tema 2. el model de regressió simple joan llullpareto.uab.cat/jllull/econometria/tema_2.pdf ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/1.jpg)
Tema 2. El model de regressió simple
Joan Llull
Materials: http://pareto.uab.cat/jllull
Tutories: dijous de 11:00 a 13:00h(concertar cita per email)�Despatx B3-1132�
joan.llull [at] movebarcelona [dot] eu
![Page 2: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/2.jpg)
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 2
![Page 3: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/3.jpg)
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 3
![Page 4: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/4.jpg)
El model de regressió simple
Recordeu que el model de regressió simple tenia la següentestructura:
yi = β0 + β1xi + ui ui ∼ i.i.N (0, σ2).
Si tenim una mostra de N individus, tindrem les següents obser-vacions:
y1 = β0 + β1x1 + u1 u1 ∼ N (0, σ2),
y2 = β0 + β1x2 + u2 u2 ∼ N (0, σ2),
...
yN = β0 + β1xN + uN uN ∼ N (0, σ2).
Això ho podem transformar a notació matricial (pissarra).
Tema 2. El model de regressió simple 4
![Page 5: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/5.jpg)
Model de regressió simple: notació matricial
Elmodel en notació matricial quedaria expressat de la següentmanera:
y = Xβ + u U ∼ N (0, σ2IN ),
on:
y =
y1
y2...yN
X =
1 x1
1 x2...
...1 xN
β =
[β0
β1
]u =
u1
u2...uN
.
Tema 2. El model de regressió simple 5
![Page 6: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/6.jpg)
Supòsits
Els supòsits que farem sobre u1, u2, ..., uN (coneguts com a supòsits�clàssics� del model de regressió amb x �xes) són:
1. Totes les pertorbacions tenen esperança igual a zero:
E[ui] = 0 ∀i.
2. Totes les pertorbacions tenen la mateixa variança (homosquedas-
ticitat):Var(ui) = σ2 ∀i.
3. Les pertorbacions no estan correlacionades entre elles:
Cov(ui, uj) = 0 ∀i 6= j.
4. Totes les pertorbacions segueixen una distribució normal:
ui ∼ N ( ).
Tema 2. El model de regressió simple 6
![Page 7: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/7.jpg)
Tots els supòsits es compleixen
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Model que cumpleix tots els supòsits
Tema 2. El model de regressió simple 7
![Page 8: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/8.jpg)
Desviacions (I): E[ui] 6= 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Violació del Supòsit 1
Tema 2. El model de regressió simple 8
![Page 9: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/9.jpg)
Desviacions (II): Var(ui) = σ2i 6= σ2
j = Var(uj)
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Violació del Supòsit 2
Tema 2. El model de regressió simple 9
![Page 10: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/10.jpg)
Desviacions (III): Cov(ui, uj) 6= 0
0
5
10
15
20
25
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Violació del Supòsit 3
Tema 2. El model de regressió simple 10
![Page 11: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/11.jpg)
Desviacions (IV): ui � N ( )
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Violació del Supòsit 4
Tema 2. El model de regressió simple 11
![Page 12: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/12.jpg)
Implicacions sobre yi dels supòsits sobre ui
1. E[ui] = 0 ∀i → E[yi] =
2. Var(ui) = σ2 ∀i → Var(yi) =
3. Cov(ui, uj) = 0 ∀i 6= j → Cov(yi, yj) =
4. ui ∼ N (0, σ2) ∀i → yi ∼
Tema 2. El model de regressió simple 12
![Page 13: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/13.jpg)
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 13
![Page 14: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/14.jpg)
Objectiu del procés d'estimació
Quin procés pot haver generat les nostres dades?
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Les nostres dades
No coneixem la recta de regressió poblacional!
Objectiu: aproximar β0 i β1 a partir de les nostres dades. És adir, �estimar� β0 i β1 (recta de regressió mostral).
Tema 2. El model de regressió simple 14
![Page 15: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/15.jpg)
Escollir la recta de regressió mostral
Com escollirem la recta de regressió mostral? Quina recta ésel més probable mecanisme generador de les dades?
El més probable és que la nostra mostra contengui moltes obser-vacions a prop de la RRP i poques enfora.
Cal triar aquella recta que �millor s'ajusti� a la mostra!
