UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACION

ESTADISTICA APLICADA II

SEMESTRE

DOCENTE : MG. ROXANA PAREDES L.

SEGUNDA UNIDAD

4ta TUTORIA VIRTUAL : ESTIMACION INTERVALICA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

TEMA 8: I.C. para la media poblacional I.C. para la proporción poblacional I.C. para la diferencia de mediasI.C. para la diferencia de proporciones

TEMA 9 : P. H. para la mediaP.H. para la proporciónP. H. para la diferencia de medias P.H. para la diferencia de proporciones

ESTIMACIÓN INTERVÁLICA La estimación estadistica es el proceso mediante el cual se

aproxima el valor del parámetro de la población a partir de la información de una muestra.

La estimación de un parámetro puede adoptar la forma de un solo punto, es decir la estimación de un solo valor del parámetro de interés; o de un intervalo es decir la estimación de un rango de valores dentro del cual se espera el valor del parámetro. La primera se llama estimación puntual y la segunda estimación por intervalo.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Para población infinita

Tamaño de muestra para estimar μ cuando el tamaño de la población no se conoce

Para población finita

Tamaño de muestra para estimar μ cuando el tamaño de la población se conoce

1o oP x z x zn n

2 2

2oznh

11 1o o

N n N nP x z x z

N Nn n

2 2

2 2 2( 1)

Nzn

h n z

EJEMPLOUna auditoria del inventario de una compañía se realizó seleccionando una muestra al azar de 100 productos en existencia . El precio de venta promedio obtenido en la muestra fue de 17,5 um. con una desviación típica de 6,75 um. Construya un intervalo de confianza del 95% para el precio promedio de todos los artículos en existencia.

17,5

6,75

100

Datos

x

n

0 0 1

6,75 6,7517,5 1,96 17,5 1,96 0,95

100 100

16,177 18,823

P x z x zn n

P

P

95% de confiabilidad se espera que el precio promedio de todos

los artículos en existencia esté contenido en el intervalo 16.177;18,823

Al

EJEMPLO

A partir de una muestra aleatoria de 144 galones de leche, el gerente de procesos de la planta, calculó que el llenado medio es de 128,4 onzas líquidas. De acuerdo a las especificaciones del fabricante, la máquina llenadora tiene una desviación típica de 0.6 onzas. ¿Cuál es el intervalo alrededor de la media muestral que contendrá la media de la población en un 95% de las veces?

SOLUCIÓN

Datos

Procedimiento

El intervalo del 95% de confianza para el llenado medio de los galones de leche en onzas es

128,4

0,6

144

x

n

0 0 1

0,6 0,6128, 4 1,96 128, 4 1,96 0,95

144 144

128,3 128, 498

P x z x zn n

P

P

128,3 128,5

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL Para población infinita

Tamaño de muestra para estimar μ cuando el tamaño de población no se conoce

Para población finita

Tamaño de muestra para estimar μ cuando el tamaño de población se conoce 2

2 2( 1)

Nz pqn

h n z pq

1o o

pq pqP p z p p z

n n

2

2oz pqnh

11 1o o

pq N n pq N nP p z p p z

n N n N

EJEMPLODurante cierta semana, una tienda de departamentos observó y registró que 5750 de las 12 500 personas que entraron en la tienda hicieron por lo menos una compra. Tratando esto como una muestra al azar de todos los clientes potenciales, hallar el intervalo de confianza del 99% para la proporción real de personas que entran en la tienda y que harán por lo menos una compra.

1

0,46 0,54 0,46 0,540,46 2,58 0,46 2,58 0,99

12500 12500

0,4554220 0,47150113 0,99

o o

pq pqP p z p p z

n n

x xP p

P p

57500,46

12500

0,54

12500

Datos

p

q

n

e estima con un 99% de confianza que la verdadera proporcion

de personas que entran a una tienda y hacen una compra está

contenido en el intervalo 0,46 0,47

S

p

EJEMPLO:Se ha encontrado que 25 de 250 cinescopios de televisión producidos por el proceso A son defectuosos y que 14 de 180 producidos por el proceso B son defectuosos. Suponiendo que el muestreo es aleatorio, determinar el intervalo del 99% de confianza para la diferencia verdadera en la proporción de defectuosos, de los procesos.

1 1

2 2

25 1 9

250 10 1014 7 83

180 90 90

Datos

p q

p q

1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1

0,049 0,093 0,99

0,049 ; 0,093 int 99%,

.

o o

p q p q p q p qP p p z p p p p z

n n n n

P p p

Luego es el ervalo de confianza del para

la diferencia de proporciones

ESTIMACIÓN POR INTERVALO PARA LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS POBLACIONALES

ESTIMACIÓN POR INTERVALO PARA LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES POBLACIONALES

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2 1 2

1o oP x x z x x zn n n n

1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1o o

p q p q p q p qP p p z p p p p z

n n n n

EJEMPLO

La media y la desviación típica de las cargas máxima soportada por 100 cables producidos por la compañía DURAMAS son 20 toneladas y 1,1 toneladas. La media y la desviación típica de 60 cables producidos por la compañía REX son 16 toneladas y 0,8 toneladas, respectivamente. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de cargas máximas medias.

