UNIVERSIDAD DE GRANADA Departamento de Didctica de la Matemtica

LA TEORA DE CONJUNTOS EN LA FORMACIN

DE MAESTROS: FACETAS Y FACTORES

CONDICIONANTES DEL ESTUDIO DE UNA TEORA

MATEMTICA

Tesis Doctoral

MARIO JOS ARRIECHE ALVARADO

Granada, 2002

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LA TEORA DE CONJUNTOS EN LA FORMACIN DE

MAESTROS: FACETAS Y FACTORES CONDICIONANTES DEL ESTUDIO DE UNA TEORA MATEMTICA

Tesis Doctoral

MEMORIA realizada bajo la direccin del Dr. Juan Daz Godino que presenta el profesor en la Especialidad de Matemticas D. Mario Jos Arrieche Alvarado para optar al grado de Doctor.

Esta tesis doctoral fue defendida el da 28 de Junio de 2002 en el Departamento de Didctica de la Matemtica de la Universidad de Granada ante el Tribunal formado por los doctores:

D. Juan Jos Acero Fernndez D. Martn M. Socas Robayna D Ins Sanz Lerma D Angustias Vallecillos Jimnez D Carmen Batanero Bernabeu

Recibi la calificacin de Sobresaliente cum Laude.

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Esta Tesis Doctoral ha sido realizada dentro del Grupo de Investigacin FQM-0126 del Plan Andaluz de Investigacin, "Teora de la Educacin Matemtica y Educacin Estadstica". Departamento de Didctica de la Matemtica de la Universidad de Granada. El autor es tambin beneficiario de la Fundacin Gran Mariscal de Ayacucho (Venezuela), institucin que otorga financiamiento a profesionales venezolanos para realizar estudios de postgrado en el exterior.

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Al Dios Todopoderoso que me permiti nacer, crecer y desarrollarme como persona adulta. Me dio la inteligencia y la sabidura necesaria para

hacerme un profesional. Adems, en su infinita fidelidad y misericordia me concedi la oportunidad de realizar satisfactoriamente mi Doctorado.

Quisiera destacar tambin que con la culminacin de esta tesis se cumple en mi vida esa promesa que el Seor nos hace en su Palabra, que expresa:

Ama al Seor con ternura, y l te cumplir tus deseos ms profundos (Salmo 37:4, tomado de la Versin Popular de la Biblia Dios Habla Hoy)

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AGRADECIMIENTOS A nuestro Seor Jesucristo, por haberme dado la salud, la sabidura, la inteligencia y la

fortaleza fsica necesaria para realizar exitosamente esta tesis.

A mi esposa por el entusiasmo que me dio y la paciencia que present durante la

realizacin de esta investigacin.

A mis hijos, Mario Jess y Mary Carmen, por su comprensin y la colaboracin que

me prestaron durante el tiempo de la realizacin de este trabajo.

A mi madre y hermanos (especialmente a Beln) por su apoyo y el entusiasmo que me

dieron para culminar satisfactoriamente esta investigacin.

A las autoridades de la UPEL-Maracay, y muy especialmente al Dr. Fredy Gonzlez,

por su apoyo moral y acadmico sin el cual hubiese sido imposible la

realizacin de mis estudios doctorales.

Al Dr. D. Juan Daz Godino, por haberme ayudado a seleccionar el tpico de este

trabajo, por sus valiosos aportes cientficos y su dedicacin incondicional a las

asesoras que me prest durante el desarrollo del mismo.

A la Dra. D. Carmen Batanero Bernabeu por la motivacin que me transmiti y por sus

valiosas contribuciones cientficas a la metodologa del estudio cognitivo de esta

investigacin.

Al Dr. D. Luis Rico Romero por sus oportunas observaciones y recomendaciones al

estudio epistemolgico y curricular de este trabajo. Tambin agradezco que

desde el Departamento de Didctica de la Matemtica de la Universidad de

Granada contribuy a mi aceptacin en este doctorado.

A la Dra. D. Angustias Vallecillos que desde el curso Anlisis de Datos me inici en el

anlisis e interpretacin de los resultados del cuestionario aplicado en el estudio

cognitivo de esta investigacin.

A la Dra. Mara Jess Caizarez y al Dr. Isidoro Segovia por el apoyo recibido para la

realizacin de esta investigacin.

Finalmente, quiero hacer un agradecimiento muy especial a los estudiantes de primer

ao, de los cursos 1998-1999, 1999-2000 y 2000-2001, del programa de

formacin de maestros de la Universidad de Granada, por la receptividad

mostrada en la aplicacin del cuestionario y la observacin realizada a su clase

de la asignatura Matemtica y su Didctica.

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RESUMEN

El problema que se aborda en esta investigacin se centra en un aspecto especfico de la formacin matemtica de los maestros: clarificar el papel que el lenguaje conjuntista debera tener en esa formacin. Con dicho fin se tienen en cuenta las facetas epistemolgica, curricular, instruccional y cognitiva, de cuyo anlisis se derivan conocimientos necesarios para la toma de decisiones sobre el problema didctico planteado. Puesto que la problemtica es muy amplia, nos hemos restringido al estudio de las relaciones de los conjuntos con los nmeros naturales, dado el carcter central que los nmeros desempea en la matemtica escolar, y por tanto en la formacin de maestros.

