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Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

Curso Iberoamericano de formacin permanente deprofesores de matemtica

Tema 2: Nmeros enteros

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Curso Iberoamericano de formacin permanente de profesores de matemtica

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Contenido de este documento:Introduccin

Definicin

Operaciones

Divisibilidad

Ordenacin en N

Sistemas de numeracin

Operaciones en cualquier sistema de numeracin

Introduccin

En el tema de nmeros naturales vimos como el hombre, desde la eraprimitiva, desarroll el concepto de cantidad. Los recursos utilizadosinicialmente fueron piedras, muescas e incluso nudos ensogas,representando la nocin de cantidad segn su grado de desarrollo.

La nocin de cantidad se hizo lo suficientemente extendida y clara comopara que se llegase a sentir la necesidad de expresar esta propiedad enun lenguaje simblico, expresando cada cantidad mediante un smbolo.

Este es el nacimiento del sistema de numeracin. La notacin queusamos hoy en da es el sistema de numeracin decimal trado desde laIndia por los rabes en el siglo X.

Finalmente se estableci el conjunto de los nmeros naturales, con lanotacin adoptada por la letra N, representando el siguiente conjunto denmeros: N = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Vimos tambin en el tema anterior que estos nmeros estn relacionadosmediante una relacin de orden, mediante la que podemos hacercorresponder a cada nmero un punto de la siguiente recta:

Los nmeros naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos sepueden restar o dividir. Es por esto que se hace necesaria una extensindel conjunto de los nmeros naturales a otro conjunto ms grande y queincluya a stos, esta completitud genera el conjunto de los nmerosnegativos. Los nmeros naturales junto con los negativos formarn elconjunto de los nmeros enteros.

Nmeros enteros

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La notacin hoy utilizada para expresar los nmeros positivos (+) ynegativos (-), se debe al matemtico alemn Johann Widman en el sigloXV, aunque en esa poca los nmeros negativos no eran aceptadosuniversalmente, llegando incluso a ser llamados falsos por elmatemtico G. Cardano.

1. Construccin del conjunto de los nmeros enteros

En el conjunto de los nmeros naturales N la operacin a-b, no es posible

ms que en el caso de que ba . Vamos entonces a construir un conjuntoen el que sea posible realizar esta operacin Nba, .

La construccin del conjunto de los nmeros enteros Z se basa en

encontrar un conjunto, a partir del conjunto de los naturales N , dotadode una operacin interna (+) para el que la operacin a-b admita siempre

solucin, o lo que es lo mismo, que la ecuacin bxa admita siempresolucin para cualesquiera sean los valores de a y b.

1.1. Construccin del conjunto NN

Recordemos que se llama producto cartesiano, A X B, de dos conjuntos Ay B, al conjunto formado por todos los pares ordenados

BbyAaconba ),( . En particular, el conjunto N X N es el conjuntode todos los pares ordenados de nmeros naturales.

Consideremos el conjunto NN formado por todos los pares ordenadosde nmeros naturales, es decir:

NN byabaNN /,

1.2. Relacin de equivalencia en NN

Sobre el conjunto NN vamos a definir la siguiente relacin binaria quesimbolizaremos con ~:

cbdadcba

),(~),( Esta relacin binaria es de equivalencia pues se verifican las propiedades:

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Reflexiva: ),(~),(),( babaNNba ya que a+b=b+a por lapropiedad conmutativa de los nmeros naturales.

Simtrica: ),(~),( dcbaSi a+d=b+c c+b=a+d aplicandotambin la propiedad conmutativa de los nmeros naturales

),(~),( badc

Transitiva: ),(~),(),(~),(),(~),( febafedcydcbaSi ),(~),( dcbaSi a+d=b+c a+d+f = b+c+f

),(~),( fedcSi c+f=d+e b+c+f = b+d+e

Aplicando la ley de simplificacin tenemos que a+f= b+e y por tanto:),(~),( feba

Los pares de nmeros equivalentes entre s forman un subconjunto deNN que definen distintas clases de equivalencia que podemos

simbolizar de la siguiente manera:

),(~),(/),()],[( dcbadcba

1.3. El conjunto Z de los nmeros enteros

Al conjunto cociente~

NN

, es decir, al conjunto de las clases deequivalencia lo llamaremos conjunto Z de los nmeros enteros. Unnmero entero es por tanto cada una de las clases de equivalencia del

conjunto cociente ~NN

.

