Sumario

1 Propriedades de Ligacao 1

1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Visao geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Ideias intuitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Analise em casos triviais . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Formalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Criterios de controlabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Criterios de observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.4 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.5 Invariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Decomposicao Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4.1 Efeitos da incontrolabilidade . . . . . . . . . . . . . . 21.4.2 Efeitos da inobservabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.3 Efeitos na Dinamica — caso escalar . . . . . . . . . . 21.4.4 Efeitos na Dinamica — caso geral . . . . . . . . . . . 21.4.5 Forma Canonica de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Composicao de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5.1 Conexao em serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5.2 Conexao em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5.3 Conexao realimentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5.4 Perigos da composicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.6 Visao Crıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6.1 Propriedades genericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6.2 Visoes qualitativa e quantitativa . . . . . . . . . . . . 21.6.3 Transferencias de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Matrizes Polinomiais e Racionais 6

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Matrizes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Forma de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Algoritmo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Matrizes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

i

2.7 Uma forma canonica importante . . . . . . . . . . . . . . . . 202.8 Grau de MacMillan, Polos e Zeros . . . . . . . . . . . . . . . 242.9 Polos, zeros e a saıda de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . 252.10 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.11 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Fracoes Matriciais 29

3.1 Ideias Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 As Fracoes Matriciais Sao Unicas? . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Fracoes Matriciais Irredutıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4 Reduzindo uma Fracao Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Criterios de Irredutibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.6 Um Refinamento Importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7 Polos, Zeros, Graus e Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 493.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Realizacoes de Matrizes Racionais 52

4.1 Modelos para Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 Problema das Realizacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Obtencao de Realizacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3.1 Metodo de Realizacao #1 . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.2 Metodo de Realizacao # 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.3 Metodo de Realizacao #3 . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3.4 Metodo de Realizacao #4 . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3.5 Metodo de Realizacao #5 . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.6 Metodo de Realizacao #6 . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3.7 Metodo de Realizacao #7 . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4 Realizacao do tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5 Realimentacao de Estados 84

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2 Ideias Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3 Sistemas Com Apenas Uma Entrada . . . . . . . . . . . . . . 88

5.3.1 Metodo da Forca Bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3.2 Forma Canonica Controlavel . . . . . . . . . . . . . . 905.3.3 Duas Formulas Uteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3.4 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.4 Sistemas Com Varias Entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.4.1 Formas Especiais e Canonicas . . . . . . . . . . . . . . 1055.4.2 Lema de Heyman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.5 Resultados Genericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.6 Metodo Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.7 Metodo dos Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.8 Efeito sobre os Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.9 Injecao de Saıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

ii

5.10 Estabilizabilidade e Detetabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 1205.11 Comentarios, Conclusoes e Referencias . . . . . . . . . . . . . 1205.12 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6 Realimentacao de Estados Pratica 124

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.2 Tecnicas de Recuperacao do Estado . . . . . . . . . . . . . . 126

6.2.1 Derivando saıdas e entradas . . . . . . . . . . . . . . . 1266.2.2 Reconstruindo o modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3 Tecnicas de Substituicao de Estado . . . . . . . . . . . . . . . 1296.4 Resumo do Enredo e Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.5 Teoria dos Observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.6 Resumo do enredo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.7 Escolhendo a Rapidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.8 Diminuindo a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.9 Separacao de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.10 Robustez, Monitores e Compensadores . . . . . . . . . . . . . 1506.11 Comentarios e Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7 Observadores, construcao 159

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.2 Metodo # 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.3 Um pouco de teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.4 Metodo # 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.5 Uso de Formas Canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.5.1 Sistemas com uma unica variavel de saıda . . . . . . . 1667.5.2 Metodo #3 — Observador de ordem completa . . . . 1687.5.3 Metodo #4 — Observador mınimo para r = 1 . . . . 171

7.6 Observador Mınimo para o Caso Geral r > 1 . . . . . . . . . 1747.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

iii

Capıtulo 1

Propriedades de Ligacao

1.1 Generalidades

1.1.1 Visao geral

O que sao, etc . . .

1.1.2 Ideias intuitivas

1.1.3 Analise em casos triviais

SLIT de ordem 1, Jordan, etc . . .

1.2 Formalidades

1.2.1 Definicoes

ja adaptadas ao caso LIT.

1.2.2 Criterios de controlabilidade

para o caso LIT.

1.2.3 Criterios de observabilidade

para o caso LIT.

1.2.4 Dualidade

1.2.5 Invariancia

1.3 Caso discreto

Aparecimento natural dos criterios.

1

1.4 Decomposicao Canonica

1.4.1 Efeitos da incontrolabilidade

Base onde tudo fica mais claro.

1.4.2 Efeitos da inobservabilidade

Base onde tudo fica mais claro.

1.4.3 Efeitos na Dinamica — caso escalar

Autovalores e autovetores de A, polos e zeros de G(s). Perda de dinamica econexao com falhas nas propriedades de ligacao.

1.4.4 Efeitos na Dinamica — caso geral

Algo se perde no caminho. . . nem toda dinamica aparece em G(s).

1.4.5 Forma Canonica de Kalman

1.5 Composicao de Sistemas

1.5.1 Conexao em serie

1.5.2 Conexao em paralelo

1.5.3 Conexao realimentada

1.5.4 Perigos da composicao

Perdas de dinamica; reconhecimento imediato no caso escalar.

1.6 Visao Crıtica

1.6.1 Propriedades genericas

1.6.2 Visoes qualitativa e quantitativa

1.6.3 Transferencias de estado

Em tempo finito e assintoticas.

1.7 Exercıcios

1. De exemplos de sistemas (LITs, logicamente) que sejam

(a) controlavel e observavel.

(b) controlavel e inobservavel.

(c) incontrolavel.

(d) incontrolavel e inobservavel.

2

2. Para o SLIT escalar x = ax + bu com a, b reais, b 6= 0 e x(0) = x0encontrar u(·) tal que x(t) = x0 ∀t.

3. Para equacao dinamica abaixo: (a) mantenham a calma, ela e maissimples do que parece, (b) encontrar os modos (autovalores) incon-trolaveis, (c) idem inobservaveis, (d) encontrar a equacao dinamica demenor dimensao que apresenta a mesma matriz de transferencia, (e)encontrar essa matriz.

x =

−1 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 1 0 0 11 0 0 −1 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 1

x+

0 1 02 0 00 0 10 1 00 0 00 0 1

u

y =

1 0 0 −1 0 00 1 1 0 −1 10 0 1 0 0 −1

x

4. Suponha que o sistema x = Ax + Bu; y = Cx e inobservavel comrank[V ] = ν < n, onde V e a matriz de observabilidade. Encontreuma matriz Q tal que com x = Qx tenhamos na nova base

˙x =

[

A11 A12

0 A22

]

x+

[

B1

B2

]

u y =[

0 C2

]

x

onde A11 e uma matriz (n−ν×n−ν) e A22 e (ν×ν). Provar tambemque o subsistema < A22, B2, C2 > e observavel e tem a mesma matrizde transferencia do sistema original.

5. Suponha que o sistema x = Ax + Bu; y = Cx e incontrolavel comrank[U ] = ν < n, onde U e a matriz de controlabilidade. Prova-se (eate vimos isto em sala!) que existe uma matriz Q tal que com x = Qxtemos na nova base

˙x =

[

A11 A12

0 A22

]

x+

[

B1

0

]

u y =[

C1 C2

]

x

onde A11 e uma matriz (ν × ν) e A22 e (n − ν × n − ν). Provar queo subsistema < A11, B1 > e controlavel e tem a mesma matriz detransferencia do sistema original.

6. As entradas do sistema mecanico abaixo sao as forcas u1 e u2. Asconstantes das molas e as massas sao iguais a 1.

f1 -

K1

m1

-y1

-f2

K12

m2

-y2

K2

3

(a) Determinar a equacao dinamica e verificar a controlabilidade.

(b) Sendo u2(t) = 0 ∀t encontrar, antes verificando se e possıvel,uma funcao u1(·) tal que y1(1) = 1, y2(1) = 2, y1(1) = y2(1) = 0.Supor sistema inicialmente relaxado.

(c) Sendo y1(0) = α1, y2(0) = α2, y1(0) = y2(0) = 0, encontrar u1(·)e u2(·) tais que y1(t) = y1(0) ∀t e y2(t) = y2(0) ∀t.

7. Um carro de massa M tem pendulos invertidos de comprimentos d1 ed2, com massas m concentradas nas extremidades:

M-u.........................

...

...

...

...

...

...

...

...

.

Seja θ1 o deslocamento angular com relacao a vertical do pendulo decomprimento d1, o da esquerda acima; para o outro pendulo, notacaosemelhante. Quando θ1 e θ2 excursionam por valores suficientementepequenos as equacoes diferenciais para o sistema sao dadas por

Mv(t) = −mgθ1(t)−mgθ2(t) + u(t)

m(v(t) + d1θ1(t)) = mgθ1(t)

m(v(t) + d2θ2(t)) = mgθ2(t)

onde v e a velocidade horizontal do carrinho, u e uma forca externaaplicada a ele, e g e a aceleracao da gravidade. Pergunta-se: e semprepossıvel controlar ambos os pendulos, isto e, mante-los na posicaovertical, usando a entrada u? Em caso afirmativo de as condicoes.Sugestao: utilize as seguintes variaveis de estado x1 = θ1, x2 = θ2, x3 =θ1, x4 = θ2

8. Seja um SLIT < A,B,C > com

A =

λ1λ1

λ1 1λ1

λ2 1λ2

λ2 1λ2 1

λ2

Qual o menor numero de entradas que pode tornar o sistema con-trolavel?

4

9. Para o SLIT abaixo verificar se e possıvel encontrar uma entrada utal que o estado assume um valor arbitrariamente especificado em umdeterminado instante, isto e, dados α, β γ, e t∗ quaisquer, existe u talque x(t∗) = [α, β, γ]T ?

x =

−1 0 00 2 00 0 1

x+

100

u; x0 =

000

10. Considere as matrizes A ∈ Rn×n, e b ∈ Rn. A partir delas construa abase Q = [ b Ab · · · An−1b ]. Determine o formato da matriz Λ talque AQ = QΛ. Resolva numericamente para

A =

2 1 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 1

; b =

0011

11. Considere o SLIT

x =

0 1 00 0 10 0 0

x+

001

u; y = [1 0 0]

(a) calcular o polinomio caracterıstico e os autovalores de A.

(b) verificar a controlabilidade e a observabilidade.

5

Capıtulo 2

Matrizes Polinomiais e

Racionais

2.1 Introducao

Matrizes de transferencia sao um dos possıveis modelos matematicos parasistemas lineares e invariantes no tempo, donde e razoavel esperar que pro-priedades matematicas de matrizes racionais proprias tenham significadospalpaveis e importantes em termos desses sistemas. Assim, este capıtuloe dedicado ao estudo de alguns aspectos teoricos de matrizes polinomiaise racionais que se revelarao basicos para um entendimento mais perfeito eprofundo das matrizes de transferencia e da Analise de Sistemas Lineares.

2.2 Matrizes Polinomiais

Uma matriz cujos elementos sao polinomios na indeterminada s sera cha-mada de matriz polinomial ou, abreviadamente, m.p. Lembrando que oanel de todos os polinomios em s e representado pelo sımbolo IR[s] temos

M(s) e uma m. p.⇐⇒ mij(s) ∈ IR[s]

Sendo k o grau do polinomio de mais alto grau dentre os elementos deuma matriz polinomial poderemos escrever

M(s) =Mksk +Mk−1s

k−1 + · · ·+M1s+M0

onde as Mi sao matrizes reais com as mesmas “dimensoes” de M(s). Istosignifica que toda matriz polinomial pode ser expressa como um polinomiocom coeficientes matriciais.

A extensao para o caso polinomial de conceitos matriciais basicos e di-reta. Dizemos, por exemplo, que o posto ou “rank” de uma matriz polino-mial M(s) e p quando os menores de ordem k de M(s) forem nulos parak > p e houver dentre os menores de ordem k = p pelo menos um diferentede zero. Consideremos todos os menores de ordem j de uma dada matrizpolinomial M(s) com r linhas e m colunas, e seja dj(s) o maximo divisor

6

comum deles. Sendo p o posto deM(s) teremos, obviamente, dj(s) = 0 paraj > p e podemos escrever a sequencia

d0(s); d1(s); d2(s); · · · dp(s)

onde convencionamos d0(s) = 1. Cada polinomio da sequencia acima edivisıvel pelos que o precedem, como se demonstraria com alguma facili-dade usando argumentos simples de algebra matricial. Infelizmente tal de-monstracao foge ao escopo destas notas, como acontecera outras vezes; oleitor interessado em maiores detalhes sobre estes topicos pode recorrer asreferencias bibliograficas listadas e comentadas no final do capıtulo. Ja epossıvel formular um importante conceito sobre matrizes polinomiais:

Definicao 2.2.1 Os polinomios invariantes de uma matriz polinomialM(s) com posto p sao

i1(s) =dp(s)

dp−1(s)

i2(s) =dp−1(s)

dp−2(s)

...

ip(s) =d1(s)

d0(s)

A toda matriz polinomial M(s) com posto p acham-se associados p po-linomios calculados da maneira indicada acima, e que se chamam invariantespor razoes que se tornarao claras oportunamente. A proxima propriedadee tambem uma decorrencia da definicao dos di(s), e segue novamente semdemonstracao.

Propriedade 2.2.1 Os polinomios invariantes de uma matriz polinomialM(s) sao divisores dos que os antecedem:

i2(s) | i1(s)

i3(s) | i2(s)

...

ip(s) | ip−1(s)

A simbologia x(s) | y(s) significa que x(s) divide y(s) ou, equivalente-mente, y(s) e divisıvel por x(s), ou multiplo de x(s), ou ainda: existe q(s)tal que y(s) = q(s)x(s).

Exemplo 2.2.1 Considere a matriz polinomial:

M(s) =

2s2 + 4s+ 3 2s3 + 5s2 + 4s+ 1

2s2 + 2s+ 1 2s3 + 3s2 + 2s+ 1

7

Os menores de ordem 1 sao os proprios elementos, e seus fatores comunssao triviais, como se verificaria facilmente, donde d1(s) = 1. Ha um unicomenor de ordem 2, o determinante da matriz; calculando-o encontrarıamosd2(s) = detM(s) = 2(s + 1)(s2 + s + 1). Desta maneira, os polinomiosinvariantes sao:

i1(s) =d2(s)

d1(s)= 2(s+ 1)(s2 + s+ 1) e i2(s) =

d1(s)

d0(s)= 1

Definicao 2.2.2 As matrizes polinomiais M(s) e N(s), ambas com r linhase m colunas, sao equivalentes se e somente se apresentarem os mesmospolinomios invariantes.

Antes de apresentar um exemplo, e bom esclarecer o sentido da ex-pressao “mesmos polinomios invariantes” acima. Trata-se na realidade depolinomios iguais a menos de multiplicacoes por constantes reais nao nulas.Ou seja, os polinomios p(s) e αp(s), onde 0 6= α ∈ IR, que tem coeficien-tes diferentes mas apresentam as mesmas raızes, satisfazem ao requisito dadefinicao anterior de equivalencia.

Exemplo 2.2.2 Considere a matriz polinomial

N(s) =

2 7s5 + 15s3 − 4s− 2

0 (s+ 1)(s2 + s+ 1)

Calculando os polinomios invariantes como feito anteriormente encon-trarıamos os mesmos valores

i1(s) = 2(s+ 1)(s2 + s+ 1) e i2(s) = 1

donde N(s) e equivalente a matriz M(s) do exemplo (2.2.1). Uma matrizpolinomial que apresentasse como polinomios invariantes quaisquer multi-plos reais dos polinomios acima tambem seria equivalente a M(s) e N(s).

Dada uma matriz polinomial, o conjunto de todas as matrizes polinomi-ais equivalentes a ela e chamado de classe de equivalencia. Haveria dentreos elementos da classe de equivalencia de uma dadaM(s) algum com propri-edades especiais? A proxima secao tratara destes aspectos, e aprofundara oentendimento dos polinomios invariantes e da nocao de equivalencia.

2.3 Forma de Smith

De umamaneira geral, a inversa de uma matriz polinomial quadrada, quandoexistir, e uma matriz racional. As excecoes sao suficientemente importantespara merecer uma nomenclatura especial:

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Definicao 2.3.1 Uma matriz polinomial quadrada cujo determinante e naonulo e independente de s e chamada de unimodular.

Exemplo 2.3.1 Considere a matriz polinomial

U(s) =

−s s+ 1

2s2 + 2s+ 1 −2s2 − 4s− 3

Facilmente se verifica que detU(s) = −1 6= 0, logo e independente de s.

Esta categoria de matrizes polinomiais, as unimodulares, apresenta pro-priedades interessantes:

Propriedade 2.3.1 As matrizes polinomiais unimodulares sao sempre in-versıveis, e suas inversas sao tambem polinomiais, e unimodulares.

A demonstracao desta propriedade vem da expressao fundamental paraa inversa de uma matriz:

M−1 =M+

detM

onde M+ denota a transposta da matriz dos cofatores, tambem chamadade adjunta. Esta formula, quando aplicada a uma matriz polinomial M(s),produzira uma adjunta M+(s) tambem polinomial. Se detM(s) for umpolinomio, entao M−1(s) sera racional, mas se detM(s) for um real naonulo, ou seja, se houver unimodularidade, entao M−1(s) sera polinomial.Como detM−1 = 1/detM , esta inversa sera tambem unimodular.

Propriedade 2.3.2 O produto de duas matrizes polinomiais unimodularessera tambem unimodular.

Para estabelecer a validade desta afirmativa basta lembrar que o deter-minante de um produto e igual ao produto dos determinantes.

Propriedade 2.3.3 Os polinomios invariantes de uma matriz polinomialunimodular sao constantes reais nao nulas.

Sendo p o numero de linhas e de colunas da matriz polinomial emquestao, e imediato verificar que dp(s) = α ∈ IR, α 6= 0, donde se demons-tra facilmente a propriedade acima. Como a multiplicacao dos polinomiosinvariantes por constantes reais nao nulas preserva a equivalencia, pode serfeita uma “normalizacao” nas matrizes unimodulares; desta maneira todosos seus polinomios invariantes podem ser considerados iguais a 1.

Propriedade 2.3.4 Os polinomios invariantes de uma matriz polinomialqualquer permanecem inalterados quando a multiplicamos pela esquerda epela direita por matrizes unimodulares.

9

Isto significa que os polinomios invariantes de uma matriz polinomialM(s) com r linhas e m colunas sao identicos aos da matriz E(s)M(s)D(s),onde E(s) e D(s) sao unimodulares (r × r) e (m×m), respectivamente. Ademonstracao desta propriedade sera omitida.

E necessario esclarecer um aspecto importante relacionado aos termos“inalterados” e “identicos” das frases anteriores: a multiplicacao pela es-querda e pela direita por unimodulares mantem os polinomios invariantesinalterados a menos de multiplicacoes por constantes reais nao nulas. Ouseja, os coeficientes destes polinomios poderao ser diferentes, mas suas raızesserao iguais. Como uma consequencia direta desta propriedade podemos es-crever o

Teorema 2.3.1 As matrizes polinomiais M(s) e N(s), ambas com r linhase m colunas, sao equivalentes se e somente se existirem matrizes polinomiaisunimodulares E(s) e D(s), respectivamente (r × r) e (m×m) tais que

M(s) = E(s)N(s)D(s)

Estas ideias permitem entender a equivalencia entre matrizes polinomiaisde maneira diversa. Multiplicando uma delas pela esquerda e pela direitapor unimodulares pode-se obter outra matriz com aspecto exterior bastantediferente. Mas no entanto, algo nao muda, nao varia, permanece intacto.Este algo sao os polinomios invariantes cujo nome, ve-se agora, e bem dado.

Alguns autores apresentam o conceito de “equivalencia pelas linhas” ou“pela esquerda” entre matrizes polinomiais; trata-se de um caso particulardo teorema acima, quando D(s) = Im. Assim, duas matrizes polinomiaisseriam equivalentes pelas linhas sempre que uma delas puder ser obtidamultiplicando a outra, pela esquerda, por uma unimodular. A ideia de“equivalencia pelas colunas” ou “pela direita” e analoga.

As multiplicacoes por unimodulares funcionam de modo semelhante asmudancas de bases para matrizes com elementos reais: muda a roupagemaparente, a estrutura visıvel, mas o amago permanece constante pois o po-linomio caracterıstico e os autovalores nao mudam. No caso das matrizespolinomiais, este “amago” e caracterizado pelos polinomios invariantes. Seestes produtos por unimodulares deixam inalteradas as caracterısticas real-mente importantes (os polinomios invariantes), podemos conjecturar sobreseu uso na busca de uma matriz equivalente com aspecto camarada. Hauma resposta positiva a essa conjectura:

Teorema 2.3.2 Uma matriz polinomial M(s), com r linhas, m colunas eposto p, pode ser diagonalizada por meio de multiplicacoes pela esquerdae pela direita por matrizes unimodulares apropriadas; esta forma diagonale chamada de Forma de Smith de M(s), recebe o sımbolo S(M), e oselementos de sua diagonal sao os p polinomios invariantes M(s). A menosda ordem de aparecimento destes polinomios na diagonal, e da multiplicacaodeles por constantes reais nao nulas, a forma de Smith e unica.

10

Em outras palavras: dada a matriz polinomial M(s) (r×m) com postop, sempre existem unimodulares E(s) (r × r) e D(s) (m×m) tais que

E(s)M(s)D(s) =

ip(s)ip−1(s)

. . .

i1(s)0

. . .

= S(M)

Voltando a comparacao com as matrizes reais e quadradas, podemosassociar a forma de Smith a de Jordan. Ambas apresentam estruturas ex-tremamente simples, por serem diagonais, e explicitam as grandezas inva-riantes envolvidas, os autovalores no caso real e os polinomios invariantesno caso polinomial. E sempre bom lembrar que a forma de Smith pode serencontrada mesmo para matrizes polinomiais nao quadradas. Desvantagemde Jordan.

Uma demonstracao formal do resultado acima pode ser encontrada emtextos especializados, como por exemplo os listados na secao 2.10. Do pontode vista pratico precisamos de um metodo simples e eficiente para colocaruma dada matriz polinomialM(s) em sua forma de Smith, ou seja, queremosencontrar E(s) e D(s) unimodulares tais que

E(s)M(s)D(s) = S(M)

2.4 Algoritmo de Gauss

Diagonalizamos uma matriz polinomial M(s) por meio de operacoes ele-mentares sobre as suas linhas e colunas. As operacoes sobre as linhas saorepresentadas por meio de multiplicacoes pela esquerda por matrizes ele-mentares apropriadas; multiplicacoes pela direita representam as operacoessobre as colunas. As operacoes elementares sobre as linhas de uma matrizpolinomial M(s) com r linhas e m colunas sao:

1. Troca de posicao de duas linhas entre si. Esta operacao elemen-tar e simbolizada por

li ←→ lj

e deve ser lida assim: a i-esima linha e trocada de posicao com a j-esima. Esta operacao equivale a multiplicar M(s), pela esquerda, pelamatriz (r × r):

EI(s) =

1. . .

0 1

1 0. . .

1

11

2. Multiplicacao de uma linha por uma constante real c 6= 0. Asegunda operacao elementar e simbolizada por

li × c −→ li

A i-esima linha, multiplicada pelo escalar c, e colocada no lugar dai-esima linha. O efeito desta segunda operacao elementar sobre M(s)e identico ao de multiplica-la, pela esquerda, pela matriz (r × r):

EII(s) =

1. . .

1c

1. . .

1

3. Adicao a uma linha de uma outra linha multiplicada por um

polinomio. A terceira operacao elementar e simbolizada por

li + p(s)lj −→ li

e deve ser lida: multiplicamos a j-esima linha pelo polinomio p(s),somamos com a i-esima linha e colocamos o resultado na i-esima linha.Tal operacao equivale a pre-multiplicar M(s) pela matriz (r × r):

EIII(s) =

1. . .

1 p(s). . .

1. . .

1

As operacoes elementares com as linhas de uma matriz polinomial saotambem chamadas de operacoes elementares pela esquerda, por motivosobvios. De uma maneira totalmente analoga definirıamos as operacoes

elementares com as colunas de uma matriz polinomial. Podemos usaro mesmo material acima, substituindo as palavras “linha” por “coluna”.Operacoes elementares com as colunas sao tambem chamadas de operacoespela direita pois equivalem a pos-multiplicar M(s) por matrizes (m × m)elementares DI(s), DII(s) e DIII(s) obtidas por um raciocınio analogo aofeito acima.

Propriedade 2.4.1 Matrizes que representam operacoes elementares comas linhas e com as colunas sao unimodulares.

12

Uma simples inspecao das matrizes EI(s), EII(s), etc. vistas acima com-provaria a veracidade desta propriedade. Uma serie de operacoes elementa-res corresponde assim a multiplicacao, pela esquerda ou pela direita, por umaserie de matrizes unimodulares. O proximo resultado e uma consequenciadireta destes raciocınios:

Teorema 2.4.1 As matrizes polinomiais M(s) e N(s), ambas com r linhase m colunas, sao equivalentes se e somente se uma delas pode ser obtida apartir de operacoes elementares com as linhas e com as colunas da outra.

Como operacoes elementares com as linhas correspondem a multipli-cacoes pela esquerda por matrizes do tipo visto acima, e coisa semelhanteacontece para as operacoes com as colunas, podemos dizer que M(s) e N(s)sao equivalentes quando e apenas quando

N(s) = Ek(s) . . . E2(s)E1(s)M(s)D1(s)D2(s) . . . Dj(s)

Para demonstrar a suficiencia do teorema anterior basta notar que asmatrizes Ei(s) e Dj(s) sao unimodulares, e que produtos de unimodularestambem o sao. Restaria provar a necessidade; mas isto, em ultima analise,recai no fato de que matrizes unimodulares podem ser fatoradas como umproduto de matrizes elementares do tipo EI , EII , EIII ou DI ,DII ,DIII

acima. Isto sera feito posteriormente.As operacoes elementares afetam apenas o formato externo das matrizes

polinomiais, deixando inalteradas as caracterısticas realmente importantes,os polinomios invariantes. O algoritmo de Gauss e uma aplicacao sistematicadas operacoes elementares a uma dada matriz, com a finalidade de encontraruma matriz equivalente com um aspecto mais “camarada”. Ou seja, deseja-mos diagonalizar uma matriz polinomial obtendo a sua forma de Smith. Oalgoritmo de Gauss apresenta duas fases distintas:

• Obtencao de uma matriz triangular baixa (zeros abaixo da diagonalprincipal), operando predominantemente com as linhas.

• Operacoes com as colunas para a diagonalizacao.

A ordem sugerida acima nao e obrigatoria; pode-se trabalhar inicial-mente com as colunas ate se obter uma matriz triangular (alta), e terminara diagonalizacao operando com as linhas. Comecaremos com as linhas.

Algoritmo 2.4.1 Algoritmo de Gauss

1. Dentre os elementos nao nulos de M(s) escolher um dos de grau maisbaixo e coloca-lo na posicao (1, 1), ao alto e a esquerda. Pode sernecessario operar com colunas.

2. Dividir por m11(s) os elementos mi1(s), i = 2, 3, . . . r da primeira co-luna:

mi1(s) = qi1(s)m11(s) + ri1(s)

13

3. Subtrair da i-esima linha, para i = 2, 3 . . . r, a primeira multiplicadapor qi1(s). O primeiro elemento da nova linha i sera ri1(s), um po-linomio com grau inferior ao de m11(s), ou entao o polinomio nulo.

4. Se os elementos da primeira coluna sao nulos, exceto o primeiro, estatudo bem, passamos para a frente. Se nao, refazemos as etapas ante-riores ate que assim seja.

5. Ignorando, provisoriamente, a primeira linha e a primeira coluna damatriz, repetir os itens anteriores para as outras colunas ate se atingira forma triangular baixa.

6. Repetir a sequencia de operacoes acima para as colunas, ate a diago-nalizacao total.

7. Verificar se os elementos da diagonal sao os polinomios invariantes.

Pronto, eis aı o famoso algoritmo de Gauss. Parece complicado? Longedisso, com um pouquinho de pratica tudo se ajeita. Para comecar a adquiriro traquejo, e hora de um bom exemplo.

Exemplo 2.4.1 Diagonalizar a matriz

M(s) =

2s2 + 4s+ 3 2s3 + 5s2 + 4s+ 1

2s2 + 2s+ 1 2s3 + 3s2 + 2s+ 1

A posicao (1, 1) ja e ocupada por um dos elementos de grau mais baixo.Dividindo m21(s) pelo elemento pivo m11(s) obtemos

2s2 + 2s+ 1︸ ︷︷ ︸

m21(s)

=

q21(s)︷︸︸︷

(1) (2s2 + 4s+ 3)︸ ︷︷ ︸

m11(s)

+

r21(s)︷ ︸︸ ︷

(−2s− 2)

Assim, a primeira operacao sera: l2 − q21 × l1 −→ l2, cujo resultado e:[

2s2 + 4s+ 3 2s3 + 5s2 + 4s+ 1−2s− 2 −2s2 − 2s

]

Como varias operacoes elementares serao feitas, e bom organizar as coi-sas e numerar as matrizes envolvidas. Para este primeiro passo isto podeser feito da seguinte maneira:

E1(s)M(s) =

[

1 0−1 1

]

M(s) =

[

2s2 + 4s + 3 2s3 + 5s2 + 4s+ 1−2s− 2 −2s2 − 2s

]

Agora se faz uma troca de linhas para colocar o elemento de menor grauna posicao (1, 1). Aproveita-se a oportunidade para trocar o sinal da linha:

E2(s)E1(s)M(s) =

[

0 −11 0

]

E1(s)M(s) =

14

[

2s+ 2 2s2 + 2s2s2 + 4s+ 3 2s3 + 5s2 + 4s+ 1

]

A nova divisao sera

2s2 + 4s+ 3︸ ︷︷ ︸

m21(s)

=

q21(s)︷ ︸︸ ︷

(s+ 1) (2s+ 2)︸ ︷︷ ︸

m11(s)

+

r21(s)︷︸︸︷

(1)

que sugere a operacao: l2− (s+1)× l1 −→ l2, traduzida matricialmente por

E3(s)E2(s)E1(s)M(s) =

[

1 0−(s+ 1) 1

]

E2(s)E1(s)M(s) =

[

2s+ 2 2s2 + 2s1 s2 + 2s + 1

]

Mais uma troca de linhas:

E4(s)E3(s)E2(s)E1(s)M(s) =

[

0 11 0

]

E3(s)E2(s)E1(s)M(s) =

[

1 s2 + 2s + 12s+ 2 2s2 + 2s

]

A proxima operacao e evidente:

E5(s)E4(s)E3(s)E2(s)E1(s)M(s) =

[

1 0−2(s+ 1) 1

]

E4(s) · · · E1(s)M(s) =

[

1 s2 + 2s+ 10 −2(s + 1)(s2 + s+ 1)

]

Pronto, e o fim das operacoes com as linhas, pois a matriz obtida e tri-angular baixa. Para terminar a diagonalizacao resta operar com as colunas.

E5(s)E4(s)E3(s)E2(s)E1(s)M(s)D1(s) =

E5(s)E4(s)E3(s)E2(s)E1(s)M(s)

[

1 (s+ 1)2

0 −1

]

=

[

1 00 2(s + 1)(s2 + s+ 1)

]

Esta e a forma de Smith, com os polinomios invariantes na diagonal.Condensando as operacoes elementares temos

E5(s)E4(s)E3(s)E2(s)E1(s) =

[

−s s+ 12s2 + 2s+ 1 −2s2 − 4s− 3

]

e

D1(s) =

[

1 (s + 1)2

0 −1

]

15

Seria simples verificar que estas matrizes sao unimodulares; chamando-as de, respectivamente, E(s) e D(s) temos

E(s)M(s)D(s) =

[

1 00 2(s + 1)(s2 + s+ 1)

]

= S(M)

como era desejado. Os polinomios invariantes para este caso numerico jahaviam sido calculados anteriormente, no exemplo (2.2.1).

Uma matriz polinomial pode ser diagonal e nao estar na forma de Smith:basta que os elementos da diagonal nao sejam multiplos dos antecessores. Aaplicacao do algoritmo, na forma mostrada, a uma destas matrizes poderiatrazer problemas. Para corrigi-los pode-se multiplicar a matriz, pela direitaou pela esquerda, por unimodulares escolhidas ao acaso; isto destruiria aestrutura diagonal e o algoritmo fornecido seria capaz de seguir seu caminho.

A menos de casos razoavelmente simples, como o deste exemplo, a tra-balheira envolvida neste processo de diagonalizacao pode se tornar inviavelpara um ser humano munido apenas de lapis, papel e boa vontade. Mas epara isso mesmo que existem os computadores. Uma questao pertinente ase fazer neste ponto e: para que estudar um algoritmo como este? O calculodos polinomios invariantes pela definicao parece ser bem mais simples. Aimportancia deste procedimento reside no fato de ele fornecer, alem dos po-linomios invariantes, as matrizes unimodulares E(s) e D(s), cujo uso seradiscutido mais a frente.

Um outro aspecto: aplicando o algoritmo a umaM(s) unimodular encon-traremos a matriz identidade como forma de Smith. Isto era de se esperar,logico, pois os polinomios invariantes de unimodulares sao todos iguais a 1.Estamos mais interessados na expressao final:

Ek(s) . . . E1(s)M(s)D1(s) . . . Dj(s) = S(M) = I

que pode ser reescrita como

M(s) = E−11 (s) . . . E−1

k (s)ID−1j (s) . . . D−1

1 (s)

Isto demonstra que uma unimodular sempre pode ser expressa comoum produto de matrizes elementares, como foi mencionado (sem provas, naocasiao) apos o teorema 2.4.1.

2.5 Exercıcios

1. Considere as matrizes polinomiais

s3 − s s3 + s2 s2 − 1

s3 − s2 s3 − s s3 + s2

s4 − s2 0

0 s4 − s2

16

s2 − s s2 s− 1

s2 − s s2 − 1 s2 + s

s2(s− 1) 0

0 s(s2 − 1)

Para cada uma delas: (a) encontre o polinomio com coeficientes ma-triciais associado; (b) encontre os postos; (c) encontre os polinomiosdi(s) e os polinomios invariantes; (d) encontre as formas de Smith; (e)ha matrizes equivalentes entre elas?

2. Escrever cada uma das matrizes racionais proprias listadas abaixo naforma G(s) = M(s)/m(s) onde m(s) e o m.m.c. dos denominadoresdos elementos e M(s) e uma matriz polinomial; encontrar as formasde Smith para estas M(s), inclusive com as unimodulares.

(a) G(s) =

2s+1s2+3s+2

s+1s2+5s+6

3s+1s2+3s+2

1s+1

1s+3

2s+1

(b) G(s) =

−s2−s+1(s+1)3

3s+5(s+1)3

−3s2−4s(s+1)3

−3s2−s+4(s+1)3

(c) G(s) =

s−3(s−1)2

−1(s−1)2 0 0

4(s−1)2

s+1(s−1)2 0 0

−6(s−1)2

−1(s−1)2

s−2(s−1)2

−1(s−1)2

14(s−1)2

5(s−1)2

1(s−1)2

s(s−1)2

(d) G(s) =

0 1s+1 0 0

0 0 1s+2 0

0 0 0 1s+3

(e) G(s) =

1s3+s2+s+1

−ss3+s2+s+1

1−ss3+s2+s+1

s2+1s3+s2+s+1

(f) G(s) =

s+3s3+s2+s+1

s2+3s+2s3+s2+s+1

s2+4s+3s3+s2+s+1

s+2s3+s2+s+1

(g) G(s) =

(2s+3)(s+1)(s+2)

1(s+1)

2s2−2s−7(s+1)(s+2)(s−3)

(2s−1)(s+1)(s−3)

17

(h) G(s) =

2s+2

1s+1

1(s−1)(s+2)

s2−s−2(s2−1)(s+2)

2.6 Matrizes Racionais

Uma matriz cujos elementos sao funcoes racionais na indeterminada s serachamada de matriz racional ou, abreviadamente, m.r. Lembrando que oconjunto de todas as funcoes racionais em s tem a estrutura algebrica deum corpo, e e representado pelo sımbolo IR(s), podemos escrever

G(s) e uma m.r.⇐⇒ gij(s) ∈ IR(s)

O comportamento das matrizes racionais quando s → ∞ permite umaprimeira classificacao:

Definicao 2.6.1 Uma matriz racional G(s) sera chamada de:

1. Impropria quando lims→∞G(s) nao existe.

2. Propria quando lims→∞G(s) existe.

3. Estritamente Propria quando lims→∞G(s) = 0.

As matrizes racionais (1×1) sao as conhecidas funcoes racionais: fracoescujos numeradores e denominadores sao polinomios.

g(s) =n(s)

d(s)

Analisando os graus destes polinomios pode-se dizer de maneira rapidae simples se uma dada funcao racional e propria, impropria ou estritamentepropria, como os leitores certamente sabem. Podemos aplicar estas ideiaspara o caso mais geral de matrizes (r ×m):

Propriedade 2.6.1 Uma matriz racional G(s), (r ×m), sera:

1. Impropria se e somente se pelo menos um de seus elementos gij(s)for uma funcao racional impropria

2. Propria se e somente se todos os seus elementos gij(s) forem funcoesracionais proprias

3. Estritamente Propria se e somente se todos os seus elementosgij(s) forem funcoes racionais estritamente propria.

A demonstracao deste resultado e simples e sera deixada para os leitores.

18

Exemplo 2.6.1 Considere a matriz

G(s) =

s−1s+1

s2

s3+1

s−2s2−1

s2

s+1

Dois de seus elementos sao estritamente proprios, outro e proprio masnao estritamente, e o restante e improprio, donde se conclui que G(s) eimpropria. Tambem terıamos chegado a esta conclusao calculando o limite.Se o elemento g22(s) = s2/(s + 1) fosse alterado e perdesse um dos zerosna origem, ele deixaria de ser improprio, a mesma coisa acontecendo comG(s), que passaria a ser propria.

Em uma funcao racional impropria o grau do numerador n(s) e maiordo que o grau do denominador d(s). Quando n(s) e um multiplo de d(s)temos um caso trivial em que a funcao racional e na realidade um po-linomio; eliminando-se esta possibilidade, ao se dividir o numerador pelodenominador encontra-se um quociente q(s) e um resto r(s), resto este comgrau menor do que o grau de d(s). A expressao basica para esta divisao en(s) = q(s)d(s) + r(s). Dividindo ambos os membros da igualdade acimapor d(s) encontramos

n(s)

d(s)= q(s) +

r(s)

d(s)

Este desenvolvimento ilustra que uma funcao racional impropria semprepode ser expressa como a soma de um polinomio e uma funcao racionalestritamente propria. Aplicando este raciocınio aos elementos de uma matrizracional impropria seremos levados a

Propriedade 2.6.2 Uma matriz racional G(s) com r linhas e m colunassempre pode ser decomposta em

G(s) = Q(s) +G′(s)

onde G′(s) e racional estritamente propria, e Q(s) e

1. polinomial se G(s) e impropria,

2. real se G(s) e propria,

3. nula se G(s) e estritamente propria.

A demonstracao completa deste resultado e simples e sera omitida. Elenos ensina a extrair a “parte estritamente propria” de qualquer matriz racio-nal. O caso de G(s) ser propria, mas nao estritamente, e bastante conhecido;teremos a decomposicao

G(s) = Q+G′(s)

onde a matriz real Q, algumas vezes chamada de ligacao direta, pode serobtida atraves do limite

Q = lims→∞

G(s)

19

Exemplo 2.6.2 A matriz do exemplo anterior pode ser decomposta como:

G(s) =

s−1s+1

s2

s3+1

s−2s2−1

s2

s+1

=

1 0

0 s− 1

+

−2s+1

s2

s3+1

s−2s2−1

1s+1

2.7 Uma forma canonica importante

Analisar as propriedades de uma matriz por meio de uma forma diagonalque lhe seja, de algum modo, equivalente, e sempre desejavel. As formasde Jordan, no caso real, e de Smith, no caso polinomial, sao bons exemplosdisso. Veremos agora como diagonalizar uma matriz racional propria.

Definicao 2.7.1 O polinomio caracterıstico da matriz G(s), racionalpropria com r linhas e m colunas, denotado por ∆G(s), e o mınimo multiplocomum dos denominadores de todos os menores da matriz. O grau da ma-triz, denotado por δ(G), ou δG e o grau deste polinomio.

Exemplo 2.7.1 Considere a matriz racional propria

G(s) =

1s+1

−1s+1

1s2−1

1(s+1)2

Os menores de ordem 1 sao os seus proprios elementos gij(s), cujosdenominadores sao s+1, s+1, (s+1)(s− 1) e (s+1)2. O unico menor deordem 2 e o determinante da matriz, com denominador (s + 1)3(s − 1). Opolinomio caracterıstico procurado e o m.m.c. destes polinomios:

∆G(s) = (s + 1)3(s− 1)

e o grau da matriz e δG = 4.

Exemplo 2.7.2 Considere a matriz racional propria

G(s) =

s(s+1)2(s+2)2

s(s+2)2

−s(s+2)2

−s(s+2)2

Os denominadores dos menores de ordem 1 sao (s+1)2(s+2)2, (s+2)2,(s + 2)2 e (s + 2)2; o do menor de ordem 2 e (s + 1)2(s + 2)3. O m.m.c.destes polinomios, ∆G(s) = (s + 1)2(s + 2)3, e o polinomio caracterısticoprocurado, e o grau da matriz e δG = 5.

A importancia do polinomio caracterıstico de uma matriz racional serabem avaliada em varios pontos destas notas. Diremos por enquanto que eleesta associado aos polos da matriz e que desempenha, sob certos aspectos,um papel analogo ao do denominador de uma funcao racional.

20

Teorema 2.7.1 Dada uma matriz racional propria G(s) com r linhas, mcolunas e posto p, existem matrizes polinomiais unimodulares V (s) (r × r)e W (s) (m×m) tais que

G(s) = V (s)

d1(s)d2(s)

. . .

dk(s). . .

dp(s)0

. . .

W (s)

Esta matriz diagonal recebe o nome de Forma de Smith-MacMillan

de G(s) e e caracterizada por

1. os p primeiros elementos da sua diagonal sao nao nulos;

2. os k primeiros destes elementos sao funcoes racionais irredutıveis:

di(s) =ǫi(s)

ψi(s)∀i = 1, 2, . . . k;

3. cada denominador ψi(s) para i = 1, 2, . . . k − 1 e multiplo do denomi-nador ψi+1(s) que o sucede;

4. cada numerador ǫi(s) para i = 2, . . . k e multiplo do numerador ǫi−1(s)que o antecede;

5. quando k < p, os p− k ultimos elementos da diagonal sao polinomios,cada um deles multiplos dos antecedentes.

A menos de multiplicacoes por constantes reais nos polinomios envol-vidos, a forma de Smith-MacMillan e unica; os denominadores ψi(s) saochamados de polinomios invariantes de G(s).

Demonstracao: Sendo m(s) o mınimo multiplo comum dos denomina-dores dos elementos de G(s) podemos escrever

G(s) =1

m(s)M(s)

onde M(s) e uma matriz polinomial (r ×m) cuja forma de Smith pode serobtida por meio de multiplicacoes por unimodulares apropriadas: S(M) =E(s)M(s)D(s). Isolando M(s) em um dos lados da igualdade e dividindoambos os membros da igualdade resultante por m(s) obtemos

1

m(s)M(s) = E−1(s)

S(M)

m(s)D−1(s)

21

As matrizes E−1(s) e D−1(s) acima sao unimodulares; chamando-as,respectivamente, de V (s) e W (s) e lembrando as propriedades da forma deSmith, seria imediato verificar que S(M)/m(s) apresenta as caracterısticasrequeridas no teorema.

Exemplo 2.7.3 Encontrar a forma de Smith-MacMillan para

G(s) =

1s+1

−1s+1

1s2−1

1(s+1)2

O primeiro passo e direto. O mınimo multiplo comum dos denominado-res e m(s) = (s+ 1)2(s− 1) e, assim:

G(s) =1

m(s)

s2 − 1 −s2 + 1

s+ 1 s− 1

Ou pelo algoritmo de Gauss ou pelo calculo dos polinomios invariantesencontrarıamos a forma de Smith:

S(M) =

1 0

0 s(s− 1)(s + 1)

Dividindo por m(s) encontramos a forma de Smith-MacMillan:

1(s+1)2(s−1)

0

0 ss+1

Comparando este resultado numerico com o exemplo (2.7.1) algo saltaaos olhos e sugere uma ideia: seria possıvel usar a forma de Smith-MacMillane todas as facilidades decorrentes de sua estrutura diagonal para calculargrandezas como o polinomio caracterıstico de uma matriz racional? Outrasduvidas legıtimas podem aparecer neste ponto: as raızes dos polinomios ǫi(s)e ψi(s) teriam algum significado especial? Estes aspectos serao tratadosbrevemente.

