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Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Techniques d’Egalisation avancees
4 novembre 2011
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Plan
1 Communications avec interferences symboles
2 Decodage par Maximum de Vraisemblance
3 DFE
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Canal a interferences entre symbolesModelisation
Signal emis en bande de base
On considere une modulation de type QAM d’ordre M.
s(t) =∑k∈N
sk he(t − kT ), sk ∈ C
sk = Ik + jQk : sequence de symboles emis appartenant a uneconstellation M-QAM S (|S| = M = 2m),T : periode symbole,he(t) : filtre de mise en forme a l’emission.
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Canal a interferences entre symbolesModelisation
Signal emis en bande transposee (signal module)
s(t) = Re[s(t)ei2πf0t ]
= Re[s(t)]cos(2πf0t)− Im[s(t)]sin(2πf0t)= I(t)cos(2πf0t)−Q(t)sin(2πf0t) (1)
avecI(t) =
∑k ik he(t − kT ) : signal en phase (PAM voie I),
Q(t) =∑
k qk he(t − kT ) : signal en quadrature (PAM voie Q),
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Canal a interferences entre symbolesModelisation
Signal recu en bande transposee (signal module)
r(t) = α0s(t) +L−1∑l=1
αl s(t − τl ) + b(t)
= Re[r(t)ei2πf0t ]
(2)
avec b(t) : bruit blanc thermique Gaussien
b(t) = Re[b(t)ei2πf0t ]
= Re[b(t)]cos(2πf0t)− Im[b(t)]sin(2πf0t)= bi (t)cos(2πf0t)− bq(t)sin(2πf0t)
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Canal a interferences entre symbolesModelisation
Signal recu equivalent en bande de base apres Demodulation I/Q
r(t) =∑k∈N
sk
[L−1∑l=0
αl exp (−j2πf0τl )he(t − kT − τl )
]+ b(t)
=∑k∈N
sk hc ∗ he(t − kT ) + b(t)
= hc ∗ s(t) + b(t) (3)
avec hc(t) : canal de propagation equivalent en bande de base
hc(t) =L−1∑l=0
αle−j2πf0τl δ(t − τl )
Hc(f ) =L−1∑l=0
αle−j2πf0τl e−j2πτl f (4)
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Canal a interferences entre symbolesModelisation
Filtrage adapte et modele equivalent bande de base
y(t) = hr ∗ r(t) + hr ∗ b(t)
=∑k∈N
sk hr ∗ hc ∗ he(t − kT ) + hr ∗ b(t)
=∑k∈N
sk h(t − kT ) + br (t) (5)
avec h(t) = hr ∗ hc ∗ he(t) : enveloppe complexe du canal globalequivalent en bande de base
Pas d’IES si hr (t) est adapte a g(t) = hc ∗ he(t),hr (t) = hc ∗ he(−t)∗, mais pas tres realiste dans un contextecanal hc(t) variable en temps.En pratique, hr (t) est adapte a he(t), donc hr (t) = he(−t).
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Canal a interferences entre symbolesModelisation
Modele discret equivalent bande de base (Temps symbole)
y [n] , y(nT )
=∑k∈N
sk h((n − k)T ) + br (nT )
=∑k∈N
sk hn−k + b[n]
(6)
avec h[n] = hr ∗ hc ∗ he(nT ) : reponse inmpulsionnelle discrete ducanal equivalent en bande de base.
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Canal a interferences entre symbolesModelisation
Bruit echantilonne
br (t) est Gaussien car filtre de b(t), b[n] non correles et Gaussiensdonc independants
◦Γb(f ) = N0
◦Γbr (f ) = N0|He(f )|2
γb(p) = N0δ(p) (7)
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Decodage par Maximum de VraisemblanceModele discret equivalent bande de base
y [n] =∑k∈N
sk hn−k + b[n]
=
Lh−1∑k=0
h[k ]s[n − k ] + b[n] (8)
= h0s[n] +
Lh−1∑k=1
h[k ]s[n − k ]︸ ︷︷ ︸IES
+b[n] (9)
s[n]D D D D
h0 h1 h2 hL‐1b[n]
+ + + +z[n]
y[n]
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Decodage par Maximum de VraisemblanceCritere de decodage MLSE
s = arg maxs′
p(y|s′)
= arg maxs′
∏n
p(yn|s′)
= arg min{sn}
∑n
|yn −L−1∑k=0
hk sn−k |2
s = [s1s2 . . . sN ], y = [y1y2 . . . yN ], y [n] ∼ N (∑
k hk sn−k ,N0),la sequence optimale est celle qui minimise la distanceeuclidienne la plus faible.utilisation de la structure markovienne du canal pour realiser undecodage MLSE avec complexite raisonable.