Representando los nmeros enteros con letras griegas tenemos que:

...........~),(~),(

...~),(~),(

...~),(~),(

fefe

dcdc

baba

Z

Para comprenderlo mejor veamos algunas clases de equivalenciaconcretas:

)...2,2(~)1,1(~),(

)...3,4(~)2,3(~),1(

)......3,1(~)2,0(~)2,(

aa

aa

aa

a+d+f = b+d+e

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1.4. Elementos cannicos

Aunque toda clase de equivalencia queda determinada dando unrepresentante cualquiera, suele utilizarse para ello los elementoscannicos.

Dado un nmero entero =(a, b)= pueden ocurrir tres cosas:

que a > bentonces Nnconnbaba ),0,()0,(),(

que a = bentonces )0,0()0,(),( baba

que a < bentonces Nnconnbaba

),,0(),0(),(

As pues todo nmero entero puede ser representado de una de las tressiguientes formas:

)0,(n )0,0( ),0( n

Llamadas formas cannicas del nmero entero, o elementos cannicos dela clase.

Estas formas cannicas se simbolizan de la siguiente manera

nn )0,(

0)0,0(

nn ),0(

posi ti vosenterosnmeroslosdeosubconjuntNnnnZ /)0,()(

ceroonuloentero)0,0(0

negativosenterosnmeroslosdeosubconjuntNnnnZ /),0()(

1.5. Representacin grfica del conjunto ~/NN y del conjunto Z

El conjunto N puede representarse por puntos equidistantes sobre unasemirrecta:

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Si consideramos dos semirrectas con un origen comn O, podemos

representar el conjunto NN por los puntos vrtices de un retculo comoel siguiente:

NN viene representado por un conjunto de puntos situados en el primercuadrante, en el que sus dos coordenadas son nmeros naturales. Lospares equivalentes situados en semirrectas paralelas a la bisectriz delprimer cuadrante, definen un nmero entero. El punto origen de cadasemirrecta representa cada nmero entero, situados sobre el eje OX losenteros positivos y sobre el OY los enteros negativos.

Prolongando las semirrectas del eje OY hasta que intersecte con el eje OXpodemos representar todos los elementos del conjunto de nmeros

enteros Zen una misma recta numrica, quedando de la siguiente forma:

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

0, 0

(0, 2)

(1, 0)

N

N-2

0, 1

- 1

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2. Operaciones en el conjunto de los nmeros enteros

2.1.Suma

Se define la suma de nmeros enteros mediante la aplicacin:

+: ZZZ

),(),(),( dbcadcba

Es decir ),(),(),( dbcadcba

Propiedad uniforme: La suma de nmeros enteros no depende de losrepresentantes elegidos.

Demostracin

Supongamos:

)2(),(~),(

)1(),(~),(

dcdcdcdc

babababa

Sumando cada una de las expresiones de las igualdades (1) y (2) tenemos que:

dcbadcba

Aplicando a esta expresin las propiedades conmutativa y asociativa de nmerosnaturales llegamos a:

)],(),[(~)],(),[()()()()( dcbadcbadbcadbca

En virtud de la propiedad uniforme la suma no depende del representanteelegido, por tanto, en adelante usaremos los representantes cannicospara simplificar la simbologa.

