surface plasmon resonance using fdtd for single gold nanoparticles
DESCRIPTION
FInal Project at Bachelor Degree Physics Department ITBTRANSCRIPT
STUDI SURFACE PLASMON TERLOKALISASI PADA NANOSPHERE
LOGAM DENGAN METODE FINITE-DIFFERENCE TIME DOMAIN
(FDTD)
TUGAS AKHIR
Karya tulis sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dari Institut Teknologi Bandung
Oleh
Zamzam Ibnu Sina
NIM 10208098
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2013
Lembar Pengesahan
STUDI SURFACE PLASMON TERLOKALISASI PADA NANOSPHERE
LOGAM DENGAN METODE FINITE-DIFFERENCE TIME DOMAIN
(FDTD)
Oleh
Zamzam Ibnu Sina
NIM 10208098 Program Studi Fisika
Institut Teknologi Bandung
Menyetujui,
Tim Pembimbing
Bandung, 21 Juni 2013
Pembimbing I
Agoes Soehianie Ph.D
NIP: 19640510 198903 1 002
Pembimbing II
Alexander A.P. Iskandar Ph.D NIP: 19640808 199001 1 001
i
ABSTRAK
Ketika suatu logam berada pada suatu medan elektromagnetik eksternal, terjadi
eksitasi gelombang elektromagnetik pada perbatasan antara logam dan dielektrik yang
disebut Surface Plasmons atau Surface Plasmons-Polaritons. Hal ini menyebabkan terjadinya
penguatan medan (field enhancement) pada perbatasan antara logam dan dielektrik. Surface
Plasmon terlokalisasi terjadi pada nanopartikel logam. Pengamatan dilakukan dengan
membangun simulasi perambatan gelombang elektromagnetik dengan menempatkan
nanopartikel emas sebagai penghambur. Fenomena resonansi dapat diamati melalui spektrum
hamburan dan serapan yaitu berupa puncak spektrum. Simulasi dilakukan dengan
memecahkan persamaan Maxwell menggunakan metode Finite Difference Time Domain.
Sifat optik logam ketika berinteraksi gelombang elektromagnetik yang bergantung oleh
frekuensi dijelaskan dengan model Drude. Akan tetapi, permitivitas sebagai fungsi frekuensi
dinyatakan dalam fungsi permitivitas model Drude+2 Critical Points (D+2CP) sehingga
dapat digunakan untuk rentang frekuensi yang lebih besar. Hasil simulasi menunjukkan
adanya kebergantungan letak panjang gelombang resonansi terhadap ukuran nanopartikel.
Untuk itu, digunakan teori Mie orde satu untuk memperoleh spektrum hamburan sebagai
pembanding dengan hasil simulasi FDTD.
ii
ABSTRACT
When a metal is under effect of external electromagnetic wave, excitation of
electromagnetic wave occurs at the interface of metal and dielectric known as Surface
Plasmons or Surface Plasmons Polaritons. Excitation of Surface Plasmon leads to field
enhancement at the interface. Localized Surface Plasmon exists in metal nanoparticle.
Observation performed by building a simulation of propagation of electromagnetic wave and
using metal nanoparticle as scatterer. Resonance can be observed via scattering and
absorption spectra. Simulation performed by solving Maxwell equation using Finite
Difference Time Domain method. Optical properties of metal as a function of frequency
explained by Drude Model. However, to make this simulation valid for a wider range of
frequencies, permittivity function of Drude+2 Critical Points model is used. Results show
that resonance wavelength depends on size of the nanoparticles. As a comparison, the results
from calculation with first order Mie theory is used.
iii
KATA PENGANTAR
Maha Suci Allah atas nikmat kehidupan, nikmat ilmu, dan nikmat kesehatan yang
telah diberikan, sehingga karya tulis berjudul “Studi Surface Plasmon Terlokalisasi pada
Nanosphere Logam dengan Metode Finite-Difference Time Domain (FDTD)” dapat
terselesaikan dengan baik. Sholawat serta salam bagi insan terbaik Rasulullah Muhammad
SAW atas perjuangan beliau dan para sahabatnya yang telah membuka sebuah cakrawala
zaman baru dari kegelapan menuju terang-benderang.
Karya tulis ini tidak akan selesai tanpa kontribusi berbagai pihak. Oleh karena itu,
saya ingin mengucapkan terima kasih kepada :
Allah Subhanahu Wata’ala yang telah melindungi, memberi petunjuk, dan memberikan
segala nikmat serta kasih-Nya yang tiada terkira sehingga penelitian ini dapat
diselesaikan .
Ibu dan Bapak yang telah memberikan amanah kepada penulis untuk menyelesaikan
studi di ITB. Terima kasih atas dukungan dan doa yang selalu menyertai hari-hari penulis,
Semoga Allah selalu memberikan perlindungan dan rahmat kepada Ibu dan Bapak.
Seluruh keluarga yang selalu mendoakan dan memotivasi.
Bapak Agoes Soehianie Ph.D sebagai pembimbing yang telah banyak memberikan ilmu,
membantu, serta memberikan masukkan dan dukungan yang besar kepada penulis
sehingga terselesaikannya tugas akhir ini.
Bapak Alexander A.P. Iskandar dan Bapak Prof. Tjia May On atas dukungan dan saran-
sarannya dalam diskusi.
Staff tata usaha prodi fisika, Pak Yeye, Pak Dedi, Pak Imbalo, Bu Ratna, dan staff lain,
yang telah sabar dan bekerja keras memberikan pelayanan yang terbaik kepada
mahasiswa-mahasiswa fisika.
Saudara Panji Achmari sebagai sahabat dan pelopor dari studi ini yang banyak
membantu dan memberi saran-saran yang bermanfaat bagi keberjalanan tugas akhir ini.
Teman-teman Pengurus lab UPK Fisika sebagai tempat penulis menghabiskan waktu.
Saudara Dani Irawan yang banyak membantu penulis dalam mengolah data. Alderizal,
Edi Parlindungan, dan Khoerudin atas pinjaman laptopnya. Serta kawan-kawan lab
lainnya Haekal, James, Ifa, Chandra dan Abu Rizal.
iv
Demikian kata pengantar sebagai pembuka dari karya tulis ini. Saya sampaikan maaf
yang sebesar-besarnya jika terdapat kekurangan pada karya tulis ini. Saya sangat menghargai
jika terdapat kritik dan saran yang ingin disampaikan pembaca dapat dikirimkan melalui
email saya, zamzam.itb@gmail,com.
Bandung, Juni 2013
Zamzam Ibnu Sina
v
DAFTAR ISI
Daftar Isi ............................................................................................................................... v
Daftar Gambar .................................................................................................................... vii
Daftar Tabel .......................................................................................................................... x
Bab I Pendahuluan ................................................................................................................ 1
1.1 Latar Belakang ..................................................................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian .................................................................................................. 3
1.3 Metode Penelitian ................................................................................................ 3
1.4 Sistematika Penulisan .......................................................................................... 4
Bab II Teori Dasar.................................................................................................................. 6
2.1 Sifat Dielektrik Logam ......................................................................................... 7
2.2 Model Gas Elektron Bebas / Model Drude ........................................................... 8
2.3 Model Analitik Surface Plasmon ........................................................................ 10
2.3.1 Pendekatan Quasi-statik ....................................................................... 10
2.3.2 Teori Mie Orde Pertama ...................................................................... 12
2.3.3 Penampang-Lintang Hamburan dan Serapan ........................................ 13
Bab III Simulasi Gelombang Elektromagnetik Dengan Metode Finite-Difference Time
Domain (FDTD) ..................................................................................................... 15
3.1 Persamaan Gelombang dan Persamaan Maxwell ................................................ 15
3.2 Algoritma FDTD ............................................................................................... 16
3.3 Perbatasan Medan Total / Medan Terhambur (TFSF) .......................................... 21
3.4 Gelombang Sumber ........................................................................................... 23
3.5 FDTD untuk 3 Dimensi ...................................................................................... 25
3.6 Syarat Batas Penyerap ........................................................................................ 26
3.7 Impelementasi Model Drude+2 Critical Points ................................................... 27
Bab IV. Analisis Surface Plasmon Terlokalisasi Melalui Spektrum Hamburan & Serapan
Serta Profil Medan .................................................................................................. 34
4.1 Surface Plasmon Berdasarkan Tinjauan Analitik ................................................ 35
4.2 Data Eksperimen Spektrum Hamburan ............................................................... 37
4.3 Hasil Simulasi Finite Difference Time Domain ................................................... 38
vi
4.3.1 Spektrum Hamburan, Serapan dan Extinction oleh Nanopartikel Emas
Tunggal .................................................................................................. 38
4.3.2 Profil Medan Elektromagnetik pada Daerah Simulasi ............................. 45
4.3.3 Spektrum Hamburan dan Serapan oleh Nanopartikel Emas dengan Objek
Tambahan ............................................................................................... 47
Bab V Kesimpulan dan Saran ............................................................................................... 49
5.1 Kesimpulan......................................................................................................... 49
5.2 Saran .................................................................................................................. 49
Daftar Pustaka ..................................................................................................................... 50
vii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1. Osilasi awan elektron (plasmon) pada nanopartikel logam akibat
pengaruh medan listrik ................................................................................... 1
Gambar 2.1. Contoh distribusi medan listrik di sekitar nanopartikel emas
berdiameter 60 nm ketika terjadi resonansi yang dihasilkan dengan
metode numerik Discrete Dipole Approximation (DDA).................................. 6
Gambar 2.2. Permitivitas logam emas dengan bagian imajiner (a) dan bagian real (b)
sebagai fungsi panjang gelombang yang diperoleh model Drude (garis)
dan juga data eksperimen Johnson dan Christy (titik) ....................................... 8
Gambar 2.3. Sketsa bola homogen dalam medan elektrostatik dengan potensial
ditinjau pada titik P........................................................................................ 10
Gambar 3.1. Sketsa susunan titik-titik medan dalam ruang dan waktu. Titik medan
listrik digambarkan dengan simbol lingkaran dan medan magnet dengan
