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Tables of products of tensor operators and Stevens operators

Lindgård, Per-Anker

Publication date:1974

Document VersionPublisher's PDF, also known as Version of record

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Citation (APA):Lindgård, P-A. (1974). Tables of products of tensor operators and Stevens operators. Risø National Laboratory.Denmark. Forskningscenter Risoe. Risoe-R, No. 313

https://orbit.dtu.dk/en/publications/8bc2ba64-dbfd-4493-9ccd-ef319b4d9f82

m Risø Report No. 313

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Z Vi

O

8* Danish Atomic Energy Commission

Research Establishment Risø

Tables of Products of

Tensor Operators and Stevens Operators

by Per-Anker Lindgård

July 1974

Sales distributors: Jul. Gjellerup, 87, Sølvgade, DK-1307 Copenhagen K, Denmark

Available on exchange from: Library, Danish Atomic Energy Commission, Risø, DK-4000 Roskilde, Denmark

July f 974 Risø Report No. 313

Tables of Products of Tensor Operators and Stevens Operators

by

Per-Anker Lindgård

Danish Atomic Energy Commission

Research Establishment Risø Physics Department

Abstract

Numerical tables of products of tensor (Racah) operators, R (J), m and Stevens operators, O-(J), working within a J-multiplet are given as a

function of X * J(J+1). Examples of the use of the tables, such as the calculation of commutation relations and thermal averages, are given. All values of I and m up to six are included.

ISBN 87 550 0281 1

CONTENTS

Page

1. Introduction V

2. Definitions VI

2 .1 . Tensor Operators VI 2 .2 . Symmetry Properties VII

2 .3 . Stevens Operators VIII

3. Applications and Examples VIII

3 . 1 . Calculation of Commutation Relations and Equations of Motion VIII

3 .2 . Thermodynamic Averages XI

References XII

Table 1. Products of Tensor operators R . ^ R , 1

Table 2. Products of Stevens operators <f£{c) O ^ c ) 92

Products of Stevens operators O^fs) O™ (s) 134

Table 3. Coefficients relating Stevens operators to tensor operators 167

V

INTRODUCTION

The use of spin Hamiltonians ' is well established in the theory of

solid state physics. Most directly of course in the theory of magnetic

phenomena - but also in other problems, the statistics of which can be

simulated by a spin system. An example i s structural phase change

phenomena ' .

In work of this nature it i s most convenient - except in the simplest

cases - to use tensor operators having general transformation properties,

rather that to use the spin component operators. Tensor (Racah) operators,

R# ^ , transform under rotation of the frame of coordinators as *, m

if 2A+1 Y £m ' ^

where Y f l^ is a spherical harmonic '. The Stevens operators, On , are Jtm 1 1 Jo

related to the tessera l harmonics ' .

The rather tedious and lengthy calculation of products of these operators

frequently occurs and for this reason we have compiled numerical tables of

the most commonly met products. The products may occur in the calcu

lation of time derivatives of tensor operators in systems in which the

Hamiltonian is a sum of tensor operators H = I a., ,R , , , fc',m' z m l m

(2)

The products may also appear in the evaluation of thermal averages

T r { R ^ m e x p ( - p - £ a ^ , R £ , m . ) } . (3)

jt«m»

A number of properties of the tensor operators (rotations, expansions

in angular momentum components and Bose operators and the relation be

tween Racah and Stevens operators) was recently discussed in detail by

Danielsen and Lindgård , and we shall refer to these reports for details.

The present report gives the basic definitions in section 2 and examples

on how and when to use the tables in section 3. Finally a re presented the

tables of the products, R £ m R . , and Om(c) O m ' (c) and Om(s) Om '(s)

for I up to 6, and the results for i up 6 only.

VI

2. DEFINITIONS

2.1 . Tensor Operators

The tensor (Racah) operators are defined by their transformation

properties. Only non-commuting operators working within a J-multiplet

are considered.

R £ m transforms a s f ^ Y ^ .

