tapas of descartian geometry - universiteit utrechthietb101/gnpdf/descartes... · 2012. 4. 26. ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/1.jpg)
Tapas of Descartian Geometry
������ ������ � ��� � ��������� ���� ��������������
������ ������ 2009
![Page 2: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/2.jpg)
Table of Contents
Introduction
Jan Hogendijk 3
Comparing Descartes’s La Geometrie and Discours de la Methode
Eric van Lit 5
Het construeren van oplossingen van vergelijkingen door Descartes
Lorijn van Rooijen 21
Over dioptriek in Descartes’ Geometrie
Anco Moritz 31
Handleiding bij Mathematica-notebooks voor het tekenen van enkele geometrische krommen van Descartes
Wouter Duivesteijn 41
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
Auke Mollema 57
Jan de Witt, staatsman en wiskundige
Marianne Hoksbergen 73
De kus van de winterprinses
Thekla Teunis 89
2 Tapas of Descartian Geometry
![Page 3: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/3.jpg)
Introduction
Jan Hogendijk
�� ��� ���� �� 2009 � ������ �� ��� �������� �� ����� ��������� �1596�1651� ��� ���� � ��� ����������
�� ���������� �� ��� �������� �� �������� ��� ������ ��� �������� � �! ���������� ��"����� ����
��� �������� �� ������� ��� ��"���� ���� ��� �������� �� #���� ��� ��� ��"���� ���� ��� ��������
�� $%����� ��� ������ ��� �"������� � ���� &����� ������ ��� &�� '� (����%)�
��� ��� �� ��� ������ ����� � ��������� ��� ��� '���� �������� ���%��� �� &����� ������ �� ���
����������� ���"������ �� *���� ��� +������� %"��� �1615�1660�� ,�� �� ��� �������� ����� "����
�� -�� +������� �� ������ ��� �� #��� ���������� �� ��� ���������� �� ��������� ������� �" ����� �
*����� � 1637� .� ���"�� ���� ��� ���������� ��"�� � � ��� �" %��� ��� � ������ ��� ����� ��������
*��� ��� ���������� � � ������ ���) � ��� ������ �� ���������� � ���� ���� �������� ��� ��������
���� ��� ��� �������� � ���������� ��"�� ��/ ��� ��� �������� "�� x ��� y� ���� �����"����
+������� ��� ���������� � ����� ����� �� � ��� ����� ����� � � ������� ��� �� 0���� ����������
���� ���� � ����"�� ��� �1925�� ��� ��)�� ��� ��!� ������ �� �� � ������ �������� �� ��"����� ���
������ ���� *������ ���� ��� ��������� � � � ����� � ��������� �������� ����� � �������/ � � ����
�������� � ��� ��) � (��) 1�� ������ ������� ��������� �� ��� ������ �� ����������/ ���� ���
���������� ���������� ��������� ������������� �� ��� ����� ������ ������� �� �����������
�$�� 2��)/ +����� 2001��
��� ������ �������� �� � ����� �� 3����� ���)�� ������ �� ��� ��"��� ��� 3��� ��� ������ ����
���������� ����"��� � &�� (����%) �� ��� ������ �� ��������� � ������ �� ���������� � ������ ���
�� ��� 3��� ���� �� 1��) 1 �� ��� ����������� 4����� ��� �� ��� ����� ������ ���� �������� � ��� ��"������
���� ���� "�"���� ����� ��� ��� 5��"��6 �� 45 ��"��� ����� � � 15���"�� ���)� �� ��� ����
�� ��� ������ ��� ����� 51��)�6 �� ��� ���������� ���� ���� "� ��� ����"� �������� �� ��� 3��� 5��"�6
��� �� ��� ��"����� ��"�� �����"�� � �����"��� ������ ���� �� ��� ���������� ��� �����!������ 25
��"��� �������� � 7"������ ��� ���"����� � ��� �"����� ���� ��� �"������ �� ���� ���� ��� ����
� �������� �� ����� ���"����� �� ���� � �� �� ������� ���� "� ��� ��� �� ��� �8�"���� � ��� ��!��
�� ��� ������ ��"� ������� ��"���� ��"�� �� � ����������� �� � �" %��� ������� �� ��� ���������� ��
���������� +"�� ��"���� ������������ ���� ��� �� ��� ������ 9���) ������ �� ���� ������� ���������
��� "���������� ��� ���������� : ����� �"���� )���� � 9���) ���7"�� ������ ������� 7"������!�:
��� ����� ����������� �� ���������; ����������� ���): ��� ����������� ���� �� ��������� ������� ��
Tapas of Descartian Geometry 3
![Page 4: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/4.jpg)
Introduction
����������� ��� ������� � ������������ ������� ������� ��������� ��� �������� ��������� ����������
��� ���������� ������� ��� ����������� ��� � ��� � ��������� � ����� ������ ��� � ���������� � ���
������ �� � ��� ����������� �� ���� ��������������� ���� �� ��� �� ���� !�� �������� ���� ����� � �����
�� ������ ������ � ��� ���� � ��� � ����� ���������� � � � � ����� � � ��� ����������� "� ��� � ���� � ���
�������� �� ���� ���� � � #��� �� ��� $��� %� ���&� ��� � ������ ' �� 1 ��� 2 ��� ��� $��� ���� � ' �
3� ���� ������� ����� ���� 385
(�� ��#�� ������ �� ���� � ������ � ���� ������� �� ��� �������� �� ������������ �� ��� ������� � ���
������� � )��*� ��������� (��� ��� �������� ���� �� ���������� ����
(�� $��� ������ �� ���� #�� +��� �� �� �� ��� ������ ����� ������� ��� ����������� ��� ��� ���� � ������
����� � ��������� (�� ����������� ��� ��������� � ������ ���� �� ���� � ���� ��� ������� ��� ��� ���
���������� ���� � ���� � ������ ���� ����� � �������� �������� �� �� ��������� ��� ���� ������� ��� � �� �
���� ���� ��� ����������� �� �� %�������& � ��� �������� �� �� ��������
(�� $��� ����� �� �� ������� ��� ��� ��������� ������ ��� �� ������ ��� �������� ���� ��� ���� �� ���
������� "� ��� ��� �� ������ + ��,� #�� ) �,�� ��������� ��� ��� � ' � """ � ��� ������������ ���� ���
��� ���� ����� �� ��� � � � #�� �� ��� $��� %� ���& "� ��� ����� ������ !�� - ���. �����.�� � � ���������
������� � ������ �� ' � ""� ����� ������� �� ���� ������ � ���������� ������ ��� �������� �� �� ���
������� (�� � ���� ����� �� � ���� ���#�����,� �� ��# ��� � ��� ������� � � �� � ��� � ���������
���#�� ����� ���� �� ��� ��� �� ' � � ��� ����������� "� ��� $��� ������ !��� - ����� ������� ���
���� � � ��������� � ������� � ����������� �������� /��� ����� ��������0 �� � �#��� � �� ����� 12��3
������� ���#����� �� ����� (�� ���� ����� �� -������� 4 �������� �� �� �� ��� � �� � ��� �����
��������� ��� �� ���� /1625316720� �� ���� ��� ����� ������ �� � ��� 5� ����� ����� ��� �� ����
�� 6���� #�� 7�� ��� �� ��� �� 3# ���� ��� �� ����� � � ��� +���� ��������� � /1659316610 "� ��� $���
������ (����� (����� ��������� ��� � ����� ������ ������� ��������� ��� �������� ���.����� � ��� ��� ��
�� ���� � ������� ������� � !� �� ���� /�� 200 '80 ! �� �� ������� � ������ � ��� �������� � � �� �
���������� ��������� �� ���� �� ���� /��� � �� � � ������0 �� ��� � ����� ������
"� �� ���� ���� ���� ����� �� " ���� � ����� ��� ������� ������������ ��� ������� � ���� � � ����� ���� ������
��� ���� � ��
9������� !����� 11� 2009�
��� 4 �����,�
4 Tapas of Descartian Geometry
![Page 5: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/5.jpg)
Driehoekslandmeetkunde op de maniervan Descartes
Auke Mollema
��� ������� � ��� ��� ���� �� ��� � �������� �� ������ ��� ���������� ��� ��� 3 �� ��� 4� ��
���� ��� ������� �� ������ �� ������������ ��� ���������� � ��� ��� �� �� ����� ��� �� �� ���
��� ����������� ��� �� ������� ��� ���� �� �� ����� ������ �� ���� ������ �� ��� ���������
������������� �������� �� ��������� ���� � ��� ������� ������ �� ������������ ����� ���� � ���
����� � ��� �����
Inleiding
�� �� ����� �� �� 17e ����� !� 1637 ������� �� "������ #��$� �������� ���� ���� �� ���������� %�����
�������� ��� &����� ��' �������� ���� ��� �� (�������� �� ��� �� ��� ����������� ��� �����
�� �������� �� ���� ��� ���� �� �� ������ ���� �� ��� ��� ����������� �� ������� ��� �� ������ �����
�� ��� ����� )� ���� �������� ����� ���� x �� �� ������ � �� �� ������ ������
�������� ����� ��� �� ������ �� ��� ��� ���� �� ��� ������ � �������� ��* +� ��� ���� ��� ��
���������� ��� ����� �� ��� ������ ������� ��� ������ ����������������� �� ��� �� ��� ���� ����
����� ��� �� �� �������
!� ��� �������� ������ ��' ��� �� �� ������� � �������� ����� ���� �� �� ������' ������ ����
��� ����������������������� ��� ������
La Geometrie
Geschiedenis
#��$� �������� ���� �� ���� �� &������� �� 1596 �� ������ ��� 1650� !� �� ������� � 1620 ��� 1628
������ ��� ��� �� �� ���� ����� ����� �� +����� �� 1628 ��� 1648 �� ��� �� (������� �� ����� ����
,������� !� 1648 ���� �������� �� )����� �� ������ �� �� 1650 � ��� ��������������� �������� �������
���� ���� �� �� �������� �� ���� �������� %�� ����� �� �������� �� �� ������ �� �� ���������
�� �����' �� ����� �� ��� ��������� � ������ ������� ���������� �� �� ������ ���� ��� ����������
������ ��������� !� 1637 ������� �������� �� ��������� �� ��� &��� ��� ��� �������� � �����������
Tapas of Descartian Geometry 57
![Page 6: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/6.jpg)
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
��������� ������� �� �� ���� ��� �� � ��������� ������� � ������ ��� ������ ��� � ������� ���
�������� �� ��� �� ������� ��� �� ������������� ����� �� ������ ��� ���� �������� ��134�138 !