simbol segitiga .............................................................................................. 19
Gambar 3.2. Susunan titik-titik medan setelah persamaan update H diberlakukan ke
seluruh titik medan magnet ............................................................................ 20
Gambar 3.3. Skema letak kotak detektor serapan dan detektor hamburan yang pada
daerah simulasi .............................................................................................. 21
Gambar 3.4. Skema titik-titik medan pada daerah perbatasan medan total/medan
terhambur ...................................................................................................... 22
Gambar 3.5. Kisi Yee yang menggambarkan lokasi titik-titik medan dalam ruang .............. 25
Gambar 3.6. Contoh susunan parameter � dalam algoritma PML pada bidang �
konstan pada daerah simulasi ......................................................................... 27
Gambar 3.7. Perbandingan permitivitas model D+2CP, Drude, dan data eksperimen
Johnson & Christy. Bagian imajiner permitivitas (a) dan bagian real
permitivitas (b) .............................................................................................. 28
Gambar 4.1. Spektrum hamburan dan serapan dengan model quasi-statik dan teori
Mie untuk bola emas dengan diameter 20 nm................................................. 36
Gambar 4.2. Spektrum serapan untuk nanopartikel emas dengan diameter 20 nm, 40
nm, 60 nm, 80 nm, 100 nm, 120 nm, dan 150 nm dengan teori Mie................ 36
viii
Gambar 4.3 Spektum hamburan nanopartikel emas tunggal berbagai ukuran dengan
dark-field microscopy (hitam) yang dicocokkan dengan perhitungan
teori Mie (biru) dengan data permitivitas empirik ........................................... 38
Gambar 4.4. Flux serapan (a) dan hamburan (b) untuk nanopartikel logam dengan
diameter 40 nm ketika disinari oleh cahaya dengan panjang gelombang
520 nm .......................................................................................................... 40
Gambar 4.5. Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 20 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Keadaan resonansi terjadi
pada panjang gelombang 537 nm atau setara 2.308 eV ................................... 40
Gambar 4.6. Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 40 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Keadaan resonansi terjadi
pada panjang gelombang 544 nm atau setara 2.27 eV ..................................... 41
Gambar 4.7. Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 60 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak spektrum
hamburan terjadi pada panjang gelombang 554 nm atau setara 2.23 eV .......... 42
Gambar 4.8. Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 80 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak spektrum
hamburan terjadi pada panjang gelombang 588 nm atau setara 2.108 eV ........ 42
Gambar 4.9. Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 100 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak spektrum
hamburan terjadi pada panjang gelombang 615 nm atau setara 2.01 eV .......... 43
Gambar 4.10. Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 20 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak spektrum
hamburan terjadi pada panjang gelombang 676 nm atau setara 1.83 eV .......... 43
Gambar 4.11. Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 150 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak spektrum
hamburan terjadi pada panjang gelombang 747 nm atau setara 1.66 eV .......... 44
Gambar 4.12. Perbandingan pengaruh diameter terhadap panjang gelombang resonansi
berdasarkan hasil simulasi dengan teori Mie orde satu .................................... 45
Gambar 4.13. Pola intensitas medan listrik nanopartikel emas dengan diameter 100
nm ketika terjadi tidak terjadi resonansi yaitu � = 500 nm (a), dan
ketika terjadi resonansi � = 615 nm(b). Gambar diambil pada bidang y
konstan yang mengiris bola pada pusatnya ..................................................... 46
ix
Gambar 4.14. Spektrum balok emas dengan ketebalan 150 nm dan bidang normal
100 × 100 nm. Nilai intensitas ternormalisasi terhadap spektrum
extinction. Puncak spektrum hamburan terjadi pada panjang gelombang
sekitar 650 nm ............................................................................................... 47
Gambar4.15. Spektrum nanopartikel emas berdiameter 20 nm yang (a)menempel
pada ;(b) berjarak 35 nm dari; balok emas dengan ketebalan 150 nm .............. 48
x
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1. Nilai parameter yang digunakan dengan optimasi pada rentang panjang
gelombang 200-1000 nm .................................................................................... 33
Tabel 4.1. Perhitungan puncak spektrum serapan dari nanopartikel emas berbagai
ukuran dengan teori Mie orde satu yang dinyatakan dalam panjang
gelombang dan energi ......................................................................................... 37
Tabel 4.2. Posisi puncak pada spektrum serapan nanopartikel emas berbagai ukuran
yang diperoleh dengan simulasi FDTD, dinyatakan dalam panjang
gelombang dan energi .................................................................................. 44
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Cabang studi dalam fisika optik yang mempelajari respon dari suatu logam
ketika berinteraksi dengan medan elektromagnetik dikenal sebagai plasmonik.
Beberapa gejala optik yang menarik dapat terjadi ketika logam berinteraksi
dengan gelombang EM. Bila terjadi kecocokan fasa (phase matching) antara fasa
plasma elektron dengan medan EM, akan terjadi eksitasi medan elektromagnetik
pada antarmuka (interface) antara logam dan dielektrik yang disebut surface
plasmon polaritons (SPP). Ketika cahaya yang datang memiliki energi yang tepat,
dapat terjadi resonansi antara gelombang tersebut dengan SPP. Efek resonansi ini
disebut Surface Plasmon Resonance (SPR)[1].
Dalam beberapa tahun terakhir, penelitian-penelitian dan pengembangan
yang berkaitan dengan SPPs juga mulai banyak diminati karena sifat-sifatnya
yang unik dan aplikasinya dalam optik misalnya, Surface-Enhanced Raman
Spectroscopy (SERS), penyimpanan data, sel surya, sensor, dan lain-lain[1].
Pada studi ini, dilakukan simulasi dan analisis interaksi antara gelombang
EM dengan nanopartikel emas berbagai ukuran. Karena yang digunakan adalah
nanopartikel logam, maka yang teramati adalah Surface Plasmon Terlokalisasi
(Localized Surface Plasmon (LSPR)). Ketika terjadi LSPR terjadi pengumpulan
(lokalisasi) muatan dan energi di sekitar permukaan nanopartikel.
Gambar 1.1. Osilasi awan elektron (plasmon) pada nanopartikel logam akibat pengaruh
medan listrik[2].
2
Secara garis besar, LSPR dipengaruhi oleh sifat dielektrik berupa
permitivitas bahan dan ukuran serta bentuk partikel logam yang digunakan[3,4].
Studi ini merupakan kelanjutan dan perluasan dari studi sebelumnya[5], tentang
surface plasmons pada nanopartikel emas dilakukan menggunakan simulasi
FDTD. Studi tersebut menyatakan permitivitas logam sebagai fungsi frekuensi
berdasarkan model Drude. Akan tetapi, model Drude memiliki kelemahan yaitu
tidak mampu menggambarkan permitivitas secara akurat pada daerah interband
transitions untuk logam emas pada energi lebih dari 1.8 eV (� kurang dari 600
nm), model Drude tidak dapat digunakan[4,5].
Kelemahan lain model Drude adalah, simulasi FDTD dengan model Drude
tidak mencapai keadaan tunak (steady state) pada rentang panjang gelombang
400-500 nm, sehingga data rata-rata yang diambil pada rentang tersebut menjadi
kurang valid. Karena keterbatasan model Drude tersebut, dibutuhkan perbaikan
pada model permitivitas yang digunakan. Dalam studi ini, perbaikan model Drude
dilakukan dengan mengadopsi model Drude dengan tambahan 2 Critical
Points[6,7,8]. Dengan perbaikan tersebut diharapkan simulasi FDTD ini dapat
digunakan untuk rentang panjang gelombang yang lebih besar sehingga dapat
digunakan untuk analisis plasmonik untuk ukuran nanopartikel yang lebih kecil.
Perumusan Masalah
Topik dalam penelitian tugas akhir ini adalah “Studi surface plasmon
terlokalisasi untuk nanopartikel emas dengan metode Finite Difference Time
Domain (FDTD) dengan model Drude + 2 Critical Points”.
Studi ini, digunakan program simulasi dari studi sebelumnya[5] dengan
memodifikasinya pada bagian implementasi model Drude. Pada studi
sebelumnya[5], model Drude diimplementasikan dengan metode Auxilliary
Differential Equation (ADE)[9]. Pendekatan ADE yaitu mengubah respon
frekuensi permitivitas logam menjadi bentuk persamaan differensial dalam
domain waktu sehingga dapat dijalankan secara simultan dalam perhitungan solusi
persamaan Gelombang EM dalam domain waktu. Dengan perbaikan model Drude
3
menjadi model Drude + 2 Critical Points, implementasi ke dalam algoritma FDTD
perlu disesuaikan juga. Hal ini dikarenakan bentuk permitivitas dalam model
Drude-Critical Points menjadi lebih rumit untuk diselesaikan dengan ADE,
sehingga digunakan metode Trapezoidal Recursive Convolution (TRC) [5,6].
1.2. Tujuan Penelitian
Tujuan studi tugas akhir ini adalah:
i. Membangun program simulasi FDTD untuk rentang panjang
gelombang yang lebih besar.
ii. Simulasi surface plasmon untuk nanopartikel dengan berbagai ukuran
diameter.
iii. Membandingkan hasil simulasi dengan berbagai studi dan metode
selain FDTD.
1.3. Metode Penelitian
Studi tugas akhir ini dilakukan melalui beberapa tahap antara lain :
a. Studi Pustaka
Studi pustaka digunakan untuk mempelajari teori-teori dasar gelombang EM dan
interaksinya dengan logam dan juga mempelajari hasil-hasil eksperimen terkait,
serta mempelajari hasil simulasi FDTD sebelumnya.
b. Pengembangan Program Simulasi
Program simulasi dilakukan menggunakan MATLAB dengan metode FDTD.
Input program adalah geometri nanopartikel, jenis bahan nanopartikel, serta
panjang gelombang (�) gelombang EM yang digunakan. Output program berupa
nilai medan E dan H sebagai fungsi ruang dan waktu. Selanjutnya, dari output
tersebut dapat diolah lebih jauh untuk mendapatkan besaran-besaran seperti, flux
hamburan dan flux serapan sebagai fungsi waktu (timestep). Spektrum hamburan
4
dan serapan dihitung berdasarkan nilai rata-rata flux terhadap waktu setelah
fluxnya telah mencapai keadaan tunak untuk setiap panjang gelombang.
c. Analisis data simulasi
Sebelum digunakan dalam perhitungan, program simulasi divalidasi dengan
menjalankan program tanpa adanya nanopartikel. Hal ini dilakukan untuk melihat
kinerja syarat batas penyerap (PML) [9,10]. Selanjutnya, analisis data simulasi
dikalibrasikan dengan membandingkan bentuk spektrum serapan dan hamburan
serta letak daerah resonansi nanopartikel emas berbentuk bola berbagai ukuran
dengan prediksi teori analitik pada daerah-daerah panjang gelombang tertentu,
dan juga dibandingkan secara kualitatif dengan hasil eksperimen.
