndash7 = iquest en el que el individuono logra llevar la cuenta de la sustraccioacuten del sustraendo antebrazo (7) del minuendooreja (16)

Figura 5 Una aproximacioacuten para la resolucioacuten del problema 16ndash7 = iquest en el que unindividuo lleva la cuenta de la sustraccioacuten creando correspondencias uno a uno internasal sistema corporal coordinando y registrando la sustraccioacuten del antebrazo (7) de laoreja (16)

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iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 28: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

iquestCoacutemo desarrollaron los nintildeos oksapmin su sistema de registro y seguimientode las partes del cuerpo para resolver los problemas de aritmeacutetica El argumentoque desarrollo en mi libro es que el desplazamiento hacia establecer correspon-dencias internas entre las partes del cuerpo es una consecuencia no deliberada deacciones locales construidas para alcanzar las metas que surgieron en la escuelaPropongo que cuando los nintildeos tratan de resolver los problemas individualmentee interactuando entre ellos dan sentido a los problemas y a los esfuerzos respec-tivos para resolverlos reproduciendo el sistema y a la vez modificaacutendolo demaneras innovadoras regidas por su comprensioacuten de las funciones numeacutericas delas correspondencias uno a uno Sus nuevas construcciones se convierten ennuevos desarrollos sociogeneacuteticos en las representaciones colectivas de unacomunidad de escolares Con el paso del tiempo estas nuevas construccionespodriacutean arraigar en las praacutecticas colectivas extra-escolares una vez que los esco-lares se van de la escuela y se enfrentan a problemas aritmeacuteticos similares en loscomercios y en otros contextos que requieren la resolucioacuten de problemasaritmeacuteticos

Procesos ontogeneacuteticos

La tercera viacutea relacionada con el desarrollo en mi modelo es la ontogeacutenesis eldesarrollo cognitivo a lo largo de la vida del individuo centrada en las relacionescambiantes entre las representaciones culturales y las funciones en las que estas seutilizan en la actividad Durante el transcurso del desarrollo ontogeneacutetico unindividuo puede utilizar muacuteltiples formas culturales diferentes mdash por ejemplodiferentes formas para cuantificar tales como palabras partes del cuerpo ycaracteres escritos mdash aunque inicialmente estas formas se utilizan en limitadasfunciones En el caso del sistema numeacuterico corporal oksapmin por ejemplo losteacuterminos correspondientes a las partes del cuerpo pueden ser utilizados inicial-mente solo para designar las partes del cuerpo Maacutes tarde cuando los individuosse enfrentan con problemas en las praacutecticas colectivas en relacioacuten con el nuacutemero yla comunicacioacuten sobre el nuacutemero construyen funciones numeacutericas y comienzan autilizar formas como las partes del cuerpo para esos nuevos propoacutesitos numeacutericos

Figura 6 Un nintildeo utiliza una estrategia de seguimiento mientras crea correspondenciasuno a uno entre dos series corporales (para acceder a un viacutedeo de la solucioacuten veacutease httpwwwculturecognitioncomfourth-grader-solving-16-7-body-system)

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Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 29: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

Para analizar los cambios ontogeneacuteticos en el coacutemputo corporal en 1978 y1980 estudiamos coacutemo los nintildeos oksapmin desarrollaban su uso y comprensioacutendel sistema numeacuterico corporal para alcanzar funciones tradicionales Con nintildeos noescolarizados analizamos los cambios que se produciacutean en el uso del sistemaseguacuten la edad cuando les pediacuteamos que comparasen o reprodujeran grupos deobjetos y tambieacuten cuando les pediacuteamos que midieran bolsas de cuerda En unestudio realizado en 1978 (Saxe 1981) encontreacute que si bien los nintildeos maacutesjoacutevenes podiacutean recitar las partes del cuerpo en el orden convencional no haciacuteanreferencia a las partes del cuerpo para llevar a cabo las comparaciones y repro-ducciones numeacutericas Por ejemplo si se les pediacutea que reprodujerannumeacutericamente un conjunto de piedras los nintildeos creaban un duplicado con unnuacutemero aproximado de piedras sin utilizar las partes del cuerpo para contar laspiedras de cada conjunto Otro ejemplo cuando se les pediacutea que realizarancomparaciones numeacutericas entre diferentes partes del cuerpo en el sistema decoacutemputo corporal los nintildeos soliacutean utilizar la simetriacutea entre las partes del cuerpopara emitir juicios numeacutericos comparativos (es decir consideraban que las partessimeacutetricas del cuerpo tienen el mismo valor) Por el contrario cuando se planteabaeste tipo de problemas a nintildeos mayores estos mostraban mayor habilidad en eluso de las partes del cuerpo para desempentildear funciones numeacutericas correspon-dientes a las reproducciones o comparaciones numeacutericas Naturalmente el cambiode forma-funcioacuten en las partes del cuerpo es uno de los muacuteltiples cambios en laontogenia de la cuantificacioacuten para los individuos de la comunidad oksapmin yen Cultural Development of Mathematical Ideas Papua New Guinea Studiesdocumento muchas maacutes

Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacutendiacroacutenica

He defendido que las praacutecticas colectivas que emergen en los intercambioseconoacutemicos y en las aulas de la comunidad oksapmin son estructuras semidur-aderas de actividad y he facilitado ejemplos de praacutecticas colectivas como losintercambios econoacutemicos que tienen lugar en los comercios y los ejercicios dearitmeacutetica en las aulas He defendido tambieacuten que a medida que la comunidadoksapmin participa en la interpretacioacuten y resolucioacuten de estos problemas en suspraacutecticas colectivas los procesos relacionados con su microgeacutenesis sociogeacutenesisy ontogeacutenesis convergen los individuos convierten las partes del cuerpo enmedios para conseguir metas (microgeacutenesis) estas construccionesmicrogeneacuteticas son momentos en el proceso de desarrollo del propio individuo(ontogeacutenesis) y sus construcciones microgeneacuteticas individuales son reproduc-ciones y alteraciones de las formas y funciones en las redes comunicativas queforman la historia cultural de las comunidades (sociogeacutenesis) En unas condi-ciones de vida comunitaria cambiantes mdashcomo las reformas educativas nacio-nales o la emisioacuten de una nueva moneda nacionalmdash emergen problemas nuevosen las praacutecticas colectivas que tienen implicaciones para la reproduccioacuten yalteracioacuten de las relaciones forma-funcioacuten tal y como estaacuten constituidas en los

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procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 30: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

procesos microgeneacuteticos ontogeneacuteticos y sociogeneacuteticos Con los cambios en losproblemas recurrentes observamos coacutemo emergen nuevas viacuteas de desarrollossociogeneacuteticos asiacute como los correspondientes cambios en la naturaleza de lasconstrucciones microgeneacuteticas y alteraciones en la ontogeacutenesis de las relacionesforma-funcioacuten

Tras este esbozo necesariamente parcial del modelo que presento en CulturalDevelopment of Mathematical Ideas considero a continuacioacuten mi regreso a lacomunidad oksapmin en 2014 En mi uacuteltima visita me centreacute en los desarrollossociogeneacuteticos en el uso del sistema de coacutemputo corporal iquestSe usaba todaviacutea enlas praacutecticas colectivas el sistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpoiquestHabiacutea cambiado su forma iquestQueacute funciones desempentildeaba el sistema en laspraacutecticas colectivas cotidianas

El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014

En mi reciente visita a la comunidad oksapmin en junio de 2014 meacompantildearon Lenton de Kirby un estudiante de doctorado que trabajaba conmigoen la Universidad de California Berkeley y Josh Saxe mi hijo quien tambieacuten meacompantildeoacute en mi anterior viaje de 2001 Uno de nuestros objetivos era recogerinformacioacuten sobre el uso del sistema de coacutemputo corporal en las praacutecticascolectivas3 Para contextualizar la investigacioacuten de 2014 primero resumireacute losdescubrimientos clave que realizamos entre 1978 y 2001 sobre los cambiossociogeneacuteticos en la relacioacuten forma-funcioacuten del sistema de coacutemputo corporalcentraacutendome en las praacutecticas colectivas de escolarizacioacuten A continuacioacutenexpondreacute algunas observaciones clave y conclusiones preliminares de nuestrareciente visita

Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpoentre 1978 y 2001

En mis primeras visitas de 1978 y 1980 personas de todas las edades conociacutean elsistema de coacutemputo basado en 27 partes del cuerpo y su familiaridad se podiacuteaobservar en ocasiones en las praacutecticas cotidianas Veintiuacuten antildeos maacutes tarde en2001 documenteacute marcados cambios sociogeneacuteticos en el uso del sistema enpraacutecticas colectivas de intercambios econoacutemicos y escolares De hecho ya en2001 se utilizaban con cierta frecuencia representaciones valoradas en comuni-dades externas a la comunidad oksapmin para el nuacutemero eacutestas incluiacutean losteacuterminos ingleses y tok pisin4 asiacute como sus representaciones ortograacuteficas indo-araacutebigas En algunos segmentos de la poblacioacuten particularmente entre losescolares adolescentes el uso del sistema corporal presentaba un declive vertigi-noso En un estudio de 2001 los escolares adolescentes por ejemplo cometiacutean unnuacutemero considerable de errores al utilizar el sistema de coacutemputo corporal (Saxe2012) Este hallazgo contrastaba con el reducido nuacutemero de errores cometidos porlas poblaciones joacutevenes no escolarizadas asiacute como por los adultos mayores(no escolarizados) Ademaacutes en un estudio adicional sobre el uso de ese sistema

