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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATAFACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE ELECTROTECNIA

TAP 02 – MD 1 TCI 2016

TEORÍA DE CIRCUITOS I – 2016

TRABAJO DE APLICACIÓN Nº 02

TEMA 02: RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS

Análisis de mallas y de nodos. Linealidad. Superposición y dualidad. Circuitos equivalentes de Thevenin y de Norton.

REPASAR: Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, determinantes y matrices.

AL IGUAL QUE EN EL TAp ANTERIOR, ANTES DE EMPEZAR TENER EN CUENTA LO SIGUIENTE

1. Reconocer los elementos que componen el circuito: activos y pasivos. Sus características y comportamiento y latransformación energética en cada uno de ellos.

2. Indicar en el circuito las corrientes, con su sentido y las tensiones, con su polaridad.

3. Identificar nodos y mallas para la correcta referencia en el planteo de la Ley de Ohm y las Leyes de Kirchhoff

4. Recordar:a) La corriente no circula, lo que circulan son las cargas eléctricas

dq i

dt

b) La tensión no cae, cae el potencial eléctrico y es lo único que puede suceder teniendo como referencia el sentidode la corriente. Dicho sentido va del potencial eléctrico más alto (+) al potencial más bajo (-). Así, siempre la

tensión es u V V .

c) La potencia no se consume ni se transfiere. Representa la variación de la energía por unidad de tiempo indicandoel signo positivo si va en aumento (“recibe”) y el negativo si va en disminución (“rentrega”).

dw p =

dt

d) Tampoco se consume la energía, sino que se transforma reversiblemente en los elementos reactivos y se transforma irreversiblemente en los elementos no reactivos y en los elementos activos.

5. Respetar la nomenclatura y simbología, y poner las unidades de las magnitudes calculadas al lado de los resultados

6. Explicar y justificar explícitamente las decisiones tomadas durante la resolución de los ejercicios.

No olvidar leer las sugerencias que se muestran en cada ejercicio.

PROVERBIO CHINO:

Si me lo cuentan, me olvidoSi lo veo, lo entiendoSi lo hago, lo aprendo

EJERCICIO Nº 01:

En el circuito mostrado. Uf = 10 V; R f = 5 ; If = 5 A; R 1 = 50 R 2 = 20 y R 3 = 10 .a) Explicar cómo se usan las leyes de Kirchhoff para resolver un circuito, teniendo en

cuenta la relación que debe cumplirse entre el número de mallas independientes (Mi ),nodos independientes (Ni ) y ramas (R ). Ejemplificar para el circuito de la figura.

b) Explicar en qué consiste la aplicación del análisis de mallas para la resolución de un circuito. Analizar para el caso delcircuito de la figura.

c) Repetir b) para el análisis de nodos.d) Luego de responder a los ítems b) y c), analizar si uno de los dos análisis es más conveniente que el otro en este caso.

Justificar.e) ¿Es posible generalizar lo analizado en d) para cualquier circuito? Explicar y justificar.Sugerencias: Se recomienda escribir las respuestas con un mínimo nivel de detalle, de manera que cualquier lector pueda entender la idea que se pretende transmitir.Indicar la bibliografía utilizada para el estudio del tema.

EJERCICIO Nº 02:

a) ¿Qué significa que un circuito sea lineal? Explicar. b) ¿Qué condición deben cumplir los circuitos para que se pueda aplicar superposición? ¿Por qué?c) Explicar cómo se aplica superposición al circuito del EJERCICIO Nº 01.d) Comparar la respuesta de c) con lo analizado en dicho EJERCICIO Nº 01.

Uf

R 1R

2 R 3If

A B

R f

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EJERCICIO Nº 03:

Con referencia al circuito del EJERCICIO Nº 01a) Plantear las ecuaciones que surgen de aplicar el análisis de mallas, sin reemplazar por valores. Explicar cómo se

procede. b) Repetir a) pero aplicando el análisis de nodos.c) Comparar los sistemas de ecuaciones resultantes en los ítems a) y b) y efectuar comentarios.d) Reemplazar los valores en los sistemas de ecuaciones de a) y b). Resolver para calcular la tensión entre A y B.