1.4. Sistematika Penulisan
Pada bab 1, secara sekilas digambarkan fenomena Surface Plasmon Resonance
dan beberapa aplikasi yang umum. Selain itu, dijelaskan beberapa kekurangan
pada studi sebelumnya untuk diperbaiki pada studi ini.
Selanjutnya pada bab 2, diuraikan teori-teori dasar yang berkaitan dengan sifat
optik logam yang secara umum dapat dijelaskan oleh model Drude. Dijelaskan
juga fenomena Surface Plasmon Resonance beserta analisisnya dengan model-
model yang berkaitan, sampai dengan perhitungan penampang lintang hamburan
dan serapan untuk memperoleh spektrum hamburan dan serapan.
Pada bab 3, metode yang digunakan yaitu Finite Difference Time Domain (FDTD)
dibahas secara sederhana mulai dari persamaan Maxwell sampai dengan algoritma
FDTD. Selanjutnya, dijelaskan juga implementasi model Drude + 2CP ke dalam
algoritma FDTD.
Pada bab 4, data eksperimen, data teoretik, dan hasil simulasi FDTD ditampilkan
dan dibandingkan. Selain itu juga ditunjukkan adanya lokalisasi terjadi ketika
panjang gelombang yang digunakan adalah panjang gelombang resonansi yaitu
5
ketika panjang gelombang ketika terjadi puncak pada spektrum hamburan atau
serapan.
Bab 5 berisi beberapa kesimpulan dari tugas akhir ini dan juga saran terkait
dengan kelanjutan dari studi tugas akhir ini.
6
BAB II
TEORI DASAR
Interaksi Logam dengan Gelombang Elektromagnetik
Cahaya merupakan gelombang elektromagnetik yang memiliki komponen
medan listrik dan medan magnet. Ketika suatu nanopartikel logam berada dalam
pengaruh gelombang elektromagnetik (disinari cahaya), osilasi medan listrik dari
gelombang tersebut menyebabkan adanya osilasi kolektif dari elektron-elektron
permukaan nanopartikel logam (gambar 1.1). Osilasi kolektif dari elektron-
elektron menghasilkan adanya eksitasi medan elektromagnetik yang terlokalisasi
pada permukaan batas antara nanopartikel logam dengan medium latar belakang
(background). Ketika frekuensi cahaya sama dengan frekuensi osilasi dari
elektron, terjadilah surface plasmon resonance. Pada keadaan ini, intensitas
medan elektromagnetik di sekitar nanopartikel logam lebih besar dibandingkan
daerah lainnya karena terjadinya near-field enhancement. Selain itu, pada saat
terjadi resonansi, energi yang hilang oleh nanopartikel akibat serapan dan
hamburan bernilai maksimum.
Gambar 2.1. Contoh distribusi medan listrik di sekitar nanopartikel emas
berdiameter 60 nm ketika terjadi resonansi yang dihasilkan dengan metode
numerik Discrete Dipole Approximation (DDA).
7
Karakteristik surface plasmon resonance sangat dipengaruhi oleh sifat
dielektrik dari logam yang digunakan. Selain itu, ukuran dan bentuk dari
nanopartikel logam juga memiliki pengaruh yang kuat terhadap pola spektrum
hamburan dan serapannya. Pada bab ini akan dijelaskan bagaimana hal-hal
tersebut mempengaruhi karakteristik surface plasmon dengan menghitung
intensitas yang dihamburkan dan diserap oleh nanopartikel logam.
2.1. Sifat Dielektrik Logam
Dalam mempelajari interaksi gelombang elektromagnetik dengan logam,
sifat optik dari logam (khususnya logam mulia) perlu dibahas terlebih dahulu. Hal
ini dikarenakan, respon logam terhadap gelombang elektromagnetik yang
dinyatakan dalam permitivitas atau indeks bias kompleksnya sangat bergantung
pada frekuensi gelombang elektromagnetik.
Telah diketahui dengan baik, bahwa pada rentang panjang gelombang
cahaya tampak (400-700 nm) logam tidak memungkinkan adanya gelombang
elektromagnetik yang dapat merambat melaluinya. Dengan kata lain, logam
bersifat sangat reflektif. Pada daerah panjang gelombang yang lebih rendah (UV
10-390 nm), gelombang elektromagnetik dapat menembus logam.
Sifat optik logam ini digambarkan oleh konstanta dielektrik kompleks
sebagai fungsi frekuensi �(�) = ��(�) + ���(�) . Konstanta dielektrik atau
disebut juga permitivitas relatif suatu bahan memiliki hubungan dengan indeks
bias kompleks �(�) = ��(�) + ���(�) yang dinyatakan dengan[11]
)2()( 2122
21
2 nninnn (2.1)
Bagian real dari indeks bias kompleks memberikan informasi tentang kecepatan
fasa dalam medium (dalam hal ini logam), sedangkan bagian imajiner dari indeks
bias terkait dengan penurunan amplitudo (atenuasi) gelombang elektromagnetik
serta koefisien serapan[4].
8
Data eksperimen indeks bias kompleks sebagai fungsi energi untuk logam-
logam mulia seperti tembaga, perak, dan emas telah diperoleh oleh Johnson dan
Christy[12].
2.2. Model Gas Elektron Bebas/ Model Drude
Pada rentang frekuensi tertentu, konstanta dielektrik kompleks sebagai
fungsi frekuensi dapat dijelaskan dengan model gas elektron bebas atau disebut
model plasma[4]. Model ini menjelaskan gerak osilasi gas elektron bebas secara
kolektif ketika diberi medan listrik luar serta adanya redaman akibat tumbukan
antar elektron dengan frekuensi � = 1/� dengan � disebut waktu relaksasi gas
elektron bebas. Jikalau energi foton gelombang EM yang dipakai mencapai nilai
tertentu, energi foton ini dapat mengeksitasi elektron dari pita valensi ke pita
konduksi yang disebut transisi antarpita (interband transitions). Untuk emas, hal
ini terjadi pada rentang cahaya tampak (sekitar 600 nm).
(a) (b)
Gambar 2.2. Permitivitas logam emas dengan bagian imajiner (a) dan bagian real (b)
sebagai fungsi panjang gelombang yang diperoleh model Drude (garis) dan juga data
eksperimen Johnson dan Christy (titik)[12].
Persamaan gerak plasma elektron dalam pengaruh medan listrik luar � dan
koefisien redaman � dapat dituliskan
9
Exx emm (2.2)
dengan � adalah massa efektif plasma elektron dan � adalah muatan elektron.
Jika diasumsikan medan listrik luar berupa medan harmonis �(�) = �������
maka solusi umum untuk � persamaan (2.2) adalah
tim
et Ex
2
(2.3)
Perpindahan elektron menghasilkan polarisasi pada bahan dengan
hubungan � = − ���, dengan � adalah jumlah elektron per volume. Selain itu,
terdapat polarisasi akibat kontribusi ion-ion di latar belakang yang disebut
polarisasi residu �� sebesar
EP 10 (2.4)
dengan �� adalah permitivitas residu. Sehingga, polarisasi total adalah
EP
102
2
im
ne
(2.5)
Hubungan medan perpindahan � dengan medan listrik � dan polarisasi bahan �
adalah
PED 0 (2.6)
Dengan persamaan (2.5), persamaan (2.6) dapat ditulis ulang menjadi
ED 0
(2.7)
dengan permitivitas relatif adalah
i
p
2
2
(2.8)
10
dengan ��� =
���
��� adalah frekuensi plasma dari gas elektron bebas. Persamaan ini
dikenal sebagai permitivitas Model Drude[4,10].
2.3. Model Analitik Surface Plasmon
2.3.1. Pendekatan Quasi-statik
Setelah karakteristik logam dan model analitik dari permitivitas logam
dibahas, pembahasan dilanjutkan dengan meninjau bagaimana interaksi antara
nanopartikel logam dengan gelombang elektromagnetik (cahaya) sampai
terpenuhi syarat terjadinya resonansi untuk melihat bagaimana bentuk dan ukuran
logam mempengaruhi resonansi. Pertama-tama, surface plasmon dimodelkan
dengan pendekatan yang paling sederhana yaitu dengan model quasi-statik.
Pendekatan ini berlaku ketika ukuran partikel jauh lebih kecil dibandingkan
dengan panjang gelombang cahaya di medium sekelilingnya (� ≪ �)[4].
Tinjau suatu bola logam homogen isotropik dengan jari-jari � yang
diletakkan dalam suatu medan listrik statis (Gambar 2.3), respon dielektrik bola
logam ini dilihat dari permitivitas � sebagai fungsi dari frekuensi �.
Gambar 2.3. Sketsa bola homogen dalam medan elektrostatik dengan potensial ditinjau
pada titik P[4].
Dengan pendekatan elektrostatik, medan listrik dapat diperoleh dengan solusi
persamaan Laplace untuk potensial ∇�Φ = 0 dengan hubungan � = −∇Φ . Karena
11
pada kasus ini potensial bersimetri azimuth, maka solusi umum persamaan
Laplace
cos,0
1l
l
ll
ll PrBrAr
(2.9)
dimana ��(cos�) merupakan polinomial Legendre orde �. Karena potensial pada
pusat bola harus berhingga, maka solusi umum potensial di dalam dan luar bola
adalah
cos,0
ll
llin PrAr
(2.10)
cos,0
1l
l
ll
llout PrCrBr
(2.11)
Dengan syarat batas pada permukaan bola dan bahwa potensial pada � → ∞
adalah –���cos�, diperoleh
cos
2
3, 0rEr
m
min
(2.12)
2
300
cos
2cos,
raErEr
m
mout
(2.13)
Secara fisis, dapat diinterpretasi bahwa Φ ��� merupakan superposisi dari
kontribusi medan luar dan juga dipol yang terletak di pusat bola. Oleh karena itu,
persamaan (2.13) dapat ditulis ulang sebagai
3
0
04
cos,r
rErm
out
rp
(2.14)
dengan
0
30
24 Ep
m
mma
(2.15)
Dapat dilihat bahwa medan luar menginduksi momen dipol di pusat bola dengan
nilai sebanding dengan |��|. Dengan mendefinisikan polarizabilitas � melalui
hubungan � = ���� ���, diperoleh
12
m
ma
24 3
(2.16)
Polarizabilitas maksimum dicapai dengan memenuhi syarat yang disebut kondisi
Frohlich[4] yaitu
m 2Re
(2.17)
2.3.2 Teori Mie Orde Pertama
Seperti yang telah dijelaskan, pendekatan quasi-statik dapat digunakan
untuk partikel dengan diameter yang jauh lebih kecil dibanding panjang
gelombang cahaya, sedangkan untuk ukuran yang lebih besar pendekatan ini tidak
dapat digunakan lagi.
