teoria

SISTEMAS DE CONTROLAPLICADO II

ING. ANDRES LLERENA

INTEGRANTES:

ANDREA MAYORGA

MARCELO GUERRON

ALEJANDRO CALISTO

LUIS MONTOYA

2014-07-14

1

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO II TEORIA

Indice

1. SISTEMAS DE CONTROL APLICADO 51.1. PROCESO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. VARIABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. VARIABLE MANIPULADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. VARIABLE DE CARGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. SISTEMAS DE CONTROL LAZO CERRADO 5

3. FALLAS DE CONTROL CLASICO ANALOGICO 63.1. COMPONENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2. DIAGRAMA DE BLOQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. SISTEMAS DE CONTROL LAZO ABIERTO 74.1. CARACTERISTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5. SISTEMAS DE CONTROL LAZO CERRADO 85.1. DIAGRAMA DE BLOQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.2. CARACTERISTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6. TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROL 86.1. SISTEMAS DE CONTROL VARIANTES E INVARIANTES EN EL TIEMPO 8

6.1.1. VARIANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.1.2. INVARIANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6.2. SISTEMAS DE CONTROL UNIVARIABLE Y MULTIVARIABLE . . . . . . . 96.2.1. UNIVARIABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.2.2. MULTIVARIABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.3. SISTEMAS DE CONTROL CONTINUOS Y DISCRETOS . . . . . . . . . . . . 96.3.1. CONTINUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.3.2. DISCRETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.4. SISTEMAS DE CONTROL CAUSALES Y NO CAUSALES . . . . . . . . . . . 96.4.1. CAUSALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.4.2. NO CAUSALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.5. SISTEMAS ESTABLES - INESTABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.5.1. ESTABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.5.2. INESTABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7. DIAGRAMA DE BLOQUES 97.1. FUNCION DE TRANSFERENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.2. TRASADO DE DIAGRAMA DE BLOQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.3. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.3.1. Ejer. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.3.2. Ejer. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7.4. ALGEBRA DE BLOQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.5. REDUCCION DE DIAGRAMA DE BLOQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

ING. ANDRES LLERENA 2 ∂ℑ


7.5.1. EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8. GRAFICOS DE FLUJO DE SENAL 208.1. EJERCICIO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218.2. EJERCICIO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228.3. FLUJO DE SENAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.4. DIAGRAMA DE FLUJO A DIAGRAMA DE SENAL . . . . . . . . . . . . . . 27

8.4.1. EJERCICIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.4.2. EJERCICIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

9. MODELAMIENTO FISICO DE SISTEMAS 319.1. Pasos a seguir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319.2. Sistemas Mecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9.2.1. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329.3. FUNCION DE TRANSFERENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.4. DIAGRAMA DE BLOQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9.4.1. EJERCICIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10.SISTEMAS ANALOGICOS 3510.1. EJERCICIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11.ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO 3911.1. TIPOS DE ENTRADA A LOS SISTEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.2. TIPOS DE SISTEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.3. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE RUTH HURRITZ . . . . . . . . . . . . . . 4111.4. ANALISIS EN LA PRIMERA COLUMNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4111.5. EJEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4211.6. EJEMPLO CASO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4311.7. EJEMPLO CASO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411.8. EJERCICIOS EN CLASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

12.DISENO DE LA GANANCIA DE UN SISTEMA MEDIANTE CRITERIODE RUTH HURTWITZ 4512.1. FUNCION DE TRANSFERENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4612.2. POLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.3. SISTEMA ESTABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.4. MARGINALMENTE ESTABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.5. LIMITADAMENTE ESTABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.6. POLOS DOMINANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.7. POLOS NO SIGNIFICATIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.8. ORDEN DE LOS SISTEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

12.8.1. UN POLO - PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112.8.2. DOS POLOS - SEGUNDO ORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

12.9. CLASES DE SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . . 5312.9.1. RESPUESTAS AL IMPULSO DE SEGUNDO ORDEN . . . . . . . . . . 55



12.10.CARACTERISTICAS DE RESPUESTA TRANSITORIA . . . . . . . . . . . . 5512.10.1.SISTEMAS ESTABLES CON UN ESCALON UNITARIO COMO EN-

TRADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.10.2.Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

13.TRABAJO EN CLASE 5713.1. ACCIONES BASICAS DE CONTROL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

13.1.1. SENAL DE CONTROL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.1.2. MODOS DE CONTROL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.1.3. LAZOS DE HISTERESIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5913.1.4. CONTROL PROPORCIONAL (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5913.1.5. REGLAS DE ZEIGLER-NICS-OLS PARA SINTONIZACION DE CON-

TROLADORES PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

14.DEBERES 6014.1. Deber 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

14.1.1. RETROALIMENTACION Y SUS EFECTOS . . . . . . . . . . . . . . . 6014.2. Deber 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

14.2.1. FORMULA DE MASON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.3. Deber 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64



1. SISTEMAS DE CONTROL APLICADO

1.1. PROCESO

Actividad que transforma una entrada a una salida, en una o mas variables asociadas cuyosvalores es necesario conocer y controlar. (Protocolo de pasos a seguir)

1.2. VARIABLE

Se refiere a la salida del sistema y es aquealla que ha de ser modificada su comportamientopor un optimo segun sean los comportamientos deseados.

1.3. VARIABLE MANIPULADA

Es aquella variable que se modifica o manipula para provocar un cambio sobre la variablecontrolada.

1.4. VARIABLE DE CARGA

Son todas aquellas variables que afectan a las variable controlada, menos a la que esta siendomanipulada.

2. SISTEMAS DE CONTROL LAZO CERRADO

Tiene retro alimentacion

Variable Controlada → T o del agua

Variable Manipulada → Valvula

Variable de Carga → Caudal de agua



3. FALLAS DE CONTROL CLASICO ANALOGICO

Rechazo a las perturbaciones

Errores en estado estable

Sensibilidad a cambios en parametros fısicos

Respuesta a trasientes

TRASIENTE EN SENAL ANALOGICA: Picos.- senales que cambian de amplitud quedanan a un sistemaSISTEMA DE CONTROL: Conjunto de elementos que interactuan para conseguir que lasalida de un proceso se comparte tal y como se desea mediante una accion de control.