Sugerencias: Ídem Ejercicio Nº 01.Recordar las propiedades y condiciones que impone cada elemento de circuito.

EJERCICIO Nº 04:

Con referencia al circuito del EJERCICIO Nº 01, se desea calcular la tensión entre los puntos A y B aplicandosuperposición.a) Explicar qué significa resolver un circuito por superposición, indicando cuales son las condiciones que permiten su

aplicación. b) Dibujar los circuitos que resultan luego de anular alternativamente las fuentes.c) Calcular la tensión entre A y B en cada uno de los circuitos de a).d) Calcular la tensión entre A y B para el circuito del EJERCICIO Nº 01 a partir de los resultados obtenidos en b). ¿Cómo

se efectúa la suma de dichos resultados para obtener el resultado final? Justificar la respuesta.

EJERCICIO Nº 05:En el circuito de la figura, Uf = 5 V; R 1 = 800 ; R 2 = 100 k ; R 3 = 3200 y A = 10

4.a) Calcular la tensión entre A y B mediante los análisis de mallas, nodos y superposición.

Sugerencia: ¿Se puede aplicar superposición? Recordar lo que ocurre con las fuentes controladas en este caso.

b) Luego de realizar la comparación del planteo del problema al aplicar los análisis del punto a), efectuar comentariosrespecto de la complejidad de cada uno de dichos análisis.

Sugerencia: No olvidar explicar y justificar por escrito las decisiones tomadas en la resolución y enunciar explícitamente las comparaciones efectuadas.

EJERCICIO Nº 06:

a) ¿Qué significa dualidad ? b) Dibujar el circuito dual del EJERCICIO Nº 01. Explicar y justificar cómo se obtiene.c) Repetir a) para el circuito del EJERCICIO Nº 05.d) Explicar qué son los circuitos de Thevenin y Norton, estableciendo la equivalencia entre los mismos.e) ¿Cómo se evidencia la dualidad entre los circuitos de d)? Justificar.

Sugerencia: Para el caso del item c) dibujar los circuitos de Thevenin y Norton para establecer la equivalencia en base al análisis de dichos circuitos.

EJERCICIO Nº 07:

Con referencia al circuito del EJERCICIO Nº 01a) Determinar el circuito equivalente de Thevenin que “ve” el resistor R 2.

Sugerencias:Recordar que en estas situaciones debe “retirarse” R 2 y reemplazarlo por un circuito abierto, comenzando el análisis a partir de este punto.Tener en cuenta que “determinar el circuito equivalente de Thevenin” implica dar como resultado el dibujo del circuito comple to, incluido el resistor decarga, y los valores de UT y R T.

b) Repetir a) para el circuito equivalente de Norton.

c) ¿A través de qué parámetro se establece la equivalencia entre los circuitos de a) y b)? Explicar.EJERCICIO Nº 08:

Con referencia al circuito del EJERCICIO Nº 05a) Determinar el circuito equivalente de Thevenin “visto” entre A y B.

Sugerencias:Recordar que “determinar el circuito equivalente de Thevenin” implica dar como resultado el d ibujo del circuito con los valores de UT y R T.

b) Repetir a) para el circuito equivalente de Norton.c) Establecer la equivalencia entre los circuitos de a) y b). Explicar.d) Entre los puntos A y B se conectan alternativamente los resistores de carga con valores: R c1 = 100 , R c2 = 250 y

R c3 = 500 . Se requiere determinar la corriente en dichos resistores. Resolver y explicar los resultados.

EJERCICIOS ADICIONALESSugerencia: Resolver todos los ejercicios siguiendo las pautas establecidas para los ejercicios anteriores: No dar por hechos u obvios suposiciones o afir-maciones, nada debe darse por implícito. Plantear, explicar, justificar, respetar la nomenclatura y simbología. En este caso, el hábito hace al monje.