El marco terico desde el que se plantea el problema atribuye un papel esencial a los aspectos epistemolgicos, esto es, la indagacin de la naturaleza de los conocimientos matemticos objeto de investigacin. Por dicho motivo se analiza, en primer lugar, el papel de la teora de conjuntos en la propia matemtica, analizando su origen, los problemas abordados y la progresiva consolidacin del lenguaje conjuntista como elemento central de la matemtica. As mismo, se estudian las relaciones ecolgicas entre las nociones conjuntistas y las diversas construcciones de los nmeros naturales. Puesto que gran parte de la matemtica escolar se centr alrededor de la teora de conjuntos en la dcada de los 70 y 80, se estudian tambin los aspectos histricos y curriculares sobre la implantacin de la matemtica moderna en los programas de educacin matemtica bsica y su reflejo en los libros de textos en Espaa. Las facetas instruccional y cognitiva se abordan mediante el anlisis de un proceso de estudio de la teora de conjuntos y los nmeros naturales en un curso de formacin de maestros en la Facultad de Ciencias de la Educacin de Granada y la evaluacin final de los significados de una muestra de 122 estudiantes sobre las nociones conjuntistas elementales.

Nuestras conclusiones indican que la formacin matemtica de los maestros debera contemplar el estudio de las nociones bsicas de la teora de conjuntos, por el papel de las nociones conjuntistas en las diversas construcciones de los nmeros naturales. El estudio cognitivo muestra que las nociones conjuntistas presentan ndices de dificultad elevados para los maestros en formacin por lo que se requiere asignar un tiempo adecuado y mejorar las propuestas didcticas correspondientes.

El enfoque metodolgico implementado en esta investigacin se puede aplicar en problemas didcticos similares, en particular la tcnica de anlisis semitico aplicada en el anlisis de textos y transcripciones de las clases, que permite caracterizar significados sistmicos de los objetos matemticos y la identificacin de conflictos semiticos potenciales.

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LA TEORA DE CONJUNTOS EN LA FORMACIN DE MAESTROS: FACETAS Y FACTORES CONDICIONANTES

DEL ESTUDIO DE UNA TEORA MATEMTICA

INDICE Pgina

INTRODUCCIN GENERAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPTULO 1:

PROBLEMA DE INVESTIGACIN. ANTECEDENTES Y METODOLOGA

1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Gnesis del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Antecedentes de la investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1. Aspectos epistemolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2. Aspectos cognitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3. Aspectos curriculares e instruccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Marco terico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Objetivos e hiptesis de la investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6. Metodologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPTULO 2:

PAPEL DE LA TEORA DE CONJUNTOS EN LA MATEMTICA

2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Origen de la teora de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1. Problemas y desarrollos fundamentales que dieron origen a la teora de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2. Algunas paradojas presentadas en el surgimiento de la teora de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3. Principales teoras axiomticas de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.3. La teora de conjuntos en la matemtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1. Otros matemticos claves en el desarrollo de la teora de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2. Aplicaciones de la teora de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3. Importancia de la teora de conjuntos en la matemtica . . . . . . . .

2.4. Sntesis y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPTULO 3

USO DE NOCIONES CONJUNTISTAS EN LAS CONSTRUCCIONES DE LOS NMEROS NATURALES

3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Construccin de los nmeros naturales segn Gottlob Frege . . . . . . . . . . .

3.3. Construccin de los nmeros naturales segn Richard Dedekind . . . . . . . .

3.4. Construccin de los nmeros naturales segn Giuseppe Peano . . . . . . . . . .

3.5. Construccin de los nmeros naturales segn Hermann Weyl . . . . . . . . . .

3.6. Construccin de los nmeros naturales segn Paul Lorenzen . . . . . . . . . . .

3.7. Crticas sobre algunas definiciones de los nmeros naturales . . . . . . . . . . .

3.7.1. Crtica de Russell a la definicin de nmero por abstraccin . . . .

3.7.2. Crtica de Benacerraf a la definicin de nmero natural por Frege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8. Sntesis y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPTULO 4:

LA TEORA DE CONJUNTOS EN LA ENSEANZA DE LAS MATEMTICAS

4.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........

4.2. Cambios producidos en el currculo de matemticas a lo largo del siglo xx

4.3. Surgimiento de las matemticas modernas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.1. Comisin para el Estudio de la Mejora de la Enseanza de las Matemticas (CIEAEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.2. Coloquio de Royaumont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4. La teora de conjuntos en la enseanza de las matemticas . . . . . . . . . . . . .

4.4.1. Aportes del Centro Belga de Pedagoga Matemtica (CBPM) a la difusin y desarrollo del currculo de matemtica moderna . . . . . . . . .

4.4.2. Aportes del Comit Interamericano de Educacin Matemtica (CIAEM) a la difusin y desarrollo del currculo de matemtica moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.3. Crticas por algunos matemticos de la poca a los movimientos que emprendieron la reforma de la matemtica moderna . . . . . . . . . . .

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que emprendieron la reforma de la matemtica moderna . . . . . . . . . . .