3.1. COMPONENTES

Entradas o referencias → Agua Frıa

Salidas o variables controladas → Agua Caliente

Planta de proceso a controlar → Intercambiador de Calor

Controlador → Control

Actuadores → Valvula, Dispositivo que maneja la etapa de control

Transductores

Sensores

TRANSDUCTOR: Transforma senal a una senal electrica o variacion de voltaje.



3.2. DIAGRAMA DE BLOQUES

4. SISTEMAS DE CONTROL LAZO ABIERTO

Aquel en el cual la accion de control es independiente a la salida.

4.1. CARACTERISTICAS

Tiene la habilidad para ejecutar una accion con exactitud la cual esta determinada por sucalibracion

No es inestable

Son muy sencillos en su calibracion

Se debe conocer completamente el proceso

Afecta las perturbaciones

No se pueden controlar sistemas inestables

Mas costosos

DIAGRAMA: Aquı no existe retro-alimentacion



5. SISTEMAS DE CONTROL LAZO CERRADO

Son aquellas en las que la salida tiene efecto sobre la accion de control, a este efecto se lodenomina RETRO-ALIMENTACION


5.2. CARACTERISTICAS

Menos sensibles a perturbaciones externas y variacion de parametros internos

Sistemas inestables

Construccion mas compleja

6. TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROL

Lineales y NO lineales

Pueden describirse con ecuaciones diferenciales lineales, cumplen con el principio de superposicion y su estudio se lo puede hacer mediante el estudio de modelos matematicos y graficos.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION: El total es igual a la suma de los parciales.

6.1. SISTEMAS DE CONTROL VARIANTES E INVARIANTESEN EL TIEMPO

6.1.1. VARIANTES

Variantes en el tiempo, son inconstantes

6.1.2. INVARIANTES

No varian en el tiempo, son constantes



6.2. SISTEMAS DE CONTROL UNIVARIABLE YMULTIVARIA-BLE

6.2.1. UNIVARIABLE

Una sola variable SiSo (SINGLE IN - SINGLE OUT)

6.2.2. MULTIVARIABLE

simo (SINGLE IN - MULTIPLE OUT), mimo (MULTIPLE IN - MULTIPLE OUT), miso(MULTIPLE IN - SINGLE OUT)

6.3. SISTEMAS DE CONTROL CONTINUOS Y DISCRETOS

6.3.1. CONTINUO

Todas las variables son en funcion del tiempo

6.3.2. DISCRETO

Abarca una o mas variables que son conocidas solo en instantes conretos del tiempo

6.4. SISTEMAS DE CONTROL CAUSALES Y NO CAUSALES

6.4.1. CAUSALES

La salida solo depende de instantes pasados o actuales de la entrada

6.4.2. NO CAUSALES

Dependen de cualquier instante temporal de la entrada para conocer la salida se ha necesi-tado analizar la entrada.

6.5. SISTEMAS ESTABLES - INESTABLES

6.5.1. ESTABLES

Una entrada estable y salida constante en el tiempo.

6.5.2. INESTABLES

Entrada inestables y salida inconstante en el tiempo.

7. DIAGRAMA DE BLOQUES

Representaciones graficas que permiten conocer la relacion causa efecto entre la entrada ysalida.



1. F(s) Son los componentes de la trayectoria directa que generan la senales de controlaplicadas a la planta.

2. A(s) Senal de control, que es la senal de salida de los elementos de control.

3. H(s) Son los elementos de retro-alimentacion o elemento de medida y establece la relacionfuncional entre la salida y senal de retroalimentacion.

4. R(s) Es la senal de entrada o la de referencia y es una senal externa aplicada al sistemade control con re-alimentacion.

5. B(s) Senal primaria de re-alimentacion. Es una funcion de la salida C al atravesar elelemento de medida.

6. E(s) Senal de error. Es la diferencia entre la senal de entrada y la senal de re-alimentacion

7. G(s) Proceso .

8. C(s) Senal de salida del sistema.



7.1. FUNCION DE TRANSFERENCIA

Se define solo para sistemas invariantes en el tiempo, no tiene significado para los sitemaslineales

Al definir a la funcion de transferencia las condiciones lineales del sistema debe ser cero.

La funcion de transferencia es independiente de la entrada del sistema

G(s) =C(s)

R(s)

Donde

C(s) = A(s) ·G(s)

B(s) = C(s) ·H(s)

E(s) = R(s)−B(s)

A(s) = E(s) · F (s)

R(s) = E(s) +B(s)

Entonces

G(s) =A(s) ·G(s)

E(s) +B(s)

=E(s) · F (s) ·G(s)

E(s) + (A(s) ·G(s) ·H(s))

=E(s) · F (s) ·G(s)

1 + (F (s) ·G(s) ·H(s))

G(s) =C(s)

R(s)



M(s) =X(s) · P (s)

E(s) +B(s)

=A(s) ·G(s) · P (s)

E(s) + C(s) ·H(s)

=E(s) · F (s) ·G(s) · P (s)

E(s) + C(s) · C(s) · P (s)

7.2. TRASADO DE DIAGRAMA DE BLOQUE

Pasos para hallar diagramas

1. Hallar las ecuaciones diferenciales de cada componente del sistema.

2. Aplicar la transformada de LAPLACE bajo condiciones iniciales.

3. Representar individualmente el diagrama de bloque de cada ecuacion diferencial.

4. Unir los bloques de sus variables de entrada y de salida.



7.3. EJERCICIOS

7.3.1. Ejer. 1

1.

V1(s) = R1I1(s) +1

C(s)

(I1(s) − I2(s))

V1(s) = R1I1(s) +I1(s)C(s)

−I2(s)C(s)

V1(s) +I2(s)C(s)

= R1I1(s) +I1(s)C(s)

V1(s) +I2(s)C(s)

= I1(s)

(R1 +

1

C(s)

)

2.

