i

NIKOLAI Е. KOROTKOV

Edited by ALEXANDER N. KOROTKOV

TABLE OF INTEGRALS

RELATED TO ERROR FUNCTION

2019

ii

Table of integrals related to error function

by Nikolai E. Korotkov Retired Leading Researcher, Voronezh Institute of Communications, Russia edited by Alexander N. Korotkov Professor, University of California, Riverside, USA

2019 Nikolai E. Korotkov and Alexander N. Korotkov

iii

Preface

This book presents a table of integrals related to the error function, including indefinite and improper definite integrals. Since many tables of integrals have been published previously and, moreover, computers are widely used nowadays to find integrals numerically and analytically, a natural question is why such a new table would be useful. There are at least three reasons for that. First, to the best of our knowledge, this is the first book (except Russian versions of essentially the same book), which presents a comprehensive collection of integrals related to the error function. Most of the formulas in this book have not been presented in other tables of integrals or have been presented only for some special cases of parameters or for integration only along the real axis of the complex plane. Second, many of the integrals presented here cannot be obtained using a computer (except via an approximate numerical integration). Third, for improper integrals, this book emphasizes the necessary and sufficient conditions for the validity of the presented formulas, including the trajectory for going to infinity on the complex plane; such conditions are usually not given in computer-assisted analytical integration and often not presented in the previously published tables of integrals.

We hope that this book will be useful to researchers whose work involves the error function (e.g., via probability integrals in communication theory). It can also be useful to a broader audience.

Alexander N. Korotkov and Nikolai E. Korotkov

iv

CONTENTS

Notations and definitions .......................................................................................... 1

Introduction ............................................................................................................... 2

Part 1. Indefinite integrals .......................................................................... 5

1.1. Integrals of the form ( )[ ] dzzz n exp 2∫ β+α ............................................ 5

1.2. Integrals of the form ( )2 2expnz z z dzα +β + γ∫ ...................................... 7

1.3. Integrals of the form ( ) ( )[ ]∫ β+α−β+α dzzzn experf 2 ........................

8

1.4. Integrals of the form ( ) ( )[ ]∫ β+α−β+α dzzzz n experf 2 ......................

8

1.5. Integrals of the form ( ) ( )∫ γ+ββ+α dzzzz n experf 1 .............................

10

1.6. Integrals of the form ( ) ( )∫ γ+αβ+α+ dzzzz m experf 2212 .................. 11

1.7. Integrals of the form ( ) ( ) experf 21

12∫ γ+αβ+α+ dzzzz m ....................... 12

1.8. Integrals of the form ( ) ( )dzzzz n 222 experf αα∫ .................................. 14

1.9. Integrals of the form ( )∫ β+α zdzz n erf ...................................................... 15

1.10. Integrals of the form ( )∫ β+α dzzz n 2erf ................................................... 15

1.11. Integrals of the form ( ) ( )∫ αα dzzzz m1

2 erferf ....................................... 17

1.12. Integrals of the form ( ) dzzz m∫ α+ 312 erf ................................................... 18

1.13. Integrals of the forms ( )∫ γ+β+α ,sin 22 dzzzz mn

( )2 2sinh ,n mz z z dzα β γ+ +∫

( )∫ γ+β+α dzzzz mn cos 22 ,

( )2 2cosh n mz z z dzα β γ+ +∫ .....................................

19

1.14. Integrals of the form ( ) ( )∫ βγ+β+α dzzzzz n expsin 122 ........................ 27

1.15. Integrals of the form ( ) ( ) dzzzzz n γ+ββ+α−∫ 122 sinexp ................... 30

v

1.16. Integrals of the form ( ) ( )2 21 1exp sinnz z z z z dz−α +β α +β + γ∫ .............. 33

1.17. Integrals of the form ( ) ( ) ( )1 2erf exp sinnz z z z dzα β β β γ+ +∫ ............... 36

1.18. Integrals of the form ( ) ( ) ( )2 1 2 21 2erf exp sinnz z z z dzα β α α γ+ + +∫ .......... 40

Part 2. Definite integrals ............................................................................... 49

2.1. Integrals of ( )[ ]2exp β+α zz n .......................................................... 49

2.2. Integrals of ( )γ+β+α zzz n 22exp ...................................................... 51

2.3. Integrals of ( ) ( )[ ]2experf β+α−β+α zzn ......................................... 54

2.4. Integrals of ( ) ( )[ ]2experf β+α−β+α zzz n ....................................... 55

2.5. Integrals of ( ) ( )γ+ββ+α zzz n1experf ................................................. 58

2.6. Integrals of ( ) ( )2 1 21erf expmz z z+ α +β −α .............................................. 60

2.7. Integrals of ( ) ( )21 1exp erfnz z z zα β α β− + + ,

( ) ( ) ( )21 1 2 2exp erf erfnz z z zα α β α β− + + ..................

ddddv

vvd

63

2.8. Integrals of ( )γ+β+α+ zzm 2212sin , ( )2 1 2 2sinh m z zα β γ+ + + ,

( )γ+β+α+ zzm 2212cos , ( )2 1 2 2cosh m z zα β γ+ + + ……

73

2.9. Integrals of ( ) ( )zzzz n1

22 expsin βγ+β+α ......................................... 77

2.10. Integrals of ( ) ( )γ+β+αβ+α− zzzzz n1

21

22 sinexp ........................ 80

2.11. Integrals of ( ) ( ) ( )γ+βββ+α zzzz n21 sinexperf .............................. 86

2.12. Integrals of ( ) ( ) ( )γ+αα−β+α+ 22

21

12 sinexperf zzzz n .................... 89

2.13. Integrals of ( ) ( ) ( )γ+β+αβ+α−β+α zzzzzz n2

221

21 sinexperf ,

( ) ( ) ( )zzzz n βα−α sinexperf 21 ,

( ) ( ) ( )zzzz n βα−α cosexperf 21 ...........................................

96

2.14. Integrals of ( )[ ]β+α−± zz n erf1 ,

( ) ( )[ ]2211 erf erf β+αβ+α zzz n ................................... 109

vi

2.15. Integrals of ( )[ ]2 erf1 β+α−± zz n , ( )[ ]β+α− zz n erf1 2 ,

( ) ( )[ ]222

11 erf erf β+αβ+α zzz n ,

( ) ( )2 21 1 2 2erf erf nz z z α +β − α +β .................................

114

2.16. Integrals of ( ) ( )[ ]1 erf1exp β+α−±β zzz n ,

( ) ( ) ( )[ ]2211 erf erfexp β+αβ+αβ zzzz n ..................

122

2.17. Integrals of ( ) ( )2 21 1exp 1 erfnz z z z−α +β ± − α +β ,

( ) ( ) ( )[ ]221122 erferfexp β+αβ+αβ+α− zzzzz n

..........

126

2.18. Integrals of ( ) ( )[ ]221 experf β+α−β+α zzz n ,

( )[ ] ( )[ ]221 experf1 β+α−β+α−± zzz n ,

( ) ( )21exp erfnz z zβ α +β ,

( ) ( )21exp 1 erfnz z z β − α +β ,

( ) ( ) ( )2 21 1 2 2exp erf erfnz z z z β α +β − α +β ..................

141

2.19. Integrals of ( ) ( )2( 1) erf expn n z z ± − α +β − α +β ,

( )[ ]312 erf1 zz m α−±+ , ( )[ ]zz m α−±+ 312 erf1 ,

( ) ( )[ ]zzz m2

31

312 erferf αα+ ,

( ) ( )2222 experf zzz m α−α ,

( )[ ] ( )2222 experf1 zzz m α−α− ............................................

159

2.20. Integrals of ( ) ( )[ ]1erf1sin β+α−±γ+β zzz n ,

( ) ( ) ( )[ ]2211 erferfsin β+αβ+αγ+β zzzz n ,

( ) ( )21 1sin 1 erfnz z z zα +β + γ ± − α +β ,

( ) ( ) ( )21 1 2 2sin erf erfnz z z z zα +β + γ α +β α +β ...........

163

Appendix. Some useful formulas for obtaining other integrals .......................... 177

1

NOTATIONS and DEFINITIONS

2

0

2erf ( ) exp( )z dzθ

θ = −π∫ is the error function (probability integral).

2

0

2erfi( ) exp( ) erf ( )z dz i iθ

θ = = − θπ∫ is the imaginary error function.

m, n, k, l, r, q are nonnegative integers (0, 1, 2, …).

a, b, c are real numbers.

α, β, γ, µ, ν, θ are complex numbers (can be real as well).

x is a real integration variable.

z is a complex integration variable (can be real as well).

i is the imaginary unit.

π and e have their usual meaning.

θRe and θIm are real and imaginary parts of θ , θ+θ=θ ImRe i .

θ Reθ Imθi= − is the complex conjugate of θ .

θ+θ=θ 22 ImRe is the absolute value of θ .

arg θ is the argument of a complex number θ , arg θπ π− < ≤ .

∞ is the infinity symbol used on the complex plane.

∞− and ∞+ are the infinity symbols for real numbers (or the real axis).

)(T∞→θ means θ goes to infinity on the complex plane along trajectory T .

∑=θ

n

mkk denotes summation; equals 0 if mn < .

!m is the factorial of m (with usual convention 0! 1! 1= = ).

)(cE is the integer part (floor function) of a real number c. 2

1

( )

( )( )

T

Tz dz

∞

∞ϕ∫ is an improper integral on the complex plane with trajectories

T1 and T2 both going to infinity.

ln ln argiθ = θ + θ is the principal value of natural logarithm.

1 1arctan arctg atan ln2 1

ii i

+ θθ = θ = θ =

− θ is the principal value of inverse tangent.

2

INTRODUCTION

Formulas in this book are numbered by part, section, subsection, and formula number. When a formula is too long, it is written in terms of abbreviated expressions, which are listed at the ends of sections. Most of the presented formulas assume complex parameters and integration on the complex plane. However, the formulas which use letters a, b, x are valid only for real values of the corresponding variables (see the list of notations). In particular, integrals ( )f x dx∫ assume integration only over the real axis.

The symbol “∞ ” denotes infinity on the complex plane, while for the real axis we use notations “+∞ ” (positive infinity) or “−∞ ” (negative infinity). For improper

integrals on the complex plane of the type ( )f z dzµ

∞

∫ (usually 0µ = ), the conditions

for how the trajectory approaches infinity are listed after the formula. When both

complex limits of integration are infinite, we use notation 2

1

( )

( )( )

T

Tf z dz

∞

∞∫ and list

conditions of approaching infinity for both trajectories 1T and 2T . Note that since the

integrands considered in this book are analytic functions, the results of integration do not depend on the integration contours; it is only important how these trajectories approach infinity. The validity conditions for formulas are listed in curly brackets after them. For improper integrals, we also include in the curly brackets the conditions for approaching infinity, which are necessary and sufficient for the integral convergence. Most integrals with complex parameters presented in this book can also be used for real values of these parameters. However, conversion of the formulas to this case is not always simple. This is why we also present integrals with real parameters (as the most practically interesting case) for convenience.

The square root θ in formulas is defined with a positive real part (or positive imaginary part if the real part is zero), as consistent with our convention

arg θπ π− < ≤ . When the left-hand side of a formula contains 2θ but does not contain

θ , we assume 2θ θ= . Multiple double-sign notations ± or (in formulas and validity conditions) assume that either all upper signs or all lower signs are used. Part 1 of this book contains indefinite integrals, Part 2 contains definite (mainly improper) integrals. Appendix contains some formulas with relations between integrals, which can be used to obtain integrals not presented in this book. Definite integrals with finite limits are presented in the Part 2 only in the case when there are no corresponding indefinite integrals. Improper integrals are presented independently of whether the corresponding indefinite integrals are presented or not.

3

Most of improper integrals have the form 0

( )f z dz∞

∫ ; however, some integrals have

the form ( )f z dzµ

∞

∫ . The integrals 2

1

( )

( )( )

T

Tf z dz

∞

∞∫ with two infinite complex limits are

presented only when we are unable to obtain corresponding improper integrals with

one infinite limit of integration. If an integral ( )f z dz+∞

−∞∫ with two real infinite limits

exists, it is presented (except for odd functions). If from an integral containing the function erf it is easy to obtain the corresponding integral containing the function erfi (using the first two formulas in Appendix), then we present only the integral with erf . However, if such a conversion is not easy (and in some other cases), we also present the integral with erfi . The formulas in this book contain the error function erf (θ) and the imaginary error function erfi (θ) defined as

2

0

2erf ( ) exp( )z dzθ

θ = −π∫ , 2

0

2erfi( ) exp( )z dzθ

θ =π∫ .

We do not use notation of the complementary error function erfc(θ) 1 erf (θ)= − . Let us briefly discuss some properties of the functions erf (θ) and erfi (θ) . 1. These functions are related to each other as

erfi (θ) erf ( θ)i i= − , erf (θ) erfi ( θ)i i= − .

2. Both functions are odd, erf ( θ) erf (θ)− = − , erfi ( θ) erfi (θ)− = − .

Obviously, erf (0) erfi (0) 0= = .

3. For complex conjugate arguments, these functions are also conjugate,

erf (θ) erf (θ)= , erfi (θ) erfi (θ)= .

4. For a real θ , both erf (θ) and erfi (θ) are real and have the same sign as θ . For an imaginary θ , both erf (θ) and erfi (θ) are imaginary, and their imaginary parts have the same sign as the imaginary part of θ .

5. For |θ| 1 (in practice, for at least θ 3> ) the error function erf (θ) can be

approximated by using a few terms in its asymptotic expansion, e.g., 2

2 2 2 2 3exp( ) 1 3 3 5erf ( ) sign[Re( )] 1

2 (2 ) (2 )

−θ ⋅θ ≈ θ − − + − π θ θ θ θ

,

where sign[Re(θ)] is 1 for Re(θ) 0≥ and 1− for Re(θ) 0< . The discontinuity of this approximation at Re(θ) 0= is irrelevant because in this case the approximation

becomes applicable only at exponentially large erf (θ) . The addition of more terms

4

into this expansion requires larger θ for accuracy improvement. Numerical

calculations show that the absolute value of error in using the formula above is always less than three times the absolute value of the first neglected term of the expansion, i.e.,

the term 2 42exp( ) ( ) 3 5 7 / (2θ )− −θ π θ ⋅ ⋅ ⋅ .

As mentioned above, all improper integrals in this book are given with the

necessary and sufficient conditions of their convergence. These conditions have been obtained using in particular the following properties of erf (θ) for θ →∞ .

The error function erf (θ) has a limit at θ →∞ (i.e., converges) if and only if

2θlim Re(θ ) ln θ→∞

+ = +∞ ;

in this case θlim erf (θ) 1→∞

= ± for θlim Re(θ)→∞

= ±∞ .

For θ →∞ , there is an inequality

21 erf ( )

exp[ Re( )]N± − θ

<θ− θ

for Re(θ) > 0± ,

where N is some positive number (it is possible to use 1.4 /N = π for any θ ). As a consequence, for trajectories, for which 2Re(θ ) ln θ+ → −∞ or at least

2Re(θ ) ln θ+ remains bounded from above as θ →∞ , there is another similar

inequality:

2 2erf ( ) 1

exp[ Re( )] exp[ Re( )]N Mθ

< + <θ θ− θ − θ

,

where M is also some positive number (which depends on the trajectory).

The asymptotic properties of the error function erf (θ) at θ →∞ and their use to find the necessary and sufficient conditions for convergence of the improper integrals presented in this book, are discussed in detail in our Russian-language book: Коротков Н.Е., Коротков А.Н, Интегралы, связанные с интегралом вероятностей. Под ред. В.И. Борисова. – Воронеж: изд. ОАО «Концерн «Созвездие», 2012. – 276 с. – ISBN 978-5-900777-18-4. The methods to derive and check the presented integrals are described in another book, also published in Russia: Коротков Н.Е., Интегралы для приложений интеграла вероятностей. Под ред. В.И. Борисова. – Воронеж: изд. ФГУП «ВНИИС», 2002. – 800 с. – ISBN 5-900777-10-3.

5

PART 1

INDEFINITE INTEGRALS

1.1. Integrals of the form ( )2exp nz z dz α + β ∫

1.1.1.

( )[ ] ( )β+ααπ

=β+α−∫ zdz z erf2

exp.1 2 .

2. ( )[ ] ( )β+ααπ

=β+α∫ zdzz ierf2

exp 2 .

1.1.2.

( ) ( ) ( ){ }2 22

11. exp – exp erf2

z z dz z z − α +β = − α +β + π β α +β α∫ .

( )[ ] ( )[ ] ( ){ }β+αβπ−β+αα

=β+α∫ zzdzzz ierf exp2

1 exp.2 22

2 .

1.1.3.

( )221. exp z z dz − α +β = ∫

( ) ( )[ ] ( ) ( )

β+α+βπ

+β+α−α−βα

= zzz erf2

12 exp2

1 22

3.

( )222. exp z z dz α +β = ∫

( ) ( )( )

( )2

23

2 11 exp erf i22

z z z π β − = α −β α +β + α +β α

.

1.1.4.

( )[ ] ( ) ( )( )

−−

β−β+α

α

π=β+α− ∑∫

=

−

+

)2/(

0

2

12

!2!4

!erf

2 exp.1

nE

kk

kn

nn

knk

nzdzzz

6

( )[ ] ( )( )

( )( )

( )

+

β+α−β−

β+α−α

− ∑ ∑= =

−

−−

+

2

1 1

1222

1 242exp

2

1 nE

k

k

llk

lkn

n l

zlknk

nz

!

!!!

!

( ) ( )( ) ( )

( )( )

1 2 2 2( /2 )

1 1

! 1 !

2 1 ! 1 2 ! 1 !

n k ln E n k

k l

n k zk n k l

+ − −−

= =

− −β α +β+

− + − − ∑ ∑ .

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

ααα−

−

α

απ=α− ∑∫

=−+

−

+

m

k km

k

mm

k

zkzzmm

dzzz1 212

1222

12222

2!2

!exp

2

erf!

!2 exp.2 .

( ) ( )( )

∑∫=

−+

αα−

α−=α−

m

kkm

km

k

zzmdzzz0 2

222

22212

!exp

2! exp.3 .

( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

∑∫=

−

++

−−

β−β+α

α

π=β+α

)2/(

0

2

12

!2!4

!ierf

2 exp.4

nE

kk

kn

nn

knk

nzdzzz

( ) ( )[ ]( )

( )( ) ( )

−

−

β+α−β

β+αα

−+ ∑ ∑

= =−

−−

+

)2/(

1 1

1222

1

!24

!!2!

! exp

2

1 nE

k

k

llk

lkn

n

n

l

zlknk

nz

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 21 2( /2 )

1 1

! 1 !

2 1 ! 1 2 ! 1 1 !

ln kn E n k

k lk l

n k zk n k l

−+ −−

−= =

− β α +β−

− + − − − ∑ ∑ .

( ) ( )

( )( )

×α−

α−α

απ=α∫ 22

2222 exp

42

)(ierf!

!2 exp.5 z

zmm

dzzzm

m

( ) ( )2 1

12 1 2 21

!

2 2 !

km

m km kk

k z

k

−

+ −+ −=

× −α

∑ .

( ) ( )( )

22 1 2 2 2 2

2 20

!6. exp exp

2 !

kmm

m kk

m zz z d z zk

+−

=α = α

α −α∑∫ .

7

1.2. Integrals of the form ( )2 2expnz z z dzα + β + γ∫

1.2.1.

( )∫

αβ

−α

γ+

α

βαπ

=γ+β+α−2

erf4

exp2

exp.12

222 zdzzz .

2. ( )

αβ

+α

α

β−γ

απ

=γ+β+α∫ 2ierf

4exp

2 exp

2

222 zdzzz .

1.2.2.

( )∫ −

αβ

−α

γ+

α

β

α

βπ=γ+β+α−

2erf

4exp

4 exp.1

2

2

322 zdzzzz

( )γ+β+α−α

− zz 222

exp2

1 .

( ) ( )∫ ×

α

β−γ

α

βπ−γ+β+α

α=γ+β+α

2

2

322

222

4exp

4exp

21 exp.2 zzdzzzz

αβ

+α×2

ierf z .

1.2.3.

1. ( ) ( )−

αβ

−α

γ+

α

β

α

β+απ=γ+β+α−∫ 2

erf4

exp8

2 exp2

2

5

22222 zdzzzz

( )γ+β+α−α

β+α− zzz 22

4

2exp

4

2 .

2. ( ) ( )∫ +

αβ

+α

α

β−γ

α

α−βπ=γ+β+α

2ierf

4exp

8

2 exp

2

2

5

22222 zdzzzz

( )γ+β+αα

β−α+ zzz 22

4

2exp

4

2 .

1.2.4.

( )2

2 21 2

1. exp exp erf22 4

nn

z z z dz z+

β βπ −α +β + γ = + γ α − × α α α ∫

( ) ( )( )

( )

( )( )∑ ∑= =

−

−

−

×

−β

γ+β+α−−α−

β×

2

0

2

1

222

2

2

!2!!

exp2

1

!2!

!nE

k

nE

k

kn

nkn

kn

knkn

zzknk

n

8

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

α−

β−α−+−

β−+

α

β−α× ∑∑∑

=+−

−−−

=

−+

=+−

− k

llkn

llknEn

k

knk

llkn

l

l

zknk

kn

l

zl

1 2

2222

1

21

1 2

122

!1

24!21!12

!1!

!2

2! .

( )2

2 21 2

2. exp exp erf i22 4

nn

z z z dz z+

β βπ α +β + γ = γ − α + × α α α ∫

( ) ( )( )

( )( )

( )

×

−β

γ+β+α+α−−

β× ∑∑

=

−

=−

− 2

1

222

2

0 2

2

!2!!

exp2

1

!2!

! nE

k

kn

n

nE

k kn

kn

knkn

zzknk

n

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

α−−

β+α−+−

β−−

α−

β+α× ∑∑ ∑

=+−

−−

=

−

=

−+

+−

− k

llkn

llkk

l

nEn

k

kn

lkn

l

l

zknk

kn

l

zl

1 2

222

1

2

1

21

2

122

1

2421

1

2

2

!!!12!!

!

!

.

1.2.5. ( ) ( )( )

∫ ∑=

−β−γ+β

β=γ+β

n

kkn

kn

k

zzn

dzzz0

expexp!

! .

1.3. Integrals of the form ( ) ( )2erf exp n z z dz α + β − α + β ∫

1.3.1. ( ) ( ) ( )2 2erf exp erf4

z z dz zπ α +β − α +β = α +β α∫ .

1.3.2. ( ) ( ) ( )22 3erf exp erf6

z z dz zπ α +β − α +β = α +β α∫ .

1.3.3. ( ) ( ) ( ) ( )2 1erf exp erf2 2

n nz z dz zn

+π α +β − α +β = α +β + α∫ .

1.4. Integrals of the form ( ) ( )2erf exp nz z z dz α + β − α + β ∫

1.4.1. ( ) ( ) ( ){22

1erf exp 2 erf 24

z z z dz z α +β − α +β = α +β − α∫

( )} ( ) ( )222

1erf erf exp2

z z z − πβ α +β − α +β − α +β α

.

1.4.2. ( ) ( ) ( ) ( )2 223

erf exp erf exp2

zz z z dz z z

β −α α +β − α +β = α +β − α +β + α

∫

9

( ) ( ) ( )[ ] ×απ

−β+αα

β−β+α

α

+βπ+

332

3

2

412erf

2erf

8

12zz

( )[ ]22exp β+α−× z .

1.4.3.

( ) ( )[ ] ( ) ×β+αα

π=β+α−β+α

+∫ zdzzzzn

n 21

2 erf4

experf.1

( )( )

( ) ( )( )

( )( )∑∑=

−

+=

−

×β+α−

β−

α−

−

β−×

2

1

2

1

2

0

2erf

!2!4

!

!2!4

! nE

kk

kn

n

nE

kk

knz

knk

n

knk

n

( )[ ] ( )( )

( )[ ] ( )( )∑∑

−

=

−

=

+×

+β+α−

π+

+β+α

β+α−×1

0

21

0

212

2!12

!2exp

21

!12!4

expk

l

k

l

ll

llz

lzlz

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

×−+−

β−−

α+

β+α

× ∑∑−

=

−+

+=

+

21

!21!12!1

2!

!2 2

1

21

10

2 nEn

k

kn

n

l

r

rrl

knkkn

rz

( )[ ] ( )( )

( ) ( )[ ] ( )∑ ∑−

=

−

=−

β+αβ+α−β+α−β+α×

1

0

1

0

22

2 !experf

!8

!22erf

k

l

k

l

l

l lzzz

llz

( )[ ] ( )( )

( )( )

+

β+αβ+α−

π− ∑ ∑

−

=

−

=−

+1

1

1

0

12

22

!128

!

!

!22exp2 k

l

l

rrl

r

r

zr

l

lz .

( ) ( ) ( )

( )( )∫

−α

α

απ=α−α

+z

mm

dzzzzm

m 212

222 erf4!

!2 experf.2

( ) ( )( ) ( )

( )×α−απ

−α+

α−α− ∑−

=−

+22

1

0 2

1222 2exp

21

4!12

!experf z

k

zkzz

m

kkm

k

( )( ) ( )

α+× ∑ ∑

−

= =−−

1

0 0 2

22

2!!122!m

k

k

llm

l

kml

zk

k.

( ) ( ) ( ) ( )( )

∫ ∑

−α

α=α−α

=+

+m

kkm

m

k

kz

mdzzzz

0222

2212

!8

!22erf

21

2

! experf.3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

∑∑==

×α−π

−α

α−α−m

k

m

k

k

k

kz

kz

zz1

222

0

222

!

!22exp2

!experf

10

( )( )

+

α×∑

−

=−

+1

0

12

!128!k

llk

l

lzl .

1.5. Integrals of the form ( ) ( )1erf exp nz z z dzα + β β + γ∫

1.5.1. ( ) ( ) ( ) ( )1 11

1erf exp erf expz z dz z z

α +β β + γ = α +β β + γ −β

∫

αβ

−β+α

γ+

α

ββα−β−

2erf

4

4exp 1

21

21 z .

1.5.2. ( ) ( ) ( ) ( )11 12

1

1erf exp erf exp

zz z z dz z z

β −α +β β + γ = α +β β + γ +

β∫

×βαπ

+

αβ

−β+α

γ+

α

ββα−β

α−

βαβ

+β

+1

12

121

2121

12

erf4

4exp

211 z

( )[ ]γ+β+β+α−× zz 12exp .

1.5.3. ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 11 0 1

!erf exp erf exp

!

knn

n kk

n zz z z d z z zk −

=

α +β β + γ = α +β β + γ −

β −β∑∫

( )∑=

−×

β−

αβ

−β+α

γ+

α

ββα−β−

n

kknk

z0 1

12

121

2

12

erf4

4exp

( )

( ) ( )( )

( )[ ]( )

∑∑=

−=

−

−×

β−γ+β+β+α−

π

α+

α−

βα−β×

n

k knk

kE

l lk

lkzz

lkl 1 11

22

0 2

21

21exp2

!2!

2

( )( )

( ) ( )( ) ( )

+

α

β−βα+α−βα−β

× ∑∑=

+−

−

=

− l

rrlk

rkE

l

lk

r

zrlkl 1 2

121

22

1

21

2

222

2

!

!!!

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

α−

β−βα+α−+−βα−β−

+ ∑∑=

+−

−−−

=

−+ l

rrlk

rrlkEk

l

lk

r

zlkl

l

1 2

221

22

1

211

1

2242112

21

!!!!

.

11

1.6. Integrals of the form ( ) ( )2 1 2 2erf exp mz z z dz+ α + β α + γ∫

1.6.1.

( ) ( ) −

β

+α

β−γ

α=γ+α−β+α∫ 2

2erf2

exp221 experf.1

2

222 zdzzzz

( ) ( )γ+α−β+αα

− 222

experf2

1 zz .

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2

2

erfexp2. erf exp erf exp

22

zz z z dz z z

2αγ α −α + γ = − α −α α

∫ .

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22

13. erf exp erf exp2

z z z dz z zα +β α + γ = α +β α + γ +

α ∫

( )

βα−β−γ

βπ+ z2exp1 2 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2exp 14. erf exp erf exp2

zz z z dz z zγ

α α + γ = α α − α α π ∫ .

1.6.2.

( ) ( ) ( ) ( )∫ ×γ+α−β+α−=γ+α−β+α+ 222212 experf2!

experf.1 zzm

dzzzz m

( ) ( )( )

∑∑=

+=

−+

×

β

+α

β−γ

α+

α×

m

km

m

kkm

kz

kkm

k

z

0

2

12012

2

22erf

2exp

21

!!2

2

!

!

( )( )

( )∑∑=

−

=+

−×

−β

α−βα−β−γπ

+−

β×

k

l

lkk

llk

lk

lkzz

lkl 1

22222

02

22

!2222exp1

!22!2

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

∑=

−+−

−

β+α−

−−−+β−β+α

×l

rrlrlk

r

rl

zrrllk

lz

12

22

24

2112212

1

2

2

!!

!!!

!.

( ) ( ) ( )

( )∫ ∑=

++ ×

α

γ=γ+α−α

m

km

mk

mdzzzz

012

2212!

1exp! experf.2

( ) ( ) ( ) ( )( )

−

α

π

α−−

α× ∑

=

−k

l

ll

k lzlzz

k

k

1

1222

!2!8

42exp

82erf

!8

!2

12

( ) ( ) ( )

α−αα

− 222

experf2

zzz k.

( ) ( )∫ =γ+αβ+α+ dzzzz m experf.3 2212

( ) ( )( )

+

α−γ+αβ+α

α= ∑

=−

m

kkm

k

k

zzzm

0 2

222

2!

experf2

!

( ) ( )

( ) ( )

βαα−βπ

βα−β−γ+ ∑ ∑

= =−−

m

k

k

llk

l

km l

z

k

kz

0

2

022

2

2!!

!22exp.

( ) ( ) ( )

( )∫ ∑=

−+ ×

α−αγ

=γ+ααm

k km

km

k

zmdzzzz

0 2

22212

!

exp! experf.4

( ) ( )( )

π+−α

αα

×12

exp2

erf 22

kzz

z.

1.7. Integrals of the form ( ) ( )∫ γ+αβ+α+ dzzzz m exper f 21

12

1.7.1.

( ) ( ) ( ) ( )∫

−γ+αβ+α

α=γ+αβ+α 2

11

21 experf

21experf.1 zzdzzzz

( )2

12

1

exp V α β−α + γ β α −α

.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1

1 1

erf exp2. erf exp exp 0

2 2z

z z z dz z Vα α γ

α α + γ = α + γ −α α∫

{ 21α ≠ α }.

1.7.2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑

=−+

−+ +

α

−γ+αβ+α=γ+αβ+α

m

k km

kkmm

k

zzz

mdzzzz

0 11

22

12

112

!

1experf

2!

experf.1

13

( )( )

( )2

11 2

0 11

2 !!exp

2 !

m

m kk

kmV

k + −=

α βα + + γ β × α −α−α ∑

( )

( ) ( )( )[ ]×γ+α+β+α−

π+

α−α−

βα× ∑

=−

−2

12

02

12

22exp1

!22!4zz

lkl

k

llkl

lk

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

×

−βα

−α−α−

βα+α−α−+−

βα−× ∑ ∑ ∑

= = =

−

+−

−−+k

l

l

r

k

l

lk

rlk

rlk

lklr

zzlkl

l

1 1 1

22

21

2

221

2212

!22!!1!212!12!1

( )( ) ( )

α−α

βα+α−α×∑

=+−−

−l

rrlkrl

r

r

zzr

12

12

121

2

!24

! .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 2 2

1 1 10 1

1!2. erf exp erf exp

2 !

m k kmm

m kk

zmz z z dz z z

k

−+

+ −=

−α α + γ = α α + γ +

α∑∫

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 1 20 1 1

! exp 2 ! 1 02 ! 4

m

m k kkk

m kV

k + −=

α γ + −

−α α −α

∑

( )[ ]( ) ( )

α−απ

α−α− ∑

=−+−

−k

llklk

l

l

zlz

11

12

12221

24

exp

!

!.

Introduced notation:

( ) 212 2

1 1

1 erfV z αβ β = α −α + = α −α α −α

α−α

βα−α−α

α−α=

21

21

21

ierf1 z .

14

1.8. Integrals of the form ( ) ( )2 2 2erf expnz z z dzα α∫

1.8.1. ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 22 2

erf 2erf exp exp2

zz z z dz z

αα α = α − ×

α πα∫

( ) ( )zzz ααπ

−α−× erf2exp 22 .

1.8.2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 2 2 2

3 3 3

erf 3erf erferf exp

12 2 3 2

zz zz z z dz

απ α αα −α = + − ×

α πα πα∫

( ) ( ) ( )222

222 exp

2

erf2exp z

zzz α−

α

α−α−× .

1.8.3. ( ) ( ) ( ) ( )( )

32 2 2 2

2 1

2 ! erferf exp

! 3 2m

m

m zz z z dz

m +

π αα −α = −α

∫

( ) ( )( ) ( )

( )( )∑ ∑

−

=

−

=−

+×

+π+

α+α−α−

1

0

1

0

2

2

12222

!12!1

4!12

!experf

m

k

m

kkm

k

kk

k

zkzz

( ) ( )( )

( ) ( )

×α−α−

α

α× ∑

=+−+

k

lllkmm

zzl

lz

0

222212

2experf!32

!2

3

3erf

( ) ( )( )

( )( )

∑ ∑∑−

= ==−+−−

×+π

α−−

α×

1

1 12

222

02122

2

!

!2!12

!3exp!2

m

k

k

l

k

llmlkm

l

l

lkkz

lz

( ) ( )

α×∑

=−+−+−+−

−l

r rmrlrlkm

r

r

zr

112122

12

!232

!.

1.8.4. ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 1 2 2 2 2 2

2 20

erf !erf exp exp

2 !

kmm

m kk

z m zz z z dz z

k

+−

=

αα α = α −

α −α∑∫

( ) ( ) ( )( )

απ

α−+

α

α+

−

π− ∑∑

=−+−+

+

=

− k

llm

l

km

km

k

km

l

zz

kzz

km

012

222

212

12

0 !

exp

!erf

12!12 .

15

1.9. Integrals of the form ( )erf nz z dzα + β∫

1.9.1. ( ) ( ) ( )21erf erf expz dz z z zβ α +β = + α +β + − α +β α π α∫ .

1.9.2. ( ) ( ) ( )[ ]∫ β+α−απ

β−α+β+α

α

+β−=β+α 2

22

22exp

2erf

4

122

erf zz

zzdzzz .

1.9.3. ( ) ( )2 2 233

23 3

12 3erf erf3 6 3

z zzz z dz z α −αβ +β +β + β

α +β = + α +β + × α πα ∫

( )[ ]2exp β+α−× z .

1.9.4.

( ) ( ) ( )( )

( )∫ ∑ +

−+

β−

α−

+β+α=β+α

−

=

−+

+

+ 2

0

21

1

1

!21!4

!1

erf erf.1nEn

k k

kn

n

nn

knk

nnzzdzzz

( )[ ] ( )( ) ( )

( )( )

+

β+α−+

β−β+α−

απ+ ∑ ∑

= =

−

+

2

0 0

222

1 !!2!12!

exp! nE

k

k

l

lkn

n lz

knkk

zn

( )( )

( )( )

( )

β+α−+

β−+ ∑ ∑

−

= =−

−−+2

1 1

1221

!24

!!21!

nEn

k

k

llk

lkn

lzl

knk.

( ) ( )( )

( )∫ ∑=

−+

+

αα−

π++α

+=α

m

kkm

kmm

kzz

mm

zm

zdzzz0

212

222

122 exp

12erf

12erf.2

!

!

•

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )∫ ×απ+

++

α+

+−

+α=α

+

++

!!

!

!

112

41

1222

erferf.312

2212

mm

m

mm

zzdzzzm

mm

( ) ( )

( ) ( )∑=

−

+

α+

+α−×

m

k km

k

k

zkz

0 2

1222

4!22

!1exp .

1.10. Integrals of the form ( )2erf nz z dzα + β∫

1.10.1. ( ) ( ) ( )2 2 2erf erf erfz dz z z zβ α +β = + α +β + α +β × α π α∫

( )[ ] ( )[ ]β+ααπ

−β+α−× zz 2erf2exp 2 .

16

1.10.2. ( ) ( ) ( )22

2 22 2

2 1erf erf erf2 4

zzz z dz z z β + α −β

α +β = − α +β + α +β × α πα ∫

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]222

2 2exp2

12erf2exp β+α−πα

+β+ααπ

β+β+α−× zzz .

1.10.3. ( ) ( )33

2 2 23 3

2 3 2erf erf3 6 3

zzz z dz z β + β α − β

α +β = + α +β + × α πα ∫

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) −β+αβ+α−απ

+β+βα−α+β+α−× zz

zzz erfexp

3

122exp 2

3

2222

( ) ( )[ ]β+ααπ

+β− z2erf

12

51223

2.

1.10.4.

( ) ( ) ( )( )

( )

∫ ∑ +

−+

β−

α−

+β+α=β+α

−

=

−+

+

+ 2

0

21

1

122

!21!4

!1

erf erf.1nEn

k k

kn

n

nn

knk

nnzzdzzz

( )( ) ( )

( ) ( )[ ]( )∑=

−

+

×β+α−β+α−+

β−

απ+

2

0

22

1experf2

!2!12!! nE

k

kn

nzz

knkkn

( ) ( )[ ] ( )( )

( )[ ]∑∑==

×β+α−π

+β+α−β+α

×k

ll

k

l

lz

l

lz

lz

0

22

0

22exp4

!8

!22erf2

!

( )

( )

( )( )

( )( )

( )

∑∑ ∑−

=

−+

+=

−

=−

+

×−+

β−

απ+

+

β+α×

2

1

21

11

1

0

12

2 !21!!

!128

!

!

!2 nEn

k

kn

n

k

l

l

rrl

r

knkn

rzr

l

l

( )[ ] ( ) ( )( )

+−

β+α−β+α−β+α× ∑

=−

−k

llk

l

l

zlzz

1

122

!124

!1exp)(erf

( )[ ] ( )( )

( )

β+α

+β+α−

π+ ∑ ∑

−

= =−−

1

0 02

222

!2!12!

2exp2 k

l

l

rrlk

r

r

zll

z .

( ) ( )( )

∫

×α

απ++α

+=α

+

+)(erf2

12

!erf

12 erf.2

122

1222 z

m

mz

mzdzzz

m

mm

( ) ( ) ( ) ( )( )

∑∑==

×π

+α−α

α−×m

kk

m

k

k

k

kzkzz

02

0

222

21

!8

!22erf2!

exp

( ) ( )( )

( ) ( )( )

−

α−α−× ∑ ∑

= =−

−m

k

k

llk

l

l

zl

k

kz

1 1

12

222

!128

!1

!

!22exp .

17

( ) ( ) ( )

( ) ( )∫ +

α+

+−

+α=α

+

++

12

222212

4!1

!1222

erferf.3m

mm

m

mm

zzdzzz

( )( )

( ) ( ) ( )( )

+

+

αα−α

απ+

++ ∑

=−+

m

kkm

k

m k

zkzzz

m

m

0

222

12 !124

!experf

!1

!12

( ) ( )( )

( )

α+

α−απ

+ ∑ ∑= =

−−

m

k

k

llkm

l

lz

kkz

0 02

2222

!2!12!

2exp2

1 .

1.11. Integrals of the form ( ) ( )21erf erf mz z z dzα α∫

1.11.1.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1

1

erf1erf erf erf erf expz

z z dz z z z z αα α = α α + −α +

απ ∫

( ) ( )

α+α

αα

α+α−α−

αα

+ zzz 2

12

1

21

2221 erfexp

erf.

2. ( ) ( ) ( ) ( ) 1erf erfi erf erfiz z dz z z zα α = α α + ×πα

∫

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2erfi exp erf expz z z z × α −α − α α .

1.11.2.

( ) ( ) ( ) ( ) ×ααπ

+αα=αα∫1

13

12

3erferf

3erferf.1 zzzzdzzzz

( )[ ] ( ) ( )

×

α

+α+α−α

α

+α

π+α+α−×

3

2222

131

22122

12

1experf

1

31exp

zzz

zz

( ) ( ) ( )

( )

α+α

ααα+α

αα+α+α−α−α× zzz 2

12

31

21

2

21

41

422

1 erf2

22experf .

( ) ( ) ( ) ( )3

2 12. erf erf i erf erfi3 3zz z z dz z zα α = α α + ×

πα∫

( ) ( ) ( )2 2 2 22 2

1 1erf i exp erfz z z z z

× + α −α + − α × α α

18

( )2 2 4exp zz

× α − πα

.

1.11.3.

( ) ( ) ( ) ( )( )

∑∫=

+×

π++αα

+=αα

m

k

mm

km

mzz

mzdzzzz

01

121

2!!

121erferf

12 erferf.1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

×α+α

−

α−

α

α+α−

α

α×

−+−+ kkkmkmk

k

kz

zz

zz

21

2

22212

1221212

1

2

4

2exp

erfexp

erf

!

!

( )

×α−α−π

−α+α

α+α

α

α+

α

α×

−+−+22

122

21

2

21

2

2121

2121

exp1erfzz

z

kmkm

( )( )

α+α×∑

=

−−k

l

lll

lzl

1

12121

2

!2!4

{ 2 21 0α + α ≠ for 0m > }.

2. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 11 !erf erfi erf erfi2 1

m m mz z z dz z z zm

+α α = α α + ×

+ π α∫

( )( ) ( ) ( ) ( )

+αα−+

π

α⋅

+−−

α× −+

−

=−∑ 221

0 2

2experf12

1211

!zzz

kk

z kmkmm

kkm

k

( ) ( )

α−α+ 22expierf zz .

1.12. Integrals of the form ( )2 1 3erf mz z dz+ α∫

1.12.1. ( ) ( ) ( ) ( )22

3 3 2 22

3 erf1erf erf exp2 24

z zzz z dz z z α

α = − α + −α + π αα ∫

( ) ( ) ( )2

222 2

3erf32exp2erf3

πα

α−α−

πα

α+

zzz .

19

1.12.2. ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

2 22 1 3 3

12

2 1 ! 2 1 !erf erf

2 2 1 !1 ! 4

mm

m

m mzz z dz zm mm

++

+

+ + α = α − + × + + π + α

∫

( ) ( )( ) ( )

( )( )

×+π

+α+

α−α× ∑ ∑= =

−+

+m

k

m

kkm

k

kk

kzkzz

0 0

2

212

12222

!12!1

2!12

!experf3

( ) ( )( )

−

αα−α× ∑

=−+−−+

k

l lmlkm

l

l

zzz0 1212

222

22experf3

!

( )( )

( )( )

( )×

απα−

+

α

α− ∑

=+−++ 2

3exp

!32

!23erf3 22

021212

zl

lz k

l llkmm

( )( )

( )( ) ( ) ( )

α+× ∑ ∑ ∑

= = =−+−−+−

−m

k

k

l

l

r rmrlrlkm

r

r

zrl

lkk

1 1 11222

12

2

2

!232

!

!

!2!12

!.

1.13. Integrals of the forms ( )∫ γ+β+α dzzzz mn 22sin ,

( )2 2sinhn mz z z dzα + β + γ∫ ,

( )2 2cosn mz z z dzα + β + γ∫ , ( )2 2coshn mz z z dzα + β + γ∫

1.13.1.

1. ( )2 2

2 22 2

2 1sin sin cos Re erf4 224 4

b b i ba x bx dx axa aa a

π + + + γ = γ − + γ − + + ∫

+

+

−γ−

−γ+

abaxi

ab

ab

221erfIm

4cos

4sin

2

2

2

2.

2. ( ) ( )2

2 22

2sin 1 exp8 4

z z dz i i π βα +β + γ = + − γ × α α

∫

( )2

21 1erf 1 exp erf

2 22 24i iz i i z

β β β+ − × α + + − γ − α + α α α .

3. ( )2

2 22sinh exp erfi

4 24z z dz z

π β βα +β + γ = γ − α + − α α α

∫

20

2

2exp erf24

z β β

− − γ α + α α .

1.13.2.

1. ( )2 2

2 22 2

2cos cos sin4 4 4

b ba x bx dxa a a

π + + γ = γ − − γ − × ∫

2 2

2 2

1 1Reerf sin cos Im erf 2 24 4 2

i b b b i ba x axa aa a

+ + × + + γ − + γ − + 2

.

2. ( ) ( )2

2 22

2 1cos 1 exp erf8 4 22

iz z dz i i zπ β βα β γ γ αα α α

+ + + = − − + + ∫

( )

αβ

+α−

α

β−γ++

221erf

4exp1

2

2ziii .

3. ( )2

2 22cosh exp erfi

4 24z z dz z

π β βα +β + γ = γ − α + + α α α

∫

2

2exp erf24

z β β

+ − γ α + α α .

1.13.3.

1. ( )

−

−γ=γ++∫ ),,,1,(Re

4sin

2!sin )13(

12

222 xbanV

abndxbxxax

nn

( ) +γ++−

−γ− ),,,1,(Resin),,,1,(Im

4cos )13(

222)13(

12

2xbanVbxxaxbanV

ab

( )

γ+++ ),,,1,(Imcos )13(

222 xbanVbxxa .

2. ( )2

(13)2 211 2

!sin exp ( ,1, , , )2 4

nnnz z z dz i i V n z+

βα +β + γ = − γ α β − α ∫

( )2

(13) 2 212exp ( , 1, , , ) exp

4i V n z i z z β − γ − − α β + α +β + γ × α

(13) (13)2 22 2( , 1, , , ) exp ( ) ( ,1, , , )V n z i z z V n z

× − α β − − α +β + γ α β

.

21

3. ( )2

(13)2 231 2

!sinh exp ( ,1, )2 4

nnnz z z dz V n+

βα +β + γ = γ − β + α

∫

2(13) (13) (13)

54 4 2( ,1, ) ( , 1, ) exp ( ,1, )4

V n V n V n β

+ β − − β − − γ β α .

1.13.4.

1. ( )

+

−γ=γ++∫ ),,,1,(Im

4sin

2!cos )13(

12

222 xbanV

abndxbxxax

nn

( ) −γ++−

−γ+ ),,,1,(Imsin),,,1,(Re

4cos )13(

222)13(

12

2xbanVbxxaxbanV

ab

( ) γ++− ),,,1,(Recos )13(

222 xbanVbxxa .

2. ( )

+βα

γ−

α

β=γ+β+α

+∫ ),,,1,(4

exp2

!cos )13(12

2

122 znVindzzzz

nn

[ ] −βα−γ+β+α−βα−

α

β−γ+ ),,,1,()(exp),,,1,(

4exp )13(

222)13(

12

2znVzziznVi

[ ]

βαγ+β+α−− ),,,1,()(exp )13(2

22 znVzzi .

3. ( )2

2 2 (13)31 2

!cosh exp ( ,1, )2 4

nnnz z z dz V nβα β γ γ β

α+

+ + = − +

∫

2(13) (13) (13)

4 4 52( ,1, ) ( , 1, ) exp ( ,1, ) .4

V n V n V nββ β γ βα

+ + − + −

1.13.5.

