tema2

Captulo 2.

Cinematica en una dimension

La meanica, la mas antigua de las ciencias fsicas es el estudio del movimiento delos cuerpos.

1. Distincion entre cinematica y dinamica

Cuando describimos el mvimiento nos ocupamos de la parte de la mecanica quellamamos cinematica.

Cuando relacionamos el movimiento con las fuerzas que intervienen en el y conlas propiedades de los cuerposen movimiento, nos ocupamos de la dinamica.

2. Concepto de partcula

Matematicamente una partcula se considera como un punto, como un objeto sintamano de manera que no hay que hacer consideraciones de rotacion o vibracion.

En realidad no existe en la naturaleza nada que pueda llamarse un objetosin extension. Sin embargo, los objetos reales a menudo se comportan, con granaproximacion como partculas. Un cuerpo no necesita ser realmente pequeno parapoder ser tratado como partcula. Por ejemplo, con respecto a la distancia tierrasol, el sol y la tierra pueden ser tratados ordinariamente como partculas:

RTD

106

1011= 105

3. Espacio y tiempo

Vamos a tratar estos dos conceptos no desde un punto de vista filosofico ( Queson?) sino en su relacion con el movimiento de los cuerpos.

17

18 Captulo 2

3..1 Movimiento

A un cuerpo le asignaremos una posicion en el espacio en un instante de tiempo.Como varie una en funcion del otro nos proporcionara su movimiento.

3..2 Medida

Intuitivamente estamos introduciendo la observacion cuantitativa, es decir la medicion.Con un patron de longitud podemos medir la distacia recorrida y con un patronde tiempo el tiempo empleado. El hecho de que Galileo se plantease tales medidasdio lugar al nacimieto de la Fsica como ciencia, separandose as de la filosofa parala cual los razonamientos sobre los hechos naturales eran suficiente prueba de losmismos.

3..3 Homogeneidad del tiempo

En lo que hemos dicho hasta ahora es imprescindible hacer una suposicion de par-tida: el patron de tiempo no vara con el transcurso del mismo. Como no podemoscontrastarlo experimentalmente consideramos la homogeneidad del tiempo comouna hipotesis necesaria.

4. Movimiento en una dimension

4..1 Posicion

Puesto que el movimiento se realiza en una recta, llamaremos ~i al vector unitarioen la direccion positiva, de manera que la posicion de la partcula e un instantedado sera:

~r(t) = x(t)~i (4.1)

Podemos representar la curva x(t) que denominaremos trayectoria de la partcula

4..2 Velocidad

Da cuenta de la rapidez con que vara la posicion con el tiempo y se define como:

~v(t) = ~r(t) =d ~r(t)

dt= x~i (4.2)

Cinematica en una dimension 19

1t

Figura 2..1: Posicion,velocidad y tiempo

4..3 Aceleracion

Da cuenta de la rapidez con que vara la velocidad con el tiempo y se define como:

~a(t) = ~v(t) =d2 ~r(t)

dt2= x~i (4.3)

4..4 Ejemplos

Ejemplo 1

Es posible que una persona camine a traves de una habitacion con velocidadnegativa y aceleracion positiva?. Poner un ejemplo y hacer un grafico.

Supongamos que inicialmente su velocidad es ~v = v0~i donde v0 > 0 y queacelera con una aceleracion constante ~a = a0~i con a0 > 0.

El movimiento sera:~x = (v0t + a0t2/2)~i

de forma que~v = (v0 + a0t)~i

que esta dirigida en la direccion negativa del eje x en el intervalo temporal

0 < t < v0/g

mientras que la aceleracion esta siempre dirigida en la direccion positiva deleje x

20 Captulo 2

5. Condiciones iniciales

Conocida la aceleracion que tiene una partcula en una dimension

~a = a(t)~i (5.4)

podemos determinar su velocidad y posicion mediante dos integraciones sucesivas.En cada integracion hay que introducir una constante arbitraria. Ello significaque hay infinitas trayectorias posibles con la misma aceleracion, tantas como losdiferentes valosres de las constantes arbitrarias. El movimiento concreto de unapartcula dada dependera de los valores particulares que tomen estas constantes.Para fijarlas hay que conocer la posicion y la velocidad inicial