0 =1

C(s)

(I2(s) − I1(s)) +R2(I2(s)) + L(s)(I2(s))

=I2(s)C(s)

−I1(s)C(s)

+R2(I2(s)) + L(s)(I2(s))

I1(s)C(s)

=I2(s)C(s)

(R2 + L(s) +

1

C(s)

)I2(s) =

{1

1 +R2C(s) + LCs2

}I(s)



3.

V0(s) = I2(s)L(s)

4. GRAFICO TOTAL

7.3.2. Ejer. 2



1.

V1(s) = R1I1(s) +1

C(s)

(I1(s) − I2(s))

V1(s) = R1I1(s) +I1(s)C(s)

−I2(s)C(s)

V1(s) +I2(s)C(s)

= I1(s) +{I1(s) +

1

C(s)

}

2.

0 =1

C(s)

(I2(s) − I1(s)) +R2(I2(s)) + I2(s){R3 + L(s)}

=I2(s)C(s)

−I1(s)C(s)

+R2(I2(s)) + I2(s)R3 + I2L(s)

I1(s)C(s)

=I2(s)C(s)

(R2 +R3 + L(s) +

1

C(s)

)I2(s) =

{1

1 +R2C(s) +R3C(s) + LCs2

}I(s)

3.

V0(s) = I2(R3 + L(s))



7.4. ALGEBRA DE BLOQUES

1.

2.

3.

a = d+ c a− c = d a+ c = dc = bf a− bF = d a+ bF = db = dG a− bF = b

Ga+ bF = b

G

d = bG

a = bG+ bF a = b

G− bF

a = b( 1G+ F ) a = b(1−F

G)

a = (1+GFG

)b a = b(1−FGG

)b = a( G

1+GF) b = a( G

1−FG)



4.

5.

7.5. REDUCCION DE DIAGRAMA DE BLOQUES

1. Desplazar los puntos de difulcacion y los puntos de suma

2. Intercambiar puntos de suma

3. Reducir lazos internos de retroalimentacion



7.5.1. EJERCICIOS



Ejercicio

1.

V1(s) = R1I1(s) +1

CS{I1(s) − I2(s)}

V1(s) = R1I1(s) +I1(s)CS

−I2(s)CS

V1(s) +I2(s)CS

= R1I1(s) +I1(s)CS

V1(s) +I2(s)CS

= I1(s)

{R1CS + 1

CS

}

2.

0 =1

CS{I2(s) − I1(s)}+R2I2(s)

0 =I2(s)CS

−I1(s)CS

+R2I2(s)

−I1(s)CS

= I2(s)

{1

CS+R2

}−I1(s)CS

= I2(s)

{1 +R2CS

CS

}I1(s) = I2(s)(1 +R2CS)

I2(s) = I1(s)

{1

1 +R2CS

}



3.

VO(s)= R2I2(s)

GRAFICO

8. GRAFICOS DE FLUJO DE SENAL

Es una forma alternativa de diagrma de bloques que simplifican la manipulacion de ecua-ciones de sistemas relativamente grandes.La diferencia radica en la forma como se dibujan las ecuaciones diferenciales.

NODO: Punto que representa una variable

VARIABLE: Voltaje y Corriente



TRANSMITANCIA: Es de la ganancia entre nodos

RAMA: Segmento de linea con direccion y sentido que une dos nodos

NODO ENTRANTE: Nodo donde salen ramas

NODO SALIENTE: Nodo donde entran ramas

GANANCIA DE LAZOS: Producto de transmitancia de un lazo

LAZOS DISJUNTOS: No poseen nodos en comun

TRAYECTO DIRECTO: Trayecto de un nodo de entrada a uno de salida, que pasa solouna vez por cada nodo que forma.

Ejemplo

y2 = t12y1 + t22y2 + t32y3 + t42y4

y3 = t23y2 + t33y3 + t43y4

y4 = t34y3

8.1. EJERCICIO 1



I =V

R−→ V = (∆)I ·R

I1(s) =V1(s)

R1

−→V1(s)

R1

−VA(s)

R1

I2(s) =VA(s)

− V3(s)

R3

−→VA(s)

R3

−V3(s)

R3

VA(s)= R2(I1(s) − I2(s)) −→ VA(s)

= R2I1(s) −R2I2(s)V0(s) = R4I2(s)

8.2. EJERCICIO 2



I1(s) =V1(s) − V2(s)

R1

→ I1(s) =V1(s)

R1

−V2(s)

R1

I2(s) =V2(s) − V3(s)

R1

→ I2(s) =V2(s)

Cs−

V3(s)

Cs→ I2(s) = V2(s)Cs− V3(s)Cs

I3(s) =V3(s)

R4

−V0(s)

R4

V2(s) =1

Cs

(I1(s) − I2(s)

)→ V2(s) =

I1(s)Cs

−I2(s)Cs

V3(s) = R4

(I2(s) − I3(s)

)→ V3(s) = R4I2(s) −R4I3(s)

V0(s) =1

CsI3(s)



CORRECCION

1.

V1(s) =1

Cs+ L1(s)(I1(s) − I2(s))

V1(s) =L1(s)

Cs+ L1(s)I1(s) − L1(s)I2(s)

V1(s) + L1(s)I2(s) =L1(s)

Cs+ L1(s)I1(s)

V1(s) + L1(s)I2(s) = I1(s)

(1 + L1(s)Cs2

CIS

)



2.

0 = L1(s)(I2(s) − I1(s)) +I2(s)C2s

+ L2(s)(I2(s) − I3(s))

0 = L1(s)I2(s) − L1(s)I1(s) +I2(s)C2s

+ L2SI2(s) − L2SI3(s)

I2(s)

(L1S +

1

Cs+ L2S

)= L1SI1(s) + L2SI3(s)

3.

0 = L2SI3(s) − L2SI2(s) +R1I2(s) +R2I2(s)L2SI2(s) = I3(s)(L2S +R1 +R2)

I3(s) = I2(s)L2S

L2S +R1 +R2



4.