Exemplo 2.7.4 Encontrar a forma de Smith-MacMillan para

G(s) =

−1s+1

s(s+1)(s+2)

s−2(s+1)(s−1)

1s+1

O m.m.c. dos denominadores e: m(s) = (s− 1)(s+1)(s+2) e a decom-posicao de G(s) fica:

G(s) =1

m(s)

−(s− 1)(s + 2) s(s− 1)

(s− 2)(s + 2) (s− 1)(s + 2)

22

Calculando os polinomios invariantes por qualquer metodo terıamos

S(M) =

1 0

0 (s− 1)(s + 2)(2s2 − s− 2)

Dividindo por m(s) encontramos a forma de Smith-MacMillan:

1(s−1)(s+1)(s+2) 0

0 2s2−s−2s+1

Sim, e verdade, a matriz acima esta escrita corretamente. Ela e real-mente impropria, por estranho que possa parecer. Pelo fato de haver mul-tiplicacoes de matrizes racionais por matrizes polinomiais no processo deobtencao da forma de Smith-MacMillan, podem aparecer anomalias destetipo. Ha para elas interessantes interpretacoes em termos de “polos no infi-nito”.

Exemplo 2.7.5 Encontrar a forma de Smith-MacMillan para

G(s) =

1s

1s(s−2)

s−2s(s−1)

−1s

O m.m.c. dos denominadores e: m(s) = s(s−1)(s−2) e a decomposicaode G(s) fica:

G(s) =1

m(s)

(s− 1)(s − 2) s− 1

(s − 2)2 −(s− 1)(s − 2)

Calculando os polinomios invariantes por qualquer metodo terıamos

S(M) =

1 0

0 s(s− 1)(s − 2)2

Dividindo por m(s) encontramos a forma de Smith-MacMillan:

1s(s−1)(s−2) 0

0 s− 2

Ate mesmo elementos puramente polinomiais podem aparecer na formade Smith-MacMillan. Mais uma vez a multiplicacao por matrizes polinomiaise a responsavel.

23

2.8 Grau de MacMillan, Polos e Zeros

Para relacionar a diagonalizacao de matrizes racionais com resultados an-teriores deve-se recordar a definicao 2.7.1, de polinomio caracterıstico e degrau de uma matriz racional. Os proximos resultados serao apresentadossem demonstracoes; maiores detalhes podem ser encontrados nas referenciaslistadas ao final deste capıtulo 2, na secao 2.10.

Propriedade 2.8.1 O polinomio caracterıstico de uma matriz racional e oproduto de seus polinomios invariantes:

∆G(s) =k∏

i=1

ψi(s)

Este e um caminho alternativo para a obtencao do polinomio carac-terıstico de uma matriz racional. Ela e imediata atraves dos polinomios in-variantes ψi(s) da sua forma de Smith-MacMillan. O grau de G(s) tambempode ser obtido diretamente destes polinomios:

δG = grau ∆G(s) =k∑

i=1

grau ψi(s)

Por esta razao o grau δG de uma matriz racional e tambem conhecidocomo grau de MacMillan. Os conceitos de polos e zeros de uma funcaoracional sao bem conhecidos; com efeito, o caso escalar permite as comodasinterpretacoes em termos das raızes dos polinomios numerador e denomina-dor. Neste ponto, com o auxılio da forma de Smith-MacMillan, conseguire-mos algo semelhante para o caso matricial.

Propriedade 2.8.2 Os polos de uma matriz racional G(s) sao as raızesdos polinomios invariantes ψi(s). Os zeros de uma matriz racional G(s) saoas raızes dos polinomios ǫi(s).

Exemplo 2.8.1 Considere a matriz racional

G(s) =

[1s

1(s+1)

−1s

1s(s+1)

]

A definicao 2.7.1 leva ao polinomio caracterıstico ∆G(s) = s2(s+ 1). Aforma de Smith-MacMillan poderia ser encontrada pelo metodo sugerido:

[1

s(s+1) 0

0 s+1s

]

de onde saem os polos de G(s), 0, 0, −1 e os seus zeros, no caso −1.Ha um polo e um zero coincidentes, e no entanto nao podemos cancela-los!Mais um exemplo das estranhezas que podem acontecer no caso matricial.

24

2.9 Polos, zeros e a saıda de sistemas

Todos sabemos que os conceitos matematicos de polos e zeros estao associa-dos a aspectos basicos dos sistemas lineares, como por exemplo estabilidadee desempenho. E de se esperar que, assim como no caso de uma entrada euma saıda, tambem no caso multivariavel propriedades cruciais dos sistemaspossam ser avaliadas e quantificadas por meio das nocoes puramente “ma-tematicas” de polos e zeros. No caso mono, por exemplo, os polos podem serassociados as exponenciais presentes na resposta ao impulso do sistema. Sejaentao um sistema linear e invariante no tempo, multivariavel, representadopela matriz de transferencia G(s), (r ×m), sujeito a entrada impulsiva

u(t) = u0δ(t)

onde u0 ∈ IRm e um vetor constante e δ(t) e o impulso unitario. A transfor-mada de Laplace da saıda sera dada por

Y (s) = G(s)U(s) = G(s)u0

Sendom(s) o m.m.c. dos denominadores dos elementos de G(s) podemosescrever

Y (s) = G(s)u0 =M(s)

m(s)u0

onde M(s) e uma matriz polinomial (r × m). E sempre possıvel aplicara G(s) uma expansao em fracoes parciais (vide exercıcio 4 da secao 2.11).Supondo que as raızes de m(s) sao reais e distintas terıamos m(s) = (s −p1)(s − p2) . . . (s − pk), donde

Y (s) =

(M1

s− p1+

M2

s− p2+ . . . +

Mk

s− pk

)

u0

Os resıduos Mi sao matrizes reais (r×m) que podem ser obtidos atravesdas conhecidas formulas Mi = lims→pi G(s). Definindo os vetores Yi =Miu

0, a expressao para a saıda fica

Y (s) =Y1

s− p1+

Y2s− p2

+ . . . +Yk

s− pk

donde concluimos que

y(t) = Y1ep1t + Y2e

p2t + . . . + Ykepkt

ou seja, a saıda e uma combinacao de exponenciais caracterizadas pelasraızes de m(s). Mas as raızes de m(s) sao, a menos da multiplicidade, asraızes do polinomio caracterıstico ∆G(s) (vide exercıcio 2 da secao 2.11), etambem os polos de G(s).

Estes desenvolvimentos foram baseados na hipotese de raızes reais e dis-tintas para o polinomio m(s); no caso mais geral, em que nenhuma restricaoe feita, os resultados alcancados seriam semelhantes, mas a energia gasta em

25

detalhes seria muito maior. Em resumo, os polos de uma matriz racional ca-racterizam a resposta ao impulso de um sistema por ela representado. Paraentender o papel dos zeros em termos de sistemas, considere uma entradaexponencial u(t) = u0ezt com u0 ∈ IRm. A saıda correspondente sera

Y (s) = G(s)U(s) = G(s)u01

s− z

Extraindo o m.m.c. dos denominadores de G(s) vem

Y (s) =1

m(s)M(s)u0

1

s− z=

M(s)

m(s)(s− z)u0

Expandindo a matriz 1(s−z)G(s) em fracoes parciais, e supondo ainda

uma vez que as raızes de m(s) sao reais e distintas, encontramos

Y (s) =

(M1

s− p1+

M2

s− p2+ . . . +

Mk

s− pk+

Mz

s− z

)

u0

Efetuando o produto por u0 temos

Y (s) =Y1

s− p1+

Y2s− p2

+ . . . +Yk

s− pk+

Yzs− z

onde os coeficientes sao vetores em IRr dados por Yi =Miu0, ∀i = 1, 2, . . . k

e Yz =Mzu0. A expressao no domınio do tempo e

y(t) = Y1ep1t + Y2e

p2t + . . . + Ykepkt + Yze

zt

mostrando que a saıda e composta por exponenciais associadas as raızes dem(s) e pela mesma exponencial presente no sinal de entrada. Este fato econhecido, tanto a dinamica interna do sistema quanto a da entrada estaopresentes na saıda.

O que acontece quando z e um dos zeros deG(s)? Seria imediato verificarque Mz = lims→zG(s). De acordo com o exercıcio 7 desta secao, os zerossao valores onde G(s) perde posto; mas isto significa que um vetor nao nulou0 ∈ IRm pode ser escolhido tal que Yz = Mzu

0 = 0. Como consequencia,as exponenciais da entrada nao aparecerao na saıda. Desta maneira, assimcomo no caso monovariavel, a ideia de filtragem esta associado aos zeros deuma matriz racional: eles representam dinamicas que podem ser mantidasisoladas da saıda.

Por representarem sinais cuja transmissao a saıda e bloqueada, os zerosdiscutidos neste capıtulo sao chamados de zeros de transmissao. Haoutros tipos de zeros, conforme ainda veremos.

A obtencao dos polos e zeros de uma funcao racional recai no calculo dasraızes de dois polinomios obtidos trivialmente. No caso das matrizes racio-nais algumas conclusoes sao razoavelmente simples: se p e polo de um doselementos gij(s) entao ele tambem sera polo de G(s). Mas se houver polosrepetidos a situacao fica mais delicada, e trabalhosa!, pois deveremos lancarmao do polinomio caracterıstico ∆G(s) ou da forma de Smith-MacMillan.Para a obtencao dos zeros, a inspecao dos elementos de G(s) pouco ajuda,a forma de Smith-Mac Millan e o caminho restante.

26

2.10 Referencias

2.11 Exercıcios

1. Para as G(s) do exercıcio #2 da secao 2.5 encontre o polinomio carac-terıstico, a forma de Smith-MacMillan, os polos e os zeros.

2. O polinomio caracterıstico ∆G(s) de uma matriz racional qualquerG(s) e certamente um multiplo de m(s), o m.m.c. dos denominadoresdos elementos, pois estes sao os menores de ordem 1. Mostrar que asdiferencas entre estes polinomios se referem apenas a multiplicidadedas raızes; em outras palavras, todos os polos de G(s) sao tambemraızes de m(s).

3. Mostrar que se uma dada matriz racional G(s) tem polos reais e dis-tintos, entao o m.m.c. dos denominadores de seus elementos e igualao polinomio caracterıstico: m(s) = ∆G(s).

4. Encontre uma matriz racional G(s) para a qual o polinomio m(s)apresente raızes reais e distintas:

G(s) =M(s)

(s− p1)(s − p2) . . . (s− pk)

Efetue uma expansao em fracoes parciais, ou seja, encontre matrizesreais Mi tais que

G(s) =M1

s− p1+

M2

s− p2+ . . . +

Mk

s− pk

Sendo ρi o posto da matriz Mi, mostre que

δ(G) =k∑

i=1

ρi

5. Considere uma matriz racional G(s) cujo polinomio m(s) apresentaraızes reais e distintas. As matrizes Mi da expansao vista no exercıcioacima sao as vezes chamadas de resıduos matriciais. Mostre que o po-linomio caracterıstico ∆G(s) e identico ao polinomiom(s) se e somentese todos os resıduos matriciais Mi possuem posto unitario.

6. E comum definir polos e zeros de uma funcao racional g(s) como asraızes do denominador e do numerador, respectivamente; mas estacaracterizacao falha quando houver raızes comuns a esses polinomios,como e bem conhecido. Uma definicao mais consistente indica os poloscomo os complexos p tais que lims→p g(s) = ∞ e os zeros como oscomplexos z tais que lims→z g(s) = 0.

A ideia de generalizar para o caso multivariavel resultados ja estabele-cidos no caso mono levaria a seguinte definicao: um numero complexo

27

p e um polo de uma dada matriz racional G(s) quando lims→pG(s) naoexiste, e um complexo z e um zero de G(s) quando lims→zG(s) = 0.Comparar estas ideias com as definicoes fornecidas na Propriedade2.8.2. Mostrar que a generalizcao e problematica, pois, para o casodos polos as nocoes coincidem, mas para os zeros nao. Explicar oque acontece, e porque as definicoes baseadas na forma de Smith-MacMillan devem ser preferidas.

7. Mostrar que uma matriz racional G(s) perde posto nos zeros, isto e,sendo z ∈ C um zero de G(s) entao lims→zG(s) = G(z) tem postomenor que o posto “normal” da matriz, ou seja, o seu posto quandos nao e zero, ou polo. Mostrar ainda que, nestas condicoes, sempre sepode escolher um vetor nao nulo u0 ∈ IRm tal que G(z)u0 = 0.

8. Encontrar uma matriz racional (2×2) que tenha zeros reais e distintos.Determinar uma entrada exponencial u(t) = u0ezt, u0 ∈ IRm, z ∈ IRque seja filtrada da saıda.

9. Encontrar uma matriz racional (2×3) que tenha zeros reais e distintos.Determinar todas as entradas exponenciais do tipo u(t) = u0ezt, u0 ∈IRm, z ∈ IR que sao filtradas da saıda.

10. Considere uma matriz racional G(s), (r ×m), com m > r. Expliquedetalhadamente o fenomeno encontrado no exercıcio acima.

11. Mostrar que uma matriz racional G(s) quadrada apresenta um deter-minante da forma

det(G(s)) =z(s)

p(s)

onde z(s) e um polinomio cujas raızes sao os zeros de G(s) e p(s) =∆G(s).

28

Capıtulo 3

Fracoes Matriciais

3.1 Ideias Basicas

Uma funcao racional pode ser expressa por qualquer uma das formas abaixo:

g(s) =n(s)

d(s)= d−1(s)n(s) = n(s)d−1(s)

onde n(s) e d(s) sao polinomios em s. Caracterısticas importantes dos siste-mas lineares, invariantes no tempo e monovariaveis podem ser obtidas ana-lisando estes polinomios. Os zeros, por exemplo, estao associados as raızesdo numerador n(s), e os polos as do denominador d(s); o grau deste deno-minador indica, conforme se vera oportunamente, a ordem das realizacoesmınimas, etc.

Seria bom encontrar para as matrizes racionais algo que desempenhasseo papel de “numerador” e “denominador”; a analise destas entidades forne-ceria informacoes valiosas sobre os sistemas lineares invariantes no tempo emultivariaveis descritos pelas matrizes. Dada a matriz racional G(s), sendom(s) o mınimo multiplo comum dos denominadores dos elementos gij(s), efacil notar que podemos escrever

G(s) =1

m(s)M(s) = m−1(s)M(s) =M(s)m−1(s)

ondeM(s) e uma matriz polinomial com o mesmo numero de linhas e colunasque G(s) e m(s) e, obviamente, um polinomio.

As expressoes acima sugerem um papel de numerador a M(s) e um dedenominador a m(s), mas estas associacoes nao nos levariam muito longe,pois este “numerador” e este “denominador” pertencem a estruturas ma-tematicas distintas. Mais interessante e perceber que dividir uma matrizM(s) por um escalar m(s) e a mesma coisa que pre-multiplicar esta matrizpor uma matriz quadrada diagonal:

G(s) =1

m(s)M(s) =

1m(s)

1m(s)

. . .1

m(s)

M(s)

29

Esta expressao pode ser reescrita como

G(s) =

m(s)m(s)

. . .

m(s)

−1

M(s)

significando que a matriz racional G(s) foi expressa como o produto dainversa de uma matriz polinomial por uma outra matriz polinomial. Agoraa associacao com denominadores e numeradores fica mais consistente.

Exemplo 3.1.1 Considere a matriz racional:

G(s) =

1s

1s−1

1s2

1s+1

1s

1s−1

O m.m.c. dos denominadores e: m(s) = s2(s+1)(s−1). Extraindo-o pelaesquerda pode-se exprimir G(s) como o produto da inversa de um polinomiopor uma matriz polinomial. Refinando este resultado, G(s) e mostrada comoo produto da inversa de uma matriz polinomial por outra. Ou entao, comabuso de linguagem, o “quociente” entre duas matrizes polinomiais.

G(s) =1

m(s)

s(s+ 1)(s − 1) s2(s+ 1) (s+ 1)(s − 1)

s2(s − 1) s(s+ 1)(s − 1) s2(s+ 1)

G(s) =

m(s) 0

0 m(s)

−1

s3 − s s3 + s2 s2 − 1

s3 − s2 s3 − s s3 + s2

A partir destas consideracoes torna-se simples estabelecer a validade do

Lema 3.1.1 Dada a matriz racional G(s) com r linhas e m colunas, e sem-pre possıvel expressa-la como

G(s) = D−1(s)N(s)

onde D(s) e uma matriz polinomial (r× r) e N(s) e uma matriz polinomial(r ×m). Tal expressao e chamada de fracao matricial a esquerda, oupela esquerda para G(s), e abreviada por f.m.e.

Por razoes obvias a matriz D(s) e normalmente encarada como um “de-nominador a esquerda” de G(s), e N(s) como um “numerador a esquerda”.

30

Exemplo 3.1.2 Consideremos, ainda, a mesma matriz do exemplo ante-rior. Como o mınimo multiplo comum dos denominadores, m(s), e umescalar, ele pode ser extraıdo “pela direita”:

G(s) =

s(s+ 1)(s − 1) s2(s+ 1) (s+ 1)(s − 1)

s2(s− 1) s(s+ 1)(s − 1) s2(s+ 1)

1

m(s)

O mesmo truque pode ser feito novamente, agora pela direita, levando a

G(s) =

s3 − s s3 + s2 s2 − 1

s3 − s2 s3 − s s3 + s2

m(s) 0 00 m(s) 00 0 m(s)

−1

As conclusoes sao imediatas e podem ser resumidas no

Lema 3.1.2 Dada a matriz racional G(s) com r linhas e m colunas, e sem-pre possıvel expressa-la como

G(s) = N(s)D−1(s)

onde N(s) e uma matriz polinomial (r×m) e D(s) e uma matriz polinomial(m × m). Tal expressao e chamada de fracao matricial a direita, oupela direita para G(s), e abreviada por f.m.d.

Mais uma vez as matrizes N(s) e D(s) podem ser associadas a numerado-res e denominadores, desta vez com os complementos “a direita”. Quandose fizer necessario encontrar fracoes matriciais a esquerda e a direita parauma G(s) deve-se usar ındices para individualizar cada uma das expressoes:

G(s) = D−1e (s)Ne(s) = Nd(s)D

−1d (s)

Uma notacao bastante comum para esta situacao e aquela que atribuium til “˜” as fracoes pela esquerda e deixa limpas as fracoes pela direita:

G(s) = D−1(s)N(s) = N(s)D−1(s)

Eis aı o conceito de fracoes matriciais, uma maneira promissora de falarem numeradores e denominadores. Mas ainda ha mais, e nas proximas secoesestudaremos as propriedades importantes e interessantes destas fracoes.

3.2 As Fracoes Matriciais Sao Unicas?

A partir deste ponto as fracoes matriciais pela direita passarao a ser privile-giadas no exemplos e nas explicacoes. Isto se fara sem perda de generalidade,pois, por dualidade, todos os desenvolvimentos feitos para um tipo de fracaopodem ser aplicados ao outro. Seja entao uma matriz racional G(s) e umasua fracao matricial (pela direita):

G(s) = N(s)D−1(s)

31

onde as dimensoes das matrizes sao as mencionadas acima. Sendo W (s)uma matriz polinomial (m ×m) inversıvel qualquer, considere os produtosN ′(s) = N(s)W (s) e D′(s) = D(s)W (s). Estas novas matrizes N ′(s) e D′(s)sao tambem polinomiais; calculando o “quociente” entre elas encontramos

N ′(s)D′−1(s) = N(s)W (s) [D(s)W (s)]−1 =

N(s)W (s)W−1(s)D−1(s) = N(s)D−1(s) = G(s)

Isto mostra que as fracoes matriciais nao sao unicas; e sempre possıvelmultiplicar os numeradores e os denominadores por “fatores comuns” semalterar as fracoes. Nas aplicacoes estaremos interessados em trabalhar nosentido oposto: gostarıamos de encontrar fatores comuns cancelaveis en-tre numerador e denominador para, de algum modo, encontrar uma fracaomatricial mais simples. Este e o objetivo, e para alcanca-lo, as ferramentas.

Definicao 3.2.1 Dada a matriz polinomial M(s) (r×m), a matriz polino-mial Q(s) (m×m) e divisor pela direita de M(s) quando a matriz

M(s)Q−1(s)

e tambem uma matriz polinomial (r ×m).

Uma maneira alternativa de apresentar este conceito e dizer que Q(s) eum divisor pela direita de M(s) quando for possıvel encontrar uma matrizpolinomialM(s) de tal modo queM(s) possa ser fatorada como um produtode matrizes polinomiais: M(s) =M(s)Q(s).

Exemplo 3.2.1 Considere a matriz polinomial

M(s) =

s(s+ 1)(s − 1) s2(s+ 1) (s+ 1)(s − 1)

s2(s− 1) s(s+ 1)(s − 1) s2(s+ 1)

Como seus elementos estao em forma fatorada e facil perceber que elatambem pode ser fatorada:

M(s) =

s(s+ 1) s(s+ 1) (s− 1)

s2 (s+ 1)(s − 1) s2

(s− 1) 0 00 s 00 0 (s+ 1)

Desta maneira, a matriz polinomial quadrada e diagonal acima e umdivisor pela direita de M(s). E nao e o unico, diga-se de passagem; osleitores sao convidados a encontrar outros.

Estabelecida a ideia de divisor (pela direita), a questao da existenciasurge: e sempre possıvel encontrar divisores para uma dada matriz polino-mial? Para entender estes aspectos lembremos que operacoes elementaressobre as colunas de uma matriz polinomial M(s) podem ser representadas

32

por multiplicacao, pela direita, por uma unimodular, digamos, V (s); a ma-triz obtida e, obviamente, polinomial:

M(s)V (s) =M(s)

Como a inversa de uma unimodular e tambem unimodular, e polinomial,podemos reescrever esta expressao:

M(s) =M(s)W (s) onde W (s) = V −1(s)

Vemos assim que uma dada matriz polinomial sempre admite divisoresunimodulares. O caso particular em que estes divisores unimodulares sao osunicos possıveis merece uma definicao especial:

Definicao 3.2.2 Uma matriz polinomial M(s) que admite como divisorespela direita apenas matrizes unimodulares sera chamada de prima pela

direita.

Mais detalhes sobre matrizes primas virao futuramente. Voltemos auma matriz racional descrita por G(s) = N(s)D−1(s). O numerador e odenominador apresentam o mesmo numero de colunas, m; supondo que amatriz polinomial Q(s) e um divisor pela direita de ambas as matrizes temos

N(s)Q−1(s) = N(s) e D(s)Q−1(s) = D(s)

onde N(s) e D(s) sao matrizes polinomiais. E facil perceber que

G(s) = N(s)D−1(s) = N(s)Q(s)(

D(s)Q(s))−1

=

N(s)Q(s)Q−1(s)D−1

(s) = N(s)D−1

(s)

Isto leva a uma outra fracao matricial para G(s). Como o determinantede um produto e o produto dos determinantes podemos escrever

detD(s) = detD(s) detQ(s)

donde concluimos que o grau do determinante de D(s) e menor, ou nomaximo igual, ao grau do determinante de D(s). Isto, de alguma maneiraainda nao muito clara — mas que o sera em breve, promessa — nos diz queeste processo todo serviu para “cancelar fatores comuns” entre N(s) e D(s)e encontrar uma fracao matricial mais simples.

Exemplo 3.2.2 Consideremos novamente a matriz racional

G(s) =

1s

1s−1

1s2

1s+1

1s

1s−1

e a sua f.m.d. obtida no exemplo (3.1.2): G(s) = N(s)D−1(s), onde

N(s) =

s(s+ 1)(s − 1) s2(s + 1) (s+ 1)(s − 1)

s2(s− 1) s(s+ 1)(s − 1) s2(s+ 1)

33

e

D(s) =

m(s) 0 00 m(s) 00 0 m(s)

com m(s) = s2(s+ 1)(s − 1). Nesse exemplo (3.2.1) verificamos que

Q(s) =

(s− 1) 0 00 s 00 0 (s+ 1)

e um divisor pela direita de N(s). Os leitores sao gentilmente instados (!)a verificarem que Q(s) tambem divide D(s) pela direita. Com isto, calcu-lando N(s)Q−1(s) e D(s)Q−1(s) estariamos cancelando fatores comuns eobtendo o numerador e o denominador de uma f.m.d. mais simples: G(s) =

N(s)D−1

(s), onde

N(s) =

s(s+ 1) s(s+ 1) (s− 1)

s2 (s + 1)(s − 1) s2

D(s) =

s2(s + 1) 0 00 s(s+ 1)(s − 1) 00 0 s2(s− 1)

Esta e uma f.m.d. cujo denominador tem um determinante com graumenor que no caso anterior.

3.3 Fracoes Matriciais Irredutıveis

Continuando com os raciocınios anteriores, podemos pensar em encontrarum divisor comum Q(s) que seja “maximo” sob algum criterio e entao, comseu auxılio, extrair de N(s) e D(s) todos os fatores comuns que puderem sercancelados. A intuicao diz que a nova fracao matricial obtida sera a maissimples, a mais reduzida possıvel. Para legitimar estas ideias:

Definicao 3.3.1 Para N(s) e D(s) matrizes polinomiais (r×m) e (m×m),a matriz polinomial R(s) (m ×m) e um maximo divisor comum pela

direita de N(s) e D(s) quando e apenas quando

1. R(s) e um divisor comum pela direita, ou seja, existem matrizes poli-nomiais N(s) e D(s) tais que N(s) = N(s)R(s) e D(s) = D(s)R(s);

2. Se Q(s) e um divisor comum pela direita qualquer de N(s) e D(s)entao Q(s) e um divisor pela direita de R(s), ou seja, existe umamatriz polinomial R(s) tal que R(s) = R(s)Q(s)

34

Deve-se notar que o m.d.c.d. (maximo divisor comum pela direita) podeser definido de maneira mais geral, para matrizes polinomiais que tenhamo mesmo numero de colunas, nao havendo necessidade de a segunda matrizser quadrada. Optamos pelos termos acima porque o conceito sera usadoexclusivamente para numeradores e denominadores de fracoes matriciais.

O fraseado da definicao leva a entender que nao ha unicidade, isto e, osrequisitos podem ser satisfeitos por mais de uma matriz. Vamos supor queR(s) seja maximo divisor comum das matrizes N(s) e D(s). Isto significaque existem N(s) e D(s), polinomiais, tais que N(s) = N(s)R(s) e D(s) =D(s)R(s). Sendo U(s) (m×m) uma matriz polinomial unimodular qualquerfacamos S(s) = U(s)R(s). E imediato verificar que

N(s) = N(s)U−1(s)S(s)

D(s) = D(s)U−1(s)S(s)

ou seja, S(s) e um divisor comum deN(s) eD(s). Seja agora T (s) um divisorcomum qualquer de N(s) e D(s). Como R(s) e maximo divisor comum peladireita sabemos que T (s) divide R(s): R(s) = R(s)T (s) para alguma matrizpolinomial R(s). Mas S(s) = U(s)R(s), por construcao, donde

S(s) = U(s)R(s)T (s)

Mas isto significa que T (s) divide S(s), sendo esta, por conseguinte,tambem um m.d.c.d. de N(s) e D(s). Estabelecida a nao unicidade dosmaximos divisores, resta averiguar qual a relacao entre eles.

Propriedade 3.3.1 Dadas N(s) (r×m) e D(s) (m×m), polinomiais, seusmaximos divisores comuns pela direita sao equivalentes, ou seja, apresentamos mesmos polinomios invariantes.

Demonstracao: Sejam R(s) e S(s) dois maximos divisores comuns peladireita distintos de N(s) e D(s). Como S(s) e divisor comum das matrizes eR(s) e um maximo divisor comum delas, a definicao garante que S(s) divideR(s); o raciocınio inverso garante que R(s) divide S(s). Isto assegura aexistencia de R(s) e S(s) polinomiais tais que

R(s) = R(s)S(s) e S(s) = S(s)R(s)

Substituindo a segunda expressao na primeira vem R(s) = R(s)S(s)R(s)donde R(s)S(s) = I. Mas isto quer dizer que

R(s) =(

S(s))−1

Como R(s) e S(s) sao polinomiais isto significa que elas sao unimodula-res, completando a prova.

E interessante notar que a equivalencia entre os maximos divisores co-muns pela direita e uma condicao necessaria, como acaba de ser estabelecido,mas nao e suficiente. Em outras palavras, dado um maximo divisor comumpela direita nada garante que matrizes equivalentes tambem o sejam.

35

Exemplo 3.3.1 As matrizes N(s) e D(s) abaixo admitem X(s) como ummaximo divisor comum.

N(s) =

[

s+ 1 s−s− 1 s+ 2

]

D(s) =

[

s2 + s 00 s2 + s

]

X(s) =

[

s+ 1 00 1

]

Trocando a posicao das linhas e das colunas de X(s) obteremos uma ma-triz equivalente, ou seja, com os mesmos polinomios invariantes, que nao emaximo divisor comum, pois nem sequer divide N(s).

Neste ponto estamos em condicoes de enunciar um importante conceito:

Definicao 3.3.2 As matrizes polinomiais N(s) e D(s), com dimensoes,respectivamente, (r × m) e (m × m), sao chamadas de primas entre si

pela direita ou coprimas pela direita quando admitem como divisorescomuns pela direita apenas matrizes unimodulares.

A semelhanca com os conceitos ja conhecidos no anel dos inteiros e dospolinomios e grande. O proximo resultado, que tambem deve ser esperadopelos leitores, vira sem demonstracao, por ser esta bastante direta e simples.

Propriedade 3.3.2 As matrizes polinomiais N(s) (r×m) e D(s) (m×m)sao coprimas pela direita se e apenas se seus maximos divisores comunspela direita apresentarem constantes reais como polinomios invariantes.

O caminho agora e muito natural. Quando o numerador e o denomina-dor de uma fracao matricial pela direita forem matrizes polinomiais copri-mas pela direita isto significara que nao ha os famosos “fatores comuns acancelar”:

Definicao 3.3.3 Uma fracao matricial pela direita N(s)D−1(s) e irredu-

tıvel pela direita quando N(s) e D(s) forem coprimas pela direita.

Mais uma vez a questao da unicidade aparece, e com resposta negativa,como das ultimas vezes. Supondo que N(s)D−1(s) e uma fracao matricialirredutıvel, multiplicando numerador e denominador por uma mesma uni-modular obteremos uma fracao identica, como ja mostrado anteriormente:

N(s)D−1(s) = N(s)U(s) (D(s)U(s))−1 = N(s)D−1(s)

Como U(s) e unimodular seria simples mostrar que N(s) e D(s) saotambem coprimas.

3.4 Reduzindo uma Fracao Matricial

E sempre possıvel exprimir uma matriz racional como uma fracao matricialpela direita. Se esta fracao for irredutıvel, o que pode ser verificado pelaanalise de um maximo divisor comum pela direita do numerador e do deno-minador, ela sera o formato mais simples e conveniente para estudar a matrizracional. Quando a fracao for redutıvel, deve-se cancelar os fatores comuns,“dividindo” numerador e denominador por um maximo divisor comum.

36

Algoritmo 3.4.1

1. Dada a matriz racional G(s) encontrar uma fracao N(s)D−1(s).

2. Encontrar um m.d.c.d. R(s) de N(s) e D(s).

3. Se este R(s) for unimodular a fracao e irredutıvel.

4. Em caso contrario, efetuar

Nr(s) = N(s)R−1(s) e Dr(s) = D(s)R−1(s)

Estas novas matrizes polinomiais serao coprimas pela direita, ou seja:Nr(s)D

−1r (s) e uma fracao irredutıvel para G(s).

Para demonstrar que o algoritmo acima realmente conduz a uma fracaoirredutıvel, seja X um m.d.c.d entre Nr e Dr; como X divide estas matri-zes, os produtos NrX

−1 e DrX−1 sao matrizes polinomiais, como tambem

o serao NR−1X−1 e DR−1X−1. Isto significa que XR e um divisor co-mum pela direita de N e D, sendo portanto um divisor de R. Decorre queR(XR)−1 e polinomial, e X−1 tambem, donde X e unimodular.

Alguns comentarios. O metodo mostrado na secao (3.1) para encontrarfracoes matriciais e bastante simples, mas e bem pouco eficiente no que tocaa fatores comuns. Via de regra as fracoes obtidas sao redutıveis.

Outro aspecto: o segundo item acima requer o calculo de um m.d.c.d., eainda nao vimos isto. Mas por pouco tempo, pois e exatamente esta a tarefade agora. A ela. Para comecar, sendoM(s) uma matriz polinomial com maislinhas do que colunas, e sempre possıvel zerar suas ultimas linhas por meiode operacoes elementares pela esquerda. Em outras palavras, sempre existeuma unimodular E(s) tal que

E(s)M(s) =

[

M ′(s)0

]

onde as ultimas linhas foram zeradas e M ′(s) e quadrada. Usando os pro-cedimentos sugeridos na secao (2.4) para o algoritmo de Gauss seria facilestabelecer a validade desta assercao. Na realidade, zerar as ultimas linhase um dos primeiros passos para diagonalizar. Ja e possıvel estabelecer o

Teorema 3.4.1 Dadas N(s) (r × m) e D(s) (m × m), polinomiais, sejaU(s) (r +m× r +m) uma matriz polinomial unimodular tal que

U(s)

[

D(s)N(s)

]

=

[

R(s)0

]

(3.1)

A matriz polinomial R(s) (m × m) e um maximo divisor comum peladireita de N(s) e D(s).

37

Demonstracao: Dadas N(s) e D(s), sendo U(s) a unimodular capaz desatisfazer (3.1) podemos encontrar sua inversa V (s) e escrever

[

D(s)N(s)

]

= V (s)

[

R(s)0

]

Particionando V (s) em blocos com dimensoes compatıveis temos

[

D(s)N(s)

]

=

[

V11(s) V12(s)V21(s) V22(s)

] [

R(s)0

]

onde V11(s) e um bloco (m×m), V12(s) e um bloco (m × r), etc. A partirdesta ultima expressao e simples verificar que

D(s) = V11(s)R(s) e N(s) = V21(s)R(s)

ou seja, R(s) e um divisor comum pela direita de N(s) e D(s). Para de-monstrar que ele e maximo basta particionar U(s) e reescrever (3.1):

[

U11(s) U12(s)U21(s) U22(s)

] [

D(s)N(s)

]

=

[

R(s)0

]

A primeira “linha” deste produto e dada por

U11(s)D(s) + U12(s)N(s) = R(s) (3.2)

Sendo T (s) um divisor comum a direita qualquer de N(s) e D(s), exis-tirao D(s) e N(s) tais que

D(s) = D(s)T (s) e N(s) = N(s)T (s)

Entrando com estas duas igualdades em (3.2) obtemos U11(s)D(s)T (s)+U12(s)N(s)T (s) = R(s) ou entao, colocando em evidencia:

(

U11(s)D(s) + U12(s)N(s))

T (s) = R(s)

Mas isto quer dizer que T (s) divide R(s), donde este e um maximodivisor comum pela direita, conforme se pleiteava.

Vejamos agora um exemplo completo, partindo da matriz racional, de-terminando a fracao matricial e verificando a sua redutibilidade.

Exemplo 3.4.1 Considere a matriz racional

G(s) =

1s

1s+1

−1s

1s(s+1)

E simples e direto encontrar uma fracao matricial inicial para G(s):

38

G(s) =

s+ 1 s

−s− 1 1

s(s+ 1) 0

0 s(s+ 1)

−1

= N(s)D−1(s)

Para obter um m.d.c.d. de N(s) e D(s), seja a matriz

[

D(s)N(s)

]

=

s2 + s 00 s2 + s

s+ 1 s−s− 1 1

Iniciamos as operacoes trocando de posicao as linhas 1 e 4; depois soma-mos a (nova) linha 1 com a 3, colocando o resultado na linha 3 e somamosa (nova) linha 1, multiplicada por s, a (nova) linha 4, colocando na 4:

−s− 1 10 s2 + s0 s+ 10 s

Os proximos passos serao omitidos, sao simples. O resultado final e:

s+ 1 −10 10 00 0

De onde tiramos um m.d.c.d.:

R(s) =

s+ 1 −1

0 1

nao unimodular, pois seu determinante e s + 1. Os polinomios invariantesdeste R(s) podem ser calculados: um deles e 1 e o outro e s+1. Isto significaque podemos cancelar o fator comum s + 1 entre N(s) e D(s). Em outraspalavras, a inversa de R(s) pode ser usada para reduzir a fracao inicial:

Nr(s) = N(s)R−1(s) e Dr(s) = D(s)R−1(s)

Calculando a inversa chegarıamos a

Nr(s) =

[

s+ 1 s−s− 1 1

] [

1/(s + 1) 1/(s + 1)0 1

]

=

[

1 s+ 1−1 0

]

Dr(s) =

[

s2 + s 00 s2 + s

] [

1/(s + 1) 1/(s + 1)0 1

]

=

[

s s0 s2 + s

]

Finalmente podemos escrever uma fracao matricial irredutıvel:

G(s) =

[

1 s+ 1−1 0

] [

s s0 s2 + s

]−1

39

No exemplo 3.1.2 encontramos uma fracao matricial pela direita parauma dada matriz racional G(s). Nem precisamos calcular a redutibilidadedesta fracao, pois no exemplo 3.2.2 encontramos uma outra fracao equiva-lente “mais simples”. Vamos partir deste ponto.

Exemplo 3.4.2 Consideremos ainda uma vez a matriz racional

G(s) =

1s

1s−1

1s2

1s+1

1s

1s−1

e a sua f.m.d. obtida no exemplo (3.2.2): G(s) = N(s)D−1(s), onde

N(s) =

s(s+ 1) s(s+ 1) (s− 1)

s2 (s + 1)(s − 1) s2

D(s) =

s2(s + 1) 0 0

0 s(s+ 1)(s − 1) 0

0 0 s2(s− 1)

Esta fracao ainda e redutıvel, pois analisando suas colunas com atencaoe possıvel descobrir outros cancelamentos possıveis. Na primeira coluna, porexemplo, ainda se pode cancelar o fator comum s; e na segunda, s+1. Aposestas reducoes visuais obtemos G(s) = N1(s)D

−11 (s), onde

N1(s) =

s+ 1 s s− 1

s s− 1 s2

D1(s) =

s(s+ 1) 0 0

0 s(s− 1) 0

0 0 s2(s− 1)

E esta fracao, sera irredutıvel? Para encontrar um m.d.c.d., seja

[

D1(s)N1(s)

]

=

s2 + s 0 00 s2 − s 00 0 s3 − s2

s+ 1 s s− 1s s− 1 s2

A primeira operacao elementar consiste na troca de posicao das linhas 1e 5; logo apos multiplicamos a (nova) primeira linha por s+1, subtraımos a

40

(nova) quinta linha e colocamos o resultado na quinta linha. A quarta linhasubtraıda da primeira sera colocada na quarta linha. Obteremos

s s− 1 s2

0 s2 − s 00 0 s3 − s2

1 1 −s2 + s− 10 s2 − 1 s2(s+ 1)

Os proximos passos serao omitidos. O resultado final do processo sera

1 1 −s2 + s− 10 1 −s3 − s0 0 s0 0 00 0 0

O maximo divisor comum obtido e dado pelas tres primeiras linhas destamatriz, e nao e unimodular, o que mostra a necessidade de se continuar coma reducao. Agora devemos efetuar

Nr(s) = N1(s)R−1(s) e Dr(s) = D1(s)R

−1(s)

apos o que teremos, afinal, uma fracao irredutıvel G(s) = Nr(s)D−1r (s) onde

Nr(s) =

s+ 1 −1 0

s −1 0

Dr(s) =

s(s+ 1) −s(s+ 1) p(s)

0 s(s− 1) q(s)

0 0 s(s− 1)

onde p(s) = −(s+ 1)(s3 − s2 + 2s− 1) e q(s) = s(s− 1)(s2 + 1).

Estes ultimos desenvolvimentos mostram que uma fracao matricial e ir-redutıvel quando N(s) e D(s) sao coprimas pela direita, e esta situacao deveser sempre procurada, pois nao ha fatores comuns cancelaveis e a fracao e amais simples possıvel.

3.5 Criterios de Irredutibilidade

Nesta secao apresentaremos outros criterios para verificar se duas matrizespolinomiais sao coprimas pela direita. Embora estes criterios possam serenunciados para o caso mais geral de matrizes com o mesmo numero decolunas, eles serao adaptados para o caso das fracoes matriciais, ou seja, asmatrizes envolvidas sao N(s) (r ×m) e D(s) (m×m).

41

Propriedade 3.5.1 As matrizes polinomiais N(s) e D(s) como acima saocoprimas pela direita quando e apenas quando existirem matrizes polinomiaisX(s) (m× r) e Y (s) (m×m) tais que

X(s)N(s) + Y (s)D(s) = Im (3.3)

Demonstracao: Seja U(s) a matriz unimodular tal que

U(s)

[

D(s)N(s)

]

=

[

U11(s) U12(s)U21(s) U22(s)

] [

D(s)N(s)

]

=

[

R(s)0

]

onde e facil perceber que U11(s)D(s) + U12(s)N(s) = R(s). O processoacima, como ja visto, conduz a um m.d.c.d. de N(s) e D(s). Supondo queestas matrizes sao coprimas pela direita, R(s) sera unimodular, sua inversapolinomial, e podemos escrever

R−1(s)U11(s)D(s) +R−1(s)U12(s)N(s) = I

que e exatamente (3.3) com X = R−1U11 e Y = R−1U12, o que prova anecessidade. Para estabelecer a suficiencia supomos queX(s) e Y (s) existemtais que (3.3) se verifica. Sendo R(s) um maximo divisor comum a direitade N(s) e D(s), sabemos que existem N(s) e D(s), polinomiais, tais que

N(s) = N(s)R(s) e D(s) = D(s)R(s)

Usando estas igualdades em (3.3): X(s)N(s)R(s) + Y (s)D(s)R(s) = Iou entao, colocando em evidencia:

(

X(s)N(s) + Y (s)D(s))

R(s) = I

Isto mostra que a inversa de R(s) e polinomial, donde R(s) e unimodulare as matrizes N(s) e D(s) sao coprimas pela direita, como se pleiteava.

A expressao (3.3) e conhecida como Identidade de Bezout, emborapesquisas sobre a Historia da Matematica mostrem que esse matematicona realidade nao trabalhou com essa equacao. O primeiro a faze-lo pareceter sido um matematico indiano chamado Aryabatta e assim o nome maismerecido para a equacao seria Identidade de Aryabatta.

Propriedade 3.5.2 As matrizes polinomiais N(s) e D(s) como acima saocoprimas pela direita quando e apenas quando os polinomios invariantes damatriz abaixo sao iguais a um.

[

D(s)N(s)

]

42

A demonstracao deste resultado e simples, e pode ser feita a partir docalculo dos maximos divisores comuns pela direita de N(s) e D(s). Umamaneira equivalente de dizer que os polinomios invariantes da matriz expan-dida sao iguais a um e dizer que esta matriz e prima pela direita (definicao3.2.2). Outra maneira: a forma de Smith da matriz aumentada deve ser

S

[

D(s)N(s)

]

=

[

I0

]

Propriedade 3.5.3 As matrizes polinomiais N(s) e D(s) como acima saocoprimas pela direita quando e apenas quando

posto

[

D(s)N(s)

]

= m ∀s ∈ C

Esta propriedade e uma consequencia simples e direta da anterior e suademonstracao sera omitida.

Propriedade 3.5.4 As matrizes polinomiais N(s) e D(s) como acima saocoprimas pela direita quando e apenas quando existirem matrizes polinomiaisT (s) (m× r) e V (s) (r × r) tais que

S

[

D(s) T (s)N(s) V (s)

]

= I

ou seja, os polinomios invariantes desta matriz sao iguais a um.

A demonstracao, simples, sera omitida.

3.6 Um Refinamento Importante

Nesta secao continuaremos a estudar as fracoes matriciais de uma dadamatriz racional G(s). Em primeiro lugar verificaremos se G(s) e propria ounao atraves da analise de parametros de seus numeradores e denominadores.Em seguida apresentaremos uma expansao para G(s) com propriedades quepermitirao alcancar resultados melhores.