1. ( )1

2 2 22 1 2

1

(2 )! !(2 )! ( 1)sin( )!( )!4 ( 1)( !) 2

n kmn m

m n mk

m x n mx a x bx dxm k m kn m

+

− +=

−+ + γ = + ×

− ++∑∫

2 2(13)

12 2sin 2 Im ( ,2 , , , ) cos 24 4b bk V n k a b x ka a

× γ − + γ − ×

(13) (13)2 21 2Re ( ,2 , , , ) sin 2 ( ) Im ( ,2 , , , )V n k a b x k a x bx V n k a b x × − + + γ −

22

(13)2 22cos 2 ( ) Re ( ,2 , , , )k a x bx V n k a b x

− + + γ

.

2. ( ) ×++−

−+=γ++ ∑∫

=+

+m

k

k

mnmn

kmkmmn

dxbxxax0

22212

)!1()!()1(

2

)!12(!sin

2 2(13)

12 2sin (2 1) Re ( ,2 1, , , ) cos (2 1)4 4b bk V n k a b x ka a

× + γ − + − + γ − × (13) (13)2 2

1 2Im ( ,2 1, , , ) sin[(2 1)( )]Re ( ,2 1, , , )V n k a b x k a x bx V n k a b x× + − + + + γ + +

(13)2 22cos[(2 1)( )] Im ( ,2 1, , , )k a x bx V n k a b x

+ + + + γ +

.

3. ( ) ×+−

−+

+=γ+β+α ∑∫

=+

+ m

k

k

mnm

nmn

kmkmmn

mn

zmdzzzz

122

1222

)!()!()1(

2

)!2(!

)!)(1(4

)!2(sin

2 2(13)

12 2exp 2 ( ,2 , , , ) exp 24 4

k i V n k z ki β β× − γ α β + γ − × α α

( )(13) (13)2 21 2( , 2 , , , ) exp 2 ( , 2 , , , )V n k z k i z z V n k z × − α β − α +β + γ − α β −

( ) (13)2 22exp 2 ( ,2 , , , )k i z z V n k z

− − α +β + γ α β .

4. ( ) ×++−

−+=γ+β+α ∑∫

=++

+m

k

k

mnmn

kmkmimn

dzzzz0

212212

)!1()!()1(

2

)!12(!sin

( ) ( )2 2

(13)12 2exp 2 1 ( ,2 1, , , ) exp 2 1

4 4i k V n k z i k

β β× + − γ + α β − + γ − × α α

( )( )(13) (13)2 21 2( , 2 1, , , ) exp 2 1 ( , 2 1, , , )V n k z i k z z V n k z × − − α β + + α +β + γ − − α β −

( )( ) (13)2 22exp 2 1 ( ,2 1, , , )i k z z V n k z

− − + α +β + γ + α β .

5. ( )1

2 2 22 2

(2 )! !(2 )!sinh( 4) ( 1)( !) 2

nn m

m n mm z n mz z z dzn m

+

+α +β + γ = + ×

− +∫

23

2(13) (13)

3 421

( 1) exp 2 ( ,2 , ) ( ,2 , )( )!( )! 4

m km

kk V n k V n k

m k m k

−

=

− β× γ − β + β + − + α ∑

2(13) (13)

54 2( , 2 , ) exp 2 ( ,2 , )4

V n k k V n k β + − β + − γ β α

.

6. ( )2 1 2 21 2

0

!(2 1)! ( 1)sinh

( )!( 1 )!2

m kmn m

n mk

n mz z z dz

m k m k

−+

+ +=

+ −α +β + γ = ×

− + +∑∫

( )2

(13) (13)3 42exp 2 1 ( ,2 1, ) ( ,2 1, )

4k V n k V n k

β× + γ − + β + + β − α

( )2

(13) (13)54 2( , 2 1, ) exp 2 1 ( ,2 1, )

4V n k k V n k

β − − − β − + − γ + β α .

1.13.6.

1. ( ) ×+−

++

=γ++ ∑∫=

+−

+ m

kmnm

nmn

kmkmmn

mn

xmdxbxxax

1212

1222

)!()!(1

2

)!2(!

)!)(1(4

)!2(cos

2 2(13)

12 2sin 2 Im ( ,2 , , , ) cos 24 4b bk V n k a b x ka a

× γ − + γ − ×

( )(13) (13)2 21 2Re ( ,2 , , , ) sin 2 Im ( ,2 , , , )V n k a b x k a x bx V n k a b x × − + + γ −

( ) (13)2 22cos 2 Re ( ,2 , , , )k a x bx V n k a b x

− + + γ .

2. ( ) ( )×

++−+

=γ++ ∑∫=

++

m

kmn

mnkmkm

mndxbxxax

02

2212)!1()!(

1

2

!12!cos

( )2 2

(13)12 2sin 2 1 Im ( ,2 1, , , ) cos (2 1)

4 4b bk V n k a b x ka a

× + γ − + + + γ − ×

( )(13) (13)2 21 2Re ( ,2 1, , , ) sin (2 1) Im ( ,2 1, , , )V n k a b x k a x bx V n k a b x × + − + + + γ + −

( ) (13)2 22cos (2 1) Re ( ,2 1, , , )k a x bx V n k a b x

− + + + γ + .

3. ( )1

2 2 22 2

(2 )! !(2 )!cos4 ( 1)( !) 2

nn m

m n mm z n mz z z dzn m

+

+α +β + γ = + ×

+∫

24

2(13)

121

1 exp 2 ( ,2 , , , )( )!( )! 4

m

kk i V n k z

m k m k=

β× − γ α β + − + α ∑

( )2

(13) 2 212exp 2 ( , 2 , , , ) exp 2

4ki V n k z k i z z

β + γ − − α β − α +β + γ × α

( )(13) (13)2 22 2( , 2 , , , ) exp 2 ( ,2 , , , )V n k z k i z z V n k z

× − α β − − α +β + γ α β

.

4. ( ) ×++−

+=γ+β+α ∑∫

=++

+m

kmn

mnkmkm

mndzzzz

021

2212)!1()!(

1

2

)!12(!cos

2 2(13)

12 2exp (2 1) ( ,2 1, , , ) exp (2 1)4 4

i k V n k z i k β β× + − γ + α β + + γ − × α α

( ) ( )(13) (13)2 21 2( , 2 1, , , ) exp 2 1 ( , 2 1, , , )V n k z i k z z V n k z × − − α β − + α +β + γ − − α β −

( ) (13)2 22exp (2 1) ( ,2 1, , , )i k z z V n k z

− − + α +β + γ + α β .

5. ( )1

2 2 22 2

1

(2 )! !(2 )! 1cosh4 ( 1)( !) 2 ( )!( )!

n mn m

m n mk

m z n mz z z dzn m m k m k

α β γ+

+=

+ + = + ×+ − +∑∫

+β−+β+β

α

β−γ× ),2,(),2,(),2,(

42exp )13(

4)13(

4)13(

32

2knVknVknVk

β

γ−

α

β+ ),2,(

42exp )13(

52

2knVk .

6. ( )2 1 2 21 2

0

!(2 1)! 1cosh( )!( 1 )!2

mn m

n mk

n mz z z dz

m k m k+

+ +=

+α +β + γ = ×

− + +∑∫

2(13) (13)

3 42exp (2 1) ( ,2 1, ) ( ,2 1, )4

k V n k V n k β× + γ − + β + + β + α

2(13) (13)

54 2( , 2 1, ) exp (2 1) ( ,2 1, )4

V n k k V n k β + − − β + + − γ + β α

.

1.13.7.

1. ( )1

(13)262 2 1

1

(2 )! ! (2 )! ( 1)sin ( ,2 )( )!( )!4 ( 1)( !) 2

n kmn m

m mk

m z n mz z dz V n km k m kn m

+

−=

−β + γ = +

− ++∑∫

{ 0β ≠ }.

25

2. 1

(13)2 17

0

!(2 1)! ( 1)sin ( ) ( , 2 1)( )!( 1 )!4

kmn m

mk

n mz z dz V n km k m k

++

=

+ −β + γ = +

− + +∑∫

{ 0β ≠ }.

3. 1

22 2 1

1

(2 )! !(2 )! ( 1)sinh ( )( 4) ( 1)( !) 2 ( )!( )!

n m kmn m

m mk

m z n mz z dzn m m k m k k

β γβ

+ −

+=

−+ = + ×

− + − +∑∫

( )[ ].)2,()2,( 138

)13(8 knVknV −−×

4. 2 12 1

0

!(2 1)! ( 1)sinh ( )2 ( )!( 1 )!(2 1)

m kmn m

mk

n mz z dzm k m k k

β γβ

−+

+=

+ −+ = ×

− + + +∑∫

( )[ ] .)12,()12,( 138

)13(8 −−++× knVknV

1.13.8.

1. 1

(13)262 2 1

1

(2 )! !(2 )! 1cos ( ) ( ,2 )( )!( )!4 ( 1)( !) 2

n mn m

m mk

m z n mz z dz V n k

m k m kn m

+

−=

β + γ = +− ++

∑∫

}0{ ≠β .

2. (13)2 16

0

!(2 1)! 1cos ( ) ( , 2 1)( )!( 1 )!4

mn m

mk

n mz z dz V n km k m k

+

=

+β + γ = +

− + +∑∫

}0{ ≠β .

3. 1

22 2 1

1

(2 )! !(2 )! 1cosh ( )4 ( 1)( !) 2 ( )!( )!

n mn m

m mk

m z n mz z dzn m m k m k k

β γβ

+

+=

+ = + ×+ − +∑∫

( )

−−× )2,()2,( 13

8)13(

8 knVknV .

4. 2 12 1

0

!(2 1)! 1cosh ( )2 ( )!( 1 )!(2 1)

mn m

mk

n mz z dzm k m k k

β γβ

++

=

++ = ×

− + + +∑∫

( )

−−−+× )12,()12,( 13

8)13(

8 knVknV .

26

Introduced notations:

1) (13)1

(1 )( , , , , ) erf (1 )2 22 2

i sV n s z i zs

π β ± α β = ± α + × αα

2( /2)

20

( )!( 2 )!( )

ln lE n

n ll

isl n l

−

−=

±β × − α

∑

( 0),s >

1

1

(13)11 2 1

1

(1 ) 1(2 , , , 0, ) erf2! 8

n

ni i iV n s z s z

sn s +π ± ± α = α α

( 0)s > ,

0),0,,,12(),0,,,12( 1)13(

11)13(

1 =α−+=α+ zsnVzsnV ;

2) ( )+

−

α

β+α−

β−=βα

−+

=+−

−

=

−

∑∑rll

rrln

rnE

l

ln

si

rzr

lnlzsnV

1

1222

122)2/(

1

2)13(

2 !)2(2!

!)2(!)(),,,,(

( ) rll

rrln

rrlnEn

l

ln

si

rz

lnll −+

=+−

−−−

=

−+

−

α−

β+α−+−

β−−+ ∑∑

1

1222

222)2/(

1

21

)!1(24

)!21()!12()()!1( ,

lnn

l

l

s

il

zln

zsnV−+

=

−

α−=α ∑

1

21

12

11

)13(2

11

)!2()2(!

!1),0,,,2( ,

lnn

l

ln

s

il

zn

nzsnV

−+

=

α−

+=α+ ∑

1

20

2

1

11

)13(2

111

!)!12(!4

),0,,,12( ;

3) ∑=

−

−−

α−

β−

αβ

+αα

π=β

)2/(

0 22

2)13(

3 )!2(!

)1(2

ierf2

),,(nE

l lnl

lnln

slnlzs

ssnV ,

szs

snsnV

nn 2)(ierf

)(!)0,,2(

121

1)13(

3 11

α⋅

α−

π=

+, 0)0,,12( 1

)13(3 =+ snV ;

4) ( )(13) 2 24 ( , , ) expV n s s z z β = α +β + γ ×

2 2 2 1( /2)

1 21 1

!(2 )!( 2 )! (2 )! ( )

n l rE n l

l r n l rl r

r zl n l r s

− −

+ − − += =

β α +β× −

− −α∑ ∑

1 2( /2) 2 2 2

1 21 1

( 1)! 4 (2 )(2 1)!( 1 2 ) ( 1)! ( )

n ln E n l r rl

l r n l rl r

l zl n l r s

+ −− − −

+ − − += =

− β α +β−

− + − − −α ∑ ∑ ,

[ ]∑=

−+−+

−−

α

−γ+α=

1

11

1

12221

1222

11

)13(4 )!2(

)2(!)1()(exp!

1)0,,2(n

llnln

lln

sl

zlzsn

snV ,

27

( ) ( )1 1

1

2(13) 2 21

4 1 1201

4 !(2 1, , 0) exp2 1 ! !( )

n n l

n ll

n zV n s s zn l s

α γα + −

=

+ = − + + −∑ ;

5) ∑=

−

−

α−

β−

αβ

+αα

π=β

)2/(

022

2)13(

5 )!2(!

)(2

erf2

),,(nE

llnl

ln

slnlzs

ssnV ,

szs

snsnV

nn 2)(erf

!)0,,2(

121

1)13(

5 11

α⋅

α

π=

+, 0)0,,12( 1

)13(5 =+ snV ;

6) [ ] [ ]2( /2)

(13)6 2 1

0

( 1)( , ) sin ( ) cos ( )( 2 )!( )

l n lE n

ll

zV n s s z s zn l s

−

+=

−= β + γ − β + γ ×

− β∑

1 2( /2)

21

( 1)( 1 2 )!( )

l n ln E n

ll

zn l s

+ −−

=

−×

+ − β∑ , [ ])(sin1),0()13(

6 γ+ββ

= zss

sV ;

7) [ ] [ ]2( /2)

(13)7 2 1

0

( 1)( , ) cos ( ) sin ( )( 2 )!( )

l n lE n

ll

zV n s s z s zn l s

−

+=

−= β + γ + β + γ ×

− β∑

1 2( /2)

21

( 1)( 1 2 )!( )

l n ln E n

ll

zn l s

+ −−

=

−×

+ − β∑ , [ ])(cos1),0()13(

7 γ+ββ

= zss

sV ;

8) [ ](13)8

0( , ) exp ( )

!( )

ln

n ll

zV n s s zl s −

== β + γ

− β∑ .

1.14. Integrals of the form ( ) dzzzzz n )exp(sin 122 βγ+β+α∫

1.14.1.

1. ( ) ( )2 2 11 2

2sin exp exp4 2

bba x bx b x dxa aπ

+ + γ = − ×

∫

2 2 2 21 1 1

2 21sin cos Re erf

224 4b b b b b ibi ax

aa a

− − ++ × γ − + γ − + +

2 2 2 21 1 1

2 21sin cos Im erf

224 4b b b b b ibi ax

aa a

− − ++ + γ − − γ − + .

2. ( ) ( )

×

γ−

α

β−β+

απ

=βγ+β+α∫ ii

iidzzzz

2

21

122

4

)(exp)1(

82expsin

2

1 1 12

( )1 1erf (1 )exp erf2 22 24

i i ii iz i i zi

β + β β + β β − β+ − × α + + − γ − α + α α α .

28

1.14.2.

1. ( )2 2 11 3 2

2sin exp ( ) exp8 2

bbx a x bx b x dxa aπ

+ + γ = − ×

∫

2 2 2 21 1 1

1 12 21( )sin ( )cos Re erf

224 4b b b b b ibib b b b ax

aa a

− − ++ × + − γ + − − γ + +

2 2 2 21 1 1

1 12 21( )sin ( )cos Im erf

224 4b b b b b ibib b b b ax

aa a

− − ++ + − − γ + + − γ + −

( )2 212

1 cos exp( )2

a x bx b xa

− + + γ .

2. ( ) ( )

×

γ−

α

β−ββ−β−

α

π=βγ+β+α∫ i

i

iiidzzzzz

2

21

13122

4exp))(1(

162)(expsin

21 1

1 2( )1erf (1 ) ( )exp

22 4i ii z i i i

i

β + β β + β+ × α + + + β + β γ − × α α

11erf22

ii z β − β− × α + − α

( )2 212

1 cos exp( )2

z z zα +β + γ βα

.

1.14.3.

1. ( ) ( )2 2 2 21 1

!sin exp( ) exp ( ) cos2

nn

nx a x bx b x dx b x a x bx

+ + γ = + + γ ×

∫

( )(14) (14)2 2 11 11 1 2Im ( ,1, , , , ) sin Re ( ,1, , , , ) exp

2bbV n a b b x a x bx V n a b b xa

× − + + γ − − ×

2 2(14)1

122sin Re ( ,1, , , , )4

b b V n a b b xa

−× − γ +

γ−

−+ ),,,,1,(Im

4cos 1

)14(22

21

2xbbanV

a

bb.

29

2. ( ) ( )2 2 2 21 11

!sin exp ( ) exp2

nnn iz z z z dz z i z z+

α +β + γ β = β + α +β + γ ×

∫

( )(14) (14)2 21 1 11 1( , 1, , , , ) exp ( ,1, , , , )V n z z i z z V n z × − α β β − β − α +β + γ α β β +

2 2(14)1 1

122 2( ) ( )exp ( ,1, , , , ) exp

4 4i ii V n z i

i i

β − β β + β+ − γ α β β − γ − ×

α α

(14)12 ( , 1, , , , )V n z

× − α β β

.

1.14.4.

1. ×β+β−+

β=βγ+β ∑∫+

=

−+1

1 21

2

111

)()!1(

!)(exp!)(exp)(sinn

l l

lnn

ln

zlzndzzzz

1 2 2 1 2 1 1 2( /2) ( /2)1 1

0 1

( 1) ( 1)sin ( ) cos ( )(2 )!( 2 )! (2 1)!( 1 2 )!

l r r l r l r r l rE l l E l

r rz z

r l r r l rβ β β ββ γ β γ

+ − − + − − + −−

= =

− −× + + + = − − + −

∑ ∑

1 11 1

0 1 1

exp ( ) exp ( )! ( 1) .2 ! ( ) ( )

n k kn

n k n kk

z i z i z i z in zi k i i

−

+ − + −=

β + β + γ β − β − γ−= −

β + β β − β ∑

2.1

sin( )exp ( ) exp( )2 2

nn izz z i z dz i

n

+β + γ ± β = ± γ −

+∫

[ ] 10

! ( )exp (2 )2 !(2 )

n l ln

n ll

n i zi zl

−

+ −=

±− ± β + γ

β∑ .

Introduced notations:

1) [ ]+

α

β−β+α−β−β

=ββα ∑∑=

+−

−

=

− l

rrln

rnE

l

ln

isr

zsirlnl

iszsnV

12

121

2)2/(

1

21

1)14(

1 )()!2(

)2(!)!2(!

)(),,,,,(

2 2 21 2( /2) 112

1 1

4 (2 )( 1)!( )(2 1)! ( 1 2 )! ( 1)!( )

l r rn ln E n l

n l rl r

i s zl i sl n l r is

− −+ −−

− += =

α +β −β− β − β +− + − − α

∑ ∑ ,

∑=

−+

−

α=ββα

1

1112

12

11

)14(1 )()!2(

)2(!!

1),,,,,2(n

lln

l

isl

zln

zsisnV ,

30

∑=

−+α+=ββα+

1

1

1

0 12

2

1

11

)14(1 )(!)!12(

4!),,,,,12(

n

l ln

ln

sil

zn

nzsisnV ;

2) (14) 112

2 (1 ) 1( , , , , , ) erf4 22

i sis isV n s z z β + βπ − + α β β = α + × α α

( /2) 21

20

( )

!( 2 )!( )

E n n l

n ll

i s

l n l i s

−

−=

β − β×

− α∑ ,

α

+

αα

−π=ββα z

si

sin

iszsisnVn 2

1erf

)(4!

)1(2),,,,,2(12

11

)14(2 ,

0),,,,,12( 1)14(

2 =ββα+ zsisnV .

1.15. Integrals of the form ( ) ( )2 21exp sinnz z z z dz−α + β β + γ∫

1.15.1.

1. ( ) ( )2 2

2 2 1 11 2 2exp sin exp sin

2 4 2b b bba x bx b x dx

a a a

−π − + + γ = + γ ×

∫

1 1 12Reerf cos Imerf

2 22b ib bb b ibax ax

a aa

+ + × − + + γ −

.

2. ( ) ( )2 2

2 2 1 11 2 2exp sin exp cos

2 4 2b b bba x b x b x dx

a a a

−π + + γ = − γ ×

∫

1 1 12Imerfi sin Reerfi

2 22b ib bb b iba x ax

a aa

+ + × + − − γ +

.

3. ( ) ( ) ( )212 21 2exp sin exp

4 4

iiz z z dz i

β − βπ −α +β β + γ = − γ ×α α

∫

( )211 12erf exp erf

2 24

ii iz i z β + β β − β β + β × α − − + γ α − α α α

.

1.15.2.

1. ( ) ( )2 2

2 2 11 3 2exp sin exp

4 4b bx a x bx b x dx

a a

−π− + + γ = ×

∫

31

1 1 112 2sin cos Reerf

22 2bb bb b ibb b ax

aa a

+ × + γ + + γ − +

1 1 112 2cos sin Imerf

22 2bb bb b ibb b ax

aa a

+ + + γ − + γ − −

( )bxxaa

xb+−

γ+− 22

21 exp

2

)(sin .

2. ( ) ( )2 2

2 2 11 3 2exp sin exp

4 4b bx a x bx b x dx

a a

−π+ + γ = ×

∫

1 1 112 2sin cos Reerfi

22 2bb bb b ibb b ax

aa a

+ × − γ − − γ + −

1 1 11 2 2sin cos Imerfi

22 2bb bb b ibb b ax

aa a

+ − − γ + − γ + +

( )bxxaa

xb+

γ++ 22

21 exp

2

)(sin .

3. ( )2

2 2 11 13 2

( )exp sin ( ) ( )exp8 4

iiz z z z dz i i β − βπ −α +β β + γ = β − β − γ ×

α α ∫

21 1 1

1 2( )erf ( )exp erf

2 24i i iz i i z

β − β β + β β + β × α − − β + β + γ α − − α α α

( )2 212

sin ( ) exp2

z z zβ + γ− −α +β

α.

1.15.3.

1. ( )2 2

2 2 1 11 1 2 2

!exp sin ( ) exp sin2 4 2

nn

b b bbnx a x bx b x dxa a a+

−π − + + γ = + γ ×

∫

(15) (15)2 21 11 11 1Reerf Re ( , , , ) Imerf Im ( , , , )

2 2b ib b ibax V n a b b ax V n a b b

a a + + × − − − +

(15) 21 1 1112cos Reerf Im ( , , , ) Imerf

2 22bb b ib b ibax V n a b b ax

a aa + + + + γ − + − ×

( )(15) 2 2 211

!Re ( , , , ) exp2nnV n a b b a x bx

× − − + ×

(15) (15)2 21 1 1 12 2sin ( )Re ( , , , , ) cos( ) Im ( , , , , )b x V n a b b x b x V n a b b x × + γ + + γ

.

32

2. ( ) ( )2 2

2 2 1 11 1 2 2

!exp sin exp sin2 4 2

nn

b b bbnx a x b x b x dxa a a+

−π + + γ = − γ × ∫

( ) ( )15 21 111Imerfi Im , , , Reerfi

2 2b ib b iba x V n a b b ax

a a + + × + − − + ×

( ) ( ) ( ) ( )15 152 21 11 11 12Re , , , cos Reerfi Im , , ,

22bb b ibV n a b b ax V n a b b

aa

+ × − + − γ + − +

( ) ( ) ( )15 2 2 2111

!Imerfi Re , , , exp2 2n

b ib nax V n a b b a x bxa

+ + + − − + ×

(15) (15)2 21 1 1 12 2sin ( )Re ( , , , , ) cos( ) Im ( , , , , )b x V n a b b x b x V n a b b x × + γ − + + γ −

.

3. ( )2

2 2 1 11 2 2

! ( )exp sin ( ) exp erf22 4

nn

n i iz z z z dz i zi+

π β + β β + β −α +β β + γ = + γ α − × α α α ∫

2(15) (15)2 21 1

1 11 12( )( , , , ) exp erf ( , , , )

24i iV n i z V n

β − β β − β × α β β − − γ α − α β −β + α α

( ) (15)2 2 21 121

! exp exp( ) ( , , , , )2n

n z z i z i V n zi+

+ −α +β − β − γ α β −β −

(15) 21 12exp ( ) ( , , , , )i z i V n z

− β + γ α β β

.

Introduced notations:

1) ( )

∑=

−

−

α−

β+β=ββα

)2/(

0 2

21

12)15(

1)!2(!

)(),,,(

nE

l ln

ln

lnl

inV ,

( ) 121

21

)15(1

!

1),,,2(n

ninV

α=ββα , 0),,,12( 2

1)15(

1 =ββα+ inV ;

2) 2 2 2 1( /2)

(15) 2 1 112 2

1 1

( ) ! (2 )( , , , , )! ( 2 )! (2 )! ( )

n l rE n l

n l rl r

i r z iV n zl n l r

− −

− += =

β + β α −β − βα β β = +

− α∑ ∑

1 2 2 2 2( /2)1 1

21 1

( 1)! ( ) 4 (2 )(2 1)! ( 1 2 )! ( 1)!( )

n l l r rn E n l

n l rl r

l i z il n l r

+ − − −−

− += =

− β + β α −β − β+

− + − − α∑ ∑ ,

∑=

−+

−

α=ββα

1

11 12

12

1

21

)15(2 )()!2(

)2(!!

1),,,,2(n

l ln

l

l

zln

zinV ,

∑=

−+α+=ββα+

1

1

1

0 12

2

1

121

)15(2 )(!)!12(

4!),,,,12(

n

l ln

ln

l

zn

nzinV .

33

1.16. Integrals of the form ( ) ( ) dzzzzzz n γ+β+αβ+α−∫ 12

12 sinexp

1.16.1.

1. ( ) ( ) ×

+

−−π=γ+++−∫ 2

12

1121

2

12

12

44

2exp

2sinexp

aa

bbababadxxbxabxax

2 21 1 11 1

12 21 11

2 1sin Re erf24 4

a b a b abb b iba ia x

a ia a iaa a

− + − × + γ + − − + ++

2 21 1 11 1

12 21 11

2 1cos Im erf24 4

a b a b abb b iba ia x

a ia a iaa a

− + − − + γ + − + ++

}0{ 1 >+ aa .

2. ( ) ( )2 21 1exp sin

4iz z z z dz π

−α +β α +β + γ = ×∫

( )21 11

11 1 1

1 1exp erf4 4 2

i ii i z

ii i i

β − β β − β × − γ α + α − − × α + α α + α α + α α − α

21 1

11 1

( )exp ) erf

4 4 2i i

i i zi i

β + β β + β × + γ α − α − α − α α − α }{ 22

1 α−≠α .

3. ( ) ( ) ( )×

γ

αββ

α

π±=γ+β+αβ+α−∫ i

iidzzzizz

8exp

24sinexp

21

122

[ ])(exp22

122

2erf 11

1 γ+β±βββ

−

α

ββ−α× ziz

ii

z

}{ 1 β±≠β i .

4. ( ) ( ) ×

γ

αβ

α

π±=γ+β±αβ+α−∫ i

idzzizizz

2exp

24sinexp

222

)(exp22

2erf γ±

α

β−α× i

ziz .

1.16.2.

1. ( ) ( ) ×

+

−−π=γ+++−∫ 2

12

1121

2

12

12

44

2exp

4sinexp

aa

bbaababdxxbxabxaxx

34

2 21 1 1 1 1 1

12 21 1 11

2sin Re erf( ) 24 4

a b a b abb b ib b iba ia xa i a a ia a iaa a

− + − −× + γ + − − + + + + 2 2

1 1 1 1 1 112 2

1 1 11

2cos Im erf( ) 24 4

a b a b abb b ib b iba i a xa ia a ia a i aa a

− + − − − + γ + − − + + + +

( ) ( ) ( )[ ]γ+++γ+++

+−− xbxaaxbxaa

aa

bxax1

2111

212

12

2cossin

22

exp

}0{ 1 >+ aa .

2. ( ) ( )

×α+αα+α

β−βπ=γ+β+αβ+α−∫

11

11

21

2

)(8sinexp

iiii

dzzzzzz

21 1 1

11 1 1 1

( )exp erf4 4 2 ( )

i i ii i zi i i i

β − β β − β β + β× − γ α + α − − × α + α α + α α − α α − α

( ) ( )221 1

1 2 21 1 1

expexp erf

4 4 2 2 2

z zi ii i zi i

−α +β β + β β + β × + γ α − α − − × α − α α − α α + α

( ) ( )2 21 1 1 1 1sin cosz z z z × α α +β + γ + α α +β + γ

}{ 221 α−≠α .

3. ( ) ( )2 2 11

( )exp sin16 2

iz z z i z z dz π β ± β−α +β α +β + γ = ×

α α∫

[ ]2

1 1 112

1

( ) ( )exp erf 2 exp ( )8 2 2 2( )i i i z ii z z i z

i

β β β β β β ± × γ α − + β ± β + γ α α β ± β

21exp 2 ( )

8i z z i z − α +β β + γ α

}{ 1 β±≠β i .

4. ( ) ( )2

2 2exp sin exp28 2

iz z z i z i z dz i

π β β−α +β α ± β + γ = ± γ × αα α

∫

( )2

2erf 2 exp 2 2 exp ( )8 42

i ziz z z i i β

× α − − α + β γ ± γ αα .

1.16.3.

1. ( ) ( )

×

+

−−=γ+++−∫ 2

12

1121

2

12

12

44

2exp

2

!sinexpaa

bbaababndxxbxabxaxxn

n

2 2(16)1 1 1 1

1 112 21

2sin Re ( , , , , , )4 4

a b a b abb V n a a b b xa a

− +× + γ + +

35

2 2(16)1 1 1 1

1 112 21

2cos Im ( , , , , , )4 4

a b a b abb V n a a b b xa a

− + + + γ − +

( ) ( ) (16)2 21 1 1 12exp sin Re ( , , , , , )a x b x a x b x V n a a b b x− − + + + γ +

( ) ]

γ+++ ),,,,,(Imcos 11)16(

212

1 xbbaanVxbxa }0{ 1 >+ aa .

2. ( ) ( )

×

γ−

α+αβ−β

=γ+β+αβ+α−+∫ i

iiindzzzzzz

nn

1

21

112

12

44)(

exp2

!sinexp

( )+ββαα

γ+

α−αβ+β

−β−βα−α× ),,,,,(44

exp),,,,,( 11)16(

11

21

11)16(

1 znVii

iznV

[ ] −ββααγ+β+β+α−α−+ ),,,,,()()(exp 11)16(

212

1 znVizizi

( )[ ]

β−βα−αγ−β−β+α+α−− ),,,,,()(exp 11)16(

212

1 znVizizi

}{ 221 α−≠α .

3. ( ) ( ) ( )

×

γ

αββ

±=γ+β+αβ+α−+∫ i

iindzzzizzz

nn

8exp

2

!sinexp

21

1122

[ ] ±

ββααγββ+α−−ββαα× ),,,,,()(2exp),,,,,( 1)16(

212

1)16(

1 zinVizizzinV

[ ] ∑=

−+

−

β±β

−γ+β±β±

n

kkn

kkn

ik

zziz

in

01

11

)(!

)1()(exp

2! }{ 1 β±≠β i .

4. ( ) ( )

×

γ

αβ

±=γ+β±αβ+α−+∫ iindzzizizzz

nn

2exp

2

!sinexp2

122

( )(16) (16)21 2( , , , , , ) exp 2 2 ( , , , , , )V n i i z z z i V n i i z

× α α β − β − − α + β γ α α β − β

1exp ( )

2 2

ni zi

n

+± γ

+ .

36

Introduced notations:

1) (16) 11 1 11

1 1( , , , , , ) erf

2 2iV n z i z

i i

β + βπα α β β = α − α − × α − α α − α

2( /2)1

0 1

( ) ,!( 2 )!( )

n lE n

n ll

il n l i

−

−=

β + β×

− α − α∑

( )1

(16)1 1 11 2

1 1

(2 , , , , , ) erf!2( )n

V n i z i zn i i

πα α β β = α − α

α − α α − α,

0),,,,,12( 11)16(

1 =ββαα+ zinV ;

2) +α−α

β−β−α−α−β+β

=ββαα ∑ ∑= =

+−

−−)2/(

1 1 1

1211

21

11)16(

2 )()!2(

)22(!)!2(!

)(),,,,,(

nE

l

l

rrln

rln

ir

izizrlnl

iznV

∑∑=

+−

−−−

=

−+

α−α−

β−β−α−α−+−

β+β−+

l

rrln

rrlnEn

l

ln

ir

izizlnl

il

1 1

2211

)2/(

1

211

)()!1(

)22(4)!21()!12(

)()!1( ,

∑=

−+

−

α−α=ββαα

1

111

1

12

111

)16(2 )()!2(

)2(!!

1),,,,,2(n

lln

l

il

zln

zinV ,

1 1

1

2(16) 1

1 12 11 0 1

! 4(2 1, , , , , )

(2 1)! ! ( )

n n l

n ll

n zV n i zn l i + −

=+ α α β β =

+ α − α∑ .

1.17. Integrals of the form ( ) dzzzzz n γ+βββ+α∫ 21 sin)(exp)(erf

1.17.1.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ×+

+=γ++ xb

bb

bxadxxbxbbxa 12

221

21 experf

sinexperf.1

( ) ( )[ ] ×

−−

++γ+−γ+×

21

22

21

22

21

22214

4exp1cossin

a

bbabb

bbxbbxbb

−

+−+

γ+

−×

abib

bxaba

bbabb2

erfRe2

2cos 21

22221

×

γ+

−−

+−+−

222121

12

2sin

2erfIm

a

bbabbaibb

bxab

37

1 2 1 21 2Re erf Im erf .

2 2b ib b ib

b a x b b a x ba a

+ + × + − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[∫ −γ++

+=γ++ xbbxb

bb

bxadxxbxbbxa 2112

221

21 sinexpierf

sinexpierf.2

( )]

×

γ−

+

−−

++γ+−

2221

21

21

22

22

21

222

2cos

4

4exp1cos

a

bbabb

a

bbabb

bbxbb

+

+++

−

+++×

abib

bxaba

bibbxab

2ierfIm

2ierfRe 21

121

2

+

+++

γ−

++

abib

bxaba

bbabb2

ierfRe2

2sin 21

12221

++++

abib

bxab2

ierfIm 212 .

3. ( ) +

−

+

γ−

−=γ++∫ a

bibaax

abb

a

bb

dxxbbax2

2erfRecos

4exp1sin)(erf 11

2

21

11

( )γ++−

−

+

γ−+ xbbax

babiab

axabb

11

11 cos)(erf12

2erfImsin .

4. ( ) +

+

+

γ−

=γ++∫ a

biabax

abb

a

bb

dxxbbax2

2ierfRecos

4exp1sin)(ierf 11

2

21

11

)(cos)(ierf12

2ierfImsin 1

1

11 γ++−

+

+

γ−+ xbbax

babiab

axa

bb .

( ) ( ) ( ) ( )

×β−β

β+α=γ+βββ+α∫21

211erf

21 sinexperf.5

izdzzzz

( )[ ] ( )[ ] +

γ+β−ββ+β

−γ+β+β× zizi

ziz 2121

21 exp1exp

( )( )

−

αβ−β

−β+α

γ−

α

β−βα−ββ−ββ+β

+2

erf4

4exp1

21 21

22121

21

izi

iii

38

( ) ( )

αβ+β

−β+α

γ+

α

β+βα−ββ+ββ−β

−2

erf4

4exp1 21

22121

21

izi

iii

{ 2 21 2 0β +β ≠ }.

6.

+

αβ

+β+α

γ−

α

β−ββα

β=γ+ββ+α∫ 2

erf4

4exp

21)(sin)(erf 1

2

211

11

izi

idzzz

)(cos)(erf12

erf4

4exp 1

1

12

121 γ+ββ+α

β−

αβ

−β+α

α

ββα+β−γ+ zz

iz

ii .

1.17.2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1exp

erf exp sin erf2

i iz i z z dz z z

γ β α +β ± β β + γ =± + α +β + α ∫

( )[ ] ( ) ( )[ ]

−γ+β±β+αβ

−

β+α−απ

+ zizz 11

2 2experf4

1exp1

21 1 1

22exp erfi ii z

β ± αββ β − − ± γ α +β αα .

1.17.3.

1. ( ) ×

−−=γ++∫ 2

122

21

214

4expsin)(exp)(erf

a

bbabbdxxbxbbaxx n

+

+

−+

γ+

−× ),,,(

2erfRe

2

2sin 21

)17(1

212

221 bbbaVa

bibbax

a

bbabb

×−

+

−+

γ+

−+ )(exp),,,(

2erfIm

2

2cos 121

)17(1

212

221 xbbbbaVa

bibbax

a

bbabb

( ) +

π++γ+× ),,,,(Re2),,(Re)(erfsin 21

)17(321

)17(22 xbbbaVaxbbVbaxxb

( )

π++γ++ ),,,,(Im2),,(Im)(erfcos 21

)17(321

)17(22 xbbbaVaxbbVbaxxb

}0{ 21 >+ bb .

2. ×

−−=γ++∫ 2

121

22

214

4exp)(sin)(exp)(ierf

a

abbbbdxxbxbbaxx n

39

−

+

++

γ−

+× ),,,(

2ierfIm

2

2cos 21

)17(1

212

212 bbbiaiVa

bibbax

a

bbabb

(17)2 1 2 1 21 1 2 12

2sin Re erfi ( , , , ) exp ( )2 2

abb b b b ibax b V i a i b b b b xa a

γ + + − − + + − ×

( ) +

π++γ+× ),,,,(Re2),,(Re)(ierfsin 21

)17(321

)17(22 xbbbiaiVaxbbVbaxxb

( ) ( )

π++γ++ ),,,,(Im2),,(Imierfcos 21

)17(321

)17(22 xbbbiaiVaxbbVbaxxb

}0{ 21 >+ bb .

3. ( ) ( ) ×

α

αββ−β−β=γ+βββ+α∫ 2

122

21

214

4exp

21sinexp)(erfi

dzzzzz n

−βββα

αβ+β

−β+α

γ+

α

ββα−ββ× ),,,(

2erf

2

2exp 21

)17(1

212

221 Vi

zi

(17 )2 1 2 1 21 212

2exp erf ( , , , )

22

ii z V

αββ −β β β − β − − γ α +β − α β β −β + α α

( ) (17 ) (17 )12 1 2 1 22 3

exp ( ) 2exp erf ( ) ( , , ) ( , , , , )2

zi z z V z V z

iβ α+ − β + γ α +β β −β + α β β −β − π

( )[ ]

βββα

π

α+βββ+αγ+β− ),,,,(2),,()(erfexp 21

)17(321

)17(22 zVzVzzi

}0{ 22

21 ≠β+β .

1.17.4. ( )

×

γ±

α

ββα±β−±=γ+ββ±β+α∫ i

ii

dzzzizz n2

121

112

exp21sin)(exp)(erf

[ ](17 )11 1 11erf ( , , , ) exp (2 )

iz V i i z

β × α +β α β ± β ±β − ± β + γ × α

(17 ) (17 )1 1 1 12 3

2erf ( ) ( , ) ( , , , , )z V i z V i z α × α +β ± β ±β + α β ± β ±β ±

π ( /2) 1 21

10

( 1) !exp ( ) erf ( )

2 1 4 !( 1 2 )!

n E nn n kn

n kk

ni zi zn k n k

− + −+

+=

− β± γ α +β + + + α + −

∑

[ ]

−

β+α−+

ββ+α−

απ

−+ ∑ ∑

= =

−

+

)2/(

0 0

222

1 !)(

)!2()!12(!)(exp

!)1( nE

k

k

l

lkn

n

n

lz

knkkz

n

40

β+α−+

β− ∑ ∑

−

= =−

−−+)2/(

1 1

1221

)!2(4

)(!)!21(!

nEn

k

k

llk

lkn

l

zlknk

}0{ 1 ≠β .

Introduced notations:

1) 1 2( /2)

(17) 1 21 21 2 21 20 0

( 2 )! 1( , , , )2 !( 2 )!

n k k lE kn

k k lk l

inVi l k l

+ − −

−= =

β − αβ + β α β β β = − β + β − α

∑ ∑ ,

∑=

−++ β−α=βα−βββα

)2/(

021111

)17(1 )(!

1

)2(

!)2,,,(nE

kknn k

niiV ;

2) ∑=

−+

β+β

−=ββn

k

knk

ikznzV

0

1

2121

)17(2

1!

!),,( ;

3) [ ] ×

β+β

−β+α−=βββα ∑=

−+n

k

kn

k inzzV

1

1

21

221

)17(3

1

2

!)(exp),,,,(

+

α

β−β−αβ+α−

β+αβ−β× ∑∑

=+−

−

=

− l

rrlk

rkE

l

lk

r

izrlkl

i

1222

1221

2)2/(

1

221

)!2(

)22(!)!2(!

)2(

1 2 2 2 2( /2)1 2 1 2

2 2 21 1

( 1)!( 2 ) 4 (2 2 )(2 1)!( 1 2 )! ( 1)!

k l l r rk E k l

k l rl r

l i z il k l r

+ − − −−

− += =

− β − αβ + β α + αβ −β − β+

− + − − α ∑ ∑ ,

(17) 21 13 ( , , , 2 , ) exp ( )V i i z z α β β β − αβ = − α +β ×

2 1( /2) 1

1 2 1 21 0

! !!( ) (2 1)!(2 )

lE n k

n k n lk l

n l zk l

+−

+ − + −= =

× +

−β + α∑ ∑

αβ−+ ∑∑

−

=−+

−

=−+

1

022

2)2/(

122 !)2()!2(

!! k

lln

lnEn

kkn l

z

k

kn .

1.18. Integrals of the form ( ) ( )2 1 2 21 2erf ( )exp sinnz z z z dz+ α + β α α + γ∫

1.18.1.

1. ( ) ( ) ×+

+=γ++∫ 2

221

212

22

122

)exp()(erfsinexp)(erf

aa

xabaxdxxaxabaxx

41

( ) ( )[ ] ( )×

−++

−−

+−γ+−γ+×

122

221

4

22

211

22

22

21

222

221

2exp

22cossin

aaaaa

aaaab

aaaxaaxaa

2 22

4 2 2 21 2 1

sin2

a a ba a a a a

× + γ × + + −

21 21 22 2

1 2 1 2

Re erfa ia aba a ia xa a ia a a ia

− × − − + + − − − −

2 22

4 2 2 21 2 1

cos2

a a ba a a a a

+ + γ × + + −

21 21 22 2

1 2 1 2

Im erfa ia aba a ia xa a ia a a ia

− × − − + − − − −

}0,0{ 212

21 >+−>+ aaaaa .

2. ( ) ( ) ( )×

+

+=γ++∫ 2

221

212

22

122

exp)(ierfsinexp)(ierf

aa

xabaxdxxaxabaxx

( ) ( )[ ] ( )×

+++

++

+−γ+−γ+×

122

221

4

22

211

22

22

21

222

221

2exp

22cossin

aaaaa

aaaab

aaaxaaxaa

21 21 22 2

1 2 1 2

Re erfia i a aba a i a xa a i a a a i a

− × + + + × + + + +

2 2 2 22 2

4 2 2 2 4 2 2 21 2 1 1 2 1

sin cos2 2

a a b a a ba a a a a a a a a a

× + γ + + γ × + + + + + +

21 21 22 2

1 2 1 2

Im erfia i a aba a i a xa a i a a a i a

− × + + + + + + +

}0,0{ 212

21 >++>+ aaaaa .

3. ( )

×

γ+

+

+−=γ++∫ 2

14

21

2

21

4

221

1

21 cosexp

2)sin)(erf

aa

baa

aa

baaadxxabaxx

2 212

1 4 22 211 1

1Re erf sina a baba ia xa aa ia a ia

× − + − + γ × +− −

42

( )2 21 12 2 11 1

erf ( )1Im erf cos2ax baba ia x a xaa ia a ia

+ × − + − + γ − −

}0{ 1 >a .

4. ( )

×

γ+

+

+=γ++∫ 2

14

21

2

21

4

221

1

21 cosexp

2sin)(ierf

aa

baa

aa

baaadxxabaxx

×

γ+

+−

+++

+×

21

4

21

2

12

12

12

sinierf1Reaa

baa

iaa

abxiaaiaa

( )γ++−

+++

+× 2

111

21

2

12

cos2

)(ierfierf1Im xa

abax

iaa

abxiaaiaa

}0{ 1 >a .

5. ( ) ( )212 2

1 2 2 21 2

erf ( )experf ( )exp sin ( )

2 2

z zz z z z dz

α +β αα +β α α + γ = ×

α + α∫

( ) ( )[ ] ×α+α−αα+α

α+γ+αα−γ+αα×

212

12

222

221

)(4cossin

iizz

21 2 2

1 22 21 2 1 2

( )exp erf

ii i z

i i

β α − α αβ × − γ α −α + α + + α −α + α α −α + α

×

γ+

α−α−α

α+αβ

α−α−αα−α

α+ i

i

i

ii 212

212

212

12

)(exp

)(4

α−α−α

αβ+α−α−α×

212

212erf

izi

})(,{ 22

21

221

22 α−≠α−αα−≠α .

6. ( )

×

γ−

α−α

βα

α+ααα

=γ+αβ+α∫ iii

dzzzz1

2

21

121

21 exp1

4sin)(erf

212

1 22 2 11 1

1erf expi z iii i

α βαβ × α + α + + γ − × α + αα + α α − α

( )γ+αα

β+α−

α−α

αβ+α−α× 2

111

21

2 cos2

)(erferf z

z

izi }{ 42

1 α−≠α .

43

1.18.2.

( )[ ] ( )∫

×

γ

β−

α=γ+αβ+α± idzzziz

2exp

21

81 2sin1erf.1

2

222

( )

β

+α±×2

21erf zi ( )[ ]−γ±β−αβ±−βπ

− izi 212exp1

( )[ ] ( )[ ] −β+α±γ+α±− zizi 1erf2exp 22 ( )[ ]×γ+α 222exp zi

( )[ ]

β+α±× zi1erf .

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫ ×

α

γ+

απ

γ±±=γ+αα±

222

28

exp4

exp1 2sin1erf.2 iziidzzziz

( )[ ]zi α±× 21erf ( )[ ]×α±α

− zi1erf8

12

( )[ ] ( )[ ]

γ+α+γ+α±× 2222 2exp2exp zizi .

( ) ( ) ( )∫

×αα

αα

=γ+αα±β+α1

21

21

21

281 sinexperf.3

idzzzizz

γ+

αα

βα±×

12

21

2

2exp

ii

−

αα

αβ+αα

12

12

22erf

izi

( )[ ] ( )

×−β−α

α±

β+αγ+α±−2

1224

erf2exp222

22

1zizzi

( ) ( ) ( )[ ]

β+α−γπ

β−α+β+αγ× 2experfexp zizzi

.

( )[ ] ( ) ( ) ( )∫ ×

απ

β−α±=γ+αα±β+α±

22222

81 sinexp1erf.4 zidzzziziz

( )[ ]

β+α±−γ× 21exp zii

( )×

α

γ±−

28exp i

44

( )[ ] ( ) ( )[ ] −

β−±αβ−βπ

+α±β+α±× 222 12exp12exp1erf izzizi

( ) ( ) ( )[ ]β+α±αβ+α

γ− zizi

i1erf421

16

exp 2222

.

( )[ ] ( ) ( ) ( )∫ ×

απ

±=γ+αα±α±

41 sinexp1erf.5 2222 zidzzziziz

( ) ( )[ ] −

γ+α+γ±× 222exp

21exp zii ( )[ ]×α±

αzi1erf

81

2

( )[ ] ( ) ( )

α

γ+γ+α±× 2222 41

2exp2exp ziizi

.