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 21 2 1 2

2 2 2 2

1 2

1 2

1

1,1 0,8 1,1 0,820 16 1,96 20 16 1,96 0,95

100 60 100 60

3,7042629 4,295737 0,95

o oP x x z x x zn n n n

P

P

HIPOTESIS NULA E HIPOTESIS ALTERNATIVA Hipótesis Nula, denotada por Ho , es la primera

afirmación que se va a someter a prueba o comprobación experimental para rechazarla o no. Los resultados experimentales nos permitirán seguir aceptándola como verdadera o si, por el contrario, debemos rechazarla como tal.

La aceptación de la hipótesis nula significa que los datos de la muestra no proporcionan evidencia suficiente para refutarla. El rechazo significa que los datos de la muestra proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa.

Hipótesis Alternativa, denotada por H1 ó Ha es aquella que

se acepta cuando la hipótesis nula es rechazada.

TIPOS DE PRUEBAS

Prueba de dos colas o bilateral: Si la región de aceptación es un intervalo abierto entre dos puntajes críticos.

Prueba de cola derecha: Si la región de rechazo está a la derecha del punto crítico

Prueba de cola izquierda: Si la región de rechazo está a la izquierda del punto crítico

EJEMPLOUna fábrica produce clavos cuya longitud media es de 1 pulgada. Despues de efectuadas algunas modificaciones en los dispositivos de las máquinas de dicha fábrica y con respecto a la producción de clavos durante los últimos meses se han recibido continuos reclamos de los compradores quienes han manifestado que los clavos presentan un incremento en más de 0,1 pulgadas en su longitud, lo que perjudica a los usuarios para verificar lo manifestado por los compradores, el fabricante tomó una muestra aleatoria de 10 clavos cuyas longitudes resultaron:

1,14 1,12 1,11 1,10 1,16 1,09 1,08 1,12 1,11 1,10 a) Usando α=0,05, podrá el fabricante aceptar lo

manifestado por los compradores?b) Construir un intervalo de confianza del 95% para la

longitud media de los clavos fabricados despues de las modificaciones efectuadas en los dispositivos de las máquinas

SOLUCION1. Planteamiento de hipótesis: H0 : = 0 H0 : = 0 H0 : = 0

Ha: < 0 Ha: ≠ 0 Ha : > 0

2. Escoger el nivel de significación : .

3. La estadística de prueba para , utilizamos como estadístico de prueba la variable aleatoria :

Que tiene una distribución “ t” con “n-1” grados de libertad.

30n

0

/

XT

s n

4. La región crítica es donde es tal que

5. Calculamos el estadístico de prueba

6. Decisión: Se decide aceptar o rechazar .Entonces se compara

7. Conclusión

0

/

XT

s n

0H

0

0

T>

Si t entonces se rechaza la hipótesis nula

Si T t entonces no se puede rechazar la hipótesis nula

. , oRC t oP T t ot

SOLUCION1. Planteamiento de hipótesis: H0 : = 1

Ha : > 1

2. Escoger el nivel de significación : 0,05

3. La estadística de prueba para n=10, utilizamos como estadístico de prueba la variable

aleatoria :

Que tiene una distribución “ t” con “n-1=10-1=9” grados de libertad, entonces :

0

/

XT

s n

1,8333ot

4. La región crítica es donde es tal que

5. Calculamos el estadístico de prueba

6. Decisión:

7. Conclusión El fabricante debe aceptar lo manifestado por los compradores.

0 1.113 115,14

0,0236/10

XT

s n

0 T> (15,14>1,833) Como t entonces se rechaza la hipótesis nula

. ,oRC t oP T t ot

SOLUCIONb)Construir un intervalo de confianza del 95% para la

longitud media de los clavos fabricados después de las modificaciones efectuadas en los dispositivos de las máquinas

0 0 1

0,0236 0,02361,113 2,093 1,113 2,093 0,95

10 10

1,097 1,1286 0,95

s sP x t x t

n n

P

P

Gracias por su atención

ULTIMO DIA PARA RECEPCIONAR LA 2º EVALUACION A DISTANCIA: 30 DE NOVIEMBRE

PARTICIPACION EN FORO : DEL 1° AL 08 DE DICIEMBRE

PRIMERA EVALUACION EN LINEA: 14 Y 15 DE DICIEMBRE

EVALUACION DE REZAGADOS Y APLAZADOS : 18 Y 19 DE DICIEMBRE