De methode
"�������� ������� ��� ��� ����� ��� ��#� ����$
%&��� ��������� �� � '������ � ������ ���������#� ��� �� ����� ������ ��� �� ��������������
�� ��� ����� ������ � ������ ��� ��� ���� ������ ��#��� � �� ��#����������! ���(� �� ������
�� �� � �� ���������! �� �����������) �*�� �� +������ ���� ��� � ������ �� ��89
&� ��� ����� ������� "�������� �� ��� ������� �� �������� ������������� ��� ��� �� ��� ��� �����
�������� �������� ,�� ������ ��� � �� ������������ �������� ��� ��� �������� ��� ��� �������#���� ��� -�-��
������� �
"�������� ������ ��� ����������� �� ��� ��� �������� ��� ��� �������#���� �� ����� "�� ������������ ��
�� �� ����. ��� �������� ��� ��� �� ���� ��� �������� ��� ����������� ������� ��� ���������� ���� ���
�����$
1 /��� ��� �� ��� �������� �� �������� ��
2 +��( ����� ��� � ��#�������� �� ��� ������� ��� 0���� �x �� y ��� ������� � �� ��#�������� a ��
b ��� ����� � ��#��������
3 1������ -�-�� ��#����� �� ���� ����������� � �������� ��� �� ������
4 ���� �� ���� ��� ��������� ��� ���� 3 ��� ������ ����#�� �� ���(� ��� �������#����
5 2�� � �������#���� �� ��� �� �� ��� �������
6 '��� � ������� ��� ���������
"��� �� �� ��� ����������� � ������������� �� ������� �� ������#���� ����� � ������ �� �� ��� ����� �
���� ��������� 3�����#� ��� �� #� �������������� ������ #��� ��������������� � �� � ���������� �
����� � /� �� "�������� ��#� ����� � ���������� ���(� ���� ��#$
%'��� �� ��� ���� ������� �� �� �� ���� ����� ��� �� ������� �� �� �� �� � ��� ������� ���
�(����� �� �� ���( ��� �� ������� �� ��� ��� ��� ��� �� ����� �� ���������� ��� � ���� ��
��(����� ������� ������� ��# ��� ��������#���� ��� �� �� ��� ��� ��� ���������� ��� �������)
�*�� �� +������ ���� ��� � 4����� �� ��90
58 Tapas of Descartian Geometry
![Page 7: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/7.jpg)
Auke Mollema
Vraagstukken
�� �� ������� ���� � ����� �� ������� ��� ������ ����� ���� ���� ��� �� ������ ��� �� �����
��� �� �� ��� ����� �� ��������� ������ ������� �� �� �������� �� ��� ������������ ������ ��� ����� ��
������ ���� ��� ���� ������ �� ��� �� ������� ��� �� ����� ���� �������� ����� ��� ������� ��
���� ���� �������� ������ �� ��� �������� ���� ������ ����� ��� �� ���� ���� 1 �� 2 ��� �� �������
��� �� ����� ���� �������� ��� ��� ������ ����������� ������ ��� �� ���� ��� ������ ������� �� ���
�� �� � ��� ���� �� ����� ��� �����
Vraagstuk 1
��� ��� �� ����� �� � �������� ��� ��� �� ��� !����� ��� "����� ��� 1615 #���119$�
Gegeven: %�� ��������� �� ���� ABC ��� ����� �������
Gevraagd: ���� ���� ����� ���� ���� �������� ������ ��� ����
Oplossing:
1� &� ����� ��� ��� ��� ������� ������ � � � ������� ABC � �� ���� ���� ����� ��������� ABD ��
BCD �������� #'�� (���� 1$
2� &� ������ ������ C ��� �������� �� AB �� ��� ������� ��� AB ������ �� E� ����� ����� �� ���
������ ������ ��� ������) |CB| = a�|AC| = b� |AB| = c� |AD| = y� |ED| = d �� |BD| = x� *������ �����
�� �� ��� |AE| = y − d� ����� � �� ������ #|CE|$ ��� �� ������� ABC ��� ����� ��� �� �������
��� +,������� ����� ���√
b2 − (y − d)2
3� &� ����� �� ���������� ��� ������� ADC �� ������� BCD)
-��(ADC) =� � · ������
2=
y · √b2 − (y − d)2
2
-��(BCD) =� � · ������
2=
x · √b2 − (y − d)2
2
4� �� ���� ���������� �� �� ������ ��� ������ ��� ����� ����� ����� �� �� ���� ������)
-��(ADC) =y · √b2 − (y − d)2
2=
x · √b2 − (y − d)2
2= -��(BCD)
5� ���� ����������� ����� �� ���� ��)y
2=
x
2
*������ ���� ��� x ����� ���� ���� ��� y�
Tapas of Descartian Geometry 59
![Page 8: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/8.jpg)
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
6� ��� �� �� ���� C ��� ��� ������ � ��������� ���� ��� ������� ���������� �� �� AB �������
������ 1� �������� ��� �������� 1
��� �� �� ������ �� ��������� �� �� ���������� ��������� ������� �� �� �� ��� �� ���� ��� �� ���
����� �� ����� ��� ����� �� ��� � ���� �� ����� ������ ���� �� �� ���� �� �� ����� ����
���� � �������� ��� �� ����� �� �� ������ �� �� �� ����� �� ������ �� �� � �����! �� �� ��
���� � � �� �������� ������� �� �� �������� �� ������� ���� "����� ������� �� ��� �������� ��� ��
��� ���� �� �#�� ��� �� ������ ����������� ���� ������� ��� � �� �� ��$
%�� � � ������ ��� � �� �� ������ �������� �� �� 17e ���� ������ �� � ���� ��� �� ������� ���� � ��
�� ���� ��� �� � �� �� ����� ������ ������ ���
Vraagstuk 2
&� ������� ������ �� ��� � ��� �� "����� �� 1� �������� ��� �� ������ �� �� �� �� ������� ��'
������� ������ �� ����� ������ �� �� � ���� �� �� ���� �� ()���� &��� *������� �� 1614
+���24,�
Gegeven: -� ���������� � �� ��� ABC �� ������ �����
Gevraagd: ���� ����������� � ���� ��� ������ ��� ���� ���� ���� �������� ��� 1 : 2�
Oplossing:
1� .� ��� �� �� �� �������� ������� ��� �������� ABC �� � ��� ����������� � ���� ��� +ADC
� BCD, ������� �� �� ��������� �� 1 : 2 ���� �� ��� � ���� ����
2� .� ���� ���� C �� ������ �� AB � �� ���� �� AB ���� �� E� "����� ���� �� ��
�� �� ���� �� �� ��� |CB| = a!|AC| = b! |AD| = c |DB| = d � |EC| = y� �� ���� �� �� �� �����
��������� �� �� �������
3� .� ������ �� ��������� � �� �������� ABD � �������� BCD�
/��(ADC) =����� · ���� �
2=
c · y2
60 Tapas of Descartian Geometry
![Page 9: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/9.jpg)
Auke Mollema
���(BCD) =����� · ����
2=
d · y2
4� � ��� ����������� ��� �� ����� ��� ����� �� �� ��������� 2 : 1 ����� �� �� ��� ������
2 ·���(ADC) = 2 · c · y2
=d · y
2= ���(BCD)
5� ��� ���������� ������ �� ���������
c =d
2
������ ����� �� d ����� ��� ���� ��� 2c�
6� �� �� ���� ����� C ��� ��� ���������� ��� ��� �� �� ��������� 1 : 2 ����� ��� ������� �� ���
����� ��� �� ���� AB ��������
������ 2� �������� ��� �������� 2
�� ��������� ��� �� ������� ���� � � �������� ���� ���� �� ��� ��� ������� 1� ������ ��� �� ��
�� ����� AB �� 2 ������ �������� �� ��� D ���� 2|AD| = |DB|�
Vraagstuk 3
� ������� �� �� ��� ������� ! ������� ��� ��� ���� ��� "����� ��� #����� �� 1615 $���84%�
Gegeven: &�� ��������� ��� ���� ABC �� ������� �������
Gevraagd: &�� ��������� ��� ���� �� �� ����� ����� ��� �� �������� ��� ����� ��� �� �������� ��
�������� ���������� ��� �� ���������
Oplossing:
1� '� ����� ��� �� �� �������� ������ ��� (�� �������� ABC ���� ��� �������� ABEF ������� ��
����� ����� ��� �� �������� ��� ����� ��� �� �������� ��� &� ��� ��� �� �� ���������� ��� ��
�������� ABC ����� �� ��� �� ���������� ��� �� �������� ABEF�
Tapas of Descartian Geometry 61
![Page 10: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/10.jpg)
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
2� �� ������� ���� C ��� ��� ��� �� ������ AB �� ��� ������ ��� AB ������ �� D� ��� �� ��� �
|CB| = a� |AC| = b� |AB| = c� |AD| = d �� |AF| = |BE| = x� ��� �� � � ������ �|CD|� ��� � ������
ABC ��� ����� ��� � ������� ��� ���������� ����� ���√
b2 − d2
3� �� ������� � ����������� ��� � ������ ABC �� � ����������� ��� � ��������� ABEF�
���(ABC) =���� · ������
2=
c · √b2 − d2
2