V0(s) = R2I3

8.3. FLUJO DE SENAL

I1(s) =V1 − VA

1C1S

→ I1(s) = V1(s)C1S − VA(s)C1S

I2(s) =VA(s)

− VB(s)

1C1S

→ I2(s) = VA(s)C2S − VB(s)

C2S

I3(s) =VB(s)

− V0(s)

R1

→ I3(s) =VB(s)

R1

−V0(s)

R1

VA(s)= L1S(I1(s) − I2(s)) → VA(s)

= L1SI1(s) − L1I2(s)VB(s)

= L2S(I2(s) − I3(s)) → VB(s)= L2SI2(s) − L2SI3(s)

V0(s) = R2I3



8.4. DIAGRAMA DE FLUJO A DIAGRAMA DE SENAL

1.

C(s) = E1(s)G1(s) + E2(s)G2(s) + E3(s)G3(s)

2.



8.4.1. EJERCICIO

G(s) =C(s)

R(s)

=

∑Pn∆n

∆

=P1∆1 + P2∆2 + P3∆3

∆



1. Caminos Directos (P)

P1 = G1G2G3G4G5

P2 = G1G6G4G5

P3 = G1G2G7

2. Lazos

L1 = G4H1

L2 = −G2G7H2

L3 = −G6G4G5H2

L4 = −G2G3G4G5H2

3. Coeficiente

∆1 = 1

∆2 = 1

∆3 = 1− (−G4H1)

= 1 + (G4H1)

4. Lazos Disjuntos

L1,2 = (−G4H1)(−G2G7H2)

L1,2 = (G4H1)(G2G7H2)

Reemplazando tenemos

∆ = 1−∑

P1 +∑

P2 −∑

P3 + . . .

= 1− (L1 + L2 + L3 + L4) + (L1,2)

= 1 + (G4H1 + (G2G7H2 +G6G4G5H2 +G2G3G4G5H2)) + (L1,2)

= 1 + (G4H1 + {H2(G2H7 +G6G4G3 +G2G3G4G5)}) + (G4H2)(G2G7)

= 1 +G4H1 +H2(G2G7 +G6G4G3 +G2G3G4G5) +G4H1G2G7H2



G(s) = G1G2G3G4G5 +G1G6G5 +G1G2G7(1 +G4H1) + 1 +G4H1 + . . .

. . .+H2(G2G7 +G1G4G5 +G2G3G4G5) +G4H1G2G7H2

8.4.2. EJERCICIO

1. Caminos Directos (P)

P1 = G1G2G3

2. Lazos

L1 = −G1G2G3

L2 = −G1G2H1

L3 = −G2G3H2



3. Coeficiente

∆1 = 1

4. Lazos Disjuntos

No hay lazos

∆ = 1(L1 + L2 + L3)

9. MODELAMIENTO FISICO DE SISTEMAS

El modelo fısico o matematico de un sistema no es mas que un conjunto de ecuacionesmatematicos mediante las cuales podemos conocer el comportamiento del sistema.

VARIABLES DE ESTADO: Representacion interna y la funcion de transferencia que es larelacion entre la entrada y salida, puesto que los sistemas fısicos reales no son completamentelineales, en ocasiones sera necesario linealizar el sistema o bien limitar su intervalo de operaciona un dominio no lineal.

9.1. Pasos a seguir

Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Identificar las ecuaciones de equilibrio o leyes fısicas involucradas en el sistema

2. Siguiendo las ecuaciones de equilibrio plantear las ecuaciones integradiferenciales corres-pondientes a cada variable de interes.

3. Obtener las transformadas de LAPLACE de cada ecuacion.

4. Relacionar la entrada con la salida.

9.2. Sistemas Mecanicos

Sistemas de traslacion (d, v, a, F ),∑

F = ma

Sistemas de Rotacion (par, torque,W, α),∑

T = Jα



9.2.1. Ejercicio

Masa 1 ∑F1 = m1a

−FE1 − FB = m1a1

−K1(x1tx2t)−B(dx1(t)

dt−

dx2(t)

dt

)=

m1d2x1(t)

dt; (funcion tiempo)

−K1(x1(s)− x2(s))−B(sx1(s) + Sx2(s)) = m1s2x1(s) ; (LAPLACE en funcion)

K1x1(s) +K1x2(s)−Bsx1(s) +Bsx2(s) = m1s2x1(s)

K1x2(s) +Bsx2(s) = m1s2x1(s) +K1x1(s) + Bsx1(s)

x1(s)(ms12 + k1 +Bs) = x2(s)(K1 +Bs)



Donde

x1 = x2(s)K1 +B(s)

m1s2 +K1 +Bs

Masa 2 ∑F2 = m2a

f(t)− FE2 − FE1 − FB = m2a

f(t)−K2x2(t)−K1(x2(t)− x1(t))−B(dx2(t)

dt− dx1(t)

dt

)=

m2d2x2(t)

dtF (s)−K2x2(s)−K1x2(s) +K1x1(s)−BSx2(s) +BSx1(s) = m2s2x2(s)

K1x2(s) +m2s2x2(s) + k2x2(s) +Bsx2(s) = K1x1(s) + Bsx1(s) + F (s)

x2(s)(K1 +m2s2 +K2 +Bs) = x1(s)(K1 +Bs) + F (s)

Donde

x2(s) =1

K1 +m2s2 + k2 +Bs· F (s) + x1(s)−

K1 +Bs

K1 +m2s2 +K2 +Bs


x1(s) =K1 +Bs

K1 +Bs+m1s2︸︷︷︸G1

·x2(s)

x2(s) =1

K1 +K2 +Bs+m2s2︸︷︷︸G2

F (s) +K1 +Bs

K1 +K2 +Bs+m2s2︸︷︷︸G3

x1(s)

x1(s) = G1x2(s) (1)

x2(s) = G2F (s) +G3x1 (2)

x2 en 1

x1(s) = G1(G2F (s) +G3x1(s))

x1(s) = G1G2F (s) +G1G3x1(s)

x1(s) = G1G3x1(s)

x1(s) = G1G2F (s)

x1(s)

F (s)=

G1G2

(1−G1G3)




9.4.1. EJERCICIO

El sistema de la figura consiste en un disco montado sobre un eje fijo en uno de sus extremos,el mommento de inercia del disco es J , el borde del disco esta en contacto con una superficie yel coeficiente de friccion viscoso entre las dos superficies es B. Si se aplica un torque t al discose desea conocer el modelo matematico del sistema.