5..1 Posicion inicial

5..2 Velocidad inicial

6. Movimiento uniformemente acelerado

6..1 Cada libre

(Resnick 3-10, 3-11)


Problemas el Tema II (5-10-2008)

1.) La posicion de una partcula que se mueve a lo largo del eje de las x dependedel tiempo de acuerdo con la ecuacion

x = a0t2 b0t3

en donde x esta en cm y t en segundos

a) Que dimensiones y unidades deben tener a0 y b0?

b) Supongamos que en dichas unidades los valores de a0 y b0 son 3 y 1 respec-tivamente.Si parte del arigen, Cuanto tarda la partcula en recorrer la maximadistancia posible hacia la derecha?

c) En que posicion se encuentra al cabo de los primeros 4 segundos?. Conque velocidad?. Con que aceleracion?.

2.) Una partcula que parte del reposo desde el origen, tiene una aceleracionque aumenta linealmente con el tiempo a = kt siendo el cambio de la aceleracionk = 1, 5 m/sg3

a) Hacer una grafica de a en funcion de t durante el primer intervalo de 10sg

b) Hacer la grafica de v en funcion de t en el mismo perodo y calcular lavelocidad a los 5sg de empezar el movimiento

c) Hacer la grafica correspondiente de x en funcion de t y determinar lo que haavanzado la partcula en los primeros 5 sg y en los siguientes 5

3.) La posicion de una partcula que se mueve a lo largo del eje x vara con eltiempo segun la ecuacion

x =v0k

(1 ekt)

en la cual v0 y k son constantes

a) Hacer una grafica de x en funcion de t

b) Determinar la distancia total que recorre la partcula

c) Demostrar que la aceleracion esta dirigida en sentido contrario a la velocidad

d) Razonar como se puede requerir un tiempo infinito para recorrer una dis-tancia finita

4.) Un coche sale de una ciudad a 70km/h. Al cabo de 15 minutos otro coche saledel mismo lugar a 80Km/H. Cuanto tiempo tarda el segundo coche en alcanzaral primero y a que distancia de la ciudad ocurre?

5.) Una ciudad A se encuentra 54Km al norte de otra ciudad B. Si un coche salede A hacia el sur a 60Km/h y al mismo tiempo otro sale de B hacia A a 75Km/h,determinar a que distancia de A se cruzan y cuanto tiempo despues de haber salido

6.) Una partcula sigue un movimiento rectilneo dado por x = 6at b3 sen(t).En t = 0 su velocidad y posicion son cero. Determinar la posicion y velocidad encualquier instante

22 Captulo 2

7.) Una partcula sigue un movimiento rectilneo con una velocidad dada porv = k/x donde k es una constante positiva. Si para t = 0 se encuentra en x = 2,determinar posicion, velocidad y aceleracion como funciones del tiempo8.) Una partcula se mueve en en el seno de un lquido con una aceleracion opuestaa la velocidad en forma a = kv2. Determinar la velocidad en funcion del tiempoy de la posicion si las condiciones iniciales son x = 0 y v = v0 cuando t = 0.9.) Si un cuerpo recorre la mitad de su distancia total de caida libre durante elultimo segundo de su movimiento a partir del reposo, calcular el tiempo y la alturadesde la cual cae.10.) Un globo va subiendo a razon de 12 m/seg. Cuando se encuentra a 80 msobre el suelo suelta un paquete. Cuanto tiempo tarda el paquete en llegar alsuelo?11.) Un paracaidista despues de saltar, cae sin rozamiento durante 50 m hastaque se abre el paracaidas que le frena a razon de 2 m/sg2. LLega al suelo con unavelocidad de 3 m/sg

a) Cuanto tiempo ha estado en el aire?b) Desde que altura salto?