Untuk ukuran yang lebih besar, polarizabilitas diperoleh dengan
perhitungan menggunakan teori Mie orde satu yang diusulkan oleh Gustav Mie
pada tahun 1908[13,14].
4
3
42301
31
42101
30
2/32
10
1
xOix
xOxV
m
m
m
m
m
(2.18)
dengan � =���
� disebut size parameter (parameter ukuran).
Pendekatan yang dilakukan oleh Mie adalah dengan mengekspansi medan
internal dan medan terhambur ke dalam suatu set mode normal dari vektor
harmonik. Dalam teori Mie, efek keterlambatan fasa gelombang dan medan
depolarisasi dimasukkan dalam perhitungan yaitu masing-masing pada suku
kedua pembilang dan suku kedua penyebut di persamaan(2.18). Sedangkan suku
ketiga penyebut dari persamaan (2.18) adalah kontribusi redaman radiasi
(radiation damping) yang disebabkan oleh radiasi meluruhnya osilasi elektron
koheren menjadi foton[4].
13
2.3.3 Penampang-lintang Hamburan dan Serapan
Pada studi ini, analisis interaksi nanopartikel logam dengan gelombang
elektromagnetik diarahkan pada kasus hamburan dengan nanopartikel sebagai
penghambur dan juga penyerap cahaya.
Fenomena resonansi diindikasikan oleh spektrum hamburan dan serapan
dari partikel yaitu ketika spektrum hamburan dan serapan bernilai maksimum.
Besarnya radiasi yang dihamburkan dan diserap oleh nanopartikel logam dapat
dilihat dari nilai penampang-lintang hamburan dan serapan. Penampang-lintang
hamburan ���� dan serapan ���� dapat diturunkan dari vektor Poynting radiasi
gelombang elektromagnetik dan juga berhubungan dengan polarizabilitas �
yaitu[4,14]
2
4
6
kCsca (2.19)
ImkCabs (2.20)
dengan � =��
� adalah bilangan gelombang dan � adalah polarizabilitas partikel
logam. Dapat dilihat bahwa persamaan di atas juga menunjukkkan kesesuaian
bahwa hamburan dan serapan bernilai maksimum (resonansi) ketika kondisi
Frohlich(2.17) terpenuhi. Penjumlahan penampang-lintang hamburan dan
penampang-lintang serapan disebut penampang-lintang kepunahan ���� yang
menyatakan banyaknya gelombang elektromagnetik yang hilang dari gelombang
datang.
absscaext CCC
(2.21)
Ketika digunakan pendekatan quasi-statik, ukuran nanopartikel hanya
mempengaruhi nilai maksimum pada spektrum. Akan tetapi, dengan pendekatan
teori Mie yang lebih lengkap dibandingkan pendekatan quasi-statik, dapat dilihat
bahwa ukuran juga mempengaruhi letak frekuensi resonansi (frekuensi puncak
spektrum). Ketika ukuran nanopartikel diperbesar, terjadi pergeseran letak
frekuensi resonansi menuju frekuensi yang lebih rendah (red-shift) yang
14
disebabkan oleh efek keterlambatan fasa gelombang. Untuk diameter nanopartikel
kurang dari 20 nm, efek tersebut sangat kecil sehingga pergeseran frekuensi
resonansi sudah tidak dapat dilihat. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa
batasan pendekatan quasi-statik yaitu untuk nanopartikel dengan diameter kurang
dari 20 nm.
15
BAB III
SIMULASI GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK DENGAN
METODE FINITE-DIFFERENCE TIME DOMAIN (FDTD)
3.1 Persamaan Gelombang dan Persamaan Maxwell
Perambatan gelombang EM dapat diturunkan melalui persamaaan
Maxwell. Tinjau 2 buah persamaan Maxwell yaitu Hukum Ampere dan Hukum
Faraday.
sumbert
JHEE
(3.1)
sumbermt
MEHH
(3.2)
dengan � : permitivitas bahan, � : konduktivitas bahan, � : permeabilitas bahan,
�� : rugi ekivalen magnetik, ������� : arus listrik sumber, � ������ : magnetisasi
sumber.
Dalam kasus bebas sumber � ������ = ������� = �� = � = 0, persamaan (3.2)
dapat dituliskan menjadi
t
HE (3.3)
yaitu dengan melakukan operasi curl pada persamaan (3.2). Terdapat hubungan
identitas vektor yang menyatakan bahwa
EEE 2 (3.4)
Karena tidak ada muatan bebas, maka ∇ ∙� = 0 sehingga persamaan (3.3)
menjadi
HE
t2 (3.5)
16
Berdasarkan hubungan pada Hukum Ampere (3.1), maka persamaan (3.5) dapat
ditulis sebagai
01
2
2
2
2
tc
EE (3.6)
Persamaan di atas adalah persamaan gelombang untuk medan listrik yang
menjalar dengan kecepatan �= 1/√�� . Persamaan gelombang untuk medan
magnet � dapat diperoleh dengan cara yang sama dan akan menghasilkan
persamaan yang sama dengan (3.6) dengan mengganti � dengan H[10].
Bentuk persamaan gelombang (3.6) adalah bentuk persamaan gelombang
homogen yaitu dengan syarat � ������ = ������� = �� = � = 0. Untuk kasus
umum ketika nilai-nilai tersebut tidak 0, persamaan gelombang yang diperoleh
bukan persamaan gelombang yang homogen sehingga cenderung lebih sulit untuk
dipecahkan. Untuk itu, pada studi ini digunakan metode Finite Difference Time
Domain (FDTD) untuk menangani kasus yang lebih umum termasuk konfigurasi
geometri bahan yang dilalui gelombang EM.
3.2 Algoritma FDTD
Analisis plamonik dilakukan dengan menghitung hamburan dan serapan
oleh logam dengan metode FDTD yaitu dengan memecahkan persamaan Maxwell
untuk gelombang elektromagnetik yang berinteraksi dengan logam. Untuk
memecahkan persamaan Maxwell, algoritma FDTD menggunakan beda-tengah
orde dua (second order central differences).
2020
0
)(
xfxf
xxdx
xdf
(3.7)
Dengan menggunakan beda-tengah (central difference), kita dapat
menghitung aproksimasi turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu, dengan
mengetahui nilai fungsi tersebut di titik tetangganya. Contohnya dalam persamaan
17
(3.8), yaitu untuk menghitung turunan fungsi pada titik �� dilakukan dengan
menghitung nilai fungsi tersebut pada titik �� +�
� dan �� −
�
�.
Secara umum, algoritma FDTD untuk solusi persamaan gelombang yang
diperkenalkan oleh Kane Yee bisa diringkas sebagai berikut[10]:
1. Mengganti seluruh turunan dalam persamaan Hukum Ampere (3.1) dan
Hukum Faraday (3.2) dengan beda hingga. Medan listrik dan magnet
didiskritisasi secara berselang-seling baik dalam ruang maupun waktu.
2. Memecahkan persamaan Hukum Ampere dan Hukum Faraday yang sudah
didiskritisasi untuk mendapatkan persamaan pembaruan (update) untuk
medan listrik dan magnet, untuk menghitung medan pada suatu timestep
berdasarkan medan pada satu timestep sebelumnya.
3. Medan magnet dievaluasi satu timestep ke depan, kemudian nilai medan
magnet tersebut digunakan pada langkah waktu berikutnya.
4. Medan listrik dievaluasi satu timestep ke depan, kemudian nilai medan
listrik tersebut digunakan pada langkah waktu berikutnya.
5. Ulangi poin 3 dan 4 sampai nilai medan didapat untuk durasi yang
diinginkan.
Informasi medan listrik dan medan magnet disimpan pada titik-titik yang
membentuk suatu kisi. Medan tersebut diperbaharui (update) di setiap titik
menggunakan persamaan pembaharuan yang diturunkan dari persamaan Hukum
Ampere dan Hukum Faraday.
Sebagai ilustrasi, penerapan algoritma di atas akan diaplikasikan untuk kasus 1
dimensi terlebih dahulu.
Tinjau medan dalam1 dimensi ruang dengan variasi hanya pada arah
sumbu x. Asumsikan medan listrik hanya memiliki komponen arah z, sehingga
Hukum Faraday dapat ditulis
18
x
Ea
Ex
aaa
tz
y
z
zyx
ˆ
00
00
ˆˆˆ
EH
(3.8)
Berdasarkan persamaan di atas, hanya komponen medan magnet pada arah y (Hy)
yang bervariasi terhadap waktu, sehingga Hukum Ampere dapat ditulis sebagai
x
Ha
Hx
aaa
t
y
z
y
zyx
ˆ
00
00
ˆˆˆ
HE
(3.9)
Sehingga didapatkan sepasang persamaan differensial orde-n tergandeng
x
Ea
tz
y
ˆ
H (3.10)
x
Ha
t
y
z
ˆ
E (3.11)
Langkah berikutnya yaitu mendiskritisasi ruang dan waktu, dan
mengganti turunan waktu dan ruang dari medan dengan beda-hingga (finite-
difference). Notasi berikut digunakan untuk menyatakan lokasi medan dalam
dimensi ruang dan waktu
mEtqxmEtxE qzzz ),(),( (3.12)
mHtqxmHtxH qyyy ),(),( (3.13)
Dengan mendiskritisasi ruang dan waktu, medan listrik dan medan magnet
dihitung pada lokasi titik (node) berbeda. Tinjau persamaan Hukum Faraday pada
titik ((� + 1/2)∆�,�∆�) seperti pada Gambar 3.1.
19
Gambar 3.1. Sketsa susunan titik-titik medan dalam ruang dan waktu. Titik medan listrik
digambarkan dengan simbol lingkaran dan medan magnet dengan simbol segitiga[10].
tqxm
z
tqxm
y
x
E
t
H
,)2/1(,)2/1(
(3.14)
Masing-masing turunan di atas, diganti dengan beda-hingga (central difference),
sehingga menjadi
x
mEmE
t
mHmH qz
qz
q
y
q
y
121
21 2
121
(3.15)
Persamaan (3.15) dapat dipecahkan untuk mendapatkan �����/�
mEmE
x
tmHmH q
zqz
q
y
q
y
12
121 2
121
(3.16)
Persamaan di atas adalah persamaan update medan magnet untuk memperoleh
�����/�
. Selanjutnya �����/�
digunakan untuk menghitung persamaan untuk
mendapatkan �����
.