Vetores polinomiais sao, como o proprio nome indica, matrizes polino-miais compostas por apenas uma coluna.

Definicao 3.6.1 Indice ou grau de um vetor polinomial e o grau de seu(s)elemento(s) de mais alto grau.

Com isto, sendo ν o ındice de um dado vetor polinomial V (s) este podetambem ser encarado como um polinomio cujos coeficientes sao vetores reais:

V (s) = Vνsν + Vν−1s

ν−1 + · · ·+ V1s+ V0

Considere uma matriz racional descrita por uma fracao matricial. Pode-mos escrever esta fracao explicitando as colunas das matrizes N(s) e D(s):

G(s) = [N1(s)N2(s) · · ·Nm(s)][D1(s)D2(s) · · ·Dm(s)]−1

43

O proximo resultado, que vira sem demonstracao, mostra condicoes ne-cessarias para que G(s) seja propria ou estritamente propria. O sımboloδ(V ) designa o grau do vetor polinomial V (s).

Teorema 3.6.1 Se a matriz racional G(s) e propria entao

δ(

N i)

≤ δ(

Di)

∀i = 1, 2, . . . m

Se a matriz racional G(s) e estritamente propria entao

δ(

N i)

< δ(

Di)

∀i = 1, 2, . . . m

Esta e uma generalizacao para o caso matricial dos resultados escala-res que decidem se uma funcao racional e (estritamente) propria pela com-paracao entre os graus do numerador e do denominador. Infelizmente estageneralizacao e incompleta, pois o resultado acima e uma condicao apenasnecessaria.

Exemplo 3.6.1 Considere a matriz racional G(s) = N(s)D−1(s) onde

N(s) = [2s2 + 1 1] e D(s) =

[

s3 + s s0 1

]

Comparando os graus das colunas encontrarıamos

δ(

N1)

= 2 < δ(

D1)

= 3 e δ(

N2)

= 0 < δ(

D2)

= 1

Uma aplicacao descuidada do teorema acima indicaria que G(s) e es-tritamente propria. Note-se que este procedimento e bastante tentador, porser uma generalizacao de resultados escalares muito conhecidos. Mas noentanto, o calculo da G(s) forneceria

G(s) = N(s)D−1(s) =

[

2s2 + 1

s3 + s

−s2

s2 + 1

]

que e propria, mas nao estritamente.

Este exemplo ilustra os cuidados que devem ser tomados na aplicacao doteorema 3.6.1. Seria muito interessante poder verificar, de maneira segura, seuma dada matriz racional e propria ou estritamente propria olhando apenaspara os graus das colunas de N(s) e D(s). Ou seja, gostarıamos de umacondicao semelhante a anterior, mas que fosse necessaria e suficiente.

Conforme visto no inıcio da secao (2.2), uma matriz polinomial qualquerM(s) (r ×m) pode ser expressa como

Mνsν +Mν−1s

ν−1 + · · ·+M1s+M0

onde ν e o maior dos graus entre os elementos de M(s) e os Mi sao matri-zes reais (r ×m). Tal decomposicao, apesar de interessante, nao encontragrandes aplicacoes. Se, entretanto, isolarmos os termos de mais alto grau decada coluna, chegaremos a uma decomposicao bastante util, embora talvezmenos intuitiva.

44

Exemplo 3.6.2 A matriz polinomial abaixo pode ser decomposta trivial-mente como

M(s) =

s −s2

0 s2 + s1 0−1 s+ 1

=

0 −10 10 00 0

s2 +

1 00 10 00 1

s+

0 00 01 0−1 1

ou entao, isolando os termos de mais alto grau coluna a coluna:

M(s) =

s −s2

0 s2

0 00 0

+

0 00 s1 01 s+ 1

A primeira parcela acima pode ser apresentada de maneira a evidenciaros ındices das colunas de M ; com isso obterıamos

M(s) =

1 −10 10 00 0

[

s 00 s2

]

+

0 00 s1 01 s+ 1

Ainda poderıamos repetir esse procedimento para o segundo termo acima,mas o mecanismo ja foi mostrado.

Este exemplo facilita a aceitacao do proximo resultado, que ensina comoexpandir uma matriz polinomial evidenciando os ındices das colunas.

Teorema 3.6.2 Sendo M(s) uma matriz polinomial (r × m) com νi, i =1, 2, . . . m o ındice da i-esima coluna, sera sempre possıvel escrever

M(s) =M∗

0S0(s) +Mr(s)

onde M∗

0 e a matriz com os coeficientes dos termos de mais alto grau emcada coluna; S0(s) e dada por

S0(s) =

sν1

sν2

. . .

sνp

e Mr(s) e uma matriz polinomial cujas colunas tem ındices estritamentemenores que os das colunas de M(s) : νri < νi ∀ i = 1, 2, . . . m.

E logico que ainda podemos continuar o processo descrito pelo resultadoacima para a matriz Mr(s), obtendo Mr(s) = M∗

1S1(s) + · · ·. Com istoatingirıamos uma expansao total:

M(s) =M∗

0S0(s) +M∗

1S1(s) + · · ·

Como apenas M∗

0S0(s) sera importante, esta expressao tem pouca utili-dade.

45

Exemplo 3.6.3 A matriz polinomial

M(s) =

s3 + 3s2 s+ 1s+ 1 ss2 + 5 s2 + s

pode ser expandida como

M(s) =

s3 00 00 s2

+

3s2 s+ 1s+ 1 ss2 + 5 s

ou ainda, com mais detalhes,

M(s) =

1 00 00 1

[

s3 00 s2

]

+

3s2 s0 ss2 s

+

0 1s+ 1 05 0

O processo seguiria mais alguns passos ate seu termino.

Definicao 3.6.2 Uma matriz polinomial M(s) sera chamada de reduzida

pelas colunas quando postoM∗

0 = m = numero de colunas de M(s)

O termo coluna-propria tambem e empregado com o mesmo sentido.Em uma matriz reduzida pelas colunas os termos de mais alto grau ocupamposicoes “estrategicas” em cada coluna. Seja agora uma matriz polinomialquadrada D(s). Seu determinante e um polinomio; que se pode dizer arespeito do grau deste polinomio? Sendo νi, i = 1, 2, . . . m os graus dascolunas de D(s), e facil estabelecer o seguinte

Fato 3.6.1 A soma dos graus das colunas de uma matriz polinomial qua-drada D(s) e um limitante superior para o grau de seu determinante:

δ (detD(s)) ≤m∑

i=1

νi

Exemplo 3.6.4 Para a matriz polinomial

D(s) =

[

s3 + s s0 1

]

encontrarıamos, por inspecao, ν1 = 3 e ν2 = 1. Seu determinante e s3 + s,com grau menor do ν1 + ν2 = 4. Trocando de posicao os elementos dasegunda coluna ficarıamos com

D(s) =

[

s3 + s 10 s

]

Agora temos ν1 = 3 e ν2 = 1, como antes, mas o determinante e s4+s2,cujo grau “encosta” no limite superior dado por ν1 + ν2 = 4.

46

Que condicoes garantem que o grau do determinante seja maximo? In-tuitivamente percebemos que os graus mais elevados de cada coluna devemestar nas posicoes certas dentro delas, de modo a que sejam multiplicadospelos elementos de mais alto grau das outras colunas quando do calculo dedeterminante. Em termos mais rigorosos, mas sem demonstracao:

Fato 3.6.2 O grau do determinante de uma matriz polinomial quadradaD(s) e igual a soma dos graus das colunas quando e apenas quando a matrizdos coeficientes D∗

0 for inversıvel:

δ (detD(s)) =m∑

i=1

νi ⇐⇒ detD∗

0 6= 0

Usando a nomenclatura imediatamente anterior vemos que as matrizesquadradas cujos determinantes tem grau maximo sao as reduzidas pelascolunas. Para elas, nao ha perda de grau no calculo do determinante. Elastambem ajudarao a resolver a contento algo que andava pendente:

Teorema 3.6.3 Sendo G(s) uma matriz racional descrita pela fracao ma-tricial N(s)D−1(s) onde D(s) e reduzida pelas colunas temos:

G(s) e propria quando e apenas quando

δ(

N i)

≤ δ(

Di)

∀i = 1, 2, . . . m

G(s) e estritamente propria quando e apenas quando

δ(

N i)

< δ(

Di)

∀i = 1, 2, . . . m

Pronto. Esta e a procurada generalizacao. Agora o caso matricial podeser tratado de maneira analoga ao caso escalar, sem o perigo de armadi-lhas. Que acontece quando uma matriz nao e reduzida pelas colunas? Emparticular, quando o denominador de uma N(s)D−1(s) nao apresenta essapropriedade, que se pode fazer?

Propriedade 3.6.1 Sendo M(s) uma matriz polinomial (r ×m), com r ≥m, e sempre possıvel operar em suas colunas de modo a obter uma matrizreduzida pelas colunas.

A demonstracao sera omitida. Este resultado diz, em outras palavras,que existe W (s) (m ×m), tal que M(s)W (s) e reduzida pelas colunas. Setemos uma fracao matricial onde D(s) nao e reduzida pelas colunas podere-mos escolher W (s) tal que D(s)W (s) o seja. Para que a fracao permanecainalterada, o numerador N(s) tambem deve ser multiplicado por este fator:

N(s)W (s) [D(s)W (s)]−1 = N(s)W (s)W−1(s)D−1(s) = N(s)D−1(s)

47

Exemplo 3.6.5 Considere a matriz racional

G(s) = N(s)D−1(s) =

[

s+ 1 s1 s− 1

] [

s3 + s s0 1

]−1

E facil expandir o denominador:

D(s) =

[

1 10 0

] [

s3 00 s

]

+

[

s 00 1

]

donde concluimos que D(s) nao e reduzida pelas colunas. MultiplicandoN(s) e D(s) por

W (s) =

[

1 10 −s2

]

obterıamos

G(s) = N(s)D−1(s) = (N(s)W (s)) (D(s)W (s))−1

=

[

s+ 1 −s3 + s+ 11 −s3 + s

] [

s3 + s s0 −s2

]−1

Esta nova fracao matricial possui um denominador reduzido pelas colu-nas, como se pode verificar facilmente. O fato desagradavel do processo eque a matriz W (s) empregada nao e unimodular, e introduz fatores comunscancelaveis, destruindo a irredutibilidade da fracao inicial. Usando agora

W (s) =

[

1 0−s2 1

]

obterıamos

G(s) = N(s)D−1(s) = (N(s)W (s)) (D(s)W (s))−1

=

[

−s3 + s+ 1 s−s3 + s2 + 1 s− 1

] [

s s−s2 1

]−1

Este novo denominador e reduzido pelas colunas, e nao houve a in-troducao de fatores comuns no processo, visto que a matriz corretora eraunimodular.

Este exemplo chama a atencao para um aspecto importante: antes dealterar N(s) e D(s) em uma fracao matricial e preciso garantias de que airredutibilidade seja preservada. Quaisquer multiplicacoes no numerador eno denominador devem ser por matrizes unimodulares.

Propriedade 3.6.2 Sendo M(s) uma matriz polinomial (r ×m), com r ≥m, e sempre possıvel operar elementarmente em suas colunas de modo aobter uma matriz reduzida pelas colunas.

48

Este resultado, uma extensao natural do anterior, diz que existe umamatriz W (s) (m × m), unimodular, tal que M(s)W (s) e reduzida pelascolunas. A demonstracao tambem sera omitida. Analisando estes ultimosargumentos em conjunto estabelecerıamos o

Teorema 3.6.4 Dada uma matriz racional G(s) (r×m), e sempre possıvelexpressa-la como uma fracao matricial

G(s) = N(s)D−1(s)

irredutıvel onde o denominador D(s) e uma matriz polinomial reduzida pelascolunas.

Este e o resultado mais importante da secao, pois sintetiza todos osresultados anteriores. Sob um certo ponto de vista, uma fracao matricialcujo denominador e reduzido pelas colunas e uma generalizacao de umafuncao racional cujo denominador e um polinomio monico.

3.7 Polos, Zeros, Graus e Polinomios

Os conceitos de polos, zeros, polinomio caracterıstico e grau de uma matrizracional foram definidos e interpretados nas secoes 2.8 e 2.9. A ideia basicaera a de associa-los a parametros da forma de Smith-MacMillan. Agora e avez das fracoes matriciais.

Propriedade 3.7.1 Considere a matriz racional G(s) e uma sua fracaomatricial N(s)D−1(s). O determinante do denominador D(s) e o polinomiocaracterıstico de G(s),

∆G(s) = detD(s),

quando e apenas quando N(s)D−1(s) e irredutıvel.

Este resultado, que vira sem prova, e esperado. Sendo a fracao matricialirredutıvel, nao ha fatores comuns a cancelar e o denominadorD(s) deve tra-zer informacoes enxutas e nao redundantes sobre o polinomio caracterısticode G(s). Continuando com a hipotese de uma fracao matricial irredutıvel, ospolos e zeros podem ser caracterizados de uma maneira elegante e comoda:

Propriedade 3.7.2 Sendo a matriz racional G(s) expressa por uma fracaomatricial irredutıvel N(s)D−1(s):

a) os seus zeros sao as raızes dos polinomios invariantes de N(s),b) os seus polos sao as raızes dos polinomios invariantes de D(s).

Pronto. Eis finalmente aqui a esperada conexao entre polos e denomi-nadores, zeros e numeradores, bem parecida com o caso escalar. E algo queajudou a motivar o estudo das fracoes matriciais e que andavamos buscandoha um certo tempo. Ainda uma vez, um resultado sem provas.

49

Exemplo 3.7.1 Considere a fracao matricial irredutıvel

G(s) =

[

1 0−1 s+ 1

] [

s −s2

0 s2 + s

]−1

Seria simples verificar que

∆G(s) = detD(s) = s2(s+ 1)

e que os polos sao 0, 0, −1 e ha um zero em −1. Apesar de haver umpolo e um zero coincidentes, nao ha fatores comuns cancelaveis entre N(s) eD(s), visto serem estas matrizes coprimas pela direita. Esta mesma G(s) jafoi avaliada no exemplo 2.8.1 onde estas mesmas conclusoes foram obtidaspor outros caminhos.

De acordo com esta ultima interpretacao, um zero deG(s) = N(s)D−1(s)e uma raiz dos polinomios invariantes do numerador, ou seja, um complexoz tal que a matriz N(z) perde posto. Ora, uma matriz N(s) quadrada perdeposto em z, se este numero for uma raiz de detN(s). Se a nossa matriz N(s)tem r linhas e m colunas, com r > m, ela perde posto em z quando este ze raiz simultanea de todos os menores de ordem m de N(s). Isto e muitodifıcil de acontecer, onde o conceito de “difıcil” nao sera explicitado nestaslinhas. Tambem quando r < m se chegaria a uma conclusao destas. Estasponderacoes nos levam a

Propriedade 3.7.3 Matrizes racionais onde r 6= m nao apresentam zeros,genericamente.

Os leitores podem se convencer disto com exemplos de matrizes naoquadradas. Sera preciso um certo esforco para encontrar casos onde hazeros; para uma matriz escolhida ao acaso os polinomios invariantes seraoquase sempre iguais a um.

3.8 Referencias

Maiores detalhes sobre a materia coberta nestes tres ultimos capıtulos po-dem ser encontrados em Gantmacher[?] capıtulo VI, Rosenbrock[?] secao1.1, Kailath[?] ou Forney[?], entre outros.

3.9 Exercıcios

1. Exprimir cada uma das matrizes do exercıcio #2 da secao 2.5 (he, he,he, pensaram que estavam livres delas nao e ?) como fracoes matriciais;algumas pela direita, N(s)D−1(s), outras pela esquerda, D−1(s)N(s).

2. Se isso ainda nao foi feito, encontrar fracoes matriciais irredutıveispara as matrizes racionais do exercıcio anterior.

50

3. Verificar se os denominadores D(s) obtidos acima sao reduzidos pelascolunas; se nao o forem, encontrar outras fracoes matriciais irredutıveiscujos denominadores sejam.

4. Encontrar os polos e os zeros para todas estas G(s) via os polinomiosinvariantes dos denominadores e numeradores. Comparar este metodocom os procedimentos anteriores, via forma de Smith-MacMillan.

5. Escolher uma destas matrizes racionais e repetir os exercıcios acimapara o caso dual: encontrar uma fracao matricial pela esquerda, calcu-lar o m.d.c.e., reduzir a fracao, se for o caso, verificar se o denominadore reduzido pelas linhas, fazer com que seja, se nao for, encontrar polose zeros e comparar com os valores obtidos ao se trabalhar pela direita.

6. Escolher, ao acaso, uma matriz racional nao quadrada e calcular seuspolos e zeros. Repetir a dose. Ha alguma coisa em comum com oszeros destas duas matrizes? Explique.

7. Encontrar uma matriz racional nao quadrada que possua zeros.

8. Considerar uma matriz racional G(s) para a qual o polinomio m(s)— o m.m.c. dos denominadores dos elementos — possui raızes reaise distintas. Conforme visto anteriormente, e possıvel expressar G(s)como

G(s) =M(s)

m(s)=

k∑

i=1

Mi

s− pi

Encontrar, se existir, uma relacao entre os resıduos matriciais Mi e asfracoes irredutıveis de G(s). Em outras palavras, e possıvel calcularos Mi a partir dos numeradores e denominadores de G(s)?

51

Capıtulo 4

Realizacoes de Matrizes

Racionais

4.1 Modelos para Sistemas Lineares

Os sistemas lineares e invariantes no tempo podem ser analisados por meiode descricoes externas:

Y (s) = T (s)U(s)

sendo Y (s) um vetor com as transformadas de Laplace das r variaveis desaıda, U(s) um vetor com as transformadas de Laplace das m variaveisde entrada e T (s) a matriz de transferencia, com r linhas e m colunas.As descricoes externas sao tambem chamadas de descricoes entrada/saıda,descricoes frequenciais, descricoes no domınio das frequencias, etc. Outramaneira muito usada para estudar estes sistemas e dada pelas descricoesinternas:

x(t) = Ax(t) +Bu(t); x(t0) = x0

y(t) = Cx(t) +Du(t)(4.1)

onde x(t) ∈ IRn e um vetor de estados, u(t) ∈ IRm e y(t) ∈ IRr sao osvetores de entradas e de saıdas e as matrizes A,B,C e D tem dimensoes(n× n), (n×m), (r× n) e (r×m), respectivamente. As descricoes internassao tambem chamadas de temporais, no domınio do tempo, via espaco de es-tados. Embora haja ainda outras maneiras para descrever sistemas linearese invariantes no tempo, estas sao as mais usadas e tradicionais.

Uma pergunta muito natural e: como passar de um tipo de descricao aooutro? Sendo dada uma descricao interna, caracterizada pela quadrupla dematrizes < A,B,C,D >, a teoria basica garante que uma descricao externapode ser facilmente obtida atraves da formula

T (s) = C(sI −A)−1B +D (4.2)

E o problema inverso, como resolve-lo? Dada uma descricao externa deum sistema, por meio de sua matriz de transferencia T (s), como encontrarmatrizes A,B,C, e D de uma representacao de estados para ele? E afinal,por que estudar este problema, qual a sua importancia?

52

Para se controlar sistemas e preciso saber como funcionam, ou seja, co-nhecer seus modelos matematicos. Os principais metodos praticos de iden-tificacao fornecem como resultado um modelo externo para o sistema emestudo, em geral a matriz de transferencia. Em um grande numero de ca-sos, as informacoes contidas nessa descricao externa sao mais do que sufi-cientes para o algoritmo de controle usado, mas outros casos podem exigirinformacoes codificadas de modo diverso, e uma descricao interna se faznecessaria. Isto explica a importancia de se obter modelos temporais a par-tir de dados frequenciais. A partir de agora estudaremos este problema,comecando por dar-lhe um nome:

Definicao 4.1.1 Dada uma matriz de transferencia T (s) (r×m) diremosque as matrizes reais A (n×n), B (n×m), C (r×n) e D (r×m) constituemuma realizacao de, ou para, T (s) se

C(sI −A)−1B +D = T (s)

Quando dizemos que as matrizes < A,B,C,D > sao uma realizacaopara uma dada T (s) ja fica implıcito que elas tem as dimensoes acima: A e(n× n), B e (n×m), etc

Exemplo 4.1.1 Seja um sistema descrito pela matriz de transferencia

T (s) =

1s

1s−1

−1s

1s(s−2)

Seria facil — embora trabalhoso, talvez — verificar que as matrizes

A =

0 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 2

B =

1 00 1−1 00 00 1

C =

[

1 1 0 0 00 0 1 1 1

]

D =

[

0 00 0

]

formam uma realizacao para T (s). Em outras palavras, isto significa que osistema em consideracao pode ser descrito pelas equacoes dinamicas

x(t) = Ax(t) +Bu(t); x(t0) = x0

y(t) = Cx(t) +Du(t)

desde que usemos os valores numericos acima.

53

4.2 Problema das Realizacoes

A situacao a enfrentar e: dada a matriz de transferencia T (s) (r×m) encon-trar, se possıvel, uma realizacao < A,B,C,D >. Ao encarar um problemacomo este pela primeira vez, os mandamentos da Matematica nos sugeremduas perguntas iniciais: existe solucao? em caso positivo, ela e unica? Paraentender melhor o problema da existencia, seja um sistema descrito porequacoes como 4.1, com matriz de transferencia dada pela expressao 4.2. Ainversa da matriz sI −A pode ser expressa como a matriz adjunta divididapelo polinomio caracterıstico de A. Com isto obtemos

T (s) = CM(s)

det(sI −A)B +D =

CM(s)B

det(sI −A)+D

A matriz CM(s)B e polinomial, e seus elementos tem graus no maximoiguais a n−1. Como det(sI−A) e um polinomio de grau n vemos que T (s) eobtida somando uma matriz racional estritamente propria a matriz D, sendoportanto propria. Em outras palavras, as matrizes de transferencia de sis-temas lineares invariantes no tempo sao sempre matrizes racionais proprias;no caso particular de a matriz de ligacao direta D ser nula, elas serao estrita-mente proprias. Isto ja lanca uma luz sobre a discussao: apenas as matrizesracionais proprias podem ser consideradas para o problema das realizacoes.Uma matriz de transferencia que nao seja racional propria certamente naoadmite uma realizacao < A,B,C,D > nos moldes que nos interessam. Oproblema das realizacoes pode ser refinado:

Dada a matriz de transferencia T (s), racional propria, (r ×m), en-contrar, quando possıvel, uma realizacao < A,B,C,D >.

Que acontece com as matrizes de transferencia que nao satisfazem estacondicao? As matrizes racionais improprias, por exemplo, representariamsistemas nao causais, que nao existem no mundo fısico, tendo portanto inte-resse apenas matematico. Ha entretanto outra excecao bastante importante:as matrizes de transferencia em cujos elementos aparecem exponenciais dotipo e∆s multiplicando funcoes racionais em s. Sistemas representados portais matrizes sao chamados de sistemas com parametros distribuıdos, siste-mas com atraso de transporte, sistemas com tempo morto, etc, e aparecemcom bastante frequencia no controle de processos quımicos, em problemas detransferencia de calor, e ainda outros. O estudo de tais sistemas no domıniodo tempo e recente, e razoavelmente complexo pois requer espacos de esta-dos com dimensoes infinitas, campo este ainda considerado “selvagem” poralguns matematicos.

Voltando aos sistemas cujos espacos de estado possuem dimensao finitan, seja T (s) uma matriz racional propria (r ×m). Podemos definir a classeRT de todas as suas realizacoes:

RT =

< A,B,C,D > | C(sI −A)−1B +D = T (s)

(4.3)

Na expressao acima entende-se que as matrizes tem as dimensoes tradi-cionais: A e (n× n), etc. O problema das realizacoes pode ser reformulado:

54

dada T (s) como acima, verificar se a classe RT e vazia ou nao. A respostaa essa questao sera dada agora: sendo T (s) uma matriz racional propria,a classe RT e sempre nao vazia. A justificativa para essa afirmacao viraem secoes posteriores, quando apresentarmos metodos sistematizados paraa obtencao de realizacoes. A enfase se volta entao para o problema da uni-cidade. Supondo que o Problema das Realizacoes admite solucao, seria elaunica? Vejamos.

Um resultado importante da teoria dos sistemas lineares diz que as mu-dancas de base no espaco de estados deixam inalteradas as matrizes detransferencia dos sistemas. Ora, se < A,B,C,D > e uma realizacao parauma dada T (s), e se escolhermos ao acaso uma matriz real Q (n × n)inversıvel, entao a quadrupla < A, B, C, D > onde

A = Q−1AQ B = Q−1B

C = CQ D = D

tambem sera uma realizacao. A questao da unicidade ja esta respondida,mas ainda ha outros aspectos a considerar. Consideremos novamente arealizacao inicial < A,B,C,D >, e a partir dela vamos construir matrizes“maiores” da seguinte maneira:

Ae =

[

A A12

0 A22

]

Be =

[

BB2

]

Ce = [ C C2 ] De = D

onde as matrizes reais A12 (n × k), A22 (k × k), B2 (k × m), C2 (r × k)sao escolhidas ao acaso, sendo k um numero inteiro positivo qualquer. Umalaboriosa analise destas matrizes mostraria que, se o bloco B2 e nulo entao

Ce(sI −Ae)−1Be +De = C(sI −A)−1B +D = T (s)

ou seja, as matrizes expandidas < Ae, Be, Ce,De > tambem realizam T (s).Os leitores em dia com os aspectos teoricos terao percebido o que acontece:o sistema descrito pelas matrizes expandidas e resultado da adicao de modosincontrolaveis ao sistema original, e como modos incontrolaveis nao apare-cem na matriz de transferencia . . . O mesmo resultado final — matrizes detransferencia identicas — se conseguiria com C2 = 0 e liberando B2 de qual-quer exigencia. Agora os modos adicionais sao inobservaveis e tampoucoafetam T (s).

Em resumo: a partir de uma dada realizacao sempre se pode obter re-alizacoes “maiores”, pela adicao de partes incontrolaveis ou inobservaveis.Em termos praticos estes procedimentos parecem bobos, afinal quem se in-teressaria em realizacoes mais volumosas? Mas no entanto, a mesma baseteorica nos permite afirmar que o caminho inverso tambem deve valer: des-cartando partes incontrolaveis e inobservaveis de uma dada realizacao tere-mos outra realizacao com dimensao menor. Isto parece bem interessante.

55

Exemplo 4.2.1 Continuando com o exemplo 4.1.1, verifiquemos a contro-labilidade da realizacao, usando por exemplo a matriz de controlabilidade:

U =

1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 1 0 1 0 1−1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 2 0 4 0 80 1 0 2 0 4 0 8 0 16

O posto desta matriz e 4, indicando incontrolabilidade. Para extrairas partes incontrolaveis e obter matrizes mais simples que preservem T (s)a teoria nos ajuda: basta encontrar uma mudanca de bases que reordeneo espaco de estados de modo a explicitar os modos controlaveis e incon-trolaveis. Para isso selecionamos o maior numero possıvel de colunas line-armente independentes de U , no caso 4, adicionamos a elas colunas extras,no caso 1, de modo a formar uma matriz inversıvel Q com a qual se efetuaa transformacao de equivalencia.

Q =

1 0 0 0 00 1 1 1 0−1 0 0 0 10 0 1 2 00 1 2 4 0

As quatro primeiras colunas de Q foram extraıdas de U , a ultima foiescolhida para garantir a invertibilidade. Mudando de base encontrarıamos

A = Q−1AQ =

0 0 0 0 00 0 0 0 00 1 0 −2 00 0 1 3 00 0 0 0 0

B = Q−1B =

1 00 10 00 00 0

C = CQ =

[

1 1 1 1 0−1 1 3 6 1

]

D = D =

[

0 00 0

]

Estas matrizes tambem realizam T (s), e se encontram em um formatoque evidencia as partes controlaveis e incontrolaveis do sistema. Com efeito,o modo 0 da posicao (5, 5) de A e incontrolavel, e isto significa que pode-mos despreza-lo sem prejuızo para T (s). Eliminando as linhas e colunasrelacionadas a ele vem

Ar =

0 0 0 00 0 0 00 1 0 −20 0 1 3

Br =

1 00 10 00 0

Cr =

[

1 1 1 1−1 1 3 6

]

Dr =

[

0 00 0

]

56

Estas matrizes tambem formam uma realizacao para T (s), chamada dereduzida. O procedimento usado garante a controlabilidade destas matrizes,mas nao a observabilidade; se esta falhar pode-se pensar em um novo pro-cesso de reducao que acarretaria matrizes com tamanhos ainda menores eque ainda realizariam T (s).

Alguns fatos devem ter ficado claros. Em primeiro lugar, se existir umarealizacao para uma T (s), entao existirao uma infinidade delas. Em outralinguagem, a classe RT ou e vazia ou possui infinitos elementos. Mas jamencionamos que RT 6= φ, desde que T (s) seja racional propria, e assim oProblema das Realizacoes sempre admite infinitas solucoes, para este caso.Se a tarefa e buscar realizacoes para uma dada T (s), o bom senso recomen-daria que se procurasse comodidade. Em termos de matrizes isto significa,quase sempre, “tamanhos” reduzidos. Por dimensao de uma realizacaoentendemos o numero de linhas ou colunas de A, simbolizado por n.

Definicao 4.2.1 Uma realizacao < A,B,C,D > de uma dada T (s) e mı-nima quando nao existirem realizacoes de T (s) com dimensoes menores.

A ideia basica e simples e evidente: queremos encontrar um elementoem RT cuja dimensao seja a menor possıvel. Uma vez encontrada umatal realizacao, qualquer transformacao de equivalencia levaria a outra re-alizacao com a mesma dimensao, donde concluimos que tampouco as rea-lizacoes mınimas sao unicas. Mas algo mais se poderia dizer, no sentidooposto: dadas duas realizacoes mınimas quaisquer, elas serao equivalentes.A demonstracao deste resultado e simples e sera omitida.

Dada um realizacao qualquer de uma T (s), como descobrir se ela e mıni-ma? O uso da definicao e claramente impraticavel, precisamos de metodosmais eficientes para o reconhecimento de realizacoes mınimas.

Teorema 4.2.1 Uma realizcao < A,B,C,D > e mınima se e somente seela for controlavel e observavel.

A demonstracao deste resultado e simples e sera deixada para os leitoresdiligentes. Ele fornece um metodo pratico para se verificar a minimalidadede uma realizacao: basta analisar a controlabilidade do par < A,B > e aobservabilidade do par < C,A >. Se as respostas forem positivas teremosuma realizacao mınima. Em caso contrario poderemos identificar e isolaras partes incontrolaveis ou inobservaveis (por meio de transformacoes deequivalencia apropriadas) e despreza-las, obtendo com isto uma realizacaocontrolavel e observavel e portanto mınima. Ha um outro resultado quepermite o reconhecimento rapido de realizacoes mınimas:

Teorema 4.2.2 Uma realizcao < A,B,C,D > e mınima se e somente sesua dimensao for igual ao grau de MacMillan de T (s): n = δ(T ).

57

Outro resultado sem demonstracao, deixada mais uma vez para os lei-tores. Esta condicao e, talvez, a mais facil de ser verificada, mas se houvernecessidade de um processo de reducao deveremos recorrer as tecnicas decontrolabilidade e observabilidade, ou seja, o metodo anterior seria mais re-comendavel. Na realidade, a situacao ideal e quando o metodo usado pararealizar T (s) fornece diretamente realizacoes mınimas, evitando os trabalho-sos processos de reducao de ordem.

A teoria das realizacoes e bastante simples, e esta sintetizada nas linhasacima. A partir de agora apresentaremos diversos metodos para se encontrarrealizacoes de matrizes racionais proprias.

4.3 Obtencao de Realizacoes

Existe um procedimento basico comum a todos os metodos de realizacao: apartir da matriz racional propria T (s) encontramos um diagrama de blocosque a representa e entao associamos variaveis de estado aos sinais principaisdeste diagrama. Embora os metodos de realizacao existentes possam serapresentados como algoritmos objetivos, ou seja, receitas de bolo com umaserie de operacoes que devem efetuadas para obter matrizes < A,B,C,D >a partir de T (s), ha sempre nas entranhas de qualquer destes metodos umdiagrama de blocos para o qual variaveis de estado foram escolhidas. Narealidade pode-se dizer que os diagramas de blocos ja sao uma realizacao,as matrizes < A,B,C,D > seriam apenas uma notacao mais compacta edensa para eles.

Os metodos diferem entre si pelo tipo de realizacao obtido, pela suaminimalidade, pelo trabalho envolvido, etc. Sendo T (s) uma matriz racionalpropria, mas nao estritamente, lembremos que e sempre possıvel escrever

T (s) = T + Te(s)

onde T = lims→∞ T (s) e Te(s) e estritamente propria. Sendo< A,B,C,D >uma realizacao para T (s) e imediato perceber que lims→∞ T (s) = D, dondese conclui que T = D. Assim, a obtencao da matriz de ligacao direta Dde uma realizacao e trivial, e de agora em diante suporemos que T (s) eestritamente propria, e suas realizacoes sao dadas por triplas de matrizes< A,B,C >.

4.3.1 Metodo de Realizacao #1

Este metodo se aplica apenas ao caso monovariavel. Consideraremos afuncao racional estritamente propria

g(s) =n(s)

d(s)=

bmsm + · · · + b1s+ b0

sn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0

A expressao basica para um sistema linear descrito por tal modelo e

y(s) = g(s)u(s) = n(s)d−1(s)u(s)

58

onde y(s) e u(s) sao, respectivamente, as transformadas de Laplace da saıday e da entrada u. Definindo a variavel auxiliar ε(s) = d−1(s)u(s) podemosquebrar a relacao acima em duas:

d(s)ε(s) = u(s) (4.4)

n(s)ε(s) = y(s) (4.5)

A equacao 4.4 pode ser detalhada

(sn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0)ε(s) = u(s)

Isolando o termo de mais alto grau em s vem

snε(s) = (−an−1sn−1 − · · · − a1s− a0)ε(s) + u(s) (4.6)

Usando notacao vetorial esta relacao pode ser reescrita

snε(s) = −[ a0 a1 . . . an−1 ]

1s...

sn−1

ε(s) + u(s) (4.7)

Usando um banco de n integradores em serie conseguimos um diagramade blocos que permite visualizar estas relacoes:

-u(s)+ - 1

s-

?an-1

-

1s

-

?an-2

R

-

?a1

1s

-ε(s)

?a0

+

6−

A variavel snε(s) e integrada n vezes ate fornecer ε(s). A equacao 4.5(considerando o caso limite m = n− 1) pode ser escrita como

(bn−1sn−1 + · · ·+ b1s+ b0)ε(s) = y(s) (4.8)

ou, com notacao vetorial,

[ b0 b1 . . . bn−1 ]

1s...

sn−1

ε(s) = y(s) (4.9)

59

Esta relacao pode ser adicionada ao esquema anterior para fornecer umdiagrama completo para a presente situacao:

-u+ - 1

s-

?an-1

-

6

bn-1

-

1s

-xn-1

?an-2

R

6

bn-2

-x2

?a1

6

b1

I

1s

-x1

?a0

6

b0

+

+

-y

6−

Este diagrama apresenta algumas caracterısticas marcantes. Do seu mi-olo tudo sai, ou seja, as saıdas dos integradores sao enviadas ao inıcio parase somarem com u, constituindo realimentacoes negativas moduladas pelosai; elas sao tambem enviadas ao final do processo, para gerar y, modula-das pelos bi. A tarefa restante agora e simples: escolhendo como variaveisde estado as saıdas dos integradores, comecando pela direita, e usando asrelacoes basicas desenvolvidas acima teremos

x1(t) = x2(t)

x2(t) = x3(t)

......

xn−1(t) = xn(t)

xn(t) = −a0x1(t)− a1x2(t)− · · · − an−1xn(t) + u(t)

y(t) = b0x1(t) + b1x2(t) + · · · + bmxm+1(t)

Ordenando as variaveis xi(t) em um vetor x(t) ∈ IRn poderemos escrever

x(t) =

0 1 0 . . . 00 0 1 0

0...

. . ....

... 1−a0 −a1 . . . . . . −an−1

x(t) +

00...01

u(t) (4.10)

y(t) = [ b0 b1 . . . bm 0 . . . ] x(t) (4.11)

O procedimento recem terminado e claro e direto, mas os leitores queporventura ainda nao estejam convencidos de sua validade deverao calcular a

60

funcao de transferencia associada as equacoes dinamicas acima. O resultado,obvio, sera g(s). Sintetizando estas discussoes:

Teorema 4.3.1 Dada uma funcao racional estritamente propria

g(s) =bms

m + · · ·+ b1s+ b0sn + an−1sn−1 + · · · + a1s+ a0

as seguintes matrizes constituem uma realizacao para ela, chamada de rea-lizacao na Forma Canonica Controlavel:

A =

0 1 0 . . . 00 0 1 0

0...

. . ....

... 1−a0 −a1 . . . . . . −an−1

B =

00...01

(4.12)

C = [ b0 b1 . . . bm 0 . . . ] (4.13)

Com pratica, as etapas intermediarias do desenvolvimento acima podemser evitadas, e uma simples inspecao dos coeficientes de g(s) permite escrevera realizacao. Uma matriz real com um estrutura como acima e chamadade companheira e apresenta propriedades comodas; a principal delas e afacilidade de calculo do seu polinomio caracterıstico. Basta usar os elementosda ultima linha, com o sinal trocado:

∆A(s) = det(sI −A) = sn + an−1sn−1 + · · · + a1s+ a0

Exemplo 4.3.1 Seja a funcao racional

g(s) =s2 + 3s+ 5

s3 − 3s2 + 3s − 1

A realizacao na Forma Canonica Controlavel sera

A =

0 1 00 0 11 −3 3

B =

001

C = [ 5 3 1 ]

Um simples calculo mostraria que esta realizacao e controlavel e ob-servavel e portanto mınima.

Exemplo 4.3.2 Seja a funcao racional

g(s) =s+ 1

s3 + 3s2 − s− 3

61

A realizacao na Forma Canonica Controlavel sera

A =

0 1 00 0 13 1 −3

B =

001

C = [ 1 1 0 ]

Mais uma vez, um simples calculo mostraria que esta realizacao e con-trolavel, mas agora a observabilidade falha, e a realizacao nao e mınima.

Estes exemplos mostram que a realizacao na Forma Canonica Con-trolavel pode ou nao ser mınima. Que se pode dizer de uma maneira maisgeral? Analisando as matrizes A e B verificarıamos que a Forma CanonicaControlavel leva a uma matriz de controlabilidade da forma

0 0 · · · 0 10 0 · · · 1 α1...

......

...0 1 · · · αn−3 αn−2

1 α1 · · · αn−2 αn−1

onde os αi sao funcoes dos coeficientes ai da ultima linha de A. O postodesta matriz e n, independentemente dos parametros ai e bi de g(s), e istosignifica que sempre se pode garantir a controlabilidade da realizacao, dondese explica o nome Forma Canonica Controlavel e decorre o

Fato 4.3.1 Uma realizacao na Forma Canonica Controlavel sera semprecontrolavel.

Um estudo da observabilidade mostraria que ela depende dos coeficientesai e bi. Nos exemplos acima vimos que pode haver realizacoes observaveis einobservaveis. Seria possıvel prever os casos em que a observabilidade falha?

Teorema 4.3.2 Uma realizacao de g(s) = n(s)d−1(s) na Forma CanonicaControlavel sera observavel (e portanto mınima) quando e apenas quandog(s) for irredutıvel, ou seja, n(s) e d(s) forem polinomios coprimos.

A demonstracao e simples. A dimensao da realizacao e, por construcao,igual ao grau do denominador d(s). Mas este denominador sera o polinomiocaracterıstico de g(s) se e somente se nao houver cancelamentos entre ele e odenominador n(s). Este resultado ajuda a entender os exemplos anteriores.

Ainda podemos fornecer maiores detalhes. Supondo que ha uma raizreal comum α entre o numerador e o denominador, ou seja, n(α) = d(α) = 0e que ela nao foi cancelada, seja o vetor

v =

1α...

αn−1

62

Calculando Cv, CAv, . . . CAiv encontramos

Cv = b0 + b1α+ · · ·+ bn−1αn−1 = n(α) = 0

CAv = b0α+ · · ·+ bn−2αn−1 + bn−1(−a0 − a1α− · · · − an−1α

n−1)

= α(b0 + b1α+ · · ·+ bn−2αn−2) + bn−1(α

n − d(α))

= α(b0 + b1α+ · · ·+ bn−2αn−2 + bn−1α

n−1)

= αn(α) = 0

...

CAiv = · · · = 0

Isto significa que v pertence ao nucleo da matriz de observabilidade.Como v 6= 0, confirma-se a inobservabilidade da Forma Canonica Con-trolavel quando ha fatores comuns nao cancelados em g(s).

4.3.2 Metodo de Realizacao # 2

Seja agora uma matriz racional estritamente propria para a qual encontra-mos uma fracao matricial pela direita: T (s) = N(s)D−1(s). A relacao entreas entradas e as saıdas de um sistema descrito por esse modelo seria

Y (s) = T (s)U(s) = N(s)D−1(s)U(s)

Seguindo o raciocınio mostrado na secao anterior para o caso escalar, aintroducao da variavel auxiliar ε(s) = D−1(s)U(s) permite quebrar a relacaoacima em duas:

D(s)ε(s) = U(s) (4.14)

N(s)ε(s) = Y (s) (4.15)

Segundo o teorema 3.6.2 do capıtulo anterior, e sempre possıvel decom-por o denominador D(s) acima como

D(s) = D∗

0 S(s) +Dr(s)

onde D∗

0 e uma matriz real, Dr(s) e uma matriz polinomial cujas colunastem graus estritamente menores que os graus das colunas correspondentesde D(s) e S(s) e uma matriz polinomial diagonal cujo i-esimo elementodepende do grau da i-esima coluna de D(s): sνi . A equacao 4.14 fica

(D∗

0 S(s) +Dr(s)) ε(s) = U(s)

Ainda no capıtulo anterior vimos que o denominador de uma fracaomatricial e uma matriz polinomial reduzida pelas colunas. Se nao o for,uma multiplicacao inofensiva conserta as coisas. Assim, podemos garantirque D∗

0 e inversıvel, e com isto isolar na esquerda os termos de mais altograu:

S(s)ε(s) = −(D∗

0)−1Dr(s)ε(s) + (D∗

0)−1U(s)

63

A matriz polinomial Dr(s) possui colunas com graus estritamente me-nores do que os graus de D(s), logo pode ser fatorada como

Dr(s) = D∗

rR(s)

onde D∗

r e uma matriz real com m linhas e ν = ν1 + ν2 + · · ·+ νm colunas,que captura os coeficientes dos elementos de Dr(s), e R(s) e uma matrizpolinomial ν × m em cuja i-esima coluna aparecem apenas as potencias1, s, . . . sνi−1:

R(s) =

1 0 . . . 0

s...

......

......

sν1−1...

...0 1 . . . 0... s . . .

......

......

... sν2−1...

......

...

A expressao resultante e

S(s) ε(s) = −(D∗

0)−1D∗

rR(s)ε(s) + (D∗

0)−1U(s)

que leva a um diagrama de blocos relacionando as entradas do sistema e asvariaveis auxiliares εi. A matriz polinomial N(s) tambem pode ser fatoradacomo Dr(s): N(s) = N∗

rR(s). Com isto, a equacao 4.15 permite conectaros εi(s) as variaveis de saıda, e consegue-se um diagrama completo, a partirdo qual se pode estabelecer a realizacao procurada.

Deve-se notar que para cada uma das εi(s) teremos uma equacao do tipo4.6 ou 4.7, ou seja, o problema se divide em m cadeias monovariaveis paraas quais se pode usar os resultados da secao anterior, o que caracteriza estemetodo como uma generalizacao da Forma Canonica Controlavel.