4.5. La teora de conjuntos en los planes de formacin de maestros . . . .

4.5.1. La teora de conjuntos en el plan de formacin de maestros de la Universidad de Granada (Espaa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.2. La teora de conjuntos en el plan de formacin de maestros de la Universidad Pedaggica Experimental Libertador- ncleo Maracay (Venezuela) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6. Sntesis y conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPTULO 5:

USO DE PRAXEOLOGAS CONJUNTISTAS EN EL ESTUDIO ESCOLAR DE LOS NMEROS NATURALES. IMPLICACIONES PARA LA FORMACIN DE MAESTROS

5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2. Estudio de los conjuntos en textos de primaria en el perodo de vigencia de la matemtica moderna: su uso en la enseanza del sistema de los nmeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3. Uso de nociones conjuntistas en la enseanza actual de los nmeros naturales en educacin primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4. Sntesis y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPTULO 6:

LOS CONJUNTOS Y NMEROS NATURALES EN LA FORMACIN DE MAESTROS: UN ESTUDIO EXPERIMENTAL

6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2. Conocimientos conjuntistas a ensear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1. Unidades de anlisis, componentes praxeolgicos y conocimientos elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.2. Significado sistmico sobre Conjuntos y operaciones, Funciones, composicin y funciones biyectivas y Relaciones . . . . .

6.2.3. Sntesis de conocimientos y conflictos semiticos . . . . . . . . . . . .

6.3. Anlisis del proceso de estudio implementado por un profesor en la formacin de maestros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.1. Texto, unidades de anlisis y conocimientos puestos en juego en el proceso de estudio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.2 Sntesis de los conocimientos y patrones de interaccin involucrados en el proceso de estudio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4. Sntesis y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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CAPTULO 7:

SIGNIFICADOS PERSONALES DE LOS MAESTROS EN FORMACIN SOBRE NOCIONES CONJUNTISTAS

7. 1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2. Contexto instruccional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3. Metodologa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.1.Enfoque metodolgico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.2.Poblacin y muestra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

7.3.3.Instrumentos de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.Anlisis de datos. Discusin de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.1. Resultados globales de la prueba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.2.Anlisis de tems y fiabilidad de la prueba. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.3.Anlisis de errores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.4.Conclusiones sobre el anlisis de datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.Anlisis de las entrevistas. Discusin de resultados. . . . . . . . . . . . . . .

7.5.1.. Los objetivos y el guin de entrevistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.2. Anlisis de los resultados de las entrevistas. . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.3. Conclusiones de las entrevistas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6.Sntesis y conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONCLUSIONES GENERALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ANEXOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ANEXO 1: Documento de trabajo de los alumnos sobre conjuntos, relaciones y funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ANEXO 2: Descripcin de las clases observadas sobre conjuntos, relaciones, funciones y nmeros naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ANEXO 3: Cuestionario sobre conocimientos bsicos de la teora de conjuntos, relaciones y funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ANEXO 4: Transcripciones de las entrevistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INTRODUCCIN GENERAL

La teora de conjuntos desempea un papel esencial en la organizacin de los

conocimientos matemticos. Su importancia dentro de la propia matemtica como

lenguaje unificador de distintas ramas de esta ciencia hizo que en la reforma de la

enseanza conocida como "matemtica moderna", se diera especial nfasis a estos

contenidos en los currculos de enseanza secundaria y primaria en la dcada de los 60

y 70, y en algunos pases incluso en los 80. Sanz, Arrieta y Pardo (1988) indican que la

teora de conjuntos produce en las matemticas, ms que un cambio de contenidos, un

cambio de lenguaje: el lenguaje conjuntista. De esta manera, las rectas del plano son

consideradas como conjuntos de puntos; los nmeros, clases de equivalencia; las

operaciones, aplicaciones, etc.

La nocin de conjunto y las nociones relacionadas con este concepto forman

un puente entre la funcin cotidiana de la inteligencia y el pensamiento matemtico.

"Pero una vez hecha explcita la idea de conjunto, junto con las ideas que se derivan

inmediatamente de ella, se encontrar entre las ms positivas de todas para clarificar en

matemticas las ideas elementales y muchas de las avanzadas" (Skemp, 1980, p.150).

En los planes de formacin de maestros en Espaa el lenguaje algebraico-

conjuntista se introdujo en los primeros temas de los programas con un enfoque formal

y estructural para fundamentar el desarrollo de los restantes temas, mantenindose su

enseanza al menos en los currculos del perodo 1971-1993.

El currculo diseado sobre matemtica moderna tuvo una gran difusin

internacional (Sierra, 1989). Pero a partir de la dcada de los 80 se comienza a hablar

del "fracaso de la matemtica moderna". Es de hacer notar que, a pesar de la

importancia que la teora de conjuntos ha tenido en los diferentes niveles educativos, se

produjeron fuertes crticas a su enseanza en secundaria y primaria por prestigiosos

matemticos de la poca, tales como: Feynman (1965), Kline (1973), Freudenthal

(1983), etc. Como consecuencia de estas crticas se decide suprimir los contenidos

conjuntistas en estos niveles.