20
Selanjutnya, tinjau persamaan Hukum Ampere pada titik (� ∆�,(� +�
�)∆�)
seperti pada Gambar 3.2.
Gambar 3.2. Susunan titik-titik medan setelah persamaan update H diberlakukan ke
seluruh titik medan magnet[10].
Dapat dilihat bahwa perbedaan Gambar 3.1 dan Gambar 3.2 terletak pada
posisi garis yang membatasi antara daerah dengan nilai diketahui dan belum
diketahui naik setengah langkah waktu.
tqxm
y
tqxm
z
x
H
t
E
)2/1(,)2/1(,
(3.17)
Dengan langkah yang sama seperti di atas didapatkan
x
mHmH
t
mEmEq
y
q
yqz
qz
21
211 2
121
1
(3.18)
Kemudian dipecahkan sehingga mendapatkan �����
21
211 2
121
mHmHx
tmEmE
q
y
q
yqz
qz
(3.19)
21
Persamaan di atas adalah persamaan update medan listrik satu timestep ke depan.
Indeks-indeks pada persamaan update bersifat umum sehingga dapat diberlakukan
di semua titik kemudian proses update diulang sampai langkah waktu yang
diinginkan seperti langkah-langkah yang telah dijelaskan sebelumnya[10].
3.3 Perbatasan Medan Total – Medan Terhambur (TFSF)
Pada simulasi ini, medan yang dihamburkan dan diserap oleh nanopartikel
dihitung. Untuk mempermudah perhitungan, dibuat 2 daerah simulasi yaitu daerah
medan total (Total Field) dan daerah medan terhambur (Scattered Field) untuk
memisahkan perhitungan flux serapan dan flux hamburan. Pada daerah medan
total dihitung flux serapan, sedangkan ada daerah medan terhambur dihitung flux
hamburan. Flux dapat dihitung dengan menempatkan kotak detektor nonfisis pada
daerah simulasi dengan hubungan
i
ii
iP AHEAS (3.20)
dengan S adalah vektor Poynting dan ∆�� adalah vektor permukaan detektor. Pada
masing-masing kotak detektor, disimpan nilai medan listrik dan medan magnet
untuk kemudian dihitung flux hamburan dan serapan dengan persamaan (3.20).
Gambar 3.3. Skema letak kotak detektor serapan dan detektor hamburan yang pada
daerah simulasi[5].
22
Konsekuensi pembagian daerah simulasi menjadi 2 bagian adalah perlunya
koreksi pada perbatasan kedua daerah. Seperti telah dijelaskan sebelumnya,
perhitungan update medan pada suatu titik adalah dengan menggunakan informasi
medan pada langkah waktu sebelumnya dan juga medan pada titik sekitarnya.
Pada daerah perbatasan, titik pada daerah medan total bersebelahan dengan titik
pada daerah medan terhambur. Akibatnya, update medan pada titik di daerah
medan total bergantung pada titik di daerah medan terhambur dan juga
sebaliknya[5,10].
Tinjau medan datang didefinisikan �����[� ,�] dan dihasilkan pada titik-
titik dan waktu tertentu. Medan magnet harus dirumuskan mengikuti syarat bahwa
arah rambat �����× ��
���sesuai dengan arah propagasi gelombang sehingga
qmEqmH inc
zincy ,
1,
(3.21)
Gambar 3.4. Skema titik-titik medan pada daerah perbatasan medan total/medan
terhambur[10].
Berdasarkan penjelasan sebelumnya, persamaan update untuk ez[50] tanpa
koreksi TFSF adalah
scattered
q
y
total
q
y
total
qz
total
qz HH
x
tEE
21
211 50505050 2
121
(3.22)
Dapat dilihat bahwa persamaan di atas tidak konsisten sesuai dengan
pembagian daerah simulasi sebab terjadi pencampuran antara perhitungan titik di
daerah medan total dan titik di daerah medan terhambur. Hal ini dapat diatasi
23
dengan melakukan koreksi pada perbatasan TFSF. Untuk koreksi Ez[50] dapat
dilakukan dengan menambahkan medan datang pada suku medan terhambur
sehingga menjadi
total
inc
incz
scattered
q
y
total
q
y
total
qz
total
qz qEHH
x
tEE 2
1211
21
211 ,5050505050 2
121
(3.23)
Selanjutnya untuk Hy[59-1/2], persamaan update-nya adalah
scattered
qz
total
qz
scattered
q
y
scattered
q
y EEx
tHH 4950
2
150
2
150 2
121
(3.24)
Dengan koreksi perbatasan TFSF maka suku medan total dikurangi dengan medan
datang sehingga persamaan update-nya menjadi
scattered
qz
scattered
inc
incz
total
qz
scattered
q
y
scattered
q
y EqEEx
tHH 49
2
1,
2
15050
2
150
2
150 2
121
(3.25)
Pada kasus 3 dimensi, koreksi perbatasan TFSF dilakukan dengan cara
yang sama dengan kasus 1 dimensi. Perlu diingat bahwa untuk kasus 3 dimensi,
daerah TFSF berupa kotak sehingga koreksi perlu dilakukan si setiap perbatasan.
3.4. Gelombang Sumber
Gelombang sumber yang digunakan pada simulasi ini yaitu berupa
gelombang bidang harmonik dan monokromatik. Hal ini dilakukan dengan
memberikan nilai medan listrik yang berosilasi pada titik tertentu secara harmonik
24
terhadap waktu dan merambat dalam arah � + . Dengan demikian, medan listrik
dapat dinyatakan dalam fungsi harmonik
x
ktkxttxfh
sinsin, (3.26)
Dikarenakan sumber yang tidak langsung muncul seketika pada �= 0, digunakan
fungsi sinus yang memiliki nilai awal 0 ketimbang fungsi cosinus dengan nilai
awal 1. Akibat sifat fungsi sinus ini, secara umum penggunaannya dapat
mengurangi kesalahan secara numerik. Fungsi harmonik tersebut perlu dirubah
menjadi bentuk diskrit dengan mengubah parameter-parameter kontinyu di
dalamnya dengan parameter diskrit.
Untuk gelombang bidang yang merambat dalam ruang, frekuensi dapat
dinyatakan dalam panjang gelombang dengan hubungan
cf
(3.27)
Dalam simulasi ini, panjang gelombang dinyatakan dalam bentuk
xN (3.28)
dengan �� adalah jumlah titik per panjang gelombang dengan nilai yang tidak
harus berupa bilangan bulat dan Δ� merupakan lebar grid. Dengan bilangan
Courant (akan dijelaskan lebih detail pada bab 4) yaitu
x
tcSc
(3.29)
serta
ck rr
rr
00
(3.30)
25
Maka fungsi harmonik pada persamaan (3.26) dapat dinyatakan dalam bentuk
diskrit yaitu
mqS
Nqmf rrch
2sin],[
(3.31)
3.5. FDTD untuk 3 Dimensi
Perluasan metode FDTD untuk kasus 3 dimensi, titik-titik medan yang
dihitung, disusun dalam sebuah kisi yang disebut kisi Yee[9,10]. Pada setiap sel
satuan kisi Yee, terdapat titik-titik medan listrik di kedua belas rusuknya (4 titik
medan listrik tiap komponen) dan juga titik-titik medan magnet di keenam sisinya
(2 titik medan magnet tiap komponen). Dengan demikian, tiap titik medan magnet
H dikelilingi oleh medan listrik E, demikian juga sebaliknya (Gambar 3.5).
Kisi Yee hanya menggambarkan lokasi titik-titik medan dalam ruang.
Lokasi titik medan dalam waktu (temporal location) tidak digambarkan secara
eksplisit. Diasumsikan bahwa titik medan listrik berada pada kelipatan bilangan
bulat dari langkah waktu, sedangkan titik medan magnet terletak sejauh setengah
langkah waktu dari titik medan listrik.
Gambar 3.5. Kisi Yee yang menggambarkan lokasi titik-titik medan dalam ruang[10].
26
Dengan demikian, persamaan update medan dapat dihitung dengan menyelesaikan
Hukum Faraday dan Hukum Ampere pada kasus 3 dimensi sebagai berikut :
tqtzpzynyxmx
yzxxm
z
E
y
E
t
HH
,2/1,2/1,
(a)
tqtzpzynyxmx
zxy
ymx
E
z
E
t
HH
,2/1,,2/1
(b) (3.32)
tqtzpzynyxmx
xyzzm
y
E
x
E
t
HH
,,2/1,2/1
(c)
tptzpzynyxmx
yzxx
z
H
y
H
t
EE
2/1,,,2/1
(a)
tptzpzynyxmx
zxy
yx
H
z
H
t
EE
2/1,,2/1,
(b) (3.33)
tptzpzynyxmx
xyzz
y
H
x
H
t
EE
2/1,2/1,,
(c)
3.6. Syarat Batas pada Daerah Simulasi
Dalam suatu simulasi numerik, daerah komputasinya pasti terbatas
sehingga persamaan update di perbatasan daerah komputasi perlu ditangani
secara khusus karena dibutuhkan nilai-nilai medan di luar daerah komputasi. Oleh
karena itu, algoritma FDTD yang telah dijelaskan di atas perlu dikoreksi pada
daerah batas simulasi pada daerah batas simulasi. Jika penanganan pada daerah
perbatasan simulasi kurang baik akan menyebabkan terjadinya pantulan
27
gelombang yang artifisial sehingga menimbulkan kesalahan yang akan merusak
perhitungan daya hamburan dan serapan.
Untuk mensimulasikan perambatan gelombang yang lebih baik, diperlukan
syarat batas tertentu agar pada batas daerah simulasi tidak ada pantulan
gelombang. Dengan menerapkan syarat batas ini, daerah simulasi yang merupakan
daerah berhingga dapat berfungsi seolah-olah sebagai daerah tak berhingga.
Gambar 3.6. Contoh susunan parameter � dalam algoritma PML pada bidang � konstan
pada daerah simulasi[9].