Exemplo 4.3.3 Considere a matriz racional

T (s) =

[1s

1s+1

−1s

1s2+s

]

=

[

s+ 1 s−s− 1 1

] [

s2 + s 00 s2 + s

]−1

Como D(s) e reduzida pelas colunas, as equacoes 4.14 e 4.15 tomam aforma

[

s2 00 s2

] [

ε1(s)ε2(s)

]

= −

[

s 00 s

] [

ε1(s)ε2(s)

]

+

[

u1(s)u2(s)

]

[

s+ 1 s−s− 1 1

] [

ε1(s)ε2(s)

]

=

[

y1(s)y2(s)

]

64

Fatorando as Dr(s) e N(s):

[

s2ε1(s)s2ε2(s)

]

= −

[

0 1 0 00 0 0 1

]

1 0s 00 10 s

[

ε1(s)ε2(s)

]

+

[

u1(s)u2(s)

]

[

1 1 0 1−1 −1 1 0

]

1 0s 00 10 s

[

ε1(s)ε2(s)

]

=

[

y1(s)y2(s)

]

Deste ponto seria facil esquematizar o diagrama de blocos

u2 -+ -s2ε2 1s

- 1s

-ε2

+ -y2

-u1 + -s2ε1 1s

-sε1 1s

-ε1 + -y16

6−

− 6

?−

R−

Escolhendo como variaveis de estado as saıdas dos integradores teremosx1 = ε1, x2 = sε1, x3 = ε2, x4 = sε2. Derivando cada uma destas relacoespodemos escrever

x =

0 1 0 00 −1 0 00 0 0 10 0 0 −1

x+

0 01 00 00 1

u; y =

[

1 1 0 1−1 −1 1 0

]

x

e esta pronta a realizacao. Verificarıamos que ela e controlavel mas naoobservavel. Analisando a fracao matricial usada percebemos que ela e re-dutıvel. Teria isto alguma relacao com a minimalidade da realizacao, comono caso monovariavel? Para trabalhar nesta direcao seja a seguinte fracaomatricial irredutıvel para T (s):

T (s) =

[1s

1s+1

−1s

1s2+s

]

=

[

1 0−1 s+ 1

] [

s −s2

0 s2 + s

]−1

Agora as equacoes 4.14 e 4.15 tomam a forma

[

1 −10 1

] [

s 00 s2

] [

ε1(s)ε2(s)

]

= −

[

0 00 s

] [

ε1(s)ε2(s)

]

+

[

u1(s)u2(s)

]

[

1 0−1 s+ 1

] [

ε1(s)ε2(s)

]

=

[

y1(s)y2(s)

]

65

Como este novo denominador D(s) continua reduzido pelas colunas, po-demos simplificar a primeira expressao:

[

s 00 s2

] [

ε1(s)ε2(s)

]

=

[

0 −s0 −s

] [

ε1(s)ε2(s)

]

+

[

1 10 1

] [

u1(s)u2(s)

]

O caminho ja esta preparado para o diagrama de blocos, pois como osdados sao relativamente simples a fatoracao de Dr(s) e N(s) pode ser evi-tada:

-u2

+s2ε2

1s

- - 1s

-ε2

+ -y2

-u1 + - 1s

sε1 ε1 y1

sε2

I

R

-

?−

−

−

e para a realizacao:

x(t) =

0 0 −10 0 10 0 −1

x(t) +

1 10 00 1

u(t); y(t) =

[

1 0 0−1 1 1

]

x(t)

Os calculos mostrariam que esta realizacao e mınima.

Ate agora, pelo menos a partir dos exemplos, este caso multivariavel estase comportando como o caso escalar anterior. A analogia sera oficializadacom o

Teorema 4.3.3 Uma realizacao de T (s) = N(s)D−1(s) pelo metodo #2sera mınima quando e apenas quando a fracao matricial for irredutıvel, ouseja, quando N(s) e D(s) forem matrizes polinomiais coprimas pela direita.

A demonstracao pode seguir os mesmos raciocınios esbocados para o casomonovariavel. Este e um bom exemplo da utilidade das fracoes matriciais: ageneralizacao de propriedades escalares para o caso geral e simples e direta.

4.3.3 Metodo de Realizacao #3

Este metodo, assim como o #1, se aplica apenas ao caso monovariavel. Sejaa funcao racional estritamente propria

g(s) =n(s)

d(s)=

bmsm + · · · + b1s+ b0

sn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0

A expressao basica para um sistema linear descrito por tal modelo e

y(s) = g(s)u(s) = d−1(s)n(s)u(s)

66

onde y(s) e u(s) sao, respectivamente, as transformadas de Laplace da saıday e da entrada u. Esta expressao pode ser reescrita como

d(s)y(s) = n(s)u(s)

ou entao, em forma desenvolvida:

(sn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0)y(s) = (bn−1s

n−1 + · · ·+ b1s+ b0)u(s)

onde estamos considerando a situacao mais geral m = n − 1. Isolando otermo de mais alto grau em s vem

sny(s) = −(an−1sn−1 + · · · a1s+ a0)y(s) + (bn−1s

n−1 + · · · b1s+ b0)u(s)(4.16)

Usando notacao vetorial esta relacao pode ser reescrita

sny(s) = [ 1 s . . . sn−1 ]

−

a0a1...

an−1

y(s) +

b0b1...

bn−1

u(s)

(4.17)

Dividindo ambos os membros por sn e definindo as variaveis εi(s) =biu(s)− aiy(s), i = 0, 1 . . . n− 1 podemos reescrever esta expressao como

y(s) =1

sn[1 s . . . sn−1 ]

ε0(s)ε1(s)...

εn−1(s)

=

[1

sn1

sn−1· · ·

1

s

]

ε0(s)ε1(s)......

(4.18)Usando um banco de n integradores conseguimos um diagrama de blocos

que permite visualizar esta relacao:

- 1s

-+? - 1

s-+

? - -+? - 1

s-ε0

ε1 ε2 εn−1

y(s)

A definicao dos εi(s) permite um diagrama completo:

+ - 1s

-+ - 1s

- -+ - 1s

-

u(s)

x1 x2 xny(s)

6

6

a0

−

6

6

a1

−

6

6

an-1

−

?

?

b1

?

?

bn-1?

?

b0

67

Pode-se dizer que no miolo deste diagrama tudo entra, ou seja, entre osintegradores ha sempre sinais sendo injetados. A entrada, modulada pelosbi e avancada aos somadores internos, e a saıda, constituindo realimentacoesnegativas moduladas pelos ai tambem retrocede a estes pontos. Usandocomo variaveis de estado as saıdas dos integradores, indicadas acima, temos

x1(t) = −a0xn(t) + b0u(t)

x2(t) = x1(t)− a1xn(t) + b1u(t)

......

xn−1(t) = xn−2(t)− an−2xn(t) + bn−2u(t)

xn(t) = xn−1(t)− an−1xn(t) + bn−1u(t)

y(t) = xn(t)

Ordenando as variaveis xi(t) em um vetor x(t) ∈ IRn poderemos escrever

x(t) =

0 0 0 . . . −a01 0 0 . . . −a1

0 1 0 . . ....

.... . .

...0 0 . . . 1 −an−1

x(t) +

b0b1......

bn−1

u(t) (4.19)

y(t) = [ 0 0 . . . . . . 0 1 ] x(t) (4.20)

Seria facil verificar que este procedimento realmente conduz a uma re-alizacao: basta calcular a funcao de transferencia associada as equacoesdinamicas acima, usando a formula C(sI −A)−1B. O resultado sera a g(s)original, claro. Sintetizando estas discussoes:

Teorema 4.3.4 Dada uma funcao racional estritamente propria

g(s) =bms

m + · · ·+ b1s+ b0sn + an−1sn−1 + · · · + a1s+ a0

as seguintes matrizes constituem uma realizacao para ela, chamada de rea-lizacao na Forma Canonica Observavel:

A =

0 0 0 . . . −a01 0 0 . . . −a1

0 1 0 . . ....

......

. . ....

0 0 . . . . . . −an−1

B =

b0b1...

bn−2

bn−1

(4.21)

C = [ 0 0 . . . . . . 0 1 ] (4.22)

68

A realizacao na Forma Canonica Observavel pode ser obtida de maneiradireta e mecanica, pela simples observacao dos coeficientes de g(s). A ela-boracao do diagrama de blocos, e a escolha das variaveis de estado a partirdele, foram usadas aqui com finalidade didatica e podem ser omitidas napratica.

Exemplo 4.3.4 Seja a funcao racional

g(s) =s2 + 3s+ 5

s3 − 3s2 + 3s − 1

A realizacao na Forma Canonica Observavel sera

A =

0 0 11 0 −30 1 3

B =

531

C = [ 0 0 1 ]

Um simples calculo mostraria que esta realizacao e controlavel e ob-servavel e portanto mınima.

Uma matriz quadrada com uma estrutura como a da matriz A da FormaCanonica Observavel e chamada de companheira e apresenta propriedadescomodas; a principal delas e a facilidade de calculo do seu polinomio carac-terıstico. Basta usar os elementos da ultima coluna, com o sinal trocado.Na secao 4.3.1 ha um comentario semelhante a este, referindo-se a FormaCanonica Controlavel. As matrizes A de ambas as realizacoes sao exemplosde possıveis formas companheiras para matrizes reais quadradas.

E interessante notar que, sendo < Ac, Bc, Cc > uma realizacao na FormaCanonica Controlavel para uma dada funcao racional g(s), a realizacao naForma Canonica Observavel pode ser obtida por

Ao = ATc , Bo = CT

c , Co = BTc

como se demonstraria facilmente a partir dos metodos de construcao apre-sentados. A partir disto as conexoes entre estas duas Formas Canonicaspodem passar a ser descritas de maneira geral pelo

Teorema 4.3.5 As realizacoes nas Formas Canonicas Controlavel e Obs-ervavel para uma dada funcao racional g(s) sao duais.

Deste modo, conhecida a realizacao de um tipo obtem-se imediatamentea do outro, e resultados obtidos para uma das Formas sao tambem validospara a outra, apos as necessarias transposicao de matrizes, etc.

Exemplo 4.3.5 Seja a funcao racional

g(s) =s+ 1

s3 + 3s2 − s− 3

69

A realizacao na Forma Canonica Observavel pode ser obtida pela inspecaodos coeficientes de g(s), ou entao transpondo as matrizes do exemplo 4.3.2:

A =

0 0 31 0 10 1 −3

B =

110

C = [ 0 0 1 ]

Mais uma vez, um simples calculo mostraria que esta realizacao e ob-servavel, mas agora a controlabilidade falha, e a realizacao nao e mınima.

Estes exemplos mostram que a realizacao na Forma Canonica Observavelpode ou nao ser mınima. Que se pode dizer de uma maneira mais geral?Usando os resultados de dualidade podemos chegar a um resultado formalque justifica o nome da realizacao:

Fato 4.3.2 Uma realizacao na Forma Canonica Observavel sera sempre ob-servavel.

Garantida a observabilidade, os exemplos acima mostram que pode haverrealizacoes controlaveis e incontrolaveis. A previsao dos casos em que acontrolabilidade falha e dada pelo

Teorema 4.3.6 Uma realizacao de g(s) na Forma Canonica Observavelsera controlavel (e portanto mınima) quando e apenas quando g(s) for irre-dutıvel, ou seja, n(s) e d(s) forem polinomios coprimos.

A demonstracao poderia ser feita por argumentos especıficos de contro-labilidade, ou entao por meio de dualidade.

Estes ultimos resultados podem levar a problemas conceituais interes-santes. Vamos supor que uma dada funcao racional g(s) e redutıvel, ouseja, ha entre o numerador e o denominador fatores comuns nao cancela-dos. Por intermedio de metodo #1 poderıamos encontrar uma realizacao naForma Canonica Controlavel, que seria inobservavel, pelo teorema 4.3.2. Jausando este metodo #3 encontrarıamos uma outra realizacao, forcosamenteobservavel mas incontrolavel. Chegamos assim a um impasse. Que se podedizer do sistema representado por g(s)? Ele e controlavel ou nao? Ele eobservavel ou nao?

A resposta e a seguinte: se o unico modelo matematico conhecido deum sistema e a sua funcao de transferencia, representada por uma funcaoracional onde ha fatores comuns entre n(s) e d(s), nada se pode afirmarsobre a sua controlabilidade ou sobre a sua observabilidade.

Exemplo 4.3.6 Seja um sistema descrito pela funcao racional

g(s) =s+ 1

(s+ 1)(s + 2)

70

Dependendo do metodo empregado podemos encontrar realizacoes apenascontrolaveis ou apenas observaveis. Desejando informacoes mais precisassobre a verdadeira natureza do sistema devemos ter em maos dados maisprecisos sobre ele, como por exemplo o seu diagrama de blocos. Para opresente caso o diagrama e

- 1s+2

+6

? - 1s+1

-u

x1

x2y

−

Agora, a origem do cancelamento pode ser identificada com facilidade.A partir das variaveis de estado apontadas temos

x1(t) = −2x1(t) + u(t) e x2(t) = −x2(t) + u(t)− x1(t)

que fornecem uma realizacao caracterizada pelas matrizes

A =

[

−2 0−1 −1

]

; B =

[

11

]

; C = [ 0 1 ]

de onde se percebe que o sistema e incontrolavel.

A hipotese de irredutibilidade das funcoes racionais e crucial. Com efeito,se se conhece um sistema apenas por sua funcao de transferencia, esta deveser irredutıvel pois do contrario seremos incapazes de dizer se os fatorescancelaveis sao provenientes de modos incontrolaveis ou inobservaveis dosistema original.

Estas discussoes podem ter lancado algumas duvidas sobre as funcoesracionais. Seriam elas modelos matematicos confiaveis para sistemas linearesinvariantes no tempo? Mais adiante, na secao . . . estudaremos estes aspectoscom mais detalhes.

4.3.4 Metodo de Realizacao #4

Mais uma vez voltamos ao caso multivariavel, procurando generalizar umresultado escalar. Seja entao uma matriz racional estritamente propria paraa qual encontramos uma fracao matricial pela esquerda:

T (s) = D−1(s)N(s)

A relacao entre as entradas e as saıdas de um sistema descrito por essemodelo seria

Y (s) = T (s)U(s) = D−1(s)N(s)U(s)

que pode ser reescrita como

D(s)Y (s) = N(s)U(s) (4.23)

71

Usamos agora o dual do teorema 3.6.2, que garantiria ser possıvel de-compor o denominador D(s) acima como

D(s) = S(s)D∗

0 +Dr(s)

onde D∗

0 e uma matriz real, Dr(s) e uma matriz polinomial cujas linhas temgraus estritamente menores que os graus das linhas correspondentes de D(s)e S(s) e uma matriz polinomial diagonal cujo i-esimo elemento depende dograu da i-esima linha de D(s): sνi . A equacao 4.23 fica

(S(s)D∗

0 +Dr(s))Y (s) = N(s)U(s)

ou, com um simples algebrismo

S(s)D∗

0 Y (s) = −Dr(s)Y (s) +N(s)U(s)

As mesmas consideracoes feitas no metodo #2 permitiriam garantir queD∗

0 e inversıvel. Alem disso, ainda seria possıvel mostrar que Dr(s) e N(s)poderiam ser fatoradas como

Dr(s) = L(s)D∗

r e N(s) = L(s)N∗

onde L(s) e uma matriz polinomial com r linhas e ν colunas, em cuja i=esimalinha aparecem apenas as potencias de s, de 0 ate νi − 1, e D∗

r e N∗ saomatrizes reais com os coeficientes dos polinomios. Com isto temos

S(s) D∗

0 Y (s) = L(s) (−D∗

rY (s) +N∗U(s))

Fazendo −D∗

rY (s) +N∗U(s) = ε(s) podemos encontrar

Y (s) = (D∗

0)−1 S−1(s) L(s) ε(s)

Esta expressao ja permite a construcao de um diagrama de blocos re-lacionando as saıdas do sistema com as variaveis εi(s), a partir do qual sepode estabelecer a realizacao procurada. Deve-se notar que o procedimentotodo envolve r cadeias de integradores, para cada uma das quais se aplicamas tecnicas da Forma Canonica Observavel.

Exemplo 4.3.7 Considere a matriz racional

T (s) =

[1s

1s+1

−1s

1s2+s

]

=

[

s2 + s 00 s2 + s

]−1 [

s+ 1 s−s− 1 1

]

Como D(s) e reduzida pelas linhas, a equacao 4.23 toma a forma[

s2 00 s2

]

Y (s) = −

[

s 00 s

]

Y (s) +

[

s+ 1 s−s− 1 1

]

U(s)

As matrizes Dr(s) e N(s) acima podem ser fatoradas como

Dr(s) =

[

1 s 0 00 0 1 s

]

0 01 00 00 1

; N(s) =

[

1 s 0 00 0 1 s

]

1 01 1−1 1−1 0

72

de onde se pode fatorar a expressao basica:

[

s2 00 s2

]

Y (s) =

[

1 s 0 00 0 1 s

]

−

0 01 00 00 1

Y (s) +

1 01 1−1 1−1 0

U(s)

Chamando o termo entre parenteses de ε(s) chegamos a

Y (s) =

[

s2 00 s2

]−1 [

1 s 0 00 0 1 s

]

ε(s)

ou, finalmente, a

Y (s) =

[

1/s2 1/s 0 00 0 1/s2 1/s

]

ε1(s)ε2(s)ε3(s)ε4(s)

Deste ponto seria facil esquematizar o diagrama de blocos

-ε1(s) 1

s

x1 -+ - 1s

x2 -y1(s)

?

ε2(s)

-ε3(s) 1

s

x3 -+ - 1s

x4 -y2(s)

?

ε4(s)

As variaveis εi(s) sao combinacoes lineares das componentes da entradae da saıda, e assim podemos completar o diagrama com as ligacoes adicio-nais. Por serem os dados numericos relativamente simples, isto sera negli-genciado, e, escolhendo como variaveis de estado as saıdas dos integradoresja e possıvel escrever

x(t) =

0 0 0 01 −1 0 00 0 0 00 0 1 −1

x(t) +

1 01 1−1 1−1 0

u(t)

y(t) =

[

0 1 0 00 0 0 1

]

x(t)

e esta pronta a realizacao. Verificarıamos que ela e observavel, mas naocontrolavel. A fracao matricial usada e redutıvel e isto deve estar relacionadocom a minimalidade da realizacao, como no caso monovariavel. Seja entaoa seguinte fracao matricial irredutıvel para T (s), obtida apos o calculo deum maximo divisor comum pela esquerda:

T (s) =

[

s2 + s 0s s

]−1 [

s+ 1 s0 1

]

73

Como D(s) e reduzida pelas linhas, a equacao 4.23 toma a forma

[

s2 0s s

]

Y (s) = −

[

s 00 0

]

Y (s) +

[

s+ 1 s0 1

]

U(s)

As matrizes Dr(s) e N(s) acima podem ser fatoradas como

Dr(s) =

[

1 s 00 0 1

]

0 01 00 0

; N(s) =

[

1 s 00 0 1

]

1 01 10 1

de onde se pode fatorar a expressao basica:

[

s2 00 s

] [

1 01 1

]

Y (s) =

[

1 s 00 0 1

]

ε(s)

onde

ε(s) =

−

0 01 00 0

Y (s) +

1 01 10 1

U(s)

Chegamos a

Y (s) =

[

1 0−1 1

] [

s2 00 s

]−1 [

1 s 00 0 1

]

ε(s)

ou, finalmente, a

Y (s) =

[

1/s2 1/s 0−1/s2 −1/s 1/s

]

ε1(s)ε2(s)ε3(s)

Deste ponto seria facil esquematizar o diagrama de blocos

-ε1(s) 1

s

x1 - - 1s

x2+ -

y1(s)

?

ε2(s)

?-

ε3(s) 1s

-x3+ -

y2(s)

−

de onde podemos tirar a realizacao:

x(t) =

0 0 01 −1 00 0 0

x(t) +

1 01 10 1

u(t); y(t) =

[

0 1 00 −1 1

]

x(t)

Os calculos mostrariam que esta realizacao e mınima.

74

Assim como anteriormente, este caso multivariavel esta se comportandocomo o caso escalar anterior. A analogia sera oficializada com o

Teorema 4.3.7 Uma realizacao de T (s) = D−1(s)N(s) pelo metodo #4sera mınima quando e apenas quando a fracao matricial for irredutıvel,ou seja, quando N(s) e D(s) forem matrizes polinomiais coprimas pela es-querda.

A demonstracao pode seguir os mesmos raciocınios esbocados para ocaso monovariavel. E vemos, mais uma vez, um bom exemplo da utilidadedas fracoes matriciais: a generalizacao de propriedades escalares para o casogeral e simples e direta.

4.3.5 Metodo de Realizacao #5

Este procedimento, mais uma vez, vale para o caso escalar. Seja uma funcaoracional cujo denominador tem raızes reais e distintas, podendo portanto serfatorado e dar origem a uma expansao em fracoes parciais:

g(s) =n(s)

d(s)=

m1

s− p1+

m2

s− p2+ · · ·+

mn

s− pn

onde os reais mi sao os resıduos e os pi sao as raızes de d(s), ou seja, ospolos da funcao racional. Como y(s) = g(s)u(s), esta expansao sugere umdiagrama de blocos para o sistema:

- m1s− p1

- m2s− p2

- mns− pn

+ -

6

?w

x1

x2

xn

uy

...

Associando as saıdas de cada bloco as variaveis de estado e facil chegara uma equacao dinamica:

x(t) =

p1 0 . . . 00 p2 0...

. . ....

0 0 . . . pn

x(t) +

m1

m2...mn

u(t)

y(t) = [ 1 1 . . . 1 ]x(t)

75

Esta e uma realizacao para g(s), como se poderia facilmente verificar,e na forma de Jordan. Se a matriz B fosse composta de “uns” e os mi

estivessem em C, continuarıamos tendo uma realizacao. E obvio que o dia-grama de blocos e desnecessario, e a partir da expansao em fracoes parciaisas matrizes podem ser escritas diretamente pelo usuario.

Exemplo 4.3.8 Seja a funcao racional g(s) = (s− 1)/(s3 +6s2 +11s+6),que pode ser expandida como

g(s) =s− 1

s3 + 6s2 + 11s + 6=−1

s+ 1+

3

s+ 2+−2

s+ 3

A realizacao ja pode ser escrita

A =

−1 0 00 −2 00 0 −3

; B =

−13−2

; C =

[

1 1 1]

Os exemplos abaixo mostram como o metodo pode ser adaptado para ocaso de polos multiplos.

Exemplo 4.3.9 Seja a funcao racional g(s) = n(s)/(s − p)3, que pode serexpandida como

g(s) =n(s)

(s− p)3=

m11

s− p+

m12

(s − p)2+

m13

(s− p)3

E possıvel implementar esta funcao racional atraves do diagrama

-m13 - 1s− p - + - 1

s− p - + - 1s− p -

m12

?

m11

?

u y

x1 x2 x3

A realizacao ja pode ser escrita

A =

p 0 01 p 00 1 p

B =

m13

m12

m11

; C =

[

0 0 1]

Dependendo da estrutura do diagrama de blocos podemos chegar a outrasrealizacoes, obviamente equivalentes. Seja por exemplo

76

- 1s− p - 1

s− p - m13 -1s− p -

6

m11

6

m12

R+u x3 x2 x1 y

-?

A realizacao ja pode ser escrita

A =

p 1 00 p 10 0 p

B =

001

; C =

[

m13 m12 m11

]

Notamos que os polos repetidos devem formar um unico bloco, caso con-trario a controlabilidade e a observabilidade seriam afetadas.

As realizacoes obtidas por este metodo serao mınimas. As possıveisraızes comuns a n(s) e d(s) sao detectadas imediatamente, pois os resıduoscorrespondentes aos polos problematicos se anulam. Os inconvenientes destemetodo residem no fato de ele necessitar um denominador fatorado, ou fa-cilmente fatoravel, e raızes reais. Este metodo pode ser generalizado para ocaso de raızes complexas, mas as operacoes seriam menos claras e diretas.

As vantagens sao a simplicidade, o fato de a realizacao estar na formade Jordan, e uma menor sensibilidade com relacao a variacoes genericas dosistema do que outros metodos

4.3.6 Metodo de Realizacao #6

Este procedimento, usualmente conhecido como Metodo de Gilbert, podeser encarado como uma generalizacao do metodo anterior para o caso matri-cial. Seja T (s) uma matriz racional estritamente propria e m(s) o mınimomultiplo comum dos denominadores dos seus elementos. Ja e bem sabidoque podemos escrever

T (s) =M(s)

m(s)

onde M(s) e uma matriz polinomial. Sendo as raızes ri do polinomio m(s)reais e distintas podemos efetuar uma expansao em fracoes parciais:

T (s) =M(s)

(s− r1)(s− r2) . . . (s − rk)=

M1

s− r1+

M1

s− r2+ . . .+

Mn

s− rk

Os resıduos matriciais podem ser obtidos a partir da mesma formulaescalar:

Mi = lims→ri

[(s − ri)T (s)]

A contrucao do diagrama de blocos a partir da expressao acima e direta,como mostram os exemplos a seguir.

77

Exemplo 4.3.10 Considere a matriz racional

T (s) =

[1s

1s+1

−1s

1s2+s

]

=1

s2 + s

[

s+ 1 s−s− 1 1

]

ja analisada em varios exemplos. Os resıduos matriciais sao

M0 = lims→0

sT (s) =

[

1 0−1 1

]

; M1 = lims→−1

(s+ 1)T (s) =

[

0 10 −1

]

Lembrando que a relacao entre as entradas e saıdas de um sistema des-crito por T (s) e dada por Y (s) = T (s)U(s) podemos escrever

Y (s) =1

s

[

1 0−1 1

]

U(s) +1

s+ 1

[

0 10 −1

]

U(s)

Escrevendo separadamente as duas equacoes condensadas acima:

y1(s) = u1(s)1

s+ u2(s)

1

s+ 1

y2(s) = (−u1(s) + u2(s))1

s− u2(s)

1

s+ 1

cujo diagrama de blocos e

-

-

-

1s+ 1

1s

1s

u1

u2

- +

- +

6

?

6

-

-

x1 y1

x2 y2

x3

−

−

Designadas as variaveis de estado, basta escrever a realizacao:

x(t) =

0 0 00 0 00 0 −1

x(t) +

1 00 10 1

u(t); y(t) =

[

1 0 1−1 1 −1

]

x(t)

que sera mınima.

Exemplo 4.3.11 Seja a matriz racional

T (s) =1

(s− 1)(s + 1)(s + 2)

[

s2 + 6 s2 + s+ 42s2 − 7s − 2 s2 − 5s− 2

]

78

Efetuando a expansao, podemos escrever

Y (s) =

[

7 6−7 −6

]

U(s)

6(s− 1)−

[

7 47 4

]

U(s)

2(s + 1)+

[

10 620 12

]

U(s)

3(s + 2)

Separadamente as duas equacoes condensadas acima:

y1(s) =7u1(s) + 6u2(s)

6(s − 1)−

7u1(s) + 4u2(s)

2(s+ 1)+

10u1(s) + 6u2(s)

3(s + 2)

y2(s) =−7u1(s)− 6u2(s)

6(s− 1)−

7u1(s) + 4u2(s)

2(s+ 1)+

20u1(s) + 12u2(s)

3(s+ 2)

Chamando (7/6)u1(s) + u2(s) = ε1(s), −(7/2)u1(s) − 2u2(s) = ε2(s) e(10/3)u1(s) + 2u2(s) = ε3(s) podemos reescrever estas equacoes de modomais simples

y1(s) =ε1(s)

s− 1+ε2(s)

s+ 1+ε3(s)

s+ 2

y2(s) =−ε1(s)

s− 1+ε2(s)

s+ 1+

2ε3(s)

s+ 2

O diagrama de blocos associado e

- 1s+ 2

ε3(s) x3

- 1s+ 1

ε2(s) x2

- 1s− 1

ε1(s) x1

2

+

+

-

-y1(s)

-y2(s)

R

R

I

x3

−x1

onde podemos notar que foi possıvel economizar integradores, ou seja, osmesmos blocos usados para gerar a saıda y1(s) puderam ser tambem usadospara y2(s). Uma simples inspecao deste diagrama permite exibir a realizacao

A =

1 0 00 −1 00 0 −2

;B =

7/6 1−7/2 −210/3 2

;C =

[

1 1 1−1 1 1

]

Um fato geral a respeito do metodo de Gilbert e que a dimensao dasrealizacoes obtidas e dada pela soma dos postos dos resıduos:

n =k∑

i=1

ρ(Mi)

79

onde o sımbolo ρ(Mi) denota o posto da matriz Mi. O metodo de Gilberte apreciado pela sua simplicidade e por fornecer realizacoes na forma deJordan. Ele e aplicavel apenas quando m(s) tem raızes simples, reais e facil-mente encontraveis. E bom deixar claro que as raızes de m(s) serao autova-lores da realizacao, mas possivelmente nao serao os unicos. Isto aconteceraapenas quando ∆T (s) = m(s), ou, equivalentemente, quando ρ(Mi) = 1 ∀i.

4.3.7 Metodo de Realizacao #7

Os elementos de uma matriz racional T (s) sao funcoes racionais; se, usandoqualquer metodo, encontrarmos realizacoes para estes elementos, poderemosusa-las para encontrar uma realizacao global para T (s). Para facilitar asideias, suponhamos uma matriz racional estritamente propria (2× 2):

T (s) =

[

g11(s) g12(s)g21(s) g22(s)

]

As entradas e saıdas de um sistema descrito por esta matriz de trans-ferencia sao relacionadas por

y1(s) = g11(s)u1(s) + g12(s)u2(s)

y2(s) = g21(s)u1(s) + g22(s)u2(s)

Pode-se tracar facilmente um diagrama de blocos a partir destas relacoes:

- g11(s) - + g12(s)

- g21(s) - + g22(s)

6

?

u1(s) u2(s)

y1(s)

y2(s)

Cada um dos blocos gij(s) pode ser realizado, por um metodo qualquer,fornecendo a realizacao < Aij , Bij , Cij >. Estas realizacoes parciais podemser montadas da seguinte maneira:

A =

A11 0 0 00 A12 0 00 0 A21 00 0 0 A22

B =

B11 00 B12

B21 00 B22

C =

[

C11 C12 0 00 0 C21 C22

]

Os leitores devem se convencer que as matrizes acima constituem umarealizacao para a T (s) inicial.

80

Exemplo 4.3.12 Seja um sistema descrito pela matriz de transferencia

T (s) =

[1s

1s+1

−1s

s+1s(s+2)

]

Usando a tecnica descrita acima chegarıamos a

A =

0 0 0 0 00 −1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 −2

B =

1 00 1−1 00 00 1

C =

[

1 1 0 0 00 0 1 1 1

]

D =

[

0 00 0

]

No primeiro exemplo deste capıtulo esta realizacao foi apresentada semqualquer explicacao; agora sabemos de onde ela vem. Ainda nesse exercıciose viu que a realizacao nao era mınima.

O resultado deste exemplo acontecera quase sempre: as realizacoes ob-tidas por este metodo serao ou incontrolaveis ou inobservaveis ou ambas ascoisas ao mesmo tempo ! Com efeito, a dimensao das realizacoes geradaspor este metodo e a soma dos graus dos denominadores dos elementos damatriz original, e nem sempre este numero e o grau de MacMillan.

Apresentamos nesta subsecao uma sistematica facil e natural para mon-tar realizacoes, pena que estas sejam quase sempre nao mınimas.

4.4 Realizacao do tipo . . .

4.5 Exercıcios

1. Mostrar que duas realizacoes mınimas quaisquer sao equivalentes.

2. Demonstrar o teorema 4.2.1.

3. Demonstrar o teorema 4.2.2.

4. Encontrar condicoes para que a soma dos graus dos elementos de umadada matriz racional T (s) seja o seu grau de MacMillan. Se este fatoacontecer, qual o metodo de realizacao mais apropriado para ela? E“facil” ou “difıcil” encontrar matrizes satisfazendo estas condicoes?

5. Para a matriz de transferencia abaixo:

T (s) =

[2s+1

s2+3s+2s+1

s2+5s+63s+1

s2+3s+21

s+11

s+32

s+1

]

81

(a) encontrar uma realizacao pelo metodo # 7

(b) encontrar o polinomio caracterıstico

(c) desprezando as partes incontrolaveis e inobservaveis tornar mıni-ma a realizacao do item (a)

6. Para a matriz de transferencia abaixo

T (s) =1

(s+ 1)3

[

−s2 − s+ 1 3s+ 5−3s2 − 4s −3s2 − s+ 4

]

(a) encontrar uma realizacao por um metodo qualquer, apresentandoos diagramas de blocos e as equacoes dinamicas.

(b) verificar se esta realizacao e mınima

(c) reduzi-la, se for o caso, inclusive o diagrama de blocos.

7. Verificar se as realizacoes obtidas pelo metodo #7 para as matrizesabaixo sao mınimas:

(a) T (s) =[

1s(s+1)

1s(s+1)(s+2)

s+3s2(s+1)(s+2)

]

(b) T (s) = 1s3+s2+s+1

[

1 −s1− s s2 + 1

]

(c) T (s) = 1(s−1)2

s− 3 −1 0 04 s+ 1 0 0−6 −1 s− 2 −114 5 1 s

(d) T (s) =

0 1s+1 0 0

0 0 1s+2 0

0 0 0 1s+3

8. Para o sistema representado pelo diagrama abaixo:

u1- 1

s−1- 2

s-+ - y2

u2- 1

s−1

6+

u1

- 23

?-

- 1s

6-

-+

?+- 1

s+2-+

-y1?+

82

(a) encontrar uma equacao dinamica a partir do diagrama de blocosacima

(b) encontrar T (s)

(c) a partir de T (s) achar uma realizacao mınima por Gilbert

(d) explicar os resultados obtidos

9. Um processo dinamico e definido unicamente por sua matriz de trans-ferencia

T (s) =1

s(s+ 1)(s + 2)(s + 3)

[

s+ 3 s2 + 3s + 2s2 + 4s+ 3 s+ 2

]

Apresentar uma realizacao mınima do sistema e seu grafico estrutural.E possıvel encontrarmos outro diagrama de blocos para representar omesmo sistema? Se sim, quantos?

10. Provar que o metodo de Gilbert produz realizaccoes mınimas. Porsimplicidade considerar

T (s) =1

∆(s)M(s)

onde M(s) e uma matriz polinomial (2 × 2) e ∆(s) = (s − r1)(s −r2) . . . (s − rr).

11. Exprimir cada uma das matrizes do exercıcio #2 da secao 2.5 (he, he,he, pensaram que estavam livres delas nao e ?) como fracoes matrici-ais; algumas pela direita, T (s) = N(s)D−1(s), outras pela esquerda,T (s) = D−1(s)N(s)

12. Sim, este item anterior ja deve ter sido feito no capıtulo passado, maseste de agora e novo: usando um metodo qualquer de sua preferenciaapresentar realizacoes mınimas para estas matrizes (mais uma vez???sera a ultima?).

83

Capıtulo 5

Realimentacao de Estados

5.1 Introducao

As mudancas de base por meio de transformacoes de equivalencia afetam oformato exterior das equacoes dinamicas de uma dado sistema, mas estasmudancas sao especiais, pois varias grandezas permanecem inalteradas nanova base, como por exemplo os autovalores, o polinomio caracterıstico, afuncao de transferencia, a controlabilidade e a observabilidade, etc. Estaspropriedades ou grandezas sao chamadas de invariantes, por permaneceremas mesmas apos a mudanca.

Passamos agora a estudar um procedimento que altera bem mais do queo formato exterior das equacoes dinamicas, causando mudancas profundasna estrutura interna do sistema. Estas mudancas serao desejadas no estudode sıntese, onde o objetivo e exatamente esse: agir em um dado sistema ateque ele passe a exibir um comportamento desejavel. Uma das ferramentaspossıveis para se atingir esta finalidade e a realimentacao de estados. A ela:

5.2 Ideias Basicas

O sistema a se estudar, linear e invariante no tempo, sera representado por:

Sa

x(t) = Ax(t) +Bu(t); x(t0) = x0

y(t) = Cx(t)

onde as matrizes A,B,C tem dimensoes (n × n), (n × m) e (r × n), res-pectivamente, significando que temos m variaveis de entrada, r variaveis desaıda e o espaco de estados e n-dimensional. Muitas vezes, o sistema origi-nal sobre o qual se trabalhara e chamado de Planta, ou entao de Sistema

de Malha Aberta. Esta ultima denominacao e explicitada pelo sımboloSa acima. Veremos agora os efeitos de substituir a entrada u(·) por umacombinacao linear das variaveis de estado somada a uma nova entrada v(·),com m′ componentes. A expressao matematica para isto e

u(·) = Fx(·) +Gv(·)

84

onde as matrizes F e G tem dimensoes (m× n) e (m×m′). Um diagramade blocos ilustra bem esta situacao, como sempre o fazem, alias:

v - G - + -u B - + -x ∫ -x C -y

A

6

F

6

O sistema com entrada v(·), saıda y(·), e estado x(·) sera chamado desistema de malha fechada; sua equacao dinamica pode ser obtida facilmente:

x(t) = Ax(t) +BFx(t) +BGv(t); x(t0) = x0

y(t) = Cx(t)

x(t) = (A+BF )x(t) +BGv(t); x(t0) = x0

y(t) = Cx(t)

O sistema de malha fechada apresenta o mesmo espaco de estados, omesmo espaco de saıdas e uma nova entrada v(·), sendo descrito por

Sf

x(t) = Afx(t) +Bfv(t); x(t0) = x0

y(t) = Cx(t)

onde Af = A + BF e Bf = BG. Nas aplicacoes que nos interessam nomomento, G pode ser considerada a identidade: G = Im. Com isto temosBf = B e a expressao basica para a realimentacao de estados passa a ser

u(·) = Fx(·) + v(·)

Qual o efeito das realimentacoes de estado nas propriedades importantesde um sistema? O resultado abaixo responde isso para a controlabilidade,garantindo que essa caracterıstica, ou a sua ausencia, permanecem inaltera-das apos a realimentacao.

Teorema 5.2.1 O sistema de malha fechada Sf e controlavel para todo Fse e somente se o sistema de malha aberta Sa tambem o for.

Demonstracao: Sejam as matrizes de controlabilidade para os sistemas demalha aberta e fechada dadas, respectivamente, por

Ua =[

B AB . . . An−1B]

e Uf =[

B AfB . . . An−1f B

]

Se Uf tem posto completo para qualquer valor de F , seu posto seracompleto para F = 0. Isto significa que controlabilidade da malha fechada

85

implica em controlabilidade da malha aberta. Ao inves de empregar umargumento matricial semelhante para demonstrar a recıproca, usaremos adefinicao de controlabilidade. Se em Sa temos uma entrada u∗(·) que trans-fere o estado de sua posicao inicial x(0) em t = 0 para a posicao final x(tf )em t = tf , em Sf teremos v∗(·) = u∗(·) − Fx(·) acarretando a mesma mu-danca.

O teorema acima garante apenas que a controlabilidade e mantida porrealimentacoes de estado, mas e simples demonstrar, por manipulacoes ma-triciais, que o posto de Ua, qualquer que seja ele, e identico ao de Uf paraqualquer F considerada. Os leitores sao convidados a trabalhar nos detalhesalgebricos. O fato importante e: a controlabilidade nao pode ser destruıdaou criada por meio desta ferramenta, suas caracterısticas sao perfeitamentepreservadas pela realimentacao de estados.

Embora a controlabilidade permaneca intacta, a observabilidade pode seralterada por meio de realimentacao de estados. Alguns esquemas de sınteseusam este fato: para corrigir caracterısticas indesejaveis de uma planta,basta destruir a observabilidade delas. Essas caracterısticas continuam aexistir e continuam indesejaveis, elas apenas deixam de contaminar a saıdado sistema. E como varrer lixo para baixo do tapete, esconde a sujeiramas nao resolve o problema. Ha filosofias de sıntese bem mais eficientes ehonestas.

A realimentacao de estados tambem e capaz de escolher os autovalores dosistema de malha fechada, como se poderia verificar por meio de exemplos.Isto suscita algumas questoes, de grande aplicabilidade no campo da sıntese:ate que ponto e possıvel usar uma realimentacao do tipo u = Fx + v paramodificar o efeito de autovalores indesejaveis de uma dada planta? onde epossıvel colocar os autovalores da malha fechada? sob que condicoes? Oprincipal resultado desta secao — e um dos mais importantes de toda ateoria de sistemas lineares! — apresenta os efeitos de uma realimentacao deestados, mostrando toda a riqueza e poder dessa tecnica.

Teorema 5.2.2 Teorema da Alocacao dos Autovalores

Os autovalores da malha fechada podem ser arbitrariamente designadospor uma realimentacao de estados u(·) = Fx(·) + v(·) se e somente se amalha aberta e controlavel.

Este teorema da localizacao, ou alocacao, ou designacao dos autovaloresdiz que o comportamento dinamico da malha fechada pode ser arbitraria-mente escolhido se e somente se a malha aberta for controlavel. Sua im-portancia e profunda tanto em aplicacoes praticas como em investigacoesteoricas, pois a total liberdade na escolha do espectro da malha fechada euma propriedade muito poderosa e altamente desejavel. Algumas pessoasusam a terminologia Alocacao de Polos, baseados nas relacoes conhecidasentre os autovalores de A e os polos da matriz de transferencia.

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Antes de prosseguir, um aviso sobre o termo “arbitrario” empregado nasultimas linhas. Se um dos autovalores de uma matriz real for complexo,o complexo conjugado tambem sera autovalor; deste modo, escolher arbi-trariamente os autovalores da malha fechada significa escolher um conjuntoarbitrario de valores onde os complexos aparecem sempre em pares conju-gados. Para formalizar estas ideias podemos definir Conjunto Simetrico

como um conjunto de numeros complexos simetricos com relacao ao eixo real,ou seja, quando um dado complexo z pertence a um conjunto simetrico, seuconjugado z tambem pertence. Sendo o sistema de malha aberta Sa repre-sentado pela tripla de matrizes < A,B,C > com o espectro de A dado porλ(A) = λ1, λ2, . . . , λn, e sendo λ∗ um conjunto simetrico de n numeroscomplexos totalmente arbitrarios o teorema diz que:

∃F tal que λ(A+BF ) = λ∗ ⇐⇒ < A,B > e controlavel

A demonstracao da validade desse teorema sera dividida em partes. Co-mecaremos pela mais rapida:

Demonstracao — a condicao e necessaria: Devemos mostrar que se osautovalores da malha fechada podem ser livremente escolhidos por F entaoa malha aberta e controlavel. Para isto, supomos inicialmente a incontro-labilidade de < A,B >. Sabemos pelo teorema da decomposicao canonicaque existe uma base do espaco de estados que explicita as partes controlavele incontrolavel do sistema, ou seja, existe uma matriz inversıvel Q tal que atransformacao de equivalencia x = Qx faz com que Sa seja representado nanova base pela tripla < A, B, C >, onde

A =

[

A11 A12

0 A22

]

e B =

[

B1

0

]

Uma realimentacao de estados u = Fx+ v na base original e equivalentea u = F x + v na nova base, onde F = FQ. Para implementar esta ultimalei e preciso particionar F de acordo com o tamanho dos blocos Aij :

F =[

F1 F2

]

As matrizes que descrevem o sistema de malha fechada na nova base sao:

A+ BF =

[

A11 + B1F1 A12 + B1F2

0 A22

]

e B =

[

B1

0

]

Alguns dos autovalores da malha aberta, aqueles contidos em λ(A22),fazem parte do espectro da malha fechada, forcosamente. Isto significa quenao havera liberdade total na escolha de λ(A+BF ).

Os argumentos acima mostram que modos incontrolaveis de um sistemasao insensıveis aos efeitos de realimentacoes de estado: os autovalores nao po-dem ser “movidos” e permanecem fincados no mesmo lugar. Alguns autores

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descrevem esta situacao usando o termo, bem apropriado, Modos Fixos.Os modos fixos de um sistema seriam aqueles incontrolaveis, incapazes deserem deslocados por realimentacoes de estado.

Uma parte do teorema 5.2.2 ja foi estabelecida, falta demonstrar que seum modo e controlavel, ha liberdade ampla para “move-lo” ou, se o sistemade malha aberta e controlavel temos liberdade total na escolha dos autova-lores da malha fechada. Trataremos deste problema nas proximas secoes:sendo conhecidas a planta e as localizacoes para onde se deseja mover osautovalores, deveremos encontrar uma realimentacao de estados que faca oservico, ou entao concluir que ela nao existe. Alguns dos metodos apre-sentados servirao para demostrar, de maneira construtiva, a suficiencia dacondicao acima. Para tornar mais claros os desenvolvimentos, considerare-mos separadamente sistemas com apenas uma ou com varias entradas.

