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Teorema Fundamental do Cálculo Cálculo 2Prof. Aline Paliga

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Page 1: Teorema Fundamental do Cálculo · 2012. 11. 11. · Cálculo Diferencial Problema de área Cálculo Integral Tem relação! Isaac Barrow

Teorema Fundamental do Cálculo

Cálculo 2– Prof. Aline Paliga

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Introdução

Problema da tangente

Cálculo Diferencial

Problema de área

Cálculo Integral

Tem relação!

Isaac Barrow

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Introdução

Isaac Newton Leibniz

Método sistemático

2.1 Parte 1

2.2 Parte 2

2.3 Integrais Indefinidas

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2.1 TFC - Parte 1

( ) ( )x

aF x f t dt

TEOREMA FUNDAMENTAL DE CÁLCULO – PARTE 1 Se f for contínua em [a,b], então a função F definida por: é contínua em [a,b] e diferenciável em (a, b) e F’(x)=f(x), isto é, F é a antiderivada de f.

( ) ' ( ) ou ( ) ( )x x

a a

df t dt f x f t dt f x

dx

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( ) ( )x

aF x f t dt

Seja uma função f contínua em [a,b] e defina uma nova função F por: onde a≤x≤b. Observe que F depende somente de x, que aparece como variável superior do limite da integral. Se x for um número fixado, então a integral é um número definido. Se variarmos x, o número da integral acima também varia e define uma função de x denotada por F(x). F(x) pode ser interpretada como a área sob o gráfico de f de a até x, onde x pode varia de a até b - “função área até aqui” Sabemos a definição da derivada:

0

( ) ( )'( ) lim

h

F x h F xF x

h

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( ) ( ) ( )F x h F x hf x

A fim de computar F’(x) da definição de derivada: quando o h é pequeno! Intuitivamente, portanto, esperamos que

( ) ( )( )

F x h F xf x

h

0

( ) ( )'( ) lim ( )

h

F x h F xF x f x

h

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TEOREMA FUNDAMENTAL DE CÁLCULO – PARTE 2 Se f for contínua em [a,b], então: onde F é qualquer antiderivada (ou primitiva), isto é, uma função tal que F’=f.

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a

2.2 TFC - Parte 2

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Vejamos um exemplo que ilustra o quanto é razoável a parte 2 do TFC: Sabemos que a velocidade é a taxa da variação do espaço sobre o tempo, isto é v(t)=s’(t). Vimos na aula anterior que fornecia o deslocamento ocorrido no intervalo de tempo [a,b]. Se calcularmos também temos o deslocamento ocorrido nesse intervalo. Deste modo é razoável pensar que:

( )b

av t dx

( ) ( ) ( )b

av t dx s b s a

Notações comuns:

( ) ( ) ( ) e F(x)bb

a aF b F a F x

( ) ( )s b s a

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EXEMPLO 1: Ache a área sob a parábola y=x2 de 0 a 1. RESOLUÇÃO: Sabemos que é a antiderivada de

3

( )3

xF x

2( )f x x

13 3 3

12

00

x 1 0 1

3 3 3 3A x dx

( ) ( ) ( ) TFC2b

af x dx F b F a

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Então, do TFC podemos estabelecer que se tomarmos uma função F, a diferenciarmos e depois integrarmos o resultado, chegaremos de volta à função original F.

DIFERENCIAÇÃO INTEGRAÇÃO

PROCESSOS INVERSOS

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Precisamos de uma notação mais conveniente para as antiderivadas que as tornem fáceis de serem trabalhadas. Devido à relação dada pelo TFC entre antiderivadas e integrais, a notação é tradicionalmente usada para uma antiderivada de f e é chamada de integral indefinida. Por exemplo: pois Portanto podemos olhar uma integral indefinida como uma família de funções (uma antiderivada para cada valor de constante C).

2.3 Integral Indefinida

( )f x dx

32

3

xx dx C

32

3

d xC x

dx

( )f x ( )F x ( )f x

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Se é a antiderivada de pois e se também é antiderivada de pois Então F e G são antiderivadas de f e sabemos que diferem por uma constante C.

( ) ( )

'( ) '( )

G x F x C

G x F x

2( )F x x ( ) 2f x x '( ) 2 ( )F x x f x 2( ) 100G x x ( ) 2f x x '( ) 2 ( )G x x f x

IMPORTANTE: INTEGRAL DEFINIDA é um número. INTEGRAL INDEFINIDA é uma família de funções.

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TABELA DE INTEGRAIS INDEFINIDAS:

( ) ( )cf x dx c f x dx

kdx kx C 1

( 1)1

nn x

x dx C nn

x xe dx e C

cos xsen x dx C

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

2sec xx dx tg C

1ln dx x C

x

ln

xx a

a dx Ca

cos x dx sen x C

2cossec cotx dx g C