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en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 31: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

en las transacciones econoacutemicas de los comercios observamos que la poblacioacutenno escolarizada utilizaba meacutetodos indiacutegenas para la cuantificacioacuten como elsistema corporal de coacutemputo y que con una mayor escolarizacioacuten el uso deeste sistema era escaso en dichas transacciones (Saxe 2012)

Aunque encontramos evidencia de un declive en el conocimiento y uso delsistema en la comunidad tambieacuten identificamos un contexto en el que eso nosucediacutea A finales de los 90 el gobierno nacional introdujo reformas educativasque obligaban a que durante los tres primeros antildeos de educacioacuten los docentesdebiacutean utilizar las lenguas locales indiacutegenas para ir introduciendo despueacutes pau-latinamente el tok pisin y el ingleacutes en lugar de una educacioacuten exclusivamente eningleacutes5 Ademaacutes las reformas obligaban a los docentes a utilizar conocimientosindiacutegenas como el sistema de coacutemputo corporal como apoyo en la transicioacuten haciaformas occidentales y para honrar las tradiciones indiacutegenas en esos primeros antildeosEsas reformas dieron lugar a nuevos contextos para las praacutecticas colectivas en lasaulas de primaria y esas praacutecticas se convirtieron en el foco de mi trabajo en unaescuela primaria en 2001 (veacutease Figura 7)

Dos maestros que trabajaban en la escuela que se muestra en la Figura 7 y susclases fueron el foco de mis investigaciones Los dos maestros introdujeronnuevas praacutecticas colectivas en su ensentildeanza que fomentaban el uso entre susalumnos del sistema de coacutemputo corporal y maacutes tarde pasaban del sistemacorporal a las formas occidentales de representacioacuten numeacuterica Para apoyar suensentildeanza los maestros colgaban carteles con tablas numeacutericas (como se ilustraen la Figura 8) y utilizaban las tablas como un recurso para los nintildeos Las tablasson reveladoras Muestran las correspondencias entre los numerales indo-araacutebigos

Figura 7 Escuela primaria de dos aulas con el piso de tierra (2001)

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para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 32: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

para los nuacutemeros del 1 al 10 (columna izquierda) los nombres de las partes delcuerpo para cada nuacutemero en la forma escrita de la lengua oksapmin (columnacentral por ejemplo tipana significa pulgar (1) kata significa hombro (10) etc)y los teacuterminos ingleses para cada nuacutemero en su forma escrita (columna derecha)Las tablas no teniacutean la finalidad de provocar una alteracioacuten en el sistema decoacutemputo corporal pero su uso y las praacutecticas de ensentildeanza asociadas tuvieronconsecuencias involuntarias Cuando impartiacutean lecciones de aritmeacutetica losdocentes utilizaban el sistema tradicional como si este tuviera una estructura obase ciacuteclica Por ejemplo animaban a los estudiantes a representar nuacutemerosmayores de 27 utilizando el hombro (10) como base Asiacute pues en una actividadse les pediacutea a los estudiantes que agruparan conjuntos de palitos y despueacutesrepresentaran estos grupos utilizando el sistema corporal De ese modo cincogrupos de diez palitos se representaban como dedo mentildeique (5) y hombro (10)praacutectica que se extendioacute a todas sus actividades de ensentildeanza Resulta de intereacutesque los maestros pareciacutean no ser conscientes de las alteraciones que su praacutecticadocente introduciacutea en el sistema de coacutemputo corporal De hecho estaban ocupa-dos estableciendo relaciones entre los conocimientos locales y las formasaritmeacuteticas occidentales y en este proceso estaban provocando inadvertidamenteuna alteracioacuten en el sistema de coacutemputo corporal

En mi libro incluyo varios ejemplos de las praacutecticas colectivas utilizadas en laensentildeanza en 2001 Por ejemplo en una leccioacuten dividida en tres partes sobrecontar sumar y restar el docente comienza una leccioacuten con una recitacioacuten coraldel sistema de coacutemputo corporal hasta el 27 (Actividad 1) despueacutes pasa a la suma(Actividad 2) y despueacutes a la resta (Actividad 3) El sistema de coacutemputo corporalera una viacutea en cada una de las actividades de adicioacuten y sustraccioacuten utilizando estesistema para representar en primer lugar el problema aritmeacutetico (dibujando y

