suites de fibonacci al atoires -...

Suites de Fibonacci aleatoires

Benoıt RittaudUniversite Paris-13, Institut Galilee

Laboratoire Analyse, Geometrie et Applications

————

CIRM, Alea 200919 mars 2009

Definition

DefinitionUne suite de Fibonacci aleatoire (Fn)n≥0 est definie par

I une piece qui tombe sur pile avec probabilite p ∈ [0, 1] ;I deux termes initiaux, F0 et F1 ;I la formule

Fn ={

Fn−1 + Fn−2 si le n-ieme lancer donne pile ;|Fn−1 − Fn−2| si le n-ieme lancer donne face.

Pour p = 1, on retrouve la suite de Fibonacci classique, quiverifie :

Fn+1

Fn−→ ϕ :=

1 +√

52

(Edouard Lucas, 1877).

I Quelle est le facteur de croissance presque sure de (Fn)n ?I Quelle est le facteur de croissance en moyenne de (Fn)n ?

Divakar Viswanath (2000) : pour p = 1/2, le facteur decroissance presque sure (limn(F 1/n

n )) est l’exponentielle de∫14

log(

1 + 4m4

(1 + m2)2

)dνf ,

ou νf est une mesure explicite.

Definition


I une piece qui tombe sur pile avec probabilite p ∈ [0, 1] ;

I deux termes initiaux, F0 et F1 ;I la formule

Fn ={



Fn+1

Fn−→ ϕ :=

1 +√

52





log(

1 + 4m4

(1 + m2)2

)dνf ,


Definition


I une piece qui tombe sur pile avec probabilite p ∈ [0, 1] ;I deux termes initiaux, F0 et F1 ;

I la formule

Fn ={



Fn+1

Fn−→ ϕ :=

1 +√

52





log(

1 + 4m4

(1 + m2)2

)dνf ,


Definition



Fn ={



Fn+1

Fn−→ ϕ :=

1 +√

52





log(

1 + 4m4

(1 + m2)2

)dνf ,


Definition



Fn ={



Fn+1

Fn−→ ϕ :=

1 +√

52


I Quelle est le facteur de croissance presque sure de (Fn)n ?

I Quelle est le facteur de croissance en moyenne de (Fn)n ?



log(

1 + 4m4

(1 + m2)2

)dνf ,


Definition



Fn ={



Fn+1

Fn−→ ϕ :=

1 +√

52





log(

1 + 4m4

(1 + m2)2

)dνf ,


Arbre reduit

11 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 3 7 3 5 3111 3 1 5 1 7 1 9 1 5 5 9 5 11 521

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 5 1 7 1 3 3 5 3 7 3 13

0 2 0 2 0 2 0 22 0 2 2 4 2 4 2 8

1 1 1 11 1 3 1 5

1 1 1 3

0 22

1

11

EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE��

BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB��

JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ

QQ�� QQ�� QQ�� QQ��

PPPP��

��PPPP

````````

Arbre reduit

11 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 3 7 3 5 3111 3 1 5 1 7 1 9 1 5 5 9 5 11 521

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 5 1 7 1 3 3 5 3 7 3 13

0 2 0 2 0 2 0 22 0 2 2 4 2 4 2 8

1 1 1 11 1 3 1 5

1 1 1 3

0 22

1

1

1





PPPP��

��PPPP

````````

Arbre reduit

11 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 3 7 3 5 3111 3 1 5 1 7 1 9 1 5 5 9 5 11 521

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 5 1 7 1 3 3 5 3 7 3 13

0 2 0 2 0 2 0 22 0 2 2 4 2 4 2 8

1 1 1 11 1 3 1 5

1 1 1 3

0 2

2

1

1

1





PPPP��

��PPPP

````````

Arbre reduit

11 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 3 7 3 5 3111 3 1 5 1 7 1 9 1 5 5 9 5 11 521

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 5 1 7 1 3 3 5 3 7 3 13

0 2 0 2 0 2 0 22 0 2 2 4 2 4 2 8

1 1 1 1

1

1 3 1 5

1 1 1 3

0 2

2

1

1

1





PPPP��

��PPPP