Utilizando los representantes veamos los casos que se pueden dar en lasuma de nmeros enteros

Caso I: suma de enteros positivos

)0,()0,()0,( baba

o sea, )()()( baba Resultado positivo

Caso II: suma de enteros negativos

),0(),0(),0( baba

o sea, )()()( baba Resultado negativo

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Caso III: suma de un entero positivo y uno negativo

),(),0()0,( baba

o sea, baba )()(

negativoResultado

positivoResultado

baSi

baSi

Propiedades de la suma de nmeros enteros

Adems de la propiedad de uniformidad, en el conjunto de los nmerosenteros se verifican las siguientes propiedades:

Interna: Z),(),( dcyba

Zdcba )],(),[(

Asociativa: Z),(),(),,( qpydcba

)],(),[(),(),()],(),[( qpdcbaqpdcba

Demostracin: Consideremos nmeros enteros cualesquiera cuyos

representantes sean: ),(),(),,( qpydcba

),(),(),()],(),[( qpdbcaqpdcba

aplicando la definicin de la suma en Z y, aplicndola nuevamente tenemos que:

))(,)((),(),( qdbpcaqpdbca ,

como cada componente del par es un nmero natural, podemos aplicar lapropiedad asociativa de la suma de los naturales:

)],(),[(),())(),(())(,)(( qpdcbaqdbpcaqdbpca

Las demostraciones del resto de propiedades se hacen de forma similar yno las demostraremos.

Conmutativa: Z),(),( dcyba

),(),(),(),( badcdcba

Existencia del elemento neutro: Z)0,0(,),( Zba

),()0,0(),( baba

Existencia del elemento simtrico:),(),()0,0(),(),(/),(,),( baababbaabZba Z

Proposicin El simtrico de todo nmero entero es nico.

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Demostracin

Aplicando la tcnica de demostracin de reduccin al absurdo,supongamos que para un nmero entero de representante (a, b)

existen dos simtricos: (b, a) y (p, q).

Por definicin de elemento simtrico se verifica:

)0,0(),(),( abba y )0,0(),(),( qpba

es decir, son representantes del mismo nmero entero ypor tanto son equivalentes:

)],(),[(~)],(),[( qpbaabba ),(~),( qbpaabba aplicando la definicin de la relacin de equivalencia

paabqbba

como cada uno de estos nmeros son naturales, podemos aplicarla ley de simplificacin en N, obteniendo la siguiente igualdad:

paqb

),(~),( qpab

Y por tanto el elemento simtrico es nico.

Utilizando la notacin cannica, Za , se designa su simtrico por (-a)y se le llama opuesto.

ZaZaSi )( y viceversa ZaZaSi )(

Con la demostracin de estas propiedades para la suma, hemos probadoque el par formado por el conjunto Z y la operacin interna +, es decir,(Z, +) tiene estructura de grupo conmutativo. A este grupo aditivo se le

denominagrupo aditivo de los nmeros enteros.

Como consecuencia de la estructura de grupo en el conjunto (Z, +) severifican las siguientes propiedades:

Propiedad cancelativa:cbcabasicyba ,, Z

Demostracin: Por ser Za 0)(/)( aaZa

Por tanto, sumando (-a) en la igualdad caba

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)()()()( caabaa y aplicando la propiedad asociativa de losnmeros enteros:

caabaa ])[(])[( . De donde: cbcb 00

La ecuacin a+x=b, Z ba, tiene solucin nica en Z:bax )(

Existe en (Z,+) la operacin inversa a la suma.

2.2. Resta

La existencia del elemento simtrico para todo nmero entero

Za respecto de la suma, la resta de dos nmeros enteros es igual a lasuma del primer sumando con el opuesto del segundo.

)(baba Al expresarse la resta como suma de nmeros enteros, sta se puededefinir tambin mediante pares de nmeros naturales, es decir, por pares

Z),(),( dcyba ),(),(),(),(),( cbdacdbadcba

En virtud de esto, podemos definir la resta como una aplicacin:

-: ZZZ

),(),(),( cbdadcba

Es decir ),(),(),( cbdadcba

Se puede demostrar de forma similar a la suma, que la resta no dependede los representantes elegidos (propiedad de uniformidad), y que es una

operacin interna.

La resta no verifica la propiedad conmutativa ni asociativa.

