Tema 3: Electrostática en medios dieléctricos

3.1 Dipolo eléctrico

3.2 Polarización y susceptibilidad eléctrica

3.3 Desplazamiento eléctrico y Ley de Gauss en un dieléctrico

3.4 Dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos

3.5 Condiciones de contorno en medios dieléctricos

3.6 Energía electrostática en un medio dieléctrico

3.7 Dieléctricos no LIH

3.1 Dipolo eléctrico

• Dos cargas iguales y opuestas separadas una distancia L (pequeña) • Momento dipolar eléctrico:

• Campo creado por el dipolo: en el eje del dipolo, en un punto alejado Ejemplo de dipolo eléctrico: moléculas polares (H20) Moléculas no-polares: no poseen momento dipolar eléctrico permanente

Lqp

3

2

r

pkE

2 Masoller FIII

L esta orientado de – a +

Potencial creado por un dipolo

Lejos del dipolo:

r

kq

r

kqrV )( cos)2/( 222 rddrr

2

22

2cos1

r

d

r

drr

cos2

111

r

d

rr

2/12

2cos1

11

r

d

r

d

rr

r

kq

r

kqrV )(

cos111

r

d

rrr

cos2r

kqd cos

2r

pk

3

r

prk

p

Campo creado por un dipolo

cos

),(2r

pkrV

ˆsin

1ˆ1ˆ

V

r

V

rr

r

V

0sin

1

4

sin1

2

cos

3

0

3

0

V

rE

r

pV

rE

r

p

r

VEr

VE

p

r

Energía potencial de un dipolo en un campo externo

1FLMO

EpELqEqL

dMdW O dpE sin

dWdU dpEdU sin

EpU

Energía potencial

de un dipolo en un campo externo.

O

5 Masoller FIII

CpEU cos

(El signo de – es debido a que el momento tiende a disminuir )

Polarizabilidad atómica

• En un átomo neutro, en presencia de un campo externo se produce un momento dipolar inducido que es proporcional al campo externo.

Ep

=polarizabilidad atómica

Modelo sencillo para calcular la polarizabilidad atómica: Asumimos que el conjunto de electrones de carga –q se puede considerar una esfera de radio “a” con una densidad de carga volumétrica uniforme = -q/(4a3/3). En el punto donde se encuentra el núcleo (de carga +q) el campo creado por la esfera de electrones es: Y debe ser igual y opuesto al campo externo:

3

0

electrones4

1

a

qdE

Ea

qd

3

04

1

Ep

qdp

3

04 a

3.2 Polarización y susceptibilidad eléctrica

• Los materiales dieléctricos están compuestos por un gran conjunto de dipolos eléctricos.

• Se observa experimentalmente que cuando un dieléctrico se introduce entre las placas de un condensador, la capacidad del condensador aumenta en un factor k que depende del material.

• Desarrollaremos una teoría microscópica de los materiales dieléctricos que explica este aumento de capacidad.

Dieléctrico dentro de un condensador

• Cuando un dieléctrico se sitúa en el campo E0 externo creado por un condensador, las moléculas se polarizan parcialmente tal que se produce un momento dipolar neto paralelo al campo.

• La “respuesta” del material al campo externo depende de las características del material y de la temperatura.

• Aparece una carga inducida que crea un campo se que opone al campo externo.

k

EE 0

k 1 es la constante dieléctrica del material

k

VEdV 0

0

0

kCV

Qk

V

QC

Permitividad y rigidez dieléctrica

• Permitividad del dieléctrico:

• Si el campo externo es muy intenso, los enlaces moleculares se rompen, el material se ioniza y se transforma en conductor.

• La rigidez (o resistencia) dieléctrica es el valor límite de la intensidad del campo eléctrico para el cual un material es no-conductor.

• Algunos valores típicos:

0 kd

A

d

AkkCC

00

Polarización y susceptibilidad eléctrica

• Momento dipolar de un dipolo:

• Polarización: momento dipolar por unidad de volumen (C/m2).

externoE

dV

pdP dV

0lim

• Una polarización da lugar a una densidad de carga ligada o inducida

• Veremos que la carga ligada es la suma de una densidad superficial y densidad volumétrica dadas por

• Que producen un campo inducido opuesto al campo externo que induce la polarización.