Figura 8 Tabla en la pared de cada clase de primaria (2001) con las representacionescorrespondientes a los nuacutemeros del 1 al 10 numerales indo-araacutebigos (columna izquierda)partes del cuerpo en oksapmin (columna central) y palabras numeacutericas en ingleacutes (columnaderecha)

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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

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mathematical development The Journal of the Learning Sciences 18 370ndash415doi10108010508400903013462

Vygotsky L S (1978) Mind in society The development of higher psychologicalprocesses Cambridge MA Harvard University Press

Vygotsky L S (1986) Thought and language Cambridge MA MIT PressWertsch J V (1991) Voices of the mind A sociocultural approach to mediated action

Cambridge MA Harvard University Press

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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contando en la pizarra los objetos que han de sumarse o sustraerse) y luego eningleacutes y con los numerales indo-araacutebigos

Cuando planeaba el viaje de vuelta a la comunidad oksapmin en 2014 queriacuteacomprobar si seguiacutea teniendo lugar la reproduccioacuten y alteracioacuten del sistema decoacutemputo corporal en las actividades colectivas de los primeros tres antildeos deescolarizacioacuten Ademaacutes si se alterara iquestde queacute manera se alteraba Esperabaque los docentes hubieran cambiado pero tambieacuten que pudiera haber continuidaden la ensentildeanza que utilizaba el sistema corporal un proceso sociogeneacutetico queimplica su reproduccioacuten y alteracioacuten en las redes comunicativas

Llegada a la comunidad oksapmin 2014

Cuando aterrizamos en la pista de tierra de un valle cercano a la misioacuten bautista deTekin en junio de 2014 descubrimos que los atuendos tradicionales habiacuteandesaparecido los hombres ya no llevaban cinturones de cantildea y funda faacutelica ylas mujeres no luciacutean faldas de paja ambos atuendos habituales en mis visitasanteriores En 2005 se establecioacute una escuela secundaria en un edificio transitorioy se estaba construyendo un nuevo edificio con materiales occidentales que habiacuteade finalizarse en 2017 El uso de los teleacutefonos moacuteviles estaba ampliamenteextendido y entre las transacciones comerciales en los almacenes se incluiacuteanunas tarjetas de recarga (lsquotop offsrsquo) con coacutedigos que facilitan minutos o megabytesde datos adicionales (aunque la recepcioacuten era muy precaria en muchos lugares)

Durante nuestra corta estancia recogimos datos preliminares sobre lasociogeacutenesis del coacutemputo corporal en la ensentildeanza de las matemaacuteticas en losprimeros antildeos de escolarizacioacuten Para fomentar el contacto entrevistamos a maes-tros de primaria en parejas Les explicamos que habiacuteamos regresado a la comunidadoksapmin para estudiar coacutemo se llevaba a cabo la ensentildeanza de la matemaacuteticas enlos niveles inferiores en la actualidad y realizamos una entrevista semi-estructuradacon preguntas exploratorias sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas asiacute comopreguntas maacutes centradas en el conocimiento y uso del sistema de coacutemputo corporalpor parte de los docentes en las aulas Dos preguntas ordenaban la investigacioacuten Enprimer lugar iquestConociacutean los docentes el sistema de coacutemputo corporal Si asiacute fueraiquestCuaacutel era la naturaleza de su conocimiento Y iquestmostraban alteraciones respecto delsistema tradicional En segundo lugar iquestUtilizaban los docentes el sistema en lasactividades colectivas relacionadas con la ensentildeanza y en caso afirmativo coacutemoiquestQueacute funciones desempentildeaba para los docentes iquestY queacute funciones promoviacutea esaensentildeanza para los alumnos A continuacioacuten resumo los resultados con particularatencioacuten a las cuestiones relacionadas con la sociogeacutenesis es decir a lareproduccioacuten y alteracioacuten del sistema corporal a lo largo del tiempo

En primer lugar el conocimiento por parte de los docentes del sistema decoacutemputo corporal era variable Si bien algunos docentes demostraban el sistematradicional con facilidad el conocimiento de otros era exiguo Por ejemplo uno odos se saltaban partes del cuerpo cuando contaban o no eran capaces de traducirlos nuacutemeros del sistema corporal a palabras numeacutericas en ingleacutes Ello sugiere quelos procesos de reproduccioacuten y alteracioacuten en las comunidades escolares son

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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

References ReferenciasBateson G (1972) Steps to an ecology of mind New York NY Balantine BooksBrizuela B M (2014) A first grade studentrsquos exploration of variable and