���(ABEF) = ���� · ������ = c · x
4� ����!�� � ���� ������������ �� � ����� ���� ��� ������ ����� ������ !�� ��� ��
���(ABC) =c · √b2 − d2
2= c · x = ���(ABEF)
5� "� ���������� �������� ���#� ��� √b2 − d2
2= x
�� !�� �� � ��������� ��� � ���������� ����� � ��� 12 |CD|�
6� "� � ��������� ���#� ��� ������ �x� ��� 12 |CD|�
������ 3� �������� ��� �������� 3
$"�� � ��� �����%� !� � �������� �� ��� ������� ��� � ������ $ �� � ����������� ��� ��� ������
� ���#� ��� ���� ���� ������ �� � ����������� ��� ��� ��������� ���� ���� ������ �� ���� �� � �
���#� ��� � ������ ��� ������ ��� � ��������� �����&% '�� �������� �� � ����� ��� "�������� !��� �
�������� ���� ���� ����������
Vraagstuk 4
"� ������ � ���� ����������� !�� ������� ��� (���� ��� )������� 1659*1660 ����56�57��
Gegeven: +�� �����!� � ������� ��� ��� ABC ��� ����� � !� � �a��
Gevraagd: "�� �#����� �� ������ �����!� �� �������� ������ ��� � ����� �!��# � ������
������ ��� ��� ������������ !�������� ��� ��� �
Oplossing:
62 Tapas of Descartian Geometry
![Page 11: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/11.jpg)
Auke Mollema
�� ����� ���� ��� �� � ��� ���� ������� ��� �� ����� ���� ���������� ��� ����� |AD| = |AI| = |DI| =
|CE| = |CF| = |EF| = |BG| = |BH| = |GH| = x �������� �������� ������������� ����������� |DE| = |FG| =
|HI| = b = a − 2x ��� ��� 2x ��� ���� ����� ��� ��� ������������� ������� ��� �� |AB| = |BC| = |AC| = a =
x + x + b� �� ���� ��� �! ������
�(ADI) = �(CEF) = �(BGH) = 3x
�(DEFGHI) = 3x + 3b = 3(a − 2x) + 3x = 3a − 3x
�� ����� �� �������� ��� �� ���� ���������� ����� ������ ���� ��� �� ����� ��� �� �������
3 · (3x) = 9x = 3a − 3x �"�
������� �����
12x = 3a → x =1
4a
#� ����� �� �� ������ ��� �� ������ ���������� ���� ���� ���� ��� ��� ���� ��� �� ����� ��� �� ����
��������
������ 4� �������� ��� �������� 4
�� �� �����$ ������ � � �� $��$�������� �� �$������� %#� ���� ������ ���� �� � �� ��� �������
��� �� ����� �������$��������� ��� � ���� �� �� b ������ ��� ���� ��� 2x�& ������ ��� ��� %�������
�� ��� ����� ���������� ������� ����$�� ���� ����� ��� �� ���� �� ��� ��� #��$����� '�� ��� ��
������������ �"� ��� 3x ��� ���� ����� ��������& #������ ������� �� �� �� 3x ��� ���� ����� �����
Vraagstuk 5
Gegeven: (�� ������������ ��������� ��� ���� ABC �� ������ ����� �a��
Gevraagd: #��� �������� ������������� ���������� ������ ���� ��� ����� �������� ���������� � �� ���
Tapas of Descartian Geometry 63
![Page 12: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/12.jpg)
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
��� ������� �������� ��� ����
Oplossing:
�� ����� ���� ��� ��� ��� ���� ��� ���� �� �� �� ����� � � ��������� ��� ����� |AD| = |AI| = |DI| =
|CE| = |CF| = |EF| = |BG| = |BH| = |GH| = x �������� ��������� �� ��������� ������������ |DE| = |FG| =
|HI| = b ��� ��� � 2x ��� � �� ���� ��� ��� �� ��������� �������� ��� �� |AB| = |BC| = |AC| = a = x+ x+b�
�� �� �� ��� �� ������ ��� �������� ABC �� ��� � ����
�����(ABC) =
√a2 −
(1
2a
)2
=
√3
4a2 =
1
2
√3a
!� � �� ������ ���� ��� �������� ABC�
"��(ABC) =��� · ������
2=
1
4
√3a · a =
1
4
√3a2
#������� �� ������ ���� ��� �� ���� ���������� ��� �� ������ ���� ��� �� ����� �� ��� ������ ��� ���
�� ������ ���� ��� �� �������� ABC �� �� ��� �� ���������� ��� ������ ���� ��� 18
√3a2 ������ �������
$� �� �� ���
"��(ADI) = "��(BEF) = "��(CGH) =
√3
24a2
!� ������ ��� %�%�� ���������� � ��� ���� � ��� �� &�� ��� ��� '(������� �� ��� ���√
32 x� !� ��� � ��
������ ���� ��� ��� �����������
"��(ADI) = "��(BEF) = "��(CGH) =
√3
4x2
�� ������ �� ���� ����� �������� ���� ��� ����������� !�� ������ �� ��� � ���� �� ����� ���
"��(ADI) = "��(BEF) = "��(CGH) =
√3
24a2 =
√3
4x2
"� ��� ����� ����1
24a2 =
1
4x2
→ x =1√6a
������ 5� �������� ��� �������� 5
64 Tapas of Descartian Geometry
![Page 13: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/13.jpg)
Auke Mollema
��������� � �� � ������� ��� �� ����� ��� �� ������ �� ��� ���� �� ������� �� ��� �������� �� ��
���� ��� ����� ���� �� ��� ���� ��� ����� ��� �� �� ���� � ��� ������ ������ �� ���� ������ ��
���� ������ ��� �� � ������� �� �� ��� �� ������� ��� ����� ����� �������� �� ��� ��� ����������� �
������� ��� ��� �� ��� � ��� �� ���� ������ ��� �� � ��� � ����� ����� �� ������� ��� �� ����� � ��������
Vraagstuk 6
�� ������� � ������� � �������� ��� ��� ��� ��� !" ���� #���� $� ����� �� 1614 %���35&� '�� �� ���
��� �� ��� ���� � ������ ���� ���� �������� ��� � ��� ����� ���� ��� ( � ������� ��� �� ������ ���
�� ������ )����* ��� ��� ���� ���� �� +������ � ��� ��� �� ���� ������ ��� ��� ���� ���� � �������� �
�� ��� �� )�����* ��� ��� ���� ����� '�� ���� � ��� ����
Gegeven: (�� ��������� � ������ ���� ���� ABC ��� �� �������� �������������
|AC| =√
605 %,&
|AB| + |BC| + ���(ABC) = 154 %-&
Gevraagd: �� ������� |AB| �� |BC|�
Oplossing:
.��������� ��� ��� � ����� � �������� ����� �� ���� ���������� ��� ����� |BC| = a/ |AB| = c ��
|AC| = b =√
605� .�� �� ��� � ������ �� �� ���� ������ ��� � ����� ABC�
���(ABC) =��� · ������
2=
c · a2
��� ������ �� ���� �������� ������� � �� ������� %-&�
|AB| + |BC| + ���(ABC) = c + a +c · a2
= 154 %0&
1� ��� ���������� � ����� ������ �� �� !������ ��� 2"����� �� ��������� ������
|AB|2 + |BC|2 = |AC|2������ ���−−−−−−→ c2 + a2 = b2 = 605 %3&
4� ���� �� ��� �� ��������� %0& �� %3& ���� �� ��������� �������� ��� ���� ���������/ �� ��
������ ��������� 5� ��� ���� ��� ����� ��� %3&�
a =√
605 − c2 %6&
���� ������� � �� ������� %0& ��� � ����
√605 − c2 + c +
√605 − c2 · c
2= 154 %7&
Tapas of Descartian Geometry 65
![Page 14: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/14.jpg)
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
���� ���������� � ������ ����� �� ���� ������� c = 11� ��� �������� �� ��� ������
a =√
605 − c2 =√
605 − 112 =√
484 = 22
��� �� ��������� ������� ����� |AB| = 11 �� |BC| = 22 ��� ��������� ������
������ 6� �������� �� ��� ������� 6
���� �� ��� ������ �������� ������ ��� �������� ����������� ���� ��� �� ��� !" �������� �� ���������
�� �#�� � �$ ��� ���������� �%� ���� ������ �� ����������� ����� � ������� ! &���� � ���� �������
��� ��� ��������� ���� � ������� ��� ��� ����� ��� ��� �'�� ��� ���� ������� ���� ��� ������� ��� !�
Conclusies
(� ��� �� ��� ������ ������ � �������� ������ �� ����������� ��� �� ��� �����������
De werkwijze van de scholiere
�� ��������� ����� ��� ������ )������* �� ����� ��� �� ����� �������� ������ �� +������� 3� ��� �� �� ��
�������� �� ��� � ������ ��� �� ����������� &���� �� ��� �������� ������� ��� ����� �� ����������
���� ��� �������� ������ �� ���� ��� ������ ��� �� ������� ��� ��� �������� ������ �� ����������
�� +������� 1�� &���� �� �� ������� ��� ��������� ��������� ���� ������� �� ��� �� ��� ������ ����
�� ����� ��������� , ������� ����� ������ �� � ��������� �&�� ��� � ������ ������������ �����
� ������ ���� ������ �� ��� ! �� �-����� ����� �� ������� ��� ��������� ��������� �������� ��� ���� �
� ������ �� +������� 1�!