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ×

α

γ±=γ+αα±αβ+α

22

12

12

4

exp sinexperf.6 iidzzzizz

( ) ( ) ( ) −

αβ+α+β−αβ−

βπ× 222 experf2exp1 zzz

( )( ) ( )[ ] ( )

( )×α±αα

α−γ±α±α

αα

β+α−

12

1

21

22

1 2812exp

24erf

iiizi

iz

( )( )

α

αβ+α

γ+

αα±α

β±×1

11

12

2

11erf

22

expi

zii

i

.

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ×

αγ

±=γ+αα±αα2

exp sinexperf.7 21

21

2 iidzzzizz

( ) ( )

π−α

αα

×zzz 22exp

2erf ( )

×γ±

−4

exp i

( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]

αα±αα

α+α±α

αα

α× zi

iizi

iz

11

21

21

22

11erf

2212exp

2erf

.

1.18.3.

1. ( ) ( ) ×

−++

−−=γ++

+∫

122

221

4

22

211

222

22

112

2

)(exp

2!sinexp)(erf

aaaaa

aaaabandxxaxabaxx n

45

2 2(18)2

1 214 2 2 21 2 1

sin Re ( , , , , )2

a a b V a a a b xa a a a a

× + γ + + + −

2 22

4 2 2 21 2 1

cos2

a a ba a a a a

+ + γ × + + −

( ) ( )

×+γ+−

× )(erfsinexp

2!),,,,(Im 2

22

121)18(

1 baxxaxanxbaaaV

( )(18) (18) 21 2 1 2 22 3Re ( , , ) Re ( , , , , ) cosaV a a x V a a a b x a x

× + + + γ ×π

(18) (18)1 2 1 22 3erf ( ) Im ( , , ) Im ( , , , , )aax b V a a x V a a a b x

× + + π

}0,0{ 212

21 >+−>+ aaaaa .

2. ( ) ( ) ×

+++

++=γ++

+∫

122

221

4

22

211

222

22

112

2

)(exp

2!sinexp)(ierf

aaaaa

aaaabandxxaxabaxx n

2 2(18)2

1 214 2 2 21 2 1

sin Re ( , , , , )2

a a b V i a a a ib xa a a a a

× + γ + + + +

2 22

4 2 2 21 2 1

cos2

a a ba a a a a

+ + γ × + + +

( ) ( )

×+γ+−

× )(ierfsinexp

2!),,,,(Im 2

22

121)18(

1 baxxaxanxibaaiaV

( ) ( ) ( ) ( ) ( )18 18 21 2 1 2 22 3Re , , Re , , , , cosaV a a x V i a a a ib x a x

× + + + γ ×π

( ) (18) (18)1 2 1 22 3erfi Im ( , , ) Im ( , , , , )aa x b V a a x V i a a a ib x

× + + π

}0,0{ 212

21 >++>+ aaaaa .

3. ( ) ( )

×

γ−

α+α−α

α−αβα=γ+ααβ+α

+∫ i

i

iindzzzzz n

212

212

22

21

12 )(exp

4!

sinexp)(erf

×+

βααα

γ+

α−α−α

α+αβ−βα−αα×

4!),,,,(

)(exp),,,,( 21

)18(1

212

212

21)18(

1inzVi

i

izV

46

[ ] −

βααα

π

α+ααβ+αγ+α+α× ),,,,(),,()(erf)(exp 21

)18(321

)18(2

22

21 zVzVzziz

(18) (18)2 21 2 1 2 1 22 3exp ( ) erf ( ) ( , , ) ( , , , , )z i z z V z V z

α − α − α + γ α +β α −α + α α −α β π

})(,{ 21

222

21

22 α−α−≠αα−≠α .

1.18.4.

1. [ ] ( )

×

γ

β−α±±=γ+αβ+α±

+∫ ii

indzzziz n

2exp)1(

4!

2sin)1(erf2

2212

[ ]×γ+α

β

αγ±−βα

α× )2(exp

4!

),12()(exp),,2,0,

12( 22)18(

42)18(

1 ziin

iViz

iV

[ ]

βα

α

π

α±+αβ+α±× ),,2,0,

12(

)1(),2,0()1(erf 2)18(

32)18(

2 zi

Vi

zVzi

}0{ ≠α .

2. ( ) ( )22 1 12 2

1 1 21

2!erf ( )exp sin exp4 2

n nz z i z z dz ii i

+ α β α +β ± α α + γ = ± α ± γ − × α ± α ∫

(18) (18)21 1 1 1 11 2( , , , , ) exp (2 ) erf ( ) ( , , )V i z i z z V i z × α ± α ± α β − ± α + γ α +β ± α ± α +

),()(exp2

),,,,( )18(511

)18(3 βαγ±

βα±α±α

π

α+ ViiziV

}2

,0,0{2

11α

≠α≠α≠αi

.

3. [ ] ( ) ( ) ×γ±±=γ+αα±β+α±+

∫ )(exp4

!sinexp)1(erf 222212 ii

ndzzziziz n

),12()exp(

2),

12( )18(

5)18(

4 βα

γ±βα

×i

Viii

V

}0{ ≠α .

4. ( ) ( )2 1 2 2 21 1erf ( )exp ) sinnz z i z z dz+ α +β α ± α α + γ = ∫

47

2(18)2 21

1 111

2! exp ( , , , , )4 2

in i V i zi

α ± αα = ± ± β + γ α α ± α ± α β ± α

2 2 21

! exp (2 )4

n i z i z ± α ± α + γ ×

(18) (18)2 21 1 1 12 3erf ( ) ( , , ) ( , , , , )z V i z V i zα

× α +β α ± α ± α + α α ± α ± α β + π

(18)4exp ( ) ( , )i V

+ γ α β

}

2,0{

21

α±≠α≠α

i .

Introduced notations:

1) ×

α−α−α

αβ+α−α−α

α−α−α=βααα

212

212

212

21)18(

1 erf1),,,,(i

zii

zV

( )=

α−α−α−

αβ

α+α

−× ∑∑=

−

−−+

=

k

llkl

lkknn

k ilklikk

02

212

221

210 )!22(!4

)(1!)!2(

×

α+α−α

αβ−α+α−α

α+α−α=

22

12

21

22

1

ierf1

izi

i

( )∑∑=

−

−−+

= α+α−α−−

αβ

α+α

−×k

llkl

lkknn

k ilklikk

02

22

1

221

210 )!22(!)4(

)(1!)!2( ,

(18) 21 2 1 21 2

1 2

1( , , , 0, ) erfV z i zi

α α α = α −α − α × α −α − α

( )2 20 1 2

(2 )!

4 ( !)

n

kkk

k

k i=× ×

α −α − α∑

×

α+α−α

α+α−α=

α+α

−×−+

ziii

kn

22

12

21

1

21ierf11

( )knn

kkk iik

k −+

=

α+α

−α+α−α−

× ∑1

210 22

12

1

)!()4(

)!2( ;

2) ∑=

−+

α+α

−=ααn

k

knk

ikzzV

0

1

21

221

)18(2

1!

),,( ;

48

3) [ ] ×

α+α

−β+α−=βααα ∑=

−+n

k

kn

ikk

zzV1

1

21

221

)18(3

1!)!2(

)(exp),,,,(

( )( )

−

α−α−α

α−α−αβ+α−

αβ× ∑∑

=+−−

−

=

− l

rrlkrl

rk

l

lk

ir

zizzrlkl 1

221

2

1221

2

1

22

)!2(4

!)!22(!

)(

( )( )

∑∑=

+−

−

=

−+

α−α−α−

α−α−αβ+α−+−

αβ−−

l

rrlk

rk

l

lk

ir

zizzlkl

l

12

212

2221

2

1

212

)!1(

))!212()!12(

)()!1( ,

( ) ×

α+α

−α−=ααα ∑=

−+n

k

kn

ik

kzzV

1

1

21222

21)18(

31

)!(

)!2(exp),0,,,(

( )∑=

−+−

−

α−α−α×

k

llklk

l

il

zl

11

212

12

)!2(4

! ;

4) ( )( )

+

α−αβ+α

α=βα ∑

=−

n

kkn

k

k

zzzV0 2

222

2)18(

4!

exp)(erf1),(

( )2 2

2 20 0

exp 2 (2 )!!( ) !(2 )

ln k

n k k lk l

z k zk l

α β β

α αβπ β − −= =

− −+

− ∑ ∑ ,

( )( )∑

=−

π+−α

αα

α−α=α

n

kkn

k

kzz

z

k

zV0

222

2)18(

4 )12(2exp

)(erf

!

1)0,( ;

5) +

−+

β

α

+−

+β+α=βα ∑

+

=

−+

+

+ 1

0

222

22

22)18(

5 )!222(!4

)!12(22

)(erf),(n

kk

kn

n

n

knk

nn

zzV

( )[ ] −

+

β+α+−+

ββ+α−

απ

++ ∑∑

=−

+

=

−

+

k

llk

ln

k

kn

n l

zlknk

zn

0

12

0

222

22 )!22(4

)()!1()!22()!1(

exp)!12(

β+α−++

β− ∑∑

==

−+ k

l

ln

k

kn

lz

knkk

0

2

0

212

!)(

)!212()!12(! ,

+

α+

+−

+α=α

+

+

12

22)18(

5 )4()!1(

)!12(22

)(erf)0,(n

n

n

nn

zzV

( ) ( )∑=

−

+

α+

+α−

απ+

++

n

kkn

k

k

zkz

nn

02

1222

4)!22(

)!1(exp

)!1()!12( .

49

PART 2

DEFINITE INTEGRALS

2.1. Integrals of ( )2expnz z α + β

2.1.1.

( ) ( )2

01. exp 1 erf

2a z dz

a

+∞ π − +β = − β ∫ { 0>a }.

( )22. exp a z dza

+∞

−∞

π − +β = ∫

{ 0>a }.

( )[ ] ( )[ ]∫∞

βαπ

−=β+α−0

2 1erf2

exp.3 dzz

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

( )[ ] ( )[ ]∫∞

βαπ

−=β+α0

2 ierf2

exp.4 idzz

{ ( )2 2lim Re 2 lnz

z z z→∞

α + αβ − = −∞ , ( )lim Imz

z→∞

α = ±∞ }.

2.1.2.

( ) ( )( )2

22 2

0

exp1. exp erf 1

2 2z a z dz

a a

+∞ −βπβ − +β = β − + ∫ { 0>a }.

( )2 22. expz a z dz

a

+∞

−∞

πβ − +β = − ∫

{ 0>a }.

( )[ ] ( )[ ] ( )∫∞

α

β−+β

α

βπ=β+α−

02

2

22

2

exp1erf

2exp.3 dzzz

{ ( ) ( ) ±∞=α+∞=βα+α∞→∞→

zzzzz

Relim,2Relim 22 }.

( )[ ] ( )[ ] ( )∫∞

α

β−β

α

βπ=β+α

02

2

22

2

expierf

2exp.4 idzzz

{ ( ) ( ) ±∞=α−∞=βα+α∞→∞→

zzzzz

Imlim,2Relim 22 }.

50

2.1.3.

( )22

01. expz a z dz

+∞ − +β = ∫

( )( )

( )2 2

3 3

2 1 exp1 erf

4 2a a

π β + β −β − β − { 0>a }.

( )( )2

223

2 12. exp

2z a z dz

a

+∞

−∞

π β + − +β = ∫

{ 0>a }.

( )[ ] ( )( )[ ] ( )

3

2

03

222

2

exp1erf

4

12exp.3

α

β−β−β

α

+βπ−=β+α−∫

∞dzzz

{ ( )[ ] ( ) ±∞=α+∞=−βα+α∞→∞→

zzzzzz

Relim,ln2Relim 22 }.

( )[ ] ( )( )[ ] ( )

3

2

03

222

2

expierf

4

21exp.4

α

ββ+β

α

β−π=β+α∫

∞idzzz

{ ( )[ ] ( ) ±∞=α−∞=+βα+α∞→∞→

zzzzzz

Imlim,ln2Relim 22 }.

2.1.4.

( ) ( ) ( ) ( )121

0

11. exp , , 1 erfnz a z dz W n aa

+∞ − +β = β − β + ∫ ( ) ( )1

2 , ,W n a β

{ 0>a }.

( ) ( ) ( )121

22. exp , ,nz a z dz W n aa

+∞

−∞

− +β = β ∫ { 0>a }.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 122 1

0

13. exp , , erf 1 , ,nz z dz W n W n∞

− α +β = α β − β α β α∫

{ ( ) ( ) ( )2 2lim Re 2 1 ln , lim Rez z

z z n z z→∞ →∞

α + αβ − − = +∞ α = ±∞ }.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 122 1

0

14. exp , , erf i , ,nz z dz W n i i i W n i i∞

α +β = α β − β α β α∫

{ ( ) ( ) ( )2 2lim Re 2 1 ln , lim Imz z

z z n z z→∞ →∞

α + αβ + − = −∞ α = ±∞ }.

51

Introduced notations:

) ( ) ( )( ) ( )

( )2 21

10

!1 , ,

4 ! 2 !2

E n n k

n kk

nW n

k n k

−

=

π βα β =

−−α∑ ,

( ) ( ) ( )11 2 1 2

2 !2 , ,0

2 !m m

mW m

m+

πα =

α, ( ) ( )1

1 2 1, ,0 0W m + α = ;

) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( )2 21

2 11

!exp 1 !2 , ,

2 1 ! 1 2 !2

n E n

nk

n kW n

k n k

−

+=

−β −α β = ×

− + −−α ∑

( ) ( ) ( )

( )

β−

−−

β× ∑ ∑ ∑

= = =−

+−−+−−k

l

nE

k

k

l lk

lknlkn

l

lknkl1

2

1 1

221221

!24

!!2!

1!1

,

( ) ( )12 2 , ,0 0W m α = , ( ) ( )1

2 2 2!

2 1, ,02 m

mW m

++ α =

α.

2.2. Integrals of ( )2 2expnz z zα + β + γ

2.2.1.

( )∫+∞

β

+

γ+

βπ=γ+β+−

02

222

2erf1

4exp

2exp.1

aaadzzza .

( )∫+∞

∞−

γ+

βπ=γ+β+−

2

222

4expexp.2

aadzzza .

( )2

2 22

03. exp exp erf 1

2 24z z dz

∞ β βπ −α +β + γ = + γ ± α α α ∫

{ ( )2 2lim Re lnz

z z z→∞

α −β + = +∞ , ( )lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

( )2

2 22

04. exp exp erfi

2 24z z dz i

∞ β βπ α +β + γ = − γ − α α α ∫

{ ( )2 2lim Re lnz

z z z→∞

α +β − = −∞ , ( )lim Imz

z→∞

α = ±∞ }.

52

2.2.2.

( ) ( )22 2

3 2 20

exp1. exp exp 1 erf

24 4 2z a z z dz

aa a a

+∞ γπβ β β − +β + γ = + γ + + ∫ .

( )∫+∞

∞−

γ+

ββπ=γ+β+−

2

2

322

4exp

2exp.2

aadzzzaz .

( ) +

±

αβ

γ+

α

β

α

βπ=γ+β+α−∫

∞

02

2

322 1

2erf

4exp

4exp.3 dzzzz

( )22

exp

α

γ+ { ( ) ( ) ±∞=α+∞=β−α

∞→∞→zzz

zzRelim,Relim 22 }.

( )2

2 23 2

04. exp exp erfi

24 4z z z dz i

∞ πβ β β α +β + γ = γ − − α α α ∫

( )22

exp

α

γ− { ( ) ( )2 2lim Re , lim Im

z zz z z

→∞ →∞α +β = −∞ α = ±∞ }.

2.2.3.

( ) ( )∫∞+

×

γ+

ββ+π=γ+β+−

02

2

5

22222

4exp

8

2exp.1

aaadzzzaz

( )γβ+

β

+× exp42

erf14aa

.

( ) ( )∫∞+

∞−

γ+

ββ+π=γ+β+−

2

2

5

22222

4exp

4

2exp.2

aa

adzzzaz .

( ) ( )∫∞

×

γ+

α

β

α

β+απ=γ+β+α−

02

2

5

22222

4exp

8

2exp.3 dzzzz

( )γα

β+

±

αβ

× exp4

12

erf4

{ ( ) ( )2 2lim Re ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α −β − = +∞ α = ±∞ }.

( ) ( )∫∞

×

α

β−γ

α

β−απ=γ+β+α

02

2

5

22222

4exp

8

2exp.4 dzzzz

( )4erfi exp

2 4i β β × + γ α α

53

{ ( ) ( )2 2lim Re ln , lim Imz z

z z z z→∞ →∞

α +β + = −∞ α = ±∞ }.

2.2.4.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 21 2

0

11. exp 1 erf , , , , .2

nz a z z dz W n a W n aa a

+∞ β − +β + γ = + β + β ∫

( ) ( ) ( )22 2 21

22. exp , ,nz a z z dz W n aa

+∞

−∞

− +β + γ = β∫ .

( ) ( ) ( )22 2 21

0

13. exp erf 1 , ,2

nz z z dz W n∞ β −α +β + γ = ± α β + α α ∫

( ) ( )2 22 , ,W n+ α β

{ ( ) ( ) ( )2 2lim Re 1 ln , lim Rez z

z z n z z→∞ →∞

α −β − − = +∞ α = ±∞ }.

( ) ( ) ( )22 2 22

0

14. exp , , erf i2

nz z z dz W n i∞ β α +β + γ = −α β − × α α ∫

( ) ( )2 21 , ,W n× −α β

{ ( ) ( ) ( )2 2lim Re 1 ln , lim Imz z

z z n z z→∞ →∞

α +β + − = −∞ α = ±∞ }.

2.2.5.

( ) ( ) ( ) ( )0

10

!1. exp 1 exp expnn n

nn

z b z dz z b z dzb

+∞

+−∞

− + γ = − + γ = γ∫ ∫ { 0>b }.

( )( )

( )10

!2. exp expn

nn

z z dz∞

+β + γ = γ

−β∫ { ( )[ ] −∞=+β

∞→znz

zlnRelim }.

Introduced notations:

) ( ) ( )( ) ( )

( )22 22 2

1 1 2 20

!1 , , exp

2 4 ! 2 !

E n n k

n n kk

nW n

k n k

−

+ −=

π β βα β = + γ α − α

∑ ,

54

( ) ( ) ( )

( )( )2 2

12 1 2

2 !2 , ,0 exp

2 !mm

mW m

m+

πα = γ

α, ( ) ( )2 2

1 2 1, ,0 0W m + α = ;

) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )22 2

21

!exp 1 !2 , ,

2 1 ! 1 2 !2

n E n

nk

n kW n

k n k

−

=

γ −α β = ×

− + −∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

α

β

−−

α−

β×∑ ∑ ∑

= = =+−

+−−

+−

+−−−k

l

nE

k

k

l lkn

lkn

lkn

lknlk

l

lknkl1

2

1 1 2

221

2

221

!2

!

!2!1

!1

4,

( ) ( )2 22 2 , ,0 0W m α = , ( ) ( )

( )( )2 2

2 12

!2 1, ,0 exp

2m

mW m

++ α = γ

α.

2.3. Integrals of nerf ( ) ( )[ ]2exp β+α−β+α zz

2.3.1.

( ) ( ) ( )2 2

01. erf exp 1 erf

4a z a z dz

a

+∞ π + β − +β = − β ∫ { 0>a }.

( ) ( )22. erf exp 0a z a z dz+∞

−∞

+ β − +β = ∫ { 0a ≠ }.

( ) ( ) ( )2 2

03. erf exp 1 erf

4z z dz

∞ π α +β − α +β = − β α∫

{ ( )2 2lim Re 2 lnz

z z z→∞

α + αβ + = +∞ }.

2.3.2.

( ) ( ) ( )22 3

01. erf exp 1 erf

6a z a z dz

a

+∞ π + β − +β = − β ∫ { 0>a }.

( ) ( )222. erf exp3

a z a z dza

+∞

−∞

π + β − +β = ∫ { 0>a }.

( ) ( ) ( )22 3

03. erf exp erf 1

6z z dz

∞ π α +β − α +β = − β α∫

{ ( )2 2lim Re 2 lnz

z z z→∞

α + αβ + = +∞ , ( )lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

55

2.3.3.

( ) ( ) ( ) ( )22 2 1

01. erf exp 1 erf

4 2m ma z a z dz

m a

+∞+π + β − +β = − β +∫

{ 0>a }.

( ) ( ) ( ) ( )22 1 2 2

02. erf exp 1 erf

4 4m ma z a z dz

m a

+∞+ +π + β − +β = − β +∫ { 0>a }.

( ) ( ) ( )

223. erf exp2 1

m a z a z dzm a

+∞

−∞

π + β − +β = +∫ { 0>a }.

( ) ( )22 14. erf exp 0m a z a z dz+∞

+

−∞

+ β − +β = ∫ { 0a ≠ }.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1

05. erf exp 1 erf

2 2nn nz z dz

n

∞+ +π α +β − α +β = ± − β

+ α∫

{ ( )2 2lim Re 2 lnz

z z z→∞

α + αβ + = +∞ , ( )lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

2.4. Integrals of nz erf ( ) ( )[ ]2exp β+α−β+α zz

2.4.1.

( ) ( ) ( )2 22

01. erf exp erf 1

4z a z a z dz

a

+∞ πβ + β − +β = β − + ∫

( ) ( ) ( )22 2

erf 2exp erf 2 12 4a a

β + −β − β − { 0>a }.

( ) ( )2 212. erf exp

2z a z a z dz

a

+∞

−∞

+ β − +β = ∫ { 0>a }.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2

0

erf3. erf exp erf 1 exp

4 2z z z dz

∞ βπβ α +β − α +β = β − + −β − α α∫

( )22 erf 2 1

4 − β α

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 , lim Rez z

z z z→∞ →∞

α + αβ = +∞ α = ±∞ }.

56

2.4.2.

( ) ( ) ( )22 2 23

0

11. erf exp 1 erf24

z a z a z dza

+∞ π + β − +β = β + − β + ∫

( ) ( ) ( ) ( ){ }2

23

exp 22 1 erf 2 +erf exp

2a

− β β + − − β β −β π

{ 0>a }.

( ) ( )223

22. erf expz a z a z dz

a

+∞

−∞

β + β − +β = − ∫ { 0>a }.

( ) ( )[ ] ( )[ ]∫∞

+β−

+β

α

π=β+α−β+α

0

223

22 erf121

4experf.3 dzzzz

( ) ( )[ ] ( ) ( )

β−β−β

α

β+

πβ−

+ 23

2experf12erf2

2

2exp

{ ( )[ ] ( ) ±∞=α+∞=−βα+α∞→∞→

zzzzzz

Relim,ln2Relim 22 }.

2.4.3.

( ) ( ) ( )2

01. erf exp erf 2 1nz a z a z dz

+∞ + β − +β = β − × ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4 4 421 2 3

1, , 1 erf , , , ,W n a W n a W n aa

× β + − β β + β { 0>a }.

( ) ( ) ( ) ( )4212. erf exp 2 , ,nz a z a z dz W n a

+∞

−∞

+ β − +β = − β ∫ { 0>a }.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )421

03. erf exp erf 2 1 , ,nz z z dz W n

∞ α +β − α +β = β α β + ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4 422 3

11 erf , , , ,W n W n + − β α β + α β α

{ ( ) ( ) ( )2 2lim Re 2 1 ln , lim Rez z

z z n z z→∞ →∞

α + αβ − − = +∞ α = ±∞ }.

57

Introduced notations:

) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) 1 22 141 1 2

1 0

1 ! 1 ! 2 !1 , ,

2 1 ! 1 2 !2 2 8 !

n n kn E n k

n lk l

n k lW n

k n k l

+ −− −

+= =

− − βα β =

− + −α∑ ∑ ,

( ) ( )41 2 , ,0 0W m α = , ( ) ( ) ( )

( )4

1 2 2 20

2 !!2 1, ,0

2 2 8 !

m

m kk

kmW m

k+=

+ α = −α

∑ ;

) ( ) ( )( ) ( )

( )2 24

2 10

!2 , ,

4 ! 2 !

E n n k

n kk

nW n

k n k

−

+=

π βα β =

−−α∑ ,

( ) ( ) ( )42 1 2

2 !2 , ,0

4 !m m

mW m

m+

πα =

α, ( ) ( )4

2 2 1, ,0 0W m + α = ;

) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )2 2

4 23

1

!3 , , erf exp

4 ! 2 !

E n n k

n kk

nW n

k n k

−

=

βα β = β −β × − −α

∑

( )( ) ( )

( )−

β+π

β−+

+β

× ∑ ∑ ∑−

=

−

= =

++1

0

1

0 0

22212

!2

!12!

22exp

!12!4k

l

k

l

l

r

rrlll

rll

ll

( )( ) ( )

( ) ( )( )∑ ∑

−

=

−

=

−+

+

ββ−

β−+−

β−−

2

1

1

0

22

21

!exp

2erf

!21!12!1nEn

k

k

l

lkn

lknkk

( ) ( )( ) ( )

+

β

π

β−+ ∑ ∑

−

=

−

=−

+1

1

1

0

12

2

2

!128

!

!

!22exp k

l

l

rrl

r

r

r

l

l,

( ) ( ) ( ) ( )( )

2143 2 2 1

0

2 ! !2 , ,0

! 2 2 1 !

m

m m kk

m kW m

m k

−

+ −=

α =πα +

∑ , ( ) ( )43 2 1, ,0 0W m + α = .

58

2.5. Integrals of nz er f ( ) ( )γ+ββ+α zz 1exp

2.5.1.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

erf 11. erf exp erf exp expa z b z dz a z b z dzb b

+∞

−∞

β+β − + γ = − −β + γ = γ − ×∫ ∫

2

2exp erf 1

24bb b

a aa

β × γ + + β + − { 0,0 >> ba }.

( ) ( )21 1 1

1 210

12. erf exp exp erf 124

z z dz∞ β ββ β

α +β β + γ = − + γ β − − β α αα ∫

( ) ( )γββ

− experf

1 { ( )2 2

1lim Re 2 2lnz

z z z z→∞

α + αβ −β + = +∞ ,

( ) ( ) ±∞=α−∞=β∞→∞→

zzzz

Relim,Relim 1 }.

2.5.2.

( ) ( ) ( ) ( )0

01. erf exp erf expz a z b z dz z a z b z dz

+∞

−∞

+β − + γ = −β + γ =∫ ∫

( ) ( )2 2

2 2 2

erf 2 2exp

2a b a b

b a b

β − − β= γ − ×

( )22

2

expexp erf 1

24bb b

a a aba

γ −β β × γ + + β + − + π { 0,0 >> ba }.

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 11 2 2 2

0 1 1

erf 2 22. erf exp exp

2z z z dz

∞ β α −β + αββα +β β + γ = γ − ×

β α β∫

( )221 1 1

21

expexp erf 1

24

γ −β β ββ β × − + γ β − − α α παβα

{ ( )2 21lim Re 2 ln

zz z z z

→∞ α + αβ −β + = +∞ ,

( )[ ] −∞=+β∞→

zzz

lnRelim 1 , ( )lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

59

2.5.3.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1

01. erf exp 1 erf expnn nz a z b z dz z a z b z dz

+∞+

−∞+β − + γ = − −β + γ =∫ ∫

( ) ( )!exp erferf 1

2n

n bb ab

γ β = − β + − ×

( ) ( ) ( ) ( )5 51 2

2, , , ,aW a b W a b

× β − − β − π

{ 0>a , 0>b }.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

110 1

!exp 12. erf exp erf

nn

n

nz z z dz

+∞ γ −α +β β + γ = β +β β

∫

( ) ( ) ( ) ( )5 511 11 2

2erf 1 , , , ,2

W W β α + β − α β β + α β β α π

{ ( ) ( )2 21lim Re 2 2 ln

zz z z n z

→∞ α + αβ −β − − = +∞ ,

( )[ ] −∞=+β∞→

znzz

lnRelim 1 , ( )lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

Introduced notations:

) ( ) ( )( )

25 1 1

11 20 1

11 , , exp4 2

n

n kkkW

−=

β ββα β β = − αα −β

∑( )( )

( ) 221

2 20

2

! 2 !

k lE k

k ll l k l

−

−=

β − αβ

− α∑ ,

( ) ( )( )

( ) ( )

( )2 /25

1 20

exp 1, ,22 !

E n

n n kk

W nk −

=

−βα αβ =

α −β∑ ;

) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )25 2

121 11

1 12 , , exp! 2 !2

E kn

n kkk lW

l k l−= =

α β β = −β ×

−−β ∑ ∑

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

∑ ∑=

−

=+−

+−−

×−+−

−−

α

βα−β×

l

r

kEk

lrlk

rlk

lkll

r

r

1

2

12

2211

!21!12

!1

!2

2!

( )

( ) ( )

α−

βα−β×∑

=+−

+−−−l

r rlk

rlkrl

r1 2

2211

!1

24,

60

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )/25 2

2 1 1 21

1 !, ,2 exp2 ! 2

n n E n

n n kk

kWk

−

+ + −=

−α β αβ = −β

α β∑ .

2.6. Integrals of ( ) ( )21

12 experf zzz m α−β+α+

2.6.1.

1. ( ) ( ) ( ) 212

1 2210 11 1

erferf exp exp

2 2

aaz az a z dza a aa a a

+∞ β β + β − = + − × ++

∫

+

β−×

12

erf1aa

a { }0,0 1 >≥ aa .

( ) ( )2

121 220 11 1

2. erfi exp exp2

aaz az a z dza aa a a

+∞ β + β − = × −−

∫

( )2 11

erfi1 erf

2a

aa a

ββ × + + −

{ 210,a a a≥ > }.

3. ( ) ( ) ( ) ( ) =−−=−+ ∫∫∞−

+∞ 022

0

22 expierfexpierf dzzabzazdzzabzaz

( ) ( )ba

b

a

b2

2

2 2

exp

2

ierf

π−= { }0, 0a b> < .

4. ( ) ( )

+

β−

+=−β+∫

+∞

∞− 12

21

12

1

21 expexperf

aa

a

aaa

adzzaazz { }0,0 1 >≥ aa .

5. ( ) ( )2

121 22 11 1

erfi exp expaaz az a z dz

a aa a a

+∞

−∞

β + β − = −−

∫ { 21a a> }.

6. ( ) ( ) ( ) 212

1 2210 11 1

erferf exp exp

2 2z z z dz

∞ β α βαα +β −α = − − × α α + αα α + α

∫

α+α

αβ× 1erf

12

{ ( )2 2 2

1lim Re 2 lnz

z z z z→∞

α + α + αβ + =

61

( )21lim Re

zz

→∞= α = +∞ , ( )2

1lim Rez

z→∞

α + α = ±∞ }.

7. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22

0

1 1erf exp erf exp2

z z z dz∞

α +β α = − β + −β πβα

∫

{ ( ) ( )2 2lim Re , lim Rez z

z z→∞ →∞

α = −∞ αβ = +∞ }.

2.6.2.

1. ( ) ( ) ( )2 1 21 1 20 1 1

erf!erf exp2

mm

m az az a z dza a a

+∞+

+

β+β − = + × +

∫

( ) ( ) ( ) ( )6 61 11 22

1

1 erf , , , ,a

W a a aW a aa a

β × − β + β +

{ }0,0 1 >≥ aa .

2. ( ) ( ) ( )2 1 21 1 20 1 1

erfi!erfi exp2

mm

m az az a z dza a a

+∞+

+

β+β − = + × −

∫

( ) ( ) ( ) ( )6 61 11 22

1

1 erf , , , ,a

W i a a i aW i a a ia a

β × + β + β −

{ }210,a a a≥ > .

3. ( ) ( ) ( ) ( ) =−−=−+ ∫∫∞−

++∞

+0

2212

0

2212 expierfexpierf dzzabazzdzzabazz mm

( ) ( ) ( )

−=

+26

3221ierf

2! bW

bb

am

m { }0, 0a b> < .

4. ( ) ( ) ( ) ( )β+

=−β+∫+∞

∞−

+ ,,!experf 16

11

22

112 aaW

aa

amdzzaazz m { }0,0 1 >≥ aa .

5. ( ) ( ) ( ) ( )β−

=−β+∫+∞

∞−

+ iaaiWaa

amdzzaazz m ,,!expierf 16

121

21

12 { 21a a> }.

6. ( ) ( ) ( )2 1 21 1 20 1 1

erf!erf exp2

mm

mz z z dz∞

++

β αα +β −α = − ×α α + α

∫

62

( ) ( ) ( ) ( )

βααα+βαα

α+α

αβ× ,,,,1erf 1

621

61

12

WW

{ ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1lim Re 2 2 1 ln lim Re 2 ln

z zz z z m z z m z

→∞ →∞ α + α + αβ − − = α − = +∞

,

21lim Re

zz

→∞ α + α = ±∞

}.

7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

62 1 2 2 232 2

0

1 ! 1erf exp erf2

mm

m

mz z z dz W

+∞+

+

− α +β α = β + −β βα

∫

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 ln , lim Re lnz z

z m z z m z→∞ →∞

α + = −∞ αβ − = +∞ }.

Introduced notations:

1) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∑∑=

−

−

=−+

α+α−

αβ

α

α+α

βα−=βαα

k

llkl

lkm

kkm

lklk

kW0

21

2

22

01

112

21

16

1!22!4!

!2exp,, ,

( ) ( ) ( )

( ) ( )6

11 2 1 201 1

2 !, , 0

4 !

m

kk m kk

kW

k + −=α α =

α α + α∑ ;

2) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

2 2 1 2 26

12 1 221 1 11 1

exp 2 ! 1, ,2 2 !!

k l rm k l

m k k l rk l r

kW

k lk

− − +

+ − − += = =

−β αβα α β = ×

−π α α + α∑ ∑ ∑

( )( )

( )( ) ( )

−−−+−

−×− !1!12212

!1

!2!4!

rllkl

rlr

rl, ( ) 0)0,,( 1

62 =ααW ;

3) ( ) ( ) ( ) ( )

( )∑= β

βπ

=βm

kk

k

kW

0 2

2263

4!

!2exp1 .

63

2.7. Integrals of ( ) ( )112 erfexp β+αβ+α− zzzz n ,

( ) ( ) ( )22112 erferfexp β+αβ+αα− zzzz n

2.7.1.

1. ( ) ( )2 11

0

1exp erf arctan aaz a z dza aπ

+∞− =∫ { }0>a .

2. ( ) ( )1

1

01

2 ln2

1ierfexpaaaa

adzzaaz

−

+

π=−∫

+∞ { 2

1a a> }.

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2

0

1exp erf erf exp erf erf2

az a z a z dz az a z a z dz+∞ +∞

−∞− = − =∫ ∫

1 22 2 2

1 2

1 arctan a aa a aa aaπ

=+ +

{ }0>a .

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=− ∫∫+∞

∞−

+∞dzzazaazdzzazaaz 21

2

021

2 ierferfexp21ierferfexp

2122

21

2

2122

21

2ln

21

aaaaaaa

aaaaaaa

a −−+

+−+

π= { 2

2a a> }.

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=− ∫∫+∞

∞−

+∞dzzazaazdzzazaaz 21

2

021

2 ierfierfexp21ierfierfexp

1 22 2 2

1 2

1 arctan a aa a aa aaπ

=− −

{ 2 21 2a a a> + }.

6. ( ) ( )

+

β+β

βπ=β+β+−∫

∞+

∞− 21

211

2

112

2

2erf

4experfexp

aaa

aaaa

dzzazaz { }0>a .

7. ( ) ( )

−

β+β

βπ=β+β+−∫

∞+

∞− 21

211

2

112

2

2ierf

4expierfexp

aaa

aaaa

dzzazaz

{ 21a a> }.

8. ( ) ( )2 11

0

1exp erf arctanz z dz αα α

πα α

∞− =∫ { ( )2 2

1 , lim Re lnz

z z→∞

α ≠ −α α + =

( )2 2 21lim Re 2 ln

zz z z

→∞ = α + α + = +∞ }.

64

9. ( ) ( ) ( ) 1 221 2 2 20 1 2

1exp erf erf arctanz z z dz∞ α α

−α α α = ±πα α α + α + α

∫

{ ( ) ( )2 2 2 21lim Re ln lim Re 2ln

z zz z z z z

→∞ →∞ α + = α + α + =

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22 1 2lim Re 2ln lim Re 3ln ,

z zz z z z z z z

→∞ →∞ = α + α + = α + α + α + = +∞

( )2 2 2 21 2 1 2, , lim Re

zz

→∞

α ≠ −α α ≠ −α α + α + α = ±∞ }.

10. ( ) ( )( )

( )

α+αα

βα+αβ

αβ

α

π=β+αβ+α−∫

∞

∞ 21

112

112

2

2erf

4experfexp

2

1

AdzzzzT

T

{( )

( )( )

( )1 1

2 2 2 21 1 1lim Re ln lim Re 2 2ln

z T z Tz z z z z z z z

→∞ →∞ α −β + = α + α + α β −β + =

( )( )[ ]

( )( )[ ] +∞=+β−βα+α+α=+β−α=

∞→∞→zzzzzzzz

TzTzln22RelimlnRelim 11

221

22

22

;

1A = ± if ( ) ( ) ( ) ( )

2 1

2 21 1lim Re lim Re

z T z Tz z

→∞ →∞α + α = − α + α = ±∞ ,

0A = if ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 21 1lim Re lim Re

z T z Tz z

→∞ →∞α + α ⋅ α + α = +∞ }.

11. ( ) ( ) 0erfexp 12 =αα−∫

ν

ν−dzzz .

2.7.2.

1. ( ) ( ) ( )2

0

1 21 2 2 2

1 1

exp erf erf arctana az a z a z a z dza a a a aπ

+∞

− = ++ +

∫

2 12 22 2

arctana a

a a a a a+π + +

{ }0>a .

2. ( ) ( ) ( )

+

−+

++

+π=−∫

∞+

221

221

21

1

021

2 ln2

1ierferfexpaaa

aaa

aa

aa

dzzazaazz

2 12 22 2

arctana aa a a a

+− − { 2

2a a> }.

65

3. ( ) ( ) ( )

+

−−

+−

−π=−∫

∞+

221

221

21

1

021

2 ln2

1ierfierfexpaaa

aaa

aa

aa

dzzazaazz

22 12

2 22 2 1

lna a aa

a a a a a

− + +− − −

{ 2 21 2a a a> + }.

4. ( ) ( )2

1 121 1 2 2

1

2exp erf exp erf

42 2

a az az z a z dz

aa a a a a

+∞

−∞

β + βπβ β − +β +β = + + ∫

+

ββ−β−β

++

21

1121

2

21

1

44

44exp

aa

aa

aaa

a { }0>a .

5. ( ) ( ) +

−

β+β

ββπ=β+β+−∫

∞+

∞− 21

211

2

112

2

2ierf

4exp

2ierfexp

aaa

aaaaa

dzzazazz

−

ββ+β+β

−+

21

1121

2

21

1

44

44exp

aa

aa

aaa

a { 21a a> }.

6. ( ) ( ) ( ) ×

+

β−

+=β+β+−∫

∞+

∞−21

21

21

12211

2 experferfexpaa

a

aaa

adzzazaazz

2 2 22 2 1 2 1 1 1 1 2 21 2 2 2

22 2 2 2 2 2 221 1 2 2 2 1 2

erf exp erfa a a a a a a a aa

a aa a a a a a a a a a a a a

β + β − β β β + β − β × + − + + + + + + + +

{ }0>a .

7. ( ) ( ) ( ) ×

+

β−

+=β+β+−∫

∞+

∞−21

21

21

12211

2 expierferfexpaa

a

aaa

adzzazaazz

2 2 22 2 1 2 1 1 1 1 2 21 2 2 2

22 2 2 2 2 2 221 1 2 2 2 1 2

erfi exp erfa a a a a a a a aa

a aa a a a a a a a a a a a a

β + β − β β β − β + β × + − + + − − − + − { 2

2a a> }.

8. ( ) ( ) ( ) ×

−

β

−=β+β+−∫

∞+

∞−21

21

21

12211

2 expierfierfexpaa

a

aaa

adzzazazaz

66

2 2 22 2 1 2 1 1 1 1 2 21 2 2 2

22 2 2 2 2 2 221 1 2 2 2 1 2

erfi exp erfia a a a a a a a aa

a aa a a a a a a a a a a a a

β − β + β β β − β + β × + − − − − − − − − { 2 2

1 2a a a> + }.

9. ( ) ( ) ( )2 1 21 2 2 2

0 1 1

1exp erf erf arctgz z z z dz α αα α απα α α α α

∞ − = + + +

∫

α+α

α

α+α

α+

22

122

2 arctg { ( )2 2 2 21lim Re lim Re( ) ln

z zz z z z

→∞ →∞ α = α + α + =

( )[ ] ( ) ,ln2RelimlnRelim 222

221

2222

2 +∞=

+α+α+α=+α+α=

∞→∞→zzzzzzz

zz

2 2 2 21 2 1 2, ,α ≠ −α α ≠ −α α + α ≠ −α }.

10. ( ) ( )( )

( )×

αβ

αα

βπ=β+αβ+α−∫

∞

∞ 4exp

2erfexp

2

112

2

1

AdzzzzzT

T

α+α

ββα−αβ−β

α+αα

α+

α+αα

βα+αβ×

21

1121

2

21

121

11

44

44exp

2

2erf A

{( ) ( )1 2

2 2lim Re( ) lim Re( )z T z T

z z z z→∞ →∞

α −β = α −β =

( )( )[ ]=+β−βα+α+α=

∞→zzzzz

Tzln2Relim 11

221

2

1

( )[ ] +∞=+β−βα+α+α=

∞→zzzzz

Tzln)2Re(lim 11

221

2

2; 1±=A if

( ) ( ) ( ) ( )2 1

2 21 1lim Re lim Re

z T z Tz z

→∞ →∞α + α = − α + α = ±∞ ,

0=A if ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 21 1lim Re lim Re

z T z Tz z

→∞ →∞α + α ⋅ α + α = +∞ }.

11. ( ) ( ) ( )( )

( )2

1

21 12

1 1 2 2 2211

exp erf erf expT

Tz z z z dz A

∞

∞

αβα −α α +β α +β = − × α + αα α + α

∫

2 22 2 1 2 11 2 2

22 2 2 221 1 2 2

erf expA αβ + α β −α α β αβα × + − × α + α α + α α + α + α α α + α

67

21 1 1 2 22

2 2 22 1 2

erf αβ + α β −α α β × α + α α + α + α

{ ,21 α−≠α α−≠α 2

2 ,

( )( )

( )( )

1 2

2 2lim Re lim Rez T z T

z z→∞ →∞

α = α =

( )( )

1

2 2 21 1 1lim Re 2 ln

z Tz z z z

→∞ = α + α + α β + =

( )( )

2

2 2 21 11lim Re 2 ln

z Tz z z z

→∞ = α + α + α β + =

( )( )

1

2 2 22 22lim Re 2 ln

z Tz z z z

→∞

= α + α + α β + =

( )( )[ ]=+βα+α+α=

∞→zzzz

Tzln2Relim 22

222

2

2

( )( )[ ]=+βα+βα+α+α+α=

∞→zzzzzz

Tzln222Relim 2211

222

221

2

1

( )( )[ ] +∞=+βα+βα+α+α+α=

∞→zzzzzz

Tzln222Relim 2211

222

221

2

2

;

1±=A if ( ) ( ) ( ) ( )

2 1

2 2 2 21 2 1 2lim Re lim Re

z T z Tz z

→∞ →∞α + α + α = − α + α + α = ±∞ ,

0=A if ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 2 2 21 2 1 2lim Re lim Re

z T z Tz z

→∞ →∞α + α + α ⋅ α + α + α = +∞ }.

12. ( ) ( ) ( ) 0erferfexp 212 =ααα−∫

ν

ν−dzzzzz .

2.7.3.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )17

10

122 ,,

!!2

erfexp aamWm

mdzzaazz m

π=−∫

+∞ { }0>a .

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )72 21 12

0

2 !exp erfi , ,

!m m

z az a z dz W m a am

+∞

− =π

∫ { 21a a> }.

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=− ∫∫+∞

∞−

+∞dzzazaazzdzzazaazz mm

2122

021

22 erferfexp21erf erfexp

( )

++∂

∂⋅

π

−=

22

21

221arctg11

aaaaa

aaaa m

mm { }0>a .

68

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=− ∫∫+∞

∞−

+∞dzzazaazzdzzazaazz mm

2122

021

22 ierferfexp21ierferfexp

( )

−−+

+−+

∂

∂⋅

π

−=

2122

21

2

2122

21

2ln1

21

aaaaaaa

aaaaaaa

aa m

mm { 2

2a a> }.

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=− ∫∫+∞

∞−

+∞dzzazaazzdzzazaazz mm

2122

021

22 ierfierfexp21ierfierfexp

( )

−−∂

∂⋅

π

−=

22

21

221arctg11

aaaaa

aaaa m

mm { 2 2

1 2a a a> + }.

6. ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 1 21 2 2 100

2 !!exp erf erf!

mm

m kk

kmz az a z a z dzk a

+∞+

+ −=− = ×

π ∑∫

( ) ( ) ( ) ( )7 72 21 1 2 2 2 11 1, , , ,a W k a a a a W k a a a

× + + +

{ }0>a .

7. ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 1 21 2 2 100

2 !!exp erf erfi!

mm

m kk

kmz az a z a z dzk a

+∞+

+ −=− = ×

π ∑∫

( ) ( ) ( ) ( )7 72 21 1 2 2 2 12 1, , , ,a W k a a a a W k a a a

× + + −

{ 22a a> }.

8. ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 1 21 2 2 100

2 !!exp erfi erfi!

mm

m kk

kmz az a z a z dzk a

+∞+

+ −=− = ×

π ∑∫

( ) ( ) ( ) ( )[ ]122

7222

21

721 ,,,, aaakWaaaakWa −+−× { 2 2

1 2a a a> + }.

9. ( ) ( ) ( ) ( )117

3112 ,,,,

2!erfexp ββ=β+β+−∫

+∞

∞−aanWndzzazazz

nn { }0>a .

10. ( ) ( ) ( ) ( )117

4112 ,,,,

2!ierfexp ββ=β+β+−∫

+∞

∞−aanWndzzazazz

nn { 2

1a a> }.

11. ( ) ( ) ( ) ( )2 1 21 1 2 2 1

0

2 !!exp erf erf4 !

mm

k m kk

kmz az a z a z dzk a

+∞+

+ −=−∞

− +β +β = ×π∑∫

( ) ( ) ( )72 21 2 1 1 21 3 1exp 2 , , , 2 ,a W k a a a a× −β + − β β +

( ) ( ) ( )72 22 1 2 2 12 3 2exp 2 , , , 2 ,a W k a a a a + −β + − β β

{ }0>a .

69

12. ( ) ( ) ( ) ( )×

π=β+β+− ∑∫

=−+

+∞

∞−

+m

kkmk

m

akkmdzzazaazz

012211

212

!4!2!ierferfexp

( ) ( ) ( )[ +ββ−+β−× 211221

74

211 ,2,,,2exp aaaakWa

( ) ( ) ( ) ]122122

73

222 ,2,,,2exp ββ−β+ aaaakWa { 2

2a a> }.

