7/23/2019 Tema2_C

1/4

2 SERII DE PUTERI REALE. DEZVOLTARI IN SERIE TAYLOR

2.3. Exerciii propuse

Exerciiul 2.3.1. S se determine mulimea de convergen a seriilor urmtoare:

a)1n

nx!n ,xR b)

1n

1n2

1n

)!1n2)(1n2(

x)1( ,xR

c) 1n

n

)1n(n

x,xR d) n

1n

n

xn

1n2

,xR

e)

0n

n

22/n

n xtgn13

1)1( ,x

2,

2

R.a) {0}, b) R, c) [-1, 1], d)

e

1,

e

1, e)

3,

3.

Exerciiul 2.3.2.S se determine mulimea de convergen i suma seriilor de puteri:

a)

1n

3n4

3n4x ,xR

b)

1n

1n1n

)1n(n

x)1( ,xR

R.a)f(x) =2

1arctg x+

4

1ln

x1

x1

, x (-1, 1); b)f(x) = (x+1)ln (x+1)x

x(-1, 1).Exerciiul 2.3.3.S se determine sumele urmtoare, folosind seriile de puteri:

a)

1n

1n

2n3

1)1( b)

1n

1n

3n4

1)1( c)

1n

1n

)1n2(n

1)1( d)

0n

n

1n6

1)1( e)

0n )3n4)(1n4(1

Indicaie:

a) Se folosete relaia1n

1dxx

1

0

n

i teorema de integrare termen cu termen a unei serii de puteri:

1n

1n

2n3

1)1( =

1n

1

0

3n31n dxx)1( = dxx)1(1

0 1n

3n31n

= dx)x(

1

0 1n

1n3

=

1

0

3x1

dx=

32ln

3

1.

b) Se procedeaz ca mai sus.

c) Se observ c

1n

1n

)1n2(n

1)1( =

1n

1n

n

1

1n2

2)1( = =

1n

1n

1n2

1)1( -

1n

1n

n

1)1( , a cror sum se determin folosind teorema de derivare termen cu termen a unei serii de

puteri. Suma cerut se obine pentrux = 1.

7/23/2019 Tema2_C

2/4

d) Se folosete seria de puteri

0n

1n6n

1n6

x)1( i teorema de derivare termen cu termen.

e) Se descompune)3n4)(1n4(

1

n fracii simple.

R.a)

32ln

31 , b)

2)21ln(

221 , c)

2 - ln 2,

d)6

)347ln(34

1 , e)

8

.

Exerciiul 2.3.4.S se determine mulimea de convergen i suma urmtoarelor serii de puteri:

a)

0n

nx)1n(

b)

1n

2nx)2n)(1n(n

1

c)

n

1n 2x

2x

n

1

d)

1n

1n2x1n2

2n2

R.a) S(x) =2)x1(

1

,x(-1, 1); b) S(x)=-

2

)x1( 2ln(1 - x) -

4

x3

2

x 2

x(-1, 1) iar n -1 i 1 se prelungete prin continuitate; c) S(x) = ln4

x2, x (-, 0]; d) S(x) =

x1

x1ln

2

1

x1

xx22

3

,x(-1, 1).

Exerciiul2.3.5. S se calculezes =

0n

n231

)1n4(1 .

R.Se studiaz seria de puteri

0n

1n4

n2 x

3)1n4(

1.

Se obine S(x)=3

xarctg

2

3

x3

x3ln

4

3

, x 3,3 i

s = S(1) =12

3)32ln(

4

3 .

Exerciiul 2.3.6.S se dezvolte n serie de puteri urmtoarele funcii indicnd i mulimile de convergen:

a)f(x) = ln (1 + x) b)f(x) =2)1x(3x2

c)f(x) =

3x4x5x3

2

d)f(x) = xe-2x e)f(x) = sin 3x + x cos 3x f)f(x)= lnx1

x1

g)f(x) = ln(1 + x - 2x2) h)f(x) = sin2xcos2x i)f(x) = (1 + ex)3

j)f(x) = x

0

dtt

tsin

7/23/2019 Tema2_C

3/4

R. a)

1n

n1n

n

x)1( ,x(-1, 1], b)

0n

nx)3n( , |x | < 1,

c)

0n

n

1n x

3

21 , |x | < 1, d) x +

2n

n1n1n

)!1n(

x2)1(,xR

e) 2

0n

1n2n2n

)!1n2(x3)2n()1( ,xR; f) 2

0n

1n2

1n2x ,x(-1, 1)

g)n

1n

n1n

xn

12)1(

,x

2

1,

2

1,

h)

1n

n23n41n

)!n2(

x2)1( ,xR;

i) 8 + 3 n

1n

1nn

x!n

321

,xR;

j)

0n

1n2n

)1n2()!1n2(

x

)1(,x[0, )

Exerciiul 2.3.7. Fief(x) = arcsin x,x[-1, 1]a)

S se dezvolte aceast funcie n serie de puteri ale lui x

b) Folosind aceast dezvoltare s se calculeze suma

1n2n2

222

2)!2n2(

)1n2(...31.

Indicaie:

a) Se deriveaz funcia i se dezvolt derivata n serie de puteri. Prin integrare termen cu termen se obine,pentru x(-1, 1)

arcsin x= x +1n2

x

!)!n2(

!)!1n2( 1n2

1n

.

Deoarece3)1n2(

11n2

1!)!n2(!)!1n2(

, dezvoltarea se prelungete la intervalul [-1, 1].

b) Deoarece xdxarcsin = x arcsin x + 2x1 + C, integrnd termen cu termen seria de la a),punndx = 0se obine c = -1, deci

2n2

1n

2

x2n2

1

)1n2(!)!n2(

!)!1n2(

2

x

= x arcsin x+ 2x1 - 1

Pentrux =2

1obinem

2n21n 2

1

2n2

1

)1n2(!)!n2(

!)!1n2(

=

=8

9

2

3

12

. Deoarece (2n + 2)! = (2n - 1)!!(2n)!!(2n + 1)(2n + 2) rezult c suma cerut este

8

9

2

3

12

.

Exerciiul 2.3.8.S se dezvolte n serie de puteri ale luixfuncia

f(x) =

2

x

xarcsin

.

Indicaie:

7/23/2019 Tema2_C

4/4

Folosind dezvoltarea funciei arcsin x, pentru x 0, se obine dezvoltarea n serie de puteri a

funcieix

xarcsini apoi se ridic la ptrat.

Exerciiul 2.3.9.S se calculeze cu trei zecimale exacte integralele urmtoare:

a)

2

0

dxx

xsin b)

1

04x1

dx

c)

4/1

0

x dxe2

d) 1

1,0

x

dxx

e

R. a) 1, 605; b) 0, 927; c) 0, 244; d) 3, 518