∑F = Jα

T (t)−Kθ(t)−Bdθ

dt=

Jd2θ

dt2

T (s)−Kθ(s)−Bsθ(s) = Js2θ(s)

Js2θ(s) +Kθ(s) + Bsθ(s) = T (s)

θ(s)(Js2 +K +Bs) = T (s)

⇒ θ(s)

T (s)=

1

Js2 +K +Bs

10. SISTEMAS ANALOGICOS

Son los sistemas que pueden representarse por los mismos modelos matematicos pero queson fısicamente diferentes.

La solucion de la ecuacion que describe un sistema fısico se puede aplicar directamente asistemas analogos de otro campo.

Se puede manejar un sistema determinado de manera mas facil a travez de un sistema electrico



MECANICO ELECTRICO



10.1. EJERCICIO

m1 : ∑F = ma

−K1(x1t − x2t)−B(dx1t

dt− dx2t

dt) =

m1d2x1t

dt

− 1

c1

(q1t − q2t

)−R

(dq1dt

− dq2dt

)= L1

d2q1dt2

− 1

c1

∫(i1 − i2)dt+R(i1 − i2) =

L1didt

m2 : ∑F2 = ma

f(t)− k2x2 − k1(x2 − x1)−B(dx2

dt− dx1

dt

)=

m2d2x2(t)

dt

e(t) =1

c2q2− 1

c1(q2 − q1)−R

(dq2dt

− dq1dt

)=

L2d2q2

dt

e(t)− 1

c2

∫i2tdt−

1

c1

∫(i2 − i1)dt−R(i2 − i1) = L2

di2dt



m1 : ∑F = m1a1

−k1(x1(t) − x2(t))−B(dx1(t)

dt−

dx2(t)

dt

)=

m1d2x1(t)

dt2

− 1

L1

(Ψ1(t) −Ψ2(t)

)− 1

R

(dΨ1(t)

dt−

dΨ2(t)

dt

)=

C1d2Ψ2(t)

dt2

1

L1

∫(i1 − i2)dt−

1

R(i1 − i2) =

C1di1dt

m2 : ∑F1 = m2a2

f(t)− k2x2 − k1(x2 − x1)−B(dx2

dt− dx1

dt

)=

m2d2x2(t)

dt2

i(t) −1

L2

Ψ2 −1

L1

(Ψ2 −Ψ1)−1

R

(dΨ2

dt− dΨ1

dt

)=

C2d2Ψ2(t)

dt

i(t) −1

L2

∫i2(t)dt−

1

L2

∫(i2 − i1)dt−

1

R(i2 − i1) =

1

R(i2 − i1) = C2

di2dt



11. ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO

Se lo conoce como la diferencia entre valor al cual debio llegar la respuesta y el valor realal que alcanzo un tiempo considerable



Cuando un sistema alcanza su equilibrio despues de una perturbacion, se dice que alcanzaestado estacionario.

11.1. TIPOS DE ENTRADA A LOS SISTEMAS



11.2. TIPOS DE SISTEMA

G(s)H(s) =k

s2

(bnsm + bn−2 + . . . . . . b1s+ b0

amsn + bm−1sn−2 + . . . . . . a1s+ a0

)El tipo del sistema esta determinado por el valor de la constante entera n

n es igual al numero de polos en el origen

G(s)H(s) =k

(s+ 1)(s+ 2)→ n = 0

=k

s(s+ 1)(s+ 2)→ n = 1

=k

s2(s+ 1)(s+ 2)→ n = 2

11.3. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE RUTH HURRITZ

CONDICIONES

1. Todos los coeficientes del polinomio deben tener el mismo signo

2. Ninguno de los coeficientes debe ser cero.Si 1 ∧ 2 no se cumplen del sistema es inestable

C(s)

R(s)=

bnsm + bn− 1sm−1 + . . . . . .+ b0amsn + am− 1sn−1 + . . . . . .+ a0︸︷︷︸

Polinomio Caracteristico

;n > m

6s6 + 5s5 + 4s4 + 2s3 + s2 + s+ 1

sn | an a−2n a−4

n b1 =(an−1)(an−2)−(an−an−3)

an−1

sn−1 | an−1 a−3n a−5

n

sn−2 | b1 b2 b3sn−3 | c1 c2 c3 b2 =

(an−1−an−4)−(an−an−5)an−1

sn−4 |

11.4. ANALISIS EN LA PRIMERA COLUMNA

s4| 1 3 5G(s) = 2s+1

s4+2s3+3s2+4s+5s3| 2 4 0

s2| 1b1 5b2 5s1| −6c1 0c2 5s0| 5d! 0d2 5

NOTA: Al existir una variacion de signo en el sistema, este es inestable



Al concluir el arreglo de Ruth Hartwirz, el numero de veces que cambia el signo en los elemen-tos de la primera columna del arreglo sera al numero de polos con lazo cerrado con parte realpositiva.

CASO 1: Cuando el primer termino de cualquiera de las filas es cero (tabla) y los demasno lo son, se podria continuar con la generacion de la regla.Para ello se continua con el calculo usado un elemento positivo muy pequeno llamado EPSI-LON (ϵ),esa estrategia tiene sentido dado que solo nos interesa el signo de los elementos de suprimera columna y no el valor.

CASO 2: Cuando un renglon e hace 0 se puede sustituir un polinomio auxiliar P (s), conla derivada del renglon anterior, en este caso las raices pueden ser imaginarias puras conjuga-das o reales de signo contrario.

11.5. EJEMPLO

G(s) =2s+ 1

s4 + s3 + 3s2 + 4s+ 5

1s4 + 2s3 + 3s2 + 4s+ 5

s4 1 3 5s3 2 4 0s2 1b1 5b2

s1 −6c1 0c2

s0 5d1

b1 =(2x3)− (1x4)

2= 1

b2 =(2x5)− (1x0)

2= 5

c1 =(1x4)− (2x5)

1= −6

c2 = ϕ

d1 =(−6x5)− (1x0)

−6= 5

Al existir 2 cambios de signo el sistema es inestable



Al concluir el arreglo de Ruth Hartwirz, el numero de veces que cambia el signo en los elemen-tos de la primera columna del arreglo sera al numero de polos con lazo cerrado con parte realpositiva.