13. ( ) ( ) ( ) ( )×

π=β+β+− ∑∫

=−+

+∞

∞−

+m

kkmk

m

akkmdzzazaazz

012211

212

!4!2!ierfierfexp

( ) ( ) ( )[ +ββ−β× 211221

74

211 ,2,,,2exp aaaakWa

( ) ( ) ( ) ]122122

74

222 ,2,,,2exp ββ−β+ aaaakWa { 2 2

1 2a a a> + }.

14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )72 21 11

0

2 !exp erf , ,

!m m

z z z dz W mm

∞

−α α = α απ

∫ { 210, ,α ≠ α ≠ −α

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21lim Re 2 1 ln lim Re 2 2 ln

z zz m z z z m z

→∞ →∞ α − − = α + α − − = +∞

}.

15. ( ) ( ) ( ) 1 22 21 2 2 20 1 2

1exp erf erf arctanm

mm

Az z z z dz∞ α α∂ −α α α = ⋅

π α∂α α α + α + α ∫

{ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21lim Re 2 1 ln lim Re 2 2 ln

z zz m z z z m z

→∞ →∞ α − − = α + α − − =

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] +∞=−−α+α+α=−−α+α=∞→∞→

zmzzzzmzzzz

ln32Relimln22Relim 222

221

2222

2 ,

2 21 2,α ≠ −α α ≠ −α ; ( )mA 1−= if ( )2 2

1 2lim Rez

z→∞

α + α + α = +∞ ,

1)1( +−= mA if ( )2 21 2lim Re

zz

→∞α + α + α = −∞ }.

16. ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 1 21 2 2 100

2 !!exp erf erf!

mm

m kk

kmz z z z dzk

∞+

+ −=−α α α = ×

π α∑∫

( ) ( ) ( ) ( )

αα+αα+αα+αα× 1

22

7122

21

711 ,,,, kWkW

{ ,,, 22

21

22

21 α−≠α+αα−≠αα−≠α

[ ] ( ) ( )[ ]=−−α+α=−α∞→∞→

zmzzzmzzz

ln12Relimln2)Re(lim 221

22

( ) ( )[ ]=−−α+α=∞→

zmzzz

ln12Relim 222

2

70

( ) ( )2 2 2 2 21 2lim Re 2 2 ln

zz z z m z

→∞ = α + α + α − − = +∞ }.

17. ( ) ( )( )

( )( ) ( )117

3112 ,,,,

2

!erfexp2

1

ββαα=β+αβ+α−∫∞

∞nWnAdzzzzz

n

T

T

n

( )( ) ( )

1

2{ 0, lim Re 1 lnz T

z z n z→∞

α ≠ α −β − − =

( )( ) ( )

1

2 2 21 1 1lim Re 2 2 ln

z Tz z z z n z

→∞ = α + α + α β −β − − =

( )( ) ( )

2

2lim Re 1 lnz T

z z n z→∞

= α −β − − =

( )( ) ( )

2

2 2 21 1 1lim Re 2 2 ln

z Tz z z z n z

→∞ = α + α + α β −β − − = +∞ ;

1A = ± if ( ) ( ) ( ) ( )

2 1

2 21 1lim Re lim Re

z T z Tz z

→∞ →∞α + α = − α + α = ±∞ ,

0A = if ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 21 1lim Re lim Re

z T z Tz z

→∞ →∞α + α ⋅ α + α = +∞ }.

18. ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )×

απ=β+αβ+αα− ∑∫

=−+

∞

∞

+m

kkmk

T

T

m

k

kmAdzzzzz0

12211212

!4

!2!erferfexp2

1

( ) ( ) ( )72 21 1 1 2 1 1 23exp 2 , , , 2 ,W k× α −β α + α α − α β β +

( ) ( ) ( )72 22 2 2 1 2 2, 13exp 2 , , , 2W k +α −β α + α α − α β β

{( )

( )( )

( )1 2

2 2lim Re 2 ln lim Re 2 lnz T z T

z m z z m z→∞ →∞

α − = α − =

( )( ) ( )

1

2 2 21 1 1lim Re 2 2 1 ln

z Tz z z m z

→∞ = α + α + α β − − =

( )( ) ( )

2

2 2 21 1 1lim Re 2 2 1 ln

z Tz z z m z

→∞ = α + α + α β − − =

( )( ) ( )

1

2 2 22 2 2lim Re 2 2 1 ln

z Tz z z m z

→∞ = α + α + α β − − =

( )( ) ( )

2

2 2 22 2 2lim Re 2 2 1 ln

z Tz z z m z

→∞ = α + α + α β − − =

( )( ) ( )

1

2 2 2 2 21 2 1 1 2 2lim Re 2 2 2 2 ln

z Tz z z z z m z

→∞ = α + α + α + α β + α β − − =

71

( )( ) ( ) +∞=

−−βα+βα+α+α+α=

∞→zmzzzzz

Tzln2222Relim 2211

222

221

2

2

,

α−≠α 21 , ;2

2 α−≠α

1±=A if ( ) ( ) ( ) ( )

2 1

2 2 2 21 2 1 2lim Re lim Re

z T z Tz z

→∞ →∞α + α + α = − α + α + α = ±∞ ,

0=A if ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 2 2 21 2 1 2lim Re lim Re

z T z Tz z

→∞ →∞α + α + α ⋅ α + α + α = +∞ }.

19. ( ) ( ) 0 erf exp 122 =αα−∫

ν

ν−dzzzz m .

20. ( ) ( ) ( )2 1 21 2exp erf erf 0mz z z z dz

ν+

−ν−α α α =∫ .

Introduced notations:

1) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∑−

=+− α+αα+

α+α

α

αα=αα

1

012

1

2

11

17

14!12

!arctg4

1,,m

lllmmm

l

lmW ;

2) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∑−

=+−+

α−αα+α+

α−α

α+α

αα=αα

1

012

1

2

11

1121

72

4!12

!ln2

1,,m

lllmmm

l

lmW ;

3) ( ) ( )( )

( )+

α−

β

α+αα

βα+αβ

αβ

α

π=ββαα ∑

=−

−2/

0

2

21

112

117

3 !2!2

2erf

4exp,,,,

nE

lln

ln

lnlnW

( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 /2 11 21 11

22 1 111

4 4 4 2 2 !!1 exp2 ! 1 2 ! 1 !4 4

n E n l rn l l

l r

rll n l r

− + −+ −

= =

β − αβ − α ββ −β + × + − −α + α α + α

∑ ∑

( )

( ) ( ) ( )

( )( )

2 2 22 1 2 /2 21 1 112 22 20 1 1

1

21 !

! 2 !! 2 2 2 !

r qr q E n n lr l

r qn l r qq l rr

l n lq r q

− −− − −−

− −− + −= = =

α αβ + α β β× − − ×

−− − α α + α∑ ∑ ∑

( )

( ) ( )2 1 22 21 1 11

2 12 201

2,

! 2 1 2 !

r qr qr

r qn l r qq q r q

− −−−

− −− + −=

α αβ + α β

× − − α α + α

∑

( ) ( )7 11 13 2

1

2 , , , 0, erf! m

W mm

αβπ α α β = − α α α + α

72

( )

( ) ( )

2 1 22 2 22 1 1 112 2 12 20 011 1

21 !exp! ! 2 1 2 !

r rl rm l

m l l rl r

l

m r l r

+ −+ −−

− + −= =

α βαβ− − α + α αα + α + − α + α

∑ ∑ ,

( ) ( ) 00,0,,,2 17

3 =ααmW ,

( ) ( )( )

( )×

α+α

αβ−

α+α+

α+=βαα+

21

21

21

111

73 exp

!22

!1,0,,,12

m

mmW

( ) ( )( ) ( )

2 211 1

21 20 0 1

2 ! 4! ! 2 2 !

l rm rm l

l rm ll r

ll r l r

α βα α α

−+ −

−+ −= =

×− +

∑ ∑ ,

( )21

11

73

)!22(

)!1()0,0,,,12(

α+α+

α+=αα+

m

mmW

( )

( ) ( )∑= −+

−+

α+αα

m

lllm

lm

l

l

0 21

12

1

!

!24 ;

4) ( ) ( )( )

( )+

α−

β

α−αα

βα+αβ

αβ

α

π=ββαα ∑

=−

−2/

0

2

21

112

117

4 !2!2

2ierf

4exp,,,,

nE

lln

ln

lnlnW

( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 /2 11 21 1122 1 111

4 4 4 2 2 !!1 exp2 ! 1 2 ! 1 !4 4

n E n l rn l l

l r

rll n l r

− + −+ −

= =

β + αβ + α ββ −β + × + − −α − αα −α

∑ ∑

( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 ( /2 ) 21 1 11

2 22 20 1 11

21 !

! 2 !! 2 2 2 !

r qr q E n n lr l

r qn l r qq l rr

l n lq r q

− −− − −−

− −− + −= = =

α αβ + α β β× + − ×

−− − α α −α∑ ∑ ∑

( )

( ) ( )

α−αα−−

βα+αβα× ∑

−

=−−−+−

−−−1

0122

12

21211

221

!212!

2r

qqrqrln

qrqr

qrq,

( ) ( )7 11 14 2

1

2 , , , 0, erf i! m

W mm

αβπ α α β = + α α α −α

( )

( ) ( )

2 1 22 2 22 1 1 112 2 12 20 011 1

21 !exp! ! 2 1 2 !

l rl rm l

m l l rl r

l

m r l r

+ −+ −−

− + −= =

α βαβ+ α −α αα −α + − α −α

∑ ∑ ,

( ) ( ) 00,0,,,2 17

4 =ααmW ,

( ) ( )( )

( ) ( ) ×

α−α

αβ

α−α+

α+=βαα+

21

21

21

111

74 exp

!22

!1,0,,,12

m

mmW

( ) ( )

( ) ( )

2 211 1

1 220 01

2 ! 4

! ! 2 2 !

l rm rm l

m l l rl r

l

l r l r

−+ −

+ − −= =

α β×

α − α −α∑ ∑ ,

73

( ) ( ) ( )

( )7 1

14 21

1 !2 1, , , 0, 0

2 2 !

mW m

m

+ α+ α α =

+ α −α

( )

( ) ( )∑= −+

−+

α−αα

m

l llm

lm

l

l

0 21

12

1

!

!24 .

2.8. Integrals of ( )γ+β+α+ zzm 2212sin , ( )2 1 2 2sinh m z z+ α + β + γ ,

( )γ+β+α+ zzm 2212cos , ( )2 1 2 2cosh m z z+ α + β + γ

2.8.1.

1. ( )

×

−γ+

−γ

π=γ++∫

+∞

2

2

2

2

0

22

4cos

4sin

42sin

a

b

a

ba

dzbzza

⋅

+

−γ−

−γ+

⋅

+−×

abi

a

b

a

ba

bi22

1erfIm4

sin4

cos22

1erfRe12

2

2

2.

( ) ( )( )2

2 2 2 2

/ 2

2. sin 2 sinb a

a z b z dz a z b z dz+∞ +∞

−∞ −

+ + γ = + + γ =∫ ∫

( )( )2/ 2

2 22 2

2 22 sin cos sin

2 4 4

b ab ba z b z dz

a a a−∞

π= − + γ = − γ − − γ

∫ .

( ) ( )∫∞

×

α

β−γ−

απ

=γ+β+α0

2

222

4exp1

82sin.3 iidzzz

( )2

1 221 1erf 1 exp erf

2 22 24i iA i i A

β β β− + × ⋅ − − + − γ ⋅ − α αα

{ ( )2 2lim ln Imz

z z z→∞

− α +β = +∞ ; 1lA = ±

if ( ) ( ) ( )[ ] ±∞=−+∞→

zlzz

αα Im23Relim }.

4. ( )2

2 212

0

sinh exp erf4 4 2

z z dz Aπ β βα β γ γα α α

∞ + + = − − + ∫

2

22exp erfi

24A

β β + γ − − α α { ( )2 2lim ln Re

zz z z

→∞ − α +β = +∞

;

11 =A if ( ) +∞=α∞→

zz

Relim , 11 −=A if ( ) −∞=∞→

zz

αRelim ,

74

iA ±=2 if ( )lim Imz

z→∞

α = ±∞ }.

2.8.2.

1. ( )2 2

2 22 2

0

2cos cos sin4 4 4

b ba z bz dza a a

+∞ π + + γ = γ − − γ − × ∫

2 2

2 21 11 Re erf cos sin Im erf .

2 4 4 22 2i b b b i b

a a a aγ γ

+ + × − ⋅ − − + − ⋅

( ) ( )( )2

2 2 2 2

/ 2

2. cos 2 cosb a

a z b z dz a z b z dz+∞ +∞

−∞ −

+ + γ = + + γ =∫ ∫

( )( )2/ 2

2 22 2

2 22 cos sin cos

2 4 4

b ab ba z b z dz

a a a−∞

π= − + γ = − γ + − γ

∫ .

( ) ( )2

2 212

0

2 13. cos 1 exp erf8 224

iz z dz i i A∞ β βπ −α +β + γ = + γ − − ⋅ + α αα ∫

( )2

21 exp

4i i

β+ − − γ α

21erf

22iA

β+ − ⋅ α

{ ( )2 2lim ln Imz

z z z→∞

− α +β = +∞ ;

1lA = ± if ( ) ( ) ( )[ ] ±∞=−+∞→

zlzz

αα Im23Relim }.

4. ( )2

2 212

0

cosh exp erf4 4 2

z z dz Aπ β βα β γ γα α α

∞ + + = − − + ∫

2

22exp erfi

24A

β β + γ − − α α

{ ( )2 2lim ln Rez

z z z→∞

− α +β = +∞ ; 11 =A if ( ) +∞=α

∞→z

zRelim ,

11 −=A if ( ) −∞=α∞→

zz

Relim , iA ±=2 if ( )lim Imz

z→∞

α = ±∞ }.

2.8.3.

( ) ( )2 1 2 21

0

2 1 ! 21. sin

4m

m

ma z b z dz

a

+∞+

+

+ π+ + γ = ×∫

75

( )( ) ( )

( )2

20

1sin 2 1

! 1 ! 2 1 4

km

k

bkm k m k k a=

− × + − γ × − + + + ∑

2 1 2 11 1Re erf Im erf 12 22 2k b k bi i

a a

+ ++ +× ⋅ + ⋅ − +

( )2

22 11cos 2 1 Im erf

224k bb ik

aa

+++ + − γ ⋅ −

2 11Re erf 122k bi

a

++ − ⋅ + .

( ) ( )( )2

2 1 2 2 2 1 2 2

/ 2

2. sin 2 sinm m

b a

a z b z dz a z b z dz+∞ +∞

+ +

−∞ −

+ + γ = + + γ =∫ ∫

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2/ 22 1 2 2

0

2 1 ! 12 sin

! 1 ! 4 24

b a kmm

mk

ma z b z dz

m k m k ka+

=−∞

+ π −= − + γ = ×

− + + +∑∫

( )2

2cos 2 1

4bka

× + − γ − ( )

2

2sin 2 1

4bka

+ − γ .

( ) ( )∫∞

++ ×

α

π+=γ+β+α

01

2212

4

!12sin.3

mm m

dzzz

( )( ) ( )

( ) ( )

×

α

β−γ+−

+++−

−× ∑

=2

2

0 412exp1

24!1!1 kii

kkmkm

m

k

k

( ) ( )2

1 22 11erf 1 exp 2 1

22 4ki A i i k

+ β β−× ⋅ − − + + − γ × α α

22 11erf

22ki A

+ β+ × ⋅ − α

{ ( ) ( )2 2lim ln 2 1 Imz

z m z z→∞

− + α +β = +∞ ;

1lA = ± if ( ) ( ) ( )[ ] ±∞=−+∞→

zlzz

αα Im23Relim }.

76

4. ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1 2 21

00

2 1 ! 1sinh

4 ! 1 ! 2 1

m kmm

mk

mz z dz

m k m k kπ

α β γα

−+

+=

∞ + −+ + = ×

− + + +∑∫

( ) ( )2 2

12 22 1

exp 2 1 erf exp 2 124 4k

k A k + ββ β× + − γ − + + γ − × αα α

22 1

erfi2k

A + β × − α

{ ( ) ( )2 2lim ln 2 1 Rez

z m z z→∞

− + α +β = +∞ ;

11 =A if ( )lim Rez

z→∞

α = +∞ , 11 −=A if ( )lim Rez

z→∞

α = −∞ ,

iA ±=2 if ( )lim Imz

z→∞

α = ±∞ }.

2.8.4.

( ) ( )( ) ( )

2 1 2 21

00

2 1 ! 2 11. cos! 1 ! 2 14

mm

mk

ma z b z dz

m k m k ka

+∞+

+=

+ π+ + γ = ×

− + + +∑∫

( )2

2sin 2 1

4bka

× + − γ

2 1 2 11 11 Im erf Re erf2 22 2k b k bi i

a a

+ ++ + + ⋅ − ⋅ +

( )2

22 11cos 2 1 1 Re erf

224k bb ik

aa

+++ + − γ − ⋅ −

2 11Im erf22k bi

a

++ ⋅ .

( ) ( )( )2

2 1 2 2 2 1 2 2

/ 2

2. cos 2 cosm m

b a

a z b z dz a z b z dz+∞ +∞

+ +

−∞ −

+ + γ = + + γ =∫ ∫

( )( ) ( )

( ) ( )

2/ 22 1 2 2

0

2 1 ! 12 cos! 1 ! 4 24

b a mm

mk

ma z b z dz

m k m k ka+

=−∞

+ π= − + γ = ×

− + + +∑∫

( )2

2sin 2 1

4bka

× + − γ + ( )

2

2cos 2 1

4bka

+ − γ .

( ) ( )∫∞

++ ×

α

π+=γ+β+α

01

2212

4

!12cos.3

mm m

dzzz

( ) ( )( ) ( )

2

20

1 1 exp 2 1! 1 ! 4 2 4

m

ki i k

m k m k k=

β× + + γ − × − + + + α ∑

77

( ) ( )2

1 21 2 1erf 1 exp 2 1

22 4i kA i i k

− + β β× − ⋅ + − + − γ × α α

22 11erf

22kiA

+ β+ × − ⋅ α

{ ( ) ( )2 2lim ln 2 1 Imz

z m z z→∞

− + α +β = +∞ ;

1lA = ± if ( ) ( ) ( )[ ] ±∞=−+∞→

zlzz

αα Im23Relim }.

4. ( ) ( )( ) ( )

2 1 2 21

00

2 1 ! 1cosh! 1 ! 2 14

mm

mk

mz z dz

m k m k k

∞+

+=

+ πα +β + γ = ×

− + + +α∑∫

( ) ( )2 2

12 22 1

exp 2 1 erf exp 2 124 4k

k A k + ββ β× + − γ − + + γ − × αα α

22 1

erfi2k

A + β × − α

{ ( ) ( )2 2lim ln 2 1 Rez

z m z z→∞

− + α +β = +∞ ; 11 =A if ( ) +∞=α

∞→z

zRelim ,

11 −=A if ( ) −∞=α∞→

zz

Relim , iA ±=2 if ( )lim Imz

z→∞

α = ±∞ }.

2.9. Integrals of ( ) ( )2 21sin expnz z z zα + β + γ β

2.9.1.

( ) ( ) ( ) ( )0

2 2 2 21 1

01. sin exp sin expa z b z b z dz a z b z b z dz

+∞

−∞

+ + γ − = − + γ =∫ ∫

2 21 1 1 12 2

2 1 1exp cos 1 Re erf Im erf4 2 22 22 4

bb b b b ib b ibi ia a aa a

− + + π − −= − γ + ⋅ − ⋅ −

2 21 1 1

21 1sin 1 Reerf Imerf

2 22 24

b b b ib b ibi ia aa

− + + − − − − γ + ⋅ + ⋅

{ 1 0b ≥ }.

( ) ( ) ( ) ( )212 21 2

0

22. sin exp 1 exp8 4

iz z z dz i i

i

∞ β − βπ α +β + γ β = + − γ ×α α

∫

78

( )( )

×

α

β+β−γ−+

αβ−β

⋅−

+×2

211

14

exp122

1erfi

iii

iiA

αβ+β

⋅+

+×22

1erf 12

iiA { ( ) ( )2 21lim Re Im ln

zz z z z

→∞ β + α +β − = −∞

;

( ) ( ) ( )1 if lim Re 2 3 Imk zA z k zα α

→∞ = ± + − = ±∞ }.

2.9.2.

( ) ( ) ( ) ( )0

2 2 2 21 1

01. sin exp sin expz a z b z b z dz z a z b z b z dz

+∞

−∞

+ + γ − = − − + γ =∫ ∫

( )2 2

1 1 112 3 2 2

cos 2 1exp sin Re erf222 8 2 4

bb b b b ibib baa a a a

− + γ π −= + − γ − ⋅ +

( )2 2

1 11 1 2

1Im erf cos22 4

b ib b bib b b ba a

+ − −+ + ⋅ + − + − γ ×

( ) ( )1 11 1 1

1 1Imerf Reerf2 22 2

b ib b ibi ib b b b b ba a

+ + − − × − ⋅ − + ⋅ − −

{ 1 0b > }.

( ) ( ) ( ) ( )2 21 13

02. sin exp 1

8 2z z z z dz i i

∞ π α +β + γ β = − β −β ×α

∫

( ) ( )( )×β+β+−

αβ+β

⋅+

+

α

β+β−γ× 1

112

21 1

221erf

4exp iiiiA

iii

( )2

122

21

2

cos22

1erf4

expα

γ+

αβ−β

⋅−

+

γ−

α

β−β×

iiAii

i

{ ( ) ( )[ ] ;ImRelim 221 −∞=β+α+β

∞→zzz

z

( ) ( ) ( )1 if lim Re 3 2 Imk zA z k zα α

→∞ = ± + − = ±∞ }.

2.9.3.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞−

+∞=γ+−−=−γ++

0

122

01

22 expsin1expsin dzzbbzzazdzzbbzzaz nnn

( ) ( )2 2

91 1 1112 2

! 1exp sin Re erf 1 , , ,222 2 4n

bb b b b ibn i W n a b baa a

− + − = + γ ⋅ + − −

79

( ) ( )2 2

91 1 1112 2

! 1exp cos Im erf 1 , , ,222 2 4n

bb b b b ibn i W n a b baa a

− + − − + γ ⋅ + − +

( ) ( ) ( ) ( )9 92 21 12 2

! sin Re , , , cos Im , , ,2nn W n a b b W n a b b + γ ⋅ − − γ ⋅ −

{ 01 >b if }0>n .

2. ( ) ( ) ( )212 2

1 1 20

!sin exp exp2 4n

n in iz z z z dz ii

β βα β γ β γ

α

∞

+

−+ + = − ×

∫

( ) ( ) ×

α

β+β−γ−ββα

+

αβ−β

⋅−

×2

21

19

111

4

)(exp,,,

221erf

i

iinWA

ii

( ) ( )912 13

1erf , , ,22

ii A W n β + β +

× ⋅ + α β β + α

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 92 21 12 2exp , , , exp , , ,i W n i W n

+ − γ α β β − γ − α −β β

{ ( ) ( ) ( )2 21lim Re Im 1 ln

zz z z n z

→∞ β + α +β + − = −∞

;

1kA = ± if ( ) ( ) ( )lim Re 2 3 Imz

z k z→∞

α + − α = ±∞ }.

2.9.4.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞−

++∞

=γ−−=−γ+0

11

01 expsin1expsin dzzbbzzdzzbbzz nnn

( ) ( ) ( )19

4 ,!1 bbWnn −−= { }01 >b .

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )19

40

1 ,!1expsin ββ−=βγ+β∫∞

Wndzzzz nn

{ 2 21 ,β ≠ −β ( ) ( )1lim Re Im ln

zz z n z

→∞ β + β + = −∞ }.

Introduced notations:

1) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )∑=

−

−

α−

β−βα−π

=ββα2/

0 2

21

19

1!2!4

12,,,

nE

lln

ln

ilnl

iinW ,

80

( ) ( ) ( )( )12

11

91 1

1

8!

1,,,2+α

−−π=ββα

n

n

n

iiinW , ( ) ( ) 0,,,12 19

1 =ββα+ inW ;

2) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )−

α−

β−β−+−

−=ββα ∑∑

=+−

+−−−−

=

l

r rln

rlnrlnEn

l ir

ilnl

lnW

1 2

2211

2/

11

292

!1

4!21!12

!1,,,

( )( )

( ) ( )∑∑=

+−

+−−

= α

β−β−

−l

r rln

rlnnE

l ir

irlnl 1 2

2211

)2/(

1 !2

!!2!

1 ,

( ) ( ) 0,,,2 21

92 =ββα inW , ( ) ( )

( ) ( ) 121

121

92 1

1

!12

!4,,,12

+α+

=ββα+n

n

in

ninW ;

3) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )∑=

−

−

α−−

β+βα+π

=ββα2/

0 2

21

19

3!2!4

12,,,

nE

lln

ln

ilnl

iinW ,

( ) ( ) ( )12

11

93 1

1

8!

1,,,2

+α

+π=β−βα

n

n

n

iiinW , ( ) ( ) 0,,,12 1

93 =β−βα+ inW ;

4) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( ) 2 1 2/29 1

14 12 2 01

1 ! 1, cos

2 1 ! 2 !

l l n lE n

nl

nW

l n l

+ −

+=

+ − β ββ β = γ ⋅ −

+ −β +β ∑

( )( ) ( )

( )

−+

ββ−⋅γ− ∑−

=

−+2/

0

211

2

!21!21

sinnEn

l

lnll

lnl( )

( )( )

( )

β−β

γ−−

β+β

γ=

++ 11

11

expexp2 nn i

i

i

ii .

2.10. Integrals of ( ) ( )γ+β+αβ+α− zzzzz n1

21

22 sinexp

2.10.1.

1. ( ) ( ) ×

−π=γ++−∫

∞+

2

21

2

01

22

4exp

2sinexp

a

bba

dzzbbzza

+

γ++

+

+

γ+×

aibb

a

bbaibb

a

bb2

erfIm2

cos2

erfRe12

sin 1211

21 .

2. ( ) ( )

γ+

−π=γ++−∫

+∞

∞−21

2

21

2

122

2sin

4expsinexp

a

bb

a

bba

dzzbbzza .

3. ( ) ( ) ×

+

−−π=γ+++−∫

+∞

21

411

21

222

01

21

22

44

2exp

2sinexp

aa

bbababadzzbzabzza

81

+

−+

−

+

−

γ+

+

+−×

12

12

1

122

14

122

112

1 1

2erf1Re

44

2sin

iaaiaa

ibb

iaaaa

bbababa

−+

−

+

−

γ+

+

+−+

12

12

1

122

14

122

112

1 1

2erf1Im

44

2cos

iaaiaa

ibb

iaaaa

bbababa

{ 0>a or [ ]}0,0,0 1 ≤≠= baa .

4. ( ) ( )2 2 21 1 4 2

1

2exp sin2

a z bz a z b z dza a

+∞

−∞

π− + + + γ = ×

+∫

+

γ+

+

+−++

+

−−×

21

41

2211

212

142

21

411

21

222

44

2sin

44

2exp

aa

bbababaaaa

aa

bbababa

γ+

+

+−−++

21

41

2211

2122

14

44

2cos

aa

bbababaaaa

{ 0a > or [ ]}0,0 1 >== aba .

5. ( ) ( )2

12 21 2

0

( )exp sin exp

4 4

iiz z z dz i

∞ β − βπ −α +β β + γ = − γ × α α

∫

( )

±

αβ+β

γ+

α

β+β−

±

αβ−β

× 12

erf4

exp12

erf 12

211 i

iii

{ ( ) ( ) ( )2 21lim Re Im ln , lim Re

z zz z z z z

→∞ →∞ α −β − β + = +∞ α = ±∞

}.

6. ( ) ( )2 2 21 1 20 1

1exp sin4

iz z z z dz

i

∞ π −α +β α +β + γ = × α + α

∫

( )×

α−α−

+

α+α

β−β

γ−

α+α

β−β×

12

11

21

12

21 1

2erf

44exp

iA

i

ii

i

i

( )21 122 2

1 1

exp erf4 4 2

i ii A

i i

β + β β + β × + γ + α − α α − α

{ ( ) ( )2 2 21 1lim Re Im ln

zz z z z z

→∞ α −β − α +β + = +∞

;

1±=kA if ( )21lim Re 3 2

zk i z

→∞ α + − α = ±∞

}.

82

7. ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 21

10

exp 2exp sin82

i iz z i z z dzi

∞ γ π−α +β ± α +β + γ = ×

αβ ± β∫

( )

+

α

β±β

γ±

α

β±β× A

ii

i

22erf

8exp 1

2

21

{ ( )2 21lim Re 2 ln

zz z i z z

→∞ α −β β + = +∞

, [ ]1lim Re ( )z

i z→∞

β β = −∞;

1=A if ( ) +∞=α∞→

zz

Relim , 1−=A if ( )lim Rez

z→∞

α = −∞ }.

2.10.2.

1. ( ) ( ) ×

−π=γ++−∫

+∞

2

21

2

30

122

4exp

4sinexp

a

bb

adzzbbzzaz

×

γ++

+

+

−

+

γ+×

211

11

21

2cos

2erfIm

2erfRe

2sin

a

bbb

aibb

baibb

ba

bb

1 11 1 2

sinReerf Imerf2 2 2

b ib b ibb b b

a a a

+ + γ × + + +

.

2. ( ) ( ) ×

−π=γ++−∫

+∞

∞−2

21

2

3122

4exp

2sinexp

a

bb

adzzbbzzaz

γ++

γ+×

21

121

2cos

2sin

a

bbb

a

bbb .

3. ( ) ( ) ++

γ+γ=γ+++−∫

+∞

21

41

2

01

21

22

22

cossinsinexp

aa

aadzzbzabzzaz

2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1

4 2 4 21 1

2 2exp sin

4 4 4 4 4

a b a b a bb a b a b a bb

a a a a

− − − +π + + γ × + +

( ) ( )+

−−

++

−

+

−−

+×

12

12

1

12

1

12

12

1

2erfRe

iaaiaa

ibb

iaa

ibb

iaaiaa

ibb

( ) ( )1 1 1

2 2 2 2 21 1 1 1 1

Im erf2

b ib b ib b ib

a ia a ia a ia a ia a ia

+ + + + + × − − − − − 2 2 2

1 1 1 14 2

1

2cos

4 4

a b a b a bb

a a

− + × + γ + { 0>a or [ ]}0,0,0 1 <≠= baa .

83

4. ( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 1 1 11 1 4 2

1

2exp sin exp2 4 4

a b a b a bbz a z bz a z b z dza a

πγ+∞

−∞

− −− + + + = × +

∫

( )+

−−

+

γ+

+

+−×

12

12

121

41

2211

21 Re

44

2sin

iaaiaa

ibb

aa

bbababa

( )

−−

+

γ+

+

+−+

12

12

121

41

2211

21 Im

44

2cos

iaaiaa

ibb

aa

bbababa { }0>a .

5. ( ) ( ) ( ) ( )212 21 13 2

0exp sin exp

8 4

iiz z z z dz i i∞ β − βπ −α +β β + γ = β − β − γ ×

α α ∫

( ) ( )211 11 2 2

sinerf 1 exp erf 12 24 2

ii ii i

β + β β − β β + β γ × ± − β + β + γ ± + α α α α

{ ( ) ( ) ( )2 21lim Re Im , lim Re

z zz z z z

→∞ →∞ α −β − β = +∞ α = ±∞ }.

6. ( ) ( ) ×π

+α+α

γα+γα=γ+β+αβ+α−∫

∞

822

cossinsinexp

21

41

2

01

21

22 idzzzzzz

( )( )

−

+

α+α

β−β

γ−

α+α

β−β

α+αα+α

β−β× 1

12

1

12

21

12

12

1

2erf

44exp A

i

ii

i

i

ii

i

( )( )

+

α−α

β+β

γ+

α−α

β+β

α−αα−α

β+β− 2

12

1

12

21

12

12

1

2erf

44exp A

i

ii

i

i

ii

i

{ ( ) ( )2 2 21 1lim Re Im

zz z z z

→∞ α −β − α +β = +∞

; 1±=kA if

( )21lim Re 3 2

zk i z

→∞ α + − α = ±∞

}.

7. ( ) ( ) ( )×

α

ββπ=γ+β+α±β+α−∫

∞

31

01

2222

32

2sinexp

idzzzizzz

( ) ( ) ( )( )

21 12 2 2

1

exp expexp erf

2 28 8 2

i i i i iii A

i

β ± β ± γ γ β ± β × ± γ + ± α α α β β

{ ( )2 21lim Re 2

zz z i z

→∞α −β β = +∞

, ( )[ ] −∞=+ββ∞→

zzizz

lnRelim 1

;

1=A if ( ) +∞=α∞→

zz

Relim , 1−=A if ( )lim Rez

z→∞

α = −∞ }.

84

2.10.3.

1. ( ) ( ) ×

+

−−π=γ+++−

+

+∞

∫ 21

411

21

222

10

12

122

44

2exp

2!sinexp

aa

bbababandzzbzabzzazn

n

( ) ( )102 2 21 111 1 1 1 1

4 2 2 21 1 1

, , , ,2sin Re erf 1

4 4 2

W n a a b ba b a b a bb b ib

a a a ia a ia

− + + × + γ + + + − −

×

γ+

+

+−

+

−−π+

+ 21

41

2211

21

21

411

21

222

1 44

2cos

44

2exp

2

!

aa

bbababa

aa

bbababann

( ) ( )+

−

+

−

+×

12

1110

1

12

1 ,,,,1

2erfIm

iaa

bbaanW

iaa

ibb

( ) ( )[ γ+ sin,,,,Re2

!11

102 bbaanWn

n( ) ( )10

1 12Im , , , , cosW n a a b b + γ

{ 0>a or [ ]0,0,0 1 <≠= baa for }0>n .

2. ( ) ( ) ×

+

−−π=γ+++−∫

+∞

∞−21

411

21

222

12

122

44

2exp

2

!sinexpaa

bbababandzzbzabzzazn

n

( ) ( )102 2 21 1 1 1 11 1

4 2 21 1

2 , , , ,sin Re

4 4

a b a b a bb W n a a b b

a a a ia

− + × + γ + + −

( ) ( )102 2 21 111 1 1 1

4 2 21 1

, , , ,2cos Im

4 4

W n a a b ba b a b a bb

a a a ia

− + + + γ + −

{ 0>a for }0>n .

3. ( ) ( ) ( )212 2 21 1 2 2

0 1

!exp sin exp

2 4 4n

n

in iz z z z z dz i

i

∞

+

β − βπ −α +β α +β + γ = − γ × α + α

∫

( ) ( ) ( )×

γ+

α−α

β+β−

α+α

β−βα−α

+

α+α

β−β× i

i

i

i

nWA

i

i

12

21

12

1110

11

12

1

44exp

,,,,

2erf

( ) ( )×+

α−α

ββαα

+

α−α

β+β×

+11

2

1110

12

12

1

2

!,,,,

2erf

nin

i

nWA

i

i

85

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1110

21110

2 ,,,,exp,,,,exp ββααγ−β−βα−αγ−× nWinWi

{ ( ) ( ) ( )2 2 21 1lim Re Im 1 ln

zz z z z n z

→∞ α −β − α +β − − = +∞

;

1±=kA if ( )21lim Re 3 2

zk i z

→∞ α + − α = ±∞

}.

4. ( ) ( ) ( ) ( )( )

110

12222

2

exp!1sinexp

+

∞

ββ

γ−=γ+β+α±β+α−∫ n

nn

i

iindzzzizzz

( )

×

+

α

β±β

γ±

α

β±βαπ

+A

ii

iinn 22

erf8

exp42

2

! 12

21

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 102 21 11 2, , , , exp , , , ,W n i i W n i

× α α β ±β + ± γ α α β ±β

{ ( )1lim Re lnz

z i z n z→∞

β β + = −∞ ,

( ) ( )2 21lim Re 2 1 ln

zz z i z n zα β β

→∞ − − − = +∞

; 1=A if ( ) +∞=α∞→

zz

Relim ,

1−=A if ( )lim Rez

z→∞

α = −∞ }.

Introduced notations:

1) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) 2/2

10 11 11

201

, , , ,! 2 !

n lE n

n ll

iW n

l n l i

−

−=

β + βα α β β =

− α − α∑ ,

( ) ( )( ) 1

101 11

21 1

12 , , , ,!

nW n i

n iα α β β =

α − α

, ( ) ( ) 0,,,,12 1110

1 =ββαα+ inW ;

2) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2 2/210 1

1 1221 1

1

1 ! 4, , , ,

2 1 ! 1 2 ! 1 !

n l rl rn E n l

n l rl r

l iW n

l n l r i

− − +−−

− += =

− β + βα α β β = −

− + − − α − α∑ ∑

( )

( ) ( )

( ) ( )1 2 2/2

1

21 11

!1! 2 ! 2 !

n l rE n l

n l rl r

r il n l r i

− − +

− += =

β + β−

−α − α

∑ ∑ , ( ) ( ) 0,,,,2 1110

2 =ββαα inW ,

86

( ) ( )( ) ( ) 1

12

1

111

102 1

1

!12

!4,,,,12

+α−α+

=ββαα+n

n

in

ninW .

2.11. Integrals of ( ) ( ) ( )γ+βββ+α zzzz n21 sinexperf

2.11.1.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =γ−=γ+− ∫∫∞−

+∞ 0

210

21 sinexperfsinexperf dzzbzbazdzzbzbaz

×

γ−

−

+=

221

2

22

21

22

21 2

sin4

exp1

a

bb

a

bb

bb

1 2 1 2 1 21 2 1Re erf Im erf cos

2 2 2b ib b ib b b

b b ba a a

− − × − − − − γ ×

1 2 1 22 1 2Re erf Imerf

2 2b ib b ib

b b ba a

− − × + −

{ }0,0 1 >> ba .

2. ( ) ( ) ( )( )

( )×

γ+

α

β+ββ−β

=γ+ββα∫∞

ii

idzzzz

2

221

12021

4exp

21sinexperf

( )( )

±

αβ−β

γ−

α

β−ββ+β

+

±

αβ+β

× 12

erf4

exp2

112

erf 212

221

12

21 ii

ii

i

{ ( ) ( )2 2 2 22 1 1 2, lim Re Im 2ln ,

zz z z z

→∞ β ≠ −β α −β − β + = +∞

( ) ( ) ( )1 2lim Re Im , lim Rez z

z z z→∞ →∞

β + β = −∞ α = ±∞ }.

2.11.2.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =γ−−=γ+−+ ∫∫∞−

+∞ 0

210

21 sinexperfsinexperf dzzbzbbazdzzbzbbaz

( ) ( )

×

+−γ

+−

++γ+γ

+=

2221

21

22

21

22

21

2122

21 2

2sin

4

4exp1cossin

erf

a

abbbb

a

abbbb

bbbb

bb

b

1 2 1 2 1 2 21 2 1 2

2Imerf Re erf cos

2 2 2

b ib b ib b b abbb b b b b

a a a

− − + × + + − + − γ − ×

−

−

++

−

+× 221

121

2 2erfIm

2erfRe b

aibb

bbaibb

bb { }0,0 1 >> ba .

87

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +γβ−γββ+β

β=γ+βββ+α∫

∞sincos

erfsinexperf 122

2210

21 dzzzz

( )( )

−

αβ−β

−β

γ−

α

β−αβ−ββ−ββ−β

+ 12

erf4

4exp1

221

22121

21

ii

iii

i

( )( )

αβ+β

−β

γ+

α

β+αβ−ββ+ββ+β

− 12

erf4

4exp1 21

22121

21

ii

iii

{ ( ) ( )2 21 2lim Re 2 Im 2ln ,

zz z z z z

→∞ α + αβ −β − β + = +∞

( ) ( ) ,]Im[Relim 21 −∞=β+β∞→

zzz

( )2 22 1 , lim Re

zz

→∞β ≠ −β α = ±∞ }.

2.11.3.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =γ−−=γ+− ∫∫∞−

+∞ 0

210

21 sinexperf1sinexperf dzzbzbazzdzzbzbazz nnn

( ) ( ) −

−

−

−

γ−

−= 21

111

21221

2

22

21 ,,0,1

2erfRe

2sin

4exp bbaW

aibb

a

bb

a

bb

( ) ( )2 2

111 2 1 2 1 21 1 22 2exp cos Im erf 1 , 0, ,

4 2 2b b b b b ib W a b b

a a aγ

− − − − − − +

( ) ( ) ( ) ( )11 111 2 1 22 2sin Re , 0, , cos Im , 0, ,W a b b W a b b+ γ ⋅ − + γ ⋅ − { }10, 0a b> > .

2. ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2

1 2 2 20

1erf exp sin exp exp2 4 2

nz z z z dz ii

∞ β −β β β α β β + γ = + γ × α α ∫

( ) ( )111 2 1 21 21 2

erf 1 , 0, , exp2 2

iW i

β + β β β × ± α β β − − + γ × α α

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 111 21 2 1 21 2erf 1 , 0, , exp , 0, ,

2 2i iW i W

β − β × ± α β −β + − γ α β −β − α

( ) ( ) ( )111 22exp , 0, ,i W − γ α β β

{ ( ) ( ) ( )2 21 2lim Re Im 2 ln ,

zz z z n z

→∞ α −β − β − − = +∞

( ) ( )[ ] ,lnImRelim 21 −∞=+β+β∞→

znzzz

( )2 22 1 , lim Re

zz

→∞β ≠ −β α = ±∞ }.

2.11.4.

1. ( ) ( ) ( )1 20

erf exp sinnz az b b z b z dz+∞

+ − + γ =∫

88

( ) ( ) ( ) ( )0

1 21 erf exp sinn nz az b b z b z dz−∞

= − − − γ =∫

2 21 2 1 1 2 2

2 2

4 2exp sin

4 2

b b abb b b abb

a a

− + + = γ − ×

( ) ( )2 2

111 2 1 2 11 21 2

4Re 1 erf , , , exp

2 4

b ib b b abbb W a b b b

a a

− − + × − + − + ×

( ) ( ) +

−

−

+−

+−γ× 21

111

212

221 ,,,2

erf1Im2

2cos bbbaW

aibb

ba

abbbb

( ) ( ) ( ) ( )11 111 2 1 22 2sin Re , , , cos Im , , ,W a b b b W a b b b+ γ ⋅ − + γ ⋅ − { }0,0 1 >> ba .

2. ( ) ( ) ( ) ×

α

αββ−β−β=γ+βββ+α∫

∞

21

22

21

021

4

4exp

2sinexperf idzzzzz n

( ) ( )111 2 2 1 21 212

2exp erf 1 , , ,

22

ii W

β β − αββ β + β × + γ β − α β β β − α α

( ) ( ) +

β−ββα

αβ−β

−β

γ−

α

ββ−αββ− 21

111

212

212 ,,,12

erf2

2exp W

ii

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]21)11(

22111

2 ,,,exp,,,exp21

β−ββαγ−−βββαγ+ WiWii

{ ( ) ( ) ( )2 21 2lim Re 2 Im 2 ln ,

zz z z z n z

→∞ α + αβ −β − β − − = +∞

( ) ( )[ ] ,lnImRelim 21 −∞=+β+β∞→

znzzz

( )2 22 1 , lim Re

zz

→∞β ≠ −β α = ±∞ }.

Introduced notations:

1) ( ) ( ) ( )( )

( )∑∑=

−

−−+

= α−

β+αβ−β

β+β

−=βββα2/

022

221

1

21021

111 !2!

21

2

!,,,kE

llk

lkknn

kk lkl

ii

nW ,

( ) ( )( ) ( )

( )∑=

−++ β−α=αβ−βββα

2/

021111

111 !

1

2

!2,,,nE

kknn k

niiW ;

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ×β−π

+

β+β

−β=βββα ∑=

−

+ n

kk

n ni

nW1

12

1

2121

112 2

!exp11erf!,,,

89

( )( ) ( )

( ) ( )( )

−

α−

β+αβ−β−+−

−

β+β

−× ∑∑=

+−−

+−−−−

=

−+ l

rrlk

rlkrlkEk

l

kn

r

ilkl

li 1

2212

22121

2/

1

1

21 !1

24!21!12

!11

( )

( ) ( )( )

α

β+αβ−β−

− ∑∑=

+−−

+−−

=

l

rrlk

rlkkE

l r

irlkl 1

2212

22121

2/

1 !2

2!!2!

1 ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

11 21 12 1

1 !1, , , 2 ! erf exp2

nn

n

nW i i n

+

+

− α β β β − αβ = β − + −β × αβ πα

( )( ) ( )

( )∑

−

=−+β−

−×

2/

1222!12

!1nEn

kknk

k.

2.12. Integrals of ( ) ( ) ( )γ+αα−β+α+ 22

21

12 sinexperf zzzz n

2.12.1.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ++

γ+γ=γ+−+∫

+∞b

aa

aadzzazabazz erf

22

cossinsinexperf

22

21

21

0

22

21

×

++++γ

+++

++−

++

122

221

4

22

2

122

221

4

22

211

22

22

21 2

sin2

exp22 aaaaa

baa

aaaaa

aaaab

aa

a

1 22 22 21 21 2 1 2

Re 1 erf2 2

a ia ab aa aa a ia a a ia

+ × − + × + + − + −

2 2 2 2 21 1 2 22

4 2 2 2 4 2 2 21 2 1 1 2 1

exp cos2 2

a a a a a a bb

a a a a a a a a a a

+ +× − γ + × + + + + + +

−+−

−+

+×

212

212

21 erf1Imiaaa

ab

iaaa

iaa { 1 0a > }.

2. ( ) ( ) ( )2 21 2

0erf i exp sinz az b a z a z dz

+∞

+ − + γ =∫

( ) ( ) ( )0

2 21 2erf i exp sinz az b a z a z dz

−∞

= − − + γ =∫

( ) ×+

++

γ+γ=

22

21

22

21

21

22ierf

22

cossin

aaab

aa

aa

90

×

−+++γ

−++

−+×

122

221

4

22

2

122

221

41

222

212

2sin

2exp

aaaaa

baa

aaaaa

aaaab

×+

+

−−+

−−

+×

22

212

212

21

21

22erf1Re

aaa

iaaa

ab

iaaa

iaa

2 2 2 2 21 2 1 22

4 2 2 2 4 2 2 21 2 1 1 2 1

exp cos2 2

a a a a a a bb

a a a a a a a a a a

+ −× γ + × + + − + + −

−−+

−−

+×

22

122

1

21 erf1Imiaaa

ab

iaaa

iaa

{ 21a a> or 2

1 20, 0, 0a a a ab = > ≠ ≤ }.

3. ( ) ( ) ( )2 2 21

0erf i exp sinz az b a z a z dz

+∞

+ − + γ =∫

( ) ( ) ( )0

2 2 21erf i exp sinz az b a z a z dz

−∞

= − − + γ =∫

( )( ) ( )

21 2

4 2 4 21 1 1

sin coserf i exp

2 2 8

a a ab ba a a a a

γ + γ= + ×

+ +

( ) ( )×+−

+−

+γ× 1

2

11

2

1

22

21erfResin aaab

aiaa

aba

( )2 2

2 21 1

11 1

1 1Im erf cos Re erf2 2

i a b iab a a a a abaa a

+ + × + − + γ + + +

( )2 21 1

1

1Im erf2

ia a ab a aa

+ + − + + { }10, 0, 0a a b> > ≤ .

