Metodos Matematicos II, Grado en FsicaTema 2: relacion de ejercicios.

1. Resuelve los sistemas siguientes:

a)

x = xy = x+ 2yz = x z

b)

x = 5xy = x+ 2yz = x+ y + 3z

c)

x = 5x+ et

y = 2y 5z = 3z

2. Sean ~X, ~Y : R R2 definidas por:

~X(t) =(et

et

); ~Y (t) =

(t2

2t

)Calcula su wronskiano. Pueden ser ~X(t) e ~Y (t) soluciones de un sistema homogeneo de ecuacioneslineales?

3. (a) Sean ~X1, ~X2 : I R2 de clase C1. Demuestra que { ~X1, ~X2} es un sistema fundamental paraalgun sistema de ecuaciones lineales

X = A(t)X , t I ,

si y solo si W ( ~X1(t), ~X2(t)) 6= 0 para cada t I.(b) Enuncia y demuestra un resultado similar para sistemas con un numero cualquiera n de ecua-

ciones e incognitas.

(c) Encuentra un sistema de dos ecuaciones lineales e incognitas que admita las soluciones ~X(t) =(et, 2et), ~Y (t) = (et, 3et).

4. Decide de forma razonada la validez de cada afirmacion:

(a) La solucion de x + 4x = 1, x(0) = 5/4, x(0) = 0, cumple x() = 5/4.

(b) La ecuacion x = 3x+ t3 admite una solucion polinomica.

(c) La solucion de x + 2x = 1 + t, x(0) = 1, x(0) = 1 cumple x() = 1 + /4.

(d) La solucion de x + 2x = 3 cos t, x(0) = 1, x(0) = 0 cumple x(2) = 3 2 cos(23/2).(e) La solucion de x + x + x = t, x(0) = 0, x(0) = 0 cumple limt+ x(t) = 0.

(f) El cambio de variablestx = y transforma la ecuacion t2x + tx + (t2 14)x = 0 en una

ecuacion de coeficientes constantes.

(g) Existe una ecuacion lineal y homogenea, de coeficientes constantes y de orden 7, que admitelas soluciones:

1(t) = (t3 + 2t4) cos(2t), 2(t) = tet.

(Ejercicio de R. Ortega)

5. Resuelve x 6x + 11x 6x = sen t, x(0) = x(0) = x(0) = 0.(Ejercicio de R. Ortega)

6. Considera la ecuacion

x 2(1 + t2)

tx +

2(1 + t2)t2

x = 0, t > 0. (1)

(a) Encuentra una solucion particular de (1) del tipo 1(t) = k t.

(b) Usando el metodo de reduccion del orden, calcula otra solucion de (1) que sea linealmenteindependiente con 1.

(c) Encuentra la solucion 2 de (1) que cumple 2(2012) = 0, 2(2012) = 1.

(d) Calcula W (1, 2)(t). Depende de t?

7. Consideramos las funciones

1(t) = et 2(t) = t+ et .

(a) Calcula W (1, 2).

(b) Son 1, 2 linealmente independientes en el el espacio C1(R)?(c) Existe alguna ecuacion del tipo x+ a(t)x+ b(t)x = 0, con a, b : R R funciones continuas,

que tenga a 1 y a 2 como soluciones?

8. Consideramos la ecuacion lineal

x +x

t etx = 0, t > 0. (2)

Las funciones 1(t) = 1t y 2(t) =1t2

(ambas definidas en R+), forman un sistema fundamental de(2)?

9. Encuentra un sistema fundamental para la ecuacion

x 3x + 2x = 0

y usalo para construir explcitamente un isomorfismo entre el espacio de soluciones de la ecuaciony R2.

10. Consideramos las funciones 1(t) = 1t , 2(t) = t, ambas definidas en ]0,[. Forman un sistemafundamental para alguna ecuacion del tipo

x + a1(t)x + a2(t)x = 0,

siendo a1(t), a2(t) funciones continuas en ]0,[ ?

11. Se considera la ecuaciont2x + tx + 3x = t3 .

(a) Encuentra una solucion de la forma 1(t) = at3, siendo a R una constante.(b) Encuentra una solucion x(t) que cumpla x(1) = 1. Cuantas hay?

12. Se considera la ecuacion diferencial:

x x + 2x = et/2 sen t , t [0, ], (3)

dependiente del parametro R. Dados a, b, R consideramos el conjunto

Z(a, b, ) := {x C2[0, ] : x es una solucion de (3), x(0) = a, y x(1) = b} .

(a) Existe algun valor del parametro con la propiedad de que Z(a, b, ) es no vaco para todosa, b R? En caso afirmativo, determina todos los valores de con esta propiedad.

(b) Existen valores de a, b, y tales que Z(a, b, ) tenga mas de un elemento? En caso afirmativo,determina esos valores y la estructura del conjunto Z(a, b, ).