````````

Arbre reduit

11 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 3 7 3 5 3111 3 1 5 1 7 1 9 1 5 5 9 5 11 521

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 5 1 7 1 3 3 5 3 7 3 13

0 2 0 2 0 2 0

2

2 0 2 2 4 2 4 2 8

1 1 1 1

1

1 3 1 5

1 1 1 3

0 2

2

1

1

1





PPPP��

��PPPP

````````

Arbre reduit

11 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 3 7 3 5 3111 3 1 5 1 7 1 9 1 5 5 9 5 11 521

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 5 1 7 1 3 3 5 3 7 3 13

0 2 0 2 0 2 0 2

2

0 2 2 4 2 4 2 8

1 1 1

1

1 1 3 1 5

1 1 1 3

0

2

2

1

1

1





PPPP��

��PPPP

````````

Arbre reduit

11 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 3 7 3 5 3111 3 1 5 1 7 1 9 1 5 5 9 5 11 521

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 5 1 7 1 3 3 5 3 7 3 13

0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 4 2 4 2 8

1 1 1 1 1 3 1 5

1 1 1 3

0 2

1

1



JJ JJ JJ JJ JJ JJ JJ

JJ

QQ�� QQ��

��

QQ QQ��

PPPP��

��PPPP

````````

````````

Arbre reduit

11 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5

1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 3 7 3 5 3111 3 1 5 1 7 1 9 1 5 5 9 5 11 521

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3

1 1 1 3 1 5 1 7 1 3 3 5 3 7 3 13

0 2 0 2 0 2 0 2

0 2 2 4 2 4 2 8

1 1 1 1

1 3 1 5

1 1

1 3

0

2

1

1

EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE��


BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB��


JJ JJ JJ JJ

JJ JJ JJ

JJ

QQ�� QQ��

��

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QQ QQ��

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��PPPP

````````

````````

Arbre reduit

11 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5

1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 3 7 3 5 3111 3 1 5 1 7 1 9 1 5 5 9 5 11 521

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3

1 1 1 3 1 5 1 7 1 3 3 5 3 7 3 13

0 2 0 2 0 2 0 2

0 2 2 4 2 4 2 8

1 1 1 1

1 3 1 5

1 1

1 3

0

2

1

1





JJ JJ JJ JJ

JJ JJ JJ

JJ

QQ�� QQ��

�� QQ QQ��

PPPP��

��PPPP

````````

````````

Arbre reduit

11 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5

1 3 3 7 3 5 3111 3 1 5 1 7 1 9 1 5 5 9 5 11 521

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3

1 5 1 7 1 3 3 5 3 7 3 13

0 2 0 2 0 2 0 2 0 2

2 4 2 4 2 8

1 1 1 1 1

3 1 5

1 1

1 3

0

2

1

1

EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE��

EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE��

BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB��

BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB��

JJ JJ JJ JJ JJ

JJ JJ

JJ

QQ�� QQ��

QQ QQ��

PPPP��

��PPPP

````````

````````

Arbre reduit

11 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 1 1 3 1 5

1 3 3 7 3 5 311

1 3 1 5

1 7 1 9 1 5 5 9 5 11 521

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3

1 5 1 7

1 3

3 5 3 7 3 13

0 2 0 2 0 2 0 2 0 2

2 4

2

4 2 8

1 1 1 1 1

3 1 5

1 1

1 3

0

2

1

1

EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE��

EE�� EE�� EE�� EE��

EE�� EE��

EE�� EE�� EE�� EE�� EE�� EE��

BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB�� BB��

BB�� BB��

BB��

BB�� BB�� BB��

JJ JJ JJ JJ JJ

JJ JJ

JJ

QQ�� QQ��

QQ QQ��

PPPP��

��PPPP

````````

````````

Arbre reduit

5 11 9 5 19 9 1 11 7 13 15 7 29 11 3 17 5 7 13 5 23 7 17 11 7 25 19 3 251323 29 13 55

8 2 12 4 6 10 4 18 4 10 6 4 14 12 2 16 8 14 18 8 34

3 7 5 3 11 7 1 9 5 9 11 5 21

5 1 7 3 5 7 3 13

ll,, ll,, ll,, ll,, ll,,

2 4 4 2 8

3 1 5

1 3

2

1

1

QQ�� QQ�� QQ��

HHH

��

HHH

��

aaaaa

!!!!!

hhhhhhhh((((((((

• Chaque enfant droit a deux enfants.