4. ( ) ( ) ( )2 21 2 2 2

1 2

erf exp sin az az b a z a z dza a

+∞

−∞

+ − + γ = ×+

∫

×

++++γ

+++

++−×

122

221

4

22

2

122

221

4

22

211

22

2sin

2exp

aaaaa

baa

aaaaa

aaaab

91

−+

+

++++γ+

−+

+×

212

21

122

221

4

22

2

212

21 Im2

cosReiaaa

iaa

aaaaa

baa

iaaa

iaa

{ }01 >a .

5. ( ) ( ) ( )2 21 2 2 2

1 2

erf i exp sin az az b a z a z dza a

+∞

−∞

+ − + γ = ×+

∫

×

−+++γ

−++

−+×

122

221

4

22

2

122

221

41

222

212

2sin

2exp

aaaaa

baa

aaaaa

aaaab

−−

+

−+++γ+

−−

+×

22

1

21

122

221

4

22

2

22

1

21 Im2

cosReiaaa

iaa

aaaaa

baa

iaaa

iaa

{ 21a a> or 2

1 20, 0, 0a a a b = > ≠ = }.

6. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 4 21 1

erf i exp sin2

az az a z a z dza a a

+∞

−∞

− + γ = ×+

∫

( ) ( )2 21 1sin cosa a a a × − γ + + γ

{ }01 >a .

7. ( ) ( ) ( ) 1 22 21 2 2 2

0 1 2

sin coserf exp sin

2 2z z z z dz

∞ α γ + α γα +β −α α + γ = ×

α + α∫

( )( )

×

γ−

α+α+α

α+αβ−

α+α+αα−α

α+β× i

i

i

ii 212

212

212

12

exp14

erf

( )×

α−α+αα+α+

α+α+α

αβ−×

212

12212

11erf

iiiA

α−α+α

αβ−

γ+

α−α+α

α−αβ−×

212

221

2212 erfexp

iAi

i

i

{ ( ) ( )2 2 2 21 2lim Re 2 Im ln

zz z z z z

→∞ α + α + αβ − α + =

( ) ( )2 21 2lim Re Im

zz z

→∞ = α − α = +∞

;

1±=kA if ( )21 2lim Re 3 2

zk i z

→∞ α + α + − α = ±∞

}.

92

8. ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 21 1 2

0 1 1

1erf exp sin

8 2

iz z i z z dz

i

∞ α α +β α ± α α + γ = × α α ± α∫

( ) ( )

2111

12

2

48experf

21erf

22

expαα

γ±β+

−

α

αβ⋅

±

γ+

αα±α

β±×i

iAiii

( ) ( )( )2

2

expexperf

4

i i −βγ β + πβα

( ) ( ) =

+α±αβ

∞→zzz

zln

21ImRelim{ 2

1

( )lim Rez

z→∞

= αβ = +∞ , ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21lim Re 2Im lim Re

z zz z z

→∞ →∞ α α = α = −∞ ;

1=A if ( ) 1lim Re 1z

i z→∞

α = +∞

, 1−=A if ( ) 1lim Re 1z

i z→∞

α = −∞

}.

2.12.2.

1. ( ) ( ) ( )2 1 2 21 2

0

!erf exp sin2

n n az az b a z a z dz+∞

+ + − + γ = ×∫

×

++++γ

+++

++−×

122

221

4

22

2

122

221

4

22

211

22

2sin

2exp

aaaaa

baa

aaaaa

aaaab

( ) ( )121 21

2 21 2 1 2

, , , !Re 1 erf2

W a a a bab n a

a a ia a a ia

× − + × + − + − ( ) ( )122 2 2

1 1 21 2 124 2 2 2 2 211 2 1 2 1 2

, , ,exp Im 1 erf

2

a a a a W a a a babb

a a a a a a a i a a a ia

+ + × − − × + + + + − + −

( )( )

2 22

4 2 2 2 11 2 1 1 2

!erf 1cos Re sin22 n

n ba a b

a a a a a a ia +

× γ + + γ + + + + −

( ) 11 2

1Im cosna ia +

+ γ + −

( ) ( ) ( ) ( )12 121 2 1 22 2

! Re , , , sin Im , , , cos2n a W a a a b W a a a b + ⋅ γ + ⋅ γ π

{ }01 >a .

2. ( ) ( ) ( )2 1 2 21 2

0erfi exp sinnz az b a z a z dz

+∞+ + − + γ =∫

93

( ) ( ) ( )2 2 201 2 12 1 2 2 2

1 2 4 2 2 21 2 1

!erfi exp sin exp2 2

n a a a an az az b a z a z dz ba a a a a

+

−∞

+ −= − − + γ = × + + − ∫

( ) ( )122 2 1 22 14 2 2 2 2 211 2 1 2 1 2

, , ,sin Re erf 1

2

W ia a a iba a b ab

a a a a a a a i a a a ia

× γ+ + + + + − − − − − 2 2 2 2 21 2 1 22

4 2 2 2 4 2 2 21 2 1 1 2 1

! exp cos2 2 2

a a a a a a bn a ba a a a a a a a a a

+ −+ γ + × + + − + + −

21 2

Im 1 erf ab

a a ia

× + − −

( ) ( )121 21

21 2

, , ,W ia a a ib

a a ia

+− −

( )( ) ( )

×π

+

γ

−+

γ

−+

++ 2!cos1Imsin1Re

2ierf!

121

121

aniaaiaa

bnnn

( ) ( ) ( ) ( )12 121 2 1 22 2Re , , , sin Im , , , cosW ia a a ib W ia a a ib × ⋅ γ + ⋅ γ

{ 21a a> or 2

1 20, 0, 0a a a ab = > ≠ < for }0>n .

3. ( ) ( ) ( )2 1 2 2 21

0erfi exp sinnz az b a z a z dz

+∞+ + − + γ =∫

( ) ( ) ( ) ( )0 2 2

2 1 2 2 2 21

11

!erfi exp sin exp sin2

n n a a bz az b a z a z dz baa

+

−∞

= − − + γ = γ + ×

∫

( ) ( ) ( )×+

−

++× 2

1

1212

1

1exp

2!

1,,,

21erf1Re b

aan

iibaaiaW

abai

( ) ( )12 22 2 11

1 1

, , ,1cos Im 1 erf12

W ia a a iba b i aba ia

+ × γ + + + −

( )

( ) ( )1 12 21 1

!erfi 1 1Re sin Im cos2 n n

n b

a ia a ia+ +

+ γ + γ + − −

( ) ( )12 212

! Re , , , sin2n a W ia a a ib+ ⋅ γ +π

( )(12 ) 212Im , , , cosW ia a a ib + ⋅ γ

{ 0,0,0 1 <>> baa – for }0>n .

94

4. ( ) ( ) ( ) =γ+−+∫+∞

∞−

+ dzzazabazz n 22

21

12 sinexperf

2 2 2 2 21 1 2 22

4 2 2 2 4 2 2 21 11 2 1 2

! exp sin2 2

a a a a a a bn a b

a a a a a a a a a a

+ + = − γ + × + + + + + +

( ) ( )×

++++γ+

−+×

122

221

4

22

2

212

2112

1

2cos

,,,Re

aaaaa

baa

iaaa

baaaW

( ) ( )

−+×

212

2112

1 ,,,Im

iaaa

baaaW { }01 >a .

5. ( ) ( ) ( ) =γ+−+∫+∞

∞−

+ dzzazabazz n 22

21

12 sinexpierf

2 2 2 2 21 2 1 22

4 2 2 2 4 2 2 21 2 1 1 2 1

! exp sin2 2

a a a a a a bn a b

a a a a a a a a a a

+ − = γ + × + + − + + − ( ) ( )

×

−+++γ+

−−×

122

221

4

22

2

22

1

2112

1

2cos

,,,Re

aaaaa

baa

iaaa

ibaaiaW

( ) ( )

−−×

22

1

2112

1 ,,,Im

iaaa

ibaaiaW { 2

1a a> for 0n > }.

6. ( ) ( ) ( )2 1 2 21 2

0

!erf exp sin4

n n iz z z z dz∞

+ αα +β −α α + γ = ×∫

( ) ( )+

α−α+α

βααα

−

α−α+α

αβ

γ+

α−α+α

α−αβ−×

212

2112

11

21221

221

2 ),,,(erfexp

i

WA

ii

i

i

( ) ( )1221 2 1 21

22 2 21 2 1 2 1 2

( , , , )exp erf

i Wi A

i i i

β α + α α α −α βαβ + − − γ − + α + α + α α + α + α α + α + α

( ) ( ) ( ) ( )1

121 22

1 2

! 1exp erf , , ,4

nn i W

i i

+ α + γ β + α α α β − α − α π

( ) ( ) ( ) ( )

βα−αα

π

α+

α+α

βγ−−+

,,,1erfexp 2112

2

1

21W

ii

n

95

{ ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2lim Re 2 Im 2 1 ln

zz z z z n z

→∞α + α + αβ − α − − =

( ) ( )2 21 2lim Re Im 2 ln

zz z n z

→∞ = α − α − = +∞

;

1kA = ± if ( )21 2lim Re 2 3

zk i z

→∞ α + α + − α = ±∞

}.

7. ( ) ( )[ ] ( ) ( )×

α

α=γ+αα±αβ+α∫

∞+

10

21

21

212

81!

sinexperfin

dzzzizz n

( ) ( )±βα±αα−α

α

αβ⋅

±−

γ+

αβα

±β−× ,,,2

1erf2

exp 11212

111

222 iWiAi

( ) ( ) ( ) ( ) ±

α±α−β+βα±αα−α

π

αγ±±

+1

1211

2122 2

1erf,,,exp4

!n

iiWi

in

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

2

1 122 20

experf 2 !! exp4 ! 2

n

n n kkk

kn i ik

+ + −=

−ββ ± γ + πβ −α αβ −α

∑

{ ( ) ( ) ( ) ( )21lim Re 2 2Im 2 1 ln lim Re ln

z zz z n z z n z

→∞ →∞ αβ ± α − − = αβ − = +∞ ,

( ) ( ) ( )2 2 2 2 21lim Re 2Im 2 ln lim Re 2 ln

z zz z n z z n z

→∞ →∞ α α + = α + = −∞

;

1=A if ( )[ ] +∞=α∞→

ziz

11Relim

, 1−=A if ( ) 1lim Re 1z

i z→∞

α = −∞

}.

Introduced notations:

1) ( ) ( ) ( )×

α−α

=βααα−+

=∑

knn

k ikkW

1

21021

121

1!

!2,,,

( )

( ) ( )∑=

−

−

α−α+α−

αβ×

k

llkl

lk

ilkl02

212

22

!22!4,

( ) ( ) ( )

( ) ( )knn

kkk iik

kW−+

=

α−αα−α+α

=ααα ∑1

210 2122

2112

11

!4

!20,,, ;

2) ( ) ( ) ( ) ( ) 112 2

1 221 21

2 ! 1, , , exp!

n kn

k

kW

k i

+ −

=

α α α β = −β × α − α

∑

96

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2 1 2 2

221 1 11 2

! 1 !1! 2 2 ! 2 1 ! 2 1 2 !4 2 !

k l rk l k

k l rl rl r l

r ll k l l k lr i

− − +

− +−= = =

αβ −× − × − − + − α + α − α

∑ ∑ ∑

( )

( ) ( )

2 1 2 2

2211 21 !

k l rl

k l rr r i

− − +

− +=

αβ ×

− α + α − α

∑ , ( ) ( ) 00,,, 2112

2 =αααW .

2.13. Integrals of ( ) ( ) ( )γ+β+αβ+α−β+α zzzzzz n2

221

21 sinexperf ,

( ) ( ) ( )zzzz n βα−α sinexperf 21 , ( ) ( ) ( )zzzz n βα−α cosexperf 2

1

2.13.1.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =γ+−−=γ+− ∫∫∞−

+∞ 02

22

10

22

21 sinexperfsinexperf dzzazaazdzzazaza

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1Re ln cos Im ln sin2

a ia ia a ia ia

a ia a ia ia a ia a ia ia

+ + + + = γ + γ

π + + − + + −

{ 01 >a or [ ]}0,0 21 ≠= aa .

2. ( ) ( ) ( )2 2

1 12 21 2 2

0erf exp sin exp sin

4 4 2

b b bbaz a z bz b z dz

a a a

+∞ − π− + + γ = + γ ×

∫

2 2 21 1 1

2 2Re erf 1 exp cos

42 2 4 2

b bb ib bbaa a a

− + π × + + + γ ×

+

+

×2

1 122

erfIma

ibb { }0>a .

3. ( ) ( ) ( )2 21 2

0

1erfi exp sin2

a z a z a z dz+∞

− + γ = ×π

∫

γ

−+

++

+

−γ

−+

++

+× cosln1Imsinln1Re

21

21

2121

21

21 aiaaaiaa

iaaaiaaaiaa

iaa

{ 21a a> }.

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=− ∫∫+∞

∞−

+∞dzbzzaazdzzbzaza sinexperf

21sinexperf 2

10

21

97

2

2 21 1 1 1

exp erfi4 4 2

b aba a a a a

π = − +

{ 1 0a > }.

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=− ∫∫+∞

∞−

+∞dzbzzaazdzbzzaaz sinexpierf

21sinexpierf 2

10

21

2

2 21 1 1 1

exp erf4 4 2

b aba a a a a

π = − −

21{ }a a> .

6. ( ) ( ) ( ) =γ+++−+∫+∞

∞−dzzbzazbzabaz 2

221

21 sinexperf

×

γ+

+

−+

+

−−π=

22

21

222

212211

22

21

212221

211

44

2sin

44

2exp

aa

bababba

aa

bbababa

×

γ+

+

−+−

+++

−++

+×

22

21

222

212211

212

21

2211

21 44

2cos

2

22erf1Re

aa

bababba

iaaaiaa

iabbiaabbaiaa

+++

−++

+×

212

21

2211

21 2

22erf1Im

iaaaiaa

iabbiaabbaiaa

{ 1 0a > or }1 1 2[ 0, 0]a b a= = ≠ .

7. ( ) ( ) ( ) ×

−π=γ++−∫

∞+

∞− a

bba

dzzbbzzaaz22

expsinexperf21

2

122

+

γ++

+

γ+×a

ibb

a

bba

ibb

a

bb22

erfIm2

cos22

erfRe2

sin 1211

21 { }0a > .

8. ( ) ( ) ( ) =γ+++−+∫+∞

∞−dzzbzazbzabaz 2

221

21 sinexpierf

×

γ+

+

−+

+

−−π=

22

21

222

212211

22

21

212221

211

44

2sin

44

2exp

aa

bababba

aa

bbababa

1 1 2 221 2 1 2 1 2

2 21Re erfi2

a b ab ia b iaba ia a ia a a ia

+ + − × − + + − +

+−+

−++

+

γ+

+

−+−

22

121

2211

2122

21

222

212211

2

22ierf1Im

44

2cos

iaaaiaa

iabbiaabbaiaaaa

bababba

{ 21a a> }.

98

9. ( ) ( ) ( )2 21 2

0 1 2

1 exp( )erf exp sin4

iz z z dziγα α α γ

π α α

∞ − + = ×

−∫

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

exp( )ln lni i i iii i i i i

α α α α α αγα α α α α α α α

− − + +−× +

− + + + −

( ) ( )2 21 2{ lim Re Im ln

zz z z

→∞ α − α + =

( ) ( )2 2 2 21 2lim Re Im 2ln ,

zz z z z

→∞ = α + α − α + = +∞

( )22 2 2 22 1 2 1,α ≠ −α α ≠ − α + α }.

10. ( ) ( ) ( ) ( )×

γ+

α

β+βαπ

=γ+ββ+α−α∫∞

ii

idzzzzz

2

21

01

22

4exp

8sinexperf

( )2 2211 12

erf 1 exp erf 182 2 2 24

ii ii

i

β − β β + β β − β π × ± − − γ ± α α α α

{ ( ) ( )2 21lim Re Im ln

zz z z z

→∞ α −β − β + =

( ) ( )2 21lim Re 2 Im 2ln

zz z z z

→∞ = α −β − β + = +∞ , ( )lim Re

zz

→∞α = ±∞ }.

11. ( ) ( ) ( ) ×

αβ

−α

π±=βα−α∫

∞

1

2

10

21 4

exp2

sinexperf dzzzz

α+αα

αβ×

12

12ierf { ( ) ( )2

1lim Re Im lnz

z z z→∞

α − β + =

( ) ( )2 2 21lim Re Im 2ln

zz z z z

→∞ = α + α − β + = +∞ , ( )2

1lim Rez

z→∞

α + α = ±∞ }.

12. ( ) ( ) ( )( )

( )2

1

2 21 1 2 2erf exp sin

2

T

T

iz z z z z dz∞

∞

πα +β −α +β α +β + γ = ×∫

( ) ( ) ( )

−

α+α+αα+α

α+αβ+β−βα

γ−

α+αβ−β

α+α×

212

21

2121

21

221

21

1

2

2erf

44exp

ii

iii

ii

iA

( ) ( ) ( )

α−α+αα−α

α−αβ+β+βα

γ+

α−αβ+β

α−α−

212

21

2121

21

221

21

2

2

2erf

44exp

ii

iii

ii

iA

99

{( )

( ) ( )1

2 21 1 2 2lim Re Im ln

z Tz z z z z

→∞ α −β − α +β + =

( )( ) ( )

1

2 2 2 21 1 2 2lim Re 2 Im 2ln

z Tz z z z z z z

→∞ = α + α + αβ −β − α +β + =

( )( ) ( )

2

2 21 1 2 2lim Re Im ln

z Tz z z z z

→∞ = α −β − α +β + =

( )( ) ( )

2

2 2 2 21 1 2 2lim Re 2 Im 2ln

z Tz z z z z z z

→∞ = α + α + αβ −β − α +β + = +∞

,

21

22 α−≠α ; 1±=kA if

( )( ) =

α−+α+α

∞→zik

Tz21

2 23Relim2

( )( ) ±∞=

α−+α+α−=

∞→zik

Tz21

2 23Relim1

, 0=kA if

( )

( )( )

( )1 2

2 21 2 1 2lim Re 3 2 lim Re 3 2

z T z Tk i z k i z

→∞ →∞

α + α + − α ⋅ α + α + − α = +∞ }.

13. ( ) ( ) ( ) 0sinexperf 22

21 =γ+αα−α∫

ν

ν−dzzzz .

14. ( ) ( ) ( ) 0cosexperf 21 =βα−α∫

ν

ν−dzzzz .

2.13.2.

1. ( ) ( ) ( )2 2

12 21 2 2

0

1erf exp sin exp4 4

b bz az a z bz b z dz

a a

+∞ −− + + γ = ×

∫

θ

γ++θ

γ+× Im2

cosRe2

sin21

21

a

bb

a

bb { ( )1

2b ib

aπ +

θ = ×

211 erf

2 2b ib

a

+ × + +

( )21 12

2 exp 1 erf , 02 28

b ib b iba

aa

+ + − + > }.

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1

0

1erf exp cos erf exp cos2

z az a z bz dz z az a z bz dz+∞ +∞

−∞

− = − =∫ ∫

100

+

−

π−

+−

+=

211

21

2

112

2

121 2

ierf4

exp44

exp24

1

aaa

aba

ba

baa

b

aa

aa

{ }01 >a .

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1

0

1erf i exp cos erf i exp cos2

z az a z bz dz z az a z bz dz+∞ +∞

−∞

− = − =∫ ∫

2 2

22 2 21 1111 11

1 2 exp exp erf4 44 4 2

b aba b ba aaa aa a a a a

π = − − − − −

{ 21a a> }.

4. ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2erf exp sinz az b a z b z a z b z dz

+∞

−∞

+ − + + + γ =∫

( ) ( )

−θ

γ+

+

+−

+

−−= Re

44

2sin

44

2exp

21

22

21

21122

212

22

21

21222

211

aa

bbabba

aa

bbabba

( )2 22 1 2 1 1 2

2 21 2

2cos Im

4 4

a b b a b b

a a

− + − + γ θ +

{ ( )( )

1 2

1 2 1 2

b ib

a ia a ia

π −θ = ×

+ +

( )1 1 2 2

2 21 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2erf2

a b ab ia b iab a

a ia a a ia a ia a a ia

+ + − × + × + + + + + +

( )( )( )

21 1 2 2

121 2 1 2

2 2exp , 0

4

a b ab ia b iaba

a ia a a ia

+ + − × − > + + +

}.

5. ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2erfi exp sinz az b a z b z a z b z dz

+∞

−∞

+ − + + + γ =∫

( ) ( )

+θ

γ+

+

+−

+

−−= Im

44

2sin

44

2exp

21

22

21

21122

212

22

21

21222

211

aa

bbabba

aa

bbabba

( )2 22 1 2 1 1 2

2 21 2

2cos Re

4 4a b b a b b

a aγ θ

− + + + + { ( )

( )1 2

1 2 1 2

b ib

a ia a ia

π −θ = ×

+ +

101

( )×

+−++

+−+

++−×

22

12122

121

1122 2

2

22erf

iaaaiaa

ia

iaaaiaa

iabbiabaab

( )( )( )

21 1 2 2 2

121 2 1 2

2 2exp ,

4

a b ab ia b iaba a

a ia a a ia

+ + − × > + − +

}.

6. ( ) ( ) ( ) ( )212 21 2 2

0

1erf exp sin exp8 4

iz z z z z dz i

i

∞ β + β α −α +β β + γ = + γ × α α

∫

( ) ( )2 211 1

1 2erf 1 2 exp erf 1

2 2 2 2 28

ii ii

β + β β + β β + β π × β + β ± + − ± − α α αα

( ) ( )22

1 112 2

1 exp erf 12 2 28 4

i ii i

i

β − β β − β π − − γ β − β ± + α αα α

( )

±

α

β−β

α

β−β−+ 1

22erf

8exp2 1

2

21 ii

{ ( ) ( )2 21lim Re Im

zz z z

→∞ α −β − β =

( ) ( )2 21lim Re 2 Im ln

zz z z z

→∞ = α −β − β + = +∞ , ( )lim Re

zz

→∞α = ±∞ }.

7. ( ) ( ) ( )2

21 2210 11

1 2erf exp cos exp4 4 4

z z z z dz∞ βαα −α β = ± − − α α + αα + α ∫

α+αα

αβ

αβ

−α

βπ−

12

11

2

1 2ierf

4exp { ( ) ( )2

1lim Re Imz

z z→∞

α − β =

( ) ( ) ( )2 2 2 21 1lim Re Im ln , lim Re

z zz z z z z

→∞ →∞ = α + α − β + = +∞ α + α = ±∞

}.

8. ( ) ( ) ( )( )

( )2

1

2 21 1 2 2erf exp sin

T

Tz z z z z z dz

∞

∞

α +β −α +β α +β + γ =∫

( ) ( ) ( )2

131 21 1 2 1 2 21

1 2exp 1, , , , , ,

4 4 4 4ii iA i W A

i

β − β = − γ α α α β β β − ×α + α

( ) ( ) ( )212113

121

221 ,,,,,,1

44exp β−ββα−αα

γ+

α−αβ+β

× Wii

i

102

{( )

( ) ( )1

2 21 1 2 2lim Re Im

z Tz z z z

→∞ α −β − α +β =

( )( ) ( )

1

2 2 2 21 1 2 2lim Re 2 Im ln

z Tz z z z z z z

→∞ = α + α + αβ −β − α +β + =

( ) ( ) ( )2

2 21 1 2 2lim [Re Im

z Tz z z z

→∞

= α −β − α +β =

( )( ) ( )

2

2 2 2 21 1 2 2lim Re 2 Im ln

z Tz z z z z z z

→∞ = α + α + αβ −β − α +β + = +∞

,

21

22 α−≠α ; 1±=kA if

( )( )

2

21 2lim Re 3 2

z Tk i z

→∞

α + α + − α =

( )( )

1

21 2lim Re 3 2

z Tk i z

→∞

= − α + α + − α = ±∞ , 0=kA if

( )( )

( )( )

1 2

2 21 2 1 2lim Re 3 2 lim Re 3 2

z T z Tk i z k i z

→∞ →∞

α + α + − α ⋅ α + α + − α = +∞ }.

9. ( ) ( ) ( )21erf exp sin 0z z z z dz

ν

−ν

α −α β =∫ .

2.13.3.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ −⋅γπ

=γ+−∫+∞

2113

20

22

21

2 ,,Resin!

!2sinexperf aaaWn

ndzzazaazz n

( ) ( )]2113

2 ,,Imcos aaaW⋅γ− { 01 >a for }0>n .

2. ( ) ( ) ( )2 2

12 21 2

0erf exp sin exp

4n b b

z az a z b z b z dza

+∞ −− + + γ = ×

∫

( ) ( ) ( ) ( )13 131 11 13 32 2

sin Re , , ,1 cos Im , , ,12 2

bb bbW a b b W a b b

a a

× + γ + + γ

{ }0>a .

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1

0

1erf exp sin erf exp sin2

n nz az a z b z dz z az a z b z dz+∞ +∞

−∞

− = − =∫ ∫

( ) ( ) ( )baanWa

bnn

,,,2Im4

exp2

!21

134

1

2

12

−−=

+ { }01 >a .

103

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 21 1

0

1erf exp cos erf exp cos2

n nz az a z bz dz z az a z bz dz+∞ +∞

+ +

−∞

− = − =∫ ∫

( ) ( ) ( )2

13141

1

2 1 !exp Re 2 1, , ,

44n

n b W n a a ba+

+= − +

{ }01 >a .

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ +⋅γπ

=γ+−∫+∞

2113

20

22

21

2 ,,Imsin!

!2sinexpierf aaiaWn

ndzzazaazz n

( ) ( )131 22cos Re , ,W ia a a + γ ⋅

{ 21a a> }.

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=− ∫∫+∞

∞−

+∞dzbzzaazzdzbzzaazz nn sinexpierf

21sinexpierf 2

12

0

21

2

( ) ( ) ( )baianWa

bnn

,,,2Re4

exp2

!21

134

1

2

12

−=

+ { 2

1a a> }.

7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=− ∫∫+∞

∞−

++∞

+ dzbzzaazzdzbzzaazz nn cosexpierf21cosexpierf 2

112

0

21

12

( ) ( ) ( )baianWa

bnn

,,,12Im4

exp4

!121

134

1

2

1+

−

+=

+ { 2

1a a> }.

8. ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2erf exp sinnz az b a z b z a z b z dz

+∞

−∞

+ − + + + γ =∫

( ) ( ) ( )2

131 21 2 1 21

1 2

! sin Re exp , , , , , ,4 42n

b ibn W n a a a b b ba ia

− = γ ⋅ − +

( ) ( ) ( )2

131 21 2 1 21

1 2

! cos Im exp , , , , , ,4 42n

b ibn W n a a a b b ba ia

− − γ ⋅ +

{ 1 0a > for 0n > }.

9. ( ) ( ) ( ) =γ+++−+∫+∞

∞−dzzbzazbzabazz n

22

212

1 sinexpierf

( ) ( ) ( )2

131 21 2 1 21

1 2

! cos Re exp , , , , , ,4 42n

b ibn W n i a a a ib b ba ia

− = γ ⋅ + +

( ) ( ) ( )2

131 21 2 1 21

1 2

! sin Im exp , , , , , ,4 42n

b ibn W n i a a a ib b ba ia

− + γ ⋅ +

{ 21a a> }.

104

10. ( ) ( ) ( ) ( )×

π=γ+αα−α∫

∞

!2!2sinexperf

0

22

21

2

nindzzzzz n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2113

22113

2 ,,exp,,exp α−ααγ−αααγ−× WiWi

{ ( ) ( ) ( )2 21 2lim Re Im 2 1 ln

zz z n z

→∞ α − α − − =

( ) ( ) ( )2 2 2 21 2lim Re Im 2 2 ln

zz z z n z

→∞ = α + α − α − − = +∞

,

2 2 2 2 22 1 2 1, ( )α ≠ −α α ≠ − α + α }.

11. ( ) ( ) ( ) =γ+ββ+α−α∫∞

01

22 sinexperf dzzzzzz n

( ) ( ) ( ) ( )×

γ−

α

β−β−±ββα

γ+

α

β+β= i

ii

Wii

i 2

21

113

32

21

4exp

211,,,

4exp

21

( ) ( )1,,, 113

3 ±β−βα×W { ( ) ( ) ( )2 21lim Re Im 1 ln

zz z z n z

→∞ α −β − β − − =

( ) ( ) ( )2 21lim Re 2 Im 2 ln

zz z z n z

→∞ = α −β − β − − = +∞ , ( )lim Re }

zz

→∞α = ±∞ .

12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )βαα

αβ

−±=βα−α+

∞

∫ ,,,24

exp2

!2sinexperf 113

41

2

120

21

2 nWindzzzzzn

n

( ) ( ) ( )[ ] =−−β−α

∞→znzz

zln12ImRelim 2

1

( ) ( ) ( )2 2 21lim Re Im 2 2 ln

zz z z n z

→∞ = α + α − β − − = +∞ , ( ) }2

1lim Rez

z→∞

α + α = ±∞ .

13. ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 2

1 110

2 1 !erf exp cos exp

44n

n

nz z z z dz

∞+

+

+ βα −α β = ± − × α

∫

( ) ( )βαα+× ,,,12 113

4 nW { ( ) ( )21lim Re Im 2 ln

zz z n z

→∞ α − β − =

( ) ( ) ( )2 2 21lim Re Im 2 1 ln

zz z z n z

→∞ = α + α − β − − = +∞ , ( )2

1lim Rez

z→∞

α + α = ±∞ }.

14. ( ) ( ) ( )( )

( )=γ+β+αβ+α−β+α∫

∞

∞

2

1

22

212

1 sinexperfT

T

n dzzzzzzz

105

( ) ( ) ( )2

131 21 1 1 2 1 21

1 2

! exp , , , , , ,2 4 4n

in i A i W ni

β βγ α α α β β β

α α+

−= − − + ( ) ( ) ( )

β−ββα−αα

γ+

α−αβ+β

− 212113

121

221

2 ,,,,,,44

exp nWii

iA

( )( ) ( ) ( )

1

2 21 1 2 2{ lim Re Im 1 ln

z Tz z z z n z

→∞ α −β − α +β − − =

( )( ) ( ) ( )

2

2 21 1 2 2lim Re Im 1 ln

z Tz z z z n z

→∞ = α −β − α +β − − =

( )( ) ( ) ( )

1

2 2 2 21 1 2 2lim Re 2 Im 2 ln

z Tz z z z z z n z

→∞ = α + α + αβ −β − α +β − − =

( )( ) ( ) ( )

2

2 2 2 21 1 2 2lim Re 2 Im 2 ln

z Tz z z z z z n z

→∞ = α + α + αβ −β − α +β − − = +∞

,

21

22 α−≠α ; 1±=kA if

( )( )

2

21 2lim Re 3 2

z Tk i z

→∞

α + α + − α =

( )( )

1

21 2lim Re 3 2

z Tk i z

→∞

= − α + α + − α = ±∞ , 0=kA if

( )( )

( )( )

1 2

2 21 2 1 2lim Re 3 2 lim Re 3 2 }

z T z Tk i z k i z

→∞ →∞

α + α + − α ⋅ α + α + − α = +∞ .

15. ( ) ( ) ( ) 0sinexperf 22

21

2 =γ+αα−α∫ν

ν−dzzzzz n .

16. ( ) ( ) ( ) 0cosexperf 21

2 =βα−α∫ν

ν−dzzzzz n .

17. ( ) ( ) ( ) 0sinexperf 21

12 =βα−α∫ν

ν−

+ dzzzzz n .

Introduced notations:

1) ( ) ( )131 2 1 21

1 2, , , , , ,W n

iπ

α α α β β β = ×α + α

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) 221 2 1 2 1 2

2 0 1 21 2 1 2

2erf

! 2 !2

n lE n

n ll

i i i

l n l ii i

−

−=

β α + α + α β − β β − β × + − α + αα + α α + α + α

∑

106

( ) ( )( )( )

21 2 1 2

22 1 2 1 21 2

21 exp4

i ii ii

β α + α + α β − β + − × α + α α + α + αα + α + α

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

1 2 2 1 221 2

1 1

1 ! 2 2 2 !2 1 ! 1 2 ! 1 !

n l l rn E n l

l r

l i rl n l r

+ − + −−

= =

− β − β −× ×− + − −

∑ ∑

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 22 1 21 1 2 1 22 22 20

1 2 1 2

2

! 2 2 2 !

r qr qr

r qn l r qq

i i

q r q i i

− −− −−

− −− + −=

α β α + α + α β − β × −− − α + α α + α + α

∑

( )( )

( )( )

221 2

1 11 !

! 2 !

n lE n l

l r

ir

l n l

−

= =

β − β− − ×

−∑ ∑

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 221 1 2 1 2

2 12 201 2 1 2

2

! 2 1 2 !

r q r qr

r qn l r qq

i i

q r q i i

− − −−

− −− + −=

α β α + α + α β − β × − − α + α α + α + α

∑ ,

( ) ( ) ( ) ( )13 131 1 2 1 1 2 2 21 12 , , , ,0,0,0 2 , , , ,0, , 0W n W n iα α α = α α α β β = ,

( ) ( ) ( ) ( )13 131 1 2 1 1 2 2 21 12 1, , , ,0,0,0 2 1, , , ,0, ,W n W n i+ α α α = + α α α β β =

( )( )

( ) ( ) ( )11

1

2 1 21

2 2 1 201 1 2 1 2 1 2

2 2 !!,

2 1 ! !

n ln

ln ll

ln

n i l i i

+ −

+ −=

α=

+ α + α + α α + α α + α + α∑

( ) ( ) ( )( ) == 2221113

121113

1 ,,,,,,20,0,,,,,2 βββαααβααα inWnW

( ) 1

1 2

2 21 1 2 1 2 1 2 1 1 2

1erf! !

n

i

n i i i n i

β α + απ = − × α + α α + α α + α + α α + α + α

( )( )

( ) ( )

( ) ( )1

1

1 2 1 222 11 2

2 2 120 01 2 1 2 1 2

2!exp

! 2 1 2 !

l r l rn l

n l l rl r

i li i r l r i

+ − + −−

− + −= =

α β β α + α × − α + α + α α + α + − α + α + α

∑ ∑ ,

( ) ( ) ( )( ) =+=+ 2221113

121113

1 ,,,,,,120,0,,,,,12 βββαααβααα inWnW

( )( )2

1 2122

1 21 1 2

!exp

2 1 !

in

in i

β α + α = − × α + α + α+ α + α + α

107

( )( )

( )( ) ( )

11

1

2 1 2 2 1 2 2

1 220 01 2 1 2

22 !

! ! 2 2 !

l rn r l rn l

n l l rl r

l

l i r l r i

−+ − + −

+ − −= =

α β×

α + α − α + α + α∑ ∑ ;

2) ( ) ( )( )

13 1 21 22 2 1

1 21 2

, , ln2

n

i iiWi ii

+

α + α − αα α α = +

α + α + αα + α

( )( ) ( ) ( )

21

120 1 2 1 2

!

2 1 ! 4

n

ln ll

l

l i i

−

+−=

+α+ α + α α + α + α

∑ ;

3) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )+

α−

β+β

+

α

β+β

α

π=ββα ∑

=−

−

+

2/

02

21

21

1113

3 2!2!422erf

4!,,,

nE

kknk

kn

n knk

iA

inAW

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

2/2 1 131151 2

1 0

! !2 2 1, , , ,4 2 1 !! 2 ! 2

n kE n k

n n k k lk l

in l W l Alk n k

− −

+ − −= =

β + β+ + α β β +α +− α∑ ∑

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 2/2 1 131151 2

1 0

! 1 2 , , , ,!2 ! 1 2 ! 2

n kn E n k

n kk l

k iW l A

lk n k

+ −− −

+ −= =

β + β+ α β β+ − α

∑ ∑ ;

4) ( ) ( ) ( )( )

( ) 2/213

14 2 2 01 11 1

1, , , erf

! 2 !2

k n kE n

n n kk

iW ni k n k

−

+ −=

− βαβπ α α β = + α − αα α + α

∑

( ) ( )

( )( )

/22 2 2

21 2 1 11 11

exp 1 !! 2 !4

E n n k k

n k ll

k n ki

−

+ = =

α β βα + − × −α α + αα + α

∑ ∑

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )2 1 22 1 2/21

2 12 20 11 1

1 1 !2 1 ! 1 2 !! 2 1 2 !

l rk l r n kn E nl

l rn k l rr k

kk n kr l r

− −+ − + −−−

− −− + −= =

− α β − β× − ×

− + −− − α α + α∑ ∑

( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 222 1 2 1

2 22 21 01 1

12 2 2 !1 ! ! 2 2 2 !

l rk l rk lk l

l rn k l rl r

ll r l r

− −+ −+ − −

− −− + −= =

− α β− × − − − α α + α

∑ ∑ ;

5) ( ) ( )( )

( )1

213 11 1

1 15 2 2

! 2, , , , exp erf

2 282 n

in iW n A A

+

β + β β + β α β β = − + × αα −

108

( )( ) ( )

( )

( )( )11

1 1

2 2/21 11

2 1 20 1

!exp

42 ! 2 ! 2 2

n rE n

n r nrr

i in

r n r

−

− +=

β + β β + β × + − × α− α − π

∑

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

+

α+

β+β

α−

β+β× ∑∑

−

=+−

+

=−

− 1

012

121

2/

12

1

21

2!122

!

2!2!

1

1

1 r

qqqr

qnE

rrn

rn

q

iq

rnr

i

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

α

β+β

α−+

β+β+ ∑∑

−

=

−−

=−+

−+ 1

02

21

2/

121

1

211

2!

2

2!21!2

!11

1

1 r

qq

qqrnEn

rrn

rn

q

i

rnr

ir .

109

2.14. Integrals of ( )[ ]β+α−± zz n erf1 ,

( ) ( )[ ]2211 erferf β+αβ+α zzz n

2.14.1.

1. ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]1erfexp1erf1erf1 20

0−β

β+β−

π=β−−−−=β+− ∫∫

∞−

+∞

aadzazdzaz

{ }0>a .

2. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]+−ββ

+β−β

=β+−β+∫+∞

1erferf1erferf 22

11

021 aa

dzazaz

( ) ( )[ ]21

22 expexp1

β−−β−π

+a

{ }0>a .

3. ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 2 2 1 2

1 20erf erf 1 erf erf 1a z a z dz

a a

+∞ β β + β − +β = − β + β − + ∫

( ) ( )2 22 1

2 1

1 1exp expa a

+ −β − −βπ π

{ }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( )[ ] ( )21212erferf β−β=β+−β+∫

+∞

∞− adzazaz { }0>a .

5. ( ) ( ) 1 21 1 2 2

1 2erf erf 2a z a z dz

a a

+∞

−∞

β β + β − +β = −

∫ { }0,0 21 >> aa .

6. ( ) ( ) ( )2

0

11 erf exp erf 1z dz∞ β± − α +β = −β + β απα∫

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 2ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

7. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]+β−−β−απ

=β+α−β+α∫∞

21

22

021 expexp1erferf dzzz

( ) ( )2 12 1erf 1 erf 1

β β+ β − β α α

{ ( )2 2

1lim Re 2 2lnz

z z z→∞

α + αβ + =

( ) ( )2 22lim Re 2 2ln , lim Re

z zz z z z

→∞ →∞ = α + αβ + = +∞ α = ±∞

}.

8. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]−β−αβ

β−αβ

=β+αβ+α∫∞

222

211

1

1

02211 erferferferf AAdzzz

110

( ) ( )2 21 2

1 2

1 1exp exp− −β ± −βπα πα

{ ( )2 21 1 1lim Re 2 2ln

zz z z

→∞ α + α β + = ( )2 2

2 2 2lim Re 2 2lnz

z z zα α β→∞

+ + = +∞ ;

1=kA if ( )lim Re kz

z→∞

α = +∞ ,

1−=kA if ( )lim Re kz

z→∞

α = −∞ ; ( ) ( )1 2lim Re lim Rez z

z z→∞ →∞

α ⋅ α = ±∞ }.

2.14.2.

1. ( ) ( )0 2

20

2 11 erf 1 erf4

z az dz z az dza

+∞

−∞

β + − +β = − − −β = × ∫ ∫

( )[ ] ( )22

exp2

erf1 β−π

β−β−×

a { }0>a .

2. ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 1 2 22

0

1erf erf exp exp2

z az az dza

+∞ + β − +β = β −β −β −β + π

∫

( )[ ] ( )[ ]22

22

12

21 erf1

4

121erf

4

12β−

+β+−β

+β+

aa { }0>a .

3. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) +

β−

β−β−

β

π=β+−β+∫

∞+222

2

2212

1

1

02211 expexp

21erferf

aadzzazaz

( ) ( )2 2

1 21 22 2

1 2

2 1 2 1erf 1 1 erf4 4a aβ ββ β+ +

+ − + − { }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( )[ ]2

21

22

21 erferfa

dzazazzβ−β

=β+−β+∫∞+

∞−

{ }0>a .

5. ( ) ( )2 22 1

1 1 2 2 2 22 1

2 1 2 1erf erf

2 2z a z a z dz

a a

+∞

−∞

β + β + + β − +β = − ∫ { }0,0 21 >> aa .

6. ( )[ ] ( )[ ] ( )222

2

0exp

2erf1

412erf1 β−

απ

β−β−±

α

+β=β+α−±∫

∞dzzz

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

111

7. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]+β−β−β−βαπ

=β+α−β+α∫∞

222

2112

021 expexp

21erferf dzzzz

( )[ ] ( )[ ]1erf4

121erf

4

1222

22

12

21

βα

+β−β

α

+β+

{ ( )2 21lim Re 2 ln

zz z z

→∞ α + αβ + =

( ) ( )2 22lim Re 2 ln , lim Re

z zz z z z

→∞ →∞ = α + αβ + = +∞ α = ±∞

}.

8. ( ) ( ) ( ) ( )2 21 21 22 2

1 21 1 2 2

0

1exp exp

2erf erfz z z dz β β

β βα απ

α β α β∞

− − +

+ + =

∫

( ) ( )2 21 2

1 1 2 22 21 2

2 1 2 1erf erf

4 4A A

β + β ++ β − ± − β

α α

{ ( )2 21 1 1lim Re 2 ln

zz z z

→∞ α + α β + = ( )2 2

2 2 2lim Re 2 lnz

z z zα α β→∞

+ + = +∞ ;

1=kA if ( )lim Re kzz

→∞α = +∞ ,

1−=kA if ( )lim Re kzz

→∞α = −∞ ; ( ) ( )1 2lim Re lim Re

z zz z

→∞ →∞α ⋅ α = ±∞ }.

2.14.3.

1. ( )[ ] ( )[ ] =β−−−−=β+− ∫∫∞−

+∞ 02

0

2 erf1erf1 dzazzdzazz

( ) ( )[ ]1erf6

32exp3

13

32

3

2−β

β+β+β−

π

+β=

aa { }0>a .

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 2 2 13

0

1erf erf 1 exp 13

z az az dza

+∞ + β − +β = β + −β − β + × π

∫

( ) ] ( )[ ] ( )[ ]1erf6

32erf1

6

32exp 23

232

131

312

1 −ββ+β

+β−β+β

+β−×aa

{ }0>a .

3. ( ) ( )[ ] ( )[ ]−β−β+β

=β+−β+∫+∞

131

131

02211

2 erf16

32erferf

adzzazaz

[ ] ( ) ( )3 2 22 2 1 22 2

2 1 23 3 32 1 2

2 3 1 11 erf ( ) exp exp

6 3 3a a a

β + β β + β +− − β − −β + −β

π π { }0,0 21 >> aa .

112

4. ( ) ( )3 31 1 2 22

1 2 3

2 3 2 3erf erf

3z az az dz

a

+∞

−∞

β + β − β − β +β − +β = ∫ { }0>a .

5. ( ) ( )3 3

1 21 221 1 2 2 3 3

1 2

2 3 2 3erf erf

3 3z a z a z dz

a a

+∞

−∞

β + β β + β +β − +β = − ∫

{ }0,0 21 >> aa .

6. ( ) ( ) ( )2 3

2 23 3

0

1 2 31 erf exp erf 13 6

z z dz∞ β + β + β

± − α +β = −β + β πα α

∫

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 , lim Rez z

z z z→∞ →∞

α + αβ = +∞ α = ±∞ }.

7. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ×α

β+β−β

α

β+β=β+α−β+α∫

∞

31

31

232

32

021

2

6

321erf

6

32erferf dzzzz

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]21

21

22

2231 exp1exp1

311erf β−+β−β−+βαπ

+β×

{ ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2lim Re 2 lim Re 2 , lim Re

z z zz z z z z

→∞ →∞ →∞α + αβ = α + αβ = +∞ α = ±∞ }.

8. ( ) ( )[ ] ( )[ ] 1131

131

02211

2 erf6

32erferf β−

α

β+β=β+αβ+α∫

∞Adzzzz

( ) ( ) ( )3 2 22 2 1 22 2

2 2 1 23 3 32 1 2

2 3 1 11erf exp exp36

A β + β β + β +

− β − −β −β πα α α

{ ( )2 21 1 1lim Re 2

zz z

→∞α + α β =

( ) +∞=βα+α=∞→

zzz

2222

2 2Relim ; 1=kA if ( ) +∞=α∞→

zkz

Relim ,

1−=kA if ( ) −∞=α∞→

zkz

Relim ; ( ) ( )1 2lim Re lim Rez z

z z→∞ →∞

α ⋅ α = ±∞ }.

2.14.4.

1. ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )1,,,erf11erf1 141

01

0β=β−−−−=β+− ∫∫

∞−

++∞

anWdzazzdzazz nnn

{ }0>a .

2. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )1,,,1,,,erferf 114

1214

10

21 β−β=β+−β+∫+∞

anWanWdzazazz n

{ }0>a .

113

3. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) −β=β+−β+∫+∞

1,,,erferf 2214

10

2211 anWdzzazaz n

( ) ( )1,,, 1114

1 β− anW { }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]214

2114

221 ,,,,!erferf β−β=β+−β+∫+∞

∞−anWanWndzazazz n

{ }0>a .

5. ( ) ( )1 1 2 2erf erfnz a z a z dz+∞

−∞

+ β − +β = ∫

( ) ( ) ( ) ( )14 141 1 2 22 2! , , , ,n W n a W n a = β − β

{ }0,0 21 >> aa .

6. ( )[ ] ( ) ( )1,,,erf1 141

0±βα=β+α−±∫

∞nWdzzz n

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 2 lnz

z z n z→∞

α + αβ − − = +∞ ; ( )lim Re

zz

→∞α = ±∞ }.

7. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )1,,,1,,,erferf 114

1214

10

21 ±βα−±βα=β+α−β+α∫∞

nWnWdzzzz n

{ ( ) ( )2 21lim Re 2 2 ln

zz z n z

→∞ α + αβ − − =

( ) ( )2 22lim Re 2 2 ln

zz z n z

→∞ = α + αβ − − = +∞ ; ( )lim Re

zz

→∞α = ±∞ }.

8. ( ) ( )1 1 2 20

erf erfnz z z dz∞

α +β α +β = ∫

( ) ( ) ( ) ( )14 14

2 2 2 1 1 11 1, , , , , ,W n A W n A= ± α β − α β

{ ( ) ( )2 21 1 1lim Re 2 2 ln

zz z n z

→∞ α + α β − − =

( ) ( )2 22 2 2lim Re 2 2 ln

zz z n z

→∞ = α + α β − − +∞= ;

1=kA if ( ) +∞=α∞→

zkz

Relim ,

1−=kA if ( )lim Re kzz

→∞α = −∞ ; ( ) ( )1 2lim Re lim Re

z zz z

→∞ →∞α ⋅ α = ±∞ }.

