teory graph
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Teory Graph
1/25
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang memiliki pokok
bahasan yang banyak penerapannya pada masa kini. Pemakaian teori graf telah
banyak dirasakan dalam berbagai ilmu. Salah satu topik menarik dalam teori graf
adalah melihat hubungan antara graf dengan suatu matriks. Pada dasarnya
hubungan antara graf dengan suatu matriks adalah terletak pada informasi yang
dapat diberikan, dengan kata lain kita akan merepresentasikan graf dalam suatu
matriks sehingga kita dapat melihat hal-hal yang mungkin dapat dengan mudah
kita ketahui.
Dari teori matriks tersebut dapat dibentuk suatu incidence matrices dan
matriks ketetanggaan dari graf. atriks ketetanggaan merupakan matriks yang
merepresentasikan ketetanggaan dari simpul!simpul yang terdapat pada graf,
yaitu apabila simpul!simpulnya bertetangga maka nilai dari entri pada matriks
adalah 1, "ika tidak bertetangga maka nilainya adalah #. $ncidence matrices tidak
memiliki banyak nilai untuk grafik berarah karena incidence matrices tidak
memberikan petun"uk ke arah mana sisi diarahkan. %adi sebuah incidence matrices
tidak memungkinkan kita untuk menciptakan kembali sebuah grafik berarah.
Selain itu, ada topik lain "uga yang tak kalah menarik yaitu pembahasan
mengenai hypercube dan gray code. Pada umumnya system ini digunakan dalam
prosesor, seperti prosesor pada k, untuk melalui komputer. Secara umum grid
m & n , untuk melalui m+n−2 prosesor. Sebuah konfigurasi yang "auh
lebih baik adalah hypercube. Sebuah n-hypercube dapat digunakan untuk
menghubungkan hingga 'n komputer.
(raph dari sebuah n-hypercube adalah konstruksi rekursif sebagai berikut)
*ntuk n = 1, itu me+akili satu titik oleh 1 dan yang lainnya oleh # sehingga kita
memiliki graph. *ntuk mengkontruksi tabel kebenaran , kita menemukan daftar
semua kremungkinan kombinasi dari pernyataan-pernyataan. *ntuk hal tersebut
kita bisa menggunakan notasi al"abar Boolean di mana "ika kita menggunakan
Teori (raf 1
-
8/18/2019 Teory Graph
2/25
notasi ini kita menggatika T dengan 1 dan dengan #, sehingga menghsilkan titik
dari hypercubes dari orde 1,',,dan /, selain menggunakan al"abar Boolean kita
"ubga bisa menggunakan peta 0arnaugh, atau menggunakan kontruksi grid
m
& n .
1.' umusan asalah
2dapun rumusan masalah yang penulis sampaikan berdasarkan latar
belakang di atas adalah )
1. 2pakah yang dimaksud incidence matrices3
2. 2pakah yang dimaksud matriks ketetanggaan3
3. Bagaimanakah pengaplikasian dari hypercubes dan gray code31. Tu"uan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah diatas, maka adapun tu"uan yang ingin
dicapai dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut )
1. emahami apa yang dimaksud dengan incidence matrices.
2. emahami apa yang dimaksud dengan matriks ketetanggaan.
3. engetahui pengaplikasian dari hypercubes dan gray codes.
1./ anfaat Penulisan
Dengan penulisan makalah ini, penulis dan pembaca akan mengetahui
konsep incidence matrices dan matriks ketetanggaan dan aplikasi
hypercubes dan gray codes. Dengan memahami konsep incidence matrices
dan matriks ketetanggaan dan aplikasi hypercubes dan gray code ini,
semoga pembaca dan penulis dapat menerapkan teori ini dalam proses
bela"ar dan pembela"aran.
Teori (raf '
-
8/18/2019 Teory Graph
3/25
BAB II
PEMBAHASAN
6.6 Incidence dan Adjacency matrices
Dalam bagian ini kita akan mendefinisikan dua matriks yang berhubungan
dengan graf, yaitu incidence matrices dan matriks ketetanggaan. Dalam setiap
kasus, kita akan menemukan salah satu matriks dan kita akan dapat memperoleh
graf. Bahkan kita akan menemukan matriks ketetanggaan dari graf yang matriks
representasinya hanya dari hubungan yang di+akili oleh graf. Dengan matriks
representasi untuk graf, semua matriks ini akan memiliki entri dari 1 atau #,
sehingga matriks mudah disimpan dalam komputer.