Syarat batas ini diterapkan dengan menggunakan lapisan anisotropic
dengan mengatur parameter sigma berdasarkan susunan pada gambar 3.6. Lapisan
anisotropik digunakan untuk menyerap gelombang dengan arah rambat tertentu.
Pada simulasi ini, digunakan teknik yang disebut Perfectly Matched Layer (PML)
sebagai syarat batas penyerap[5]. Penjelasan lengkap mengenai PML dapat dibaca
pada ref[10].
28
3.7. Implementasi Model Drude+2Critical Points (D+2CP) pada FDTD
Dalam simulasi interaksi gelombang elektromagnetik dengan nanopartikel
logam menggunakan metode FDTD, dibutuhkan keakuratan model analitik untuk
menggambarkan permitivitas logam dalam suatu rentang panjang gelombang.
Model yang sederhana untuk logam adalah model Drude dengan tambahan satu
suku Lorentzian atau lebih[8]. Tingkat keakuratan model Drude ini dapat
ditingkatkan dengan memberikan suku tambahan. Namun, perlu diketahui bahwa
semakin banyak suku tambahan yang digunakan membutuhkan memori komputer
yang lebih besar[8]. Kemudian, diperkenalkan model Drude+2Critical Points
(D+2CP), yang hanya menggunakan 2 suku Critical Points akan tetapi memiliki
akurasi yang baik[8].
Model D+2CP ini dikalibrasi dengan melakukan fitting dengan data
eksperimen dari Johnson & Christy dapat dilihat pada Gambar 3.6. Kedua
komponen baik komponen real maupun komponen imajiner dengan model
D+2CP terlihat berimpit dengan data eksperimen. Dapat dilihat juga bahwa model
D+2CP lebih baik dalam menggambarkan permitivitas emas pada panjang
gelombang rendah (frekuensi tinggi) dibandingkan dengan model Drude. Model
D+2CP digunakan dengan nilai parameter pada Tabel 3.1.
(a) (b)
Gambar 3.6. Perbandingan permitivitas model D+2CP, Drude, dan data eksperimen
Johnson & Christy[12]. Bagian imajiner permitivitas (a) dan bagian real permitivitas (b).
29
Pada studi sebelumnya[5], digunakan model Drude untuk menyatakan
kebergantungan permitivitas terhadap
i
p
2
2
)(
(3.28)
Persamaan ini di-inverse Fourier Transform agar diperoleh persamaan differensial
dalam domain waktu yang selanjutnya dijalankan bersama-sama dengan
persamaan Maxwell memakai metode FDTD.
Pada studi ini, digunakan model Drude+2 Critical Points, yang merupakan
modifikasi (perbaikan) dari model Drude[6,7,8]
2
12
2
)(p
p
p
i (3.29)
dimana
pp
i
pp
i
pppi
e
i
eA
pp
(3.30)
Model Drude+2 Critical Points (D+2CP) yang menyatakan pemitivitas
dalam domain frekuensi sehingga membutuhkan teknik-teknik tertentu agar bisa
diimplementasikan ke dalam algoritma FDTD yang berdomain waktu. Salah
satunya adalah metode Trapezoidal Recursive Convolution (TRC)[6,7]. Untuk
memahami implementasi model D+2CP masuk ke dalam algoritma FDTD dan
menjadi berdomain waktu, tinjau persamaan medan displacement D pada domain
waktu yang dinyatakan dengan
tqPtE
dtqEtEtDtq
00
0
00
(3.31)
Pada metode TRC, Polarisasi P diaproksimasi dengan rata-rata medan
listrik dari dua langkah waktu yang berurutan[6,7]
30
m
q
m
mqmq EEtqP
1
0
1
2 (3.32)
dengan
tm
tm
m d1
(3.33)
Dapat dilihat bahwa TRC hanya membutuhkan satu kali integral konvolusi
yang dapat diselesaikan secara analitik dan membuat metode ini sederhana.
Dengan mensubstitusikan aproksimasi polarisasi dengan TRC, didapatkan medan
�
11
0
1
00
1
01
01
22
m
q
m
mqmqqqqq EEEE
ED
(3.34)
Dengan cara yang sama, bisa diperoleh medan � pada langkah waktu (� �).
Selisih nilai D yang berurutan ini menghasilkan
mq
m
mqmq
qqqq
EE
EEDD
1
0
1
0
0
01
0
01
2
22
(3.35)
dengan ∆�� = �� − �� ��. Kemudian dengan bantuan hukum Ampere
t
DDH
qqq
12/1
(3.36)
dan persamaan (3.35), serta dipecahkan untuk mendapatkan ���� , diperoleh
persamaan update untuk medan listrik yang berbentuk
2/1
2022
21000
0
1
qqqq H
tEE
(3.37)
dengan
31
101
2
qrec
qqq C
EE
(3.38)
dan
m
recm C 1
(3.39)
��dikenal sebagai Recursive Accumulator[10].
Persamaan update di atas bersifat umum untuk metode TRC. Model
permitivitas yang digunakan masuk ke perhitungan melalui �� ��,�� dan ����.
Untuk model D+2CP, Recursive Accumulator dan �� merupakan kombinasi
linear dari suku Drude dan suku Critical Points.
2
1p
qp
qD
q (3.40)
2
1
000
ppD (3.41)
dengan
101
2
q
DrecD
qqqD C
EE (3.42)
101
2
q
precp
qqqp C
EE (3.43)
Simbol dengan indeks � dipengaruhi oleh suku Drude dan simbol dengan
indeks � dipengaruhi oleh suku Critical Points dan indeks � adalah langkah
waktu (time step). Nilai yang dipengaruhi oleh suku Drude seperti ��� , ��
� dan
����� dapat diturunkan dengan mudah melalui integral suseptibilitas dalam
domain waktu. Berdasarkan persamaan (3.28), suseptibilitas elektrik dalam
domain frekuensi adalah
i
p
D
2
2
(3.44)
32
Untuk mendapatkan suseptibilitas elektrik dalam domain waktu, dilakukan
inverse Fourier Transform dan didapatkan
tuet tp
D
1
2
(3.45)
dengan �(�)adalah unit step function.
tedttptpt
DD
22
0
01
(3.46)
22
0 1 tp
D e
(3.47)
t
Drec eC
(3.49)
Sedangkan untuk nilai yang dipengaruhi oleh suku Critical Points, dengan cara
yang sama didapatkan
ti
pp
i
pp
ppp
p
ei
eAi
)(0 12
(3.50)
2)(0 12 ti
pp
i
pp
ppp
p
ei
eAi
(3.51)
ti
precppeC
)(
(3.52)
Dengan demikian, model D+2CP diimplementasikan ke dalam algoritma
FDTD dengan koreksi update medan listrik dengan persamaan (3.37) dan nilai-
nilai pada persamaan (3.38) sampai dengan (3.52), serta nilai parameter hasil
fitting dengan data eksperimen Johnson & Christy pada tabel berikut.
33
Tabel 3.1. Nilai parameter yang digunakan dengan optimasi pada rentang panjang
gelombang 200-1000 nm[13].
�� 1.1431
��(rad/s) 1.3202E16
� (rad/s) 1.0805E14
�� 0.26698
�� 3.0834
Ω� (rad/s) 3.8711E15
Ω� (rad/s) 4.1684E15
�� -1.2371
�� -1.0968
Γ� (rad/s) 4.4642E14
Γ� (rad/s) 2.3555E15
34
BAB IV
ANALISIS SURFACE PLASMON TERLOKALISASI MELALUI
SPEKTRUM HAMBURAN & SERAPAN SERTA PROFIL
MEDAN
Pada studi sebelumnya (ref[5]), simulasi dilakukan pada diameter 150 nm,
100 nm, dan 80 nm yaitu ketika daerah resonansi ketiganya berada pada daerah
model Drude dan juga bisa dibandingkan dengan data hasil eksperimen. Untuk
diameter 60 nm, 40 nm, dan 20 nm, simulasi tidak dilakukan karena keterbatasan
model Drude. Simulasi tersebut relatif sukses untuk menghasilkan data seperti
data eksperimen untuk diameter 100 nm dan 80 nm. Akan tetapi, pada diameter
150 nm, data simulasi pada panjang gelombang rendah tidak diketahui. Hal ini
disebabkan oleh alasan yang sama yaitu keterbatasan model Drude.
Pada studi ini, perbaikan model permitivitas yang digunakan bertujuan
untuk menyempurnakan simulasi dari studi sebelumnya. Oleh karena itu, pertama-
tama data yang diambil melalui simulasi disesuaikan dengan simulasi sebelumnya
untuk dibandingkan dan kemudian dilengkapi. Data hasil simulasi juga
dibandingkan dengan model analitik surface plasmon yang telah dibahas pada bab
2 dan juga dengan data eksperimen dari ref[15].
Simulasi yang sudah stabil dan sesuai dengan eksperimen digunakan lebih
lanjut untuk mengamati pola spektrum jika diberi objek tambahan. Objek yang
ditambahkan berupa dinding logam dengan ketebalan tertentu yang diletakkan
pada bidang x konstan di belakang bola logam. Hal ini dilakukan karena pada
eksperimen, nanopartikel bola tidak bisa berdiri sendiri. Dibutuhkan substrat
sebagai tempat nanopartikel tersebut menempel (seperti sampel yang diletakkan
pada preparat). Selain itu, tujuan dilakukan simulasi ini adalah untuk menyelidiki
adanya interaksi antara kedua objek yang dapat terlihat melalui pergeseran
panjang gelombang resonansi.
35
4.1 Surface Plasmon Berdasarkan Tinjauan Analitik
Dengan model analitik yang telah dijelaskan pada bab 2, spektrum
hamburan dan serapan dapat diperoleh melalui penampang-lintang hamburan dan
serapan yaitu persamaan (2.19) dan (2.20) yang dihitung pada rentang panjang
gelombang yang diinginkan untuk masing-masing ukuran. Polarizabilitas untuk
model quasi-statik dan teori Mie orde satu masing-masing diberikan oleh
persamaan (2.16) dan (2.18).
Kondisi quasi-statik terpenuhi ketika ukuran jauh lebih kecil dari panjang
gelombangnya. Ketika ukuran diperbesar, pada spektrum hamburan dan serapan
yang dihitung dengan polarizabilitas quasi-statik tidak dapat dilihat pergeseran
panjang gelombang resonansi (letak puncak spektrum) akibat perubahan ukuran
bola. Perubahan ukuran bola hanya mengakibatkan perubahan pada nilai
penampang-lintang secara keseluruhan. Pada kenyataannya, perubahan ukuran
bola mempengaruhi letak puncak spektrum yaitu semakin besar ukuran akan
semakin bergeser ke kanan (red-shifted).