Solució: triar aquella recta que generi els residus més petits.
Tema 2. El model de regressió simple 15
![Page 16: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/16.jpg)
Dos exemples del que no volem
��
��
��
��
��
�
�
Y
� ���� �� �� �� �� �� � � ���
X
��
��
��
��
��
�
�Y
� ���� �� �� �� �� �� � � ���
X
Tema 2. El model de regressió simple 16
![Page 17: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/17.jpg)
Els residus més petits (I)
Un podria pensar que la manera fer els residus el més petits pos-sibles seria minimitzar la suma dels residus:
minβ0,β1
N∑i=1
ui.
Problema: els valors positius i negatius es compensen!y
x
y
x
-1
1
Tema 2. El model de regressió simple 17
![Page 18: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/18.jpg)
Els residus més petits (II)
Una solució al problema anterior podria ser minimitzar la sumadels valors absoluts dels residus:
minβ0,β1
N∑i=1
|ui|.
Problema: aquest mètode no penalitza que les observacions es-tan molt allunyades!
y
x
y
x
-1
1
-2
Tema 2. El model de regressió simple 18
![Page 19: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/19.jpg)
Els residus més petits (III)
La millor alternativa serà, per tant, minimitzar la suma dels
quadrats dels errors:
minβ0,β1
N∑i=1
u2i .
Aquest és l'estimador de mínims quadrats ordinaris (MQO).
L'estimador MQO:
No compensa els valors positius amb negatius.
Penalitza les (menys probables) observacions allunyades.
Tema 2. El model de regressió simple 19
![Page 20: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/20.jpg)
L'estimador MQO
minβ0,β1
N∑i=1
u2i ⇔ min
βu′u ⇔ min
β(y −Xβ)′(y −Xβ).
(pissarra)
β = (X ′X)−1X ′Y.
(pissarra)
β1 =
∑Ni=1(yi − y)(xi − x)∑N
i=1(xi − x)2; β0 = y − β1x.
Tema 2. El model de regressió simple 20
![Page 21: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/21.jpg)
La recta de regressió ajustada
La recta de regressió ajustada ve donada per: yi = β0 + β1xi,on yi és el valor ajustat:
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Dues rectes de regressió ajustada per a dues mostres
El residu és l'estimació de la pertorbació: ui = yi − yi
.Tema 2. El model de regressió simple 21
![Page 22: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/22.jpg)
La recta de regressió ajustada
La recta de regressió ajustada ve donada per: yi = β0 + β1xi,on yi és el valor ajustat:
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Dues rectes de regressió ajustada per a dues mostres
El residu és l'estimació de la pertorbació: ui = yi − yi
.Tema 2. El model de regressió simple 21
![Page 23: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/23.jpg)
La recta de regressió ajustada
La recta de regressió ajustada ve donada per: yi = β0 + β1xi,on yi és el valor ajustat:
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Dues rectes de regressió ajustada per a dues mostres
El residu és l'estimació de la pertorbació: ui = yi − yi
.Tema 2. El model de regressió simple 21
![Page 24: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/24.jpg)
La recta de regressió ajustada
La recta de regressió ajustada ve donada per: yi = β0 + β1xi,on yi és el valor ajustat:
�
��
��
��
��
��
��
��
� �� �� �� �� �� �� �� � � ���
Y
X
Dues rectes de regressió ajustada per a dues mostres
û = y - - xβ β^ ^
i i i� �
u = y - - xβ βi i i� �
Y
El residu és l'estimació de la pertorbació: ui = yi − yi.Tema 2. El model de regressió simple 21
![Page 25: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/25.jpg)
Propietats numèriques de l'estimador MQO
Hi ha dues propietats numèriques de l'estimador MQO quesón força interessants:
N∑i=1
ui = 0.
N∑i=1
xiui = 0.
(demostracions a la pissarra)
Tema 2. El model de regressió simple 22
![Page 26: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/26.jpg)
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 23
![Page 27: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/27.jpg)
Què és la �Bondat de l'ajust�?
Una vegada tenim un estimador (MQO) pels nostres paràmetresens podem demanar:
És el nostre model una bona representació de les dades?
Quina part de y ve explicada pel model i quina part perla pertorbació?
Ens hem deixat moltes variables importants senseincloure?