5.3 Sistemas Com Apenas Uma Entrada

Como as relacoes de saıda nao nos interessam no momento, podemos consi-derar a planta dada por

Sa

x(t) = Ax(t) + bu(t); x(t0) = x0

onde representamos a matriz B pelo vetor b para enfatizar que se trata deum sistema monoentrada. Seja

∆a(s) = sn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0

o polinomio caracterıstico de A. Supondo que os autovalores desejados paraa malha fechada sao λ∗1, λ

∗

2, . . . λ∗

n, a matriz F , que denotaremos por f porconter apenas uma linha, deve ser escolhida de tal maneira que o polinomiocaracterıstico de A+ bf seja dado por

∆f (s) = (s− λ∗1)(s − λ∗

2) . . . (s− λ∗

n) = sn + a∗n−1sn−1 + · · · + a∗1s+ a∗0

Analisaremos tres metodos distintos para o problema em pauta. O pri-meiro deles esmiuca detalhadamente a estrutura do problema, evidenciandode maneira clara as dificuldades envolvidas. As solucoes propostas pelos doismetodos restantes sao bem mais interessantes do ponto de vista pratico, epermitirao demonstrar, de forma elegante e construtiva, a suficiencia doTeorema da Alocacao dos Polos para sistemas com uma unica entrada.

5.3.1 Metodo da Forca Bruta

O problema de escolher os autovalores da malha fechada atraves de reali-mentacao de estados sera discutido com o auxılio de exemplos. Os resultadospermitirao entender os mecanismos internos postos em jogo, motivando as-sim a apresentacao de metodos mais gerais, capazes de providenciar provaselegantes para a suficiencia do teorema 5.2.2. O metodo e simples: supomosuma matriz de realimentacao geral e impomos, “na marra”, as condicoesdesejadas para a malha fechada.

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Exemplo 5.3.1 Seja o sistema dado por

x =

1 1 00 1 10 0 1

x+

111

u

Como ele se encontra na Forma de Jordan, os autovalores podem serobtidos por inspecao: λ(A) = 1, 1, 1 e ∆a(s) = s3 − 3s2 + 3s − 1.Deseja-se os autovalores em −1: λ∗1 = λ∗2 = λ∗3 = −1. Considerando umarealimentacao de estados caracterizada por f = [f1 f2 f3] a malha fechadaseria descrita por

A+ bf =

1 + f1 1 + f2 f3f1 1 + f2 1 + f3f1 f2 1 + f3

Calculando o polinomio caracterıstico ∆f (s) para esta matriz:

∆f (s) = s3 + (−3− f1 − f2 − f3)s2 + (3 + f1 + f2 + 2f3)s+ (−1− f1 − f3)

Igualando os coeficientes deste polinomio aos coeficientes do polinomiodesejado ∆∗(s) = (s+ 1)3 = s3 + 3s2 + 3s+ 1, obtem-se as equacoes:

−3− f1 − f2 − f3 = 3 (5.1)

3 + f1 + f2 + 2f3 = 3 (5.2)

−1− f1 − f3 = 1 (5.3)

cuja resolucao fornece f1 = −8, f2 = −4 e f3 = 6, donde se monta a matrizde realimentacao procurada.

O procedimento empregado neste exemplo e um tanto quanto cego, poistodo o desenvolvimento e efetuado sem o conhecimento previo da existenciade solucoes. Apenas na etapa final, na analise do sistema de equacoes, haverauma resposta a este problema. Outro inconveniente desagradavel reside nofato de as matrizes e polinomios envolvidos serem literais, o que requer ouso de pacotes de computacao simbolica.

Ha um outro aspecto. Em varias situacoes de pesquisa e didaticas, einteressante resolver problemas como o acima na mao, pois com isso se ganhauma visao mais detalhada da estrutura interna. Para um exemplo como este,de ordem 3, a trabalheira ainda e factıvel (bem . . . mais ou menos . . . ),mas para ordens mais elevadas a complexidade das manipulacoes poderiarapidamente inviabilizar os desenvolvimentos.

O ponto decisivo do metodo e um sistema de n equacoes com n incogni-tas. A discussao e a resolucao de tais sistemas podem ser facilitadas quandoeles estao na forma escalonada ou, melhor ainda, na forma diagonal; nessassituacoes os procedimentos se tornam triviais. Um problema interessantesurge: e possıvel colocar o sistema de equacoes responsavel pela alocacao deautovalores em uma forma camarada? como deveriam ser as matrizes A eb?

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Exemplo 5.3.2 Seja o sistema dado por

x =

0 1 00 0 11 −3 3

x+

001

u

O polinomio caracterıstico pode ser obtido facilmente, por estar A naforma companheira: ∆a(s) = s3−3s2+3s−1, resultando λ(A) = 1, 1, 1.Como no caso anterior, deseja-se os autovalores: λ∗1 = λ∗2 = λ∗3 = −1. Con-siderando uma realimentacao de estados caracterizada por f = [f1 f2 f3] amalha fechada seria descrita por

A+ bf =

0 1 00 0 1

1 + f1 −3 + f2 3 + f3

Calculando o polinomio caracterıstico ∆f (s) para esta matriz:

∆f (s) = s3 + (−3− f3)s2 + (3− f2)s+ (−1− f1)

Igualando os coeficientes deste polinomio aos coeficientes do polinomiodesejado ∆∗(s) = (s+ 1)3 = s3 + 3s2 + 3s+ 1, obtem-se o seguinte sistema:

−3− f3 = 3 (5.4)

3− f2 = 3 (5.5)

−1− f1 = 1 (5.6)

cuja resolucao e trivial, fornecendo f1 = −2, f2 = 0 e f3 = −6, donde semonta a matriz de realimentacao procurada.

As especulacoes anteriores a este exemplo parecem ter sido respondidaspor ele: o sistema de equacoes obtido e diagonal e permite solucao direta.Qual o segredo da magica? e sempre possıvel repeti-la? Estes detalhes seraoelaborados, e respondidos, na proxima secao.

5.3.2 Forma Canonica Controlavel

No ultimo exemplo da secao anterior a malha aberta era caracterizada poruma matriz quadrada na forma companheira e por uma matriz coluna cujounico elemento nao nulo ocupava a ultima linha. Para verificar se as fa-cilidades encontradas nesse exemplo tem origem nessa particular estrutura,consideremos um sistema descrito por uma equacao dinamica nesse formato:

x(t) =

0 1 0 . . . 00 0 1 0

0 0. . .

......

... 1−a0 −a1 . . . . . . −an−1

x(t) +

00...01

u(t) (5.7)

90

Devido a estrutura de A, seu polinomio caracterıstico e encontrado porinspecao dos elementos da ultima linha: basta inverter seus sinais e associa-los as potencias de s. Obterıamos ∆a(s) = sn + an−1s

n−1 + · · · + a1s+ a0.Uma realimentacao de estados u(t) = fx(t)+v(t) = [f1 f2 . . . fn]x(t)+v(t)acarretaria uma malha fechada descrita por

x(t) = (A+ bf)x(t) + bv(t)

A forma de b garante linhas nulas em bf , com excecao da ultima, com-posta pelos elementos de f . Assim, a malha fechada passa a ser descritapor

x(t) =

0 1 0 . . . 00 0 1 0

0 0. . .

......

... 1f1 − a0 f2 − a1 . . . . . . fn − an−1

x(t) +

00...01

u(t) (5.8)

A matriz A+ bf continua em forma companheira, por especial cortesiadas estruturas de A e b, e isto permite a imediata obtencao de seu polinomiocaracterıstico:

∆f (s) = sn + (an−1 − fn)sn−1 + · · · + (a1 − f2)s+ (a0 − f1)

Cada coeficiente deste polinomio depende de um unico elemento de f ,logo a tarefa de escolher os autovalores da malha fechada recai na de solu-cionar um sistema de n equacoes, n incognitas e diagonal. Deste modo, osfatos encontrados no exemplo (5.3.2) sao apenas casos particulares de umarealidade mais geral: o problema de alocar os autovalores da malha fechadae praticamente trivial quando a malha aberta exibe a estrutura mostradanas equacoes dinamicas 5.7. Mas esta e a estrutura vista na secao 4.3.1 paraa Forma Canonica Controlavel, FCC, a menos da equacao para a saıda.

E quando a malha aberta nao apresenta essa comoda estrutura? Poder-se-ia pensar em uma mudanca de bases que a colocasse na FCC. A reali-mentacao de estados seria feita nessa nova base, e terıamos assim resolvido oproblema, com o onus extra de uma mudanca de bases inicial. Esta linha deacao e perfeitamente viavel, como se ve no proximo resultado, que estabeleceas condicoes para a existencia de uma tal mudanca de bases incial.

Lema 5.3.1 Se um sistema monoentrada e controlavel, existe uma base naqual as equacoes dinamicas que o representam exibem a estrutura da FormaCanonica Controlavel, mostrada em 5.7.

Em outras palavras, sendo < A, b > controlavel, e possıvel colocar suasequacoes dinamicas em um formato que facilita sobremaneira a escolha docomportamento dinamico da malha fechada. Seja entao a transformacao de

91

equivalencia x = Qx que acarreta, na nova base,

˙x(t) =

0 1 0 . . . 00 0 1 0

0. . .

... 1−a0 −a1 . . . . . . −an−1

x(t) +

00...01

u(t) (5.9)

Apos representar o sistema de malha aberta em sua Forma CanonicaControlavel podemos usar a realimentacao de estados na nova base:

u(t) = f x(t) + v(t) = [f1 f2 · · · fn]x(t) + v(t)

As equacoes dinamicas da malha fechada, nesta nova base, sao

˙x(t) =

0 1 0 . . . 00 0 1 0

0. . .

... 1

f1 − a0 f2 − a1 . . . . . . fn − an−1

x(t) +

00...01

v(t)

Sendo λ∗1, λ∗

2, . . . λ∗

n os autovalores desejados para a malha fechada,construımos o polinomio

∆∗(s) = (s− λ∗1)(s − λ∗

2) . . . (s− λ∗

n)

= sn + a∗n−1sn−1 · · · + a∗1s+ a∗0

Impor este polinomio como o polinomio caracterıstico da malha fechadae, nesta base, tarefa simples: basta igualar a ultima linha da matriz dedinamica aos coeficientes acima, com sinais trocados. Resultaria

f1 = a0 − a∗

0, f2 = a1 − a∗

1, . . . fn = an−1 − a∗

n−1

ComoA+ bf = Q−1AQ+Q−1bf

se tomarmos f = fQ−1 podemos escrever

A+ bf = Q−1AQ+Q−1bfQ = Q−1(A+ bf)Q

donde se conclui que λ(A+ bf) e composto pelos autovalores desejados, ouseja, a matriz f = fQ−1 e capaz de escolher arbitrariamente os autovalo-res da malha fechada, impondo-lhe assim um comportamento dinamico quepode ser escolhido livremente. Bem, tudo esta funcionando de acordo como figurino, falta apenas demonstrar a validade do lema, o que passa a serfeito agora.

Demonstracao do Lema 5.3.1: Sendo a malha aberta controlavel, amatriz de controlabilidade

Ua = [b Ab A2b . . . An−1b]

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tem posto completo. Supondo o polinomio caracterıstico de A dado por∆a(s) = sn + an−1s

n−1 + · · · a1s+ a0, considere a matriz (n× n)

Va =

a1 a2 . . . an−1 1a2 a3 . . . 1 0...

......

an−1 1 01 0 . . . 0

(5.10)

E simples verificar que esta matriz possui posto completo. Seja agora

Q = UaVa (5.11)

Como as colunas de Q sao combinacoes lineares das colunas de Ua, seuposto e completo tambem. Usando-a para a mudanca de bases x = Qxobterıamos

A = Q−1AQ e b = Q−1b

Passemos agora a mostrar que estas matrizes possuem as estruturas de-sejadas. Uma simples manipulacao permite escrever

AQ = QA (5.12)

b = Qb (5.13)

Usando os sımbolos qi e ai para denotar as i-esimas colunas de Q e A,respectivamente, podemos escrever

Q = [q1 q2 . . . qn] e A = [a1 a2 . . . an]

A equacao (5.13) diz que b e uma combinacao linear das colunas deQ, e que os coeficientes desta combinacao linear, montados em um vetor,fornecem b. Quem sao exatamente as colunas de Q? Efetuando o produtoUaVa obterıamos

q1 = An−1b+ an−1An−2b+ · · · a2Ab+ a1b (5.14)

q2 = An−2b+ an−1An−3b+ · · · a2b (5.15)

... (5.16)

qn−1 = Ab+ an−1b (5.17)

qn = b (5.18)

Como estes vetores sao linearmente independentes, a unica combinacaolinear deles capaz de gerar b e

b = 0× q1 + 0× q2 + · · ·+ 1× qn

Isto significa que b e dado por

b =

00...1

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A equacao (5.12) diz que o produto de A pela i-esima coluna de Q deveser igual ao produto de Q pela i-esima coluna de A. Em sımbolos: Aqi =Qai, ∀i = 1, 2, . . . n. Aplicando esta expressao para i = n, e lembrandoque qn = b, temos Ab = Qan, ou seja, para obter an, a ultima coluna deA, devemos encontrar a combinacao linear das colunas de Q capaz de gerarAb. Analisando as equacoes para as colunas de Q, dadas anteriormente,verificamos que Ab = qn−1 − an−1b = qn−1 − an−1q

n. Mas isto quer dizerque

an =

0...1

−an−1

Um raciocınio analogo nos leva a Aqn−1 = Qan−1. Mas Aqn−1 = A(Ab+an−1b) = A2b+ an−1Ab = qn−2 − an−2b = qn−2 − an−2q

n, donde se concluique

an−1 =

0...10

−an−2

A repeticao destes argumentos para as outras colunas segue sem proble-mas. Para a primeira coluna terıamos Aq1 = Qa1. Mas

Aq1 = A(An−1b+ an−1An−2b+ · · · a1b)

= Anb+ an−1An−1b+ · · · a1Ab

= (An + an−1An−1 + · · · a1A)b

Esta ultima linha, usando o teorema de Cayley-Hamilton, pode ser sim-plificada: Aq1 = −a0b. Mas isto implica em

a1 =

0...0−a0

o que mostra que as matrizes A e b apresentam a estrutura prometida e,portanto, termina a demonstracao.

A demonstracao deste lema, como os leitores certamente ja percebe-ram, nada mais e do que uma demonstracao da suficiencia de Teorema daAlocacao de Polos, para o caso de sistemas com apenas uma entrada. Parteda dıvida ja esta saldada. Os desenvolvimentos acima podem ser sintetizadosno

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Algoritmo 5.3.1 — Alocacao de Polos via FCC

Este algoritmo permite a escolha dos autovalores da malha fechada parasistemas com apenas uma variavel de entrada e controlaveis. As matrizesda malha aberta A e b sao os dados iniciais, bem como os autovalores λ∗i ,desejados para a malha fechada.

Passo 1: Calcular a matriz Ua, o polinomio caracterıstico ∆a(s) da malhaaberta e os reais ai, i = 0, 1, . . . n− 1, seus coeficientes.

Passo 2: Construir a matriz Va de acordo com a equacao (5.10).

Passo 3: Obter Q, efetuando Q = UaVa.

Passo 4: Calcular ∆∗(s) = (s − λ∗1)(s − λ∗2) · · · (s − λ∗n) e obter os seuscoeficientes reais a∗i , i = 0, 1, . . . n− 1.

Passo 5: Montar f = [a0 − a∗

0 a1 − a∗

1 . . . an−1 − a∗

n−1]

Passo 6: A matriz f = fQ−1 e a realimentacao procurada.

Muitas vezes este algoritmo e apresentado de forma ligeiramente dife-rente. Para entende-la, recordemos as expressoes que definem as colunas deQ:

q1 = An−1b+ an−1An−2b+ · · · a2Ab+ a1b

q2 = An−2b+ an−1An−3b+ · · · a2b

...

qn−1 = Ab+ an−1b

qn = b

Colocando A em evidencia, e usando a segunda equacao, a primeiraequacao acima pode ser escrita como

q1 = A(An−2b+ an−1An−3b+ · · · a2b) + a1b (5.19)

= Aq2 + a1qn (5.20)

Raciocınios identicos levariam a

q2 = Aq3 + a2qn

...

qn−1 = Aqn + an−1qn

qn = b

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Pronto, as colunas da matriz Q podem ser obtidas por meio de umaformula recorrente:

qi = Aqi+1 + aiqn; i = 1, 2 . . . n− 1 (5.21)

qn = b (5.22)

O algoritmo pode ser reescrito

Algoritmo 5.3.2 — Alocacao de Polos via FCC

Este algoritmo permite a escolha dos autovalor da malha fechada parasistemas com apenas uma variavel de entrada e controlaveis. As matrizesda malha aberta A e b sao os dados iniciais, bem como os autovalor λ∗i ,desejados para a malha fechada.

Passo 1: Calcular a matriz Ua, o polinomio caracterıstico ∆a(s) da malhaaberta e os reais ai, i = 0, 1, . . . n− 1, seus coeficientes.

Passo 2: Obter Q, a partir de suas colunas:

qn = b

qn−1 = Aqn + an−1qn

...

q2 = Aq3 + a2qn

q1 = Aq2 + a1qn

Passo 3: Calcular ∆∗(s) = (s − λ∗1)(s − λ∗2) · · · (s − λ∗n) e obter os reaisa∗i , i = 0, 1, . . . n− 1, seus coeficientes.

Passo 4: Montar f = [a0 − a∗

0 a1 − a∗

1 . . . an−1 − a∗

n−1]

Passo 5: A matriz f = fQ−1 e a realimentacao procurada.

E bem hora de retomar o exemplo (5.3.1) e ataca-lo com as novas ferra-mentas desenvolvidas:

Exemplo 5.3.3 Desejamos alocar os autovalor da planta abaixo em −1:

x =

1 1 00 1 10 0 1

x+

111

u

O polinomio caracterıstico de A pode ser encontrado facilmente:

∆a(s) = (s− 1)3 = s3 − 3s2 + 3s− 1

donde a0 = −1, a1 = 3 e a2 = −3. As formulas de recorrencia fornecem

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q3 = b =

111

q2 = Aq3 + a2q

3 =

−1−1−2

q1 = Aq2 + a1q

3 =

101

donde obtemos Q e sua inversa:

Q =

1 −1 10 −1 11 −2 1

Q−1 =

1 −1 01 0 −11 1 −1

O polinomio caracterıstico desejado para a malha fechada e:

∆∗(s) = (s+ 1)3 = s3 + 3s2 + 3s+ 1

donde a∗0 = 1, a∗1 = 3 e a∗2 = 3. O proximo passo e

f = [a0 − a∗

0 a1 − a∗

1 a2 − a∗

2] = [−2 0 − 6]

Finalmente,

f = fQ−1 = [−8 − 4 6]

Para verificacao das contas:

A+ bf =

1 1 00 1 10 0 1

+

−8 −4 6−8 −4 6−8 −4 6

=

−7 −3 6−8 −3 7−8 −4 7

Os leitores ansiosos para se certificarem da validade do metodo podem— e devem! — terminar o exemplo. Os outros leitores tambem. Apenaspor curiosidade, se efetuassemos a mudanca de bases x = Qx obterıamosas matrizes A = Q−1AQ e b = Q−1b exatamente como no exemplo (5.3.2).Mais uma vez os leitores sao convidados ao trabalho: facam as contas etirem suas conclusoes.

Vimos nesta secao que, sendo < A, b > controlavel, sera possıvel colocaras equacoes dinamicas da malha aberta na Forma Canonica Controlavel, eisto facilitara bastante o problema de se escolher o comportamento dinamicoda malha fechada. A FCC se caracteriza por uma matriz quadrada naforma companheira e por uma matriz coluna cujo unico elemento nao nuloe o ultimo. Uma analise do diagrama de blocos apresentado na secao 4.3.1permite confirmar a afinidade especial existente entre a Forma CanonicaControlavel e a realimentacao de estados. Com efeito, ja no capıtulo an-terior comentavamos que o diagrama da FCC e composto por um bancode integradores em serie de cujo miolo “tudo sai”. O miolo do diagramae composto pelas variaveis de estado, e elas sao levadas para o “fim” dodiagrama, multiplicadas pelos coeficientes do numerador de g(s) e para o

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“comeco” dele, multiplicadas pelos coeficientes do denominador, mas isto eexatamente a ideia de realimentacao de estados, daı a afinidade.

Vimos tambem nesta secao como demonstrar a suficiencia do Teoremada Alocacao de Polos para sistemas controlaveis com uma unica entrada.Para estes sistemas o espaco de estados pode ser decomposto em um unicosubespaco cıclico, do que decorre a simplicidade da livre designacao dosautovalor atraves de realimentacao de estados.

5.3.3 Duas Formulas Uteis

Desenvolveremos nesta secao dois resultados gerais relacionando os para-metros dados da malha aberta, os parametros desejados para a malha fe-chada, e a realimentacao de estados capaz de fazer o servico: as formulasde Bass-Gura e a de Ackerman. Antes, porem, apresentaremos duas conhe-cidas propriedades. A primeira delas e uma identidade matricial e, comotantos outras, vira sem demonstracao; os leitores sao convidados a tentaruma. Deve-se notar que esta identidade vale para matrizes M e N reais,polinomiais ou racionais.

Propriedade 5.3.1 Sendo M e N duas matrizes tais que os produtos MNe NM existem, entao det(I +MN) = det(I +NM).

A segunda propriedade, alem de suas varias possıveis aplicacoes analıti-cas, fornece um metodo muito comodo para o calculo da inversa (sI −A)−1

e tambem do polinomio caracterıstico ∆a(s). Sua utilidade sera comprovadaem breve. O sımbolo tr (M), usado abaixo, denota o traco da matriz M ,ou seja, a soma dos elementos de sua diagonal principal.

Propriedade 5.3.2 Algoritmo de Leverrier

Sendo A uma matriz real (n× n) podemos escrever

(sI −A)−1 =R(s)

∆a(s)

onde ∆a(s) e o polinomio caracterıstico de A e R(s) e uma matriz polinomial(n× n) dados, respectivamente, por:

∆a(s) = sn + an−1sn−1 + · · · a1s+ a0 (5.23)

R(s) = Rn−1sn−1 +Rn−2s

n−2 + · · · R1s+R0 (5.24)

Os coeficientes ai e Ri sao obtidos atraves das equacoes:

Rn−1 = I ; an−1 = −tr (ARn−1)

Rn−2 = ARn−1 + an−1I ; an−2 = −1

2tr (ARn−2)

Rn−3 = ARn−2 + an−2I ; an−3 = −1

3tr (ARn−3)

...

R0 = AR1 + a1I ; a0 = −1

ntr (AR0)

R−1 = AR0 + a0I = ∆a(A) = 0

98

Mais uma vez um resultado sem demonstracao; e mais uma vez a su-gestao de que os leitores se encarreguem dos detalhes. Tentem, leitores; esimples e gratificante. Este resultado e algumas vezes chamado tambemde Algoritmo de Leverrier-Souriau-Faddeev. Os Ri podem ser apre-sentados em forma expandida, como seria imediato verificar a partir dasexpressoes acima:

Rn−1 = I

Rn−2 = A+ an−1I

Rn−3 = A2 + an−1A+ an−2I...

R0 = An−1 + an−1An−2 + · · · a1I

R−1 = An + an−1An−1 + · · · a1A+ a0 = 0

O coeficiente R−1 nao aparece na expansao de R(s), ele deve ser nulo, eserve apenas para se verificar a exatidao dos calculos.

Exemplo 5.3.4 Seja a matriz

−7 −3 6−8 −3 7−8 −4 7

Seguindo os passos do algoritmo temos:

R2 = I a2 = −tr (AR2) = 3

R1 = AR2 + a2I =

−4 −3 6−8 0 7−8 −4 10

a1 = −

1

2tr (AR1) = 3

R0 = AR1 + a1I =

7 −3 −30 −1 18 −4 −3

a0 = −

1

3tr (AR0) = 1

O polinomio caracterıstico obtido e: s3+3s2+3s+1. A matriz polinomialR(s) e a inversa (sI −A)−1 seriam encontradas facilmente.

Voltando ao problema em pauta, seja a planta

Sa

x(t) = Ax(t) + bu(t); x(t0) = x0

cuja dinamica e caracterizada pelo polinomio

∆a(s) = det(sI −A) = sn + an−1sn−1 + · · · a1s+ a0

A realimentacao de estados u(t) = fx(t) + v(t) acarreta um sistema demalha fechada dado por

Sf

x(t) = (A+ bf)x(t) + bv(t); x(t0) = x0

99

com dinamica dada pelo polinomio caracterıstico

∆f (s) = det[sI −A− bf ]

= det

(sI −A)[

I − (sI −A)−1bf]

= det(sI −A) det[

I − (sI −A)−1bf]

= det(sI −A) det[

I − f(sI −A)−1b]

Na ultima passagem foi usada a propriedade 5.3.1, vista acima. Como agrandeza f(sI −A)−1b e escalar podemos simplificar mais:

∆f (s) = det(sI −A)[

1− f(sI −A)−1b]

A diferenca entre os polinomios caracterısticos pode ser obtida:

∆a(s)−∆f (s) = ∆a(s)f(sI −A)−1b (5.25)

Agora entra em cena Leverrier:

∆a(s)−∆f (s) = f∆a(s)(sI −A)−1b

= fR(s)b

= fRn−1bsn−1 + fRn−2bs

n−2 + · · · + fR0b

Lembrando o formato da matriz de controlabilidade da malha aberta

Ua = [b Ab A2b . . . An−1b]

e a definicao dos coeficientes matriciais Ri vista no Algoritmo de Leverrier,podemos exprimir os vetores Rib como:

Rn−1b = b = Ua

10...0

Rn−2b = Ab+ an−1b = Ua

an−1

10...0

...

R0b = An−1b+ an−1An−2b+ · · · a1b = Ua

a1a2...1

100

Voltando a definicao de Va, na equacao (5.10), percebemos que

Rn−1b = UaVaen

Rn−2b = UaVaen−1

...

R0b = UaVae1

onde o vetor ei denota a i-esima coluna da matriz identidade In. Retomandoo fio da meada, a expressao para a diferenca dos polinomios caracterısticosfica:

∆a(s)−∆f (s) = fRn−1bsn−1 + fRn−2bs

n−2 + · · · + fR0b

= f [R0b · · · Rn−2b Rn−1b]

1s...

sn−1

= f [UaVae1 · · · UaVaen−1 UaVaen]

1s...

sn−1

= fUaVa

1s...

sn−1

Sendo sn + a∗n−1sn−1 + · · · a∗1s + a∗0 o polinomio que se deseja impor a

malha fechada, temos

∆a(s)−∆f (s) = (an−1 − a∗

n−1)sn−1 + · · · (a1 − a

∗

1)s+ (a0 − a∗

0)

= (δ − δ∗)

1s...

sn−1

onde os vetores δ e δ∗ sao definidos a partir dos coeficientes ai e a∗

i :

δ = [a0 a1 · · · an−1] e δ∗ = [a∗0 a∗1 · · · a∗

n−1]

Deste ponto e facil concluir que

δ − δ∗ = fUaVa (5.26)

Esta expressao, bastante geral para sistemas com apenas uma entrada,e conhecida como Formula de Bass-Gura. Ela permite, havendo contro-labilidade, calcular a realimentacao necessaria para alocar os autovalores da

101

malha fechada em posicoes arbitrarias. E trivial verificar isto: como Va esempre inversıvel, por definicao, sendo Ua tambem inversıvel teremos

f = (δ − δ∗)(UaVa)−1

Estes fatos podem ser sumarizados no

Algoritmo 5.3.3 — Alocacao de Polos via Bass-Gura

Este algoritmo permite a escolha dos autovalores da malha fechada parasistemas com apenas uma variavel de entrada e controlaveis. As matrizesda malha aberta A e b sao os dados iniciais, bem como os autovalores λ∗i ,desejados para a malha fechada.

Passo 1: Calcular a matriz Ua, o polinomio caracterıstico ∆a(s) da malhaaberta e os reais ai, i = 0, 1, . . . n− 1, seus coeficientes.

Passo 2: Construir a matriz Va de acordo com a equacao (5.10).

Passo 3: Calcular ∆∗(s) = (s − λ∗1)(s − λ∗2) · · · (s − λ∗n) e obter os reaisa∗i , i = 0, 1, . . . n− 1, seus coeficientes.

Passo 4: Montar o vetor δ − δ∗ = [a0 − a∗

0 a1 − a∗

1 · · · an−1 − a∗

n−1].

Passo 5: A matriz f = (δ − δ∗)(UaVa)−1 e a realimentacao procurada.

O leitor atento tera percebido que, embora nao haja qualquer mencaoexplıcita a respeito de mudanca de bases, o metodo esquematizado acima eidentico aos algoritmos de alocacao de autovalores vistos na secao anterior.Com efeito, a matriz que coloca uma dada planta na sua Forma CanonicaControlavel pode ser obtida por Q = UaVa, donde (5.26) proporciona apenasuma demonstracao alternativa para os algoritmos via FCC.

Analisando estes procedimentos percebemos que, para se alocar auto-valor, deve-se conhecer o polinomio caracterıstico a ser imposto a malhafechada, atraves da matriz δ∗, e varios elementos da malha aberta: as ma-trizes Ua e Va e os coeficientes δ. Quando o polinomio caracterıstico ∆a(s) econhecido, a obtencao de Va e δ e direta. Mas nem sempre isto acontece; asvezes a malha aberta e dada apenas pelas matrizes A e b e sera necessariocalcular ∆a(s) antes de usar as formulas. O proximo resultado elimina es-tas necessidades; para estabelece-lo partiremos da formula de Bass-Gura eprocuraremos exprimir os coeficientes indesejados ai em funcao de outrosparametros. Como UaVa = Q, a matriz que coloca a malha aberta na FCC(5.7), a expressao basica fica

f = [(a0 − a∗

0) (a1 − a∗

1) · · · (an−1 − a∗

n−1)]Q−1

=

(a0 − a∗

0)[1 0 · · · 0] + · · · + (an−1 − a∗

n−1)[0 · · · 0 1]

Q−1

A matriz Ac = Q−1AQ apresenta-se na forma companheira, e sua estru-tura particular conduz as equacoes abaixo. A verificacao da validade delas

102

e deixada a cargo dos leitores diligentes (como sempre . . . ).

eT1 = [1 0 0 · · · 0] = [1 0 0 · · · 0]I

eT2 = [0 1 0 · · · 0] = [1 0 0 · · · 0]Ac

eT3 = [0 0 1 · · · 0] = [1 0 0 · · · 0]A2c

...

eTn = [0 0 0 · · · 1] = [1 0 0 · · · 0]An−1c

onde o sımbolo eTi denota a i-esima linha da matriz identidade de ordem n.Usando estas ultimas expressoes na formula imediatamente anterior temos

f = eT1

(a0 − a∗

0) + (a1 − a∗

1)Ac + · · · + (an−1 − a∗

n−1)An−1c

Q−1

= eT1Q−1

(a0 − a∗

0) + (a1 − a∗

1)A+ · · · + (an−1 − a∗

n−1)An−1

Nesta passagem usamos a identidade AicQ

−1 = Q−1Ai, decorrente dadefinicao de Ac. Mas Q = UaVa, donde

f = eT1 V−1a U−1

a

a0 + a1A+ · · · + an−1An−1 − [a∗0 + · · · + a∗n−1A

n−1]

= eT1 V−1a U−1

a

∆(A)−An−1 − [∆∗(A)−An−1]

Consultando (5.10), a definicao de Va, e calculando a sua inversa perce-berıamos que ela tambem e uma matriz triangular, com o mesmo formato.Lembrando ainda que, pelo teorema de Cayley-Hamilton, ∆(A) = 0 pode-mos concluir que

f = eTnU−1a −∆

∗(A)

= −eTnU−1a ∆∗(A) = −[0 · · · 0 1]U−1

a ∆∗(A)

Esta e a Formula de Ackerman para a alocacao de autovalores. Conformeo prometido ela fornece uma realimentacao de estados f que prescinde dautilizacao do polinomio caracterıstico da malha aberta. O papel da contro-labilidade fica explıcito no termo U−1

a . Em resumo:

Algoritmo 5.3.4 — Alocacao de Polos via Ackerman

Este algoritmo permite a escolha dos autovalores da malha fechada parasistemas com apenas uma variavel de entrada e controlaveis. As matrizesda malha aberta A e b sao os dados iniciais, bem como o polinomio carac-terıstico desejado para a malha fechada ∆∗(s).

Passo 1: Calcular a matriz Ua, e a sua inversa.

Passo 2: Calcular ∆∗(A)

Passo 3: A matriz f = −[0 · · · 0 1]U−1a ∆∗(A) e a realimentacao procu-

rada.

103

Hora boa para um exemplo. O qual, obviamente, sera o mesmo ja vistoantes para os outro metodos.

Exemplo 5.3.5 Desejamos alocar os autovalores da planta abaixo em −1:

x =

1 1 00 1 10 0 1

x+

111

u

A matriz de controlabilidade da malha aberta e sua inversa sao:

Ua =

1 2 41 2 31 1 1

U−1

a =

1 −2 2−2 3 −11 −1 0

O polinomio caracterıstico desejado para a malha fechada e: ∆∗(s) =(s+ 1)3 = s3 + 3s2 + 3s+ 1 donde obtemos

∆∗(A) = (A+ I)3 =

8 12 60 8 120 0 8

Finalmente,

f = − [0 0 1]U−1a ∆∗(A) = [−8 − 4 6]

como era de se esperar.

5.3.4 Comentarios

Ha outras maneiras de se alocar os autovalores de sistemas com apenas umavariavel de entrada, como veremos nas proximas secoes, ao tratar do casomultivariavel, pois os resultados sempre podem ser particularizados paraentradas escalares. Os metodos apresentados acima, entretanto, sao quasesempre os menos trabalhosos, devendo estar entre os preferidos. E entre eles,qual o mais comodo? Em primeira analise Ackerman poderia ser indicado,pois estamos desobrigados de calcular ∆a(s) e Va. No entanto, na maioriadas situacoes, conhecemos os autovalores da planta, alem das matrizes A eb de uma sua realizacao. Consequentemente, a obtencao do seu polinomiocaracterıstico e direta. Quando este nao for o caso, algoritmos como o deLeverrier fazem o servico de maneira rapida e segura. Desta maneira, osmetodos baseados na FCC ou na formula de Bass-Gura devem fazer parte dopareo, e fica difıcil eleger o melhor metodo. Quase certamente, preferenciasindividuais ditarao a escolha final.

5.4 Sistemas Com Varias Entradas

A procura de realimentacoes de estados capazes de alocar os autovalores deplantas com mais de uma variavel de entrada sera tratada a partir de agora.

104

Como ja mencionado anteriormente, alguns destes algoritmos se prestam aparticularizacoes para o caso monoentrada. Deve-se lembrar ainda que ademonstracao do teorema 5.2.2 esta incompleta, pois foi feita apenas parao caso de entradas escalares. Permanecera incompleta por pouco tempo.

Pode-se atacar o problema usando a forca bruta, como no caso mono:usando uma F geral impomos a igualdade do polinomio caracterıstico deA+BF ao polinomio caracterıstico desejado ∆∗(s) e equacionamos as res-tricoes em termos dos elementos fij. No caso monoentrada este metodo eradesprezado por ser muito trabalhoso, mas a solucao do conjunto de equacoes,quando existia, era unica. Agora as coisas se complicam, pois havera nequacoes e mn incognitas, e o conjunto de equacoes pode ser indeterminadoe apresentar mais de uma solucao. A unica finalidade de mencionar estemetodo aqui e ilustrar o fato de o caso multientrada poder apresentar variassolucoes F capazes de alocar autovalores.

Os metodos originais de se demonstrar que tambem neste caso multi-entrada a controlabilidade acarreta livre arbıtrio na escolha da dinamicada malha fechada envolvem formas especiais, onde as matrizes A e B seencontram decompostas em blocos particulares. Os metodos mais recentesprocuram adaptar o problema ao caso escalar, cujos resultados sao conheci-dos e — vide secao anterior — relativamente simples, ou entao usar equacoesmatriciais.

Na proxima secao comentaremos o uso de formas especiais e canonicas.Veremos em seguida um lema devido a Heyman, onde um artifıcio permitecontrolar o sistema com apenas uma das variaveis de entrada. Alguns resul-tados genericos virao depois, para mostrar que e relativamente facil trans-formar um caso multientrada em monoentrada. Apresentaremos, no final,resultados diretos, que resolvem o problema sem o auxılio do caso mono. Ocapıtulo se encerra com consideracoes sobre outras propriedades tais comoestabilizabilidade e detetabilidade, e com comentarios.

5.4.1 Formas Especiais e Canonicas

Exemplos iniciais serao muito uteis para um bom entendimento dos meca-nismos internos que possibilitam a resolucao do problema.

Exemplo 5.4.1 Seja o sistema dado por

x =

1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 0 00 0 0 0 10 0 0 0 0

x+

1 01 01 00 00 1

u

O calculo da matriz de controlabilidade Ua revelaria que este sistema econtrolavel. Seus autovalores podem ser encontrados facilmente, devido a es-trutura diagonal por blocos da matriz A: λ(A) = 1, 1, 1, 0, 0. Esta mesmaestrutura permite que o estado x seja decomposto nas partes xI , compre-endendo suas tres primeiras componentes, e xII , com as duas ultimas. A

105

equacao dinamica acima se reduz a duas:

xI =

1 1 00 1 10 0 1

xI +

1 01 01 0

u

xII =

[

0 10 0

]

xII +

[

0 00 1

]

u

Estes subsistemas tem uma particularidade interessante: uma das colu-nas de suas matrizes B e nula. Isto significa que o estado de cada um delese controlado por apenas uma componente da entrada. Seria facil verificarque xI e controlavel por u1, a primeira componente de u, e xII por u2. Atarefa de impor autovalores a estes subsistemas por meio de realimentacoesdos estados parciais fica trivial pois o primeiro deles ja foi analisado variasvezes (exemplo 5.3.1 e outros), e o segundo subsistema ja esta na formacanonica controlavel. Supondo que queremos colocar todos os autovaloresem −1, basta usar

u1 = [−8 − 4 6]xI e u2 = [−1 − 2] xII

A partir deste ponto e imediato encontrar a matriz F que resolve o pro-blema para o sistema original:

F =

[

−8 −4 6 0 00 0 0 −1 −2

]

As estruturas particulares de A e de B permitiram que este exemplofosse reduzido a dois casos monoentradas, cada um deles controlavel pela suaunica variavel de entrada e com dimensao menor que a dimensao original dosistema. O fato de A ser diagonal por blocos teve um papel importante nesteexemplo, mas nao fundamental. Veremos agora que esta particular estruturapode ser dispensada sem prejuızos para o desdobramento em subproblemasmais simples.

Exemplo 5.4.2 Seja o sistema dado por

x =

0 1 0 0 00 0 1 0 01 1 1 9 80 0 0 0 17 6 5 2 2

x+

0 00 01 00 00 1

u

O calculo de Ua revelaria que este sistema tambem e controlavel. Amatriz A nao e mais diagonal por blocos, pois ha elementos nao nulos emposicoes estrategicas. Uma analise cuidadosa revela que estes impecilhospodem ser retirados por meio de uma realimentacao de estados inicial. Os

106

leitores sao convidados a refletir sobre o papel de uma lei de controle u =F0x+ v com

F0 =

[

0 0 0 −9 −8−7 −6 −5 0 0

]

Viram so? O resultado e uma matriz A+BF0 “perfeitinha” que torna oresto do problema trivial. Supondo que queremos novamente os autovaloresda malha fechada em −1, bastaria resolver dois problemas monoentra-das. Compondo estas duas solucoes terıamos uma segunda realimentacaoF1. Somando-a com a inicial obtemos a solucao F :

F = F0 + F1 =

[

−2 −3 −4 −9 −8−7 −6 −5 −3 −4

]

A conclusao destes exemplos e que a estrutura de alguns sistemas podeser proveitosamente explorada para resolver o problema de realimentacao deestados no caso multientrada. A essencia do truque consiste em decompor osistema original em m subsistemas, cada um deles com dimensao menor quen e controlavel por apenas uma das componentes da entrada u. As solucoespara cada subsistema sao justapostas em uma unica matriz. Os graus deliberdade restantes nesta matriz sao utilizados para garantir a estruturadiagonal por blocos. Wonham(1967) foi, aparentemente, o primeiro a provarque se um dado sistema e controlavel, existe uma base no espaco de estadosna qual as matrizes A e B apresentam todos os requisitos necessarios pararesolver o problema da alocacao dos autovalores. Alem do interesse historicodevido a seu pioneirismo, este metodo tem uma importancia teorica muitogrande, pois permite desvendar e detalhar a estrutura existente em um parcontrolavel de matrizes.

Extraindo Colunas Linearmente Independentes

Supondo que o sistema em questao e controlavel, sua matriz de controlabi-lidade Ua tera posto n, ou seja, e possıvel selecionar n colunas linearmenteindependentes dentre as suas mn colunas. A partir destas colunas se montaa matriz de mudanca de bases que facilita o trabalho de escolha dos auto-valores. Mas a escolha destas colunas nao e unica, e isto faz com que hajavarias possıveis solucoes para o problema. Passamos agora a analisar doismetodos basicos para extrair colunas de Ua. Antes porem, lembremos que,sendo B = [b1 b2 . . . bm], onde bi representa a i-esima coluna, a matriz decontrolabilidade sera

Ua = [b1 b2 . . . bm Ab1 Ab2 . . . Abm . . . An−1b1 An−1b2 . . . An−1bm]

Escolha Sequencial ou Direta

Como o proprio nome diz, analisamos as colunas de Ua em sequencia,comecando de b1 e avancando para a direita em direcao a An−1bm. Neste

107

processo, sempre que uma dada coluna e linearmente dependente das co-lunas anteriores ela e descartada. O processo termina quando n colunasindependentes forem encontradas.

Exemplo 5.4.3 Seja o sistema dado por

x =

3 2 −1 1 −1−2 −1 1 −1 13 2 −1 1 −11 1 0 1 −1−1 −1 0 0 1

x+

1 −10 11 00 00 0

u

A matriz A tem dois autovalores nulos e tres iguais a 1. O calculo damatriz de controlabilidade leva a

Ua = [b1 b2 Ab1 Ab2 A2b1 A2b2 A3b1 A3b2 A4b1 A4b2]

Ua =

1 −1 2 −1 4 0 7 0 11 00 1 −1 1 −3 0 −6 0 −10 01 0 2 −1 4 0 7 0 11 00 0 1 0 3 0 6 0 10 00 0 −1 0 −2 0 −3 0 −4 0

Normalmente as colunas de B sao independentes, e o processo de selecaocomeca mesmo com Ab1, que no nosso caso entra, ou seja, forma com b1

e b2 um trio de vetores independentes. A quarta coluna, Ab2, tambem sequalifica, como seria facil verificar; o mesmo acontece com a quinta, A2b1.Assim, as colunas escolhidas pelo metodo sequencial sao b1 b2 Ab1 Ab2 A2b1.

Ometodo sequencial de escolha de colunas pode ser usado para colocar asmatrizes do sistema em uma base comoda para a alocacao de autovalores.Para isto reordenarıamos as colunas encontradas em cadeias associadas acada uma das m colunas de B. A primeira cadeia seria b1 Ab1 A2b1 . . . ; asegunda seria b2 Ab2 A2b2 . . . e assim por diante. Colocando estas cadeiaslado a lado se obtem a matriz de mudanca de base.

Para o exemplo anterior ha duas cadeias: b1 Ab1 A2b1, com tres vetores,e b2 Ab2, com apenas dois. A matriz

Q = [b1 Ab1 A2b1 b2 Ab2]

e a procurada transformacao de equivalencia.Este metodo e de aplicacao simples, e os leitores sao convidados a termi-

nar o exemplo e analisar as matrizes na nova base. Apesar desta facilidade,ele produz uma forma Especial e nao uma forma Canonica. Qual a di-ferenca? Vamos supor que as matrizes A e B sao equivalente a A e B. Seo procedimento acima for aplicado a estas matrizes “chapeladas” encontra-remos, na nova base, matrizes diferentes. Tentem, leitores! Outro aspecto:as matrizes obtidas facilitam o problema de escolher autovalores, mas naotanto, ha coisas mais comodas.

108

Escolha Intercalada ou Reordenada

O primeiro passo consiste em reordenar as colunas de Ua, comecandocom b1 Ab1 . . . An−1b1 depois com b2 e sua cadeia. Apos esta troca deordem comeca o processo de selecao, pela esquerda, e descartando colunasque dependam das anteriores. Como antes, o processo termina quando ncolunas independentes forem encontradas.