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No obstante, actualmente, en algunos pases se presenta el estudio de la teora

de conjuntos en los currculos de matemticas para la formacin de maestros de

primaria. As en textos para la formacin de maestros en Venezuela, como Rojas y

Salazar (1985), en EE.UU Krause (1991), Sonnabend (1993), Long y De Temple

(1995), en Espaa Nortes (1993), entre otros, se incluye un tema sobre conjuntos,

relaciones y aplicaciones.

La situacin antes descrita nos ha impulsado a proponer en esta tesis un tema de

investigacin de naturaleza curricular sobre "el papel que la teora de conjuntos debera

desempear en la formacin de maestros", entendiendo el currculo matemtico segn

proponen Rico y Sierra (1997), como el diseo, desarrollo, evaluacin de planes de

formacin matemtica y su realizacin prctica.

La investigacin que hemos desarrollado y que se refleja en esta memoria est

inmersa en la lnea de investigacin sobre Teora y Mtodos de Investigacin en

Educacin Matemtica que existe en el Departamento de Didctica de la Matemtica de

la Universidad de Granada, dirigida por el Dr. Juan Daz Godino.

Para dar respuesta a este problema de investigacin consideraremos necesario

tomar en cuenta los aspectos epistemolgicos, cognitivos e instruccionales puestos en

juego en el proceso enseanza-aprendizaje de una teora matemtica en un contexto

institucional fijado, como es, en nuestro caso particular, la teora elemental de

conjuntos y el contexto institucional de la formacin de maestros de primaria.

Puesto que abordar un estudio completo del currculo de matemtica, de la

formacin de maestros sera excesivamente amplio, nicamente nos centraremos en el

tratamiento de los nmeros naturales, tanto en primaria como en la formacin de

maestros. Debido a la estrecha conexin existente entre las nociones de nmero y

conjunto, para este contenido tratamos de encontrar criterios relacionados con la

ecologa de los saberes (Chevallard, 1991; Godino, 1993) para decidir sobre el

problema curricular afrontado.

La naturaleza del problema considerado nos conduce a un paradigma

metodolgico de tipo mixto entre mtodos cualitativos y cuantitativos (Goetz y

Lecompte, 1988), utilizando con mayor intensidad el mtodo cualitativo. As pues se

combina el estudio documental y cualitativo en la faceta epistemolgica con diversas

tcnicas y enfoques en las partes cognitiva e instruccional.

Para lograr la meta propuesta en la tesis procederemos de la siguiente manera:

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En la parte de fundamentos tericos, presentamos un anlisis epistemolgico y

curricular de la teora de conjuntos, para lo cual, hemos realizado un estudio documental

que consisti en la lectura y anlisis de diferentes fuentes relacionadas con el tema de

investigacin, tales como: tesis doctorales, textos de filosofa de la matemtica,

artculos sobre matemticas modernas, investigaciones referentes al aprendizaje y la

enseanza de la teora de conjuntos en la formacin de maestros, etc.

El estudio epistemolgico de la teora de conjuntos se realiza con la finalidad de

precisar su origen, desarrollo, evolucin y su papel en la matemtica; adems de

procurar identificar los problemas, motivaciones y obstculos que dieron lugar a las

nociones conjuntistas. Complementamos este estudio con la revisin de las

construcciones de los nmeros naturales dadas por Frege (1884), Dedekind (1888),

Peano (1889), Weyl (1949) y Lorenzen (1962) con el propsito de caracterizar el papel

de las nociones conjuntistas en la construccin de los nmeros naturales realizada por

cada uno de estos autores, apoyndonos en el modelo terico de tipo semitico-

antropolgico propuesto por Godino y Batanero (1994; 1997). Cabe destacar que se

consideran tambin las concepciones de los nmeros naturales de Russell (1903) y

Benacerraf (1983), analizndose las crticas realizadas por estos autores a la definicin

por abstraccin y a la definicin de Frege de nmero natural, respectivamente, con la

mira puesta en adoptar una concepcin adecuada de los nmeros para la formacin de

maestros, y en consecuencia para su enseanza en la educacin primaria.

El estudio curricular de la teora de conjuntos se realiza con la finalidad de

describir el fenmeno didctico conocido como matemtica moderna en los niveles

de primaria y secundaria en el perodo de los aos 60 a 80, as como en los currculos

de formacin de maestros.

En la parte experimental realizamos un anlisis a una coleccin de libros de

textos de primaria, correspondientes a la poca de vigencia de la matemtica moderna y

de la poca actual con la finalidad de caracterizar el papel de las nociones conjuntistas

en el tratamiento dado a los nmeros naturales en este nivel educativo. Adems

realizamos los anlisis del libro de texto (Krause, 1991) usado en el proceso de estudio

de los temas de conjuntos, relaciones y funciones de un grupo de maestros en

formacin; y de la descripcin de las clases de un profesor de la asignatura Matemtica

y su Didctica, correspondiente al programa de Formacin de Maestros de la Facultad

de Ciencias de la Educacin de la Universidad de Granada, sobre el tema en cuestin y

los nmeros naturales. Dichos anlisis se realizan con el propsito de caracterizar los

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significados elementales y sistmicos puestos en juego en la interpretacin del texto

usado en el proceso de estudio mencionado, y el de caracterizar los conocimientos

(propuestos por el profesor) de las partes del texto que hacen referencia a los contenidos

matemticos tratados en las sesiones de clase, adems de los patrones de interaccin

entre profesor y estudiantes a propsito de los contenidos tratados.