CASO 1: Cuando el primer termino de cualquiera de las filas es cero (tabla) y los demasno lo son, se podria continuar con la generacion de la regla.Para ello se continua con el calculo usado un elemento positivo muy pequeno llamado EPSI-LON (ϵ),esa estrategia tiene sentido dado que solo nos interesa el signo de los elementos de suprimera columna y no el valor.

CASO 2: Cuando un renglon e hace 0 se puede sustituir un polinomio auxiliar P (s), conla derivada del renglon anterior, en este caso las raices pueden ser imaginarias puras conjuga-das o reales de signo contrario

11.6. EJEMPLO CASO 1

s3 − 3s+ 2 = ϕ

s3 1 −3s2 0ε 2

s1 −bb1i ϕb2

s0 2c1

b1 =(−3xε)− (1x2)

εb2 = ϕ

c1 =(−2xb1)− 0

−b1= 2

Existen 2 cambios de signo



11.7. EJEMPLO CASO 2

s3 + 2s2 + s+ 2

11.8. EJERCICIOS EN CLASE

1. s4 + s3 − 3s2 − s+ 2 = ϕ

2. s4 + 5s3 + 3s2 + s+ 10 = ϕ



3. s3 − 4s2 + s+ 6 = ϕ

4. S5 + 2S4 + 24S3 + 48S2 − 25S − 50 = 0

12. DISENO DE LA GANANCIA DE UN SISTEMA

MEDIANTE CRITERIO DE RUTH HURTWITZ

La ganancia K de un sistema puede ser manipulada para determinar la ubicacion de polosen lazos cerrados. Una manipulacion indiscriminada de K, puede llevar a la inestabilidad.

Para determinar el valor del cual se puede ajustar la ganancia se puede utilizar el criteriode Ruth Hurtwitz y utilizar los elementos de la primera columna para establecer las condicio-nes que evitarn un cambio de signo, se puede determinar el rango de valores permitidos de xcuando este se usa como parametro de ajuste del sistema.




s(s+ 1)(s+ 2) + k

(s2 + s)(s+ 2) + k

s3 + 2s2 + s2 + 2s+ k

s3 + 3s2 + 2s+ k



k(s2 + s)(s2 + 5s+ 6)

k((s4 + 5s3 + 6s2 + s3 + 5s2 + 6s))

k(s4 + 6s3 + 11s2 + 6s)

G

1 +GF→ k(s4 + 6s3 + 11s2 + 6s)

1 + k(s4 + 6s3 + 11s2 + 6s)

1. ks4 + 6ks3 + 11ks2 + 6ks+ 1

c1 =(10k · 6k)− (6k · 1)

10k

=60k2 − 6k

10=

3(10k − 1)

5c2 = ϕ b1) 10k > 0 → 0 < k

d1 = 1 c1) 30k − 3 > 0 → 1/10 < k



2. s4 + 6s3 + 11s2 + (6 + k)s+ 4k = 0

c1 =

(60−k6

· 6+k1

)− (6 · 4k)

60−k6

=360+60k−6k+k2

6− (24k)

60−k6

=360 + 90k − k2

60− k

b1 =(6x11)− (1x6 + k)

6

=60− k

6

b2 =(6x4k)− (1x0)

6= 4k



12.2. POLOS

1. s4 + s3 − 3s2 − s+ 2 = 0

2. s4 + 5s3 + 3s2 + s+ 10 = ϕ Pendiente

3. s3 − 4s2 + s+ 6 = ϕ

12.3. SISTEMA ESTABLE

Un sistema es estable cuando tiene todos los polos en el lado izquierdo.



12.4. MARGINALMENTE ESTABLE

Si existe una pareja simple de polos complejos conjugados sobre el eje imaginario estandolos polos restantes en el semiplano negativo.

12.5. LIMITADAMENTE ESTABLE

Si existe un solo polo en el bloque y el origen el resto en el semiplano negativo.

Los polos situados en el semiplano negativo originan respuestas que se atenuan mas rapidomientras mas alejadas esten del imaginario.

12.6. POLOS DOMINANTES

Son aquellos polos que estan mas cerca del eje imaginario.

12.7. POLOS NO SIGNIFICATIVOS

Cuando la distancia entre el dominante y el no significativo es de 5 a 10 veces mayor que ladistancia del Polo dominante al cero.



12.8. ORDEN DE LOS SISTEMAS

Depende del numero de polos, (raices en el denominador) cuando tiene un polo se llamade primer orden, cuando tiene dos polos de segundo orden, cuando tiene tres o mas de ordensuperior.

12.8.1. UN POLO - PRIMER ORDEN



12.8.2. DOS POLOS - SEGUNDO ORDEN

Se distingue:θ Angulo que forma el polo respecto al origenSiempre T > 0, constante de amortiguamientowd Frecuencia Amortigua

G(s) =kw2

n

s2 + 2εwns+ w2n

=k

1w2

ns2 + 2ε

wns+ 1



s1 − 2 =−b±

√b2 − 4ac

2a

=

−2εwn

± 2wn

√4ε2

w2n− 4

w2n

2wn

=−2ε±

√ε2−1

wn

2w2n

= ε±√ε2 − 1

= −ε±√(−1)(1− ε2)

= θ ± jwd

v = εwn ;wd =√1− ε2

ε =v

wn

; ε = cos(θ)

sin(θ) =wd

wn

; sin(θ) =wn

√ε2 − 1

wn

=√ε2 − 1 ; tan(θ) =

sin(θ)

cos(θ)=

√ε2 − 1

ε

SIMBOLOGIA

k: Ganancia estatica cuando epsilon ε > 0ε > 0: Coeficiente de Amortiguamientown > 0: Frecuencia natural del sistema, Distancia radial del origen al polo.