Exemplo 5.4.4 Seja o sistema anterior, dado por

x =

3 2 −1 1 −1−2 −1 1 −1 13 2 −1 1 −11 1 0 1 −1−1 −1 0 0 1

x+

1 −10 11 00 00 0

u

O calculo da matriz de controlabilidade leva ao mesmo resultado doexemplo anterior. Trocando a ordem das colunas temos

U ia = [b1 Ab1 A2b1 A3b1 A4b1 b2 Ab2 A2b2 A3b2 A4b2]

U ia =

1 2 4 7 11 −1 −1 0 0 00 −1 −3 −6 −10 1 1 0 0 01 2 4 7 11 0 −1 0 0 00 1 3 6 10 0 0 0 0 00 −1 −2 −3 −4 0 0 0 0 0

onde as 5 primeiras colunas se originam de b1, e as 5 ultimas de b2. As tresprimeiras colunas sao linearmente independentes e seriam escolhidas peloprocesso; a quarta e a quinta colunas dependem das tres primeiras, mas asexta e a setima nao e a selecao final e b1 Ab1 A2b1 b2 A2b2, identica a doexemplo anterior. E bom frizar que isto nao ocorre sempre!

O metodo intercalado de escolha de colunas pode ser usado para colocaras matrizes do sistema em uma base comoda para a alocacao de autovalores.Para isto usamos as colunas na ordem em que foram obtidas, e

Q = [b1 Ab1 A2b1 b2 Ab2]

e a procurada transformacao de equivalencia.As mesmıssimas observacoes feitas para o metodo sequencial devem ser

feitas neste ponto. Algo melhor que uma forma especial, uma forma real-mente canonica e que conduza a resultados identicos independentementedo ponto de partida, e a nossa proxima parada.

Forma Canonica do Controlador

109

Deve-se, em primeiro lugar, extrair n colunas linearmente independentesda matiz de controlabilidade Ua usando o metodo direto. Tambem sepoderia usar o metodo intercalado, mas os procedimentos ficariam maistrabalhosos. Para evitar notacoes e formalismos pesados, com toneladasde ındices e sub-ındices abstrusos, ilustraremos o metodo por meio de umexemplo, nao por acaso o mesmo que tem sido usado ate agora.

Exemplo 5.4.5 Seja o sistema anterior, dado por

x =

3 2 −1 1 −1−2 −1 1 −1 13 2 −1 1 −11 1 0 1 −1−1 −1 0 0 1

x+

1 −10 11 00 00 0

u

O metodo sequencial escolheria as colunas b1 b2 Ab1 Ab2 A2b1, comovimos. Reordenando-as obtemos as cadeias b1 Ab1 A2b1 e b2 Ab2. A matrizobtida pela justaposicao dessas cadeias e chamada agora de T

T = [b1 Ab1 A2b1 b2 Ab2]

No proximo passo cuidaremos dos elementos seguintes em cada uma dascadeias: A3b1 para a primeira cadeia e A2b2 para a segunda. Cada um destesvetores e expresso como uma combinacao linear dos vetores basicos:

A3b1 = α1b1 + β1Ab

1 + γ1A2b1 + δ1b

2 + ε1Ab2

eA2b2 = α2b

1 + β2Ab1 + γ2A

2b1 + δ2b2 + ε2Ab

2

Uma maneira sistematica para obter estes coeficientes e

α1

β1γ1δ1ε1

= T−1A3b1 e

α2

β2γ2δ2ǫ2

= T−1A2b2

Para o nosso caso temos

A3b1 =

7−676−3

= b1 − 3Ab1 + 3A2b1 + 0b2 + 0Ab2

que forma a chamada expressao expandida para a cadeia 1. Para aoutra cadeia

A2b2 =

00000

= 0b1 + 0Ab1 + 0A2b1 + 0b2 + 0Ab2

110

As expressoes expandidas sao agora reescritas, com todas as potenciasnao nulas de A no lado esquerdo:

A3b1 − 3A2b1 + 3Ab1 − 0Ab2 = b1 + 0b2

eA2b2 − 0A2b1 − 0Ab2 − 0Ab1 = 0b1 + 0b2

Na expressao para a cadeia 1 pode-se colocar A em evidencia, pela es-querda, claro; os elementos com coeficientes nulos passam a ser ignorados.

A(

A2b1 − 3Ab1 + 3b1)

= b1

ou, equivalentemente

Aξ13 = b1 onde ξ13 = A2b1 − 3Ab1 + 3b1

Novamente as potencias nao nulas de A sao isoladas

A2b1 − 3Ab1 = ξ13 − 3b1

e um novo batismo e feito, apos fatorar pela esquerda o primeiro membro

Aξ12 = ξ13 − 3b1 onde ξ12 = Ab1 − 3b1

O ultimo passo para esta cadeia e claro:

Ab1 = ξ12 + 3b1 donde ξ11 = b1

A segunda cadeia, para este exemplo, e trivialmente simples: A2b2 = 0,donde A(Ab2) = 0 donde

ξ22 = Ab2 e ξ21 = b2

Os ξij, em ordem crescente da soma i+ j para cada cadeia, dao origema matriz de mudanca de bases:

Q = [ξ11 ξ12 ξ13 ξ21 ξ22]

Para os valores numericos deste exemplo temos

1 −1 1 −1 −10 −1 0 1 11 −1 1 0 −10 1 0 0 00 −1 1 0 0

A transformacao de similaridade x = Qx levaria a

˙x =

3 −3 1 0 01 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 0

x+

1 00 00 00 10 0

u

cuja estrutura facilita bastante o problema de alocacao de autovalores, con-forme o prometido.

111

Os dados numericos do exemplo anterior permitem uma forma canonicamuito particular, pois a matriz A e diagonal por blocos. Nem sempre istoacontecera.

Analisando os blocos nao nulos de A percebemos que eles se apresentamem uma forma companheira diferente da conhecida: a diagonal com elemen-tos unitarios e a inferior (e nao a superior) e a linha com os coeficientesdo polinomio caracterıstico e a primeira (e nao a ultima). Estas ligeirasmudancas acontecem tambem nas linhas de B, onde os elementos nao nulosocupam a primeira linha de cada bloco, e nao a ultima. Tais diferencas saosuperficiais, a facilidade de alocar autovalores permanece intacta.

Os leitores sao convidados a reordenar as colunas de Q de modo que, emcada cadeia, a soma dos ındices i+ j seja decrescente:

Q = [ξ13 ξ12 ξ11 ξ22 ξ21]

Que acontecera? Outro exemplo, para ilustrar aspectos adicionais.

Exemplo 5.4.6 Seja o sistema dado por

x =

−5 −4 −7 2 −71 1 0 5 11 0 1 −4 10 −1 1 −5 00 0 1 −1 0

x+

−1 0−1 −11 11 10 0

u

O metodo sequencial, como os leitores certamente verificarao, escolhe-ria as colunas b1 b2 Ab1 Ab2 A2b1. Reordenando-as obtemos as cadeiasb1 Ab1 A2b1 e b2 Ab2. A matriz T obtida pela justaposicao dessas cadeias e

T = [b1 Ab1 A2b1 b2 Ab2] =

−1 4 −10 0 −1−1 3 −8 −1 41 −4 12 1 −31 −3 8 1 −30 0 −1 0 0

No proximo passo descreveremos os vetores A3b1 e A2b2 como combina-coes lineares dos vetores basicos:

A3b1 =

2121−31−20

4

= −2b1 − 5Ab1 − 4A2b1 + 2b2 +Ab2

que e a expressao expandida para a cadeia 1. Para a outra cadeia:

A2b2 =

4−12

880

= 0b1 + 0Ab1 + 0A2b1 − 4b2 − 4Ab2

112

As expressoes expandidas sao agora reescritas, com todas as potenciasnao nulas de A no lado esquerdo:

A3b1 + 4A2b1 + 5Ab1 −Ab2 = −2b1 + 2b2

eA2b2 + 4Ab2 = −4b2

Na expressao para a cadeia 1 pode-se colocar A em evidencia.

A(

A2b1 + 4Ab1 + 5b1 − b2)

= −2b1 + 2b2

ou, equivalentemente

Aξ13 = −2b1 + 2b2 onde ξ13 = A2b1 + 4Ab1 + 5b1 − b2

Novamente as potencias nao nulas de A sao isoladas

A2b1 + 4Ab1 = ξ13 − 5b1 + b2

e outro batismo e feito

Aξ12 = ξ13 − 5b1 + b2 onde ξ12 = Ab1 + 4b1

O ultimo passo para esta cadeia e Ab1 = ξ12 − 4b1 donde ξ11 = b1. Asegunda cadeia fica

A(

Ab2 + 4b2)

= −4b2 donde ξ22 = Ab2 + 4b2

e, finalmente, Ab2 = ξ22 − 4b2 donde ξ21 = b2.Os ξij, em ordem crescente da soma i+ j para cada cadeia, dao origem

a matriz de mudanca de bases:

Q = [ξ11 ξ12 ξ13 ξ21 ξ22] =

−1 0 1 0 −1−1 −1 0 −1 01 0 0 1 11 1 0 1 10 0 −1 0 0

Na nova base:

˙x =

−4 −5 −2 0 01 0 0 0 00 1 0 0 00 1 2 −4 −40 0 0 1 0

x+

1 00 00 00 10 0

u

A estrutura e agora “apenas” triangular por blocos, mas os procedimentospara se alocar autovalores continuam simples e diretos, como continuariamsempre, pois esta forma canonica serve exatamente para isto!

113

5.4.2 Lema de Heyman

Este metodo utilizara uma realimentacao de estados preliminar para garantira controlabilidade da malha aberta por apenas uma das componentes daentrada. Sendo B =

[b1 b2 . . . bm

], a matriz de controlabilidade sera

Ua =[

b1 b2 . . . bm Ab1 Ab2 . . . Abm . . . An−1b1 . . . An−1bm]

Se existir uma coluna bi em B tal que[bi Abi . . . An−1bi

]tenha posto

completo (= n), entao a malha aberta sera controlavel apenas pela com-ponente ui da entrada, podendo as restantes se anular: nao ha necessidadedelas e poderemos usar as tecnicas ja vistas para o caso monoentrada. Esco-lherıamos f tal que λ(A+ bf) = λ∗ por qualquer um dos metodos ja vistospara o caso monoentrada, e a solucao para o problema com varias entradasseria uma matriz F (m× n) onde a unica linha nao nula e a i-esima:

F =

0...f0...0

O proximo resultado, conhecido como Lema de Heyman, trata dos ca-sos onde esta situacao simplificadora nao e encontrada e precisamos de umesforco conjunto de todas as componentes da entrada u para controlar osistema.

Teorema 5.4.1 Sendo o sistema de malha aberta < A,B > controlavel eB =

[b1 b2 . . . bm

]entao, para todo i = 1, 2, . . . m com bi 6= 0 existe Fi tal

que o par < A+BFi, bi > e controlavel.

Esta e mais uma das proezas da realimentacao de estados. Por meio delapodemos fazer um sistema ser controlavel por apenas uma componente daentrada. Se ha controlabilidade, ou seja, se, usando a entrada, temos acessototal ao espaco de estados, poderemos modificar-lhe a estrutura de tal ma-neira que apenas uma parte mınima da entrada original seja suficiente paracontinuar influenciando completamente o espaco de estados rearranjado! Aoinves de uma prova completa do lema mostraremos apenas como encontraruma matriz Fi com as caracterısticas desejadas. Para isso, seja a matriz decontrolabilidade, reescrita apos um reordenamento de suas colunas:

Ua =[

b1 Ab1 . . . An−1b1 b2 . . . An−1b2 b3 . . . An−1b3]

onde estamos considerando m = 3 por comodidade; isto nao afeta a genera-lidade do metodo. Sendo o sistema controlavel, podemos extrair de Ua umamatriz Q(n× n), nao singular, da seguinte maneira:

Q =[

b1 Ab1 . . . Aν1−1b1 b2 . . . Aν2−1b2 b3 . . . Aν3−1b3]

114

com os inteiros νi escolhidos de modo a termos ν1+ν2+ν3 = n. Notemos queesta e apenas uma possıvel escolha de n colunas linearmente independentesda matriz Ua. Seja a matriz S(m×n) com colunas nulas exceto as ν1-esima,(ν1 + ν2)-esima etc, que serao substituıdas pelos vetores e2, e3, etc.

S = [0 0 . . . e2 0 . . . e3 0 . . . 0]

onde o vetor ei e a i-esima coluna da matriz identidade (m ×m). UsandoF1 = SQ−1 mostrarıamos que < A + BF1, b

1 > e controlavel, exatamentecomo desejavamos. Neste arrazoado usamos uma realimentacao que torna osistema controlavel pela primeira componente da entrada (primeira colunade B); nao ha perda de generalidade nisto, visto que podemos alterar avontade a ordem das colunas de B. Ja estamos em condicoes de terminar ademonstracao da suficiencia do teorema 5.2.2, da alocacao dos autovalores:sendo < A,B > controlavel escolhemos, a partir do lema anterior, umamatriz F 1, tal que com u(t) = F 1x(t) +w(t) tenhamos o sistema

x(t) = (A+BF 1)x(t) +Bw(t)

controlavel pela primeira componente de w (primeira coluna de B). Agoraescolhemos w(t) = Mx(t) + v(t) onde M(m × n) tem linhas nulas exceto aprimeira:

M =

m1

0...0

Apos esta segunda realimentacao ficamos com

x(t) = (A+BF 1 +BM)x(t) +Bv(t)

Como BM = b1m1 e < A + BF1, b1 > e controlavel por construcao,

os autovalores deste ultimo sistema podem ser livremente designados porescolha de m1. Para o sistema original devemos usar a lei de controle u(t) =Fx(t) + v(t) com F = F1 +M.

Exemplo 5.4.7 Seja o sistema dado por

x =

3 2 −1 1 −1−2 −1 1 −1 13 2 −1 1 −11 1 0 1 −1−1 −1 0 0 1

x+

1 −10 11 00 00 0

u

O calculo da matriz de controlabilidade, com as colunas reordenadas levaa

Ua =[

b1 Ab1 A2b1 A3b1 A4b1 b2 Ab2 A2b2 A3b2 A4b2]

115

Ua =

1 2 4 7 11 −1 −1 0 0 00 −1 −3 −6 −10 1 1 0 0 01 2 4 7 11 0 −1 0 0 00 1 3 6 10 0 0 0 0 00 −1 −2 −3 4 0 0 0 0 0

onde as 5 primeiras colunas se originam de b1, e as 5 ultimas de b2. Oposto desta matriz e completo, mas no entanto esta controlabilidade requeruma cooperacao entre as duas componentes do vetor de controle u, pois as5 primeiras colunas de Ua sao linearmente dependentes, assim como as 5ultimas. Verificarıamos que ν1 = 3 e ν2 = 2, apos o que poderıamos calcularQ e S, obtendo

Q =

1 2 4 −1 −10 −1 −3 1 11 2 4 0 −10 1 3 0 00 −1 −2 0 0

e S =

[

0 0 0 0 00 0 1 0 0

]

A aplicacao da formula leva a realimentacao preliminar:

F1 = SQ−1 =

[

0 0 0 0 00 0 0 1 1

]

O leitor interessado verificaria que a matriz

A+BF1 =

3 2 −1 0 −2−2 −1 1 0 23 2 −1 1 −11 1 0 1 −1−1 −1 0 0 1

e a primeira coluna de B formam um par controlavel. E interessante notarque, neste exemplo, os autovalores de A+BF1 sao identicos aos de A.

5.5 Resultados Genericos

Uma propriedade e chamada de generica quando acontece “quase sempre”.A invertibilidade de uma matriz quadrada, por exemplo, e uma propriedadegenerica. Isto quer dizer que uma matriz quadrada tomada ao acaso seraquase certamente inversıvel. Um detalhamento mais rigoroso destas ideiasnao sera visto nestas linhas, ficaremos apenas com a ideia intuitiva. Por estemotivo, alguns resultados que poderiam ser criteriosamente estabelecidosserao apresentados como fatos.

Fato 5.5.1 Dada uma matriz quadrada A qualquer, ela tera “quase sempre”autovalores distintos.

116

Mas se os autovalores de uma matriz A sao distintos, ela e cıclica e, pordefinicao, havera um vetor g, chamado gerador, tal que os vetores

g, Ag, . . . An−1g

sao linearmente independentes. Este e uma conceito matematico conhecido,mas as conexoes com controlabilidade saltam a vista. Com efeito, se a matrizA de um dado sistema < A,B > e cıclica, e se uma combinacao linear dascolunas de B for um gerador, entao o sistema sera controlavel por apenasuma variavel de entrada!

Fato 5.5.2 Sendo A uma matriz quadrada cıclica, quase todo vetor v ∈ IRn

sera um gerador.

E facil entender isto. Se A e cıclica, apenas os autovetores nao saogeradores. Assim, sendo A cıclica, quase qualquer vetor e um gerador, e poristo, quase qualquer combinacao linear das colunas de B sera um gerador,desde que as colunas de B nao sejam autovetores. De maneira mais completatemos

Teorema 5.5.1 Sendo < A,B > um sistema controlavel com A cıclica,e sendo b = α1b

1 + α2b2 + . . . αmb

m uma combinacao linear qualquer dascolunas de B, entao < A, b > sera quase certamente controlavel.

Na secao anterior toda a enfase era concentrada na busca de uma reali-mentacao de estados preliminar que fizesse com que um sistema controlavelpelo esforco conjunto de todas as componentes da entrada passasse a se-lopela acao individual de apenas uma delas. Os resultados desta secao mos-tram que nao e necessario tanto alarde, pois esses objetivos sao na realidadegenericos, isto e, acontecem quase sempre.

Para sistematizar o procedimento, considere uma planta controlavel, comA cıclica, e seja u0 um vetor escolhido ao acaso em IRm. E claro que Bu0 = brepresenta uma combinacao linear das colunas de B. O teorema acimagarante que < A, b > sera controlavel, quase certamente. Se nao o for, umaoutra escolha aleatoria de u0 consertara as coisas. Usando a teoria do casomonoentrada escolherıamos f tal que A+bf tivesse o espectro desejado. MasA + bf = A + Bu0f , e assim, a solucao procurada para o sistema original< A,B > sera F = u0f . Resta considerar o caso de A nao ser cıclica. Antesdisso e bom relembrar que as matrizes quadradas sao cıclicas de maneiragenerica. Se uma dada A nao e cıclica isto pode ser corrigido facilmente:

Teorema 5.5.2 Sendo < A,B > controlavel, para quase toda F os autova-lores de A+BF sao distintos.

Mas autovalores distintos significam que a matriz e cıclica. No nossocontexto isto quer dizer que se A nao for cıclica, uma realimentacao deestados preliminar se faz necessaria. Esta realimentacao pode ser escolhidaao acaso.

117

Exemplo 5.5.1 Considere o sistema

x =

0 0 00 0 10 0 0

x+

1 00 00 1

; y =

[

1 0 −10 1 −1

]

Este sistema e controlavel, mas no entanto nao existe u0 tal que A eBu0 = b formem um par controlavel! A falta de ciclicidade de A e a res-ponsavel por este fato. Seja uma realimentacao de estados qualquer, porexemplo

F0 =

[

1 0 10 1 0

]

A malha fechada passa a ser representada por

A+BF0 =

0 0 00 0 10 0 0

+

1 0 10 0 00 1 0

=

1 0 10 0 10 1 0

Esta matriz e cıclica. A segunda coluna de B e um gerador, como podeser verificado, e isto garante a controlabilidade por uma combinacao lineardas colunas de B.

Podemos resumir estes resultados no

Algoritmo 5.5.1 — Alocacao via Escolhas Aleatorias

Este algoritmo permite a designacao dos autovalores da malha fechadapara sistemas controlaveis. As matrizes da malha aberta A e B sao os dadosiniciais.

Passo 1: Se A e cıclica, escolha u0 ∈ IRm ao acaso.

Passo 2: Faca Bu0 = b.

Passo 3: Se A e b forem controlaveis encontre a solucao f usando ummetodo do caso mono.

Passo 4: A solucao global sera F = u0f .

Passo 5: Se A e b nao forem controlaveis retorne ao passo 1.

Passo 6: Se A nao e cıclica, escolha F0(m× n) ao acaso.

Passo 7: Se A+BF0 e cıclica va ao passo 1.

Passo 8: Se A+BF0 nao e cıclica va ao passo 6.

118

5.6 Metodo Matricial

Supondo controlabilidade da malha aberta, seja M (n × n) com espectroidentico ao que desejamos impor a malha fechada. Isto quer dizer que

A+BF = XMX−1

onde F e a matriz procurada e X representa uma mudanca de bases. Aequacao acima pode ser trabalhada:

AX +BFX = XM

AX −XM = −BFX

Ha metodos para se resolver equacoes matriciais como a acima. Istosugere um algoritmo para o problema de alocacao de autovalores:

Algoritmo 5.6.1 — Alocacao via Metodo Matricial

Este algoritmo permite a escolha dos autovalores da malha fechada parasistemas controlaveis. As matrizes da malha aberta A e B sao os dadosiniciais.

Passo 1: Escolha M (n× n) tal que λ(M) ∩ λ(A) = φ.

Passo 2: Escolha N (m× n) tal que < M,N > e observavel.

Passo 3: Encontre X (n× n) tal que AX −XM = −BN

Passo 4: Se X e inversıvel, F = NX−1 e tal que λ(A+ BF ) = λ(M). SeX nao e inversıvel o procedimento deve ser repetido.

Os dois primeiros itens sao necessarios para que a equacao matricial doterceiro tenha uma solucao X unica. Deste modo, se quisermos impor amalha fechada um espectro que deixa inalterados alguns dos autovalores damalha aberta, podera haver problemas na unicidade das solucoes da equacaomatricial.

Este metodo pode ser aplicado para sistemas com apenas uma entrada.

119

5.7 Metodo dos Autovetores

5.8 Efeito sobre os Zeros

5.9 Injecao de Saıda

5.10 Estabilizabilidade e Detetabilidade

5.11 Comentarios, Conclusoes e Referencias

5.12 Exercıcios

1. Para o sistema a seguir considere e1 = 20i1, e2 = 50i2, R1/L1 = 10,R2/L2 = 1, R1 = 5, R2 = 10.

e1(t)

6

G eg(t)

6RfLf

if (t) ?

Ra

La

Mcampo

?ia(t)

carga

J,Ccte.

(a) Tomando como variaveis de estado x1 = i1 e x2 = i2, como saıday = e2 e como entrada u = e0, determine a representacao deestados do sistema.

(b) Calcule a funcao de transferencia.

(c) Com a lei de controle u = fx mostre que e possıvel colocar osautovalores da malha fechada em qualquer posicao no plano com-plexo. Calcule f para te-los em −10,−10.

(d) Implementando-se a lei de controle mais simples u = f2y mostrarque nao e mais possıvel colocar os polos do sistema de malhafechada em quqlquer lugar do plano complexo. Determine f2para termos os polos em −5.5 ± j5.5.

2.

x =

1 0 00 2 10 0 3

x+

11−1

u

Encontrar uma realimentacao de estados u = fx de tal modo que osautovalores do sistema de malha fechada sejam todos iguais a −5.

(a) Resolver o problema acima “na marra” isto e, calcular o po-linomio caracterıstico da matriz A+ bf e impor a condicao.

120

(b) Resolver o problema apos uma mudanca de bases para a formacanonica controlavel e por Ackerman.

(c) Comparar o grau de dificuldade e trabalho dos metodos.

3.

x =

0 0 00 1 00 0 2

x+

111

u; y = [2 − 9 8]x

(a) Encontrar f tal que usando u = fx a funcao de transferenciagf (s) do sistema de malha fechada tenha seus tres polos em −1.

(b) idem tal que gf (s) = 1/(s + 1).

4.

x =

−2 1 0 0 00 −2 0 0 00 0 1 1 00 0 0 1 10 0 0 0 1

x+

10011

u

O sistema acima e instavel. Estabiliza-lo consiste em usar realimen-tacao para que todos os autovalores tenham parte real negativa. En-contrar uma realimentacao de estados u = fx de modo que o novoespectro seja

λ(Af ) = λ(A+ bf) = −1, −1, −2, −2, −2

5. Um SLIT monovariavel e completamente caracterizado por

g(s) =s+ 2

s(s+ 1)(s − 1)2

(a) Encontrar, se possıvel, leis de controle por realimentacao de saıdaque estabilizem o sistema (coloquem todos os seus polos no semi-plano esquerdo aberto do plano complexo).

(b) idem (a) para realimentacao de estados.

(c) Encontrar, se possıvel, uma lei de controle tal que a malha fechadatenha como funcao de transferencia gf (s) = 1/(s + 1)3

6.

x =

1 1 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 3

x+

0101

u

(a) Encontrar, se possıvel, uma realimentacao de estados que coloquetodos os autovalores da malha fechada em −1.

121

(b) idem (a) para −2.

(c) Encontrar, se possıvel, uma expressao geral para as leis de con-trole que estabilizam o sistema.

7.

x =

0 1 00 0 1−1 −1 −1

x+

001

u

(a) Encontrar, se possıvel, as realimentacoes de estados que fazemcom que v = [1 1 1]T seja um autovetor ma matriz Af = A+ bf .Neste caso, quem serao os autovalores da malha fechada?

(b) idem (a) de tal modo que v1 = [1 1 1]T e v2 = [1 − 1 1]T sejamdois dos autovetores de A+ bf .

(c) Ainda a mesma coisa, agora queremos que os autovetores da ma-lha fechada sejam v1 = [1 1 1]T , v2 = [1 − 1 1]T , e v3 = [0 0 1]T .

(d) Generalize os resultados do exercıcio acima: e sempre possıvelencontrar uma lei de controle u = fx tal que os autovetores damalha fechada A+ bf sejam livremente designaveis? Se sim, queacontece com os autovalores, ficam amarrados ou ainda temosliberdade para posiciona-los?

(e) (opcional) Estude o problema acima para um sistema < A,B >generico. Quais seriam as condicoes para livre designabilidadedos autovetores?

8. Para o sistema abaixo u e a entrada de controle, y e a saıda e d euma entrada de disturbio que pode assumir um valor desconhecidoqualquer. “Rejeitar completamente os disturbios” significa controlaro sistema de maneira tal que o efeito dos disturbios d — quaisquer

que sejam eles — nao se faca sentir em y. Como a natureza dessesdisturbios e vasta e praticamente irrestrita conseguiremos sua rejeicaocompleta se e somente se a funcao de transferencia entre d e y foridenticamente nula.

-u 1s+1

- 1s+2

-+

?

d

+- 1

s+3-+ - 1

s-y

6+

(a) Encontrar, se possıvel, uma realimentacao de saıda u = ky querejeite completamente os disturbios. Tracar o diagrama de blocospara o sistema de malha fechada e dizer quem sao seus polos.

(b) idem (a) para uma realimentacao de estados u = fx.

122

9.

x =

0 1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1

x+

0 01 00 1−1 0

u

(a) Encontrar uma lei de controle u = FIx + v que faca com quea malha fechada seja controlavel pela primeira componente daentrada.

(b) Encontrar uma lei de controle u = FIIx + v que faca com quea malha fechada seja controlavel pela segunda componente daentrada.

(c) Encontrar as todas as matrizes F que acarretam λ(A + BF ) =−1, −1, −1, −1

10.

x =

0 1 00 0 11 1 1

x+

001

u; y = [1 − 1 1]x+ du

(a) Para d = 0 encontrar uma realimentacao de estados que coloqueos 3 polos em -1.

(b) Para d = 0 encontrar f tal que com u = fx+ v tenhamos

c(sI −A− bf)−1b+ d =1

s+ 1.

(c) idem (a) para d = 1.

(d) idem (b) para d = 1.

(e) Para d = 1 encontrar, se possıvel, todas as realimentacoes de es-tado u = fx+ v que estabilizam o sistema e ao mesmo tempo co-locam seus zeros tambem no semiplano esquerdo aberto do planocomplexo.

(f) O item (e) seria mais facilmente estudado se tivessemos uma leide controle mais completa u = fx+ gv, onde g e um escalar?

11.

x =

0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 1 1

x+

0 0 01 0 00 0 00 0 00 1 00 0 00 0 00 0 1

u

Encontrar uma realimentacao de estados que coloque todos os auto-valores do sistema em −1.

123

Capıtulo 6

Realimentacao de Estados

Pratica

6.1 Introducao

Na decada de 50 do seculo XX descobriu-se que a solucao de alguns pro-blemas de Controle Otimo requeria o uso de uma combinacao linear dasvariaveis de estado como entrada do sistema. Talvez este tenha sido o pri-meiro indıcio da importancia de se realimentar os estados, pois notou-se quetudo o que se conseguia fazer com realimentacao das saıdas tambem se con-seguia fazer com realimentacao dos estados, mas o caminho inverso era falso.O ponto culminante foi a descoberta da conexao entre controlabilidade e aalocacao arbitraria dos autovalores. Desde esse ponto a realimentacao deestados passou a ser reconhecida como uma ferramenta extremamente po-derosa, cujo uso deve ser tentado em qualquer situacao onde se deseja mudaras caracterısticas de um sistema, ou, usando outras palavras, em qualquersituacao onde o Controle de um sistema se faca necessario.

Planta P -y

F

6

-

x

u+-v

Nas aplicacoes praticas, porem, temos em maos apenas a saıda men-suravel y, e nao o estado x da planta. Este e inacessıvel, pelo menos emparte, e nao podemos utiliza-lo na realimentacao. Em muitos casos istoacontece por razoes economicas, pois pode ser caro instalar sensores paramedir todas as variaveis de estado. Em outras situacoes pode haver impos-sibilidade fısica de se alcancar algumas variaveis, ou entao a presenca dosensor pode alterar significativamente o modelo considerado para a planta.Vejamos, com o auxılio de um exemplo, o efeito destes fatos.

Exemplo 6.1.1 Para o sistema abaixo desejamos escolher uma lei de con-

124

trole u = Fx de tal maneira que o polinomio caracterıstico da malha fechadaseja ∆∗(s) = s3 + a∗2s

2 + a∗1s+ a∗0.

x =

0 1 00 0 11 2 3

x+

001

u

y =[

1 0 0]

x

Como a equacao dinamica acima ja se encontra na forma canonica con-trolavel, a solucao desejada pode ser encontrada de maneira direta:

F = [ −1− a∗0 −2− a∗1 −3− a∗2 ]

Supondo que apenas as componentes da saıda mensuravel y — no caso,a primeira variavel x1 — sao fisicamente acessıveis para realimentacao, osganhos que multiplicam as variaveis x2 e x3 devem ser nulos: −2− a∗1 = 0e −3 − a∗2 = 0, o que acarreta a∗1 = −2 e a∗2 = −3. Isto significa que opolinomio caracterıstico da malha fechada sera dado por

s3 − 3s2 − 2s+ a∗0

onde nem mesmo a estabilidade pode ser garantida, pois o polinomio acimaindica comportamento instavel para qualquer valor do parametro livre a∗0.

Este exemplo mostra que a imensurabilidade de certas variaveis e umserio impecilho as tecnicas de compensacao por realimentacao de estados.Como usar estas tecnicas se nem sempre todas as componentes do vetor xestao disponıveis? Estes inconvenientes nao sao devaneios, possibilidadesmatematicas remotas, na maior parte das situacoes de interesse pratico eimpossıvel medir o estado de forma global, e esta e uma restricao importante.Como a realimentacao de estados e uma ferramenta poderosa e atraente,devemos buscar metodos para contornar seus obstaculos e poder desfrutarde seus benefıcios. As solucoes encontradas ao longo do tempo para resolvereste problema podem ser agrupadas em tres grandes categorias:

• Tecnicas de Recuperacao do Estado:

De alguma maneira encontramos e usamos o estado perdido.

• Tecnicas de Substituicao do Estado:

Construimos um estado “equivalente” que possa ser usado como subs-tituto do estado inacessıvel.

• Tecnicas de Transformacao do Problema:

Transformamos o problema de realimentacao de estados em um pro-blema de realimentacao de saıda.

Nas proximas secoes discutiremos alguns aspectos das alternativas aci-ma.

125

6.2 Tecnicas de Recuperacao do Estado

Devemos, de algum modo, resgatar o estado inacessıvel, recupera-lo. Haduas maneiras basicas para atingir essa meta:

1. Por derivacao de saıdas e entradas

2. Por reconstrucao do modelo

6.2.1 Derivando saıdas e entradas

Para entender como a derivacao funciona, comecemos com um

Exemplo 6.2.1 Seja o sistema:

x =

0 1 00 0 11 2 3

x+

001

u

com saıda mensuravel dada por

y = [ 1 0 0 ]x = Cx

E facil verificar que este sinal e suas derivadas sao dados por:

y = Cx = x1y = Cx = CAx+CBu = [0 1 0]x = x2y = CA(Ax+Bu) + CBu = [0 0 1]x = x3

Este simples exemplo ilustra como a saıda de um sistema dinamico e suasderivadas podem trazer em si informacoes suficientes para a reconstituicaodo estado. Para o caso geral temos

x = Ax+Bu; x(t0) = x0y = Cx

Derivando sucessivamente a saıda mensuravel y podemos montar a se-guinte equacao:

yy...

y(n−1)

=

CCA...

CAn−1

x+

0CBCAB

...

u+

00CB...

u+ · · ·

00...CB

u(n−2)

Supondo que y, u e suas derivadas se encontram disponıveis para medida,podemos pensar em resolver a equacao acima para recuperar x. Se a matriz

CCA...

CAn−1

126

possuir posto completo, ou seja, se suas colunas forem linearmente indepen-dentes, sera possıvel encontrar uma matriz V tal que

V

CCA...

CAn−1

= In

Deste modo pode-se expressar x a partir da equacao acima:

x = V

yy...

y(n−1)

− V

0CBCAB

...

u− V

00CB...

u− · · ·V

00...CB

u(n−2)

Vemos assim que as variaveis de estado podem ser expressas como com-binacoes lineares das variaveis de saıda e suas derivadas, e das variaveis deentrada e suas derivadas. E interessante notar como o metodo esbocadoacima esta relacionado com a observabilidade do par < C,A >. Os lei-tores sao gentilmente convidados a estabelecer de maneira mais formal asnecessarias conexoes. O diagrama de blocos a seguir explica o processo derecuperacao do estado por meio de derivacao de saıdas e entradas:

-u P x -y d/dt - - d/dt -

- d/dt - - d/dt -

-x?

6

---

-

A aplicabilidade de tal procedimento fica comprometida ao nos lembrar-mos das dificuldades praticas associadas aos derivadores. Mesmo quandoe possıvel contruir esses sistemas, eles apresentam serios problemas de am-pliacao de ruıdos. Apesar de todo o apelo que possa ter, por ser simples edireto, o metodo de derivacao de saıdas e entradas e inviavel, pelas razoesexpostas. Seu interesse e apenas teorico.

6.2.2 Reconstruindo o modelo

O estado x pode ser inacessıvel, mas e sempre possıvel construir em labo-ratorio, ou simular em um computador, um sistema dinamico com equacoesidenticas as da planta. Se esta copia ou modelo da planta for excitada coma mesma entrada u e estiver sujeita as mesmas condicoes iniciais, entao seu

127

estado z sera identico ao estado inacessıvel x. E com uma vantagem: ele estatotalmente disponıvel, pois o modelo foi construıdo pelo projetista! Seja aplanta P , descrita pelas equacoes dinamicas tradicionais:

P

x = Ax+Bu; x(t0) = x0y = Cx

Nao temos acesso a x, mas se a condicao inicial x0 for conhecida, bemcomo as matrizes A,B e C, podemos realizar fisicamente um sistema Mcom entrada u e estado z descrito por

M

z = Az +Bu; z(t0) = z0

Se ajustarmos o modelo com z0 = x0 teremos z(t) = x(t) ∀t ∈ [t0 tf ], ecomo z e plenamente disponıvel, resolvemos o problema. O diagrama abaixomostra a situacao:

-u Px

-y

- B -+ - ∫ -z

A

6

A grande dificuldade desta tecnica reside na necessidade de uma identi-ficacao perfeita, isto e, precisamos conhecer exatamente as matrizes A,B ex0. Se o modelo for construıdo com componentes de alta precisao e se as suascondicoes iniciais forem rigorosamente iguais as da planta, entao o funciona-mento sera satisfatorio e z sera uma reconstituicao fiel de x. Para justificarestas afirmacoes, suponhamos que as matrizes usadas na construcao do mo-delo sao A e B. Podemos definir a variavel erro como e(t) = x(t) − z(t); onosso modelo estara cumprindo sua missao quando e(t) = 0∀t ∈ [t0 tf ]. Dasequacoes de definicao acima temos

e = x− z

= Ax+Bu− Az − Bu

= Ax− Az + (B − B)u

Se A e B foram identificadas perfeitamente, e se o modelo foi imple-mentado com componentes altamente precisos e acurados, teremos A = A eB = B e as equacoes acima se resumem a

e = Ae

Se a identificacao da condicao inicial x0 da planta e o posterior ajuste dez0 tambem foram perfeitos, teremos e(t0) = 0 e e(t) = 0 ∀t ∈ [t0 tf ], como

128

se desejava. No entanto, se e(t0) 6= 0, a expressao acima diz que o maximoque se pode conseguir e limt→∞ e(t) = 0, e para isto e preciso autovaloresde A no semiplano esquerdo aberto, ou seja, a planta deve ser inicialmenteestavel.

Quando ha erros na identificacao das matrizes, ou na sua implementacao,nada garante que o comportamento da variavel e sera adequado, e assim zdeixara de ter qualquer relacao com x. Infelizmente a situacao real e esta,pois os metodos disponıveis de identificacao sao imperfeitos. Alem disto,mesmo se se conhecesse os parametros da planta com certeza absoluta, seriaimpossıvel construir na pratica um modelo com parametros identicos. Comoencontrar componentes com a precisao suficiente para igualar estes valores?Chegamos assim a triste conclusao que a reconstrucao de modelo e tambemum metodo inviavel para a recuperacao de estado.

6.3 Tecnicas de Substituicao de Estado

O malogro dos metodos de Recuperacao de Estados acima descritos sugerealgo. No segundo deles, a saıda y da planta nao e utilizada. Poderıamospensar em usar a ideia basica de realimentacao para corrigir os inconve-nientes encontrados: construirıamos uma saıda y∗ = Cz para o modelo,compararıamos esta saıda com a saıda real y da planta e realimentarıamoso resultado desta comparacao para, de alguma maneira, obrigar o sinal y∗

a rastrear y. Acontecendo isto espera-se que o estado z seja obrigado arastrear x mais precisamente.

-u Px

- y

- B -+ - ∫ -z

A

6C - y∗

L

?

+−6

?

Na malha de realimentacao colocarıamos um ganho L para poder alterara velocidade de convergencia. Se realmente conseguıssemos y∗ e y sempre“proximas”, estarıamos fazendo com que z tambem se aproximasse de x.Estas ideias sao muito atraentes, pois afinal uma das utilidades fundamentaisda realimentacao e exatamente resolver problemas como este. Mas elasseriam verdadeiras? O esquema proposto realmente funciona? A intuicaodiz que sim, mas e necessario analisa-lo com um pouco mais de detalhes.Supondo que usamos as matrizes exatas no modelo, ou seja, A = A, B =B, C = C, podemos usar o diagrama anterior para estabelecer as equacoes:

129

x = Ax+Buy = Cxz = Az +Bu+ L(y − y∗)

= Az +Bu+ Ly − LCz= (A− LC)z +Bu+ Ly

Lembrando a definicao do erro, e(t) = x(t)− z(t) podemos escrever

e = Ax+Bu− (A− LC)z −Bu− Ly= Ax− (A− LC)z − LCx= (A− LC)e

Se os autovalores da matriz A−LC puderem ser colocados no semiplanoesquerdo aberto do plano complexo entao limt→∞ e(t) = 0 ∀ e0. Istosignifica que o estado z(t) do modelo tende assintoticamente para o estadoinacessıvel x(t) da planta mesmo se o estado inicial do modelo for diferentedo estado inicial da planta. Se estes estados forem identicos, entao e(t) =0 ∀t ∈ [t0 tf ] ou seja, x(t) = z(t) ∀t ∈ [t0 tf ]. Vemos assim que oesquema apresentado pode funcionar para a finalidade desejada desde queos autovalores da matriz A − LC possam ser convenientemente escolhidos.Ha um resultado classico da teoria de sistemas lineares que trata exatamentedesta situacao:

Teorema 6.3.1 Os autovalores da matriz A − LC podem ser livrementedesignados atraves de escolha da matriz L se e somente se o par < C,A >for observavel.

As perspectivas estao melhorando. Se houver observabilidade da plantaconseguiremos construir um modelo cujo estado e um bom candidato parasubstituir o estado inacessıvel. Se as condicoes iniciais forem favoraveis(iguais) entao a copia sera perfeita; no caso mais comum de haver desajustesiniciais, entao o estado do modelo tende assintoticamente ao estado x(t).

6.4 Resumo do Enredo e Perguntas

Desejamos implementar uma lei de controle por realimentacao do estado deuma planta, mas e impossıvel medir todas as componentes deste vetor. Asprimeiras tecnicas propostas para corrigir esta situacao, as tecnicas de re-cuperacao de estado, mostraram-se inaplicaveis, de interesse apenas teorico.Em seguida, a intuicao sugeriu um procedimento, aparentemente razoavel,de se encontrar um substituto para o estado. Uma base teorica solida ga-rante a possibilidade de funcionamento deste esquema; os passos necessariospara implementa-lo seriam:

• Verificar a observabilidade do planta

• Encontrar L tal que os autovalores de A− LC sejam “estaveis”

130

• construir um modelo de acordo com o diagrama anterior

Este procedimento se baseia em anexar a planta um outro sistema di-namico, chamado ate agora de “modelo” ou “copia”, cujo estado — men-suravel, por construcao — promete ser um substituto para o estado perdido,algo que tende assintoticamente a ele. Neste ponto, muitas perguntas im-portantes aparecem.

Quem nos garante que a lei de controle u = Fz, com o estadosubstituto, tera o mesmo efeito que a lei original u = Fx ?

O modelo M continuara fornecendo uma boa copia para xmesmo quando seus parametros A, B e C forem diferentes dosparametros originais da planta?

Podemos encontrar outros sistemas dinamicos capazes de for-necer substitutos para o estado da planta? Se sim, qual seria adimensao mınima destes sistemas?

Nas proximas secoes responderemos estas e outras questoes relaciona-das a esses sistemas geradores de estados substitutos. Em primeiro lugar,um batizado. Tais sistemas recebem o nome de Estimadores Assintoticosde Estado, ou entao Observadores Assintoticos ou simplesmente Observa-dores, e foram introduzidos na literatura por Luenberger. Apos estudar osobservadores dirigiremos a atencao para as tecnicas de Transformacao doProblema. Procuraremos transformar o problema de realimentar um estadointocavel em um problema de realimentar saıdas mensuraveis. Sera a vezdos chamados Compensadores Dinamicos, pesquisados inicialmente por Pe-arson. Em qualquer dos casos teremos um aumento da ordem do sistema,isto e, torna-se necessaria a introducao de um novo sistema dinamico, comnovos modos e autovalores, para que possamos contornar as dificuldades deum estado nao mensuravel. No primeiro caso, dos observadores, os modosadicionados sao inobservaveis, ocorrendo o oposto no segundo caso. Mas istosao coisas futuras, e no tempo certo nos dedicaremos a elas, com a energiae a concentracao necessarias. Uma tarefa por vez, e agora a vez e da:

6.5 Teoria dos Observadores

Observador ou Estimador Assintotico de Estados e um sistema di-namico capaz de reproduzir, substituir os estados nao mensuraveis de umaplanta P com o conhecimento de suas entradas e saıdas:

131

-u Px

-y

- Oz

- w?