• Chaque enfant gauche a un seul enfant (droit).

• La suite des nombres de nœuds

sur chaque ligne est la suite de Fibonacci.

• La suite des sommes de chaque ligne verifie :

Sk = 2Sk−1 + Sk−3

d’ou Sk ≈ αk , ou α3 = 2α2 + 1

(α ≈ 2,20556943).

De l’arbre reduit a l’arbre complet

Notations

I T : arbre binaire complet des suites de Fibonacci aleatoires.I R : arbre reduit.I τn : n-ieme ligne de T.I ρn : n-ieme ligne de R.I s(X ) : ensemble des successeurs dans T de X ⊂ T.


Notations

I T : arbre binaire complet des suites de Fibonacci aleatoires.

I R : arbre reduit.I τn : n-ieme ligne de T.I ρn : n-ieme ligne de R.I s(X ) : ensemble des successeurs dans T de X ⊂ T.


Notations

I T : arbre binaire complet des suites de Fibonacci aleatoires.I R : arbre reduit.

I τn : n-ieme ligne de T.I ρn : n-ieme ligne de R.I s(X ) : ensemble des successeurs dans T de X ⊂ T.


Notations

I T : arbre binaire complet des suites de Fibonacci aleatoires.I R : arbre reduit.I τn : n-ieme ligne de T.

I ρn : n-ieme ligne de R.I s(X ) : ensemble des successeurs dans T de X ⊂ T.


Notations

I T : arbre binaire complet des suites de Fibonacci aleatoires.I R : arbre reduit.I τn : n-ieme ligne de T.I ρn : n-ieme ligne de R.

I s(X ) : ensemble des successeurs dans T de X ⊂ T.


Notations

I T : arbre binaire complet des suites de Fibonacci aleatoires.I R : arbre reduit.I τn : n-ieme ligne de T.I ρn : n-ieme ligne de R.I s(X ) : ensemble des successeurs dans T de X ⊂ T.


Idee generale pour obtenir la somme S ′n des nœuds de la n-iemeligne de T :

I on a τn+2 = sn(τ2) = sn(ρ2) ;I on demontre (facile !) que, pour tout k ≥ 2 :

s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;

I on en deduit τn+2 en fonction des ρk ;I puisqu’on connaıt les Sk , on devrait donc trouver les S ′n .

Probleme technique : s(ρ1) = 2ρ2 et s(ρ2) = ρ−1.Esquive : prendre F0 = 1 et F1 = ϕ (avec ϕ2 = ϕ+ 1).



I on a τn+2 = sn(τ2) = sn(ρ2) ;

I on demontre (facile !) que, pour tout k ≥ 2 :

s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;






s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;






s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;

I on en deduit τn+2 en fonction des ρk ;

I puisqu’on connaıt les Sk , on devrait donc trouver les S ′n .





s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;






s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;


Probleme technique : s(ρ1) = 2ρ2 et s(ρ2) = ρ−1.

Esquive : prendre F0 = 1 et F1 = ϕ (avec ϕ2 = ϕ+ 1).




s(ρk ) = ρk+1 + ρk−2 ;



Avec F1 = ϕ > 1

1

ϕ

ϕ−1 ϕ2

ϕ−2 ϕ+ ϕ−1 1 ϕ3

��HHH

••• JJ

JJ

s(ρ1) = ρ2 et s(ρ2) = ρ3 + ϕ−1ρ1

νm :=bm/2c−1∑

i=0

ϕ−1ρm−2i .