Definisi 6.!
isalkan G adalah graf, B adalah matriks yang pelabelan baris-barisnya oleh titik
dalam graf dan pelabelan kolom oleh sisi dalam graf. 4ntri dalam baris ke i dan
ke j dari kolom B 5dinotasikan dengan Bij6 adalah sama dengan 1 "ika titik ke i
adalah incidence sisi ke j dan # sebaliknya. atriks B disebut incidence matrices
graf G.
"#nt#$ 6.%
isalkan G adalah graf pada (ambar 7.7/, maka incidence matrices ditun"ukkan
pada (ambar 7.78.
FIGURE 6.64
Teori (raf
-
8/18/2019 Teory Graph
4/25
FIGURE 6.65
Hal ini mudah dilihat bahwa derajat titik adalah jumlah entri
dalam baris yang berlabel titik karena masing-masing 1 mewakili
incidence titik dalam sebuah sisi. %uga setiap kolom akan memiliki dua entri 1 didalamnya karena setiap sisi adalah incidence kedua titik.
0ita "uga dapat mencakup matriks ketetanggaan untuk graf dengan loop.
Sangat mudah untuk mengatakan dari incidence matrices sisi adalah loop "ika dan
hanya "ika ada satu entri 1 pada pelabelan kolom oleh sisi itu. Perhatikan bah+a
dalam incidence matrices untuk graf dengan loop, "umlah entri dalam baris
berlabel titik puncak yang diberikan tidak me+akili dera"at dari titik "ika ada loop
pada titik itu.
"#nt#$ 6.&
isalkan G adalah graf pada (ambar 7.77 dengan incidence matrices pada
(ambar 7.79
FIGURE 6.66
Teori (raf /
-
8/18/2019 Teory Graph
5/25
FIGURE 6.67
Perhatikan bah+a loop di e2 dan e5 menyebabkan pelabelan kolom oleh sisi ini
untuk memiliki satu entri 1 di dalamnya.
$ncidence matrices tidak memiliki banyak nilai untuk graf berarah karena
incidence matrices tidak memberikan petun"uk ke arah mana sisi diarahkan. %adi
sebuah incidence matrices tidak memungkinkan kita untuk menciptakan kembali
sebuah graf berarah. :amun hal ini tidak benar dari matriks ketetanggaan yang
sekarang kita definisikan.
Definisi 6.6'
isalkan G adalah graf 5graf berarah6, B adalah matriks yang pelabelan baris-
barisnya oleh titik dalam graf dan pelabelan kolom oleh titik yang sama dalam
urutan yang sama. 4ntri dalam baris ke-i dan kolom ke- j 5dinotasikan dengan Bij6
adalah sama dengan 1 "ika ada sisi 5sisi berarah6 dari titik puncak ke- i ke titik
puncak ke- j, dan # sebaliknya. atriks B disebut ad"acency matrices dari graf G.
"#nt#$ 6.61
isalkan G adalah graf pada (ambar 7.7;. 2d"acency matrices ditun"ukkan pada
(ambar 7.7
-
8/18/2019 Teory Graph
6/25
isalkan G grafik berarah pada (ambar 7.9#. 2d"acency matrices ditun"ukkan
pada (ambar 7.91.
FIGURE 6.70
FIGURE 6.71
Dalam banyak kasus label titik tidak penting. Dalam kasus seperti itu kami
akan memberikan matriks tanpa label. Dengan demikian matriks
adalah ad"acency matrices untuk graf berarah dengan empat titik dan delapan sisi.
0egunaan dari matriks ketetanggaan adalah untuk menemukan lintasan dari
pan"ang k tetap. =ontoh berikut memberi kita petun"uk untuk melakukan hal ini.
isalkan matriks
Teori (raf 7
-
8/18/2019 Teory Graph
7/25
%adilah matriks ketetanggaan untuk graf berarah G dengan titik v1 , v2 , v3 ,dan v4.