A tarefa do projetista se resume a criar um sistema dinamico O acionadopela entrada u e pela saıda y da planta P e cuja saıda w seja um bomsubstituto para o estado x da planta, inacessıvel. Dizer que w e um bomsubstituto para x significa dizer que w tende assintoticamente para x aolongo do tempo:

w(t)→ x(t) quando tf →∞

ou entaolimt→∞

(w(t) − x(t)) = 0

Sendo a planta um sistema linear e invariante no tempo, e razoavel su-por que seu estado possa ser observado por estimadores tambem lineares einvariantes no tempo. Esta sera uma hipotese de trabalho sempre presente.Com ela, o objetivo principal do estudo pode ser resumido na seguinte

Meta: Dada uma planta P caracterizada pelas matrizes A,B,Ce pela condicao inicial x0, encontrar um sistema dinamico acio-nado por suas entradas e saıdas, com condicao inicial z0 e cujasaıda w tenda assintoticamente para o estado inacessıvel x de Pquaisquer que sejam as condicoes iniciais:

limt→∞

(w(t) − x(t)) = 0 ∀x0,∀z0

Um sistema dinamico capaz disso recebe o nome de Estimador As-sintotico de Estados, ou Observador Assintotico ou simplesmente observadore sera indicado pelo sımbolo O. Para simplificar a notacao podemos chamarw(t)− x(t) de erro de estimacao, ε(t):

ε(t) = w(t)− x(t) (6.1)

As equacoes dinamicas abaixo descrevem a planta e um candidato aobservador:

P

x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t)x(t0) = x0

S

z(t) = Gz(t) +Hu(t) + Jy(t)w(t) =Mz(t) +Ny(t)z(t0) = z0

Supomos que a planta e um sistema com dimensao n, ou seja, x(t) per-tence ao espaco de estados X com dimX = n. Analogamente dirıamos

132

que u(t) ∈ U , com dimU = m e y(t) ∈ Y, com dimY = r. Com istoas matrizes A,B e C tem dimensoes, respectivamente, (n × n), (n × m) e(r × n). Supomos tambem que o candidato a observador tem dimensao o,ou seja, seu estado z(t) pertence ao espaco Z com dimZ = o. A saıda wdeve ter a mesma dimensao de x, logo w(t) ∈ W = X e dimW = dimX =n. Assim os tamanhos das matrizes G,H, J,M e N sao, respectivamente:(o× o), (o ×m), (o× r), (n× o) e (n× r).

Um modelo mais geral para o candidato S relacionaria w(t) com a en-trada u(t) da planta, por meio de um termo do tipo N ′u(t) na equacaode w(t). As analises posteriores mostrarao que podemos prescindir de talacoplamento direto; a estrutura mostrada acima ja e suficientemente amplapara permitir o desenvolvimento.

A meta pode agora ser enunciada de maneira mais precisa: conhecidauma planta como acima, projetar um sistema dinamico S, caracterizado pe-las matrizes < G,H, J,M,N >, de modo a conduzir o erro de estimacao ε(t)assintoticamente a origem. Esta convergencia deve se verificar para quais-quer condicoes iniciais da planta e do observador. Apresentamos a seguiro resultado mais importante no estudo dos observadores, a base teorica detodos os proximos passos. O sımbolo λ(X) denota o espectro da matriz X,o conjunto de todos seus autovalores; o plano complexo e representado porC e o seu semiplano esquerdo aberto, a regiao estavel, por C−.

Teorema 6.5.1 — Teorema Fundamental dos Observadores

O sistema dinamico S =< G,H, J,M,N > e um observador assintoticopara a planta P =< A,B,C > se e somente se existitir uma matriz T (o×n),com o ≤ n, tal que:

TA−GT = JC (6.2)

TB = H (6.3)

MT +NC = In (6.4)

λ(G) ⊂ C− (6.5)

Este teorema mostra que o problema de se projetar um Estimador As-sintotico de Estados recai em um problema de Algebra Matricial: solucionaras equacoes (6.2), (6.3) e (6.4). A equacao (6.5) apresenta uma restricao denatureza diferente, pois e independente de T e diz que G deve ser escolhidade modo a ter seus autovalores em C−, ou seja, qualquer observador deveser estavel. Note-se tambem que o caso o > n ficara de fora porque, como severa a seguir, as condicoes para existencia de solucoes quando o ≤ n ja saosuaves. E do ponto de vista pratico e certamente melhor usar estimadorescom ordens menores. A demonstracao do teorema acima sera dividida empartes.

A condicao e necessaria: Supomos que S =< G,H, J,M,N > es-tima o estado da planta. Isto significa que limt→∞ ε(t) = 0. Lembrando a

133

definicao de ε, na equacao 6.1,

ε(t) = w(t)− x(t)=Mz(t) +NCx(t)− x(t)=Mz(t) + (NC − I)x(t)

deduzimos queMz(t) = (I −NC)x(t) + ε(t) (6.6)

Estamos considerando a dimensao do observador menor ou igual a daplanta: o ≤ n. Isto significa que a matriz M(n × o) tera mais linhas quecolunas, e podera ser escolhida com posto completo, ou seja, ρ(M) = o, oque permite encontrar uma pseudoinversa M+(o × n) tal que M+M = Io.Usando isto em (6.6) conseguiremos uma expressao para z(t):

z(t) =M+(I −NC)x(t) +M+ε(t) (6.7)

Colocando M+(I −NC) = T e M+ε(t) = e(t) chegamos a

z(t) = Tx(t) + e(t) (6.8)

Esta expressao (6.8) diz que o estado z dos observadores deve necessa-riamente ser uma transformacao linear do estado x da planta acrescida deum certo erro e. Derivando (6.8) e usando as equacoes basicas de S:

z(t) = T x(t) + e(t)= TAx(t) + TBu(t) + e(t)= Gz(t) +Hu(t) + Jy(t)

Lembrando que y(t) = Cx(t) podemos igualar as diferentes expressoespara z(t) acima:

TAx(t) + TBu(t) + e(t) = Gz(t) +Hu(t) + JCx(t)TAx(t) + e(t) = G(Tx(t) + e(t)) + (H − TB)u(t) + JCx(t)

donde tiramos, apos alguns agrupamentos:

(GT + JC − TA)x(t) + (H − TB)u(t)− (e(t)−Ge(t)) = 0

A expressao acima deve se anular independentemente das funcoes x(·),u(·), ε envolvidas. Para isto e necessario que

GT + JC − TA = 0H − TB = 0e(t)−Ge(t) = 0

A primeira das equacoes acima se transforma trivialmente em

TA−GT = JC

que e a restricao (6.2) do teorema. A segunda equacao fica

134

TB = H

e temos (6.3). A ultima expressao leva a

e(t) = Ge(t)

Mas limt→∞ e(t) = 0 pois e(t) = M+ε(t), e estamos supondo que aestimacao funciona, ou seja, ε(t)→ 0. Como isto deve valer para quaisquercondicoes iniciais, somos levados a concluir que o sinal de erro e(t) tem umcomportamento estavel, o que e equivalente a

λ(G) ⊂ C−

Esta e a equacao (6.5). Para estabelecer a validade de (6.4) devemoslembrar que ε(t)→ 0, logo limt→∞(w(t)− x(t)) = 0, donde

limt→∞(Mz(t) +Ny(t)− x(t)) = 0limt→∞ [M(Tx(t) + e(t)) +NCx(t)− x(t)] = 0limt→∞ [(MT +NC − I)x(t) +Me(t)] = 0limt→∞ [(MT +NC − I)x(t)] + limt→∞Me(t) = 0

O sinal e(t) tende a zero, logo o seu limite na expressao acima e nulo;como esta expressao deve ser verdadeira para qualquer x(t), concluimos que

MT +NC = I

e esta e exatamente a equacao (6.4), o que completa a demonstracao danecessidade do teorema.

A condicao e suficiente: Considere as matrizes G,H, J,M e N esco-lhidas de modo a satisfazer as equacoes (6.2), (6.3), (6.4) e (6.5). Podemoscom elas construir um sistema dinamico S descrito pelas equacoes:

S

z(t) = Gz(t) +Hu(t) + Jy(t)w(t) =Mz(t) +Ny(t)

Mostraremos que este sistema funciona como um Estimador Assintoticode Estados, ou seja, que w(t) tende assintoticamente para x(t). Para isto,estudemos o sinal

w(t)− x(t) =Mz(t) +Ny(t)− x(t)=Mz(t) + (NC − I)x(t)=Mz(t)−MTx(t)=M(z(t)− Tx(t))

Note-se que a expressao (6.4) foi usada. Se mostrarmos que o sinalz(t) − Tx(t) tende a origem, teremos mostrado que w(t) e uma estimativaassintotica de x(t) e, consequentemente, S funciona como observador paraplanta. Seja e(t) = z(t)− Tx(t); derivando este sinal temos:

135

e(t) = z(t)− T x(t)= Gz(t) +Hu(t) + Jy(t)− T (Ax(t) +Bu(t))= G(Tx(t) + e(t)) +Hu(t) + JCx(t)− TAx(t)− TBu(t))= (GT + JC − TA)x(t) + (H − TB)u(t) +Ge(t)

Usando (6.2) e (6.3) deduzimos que

e(t) = Ge(t)

Finalmente, a partir de (6.5) concluimos que o erro acima tem um com-portamento estavel, e S realmente estima.

A base teorica necessaria para o estudo dos observadores esta contida noresultado acima. No restante deste capıtulo trataremos de aspectos geraisassociados e apresentaremos exemplos ilustrativos. Antes, porem . . .

6.6 Resumo do enredo

Por obra e graca do teorema da secao anterior, o problema pratico de pro-jetar um sistema dinamico capaz de gerar um substituto para o estadoinacessıvel de uma dada planta se transformou no seguinte problema ma-tematico:

Dadas as matrizes reais A(n × n), B(n × m), C(r × n) encontrar, sepossıvel, matrizes reais

T (o× n), G(o× o), H(o×m),J(o× r), M(n× o), N(n× r)

com o ≤ n tais que as expressoes abaixo, chamadas de Relacoes Fundamen-tais dos Observadores, ou, mais resumidamente, RFO, se verifiquem:

TA−GT = JC

TB = H

MT +NC = In

λ(G) ∈ C−

Tendo em maos uma solucao das RFO o projeto se encerraria com aefetiva implementacao do estimador. Para isto construirıamos um sistemadinamico de acordo com o diagrama abaixo:

136

-u Px

- y

- H -+ - ∫ -z

G

6M -+ - w

J

?

?N

?

?

A postura sensata a se tomar diante de um problema matematico qual-quer se resume a duas etapas:

1. Saber se existe solucao

2. Em caso positivo, encontrar uma delas, ou mais de uma, ou entaodelimitar a famılia de todas as possıveis solucoes.

A primeira vista estas tarefas podem parecer formidaveis para a situacaoacima discutida de se projetar observadores para uma dada planta. Seramais facil do que parece, felizmente. Os proximos capıtulos tratarao commais detalhes destes aspectos matematicos de existencia de solucoes e deuma busca ordenada delas. Antes disso, a hora e de exemplos e dos outrostemas gerais prometidos.

Exemplo 6.6.1 Seja a planta P modelada por:

A =

[

0 1−2 −2

]

; B =

[

1−3

]

; C = [ 1 0 ]

Um possıvel caminho para resolver as RFO consiste em fixar uma dasmatrizes procuradas e verificar se e possıvel encontrar as demais. As vezese vantajoso escolher inicialmente a matriz G, caracterıstica da dinamica doobservador. Seja entao, por exemplo,

G =

[

−1 00 −1

]

Com esta escolha a equacao (6.5) ja foi satisfeita. Tomando agora T eJ totalmente literais, (6.2) fica

[

t11 t12t21 t22

] [

0 1−2 −2

]

−

[

−1 00 −1

] [

t11 t12t21 t22

]

=

[

j1j2

]

[ 1 0 ]

que pode ser desenvolvida ate[

t11 − 2t12 t11 − t12t21 − 2t22 t21 − t22

]

=

[

j1 0j2 0

]

137

Esta expressao fornece as seguintes restricoes:

t12 = t11t22 = t21

j1 = t11 − 2t12 = −t11j2 = t21 − 2t22 = −t21

Com isto teremos

T =

[

t11 t11t21 t21

]

; J =

[

−t11−t21

]

; H = TB =

[

−2t11−2t21

]

Sejam agora M e N literais. A equacao (6.4) exige que

MT = I2 −NC =

[

1 00 1

]

−

[

n1n2

]

[ 1 0 ]

donde

MT =

[

1− n1 0−n2 1

]

Como as colunas de T sao identicas, as de MT tambem devem ser, logo1− n1 = 0 e n2 = −1, o que leva a

N =

[

1−1

]

O produto deM pela segunda coluna de T deve ser igual a segunda colunade I −NC: [

m11 m12

m21 m22

] [

t11t21

]

=

[

01

]

Esta equacao admite muitas solucoes. Supondo, por exemplo, t11 = t21 =1 encontrarıamos as restricoes m11 +m12 = 0 e m21 +m22 = 1 acarretando

M =

[

m11 −m11

m21 1−m21

]

A solucao encontrada para as RFO seria constituıda pelas matrizes:

T =

[

1 11 1

]

; G =

[

−1 00 −1

]

; H =

[

−2−2

]

; J =

[

−1−1

]

M =

[

m11 −m11

m21 1−m21

]

; N =

[

1−1

]

e o estimador assintotico de estados seria implementado pelo diagrama vistoanteriormente.

138

O metodo utilizado para se encontrar solucoes para as RFO e traba-lhoso, cheio de artifıcios e pouco pratico; nos proximos capıtulos apresenta-remos maneiras elegantes e sistematizadas para resolver tal problema. Ou-tro aspecto. Que aconteceria se fosse escolhida uma matriz G diferente noprincıpio? Os desenvolvimentos efetuados sugerem que o metodo continuariafuncionando e chegarıamos a um outro conjunto de solucoes para as RFO.Mas e o observador resultante, que aconteceria com ele? De que maneira aescolha de G afeta o desempenho final?

Mais um topico. Voltando ao exemplo, verificamos que ha muita liber-dade na escolha dos parametros t11 e t12. A selecao feita, t11 = t12 = 1,foi aleatoria. Que aconteceria para outras escolhas? Sejam, por exemplo,t11 = 1 e t12 = 0. Isto ocasionaria

T =

[

1 10 0

]

; J =

[

−10

]

; H =

[

−20

]

;

M =

[

0 m12

1 m22

]

; N =

[

1−1

]

e o estimador seria representado por

z(t) =

[

−1 00 −1

]

z(t) +

[

−20

]

u(t) +

[

−10

]

y(t)

Como G e diagonal, verifica-se que a segunda componente do vetor z e in-controlavel: os sinais u e y sao incapazes de afeta-la. Isto leva a crer que nadase perderia no comportamento dinamico do estimador se desprezassemos estaparte e considerassemos apenas a equacao dinamica reduzida

zr(t) = −zr(t)− 2u(t)− y(t)

Um sistema construıdo de acordo com esta equacao continuaria esti-mando o estado x da planta? Os leitores sao gentilmente instigados a pensarno assunto. Ainda outro aspecto. A resolucao das RFO fornece as matrizesque devem ser usadas na pratica. Que acontece se nao conseguimos obtercomponentes reais suficientemente acurados para implementar com exatidaoos valores de projeto? Estes assuntos palpitantes, entre outros, serao trata-dos nas proximas secoes.

6.7 Escolhendo a Rapidez

Conforme vimos na demonstracao do teorema 6.5.1, se um observador foiprojetado para uma determinada planta, entao o sinal definido por e(t) =z(t)− Tx(t) satisfaz a equacao diferencial e(t) = Ge(t), donde

e(t) = etG(e0)

139

Este sinal e(t) sera chamado de erro de operacao; para evitar con-fusoes, e conveniente lembrar a definicao do erro de estimacao: ε(t) =w(t)− x(t). O estado do observador e dado por

z(t) = Tx(t) + etG(z0 − Tx0)

Acertando a condicao inicial do observador por meio de z0 = Tx0 haverauma dependencia linear exata entre os estados do observador e da planta:z(t) = Tx(t) ∀t ∈ [t0 tf ], e o erro de operacao sera identicamente nulo:e(t) = 0 ∀t ∈ [t0 tf ]. O erro de estimacao tambem se anula, ou seja, aestimacao sera perfeita: w(t) = x(t) ∀t ∈ [t0 tf ].

Em um caso mais real, onde e impossıvel ajustar a condicao inicial doobservador com tanta exatidao, poderemos ter e(t) → 0 quando tf →∞,ou equivalentemente, z(t) → Tx(t) quando tf →∞, ou ainda w(t) → x(t),bastando para isso uma escolha adequada do espectro de G. Os autovaloresdesta matriz precisam, obviamente, estar em C−; quanto mais a esquerdaforem colocados, mais rapidas serao as convergencias. A matriz G deve sa-tisfazer a equacao (6.2) das RFO; se apos essa restricao ainda for possıvelescolher arbitrariamente os seus autovalores, entao poderemos tornar a con-vergencia do observador arbitrariamente rapida.

Exemplo 6.7.1 Consideremos novamente a planta P estudada no exemplo6.6.1:

x(t) =

[

0 1−2 −2

]

x(t) +

[

1−3

]

u(t); y(t) = [ 1 0 ]x(t)

O estimador projetado obedecia as seguintes equacoes:

z(t) =

[

−1 00 −1

]

z(t) +

[

−2−2

]

u(t) +

[

−1−1

]

y(t)

w(t) =

[

m11 −m11

m21 1−m21

]

z(t) +

[

1−1

]

y(t)

O desempenho deste observador e caracterizado por autovalores em−1.Supondo que a entrada e um degrau unitario u(t) = 1(t), que as condicoesiniciais x0 e z0 sao nulas, e que escolhemos m11 = m21 = 1, verificarıamospor simulacao — ou atraves de alguns calculos simples — que o estimadortem um funcionamento perfeito: w(t) − x(t) = 0 ∀t ∈ [t0 tf ]. Isto era dese esperar, dadas as condicoes iniciais favoraveis. O carater assintotico daestimacao aparece apenas quando Tx0 6= z0. Sejam entao z0 = [−1 − 2]T

e x0 = [2 1]T . Os graficos abaixo ilustram o comportamento das variaveisde estado “reais”, x1 e x2 e o das variaveis estimadas w1 e w2.

As variaveis estimadas realmente tendem para as reais, de acordo coma previsao teorica. Que aconteceria se o observador projetado fosse mais

140

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6

x1

w1

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6

x2

w2

Figura 6.1: Variaveis de Estado e Saıdas do Estimador com Polos em -1

“rapido”? Refazendo os calculos do exemplo anterior para G com auto-valores em −5 encontrarıamos, conforme os leitores diligentes certamenteverificarao:

z(t) =

[

−5 00 −5

]

z(t) +

[

−6−6

]

u(t) +

[

−17−17

]

y(t)

w(t) =

[

m11 −m11

m21 1−m21

]

z(t) +

[

13

]

y(t)

Considerando novamente a mesma entrada em degrau unitario, os mes-mos valores para os mij e as mesmas condicoes iniciais nao nulas, umasimulacao mostraria o desempenho resultante. A analise das curvas abaixoe sua comparacao com as do estimador lento anterior e muito instrutiva.

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6

x1

w1

-3

-1

1

3

5

0 1 2 3 4 5 6

x2

w1

Figura 6.2: Variaveis de Estado e Saıdas do Estimador com Polos em -5

Estes exemplos permitem visualizar os fatos indicados pela teoria: o de-sempenho da estimacao depende da dinamica da matriz G. Supondo queo espectro do observador possa ser livremente escolhido, a tendencia natu-ral seria a de empurrar os autovalores para a esquerda o maximo possıvel,garantindo assim uma convergencia muito rapida. Este procedimento podeacarretar problemas praticos associados a ganhos elevados, tais como sa-turacao de componentes, picos indesejados nos transitorios, amplificacao de

141

ruıdos, etc. As tecnicas do Controle Otimo Linear Quadratico podem seraplicadas a este problema de escolha dos autovalores de G, como veremosoportunamente.

6.8 Diminuindo a Ordem

Dada a planta P =< A,B,C > cada conjunto < T,G,H, J,M,N >, ondeas matrizes foram escolhidas convenientemente, corresponde a um particularobservador assintotico. A ideia de simplicidade e sempre atraente. Qualseria a mınima ordem possıvel para os observadores de uma dada planta?Em outras palavras, qual o mınimo valor possıvel para o inteiro o capaz desatisfazer as RFO? O teorema 6.5.1 pode ser empregado para responder estaquestao:

Corolario 6.8.1 A ordem mınima necessaria para um observador estimaro estado de uma planta e n− r, onde r representa o numero de variaveis desaıda da planta.

Demonstracao: Podemos reescrever (6.4) como

[ M N ]

[

TC

]

= In

Um resultado classico da algebra matricial diz que o posto de um produtode matrizes e sempre menor ou igual ao posto dos fatores: se X =WZ entaoρ(X) ≤ minρ(W ), ρ(Z), donde concluimos que ρ[M N ] ≥ ρ(In) = n.Mas esta matriz tem o+ r colunas e assim

o+ r ≥ ρ[ M N ] ≥ n

o que conduz a o ≥ n− r

As variaveis de saıda (mensuraveis por definicao) sao combinacoes line-ares das variaveis de estado. Ha r delas. Deste modo, e razoavel supor quer das variaveis de estado nao precisam ser estimadas pois podem ser obti-das diretamente das medidas de y. Restariam n − r componentes de x, epara estas seria construıdo o observador. Maiores detalhes virao no proximocapıtulo.

Exemplo 6.8.1 Seja novamente a planta cujas equacoes dinamicas sao ca-racterizadas pelas matrizes:

A =

[

0 1−2 −2

]

; B =

[

1−3

]

; C = [ 1 0 ]

Um estimador assintotico de ordem o = n = 2 foi projetado para talplanta no exemplo (6.6.1). Sabendo agora que a ordem dos observadoresmınimos para este caso e o = n − r = 1, a mesma sistematica usada entao

142

para resolver as RFO pode ser tentada. Para isso fixa-se inicialmente adinamica do estimador, escolhendo, por coerencia, G = −1. Tomando T eJ literais, (6.2) fica

[ t11 t12 ]

[

0 1−2 −2

]

− (−1)[ t11 t12 ] = (j1)[ 1 0 ]

que pode ser desenvolvida ate

[ t11 − 2t12 t11 − t12 ] = [ j1 0 ]

Esta expressao fornece as restricoes: t12 = t11 e j1 = t11 − 2t12 = −t11.Com isto teremos T = [t11 t11], J = −t11 e H = TB = −2t11. Sejam M eN literais. A equacao (6.3) exige que

MT = I2 −NC =

[

1 00 1

]

−

[

n1n2

]

[ 1 0 ]

donde

MT =

[

1− n1 0−n2 1

]

Como as colunas de T sao identicas, as de MT tambem devem ser, logo1− n1 = 0 e n2 = −1, o que leva a

N =

[

1−1

]

exatamente como no caso do exemplo (6.6.1). O produto de M pela segundacoluna de T deve ser igual a segunda coluna de I −NC:

[

m11

m21

]

(t11) =

[

01

]

Esta equacao fornece duas restricoes: m11t11 = 0 e m21t11 = 1. A partirda primeira verifica-se que m11 = 0 pois senao T se anularia; a segundaadmite muitas solucoes. Supondo, por exemplo, t11 = 1 encontrarıamosm21 = 1; a matriz M seria dada por

M =

[

01

]

A solucao encontrada para as RFO seria constituıda pelas matrizes:

T = [ 1 1 ]; G = −1; H = −2; J = −1

M =

[

01

]

; N =

[

1−1

]

e o estimador assintotico de estados seria implementado por

143

z(t) = −z(t)− 2u(t)− y(t); w(t) =

[

01

]

z(t) +

[

1−1

]

y(t)

A equacao para w mostra que sua primeira componente w1 e identicaa saıda y; o fato de o estimador ter ordem mınima e uma consequenciadeste fato, de nao ser necessario “gastar uma ordem” para estimar um sinalmensuravel. E interessante comparar estes resultados com os comentariosfeitos apos o exemplo (6.6.1). O calculo de um observador mınimo compolos em −5 seria feito trivialmente, resultando em

z(t) = −5z(t)− 6u(t)− 17y(t); w(t) =

[

01

]

z(t) +

[

13

]

y(t)

Considerando a mesma entrada em degrau unitario e as mesmas con-dicoes iniciais do exemplo (6.6.1), uma simulacao mostraria o desempenhoresultante. Como a primeira variavel de estado, x1, e obtida trivialmente,apenas x2 e sua estimativa w2 serao mostradas. O primeiro grafico ilustra oestimador “lento” com autovalor em −1; o segundo mostra o comportamento“rapido”.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6

x2

w2

Estimador Lento

-3

-1

0

1

3

5

0 1 2 3 4 5 6

x2

w2 Estimador Rapido

Figura 6.3: Estimador Mınimo — Autovalores em −1 e −5

6.9 Separacao de Estados

Os esforcos no sentido de buscar um bom substituto para estados inacessıveisconduziram a esquemas interessantes e promissores. E teoricamente possıvelconstruir sistemas dinamicos cujas saıdas estimam estados que nao se con-segue medir. Esses sistemas devem ser acoplados a planta, e em situacoesespeciais a substituicao sera perfeita; em caso contrario a saıda do observa-dor tende assintoticamente ao estado procurado.

Os problemas de Controle normalmente requerem realimentacoes de es-tado, ou seja, devemos usar uma lei de controle do tipo u = Fx + v ondex e o estado da planta. Ora, o maximo que se consegue na pratica e im-plementar a lei u = Fw + v onde w e a saıda mensuravel de um observa-dor. Quando as condicoes iniciais forem adequadas (z(0) = Tx(0)), teremos

144

w(t) = x(t) ∀t ∈ [t0 tf ] e os resultados conseguidos sao exatamente os que ateoria preve. Havera, logico, o trabalho adicional de se construir um sistemadinamico extra e adiciona-lo a malha de controle. Mas estas sao hipotesesum tanto quanto utopicas. As hipoteses de trabalho razoaveis devem obri-gatoriamente levar em conta que as condicoes iniciais podem nao ser taocamaradas. Isto quer dizer que w(t) “apenas” tende assintoticamente parax(t). Nestas circunstancias, qual sera o efeito da lei de controle u = Fw+v?E lıcito usa-la para substituir a lei original, que usa o estado real?

-v u - Px

F

6

x

-y

O que se deseja -v -u Px

-y

- Oz

-w?

F

6

O que se consegue

Estes diagramas ilustram essas duas situacoes: gostarıamos de usar oesquema descrito no primeiro deles, mas apenas o sistema do segundo di-agrama pode ser construıdo na pratica. Novos elementos dinamicos estaosendo introduzidos na malha de controle. Qual sera seu efeito? O compor-tamento dos sinais x(t) e y(t) sera semelhante ao que teriam se nao houvesseesse novo sistema na malha? Pela teoria vista ate agora, nada garante isso;sabe-se apenas que w(t)→ x(t) quando t→∞.

Seja a planta P e um seu observador O:

P

x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t)x(t0) = x0

O

z(t) = Gz(t) +Hu(t) + Jy(t)w(t) =Mz(t) +Ny(t)z(t0) = z0

O sistema global constituıdo por P e por O pode ser descrito pelasseguintes equacoes dinamicas:

[

xz

]

=

[

A 0JC G

] [

xz

]

+

[

BH

]

u

y = [ C 0 ]

[

xz

]

; w = [ NC M ]

[

xz

]

Realimentar o estado estimado significa usar a lei

145

u = Fw + v

= F (Mz +NCx) + v

= FNCx+ FMz + v

A equacao dinamica da malha fechada fica:

[

xz

]

=

[

A+BFNC BFMJC +HFNC G+HFM

] [

xz

]

+

[

BH

]

v

Para melhor apreciar as propriedades desta equacao, seja a mudanca debases dada por

p = Qp =

[

In 0T Io

]

p

onde por p entendemos o estado expandido composto por x e por z. Nanova base esse estado seria representado por

p = Q−1p =

[

I 0−T I

] [

xz

]

=

[

xz − Tx

]

=

[

xe

]

A malha fechada passaria a ser descrita por

˙p = Q−1

[

A+BFNC BFMJC +HFNC G+HFM

]

Qp+Q−1

[

BH

]

v

Aproveitando as propriedades estruturais da matriz Q escolhida, o de-senvolvimento dos produtos acima levaria a

[

xe

]

=

[

A+BF BFM0 G

] [

xe

]

+

[

B0

]

v (6.9)

y = [ C 0 ]

[

xe

]

; w = [ I M ]

[

xe

]

(6.10)

As propriedades dinamicas do sistema expandido planta + observador +lei u = Fw sao realcadas nesta nova base. Com efeito, uma simples inspecaodas matrizes acima permite verificar que o espectro da malha fechada e auniao do espectro desejado com o espectro do observador:

λ(Ae) = λ(A+BF ) ∪ λ(G)

Esta relacao e importante. A lei de controle que se deseja implemen-tar, u = Fx + v, interagiria com a dinamica da planta fazendo com que ocomportamento da malha fechada fosse descrito pelos autovalores da ma-triz A + BF . A lei de controle que efetivamente se consegue construir,u = Fw + v, tambem e capaz de impor a malha fechada os autovalores deA + BF . Ha, entretanto, um preco a se pagar: alem destas caracterısticas

146

dinamicas, que eram desejadas, a dinamica do observador faz parte da malhafechada, forcosamente.

Estimadores sao, por projeto, sistemas estaveis, logo a presenca dos au-tovalores de G na dinamica final deve ser aceita com tranquilidade. Alemdisto, as equacoes acima deixam bem claro que ha uma “separacao” entreos comportamentos dos sistemas envolvidos. O proximo exemplo mostra asdiferencas entre a montagem de uma lei de controle ideal e a implementacaoda mesma lei via estimadores assintoticos de estado.

Exemplo 6.9.1 Seja a planta P para a qual as matrizes sao:

A =

[

−1 −11 4

]

; B =

[

1−3

]

; C = [ 1 0 ]; x0 =

[

2−1

]

Esta planta e instavel, mas uma simples aplicacao das tecnicas de sıntesemostraria que a lei de controle u = Fx = [ 1 2 ]x a estabiliza, colocandoos autovalores da malha fechada em −1± j. As equacoes da malha fechadaseriam:

Pf

x(t) = (A+BF )x(t) =

[

0 1−2 −2

]

x(t); x(0) =

[

2−1

]

y(t) = Cx(t) = [ 1 0 ]x(t)

onde qualquer semelhanca com coisas ja conhecidas talvez nao seja meracoincidencia. O metodo de projeto mostrado nos exemplos da secao anteriorpode ser empregado para obter o seguinte estimador de ordem completa edinamica caracterizada por autovalores em −1:

z(t) =

[

−1 10 −1

]

z(t) +

[

12

]

u(t) +

[

−41

]

y(t); z(0) = 0

w(t) =

[

1 −11 0

]

z(t) +

[

2−4

]

y(t)

Os leitores sao encorajados a refazer os calculos. Este projeto pode serconsiderado um estimador lento, pois seus autovalores tem parte real iguala parte real dos autovalores da planta. Um estimador mais rapido, comdinamica ditada por autovalores em −5, seria, como os leitores certamenteverificarao:

z(t) =

[

−5 10 −5

]

z(t) +

[

56

]

u(t) +

[

2437

]

y(t); z(0) = 0

w(t) =

[

1 −11 0

]

z(t) +

[

2−8

]

y(t)

Uma palavrinha de aviso. O metodo de projeto visto ate agora pode seraplicado, como esta realmente sendo, a exemplos simples como estes. A

147

finalidade deles e apenas ilustrar as RFO. O proximo capıtulo sera inteira-mente dedicado a descrever, detalhar e discutir metodos mais elaborados deprojeto, certamente aplicaveis a casos mais gerais do que estes.

As figuras abaixo mostram o comportamento, obtido via simulacao, quea malha fechada teria nas condicoes ideais, se as variaveis de estado fossemusadas no controle u = Fx. Estas curvas sao rotuladas como xi1 e xi2. Asfiguras tambem mostram as curvas obtidas quando se realimenta a plantacom a lei u = Fw, factıvel na pratica. Os rotulos sao agora xl1 e xl2 para oestimador lento, e xr1 e xr2 para o rapido.

-2

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4 5 6

xi1

xr1

xl1

-5

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6

xi2

xr2

xl2

Figura 6.4: Desempenho dos Observadores Completos e do Controle Ideal

Como seria de se esperar, o desempenho do observador com autovaloresem −5 e mais satisfatorio: as variaveis se aproximam mais rapidamente dascurvas ideais. Deve-se reconhecer, entretanto, que mesmo neste melhor casoo comportamento transitorio e caracterizado por um pico cuja amplitudepode ser inaceitavel em algumas aplicacoes praticas. Algumas possibilida-des se apresentam para combater este inconveniente. As condicoes iniciaisdo observador sempre podem ser ajustadas para aperfeicoar a convergencia.Esta estrategia certamente melhoraria o defeito apontado, mas ela pressupoeo conhecimento das condicoes iniciais da planta para que se possa escolheras do observador, e isto pode torna-la impraticavel.

Pode-se pensar em melhorar o desempenho transitorio mudando os auto-valores do observador. Uma maneira sistematica para estudar a influenciada dinamica dos estimadores nos resultados finais do controle sera vistaoportunamente, no capıtulo dos observadores “otimos”, quando tecnicas deControle Otimo Linear Quadratico serao inseridas no projeto. Observado-res mınimos tambem podem ajudar, pois permitem estimativas perfeitas paraalgumas das variaveis de estado, e isto pode ser suficiente para corrigir oupelo menos minorar os problemas detectados. Um estimador mınimo e lentopara a planta em estudo, com autovalores em −1 tem as seguintes equacoes:

z(t) = −z(t) + 2u(t) + y(t); w(t) =

[

01

]

z(t) +

[

1−5

]

y(t)

Reprojetando para os autovalores em −5 o resultado seria

z(t) = −5z(t) + 6u(t) + 37y(t); w(t) =

[

01

]

z(t) +

[

1−9

]

y(t)

148

A simulacoes destes novos esquemas fornece as seguintes curvas:

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

xi1

xr1

xl1

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6

xi2

xr2

xl2

Figura 6.5: Desempenho dos Observadores Mınimos e do Controle Ideal

As amplitudes do transitorio foram reduzidas, e o comportamento globaldo controlador se tornou mais aceitavel. Embora a finalidade principal des-tes exemplos tenha sido a de demonstrar a validade do uso de estimadoresem leis de controle, um aspecto sobre observadores completos e mınimos cha-mou a atencao. Pelo menos para este exemplo o projeto usando estimadoresmınimos foi superior. Isto aconteceria sempre? Pelo fato de gerarem esti-mativas perfeitas para algumas das variaveis, os observadores mınimos saoopcoes sempre interessantes, que podem ser tentadas em qualquer problemade sıntese.

Os resultados acima garantem que, mesmo usando o estado estimado,conseguiremos posicionar arbitrariamente os autovalores da malha fechada,e as possıveis interferencias entre os dois sistemas, planta e observador, seraoinofensivas pois suas dinamicas permanecerao desacopladas e independentes.As equacoes (6.9) e (6.10) tambem mostram que o sinal e = z − Tx eincontrolavel por u. Isto significa que a matriz de transferencia relacionandoy e v ficaria:

Y (s) = C (sI −A−BF )−1BV (s)

Esta expressao poderia levar a concluir que o observador nao influencia amalha fechada e que o efeito da lei de controle seria absolutamente igual querpudessemos medir integralmente o estado quer usassemos um estimador. Arealidade nao e bem assim, conforme os exemplos anteriores apontaram: ouso de observadores permite atingir os efeitos globais desejados, mas distorceos sinais envolvidos.

Para conciliar esta ultima expressao com a realidade mostrada nos exem-plos, lembremos que a matriz de transferencia acima descreve o comporta-mento da malha fechada quando as condicoes iniciais sao nulas: x0 = e0 = 0.Se estes estados iniciais nao forem nulos, como nos exemplos, a inclusao doobservador na malha afetara os sinais. Mas apenas durante o transitorio:ao longo do tempo esta acao diminui e a convergencia assintotica as curvasideais e preservada.

149

6.10 Robustez, Monitores e Compensadores

Que aconteceria se um observador fosse construıdo com matrizes que naosao exatamente as de projeto? ou entao se a planta funcionasse com valoresdiferentes dos valores nominais do modelo? A teoria diz que precisamosconstruir um sistema dinamico com matrizes que, junto com as da planta,satisfazem as RFO. No entanto, imperfeicoes praticas inevitaveis podemfazer com que os valores efetivamente usados na planta e no observadorsejam diferentes dos valores nominais e de projeto. Na maioria das vezes asdiferencas sao pequenas, mas mesmo assim e necessario encarar um problemadesagradavel: esse sistema imperfeito e capaz de continuar estimando?

Seja uma planta descrita por < A0, B0, C0 > para a qual projetamos umobservador caracterizado pelas matrizes G0,H0, J0,M0 e N0. Isto significaque as RFO sao verificadas para estes dados:

TA0 −G0T = J0C0 (6.11)

TB0 = H0 (6.12)

M0T +N0C0 = In (6.13)

λ(G0) ∈ C− (6.14)

De modo geral, sendo V0 o valor de projeto, ou nominal, de uma dadagrandeza, o seu valor real ou efetivo V sera diferente de V0, por causa dasimperfeicoes mencionadas acima. Os componentes podem ter seus valoresnumericos alterados por envelhecimento, ou por efeito de calor ou humidade,ou entao por imprecisao de medida, ou por varios outros motivos possıveis.Normalmente se escreve V = V0+δV e dizemos que δV e uma perturbacaoda grandeza. No caso matricial a perturbacao δV e uma matriz com asmesmas dimensoes de V0. Supondo entao que o observador e construıdocom componentes reais teremos suas matrizes dadas por

G = G0 + δG

H = H0 + δH

J = J0 + δJ

M = M0 + δM

N = N0 + δN

Se os valores modelados para a planta variam, ou sao inexatos, temos

A = A0 + δA

B = B0 + δB

C = C0 + δC

Usar componentes precisos na implementacao, ou entao ter um modeloconfiavel, significa que os δA, δB, δC, δG, δH, δJ, δM e δN sao “pequenos.”Para tornar mais precisa esta linguagem devemos considerar as classes deperturbacoes: sendo o real ǫ > 0 diremos que o sımbolo ΩV (ǫ) denota a

150

classe de perturbacoes δV cujos elementos sao, em modulo, estritamentemenores do que ǫ:

ΩV (ǫ) = δV | ∀i, j |(δV )ij| < ǫ

Quando o valor de ǫ e pouco importante chamaremos ΩV (ǫ) de classe de

perturbacoes arbitrariamente pequenas de V0. Para fixar os conceitosvamos enunciar um resultado conhecido da teoria matricial:

Teorema 6.10.1 Sendo M0 uma matriz quadrada real com λ(M0) ⊂ C−

entao existe ǫ > 0 tal que λ(M0+δM) ⊂ C− para perturbacoes δM ∈ ΩM(ǫ).

Este resultado diz que se os elementos de uma matriz “estavel” foremsubmetidos a perturbacoes dentro de certos limites a matriz resultante con-tinua “estavel.” O calculo do valor maximo de ǫ que ainda preserva a propri-edade esta associado a determinacao do raio da hiperesfera de establidade.Detalhes maiores sobre esses assuntos nao serao vistos aqui; basta-nos saberque perturbacoes “razoaveis” de uma dada matriz quadrada preservam asua estabilidade.

A questao natural levantada por estas consideracoes e: projetado um ob-servador < G0,H0, J0,M0, N0 > para a planta < A0, B0, C0 >, o dispositivomontado com os valores reais < G,H, J,M,N > dados como acima conti-nuara funcionando a contento? E se a planta e descrita nao pelos valoresnominais acima, mas por < A,B,C >?

Comecemos investigando as RFO; se elas continuarem sendo satisfei-tas pelos valores perturbados entao o dispositivo efetivamente construıdofunciona como estimador e pode continuar a ser chamado de observador.Lembrando que a matriz T tem existencia apenas abstrata e nao precisa serimplementada por qualquer sistema real podemos escrever

T (A0 + δA) − (G0 + δG)T = (J0 + δJ)(C0 + δC) (6.15)

T (B0 + δB) = (H0 + δH) (6.16)

(M0 + δM)T + (N0 + δN)(C0 + δC) = In (6.17)

λ(G0 + δG)) ∈ C− (6.18)

O teorema 6.10.1 garante a validade da ultima destas equacoes, paraperturbacoes δG adequadas. Para que as tres primeiras equacoes continuemsendo satisfeitas e necessario e suficiente que

T (δA) − (δG)T − J0(δC) = (δJ)C0 + (δJ)(δC)(6.19)

T (δB) = δH (6.20)

(δM)T +N0(δC) + (δN)C0 + (δN)(δC) = 0 (6.21)

Estas relacoes ensinam que as RFO permanecem validas desde que asperturbacoes satisfacam um conjunto bem definido de restricoes. Como osparametros do mundo real variam de maneira totalmente arbitraria, semsequer supor que deveriam faze-lo de acordo com certas regras, podemosestabelecer o

151

Fato 6.10.1 As RFO dadas pelas equacoes 6.11, 6.12 e 6.13 deixam deser satisfeitas para quase quaisquer perturbacoes δG, δH, δJ, δM e δN dosvalores de projeto e δA, δB, δC dos valores nominais.

O que significa dizer que as RFO deixam de ser satisfeitas? o dispositivoperde completamente a capacidade de estimar os estados da planta? Veja-mos alguns exemplos. A “capacidade de estimar” de um observador seramedida pelo comportamento do erro de estimacao para t → ∞: quandoε(t) → 0 temos uma estimacao perfeita, quando ε(t) nao se anula mas per-manece limitado temos um caso que pode ou nao ser aceito e finalmente,quando o erro cresce indefinidamente temos uma falha total do aparelho.Em primeiro lugar consideraremos o caso de modelo perfeito, ou seja, osparametros do observador podem ser perturbados, mas os da planta nao:δA = δB = δC = 0.

Exemplo 6.10.1 Seja a planta:

x(t) =

[

0 12 2

]

x(t) +

[

1−3

]

u(t); x0 =

[

21

]

; y(t) = [ 1 0 ]x(t)

para a qual se projeta um estimador

z(t) = G0z(t) +H0u(t) + J0y(t); z(0) = z0

w(t) =M0z(t) +N0y(t)

com valores nominais dados por

G0 =

[

−1 00 −1

]

; H0 =

[

−6−6

]

; J0 =

[

−1−1

]

; z0 =

[

−1−2

]

M0 =

[

1 −11 0

]

; N0 =

[

13

]

A sua dinamica e caracterizado por autovalores em −1, e sua funcao eestimar os estados da planta para entrada em degrau unitario u(t) = 1(t).Supomos que o dispositivo efetivamente construıdo opera com os valores

G =

[

−1 00 −1

]

; H =

[

−6−6

]

; J =

[

−0, 99−1, 00

]

; z0 =

[

−1−2

]

M =

[

1 −11 0

]

; N =

[

13

]

Estes valores perturbados sao notavelmente proximos dos nominais: ape-nas o elemento j11 de J tem seu valor alterado, e esta mudanca e pratica-mente desprezıvel. Os graficos abaixo mostram o comportamento do errode estimacao ε(t) = w(t) − x(t), obtido por simulacao. Para o observadornominal o erro tende a zero e a estimacao e perfeita, conforme o esperado,

152

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5

Observador nominal

ε1ε2

0

4

8

12

16

20

0 1 2 3

Observador perturbado

ε1ε2

Figura 6.6: Efeitos de perturbacao

mas para os valores perturbados o erro diverge e qualquer possibilidade deestimacao se perde.

Consideremos agora a planta P estudada nos exemplos 6.6.1 e 6.7.1:

x(t) =

[

0 1−2 −2

]

x(t) +

[

1−3

]

u(t); x0 =

[

21

]

; y(t) = [ 1 0 ]x(t)

O estimador entao projetado obedecia as seguintes equacoes:

z(t) = G0z(t) +H0u(t) + J0y(t); z(0) = z0

w(t) =M0z(t) +N0y(t)

com valores nominais dados por

G0 =

[

−1 00 −1

]

; H0 =

[

−2−2

]

; J0 =

[

−1−1

]

; z0 =

[

−1−2

]

M0 =

[

1 −11 0

]

; N0 =

[

1−1

]

O desempenho resultante e caracterizado por autovalores em −1. Apli-cando como entrada um degrau unitario u(t) = 1(t) verificamos no exemplo6.7.1 que as variaveis w1 e w2 estimam as variaveis x1 e x2, ou seja, o errode estimacao ε(t) = w(t) − x(t) tende assintoticamente a zero. Passamosagora a supor que os valores de projeto sofrem perturbacoes e o dispositivoefetivamente construıdo opera com valores

G =

[

−1, 5 00 −0, 5

]

; H =

[

−1, 7−3, 0

]

; J =

[

−0, 50, 0

]

; z0 =

[

−1−2

]

M =

[

1, 1 −0, 80, 5 0, 0

]

; N =

[

1, 3−1, 1

]

As perturbacoes escolhidas sao consideraveis: ha variacoes de 50 %, 100% e ate mesmo a perda total de um componente, o j21. Note-se que os zerosem A nao foram perturbados, pois se supoe que elementos nulos indicam a

153

-4

-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6

Observador nominal

ε1ε2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

Observador perturbado

ε1ε2

Figura 6.7: Efeitos de perturbacao

ausencia de um elemento fısico cujo valor possa sofrer variacao. O graficoabaixo mostra o comportamento do erro de estimacao ε(t) = w(t) − x(t),obtido por simulacao, para o observador nominal e o real:

O comportamento deste observador pode ser considerado aceitavel, poisembora o erro deixe de tender a zero, ele se mantem limitado. E razoavelespecular que, fossem as perturbacoes mais suaves (da ordem de 10%, comoe comum na pratica), este erro convergiria para valores proximos de zero eo observador perturbado teria um desempenho praticamente normal.