2.3. Producto o multiplicacin

Se define el producto o multiplicacin de nmeros enteros como laaplicacin:

: ZZZ

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),(),(),( cbdadbcadcba

Es decir ),(),(),( cbdadbcadcba

Propiedad uniforme: El producto de nmeros enteros no depende de losrepresentantes elegidos.

Demostracin

Supongamos:

)2(),(~),(

)1(),(~),(

cddcdcdc

abbababa

Multiplicando la igualdad (1)por c y despus por d y, la igualdad (2)por ay despus por b obtenemos las siguientes igualdades:

dbdadadb

cacbcbca

dbcbcbdb

cadadaca

Sumando las expresiones de cada columna llegamos a:

dbcadacbcbdadbca ),(),(~),(),( dcbadcba

dbcbcadacbdadbca

),(),(~),(),( dcbadcba

Por la propiedad transitiva de la relacin de equivalencia deducimos

),(),(~),(),( dcbadcba

Por tanto, la multiplicacin, inicialmente definida en el conjunto N X N, esestable frente a la relacin de equivalencia, o sea, es una operacin

definida en Z. El producto ),(),( dcba es independiente de loselementos elegidos en cada clase. Operando con los elementos cannicosse obtiene:

(+a) (+b) = +a b

(+a) (-b) = -a b

(-a) (+b) = -a b

(-a) (-b) = +a b

Estas igualdades constituyen la conocida "regla de los signos" de lamultiplicacin de nmeros enteros.

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Propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros

Adems de la propiedad de uniformidad, necesaria para que lamultiplicacin est bien definida, el producto de los nmeros enterosverifica las siguientes propiedades:

Interna: Zba,

Zba )(

Asociativa: Zcyba, )()( cbacba

Conmutativa: Zba, abba

Estas propiedades son una aplicacin directa de la definicin del productode nmeros enteros y seguir un procedimiento similar al que realizamos

para (Z,+).

Elemento neutro:/, Zea Z aeaea , siendo Ze 1

Demostracin

Sea ),( ba un representante del nmero Za y sea ),( 21ee unrepresentante del elemento neutro.

Por definicin de elemento neutro:),( ba ),( 21ee = ),( ba = ),( 21ee ),( ba

),(),( 1221 baebeaebea beaeb

aebea

21

21

multiplicando

la primera igualdad por a y la segunda por b llegamos a:

2

21

2

2

21

2

beabeb

aebaea

2222

1 )( babae 01 21 eye

Luego e=(1, 0) Z1

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Adems de estas propiedades est tambin la ley de simplificacin ocancelativa que verifican todos los nmeros enteros a excepcin del cero:

cbcabasicyba ,, 0-Z

Distributiva de la multiplicacin respecto a la suma:

De la misma manera que en el conjunto de los nmeros naturales, lasoperaciones de la suma y el producto de los nmeros enteros serelacionan mediante la propiedad distributiva:

cbcacbaZ,a,b,c por la derecha

y bcacbaZ, ca,b,c por la izquierda

El conjunto (Z, +, ) con las propiedades de la suma y la multiplicacin esun anillo conmutativo unitario.

Propiedades del anillo (Z, +, )

El anillo de los nmeros enteros no posee divisores de cero.Esta caracterstica quiere decir que:

000,, bbienoabasiba Z

Esta propiedad tiene su mayor aplicacin en la resolucin de ecuacionesen el conjunto Z.

Atodo anillo conmutativo y sin divisores de cero se le denomina dominiode integridad, por tanto(Z, +, ) es un dominio de integridad.

Por ser(Z, +, ) un dominio de integridad, la ecuacin bxa , si tienesolucin, sta es nica.

3. Orden en Z

Un nmero entero a es menor o igual que un nmero natural b y se

escribe ba , si (b-a) Z

Zabba )( Esta relacin es de orden totalpor verificarse las propiedades:

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Reflexiva: aaa ,Z , Antisimtrica: Si baabyba Transitiva: cacbybaSi

De fcil demostracin.