Lihat, dari contoh
Perhatikan nilai adalah 1 karena dan keduanya 1, yang berarti ada
sebuah sisi dari titik ke titik dan dari ke titik . >leh karena itu ada '
lintasan dari titik ke titik . Secara umum kita dapat melihat bah+a
"ika dan hanya "ika terdapat sedemikian sehingga , atau, dengan
kata lain, ada sisi dari titik ke titik dan dari ke titik . >leh karena itu, ada
' lintasan dari titik ke titik . Tapi untuk kita dapat memiliki
Teori (raf 9
-
8/18/2019 Teory Graph
8/25
Sehingga karena tidak ada sisi dari ke dan ke untuk sebarang
tertentu. Dengan kata lain ada ' lintasan dari titik ke titik . 0ami
menyimpulkan bah+a "ika terdapat ' lintasan dari titik ke titik dan
"ika tidak terdapat ' lintasan dari titik ke titik . Dalam model yang
serupa kita melihat bah+a "ika, kita menggunakan perkalian matriks biasa, maka
adalah "umlah nilai-nilai sehingga dan keduanya 1, sehingga "umlah
lintasan dari titik ke titik sepan"ang '.
(e#rema 6.63
isalkan ( adalah sebuah graf berarah dengan titik ?1, ?', ?, . . . ,?n dan matriks
ketetanggaan 2. Terdapat k-lintasan dari ?i ke ? " dimana "ika dan
hanya "ika untuk .
(e#rema6.6)
isalkan ( adalah sebuah graf berarah dengan titik ?1, ?', ?, . . . ,?n dan matriks
ketetanggaan 2. Terdapat mk-lintasan dari ?i ke ? " dimana "ika dan
hanya "ika untuk .
(e#rema 6.6
Teori (raf ;
-
8/18/2019 Teory Graph
9/25
isalkan ( adalah sebuah graf berarah dengan titik ?1, ?', ?, . . . ,?n dan matriks
ketetanggan 2. 2mbil . aka @ 1 "ika
dan hanya "ika terdapat lintasan dari ?i ke ? " .
(e#rema 6.66
isalkan ( adalah sebuah graf berarah dengan titik ?1, ?', ?, . . . ,?n dan matriks
ketetanggan 2. 2mbil , di mana $ adalah
matriks identitas perkalian. aka untuk setiap i dan " "ika dan hanya "ika( adalah 5strongly6 connected.
(e#rema 6.6!
isalkan ( adalah sebuah graph dengan titik ?1, ?', ?, . . . ,?n dan matriks
ketetanggaan 2. Seperti sebelumya, misalkan .
0emudian titik dapat diatur 5"ika perlu6 sehingga memiliki bentuk
Dimana masing-masing adalah matriks persegi yang sepan"ang diagonal
utamanya dari dan memiliki semua entri sama dengan 1. Sebagaimana
ditun"ukkan, setiap entri dari yang semua berada di luar dari semua sama
Teori (raf
-
8/18/2019 Teory Graph
10/25
dengan #. %uga 2 dapat dibagi men"adi blok dengan ukuran yang sama persis
seperti dan 2 memiliki bentuk
Dimana masing-masing memiliki bentuk yang sama seperti dan merupakan
matriks insiden komponen dari (, dan setiap entri dari 2 yang semua berada di
luar dari sama dengan #.
Bukti
%ika setiap titik ( dalam komponen yang sama ditempatkan bersama-sama,
maka terdapat sebuah lintasan antara dua titik. Blok matriks hanya terdiri
dari titik pelabelan baris dan kolom yang memiliki semua 1As sebagai entri .
Selan"utnya entri lain dalam baris yang sama atau kolom berlabel oleh salah satu
titik yang harus nol karena tidak ada lintasan dari salah satu titik lainnya ke titik
dalam komponen tersebut. 0arena blok Ter"adi di mana titik pelabelan baris
dan kolom adalah komponen yang sama, korespondensi blok saat 2 me+akili
graf atas komponen (. Seperti sebelumnya, dan untuk alasan yang sama, semua
entri lain dalam baris atau kolom yang sama sebagai salah satu titik yang harus
nol.
atriks dapat dihitung dengan
tapi ini bukan metode yang efisien. Sebuah metode yang "auh lebih baik adalah
algoritma arshall , "uga dikenal sebagai oy - algoritma arshall. *ntuk
melihat cara ker"anya, perhatikan matriks ketetanggaan pada (ambar 7.9'.