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  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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heterogeacuteneos con algunos nintildeos el apoyo para el sistema de coacutemputo corporal esmuy similar al de los usos tradicionales pero con otros incluso si se utiliza esesistema el apoyo que brinda el docente a los nintildeos es miacutenimo

En segundo lugar los maestros describiacutean actividades docentes reminiscentesde aquellas que yo habiacutea observado en 2001 Por ejemplo algunos describiacutean unatabla que mostraba los numerales indo-araacutebigos los teacuterminos ingleses y losteacuterminos para las partes del cuerpos en oksapmin para esos nuacutemeros La presenciade la tabla y las actividades educativas que la tabla reflejaba como la expresioacuten denuacutemeros mayores por otras que hacen uso de la estructura ciacuteclica del hombro (10)apuntaba al arraigo de la alteracioacuten de la estructura tradicional

En tercer lugar algunos docentes relataron que recurriacutean al uso del sistemacorporal cuando los nintildeos teniacutean dificultades con la aritmeacutetica hallazgo quereflejoacute la conviccioacuten de los docentes de que el sistema corporal constituye unrecurso para los alumnos en su aprendizaje de la aritmeacutetica que refuerza elaprendizaje realizado fuera de la escuela (Recibimos diferentes opiniones porparte de los docentes sobre si los nintildeos aprendiacutean el sistema de coacutemputo corporalen contextos diferentes de la escuela)

Cuarto muchos docentes demostraron coacutemo coordinaban dos secuenciasnumeacutericas para llevar la cuenta de los valores de la adicioacuten o sustraccioacuten unproceso similar al documentado con los escolares oksapmin en los estudios de1980 Sin embargo a diferencia de las estrategias documentadas en 1980 losdocentes utilizaban los teacuterminos numeacutericos en ingleacutes en coordinacioacuten con lasposiciones corporales tradicionales para resolver los problemas aritmeacuteticos Asiacutepues para resolver 16ndash7 = iquest los docentes afirmaban empezar con el ojo (16) ycontar con los teacuterminos ingleses siete posiciones desde el ojo (16) hasta elhombro (10) para dar con la solucioacuten al problema de sustraccioacuten el biacuteceps (9)La Figura 9 ilustra el modo en que se pretende ayudar al nintildeo a resolver elproblema de sustraccioacuten 16ndash9 con esta estrategia

Figura 9 Uso de teacuterminos numeacutericos en ingleacutes y el sistema corporal oksapmin pararesolver 16ndash7 = iquest El docente comienza con la oreja (16) y cuenta las partes del cuerpo enorden inverso hasta siete alcanzando la solucioacuten al problema de sustraccioacuten biacuteceps (9)

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No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

References ReferenciasBateson G (1972) Steps to an ecology of mind New York NY Balantine BooksBrizuela B M (2014) A first grade studentrsquos exploration of variable and

variable notation Paper presented at the Jean Piaget Society Annual Meeting SanFrancisco CA

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Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of classroommathematics traditions An interactional analysis American Educational ResearchJournal 29 573ndash604 doi10310200028312029003573

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psychology (pp 703ndash731) NY WileyRogoff B (2011) Developing destinies A Mayan midwife and twon New York NY

Oxford University PressSaxe G B (1981) Body parts as numerals A developmental analysis of numeration

among the Oksapmin in Papua New Guinea Child Development 52 306ndash316

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Saxe G B (1982) Developing forms of arithmetical thought among the Oksapmin ofPapua New Guinea Developmental Psychology 18 583ndash594 doi1010370012-1649184583

Saxe G B (1985) Effects of schooling on arithmetical understanding Studies withOksapmin children in Papua New Guinea Journal of Educational Psychology 77503ndash513 doi1010370022-0663775503

Saxe G B (2012) Cultural development of mathematical ideas Papua New Guineastudies New York NY Cambridge University Press

Saxe G B de Kirby K Kang B Le M amp Schneider A (2015) Studying cognitionthrough time in a classroom community The interplay between ldquoeverydayrdquo andldquoscientific conceptsrdquo Human Development 58 5ndash44 doi101159000371560

Saxe G B de Kirby K Le M Sitabkhan Y amp Kang B (2014) Understandinglearning across lessons in classroom communities A multi-leveled analytic approachIn A Bikner-Ahsbahs C Knipping amp N Presmeg (Eds) Doing (qualitative)research Methodology and methods in mathematics education New York NYSpringer

Saxe G B Diakow R amp Gearhart M (2013) Towards curricular coherence in integers andfractions A Study of the efficacy of a lesson sequence that uses the number line as theprincipal representational context ZDM 45 343ndash364 doi101007s11858-012-0466-2

