taller 21 de mayo

7/24/2019 Taller 21 de Mayo

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Diego Ro jas co d: 2879647 Fecha: Miercoles 21 de Mayo de 2014

Solucion ejercicios de Coordenadas parametricas.

41. Elipse x= 4 cos t, y= 2 sen t, , area dentro de la curva en:

a. 0 x 2,

4 2 2 4

2

1

1

2

y= 2 sin t, dx= 4 sin tdt

2

0

(2 sin t) (4 sin t) dt

8

2

0

sin2 t dt = 8

2

0

1 cos2t2

dt = 4

2

0

1 cos2t dt

4

2

0

dt+ 4

2

0

cos2t dt = 4t+ 2 sin 2t

2

0

= 8+ 2 sin 4 = 8

b. 0 x 2,

4 2 2 4

0.5

1.0

1.5

2.0

4t+ 2sin 2t

0

= 4+ 2 sin 4 = 4


2/9

b.2 x

2,

1 2 3 4

2

1

1

2

4t+ 2sin 2t

2

2

= 2+ 2 sin + 2 2sin = 4

42. Rama de una hiperbola x = sec t, y= tan t, , area dentro de la curvaen:

a.3

2 x 3

2 ,

2 3 4 5 6

4

2

2

4


4/9


5/9

44. Cicloide x= t sin t, y= 1 cos t, , area dentro de la curva en:a. 0 x 2,

1 2 3 4 5 6

0.5

1.0

1.5

2.0

y= 1

cos t, dx= 1

cos t dt

2

0

(1

cos t)(1

cos t) dt

2

0

(1 cos t)2 dt =

2

0

(1 2cos t+ cos2 t )dt

2

0

dt 2

2

0

cos t dt+

2

0

cos2 t dt = t 2sin t+12

t+

2

0

1 + cos t

2 dt

t 2sin t+1

2 t sin 2t

42

0=

3

2(2) 2sin2 sin 4

4 = 3

b. 0 x 4,

2 4 6 8 10 12

0.5

1.0

1.5

t 2sin t+12

t sin 2t4

4

0

= 6 2sin4 sin 84

= 6

c. x 3,


6/9

5 6 7 8 9

0.5

1.0

1.5

t2sin t+ 12

t sin2t4

)

3

= 9

22sin3 sin6

4 3

22sin sin4

4 = 3

45. Delfoide x = 2cos t+ cos 2t, y = 2sin t sin2t, , area dentro de lacurva en:

a. 0 x 2,

1 1 2 3

2

1

1

2

y= 2 sin t sin2t, dx= (2sin t 2sin2t)dt


7/9

2

0

(2sin t sin2t)(2sin t 2sin2t) dt

2

0

(

4sin2 t

2sin2t sin t+ 2 sin2 2t) dt

4

2

0

1 cos2t2

dt 2

2

0

sin2t sin t dt+ 2

2

0

1 cos4t2

dt

2t+ sin 2t 4

2

0

sin t cos t sin t dt+t sin 4t4

t+ sin 2t

sin 4t

4 4

2

0

sin2 t cos t dt =

t+ sin 2t

sin 4t

4 4

3sin3 t

t+ sin 2t sin 4t4 4

3sin3 t

2

0

= 2

Cuando se sustituye el 2 por -2 queda:

1 1 2 3

2

1

1

2


8/9

46. Una curva bonita x= 3 cos t+ cos 3t, y = 3 sin t sin3t, , hallar lalongitud de la curva:

a. 0 x 2,

4 2 2 4

4

2

2

4

dy= 3cos t 3cos3t, dx= (3sin t 3sin3t)dt

2

0

(3cos t 3cos3t)2 + (3sin t 3sin3t)2 dt

2

0

9sin2 t+ 18 sin 3t sin t+ 9 sin2 3t+ 9 cos2 t 18cos3t cos t+ 9 cos2 3t dt

20

9((sin

2

t+ cos2

t) + (sin2

3t+ cos2

3t) + 2 sin 3t sin t 2cos3t cos t) dt

3

2

0

2 + 2 sin 3t sin t 2cos3t cos t dt = 3

2

0

2(1 + sin 3t sin t cos3t cos t dt

sin(3t) sin(t) =cos(3t t) cos(3 + 1)

2 =

cos2t cos4t2


9/9

cos(3t) cos(t) =cos(3t+t) + cos(3 1)

2 =

cos4t+ cos 2t

2

32 20

1 +cos 2t

2 cos 4t

2 cos 4t

2 cos 2t

2 dt

3

2

2

0

1 cos4tdt = 3

2

2

0

2sin2t dt

4 (3cos 2t)

2

0

= 4 (3 cos ) 4 (3cos0) = 12 (12) = 24

Cuando se sustituye el 3 por -3 queda:

2 1 1 2

4

2

2

4

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