Teori (raf 1#
-
8/18/2019 Teory Graph
11/25
FIGURE 6.!"
atriks 2 merupakan himpunan setiap 1- lintasan. Selan"utnya kita ingin
mencari '-lintasan dimana titik puncak v1 merupakan gabungan dengan 1-lintasan
yang kita sudah punya. 0ita mulailah dengan kolom pertama. 2baikan 1 di baris
pertama, "ika ada 1 dalam baris i ke kolom pertama, maka ada sisi atau 1-lintasan
dari vi ke v1. 0arena ada 1 pada baris ketiga maka ada 1- lintasan dari v ke v1.
0ita sekarang melihat baris pertama. engabaikan 1 di kolom pertama, "ika ada 1
di kolom j maka ada sisi atau 1-lintasan dari v1 ke v ". Terdapat 1 di kolom
keempat, ada sisi dari v1 ke v/. %adi ada '- lintasan dari v melalui v1 ke v/. 0ita
dapat menyatakan ini dengan menempatkan 1 di baris ketiga pada kolom keempat,
"adi sekarang kita memperoleh matriks pada (ambar 7.9.
FIGURE 6.!#
0arena tidak ada selain 1 di kolom pertama atau baris pertama maka kita
telah menyelesaikan langkah ini. Terdapat 1 di setiap baris lain dari kolom
pertama, katakanlah baris ke- i dan "ika terdapat 1 dalam kolom lain dari baris
pertama, katakanlah kolom ke- j, kemudian kita akan menempatkan 1 di baris
ke-i pada kolom ke- j. Dalam contoh kita gunakan sebagai tambahan, kita
menambahkan baris pertama ke baris ketiga. Secara umum "ika ada 1 di baris ke- i
pada kolom pertama, maka kita tambahkan baris pertama ke baris ke-i.
Sekarang kita ingin mencari setiap lintasan dengan pan"angnya atau
kurang dari melalui ?1 dan ?' 5"ika ada6. 0ita mempertimbangkan kolom
kedua. engabaikan 1 di baris kedua, kita mencari 1 di setiap baris yang lain
pada kolom '. 0arena ada 1 di baris /, terdapat 1-lintasan dari ? / ke ?' atau '-
Teori (raf 11
-
8/18/2019 Teory Graph
12/25
lintasan dari ?/ melalui ?1 ke ?' , karena itu merupakan "alan kita memperoleh $As.
engabaikan 1 di kolom kedua, kita mencari 1 di setiap kolom lain pada baris '.
0arena ada 1 di kolom , terdapat 1 dari ?' ke ? atau '-lintasan dari ?' melalui
?. Di setiap khasus, terdapat lintasan dari ?/ ke ? seperti titik yang lintasannya
mele+ati ?1 dan ?'. 0ita "uga menun"ukkan dengan menempatkan 1 di keempat
baris pada kolom ketiga sehingga memperoleh matriks pada (ambar 7.9/.
*I+U,E 6.!)
0ita "uga bisa mencapai hal yang sama dengan menambahkan baris kedua
ke baris keempat. %ika terdapat 1 di baris 1 pada kolom ' dan 1 di kolom " pada
baris ', kita akan menambahkan baris ' ke baris i.
Demikian pula kita ingin mencari setiap lintasan pan"angnya / atau
kurang dari / melalui ?1 atau ?' atau ? 5"ika ada6. empertimbangkan kolom
ketiga dan baris ketiga. %ika ada 1 di baris i kolom dan 1 di kolom " baris ,
maka terdapat lintasan dari ?i ke ? yang hanya melalui titik ?1 atau ?' 5 "ika
ada 6. >leh karena itu terdapat lintasan dari ?i ke ? " dan 1 sampai ditempatkan
pada posisi 5i, "6. $ni sama dengan menambahkan setiap baris ke setiap baris
dengan 1 pada kolom . Terdapat 1 di kolom ketiga pada pertama dan keempat
baris, sehingga baris ditambahkan ke masing-masing baris ini. 0ita
memperoleh matri& pada (ambar 7.98.
FIGURE 6.!$
2khirnya sekarang kita ingin mencari setiap lintasan dengan pan"ang /
atau kurang dari nilai yang mele+ati ?1 atau ?' atau ? atau ?/ 5"ika ada6. :ilai
baris ke / ke setiap baris yang lain dimana terdapat 1 pada kolom ke / itu.
Teori (raf 1'
-
8/18/2019 Teory Graph
13/25
0ita menya"ikan ' algoritma untuk menghitung .
-ars$a A/#rit$m 1
1. Lihat kolom 1 pada !. Dimana terdapat 1 di sebuah baris pada kolom itu,
"umlahkan baris 1 sampai baris di mana itu ter"adi 1.