La bondat de l'ajust és la resposta a aquestes preguntes: ensindica si el model és una bona aproximació de les nostres dades.
Tema 2. El model de regressió simple 24
![Page 28: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/28.jpg)
Bondat de l'ajust vista grà�cament
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 20 40 60 80 100
Y
X
"Bon" ajust
y = 9.82 + 0.28x
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 20 40 60 80 100
Y
X
"Mal" ajust
y = 9.82 + 0.28x
Tema 2. El model de regressió simple 25
![Page 29: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/29.jpg)
Sumes de quadrats
Per poder establir una mesura de bondat de l'ajust hem de de�nirprimer els següents conceptes:
Suma dels quadrats totals:
SQT = (y − yι)′(y − yι) =
N∑i=1
(yi − y)2 = NVar(yi).
Suma dels quadrats explicada:
SQE = (y − yι)′(y − yι) =
N∑i=1
(yi − y)2 = NVar(yi).
Suma dels quadrats dels residus:
SQR = u′u =
N∑i=1
u2i = NVar(ui).
Es pot demostrar que SQT = SQE + SQR. (pissarra)
Tema 2. El model de regressió simple 26
![Page 30: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/30.jpg)
El coe�cient de determinació (R2)
La nostra mesura ens ha de dir quina proporció de la variació
de y està explicada pel nostre model de regressió.
Aquesta és, de fet, la de�nició del coe�cient de determinació:
R2 =SQE
SQT=SQT − SQR
SQT= 1− SQR
SQT.
Noteu que aquesta mesura estarà sempre entre 0 i 1. Quan mésproper a 1, millor serà l'ajust.
Tema 2. El model de regressió simple 27
![Page 31: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/31.jpg)
El coe�cient de determinació grà�cament
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 20 40 60 80 100
Y
X
"Bon" ajust
y = 9.82 + 0.28x
R² = 0.91
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 20 40 60 80 100
Y
X
"Mal" ajust
y = 9.82 + 0.28x
R² = 0.48
Tema 2. El model de regressió simple 28
![Page 32: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/32.jpg)
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 29
![Page 33: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/33.jpg)
L'estimador MQO com a variable aleatòria
Fins i tot amb x �xes, l'estimador és una variable aleatòria: Yés una variable aleatòria (perquè u és una v.a.).
Obtindrem un estimador diferent per cada mostra diferent.
Funció de densitat mostral: distribució de l'estimador enmostres repetides de la mateixa mida i amb les mateixes x (x �xes).
Tema 2. El model de regressió simple 30
![Page 34: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/34.jpg)
L'esperança i la variança de l'estimador
Partirem de la següent transformació de l'estimador:
β = (X ′X)−1X ′y = β + (X ′X)−1X ′u.
(demostració pissarra)
A partir d'aquí és fàcil demostrar que: (pissarra)
E[β] = E[β0β1
]= β.
Var(β) =
[Var(β0) Cov(β0, β1)
Cov(β0, β1) Var(β1)
]= σ2(X ′X)−1.
Exercici: trobar les expressions per Var(β0), Var(β1) i Cov(β0, β1).
Tema 2. El model de regressió simple 31
![Page 35: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/35.jpg)
Distribució de l'estimador
Recordeu la propietat de la distribució normal que diu que siZ ∼ N (µ,Σ), aleshores W = AZ + b ∼ N (Aµ+ b, AΣA′).
Per tant, ja sabem quina serà la distribució de β:
β ∼ N(β, σ2(X ′X)−1
).
Grà�cament, per cada paràmetre (p.ex. β1):Var( ) petitaβ
2ˆ
Var( ) granβ2
ˆ
β2
Tema 2. El model de regressió simple 32
![Page 36: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/36.jpg)
Estimador no esbiaixat i e�cient
Com hem demostrat, l'estimador MQO sempre satisfà E[β] = β.Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és unestimador no esbiaixat.
Es pot demostrar també que l'estimador MQO és el que té menysvariança d'entre tots aquells estimadors lineals1 no esbiaixats(Teorema Gauss-Markov).
Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és unestimador e�cient.
1 Es diu que un estimador és un estimador lineal quan es pot escriure
com una combinació lineal de les pertorbacions, és a dir, que té aquesta
forma: Au+ bTema 2. El model de regressió simple 33
![Page 37: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/37.jpg)
Estimació de la variança de l'estimador
La variança de l'estimador β no és coneguda. Per estimar-lanecessitarem un estimador de σ2.