B Uf A.UR2

A R 1R 2

R 3UR2

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f U I R R I R

I R I R R R

1 1 2 2 2

1 2 2 2 3 40

La resolución del par de ecuaciones da I1 e I2, que son las corrientes de malla. Luego, I 3 se calcula de la ecuación delnodo.

Obviamente, este planteo debe ser coherente con la aplicación de las leyes de Kirchhoff, donde la sumatoria de corrien-tes en nodos y tensiones en las mallas es:

f

I I I

U I R I R I R R I R

I R I R R I R I R R R

1 2 3

1 1 3 2 1 1 2 2 2

3 2 2 3 4 1 2 2 2 3 40

Con respecto a la tensión en R 4 que nos pide el ejercicio

R U I R

4 2 4

Sólo resta hacer las cuentas.

b) Se comienza identificando los nodos. Hay dos nodos, entonces se asigna a un nodo el potencial de tierra; esto significaque se designa ese nodo como referencia para las tensiones (ver la conexión del nodo inferior) y se identifica con letrasa los otros nodos; en este caso uno solo, que se indica como A.

Uf

R1 R3

R2R4

I1I3

I2

A

Se plantea la sumatoria de corrientes en cada nodo marcado, en este caso en A, dado que en el otro nodo se puede veri-ficar que la ecuación es la misma.

f A A AU U U U

I I I R R R R

1 2 3

1 2 3 4

0

Reagrupando

f

A

U U R R R R R

1 1 2 3 4

1 1 1

Ec 1

En este caso se tiene una ecuación con una incógnita UA, por lo tanto la resolución es inmediata.En general lo habitual es tener un conjunto de ecuaciones con incógnitas, las tensiones en los nodos. Una vez planteadaslas ecuaciones, se resuelven las tensiones en los nodos.Con las tensiones en los nodos se calculan las corrientes en las ramas, en el caso del problema

A

R

U I I

R 2 2

2

Se obtiene la Ec 1 por simple inspección.Se debe verificar que si reemplazamos el dipolo Uf en serie con R 1 por su equivalente de Norton, queda un circuito confuentes de corriente y se puede aplicar el análisis sistemáticamente por simple inspección y obviamente el resultado

coincide.Calcular los resultados numéricos y comparar con el EJERCICIONº 14 del TAp 01. Para este última observación,comparar la complejidad de resolución.

EJERCICIO Nº 12:

En el circuito de la figura. Uf = 10 V; If = 5 A; R 1 = 2 , R 2 = 1 y R 3 = 1 .a) Calcular el equivalente Thevenin entre A y B visto desde R 2 (impedancia de carga). A

continuación calcular la tensión en R 2.b) Calcular el equivalente de Norton entre A y B suponiendo que R 2 es la impedancia de

carga. Calcular la corriente en R 2.c) Verificar los cálculos anteriores aplicando superposición.

Resolución:a) El primer paso consiste en desconectar la carga (reemplazando por un circuito abierto) y dibujar nuevamente el circuito:

Uf

R1

R2R3

If

A B

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El segundo paso consiste en calcular la tensión entre los puntos de interés. Planteando la segunda Ley de Kirchhoff:

AB AO BO f f T U U U U I R U

3

El tercer paso consiste en realizar un cortocircuito entre los puntos de interés y calcular la corriente entre A y B (con

dirección AB). Dibujando el circuito nuevamente:

Si se plantea la primera ley de Kirchhoff en el nodo B:

f BO

AB R f f f N

U U I I I I I I

R R

3

3 3

El cuarto paso consiste en calcular la resistencia de Thevenin realizando la siguiente operación:

f f f f T

T

N f f f f

U I R U I R U R R R

I U R I U I R

3 3

3 3

3 3

Por lo tanto el circuito equivalente de Thevenin, con la carga R 2 conectada, resulta:

Debe quedar bien claro que el circuito de Thevenin está conformado estrictamente por UTh en serie con R Th, es decir, elcircuito que la resistencia de carga R 2 “ve” entre A y B.