Sfard A (2008) Thinking as communicating Cambridge Cambridge University PressSitabkhan Y (2012) Economic ideas developed through young sellersrsquo successful selling

strategies in Oaxaca Mexico Berkeley CA University of CaliforniaTaylor E V (2009) The purchasing practice of low-income students The relationship to

mathematical development The Journal of the Learning Sciences 18 370ndash415doi10108010508400903013462

Vygotsky L S (1978) Mind in society The development of higher psychologicalprocesses Cambridge MA Harvard University Press

Vygotsky L S (1986) Thought and language Cambridge MA MIT PressWertsch J V (1991) Voices of the mind A sociocultural approach to mediated action

Cambridge MA Harvard University Press

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 35: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

No pudimos realizar un estudio de seguimiento para entender si laparticipacioacuten en las actividades colectivas de la escuela primaria conduciacutea a lareemergencia del coacutemputo con el sistema corporal entre las cohortes maacutes joacutevenesde la comunidad oksapmin Tal estudio hubiera requerido maacutes tiempo del quedisponiacuteamos para esta visita Esperamos que al menos uno de nosotros puedallevar a cabo ese trabajo en el futuro

Comentarios finales

En este artiacuteculo me baseacute en mi reciente publicacioacuten Cultural Development ofMathematical Ideas Papua New Guinea Studies y esboceacute algunos de los princi-pales constructos de mi modelo para el anaacutelisis de las relaciones entre cultura ycognicioacuten Tanto el modelo como el programa de investigacioacuten asociado estaacutendisentildeados para verter luz sobre los procesos dinaacutemicos de las relaciones cam-biantes entre las formas de representacioacuten como el sistema de coacutemputo oksapminy las funciones cognitivas para las que estas formas se utilizan en las praacutecticascolectivas cotidianas como contar objetos o bienes solucionar problemasaritmeacuteticos o funciones educativas en las aulas En el interjuego de los procesosmicrogeneacuteticos sociogeneacuteticos y ontogeneacuteticos las praacutecticas colectivas las formasse apropian y refinan para desempentildear nuevas funciones emergentes y otrasfunciones cognitivas emergen a medida que los individuos utilizan lo que conocenpara comprender y solucionar nuevos problemas que surgen en las praacutecticascolectivas relacionadas con las formas de representacioacuten anteriores Unaasuncioacuten subyacente es que los procesos culturales y cognitivos son dinaacutemicoscon una reproduccioacuten sociogeneacutetica y alteraciones en las relaciones entre forma yfuncioacuten que emergen cuando los individuos involuntariamente reproducen ymodifican esas relaciones cuando tratan de resolver problemas de la vidacotidiana

Si bien mi foco en este artiacuteculo ha estado centrado en la comunidad oksapminy su inusual sistema de coacutemputo corporal propongo que el modelo es uninstrumento uacutetil para organizar y conceptualizar el interjuego entre los procesoscolectivos y cognitivos en otras comunidades Por ejemplo en un trabajo recientecon otros colegas he ampliado el enfoque al estudio de las praacutecticas docentes enaulas de primaria de Estados Unidos con el foco centrado en el interjuego entreformas y funciones matemaacuteticas durante una secuencia de clases sobre nuacutemerosenteros y fracciones (Gearhart amp Saxe 2014 Saxe de Kirby Kang Le ampSchneider 2015 2014 2013) El modelo tal como se ha ido desarrollandodurante los antildeos tambieacuten ha sido utilizado de forma productiva y de manerasdiversas por mis antiguos estudiantes de posgrado y otros colegas en sus estudiosdel desarrollo cognitivo en actividades escolares (Brizuela 2014 Earnest 2015Lagrange amp Erdogan 2009 Langer-Osuna 2007) y extra-escolares (Day 2014Horn 2013 Nasir 2000a 2000b Nasir amp Saxe 2003 Sitabkhan 2012 Taylor2009) Queda por comprobar si el enfoque resultaraacute uacutetil para esclarecer lasdinaacutemicas de las relaciones cultura-cognicioacuten en otras comunidades a lo largode un periodo extenso de tiempo

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Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

References ReferenciasBateson G (1972) Steps to an ecology of mind New York NY Balantine BooksBrizuela B M (2014) A first grade studentrsquos exploration of variable and

variable notation Paper presented at the Jean Piaget Society Annual Meeting SanFrancisco CA

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Gearhart M amp Saxe G B (2014) Differentiated instruction in shared mathematicalcontexts Teaching Children Mathematics 20 426ndash435 doi105951teacchilmath2070426

Greenfield P M (2004) Weaving generations together Evolving creativity in the Mayaof Chiapas (1st ed) Santa Fe NM School of American Research Press