Recordem que, per a tot i:
Var(ui) = σ2 = E[(ui − E[ui])2] = E[u2
i ].
Per tant, un estimador ideal seria σ2 =∑N
i=1 u2i
N.
No coneixem u, però podríem utilitzar u. No obstant això,
σ2 =∑N
i=1 u2i
N és un estimador esbiaixat de σ2: E[σ2] 6= σ2.
L'estimador alternatiu no esbiaixat és:
σ2 =
∑Ni=1 u
2i
N − 2=
u′u
N − 2=
SQR
N − 2.
Tema 2. El model de regressió simple 34
![Page 38: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/38.jpg)
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 35
![Page 39: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/39.jpg)
Motivació
En l'apartat anterior hem vist que β ∼ N(β, σ2(X ′X)−1
).
Aquest resultat es basa en una derivació �teòrica� , a partir decertes propietats estadístiques i matemàtiques.
Com a alternativa, aproximarem la distribució de l'estimador apartir de la simulació (experiments de Monte Carlo).
Tema 2. El model de regressió simple 36
![Page 40: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/40.jpg)
Objectiu
La simulació serveix per entendre quin paper juga cada elementdel model (Tema 1).
En l'econometria, els experiments de Monte Carlo són una einaútil perquè a vegades no podem derivar la distribució d'un
estimador de forma �teòrica�.
Idea bàsica: si els vertaders paràmetres són β = b i σ2 = s, itenim mostres de N = n observacions, quina seria la distribucióde probabilitat del nostre estimador MQO.
Tema 2. El model de regressió simple 37
![Page 41: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/41.jpg)
Experiments de Monte Carlo amb x �xes
1. Triar els paràmetres del model:
Escollir els valors de tots els paràmetres del model: β i σ2.
Triar la mida mostral N .
Generar una mostra de x de mida N (x �xes!).
2. Obtenir M estimadors β i σ2:
Generar una mostra de y de mida N (utilitzant β i σ2).
Estimar β i σ2 per MQO amb la mostra generada.
Guardar els resultats.
Repetir el procés M vegades (bucle).
3. Presentar els resultats (histograma).
Tema 2. El model de regressió simple 38
![Page 42: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/42.jpg)
Experiments de Monte Carlo amb Gretl (I)
Tema 2. El model de regressió simple 39
![Page 43: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/43.jpg)
Experiments de Monte Carlo amb Gretl (II)
Tema 2. El model de regressió simple 40
![Page 44: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/44.jpg)
Experiments de Monte Carlo amb Gretl (III)
Tema 2. El model de regressió simple 41
![Page 45: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/45.jpg)
Experiments de Monte Carlo amb Gretl (III)
Tema 2. El model de regressió simple 41
![Page 46: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/46.jpg)
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 42
![Page 47: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/47.jpg)
Els nostres tres exemples (del Tema 1)
Demanda de llet: Qi = β0 + β1Pi + ui
1,000
1,100
1,200
1,300
1,400
1,500
1,600
1,700
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
Vendes, nombre d'ampolles (Q)
Preu unitari, en euros (P)
Preu unitari i ampolles de llet venudes
Tema 2. El model de regressió simple 43
![Page 48: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/48.jpg)
Els nostres tres exemples (del Tema 1)
Demanda de llet: Qi = β0 +β1Pi +ui Cobb-Douglas: lnYi = β0 +β1 lnKi +ui
1,000
1,100
1,200
1,300
1,400
1,500
1,600
1,700
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
Vendes, nombre d'ampolles (Q)
Preu unitari, en euros (P)
Preu unitari i ampolles de llet venudes
5
6
7
8
9
10
11
12
0.0000 2.0000 4.0000 6.0000 8.0000 10.0000 12.0000 14.0000 16.0000
Logaritme del PIB per càpita (ln y)
Logaritme del Capital per càpita (ln k)
PIB per càpita i capital per càpita (en logaritmes)
Tema 2. El model de regressió simple 43
![Page 49: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/49.jpg)
Els nostres tres exemples (del Tema 1)Demanda de llet: Qi = β0 +β1Pi +ui Cobb-Douglas: lnYi = β0 +β1 lnKi +ui
1,000
1,100
1,200
1,300
1,400
1,500
1,600
1,700
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
Vendes, nombre d'ampolles (Q)
Preu unitari, en euros (P)
Preu unitari i ampolles de llet venudes
5
6
7
8
9
10
11
12
0.0000 2.0000 4.0000 6.0000 8.0000 10.0000 12.0000 14.0000 16.0000
Logaritme del PIB per càpita (ln y)
Logaritme del Capital per càpita (ln k)
PIB per càpita i capital per càpita (en logaritmes)
Salaris i educació: lnWi = β0 + β1Ei + ui
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
0 5 10 15 20
Logaritme de salaris mensuals (ln W)
Anys d'educació (E)
Salaris bruts mensuals (en logaritmes) per anys d'educació
Tema 2. El model de regressió simple 43
![Page 50: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/50.jpg)
Exemple I: Demanda de llet Qi = β0 + β1Pi+ uiLa nostra base de dades és la següent:
Tema 2. El model de regressió simple 44
![Page 51: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/51.jpg)
Regressió (manualment)�coe�cients
X =
1 0.31 0.31 0.351 0.35...