12.9. CLASES DE SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

a) Cuando ε > 1 para 2 raices se llama sistema sobre amortiguamiento.



b) Cuando ε = 1 tiene una raız doble y es un sistema criticamente amortiguado.

c) Si 0 < ε < 1 cuando tiene dos raices complejas conjugadas, es un sistema subamortiguado.

d) Si ε = 0 posee dos raices imaginarias es un sistema NO AMORTIGUADO y se lo conocetambien como sistema imaginalmente estable.

Cuando ε es cercano a 0 las respuestas del sistema son oscilatorias mientras que si se acercaa 1 el amortiguamiento de las oscilaciones es mayor hasta el punto de no presentarlas.



12.9.1. RESPUESTAS AL IMPULSO DE SEGUNDO ORDEN

a) ε > 1 (Sistema sobreamortiguado)

G(s) =C(s)

R(s)

C(s) = G(s)

C(t) =kwn

2√ε2−1

[e−(εwn−wn

√ε2−1) − e−(εwn+wn

√ε2−1)

]

b) ε = 1

C(t) =kw2

nt

ewnt= kw2

newnt

c) 0 < ε < 1

C(t) =kwn√1− s2

= sin(wnt)e−θt

d) ε = 0C(t) = kwn sin(wnt)

12.10. CARACTERISTICAS DE RESPUESTA TRANSITORIA

12.10.1. SISTEMAS ESTABLES CON UN ESCALON UNITARIO COMO EN-TRADA

Sobre Pico: (mp) Se define como la maxima desviacion de la salida con respecto a laentrada durante el estado transitorio.

mp = e−vπwd

%SOBREPICO =Sobrepico

V alor F inalx100

Tiempo de Retardo: (Td) Se lo define como el tiepo que se necesita para que la respuestaalcance el 50% de su valor final.Tiempo de Subida: (Ti) Tiempo necesario para que la respuesta aumente desde el 10% hatael 90% de su valor final.

ti =T · θwd

Tiempo de Establecimiento: (Ts) Tiempo necesario para que la respuesta decrezca y quededentro del intervalo especıfico del porcentaje de su valor final.

ts(I2%) =3

σts(I5%) =

4

σ



Tiempo de Pico: (Tp) Es el tiempo que toma el sistema para alcanzar el valor maximo.

12.10.2. Ejercicio

G(s) =k

1w2

ns2 + 2ε

wns+ 1

⇒ G(s) =1

s(s+ 1)

G(s) =

1s(s+1)

1 + 1s(s+1)

⇒ G(s) =1

s2 + s+ 1

1 = 1w2

n→ wn = 1 1 = 2ε

wn→ ε = 1

2

σ = εwn = 12· 1 = 1

2ε = cos(θ) → θ = cos−1(1

2) = 1,05rad

wd = wn

√1− ε2 → 1

√1− 0,252 = 0,26rad/s T1 =

π·θwd

= T1π−1,050,86

= 2,43s

Tp =πwd

= 3,65s Ts(2%) = 3σ→ 6s

Ts(5%) = 4σ→ 8s Mp = e

θπwd = 0,16



13. TRABAJO EN CLASE

G(s) =

1s(s−1)

11+ 1

s(s−1)

=

1s(s−1)

s(s−1)+1s(s−1)

=1

s(s− 1) + 1

=1

s2 + s+ 1

G(s) =1

1w2

ns2 + 2ε

wns+ 1

;1

w2n

= 1

2ε

wn

= −1 → ε =−wn

2= −1

2

θ = εwn = −1

2(1) = −1

2

ε = cos(θ) → cos(θ) = −1

2; θ = 2,05rad

wn = wn

√1− ε2 → wd = 1

√1− (

1

2)2 = 0,86rad

tr =π · θwd

=(3,14− 2,05)rad

0,86rad/s= 1,12s

tp =π

wd

=3,14rad

0,86rad/s= 3,65s

ts(±2%) =3

σ=

3

−1/2= −6

ts(±5%) =4

σ=

4

−1/2= −8

MP = e−fracvπwd = e−1/2(π)0,86 = e1,82 = 6,2



Calcular C para que G(s) tenga ε = 0,7

G(s) =20

50Cs2 + (50C + 1)s+ 21=

0,955021Cs2 + 50C+1s

21+ 1

=k

1w2

ns2 + 2ε

50Cs+ 21

1

w2n

=50C + 1

21→ 21

50C=

w2n

1(1)

1ε

wn

=50c+ 1

21→ wn =

29,4

50C + 1(2)

(2) en (1)

864,36

255c2 + 100C + 1=

21

50C

432,8C = 52500C2 + 2100C + 21

52500C2 − 43218C + 2100C + 21 = 1

52500C2 − 4118C + 20 = 0

C1 = 0,78

C2 = 5,11x10−4

13.1. ACCIONES BASICAS DE CONTROL

Son 3:

Estabilidad

Exactitud: Es la diferencia mınima entre el valor real y el valor obtenido.

Velocidad de Respuesta: Tiempo que tarda el proceso en estabilizar el sistema.

Desafortunadamente en los casos reales cuando se mejora una de estas premisas una de lasotras se degrada por lo que es necesario establecer un compromiso que satisfaga en la medidade lo posible las especificaciones funcionales del sistema. FIGURA 99

13.1.1. SENAL DE CONTROL

Es aquella que indica a los elementos finales de control, la forma en la que desea actuar.

13.1.2. MODOS DE CONTROL

Controladores on-off

Control Proporcional (P)

Control Integral (I)



Control Proporcional Integral (PI)

Control Proporcional derivativo (PID)

Control Derivativo (PD)

Control on-off: Tiene dos posiciones fijas. Cuando el error es positivoCuando el error es negativo

m(t)

{mi e(t) > 0−mi e(t) < 0

Este tipo de control puede ser utilizado sin problemas en un sistema donde la oscilacion propia deestos controladores alrededor de senales de error cero no ocasione problemas, tanto al elementofinal de control como el sistema mismo.

m(t)

mi m e(t) > bm0 0 |e(t)| < bm−mi −m e(t) < −bm

13.1.3. LAZOS DE HISTERESIS

m(t)

{mi e(t) > bm0 e(t) < −bm

13.1.4. CONTROL PROPORCIONAL (P)

El efecto que la accion proporcional (P) tiene sobre el comportamiento de los sistemas es lade incrementar la exactitud sobre los mismos, provocando tambien en la mayoria de los casosun incremento de la velocidad adjunto a un decremento de la estabilidad.