Untuk ukuran yang lebih besar, pergeseran panjang gelombang resonansi
dapat dijelaskan oleh teori Mie orde satu. Gambar 4.1 yang menunjukkan
perbandingan model quasi-statik dengan perhitungan teori Mie orde satu
membuktikkan bahwa model quasi-statik hanya dapat digunakan untuk bola yang
berukuran jauh lebih kecil dari panjang gelombang cahaya. Dapat dilihat bahwa
untuk ukuran diameter 20 nm perhitungan quasi-statik dan teori Mie mengalami
kecocokkan. Namun untuk ukuran yang lebih besar, pendekatan quasi-statik tidak
sesuai lagi sehingga tidak dapat digunakan.
36
Gambar 4.1. Spektrum hamburan dan serapan dengan model quasi-statik dan teori Mie
untuk bola emas dengan diameter 20 nm[5].
Hal ini disebabkan karena ketika ukuran bola makin kecil, pergeseran pada
panjang gelombang resonansi semakin kecil sehingga untuk model quasi-statik
pergeseran panjang gelombang resonansi tidak terlihat.
Gambar 4.2. Spektrum serapan untuk nanopartikel emas dengan diameter 20 nm, 40 nm,
60 nm, 80 nm, 100 nm, 120 nm, dan 150 nm dengan teori Mie.
Tingkat keakuratan hasil perhitungan teori Mie orde satu dapat dilihat dengan
membandingkan hasil eksperimen (gambar 4.3) dengan tabel 4.1.
37
Tabel 4.1. Perhitungan puncak spektrum serapan dari nanopartikel emas berbagai ukuran
dengan teori Mie orde satu yang dinyatakan dalam panjang gelombang dan energi.
diameter (nm)
panjang gelombang resonansi
(nm)
energi resonansi
(eV)
20 536 2.31
40 543 2.28
60 557 2.22
80 577 2.14
100 602 2.06
120 637 1.94
150 674 1.84
4.2 Data Eksperimen Spektrum Hamburan
Data eksperimen diperoleh dari ref[15] berupa grafik intensitas medan
yang terhambur terhadap energi resonansi. Untuk diameter 20 nm, terlihat
banyaknya noise. Hal ini disebabkan pada partikel yang berukuran kecil, efek
serapan lebih dominan dan efek hamburan sangat kecil. Hal ini sesuai dengan
perumusan penampang-lintang hamburan dan serapan pada bab 2. Gambar 4.3
juga menunjukkan kebergantungan letak puncak spektrum terhadap ukuran logam
yaitu resonansi mengalami pergeseran ke energi lebih rendah dengan
meningkatnya ukuran logam.
Dapat dilihat bahwa sampai dengan ukuran 80 nm, perhitungan teori Mie
dan hasil eksperimen relatif menunjukkan kesesuaian pada energi resonansi yang
diperoleh. Akan tetapi, pada ukuran 150 nm, perhitungan teori Mie orde satu
memberikan energi resonansi yang tidak sesuai dengan hasil eksperimen. Hal ini
dapat disebabkan oleh efek bahan kimia yang digunakan pada pengukuran[15].
Perbedaan tersebut juga disebabkan karena pada ukuran tersebut dibutuhkan orde
teori Mie yang lebih tinggi.
38
Gambar 4.3. Spektum hamburan nanopartikel emas tunggal berbagai ukuran dengan
dark-field microscopy (hitam) yang dicocokkan dengan perhitungan teori Mie (biru)
dengan data permitivitas empirik[15].
4.3 Hasil Simulasi Finite-Difference Time-Domain
4.3.1. Spektrum Hamburan, Serapan dan Extinction oleh Nanopartikel Emas
Tunggal
Simulasi ini dilakukan dengan parameter simulasi yang masing-masing
berbeda untuk setiap ukuran. Hal ini dilakukan untuk mempertahankan kestabilan
perhitungan secara numerik. Salah satunya terlihat pada pada beda-hingga waktu
∆� dan beda-hingga ruang ∆� = ∆� = ∆� = � yang dinyatakan dalam bilangan
Courant yaitu [9]
3
1
tcSc
(4.1)
Dengan bilangan Courant, nilai beda-hingga waktu dan beda-hingga ruang (lebar
grid) memiliki batasan tertentu agar tetap sesuai dengan fenomena fisis dari
perambatan gelombang. Artinya, kita cukup menentukan satu nilai antara nilai ∆�
39
atau � kemudian bilangan Courant digunakan untuk memperoleh nilai yang belum
ditentukan.
Untuk bola dengan diameter 150 nm, jumlah sel yang digunakan
berukuran 70× 70 × 70 yaitu dengan ukuran sel � = 5�� , sehingga nilai ∆�
yang digunakan agar syarat bilangan Courant terpenuhi adalah ∆�= 9.53×
10���� . Untuk bola dengan diameter 100 nm dan 80 nm, jumlah sel yang
digunakan sedikit berbeda yaitu berukuran 60 × 60× 60. Untuk bola dengan
diameter 60 nm, 40 nm, dan 20 nm, jumlah sel yang digunakan adalah 60 × 60 ×
60 tetapi ukuran sel yang digunakan berbeda-beda yaitu 3 nm untuk diameter 60
nm dan 2 nm untuk diameter 40 nm dan 20 nm.
Daerah medan total berada pada jarak 15 sel dari masing-masing tepi
daerah simulasi dengan kotak detektor serapan di dalamnya yang berjarak 1 sel
dari tepi daerah medan simulasi. Sedangkan kotak detektor hamburan berjarak 13
sel dari tepi daerah simulasi. Skema kotak detektor dapat dilihat kembali di
gambar 3.3. PML sebagai syarat batas penyerap diletakkan tepi-tepi daerah
simulasi dengan ketebalan 10 sel[5]. Medan datang berupa gelombang bidang
harmonik yang muncul pada bidang � = 13 dengan polarisasi �� − �� dan arah
rambat �+.
Gambar 4.4 merupakan contoh salah satu hasil keluaran dari simulasi yang
dilakukan yaitu berupa flux hamburan dan serapan. Data yang diambil dari flux
tersebut hanya pada bagian yang sudah stabil (steady). Ketika parameter simulasi
dirubah, waktu yang dibutuhkan agar flux untuk menjadi stabil juga berubah
sehingga untuk masing-masing ukuran digunakan jumlah langkah waktu yang
berbeda-beda. Untuk diameter 150 nm, 100 nm, 120 nm, dan 80 nm digunakan
2500 sampai dengan 3000 langkah waktu. Sedangkan untuk diameter 60 nm, 40
nm, dan 20 nm digunakan 7000 sampai dengan 8000 langkah waktu. Data flux
yang sudah stabil kemudian diambil nilai rata-ratanya. Proses yang sama
dilakukan untuk suatu rentang panjang gelombang sehingga menghasilkan
spektrum hamburan dan serapan.
40
(a) (b)
Gambar 4.4. Flux serapan (a) dan hamburan (b) untuk nanopartikel logam
dengan diameter 40 nm ketika disinari oleh cahaya dengan panjang gelombang 520 nm.
Untuk diameter 100 nm dan 80 nm, simulasi menunjukkan pola yang sama
dengan simulasi sebelumnya. Hasil ini cukup sesuai dengan perhitungan panjang
gelombang resonansi dengan teori Mie orde satu dan juga dengan hasil
eksperimen. Spektrum hamburan dan serapan untuk diameter 100 nm dan 80 nm
dapat dilihat pada gambar 4.9 dan gambar 4.8. Pada diameter yang lebih besar
dari 80 nm, efek hamburan lebih dominan dibandingkan efek serapan.
Gambar 4.5 Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 20 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Keadaan resonansi terjadi pada panjang
gelombang 537 nm atau setara 2.308 eV.
41
Gambar 4.6 Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 40 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Keadaan resonansi terjadi pada panjang
gelombang 544 nm atau setara 2.27 eV.
Ketika diameter nanopartikel emas lebih dari 80 nm, spektrum hamburan
lebih dominan dibandingkan spektrum serapannya. Akan tetapi, efek serapan
masih dapat terlihat pada spektrum. Hal ini terjadi karena pengaruh ukuran pada
efek hamburan jauh lebih besar dibandingkan pengaruh ukuran pada efek serapan.
Untuk diameter 60 nm, 40 nm, dan 20 nm, hasil simulasi juga
menunjukkan kecocokkan dengan teori Mie orde satu dan hasil eksperimen. Dapat
dilihat juga bahwa pada pada ukuran-ukuran ini pengaruh absorpsi semakin
mendominasi dan pengaruh hamburan semakin mengecil dengan ukuran bola
yang semakin kecil. Selain itu, posisi puncak spektrum hamburan, serapan dan
extinction menjadi tidak sama. Untuk itu, dalam membandingkan dengan
spektrum hasil eksperimen, yang diamati hanya spektrum serapannya saja karena
untuk diameter 20 nm, efek hamburan sangat kecil sehingga dapat diabaikan..
42
Gambar 4.7 Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 60 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak spektrum hamburan terjadi pada
panjang gelombang 554 nm atau setara 2.23 eV.
Gambar 4.8 Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 80 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak spektrum hamburan terjadi pada
panjang gelombang 588 nm atau setara 2.108 eV.
43
Gambar 4.9 Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 100 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak spektrum hamburan terjadi pada
panjang gelombang 615 nm atau setara 2.01 eV.
Gambar 4.10 Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 20 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak spektrum hamburan terjadi pada
panjang gelombang 676 nm atau setara 1.83 eV.
44
Gambar 4.11 Spektrum nanopartikel emas dengan diameter 150 nm. Nilai intensitas
ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak spektrum hamburan terjadi pada
panjang gelombang 747 nm atau setara 1.66 eV.
Hasil simulasi untuk bola emas dengan diameter 120 nm dan 150 nm dapat
dilihat pada gambar 4.10 dan gambar 4.11. Hasil tersebut menunjukkan bahwa
terjadi penyimpangan puncak spektrum (panjang gelombang resonansi) yang
cukup besar dengan perhitungan teori Mie orde satu. Akan tetapi, keadaan
resonansi dengan simulasi FDTD lebih mendekati data eksperimen.