The tensor operators R£ are often denoted O ^ . Tables in terms of angular momentum components are given in ref. 4. The simplest are for example

R

Ru R 1 . o

R l . - 1

where +

J"

—

=

«

=

=

1

Jz

+ i J" ?2

J - U . x y

(4)

The formula for the product of two non-commuting tensor operators was calculated by Danielsen and Lindgård \ In terms of 6-j and 3-j symbols it is given as

£ hV-2 *f+i9+L

M«-L L^T^-^I

. ( 2 W . i ) . i ( l | f 2 L b j ) ( ) H ) M R L M

mjm2 -M (5)

where

I ^ L Oil K. I I J X J I I R , II J>

^ j j J 5 < J | | R L I | J > (6)

VU

The dependence of J is contained in t(l.t2h, J) i. e. in the 6-j symbol and the reduced matrix elements

Since all tensor operators can be expressed in terms of the length, Vj(J+1), and the components, J , of the angular momentum, J, we can express fftj JL,L, J) as a polynomial in X s J(J + 1). The coefficients to this polynomial are found numerically (double precision) by solving a system of linear equations for a number of values of J. Having the polynomial expression for f(i. l^L, J) it i s simple to calculate the product. In order to reduce the volume of the tables we have only listed a number of products from which others can be obtained by using the following symmetry properties.

2.2. Symmetry Properties

Because of the in variance of the 6-j symbol with respect to interchange

of columns we have

f d , ^ L J) = f ( l 2 I, hJ) . (8)

4) The 3-j symbol has the following symmetry properties ',

m. m«-!» n^m-j-M -m^-m. M

Using these we can obtain from R # ^ R« ^ S m1 l

2m 2

R , m R0 m • R# ^ R l m (10) *|m1 *2m2 *2m2 *1m1

4 R t i , " m i , Rh,'m2

The commutator between two tensor operators is given by

VIII

^ ] 2 2 M-L L - l l , - ^ |

. (2L + 1) fUj igL. J) f1 2 J (-1 )M RLM •

The commutator is zero if l^ + fc2 + L i s e v e n »

2. 3. Stevens Operators

The Stevens operators are related to the tensor operators as follows

o > • ^fW-h »«,--K-1 r Rtm>

o > ) = -L-l/l|±-L i (R, m - H ) m R , m it K ' V2 1"

0°(c) = J _ l / I ^ I R , 0°<s) = 0 ,

where Km are the normalization coefficients of the tes serai harmonies, which are specified in table 3, last page. The Stevens operators are labelled by c or s according to the cosine and sine character. The products of the Stevens operators can be obtained from those of the tensor operators. However, for convenience a number of Stevens operator products are given in table 2.

3. APPLICATIONS AND EXAMPLES

3.1. Calculation of Commutation Relations and Equations of Motion

Let us consider the simplest example, table 1:

R11 R1.-1 " R 1 . - 1 R11 ' -R1o ( 1 5 )

which, according to section 2 eq. (4), is the same as

- 7 [ J + . J " ] • - J , . »••)

IX

From table 2 we have

o | (c ) 0°(c) - 0°(c) oj(c) = - i ojfs) , (17)

which in angular momentum components is

[ Jx* J z J = ~ i J y * <18)

From these, the commutation relation between higher order operators

can be derived in a straight-forward, but tedious way. By using the tables

and the symmetry relations (8), (9) and (10) this is greatly faciliated. In

table 2 i is denoted by a " ; " .

Simply the commutator is twice the terms with odd i - sums.

Let us as an example consider a magnetic crystal with planar (xz)

anisotropy described by the Hamiltonian (z is the quantization axis)

H * - £ 2 J r 7 . • T j + r + D £ ( 3 J ^ - J t f+ I )^ (19)

J . r

I * r i « r -H. <?, -*}.-> Rnr> J, r

-£ ° < 4 o + f l<4 2+ Ri-2>>.

where jf is the Heisenberg exchange interaction to the r ' th neighbour and

D is the single ion anisotropy constant.

We shall use the tables to derive the equations of motion for R1 j and

Rt , which may be used in a Green's function theory for the excitation

spectrum5*. For simplicity we note that YI/2 * 0.86603 and Y1T/5 = 0.48990

and find

ihåj, - J *,{>!, H£' -H{ 0 aftl r

(21)

+ DY5/2 {RJ2| + R3

2 _ t)

X

ihR}^ - - ^ ^ ( R J ^ R ^ - R J ^ ^ , )

(22)

- DV3/2 {RJ21 + RJ

2 ^ } .