Todos los nmeros enteros son comparables mediante esta relacinde orden. Es decir, Zba , se verifica que ba , o bien ab

Concluimos entonces que la relacin menoro igual ( ) definida sobre elconjunto Z es una relacin de orden total.

Propiedades

La relacin de orden definida en Z es compatible con la suma.Esto significa que:

Si cbcaba , Zc

Tambin se puede expresar como:

dcbadb

casiZdcba

,,,

Demostracin

Sea ),( 21aa , ),( 21bb , ),( 21cc y ),( 21dd representantes de los nmeros

Zdcba ,,,.

Si

)()()()(),(),(

),(),(11222211

1221

1221

2121

2121dcbadcba

dbdb

caca

ddbb

ccaa

Por lo que

dcba

La relacin de orden definida en Z es compatible con elproducto si se multiplica por un entero positivo y se inviertesi el entero es negativo.

Zcsicbca

ZcsicbcabasiZba,

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El conjunto (Z, +, , ) es un anillo totalmente ordenado llamado, anilloconmutativo unitario totalmente ordenado.

4. Valor absoluto

Se define el valor absoluto de un nmero enteros como la aplicacin:

: NZ tal que:

0,

0,0

0,

asia

asi

asia

aa

Ejemplo

Vamos a calcular el valor absoluto de los siguientes nmeros: +5, 0, -3,-2

55 00 33 22

De la definicin se deducen las siguientes propiedades:

000, aayaZa

aaZasi

aaZasiquetalaaZa ,

Zaaa , Si babba

A partir de estas cuatro propiedades se deducen las dos siguientespropiedades fundamentales:

babaZba ,, bababaZba ,, (Desigualdad de Cauchy-

Swartz)

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5. Divisibilidad

Dados dos nmeros enteros ,, Zba decimos que a es divisible por b,b es divisor de a, o a es mltiplo de bsi cbacnmeroun /Z , es

decir,cuando la divisin del primero por el segundo es exacta.

cbacnmerounab /Z

Propiedades

Para enteros Zcyba, :

1/a, -1/a(1 y -1 son divisores de todo nmero entero)Demostracin

Basta tomar ( aa1 ).

Si, 0a entonces aa Demostracin

Sea aa1 . Como no es , entonces por definicin concluimos

aa.

Si 0b y ba entonces ba Demostracin

Sea cun entero tal que bca . Entoncebca

. Como0b,

entonces 0c , luegoc1

. Multiplicando esta desigualdad pora

nos

quedabcaa

y queda demostrado.

Si ba y ab entonces ba Demostracin:

De las hiptesis deducimos que0bya

. Y teniendo en cuenta la

propiedad anterior podemos concluir queba

yab

, luego por

antisimetra de,

ba.

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Si ba y cb entonces ca Demostracin:

Seap

entero tal quebpa , y

qentero tal que

cqb .

Entonces )()( qpaqpaqbc , luego pues adems, de la

hiptesis se puede deducir que0apues

ba

Si bac , entonces c divide cualquier combinacin lineal entrebya [una combinacin lineal entre y es un nmero de la

formaba

, cony

nmerosenteros].

Demostracin:

Seanqyp

enteros tales queapc

ybcq

.

Entonces cmcqpcqpcba )()()(

donde

Zqpm , luego

c ba .

La relacin de divisibilidad en el conjunto de los nmeros naturales es deorden parcial pero en el de los enteros es de preorden pues no se verifica

la propiedad antisimtrica, pues por ejemplo 2/-2 y -2/2 pero 22

.

5.1. Mximo comn divisor

Dado Za un entero, consideremos el conjunto adZdDa / estoes, el conjunto de divisores de . Ntese que aD1 y para todo entero

.

Habamos visto que para0

a , ad

implicaad

, entonces aaDa ,...,1,1,..., , luego es un conjunto finito y no vaco y por tanto

tiene mximo.