Para lograr este fin, nos ser de gran utilidad las tcnicas del anlisis semitico y

didctico propuestas en Godino (2001), donde se presenta una versin revisada y

ampliada del modelo terico utilizado por Recio (1999), Roa (2000) y Font (2000). Es

de hacer notar que, en el anlisis realizado al libro de texto, se identificarn conflictos

semiticos potenciales para los estudiantes en la interpretacin del texto seguido para el

estudio de los conjuntos, relaciones y aplicaciones, los cuales son vistos como

conflictos reales en el anlisis semitico y didctico realizado a la transcripcin de las

clases mencionadas.

Finalmente, para completar la parte experimental realizamos un estudio de tipo

cognitivo a un grupo de 122 maestros en formacin, que han cursado tambin la

asignatura Matemtica y su Didctica de la Facultad de Ciencias de la Educacin de

la Universidad de Granada con la finalidad de caracterizar los significados personales

con respecto a la teora de conjuntos de estos estudiantes. Para investigar esta faceta del

problema utilizamos el enfoque cuantitativo, determinando los porcentajes de

respuestas correctas, parcialmente correctas e incorrectas a las preguntas de un

cuestionario sobre conjuntos, relaciones y aplicaciones. Cabe destacar que, despus de

la aplicacin del cuestionario, se seleccionaron dos alumnos para realizarles una

entrevista con el propsito de profundizar en los aspectos que no quedaron claros en las

respuestas al cuestionario y complementar la informacin de algunas cuestiones que no

fueron consideradas en el mismo.

La memoria la hemos estructurado en siete captulos, una introduccin general,

las referencias bibliogrficas, los anexos y una seccin donde sintetizamos las

conclusiones obtenidas sobre los objetivos fijados, sealando en qu medida fueron

confirmadas o no las hiptesis formuladas. Tambin presentamos en esta seccin las

conclusiones de los factores condicionantes del estudio de una teora matemtica

identificados en el proceso seguido en la investigacin, los aportes de la investigacin y

algunas cuestiones abiertas.

El captulo 1 describe el problema de investigacin, los antecedentes, el marco

terico, los objetivos e hiptesis de la investigacin, la metodologa y el plan de trabajo

17

seguido. El captulo 2 trata sobre el origen de la teora de conjuntos y su papel en la

matemtica. En el captulo 3 mostramos el uso de nociones conjuntistas en las

construcciones de los nmeros naturales realizadas por Frege (1884), Dedekind (1888),

Peano (1889), Weyl (1949) y Lorenzen (1962).

En el captulo 4 se analiza la teora de conjuntos en la enseanza de las

matemticas destacndose los siguientes apartados: cambios producidos en el currculo

de matemticas de las escuelas secundarias a lo largo del siglo XX, la teora de

conjuntos en la enseanza de las matemticas modernas y la teora de conjuntos en los

planes de formacin de maestros. El captulo 5 trata sobre el uso de praxeologas

conjuntistas en el estudio escolar de los nmeros naturales considerando el estudio de

los conjuntos en textos de primaria, tanto en el perodo de vigencia de la matemtica

moderna, como de la poca actual. En el captulo 6 presentamos un estudio experimental, donde analizamos la

enseanza de los conjuntos y los nmeros naturales en la formacin de maestros, para lo

cual, consideramos los conocimientos conjuntistas a ensear y el anlisis del proceso de

estudio implementado por un profesor. El estudio realizado en este captulo aportar

explicaciones de las dificultades y errores de los alumnos ante las nociones conjuntistas,

ligadas a las caractersticas del proceso habitualmente implementado.

Finalmente, el captulo 7 trata sobre los significados personales de los maestros

en formacin sobre nociones conjuntistas tratando el contexto instruccional,

metodologa, la poblacin, la muestra, el anlisis de datos y discusin de resultados.

En una ltima seccin de conclusiones generales sintetizamos los resultados

sobre el logro de los objetivos propuestos, la confirmacin de las hiptesis,

conclusiones sobre los factores condicionantes del estudio de una teora matemtica

identificados en la investigacin, los aportes y perspectivas de investigaciones futuras.

18

19

CAPTULO 1

PROBLEMA DE INVESTIGACIN. ANTECEDENTES Y METODOLOGA

1.1. INTRODUCCIN

En esta tesis se propone un tema de investigacin de inters curricular sobre el papel

que la teora de conjuntos debera desempear en la formacin de maestros. Se trata de un

estudio donde nos proponemos describir, explicar e identificar factores condicionantes de

la enseanza-aprendizaje de una teora matemtica en un contexto institucional fijado. Para

hacer operativo el estudio hemos elegido el tema de la teora de conjuntos, pero

pensamos que la metodologa de anlisis propuesta en su desarrollo puede aplicarse a otros

temas curriculares.

Nos proponemos, asimismo, mostrar la dialctica existente entre los aspectos

prcticos, tecnolgicos y cientficos en la investigacin didctica, as como las tres

dimensiones bsicas involucradas en un problema de investigacin sobre la enseanza y el

aprendizaje de las matemticas: las dimensiones epistemolgica, cognitiva e instruccional.