Horn M S (2013) The role of cultural forms in tangible interaction design Paperpresented at the Proceedings of the 7th International Conference on TangibleEmbedded and Embodied Interaction New York NY

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Langer-Osuna J (2007) Toward a Framework for the Co-construction of Learning andIdentity in the Mathematics Classroom Paper presented at the Online papers of theSecond Annual Socio-cultural Theory in Educational Research and PracticeConference Theory Identity and Learning Manchester UK

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Nasir N S (2000b) ldquoPoints ainrsquot everythingrdquo Emergent goals and average and percentunderstandings in the play of basketball among African American studentsAnthropology amp Education Quarterly 31 283ndash305 doi101525aeq2000313283

Nasir N S amp Saxe G B (2003) Ethnic and academic identities A cultural practiceperspective on emerging tensions and their management in the lives of minoritystudents Educational Researcher 32(5) 14ndash18 doi1031020013189X032005014

Piaget J (1963) The Origins of Intelligence in Children (M Cook Trans) New YorkNY W W Norton amp Company

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Oxford University PressSaxe G B (1981) Body parts as numerals A developmental analysis of numeration

among the Oksapmin in Papua New Guinea Child Development 52 306ndash316

Collective practices Praacutecticas colectivas 35

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Saxe G B (1982) Developing forms of arithmetical thought among the Oksapmin ofPapua New Guinea Developmental Psychology 18 583ndash594 doi1010370012-1649184583

Saxe G B (1985) Effects of schooling on arithmetical understanding Studies withOksapmin children in Papua New Guinea Journal of Educational Psychology 77503ndash513 doi1010370022-0663775503

Saxe G B (2012) Cultural development of mathematical ideas Papua New Guineastudies New York NY Cambridge University Press

Saxe G B de Kirby K Kang B Le M amp Schneider A (2015) Studying cognitionthrough time in a classroom community The interplay between ldquoeverydayrdquo andldquoscientific conceptsrdquo Human Development 58 5ndash44 doi101159000371560

Saxe G B de Kirby K Le M Sitabkhan Y amp Kang B (2014) Understandinglearning across lessons in classroom communities A multi-leveled analytic approachIn A Bikner-Ahsbahs C Knipping amp N Presmeg (Eds) Doing (qualitative)research Methodology and methods in mathematics education New York NYSpringer

Saxe G B Diakow R amp Gearhart M (2013) Towards curricular coherence in integers andfractions A Study of the efficacy of a lesson sequence that uses the number line as theprincipal representational context ZDM 45 343ndash364 doi101007s11858-012-0466-2

Sfard A (2008) Thinking as communicating Cambridge Cambridge University PressSitabkhan Y (2012) Economic ideas developed through young sellersrsquo successful selling

strategies in Oaxaca Mexico Berkeley CA University of CaliforniaTaylor E V (2009) The purchasing practice of low-income students The relationship to

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Vygotsky L S (1986) Thought and language Cambridge MA MIT PressWertsch J V (1991) Voices of the mind A sociocultural approach to mediated action

Cambridge MA Harvard University Press

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  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
Page 36: Studying culture-cognition relations in collective ... culture... · Studying culture-cognition relations in collective practices of daily life: a research framework / El estudio

Acknowledgements AgradecimientosI am grateful to The Spencer Foundation (Grant 201500019) and the Committee onResearch at UC Berkeley for partial support of the 2014 research as well as to theOksapmin people who were wonderful hosts during my visits I would also like to expressmy appreciation for the many individuals who have assisted with my research over theyears Thomas Moylan and Virginia Guilford in 1978 Thomas Moylan and Maryl Gearhartin 1980 Indigo Esmonde and Cliff McIntosh in 2001 and Kenton de Kirby and JoshuaSaxe in 2014 Appreciation to Maryl Gearhart for very helpful comments on earlier drafts ofthis manuscript Visual support for the material discussed in the article is available at httpwwwculturecognitioncom Agradezco a la Spencer Foundation (beca 201500019) y alComiteacute de Investigacioacuten de la Universidad de California Berkeley (Committee on Researchat UC Berkeley) su apoyo parcial para la investigacioacuten de 2014 asiacute como a los miembrosde la comunidad oksapmin por ejercer de magniacuteficos anfitriones durante mis visitasTambieacuten quisiera expresar mi agradecimiento a los muchos individuos que me hanayudado en mis investigaciones durante tantos antildeos Thomas Moylan y Virginia Guilforden 1978 Thomas Moylan y Maryl Gearhart en 1980 Indigo Esmonde y Cliff McIntosh en2001 y Kenton de Kirby y Joshua Saxe en 2014 Mi aprecio y reconocimiento a MarylGearhart por sus uacutetiles comentarios a las versiones anteriores de este manuscrito Apoyovisual para los temas que se han debatido en el artiacuteculo estaacute disponible en httpwwwculturecognitioncom