'. Lihat kolom ' dari matriks yang dibangun pada 516. Dimana ada 1 di
deretan kolom itu , "umlahkan baris ' sampai baris di mana itu ter"adi 1.
. Lihatlah kolom dari matriks yang dibangun pada 5'6. Dimana ada 1 di
deretan kolom itu, "umlahkan baris sampai baris di mana itu ter"adi 1.
/. Lan"utkan proses ini untuk melihat kolom berikutnya dalam matriks yang
dibangun sebelumnya dan di mana ada 1 di deretan kolom itu, tambahkan
baris sesuai dengan kolom yang diperiksa ke baris di mana 1 ter"adi.8. Lan"utkan sampai semua telah diperiksa
etode kedua menggunakan fakta yang di mulai dengan baris pertama dan kolom
dan "ika ada 1 baris i pada kolom pertama dan 1 kolom " pada baris pertama,
maka kita menempatkan 1 di baris ke-i kolom " pada matriks. Dengan kata lain
"ika 2i1 @ 1 dan 21" @ 1, maka himpunan 2i" @ 1. %ika sudah satu, maka kita
meninggalkannya 1. Cal ini setara dengan untuk setiap i dan setiap ",
, karena adalah 1 "ika dan hanya "ika 2i1 @ 1 dan
21" @ 1 dan # sebaliknya. enggunakan baris kedua dan kolom kita akan
menemukan nilai-nilai baru untuk 2i" dengan menggunakan oleh
. elan"utkan proses ini, kita dapat menggunakan
algoritma dengan mengikuti pseudocode.
-ars$a A/#rit$m 2
or @ 1 to
or @ 1 to
or @ 1 to
@ 5 6
4ndfor
4ndfor
4ndfor
Teori (raf 1
-
8/18/2019 Teory Graph
14/25
6.! Hy0erces and /ray c#de
Definisi 6.6% "arak diantara dua titik dalam sebuah graph adalah pan"ang dari
lintasan terpendek diantara dua titik.
Definisi 6.6& diameter dari sebuah graph adalah "arak terlebar diantara
sebarang dua titik dalam graph.
Pada umumnya prosesor tunggal hanya mampu melaksanakan satu
program pada satu +aktu, tetapi dalam banyak kasus kumpulan prosesor dapat
dihubungkan untuk ber"alan secara parallel sehingga program yang berbeda
dapat di"alankan di +aktu yang sama dan informasi dipertukarkan antar
prosesor. Suatu cara untuk terhubung ke komputer adalah dengan
menggabungkan mereka dalam seri sebuah cincin. etode ini memiliki
kelemahan dalam menyampaikan informasi dari satu prosesor ke yang lain,
mungkin perlu mele+ati beberapa prosesor untuk melakukannya. Dalam kasus
terburuk, informasi mungkin harus mele+ati setengah dari prosesor. Sedikit
perbaikan akan menggunakan kotak atau persegi pan"ang atau array prosesor
di mana prosesor ditempatkan pada setiap titik pada kotak. =ontoh kotak
seperti diberikan pada Ga"bar #.$%.
Ga"bar #.$%
$ni merupakan perbaikan, tetapi masih sering diperlukan untuk ber"alan
melalui se"umlah prosesor untuk menyampaikan informasi dari satu prosesor
ke prosesor yang lain. Ditun"ukkan sebelumnya 4 & 5 grid, mungkin perlu
untuk mele+ati delapan prosesor termasuk prosesor akhir. Secara umum, untuk
grid " & n, mungkin perlu untuk melalui " ' n-2 prosesor .
Sebuah konfigurasi yang "auh lebih baik adalah hypercube. Sebuah n-
hypercube dapat digunakan untuk menghubungkan hingga 'n komputer. (raph
Teori (raf 1/
-
8/18/2019 Teory Graph
15/25
dari sebuah n-hypercube adalah konstruksi rekursif sebagai berikut) *ntuk n =
1, itu me+akili satu titik oleh 1 dan yang lainnya oleh # sehingga kita memiliki
graph pada Ga"bar #.$1.
1
#
Ga"bar #.$1
Dengan demikian titik kami terdiri dari semua 1-string dari # dan 1.
*ntuk n @ ', kami me+akili titik dengan 11,1#,#1. Dan ## sehingga kita
memiliki graph pada Ga"bar #.$2 .