114

Introduced notations:

1) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )2/2 1 214

1 10

exp!, , , erf4 ! 1 2 !

n E n n k

n kk

nW n A Ak n k

− + −

+=

−β βα β = − β + × π+ −−α ∑

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

β−+

−β

−+× ∑∑∑∑

=

+−

==−

+−−

=

k

l

lknnE

k

k

llk

lknnEn

k lknkk

ll

knk 0

222/

01

222/

1 !!2!12!

!24!

!21!1 ,

( ) ( )( ) 1

14 111 2 1

1

!2 , , 0,

2 1 nn

W n An +

α =+ πα

,

( ) ( ) ( )( ) ( ) 22

1

11

141 12!1

!12,0,,12

+α+

+=α+

nn

nAAnW ;

2) ( ) ( ) ( )( )

( )∑

−

=−

−+

+ −+

β

α

−=βα

2/

012

21

114

2 !21!21,,

nEn

kk

kn

n

n

knknW ,

( ) ( ) 00,,2 114

2 =αnW , ( ) ( )( ) 22

1121

142 11 !12

10,,12++ α+

−=α+nn n

nW .

2.15. Integrals of ( )[ ]2erf1 β+α−± zz n , ( )[ ]β+α− zz n 2erf1 ,

( ) ( )[ ]222

11 erferf β+αβ+α zzz n ,

( ) ( )[ ]222

112 erferf β+α−β+α zzz n

2.15.1.

1. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]−−βπ

=β+−−=β+− ∫∫∞−

+∞12erf

22erf1erf1

02

0

2

adzazdzaz

( ) ( ) ( ) 222 exp erf 1 erf 1aaβ

− −β β − − β − π { }0>a .

2. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

0

21 erf erf exp erf 1az dzaa

+∞ β − +β = β −β + β − − π∫

( )2 erf 2 12 a

− β − π { }0>a .

3. ( ) ( ) ( ) ( )0

2 21 1 2 2 1 1 2 2

0erf erf erf erfa z a z dz a z a z dz

+∞

−∞

+ β − +β = − −β + −β = ∫ ∫

115

( )[ ] ( ) ( ) ( ) +β−β

π+β−

π−β−

β= 2

222

21

11

1

1 experf21exp1erf1aaa

( )[ ] ( )[ ]β−β−β−

π+ 2

222 erf12erf1

22 { }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( ) ( ) ( )1 22 2 2 21 1 2 2 1 2

1 20erf erf 1 erf 1 erfa z a z dz

a a

+∞ β β + β − +β = − β − − β + ∫

( ) ( ) ( ) ( ) +

β−

β−β−

β

π+ 2

11

122

2

2 experf

experf2

aa

( ) ( )2 1

2 1

1 erf 2 erf 2 122 a a

− β β − + + π

{ }0,0 21 >> aa .

5. ( )[ ]a

dzazπ

=β+−∫+∞

∞− 24erf1 2 { }0>a .

6. ( ) ( )[ ]

−

π=β+−β+∫

+∞

∞− 1222

211

2 1124erferf

aadzzaza { }0,0 21 >> aa .

7. ( )[ ] ( )[ ] ( )×β−απ

−βαπ

=β+α−±∫∞

2

0

2 exp212erf22erf1 dzz

( )[ ] ( )[ ]21erf1erf βαβ

−β×

{ ( ) ( )2 2lim 2Re 2 3ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

8. ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]−−βαβ

+β−βαπ

=β+α−∫∞

1erfexperf2erf1 22

0

2 dzz

( )[ ]12erf22

βαπ

−

{ ( ) ( )2 2lim 2Re 2 3ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

9. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )±β−απ

−β−±αβ

=β+αβ+α∫∞

21

11

1

1

022

211 exp1erf1erferf dzzz

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

−ββ+β−

π+β−β

πα± 1erf2erf

22experf21

22

22222

2A

116

{ ( )2 21 11lim Re 2 2ln

zz z z

→∞ α + α β + =

( )2 22 22lim 2Re 2 3ln

zz z z

→∞ = α + α β + = +∞

; 1=A if

( )2lim Rez

z→∞

α = +∞ , 1−=A if ( )2lim Rez

z→∞

α = −∞ ; ( )1lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

10. ( ) ( ) ( ) ( )1 22 2 2 21 1 2 2 1 2

1 20erf erf 1 erf 1 erfz z dz

∞ β β α +β − α +β = − β − − β + α α∫

( ) ( ) ( ) ( ) +

β−

αβ

−β−αβ

π+ 2

11

122

2

2 experf

experf2

( ) ( )

αβ

+α

β−

π+

1

1

2

2 12erf2erf22 A

{ ( )2 21 11lim 2Re 2 3ln

zz z z

→∞ α + α β + =

( )2 22 22lim 2Re 2 3ln

zz z z

→∞ = α + α β + = +∞

; 1=A if

( )2lim Rez

z→∞

α = +∞ , 1−=A if ( )2lim Rez

z→∞

α = −∞ ; ( )1lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

2.15.2.

1. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] +−β+β

=β−−−−=β+− ∫∫∞−

+∞2

2

202

0

2 1erf4

12erf1erf1a

dzazzdzazz

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2

2 1exp erf 1 erf 2 1 exp 22 2a a a

β β + −β β − − β − − − β π π π { }0>a .

2. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]+−βπ

β+β−

+β=β+−∫

+∞12erf

22erf1

412erf1

22

2

2

0

2

aadzazz

( ) ( ) ( )2 22 2

1 exp 2 erf exp2 a a

β+ − β − β −β

π π { }0>a .

3. ( ) ( ) ( ) ( )0

2 21 1 2 2 1 1 2 2

0erf erf erf erfz a z a z dz a z a z dz

+∞

−∞

+ β − +β = −β + −β = ∫ ∫

( )[ ] ( ) ( )[ ]+β−+β

+β−π

β+−β

+β= 2

222

222

121

112

1

21 erf1

4

12exp

21erf

4

12

aaa

( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 22 22 2 2

2 2 2

21 exp 2 erf 2 1 erf exp2 2a a a

β β + − β + β − − β −β π π π

117

{ }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( )[ ] ( )[ ]+β−+β

=β+−β+∫+∞

22

22

2

022

211

2 erf14

12erferf

adzzazaz

( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2 2 22 2 2

2 2 2

2 1erf 2 1 exp 2 erf exp2 2a a a

β β + β − + − β − β −β − π π π

( )[ ] ( )[ ] ( )+β−π

−−βπ

β−β−

+β− 2

121

121

11

221

1 2exp2

112erf2

2erf1

4

12

aaa

( ) ( )1 21 12

1

erf expa

β+ β −β

π { }0,0 21 >> aa .

5. ( )[ ]2

2

24erf1

adzazz

π

β−=β+−∫

+∞

∞−

{ }0>a .

6. ( ) ( )[ ]

β−

β

π=β+−β+∫

∞+

∞−22

221

122

211

2

24erferf

aadzzazaz { }0,0 21 >> aa .

7. ( )[ ] ( )[ ] ( )×β−απ

β+β

α

+β=β+α−±∫

∞2

22

2

2

0

2 exp1erf4

12erf1 dzzz

( )[ ] ( )[ ] ( )222

2exp2

112erf221erf β−

πα−β

απ

β−β×

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

8. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]+βαπ

β+β−

α

+β=β+α−∫

∞12erf

22erf1

412erf1

22

2

2

0

2dzzz

( ) ( ) ( )2 22 2

1 exp 2 erf exp2

β+ − β − β −β

πα πα

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

9. ( ) ( )[ ] ( )[ ]+βα

+β=β+αβ+α∫

∞1erf

4

12erferf 12

1

21

022

211 dzzzz

( ) ( ) ( )2

1 2 22 2 21 2 22 2 2 2

1 2 2 2

2 1 21exp 1 erf exp 22 4 2 2

β β + β + −β ± − β ± − β × πα α πα πα

( )[ ] ( ) ( )2222

2

22 experf2erf β−β

απ

ββ−× A

118

{ ( )2 21 1 1lim Re 2 ln

zz z z

→∞ α + α β + ( )2 2

2 2 2lim Re 2 lnz

z z z→∞

= α + α β + = +∞ ;

1=A if ( )2lim Rez

z→∞

α = +∞ , 1−=A if ( )2lim Rez

z→∞

α = −∞ ; ( )1lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

10. ( ) ( )[ ] ( )[ ]+β−α

+β=β+α−β+α∫

∞

22

22

22

022

211

2 erf14

12erferf dzzzz

( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 2 2 22 2 2

2 2 2

2 1erf 2 exp 2 erf exp2 2

Aβ β + β − + − β − β −β − πα πα πα

( )[ ] ( )[ ]−βαπ

β−β−

α

+β− 12erf

2

2erf1

4

1212

1

11

221

21

( ) ( ) ( )12 211 12 2

1 1

1 exp 2 erf exp2

β− − β + β −β

πα πα

2 21 1 1{lim[Re( 2 ) ln ]

zz z zα α β

→∞+ + ( )2 2

2 2 2lim Re 2 lnz

z z zα α β→∞

= + + = +∞ ;

1=A if ( )2lim Rez

z→∞

α = +∞ , 1−=A if ( ) ( )2 1lim Re ; lim Rez z

z z→∞ →∞

α = −∞ α = ±∞ }.

2.15.3.

1. ( )[ ] ( ) ( )[ ] =β−−−−=β+− ∫∫∞−

+∞ 02

0

2 erf11erf1 dzazzdzazz nnn

( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

×

π−β

π−β−β

−=

+ 22,2,1erf! 15

215

12

1nWnW

an

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

β

π−β−β× ,1,]12erf 15

415

3 nWnW { }0>a .

2. ( )( )

( ) ( ) ( )152 211

0

!1 erf 1 erf ,nn

nz az dz W na

+∞

+

− +β = − β β + −∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )15 153 4

2 1erf 2 1 , ,2

W n W nβ β βπ π

+ − + { }0>a .

119

3. ( ) ( )[ ] ( ) ×−=β+−β+ ++∞

∫ 1

022

211 1erferf nn dzzazaz

( ) ( )( )

02

1 1 2 2 11

!erf erfnn

nz a z a z dza +

−∞

× −β + −β = × −∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )15 15 21 1 1 21 2 1

2

1 !erf 1 , , 1 erfn

nW n W na +

× β − β + β + − β × π −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )15 15 152 2 2 21 3 4

2 1, erf 2 1 , ,2

W n W n W n × β + β − β + β π π

{ }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( )( )

( )2 2 21 1 2 2 21

0 2

!erf erf 1 erfnn

nz a z a z dza

+∞

+

+ β − +β = − β × −∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )15 15 152 2 2 21 3 4

2 1, erf 2 1 , ,2

W n W n W n × β + β − β + β − π π

( )( ) ( ) ( )152

1 1111

! 21 erf ,2n

n W na +

− − β β + × π−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )15 151 1 13 4

1erf 2 1 , ,W n W n × β − β + β π

{ }0,0 21 >> aa .

5. ( )[ ] ( ) ( ) ( )βπ

−=β+−+

+∞

∞−∫ ,

24!1erf1 15

312 nW

andzazz

nnn { }0a > .

6. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

−β

π−=β+−β+

+

∞+

∞−∫ 2

1531

222

211

2 ,124!1erferf nW

andzzazaz

nnn

( ) ( )15131

1

1 ,n

W na +

− β

{ }0,0 21 >> aa .

7. ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 15 151 21

0

! 21 erf erf 1 , ,nn

nz z dz W n W n∞

+

± − α +β = β β β − π−α

∫

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )β

π−ββ

π− ,1,12erf

22 15

415

3 nWnW

{ ( ) ( )2 2lim 2Re 2 3 lnz

z z n z→∞

α + αβ + − = +∞ ; ( )lim Re

zz

→∞α = ±∞ }.

120

8. ( )[ ]( )

×α−

=β+α−+

∞

∫ 10

2 !erf1n

n ndzzz

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )β

π+β

β

π+ββ−× ,1,12erf

22,erf1 15

415

315

12 nWnWnW

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 2 lnz

z z n z→∞

α + αβ − − = +∞ for 0>n ; ( )lim Re

zz

→∞α = ±∞ }.

9. ( ) ( )[ ]( )

×α−

=β+αβ+α+

∞

∫ 110

222

11!erferf

nn ndzzzz

( ) ( ) ( )15 (15)1 1 11 2 1

2

1 !erf 1 , ( , )( )n

nW n W n+

× β β + β ± × π −α

(15)22 21

2[1 erf ( )] ( , ) [erf ( 2 ) ]2

W n A

× − β β + β − ×π

( ) ( ) ( )15(15)2 23 4

1, ,W n W n

× β + β π

{ ( ) ( )2 21 1 1lim Re 2 2 ln

zz z n z

→∞ α + α β − − =

( ) ( )2 22 2 2lim Re 2 2 ln

zz z n zα α β

→∞ = + − − = +∞ for 0>n ; 1=A if

( ) +∞=α∞→

zz

2Relim , 1−=A if ( ) −∞=α∞→

zz

2Relim ; ( )1lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

10. ( ) ( )[ ] ( )×

α

−=β+α−β+α

+

∞

∫ 110

222

112 !1

erferfn

nn n

dzzzz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )15 1521 1 1 11 3

21 erf , erf 2 1 ,2

W n W n × − β β + β β + π

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )15 1521 2 24 11

2

1 ! 2, 1 erf ,2n

nW n W n+

+ β + − β β + × π π −α

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )β

π+β−β× 2

1542

1532 ,1,2erf nWnWA

{ ( ) ( )2 21 1 1lim Re 2 2 ln

zz z n z

→∞ α + α β − − =

( ) ( )2 22 2 2lim Re 2 2 ln

zz z n z

→∞ = α + α β − − = +∞ for 0>n ; 1=A if

( ) +∞=α∞→

zz

2Relim , 1−=A if ( )2lim Rez

z→∞

α = −∞ ; ( )1lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

121

Introduced notations:

1) ( ) ( )( )

( )/2 1 2151

0,

4 ! 1 2 !

n E n n k

kk

W nk n k

− + −

=

ββ =

+ −∑ , ( ) ( ) 00,2 1

151 =nW ,

( ) ( )( )1

1511 1

1

12 1, 04 1 !nW n

n++ =

+;

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )/2 2 215 2

20 0

!, exp2 1 ! 2 ! !

E n n k lk

k l

kW nk n k l

− +

= =

ββ = −β −+ −

∑ ∑

( )

( )

( )

β−+

− ∑∑=

−

+−−

=

k

llk

lknnEn

k ll

knk 1

222/

1 !24!

!21!1 ,

( ) ( ) ( )15 1

121

!2 , 02 1 !

nW nn

=+

, ( ) ( ) 00,12 115

2 =+nW ;

3) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

/2 2153 2

0 0

2 !!,2 1 ! 2 ! 8 !

E n n k k

lk l

lkW nk n k l

−

= =

ββ =

+ −∑ ∑ ,

( ) ( ) ( )( )( )

115 113 21 0

2 !!2 , 02 1 ! 8 !

n

kk

knW nn k=

=+ ∑ , ( ) ( ) 00,12 1

153 =+nW ;

4) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 1/2 1 215 24

1 1

1 !, erf exp

! 1 2 ! 4 2 1 !

ln E n n k k

k lk l

lW n

k n k l

−− + −

−= =

− βββ = β −β +

+ − −∑ ∑

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )2 2 2/22 21 1

20 1 0

exp 2 ! 1 !2 1 ! 2 2 ! 2 !2 1 !

n kE nrk l

k l rl r k

l kl k n kr

−−− +

− −= = =

− β + ββ + − ×+ + −π −

∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 2 122

20 1 1

exp 2 2 ! 1 !4erf exp

! 8 2 1 !!

rlk k l

l rl l r

l rl rl

−

−= = =

− β − ββ × β −β + π −

∑ ∑ ∑ ,

( ) ( ) 00,2 115

4 =nW ,

( ) ( )( )

( )( )

∑=

−+ +π+=+

1

1012

2

11

154 !122

!!1

10,12n

kkn k

kn

nW .

122

2.16. Integrals of ( ) ( )[ ]1erf1exp β+α−±β zzz n ,

( ) ( ) ( )[ ]2211 erferfexp β+αβ+αβ zzzz n

2.16.1.

1. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =β−−−β−−=β+−β ∫∫∞−

+∞ 0

10

1 erf1experf1exp dzazzdzazz

( )[ ]

+

β−β

ββ−ββ

+−ββ

= 122

erf4

4exp11erf1 1

21

2

1 aa

a

a { }0>a .

2. ( ) ( ) ( )[ ] ×

ββ−ββ

=β+−β+β∫∞+

21

112

02211

4

4exp1erferfexp

a

adzzazaz

21 1 2 2 2 2

21 22

2 4 21erf 1 exp erf 12 24

a a aa aa

β −β β − ββ β −β × − − − + β

( ) ( )2 11 erf erf+ β − β β

{ }0,0 21 >> aa .

3. ( ) ( ) ( )[ ] =β+−β+β∫+∞

∞−dzzazaz 2211 erferfexp

ββ−β−

ββ−ββ

=21

112

22

222

4

4exp

4

4exp2

a

a

a

a { }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( ) ( )2

11 1 2

0

41 1exp 1 erf erf 1 exp4

z z dz∞ β − αββ

β ± − α +β = β − × β β α ∫

αβ−αβ

× 12

2erf 1

{ ( ) ( )2 21lim Re 2 2ln , lim Re

z zz z z z z

→∞ →∞ α + αβ −β + = +∞ α = ±∞

}.

5. ( ) ( ) ( )[ ] ×

α

ββα−ββ

=β+αβ+αβ∫∞

21

112

02211

4

4exp1erferfexp dzzzz

−

−

α

β−βα

α

ββα−ββ

−

α

β−βα× 2

2

2222

222

11

112

2erf

4

4exp1

22

erf AA

( ) ( )[ ]21 erferf1ββ

β− { ( )2 2

1 1 1lim Re 2 2lnz

z z z z→∞

α + α β −β + =

123

( )2 22 2 2lim Re 2 2ln

zz z z z

→∞ = α + α β −β + = +∞

; 1=kA if ( ) +∞=α∞→

zkz

Relim ,

1−=kA if ( ) −∞=α∞→

zkz

Relim ; ( ) ( )1 2lim Re lim Rez z

z z→∞ →∞

α ⋅ α = ±∞ }.

2.16.2.

1. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =β−−−β−=β+−β ∫∫∞−

+∞ 0

10

1 erf1experf1exp dzazzzdzazzz

+

+

β−β

ββ−β

β

ββ−−β= 1

22

erf4

4exp

2

22 12

12

221

22

aa

a

a

a

aa

( )[ ] ( )2112

exp1erf11β−

βπ+β−

β+

a { }0>a .

2. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ×βπ

+β−ββ

=β+−β+β∫+∞ 1erferf1erferfexp 2120

2211 dzzazazz

( ) ( ) ×β

ββ−−β+

β−−β−×

221

1121

221

1

22

2 2

22exp1exp1

a

aaaa

2 2 21 1 1 1 2 2 2

2 2 211 2

4 2 2 2exp erf 1

24 2

a a a aaa a

β − ββ β −β β − − ββ × − + × β

β−β−

ββ−β×

2

2222

222

22

erf14

4exp

aa

a

a { }0,0 21 >> aa .

3. ( ) ( ) ( )[ ] ×β

β−ββ+=β+−β+β∫

∞+

∞−22

1

211

21

221122

erferfexpa

aadzzazazz

ββ−β

β

β−ββ+−

ββ−β×

22

222

222

222

22

21

112

4

4exp

22

4

4exp

a

a

a

aa

a

a { }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( )[ ] ( ) ×βα

αββ−α−β+β−

αβπ=β+α−±β∫

∞

221

2221

01

2

22exp1erf1exp dzzzz

( )[ ]1erf1122

erf4

4exp 12

12

12

ββ

−

±

ααβ−β

α

αββ−β×

{ ( ) ( )2 21lim Re 2 ln , lim Re

z zz z z z z

→∞ →∞ α + αβ −β + = +∞ α = ±∞

}.

5. ( ) ( ) ( )[ ] ×βα

ββα−α−β=β+αβ+αβ∫

∞

221

1121

2

02211

2

22erferfexp dzzzzz

124

2 2 21 1 1 1 2 2 2

12 2 211 2

4 2 2 2exp erf

24 2A

β − α ββ α β −β β − α − α ββ × − × αα α β

( ) ( )2

2 2 2 22 1 22 2

22

4 2 1exp erf erf erf24

A β − α ββ α β −β

× − + β β − αα β

( ) ( )2 21 2

1 2

1 1 1exp exp

− −β −β α απβ { ( )2 2

1 1 1lim Re 2 lnz

z z z z→∞

α + α β −β + =

( )2 22 2 2lim Re 2 ln

zz z z z

→∞ = α + α β −β + = +∞ ; 1=kA if ( )lim Re kz

z→∞

α = +∞ ,

1−=kA if ( )lim Re kz

z→∞

α = −∞ ; ( ) ( )1 2lim Re lim Rez z

z z→∞ →∞

α ⋅ α = ±∞ }.

2.16.3.

1 ( ) ( )10

exp 1 erfnz z az dz+∞

β − +β = ∫ ( ) ( ) ( )0

11 exp 1 erfn nz z a z dz+

−∞

− −β − − −β = ∫

( ) ( ) ( ) ( )1611 111

11 ! 1 erf , , ,1nn

n W a++

= − − β + β β β

{ }0>a .

2. ( ) ( ) ( )[ ] =β+−β+β∫+∞

02211 erferfexp dzzazazz n

( ) ( ) ( )11 21

11 ! erf erfnn

n++

= − β − β − β

( ) ( ) ( ) ( )16 161 1 2 21 1, , ,1 , , ,1W a W a

− β β + β β

{ }0,0 21 >> aa .

3. ( ) ( ) ( )[ ] =β+−β+β∫+∞

∞−dzzazazz n

2211 erferfexp

( ) ( ) ( ) ( ) ( )16 1611 1 2 22 21 ! , , , ,n n W a W a+ = − β β − β β

{ }0,0,0 21 >>≠β aa .

4. ( ) ( )[ ] =β+α−±β∫∞

01erf1exp dzzzz n

( ) [ ] ( ) ( )1611 111

11 ! 1 erf ( ) , , , 1nn

n W++

= − ± − β + α β β ± β

{ ( ) ( ) ( )2 21lim Re 2 2 ln , lim Re

z zz z z n z z

→∞ →∞ α + αβ −β − − = +∞ α = ±∞

}.

125

5. ( ) ( ) ( )[ ] =β+αβ+αβ∫∞

02211 erferfexp dzzzzz n

( ) ( ) ( )11 21

11 ! erf erfnn

n++

= − β β − β

( ) ( ) ( ) ( )

ββα±ββα− 22216

111116

1 ,,,,,, AWAW

{ ( ) ( )2 21 1 1lim Re 2 2 ln

zz z z n z

→∞ α + α β −β − − =

( ) ( )2 22 2 2lim Re 2 2 ln

zz z z n z

→∞ = α + α β −β − − = +∞ ;

1=kA if ( )lim Re kz

z→∞

α = +∞ , 1−=kA if ( ) −∞=α∞→

zkz

Relim ;

( ) ( )1 2lim Re lim Rez z

z z→∞ →∞

α ⋅ α = ±∞ }.

Introduced notations:

1) ( ) ( )2

16 1 111 2 1

0

4 2 1, , , exp erf24 2

n

k n kk

W A A+ −

=

β − αββ αβ −β α β β = − × αα β

∑

( )( )

( )( ) ×

ββ−

π+

α−

β−αβ× ∑∑

=−+

=−

− n

kknk

kE

llk

lk

lkl 11

21

2/

022

21

21exp1

!2!

2

( ) ( )

( ) ( )( )

−

α−

β−αβ−+

× ∑∑=

+−−

+−−−+−

=

l

rrlk

rlkrlkEk

l rlkll

12212

2211

12/

1 !1

24!21!2

!

( )

( ) ( ) ( )( )

1 2 2/212 1 2 2

1 1

1 ! 21! 2 ! 2 1 !

k l rE k l

k l rl r

rl k l r

− − +

− − += =

− αβ −β−

− − α ∑ ∑ ,

( ) 2161 2

( , , , ) exp2 4

W A β β

α β = − × α α

( )

( )

( )

( )/2 /2

2 2 2 1 21 21 0

2 ! 12 ! ! 2

n E n E n

n k k kn kk k

k Ak k

−

+ − − + −= =

× − π β α β α

∑ ∑ ;

2) ( ) ( ) ( )( )

( ) 2/2216 11

12 2 1 2 20 0

24 1, , 2exp4 2 ! 2 !

k lE kn

k n k k lk l

Wl k l

−

+ − −= =

αβ −ββ − αββα β β = α β − α

∑ ∑ ,

126

( )

( )

( )/2216

2 2 21 20

1( , , ) 2exp2 4 ! 2

E n

kn kkW

k + −=

β βα β = − α α β α

∑ .

2.17. Integrals of ( ) ( )[ ]1122 erf1exp β+α−±β+α− zzzz n ,

( ) ( ) ( )2 21 1 2 2exp erf erfnz z z z z −α + β α + β α + β

2.17.1.

1. ( ) ( ) ( ) ( )0

2 2 2 2

0exp 1 erf exp 1 erfa z az dz a z az dz

+∞

−∞

− − +β = − − − − −β = ∫ ∫

2

2erf1

4

β

−π

=a

{ }0>a .

2. ( ) ( ) ( ) ( )0

2 2 2 21 1

0exp 1 erf exp 1 erfa z a z dz a z a z dz

+∞

−∞

− − = − − − − = ∫ ∫

1

1 arctan aaa

=π

{ }01 >a .

3. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =−−−=− ∫∫∞−

+∞dzzazadzzaza 1

022

01

22 erf1experf1exp

aaaa

a −+

π=

1

1ln2

1 { }aa >1 .

4. ( ) ( ) ( )[ ] =−β+−∫+∞

01

22 erferfexp dzzaazza

2

1

1 arctan 1 erf4 2

aa aa

π βπ

= − −

{ }0,0 1 >> aa .

5. ( ) ( ) ( )2 21 2

2 10

1exp erf erf arctan arctana aa z a z a z dza aa

+∞ − − = − π

∫

{ }0,0 21 >> aa .

6. ( ) ( ) ( )[ ]

+−

−+−

π=−∫

+∞

aaaa

aaaa

adzzazaza

2

2

1

1

021

22 lnln2

1erferfexp

{ }aaaa >> 21 , .

127

7. ( ) ( ) ( )[ ] =β+−β+−∫+∞

021

22 erferfexp dzazazza

β−−

β−

π=

21

22

2erf1

2erf1

4a { }0>a

8. ( ) ( ) ( )[ ] ×

βπ=β+−β+β+−∫

+∞

∞−2

2

221122

4experferfexp

aadzzazazza

+

β+β−

+

β+β×

22

22

22

21

21

21

2

2erf

2

2erf

aaa

aa

aaa

aa { }0,0 21 >> aa .

9. ( ) ( ) ( )2

2 21 1 2 2 2

exp erf erf exp4

a z z a z a z dza a

+∞

−∞

βπ+β + β − +β = − ×

∫

−

β−β−

−

β−β×

222

222

221

112

2

2ierf

2

2ierf

aaa

aa

aaa

aa { }aaaa >> 21 , .

10. ( ) ( )[ ]2

0

22

2erf1

4erf1exp

β

απ

=β+α−±α−∫∞

dzzz

{ ( ) ( )2 2lim Re ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

11. ( ) ( )2 21

10

1exp 1 erf arctanz z dz αα ααπα

∞ − ± − = ∫ { 2 2

1α ≠ −α ,

( ) ( )2 2 2 21 1lim Re 2ln ; Re 0

zz z z z

→∞ α + α + = +∞ ± α >

if }∞→z .

12. ( ) ( ) ( )2

2 21

0exp erf erf erf

4 2z z z dz A

∞ βπ−α α +β α = − − ± α

∫

1

1 arctan α±

απα { ( )2 2lim Re ln

zz z z

→∞ α + αβ + =

( )[ ] +∞=+α+α=∞→

zzzz

ln2Relim 221

22 , 221 α−≠α ;

1=A if ( ) +∞=α∞→

zz

Relim , 1A = − if ( ) −∞=α∞→

zz

Relim ;

( ) ( )1Re Re 0z z± α +β ⋅ α > if }∞→z .

13. ( ) ( ) ( )2 21 2

1 20

1exp erf erf arctan arctanz z z dz∞ α α

−α α α = − α απα ∫

128

{ ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 2lim Re 2ln lim Re 2ln

z zz z z z z z

→∞ →∞ α + α + = α + α + = +∞

,

221 α−≠α , 22

2 α−≠α ; ( ) ( )1 2Re Re 0z z± α ⋅ α > if }∞→z .

14. ( ) ( ) ( )2 21 2

0exp erf erfz z z dz

∞

−α α +β − α +β = ∫

21

22

2erf1

42erf1

4

β

απ

−

β

απ

= { ( )2 21lim Re ln

zz z z

→∞ α + αβ + =

( ) ( )2 22lim Re ln , lim Re

z zz z z z

→∞ →∞ = α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

15. ( ) ( ) ( )( )

( )2

1

2 21 1 2 2exp erf erf

T

Tz z z z dz

∞

∞

−α +β α +β α +β = ∫

2 221 1 2 2

1 22 2 2 2 21 2

2 2exp erf erf

4 2 2A A α β + α β α β + α ββπ = α α α α + α α α + α

{( ) ( )

1

2 2 2 21 1 1lim Re 2 2ln

z Tz z z z z

→∞ α + α + α β −β + =

( )( )[ ]=+β−βα+α+α=

∞→zzzzz

Tzln22Relim 11

221

22

2

( )( )[ ]=+β−βα+α+α=

∞→zzzzz

Tzln22Relim 22

222

22

1

( )( )[ ] +∞=+β−βα+α+α=

∞→zzzzz

Tzln22Relim 22

222

22

2

;

1=kA if ( ) ( )

+∞=

α+α−=

α+α

∞→∞→zz kTzkTz

2222 RelimRelim12

,

1−=kA if ( ) ( )

−∞=

α+α−=

α+α

∞→∞→zz kTzkTz

2222 RelimRelim12

,

0=kA if ( ) ( )

+∞=

α+α⋅

α+α

∞→∞→zz kTzkTz

2222 RelimRelim21

;

( ) ( )1 1 2 2Re Re 0z z± α +β ⋅ α +β > if ( )1Tz ∞→ and ( )}2Tz ∞→ .

2.17.2.

1. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =β−−−−=β+−− ∫∫∞−

+∞dzzazazdzzazaz 1

022

01

22 erf1experf1exp

129

( )2 2

1 12 2 22 2 2 2 2

11 1

1 1 erf exp erf 12 2

a aaa a aa a a a a

ββ = − β + − − ++ +

{ }01 >a .

2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =β−−−=β+− ∫∫∞−

+∞dzzazazdzzazaz 1

022

01

22 erf1experf1exp

( )[ ]

−

β−

−

βα

−+−β=

221

122

1

22

221

21

2erf1exp

21erf

2

1

aa

a

aaaaa

a

a

{ }aa >1 .

3. ( ) ( ) ( ) ( )0

2 2 2 2

0exp 1 erf exp 1 erfz a z az b dz z a z a z b dz

+∞

−∞

− + = − − − = ∫ ∫

( )[ ] ( )222

exp2

11erf2

1 bba

ba

−π

+−= { }0,0 >> ba .

4. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]+β−β=β+−β+−∫+∞

2120

221122 erferf

2

1erferfexpa

dzzazazaz

2 21 1 1 1 2

2 22 2 2 2 2 2 2 211 1 2

exp 1 erf2 2

aa a a

a aa a a a a a a a

β β + − − − × + + + +

+

β−

+

β−×

22

222

22

2

22

2erf1exp

aa

a

aa

a { }0,0 21 >> aa .

5. ( ) ( ) ( )[ ] ×−

=β+−β+∫+∞

221

21

02211

22

2erferfexp

aaa

adzzazazaz

2 2 2 21 1 1 2 2

2 2 2 22 2 2 2 21 21 2

exp erf 1 exp2

a a a a

a a a aa a a a a

β β β × − − × − −− −

( ) ( )2 22 122 2

2

1erf 1 erf erf2

a

aa a

β × − + β − β −

{ }aaaa >> 21 , .

6. ( ) ( ) ( )2 21

0exp erf erfz a z a z az b dz

+∞

+ β − + = ∫

130

( ) ( ) ( )0 2 2

12 21 2 22 2 2

11

exp erf erf exp2

a az a z a z a z b dza aa a a−∞

β= −β − − = × −− ∫

( ) ( ) ( )21

2 22 21

exp erf erferf 1

2 2

b ba

a b aa a

− − ββ × − + + π−

{ }10, , 0a a a b> > > .

7. ( ) ( ) ( )[ ] =+−+∫+∞

021

22 erferfexp dzbazbazzaz

( ) ( ) ( )0

2 21 2exp erf erfz a z a z b az b dz

−∞

= − − − = ∫

( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2 12 2

2 1

1 1 1 1erf erf exp exp2 2

b b b bb ba a

= − + − − −

π

{ }0,0,0 21 >>> bba .

8. ( ) ( ) ( )[ ] ×

ββπ=β+−β+β+−∫

+∞

∞−2

2

3221122

4exp

2erferfexp

aadzzazazzaz

×+

+

+

β+β−

+

β+β×

21

221

22

222

2

21

211

2

2

2erf

2

2erf

aaa

a

aaa

aa

aaa

aa

2 2 2 2 2 21 1 2 21 2 2

2 2 2 22 2 21 22

4 4 4 4exp exp

4 4 4 4

a a a aa

a a a aa a a

β − β − ββ β − β − ββ × − + ++

{ }0,0 21 >> aa .

9. ( ) ( ) ( )[ ] ×

β−

βπ=β+−β+β+∫

+∞

∞−2

2

3221122

4exp

2erferfexp

aadzzazazzaz

×−

−

−

β−β−

−

β−β×

221

21

222

22

222

1

12

1

2

2ierf

2

2ierf

aaa

a

aaa

aa

aaa

aa

−

ββ−β+β

−+

−

ββ−β+β×

222

2222

22

222

22

221

1121

22

44

44exp

44

44exp

aa

aa

aaa

a

aa

aa

{ }aaaa >> 21 , .

10. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ×α+αα

α+β−±

α=β+α−±α−∫

∞

21

221

20

122

2erf1

21erf1exp dzzzz

131

−

α+α

βα

α+α

βα−× A

21

21

21

2

22erfexp

{ ( )2 2 2 21 1lim Re 2 ln

zz z z z

→∞ α + α + α β + = +∞

;

1=A if ( )2 21lim Re

zz

→∞α + α = +∞ , 1−=A if ( )2 2

1lim Rez

z→∞

α + α = −∞ ;

( )1Re 0z± α +β > if }∞→z .

11. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2

0

1 1exp 1 erf erf 1 exp2 2

z z z dz∞

α ± − α +β = β + −β α πα β

∫

{ ( )lim Rez

z→∞

αβ = +∞ , ( )Re 0z± α +β > if }∞→z .

12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 1 22

0

1exp erf erf erf erf2

z z z z dz∞

−α α +β α +β = β β − α

∫

2 21 1 1 1 2

12 22 2 2 2 2 2 2 211 1 2

exp erf2 2

Aα α β α β αα αα α α α α α α α

− − − ± × + + + +

2 22 2 2

22 2 2 22 2

exp erf Aα β α βα α α α

× − − + +

{ ( )2 2 2 21 1 1lim Re 2 ln

zz z z z

→∞ α + α + α β + =

( )[ ] +∞=+βα+α+α=∞→

zzzzz

ln2Relim 2222

222 ;

1=kA if ( )2 2lim Re kzz

→∞α + α = +∞ , 1−=kA if

( )2 2lim Re kzz

→∞α + α = −∞ ; ( ) ( )1 1 2 2Re Re 0z z± α +β ⋅ α +β > if }∞→z .

13. ( ) ( ) ( ) ×α−αα

α=β+αβ+αα∫

∞

221

21

0211

22

2]erferf[exp dzzzzz

( ) ( ) ( )22 2 21 21 1 12 2 2 22 21 21

experf erfexp erf

2 2A

−β β βα β α β × − − ± α −α α πα βα −α

{ ( ) ( )2 2 2 21 1 1 2lim Re 2 ln lim Re

z zz z z z z

→∞ →∞ α −α + α β + = αβ = +∞

;

132

1=A if +∞=

α−α

∞→z

z22

1Relim , 1A = − if −∞=

α−α

∞→z

z22

1Relim ;

( ) ( )2 1 1Re Re 0z z± α +β ⋅ α +β > if }∞→z .

14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 2 12

0

1exp erf erf erf erf2

z z z z dz∞

α α +β − α +β = β − β + α

∫

( ) ( )2 22 12 2 1

1 1 1exp exp2

+ −β − −β β βπα

{ ( ) ( )1 2lim [Re lim Rez z

z z→∞ →∞

αβ = αβ = +∞ }.

15. ( ) ( ) ( )( )

( )2

1

22 2

1 1 2 2 3 2exp erf erf exp

2 4

T

Tz z z z z dz

∞

∞

π β β−α +β α +β α +β = × α α

∫

+

α+αα

βα+βα

α+αα

βα+βα×

22

222

2

221

211

2

12

2erf

2

2erf AA

α+α

ββα−βα−β

α+α

α

α+

21

211

21

22

21

211

2 44

44exp1 A

α+α

ββα−βα−β

α+α

α22

222

22

22

22

222

44

44exp

A

( )( )[ ] =+β−βα+α+α

∞→zzzzz

Tzln2Relim{ 11

221

22

1

( )( )[ ] =+β−βα+α+α=

∞→zzzzz

Tzln2Relim 11

221

22

2

( )( )

1

2 2 22 2 2lim Re 2 ln

z Tz z z z z

→∞ = α + α + α β −β + =

( )( )[ ] +∞=+β−βα+α+α=

∞→zzzzz

Tzln2Relim 22

222

22

2;

1=kA if ( ) ( )

+∞=

α+α−=

α+α

∞→∞→zz kTzkTz

2222 RelimRelim12

,

1−=kA if ( ) ( )

−∞=

α+α−=

α+α

∞→∞→zz kTzkTz

2222 RelimRelim12

,

0=kA if ( ) ( )

+∞=

α+α⋅

α+α

∞→∞→zz kTzkTz

2222 RelimRelim21

;

( ) ( )1 1 2 2Re Re 0z z± α +β ⋅ α +β > if ( )1Tz ∞→ and ( )}2Tz ∞→ .

133

2.17.3.

1. ( ) ( )[ ] =β+−−∫+∞

0

222 erf1exp dzazzaz m

( ) ( ) ( ) ( )0

172 2 21exp 1 erf , ,1mz a z az dz W a

−∞

= − − − − −β = β ∫ { }0>a .

2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =−−−−=−− ∫∫∞−

+∞dzzazazdzzazaz mm

1

0222

01

222 erf1experf1exp

( ) ( )

( ) ( )

21

12 1 12 2 2 21 01

2 ! !1 arctg! 4 2 1 !(2 )

m

m m km kk

m ka aam a k a a a

−

+ +−=

= − π + +

∑ { }01 >a .

3. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =−−−=− ∫∫∞−

+∞dzzazazdzzazaz mm

1

0222

01

222 erf1experf1exp

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

211

12 1 12 2 21 01

1 !(2 )!ln

! 2 2 1 ! 4

m m

m m k kk

ka ama

a am a k a a a

−

+ − +=

− + = − −π + − −

∑ { }aa >1 .

4. ( ) ( ) ( )[ ] ×π

=−β+−∫+∞

!)!2(

erferfexp0

1222

mm

dzzaazzaz m

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

21 171 12 1 12 2 2 21 0

1

!1 arctg , ,14 2 1 ! 2

m

m m km kk

ka a W aaa k a a a

−

+ +−=

× − − β + +

∑

{ }0,0 1 >> aa .

5. ( ) ( ) ( )[ ] ( )×

π=−−

+

+∞

∫ 120

21222

!4

!2erferfexp

mmm

am

mdzzazazaz

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

211 2

1 12 2 2 2 22 1 01 2

2 ! !arctg arctg

! 2 1 ! 4

m

m k k kk

m k a aa aa a m k a a a a a

−

− + +=

× − + − π + + +

∑

{ }0,0 21 >> aa .

6. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )

×π

−=−

+

+∞

∫ 120

21222

2!

!21erferfexp

m

mm

am

mdzzazazaz

( ) ( )

( ) ( )∑−

=−

×−+π

+

+−

−+−

×1

0 2

2

2

2

1

1

4!12

!!

!2lnlnm

kkm

ak

km

maaaa

aaaa

134

( ) ( )

−−

−×

++ 1222

2122

1

1kk

aa

a

aa

a { }aaaa >> 21 , .

7. ( ) ( ) ( )[ ] =β+−β+−∫+∞

021

222 erferfexp dzazazzaz m

( ) ( ) ( ) ( )1,,1,, 117

1217

1 β−β= aWaW { }0>a .

8. ( ) ( )[ ] =β+−−∫+∞

+

01

2212 erf1exp dzzazaz m

( ) ( )[ ] =β−−−−= ∫∞−

+0

12212 erf1exp dzzazaz m

( )( ) ( ) ( )17 2

1212

! 1 erf , , ,12

mm W a a

a+

= − β − β { }01 >a .

9.

( ) ( )[ ] =β+−∫+∞

+

01

2212 erf1exp dzzazaz m ( ) ( )0

2 1 2 21exp 1 erfmz a z a z d z+

−∞

− − −β = ∫

( )( )[ ] ( ) ( )1,,,erf1

2

!1

217212

β−−β−−

=+

aaWa

mm

{ }aa >1 .

10. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =−−−=+− ∫∫∞−

++∞

+0

2212

0

2212 erf1experf1exp dzbazzazdzbazzaz mm

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )2

1 2 12 20

2 !! !1 erf exp2 ! 2

m

m m k kk

km mb baa k a ab

+ − +== − + − π− −

∑

{ }0,0 >> ba .

11. ( ) ( ) ( )[ ] =β+−β+−∫+∞

+

02211

2212 erferfexp dzzazazaz m

( ) ( )[ ]+β−β=+ 2112

erferf)(2

!ma

m

( ) ( ) ( ) ( )1,,,1,,, 22217

211217

2 β−β+ aaWaaW { }0,0 21 >> aa .

12. ( ) ( ) ( )[ ] =β+−β+∫+∞

+

02211

2212 erferfexp dzzazazaz m

135

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )17 172 2

1 2 1 1 2 22 212

! erf erf , , ,1 , , ,12

mm W a a W a aa

+= β − β + − β − − β

−

{ }aaaa >> 21 , .

13. ( ) ( ) ( )[ ] =+−β+∫+∞

+

01

2212 erferfexp dzbazzazaz m

( ) ( ) ( )0

2 1 2 21exp erf erfmz a z a z az b dz+

−∞

= −β − − = ∫

( )( ) ( ) ( ) ( )17 2

1212

! erf erf , , ,12

mm b W a aa

+= β − + − β +

−

( ) ( ) ( )( )

∑=

+

−

+

−−

π+

m

kk

km

m bk

kb

a

m

012

222 2!

!21exp! { }10, , 0a a a b> > > .

14. ( ) ( ) ( )[ ] =+−+∫+∞

+

021

2212 erferfexp dzbazbazzaz m

( ) ( ) ( )[ ] =−−−= ∫∞−

+0

212212 erferfexp dzbazbazzaz m

( )( ) ( ) ( )

( )1 212 20

2 !! !erf erf2 !

m

m m kk

km mb baa k a

+ −=

= − + × π− −∑

( )( )

( )( )

−−−×

++2112

1

2212

2exp

2

1exp2

1 bab

bab kk

{ }0,0,0 21 >>> bba .

15. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )−ββ=β+−β+β+−∫+∞

∞−11

21732211

22 ,,,,erferfexp aanWdzzazazzaz n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2217

41117

422217

3 ,,,,,,,,,,,, ββ−ββ+ββ− aanWaanWaanW

{ }0,0,0 21 >>> aaa .

16. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )−ββ−=β+−β+β+∫+∞

∞−11

21732211

22 ,,,,erferfexp aanWdzzazazzaz n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2217

51117

522217

3 ,,,,,,,,,,,, ββ−ββ+ββ−− aanWaanWaanW

{ }aaaaa >>> 21 ,,0 .

136

17. ( ) ( )[ ] ( ) ( )1,,erf1exp 171

0

222 ±βα=β+α−±α−∫∞

Wdzzzz m

{ ( ) ( ) ( )2 2lim Re 1 ln , lim Rez z

z z m z z→∞ →∞

α + αβ − − = +∞ α = ±∞ }.

18. ( ) ( )[ ] ( )

−

αα

απ=α−±α−

+

∞

∫112

01

222 arctg4

1!

!2erf1exp

mmm

mm

dzzzz

( )

( ) ( ) ( )

α+αα+α− ∑

−

=+−

1

012

122

2

14!12

!m

kkkm

k

k

{ ( ) ( )2 2 2 21lim Re 2 2 ln

zz z m z

→∞ α + α − − = +∞

(for 0>m );

( ) 0Re 1 >α± z if }∞→z .

19. ( ) ( ) ( )[ ] ( )

−

αα

απ±=αβ+αα−

+

∞

∫112

01

222 arctg4

1!

!2erferfexp

mmm

mm

dzzzzz

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )AW

k

km

kkkm

,,4!12

! 171

1

012

122

2

1 βα−

α+αα+α− ∑

−

=+−

{ ( ) ( )2 2lim Re 1 lnz

z z m z→∞

α + αβ − − =

( ) ( )[ ] +∞=−−α+α=∞→

zmzzz

ln22Relim 221

22 (for 0>m );

1=A if ( ) +∞=α∞→

zz

Relim , 1−=A if ( ) −∞=α∞→

zz

Relim ;

( ) ( )1Re Re 0z z± α +β ⋅ α > if }∞→z .

20. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 1

0

2 !exp erf erf

4 !m

m m

mz z z z dz

m

∞

+−α α α = − ×

π α∫

( ) ( )

( ) ( )

21

21 2 0

2 ! !arctg arctg

! 2 1 ! 4

m

m kk

m k

m k

−

−=

α α× − × α α π + α

∑

( ) ( )1 2

1 12 2 2 21 2

k k+ +

α α ×

α + α α + α

( ) ( )[ ]=−−α+α∞→

zmzzz

ln22Relim{ 221

22

137

( ) ( )2 2 2 22lim Re 2 2 ln

zz z m z

→∞ = α + α − − = +∞

(for 0>m );

( ) ( ) 0ReRe 21 >α⋅α± zz if }∞→z .

21. ( ) ( ) ( )[ ] =β+α−β+αα−∫∞

021

222 erferfexp dzzzzz m

( ) ( ) ( ) ( )17 172 11 1, , 1 , , 1W W= α β ± − α β ±

{ ( ) ( )2 21lim Re 1 ln

zz z m z

→∞ α + αβ − − =

( ) ( ) ( )2 22lim Re 1 ln , lim Re

z zz z m z z

→∞ →∞ = α + αβ − − = +∞ α = ±∞

}.