Tabel 4.2. Posisi puncak pada spektrum serapan nanopartikel emas berbagai ukuran yang
diperoleh dengan simulasi FDTD, dinyatakan dalam panjang gelombang dan energi.
diameter (nm)
panjang gelombang resonansi
(nm)
energi resonansi
(eV)
20 537 2.3
40 544 2.28
60 554 2.23
80 588 2.1
100 615 2.01
120 676 1.83
150 747 1.66
45
Secara keseluruhan, hasil simulasi menunjukkan kecocokkan dengan hasil
eksperimen dari ref[15]. Pada diameter kecil (20-60 nm), ukuran perbedaan
puncak spektrum antara hasil simulasi dengan teori Mie orde satu kurang terlihat.
Ketika diameter diperbesar, terlihat perbedaan yang signifikan antara kedua hasil
tersebut (gambar 4.12). Gambar tersebut juga menunjukkan kurva fitting dengan
fungsi polinomial kuadratik dengan data hasil simulasi FDTD dan teori Mie. Nilai
�� dari fitting fungsi kuadratik dengan data FDTD adalah 0.994 dan dengan teori
Mie adalah 0.991.
Gambar 4.12 Perbandingan pengaruh diameter terhadap panjang gelombang resonansi
berdasarkan hasil simulasi dengan teori Mie orde satu.
4.3.2. Profil Medan Elektromagnetik pada Daerah Simulasi
Setelah mengamati spektrum hamburan dan serapan, analisis juga
dilakukan dengan mengamati profil medan ataupun intensitas dari gelombang
elektromagnetik di sekitar nanopartikel emas. pada Profil medan dapat dihasilkan
karena dengan algoritma FDTD nilai medan di seluruh titik dalam daerah simulasi
disimpan setiap langkah waktu.
Dalam keadaan resonansi, terjadi pengumpulan muatan di sekitar
permukaan bola sehingga energi di sekitar permukaan bola lebih besar
dibandingkan di daerah lain. Pengumpulan muatan ini disebabkan oleh interaksi
46
gas elektron bebas dengan medan listrik dan medan magnet. Akan tetapi,
interaksinya dengan medan listrik jauh lebih kuat dibandingkan dengan medan
magnet. Hal ini diindikasikan dengan terbentuknya dipol listrik pada arah � searah
dengan arah medan listrik �� .
Panjang gelombang resonansi yang diperoleh dari hasil simulasi FDTD
dikonfirmasi dengan melihat pola intensitas medan listriknya. Misalnya untuk
diameter 100 nm, panjang gelombang resonansinya adalah 615 nm. Selanjutnya,
dihasilkkan pola intensitas medan listrik ketika nanopartikel emas dengan
diameter 100 nm dalam pengaruh gelombang EM dengan panjang gelombang 615
nm seperti pada gambar 4.13.
(a) (b)
Gambar 4.13 Pola intensitas medan listrik nanopartikel emas dengan diameter 100 nm
ketika terjadi tidak terjadi resonansi yaitu � = 500 nm (a), dan ketika terjadi resonansi
� = 615 nm(b). Gambar diambil pada bidang y konstan yang mengiris bola pada
pusatnya.
Gambar 4.13. menunjukkan perbandingan antara pola intensitas medan
listrik ketika ketika diberi gelombang EM dengan panjang gelombang 500 nm dan
panjang gelombang 615 nm. Lokalisasi energi terlihat di sekitar nanopartikel
ketika panjang gelombangnya 615 nm yang merupakan letak puncak spektrum
serapan nanopartikel berdiameter 100 nm.
47
4.3.3 Spektrum Hamburan dan Serapan oleh Nanopartikel Emas dengan
Objek Tambahan
Dengan data spektrum hamburan oleh nanopartikel emas tunggal sebagai
pembanding, akan diamati juga bagaimana pengaruh objek tambahan terhadap
spektrum hamburan yang dihasilkan. Pada kesempatan ini, objek tambahan yang
digunakan adalah balok emas dan balok dielektrik dengan ukuran yang sama.
Balok logam atau dielektrik dengan ketebalan tertentu diletakkan pada bidang x
konstan di belakang bola logam.
Gambar 4.14 Spektrum balok emas dengan ketebalan 150 nm dan bidang normal
100× 100 nm. Nilai intensitas ternormalisasi terhadap spektrum extinction. Puncak
spektrum hamburan terjadi pada panjang gelombang sekitar 650 nm.
Untuk mengamati pengaruh adanya balok emas, hal yang perlu diketahui
adalah bagaimana spektrum nanopartikel bola tanpa balok (sub-bab 4.3.1), dan
juga spektrum balok emas tanpa nanopartikel bola (gambar 4.13). Pada simulasi
ini, nanopartikel bola yang digunakan berdiameter 20 nm.
Spektrum balok emas tanpa adanya nanopartikel bola menunjukkan
adanya puncak pada panjang gelombang sekitar 650 nm, sedangkan spektrum
nanopartikel bola emas tanpa adanya balok puncaknya terletak pada panjang
gelombang sekitar 540 nm. Hasil simulasi dengan nanopartikel bola dan balok
emas menunjukkan puncak spektrum pada panjang gelombang sekitar 650 nm.
48
(a) (b)
Gambar 4.15 Spektrum nanopartikel emas berdiameter 20 nm yang (a)menempel
pada ;(b) berjarak 35 nm dari; balok emas dengan ketebalan 150 nm.
Pada simulasi ini juga dilihat pengaruh jarak antara nanopartikel emas
dengan balok emas untuk mengamati adanya interaksi antara keduanya. Hasil
menunjukkan bahwa tidak terdapat perbedaan yang signifikan ketika nanopartikel
emas dan balok emas menempel maupun ketika jarak antara kedua permukaan
objek adalah 35 nm.
Dapat disimpulkan bahwa balok emas yang ukurannya lebih besar dari
nanopartikel mendominasi spektrum. Selain itu, interaksi antara nanopartikel
emas dan balok emas sangatlah lemah sehingga tidak dapat mempengaruhi letak
panjang gelombang resonansi.
49
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dengan memperbaiki model permitivitas yang digunakan yaitu
menggunakan model Drude-Critical Points, simulasi dapat digunakan untuk
rentang panjang gelombang yang lebih besar. Data-data simulasi dari studi
sebelumnya (ref[5]) dapat dilengkapi dan secara keseluruhan hasilnya sudah
sesuai dengan data eksperimen dan teori Mie orde satu.
Perbedaan terlihat pada perhitungan teori Mie orde satu dengan hasil
eksperimen dan hasil simulasi yaitu pada diameter lebih dari 100 nm. Pada
ukuran-ukuran ini, keakuratan teori Mie orde satu berkurang sehingga dibutuhkan
perhitungan dengan teori Mie dengan orde lebih tinggi. Dalam hal ini, energi
resonansi hasil simulasi tetap sesuai dengan hasil eksperimen.
Pengamatan pada profil intensitas menunjukkan terbentuknya dipol listrik
searah medan listrik gelombang datang ketika panjang gelombang yang digunakan
adalah panjang gelombang resonansi. Terbentuknya dipol listrik juga
menunjukkan adanya pengumpulan energi (lokalisasi) yang menunjukkan
karakteristik Localized Surface Plasmon Resonance.
5.2 Saran
Pada studi ini, objek yang digunakan adalah nanopartikel emas tunggal
dengan berbagai ukuran. Simulasi dapat dikembangkan untuk nanopartikel emas
dengan jumlah yang lebih banyak. Karena secara eksperimen, pengukuran pada
nanopartikel emas biasanya dalam bentuk cluster. Selain itu, jika nanopartikel
emas yang digunakan lebih dari satu, dapat menimbulkan terjadinya coupling
antar nanopartikel.
50
Daftar Pustaka
1. Zhang, J.X., et al., Surface Plasmon Polaritons:physics and applications. J.
Phys. D: Appl. Phys. 45(2012) 113001 (19pp).
2. Hutter, E. and Fendler, J.H., Exploitation of Surface Plasmon Resonance.
2004. Advanced Material Review:Wiley.
3. Petryayeva, E., Krull, U.J., Localized Surface Plasmon Resonance:
Nanostructures, bioassays, and biosensing-A review. Analytica Chimica
Acta 706 (2011) 8–24. Elsevier.
4. Maier, S.A., Plasmonics:Fundamental and Applications. 2007. Springer.
5. Achmari, P., Studi Surface Plasmon Terlokalisasi pada Nanopartikel
Emas Tunggal Berbentuk Bola Menggunakan Metode Finite-Difference
Time-Domain (FDTD). 2012: Tugas Akhir Sarjana Fisika ITB.
6. Shibayama, et al., Frequency-Dependent Formulations of a Drude-Critical
Points Model for Explicit and Implicit FDTD Method Using the
Trapezoidal RC Technique. IEICE TRANS. ELECTRON., VOL.E95-C,
NO.4 APRIL 2012.
7. Shibayama, et al., Simple Frequency-Dependent FDTD Algorithm for a
Drude-Critical Points Model. Proceedings of Asia-Pacific Microwave
Conference 2010.
8. Vial, A. and T. Laroche, Comparison of gold and silver dispersion laws
suitable for FDTD simulations. Appl Phys B (2008) 93: 139–143 DOI
10.1007/s00340-008-3202-4.
9. Taflove, A. and S.C. Hagness, Computational Electrodynamics: The
Finite-Difference Time-Domain Method. 2005: Artech House.
10. Schneider, J.B., Understanding the Finite-Difference Time-Domain,
http://www.eecs.wsu.edu/~scheneidj/ufdtd/. 2011.
11. Ordal, M.A., et al., Optical Properties of the Metals Al, Co, Cu, Au, Fe, Pb,
Ni, Pd, Pt, Ag, Ti, and W in infrared and far infrared. 1 April 1983/ Vol.
22, No.7/APPLIED OPTICS.
12. Johnson, P.B., R.W. Christy, Optical Constants of the Noble Metals.
Physical Review B, 1972. 6(12):p. 4370-4379.
51
13. Kuwata, H., et al., Resonant Light Scattering From Metal Nanoparticles:
Practical Analysis beyond Rayleigh Approximation. Applied Physics
Letters, 2003. 83(22): p. 4625-4627.
14. Bohren, C.F., E. Clothiaux, and D.R. Huffman, Absorption and Scattering
of Light by Small Particles. 2010:Wiley VCH Verlag GmbH
15. Sonnichsen, C., et al., Plasmon resonance in large noble-metals clusters.
New Journal of Physics, 2002. 4(1): p.93.