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Decodage par Maximum de VraisemblanceModele convolutif et Representation d’etat
σ[n‐1]
s[n]D D D D
s[n‐1] s[n‐L+1]s[n‐2]
h0 h1 h2 hL‐1b[n]h
+ + + +z[n]
y[n]
y [n] = hT[
snσn−1
]+ b[n]
= z[n] + b[n]
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Decodage par Maximum de VraisemblanceRepresentation en treillis
Representation fonctionnelle associee :Equation d’evolution : passage d’un etat a σn−1 a σn.
σn = F1(σn−1, sn)
Equation d’observation : generation des sorties observableszn =
∑L−1k=0 hk sn−k .
zn = F2(σn−1, sn) = F3(σn−1, σn)
� ��
�� �
� �
����
dn����n � �dn���
�� �� �n�� �n �n�� �N�L �N�� �N
��
�
d� � ��
d� � �
dn � ��
s[n]=+1
s[n]=-1
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Decodage par Maximum de VraisemblanceRepresentation en treillis
proprietes
Chaque chemin sur le treillis represente une sequence desymboles emis possibles :
chemin le plus problable, iesequence MLSE ⇔ de plus petite distance euclidienne
cumulee sur le treillis
Idee de Viterbi : utiliser la structure du treillis pour enumerer etselectionner “intelligemment” les candidats.Ceci est possible en remarquant que
{s[n]|n = 1 · · ·N} ⇐⇒ {σ[n]|n = 0 · · ·N}
Espace des sequences Espaces des Etats
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Decodage par Maximum de VraisemblanceAlgorithme de Viterbi
MLSE revisite
s = arg min{sn}
∑n
|yn −L−1∑k=0
hk sn−k |2
ms = arg min
{σn}
∑n
|yn − zn(σn−1, σn)|2
Pour la section de treillis n, a l’etat σn(s), on peut ecrire
Λn(σn) = argmin{σ0,σ1,··· ,σn−1,σn}
n∑k=0
|yk − zk (σk−1, σk )|2
= argmin{σn−1→σn}
{argmin{σ0,··· ,σn−1}
{n−1∑k=0
|yk − zk |2}
+ |yn − zn(σn−1, σn)|2}
= argmin{σn−1 → σn}︸ ︷︷ ︸
transitions possibles
{Λn−1(σn−1) + λn(σn−1, σn)}
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Decodage par Maximum de VraisemblanceAlgorithme de Viterbi
Algorithme de Viterbi
Pour chaque section n (n = 1 · · ·N), pour chaque etat σn = s(s = 0 · · · |S|) :
1 calculer Λn tel que
Λn(σn) = argmin{σn−1→σn}
{Λn−1(σn−1) + λn(σn−1, σn)}
2 stocker l’etat precedent σn−1 (pour chaque etat σn, on peut doncassocier une sequence {σ0, · · · , σn } de distance euclidienneΛn(σn))
A la fin du treillis, il ne reste plus que |S| chemins possibles, alorspar parcours arriere des etats du treillis
s =
{σ0, σ1, · · · , σN−1, σN |argmin
σN
{ΛN(σN)}}
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Decodage par Maximum de VraisemblanceAlgorithme de Viterbi : performance
��� COMPARAISON ET PERFORMANCES DES EGALISEURS ��
�ltres avant du DFE de meme crit�ere �
G�z� ) c�H���
z�
�z��
H��z��
cas ZF
H��z� ) H��z�
c ) h�cas MMSE
H��z� ) H�MMSE�z�
c )q�djh�j� � �w
Ainsi� la di �erence entre les �egaliseurs lin�eaire et DFE repose sur la mani�ere d��eliminer lesinterf�erences dues au �ltre �a phase minimale H��z� i�e� soit par l�inversion de cette fonction detransfert �cas lin�eaire�� soit par une boucle retour �cas du DFE�� La boucle de retour permetde ne pas �ltrer le bruit� De plus� le �ltre H��z� est �a phase minimale� Parmi tous les candidatspossibles �a la factorisation de l�autocorr�elation du canal �cas ZF� ou de la densit�e spectralede puissance �cas EQM�� H��z� est celui dont l��energie est concentr�ee au d�ebut de la r�eponseimpulsionnelle et qui fournit le rapport signal �a bruit en sortie de l��egaliseur le plus grand� Deplus� les interf�erences annul�ees sont alors de plus faible �energie que le trajet principal� d�o�u unph�enom�ene de propagation d�erreurs limit�e�
0 5 10 15 2010
−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
Eb/No
TE
B : taux d
’err
eur
bin
aire
Performances du canal Proakis B
sans IES borne inf MLSElinéaire dfe Viterbi Bahl
0 5 10 15 2010
−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
Eb/No
TE
B : taux d
’err
eur
bin
aire
Performances du canal Proakis C
sans IES borne inf MLSElinéaire dfe Viterbi Bahl
Fig� ���� � Performances des �egaliseurs classiques pour les canaux Proakis B et C�
D�ailleurs� !��� page ��" montre que le rapport signal �a bruit en sortie de l��egaliseur lin�eaire esttoujours inf�erieur ou �egal �a celui du DFE� d�o�u de moins bonnes performances pour l��egaliseurlin�eaire�
En�n� nous pr�esentons les performances des �egaliseurs optimaux au sens du maximum aposteriori et qui fournissent de meilleurs performances que les �egaliseurs �a structure impos�ee�Que le crit�ere soit s�equence ou symbole� les performances sont tr�es proches et tendent �a fortrapport signal �a bruit vers la borne inf�erieure �������
Il est �a noter que quelles que soient les m�ethodes d��egalisation utilis�ees� les performancesdu canal Proakis C sont toujours inf�erieures �a celles du canal Proakis B� comme l�analyse descanaux nous le laissait pr�evoir�
En�n� nous consid�ererons un canal dont les coe�cients de la r�eponse impulsionnelle sontcomplexes �a la di �erence des deux cas pr�ec�edents� Ce canal appel�e Porat et Friedlander !��" adi �erents �evanouissements mais en fait� c�est un canal facile �a �egaliser car sa perte vaut � dB parrapport au canal non dispersif et �a bruit additif gaussien et pour une modulation binaire� Pource canal� nous pouvons nous a ranchir quasi�compl�etement des e ets des multitrajets comme
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Egalisation lineaire : rappelsRappels d’egalisation lineaire
b[n]
+s[n]
h[n]r[n]
w[n]y[n] s[n‐d]
w [n] est une filtre egaliseur,complexite lineaire,.differents criteres d’optimisation
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Critere zero-forcing : IES nulle
wzf (z) =z−d
n
h(z)
faible complexite mais forte amplification du bruit begincenter
��� PRESENTATION DES EGALISEURS ��
��������� Crit ere Zero forcing
Le crit�ere de for�cage �a z�ero consiste �a annuler compl�etement l�interf�erence en sortie del��egaliseur i�e� �a choisir F �z� tel que �
h � gn ) n H�z�G�z� ) z�� �
Aussi� on obtient �
G�z� )z��
H�z��
Notons que pour que l��egaliseur soit stable� le canal ne doit avoir aucun z�ero sur et �a l�ext�erieurdu cercle unit�e�
Cependant� puisque le �ltre G�z� tend �a annuler toute l�interf�erence� il tend �a compenser lesz�eros de la fonction de transfert �cf� Figure ����� ce qui ampli�e le bruit de transmission�
0 0.5 1
−6
−4
−2
0
2
4
fréquence normalisée
Répo
nse e
n amp
litude
, en d
B
CANAL
0 0.5 1
−6
−4
−2
0
2
4
fréquence normalisée
Répo
nse e
n amp
litude
, en d
B
égaliseur ZF
Fig� ��� � Ampli�cation du bruit d�un �egaliseur Zero forcing�
��������� Crit ere Erreur Quadratique Moyenne
Puisque le principal �ecueil du crit�ere Zero forcing est d�ampli�er le bruit de la transmission�nous consid�erons ici un crit�ere� qui r�ealise un bon compromis entre l�annulation d�interf�erenceet la non�ampli�cation du bruit� Ce crit�ere minimise l�erreur quadratique moyenne entre lasortie �non�d�ecid�ee� de l��egaliseur yn et les vrais symboles �emis dn �
E!jyn � dn��j�"�
L��egaliseur est alors appel�e EQMM �erreur quadratique moyenne minimale� ou MMSE �Mini�mum mean square error�� !��� page ���" montre que le r�esultat de la minimisation se factoriseselon �
G�z� ) H���
z�
�� �z ��ltre adapt�e
�dz��
�dH�z�H��
�z�
� �w
�
Ainsi� le �ltre �egaliseur est compos�e d�une part du �ltre adapt�e au canal et d�autre part d�un�ltre qui �elimine les interf�erences� En e et� ce second �ltre est l�inverse de l�autocorr�elation ducanal lorsque la puissance de bruit est faible� En revanche� si cette puissance de bruit est forte�ce �ltre r�ealise un compromis entre �elimination des interf�erences et ampli�cation du bruit�
Communications avec interferences symboles Decodage par Maximum de Vraisemblance DFE
Egalisation lineaireCritere EQMM
Critere EQMM sans contraintes : minimisation de l’erreurquadratique moyenne
w∞(z) = σ2s z−d h∗(z−1)
σ2s h(z)h∗(z−1) + σ2
b
avec h∗(z) =∑
n h∗(n)z−n
mitige l’amplification du bruit, mais faible performances pourcanaux severes
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Egalisation non lineaireDecision feedback Equalization(DFE) : principe
b[n]
+s[n] r[n]
w[n]y[n] s[n‐d]
f[n] +r[n] S est[n]
[ ] +
d[n]