Avec F1 = ϕ > 1

Proposition

τn+2 =bn/3c∑m=0

((nm

)− 2(

nm − 1

))νn+2−3m .

Avec un peu d’analyse, on obtient le facteur de croissance de lasomme des nœuds de τn : α(1 + α−3) = 2(α− 1) (carα3 = 2α2 + 1). Le facteur de croissance cherche est donc α− 1.Reste a generaliser a F1 quelconque. . .

Avec F1 = ϕ > 1

Proposition

τn+2 =bn/3c∑m=0

((nm

)− 2(

nm − 1

))νn+2−3m .

Avec un peu d’analyse, on obtient le facteur de croissance de lasomme des nœuds de τn : α(1 + α−3)

= 2(α− 1) (carα3 = 2α2 + 1). Le facteur de croissance cherche est donc α− 1.Reste a generaliser a F1 quelconque. . .

Avec F1 = ϕ > 1

Proposition

τn+2 =bn/3c∑m=0

((nm

)− 2(

nm − 1

))νn+2−3m .

Avec un peu d’analyse, on obtient le facteur de croissance de lasomme des nœuds de τn : α(1 + α−3) = 2(α− 1) (carα3 = 2α2 + 1).

Le facteur de croissance cherche est donc α− 1.Reste a generaliser a F1 quelconque. . .

Avec F1 = ϕ > 1

Proposition

τn+2 =bn/3c∑m=0

((nm

)− 2(

nm − 1

))νn+2−3m .

Avec un peu d’analyse, on obtient le facteur de croissance de lasomme des nœuds de τn : α(1 + α−3) = 2(α− 1) (carα3 = 2α2 + 1). Le facteur de croissance cherche est donc α− 1.

Reste a generaliser a F1 quelconque. . .

Avec F1 = ϕ > 1

Proposition

τn+2 =bn/3c∑m=0

((nm

)− 2(

nm − 1

))νn+2−3m .

Avec un peu d’analyse, on obtient le facteur de croissance de lasomme des nœuds de τn : α(1 + α−3) = 2(α− 1) (carα3 = 2α2 + 1). Le facteur de croissance cherche est donc α− 1.Reste a generaliser a F1 quelconque. . .

Avec une piece desequilibree

On pondere les aretes de l’arbre, et ca marche.

Valeur critique : p = 1/4.

Proprietes de l’arbre reduit

5 11 9 5 19 9 1 11 7 13 15 7 29 11 3 17 5 7 13 5 23 7 17 11 7 25 19 3 251323 29 13 55

8 2 12 4 6 10 4 18 4 10 6 4 14 12 2 16 8 14 18 8 34

3 7 5 3 11 7 1 9 5 9 11 5 21

5 1 7 3 5 7 3 13

ll,, ll,, ll,, ll,, ll,,

2 4 4 2 8

3 1 5

1 3

2

1

1

QQ�� QQ�� QQ��

HHH

��

HHH

��

aaaaa

!!!!!

hhhhhhhh((((((((

• Tout couple (a, b) d’entiers premiers

entre eux apparaıt exactement une fois

avec a comme parent de b.

• La marche de (1, 1) a (a, b)

s’obtient a partir du developpement

de a/b en fraction continue.


1

1

2

1

3

4

7

11

4

15

11

Marche jusqu’a (15, 11)

: DDGDDDDGDGa b a a a b b

3 1 2 1

1511

= 1 +1

2 +1

1 +13

= [1, 2, 1, 3]


1

1

2

1

3

4

7

11

4

15

11

Marche jusqu’a (15, 11) : D

DGDDDDGDGa b a a a b b

3 1 2 1

1511

= 1 +1

2 +1

1 +13

= [1, 2, 1, 3]


1

1

2

1

3

4

7

11

4

15

11

Marche jusqu’a (15, 11) : DD

GDDDDGDGa b a a a b b

3 1 2 1

1511

= 1 +1

2 +1

1 +13

= [1, 2, 1, 3]