La solucin del problema nos lleva a plantear previamente otros subproblemas de

naturaleza epistemolgica, cognitiva e instruccional: la clarificacin de la naturaleza y el

papel de la teora de conjuntos en la matemtica y de manera particular en las diversas

construcciones de los nmeros naturales- y de su impacto en los currculos matemticos, la

determinacin de las dificultades de comprensin de las nociones bsicas de la teora de

conjuntos por parte de los maestros en formacin y su dependencia del proceso de estudio

seguido.

En este captulo, describimos la gnesis del problema, los objetivos de la

investigacin, antecedentes de la investigacin, el marco terico, las hiptesis, la

metodologa y el plan de trabajo seguido en la investigacin.

20

1. 2. GNESIS DEL PROBLEMA El problema de investigacin abordado en esta tesis fue iniciado en 1998 en el

programa de doctorado de didctica de la matemtica de la Universidad de Granada, y

surgi de la conjuncin de dos intereses complementarios: La experiencia de Mario Arrieche

(doctorando) en la enseanza de la teora de conjuntos y lgebra abstracta, en los currculos

de formacin de profesores de matemtica en el ncleo Maracay de la Universidad

Pedaggica Experimental Libertador de Venezuela y el contexto instruccional

proporcionado por el desarrollo del curso sobre "Matemticas y su Didctica" en la Facultad

de Ciencias de la Educacin de la Universidad de Granada-Espaa, impartido por el Dr.

Juan Daz Godino (Director).

Partiendo de estas dos circunstancias nos propusimos plantear un problema de

investigacin que tuviera un inters tanto prctico como terico, es decir, orientado a la

mejora de un aspecto especfico de la educacin matemtica, y al mismo tiempo supusiera

un cierto avance en la puesta a punto y desarrollo de nuevos instrumentos tericos. Se llega

a este acuerdo, por la interaccin producida entre ambos docentes, cuando se comparten sus

intereses de investigacin relacionados con sus reas de trabajo.

La pregunta inicial que motiv la investigacin fue, cul es el papel que debera

desempear el estudio de los conjuntos, aplicaciones y relaciones en la formacin de los

maestros? Esta pregunta tena inters tanto para el director como para el doctorando. El

director imparte un curso de "Matemticas y su Didctica" para los maestros de educacin

primaria y necesita tomar una decisin fundamentada sobre el tema de los conjuntos,

plantendose cuestiones como las siguientes: Es til el lenguaje conjuntista para desarrollar

los restantes temas del programa? Qu dificultades plantea el tema a los estudiantes? En

qu medida se debera estudiar? Interesa incluir un tema introductorio en el programa sobre

los conjuntos, relaciones y aplicaciones, o por el contrario, dichos contenidos pueden y

deben ser tratados de manera implcita y a medida que se usan? Qu materiales utilizar en

el estudio del tema?

Vemos que inicialmente el problema tiene un inters que podemos calificar de

prctico para un profesor: qu contenidos matemticos debo ensear a mis alumnos y cmo

ensearlos? La respuesta esperada es prescriptiva, y en cierto modo imperiosa, ya que el

profesor tiene que tomar la decisin de qu hacer en un plazo de tiempo relativamente corto

(cada mes de Septiembre cuando se programa el desarrollo del nuevo curso). La

circunstancia de disponer de un nmero de crditos bastante escaso para desarrollar el

programa es otro factor que atribuye inters prctico al problema apuntado.

21

Puesto que en los ltimos diseos curriculares se ha suprimido la teora de conjuntos

de la educacin primaria, estamos tentados a responder que el papel de la teora de conjuntos

en la formacin de los maestros debe ser nulo, dado que no tienen que ensear esos

contenidos. Esto implica que podemos prescindir del lenguaje de los conjuntos, aplicaciones

y relaciones cuando los maestros estudien los sistemas numricos, la geometra y las

magnitudes, y otros contenidos matemticos que requieren de estos conceptos para ser

estudiados. Pero nos queda la duda si con esa opcin drstica creamos una barrera para que

los maestros puedan ampliar sus conocimientos matemticos sobre temas algo ms

avanzados que los que se supone tendrn que explicar en el ejercicio de su profesin.

Tambin es posible que perdamos la oportunidad de ofrecer una presentacin estructurada

de los restantes contenidos del programa. En particular, el estudio de los nmeros naturales

puede verse afectado si se prescinde del lenguaje conjuntista. Por lo que creemos que para

tomar una decisin fundada es necesario disponer de informacin que no est directamente

accesible y, por tanto, requiere investigacin.

Esa informacin debe permitir responder con fundamento a preguntas ms

especficas que podemos clasificar segn tres dimensiones o categoras (Godino, 1999):

(1) Qu es la "teora de los conjuntos (TC)"? Qu formulaciones se han hecho de

dicha teora matemtica en distintos perodos y circunstancias? Qu papel

desempea en la matemtica? Qu papel puede desempear en las matemticas

escolares? Qu inters tiene en la formacin del maestro? (problemtica epistmica,

esto es, relativa al conocimiento matemtico).