5#,#6 5#,16
51,#6 51,16
Ga"bar #.$2
Dengan demikian titik kami terdiri dari semua '-string dari # dan 1.
*ntuk n @ , kami me+akili titik-titik oleh 111,11#,1#1,1##,#11,#1#,##1,###,
sehingga kita memiliki graph pada Ga"bar #.$3.
Ga"bar #.$3
Teori (raf 18
-
8/18/2019 Teory Graph
16/25
Dengan demikian,titik kami terdiri dari semua -string dari # dan 1.
Perhatikan bah+a dua titik adalah ad"acent, "ika yang satu dapat diubah ke
yang lain dengan mengubah satu simbol dalam the string.
Dalam bab 1, ketika mengkonstruksi tabel kebenaran, kami menemukan
daftar semua kemungkinan kombinasi dari pernyataan-pernyataan.
%ika kita menggunakan notasi al"abar Boolean dan menggantikan T dengan 1
dan dengan #, kita menemukan bah+a kita menghasilkan titik dari
hypercubes dari order 1,',, dan /, yang kita singkat sebagai berikut.
>rder 1 >rder ' >rder >rder /
1
#
11
1##1
##
111
11#1#1
1##
#11
#1#
##1
###
1111
111#11#1
11##
1#11
1#1#
1##1
1###
#111
#11#
#1#1
#1##
##11
##1#
###1
####
0ami bahkan telah mendefinisikan apa artinya untuk poin ini men"adi
ad"acent untuk n @ ', , dan /. Perhatikan peta 0arnaugh)
( )(
* 11 1#
)p #1 ##
0ita fokus terhadap kotak mana yang ad"acent. %ika kita kembali
menggunakan 1 untuk T dan # untuk dan memberikan nilai p diikuti dengan
nilai E, maka nilai-nilai dalam me+akili di mana setiap kotak adalah benar.
Teori (raf 17
-
8/18/2019 Teory Graph
17/25
>leh karena itu setiap titik adalah ad"acent dengan titik lain "ika titik tersebut
ad"acent sebagai titik pada '-kubus.
Demikian pula untuk tiga ?ariabel dimana nilai p, E, dan r diberikan dalam
order, kita memiliki
( ( )( )(
* 111 11
#
1## 1#1
)p #1
1
#1
#
### ##1
r )r )r r
dan mengingat bah+a, untuk peta 0arnaugh, tabel +rapped around
sehingga kedua u"ung dianggap ad"acent, lagi dua titik ad"acent dalam tabelhanya "ika titik tersebut ad"acent sebagai titik pada -kubus.
engingat peta 0arnaugh untuk empat ?ariabel dan memberikan p, E, r,
dan s dalam order, kita sama memiliki
+ ( )( )(
p 111
1
11#
1
1##
1
1#1
1
p 111
#
11#
#
1##
#
1#1
#
)s
)p #11
#
#1#
#
###
#
##1
#
)s
)p #11
1
#1#
1
###
1
##1
1
s
)r )r
dan sekali lagi mengingat bah+a, untuk peta 0arnaugh, tabel +rapped around
sehingga kedua u"ung dianggap ad"acent dan bagian atas dan ba+ah adlah
ad"acent, kemudian lagi dua titik ad"acent di tabel hanya "ika mereka
berdekatan sebagai titik pada / -kubus.
Dengan menggunakan metode di atas, kita membangun urutan titik untuk
k '1- kubus dari urutan k-kubus sebagai berikut)
1. Tempatkan 1 di depan setiap titik dalam barisan titik di k-kubus. Titik
ad"acent di k-kubus tetap ad"acent dengan 1 di depan titik tersebut
dalam k F1- kubus.
Teori (raf 19
-
8/18/2019 Teory Graph
18/25
'. Tempatkan # di depan setiap titik dalam barisan titik di k-kubus. Titik
ad"acent di k-kubus tetap ad"acent dengan # di depan mereka dalam k F1-
kubus.
. Tempatkan bentuk barisan pada 5'6 setelah bentuk barisan pada 516.