12.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0. Demostrar que la altura quealcanza es la mitad de la que alcanzara en el mismo tiempo si no hubiese gravedad.13.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0. En cada rebote pierde 2/3de la velocidad. Calcular el tiempo que tarda en pararse y el espacio recorridodurante ese tiempo. Determinar cual sera la velocidad equivalente a la que sehubiera tenido que mover un cuerpo con movimiento uniforme para recorrer lamisma distancia en el mismo tiempo.14.) Se suelta una moneda al borde de un acantilado de 105 m de altura. Conque velocidad debe lanzarse una piedra 1 segundo despues para que alcance a lamoneda a 15 m del suelo?


7. Problemas

1.) La posicion de una partcula que se mueve a lo largo del eje de las x dependedel tiempo de acuerdo con la ecuacion

x = a0t2 b0t3

en donde x esta en cm y t en segundos

a) Que dimensiones y unidades deben tener a0 y b0?

b) Supongamos que en dichas unidades los valores de a0 y b0 son 3 y 1 respec-tivamente.Si parte del arigen, Cuanto tarda la partcula en recorrer la maximadistancia posible hacia la derecha?

c) En que posicion se encuentra al cabo de los primeros 4 segundos?. Conque velocidad?. Con que aceleracion?.

Solucion

a)[a0] = LT

2 [b0] = LT3

b)dx

dt= 0 = 2a0t 3b0t2 = 0 = t = 2a0

3b0= 2sg

x(t = 2sg) = 4cm

c)x(t = 4sg) = 16cm

v = 2a0t 3b0t2 = v(t = 4sg) = 24cm/sg

a = 2a0 6b0t = a(t = 4sg) = 18cm/sg2

24 Captulo 2

20

15

10

5

0

5

1 2 3 4t

Problema 1: Posicion, velocidad y aceleracion


2.) Una partcula que parte del reposo desde el origen, tiene una aceleracionque aumenta linealmente con el tiempo a = kt siendo el cambio de la aceleracionk = 1, 5 m/sg3

a) Hacer una grafica de a en funcion de t durante el primer intervalo de 10sgb) Hacer la grafica de v en funcion de t en el mismo perodo y calcular la

velocidad a los 5sg de empezar el movimientoc) Hacer la grafica correspondiente de x en funcion de t y determinar lo que ha

avanzado la partcula en los primeros 5 sg y en los siguientes 5

Solucion

0

50

100

5t


26 Captulo 2

3.) La posicion de una partcula que se mueve a lo largo del eje x vara con eltiempo segun la ecuacion

x =v0k

(1 ekt)en la cual v0 y k son constantes

a) Hacer una grafica de x en funcion de tb) Determinar la distancia total que recorre la partculac) Demostrar que la aceleracion esta dirigida en sentido contrario a la velocidadd) Razonar como se puede requerir un tiempo infinito para recorrer una dis-

tancia finita

Solucion

a)

1

0

1

5t


b) el maximo de x se alcanza cuando

dx

dt= 0 = 0 = v0ekt = t =

luego

xm = x(t = ) = v0k


c)

v =dx

dt= v0e

kt

a =dv

dt= kv0ekt = kv

d) Igual que Aquiles y la tortuga

28 Captulo 2

4.) Un coche sale de una ciudad a 70km/h. Al cabo de 15 minutos otro coche saledel mismo lugar a 80Km/H. Cuanto tiempo tarda el segundo coche en alcanzaral primero y a que distancia de la ciudad ocurre?