We notice that new tensor operators appear, i. e. R. and R„ + - . The

equations are usually solved by decoupling the higher order t e rms . We can

use the tables to arr ive at suitable forms to decouple. Consider the single

ion anisotropy terms: using the multiplication table for Rj ^ Rj Q and R. R-

we find the exact relation

case 1:

1T3/2(R21 + R 2 j . ) ) • | { R I I ( R I O - | r ) + » I o - i > R 1 . . l ' • ( 2 3 )

Using this form we can decouple (21) and (22) by taking the average

(R. ) - ( J ) . This corresponds to the random phase approximation.

However, it is easy to find other exact relations. Using R2 oRi1 anc^ R22R1 1 w e f i n d b y eliminating R«.

case 2:

/3 /2 (R21 + R2 _7) » { R n [R 2 o -TG R2 2 - (X-3/4) ]

(24) + t R 2 o - ^ R 2 . - 2 - < X - 3 / 4 ) 5 H W } •

In this form we can decouple (21) and (22) in terms of <R. >, ( R , )

and Re(R 2 +2) , where

<R2o> = 2<3< Jz> " X> a n d ^6Re<R2 t 2 > - | < J + 2 + J " 2 > / 2 .

It is clear that in both forms the influence of the anisotropy vanishes, as it should for J = 1/2.

Using the standard technique for diagonalizing (21), (22) by Fourier

transformation we find the excitation spectrum in the two approximations

(one atom per unit cell, ferromagnet with planar anisotropy):

XI

where in the random phase approximation (23)

case 1:

f(T) = {<J > - 1 / 2 } / <J > . (27) z' » ' ' N z

and in the second order approximation (24) and (25)

case 2:

f(T) = {<J2> - < J + * + J" 2 ) /2 - | x + | } / <JZ> . (28)

This completes our example. Other cases can be treated similarly.

3. 2. Thermodynamic Averages

Dalton and Rimmer ' compiled tables of t races of spin operators and

listed a number of examples for which they could be used. The present

work has very much the same area of applicability - in fact in most cases

it i s preferable to use tensor operators rather than spin operators.

In general, we have the partition function for a system described by

the Hamiltonian H ',

H s 7 a„™ R„™ (29) £ Jim «,m

Z = Tr{e-PH} . p - T T - -B

Any thermodynamic function can be obtained from Z by differentiation.

The thermodynamic average of an operator Rflm is then

<Rw„> • i r telm . - P « ) / z . <30>

which may be evaluated at high temperatures by expanding expanding

exp(-pH). The tables can then be used to reduce the products of operators.

Another example is the calculation of correlation functions

<R*m R ».»•> • ( 4 0 >

which can be reduced to single operator averages. These often occur in

the derivatives of Z, say d/da Z.

XII

In general the expectation value of a tensor operator can be evaluated

using the expression for the matrix element within the J-multiplet:

J £ J

'<"».«! I * t a l ' . » j > -<- t ) J - m 1 ( ) < J | | R t | | J > . (50) x -m. m m«7

REFERENCES

1) K. W. H. Stevens, in: Magnetism, Edited by G. T. Rado and H. Suhl, Vol. 1 (Academic Press, New York, 1 973) 1 -23.

2) K. A. Muller, In: Structural Phase Transitions and Soft Modes, Proceedings of the NATO Advanced Study Institute at Geilo, 13-20 April 1 971. Edited by E. J. Samuelsen, Eigil Andersen and Jens Feder (Universitetsforlaget, Oslo, 1971) 61-96.

3) A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics (Princeton University Press, Princeton, N. J. 1 957) 146 pp.

4) O. Danielsen and P. -A. Lindgård, Risø Report No. 259 (1 972) 93 pp.

and P. -A. Lindgård and O. Danielsen, J. Phys. C. 2 0 974) 1523-35

and O. Danielsen, Risø Report No. 295 (1 974) 228 pp.

5) D. N. Zubarev, Sov. Phys. Uspekhi, 3, (1 960) 320-345.

6) N. W. Dalton and D. E. Rimmer, AERE-R-5958 (1 968) 248 pp.

7) T. L. Hill, Statistical Mechanics (McGraw-Hill, New York), 1 956, 432 pp.

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- 167 -

Table 3

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ISbN 87 550 0281

tables of products of tensor operators and stevens operators · which are specified in table 3,...

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