22. ( ) ( )[ ] =β+α−±α−∫∞

+

01

2212 erf1exp dzzzz m

( )[ ] ( ) ( )AWmm

,,,erf1)(2

!1

217212

βαα−β−±α

=+

{ ( ) ( )2 2 2 21 1lim Re 2 2 1 ln

zz z z m z

→∞ α + α + α β − − = +∞

;

1=A if 2 21lim Re

zz

→∞

α + α = +∞

,

1−=A if 2 21lim Re

zz

→∞

α + α = −∞

; ( )1Re 0z± α +β > if }∞→z .

23. ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 22 2

0

1 !exp 1 erf erf 1

2

mm

mm

z z z dz∞

++

−

α ± − α +β = β + α

∫

( ) ( )( )

22 10

2 !1 exp4 !

m

k kk

k

k +=

+ −βπ − β

∑

{ ( ) ( )lim Re ln , Re 0z

z m z z→∞

αβ − = +∞ ± α +β > if }∞→z .

24. ( ) ( ) ( )[ ] =β+αβ+αα−∫∞

+

02211

2212 erferfexp dzzzzz m

( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )222

2172111

21722112

,,,,,,erferf2

! AWAWmm

βααβαα+ββα

=+

{ ( ) ( )2 2 2 21 1 1lim Re 2 2 1 ln

zz z z m z

→∞ α + α + α β − − =

138

( ) ( )2 2 2 22 2 2lim Re 2 2 1 ln

zz z z m z

→∞ = α + α + α β − − = +∞

, 1=sA if

2 2lim Re sz

z→∞

α + α = +∞

, 1−=sA if 2 2lim Re sz

z→∞

α + α = −∞

;

( ) ( )1 1 2 2Re Re 0z z± α +β ⋅ α +β > if }∞→z .

25. ( ) ( ) ( )2 1 2 21 1 2

0exp erf erfmz z z z dz

∞+ α α +β α +β = ∫

( )( ) ( ) ( ) ( )17 2

1 2 1 1212

! erf erf , , ,2

mm W A

+= β β + −α α β

−α

( )( ) ( )

( )221 2 12 0 2

2 !! exp4 !2

m

m k kk

km

k+ +=

−β− βπ −α

∑

{ ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 2lim Re 2 2 1 ln lim Re ln

z zz z z m z z m z

→∞ →∞ α −α + α β − − = αβ − = +∞

;

1=A if 2 21lim Re

zz

→∞

α −α = +∞

, 1A = − if 2 21lim Re

zz

→∞

α −α = −∞

;

( ) ( )2 1 1Re Re 0z z± α +β ⋅ α +β > if }∞→z .

26. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 21 12 2

0

1 !exp erf erf erf erf

2

mm

mm

z z z z dz∞

++

− α α +β − α +β = β − β + α

∫

( )( )

( ) ( )

β−

β−β−

β−π+

++=∑ 2

122112

10exp1exp1

!4

!21kk

m

kk k

k

{ ( ) ( )1lim Re ln lim Re lnz z

z m z z m z→∞ →∞

αβ − = αβ − = +∞ }.

27. ( ) ( ) ( )( )

( )2

1

2 21 1 2 2exp erf erf

Tn

Tz z z z z dz

∞

∞−α +β α +β α +β = ∫

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1117

411217

31 ,,,,,,,, ββαα+ββαα= nWnWA

( ) ( ) ( ) ( )17 1722 2 2 2 23 4, , , , , , , ,A W n W n α α β β + α α β β

{( )

( ) ( )1

2 2 2 21 11lim Re 2 2 ln

z Tz z z z n z

→∞ α + α + α β −β − − =

( )( ) ( )[ ]=−−β−βα+α+α=

∞→znzzzz

Tzln22Relim 11

221

22

2

( )( ) ( )[ ]=−−β−βα+α+α=

∞→znzzzz

Tzln22Relim 22

222

22

1

139

( )( ) ( )[ ] +∞=−−β−βα+α+α=

∞→znzzzz

Tzln22Relim 22

222

22

2;

1=sA if ( ) ( )2 1

2 2 2 2lim Re lim Res sz T z T

z z→∞ →∞

α + α = − α + α = +∞

,

1−=sA if ( ) ( )2 1

2 2 2 2lim Re lim Res sz T z T

z z→∞ →∞

α + α = − α + α = −∞

,

0=sA if ( ) ( )1 2

2 2 2 2lim Re lim Res sz T z T

z z→∞ →∞

α + α ⋅ α + α = +∞

;

( ) ( )1 1 2 2Re Re 0z z± α +β ⋅ α +β > if ( )1Tz ∞→ and ( )}2Tz ∞→ .

Introduced notations:

1) ( ) ( ) ( )( )

×α

+

β

−α

π=βα ∑

−

=+++

1

012

2

12117

1 !2!

!22

erf!4

!2),,(

m

kmmm

km

mA

m

mAW

( )( )22 2 1 2

0

exp1 exp erf22 2 2 ! 2 1 2 !

k lk

ll

Al k l

+ −

=

−β β β β × − − + × π + − ∑

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

1 1 0 0

1 ! ! 2 ,! 2 1 2 ! 2 1 ! 2 2 ! !2 2 !

k l r l r k l rk l k l

l rl r l r

r ll k l l k l rr

− + − − +

−= = = =

β β × − + − + −

∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( )( )

21171 2 1 1 2 1

0

2 ! !1, 0,! 4 2 2 1 !

m

m m m kk

m kW A

m k

−

+ + + −=

π α = − πα +

∑ ;

2) ( ) ( )2 217 1 12

12 2 22 2 2 211 1

!, , , exp erf

2

mW A A

α α βα β α α β = − − × α + α α + α α + α

( )

( )( )

( ) ( )( )

2 21 21

1 22 2 20 0 1

2 ! ! exp2! 4 ! 2 2 !

k lm k

m k k llk l

k m

k l k l

−

+ − −= =

α β α× + −β ×

πα − α + α∑ ∑

( )

( ) ( )( )

( ) ( )2 1 2 2

11 22 2 21 1 1 1

2 ! !1! 2 2 !! 4 2 !

k l rm k l

m k k l rl rk l r

k rl k lk r

− − +

+ − − +−= = =

α β× −

−α α + α∑ ∑ ∑

( )( ) ( )

( )

( ) ( )2 1 2 2

122 21 1 1

1 !2 1 ! 2 1 2 ! 1 !

k l rk l

k l rl r

ll k l r

− − +

− += =

− α β

− − + − − α + α

∑ ∑ ,

140

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )17 2 1

12 12 2 2 2 2 201 1

2 !!, , 0,2 4 !

m

m k kkk

kmW A Ak

+ −=

αα α =

α + α α α + α∑ ;

3) ( ) ( )( )

2 2 217 2 1 1 11 13 2 22 2 2 11

4 4!, , , , exp4 42

nnW n

β − α β − α ββα α β β = × α + α α α + α

( ) ( )( ) ( )

( )

1/2 1 2

1 1

4 2 2 !!2 ! 1 2 ! 1 !

k ln E n n k k

k l

lkk n k l

+ −− + −

= =

−β× ×+ − −

∑ ∑

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )×

−β

−α+α−−

βα+βααα× ∑∑

=

−

=−−

−−++−− 2/

1

2

1122

12

2211

22121

222

!2!!22!1

2 nE

k

knl

rrl

rlrlrlk

knkrlr

( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 1 22 2 2 21 1 1 12 12 21 0 1

21 !

! 2 1 2 !

k l r l rl rk l

l rl r

lr l r

− + − −−−

− −= =

α α α β + α β

× − − − α + α

∑ ∑ ,

( )

( )217 1 12

13 2 22 2 21

!( , , , , ) exp

2 42nn

W n α β α β

α α β − = × α α α α + α

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )∑ ∑

−

=

−

=

+−−−+

α+α

α−+

β×

2/

1

1

0 21

22

1221

!

!24!21!2

!nEn

k

k

ll

lklkkn

l

lknk

k ,

( ) ( ) ( )×

α+α

βα−

α+α−=βαα

21

2

21

2

21

211

2173 exp

!4

!2,0,,,2m

mmWm

( )

( )( )

( ) ( )2 1 22 21 11

1 2 12 2 21 01

21 !

! 2 1 2 !

k lk lm k

m k k lk l

k

l k l

− −−−

+ − − −= =

α β−×

α − − α + α∑ ∑ ,

( ) ( ) ×

α+α

βα−

α+α=βαα+

21

2

21

2

21

211

2173 exp!,0,,,12 mmW

( )

( ) ( ) ( )2 1 2 2 21 1

1 2 12 2 20 0 1

2 !

! 4 ! 2 2 !

k l k lm k

m k klk l

k

k l k l

+ − −

+ − −= =

α β×

α − α + α∑ ∑ ;

4) ( ) ( ) ×

α+αα

βα+βα

α

β

α

π=ββαα

21

211

2

2

2

1117

42

2erf

4exp

2

!,,,,n

nnW

141

( )

( )∑=

−

−

α−

β×

2/

022

2

!2!

nE

kkn

kn

knk,

( ) ( ) ( )

α+α

αβ

α

π=βαα

+ 21

21

121117

4 erf!4

!2,0,,,2

mm m

mmW ,

( ) ( ) 0,0,,,12 1117

4 =βαα+mW ;

5) ( ) ( ) ×

α−αα

βα−βα

α

β−

α

π=ββαα

221

112

2

2

1117

52

2ierf

4exp

2

!,,,,n

nnW

( )( )

( )∑=

−

−−

α−

β−×

2/

022

2

!2!

1nE

kkn

knkn

knk,

( ) ( ) ( )( )

α−α

αβ

α−

π=βαα

+ 221

11211

175 ierf

!4

!2,0,,,2

mm m

mmW ,

( ) ( )171 15 2 1, , , 0, 0W m + α α β = .

2.18. Integrals of ( ) ( )[ ]221 experf β+α−β+α zzz n ,

( ) ( )21 21 erf expnz z z ± − α + β − α + β ,

( ) ( )12erfexp β+αβ zzz n , ( ) ( )[ ]1

2erf1exp β+α−β zzz n ,

( ) ( ) ( )[ ]222

112 erferfexp β+α−β+αβ zzzz n

2.18.1.

1. ( ) ( )[ ] 2212

212

erf14

experf1

β−β

+π

=β+−β+∫+∞

β− adzazaz

a { }0>a .

2. ( ) ( )2

0

22

2erf1

42experf

β

−π

−π

=−β+∫+∞

aadzzaaz { }0>a .

3. ( ) ( )[ ] 2

0

2

2erf1

4experf

β

−π

=β+−∫+∞

adzazaz { }0>a .

142

4. ( )[ ] ( )[ ] =β+−β+−∫+∞

β− adzazaz

1

221 experf1

( ) ( )1 2

1 21 erf expa

az az dzβ

−∞

= − − − −β − −β = ∫

( )[ ]2

2121

2erf1

4erf1

2

β−β

+π

−β−β+π

=aa

{ }0>a .

5. ( ) ( )20

1 erf expaz az dz+∞

− +β − +β = ∫

( ) ( ) ( )0 221 erf exp 1 erf

4az az dz

a−∞

π = − − − −β − −β = − β ∫ { }0>a .

6. ( ) ( ) ( ) ( )0

2 2

01 erf exp 1 erf expaz az dz az az dz

+∞

−∞

− − +β = − − − − −β = ∫ ∫

( )[ ]2

2erf1

4erf1

2

β

−π

−β−π

=aa

{ }0>a .

7. ( ) ( )[ ]

β−βπ

=β+−β+∫+∞

∞− 2erfexperf 212

21 adzazaz { }0>a .

8. ( ) ( )1

22 1 2

1 2erf exp erf 14 2

z z dz∞

−β α

β −βπ α +β − α +β = ± α ∫

( )[ ]=+αβ+αβ+α∞→

zzzzz

lnRelim{ 2122

( ) ( )2 22lim Re 2 ln , lim Re

z zz z z z

→∞ →∞ = α + αβ + = +∞ α = ±∞

}.

9. ( ) ( )2

2 2

0erf exp erf 1

2 4 2z z dz

∞ βπ πα +β −α = − α α

∫

( )[ ] ( )[ ] ,lnRelimlnRelim{ 2222 +∞=+αβ+α=+α∞→∞→

zzzzzzz

( ) ±∞=α∞→

zz

Relim }.

10. ( ) ( )[ ] 2

0

2 12

erf4

experf

β

απ

=β+α−α∫∞

dzzz

( )[ ] ( )[ ] ,ln2RelimlnRelim{ 2222 +∞=+αβ+α=+αβ+α∞→∞→

zzzzzzzz

( ) ±∞=α∞→

zz

Relim }.

143

11. ( ) ( )1

21 21 erf expz z dz

∞

−β α

± − α +β − α +β = ∫

( )2

1 21 21 erf 1 erf

2 4 2 β −βπ π = ± β −β − ± α α

{ ( ) ( )2 21 2lim Re ln , lim Re

z zz z z z z

→∞ →∞ α + αβ + αβ + = +∞ α = ±∞

}.

12. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]20

2 1erf4

experf1 βαπ

=β+α−β+α−±∫∞

dzzz

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

13. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2

0

2

2erf1

4erf1

2experf1

β

απ

−βαπ

=β+α−α−±∫∞

dzzz

{ ( ) ( )2 2lim Re ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

14. ( ) ( )[ ]

β−β

απ

=β+α−β+α∫αβ−

αβ− 2erf

2experf 2122

212

1

dzzz .

15. ( ) ( )[ ] =β+α−β+α∫αβ+β−

αβ−

)2()(2

2121

1

experf dzzz

2 21 2 1 2erf erf4 22

β −β β −βπ = − α .

2.18.2.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) =β−=β+− ∫∫β

∞−

∞+

β−

a

adzazbzdzazbz 22 erfexperfexp

2

2

2

42erf1

4

4exp1

−

β+=

ab

a

abbb

{ }0,0 >> ba .

2. ( ) ( )1

22 1

1 2

41exp 1 erf exp4a

az az dzaβ

β βββ ββ

+∞

−

− − + = ×

∫

ββ−

β−

β+×

aa1

2

exp142erf1 { }0>a .

144

3. ( ) ( ) ( )[ ] −

β+

ββ

=−β∫∞+ 2

222

2

02

21

24

2 erf1

4exp1erferfexp

aadzzazaz

2

121

2

42

erf14

exp1

β+

ββ

−aa

{ }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( )[ ]

β

ββ−ββ

=β+−β∫+∞

∞− aa

adzazz

42

erf4

4exp4erf1exp

21

2

12 { }0>a .

5. ( ) ( ) ( )[ ] ×

ββ−ββ

=β+−β+β∫+∞

∞−22

222

222

112

4

4exp4erferfexp

a

adzzazaz

β

ββ−ββ

−

β×

121

112

2 42

erf4

4exp4

42

erfaa

aa

{ }0,0 21 >> aa .

6. ( ) ( )1

2212

1 24 21exp erf exp erf 1

44z z dz

∞

−β α

β − αββ β β α +β = − ± β αα

∫

{ ( )[ ] ,ln342Relim 122 +∞=+β−αβ+α

∞→zzzz

z

( ) ( )lim Re , lim Rez z

z zβ α→∞ →∞

= −∞ = ±∞ }.

7. ( ) ( )[ ] ×

α

αββ−ββ

=β+α−β∫∞

αβ−2

12

12

4

4exp1erf1exp

1

dzzz

αββ

−β

−

±

αβ

× 12

exp1142erf { ( )[ ]=+β−αβ+α

∞→zzzz

zln22Relim 1

22

( )2 21lim Re 2 4 3ln

zz z z z

→∞ = α + αβ −β + = +∞

, ( ) ±∞=α∞→

zz

Relim }.

8. ( ) ( ) ( )[ ] −

±

αβ

α

ββ

=α−αβ∫∞ 2

222

2

02

21

2 14

2erf

4exp1erferfexp dzzzz

2

121

2

42

erf4

exp1

+

αβ

α

ββ

− A

{ ( ) ( )2 2 2 21 2lim Re 2ln lim Re 2ln

z zz z z z z z

→∞ →∞ α −β + = α −β + =

( )[ ] ( )[ ] +∞=+β−α=+β−α=∞→∞→

zzzzzzzz

ln32Relimln32Relim 222

221 ;

145

1=A if ( ) +∞=α∞→

zz

1Relim , 1−=A if ( ) −∞=α∞→

zz

1Relim ;

( )2lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

9. ( ) ( )( ) ( )

×

α

αββ−ββ

=β+αβ∫ααβ−β

αβ−2

1222

12

4

4exp1erfexp

21

1

dzzz

22 2

22exp erf 2erf

4 2 4β β βα α α

× − .

10. ( ) ( )( ) ( )

×

α

αββ−ββ

=β+αβ∫ααβ−β

αβ−2

1244

12

4

4exp1erfexp

21

1

dzzz

αβ

−

αβ

×42

erf4

erf2 22 .

2.18.3.

1. ( ) ( ) ( )

1

22 1 2

1 2 22erf exp exp

24az az az dz

a

+∞

−β

β −β + β − +β = − × ∫

2

1 2 2 1 221 erf 1 erf

42 2aβ β π β β β − − × + − +

{ }0>a .

2. ( ) ( )2

22

0

2erf exp exp 1 erf2 24

z a z a z dza

+∞ β β − +β = − − − ∫

2

2 2erf1

4

β

−βπ

−a

{ }0>a .

3. ( ) ( )1

21 21 erf exp

az az az dz

+∞

−β

− +β − +β = ∫

( ) ( )1 2

2 2 1 21 2 21 erf exp 1 erf

24

az az az dz

a

β

−∞

πβ β −β = − − −β − −β = + − ∫

( ) ( )2

1 2 1 2 21 22 2

2 exp 1 erf 1 erf2 24 2a a

β −β β −β πβ − − + − + β −β +

( )21 221 exp

2a + − β −β

{ }0>a .

146

4. ( ) ( ) ( ) ( )0 22

01 erf exp 1 erf expz az az dz z az az dz

+∞

−∞

− +β − +β = − − −β − −β = ∫ ∫

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]β−−β−βπ

−β−β−= 2erf14

2erf14

erf1erf2

12

22

22 aaa

{ }0>a .

5. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] =β−−−−=β+−− ∫∫∞−

+∞ 02

0

2 experf1experf1 dzazzazdzazazz

×βπ

−

β

−

β−−

β

−βπ

=2

2

2

2

2 22erf1

2exp

4

22

erf14 aaa

( )[ ] ( )22

exp2

1erf1 β−+β−×a

{ }0>a .

6. ( ) ( )2 2 2 11 2 2 2

1erf exp erf2 2

z az az dza a

+∞

−∞

πβ β −β + β − +β = + × ∫

( )22 1exp2

β −β × −

{ }0>a .

7. ( ) ( )1

2 1 21 2 2

1erf exp erf 124

z z z dz∞

−β α

β −β α +β − α +β = ± × α ∫

( )21 2 1 222 exp erf 1

2 2

β −β β −β × − − πβ ±

{ ( )2 21 2lim 2Re ln

zz z z z

→∞ α + αβ + αβ + =

( ) ( )2 22lim Re 2 , lim Re

z zz z z

→∞ →∞= α + αβ = +∞ α = ±∞ }.

8. ( ) ( )2 20

1erf exp erf 124

z z z dz∞ β α − α +β = − × α ∫

22 exp erf 1

2 2

β β × − + π β

{ ( ) ( ) ( )2 2 2 2lim 2Re ln lim Re 2 , lim Rez z z

z z z z z z→∞ →∞ →∞

α + αβ + = α + αβ = +∞ α = ±∞ }.

9. ( ) ( )1

2 1 21 2 2

11 erf exp erf 124

z z z dz∞

−β α

β −β ± − α +β − α +β = ± × α ∫

147

( )−

β−β−−

±

β−β

βπ×2

exp212

erf2

21212

( )[ ] ( )[ ]2212212

2 exp2

1erf12

β−β−α

±β−β±α

βπ−

{ ( ) ( )2 21 2lim 2Re ln , lim Re

z zz z z z z

→∞ →∞ α + αβ + αβ + = +∞ α = ±∞

}.

10. ( ) ( ) ( )22

0

21 erf exp erf 2 14

z z z dz∞

± − α +β − α +β = β − α∫

( ) ( ) [ ]2 22 2

1erf 1 exp erf ( ) 14 2πβ

− β − −β β α α

{ ( ) ( )2 2lim 2Re 2 ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

11. ( )[ ] [ ]

+

β−

β

α=β+α−α−±∫

∞

2exp21

2erf

4

1)(experf12

20

2dzzzz

( )[ ] ( )222

exp2

1erf12

12

erf β−α

±βα

βπ−

β

βπ+

{ ( ) ( )2 2lim 2Re ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

12. ( ) ( )2

1

2 1 21 2 2

2erf exp erf22

z z z dz−β α

−β α

β −β α +β − α +β = × α∫

( ) ( )2

1 2 22 1 21 22 2

1exp erf erf2 2 22

β β π β β β β βα α

− − × − − − −

.

13. ( ) ( )[ ]( ) ( )

×

β−β

α=β+α−β+α∫

αβ+β−

αβ− 2erf

4

2experf 212

22

2121

1

dzzzz

( )21 2 2 1 2 1 22 22

exp erf erf2 2 24

β −β πβ β −β β −β × − + − − α

( )

β−β−

β−β

α−

4exp

2erf

2

1 22121

2.

148

2.18.4.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) =β−−=β+− ∫∫β

∞−

∞+

β−

a

adzazbzzdzazbzz 22 erfexperfexp

+

−

β+β−−=

2

2

2

22

22

42erf1

4

4exp

2

22ab

a

abb

ba

abba .

−

β+

π+

ab

a

abbab 4

2erf18

8exp

22

2

2 { }0,0 >> ba .

2. ( ) ( )1

1 121 2

2exp 1 erf exp2a

az z az dz

a aa

+∞

−β

+ββ ββ β − +β = − + × π β β∫

×

ββ−β

β

ββ−−β+

+

β

ββ−β×

21

2

221

22

21

2

4

4exp

2

221

42

erf8

8exp

a

a

a

aaaa

a

2

142erf

+

β×

a { }0>a .

3. ( ) ( ) ( )[ ] +

+

β

β

βπ=−β∫

+∞1

42

erf8

exp2

2erferfexp22

2

2

202

21

2aaa

dzzazazz

22 2 2 22

2 2 2 22 12 2 1

2 2 2exp erf 1 exp4 22 4 8

aa aa a a

β − β β β+ + − × π ββ

2

121

2

221

221

11

42

erf4

exp2

21

42

erf

+

β

β

β

β−+

+

β×

aaa

aa

{ }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( )[ ] +

π

ββ−ββ

=β+−β∫+∞

∞− 22

8

8exp2erf1exp

21

2

12

a

aa

dzazzz

2 2 21

22 2 2exp erf

48

a aa aa

β − − ββ β β+ β

{ }0>a .

5. ( ) ( ) ( )[ ] ×

ββ−ββ

=β+−β+β∫+∞

∞−22

222

222

211

2

8

8exp2erferfexp

a

aa

dzzazazz

2 2 222 22 1 12 22 2 12 1

2 2 822 2exp erf exp42 8 8

a a aa aa a

β − − ββ β − βββ β × + − × α β βπ

149

2 2 21 1121 11

2 2 22 exp erf42 8

a aaa

β − − ββ β β × + α βπ

{ }0,0 21 >> aa .

6. ( ) ( )1

2 2 21 12

1 2 2 22 2 4

exp erf exp2 4

z z z dz∞

−β α

α + αββ −β β − αββ β α +β = × α β α

∫

±

αβ

α

αββ−β

αβπ−

±

αβ

× 142

erf8

8exp

221

42

erf2

122

{ ( )2 21lim Re 2 4 2ln

zz z z z

→∞ α + αβ −β + = +∞

,

( ) ( )lim Re ln , lim Rez z

z z z→∞ →∞

β + = −∞ α = ±∞ }.

7. ( ) ( )1

22 1

1 282 2exp 1 erf exp erf 1

42 8z z z dz

∞

−β α

β − αββ β β − α +β = ± + απαβ α ∫

αββ

−αβ

ββ+α+

±

αβ

α

αββ−β

βα

αββ−α−β+ 1

21

2

21

2

221

22exp1

42erf

4

4exp

2

22

{ ( )[ ]=+β−αβ+α∞→

zzzzz

ln2Relim 122

( )2 21lim Re 2 4 2ln

zz z z z

→∞ = α + αβ −β + = +∞

, ( ) ±∞=α∞→

zz

Relim }.

8. ( ) ( ) ( )2

2 21 2 2 22 20

2 2exp erf erf exp erf 142 8

z z z z dz∞ β β β α − α = ± + απα β α ∫

22 2 2 2

22 2 2 22 2 2 11

2 2 2exp erf 1 exp2 4 4 82β α β β βα β α α απα β

−+ ± − ×

22 2 21

2 2 21 11 1

22 2erf exp erf4 42 4

A A α −β β β β × + + + α α α β α

{ ( ) ( )2 2 2 21 2lim Re ln lim Re ln

z zz z z z z z

→∞ →∞ α −β + = α −β + =

( ) ( )2 2 2 21 2lim Re 2 2ln lim Re 2 2ln

z zz z z z z z

→∞ →∞ = α −β + = α −β + = +∞

;

1=A if ( ) +∞=α∞→

zz

1Relim , 1−=A if ( ) −∞=α∞→

zz

1Relim ;

( )22lim Re

zz

→∞α = ±∞ }.

150

9. ( ) ( )( ) ( )2

1

1

2 2 2 22 1

1 2 22 2exp erf2

z z z dzβ− αβ α

−β α

β − α − αβββ α +β = ×

α β∫

2 221 1

2 22 42exp erf exp erf

2 22 4

β − αββ β − αβββ β × + + α απ αβ α α

2 2 221 1

2 2 22 2 4 2 4exp erf

4 24

α + αββ −β β − αββ β+ − × α π αβα β α

αβ

α

αββ−β×

42erf

8

8exp

21

2.

10. ( ) ( )( ) ( )

×βα

αββ−α−β=β+αβ∫

ααβ−β

αβ−22

12244

12

4

883erfexp

21

1

dzzzz

2 221 1

2 24 3 162exp erf exp erf

4 44 16

β − αββ β − αβββ β × + + α απ αβ α α

2 2 221 1

2 2 22 2 4 2 2exp erf

4 22 4

α + αββ −β β − αββ β+ − × α π αβα β α

αβ

α

αββ−β×

42erf

8

8exp

21

2.

2.18.5.

1. ( ) ( ) ( ) ( )1

1821 2 1 21erf exp , , , ,1n

az az az dz W n a

+∞

−β

+ β − +β = β β ∫ { }0>a .

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,21,0,,,2experf 182

181

0

222 β−β=−β+∫+∞

amWamWdzzaazz m

{ }0>a .

3. ( ) ( ) ( ) ( )1821

0erf exp , , 0, ,1nz az az dz W n a

+∞ − +β = β ∫ { }0>a .

4. ( ) ( ) ( )1

2 11 21 erf exp 1 nn

az az az dz

+∞+

−β

− +β − +β = − × ∫

( ) ( )1 2

1 21 erf expa

nz az az dzβ

−∞

× − − −β − −β = ∫

151

( ) ( ) ( ) ( )18 181 2 1 23 1, , , ,1 , , , ,1W n a W n a= β β − β β { }0>a .

5. ( ) ( ) ( )2 1

01 erf exp 1 nnz az az dz

+∞+ − +β − +β = − × ∫

( ) ( )( )

( ) ( )0

18241

!1 erf exp , ,1nn

nz az az dz W na +

−∞

× − − −β − −β = β −∫ { }0>a .

6. ( ) ( ) ( )2 1

01 erf exp 1 nnz a z az dz

+∞+ − − +β = − × ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

18 1823 11 erf exp , , 0, ,1 , , 0, ,1nz a z az dz W n a W n a

−∞

× − − − −β = β − β ∫ { }0>a .

7. ( ) ( ) ( ) ( )1821 2 1 25erf exp , , ,nz az az dz W n a

+∞

−∞

+ β − +β = β β ∫ { }0>a .

8. ( ) ( )[ ] ( ) ( )1,,,,experf 2118

12

211

±ββα=β+α−β+α∫∞

αβ−nWdzzzz n

{ ( ) ( )2 21 2lim 2Re 2 ln

zz z z n z

→∞ α + αβ + αβ − − =

( ) ( ) ( )2 22lim Re 2 1 ln , lim Re

z zz z n z z

→∞ →∞ = α + αβ − − = +∞ α = ±∞

}.

9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,,,21,0,,,2experf 182

181

0

222 βα−±βα=α−β+α∫∞

mWmWdzzzz m

{ ( ) ( )[ ]=−−αβ+α∞→

zmzzz

ln1Relim 22

( ) ( ) ( )2 2lim Re 2 1 ln , lim Rez z

z m z z→∞ →∞

= α − − = +∞ α = ±∞ }.

10. ( ) ( ) ( ) ( )1821

0erf exp , , 0, , 1nz z z dz W n

∞ α − α +β = α β ± ∫

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 1 lnz

z z n z→∞

α + αβ − − =

( ) ( ) ( )2 2lim 2Re 2 ln , lim Rez z

z z n z z→∞ →∞

= α + αβ − − = +∞ α = ±∞ }.

11. ( ) ( ) ( ) ( )1

1821 2 1 23

/1 erf exp , , , , 1nz z z dz W n

∞

−β α

± − α +β − α +β = α β β ± − ∫

152

( ) ( )1,,,, 2118

1 ±ββα− nW

{ ( ) ( )[ ] +∞=−−αβ+αβ+α∞→

znzzzz

ln2Re2lim 2122 , ( )lim Re

zz

→∞α = ±∞ }.

12. ( ) ( )( )

( ) ( )18241

0

!1 erf exp , , 1nn

nz z z dz W n∞

+ ± − α +β − α +β = β ± −α

∫

{ ( ) ( ) ( )2 2lim 2Re 2 2 ln , lim Rez z

z z n z z→∞ →∞

α + αβ − − = +∞ α = ±∞ }.

13. ( ) ( ) ( ) ( )1823

01 erf exp , , 0, , 1nz z z dz W n

∞ ± − α − α +β = α β ± − ∫

( ) ( )1,,0,,181 ±βα− nW

{ ( ) ( ) ( )2 2lim 2Re 2 ln , lim Rez z

z z n z z→∞ →∞

α + αβ − − = +∞ α = ±∞ }.

14. ( ) ( )[ ] ( ) ( )2118

22

21 ,,,experf2

1

ββα=β+α−β+α∫αβ−

αβ−nWdzzzz n .

15. ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1 2

1

2182

1 2 1 26erf exp , , ,nz z z dz W n− β +β α

−β α

α +β − α +β = α β β ∫ .

2.18.6.

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2exp erf 1 exp erfa

nn n

az bz az dz z bz az dz

β+∞

−β −∞− +β = − −β =∫ ∫

( )2 1812 1

0

4 4 !exp ( , , , ,1)24 !

n

n mm

a b ab n bW m aaa m b + −

=

+ β= β +β π

∑

{ }0,0 >> ba .

2. ( ) ( )( )1

121 1

0

!exp 1 erf exp!

nn

n mma

nz z az dza m

+∞

+ −=−β

ββ β − +β = − × −β∑∫

( )2 1811 112

4 exp ( , , , ,1)24

m a W m aa aa

β β β × − − β β − π { }0>a .

3. ( ) ( ) ( )[ ]( )

×β−βπ

=−β ∑∫=

−

+∞ n

mmn

n

m

ndzzazazz00

22

12

!

!4erferfexp

( )

×

β−

β−

β×

21

2

12

218

122

2

24

exp1,2

,0,,4

expa

aa

amWa

a

153

( )1811

1( , , 0, ,1)

2W m a

aβ

× −

{ }1 20, 0a а> > .

4. ( ) ( )[ ]( )

×β−

ββ−β

βπ=β+−β ∑∫

=−

+∞

∞−

n

mmn

n

m

na

aadzazzz0

21

2

12

!

!4

4exp4erf1exp

( )181 15 ( , , , )

2W m a

aβ

× β β − { }0>a .

5. ( ) ( ) ( )[ ]( )

∑∫=

−

+∞

∞−×

β−βπ=β+−β+β

n

mmn

n

m

ndzzazazz0

222

112

!

!4erferfexp

( )2182 2

2 2 2 2 152 22

4exp ( , , , )

24

aa W m a a

aa

β − ββ β × β β − − ×

( )2 181 11 1 152 11

4exp ( , , , )24

a W m aaa

β − ββ β× β β −

{ }0,0 21 >> aa .

6. ( ) ( )( )1

22 1

1 2 10

44 !exp erf exp4 !

nn

n mm

nz z z dzm

∞

+ −=−β α

β − αββαβ α +β = × π α −β

∑∫

( )181 11 ( , , , , 1)

2W m β× α β β − ±

α{ ( ) ( )2 2

1lim Re 2 4 3 lnz

z z z n z→∞

α + αβ −β − − = +∞ ,

( ) ( )lim Re ln , lim Rez z

z n z z→∞ →∞

β + = −∞ α = ±∞ }.

7. ( ) ( )( )1

2 1 11 1

0

!exp 1 erf exp!

mnn

n mm

nz z z dzm

∞

+ −=−β α

ββ β β − α +β = − − − α α −β ∑∫

( )2 181 112

4 exp ( , , , , 1)24

W m β βα

− α β β − ± απ α

{ ( ) ( )2 21lim Re 2 2 ln

zz z z n z

→∞ α + αβ −β − − =

( ) ( ) ( )2 21lim Re 2 4 3 ln , lim Re

z zz z z n z z

→∞ →∞ = α + αβ −β − − = +∞ α = ±∞

}.

8. ( ) ( ) ( )( )

2 21 2 1

00

4 !exp erf erf!

nn

n mm

nz z z z dzm

∞

+ −=

β α − α = × π −β∑∫

( )2 2181 1 212 211 2

exp ( , , 0, , 1) exp24 4

W m β β β × α α − ± −α × αα α

154

( )1821

2( , , 0, , )

2W m A

β× α − α

{ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2lim Re 2 ln lim Re 2 ln

z zz z n z z z n z

→∞ →∞ α −β − − = α −β − − =

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] +∞=−−β−α=−−β−α=∞→∞→

znzzznzzzz

ln32Relimln32Relim 222

221 ;

1=A if ( )2lim Rez

z→∞

α = +∞ ; 1−=A if ( )2lim Rez

z→∞

α = −∞ ;

( )1lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

9. ( ) ( )( ) ( )

×

α

αββ−β=β+αβ∫

ααβ−β

αβ−2

1222

12

4

4experfexp

21

1

dzzzz n

( )( )18 1

1 121 20

2! 4 ( , , , )2 2!

mn

n mm

n W mm + −

=

β − αβα β × α β β − − × απ α −β ∑

αβ

α

β×

2erf

4exp 2

2

2.

10. ( ) ( )( ) ( )

×

α

αββ−β=β+αβ∫

ααβ−β

αβ−2

1244

12

4

4experfexp

21

1

dzzzz n

( )( )18 21

1 161 20

4! 4 ( , , , ) erf2 44!

mn

n mm

n W mm + −

=

β − αβα β β × α β β − − α απ α −β ∑ .

Introduced notations:

1) ( ) ( )( )

( )

( )+

−

β−

+

β−β

α

π=ββα ∑

=

−

+

2/

0

22

221

12118

1 !2!42erf

4

!,,,,

nE

kk

kn

n knkA

nAnW

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

/2 1 2 1 1821 271

1 0

!! 12 2 , , ,2 ! 1 2 ! !

n E n n k k

nk l

kn W l Ak n k l

− + − −

+= =

β+ β β −+ −−α

∑ ∑

( ) ( )( ) ( )

2( /2) 1 1821 27

1 0

! 2 1, , ,! 2 ! 4 2 1 !

n kE n k

k lk l

l W l Ak n k l

− −

−= =

β− + β β

− + ∑ ∑ ,

155

( ) ( ) ( )( ) ( )

×α−

+−

β−

α

π=ββα

+=

−

+ ∑ 1

)2/(

0

2

118

1!

!2!44

!,,,,n

nE

kk

kn

nn

knk

nAnW

( ) ( )

( ) ( )( )

−

−+β

× ∑∑−

=

−

=

−+ 1

02

2/

1

21

!8

!2!21!2

!2

k

ll

nEn

k

kn

l

lknk

kA

( )( ) ( )

( )

2/2 2 1

2 11 0

!1! 2 ! 2 2 1 !

E n n k k

k lk l

lk n k l

− −

+ −= =

β −− π +

∑ ∑ ,

( ) ( ) ( )1 1

218 1

11 1 2 11

2 !2 , , , 0, erf

24 !n nn

W n A An+ +

π β α β = + + α

( )( )

( ) ( )1

1 1

1 18172 1

01

2 ! !2 2 1, , 0,! 4 2 1 !

n

n n kk

n k W k An k

−

+ −=

+ + βα +

∑ ,

( ) ( ) ( ) ( )1

1

18 1811 71 2 2

0

! 12 1, , , 0, 2 , , 0,!

n

nk

nW n A W k Ak+

=+ α β = β

α∑ ;

2) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )/2 1 218 2

1 2 2 12 11

!!, , , erf2 ! 1 2 !

n E n n k

nk

knW nk n k

− + −

+=

βα β β = β −β +

+ −−α∑

( )( )

( )

( )

2/222 2 1

1 10

! !erf 222 4 ! 2 !

n kE n

n k nk

n nk n k

−

+ +=

−ββ −βπ + + × α − −α

∑

( )( )

( )

/2 2 12

1 0

!! 2 ! 4 2 1 !

E n n k k

k lk l

lk n k l

− −

−= =

β× ×− +

∑ ∑

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

ββ

−+

β−ββ+× ∑∑

−

=

−

=

−+

2118

8

1

0

2/

1

212

2118

8 ,,2!

1!21!2

!,,12 lW

lknkk

lWk

l

nEn

k

kn,

( ) ( ) ( )( )

( )×

α−

β

α

π=βα

++ 121

1212

1

11

182 11 !

!22

2erf

2!

!20,,,2

nn n

n

n

nnW

( )( ) ( )

1

1

1 188

0

! 2 1, , 04 2 1 !

n

n kk

k W kk

−

−=

× + β+

∑ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1

18 18112 82 2

0

erf! 12 1, , , 0 2 , , 02 !

n

nk

nW n W kk+

=

β+ α β = − − β

α ∑ ;

3) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) 2/218 2

1 2 1 23 10

!, , , , 1 erf2 4 ! 2 !

n kE n

n kk

nW n A Ak n k

−

+=

−βπα β β = + β −β +

α −∑

156

( )( )[ ]

( )

( ) ( )( )

+

+

β−β−

ββ−β−

α−+ ∑∑

−

=−

+

=

−

+

1

0

1221

2/

1

222

211 !124

!!2!

exp! k

llk

lnE

k

kn

n l

lknk

nA

( ) ( )

( ) ( )

β−β−+

β+ ∑∑

−

=

−

=

−+ 1

0

221

2/

1

212

!!21!2! k

l

lnEn

k

kn

lknkk

,

( ) ( ) ( )( )

( )

( )×

α−+

−

β−

α

π=ββα

+=

−

+ ∑ 1

2/

0

2

118

3!

!2!42

!,,,,n

nE

kk

kn

nnA

knk

nAnW

( ) ( )

( )∑

−

=

−+

−+β

×2/

1

21

!21!2!nEn

k

kn

knkk ,

( ) ( )( )

( )( )[ ] ( )

×α

−β+α

π=βα

++ 121

112

1

11

183 11 !

!2erf1

2!

!2,0,,,2

nn n

nAA

n

nAnW

( )( )

∑−

=−

+

+

ββ−×

1

0

`122 1

1 !124

!expn

kkn

k

k

k,

( ) ( )( )

∑=

+β

α

β−=βα+

1

1 0

2

22

21

118

3 !2

exp!,0,,,12

n

k

k

n kn

AAnW ;

4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

/2 1 2 2118 24

1 0

!1, , exp erf! 2 ! 4 2 1 !

E n n k lk

k lk l

lW n A A

k n k l

+ − +−

−= =

ββ = −β β − − − +∑ ∑

( ) ( )

( )( )[ ] ×−βπ−

β−+

− ∑∑−

=

+−+−

=

21

0

2212/

1erf

!!21!2! A

lknkk k

l

lknnEn

k

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

×

+−

β

π

β−+

−

β× ∑∑∑

−

==

−

=+

− 1

0

22/

1

222/

01

2

!12!

!2!422exp

!2!4

k

l

nE

kk

knnE

kk

kn

ll

knkknk

( ) ( )( )( ) ( )

2 1 2 2 1( /2) 1 1

2 3 2 30 1 1 0

2 !2 ! !! 2 ! 1 2 ! 2 2 1 !!

l r r n k rn E nl k l

l rr k l r

lk rr k n k rl

+ + − +− − −

− −= = = =

β β β × − ++ − +

∑ ∑ ∑ ∑

( )( )

( ) ( )( )

/2 1 2 1

21 0

erf 2 2 !!2 !( 1 2 )!2 8 !

n E n n k k

lk l

A lkk n k l

− + − −

= =

β − β+

+ −∑ ∑ ,

( ) ( )( )

1

1 1

211814 1 2 1

01 1

2 !1(2 ,0, )2 1 !4 ! 2 !

kn

n nk

kW n A

kn n

−

+ +=

π= − +

+π∑ ,

157

( ) ( )( )

( )( )

118 114 2

1 0

2 !!2 1, 0,2 2 2 1 ! 8 !

n

kk

knW n A An k=

+ = −+

∑ ;

5) ( ) ( )( )

( )

( )×

α+

−

β−

β−β

α

π=ββα

+=

−

+ ∑ 1

2/

0

2221

12118

52!

!2!42erf!,,,

n

nE

kk

kn

nn

knk

nnW

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2 1 2 2 2/2 11 2 2 1 2

1 0 0

! 2 !exp

2 2 ! 1 2 ! 4 ! 2 ! 2 2 !

n k l rn E n k l

l rk l r

k lk n k l r l r

+ − −− −

= = =

β −β −β β −β × − − + − −

∑ ∑ ∑

( )( )

( ) ( )( )

2 2 1 2/2 12 1 2

2 11 0 0

!2 ! 2 ! 2 ! 2 1 2 !

n k l rE n k l

k rk l r

lk n k r l r

− + −−

+= = =

−β β −β−− + −

∑ ∑ ∑ ,

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

18 1 115 2 1 2 1 2 1

1 1

2 ! 2 ! 22 , , , 0 erf

24 ! 2 !n n n n

n nW n

n n+ + +

π βα β = − ×

α α

( )∑∑=

−+−

= −+

β

β−×

k

ll

lkn

k lklk

0

2121

0

2

!212!2!

2exp

1,

( ) ( ) ( )( )

1

1

2 2 218 115 2 2

0 0

2 !!2 1, , , 0 exp2 4 ! 2 ! 2 2 !2

n k lk

n k lk l

knW nk l k l

−

+= =

β β+ α β = − −α

∑ ∑ ;

6) ( ) ( )18 2 21 2 1 21 26 1

!, , , erf erf224 n

nW n+ β −β β −βπ α β β = − ×

α

( )( )

( ) ( )×

β−β

β−β−

α+

−

β−×

+=

−

∑ 2erf

4exp!

!2!421

221

1

2/

0

22

n

nE

kk

kn n

knk

( )( )

( )( )

−

+β−β

−

β−× ∑∑

−

=

+

=+

− 1

0

1221

)2/(

112

22

!12!

!2!2

k

l

lnE

kk

kn

ll

knk

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )1 2 2 2/2 /212 1 2 2

11 0 1

! !22 ! 1 2 ! ! 2 !4 !

n k l n kn E n E nk

l nk l k

k nk n k k n kl

+ − −− −

+= = =

−β β −β −β − − ×

+ − − α ∑ ∑ ∑

( )( ) ( )

1 181 29

0

! 2 1, ,4 2 1 !

k

k ll

l W ll

−

−=

× + β β ++

∑

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2/2 1 182

1 291 0

! 1 2 , ,!2 ! 1 2 !

n kn E n k

k l

kW l

lk n k

+ −− −

= =

−β+ β β+ −

∑ ∑ ,

158

( ) ( )+

β−

β

α

π=βα

++ 2erf

2erf

!4

!2)0,,,2( 22

121

11

118

6 11 nn n

nnW

( )( )

×

β

β−

α+

+ 2erf

4exp

2!

!2 2

121

11nn

n

( )( )

( )( ) ( )

1 1

1 1

1 12 1 18192 1

0 01

2 !! !2 2 1, , 02 1 ! ! 4 2 1 !

n nk

n n kk k

nk k W kk n k

− −+

+ −= =

β× − + β

+ α +∑ ∑ ,

( ) ( )1

1 1

2 218 1 116 2 2 2 2

0

! !2 1, , , 0 exp erf4 2 4 !2

n k

n k nk

n nW nk+ +

=

β β β + α β = − − − × α α ∑

( ) ( )118

9

0

2 , , 0!

n

k

W kk=

β×∑ ;

7) ( ) ( )( )

×

+

β−β

β−β−=ββ

+A

mAmW

m 2erf

2exp

22

!,,, 21

221

11

21118

7 1

( )( )

( )( )

11

1

2/222 1 1

1 210 1

! exp2 ! 2 ! 2

m rE m

r mr

mr m r

−

+=

β −β × + − β −β × − π∑

( )( )

( ) ( )( )

+

+

β−β−

β−β× ∑∑

−

=−

+

=

− 1

0

1212

2/

1 1

212

!122

!!2!

1 1 r

qqr

qmE

r

rm

q

qrmr

( )( ) ( )

( ) ( )11 1 1 2 2/2 12 1 2 1

11 0

! 2!2 ! 1 2 !

m r qm E m r qr

r q

rqr m r

+ −− −−

= =

β −β β −β+

+ −

∑ ∑ ;

8) ( ) ( )( )

×

β−β

β−β−=ββ

2erf

2exp

22

!,, 12

2121

21118

8 1mm

mW

−−

β−β× ∑

=

−)2/(

0 1

2121 1

)!2(!2

)(mE

rr

rm

rmr

( ) ( )( )

( ) ( )( )

11

1

2 2 1 2 112 1

1

2 2 1/2 1

1 0

!! exp! 2 ! 2 2 1 !2

m r qE m r

r qmr q

qmr m r qβ β β β

β βπ

− +−

−= =

− − − − − − +∑ ∑ ;

9) 1

2(18) 1 2 1 2 1

1 1 29 1! ( )( , , ) exp erf

2 22 2mmW m+

β −β β −β β β = − ×

159

( )×

β−β−

π+

−

β−β×

+=

−

∑ 2exp

2

!

)!2(!2

)( 212

11

)2/(

0 1

212

1

1 1

m

mE

rr

rm m

rmr

( )( ) ( )

( )[ ]×β−β−π

−−+

β−β×

+

−

=

−+

∑ 2121

1)2/(

1 1

2112 exp

2

!!21!2

!21

11 1

m

mEm

r

rmr mrmr

r

( )( )

( )( )

+

+

β−β−

β−β× ∑∑

−

=−

+

=

− 1

0

1212

)2/(

1 1

212

!122

!!2!