Reemplazando valores y haciendo los cálculos (recién ahora):

T f f

T

U U I R V A V

R R

3

3

10 5 1 5

1

La tensión en R 2 resulta:T

R

T

U R V U V

R R

2

2

2

5 12, 5

1 1

b) El primer paso consiste en desconectar a la carga. Luego se aplica un cortocircuito entre A y B y se calcula lacorriente de Norton. Observar que este paso ya se realizó en el inciso anterior.

La conductancia de Norton se calcula conociendo la corriente de Norton y la tensión entre A y B a circuito abierto(tensión de Thevenin) que también se realizó en el punto anterior. Además la conductancia de Norton es la inversa de laresistencia de Thevenin. Esto surge de la equivalencia de los circuitos de Thevenin y Norton.

N f f

N T

I U R I V A A

G R S

3 10 1 5 5

1 1

La corriente en R 2 resulta:

N

R

N

I G A S I A

G G S S

2

2

2

5 12,5

1 1

c) Primero se anula la fuente de tensión. Aquí vale detenerse para efectuar un comentario importante. Muchas vecesse utiliza el término “pasivar” en lugar de “anular”, que deben entenderse como sinónimos ; aunque este último resultamás gráfico e intuitivo que el primero, dado que “anular” significa “dar por nulo” o “hacer cero”. Esta idea extrapoladaal concepto de fuentes de tensión y corriente significa que una fuente de tensión nula equivale a tensión cero(cortocircuito) y una fuente de corriente nula equivale a corriente cero (circuito abierto).

GNIN G2

RT

UT R2

Uf

R1 R3

If

A B

O

Uf

R1 R3

If

A B

O

IAB

R1 R3

If

A B

O

R2

I’AB

R3

If

A B

O

R2

I’AB

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Conviene plantear la corriente en el sentido que pide el ejercicio. Planteando la división de corrientes:

f

AB

I G I

G G

2'

2 3

El signo negativo de la ecuación se debe al planteo de sentido inverso que se propone para el cálculo de la corriente.Recordar que el símbolo „que acompaña a I AB identifica a la componente debida a la fuente de corriente con la fuente detensión anulada, en este caso.

Se procede a pasivar (anular) la fuente de corriente, de acuerdo a lo comentado más arriba:

Se calcula la corriente entre A y B sin modificar el sentido de corriente:

f

AB

U I

R R

''

2 3

Recordar que el símbolo “que acompaña a I AB identifica a la componente debida a la fuente de tensión con la fuente decorriente anulada, en este caso.

La corriente total consiste en la suma de las corrientes calculadas en cada paso:

f f

AB AB AB

I G U I I I

G G R R

2' ''

2 3 2 3

Realizando los cálculos:

AB

A S V I A A A

S S

5 1 105 2, 5 2, 5

1 1 1 1

Calculando la tensión:

R AB AB U U I R V

2 2 2,5

Con lo cual queda verificado el cálculo.

COMENTARIOS FINALES Y CONCLUSIONES

En el desarrollo de este TAP 02 han resultado importantes los siguientes aspectos:

1. El análisis de la topología de un circuito buscando plantear el sistema de ecuaciones más sencillo que permita su re-solución (economía de ecuaciones e incógnitas).

2. Con relación a lo anterior, comparar las diferentes alternativas de solución de un circuito, de manera de poder elegirla más eficiente.

3. La definición de circuito lineal.

4. El uso superposición en la resolución de circuitos lineales.

5. La definición y aplicación de dualidad.

6. La aplicación de diferentes métodos de resolución de circuitos para sistematizar el uso de ecuaciones y para simpli-ficar partes de circuitos cuando sólo interesa el comportamiento de esa parte desde el punto de vista de sus bornes y

no dentro.7. La equivalencia de fuentes reales o, también llamada equivalencia de los circuitos de Thevenin y Norton.

R1 R3

A B

O

R2

I’’AB

Uf

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