(2) Qu dificultades de comprensin tienen los distintos contenidos que configuran la

TC para futuros maestros en formacin? Cules son los motivos de tales

dificultades? (problemtica cognitiva).

(3) Cmo se ensea la teora de conjuntos en el nivel y contexto institucional fijado?

Qu factores instruccionales condicionan, y cmo, el aprendizaje de los estudiantes

de la TC? Qu patrones de interaccin profesor- alumno son ptimos para facilitar

el aprendizaje de la TC? (problemtica instruccional, esto es, relativa a la enseanza

y al aprendizaje).

Aunque el problema lo hemos centrado sobre un contenido matemtico particular,

pensamos que su solucin puede aportar criterios y mtodos de indagacin de inters ms

general, esto es, se puede aplicar a otros contenidos matemticos. Podemos describir la

problemtica general que nos interesa como el estudio de los factores epistemolgicos,

22

cognitivos e instruccionales condicionantes del grado de estudio de un contenido

matemtico en un contexto institucional determinado.

1.3. ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIN

La revisin de los antecedentes de los aspectos epistemolgicos, cognitivos e

instruccionales del tema objeto de investigacin se inici en la memoria de tercer ciclo,

realizada en el programa de doctorado del Departamento de Didctica de la Matemtica de

la Universidad de Granada (Arrieche, 2000). Cabe destacar que la informacin recabada

fue obtenida a travs de diversas fuentes relacionadas con el tema, como por ejemplo: tesis

doctorales, trabajos de investigacin, textos de filosofa y de filosofa de las matemticas,

etc. A continuacin describimos algunos de ellos.

1.3.1. ASPECTOS EPISTEMOLGICOS

La mayora de los autores que han escrito trabajos relacionados con la construccin

y desarrollo de la teora de conjuntos, coinciden que fue el alemn, matemtico y filosfo

George Cantor el creador indiscutible de esta teora. Entre estos autores1, tenemos:

Jourdain, Cavallies, Medvedev, Meschkowski, Grattan-Guinness, Dauben.

Frpolli (1987), en su tesis2 investiga el surgimiento de la teora de conjuntos y

nmeros transfinitos en la obra de Cantor, resaltando cmo aparecen los conceptos

conjuntistas a partir de las matemticas tradicionales. Adems destaca la originalidad de los

planteamientos de Cantor acerca del infinito en relacin a las ideas mantenidas por la

tradicin filosfica occidental desde Aristteles y el estudio de las concordancias y

divergencias entre Cantor y sus contemporneos ms ilustres como Dedekind, Frege y, en

cierto modo Russell.

Seala que al principio Cantor no se ocup de la teora de conjuntos, sino de temas

matemticos ms tradicionales, mostrando ante estos un espritu innovador que le hicieron

derivar la teora de conjuntos de otras investigaciones que aparentemente no tenan nada

que ver con ella. Destaca que este matemtico inici sus investigaciones indagando sobre

series trigonomtricas, y para ello necesit dar una definicin de nmeros reales diferente

a la que se trabajaba en aquel entonces. No obstante, la nocin de conjunto era bsica en el

1 citados por Ferreirs (1993). 2 La Matematizacin del Infinito, La emergencia de la teora de conjuntos en la obra de G. Cantor. Tesis Doctoral, presentada en la Facultad de Filosofa y Letras de la Universidad de Granada .

23

pensamiento de Cantor y sobre ella se definieron otras de mucha trascendencia e inters,

como las de nmero cardinal y nmero ordinal.

Ferreirs (1993, 1999) menciona que en el proceso de abstraccin de la nocin de

magnitud puede encontrarse uno de los orgenes de la idea de conjunto. Al respecto, la

exposicin de Riemann mezcla ese carcter tradicional con una serie de caracteristicas muy

innovadoras, que muestran de hecho la conexin entre la generalizacin de la idea de

magnitud y el surgimiento de la idea de conjunto. Adems el anlisis fue fundamental para

el desarrollo de las investigaciones de Cantor, y fue bsico para toda la evolucin de la

teora. La difusin de la teora de conjuntos se bas en sus rendimientos para el anlisis y la

teora de funciones.

Requena3 (1978) destaca que Cantor hace una exposicin intuitiva de la nocin de

conjunto, donde se supone que se saba qu era un conjunto y cul era el significado del

trmino pertenecer, razn por la cual, no aparece en sus primeros artculos la definicin de

conjunto. Cuando Cantor trata de definir explcitamente un conjunto, utiliza los siguientes

trminos: "Multiplicidad que puede considerarse como unidad", "Reunin en un todo",

"Coleccin de elementos definidos". Conocida esta definicin, se obtienen las nociones de

conjunto finito e infinito, la introduccin de las operaciones y otros conceptos de forma

inmediata.

Sigue resaltando este autor que Cantor no se detiene en esta caracterizacin, pues,

como explicaciones se encuentran las expresiones "por medio de una ley", "elementos

definidos", de donde se observa que al poder considerar esa totalidad como una unidad, una

ley o una propiedad, son estas las caractersticas de lo que se entiende por conjunto. Es

decir, las ideas conjunto-propiedad estn en correspondencia biunvoca. Este aspecto fue lo

que trat de formalizar Frege por medio del axioma de abstraccin, el cual ya estaba

presente en la mente de Cantor. "Subyacente a este modo de considerar los conjuntos est la

firme creencia de Cantor y Frege en la existencia del mundo matemtico en donde los

conjuntos existen de forma autnoma e independiente: el matemtico se limita a describir,

mediante la teora de conjuntos, un mundo, oculto por el momento pero poco a poco va

trayendo a la luz" (Requena, 1978, p.54).