1

1

2

1

3

4

7

11

4

15

11

Marche jusqu’a (15, 11) : DDG

DDDDGDGa b a a a b b

3 1 2 1

1511

= 1 +1

2 +1

1 +13

= [1, 2, 1, 3]


1

1

2

1

3

4

7

11

4

15

11

Marche jusqu’a (15, 11) : DDGD

DDDGDGa b a a a b b

3 1 2 1

1511

= 1 +1

2 +1

1 +13

= [1, 2, 1, 3]


1

1

2

1

3

4

7

11

4

15

11

Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDD

DDGDGa b a a a b b

3 1 2 1

1511

= 1 +1

2 +1

1 +13

= [1, 2, 1, 3]


1

1

2

1

3

4

7

11

4

15

11

Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDD

DGDGa b a a a b b

3 1 2 1

1511

= 1 +1

2 +1

1 +13

= [1, 2, 1, 3]


1

1

2

1

3

4

7

11

4

15

11

Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDD

GDGa b a a a b b

3 1 2 1

1511

= 1 +1

2 +1

1 +13

= [1, 2, 1, 3]


1

1

2

1

3

4

7

11

4

15

11

Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDDG

DGa b a a a b b

3 1 2 1

1511

= 1 +1

2 +1

1 +13

= [1, 2, 1, 3]


1

1

2

1

3

4

7

11

4

15

11

Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDDGD

Ga b a a a b b

3 1 2 1

1511

= 1 +1

2 +1

1 +13

= [1, 2, 1, 3]


1

1

2

1

3

4

7

11

4

15

11

Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDDGDG

a b a a a b b3 1 2 1

1511

= 1 +1

2 +1

1 +13

= [1, 2, 1, 3]


1

1

2

1

3

4

7

11

4

15

11

Marche jusqu’a (15, 11) : DDGDDDDGDGa b a a a b b

3 1 2 1

1511

= 1 +1

2 +1

1 +13

= [1, 2, 1, 3]

En passant : la conjecture de Zaremba

Conjecture

Pour tout entier q , il existe p < q , premier avec q , tel que lesquotients partiels de p/q soient majores par 5.

q = 616

= [0, 6]

56

= [0, 1, 5]

��

��

q = 7

17

= [0, 7]

27

= [0, 3, 2]

37

= [0, 2, 1]

47

= [0, 1, 1, 3]

57

= [0, 1, 2, 2]

67

= [0, 1, 6]

��

��

��

��

��

��

��


Conjecture


q = 6

16

= [0, 6]

56

= [0, 1, 5]

��

��

q = 7

17

= [0, 7]

27

= [0, 3, 2]

37

= [0, 2, 1]

47

= [0, 1, 1, 3]

57

= [0, 1, 2, 2]

67

= [0, 1, 6]

��

��

��

��

��

��

��


Conjecture


q = 616

= [0, 6]

56

= [0, 1, 5]

��

��

q = 7

17

= [0, 7]

27

= [0, 3, 2]

37

= [0, 2, 1]

47

= [0, 1, 1, 3]

57

= [0, 1, 2, 2]

67

= [0, 1, 6]

��

��

��

��

��

��

��


Conjecture


q = 616

= [0, 6]56

= [0, 1, 5]

��

��

q = 7

17

= [0, 7]

27

= [0, 3, 2]

37

= [0, 2, 1]

47

= [0, 1, 1, 3]

57

= [0, 1, 2, 2]

67

= [0, 1, 6]

��

��

��

��

��

��

��


Conjecture


q = 616

= [0, 6]

56

= [0, 1, 5]

��

��

q = 7

17

= [0, 7]

27

= [0, 3, 2]

37

= [0, 2, 1]

47

= [0, 1, 1, 3]

57

= [0, 1, 2, 2]

67

= [0, 1, 6]

��

��

��

��

��

��

��


Conjecture


q = 616

= [0, 6]

56

= [0, 1, 5]

��

��

q = 7

17

= [0, 7]27

= [0, 3, 2]37

= [0, 2, 1]

47

= [0, 1, 1, 3]57

= [0, 1, 2, 2]67

= [0, 1, 6]

��

��

��

��

��

��

��


La conjecture est equivalente a l’affirmation suivante :

retirons de l’arbre reduit tous les nœuds que l’on peut atteindrepar une marche contenant l’une des sequences

DDGDDGDDG ou DGDDGDDGD.Les nœuds de l’arbre restant contiennent tous les entiers.