No primeiro caso deste exemplo uma perturbacao mınima em apenasum elemento da implementacao causava mudancas dramaticas no funcio-namento do dispositivo, configurando um comportamento inaceitavel paraum observador real. Neste segundo caso, para perturbacoes exageradamenteintensas os efeitos foram menos violentos.

Este exemplo permite concluir que mudancas nos valores de projeto deum observador podem alterar a sua capacidade de estimar estados. Ha ca-sos em que o erro de estimacao deixa de ser nulo, mas permanece limitado;em outras situacoes, mais drasticas, o observador perturbado perde com-pletamente a capacidade de estimar. Para uma analise mais geral, seja aplanta P modelada por < A0, B0, C0 >, supostos fixos, e um observadorcom implementacao real descrita por

O

z(t) = (G0 + δG)z(t) + (H0 + δH)u(t) + (J0 + δJ)y(t)w(t) = (M0 + δM)z(t) + (N0 + δN)y(t)z(t0) = z0

onde os valores nominais < G0,H0, J0,M0, N0 > solucionam as RFO. Deacordo com os desenvolvimentos teoricos da secao 6.5, temos a expressaoε(t) = Me(t) relacionando o erro de estimacao ε(t) ao erro de operacaoe(t) = z(t) − Tx(t). Mas as colunas de M sao linearmente independentespor hipotese, logo ε(t) tende a zero se e somente se e(t) tambem o faz.Desenvolvendo a derivada de e(t) e usando 6.11 e 6.12 temos

e = z − T x

= (G0 + δG)z + (H0 + δH)u+ (J0 + δJ)y − T (A0x+B0u)

154

= (G0 + δG)z + (H0 + δH − TB0)u+ (J0C0 + (δJ)C0 − TA0)x

= G0z + (δG)z + (δH)u+ (δJ)C0x−G0Tx

= G0e+ (δG)z + (δH)u+ (δJ)C0x

Estamos supondo modelo perfeito, ou seja, δA = δB = δC = 0. Asequacoes 6.19 e 6.20 ficam

(δG)T + (δJ)C0 = 0 e δH = 0

Admitindo que estas restricoes sao satisfeitas o erro passa a ser descritopor

e(t) = G0e(t) + (δG)z(t) − (δG)Tx(t) = (G0 + δG)e(t)

Como G0 e estavel por projeto, o teorema 6.10.1 garante que G0 + δGtambem o sera, para perturbacoes δG razoaveis. Mas este e o gargalo, comoja comentamos. No mundo real nada se pode garantir a priori a respeito dasperturbacoes e devemos considerar a expressao completa

e(t) = G0e(t) + (δG)z(t) + (δH)u(t) + (δJ)C0x(t)

Sendo z(t), u(t) e x(t) sinais limitados podemos garantir que e(t) tambemo sera, pois G0 e estavel. E mais, se os sinais tendem a valores de regimeconstantes e(t) tambem tendera. Neste caso, supondo que as peturbacoesδG, δH e δJ sao “pequenas” podemos admitir que e(t) e ε(t) tendem paravalores de regime proximos de 0, ou seja, o observador e pouco sensıvel.

Entretanto, quando algum (ou varios) dos sinais z(t), u(t) e x(t) crescemindefinidamente, e(t) e ε(t) tambem o farao, a menos de certos casos muitoparticulares. Vejamos por exemplo o caso de uma planta instavel com umacondicao inicial x0 que faz com que x(t) → ∞; a unica possibilidade deeste sinal nao contaminar e(t), levando-o tambem a crescer sem limites, eexigir que as matrizes G0 e (δJ)C0 formem um par incontrolavel. Mas acontrolabilidade e uma propriedade generica, e entao isto poderia acontecerapenas para valores muito especiais da perturbacao. Como a Natureza naose da ao trabalho de calcular estes valores e, caprichosamente, insiste emperturbar grandezas fısicas de maneira arbitraria e imprevisıvel, percebemosa impossibilade de se construir um observador confiavel nestas situacoes.

Dizemos que um Monitor de Estados e um observador construıdo coma finalidade unica de fornecer uma copia visualizavel de variaveis de estadoremotas ou inacessıveis. Esta copia (a saıda w(t) do aparelho) e normalmenteutilizada em tempo real, para se acompanhar a evolucao do processo ousistema, dando aos seus operadores informacoes uteis sobre o desempenhoe que facilitam a tomada de decisoes. Ficou estabelecido nas linhas previasque o funcionamento dos monitores de estado e bastante sensıvel a variacoesnos valores nominais de modelagem e projeto. Um estudo teorico pode serfeito para prever com mais exatidao as situacoes perigosas e para construirartefatos mais robustos, na medida do possıvel. Isto nao sera feito nestaspaginas porque, do ponto de vista de Controle, os observadores sao utilizadospara funcoes diferentes das de apenas monitorar estados.

155

Em Controle, observadores sao empregados para viabilizar realimen-tacoes de estados x inalcancaveis, por meio de seus substitutos w: imple-mentamos u = Fw + v ao inves de u = Fx + v. Um estudo detalhado foifeito na secao 6.9. O diagrama basico e reproduzido agora:

-v -u Px

-y

- Oz

-w?

F

6

Este diagrama apresenta uma particularidade interessante: o sinal w emultiplicado por F e injetado no somador inicial, configurando um casobasico de realimentacao. E bem sabido do Controle Classico que reali-mentacoes negativas tem a tendencia de tornar os sistemas de malha fe-chada menos sensıveis a perturbacoes. Aconteceria aqui a mesma coisa? Arealimentacao caracterizada por F pode ser considerada negativa? Aindade acordo com a secao 6.9, o diagrama de malha fechada acima pode serdescrito pelas equacoes 6.9 e 6.10, aqui repetidas para os valores nominais

[

xe

]

=

[

A0 +B0F0 B0F0M0

0 G0

] [

xe

]

+

[

B0

0

]

v (6.22)

y = [ C0 0 ]

[

xe

]

; w = [ I M0 ]

[

xe

]

(6.23)

A entrada de referencia v pode ser considerada zero, e assim o sistemaacima pode ser escrito como

[

xe

]

=

[

A0 +B0F0 B0F0M0

0 G0

] [

xe

]

(6.24)

Quando a realimentacao de estados e calculada para estabilizar a malhafechada temos λ(A0 + B0F0) ⊂ C−. Observadores, por projeto, sao siste-mas estaveis, logo o sistema expandido acima e estavel, pelo menos para osvalores nominais. Mas aqui entra o teorema 6.10.1 para garantir que

Fato 6.10.2 Quando um observador e usado como parte de uma lei de con-trole estabilizadora por realimentacao de estados, o sistema resultante e ro-busto, ou seja, permanece estavel para perturbacoes nos valores de projetoou modelados pertencentes a uma certa classe.

De maneira geral, dispositivos usados para implementar leis de controlesao chamados de compensadores. Se a finalidade principal e a estabi-lizacao temos compensadores estabilizadores, ou simplesmente estabi-

lizadores. Este ultimo resultado diz que quando um observador faz parte

156

de um compensador estabilizador por realimentacao de estados a imple-mentacao global e capaz de suportar perturbacoes.

Exemplo 6.10.2 Seja a planta:

x(t) =

[

0 12 2

]

x(t) +

[

1−3

]

u(t); x0 =

[

21

]

; y(t) = [ 1 0 ]x(t)

para a qual se projeta o estimador

z(t) = G0z(t) +H0u(t) + J0y(t); z(0) = z0

w(t) =M0z(t) +N0y(t)

com valores nominais dados por

G0 =

[

−8 00 −8

]

; H0 =

[

−13−13

]

; J0 =

[

−78−78

]

; z0 =

[

−1−2

]

M0 =

[

1 −11 0

]

; N0 =

[

110

]

Como a planta e instavel, este aparelho sera, quase certamente, muitosensıvel a perturbacoes, e sua utilizacao pratica como monitor de estadospara esta planta pode ser descartada. A ideia agora e usa-lo em uma leiestabilizadora. Uma realimentacao u = F0x com F0 = [74 68]/13 colocaos autovalores de A0 + B0F0 em −4, estabilizando portanto a malha fe-chada. Usando o observador acima para implementar a lei u = F0w encon-trarıamos, seguindo os desenvolvimentos da secao 6.9, a seguinte equacaopara o sistema planta+observador+lei de controle:

[

xz

]

=

[

A0 +B0F0N0C0 B0F0M0

J0C0 +H0F0N0C0 G0 +H0F0M0

] [

xz

]

onde os valores nominais para a planta e para a lei de controle sao os for-necidos. Vamos supor agora perturbacoes nestes dados, que passam a ser:

A = A0 + δA =

[

0, 0 0, 51, 0 2, 5

]

; B = B0 + δB =

[

0, 1−1, 2

]

;

C = C0 + δC = [0, 7 0, 0] ; F = F0 + δF = [10 24]/12

G = G0 + δG =

[

−0, 6 0, 00, 0 −1, 3

]

; H = H0 + δH =

[

−1, 0−5, 5

]

;

J = J0 + δJ =

[

−0, 1−0, 8

]

; M =M0 + δM =

[

1, 1 −0, 80, 5 0, 0

]

;

N = N0 + δN =

[

1, 31, 1

]

; x0 =

[

21

]

; z0 =

[

−1−2

]

Os leitores sao convidados a verificarem a estabilidade do sistema pe-turbado. As perturbacoes acima estao dentro do limite que se convencionachamar de “razoaveis” e que permitem o funcionamento robusto do compen-sador? ou seria necessario diminuı-las?

157

Ate este ponto a analise se concentrou em modelos perfeitos, e por-tanto fixos, e observadores com parametros perturbaveis. No entanto, umahipotese mais realista de trabalho seria a oposta. E razoavel supor que pode-mos usar componentes de alta qualidade e precisao nas implementacoes dosobservadores. Eles serao mais caros, logico, mas espera-se que seus valoresvariem pouco. Indo ainda mais alem, se o observador for implementado emcomputador digital podemos ate mesmo considerar uma implementacao per-feita, pois os parametros de projeto nao estao associados a grandezas fısicas,e sim a dados de um programa, que uma vez digitados e armazenados podemser considerados fixos e imperturbaveis.

A planta, por outro lado, esta restrita a uma existencia no mundo fısico,com todas as suas imperfeicoes e parametros variantes. Mais grave ainda:mesmo supondo que os parametros da planta sejam fixos, quem nos garanteque os seus valores nominais correspondem a realidade? Os metodos conhe-cidos de identificacao podem ser inexatos e originar modelos < A0, B0, C0 >,diferentes dos valores reais < Ar, Br, Cr >. Seja entao, a partir de agora, ob-servadores fixos e plantas perturbadas. As equacoes 6.19, 6.20 e 6.21 passama ser

T (δA) − J0(δC) = 0 (6.25)

T (δB) = 0 (6.26)

N0(δC) = 0 (6.27)

Os desenvolvimentos e conclusoes sao muito semelhantes aos ja feitospara o caso anterior, de modelo perfeito e estimador perturbado, e os leitoressao convidados a refazerem o caminho. Em resumo: monitores de estadosao muito sensıveis e tem seus comportamentos afetados, sempre. As vezesas consequencias sao toleraveis e os erros de estimacao finitos. Outras vezes,para plantas instaveis, os erros tendem a infinito e inviabilizam qualquertentativa de implementacao.

Para observadores funcionando em malhas estabilizadoras ja se podegarantir a continuacao do funcionamento nominal mesmo em presenca deperturbacoes. Para cada caso, entretanto, e preciso determinar com exatidaoa amplitude maxima das perturbacoes admissıveis.

Por tudo que vimos, os estimadores de estado podem e devem ser usa-dos sem receios na implementacao pratica de compensadores estabilizadorespor realimentacao de estados. Nestas condicoes eles se constituem em umaferramenta de sıntese eficaz e eficiente.

6.11 Comentarios e Referencias

A teoria basica dos observadores, vista neste capıtulo, deve-se a Luenbergere pode ser vista em ......... como exposta pelo autor. As primeiras preo-cupacoes com a robustez datam do inıcio da decada de 1970, como pode servisto em .... (Bhatta papers). Resultados adicionais em robustez e, em par-ticular, resultados sobre a hiperesfera de estabilidade podem ser encontradosem .... (Bhatta book) ou muitos outros.

158

Capıtulo 7

Observadores, construcao

7.1 Introducao

O objetivo agora e essencialmente pratico: construir um observador O parauma dada planta P. Ja vimos que este problema pode ser transformado emum problema de Algebra Matricial: dadas as matrizes reais A(n×n), B(n×m) e C(r × n) encontrar, se possıvel, matrizes reais

T (o× n), G(o× o), H(o×m),J(o× r), M(n× o), N(n× r)

com o ≤ n tais que as expressoes abaixo, chamadas de Relacoes Fundamen-tais dos Observadores, se verifiquem

TA−GT = JC (7.1)

TB = H (7.2)

MT +NC = In (7.3)

λ(G) ∈ C− (7.4)

Tendo encontrado uma solucao para este Problema Matematico Associ-ado, construirıamos o sistema dinamico descrito pelas equacoes:

z(t) = Gz(t) +Hu(t) + Jy(t)w(t) =Mz(t) +Ny(t)

que seria o observador procurado e estimaria assintoticamente os estadosinacessıveis da planta. Apresentaremos neste capıtulo diversos metodos pararesolver o problema matematico associado. A cada um deles relacionaremosum observador. Comparacoes e comentarios serao feitos.

7.2 Metodo # 1

Veremos neste primeiro caso uma maneira simples e direta de encontrar umobservador para uma dada planta. Para resolver o problema matematicoassociado consideraremos

159

T = In

Esta escolha ja define a ordem do estimador: o = n. E mais, (7.2)garante que H = B. Uma maneira trivial de satisfazer (7.3) e M = In eN = 0. Falta atender as equacoes (7.1) e (7.4). Isto se resume a encontrarJ tal que

G = A− JC

tenha seus autovalores em C−. Este problema e conhecido no estudo desistemas lineares, e sua solucao esta relacionada aos conceitos de observa-bilidade e detetabilidade do par < C,A >. Mais detalhes virao em breve;por enquanto, supondo que a planta e observavel, pode-se garantir, por du-alidade, que o par < AT , CT > e controlavel. Agora, encontrar F tal queo espectro de AT + CTF seja livremente designavel e algo bem conhecido,pode-se usar as tecnicas vistas no capıtulo 5. Mas

λ(AT + CTF ) = λ(AT + CTF )T = λ(A+ F TC)

Com isto, verificamos que a matriz J = −F T e a solucao procurada, eja poderıamos construir o observador.

Algoritmo 7.2.1 — Construcao de Observadores, metodo #1

Este algoritmo permite a escolha de matrizes que satisfazem as RFO e asubsequente construcao de observadores de ordem n. A planta e observavel,ou, no mınimo, detetavel, e as matrizes A, B e C sao os dados iniciais, bemcomo os autovalores desejados para o estimador.

Passo 1: Encontrar F (r ×m) tal que os autovalores da matriz AT + CTFestejam em C−.

Passo 2: Calcular J = −F T .

Passo 3: As matrizes J , T = In, G = A − JC, H = B, M = In e N = 0satisfazem as RFO.

Passo 4: O estimador procurado e descrito por

O

z(t) = Gz(t) +Hu(t) + Jy(t)w(t) = z(t)

Exemplo 7.2.1 Seja a planta P descrita por

A =

0 1 00 0 11 2 3

; B =

001

; C = [ 1 0 0 ]

As primeiras escolhas sao triviais:

160

T = I3 H = B M = I3 N = 0

Para determinar J , seja o par dual

AT =

0 0 11 0 20 1 3

; CT =

100

Supondo que desejamos uma rapidez de convergencia caracterizada porautovalores localizados em −1, ou seja, por um polinomio ∆∗(s) = (s+1)3 =s3 + 3s2 + 3s+ 1, podemos usar Ackerman:

F = −[0 0 1]U−1a ∆∗(AT ) = [0 0 − 1](AT + I)3 = [−6 − 23 − 83]

Daqui tiramos

J = −F T =

62383

e G = A− JC =

−6 1 0−23 0 1−82 2 3

O observador pretendido e dado por

z(t) =

−6 1 0−23 0 1−82 2 3

z(t) +

001

u(t) +

62383

y(t)

w(t) = z(t)

Em resumo, para construir um observador para a planta < A,B,C >por meio deste metodo #1 devemos escolher

T = InH = BM = InN = 0

apos o que o problema passa a ser encontrar J tal que G = A−JC tenha seusautovalores em C−. Havendo observabilidade, ou, menos ainda, detetabili-dade, este problema tem solucao. A teoria tambem garante que a observa-bilidade, por ser uma propriedade generica, estara presente “quase sempre”.Para encontrar efetivamente uma solucao podemos usar os resultados dedualidade e transformar o problema em um problema de realimentacao deestados.

Este metodo fornece observadores de ordem completa (n) e pode serusado para plantas com qualquer numero de variaveis de saıda (r ≥ 1).Encontradas matrizes que satisfazem as relacoes fundamentais dos observa-dores, o proximo passo e a implementacao fısica, de acordo com o diagrama

161

-u Px

-y

- H -+ - ∫ -z = w

G

6

J

?

?

Lembrando que G = A − JC este diagrama pode ser modificado paraoutra forma equivalente:

-u Px

-y

- H -+ - ∫ -z = w

A

6

JC

6

+

−

J

?

?

ou ainda

-u Px

-y

- H -+ - ∫ -z = w

A

6

J

?6

C? −

+

Ja vimos isto antes! Era o metodo “intuitivo” de encontrar uma esti-mativa para x, visto na secao (6.3). Mostramos agora a sua validade, elee um caso particular do esquema geral, para o = n e T = In. Alem destainterpretacao, este metodo #1 fornece um procedimento simples, direto egeral para o projeto de estimadores assintoticos. Ele se aplica para qualquer

162

numero de saıdas ou entradas da planta, e fornece um observador de ordemcompleta, com dimensao n, igual a da planta. A atrapalhar um pouco asimplicidade do metodo, haveria apenas o problema operacional da escolhade J . Como escolher um J estabilizante de maneira suave? A possibilidadede se usar os resultados duais e recair em uma situacao conhecida ja foimostrada. Uma possıvel estrategia alternativa envolveria o uso de formascanonicas. Antes de ilustrar estas tecnicas, veremos outro tipo de observadormuito semelhante a este primeiro caso. Mas, antes ainda disto,

7.3 Um pouco de teoria

O problema de, dadas A e C encontrar J de modo a alocar com total liber-dade os autovalores de A− JC e bastante conhecido no estudo de sistemaslineares. Trata-se de um problema de designacao de autovalores por meio deinjecao de saıda. As condicoes de existencia de solucao estao associadasaos conceitos de observabilidade e de detetabilidade do par < C,A >:

Definicao 7.3.1 Um par < C,A > e detetavel quando

posto

[

λ+ I −AC

]

= n

para todo autovalor λ+ de A situado no semiplano direito fechado de C .

Uma interpretacao desse conceito em termos de sistemas dinamicos fa-cilita o entendimento. Seja uma planta P descrita da maneira usual:

P

x(t) = Ax(t) +Bu(t); x(t0) = x0y(t) = Cx(t)

A definicao acima diz apenas que a parte instavel de A deve ser ob-servavel. Dito de outra maneira, se ha uma parte inobservavel do estado daplanta, esta parte deve ser estavel. O proximo resultado atende exatamenteos interesses atuais:

Propriedade 7.3.1 O par < C,A > e detetavel se e somente se existiruma matriz J tal que λ(A− JC) ⊂ C−

Os autovalores de A − JC devem estar todos na regiao “estavel” doplano complexo. Poder encontrar J capaz dessa proeza e equivalente a tero par < C,A > detetavel. O conceito de observabilidade e certamente maisfamiliar a maioria dos leitores. Apresentamos a seguir algumas propriedadesbem conhecidas:

Propriedade 7.3.2 Um par < C,A > e observavel quando

posto

[

λ I −AC

]

= n

para todo autovalor λ de A.

163

Propriedade 7.3.3 O par < C,A > e observavel se e somente se λ(A−JC)e arbitrariamente designavel por escolha de J

Propriedade 7.3.4 Se o par < C,A > e observavel, entao ele sera tambemdetetavel

Vemos assim que a detetabilidade e algo mais suave que a observabili-dade. Se esta ultima estiver presente poderemos alocar livremente os auto-valores de A− JC, por escolha de J . Se houver detetabilidade, garantimosmenos: esses autovalores podem ser apenas colocados na regiao estavel C−.

Observabilidade e controlabilidade sao propriedades genericas. Istoquer dizer que, para matrizes A,B e C escolhidas ao acaso, os pares <A,B > e < C,A > serao controlaveis e observaveis na grande maioria

dos casos. Apenas para escolhas muito particulares das matrizes as pro-priedades falhariam. Do ponto de vista pratico esta situacao e boa, poissignifica que a maioria das plantas e dos sistemas de interesse e controlavele observavel. Como detetabilidade e um requisito ainda menos exigente queobservabilidade, vemos que, pelo menos para o Caso # 1, onde T = In, oproblema de projetar observadores tem solucao de maneira generica. Seriapreciso “muito esforco” para encontrar uma planta inobservavel. E maisainda para uma planta indetetavel.

7.4 Metodo # 2

Usaremos agora uma matriz T (n × n) inversıvel qualquer, nao necessaria-mente a identidade. Mais um vez o observador tera ordem o = n. Esco-lhendo

H = TB, M = T−1, N = 0

satisfazemos (7.2) e (7.3). Supondo mais uma vez que< C,A > e observavel,ou pelo menos detetavel, seja J tal que A − JC tenha seus autovalores emC−. Escolhendo agora

G = T (A− JC)T−1 e J = T J

terıamos

TA−GT = TA− T (A− JC)T−1T

= TA− TA+ T JC

= JC

e com isto satisfazemos (7.1) e (7.4).

Exemplo 7.4.1 Seja a mesma planta do exemplo anterior:

A =

0 1 00 0 11 2 3

; B =

001

; C = [ 1 0 0 ]

164

Escolhendo

T =

1 0 0−3 1 0−2 −3 1

terıamosH = TB M = T−1 N = 0

Supondo que desejamos mais uma vez uma rapidez de convergencia ca-racterizada por autovalores localizados em −1, ou seja, por um polinomio∆∗(s) = (s+1)3 = s3+3s2+3s+1, podemos usar os resultados anteriores:

J =

62383

Daqui temos

J = T J =

652

e G = T (A− JC)T−1 =

−3 1 0−3 0 1−1 0 0

O observador pretendido e dado por

z(t) =

−3 1 0−3 0 1−1 0 0

z(t) +

001

u(t) +

652

y(t)

w(t) = T−1z(t)

O leitor atento tera percebido que o estimador obtido por este processoe o mesmo do caso #1, mas suas equacoes dinamicas estao em outra base.Assim, as avaliacoes e comentarios sobre este metodo sao as mesmas feitasanteriormente.

7.5 Uso de Formas Canonicas

A parte mais trabalhosa dos metodos ja apresentados e a alocacao dos au-tovalores de G; o caminho sugerido era transformar este problema, atravesde dualidade, na busca de uma realimentacao de estados F capaz de desig-nar a contento o espectro de AT + CTF . Problemas deste tipo podem sermuito facilitados quando as matrizes envolvidas exibem determinadas for-mas canonicas, conforme visto no capıtulo 5. A ideia desta secao e aproveitarpossıveis vantagens oferecidas pela particular base em que se encontram asmatrizes A, B, e C. Assim, quando as equacoes dinamicas da planta apre-sentarem certas estruturas particulares, o calculo pratico dos observadorespodera se simplificar.

Com isto queremos dizer que a carga computacional envolvida na re-solucao das relacoes fundamentais dos observadores pode ser abreviada. Em

165

outras palavras, o problema de se encontrar uma injecao de saıda J tal queλ(A − JC) ⊂ C− pode ter solucao direta quando A e C estiverem em de-terminadas formas canonicas.

Aqui, como em quase tudo na vida, os ganhos vem acompanhados de cus-tos, e o preco desta simplificacao estaria no trabalho de se colocar as equacoesdinamicas da planta na base conveniente. No que se segue apresentaremosuma forma canonica para sistemas com uma unica variavel de saıda: r = 1.Um algoritmo para encontrar uma transformacao de equivalencia que colo-que uma planta qualquer nesta particular forma e apresentado em seguida.Logo apos se vera como esta forma canonica efetivamente facilita o projetode observadores. Os casos de observadores de ordem completa e de ordemreduzida serao cobertos. Terminaremos a secao com alguns comentarios.

7.5.1 Sistemas com uma unica variavel de saıda

Consideremos uma planta linear e invariante no tempo descrita pelas e-quacoes dinamicas tradicionais, onde A e C sao:

A =

−an−1 1 0 · · · 0−an−2 0 1 · · · 0

......

. . .

−a1 0 0 · · · 1−a0 0 0 · · · 0

C = [ 1 0 0 · · · 0 ]

Seria imediato verificar que a matriz de observabilidade e inversıvel,donde a necessidade de o sistema ser observavel. Calculando o polinomiocaracterıstico de A encontrarıamos:

∆a(s) = sn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0

Os coeficientes deste polinomio sao os elementos da primeira coluna de A,com os sinais trocados. Esta forma canonica e bastante semelhante a formacanonica observavel para sistemas com uma unica saıda. Sua utilidade ficaclara ao notarmos que, sendo

J =

j1j2...jn

entao o polinomio caracterıstico de A− JC seria dado por

sn + (an−1 + j1)sn−1 + · · ·+ (a1 + jn−1)s + (a0 + jn)

e o problema de alocacao de autovalores por meio de injecao de saıda seresolveria de maneira trivial. Como este assunto e crucial para o estabeleci-mento da rapidez de convergencia dos estimadores de estado, matrizes com

166

este formato particular recebem o nome de Forma Canonica do Obser-

vador. Supondo agora que as matrizes A, B e C da planta sao quaisquer,gostarıamos de encontrar uma mudanca de bases representada porQ (n×n),inversıvel, tal que

Q−1AQ = A

CQ = C

sejam como acima. Conseguido isto, ou seja, estando em uma base onde asmatrizes exibem a estrutura da Forma Canonica do Observador, o calculode J que aloca devidamente os autovalores de A− JC e direto, como vistonas linhas anteriores. A matriz capaz de fazer o servico na base originalseria dada por J = QJ . Estabelecemos a seguir o procedimento operacionalpara se conseguir a mudanca de bases Q responsavel por colocar uma dadaequacao dinamica < A,B,C > na forma do observador. E facil perceberque

Q−1A = AQ−1

C = CQ−1

Transpondo as equacoes e chamando(Q−1

)T= P obtemos

ATP = PAT

CT = PCT

Considerando as estruturas particulares desejadas para A e C, e sendopi a i-esima coluna de P , chegamos ao seguinte conjunto de equacoes:

p1 = CT

p2 =[

AT + an−1I]

p1

p3 =

[(

AT)2

+ an−1AT + an−2I

]

p1

...

pn =

[(

AT)n−1

+ an−1

(

AT)n−2

+ · · ·+ a1I

]

p1

Com isto podemos formalizar um algoritmo de calculo para colocar umaplanta observavel < A,B,C > em uma base onde as matrizes < A, B, C >sejam como as mostradas no inıcio desta secao.

Algoritmo 7.5.1 — Forma Canonica do Observador

Este algoritmo permite a escolha de uma matriz Q capaz de colocar asequacoes dinamica da planta na Forma Canonica do Observador. A plantadeve ser observavel e apresentar apenas uma variavel de saıda: r = 1.

167

Passo 1: Calcular os vetores pi, i = 1, 2, . . . n atraves da formula

pi =

[(

AT)i−1

+ an−1

(

AT)i−2

+ · · · + an−i+1I

]

p1, ∀i ≥ 2

p1 = CT .

Passo 2: Montar a matriz P =[p1 p2 · · · pn

]

Passo 3: Obter Q =(

P T)−1

Passo 4: A forma canonica procurada e dada por A = Q−1AQ, B = Q−1Be C = CQ.

7.5.2 Metodo #3 — Observador de ordem completa

Supomos inicialmente que as matrizes A e C da planta ja se encontram naforma canonica do observador. Devemos entao solucionar as RFO mais umavez. Em primeiro lugar, como no caso #1, escolhemos T = In. Com isto,(7.2) e (7.3) serao trivialmente satisfeitas pondo H = B, M = In e N = 0.Falta ainda escolher J de modo a posicionar o espectro de G = A− JC emC−. Nesta etapa os efeitos simplificadores da forma canonica acima podemser sentidos. Impondo para G um formato semelhante ao de A, teremos

G =

−gn−1 1 0 · · · 0−gn−2 0 1 · · · 0

......

. . .

−g1 0 0 · · · 1−g0 0 0 · · · 0

(7.5)

Tendo G este formato, seus autovalores podem ser designados pela es-colha apropriada dos gi. Concluirıamos tambem que a matriz A − G temtodas as colunas nulas, exceto a primeira:

A−G =

gn−1 − an−1 0 0 · · · 0gn−2 − an−2 0 0 · · · 0

......

...g1 − a1 0 0 · · · 0g0 − a0 0 0 · · · 0

Como devemos ter A −G = JC, e como CCT = 1, podemos encontrarJ a partir de

J = (A−G)CT =

gn−1 − an−1

gn−2 − an−2...

g1 − a1g0 − a0

168

O uso da forma canonica realmente simplificou os calculos: a matriz Jpode ser escolhida de maneira direta, bastando conhecer os coeficientes dopolinomio caracterıstico da planta e os autovalores desejados para o estima-dor. Consideremos agora o caso geral de uma planta P descrita por equacoesdinamicas em uma base qualquer:

P

x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t)

O primeiro passo e providenciar uma transformacao de equivalencia x =Qx de tal modo que as equacoes dinamicas da planta na nova base,

P

.

x (t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

apresentem matrizes A e C com as estruturas desejadas. O algoritmo des-crito na secao anterior pode ser utilizado nesta etapa. A proxima tarefa esolucionar as relacoes fundamentais dos observadores da maneira mostradaacima, usando as matrizes A e C. Ou seja, escolhemos T = In, H = B,M = In, N = 0 e G com os autovalores desejados e com a mesma estruturade A. A matriz J seria calculada a partir de

J = (A−G)CT

E importante lembrar que ao conectar o observador < G,H, J,M,N >aos sinais y e u da planta, a saıda w = z sera uma estimativa assintoticade x e nao de x. Apos multiplica-la por Q obtemos a desejada aproximacaopara x.

Algoritmo 7.5.2 — Construcao de Observadores, metodo #3

Este algoritmo permite a escolha de matrizes que satisfazem as RFO ea subsequente construcao de observadores de ordem completa via uma mu-danca de bases que coloca a planta na Forma Canonica do Observador. Aplanta deve ser observavel, possuir uma unica variavel de saıda, e as matri-zes A, B e C sao os dados iniciais, bem como os autovalores desejados parao estimador.

Passo 1: Encontrar Q(n × n) tal que A = Q−1AQ, B = Q−1B e C = CQestejam na forma canonica do observador (algoritmo 7.5.1).

Passo 2: Sendo ∆g(s) = sn+gn−1sn−1+ · · · +g1 o polinomio caracterıstico

desejado para o estimador, construir a matriz G como em (7.5).

Passo 3: Calcular J = (A−G)CT.

Passo 4: As matrizes T = In, G, H = B, J , M = In e N = 0 satisfazemas RFO.

169

Passo 5: O estimador procurado e descrito por

O

z(t) = Gz(t) +Hu(t) + Jy(t)w(t) =Mz(t)

Sua saıda w(t) = z(t) e uma estimativa para x(t). Para estimar x(t)devemos usar Qw(t).

Exemplo 7.5.1 Seja a planta descrita por

A =

0 1 00 0 11 2 3

; B =

001

; C = [ 1 0 0 ]

O polinomio caracterıstico de A e obtido por inspecao:

s3 − 3s2 − 2s− 1

Usando as formulas anteriores:

p1 = CT =

100

, p2 =

[

AT + an−1I]

p1 =

−310

, p3 = · · · =

−2−31

A obtencao de P e direta, e a de Q e simples:

P =

1 −3 −20 1 −30 0 −1

; Q =

(

P T)−1

=

1 0 03 1 011 3 1

Apos a mudanca de bases teremos

A = Q−1AQ =

3 1 02 0 11 0 0

; B = Q−1B =

001

; C = CQ = C

Desejando rapidez de convergencia caracterizada por autovalores locali-zados em −1 terıamos ∆g(s) = s3 + 3s2 + 3s+ 1 e a matriz G seria

G =

−3 1 0−3 0 1−1 0 0

O calculo de J e suave:

J = (A−G)CT=

652

Como H = B, T =M = I3 e N = 0 o observador pode ser construido apartir da equacao

z(t) = Gz(t) +Hu(t) + Jy(t)

Deve-se sempre lembrar que z(t) = w(t) tende assintoticamente para oestado x(t); a estimativa para x(t) seria dada por Qw(t) = Qz(t).

170

7.5.3 Metodo #4 — Observador mınimo para r = 1

Como temos apenas uma variavel de saıda, a ordem dos estimadores mınimossera o = n− 1. Continuamos supondo que as equacoes dinamicas da plantaestao na forma canonica vista nas ultimas secoes. O primeiro passo sera aescolha de G (n − 1× n − 1) como abaixo, cuja dinamica pode ser arbitra-riamente imposta atraves dos gi.

G =

−gn−2 1 0 · · · 0−gn−3 0 1 · · · 0

......

. . .

−g1 0 0 · · · 1−g0 0 0 · · · 0

Analisemos a equacao (7.1). Dada a forma particular de C, as colunasde JC sao todas nulas, com excecao da primeira, que e a propria J . Assim,T (n − 1 × n) deve ser escolhida de modo que as ultimas colunas de TA −GT sejam nulas. Um raciocınio matricial muito simples mostraria que, seescolhessemos T como Luenberger o fez em seus trabalhos pioneiros,

T =

−gn−2 1...

. . .

−g0 1

conseguirıamos anular as ultimas colunas de AT−GT . A tarefa de encontrarJ e H fica entao simplificada:

J = (TA−GT )CT H = TB

Nos metodos vistos anteriormente a matriz T era a primeira a ser esco-lhida, e sempre de uma maneira simples e obvia. Agora, o pulo do gato estana escolha de T , um pequeno artifıcio que permite uma solucao imediata de(7.1). Para terminar o projeto, consideremos (7.3); ela pode ser reescritacomo:

[ N M ]

[

CT

]

= I

donde deduzimos que

[ N M ] =

[

CT

]−1

=

1 0 · · ·−gn−2 1 0 · · ·

.... . .

−g0 0 · · · 1

−1

A inversa desta ultima matriz pode ser encontrada de maneira direta,dada a sua particular estrutura. Isto levaria a

171

[ N M ] =

1 0 · · ·gn−2 1 0 · · ·...

. . .

g0 0 · · · 1

donde concluimos que

N =

1gn−2...g0

e M =

0 · · · 01

. . .

0 · · · 1

=

[

0In−1

]

O diagrama abaixo ilustra as conexoes a serem feitas para efetivamenteimplementar o estimador

-u Px

- y

- H -+ - ∫ -z

G

6M -+ - w

J

?

?N

?

?

Exemplo 7.5.2 Seja a planta, descrita, ja na base apropriada, por:

A =

1 1 04 0 10 0 0

; B =

1 00 11 0

; C = [ 1 0 0 ]

Supondo que desejamos estimar os estados com um espectro dado pelosautovalores −1,−1 isto significa que desejamos a matriz G com o po-linomio caracterıstico:

(s+ 1)2 = s2 + 2s+ 1

Deste ponto obtemos trivialmente G e, adicionando-lhe uma coluna ex-tra, temos T :

G =

[

−2 1−1 0

]

; T =

[

−2 1 0−1 0 1

]

Podemos calcular

172

TA−GT =

[

2 −2 1−1 −1 0

]

−

[

3 −2 12 −1 0

]

=

[

−1 0 0−3 0 0

]

A primeira coluna desta matriz fornece J ; a obtencao de H tambem edireta, levando a:

J =

[

−1−3

]

H = TB =

[

−2 10 0

]

As matrizes M e N podem ser encontradas fazendo

[

CT

]−1

=

1 0 0−2 1 0−1 0 1

−1

=

1 0 02 1 01 0 1

de onde facilmente identificamos

M =

0 01 00 1

N =

121

Quando as matrizes da planta nao se encontram inicialmente na formacanonica apropriada, devemos providenciar uma mudanca de bases. A sis-tematica precedente seria aplicada as matrizes A, B C, e a saıda w(t) doestimador tenderia ao estado x(t). Para estimar x(t) devemos premultiplicarw(t) por Q. Podemos sintetizar este metodo #4 atraves do

Algoritmo 7.5.3 — Observadores mınimos, metodo #4

Este algoritmo permite a escolha de matrizes que satisfazem as RFO e asubsequente construcao de observadores mınimos via uma mudanca de basesque coloca a planta na Forma Canonica do Observador. A planta deve serobservavel possuir um unica variavel de saıda, e as matrizes A, B e C saoos dados iniciais, bem como os autovalores desejados para o estimador.

Passo 1: Encontrar Q(n × n) tal que A = Q−1AQ, B = Q−1B e C = CQestejam na forma canonica do observador (algoritmo 7.5.1).

Passo 2: Sendo ∆g(s) = sn−1 + gn−2sn−2 + · · · + g1 o polinomio carac-

terıstico desejado para o estimador, construir a matriz G (n−1×n−1)com o formato de (7.5).

Passo 3: Obter T (n−1×n), adicionando a G uma coluna extra v composta

de zeros e de um unico elemento unitario na ultima linha: T = [G...v].

Passo 4: Calcular J = (TA−GT )CT.

173

Passo 5: Calcular

[

CT

]−1

Passo 6: N e a primeira coluna desta matriz, e M e formada pelas n − 1ultimas colunas

Passo 7: As matrizes T , G, H = TB, J , M e N satisfazem as RFO.

Passo 8: O estimador procurado e descrito por

z(t) = Gz(t) +Hu(t) + Jy(t)

w(t) = Mz(t) +Ny(t)

Sua saıda w(t) e uma estimativa para x(t). Para estimar x(t) devemosusar Qw(t).

7.6 Observador Mınimo para o Caso Geral r > 1

Suporemos que C tem posto r. Esta hipotese e muito razoavel; se por acasoela for falsa, isto significa que algumas dentre as r variaveis ds saıda y saolinearmente dependentes das outras e poderiam ser desprezadas. Feito oque obterıamos uma nova matriz C com menos linhas e sem redundancias.Seja entao a planta representada por < A,B,C >, com posto(C) = r. Seriatrivial encontrar uma matriz Q tal que

CQ = [ Ir 0 ]

Fazendo a mudanca de bases encontrarıamos

A = Q−1AQ B = Q−1B C = CQ = [ Ir 0 ]

Para todos os efeitos, estas sao as matrizes que descrevem a planta: as rprimeiras variaveis de estado sao identicas as variaveis de saıda. Fica claroque o observador devera estimar apenas as n−r variaveis restantes. A partirde agora suporemos que a planta, em sua base original, ja apresenta estacaracterıstica; ou seja, nao e necessario encontrar Q tal que CQ = [ Ir 0 ]:

P

x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) = [ Ir 0 ]

Chamemos as r−1 primeiras componente do vetor x de xp e as n− r+1ultimas de xu:

x =

[

xp

xu

]

onde xp =

x1...

xr−1

e xu =

xr...xn

Com isto induzimos particoes em A,B e C:

174

[

xp

xu

]

=

[

A11 A12

A21 A22

] [

xp

xu

]

+

[

B1

B2

]

u

[

yp

yr

]

=

y1...

yr−1

yr

=

1. . .

11 0 . . . 0

x

Escrevendo as equacoes correspondentes a cada particao:

Particao p:

xp = A11xp +A12x

u +B1uyp = xp

Particao u:

xu = A22xu +A21x

p +B2uyr = [ 1 0 . . . 0 ]xu

O vetor xp e totalmente mensuravel, portanto o problema de estimarx fica restrito ao problema de estimar xu. Como xp = yp e mensuravel, asegunda das equacoes acima pode ser reescrita:

xu = A22xu +Be

2ue

yr = [1 0 . . . 0]xu = cxu

onde Be2 = [ B2 A21 ], c = [1 0 . . . 0] e o sinal

ue =

[

uyp

]

e totalmente mensuravel. O sistema < A22, Be2, c > tem ordem n − r + 1,

uma unica saıda, e e observavel, caso contrario o sistema original tambemnao o seria. Podemos construir para ele um observador mınimo de ordem(n − r + 1) − 1 = n − r. Com isto estaremos estimando todo o estado x,como era desejado, e com uma dinamica adicional de ordem apenas n− r.

7.7 Exercıcios

1. Considere a planta descrita pelas equacoes dinamicas

x =

[

3 1−2 0

]

x+

[

10

]

u; y = [1 0]x

Para ela, construa um observador com autovalores em −1,−2

2.

x =

−1 −2 −20 −1 11 0 −1

x+

201

u; y = [1 0 0]x

175

(a) Projetar um observador com autovalores em −1,−1,−1. For-necer as equacoes e o diagrama de blocos.

(b) idem (a) com autovalores em −1,−1.

3. Seja um SLIT monovariavel com funcao de transferencia

ga(s) =s2 + 2s+ 1

s3 − 3s2 + 3s − 1

Sabendo que apenas sua saıda e mensuravel, projetar uma lei de con-trole (equacoes e diagrama de blocos) que acarrete uma funcao detransferencia de malha fechada gf (s) = 1/(s+1). Repetir a dose paragf (s) = 1 e gf (s) = 0.

4. Para um sistema < A,B,C > com entrada u e saıda y construiu-se umobservador < G,H, J,M,N >. Provar que o estado z do observador eincontrolavel por u e inobservavel por y.

5.

x =

−1 0 1 1 00 −1 1 1 10 0 −1 −2 −20 0 0 −1 10 0 1 0 −1

x+

11201

u

y =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 0

x

O sistema acima encontra-se em uma forma bastante particular quepermite o projeto rapido e simples de um observador mınimo. Encon-tre um com polos em −1,−1.

6.

x =

−2 1 0 00 −2 1 00 0 −1 1−1 0 0 0

x+

0001

u; y =

[

1 0 0 00 0 1 0

]

x

Encontre uma transformacao de equivalencia x = Qx que coloqueo sistema acima em uma forma onde se possa aplicar a tecnica doexercıcio anterior para se obter um observador mınimo. E, ja queestamos por aqui mesmo, obtenha-o, com polos em −1,−1.

7.

-r + -eC(s) -u 1

s(s+1)-y

6−

176

Encontre, se possıvel, um compensador C(s) que coloque todos ospolos do sistema em −2. Sugestao: implemente uma realimentacao deestados via observador ou compensador dinamico e veja se e possıvelescrever a solucao obtida no formato acima.

8. Para a matriz abaixo, m(s) = (s+ 1)(s + 2)(s − 3):

G(s) =1

m(s)

[

(s− 3)(2s + 3) (s+ 2)(s − 3)2s2 − 2s− 7 (s+ 2)(2s − 1)

]

(a) Encontre um compensador estatico que posiciona os polos da ma-lha fechada em −1,−2,−3.

(b) Implemente a lei acima por meio de um observador com polo em−1. Apresente diagrama completo.

(c) idem (b) com compensador dinamico mınimo.

9. Encontre um compensador capaz de fazer com que o sistema abaixotenha como espectro λ = −2,−1 ± j

-r + -eC(s) -u 1

s(s+2)-y

6−

10.

G(s) =

[2

s+21

s+11

(s−1)(s+2)s2−αs−2

(s2−1)(s+2)

]

(a) Achar uma realizacao e dizer a ordem das realizacoes mınimas.

(b) Para que valores do parametro α e possıvel reduzir a ordem da re-alizacao encontrada? Que acontecera com o modo desaparecido?

(c) Usando o valor obtido acima para α desacoplar o sistema.

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