Solucion

Seav1 = 70km/h = 70.10

3/3600m/sg = 700m/36/sg

v2 = 80km/h = 800m/36sg

t0 = 15s

0

50

100

150

200

1 1.5 2t

Problema 4: Posicion de los dos coches

El movimiento del primer coche serax1 = v1t

el del segundox2 = v2(t t0)

Por tanto coinciden al cabo de un tiempo T despues de la salida del primercoche tal que

v1T = v2(T t0)T =

v2v2 v1 t0 =

1

1 v1v2

t0

T = 15sg1 7/8 = 120sg = 2h. En este periodo han recorrido un espacio

x1(T ) = 70km/h.2h = 140Km


5.) Una ciudad A se encuentra 54Km al norte de otra ciudad B. Si un coche salede A hacia el sur a 60Km/h y al mismo tiempo otro sale de B hacia A a 75Km/h,determinar a que distancia de A se cruzan y cuanto tiempo despues de haber salido

Solucion

Seav1 = 60km/h = 60.10

3/3600m/sg = 600m/36/sg

v2 = 75km/h = 7500m/36sg

x0 = 54km

0

20

40

0.2 0.4t

Problema 5: Posicion de los dos coches

Tomando el origen en A El movimiento del primer coche sera

x1 = v1t

el del segundox2 = x0 v2t

Por tanto coinciden al cabo de un tiempo T despues de la salida del primercoche tal que

v1T = x0 v2TT =

x0v2 + v1

=54km

135km/h= 0.4h

En este periodo han recorrido un espacio

x1(T ) = 60km/h.(0.4h) = 24Km

30 Captulo 2

6.) Una partcula sigue un movimiento rectilneo dado por x = 6at b3 sen(t).En t = 0 su velocidad y posicion son cero. Determinar la posicion y velocidad encualquier instante

Solucion

Integrando x = 6at b3 sen(t)

x = 3at2 + b2 cos(t) + c1

con las condiciones iniciales dadas c1 = b2

v = 3at2 + b2 cos(t) b2

Integrando la velocidad

x = at3 + b sin(t) + c2

donde c2 = 0 de acuerdo con las condiciones iniciales


7.) Una partcula sigue un movimiento rectilneo con una velocidad dada porv = k/x donde k es una constante positiva. Si para t = 0 se encuentra en x = 2,determinar posicion, velocidad y aceleracion como funciones del tiempo

Solucion

Problema 7: Posicion, velocidad y aceleracion Integrando dx

dt= k/x

1/2x2 kt + c1 = 0con las condiciones iniciales dadas c1 = 2

x =

2kt + 4

derivandov =

k2kt + 4

a =k2

(

2kt + 4)3

32 Captulo 2

8.) Una partcula se mueve en en el seno de un lquido con una aceleracion opuestaa la velocidad en forma a = kv2. Determinar la velocidad en funcion del tiempoy de la posicion si las condiciones iniciales son x = 0 y v = v0 cuando t = 0.

Solucion

Problema 8: Grafica de v en funcion de x

a = kv2dv

v2= kdt

integrando1

v= kt +

1

v0= v = v0

1 + v0kt

integrando de nuevo

x =1

kln

v0v

o bien, eliminando el tiempov = v0e

kx


9.) Si un cuerpo recorre la mitad de su distancia total de caida libre durante elultimo segundo de su movimiento a partir del reposo, calcular el tiempo y la alturadesde la cual cae.

Solucion

Las condiciones iniciales sonz(0) = h

z(0) = 0

y por tanto

z = h 12gt2

v = gtEl tiempo total T de caida corresponde a

z(T ) = 0 = h 12gT 2 = T = +

2h

g(1)

Sea t0 = 1sg, entonces en T t0 recorre h2

z(T t0) = h2

= h 12g(T t0)2 = T t0 = +

h

g(2)

Combinando (1) y (2)

2h

g

h

g= (

2 1)

h

g=

1

(

2 + 1)

h

g= t0

Despejando h:

h = g(

2 + 1)2t20 = 57.1 m

T = (2 +

2)t0 = 3.4 sg

34 Captulo 2

10.) Un globo va subiendo a razon de 12 m/seg. Cuando se encuentra a 80 msobre el suelo suelta un paquete. Cuanto tiempo tarda el paquete en llegar alsuelo?