0ita sekarang telah menemukan metode untuk mengkonstruksi
hypercubes dan untuk n = 1,2,3 dan 4, kita dapat menggunakan Peta
0arnaugh untuk menun"ukkan ketika titik ad"acent. *ntuk nG /, kita dapat
menggunakan langkah-langkah 516 - 56 di atas yang menghasilkan titik.
isalkan kita memiliki sebuah disk yang berputar, yang terbagi ke dalam
sektor, dan serangkaian sikat atau sinar laser mengirimkan kembali informasi
digital tentang seberapa "auh disk telah diputar. %ika string biner merekam penomoran sector ad"acent secara substansial berbeda, dalam arti bah+a ada
banyak perubahan dari digit indi?idual untuk pergi dari satu sektor ke
berikutnya, pembacaan diambil hanya seperti sektor ini berubah bisa
menghasilkan nomor sama sekali berbeda dari "umlah salah satu penentuan
sektor ini hanya memiliki satu perubahan digit antar sektor ad"acent.
Secara umum, bagaimanapun, titik dalam daftar di atas tidak ad"acent
satu sama lain. :amun kita dapat mengubah ini dengan membuat sedikit
perubahan dalam bagian 5'6 di atas. *ntuk membentuk titik dari k F1- kubus,
bukan menempatkan # di depan daftar untuk k-kubus, kita membalikkan daftar
untuk titik dari k-kubus sebelum menempatkan # di depan masing-masing
simpul. Sebagai contoh, dalam membentuk titik dari '-kubus, kita
menempatkan 1 di depan kolom untuk 1-cube )
1
#
dan kemudian membalikkan kolom untuk mendapatkan
#
1
Dan penempatan sembarang # didepan "adi hasil akhirnya
Teori (raf 1;
-
8/18/2019 Teory Graph
19/25
*ntuk mendapatkan titik untuk kubus berdimensi-, kita menempatkan
1 di depan list di atas untuk kubus berdimensi-' kemudian menempatkan # di
depan list terbalik untuk kubus berdimensi-'. Casil akhir dari kubus
berdimensi-
$ni mudah untuk membuktikannya cara ini akan selalu memberikan kita
urutan titik untuk kubus berdimensi- k yang mana kita akan sebut dengan
k -list , yang 516 setiap titik pada urutan adalah tetangga 5ad"acent6 untuk
titik berikutnya dan yang ke 5' 6 titik pertama pada urutan adalah tetangga
untuk titik terakhir pada urutan tersebut. enggunakan induksi kita mulai
dengan mengamati urutan titik pada kubus berdimensi-1 memang memiliki
seEuential properties . kita anggapk
- list untuk kubus yang berdimensi-
k memiliki properties. 0etika kita meletakan 1 di depan setiap titik pada
k - list untuk titik pada kubus berdimensi-
k , setiap titik pada urutan ini
tentu merupakan tetangga dengan urutan berikutnya. %uga ketika kita
membalikkan setiap titik tetap tetangga dengan titik berikutnya dan ketika #
Teori (raf 1
-
8/18/2019 Teory Graph
20/25
adalah diletakkan di depan setiap elemen pada list ini kebalikan titik,
kemudian setiap titik pada list tetap bertetangga dengan titik berikutnya.
4lemen pertama pada kebalikan untuk kubus berdimensi- k sama dengan
elemen terakhir pada k -list asli dengan 1 di depannya. Perbedaannya hanya
pada digit pertama dan dari sini bertetangga. Serupa elemen terakhir. Sama
dengan elemen pertama padak
-list dan 1 diletakkan di depan urutan elemen
pertama struktur dari kubus berdimensi- n di sebut (ray code untuk n.
Dengan demikian aturan kita untuk menkonstruksikan (ray code untuk
k +1 adalah
516 enempatkan 1 di depan setiap titik dalam list- k dari kubus
berdimensi- k . Tititk merupakan ad"acent pada kubus berdimensi- k
adalah tetap ad"acent dengan 1 di depannya pada kubus berdimensi-
k +1 .
5'6 enempatkan # di depan setiap titik terbalik dalam k -list dari
kubus berdimensi- k . Titik yang merupaka ad"acent pada kubus
berdimensi- k adalah tetap ad"acent dengan # di depannya pada kubus
berdimensi- k +1 .