...
y =
1555156016551548...
X ′X =[
1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + . . . 1 · 0.3 + 1 · 0.3 + 1 · 0.35 + . . .
0.3 · 1 + 0.3 · 1 + 0.35 · 1 + . . . 0.3 · 0.3 + 0.3 · 0.3 + 0.35 · 0.35 + . . .
]=[
50 67.4567.45 111.28
](X ′X)−1 = 1
50·111.28−67.452
[111.28 −67.45−67.45 50
]=
[0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
X ′y =
[1 · 1555 + 1 · 1560 + 1 · 1655 + . . .
0.3 · 1555 + 0.3 · 1560 + 0.35 · 1655 + . . .
]=
[66568
85797.43
]
β =
[β0
β1
]=[
0.1097 · 66568− 0.0665 · 85797.43−0.0665 · 66568 + 0.0493 · 85797.43
]=[
1597.55−197.32
]
Tema 2. El model de regressió simple 45
![Page 52: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/52.jpg)
Regressió (manualment)�coe�cients
X =
1 0.31 0.31 0.351 0.35...
...
y =
1555156016551548...
X ′X =
[1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + . . . 1 · 0.3 + 1 · 0.3 + 1 · 0.35 + . . .
0.3 · 1 + 0.3 · 1 + 0.35 · 1 + . . . 0.3 · 0.3 + 0.3 · 0.3 + 0.35 · 0.35 + . . .
]=[
50 67.4567.45 111.28
]
(X ′X)−1 = 150·111.28−67.452
[111.28 −67.45−67.45 50
]=
[0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
X ′y =
[1 · 1555 + 1 · 1560 + 1 · 1655 + . . .
0.3 · 1555 + 0.3 · 1560 + 0.35 · 1655 + . . .
]=
[66568
85797.43
]
β =
[β0
β1
]=[
0.1097 · 66568− 0.0665 · 85797.43−0.0665 · 66568 + 0.0493 · 85797.43
]=[
1597.55−197.32
]
Tema 2. El model de regressió simple 45
![Page 53: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/53.jpg)
Regressió (manualment)�coe�cients
X =
1 0.31 0.31 0.351 0.35...
...
y =
1555156016551548...
X ′X =
[1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + . . . 1 · 0.3 + 1 · 0.3 + 1 · 0.35 + . . .
0.3 · 1 + 0.3 · 1 + 0.35 · 1 + . . . 0.3 · 0.3 + 0.3 · 0.3 + 0.35 · 0.35 + . . .
]
=[
50 67.4567.45 111.28
](X ′X)−1 = 1
50·111.28−67.452
[111.28 −67.45−67.45 50
]=
[0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
X ′y =
[1 · 1555 + 1 · 1560 + 1 · 1655 + . . .
0.3 · 1555 + 0.3 · 1560 + 0.35 · 1655 + . . .
]=
[66568
85797.43
]
β =
[β0
β1
]=[
0.1097 · 66568− 0.0665 · 85797.43−0.0665 · 66568 + 0.0493 · 85797.43
]=[
1597.55−197.32
]
Tema 2. El model de regressió simple 45
![Page 54: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/54.jpg)
Regressió (manualment)�coe�cients
X =
1 0.31 0.31 0.351 0.35...