Disclosure statementNo potential conflict of interest was reported by the author Los autores no han referidoninguacuten potencial conflicto de intereacutes en relacioacuten con este artiacuteculo

Notas1 Para enfoques relacionados (y a veces contrarios) veacutease (Gauvain amp Munroe 2012)

Greenfield (2004) y Rogoff (2011)2 En la isla de Nueva Guinea se hablan maacutes de 850 lenguas naturales y se usan

muacuteltiples sistemas de coacutemputo especiacuteficos de algunas lenguas3 Un segundo foco fue el programalsquoUn ordenador portaacutetil por nintildeorsquo OLCP por sus

siglas en ingleacutes (One Laptop Per Child) introducido en la comunidad en 2011 Antesdel programa OLCP los ordenadores eran objetos extrantildeos para este aislado grupo depequentildeas comunidades que no disponiacutean de agua corriente o electricidadInformaremos de esos resultados en una publicacioacuten posterior

4 El tok pisin y el ingleacutes son dos de las tres lenguas nacionales de Papuacutea NuevaGuinea El tok pisin era originariamente una lengua pidgin basada en el ingleacutes yutilizada para el comercio pero ahora se ha convertido en una lengua criolla que losnintildeos aprenden como su lengua materna

5 Este cambio educativo hacia la lengua vernaacutecula en 2001 se pudo aplicar al oksap-min porque en ese momento (a diferencia de antildeos anteriores) muchos docentes eranoriginarios de la comunidad oksapmin

References ReferenciasBateson G (1972) Steps to an ecology of mind New York NY Balantine BooksBrizuela B M (2014) A first grade studentrsquos exploration of variable and

variable notation Paper presented at the Jean Piaget Society Annual Meeting SanFrancisco CA

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Cobb P Wood T Yackel E amp McNeal B (1992) Characteristics of classroommathematics traditions An interactional analysis American Educational ResearchJournal 29 573ndash604 doi10310200028312029003573

Cole M (1996) Cultural psychology A once and future discipline Cambridge MAHarvard University Press

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias
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Saxe G B (1982) Developing forms of arithmetical thought among the Oksapmin ofPapua New Guinea Developmental Psychology 18 583ndash594 doi1010370012-1649184583

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Saxe G B (2012) Cultural development of mathematical ideas Papua New Guineastudies New York NY Cambridge University Press

Saxe G B de Kirby K Kang B Le M amp Schneider A (2015) Studying cognitionthrough time in a classroom community The interplay between ldquoeverydayrdquo andldquoscientific conceptsrdquo Human Development 58 5ndash44 doi101159000371560

Saxe G B de Kirby K Le M Sitabkhan Y amp Kang B (2014) Understandinglearning across lessons in classroom communities A multi-leveled analytic approachIn A Bikner-Ahsbahs C Knipping amp N Presmeg (Eds) Doing (qualitative)research Methodology and methods in mathematics education New York NYSpringer

Saxe G B Diakow R amp Gearhart M (2013) Towards curricular coherence in integers andfractions A Study of the efficacy of a lesson sequence that uses the number line as theprincipal representational context ZDM 45 343ndash364 doi101007s11858-012-0466-2

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  • Abstract
  • Studying the interplay between cultural-historical and developmental processes in numerical thought
  • Cultural-historical aspects of the framework
  • Developmental aspects of the framework
    • Microgenetic processes
    • Sociogenetic processes
    • Ontogenetic processes
      • Micro- socio- and ontogenetic processes in collective practices a diachronic perspective
      • A 2014 fieldtrip to Oksapmin
      • Context for the 2014 trip the 27-body part counting form mdash 1978 to 2001
      • Arrival in Oksapmin 2014
      • Concluding remarks
      • Anaacutelisis del interjuego entre los procesos histoacuterico-culturales y evolutivos en el pensamiento numeacuterico
      • Aspectos histoacuterico-culturales del modelo
      • Aspectos evolutivos del modelo
        • Procesos microgeneacuteticos
        • Procesos sociogeneacuteticos
        • Procesos ontogeneacuteticos
          • Procesos micro socio y ontogeneacuteticos en las praacutecticas colectivas una visioacuten diacroacutenica
          • El viaje de campantildea a los oksapmin en 2014
          • Contexto para el viaje de 2014 el sistema de coacutemputo de 27 partes del cuerpo entre 1978 y 2001
          • Llegada a la comunidad oksapmin 2014
          • Comentarios finales
          • Acknowledgements Agradecimientos
          • Disclosure statement
          • Notas
          • References Referencias