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Metodos Matematicos de la F. II (2o A, B y C)Tema 1: relacion de ejercicios.

1. Describe en cada caso los posibles dominios donde esta definida la ecuacion diferencial y losposibles intervalos de definicion de las soluciones dadas:

(a) x = 2t+ ln(1 t2 + x), x(t) = t2

(b) x = xsin(t2x2) , x(t) = 0

(c) x = t1x , x(t) cumple 2x x2 1 = t2, x(0) = 1

(d) x = 2x+ f(t) donde f : (1, 1) R es continua y x(t) = t0 e

2(ts)f(s)ds

(e) x = ex, x(t) = ln |t|

(Ejercicio de R. Ortega)

2. Decide en cada caso si la afirmacion es correcta o falsa, y explica las razones

(a) Las soluciones de la ecuacion x = t2 + x2 no tiene maximos ni mnimos

(b) La funcion F (t) = t3 sin(s

2)ds pertenece a C(R)(c) La solucion de x = ex t 1, x(0) = 0 y alcanza un mnimo local en t = 0(d) El campo de direcciones asociado a f : R2 {0} R es el que se muestra en la figura:

x(t) = cos t es una solucion de x = f(t, x)?


3. Encuentra todos los cambios de variable del tipo x = (y) que dejan invariante la ecuacion x =1

coshx . Se supone que : R R biyectiva, C1 y (y) 6= 0 y R.


4. Se aplica el cambio de variable x = y + 1y a la ecuacion

x = tx

(a) Determina las zonas de validez de este cambio y los dominios de la ecuacion transportada alplano (t, y)

(b) Resuelve la ecuacion en y.


5. La ecuacion de Bernoulli tiene la forma

x = a(t)x+ b(t)xn

donde a, b : I R son funciones continuas, y n R

(a) Comprueba que el cambio de variable z = x de {x > 0} en {z > 0} transforma la ecuacion deBernoulli en otra del mismo tipo. Encuentra un exponente adecuado para que la ecuacion setransforme en una lineal (n = 0).

(b) Resuelve el problemax = x+ t

x, x(0) = 1

Esta definida la solucion en (,+)?(c) Encuentra una solucion particular de

i. 3x + x = (1 2t)x4, x(1) = 1ii. t2x = 2tx x2, x(1) = 1


6. Se ha colocado un foco luminoso y se pretende construir un espejo de manera que los rayos reflejados

sean paralelos.

Situamos el foco en el origen de coordenadas del plano (x, y) y hacemos coincidir la direccion del ejex con la direccion de los rayos reflejados. Buscaremos una curva del tipo y = y(x) y supondremosx > 0, y(x) > 0, y(x) > 0.

(a) Sea P = (x, y(x)) un punto cualquiera de la curva. Observa la figura:

El angulo de incidencia 2 coincide con el reflejado 3. Deduce de la figura que se cumple1 = 2 = 3.

(b) Deduce la ecuacion diferencial que cumple y = y(x) a partir de la formula

tan 1 =PR

QR

(c) Resuelve la ecuacion obtenida en (b) y comprueba que el espejo ha de ser un arco de parabola.

(Ejercicio tomado de L. Elsgoltz Ecuaciones diferenciales y calculo variacional, Editorial Mir.Pagina 40.)

7. Resuelve:

(a) Sea F : R2 R2, (x, y) (F1(x, y), F2(x, y)) un campo de clase C1 que cumple

divF =F1x

+F2y

= 0 en R2

Demuesta que existe C2(R2) tal que

x= F2,

y= F1, en R2


(b) Sea F : R3 R3, (x, y, z) (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) un campo de clase C1 quecumple

F1y

=F2x

,F1z

=F3x

,F2z

=F3y

, en R3

Demuestra que existe V C2(R3) tal que

V

x= F1,

V

y= F2,

V

z= F3.

(c) Generaliza el resultado a anterior a campos F : Rn Rn, con dimension n 4.(d) Existe una funcion V = V (x0, x1, x2, x3) tal que Vx0 = 1,

Vxi

= 1 con i = 1, 2, 3?


8. Encuentra:

(a) una ecuacion exacta que admita el factor integrante (x, t) = tx

(b) un factor integrante para las ecuaciones lineales

(c) un factor integrante para las ecuaciones variables separables

(d) un factor integrante para las ecuacion homogenea x = q(xt ).

(e) todos los campos conservativos F : R2 R2, de clase C1, tales que F2(x1, x2) = x2.


9. Observar que u(t) = 0 es solucion de:

u(t) = |u(t)|1/2, u(0) = 0.

Encontrar otra solucion de dicho problema. Esta eso en contradiccion con el teorema de existenciay unicidad?

10. Las ecuaciones diferenciales de la forma

x = q(xt

), (1)

se llaman homogeneas.

(a) Se supone que q : (a, b) R es una funcion continua dada. Encuentra los posibles dominiospara la ecuacion (1).

(b) Usaremos el cambio de variables x/t = y. La ecuacion transformada es de algun tipo cono-cido? Encuentra los dominios para la ecuacion transformada asociados a cada uno de los dadosen el apartado anterior.

(c) Resuelve el problema de valores iniciales

{x = x2/t2 + x/t ,x(2) = 5 .

11. Resuelve los siguientes problemas de valores iniciales:

(a) x = et2x, x(0) = 1

(b) x = et2x, x(1) = 0

(c) x = et+x, x(0) = 1

(d) x = x2, x(0) = 1

(e) 2tyy 3y2 + t2 = 0, y(1) = 2(f) t2 + y2 + t+ tyy = 0, y(1) = 0

(g) y = 1 + cos2(y t), y(0) = 0(h) y sin t+ y ln y = 0, y(0) = 2

(i) t2y = 2ty y2, y(1) = 1(j) ey 2t+ teyy = 0, y(1) = 0(k) x = (sin t)x, x(0) = 1

(l) x = (sin t)x, x(1) = 0

(m) x = 1 + x2, x(1) = 0

12. Calcula una funcion Q : R2 R, Q = Q(t, x), con Q(0, 0) = 1, de manera que la ecuacion

5t+ 2x+Q(t, x)x = 0 (2)

sea exacta.

Halla una funcion V : R2 R, V = V (t, x), que no sea constante en R2 pero tal que las solucionesx = x(t) de (2) cumplan que

V (t, x(t)) = cte.

Justifica si el problema {V (t, x(t)) = ctex(0) = 0

determina implcitamente una funcion x : (, ) R para algun > 0 suficientemente pequeno.

13. Es cierto que la solucion del problema de valores iniciales

y =x

y yx2

, y(1) = 2

cumple la igualdad y(1) = 3?

14. Justifica si existe (o no) una funcion x = x(t), definida en un entorno (, ) de t = 0 y que cumpla

x(t) + cos(

sin(x(t)))

= + 1 + 4t t (, ) , x(0) = .

15. Se considera el problema de valores iniciales

x = (tan t) ln(x 2t) + 2, x() = 1 2.

(a) Determina el dominio para este problema.

(b) Sea el cambio de variables y = x 2t. Que forma adopta el problema de valores iniciales trasel cambio? Como transforma el cambio al dominio encontrado en el apartado (a)?.

(c) Resuelve el problema de valores iniciales original.

16. En R2 consideramos el campo vectorial F definido por

F (x, y) = (cosx sin y, a(x) cos y) , (x, y) R2 .

Podras determinar la funcion a : R R sabiendo que es de clase C1, que a(0) = 3, y que existeun potencial V : R2 R de clase C2 cuyo gradiente es F?

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