56 enematkan urutan dibentuk 5'6 setelah urutan dibentuk pada 516
5/6 Setiap urutan sepasang titik pada kubus berdimensi- k +1 dengan
kubus berdimensi- k +1 merupakan ad"acent. %uga titik pertama pada
list berdimensi- k +1
ad"acent untuk titik terakhir pada list.
isalkan , -list dan kebalikan -list masing-masing adalah,
Teori (raf '#
-
8/18/2019 Teory Graph
21/25
dan
=atatan bah+a elemen pertama pada setiap list sama dengan elemen
terakhi pada list. enambahkan 1 di depan setiap titik pada list pertama dan #
di depan setiap titik pada list kedua dan menempatkan list kedua pada akhir
list pertama, kika memilik
Dan kita memiliki konstruksi untuk /- gray code
111 11' 1'' 1'1 ''1 ''' '1'
11 11111 1111# 111## 111#1 11##1 11### 11#1#
1' 1#111 1#11# 1#1## 1#1#1 1###1 1#### 1##1#
'' ##111 ##11# ##1## ##1#1 ####1 ##### ###1#
Teori (raf '1
-
8/18/2019 Teory Graph
22/25
2+al, kita menyebutkan sambungan komputer dalam grid atau mesh.
Dengan grid kita menun"ukan graph dengan m & n susunan titik yang
serupa itu tetangga dari dua titik dalam baris yang sama atau kolom yang
merupakan tetangga dari titik dalam graph. ungkin untuk m≤2i
dan
n≤2 j
untuk konsep subgraph dari kubus berdimensi- k +1 apakah
m & n merupakan grid3 0ita menemukan ini kontruksi peta 0arnaug. $ni
dengan mudah melengkapi label baris dengan elemen pertama m pada gray
code untuk k dan label kolom dengan elmen pertama n pada gray code
untuk l . 4lemen ( i , j ) t h pada grid adalah i label baris dan di ikuti
j label kolom. Demikianlah "ika kita menginginkan kontruksi grtid &9, itu
didapat dari
Dimana elemen ( i , j ) th pada grid merupakan elemen ( i , j ) th pada table. 0ita
memiliki contoh yang di sertai dengan teorema
(E,EMA 6.!' Setiap grid m & n adalah subgraph dari kubus yang
berdimensi- i+ j , dimana m≤2i
dan n≤2 j
.
(E,EMA 6.!1 Setiap hypercube untukn≥1 merupaka graps bipartisi
dimana dis"oint dari kumpulan titik terdiri dari kumpulan setiap titik yang di+akili oleh string yang berisi satu bilangan genap dan kumpulan setiap titik
yang di +akili oleh string berisi satu bilangan gan"il.
Teori (raf ''
-
8/18/2019 Teory Graph
23/25
BAB III
PENU(UP
.1 Simpulan
Dari rumusan masalah dan pembahasan di atas penulis dapat menarik kesimpulan sebagai berikut)
1. 2d"acency arices dari suatu graf berlabel dengan p titik
simpul, adalah matriks berukuran p&p, dengan "ika dan
untuk hal yang lain.
Teori (raf '
-
8/18/2019 Teory Graph
24/25
'. $ncidence atrices dari suatu graf berlabel dengan titik simpul
dan E sisi, adalah matriks berukuran E&E, dengan "ika entri
terkait dengan dan untuk hal yang lain.
. Definisi 6.6% "arak diantara dua titik dalam sebuah graph adalah
pan"ang dari lintasan terpendek diantara dua titik.
Definisi 6.6& diameter dari sebuah graph adalah "arak terlebar diantara
sebarang dua titik dalam graph.
(HE,EMA 6.!' Setiap gridm & n adalah subgraph dari
kubus yang berdimensi- i+ j , dimana m≤2i
dan n≤2 j
.
(E,EMA 6.!1 Setiap hypercube untuk n≥1 merupaka graps
bipartisi dimana dis"oint dari kumpulan titik terdiri dari kumpulan
setiap titik yang di +akili oleh string yang berisi satu bilangan genap
dan kumpulan setiap titik yang di +akili oleh string berisi satu bilangan
gan"il.
.' Saran
Dengan memahami konsep incidence matrices, matriks ketetanggaan dan
hypercube.. Diharapkan pembaca dan penulis dapat menerapkan teori ini dalam
proses bela"ar dan pembela"aran. Serta dalam penulisan makalah ini masih "auh
dari kesempurnaan, kritik dan saran pembaca sangat diharapkan untuk
penyusunan makalah berikutnya.
Daftar Pustaka
2nderson, %ames 2. iscrete /athe"atics 0ith o"binatorics.
http)HHdigilib.its.ac.idHpublicH$TS-*ndergraduate-'#
-
8/18/2019 Teory Graph
25/25