...
y =
1555156016551548...
X ′X =[
1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + . . . 1 · 0.3 + 1 · 0.3 + 1 · 0.35 + . . .
0.3 · 1 + 0.3 · 1 + 0.35 · 1 + . . . 0.3 · 0.3 + 0.3 · 0.3 + 0.35 · 0.35 + . . .
]=[
50 67.4567.45 111.28
](X ′X)−1 = 1
50·111.28−67.452
[111.28 −67.45−67.45 50
]=
[0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
X ′y =
[1 · 1555 + 1 · 1560 + 1 · 1655 + . . .
0.3 · 1555 + 0.3 · 1560 + 0.35 · 1655 + . . .
]=
[66568
85797.43
]
β =
[β0
β1
]=[
0.1097 · 66568− 0.0665 · 85797.43−0.0665 · 66568 + 0.0493 · 85797.43
]=[
1597.55−197.32
]
Tema 2. El model de regressió simple 45
![Page 55: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/55.jpg)
Regressió (manualment)�coe�cients
X =
1 0.31 0.31 0.351 0.35...
...
y =
1555156016551548...
X ′X =
[1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + . . . 1 · 0.3 + 1 · 0.3 + 1 · 0.35 + . . .
0.3 · 1 + 0.3 · 1 + 0.35 · 1 + . . . 0.3 · 0.3 + 0.3 · 0.3 + 0.35 · 0.35 + . . .
]=[
50 67.4567.45 111.28
]
(X ′X)−1 =
150·111.28−67.452
[111.28 −67.45−67.45 50
]
=
[0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
X ′y =
[1 · 1555 + 1 · 1560 + 1 · 1655 + . . .
0.3 · 1555 + 0.3 · 1560 + 0.35 · 1655 + . . .
]
=
[66568
85797.43
]
β =
[β0
β1
]=[
0.1097 · 66568− 0.0665 · 85797.43−0.0665 · 66568 + 0.0493 · 85797.43
]=[
1597.55−197.32
]Tema 2. El model de regressió simple 45
![Page 56: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/56.jpg)
Regressió (manualment)�coe�cients
X =
1 0.31 0.31 0.351 0.35...
...
y =
1555156016551548...
X ′X =
[1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + . . . 1 · 0.3 + 1 · 0.3 + 1 · 0.35 + . . .
0.3 · 1 + 0.3 · 1 + 0.35 · 1 + . . . 0.3 · 0.3 + 0.3 · 0.3 + 0.35 · 0.35 + . . .
]=[
50 67.4567.45 111.28
](X ′X)−1 = 1
50·111.28−67.452
[111.28 −67.45−67.45 50
]=
[0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
X ′y =
[1 · 1555 + 1 · 1560 + 1 · 1655 + . . .
0.3 · 1555 + 0.3 · 1560 + 0.35 · 1655 + . . .
]=
[66568
85797.43
]
β =
[β0
β1
]=[
0.1097 · 66568− 0.0665 · 85797.43−0.0665 · 66568 + 0.0493 · 85797.43
]=[
1597.55−197.32
]Tema 2. El model de regressió simple 45
![Page 57: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/57.jpg)
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u50−2 = 16.652+21.652+126.522+...
48 = 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
![Page 58: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/58.jpg)
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u
50−2 = 16.652+21.652+126.522+...48 = 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
![Page 59: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/59.jpg)
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 =
u′u50−2 = 16.652+21.652+126.522+...
48
= 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]
s.e.(β0) =√
292.44 = 17.10 s.e.(β1) =√
131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
![Page 60: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/60.jpg)
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u
50−2 = 16.652+21.652+126.522+...48 = 2665.57
Var(β) =
σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
![Page 61: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/61.jpg)
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u
50−2 = 16.652+21.652+126.522+...48 = 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
![Page 62: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/62.jpg)
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u
50−2 = 16.652+21.652+126.522+...48 = 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y =
1555+1560+1655+...50
= 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...
223.642+228.642+323.642+...= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
![Page 63: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/63.jpg)
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u50−2 = 16.652+21.652+126.522+...