NOTA: Aumenta la velocidad de respuesta pero disminuye la estabilidad.

m(t) = kpe(t)

M(s)

E(s)= kp

13.1.5. REGLAS DE ZEIGLER-NICS-OLS PARA SINTONIZACION DE CON-TROLADORES PID

FIGURA Sirve para determinar el valor de kp,TI,TD, basado en las caracteristicas tran-sitorias de una planta dada. FIGURA Se aplicara sı la planta no incluye integradores o polosdeterminantes complejos.

La curva de respuesta al escalon unitario tendra las siguientes caracterısticas: Donde k esel valor finalL es el tiempo de atrasoT constante de tiempo



14. DEBERES

14.1. Deber 1

14.1.1. RETROALIMENTACION Y SUS EFECTOS

En la teoria de sistemas, en cibernetica y en la teorıa de control, entre otras disciplinas laretroalimentacion o realimentacion es un mecanismo de control de los sistemas dinamicos porla cual una cierta senal de salida se redirige a la entrada, y asi regula su comportamiento.

La retroalimentacion se produce cuando las salidas del sistema o la influencia de las salidasdel sistema en el contexto, vuelven a ingresar al sistema como recursos o informacion.

La retroalimentacion permite el control de un sistema y que el mismo tome medidas de co-rreccion con base en la informacion retroalimentada.

EFECTOS

Reduccion de la sensibilidad a las variaciones de los parametros de la planta (Se usa lafuncion de sensibilidad)

Reduccion de la sensibilidad a las perturbaciones de salida

Capacidad de controlar el ancho de banda

Capacidad para controlar la respuesta transitoria del sistema.

LAZO ABIERTO

LAZO CERRADO



La retroalimentacion no solo se reduce la diferencia entre valor deseado y el valor real,tambien tiene efectos en las caracteristicas de desempeno del sistema, como la ganancia, laestabilidad, la sensibilidad y el rechazo a perturbaciones.

Relacion salida-entrada en sistemas de lazo abierto (caso estatico)

Y

G

Relacion salida-entrada en sistemas de lazo cerrado (caso estatico)

Y = eG

= (R− b)

= RG− Y GH

Y (1 +GH) = RG

Y

R=

G

1 +GH



La relacion es muy diferente a la de lazo abiertoEfecto sobre la ganancia total

La retroalimentacion afecta la ganancia G de un sistema no realimentado por un factor 1+GH.El efecto general de la realimentacion puede disminuir o aumentar la ganancia global.

Efecto de la realimentacion sobre la estabilidad

Muchas veces la realimentacion puede hacer que un sistema estable se haga inestable la re-alimentacion puede mejorar la estabilidad o puede perjudicarla.

Efecto de la realimentacion sobre la sensibilidad

El sistema de control tiene que ser insensible a la variacion de parametros pero al mismotiempo mantener la sensibilidad a las variaciones de la entrada. La sensibilidad de la gananciatotal ”GT”se define como:

SGT =Porcentaje de cambio en GT

Porcentaje de cambio en G

Efecto de la realimentacion sobre perturbaciones externas a ruido

En lazo abierto la salida Y debida solo a la accion de perturbacion es:

Y = nG2

Con realimentacion la salida del sistema debido solo a la perturbacion es

Y =G2

1 +G1G2H

Sistema realmente con perturbacionesPor lo que el efecto danino de perturbaciones puede aminorarse.



14.2. Deber 2

14.2.1. FORMULA DE MASON

La formula de mason (formula de ganancia) es un metodo para encontrar la relacion entrelas variables (funcion de transferencia) cuando disponemos del diagrama de flujo de senal.Se usa como una frecuencia en la teoria de control tras haber sido obtenida pro Samuel JeffersonMason. Tambien puede ser empleada utilizando el diagrama de bloques.Se trata de un metodo alternativo a la resolucion de las ecuaciones algebraicas que puede sermas o menos complicado en funcion del sistema que estudiemos.

FORMULA

G =ysalidayentrada

=

∑Nk=1(Gk∆k)

∆

∆ = 1−∑

Li +∑

LiLj −∑

LiLjLk + . . . . . .+ (−1)m∑

. . .+ . . .

Donde:∆ = determinante graficoyentrada =variable de entradaysalida =variablde de salidaG =ganancia completa entre las variables de entrada y salidaN =numero de trayectorias directas posibles entre la entrada y salidaGk =ganancia en la trayectoria directa k-esimaLi =ganancia de todos los lazos simplesLiLj =producto de ganancia de lazos disjuntos (que no se tocan, es decir, no comparten nodos)tomados de 2 en 2LiLjLk =producto de las ganancias de lazos disjuntos, tomados de 3 en 3∆k =determinante grafico para la trayectoria directa k-esima. Se define de la misma formaque el determinante grafico completo, solo que las ganancias sustituidas en las formulas son loslazos que no tocan a la trayectoria directa k-esima

USO: Para usar esta tecnica es necesario seguir estos pasos:

1. Contar las trayectorias directas y hallar sus ganancias. Estas son las respectivas Gk

2. Contar el numero de lazos y hallar sus ganancias. Estos son los Li (para un numero dei lazos). Contar todos los pares de lazos disjuntos, y hallar el producto de sus ganancias(LiLj). Lo mismo para los grupos de 3,4 etc. Lazos disjuntos.

3. Hallar ∆ y ∆k

4. Aplicar la formula



14.3. Deber 3

∑F = m1a1

−FE1 − FB − F (t) = m1a1

−k1(y(t))−B(ddy(t)dt

) + F (t) = m1a1

−k1y(s)Bsy(s) + F (s) = m1s2y(s)

F (s) = k1y(s) +Bsy(s) +m1s2y(s)

F (s) = y(s)(k1 +Bs+m1s2)

y(s) = F (s) · 1

k2 +B(s) +m1s2


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