Definicin Dados mn, enteros no ambos nulos, definimos el mximocomn divisor de n y m, y lo denotamos m.c.d.(n,m) al

mximo de nD y mD

)(),.(.. mn DDmxmndcm

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Est bien definido pues )( mn DD es un conjunto no vaco y finito, por lotanto siempre tiene mximo.

Si , entonces (los enteros no nulos), yeste conjunto no tiene mximo. Por eso pedimos que y no seansimultneamente nulos. Para,

Siad

, entoncesddadcm ),.(..

.

TeoremaSi dbadcm ),.(.. , entonces es el mnima combinacin linealpositiva entre y . Teorema de Bezout

Demostracin:

Se ZyxconybxaybxaC ,0/ el conjunto decombinaciones lineales positivas de y . Como y no son ambos

nulos, 0 bbaa y por tanto es un subconjunto no vaco de losenteros.

Sea ybxaCm )min( , veamos que .

am por el algoritmo de la divisin, rqma , con mr0 .

Entonces )()1()( qybxqaqybxaaqmar

, luego escombinacin lineal de y . Como mr , por minimalidad de

concluimos que Cr , y esto implica .

Clculo del MCD usando el algoritmo de Euclides

El mximo comn divisor de dos nmeros enteros tambin se puedecalcular usando el algoritmo de Euclides tal y como hicimos con elconjunto de los nmeros naturales.

Se fundamenta en el siguiente resultado:

Sean Zba , , b distinto de cero y sea r el resto dela divisineucldea de a por b. Entonces:

Los divisores comunes de a y b son divisores de r. Los divisores comunes deb y r son divisores de a. m.c.d. (a, b) = m.c.d. (b, r) m.c.d. (a, 0) = a

Con estos datos realizamos la divisin eucldea, de la siguiente forma,siendo r0= a, r1= b.
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r0= r1 q1+ r2(siendo r2menor que r1y mayor o igual a cero)r1= r2 q2+ r3(siendo r3menor que r2y mayor o igual a cero).

As seguiramos hasta que en un paso algn resto (rm) sea igual a cero, y

por la propiedad m.c.d. (a, b) = m.c.d. (b, r)antes mencionada,tendramos que m.c.d. (a, b) = m.c.d. (r0, r1) =... = m.c.d. (rn, 0) =rn.

Ejemplo

Calcula el m.c.d.(-35, -48) utilizando el algoritmo de Euclidestenemos:

Entonces m.c.d. (-35, -48)=1. Adems, de las ecuaciones anteriores obtenemos

y hemos escrito a como la mnima combinacin lineal positiva entre -35 y -48.

5.2. Nmeros primos

Definicin Sea 1,0,1Zp . Decimos que p es un nmeros primo, silos nicos divisores de p son -1, 1, -p, p

DefinicinSea dos nmeros enteros Zbya . Decimos que a y b sonprimos relativossi m.c.d.(a, b)=1

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Ejemplo

El 2 y el 6 no son primos relativos porque m.c.d. (2, 6)=2.

Cualquier combinacin lineal del 2 y el 6 ser un mltiplo de 6.

El 2 y el 9 son primos relativos porque m.c.d.(2, 9)=1

En el caso de primos relativos podemos expresar el 1 como combinacin linealde 2 y de 9. Y, recprocamente, si podemos expresar el 1 como combinacinlineal de dos nmeros, stos sern primos relativos.

Teorema 1),.(.. badcm y , tales que 1 ba La demostracin de este teorema se basa en la conclusin del teoremaanterior

5.3. Mnimo comn mltiplo

DefinicinDados ba, enteros, definimos el mnimo comn mltiplo de

a y b, y lo denotamos m.c.m.(a, b) al menor de los mltiploscomunes de a y b.

En el anillo de los nmeros enteros a los mltiplos de un nmero

cualquiera Za se le representa como:

a .

ba m.c.m. (a, b)=b Si a y b son primos entre s babamcm ),.(.. Si Mbamcm ),.(.. cMcbcamcm ),.(..

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