48 = 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
![Page 64: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/64.jpg)
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u
50−2 = 16.652+21.652+126.522+...48 = 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
![Page 65: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/65.jpg)
Presentació dels resultats
La forma estàndard de presentar els resultats d'una regressió ésla següent:
Qi = 1597.55(17.10)
− 197.32(11.46)
Pi R2 = 0.8606
SQR = 127, 947.22 (Opcional)
Interpretació?
Tema 2. El model de regressió simple 47
![Page 66: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/66.jpg)
Importar dades
Tema 2. El model de regressió simple 48
![Page 67: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/67.jpg)
Importar dades
Tema 2. El model de regressió simple 48
![Page 68: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/68.jpg)
Importar dades
Tema 2. El model de regressió simple 48
![Page 69: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/69.jpg)
Importar dades
Tema 2. El model de regressió simple 48
![Page 70: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/70.jpg)
Regressió (Gretl, via menús)
Tema 2. El model de regressió simple 49
![Page 71: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/71.jpg)
Regressió (Gretl): Demanda de llet
Qi = 1, 597.55(17.10)
− 197.32(11.46)
Pi R2 = 0.8606
SQR = 127, 947.22 (Opcional)
Tema 2. El model de regressió simple 50
![Page 72: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/72.jpg)
Regressió (Gretl): Demanda de llet
Qi = 1, 597.55(17.10)
− 197.32(11.46)
Pi R2 = 0.8606
SQR = 127, 947.22 (Opcional)
Tema 2. El model de regressió simple 50
![Page 73: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/73.jpg)
Regressió (Gretl): Demanda de llet
Qi = 1, 597.55(17.10)
− 197.32(11.46)
Pi R2 = 0.8606
SQR = 127, 947.22 (Opcional)
Tema 2. El model de regressió simple 50
![Page 74: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/74.jpg)
Regressió (Gretl): Demanda de llet�Presentació
grà�ca
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
0.5 1 1.5 2
Vend
es
Preu
Vendes versus Preu (with least squares fit)
Y = 1.60e+003 - 197.X
Tema 2. El model de regressió simple 51
![Page 75: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/75.jpg)
Funció de producció Cobb-Douglas: ln yi = β0+β1 ln ki + ui
ln yi = 5.65(0.32)
+ 0.35(0.04)
ln ki R2 = 0.3150
SQR = 231.53 (Opcional)
Interpretació?
Tema 2. El model de regressió simple 52
![Page 76: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/76.jpg)
Funció de producció Cobb-Douglas: ln yi = β0+β1 ln ki + ui
ln yi = 5.65(0.32)
+ 0.35(0.04)
ln ki R2 = 0.3150
SQR = 231.53 (Opcional)
Interpretació?
Tema 2. El model de regressió simple 52
![Page 77: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/77.jpg)
Funció de producció Cobb-Douglas: ln yi = β0+β1 ln ki + ui
ln yi = 5.65(0.32)
+ 0.35(0.04)
ln ki R2 = 0.3150
SQR = 231.53 (Opcional)
Interpretació?Tema 2. El model de regressió simple 52
![Page 78: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/78.jpg)
Rendiments de l'educació: lnWi = β0+β1Ei+ui
ln Wi = 6.37(0.07)
+ 0.13(0.01)
Ei R2 = 0.9245
SQR = 1.86 (Opcional)
Interpretació?
Tema 2. El model de regressió simple 53
![Page 79: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/79.jpg)
Rendiments de l'educació: lnWi = β0+β1Ei+ui
ln Wi = 6.37(0.07)
+ 0.13(0.01)
Ei R2 = 0.9245
SQR = 1.86 (Opcional)
Interpretació?
Tema 2. El model de regressió simple 53
![Page 80: Tema 2. El model de regressió simple Joan Llullpareto.uab.cat/jllull/Econometria/Tema_2.pdf · (Teorema Gauss-Markov). Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022041819/5e5cbc6e0d2e9359b01d2e77/html5/thumbnails/80.jpg)
Rendiments de l'educació: lnWi = β0+β1Ei+ui
ln Wi = 6.37(0.07)
+ 0.13(0.01)
Ei R2 = 0.9245
SQR = 1.86 (Opcional)
Interpretació?
Tema 2. El model de regressió simple 53