1 1 r

qqr

qmE

r

rm

q

qrmr

( )( ) ( )

( ) ( )11 1 1 2 2/2 12 1 2 1

11 0

! 2!2 ! 1 2 !

m r qm E m r qr

r q

rqr m r

+ −− −−

= =

β −β β −β+

+ −

∑ ∑ .

2.19. Integrals of ( ) ( )2( 1) erf expn n z zα β α β ± − + − + ,

( )[ ]312 erf1 zz m α−±+ , ( )[ ]zz m α−±+ 312 erf1 ,

( ) ( )2 1 3 31 2erf erfmz z z+ α α

, ( ) ( )2222 experf zzz m α−α ,

( )[ ] ( )2222 experf1 zzz m α−α−

2.19.1.

1. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]β−π

−β−π

=β+−β+−∫+∞

3

0

22 erf16

erf12

experf1aa

dzzaaz

{ }0>a .

2. ( )[ ] ( )[ ]a

dzzaaz3

2experf1 22 π=β+−β+−∫

+∞

∞−

{ }0>a .

3. ( ) ( ) ( ) ( )22 3

01 erf exp [erf 1] [erf 1]

6 2z z dz

∞ π π − α +β − α +β = β − β α α∫

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

2.19.2.

1. ( )[ ] ( )[ ]

π−

−=−−=− ∫∫∞−

+∞ 3321

2

1erf1erf12

03

0

3

adzazzdzazz { }0>a .

160

2. ( )[ ] ( )[ ]

π

+=−−=− ∫∫∞−

+∞ 321

2

1erf1erf12

03

0

3

adzazzdzazz { }0>a .

3. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =−=− ∫∫+∞

∞−

+∞dzzazazdzzazaz 2

31

3

02

31

3 erferf21erferf

−

π

+=21

22

112

341

aa { }0,0 21 >> aa .

4. ( )[ ]

π−

−α

±=α−±∫∞ 33

21

2

1erf12

0

3 dzzz

{ ( ) ( )2 2lim Re ln , lim Rez z

z z z→∞ →∞

α + = +∞ α = ±∞ }.

5. ( )[ ]

π

+α

±=α−±∫∞ 3

21

21erf1

20

3 dzzz

{ ( ) ( )2 2lim Re ln , lim Rez z

z z z→∞ →∞

α + = +∞ α = ±∞ }.

6. ( ) ( )3 3 1 21 2 2 2

1 20

1 3erf erf4 2

A Az z z dz∞ α α = − + π α α ∫

{ ( ) ( )2 2 2 21 2lim Re ln lim Re ln

z zz z z z

→∞ →∞ α + = α + = +∞

;

1kA = if ( ) +∞=α∞→

zkz

Relim , 1−=kA if ( ) −∞=α∞→

zkz

Relim ;

( ) ( )1 2lim Re lim Rez z

z z→∞ →∞

α ⋅ α = ±∞ }.

2.19.3.

1. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 23

0

1 1 1erf exp erf exp2 6 32

z az a z dz z az a z dza

+∞ +∞

−∞

π− = − = + π

∫ ∫

{ }0>a .

2. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

0

11 erf exp 1 erf exp2

z az a z dz z az a z dz+∞ +∞

−∞

− − = − − = ∫ ∫

π−

π=

31

32

13a

{ }0>a .

3. ( ) ( )2 2 2 23

0

1 1erf exp6 32

z z z dz∞ π

α −α = ± + πα ∫

161

{ ( ) ( )2 2lim Re ln , lim Rez z

z z z→∞ →∞

α − = +∞ α = ±∞ }.

4. ( )[ ] ( )

π−

π

α±=α−α−∫

∞

31

32

1experf13

0

2222 dzzzz

{ ( ) ( )2 2lim Re , lim Rez z

z z→∞ →∞

α = +∞ α = ±∞ }.

2.19.4.

1. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

0

1erf exp erf exp2

m mz az a z dz z az a z dz+∞ +∞

−∞− = − =∫ ∫

( )( )

( ) ( )1912 1 2 1

2 ! 1! 33 2 m m

mW m

m aa + +

π = + π

{ }0>a .

2. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

0

11 erf exp 1 erf exp2

m mz az a z dz z az a z dz+∞ +∞

−∞

− − = − − = ∫ ∫

( )( )

( ) ( )1912 1 2 1

2 ! 2 1! 33 2 m m

mW m

m aa + +

π = − π

{ }0>a .

3. ( )2 2 21 erf exp ( )2 1

m maz az dzm a

+∞

−∞

π − +β − +β = +∫ { }0>a .

4. ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )192 2 2 212 1 2 1

0

2 ! 1erf exp! 33 2

mm m

mz z z dz W m

m

∞

+ +

π α −α = ± + παα

∫

{ ( ) ( ) ( )2 2lim Re 2 1 ln , lim Rez z

z m z z→∞ →∞

α − − = +∞ α = ±∞ }.

5. ( ) ( ) ( )2 2 2 2

0

2 !1 erf exp

!m m

z z z dzm

∞ − α −α = ± ∫ ( )

( ) ( )1912 1 2 1

2 133 2 m m W m

+ +

π − παα

{ ( ) ( ) ( )2 2lim Re 1 ln , lim Rez z

z m z z→∞ →∞

α − − = +∞ α = ±∞ }.

2.19.5.

1. ( )[ ] ( )[ ] ( ) )(erf1erf1 192

0312

0

312 aWdzazzdzazz mm =−−=− ∫∫∞−

++∞

+ { }0>a .

162

2. ( )[ ] ( )[ ] =−−=− ∫∫∞−

++∞

+0

312

0

312 erf1erf1 dzazzdzazz mm

( )( ) ( )

( ) ( )

+

π+

++

=++

132

2

1!1!12 19

12222mW

aamm

mm { }0>a .

3. ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 3 2 1 3 31 2 1 2

0

1erf erf erf erf2

m mz а z а z dz z а z а z dz+∞ +∞

+ +

−∞

− = − = ∫ ∫

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

+

−

π+−

++

=++++

11132

2

1

2

1!1!12 19

1221

222

221

222

mWaaaam

mmmmm

{ }0,0 21 >> aa .

4. ( ) [ ]2

01 erf exp ( ) 1 erf ( )

2n az az dz

a

+∞ π − +β − +β = − β − ∫

11 erf ( )(2 2)

nn a

+π − − β + { }0>a .

5. ( )[ ] ( ) ( )α±=α−±∫∞

+ 192

0

312 erf1 Wdzzz m

{ ( ) ( )2 2lim 3Re 2 3 lnz

z m z→∞

α − − = +∞ ; ( )lim Re

zz

→∞α = ±∞ }.

6. ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )192 1 312 2 2 2

0

2 1 ! 1 2 31 erf 11 ! 2

mm m

mz z dz W m

m

∞+

+ +

+ ± − α = ± + + + παα ∫

{ ( ) ( ) ( )2 2lim Re 2 1 ln , lim Rez z

z m z z→∞ →∞

α − − = +∞ α = ±∞ }.

7. ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )

+

αα++

±=αα++

∞+∫ 22

1

122

2

2

02

31

312

22!1!12erferf

mmm AA

mmdzzzz

( ) ( )

+

ααπ+

++132 19

1221

122

2

2 mWAAmm

{ ( ) ( )2 21lim Re 2 1 ln

zz m z

→∞ α − − ( ) ( )2 2

2lim Re 2 1 lnz

z m zα→∞

= − − = +∞ ;

1=rA if ( ) +∞=α∞→

zrz

Relim , 1−=rA if ( ) −∞=α∞→

zrz

Relim ;

( ) ( )1 2lim Re lim Rez z

z z→∞ →∞

α ⋅ α = ±∞ }.

163

8. ( ) [ ]2

0( 1) erf exp ( ) ( 1) 1 erf ( )

2n n nz z dz

∞ π ± − α +β − α +β = ± ± − β − α∫

1 1( 1) erf ( )(2 2)

n nn

+ +π − ± − β + α

{ ( ) ( )2 2lim Re 2 ln , lim Rez z

z z z z→∞ →∞

α + αβ + = +∞ α = ±∞ }.

Introduced notations:

1) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

21191 220 0

! 2 !2 1 ! 2 3 !

m k

m k l lk l

k lW m

k l

−

− += =

=+∑ ∑ ;

2) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

−

+π−

α+

+=α ∑∑

==−++

k

ll

m

kkmmm l

lk

km

mW0

20

2

2

12219

2 )!(6)!2(3

2!12!

23

41

!1!12 .

2.20. Integrals of ( ) ( )[ ]1erf1sin β+α−±γ+β zzz n ,

( ) ( ) ( )1 1 2 2sin erf erfnz z z z β + γ α + β α + β ,

( ) ( )[ ]112 erf1sin β+α−±γ+β+α zzzz n ,

( ) ( ) ( )[ ]22112 erferfsin β+αβ+αγ+β+α zzzzz n

2.20.1.

1. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫∫∞−

+∞=−−−γ−=+−γ+

0

10

1 erf1sinerf1sin dzbazbzdzbazbz

( )[ ] +

+

−

γ−

−−−

γ=

aibab

abb

a

bb

bb 2

2erfRe1cos

4exp1erf1

cos 112

21

+

γ−+

aibab

abb

22

erfImsin 11 { }0>a .

2. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]+−γ

=+−+γ+∫+∞

210

2211 erferfcos

erferfsin bbb

dzbzabzabz

21 1 1

2 1 11

21 exp cos 1 Re erf24

bb a b ibbb a aa

+ + − − γ − +

164

21 1 1

21 1 2

2 1sin Im erf exp2 4

bb a b ib ba a b a

+ + − γ − − ×

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2cos 1 Re erf sin Im erf

2 2bb a b ib bb a b iba a a a

+ + × − γ − + − γ

{ }0,0 21 >> aa .

3. ( ) ( ) ( )[ ] =+−+γ+∫+∞

∞−dzbzabzabz 2211 erferfsin

γ−

−−

γ−

−=

2

222

2

1

121

2cos

4expcos

4exp2

abb

a

babb

a

bb

{ }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( )[ ] ×

αββ

−γ

α

β−

β=β+α−±γ+β∫

∞1

2

2

01 exp

4exp

21erf1sin idzzz

−

αβ+αβ

γ−

αββ

+

αβ−αβ

× 12

2erfexp1

22

erf 111

ii

i

( )[ ]1erfcos1 β

βγ

−

{ ( ) ( ) ( )2 21lim Re 2 Im 2ln , lim Re

z zz z z z z

→∞ →∞ α + αβ − β + = +∞ α = ±∞

}.

5. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]+βββγ

=β+αβ+αγ+β∫∞

2122110

erferfcos

erferfsin dzzzz

α

β−βα−

α

ββα+β−γ

β+

1

1112

1

112

22

erf4

4exp

21 i

Ai

i

+

α

β−βα−

α

ββα+β−γ

2

2222

2

222

22

erf4

4exp

iA

ii

α

β+βα−

α

ββα−β−γ−+

1

1112

1

112

22

erf4

4exp

iA

ii

α

β+βα−

α

ββα−β−γ−

2

2222

2

222

22

erf4

4exp

iA

ii

{ ( ) ( )2 21 11lim Re 2 Im 2ln

zz z z z

→∞ α + α β − β + =

165

( ) ( )2 22 22lim Re 2 Im 2ln

zz z z z

→∞ = α + α β − β + = +∞

;

1=kA if ( ) +∞=α∞→

zkz

Relim , 1−=kA if ( ) −∞=α∞→

zkz

Relim ;

( ) ( )1 2lim Re lim Rez z

z z→∞ →∞

α ⋅ α = ±∞ }.

2.20.2.

1. ( ) ( ) ( ) ( )0

2 2 2 21 1

0sin 1 erf sin 1 erfa z a z dz a z a z dz

+∞

−∞+ γ − = − + γ − − = ∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 1

1 1

2 1 2 11 sin cos Re ln sin cos Imln2 2 2 1 2 1

a i a a i a

a a i a a i a

+ + + += γ − γ + γ + γ

π − + − +

{ }01 >a .

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

12 21 2

10

2 11sin erf erf cos sin Re ln2 2 2 1

a i aa z a z a z dz

a a i a

+∞ + ++ γ − = γ − γ − π − + ∫

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

2 2 1

2 2 1

2 1 2 1 2 1Re ln sin cos Im ln Im ln

2 1 2 1 2 1

a i a a i a a i a

a i a a i a a i a

+ + + + + +− + γ + γ −

− + − + − +

{ }0,0 21 >> aa .

3.

( ) ( ) ( )[ ]

−

γ−

π=+−+γ++∫

+∞

∞−2

22211

22

4cos

22erferfsin

a

ba

dzbzabzabzza

( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 1 2 22 2 2 2 2

1 2

2 1 2 1sin Re erf Re erf

4 8 8

a b a b i a b a b iba a a ia a a ia

− + − + − − γ − + + +

( )( )22 2 2 22 2 2 2

2

2 12 sin cos Imerf2 4 4 8

a b a b ib ba a a a a ia

− + π + − γ + − γ − +

( ) ( )21 1

2 21

2 1Imerf

8

a b a b i

a a ia

− + − +

{ }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( ) ( ) ( )( )

121

10

2 11sin 1 erf exp ln4 2 2 1

iiz z dz ii

∞ α − + α+α + γ ± − α = γ + π α α + + α∫

( ) ( )( )

1

1

2 11 exp ln4 2 2 1

ii ii

α − − α−+ − γ

π α α + − α

166

{ ( ) ( )2 2 21lim Re Im 2ln

zz z z

→∞ α − α + = +∞

,

α≠α i21 , α−≠α i2

1 ; ( )1Re 0z± α > if }∞→z .

5. ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( )

α+−α

α++αγ

απ

+=ααγ+α∫

∞

i

iiidzzzz

12

12lnexp

241erferfsin

1

121

0

2

( )( )

( )×γ−απ

−+

α+−α

α++αii

i

iexp

241

12

12ln

2

2

( )( )

( )( )

α−−α

α−+α

α−−α

α−+α×

ii

ii

1212

ln1212

ln2

2

1

1

{ ( ) ( )2 2 21lim Re Im 2ln

zz z z

→∞ α − α + =

( ) ( )2 2 22lim Re Im 2ln

zz z z

→∞ = α − α + = +∞

,

α≠α i21 , α≠α i2

2 , α−≠α i21 , α−≠α i2

2 ; ( ) ( ) 0ReRe 21 >α⋅α± zz if }∞→z .

6. ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )2

1

21 1 2 2

2 1sin erf erf

4

T

T

iz z z z dz

∞

∞

π −α +β + γ α +β α +β = × α∫

( )( ) ( )( )+

αα−α

−βα−αβ

αα−α

−βα−αβ

αβ

−γ×i

iA

i

iAi

22

222

21

111

2

8

12erf

8

12erf

4exp

( ) 22 1exp

44i

i π + β

+ − γ × αα

( )( ) ( )( )1 1 2 21 22 2

1 2

2 1 2 1erf erf

8 8

i iB B

i i

αβ −α β + αβ −α β + × α + α α α + α α

{( ) ( ) ( )

1

2 2 21 1 1lim Re 2 Im 2ln

z Tz z z z z

→∞ α + α β − α +β + =

( ) ( ) ( )1

2 2 22 2 2lim Re 2 Im 2ln

z Tz z z z z

→∞ = α + α β − α +β + =

( ) ( ) ( )2

2 2 21 1 1lim Re 2 Im 2ln

z Tz z z z z

→∞ = α + α β − α +β + =

( ) ( ) ( )2

2 2 22 2 2lim Re 2 Im 2ln

z Tz z z z z

→∞ = α + α β − α +β +

+∞= ;

167

1=kA if ( ) ( )2 1

2 2lim Re lim Rek kz T z T

i z i z→∞ →∞

α − α = − α − α = +∞

,

1−=kA if ( ) ( )2 1

2 2lim Re lim Rek kz T z T

i z i z→∞ →∞

α − α = − α − α = −∞

,

0=kA if ( ) ( )1 2

2 2lim Re lim Rek kz T z T

i z i z→∞ →∞

α − α ⋅ α − α = +∞

,

1=kB if ( ) ( )2 1

2 2lim Re lim Rek kz T z T

i z i z→∞ →∞

α + α = − α + α = +∞

,

1−=kB if ( ) ( )

−∞=

α+α−=

α+α

∞→∞→zizi kTzkTz

22 RelimRelim12

,

0=kB if ( ) ( )1 2

2 2lim Re lim Rek kz T z T

i z i z→∞ →∞

α + α ⋅ α + α = +∞

;

( ) ( )1 1 2 2Re Re 0z z± α +β ⋅ α +β > if ( )1Tz ∞→ and ( )}2Tz ∞→ .

7. ( ) ( ) ( )[ ] 0erferfsin 212 =ααα∫

ν

ν−dzzzz

.

2.20.3.

1. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =−−−γ−=+−γ+ ∫∫∞−

+∞ 0

12

01

2 erf1sinerf1sin dzbazbzzdzbazbzz mm

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ +⋅γ−−γ−=+

1,,,,2Resin!2erf1cos!21 120

1112bbamWmb

b

mm

m

( ) ( )]1,,,,2Imcos 120

1 bbamW⋅γ+ { }0>a .

2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =−−−γ−−=+−γ+ ∫∫∞−

++∞

+0

112

01

12 erf1sinerf1sin dzbazbzzdzbazbzz mm

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ++⋅γ++−γ+

−=+

1,,,,12Resin!121erfsin!12

1 120

1122bbamWmb

b

mm

m

( ) ( )]1,,,,12Imcos 120

1 bbamW +⋅γ+ { }0>a .

3. ( ) ( ) ( )[ ] =+−+γ+∫+∞

02211

2 erferfsin dzbzabzabzz m

168

( ) ( ) ( ) ( )[ ]+−γ−=+ 2112

erferfcos!21 bbb

mm

m

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ +−γ+ 1,,,,2Re1,,,,2Resin!2 2220

11120

1 bbamWbbamWm

( ) ( ) ( ) ( ) }20 201 1 2 21 1cos Im 2 , , , ,1 Im 2 , , , ,1W m a b b W m a b b + γ −

{ }0,0 21 >> aa .

4. ( ) ( ) ( )[ ] =+−+γ+∫+∞

+

02211

12 erferfsin dzbzabzabzz m

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 22 2

2 1 !1 sin erf erf 2 1 !m

mm

b b mb

+++

= − γ − + + ×

( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ ++−+γ× 1,,,,12Re1,,,,12Resin 1120

12220

1 bbamWbbamW

( ) ( ) ( ) ( )[ ]}1,,,,12Im1,,,,12Imcos 1120

12220

1 bbamWbbamW +−+γ+

{ }0,0 21 >> aa .

5. ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2sin erf erf 1 !nnz bz a z b a z b dz nγ+∞

−∞

+ + − + = − × ∫

( ) ( )[ ( ) ( ) −⋅γ+⋅γ× 1120

21120

2 ,,Imcos,,Resin bbaWbbaW

( ) ( ) ( ) ( ) ]2220

22220

2 ,,Imcos,,Resin bbaWbbaW ⋅γ−⋅γ− { }0,0 21 >> aa .

6. ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )

( )[ ]

−ββ

γ−=β+α−±γ+β

+

∞

∫ 1erf12

exp!1erf1sin 11

01

nnn

iii

ndzzzz

( ) ( ) ( ) ( )20 111

exp, , , , 1 1 !

2n i

W n ni

+ − γ− α β β ± + − ×

( ) ( ) ( )1

201 11erf 1 , , , , 1

ni W n+ × β − α −β β ± β

{ ( ) ( ) ( )2 21lim Re 2 Im 2 ln

zz z z n z

→∞ α + αβ − β − − = +∞

, ( )lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

7. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )×

γ−=β+αβ+αγ+β +

∞

∫ iindzzzzz nn

2exp!1erferfsin 1

02211

( )( ) ( )[ ]

−βββ

×+ 211

erferf1

ni

169

( ) ( ) ( ) ( )20 201 1 1 1 1 2 2 2, , , , , , , ,W n A W n Aα β β α β β − ± +

( ) ( ) ( ) ( )1

1 2exp

1 ! erf erf2

nn i in

i

+− γ + − β β − β

( ) ( ) ( ) ( )20 201 1 1 2 2 21 1, , , , , , , ,W n A W n A

− α −β β ± α −β β

{ ( ) ( ) ( )2 21 1 1lim Re 2 Im 2 ln

zz z z n z

→∞ α + α β − β − − =

( ) ( ) ( )2 22 2 2lim Re 2 Im 2 ln

zz z z n z

→∞ = α + α β − β − − = +∞

;

1kA = if ( ) +∞=α∞→

zkz

Relim , 1−=kA if ( )lim Re kz

z→∞

α = −∞ ;

( ) ( )1 2lim Re lim Rez z

z z→∞ →∞

α ⋅ α = ±∞ }.

2.20.4.

1. ( ) ( ) ( ) ( )0

2 2 2 2 2 21 1

0sin 1 erf sin 1 erfm mz a z a z dz z a z a z dz

+∞

−∞+ γ − = − + γ − − = ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1220

31220

3 ,Imcos,Resin!

!2 aaWaaWm

m⋅γ−⋅γ

π= { }10, 0a a> > .

2. ( ) ( ) ( )[ ] =−γ+∫+∞

021

222 erferfsin dzzazazaz m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 20 202 22 13 3

2 !sin Re , Re ,

!m

W a a W a am

= γ − + π

( ) ( ) ( ) ( ) }20 202 21 23 3cos Im , Im ,W a a W a a + γ −

{ }0,0,0 21 >>> aaa .

3. ( ) ( )[ ] =+−γ+∫+∞

+

01

2212 erf1sin dzbzazaz m

( ) ( )0

2 1 2 21sin 1 erfmz a z a z b dz+

−∞= + γ − − − = ∫

( ) ( ) ( )2 2! !1 erf cos Re sin Im

22m m

mm mb i i

a + = − γ ⋅ − γ ⋅ + ×

170

( ) ( ) ( ) ( )20 202 21 14 4cos Im , , ,1 sin Re , , ,1W a a b W a a b × γ ⋅ − γ ⋅

{ }01 >a .

4. ( ) ( ) ( )[ ] =+−+γ+∫+∞

+

02211

2212 erferfsin dzbzabzazaz m

( ) ( ) ( ) ( )1 22 2! erf erf cos Re sin Im

2m m

mm b b i i

a + = − γ ⋅ − γ ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( )20 202 21 1 2 24 4

!sin Re , , ,1 Re , , ,12m W a a b W a a b + γ − +

( ) ( ) ( ) ( )20 202 22 2 1 14 4

!cos Im , , ,1 Im , , ,12m W a a b W a a b + γ −

{ }0,0 21 >> aa .

5. ( ) ( ) ( )[ ] =+−+γ++∫+∞

∞−dzbzabzabzzaz n

221122 erferfsin

( ) ( )[ ( ) ( )]+−γ= 22220

511220

5 ,,,,Re,,,,Resin bbaanWbbaanW

( ) ( ) ( ) ( )[ ]11220

522220

5 ,,,,Im,,,,Imcos bbaanWbbaanW −γ+

{ }0,0,0 21 >>> aaa .

6. ( ) ( )[ ] ( )×

π=α−±γ+α∫

∞

!!2

erf1sin0

122

mm

dzzzz m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

αα

γ−−αα−

γ× 1

2031

203 ,

2exp

,2

expW

ii

Wii

{ ( ) ( ) ( )2 2 21lim Re Im 2 2 ln

zz z m z

→∞ α − α − − = +∞

, 0α ≠ , 21 0iα + α ≠ , 2

1 0iα − α ≠ ;

( )1Re 0z± α > if }∞→z .

7. ( ) ( ) ( )[ ] ( )×

π=ααγ+α∫

∞

!!2

erferfsin0

2122

mm

dzzzzz m

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] −αααα

γ−× 2

2031

203 ,,

2exp

WWi

i

( ) ( ) ( ) ( )20 (20)1 23 3

exp, ,

2i

W Wiγ − −α α −α α

{ ( ) ( ) ( )2 2 21lim Re Im 2 2 ln

zz z m z

→∞ α − α − − =

171

( ) ( ) ( )2 2 22lim Re Im 2 2 ln

zz z m z

→∞ = α − α − − = +∞

,

0α ≠ , 21 0iα + α ≠ , 2

1 0iα − α ≠ , 22 0iα + α ≠ , 2

2 0iα − α ≠ ;

( ) ( ) 0ReRe 21 >α⋅α± zz if }∞→z .

8. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ +βααγ−=β+α−±γ+α∫∞

+11

204

01

212 ,,,exp4

!erf1sin AWii

mdzzzz m

( )( )

( ) ( ) ( )( )

α−

β+βαα−γ−

α

β+

++ 12120

411erf

,,,)exp(4

!1erfmm i

AWii

m

i

{ ( ) ( ) ( )2 2 21 1lim Re 2 Im 2 1 ln

zz z z m z

→∞ α + α β − α − − = +∞

;

11 =A if 21lim Re

zi z

→∞

α + α = +∞

, 1 1A = − if 21lim Re

zi z

→∞

α + α = −∞

,

12 =A if 21lim Re

zi z

→∞

α − α = +∞

, 12 −=A if 21lim Re

zi z

→∞

α − α = −∞

;

( )1Re 0z± α +β > if }∞→z .

9. ( ) ( )[ ]( )

( )×

γ−⋅

α−=β+α−±γ+α

+

∞+∫ i

AimAdzzziAzm

m4

exp!erf1sin120

2212

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 20 26 42 2

exp erf 1erf 1 ! , , , 1

4 m

AiW Am W i

i +

γ β × β + β − + − α α β ± α

{ ( ) ( ) ( )2 2lim 2Re 2 1 ln lim Re lnz z

z z m z z m z→∞ →∞

α + αβ − − = αβ − = +∞ ;

1=A or 1−=A ; ( )Re 0z± α +β > if }∞→z .

10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 21 1 2 2 1 2

0

!sin erf erf erf erf4

m mz z z z dzi

∞+ α + γ α +β α +β = β β × ∫

( )( )

( )( )

( ){ ×γ+

α

γ−−

α−

γ×

++i

im

i

i

i

imm

exp4

!expexp11

( ) ( ) ( ) ( )[ ]−βαα−βαα−× 22220

411120

4 ,,,,,, AWAW

172

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] }22220

411120

4 ,,,,,,exp BWBWi βααβααγ−−

{ ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1lim Re 2 Im 2 1 ln

zz z z m z

→∞ α + α β − α − − =

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2lim Re 2 Im 2 1 ln

zz z z m z

→∞ = α + α β − α − − = +∞

;

1=kA if 2lim Re kz

i z→∞

α − α = +∞

, 1−=kA if 2lim Re kz

i z→∞

α − α = −∞

,

1=kB if 2lim Re kz

i z→∞

α + α = +∞

, 1−=kB if 2lim Re kz

i z→∞

α + α = −∞

;

( ) ( )1 1 2 2Re Re 0z z± α +β ⋅ α +β > if }∞→z .

11. ( ) ( ) ( )[ ] =β+αβ+αγ+α∫∞

+

011

2212 erferfsin dzzzzAiz m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 201 2 21 1 14 42 2

erf erf! exp , , , , , ,4 mmA Ai W i B W i B

i +

β β = γ + − α α β − α α β + α

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]±β+ββα

γ−−+

+20

6122erferf

exp1 W

Aim

m

( ) ( ) ( )20 21 1 14exp , , ,Ai W i A

± − γ α α β

{ ( ) ( )2 2lim 2Re 2 1 lnz

z z m z→∞

α + αβ − − =

( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1lim Re 2 Re 2 1 ln

zz z z m z

→∞ = α + α β − α − − =

( )lim Re lnz

z m z→∞

= αβ − = +∞ ;

1=A or 1−=A ; 11 =A if 2 21lim Re

zz

→∞

α −α = +∞

,

11 −=A if 2 21lim Re

zz

→∞

α −α = −∞

, 1=B if ( ) +∞=α∞→

zz

Relim ,

1−=B if ( )lim Rez

z→∞

α = −∞ , 11 =B if 2 21lim Re

zz

→∞

α + α = +∞

,

11 −=B if 2 21lim Re

zz

→∞

α + α = −∞

; ( ) ( )1 1Re Re 0z z± α +β α +β > if }∞→z .

173

12. ( ) ( ) ( )2 1 2 21

0sin erf erfmz Ai z z z dz

∞+ α + γ α +β − α +β = ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 12 2! exp erf erf 1 exp

4m

mAm Ai Ai

i += γ β − β + − − γ ×

α

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] } ( )×γ+β−β+β−β× Aii

AmWW exp4

!erferf 120

620

61

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1,,,1,,, 1220

4220

4 ±βαα−−±βαα−× iWiW

{ ( ) ( )2 2lim 2Re 2 1 lnz

z z m z→∞

α + αβ − − =

( ) ( )[ ] ( )[ ] =−αβ=−−αβ+α=∞→∞→

zmzzmzzzz

lnRelimln12Re2lim 122

( )1lim Re lnz

z m z→∞

= αβ − = +∞ ; 1=A or 1−=A ;

( )lim Rez

z→∞

α = ±∞ }.

13. ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )2

1

21 1 2 2

expsin erf erf

2

Tn

T

iz z z z z dz

i

∞

∞

γα +β + γ α +β α +β = × ∫

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )×

γ−−ββ−αα−ββ−αα−×

ii

nWAnWA2

exp,,,,,,,, 22

205211

2051

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2220

521120

51 ,,,,,,,, ββααββαα× nWBnWB

{( ) ( ) ( ) ( )

1

2 2 21 1 1lim Re 2 Im 2 ln

z Tz z z z n z

→∞ α + α β − α +β − − =

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 21 1 1lim Re 2 Im 2 ln

z Tz z z z n z

→∞ = α + α β − α +β − − =

( ) ( ) ( ) ( )1

2 2 22 2 2lim Re 2 Im 2 ln

z Tz z z z n z

→∞ = α + α β − α +β − − =

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 22 2 2lim Re 2 Im 2 ln

z Tz z z z n z

→∞ = α + α β − α +β − − = +∞

, 0≠α ;

1=kA if ( ) ( )2 1

2 2lim Re lim Rek kz T z T

i z i z→∞ →∞

α − α = − α − α = +∞

,

1−=kA if ( ) ( )2 1

2 2lim Re lim Rek kz T z T

i z i z→∞ →∞

α − α = − α − α = −∞

,

174

0=kA if ( ) ( )1 2

2 2lim Re lim Rek kz T z T

i z i z→∞ →∞

α − α ⋅ α − α = +∞

,

1=kB if ( ) ( )2 1

2 2lim Re lim Rek kz T z T

i z i z→∞ →∞

α + α = − α + α = +∞

,

1−=kB if ( ) ( )2 1

2 2lim Re lim Rek kz T z T

i z i z→∞ →∞

α + α = − α + α = −∞

,

0=kB if ( ) ( )1 2

2 2lim Re lim Rek kz T z T

i z i z→∞ →∞

α + α ⋅ α + α = +∞

;

( ) ( )1 1 2 2Re Re 0z z± α +β ⋅ α +β > if ( )1Tz ∞→ and ( )}2Tz ∞→ .

14. ( ) ( ) ( )[ ] 0erferfsin 2122 =ααα∫

ν

ν−dzzzzz m

.

Introduced notations:

1) ( ) ( ) ×

−

αβ−αβ

α

αββ+β−=ββα A

iiAnW

22

erf4

4exp,,,, 1

21

2

120

1

( )

( )( )

( )( )

∑∑∑=

−+=

−

−

=−+

×β

β−π

+α−

β−αβ

β×

n

k knk

kE

l lk

lkn

k knk ilkl

i

i 1 121

)2/(

0 22

21

0 1 2

1exp1

!2!

2

2

1

( ) ( )( )

( ) ( )

( )1 2 2 /21( /2)1

2 1 2 21 1 1

4 2! 12 ! 1 2 ! ! 2 !1 !

k l r E kl rk E k l

k l rl r l

ill k l l k lr

− − ++ −−

− − += = =

αβ − β× − ×

+ − − − α∑ ∑ ∑

( ) ( )( )

α−

β−αβ−× ∑

=+−−

+−−l

r rlk

rlk

r

ir

1 2212

2211

!12

2!1 , ( ) 2201 2

( , , , , ) exp2 4

iW n A β β

α β = × α α

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

αβ−

αβπ× ∑∑

=−+

−

=−−+

2/

0 221

2/

1 1222 2!

1

!2

!2 nE

k kkn

nEn

k kkn ikA

ik

k ;

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 20 202 1 1Re , , Re , , , ,1 Re , , , ,1k k k k k kW a b b W n a b b W n a b b= − − ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 20 202 1 1Im , , Im , , , ,1 Im , , , ,1k k k k k kW a b b W n a b b W n a b b= + − ;

175

3) ( ) ( )( )

( )( )

×α−α−+α

α−−α

αα=αα

+ 11

1121

203 12

12ln

2

1,i

i

iiiW

mm

( ) ( ) ( )∑−

=+− α+αα+

×1

012

1

2

4!12

)!(m

kkkm iik

k;

4) ( ) ( ) ×

α+α

βα−

α+α

αβ−

α+α

α=βαα

iA

i

i

iAW

21

121

2

21

11

204 erfexp,,,

( )( )

( )

( ) ( )( )

2 21 21

1 220 0 1

2 !exp

! 4 ! 2 2 !

k lm k

m k k llk l

k

k i l k l i

−

+ − −= =

α β α× + −β ×

πα − α + α∑ ∑

( )( ) ( )

( )

( ) ( )2 1 2 2

11 221 1 1 1

2 ! !1! 2 2 !! 4 2 !

k l rm k l

m k k l rl rk l r

k rl k lk i r i

− − +

+ − − +−= = =

α β

× − −α α + α

∑ ∑ ∑

( )( ) ( )

( )

( ) ( )2 1 2 2

1221 1 1

1 !2 1 ! 2 1 2 ! 1 !

k l rk l

k l rl r

ll k l r i

− − +

− += =

− α β

− − + − − α + α

∑ ∑ ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )20 1

14 2 2 1 201 1

2 !, , 0,

4 !

m

km kkk

kW A A

i k i i+ −=

αα α =

α + α α α + α∑ ;

5) ( ) ( ) ×

α+αα

βα−αβ

αβ

α

π=ββαα

ii

iii

i

nnWn 2

1

112

1120

52

2erf

4exp

2

!,,,,

( )( )

( )

( )×

α+α

ββα−αβ+β−

α+αα+

α−

β−× ∑

=−

−

i

ii

i

niknk n

nE

kknk

kn

44

44exp

2

!!2! 2

1

1121

2

21

2/

0

2

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 2 1/2

1 1

! 4 2 2 !2 ! 1 2 ! 1 !

n k k ln E n k

k l

k i lk n k l

+ − + −−

= =

−β − −

× × + − −

∑ ∑

( )

( ) ( )+

α+α−−

βα−αβαα× ∑

−

=−−

−−−−+−1

0222

1

22211

2121

2

!222!

2l

rrl

rlrlrlk

irlr

176

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )2 2 1 22 2 2/2 1

1 1 112 121 1 0 1

21 ! ( )

! 2 ! ! 2 1 2 !

n k l rk l r l rE n k lk l

l rk l r

l ik n k r l r i

− − −− + −−− −

− −= = =

−β α α αβ −α β

+ − − − − − α + α

∑ ∑ ∑ ,

( ) ( ) ( )( )

20 11 15 2

1

2 !2 , , , 0, erf

! 4 m

m iW m

m i i i i

π αβ α α β = + α α α α + α

( )( )

( )2

1122 2 111

2 !exp 1 ! ( )

! 2

mm k

m k

m i k iim i

− −

=

αβ+ − − − × α + αα α + α

∑

( )

( ) ( )2 1 22 2 21

1 12 120 1

2

! 2 1 2 !

k lm k l k lk

k ll l k l i

− −− + −−

− −=

α α αβ×

− − α + α∑ ,

( ) ( )220 1

1 15 21 2 1 2 11

!2 1, , , 0, exp4m m

imW mii+ +

αβ+ α α β = − × α + αα α + α

( ) ( ) ( )

( ) ( )1 2 22 2 1 2

1 1220 0 1

2 ! 4 2! ! 2 2 !

m k k lm k l k lm k

k lk l

k ik l k l i

+ − −− + + −

−= =

− α α αβ×

− α + α∑ ∑ ,

( ) 220 1 115 1 2

1

!( , , , , ) exp

2 42n n

n iW ni+

α α βα α β β = × α α α α + α

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )1 2/2 1

2 21 0 1

! 2 ! 42 ! 1 2 ! !

n k k l k ln E n k

lk l

k l ik n k l i

+ − − +− −

= =

−β − α×

+ − α + α∑ ∑ ;

6) ( ) ( ) ( ) ( )( )

∑=

+β−π

β−=β

m

kkk k

kW

012

220

6 !4

!2exp .

177

APPENDIX

Some useful formulas for obtaining other integrals

1. ( ) ( ) ( ) ( )1erfi erff z z dz f z i z i dzi

ν ν

µ µ

α β α β+ = +∫ ∫ .

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )erfi erfnn nf z z dz i f z i z i dzν ν

µ µα +β = − α + β∫ ∫ .

3. ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sinf z z z dz f z z z dzν ν

µ µ

∂ α +β + γ = α +β + γ∂γ

∫ ∫ .

4. ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sin 2f z z z dz f z z z dzν ν

µ µα +β + γ = α +β + γ + π∫ ∫ .

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2sinh sinmm mf z z z dz i f z i z i z i dzν ν

µ µα +β + γ = − α + β + γ∫ ∫ .

6. ( ) ( ) ( ) ( )2 2cosh sin 2f z z z dz f z i z i z i dzν ν

µ µα +β + γ = α + β + γ + π∫ ∫ .

7. ( ) ( ) ( ) ( )2 2cosh cosm mf z z z dz f z i z i z i dzν ν

µ µα +β + γ = α + β + γ∫ ∫ .

8. ( ) ( ) ( )( )

( )2 22

2 !sin

4 !m

mm

f z z z dz f z dzm

ν ν

µ µα +β + γ = +∫ ∫

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

2 11

2 ! 1cos 2 2 2

! !2

km

mk

mf z k z k z k dz

m k m k

ν

−= µ

−+ α + β + γ

− +∑ ∫ .

9. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1 2

0

2 1 ! 1sin

! 1 !4

kmm

mk

mf z z z dz

m k m k

ν+

=µ

+ −α +β + γ = ×

− + +∑∫

( ) 2sin (2 1) (2 1) (2 1)f z k z k z k dzν

µ

× + α + + β + + γ ∫ .

10. ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )2 22 2 1

2 ! 2 !cos

24 !m

mmm m

f z z z dz f z dzm

ν ν

−µ µ

α +β + γ = + ×∫ ∫

178

( ) ( ) ( ) ( )2

1

1 cos 2 2 2! !

m

kf z k z k z k dz

m k m k

ν

= µ× α + β + γ

− +∑ ∫ .

11. ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1 2

0

2 1 ! 1cos! 1 !4

mm

mk

mf z z z dz

m k m k

ν+

=µ

+α +β + γ = ×

− + +∑∫

( ) 2cos (2 1) (2 1) (2 1)f z k z k z k dzν

µ

× + α + + β + + γ ∫ .

12. ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22 2 1

1

2 ! 2 ! 1sinh

! !24 !

m kmm

m mk

m mf z z z dz f z dz

m k m km

−ν ν

−=µ µ

−α +β + γ = + ×

− +−∑∫ ∫

( ) ( )2cosh 2 2 2f z k z k z k dzν

µ× α + β + γ∫ .

13. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 1 2

0

2 1 ! 1sinh

! 1 !4

m kmm

mk

mf z z z dz

m k m k

−ν+

=µ

+ −α +β + γ = ×

− + +∑∫

( ) 2sinh (2 1) (2 1) (2 1)f z k z k z k dzν

µ

× + α + + β + + γ ∫ .

14. ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )2 22 2 1

2 ! 2 !cosh

24 !m

mmm m

f z z z dz f z dzm

ν ν

−µ µ

α +β + γ = + ×∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )2

1

1 cosh 2 2 2! !

m

kf z k z k z k dz

m k m k

ν

= µ× α + β + γ

− +∑ ∫ .

15. ( ) ( ) ( )( ) ( )

22 1

0

2 1 ! 1cosh4 ! 1 !

mm

mk

mf z z z dz

m k m k

ν

µ

α β γ+

=

++ + = ×

− + +∑∫

( ) 2cosh (2 1) (2 1) (2 1)f z k z k z k dzν

µ

× + α + + β + + γ ∫ .

16. ( ) ( ) ( )2 21 1 1 2 2 2sin sinf z z z z z dz

ν

µα +β + γ α +β + γ =∫

( ) ( ) ( ) ( )2 23 3 3 4 4 4

1 1cos cos2 2

f z z z dz f z z z dzν ν

µ µ= α +β + γ − α +β + γ∫ ∫

{ 3 1 2 3 1 2 3 1 2, , ,α α α β β β γ γ γ= − = − = −

}4 1 2 4 1 2 4 1 2, ,α α α β β β γ γ γ= + = + = + .

179

17. ( ) ( ) ( )2 21 1 1 2 2 2sin cosf z z z z z dz

ν

µα +β + γ α +β + γ =∫

( ) ( ) ( ) ( )2 23 3 3 4 4 4

1 1sin sin2 2

f z z z dz f z z z dzν ν

µ µ= α +β + γ + α +β + γ∫ ∫

{ 3 1 2 3 1 2 3 1 2, , ,α α α β β β γ γ γ= − = − = −

}4 1 2 4 1 2 4 1 2, ,α α α β β β γ γ γ= + = + = + .

18. ( ) ( ) ( )2 21 1 1 2 2 2cos cosf z z z z z dz

ν

µα +β + γ α +β + γ =∫

( ) ( ) ( ) ( )2 23 3 3 4 4 4

1 1cos cos2 2

f z z z dz f z z z dzν ν

µ µ= α +β + γ + α +β + γ∫ ∫

{ 3 1 2 3 1 2 3 1 2, , ,α α α β β β γ γ γ= − = − = −

}4 1 2 4 1 2 4 1 2, ,α α α β β β γ γ γ= + = + = + .

19. ( ) ( ) ( )2 21 1 1 2 2 2sinh sinhf z z z z z dz

ν

µα +β + γ α +β + γ =∫

( ) ( ) ( ) ( )2 23 3 3 4 4 4

1 1cosh cosh2 2

f z z z dz f z z z dzν ν

µ µ= α +β + γ − α +β + γ∫ ∫

{ 3 1 2 3 1 2 3 1 2, , ,α α α β β β γ γ γ= + = + = +

}4 1 2 4 1 2 4 1 2, ,α α α β β β γ γ γ= − = − = − .

20. ( ) ( ) ( )2 21 1 1 2 2 2sinh coshf z z z z z dz

ν

µα +β + γ α +β + γ =∫

( ) ( ) ( ) ( )2 23 3 3 4 4 4

1 1sinh sinh2 2

f z z z dz f z z z dzν ν

µ µ= α +β + γ + α +β + γ∫ ∫

{ 3 1 2 3 1 2 3 1 2, , ,α = α −α β = β −β γ = γ − γ

}4 1 2 4 1 2 4 1 2, ,α α α β β β γ γ γ= + = + = + .

21. ( ) ( ) ( )2 21 1 1 2 2 2cosh coshf z z z z z dz

ν

µα +β + γ α +β + γ =∫

180

( ) ( ) ( ) ( )2 23 3 3 4 4 4

1 1cosh cosh2 2

f z z z dz f z z z dzν ν

µ µ= α +β + γ + α +β + γ∫ ∫

{ 3 1 2 3 1 2 3 1 2, , ,α α α β β β γ γ γ= − = − = −

}4 1 2 4 1 2 4 1 2, ,α α α β β β γ γ γ= + = + = + .

22. ( ) ( ) ( )2 2 1sin cos1

mf z z z z z dzm

ν

µα +β + γ α +β + γ = ×

+∫

( ) ( )1 2sinmf z z z dzν

+

µ

∂ × α +β + γ∂γ

∫ .

23. ( ) ( ) ( )2 2 1cos sin1

mf z z z z z dzm

ν

µα +β + γ α +β + γ = − ×

+∫

( ) ( )1 2cosmf z z z dzν

+

µ

∂ × α +β + γ∂γ

∫ .

24. ( ) ( ) ( )2 2 1sinh cosh1

mf z z z z z dzm

ν

µα +β + γ α +β + γ = ×

+∫

( ) ( )1 2sinhmf z z z dzν

+

µ

∂ × α +β + γ∂γ

∫ .

25. ( ) ( ) ( )2 2 1cosh sinh1

mf z z z z z dzm

ν

µα +β + γ α +β + γ = ×

+∫

( ) ( )1 2coshmf z z z dzν

+

µ

∂ × α +β + γ∂γ

∫ .

26. ( ) ( ) ( )2 2 2 1sin cos1

mf z z z z z dzm

ν

µα +β + γ α +β + γ = ×

+∫

( ) ( ) ( )( )2 2 1sin

1 2mf z z z dz

m m

ν+

µ× α +β + γ + ×

+ +∫

( ) ( )2

2 22 sinmf z z z dz

ν+

µ

∂ × α +β + γ ∂γ ∫ .

181

27. ( ) ( ) ( )2 2 2 1cos sin1

mf z z z z z dzm

ν

µα +β + γ α +β + γ = ×

+∫

( ) ( ) ( )( )2 2 1cos

1 2mf z z z dz

m m

ν+

µ× α +β + γ + ×

+ +∫

( ) ( )2

2 22 cosmf z z z dz

ν+

µ

∂ × α +β + γ ∂γ ∫ .

28. ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1sinh cosh

1 2mf z z z z z dz

m m

ν

µα +β + γ α +β + γ = ×

+ +∫

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2 22

1sinh sinh1

m mf z z z dz f z z z dzm

ν ν+ +

µ µ

∂ × α +β + γ − α +β + γ+ ∂γ

∫ ∫ .

29. ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1cosh sinh

1 2mf z z z z z dz

m m

ν

µα +β + γ α +β + γ = ×

+ +∫

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2 22

1cosh cosh1

m mf z z z dz f z z z dzm

ν ν+ +

µ µ

∂ × α +β + γ − α +β + γ+ ∂γ

∫ ∫ .

30. ( ) ( )( )

( )( )

2

0

1!sin! !2

kmm

mk

mf z z z dzk m ki

ν

=µ

−α +β + γ = ×

−∑∫

( ) 2exp ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )f z m k i z m k i z m k i dzν

µ

× − α + − β + − γ ∫ .

31. ( ) ( ) ( )2

0

! 1cos! !2

mm

mk

mf z z z dzk m k

ν

=µα +β + γ = ×

−∑∫

( ) 2exp ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )f z m k i z m k i z m k i dzν

µ

× − α + − β + − γ ∫ .

32. ( ) ( ) ( )( )

2

0

1!sinh! !2

kmm

mk

mf z z z dzk m k

ν

=µ

−α +β + γ = ×

−∑∫

( ) 2exp ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )f z m k z m k z m k dzν

µ

× − α + − β + − γ ∫ .

182

33. ( ) ( ) ( )2

0

! 1cosh! !2

mm

mk

mf z z z dzk m k

ν

=µα +β + γ = ×

−∑∫

( ) 2exp ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )f z m k z m k z m k dzν

µ

× − α + − β + − γ ∫ .

Note that the formulas in this Appendix can obviously be written also for improper

and indefinite integrals. Also note that in formulas 3 and 22–29, ( )f z does not

depend on γ .