66 Tapas of Descartian Geometry
![Page 15: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/15.jpg)
Auke Mollema
De methode
�� ��������� ���� � ����� � � ��������� ���� �������� ����� � �� x � y ��� ��� ��� �� �
����� � � a� b � c ��� ���� � ���� ��� ���� �� �� �� ��� ���� ����������� �� ��� ����� �
���� ��� �������� �� � �� ������ ������ �� ������ � �� �� ����������� ���� �������� ���������� �
����� �� ��� ��� � � ��� ���� ��� ��� �� �� ��������� �� ������������ ������� �� �� �� ���
����� �� �� ��� ���� �� �� ��� � �� �������� �� �� ����� �� ���������!" � �� ���� � ���� �
��� ����� � �� �� ����� �� ����� ������������ ��� �������� � ����� � � �� ��� � � ���������� ��
���� � �� �� ����� � ����� ���
De vraagstukken
#�� � ������ ��� ����������� ��������� � ��������� �� � ��� ���� � � ���� �� ��������� �����������
$��� �� � ��������� ��� ���� � �� %�����& ��������� � �� ����� � �� ����������� � � �� ����
�� �������� � ��� ��������� �� �� ������ �� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ��� �� ��� � ���������� ���
���� '�� �� �� ������ � ��� ���� �� ��� ������ �� ������� �� ��� �� ������� ��� � ��� �� �� ����� ���
� �� �� �� ����������� ���� �� ��������� �� �� ������ ��� ��!"
(����� � ����� �� (�������� 4 �� �� ������� � �� ���� �� ��� ��� ��������� �� ���)���� ��
��� ���� � ���������� ��� � *�� (�������� 5 � (�������� 6 �� �� ��� ������ �� ��������� � ���� �
�� ��������� ��� ���� ���������� � (�������� 5 �� �� ������ +���� ����� ��������� �� ��� ��� �������
��������� �� ���,���� ����������
Conclusie van de scholiere
� � �� ��� ��� ���� � �� ��! (����������� ������� �� ����� �� �� �� �������� #��� �� ��� ���
�� ��� � �������� � ��� �� ��� ����� ������� �������� �� ���� � �� ��������� �� �������� ���� ����
��� ���� � ��� ��� � �� � � ������ ������ ��� �� �� ����� ������ � � �� �� ��� ����� �� ���
� ��� ��� ����������� �� ��� ���� �� (-� 4 �� ���� ���� ��� ��� ��� ������ �����!" .���������
������ �� �� ������� �� /�/� ���������� *��� �� �������� �� ��� ����� �� ��� � � ����������� ��� ���
� ��� ��������� ��� �� ������
Tapas of Descartian Geometry 67
![Page 16: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/16.jpg)
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
Mijn conclusie
����� ��� ���� �� � ��� ����������� �� �� �� ������ ��� � ��������� �������� �� � ���������
�� ��� �� ��� � ��������� ����� ���� ������� � ��� ��� �� � ���������� ��� ����� ��� � ��� ���
����������� �� ��� � ����� ��� ����� �� ������ ����� ������� �� ��������� �� �� ���� ��� ���� ����
��� � ��� �� ����� ���
������ �� ����� �� � � ������� �������� �� � ��������� �� � ��������� ��� ��� �� �� ������ ���
��� �� � ������ �� �� � ��������� ��� �������� ��������� ���� � ���� ��� � ��������� �� ���
��� ��� ���� �� �� � ��� ������ ���� � ��������� ������� ����� �� ������� ���� �� �� ����� �
���! "# ��� ��� ��� ����� ���� � ��� ���� �� �� �� ��� ������ ������ �� �� �� �� �� ���� �� ���
������$� # ��� �� ���� ����� � ��������� ��� ���� �������� ���������� ������ ����������
%�� �� ����� ����� �� ��� ������� ��� &���' ��������� ��� ������ �� ����� ���� �� �� �� ����������
���� �� ���������� ���� ��� �������� ���������� �������� �� ���� ������������� ��� ������������ ������
���������� ����� ����� (������������ �������� �� ������ )� �� ����� � ������ �� ��������� ��� ���
�������� �� ��������� ������ ��� ��� ������ �� ���������� ��� �������� �����������
Verantwoording
(��� �� ����* ��� � �������� �� ��������� �� +��,� ��������� �������� #� ��� �������� ��������
� � ������� ����� -���� ��� )�����. ��� ��������� ���� �������� ������ �� �� ������� ��� ���
���������� ���� ����� ��� �� �������� ���������' ������ ��� ��� �������� �� ��� ��������
�������� ����� ������� �� �� � ������ ���� ������'� �� ���� ���� ���� ���� ������ ���� ��� ��������
�� �� ���� �� http://www.math.uu.nl/people/hogend/descartes1.pdf. (���� ���� � ��������� ���/
���� ��� ��������� ��� � ������ ����� �� � �� ������� ����� # ��� ��� �� ��������� � �����
��� ������ � ��������� �� 0���� �� 1�������� �� ����� � �� �������� � ����������� ��
2���� �� 3����� �� ������ �������� � ������� ��� �� ������� �� 1*����� ����� 3�������
�������� # ��� ������� �� ��� ��������� ���� ����� ���� �� �� �� ������� �� ���� ��� �
�������� ����������� #� � ������� ���� � ������� ����'� �� � ��������� ����� ���� # ��� ������
��� ��� ��������� �� ������� �� ����������������
4� ��� � ������ ������ �� � ���������� ��� ��� ������ ��� ��� ��5� ��������� ��� �� ������ �� ����/
��� ��� � %�� �������� %������ �� ���� ��� ��� ������� � �� � ���������� ������ ��� ������������
�� �������� ����������� ��� ����� ���� ����� � ������� www.fransvanschooten.nl �������
68 Tapas of Descartian Geometry
![Page 17: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/17.jpg)
Auke Mollema
���� �� ��������� ���� �� �� �� ���� ������ ��� �� ��� ������������ � �� ���� ��� ��� ����
����� �� �� ����� ������������ � �� ���� ��� �� �� ����������� ���� ����� ��� ���� ��������� ��
��� ���� �������
��� �� ���� ��� ��� �������� ������� �� �� ����� ��� ��� ������ ��� ��������� �� !� �� �� ������
���� ��� �� ��"� �� ���� �� ����� �������� ���� ���� ������ ��� �������� �� ����# ������ ������
������ �� �� ������ ��� ������� �� ������ �� �������� �� ��� ������ ����� ���� �� � �������
$� ��!�������� ��� �� ����������� ��� �� �� �� ���� ����� �� ������� �� �� ����� ��� �� ��������
�� �� ����������� �� �� ���� ����% ���� ����� &����
Bibliografie
��� ��������� �� ����� ������� ����� ������������ � �� ���� ��� 2� ������� '��������� '���#
����� �� 2008�
�����# ����� ������������ � �� ���� ���# ������� 1990� �� ������ (�# '���� )"�����* http:
//www.dbnl.org/tekst/stru008gesc01_01/)
+����� ��� ,������ �� ������������ �� ������������ ����������� ��� ��� ����� ��� � ���� ��
���� ����������� ��������� � ������� ��� ���������� ���� ������� �� ���������� ���� ���������
��������� ���� ���� ��� ����� ����� ���� �� ������ �� � ���������� � +�%���# 1615� )"�����* http:
//books.google.com-
�% ���� ����! ,��������# 1614 ������� ������������ � ������ ��� ��� ��� ����� �� ��������� ��
�� ��!��� �� ���� ���� �� ���* +����� � ���# 1614 �����!�� ��� ���������� ��������� )"�����*
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=312895-�
.���� ��� ������# 1659/1660� ����������� "�#������� �����$�� �� �!� ������� %&' �����! ��� ��
�� ��� (����� ��������� � ���������� �� �$����� � ��� �� ���� �)���� *������� � � ���� ��
����� �� �� ���������� ��� ��� ����� ���������� � �� ���������� ��� $���$����� � ��������#
0(�� 1���� ��� 1����� ����# ������������ �� 2 &��� �� ��3 )"�����* http://digbijzcoll.library.
uu.nl-
��4� ���� �� $�+� +����# 1954 (�� �������� �� ���� ��������# 5�& 6���* ����� �� ��������
)"�����* ���$+,,��������������� -
Tapas of Descartian Geometry 69
![Page 18: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/18.jpg)
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes
Bijlagen
������� ��� ����� � 1
������� ��� ����� � 2
70 Tapas of Descartian Geometry
![Page 19: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/19.jpg)
Auke Mollema
������� ��� ����� � 3
������� ��� ����� � 4 �� 5
Tapas of Descartian Geometry 71
![Page 20: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022071410/6104561473d541338045b44d/html5/thumbnails/20.jpg)
Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes Auke Mollema
������� ��� ����� � 6
72 Tapas of Descartian Geometry