Solucion

La altura inicial es:h = 80 m

Su velocidad inicial esv0 = 12 m/sg

luego

z = h + v0t 12gt2

El tiempo que tarda en llegar al suelo es:

z(T ) = 0 = h + v0T 12gT 2 = 0

T =v0g

[1 +

1 +

2gh

v20

]= 5.4 sg


11.) Un paracaidista despues de saltar, cae sin rozamiento durante 50 m hastaque se abre el paracaidas que le frena a razon de 2 m/sg2. LLega al suelo con unavelocidad de 3 m/sg

a) Cuanto tiempo ha estado en el aire?b) Desde que altura salto?

Solucion

Sea h1 = 50mEs la composicion de dos movimientos acelerados

Hasta que se abre el paracaidas h > z > h2 = h h1, 0 < t < T1Cada con acelracion g, posicion inicial h y velocidad inicial cero

z = h 12gt2

v = gtEste movimiento termina en el momento que se abre el paracaidas, lo que ocurriraen el instante t = T1 tal que z = h h1 = h2. Por lo tanto:

h1 =1

2gT 21 = T1 =

2h1g

= 3.2 sg

La velocidad en ese instante sera

v1 = v(T1) =

2gh1 = 31.3 m/sg Al abrirse al paracaidas h2 > z > 0, T1 < t < T2

Cada con aceleracion a, posicion inicial h2 = h(T1) y velocidad inicial v1 =v(T1)

z = h2 + v1(t T1) + 12a(t T1)2

v = v1 + a(t T1)Llegara al suelo en el instante t = T2 tal que z(T2) = 0 yv2 = v(T2) donde

v2 = 3m/sg. Por tanto0 = z(T2) = h2 + v1(T2 T1) + 1

2a(T2 T1)2

v2 = v(T2) = v1 + a(T2 T1)Por tanto

T2 T1 = v2 v1a

= 14.15 sg = T2 = 17.34 sg

h2 =v21 v22

2a= 242.6 m

36 Captulo 2

12.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0. Demostrar que la altura quealcanza es la mitad de la que alcanzara en el mismo tiempo si no hubiese gravedad.

Solucion

La ecuacion del ovimiento es

z = v0t 12gt2

v = v0 gtLa altura que alcanza corresponde al instante T en que v = 0. Por tanto:

T =v0g

h = z(T ) =v202g

luego

h = v0T

2


13.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0. En cada rebote pierde 2/3de la velocidad. Calcular el tiempo que tarda en pararse y el espacio recorridodurante ese tiempo. Determinar cual sera la velocidad equivalente a la que sehubiera tenido que mover un cuerpo con movimiento uniforme para recorrer lamisma distancia en el mismo tiempo.

Solucion

Como hemos visto en el problema anterior En el primer rebote (subida y bajada) empleara un tiempo

T1 =2v0g

y recorrera una distancia

h1 =v20g

En el segundo la velocidad inicial es v0q donde q = 13 : Por tanto:

T2 =2v0q

g


h1 =v20q

2

g

En el rebote nesimo:

Tn =2v0q

n

g


hn =v20q

2n

g

Luego el tiempo total sera

T =

n=0

Tn =

n=0

2v0g

qn

= limkk

n=0

2v0g

qn = limk2v0g

(1 qk+1

1 q)

Como q < 1, qk 0 y por tanto

38 Captulo 2

T =2v0g

(1

1 q)

=3v0g

En cuanto a h

h =

n=0

hn =

n=0

v20g

q2n

= limkk

n=0

v20g

q2n = limkv20g

(1 q2k+21 q2

)

Es decir

h =v20g

(1

1 q2)

=9v208g

y por tanto

h =v0

1 + qT

luego la velocidad equivalente es

V =v0

1 + q=

3v04


14.) Se suelta una moneda al borde de un acantilado de 105 m de altura. Conque velocidad debe lanzarse una piedra 1 segundo despues para que alcance a lamoneda a 15 m del suelo?

Solucion

xm = h 1/2gt2

xp = h v0(t t0) 1/2g(t t0)2

luegot =

2(h h0)/g = 4.3sg

v0(tt0) = 1/2g(t)2 1/2g(t t0)2

v =gt02

2t t0t t0 = 11.3m/sg