Pb

nPb

ˆ

inducidoE

Teoría molecular de las cargas inducidas

Física con Ordenador: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/dielectrico/dielectrico.htm

Potencial creado por un material polarizado

V

r

pdrkV

3

')'(

dV

pdrP

' )'(

)(3

dVr

rrPkRV

V

rRr

32ˆ

11

r

rr

rr

V

dVr

rPkV '1

)'(

AfAfAf

VV

dVr

rPkdV

r

rPkV '

)'('

)'(

R

r

O

VS

dVr

rPkdSn

r

rPk '

)'(ˆ

)'(

Potencial y campo creado por un material polarizado

• Si comparamos con el potencial creado por una distribución de carga +

• Las densidades de carga ligadas son:

• Para calcular el campo creado por el material polarizado:

VS

dVr

rPkdS

r

nrPkV '

)'(ˆ)'(

VS

r

dVk

r

dSk

r

dqkV

'

Pb

nPb

ˆ

V

b

S

b dVr

rkdS

r

rkE '

33

Densidad de carga ligada o inducida

S

b

SVV

b dSdSnPdVPdV ˆ

0 S

b

V

b dSdV

P

Ejemplo: Cilindro con polarización uniforme

0 Pb

nPbˆ

1 2

P

P

b

b

2

1

0

interior

PE

(La carga ligada total es cero)

3.3 Desplazamiento eléctrico y Ley de Gauss en un dieléctrico

• Desplazamiento eléctrico:

llbt P

0

tE

lPE

0

• Densidad de carga total = densidad de carga ligada + densidad de carga libre

PED

0

• Ley de Gauss generalizada (en un material dieléctrico):

• Diferencial

• Integral

lD

dVdVDV

l

V

lQdSnD S

ˆ

0

lP

PE

0

3.4 Dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos

• En los dieléctricos lineales la polarización es proporcional al campo eléctrico

EP e

0

• La constante de proporcionalidad e es la susceptibilidad eléctrica, que caracteriza la “respuesta” de un material a un campo eléctrico.

• El campo E es el campo total, creado por todas las cargas (libres y ligadas).

• Si tenemos un campo externo E0, este induce una polarización, que da lugar a cargas ligadas que crean su propio campo, Eb. El campo total será E = E0 + Eb.

• Desplazamiento eléctrico

• = permitividad del material

• k = constante dieléctrica o permitividad relativa

EEEPED e

000

e 10

erk 1/ 0

Dieléctricos lineales

• Ejemplo: esfera dieléctrica de permitividad con una carga q en el centro

qdSnD S

ˆ

ED

rq

rE ˆ

4

12

Ejemplo: condensador con un dieléctrico lineal

lQdSnD S

ˆ

lD ED

lE

Ed

A

V

QC l

d

AC

l

l

)/(

0C

d

AC r

Pb l

r

b

11

d

AC 0

0

ED 0

lEE 00

3.5 Condiciones de contorno en medios dieléctricos

• En el vacío vimos que (Tema 1):

lDD

12

||

1

||

2 EE

12 VV

• Cuando los medios son dieléctricos lineales: la densidad de carga ligada es proporcional a la densidad de carga libre

• Cuando hay dieléctricos:

00

12

bltEE

lQdSnD S

ˆ

EP eb

0

• Si 0l 000

2

bltV

le

0DD e

e

0

0

0 b

En el interior del dieléctrico si no hay cargas libres se cumple la ecuación de Laplace

Ejemplo: calcular la capacidad de los condensadores

• Las placas tienen área de dimensiones a x b y están separadas una distancia d

x

x

0/)(/ xdx

abC

d

xb

d

bxaC

)(0

21

111

CCC

21 CCC

3.6 Energía electrostática en un medio dieléctrico

• Vimos que el trabajo que hay que hacer para cargar un capacitor, cuando hay vacío entre sus placas, es 2

02

1VCW

• Cuando hay un dieléctrico entre las placas del condensador, hay que aumentar la carga libre para compensar la carga ligada, y el trabajo es:

2

0

0

2

2

1

2

1VCCVW

• Se puede demostrar que en medios dieléctricos, la densidad de energía electrostática es:

EDu

2

1

• En el vacío: 2

00

2EuED

• En un dieléctrico lineal: 2

2 EuED

3.7 Dieléctricos no LIH

• En algunos cristales que contienen moléculas polares (ej. cuarzo) las tensiones mecánicas producen una polarización de las moléculas.

• Este efecto se denomina efecto piezoeléctrico.

• La polarización del material genera una diferencia de potencial que puede usarse para generar una corriente eléctrica.

• El efecto piezoeléctrico se usa para convertir tensiones mecánicas (deformaciones) en señales eléctricas (ejemplo: micrófonos).

• El efecto inverso (un voltaje aplicado genera una tensión mecánica que da lugar a una deformación) se usa en muchos dispositivos (ejemplo: auriculares).

• En algunos cristales (piro eléctricos) cuando aumenta la temperatura se generan campos eléctricos.

• En muchos cristales la polarización depende de la orientación del campo eléctrico (relativa a los ejes de simetría del cristal)