Facteur de croissance presque sure

TheoremeSoit p ∈ [0, 1]. Les valeurs F0 et F1 etant choisies, on definit lasuite (Fn)n par

Fn ={

Fn−1 + Fn−2 avec probabilite p ;|Fn−1 − Fn−2| avec probabilite 1− p.

Pour presque toute suite ainsi construite, on a

1n

log(Fn) =1n

n−1∑i=1

log(

Fi+1

Fi

)n→+∞−→

∫ +∞

0log(x )dνp(x ),

ou νp est definie inductivement a l’aide des intervalles deStern-Brocot.

Construction de νp

ab⊕ c

d=

a + bc + d

01

10

• •

1

•1

1

ρ 1− ρ

•1

2

•2

1

ρ(1− ρ) ρ2 (1− ρ)2 (1− ρ)ρ

Suites de Fibonacci aleatoires generalisees

DefinitionSoit λ un reel. Les valeurs F0 et F1 etant choisies, on definit lasuite (Fn)n par

Fn ={

λFn−1 + Fn−2 avec probabilite p ;|λFn−1 − Fn−2| avec probabilite 1− p.

Quel est le facteur de croissance (s’il existe) ?

Le cas λ =√

2

√2 5

√2 3√

2 7√

2 3√

2 5√

2 9√

2√

2 9√

2 7√

2 15√

2

5 7 11 1 13 9 19 5 7 3 17 11 25 7 13 23 3 25 19 41

3 5 1 7 5 11

2√

2 2√

2 4√

2

1 3

√2��

1• Cet arbre est le plus gros arbre binaire

dans lequel on ne peut pas aller a gauche

trois fois de suite.

• La somme Sn de chaque ligne verifie :

Sn = 2√

2Sn−1 + Sn−4

d’ou Sn ≈ βn , ou β4 = 2√

2β3 + 1

(β ≈ 2,87069765).

Le cas λ =√

2

√2 5

√2 3√

2 7√

2 3√

2 5√

2 9√

2√

2 9√

2 7√

2 15√

2

5 7 11 1 13 9 19 5 7 3 17 11 25 7 13 23 3 25 19 41

3 5 1 7 5 11

2√

2 2√

2 4√

2

1 3

√2��

1

• Cet arbre est le plus gros arbre binaire




Sn = 2√

2Sn−1 + Sn−4


2β3 + 1

(β ≈ 2,87069765).

Le cas λ =√

2

√2 5

√2 3√

2 7√

2 3√

2 5√

2 9√

2√

2 9√

2 7√

2 15√

2

5 7 11 1 13 9 19 5 7 3 17 11 25 7 13 23 3 25 19 41

3 5 1 7 5 11

2√

2 2√

2 4√

2

1 3

√2��

1• Cet arbre est le plus gros arbre binaire




Sn = 2√

2Sn−1 + Sn−4


2β3 + 1

(β ≈ 2,87069765).

Le cas λ =√

2

√2 5

√2 3√

2 7√

2 3√

2 5√

2 9√

2√

2 9√

2 7√

2 15√

2

5 7 11 1 13 9 19 5 7 3 17 11 25 7 13 23 3 25 19 41

3 5 1 7 5 11

2√

2 2√

2 4√

2

1 3

√2��

1

• Cet arbre est le plus gros arbre binaire




Sn = 2√

2Sn−1 + Sn−4


2β3 + 1

(β ≈ 2,87069765).

Suites de Fibonacci aleatoires generalisees

Plus generalement, tout ce qui precede s’adapte pour λ de laforme 2 cos(π/k), avec k ≥ 3 entier (premieres valeurs : 1,

√2,

ϕ,√

3,. . . ).

suites de fibonacci al atoires -...

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