En Ferreirs (1998), se indica que la obra de Cantor est en la gnesis de la teora

de conjuntos en cuanto a rama autnoma e independiente de la matemtica. Los orgenes de

la nocin de conjunto estaran en el anlisis real, en la teora de series trigonomtricas, y en

3 Tesis doctoral tituladaTeora constructiva de conjuntos: Una aproximacin a la construccin de la teora de conjuntos, presentada en la Facultad de Filosofa y Letras de la Universidad de Valencia, 1978.

24

particular, en la representacin de funciones discontinuas a travs de series de Fourier, lo

cual, lleva a Cantor al estudio detallado de los conjuntos de puntos de discontinuidad. La

prueba que Cantor hace sobre la no numerabilidad del conjunto de los nmeros reales, le

permiti formular la nocin de cardinalidad de un conjunto infinito y realizar

investigaciones de problemas de teora de conjuntos pura, como por ejemplo: la nocin de

conjunto bien ordenado, nmero transfinito, introduciendo varas ideas claves de la teora de

conjuntos de puntos, conjunto derivado, etc.

Despus de Cantor, el matemtico que se involucr ms directamente en el desarrollo

de la teora de conjuntos fue Richard Dedekind, el cual concibi toda la matemtica pura

como un edificio construido sobre fundamentos conjuntistas. Adems el lgebra, el anlisis

y la geometra eran consideradas por este matemtico como ramas de la matemtica de base

conjuntista. Tambin elabor las definiciones conjuntistas bsicas de los conjuntos

numricos usuales: naturales, enteros, racionales y reales, es decir, N, Z, Q y R,

respectivamente. En lgebra tambin us conjuntos de nmeros o de polinomios, con ciertas

estructuras bien definidas como nociones bsicas.

Mostern (2000) indica que Dedekind realiz investigaciones originales de lgebra y

teora de nmeros propiciando el desarrollo de la matemtica hacia una mayor abstraccin y

rigor, con un enfoque conjuntista y estructural. En 1888 escribi Was sind und was sollen

die Zablen? (Qu son y para qu sirven los nmeros?). En esta obra hace una construccin

de los nmeros naturales a partir de las nociones conjuntistas abstractas de conjunto y

aplicacin.

Por otro lado, en Sartorio (2000) se destaca que el proceso conocido como

aritmetizacin de la matemtica, permiti traducir la totalidad del lenguaje de la matemtica

al de la aritmtica de los nmeros naturales y el de la teora de conjuntos. Como por

ejemplo, los puntos del espacio se traducen como ternas de nmeros reales (los cuales han

sido definidos en trminos de los nmeros naturales), destacndose que las ternas son

conjuntos de tres elementos. Tambin es posible entender a los nmeros naturales en

trminos de conjuntos, pues, en el enfoque de Russell (1903), por ejemplo, el nmero tres

es el conjunto de todos los conjuntos de tres elementos.

En cuanto a las construcciones de los nmeros naturales y el papel que desempean

las nociones conjuntistas en las mismas tendremos en cuenta las aportaciones hechas por

autores interesados por la fundamentacin de las matemticas, Frege (1884), Dedekind

(1888), Peano (1889), Russell (1903), as como el enfoque constructivista propuesto por

Weyl (1949), Lorenzen (1962) y Benacerraf (1983). El contraste de los enfoques logicistas y

25

axiomticos respecto de los constructivistas nos proporcionar elementos de anlisis de las

praxeologas numricas en la enseanza primaria y en la formacin de maestros, y por tanto,

sobre el uso de las nociones conjuntistas.

1.3.2. ASPECTOS COGNITIVOS

En este punto describiremos, en forma suscinta, las investigaciones sobre enseanza

y aprendizaje de la teora de conjuntos realizadas con grupos de maestros en formacin

presentados en los trabajos de Linchevski y Vinner (1988), Zazkis y Gunn (1997), y

Fischbein y Baltsan (1999). Adems presentamos algunas ideas de Kline (1973), en su obra

titulada El fracaso de las matemticas modernas, en la cual escribe de una forma incisiva

y razonada algunas crticas a las matemticas modernas, alegando la necesidad que tienen

los educadores matemticos de admitir su error y buscar un remedio eficaz.

Linchevski y Vinner (1988) en una investigacin sobre "el concepto ingenuo de

conjunto en maestros de la escuela elemental", estudiaron cuatro aspectos del concepto de

conjunto en una muestra de 309 sujetos, los cuales son los siguientes: a) el conjunto como

una coleccin arbitraria de objetos, b) la coleccin formada por un objeto como un conjunto,

c) el conjunto como elemento de otro conjunto; y d) el orden de los elementos de un

conjunto y el problema de los elementos repetidos.

Para estos investigadores, la palabra conjunto aparece con mucha frecuencia en el

lenguaje ordinario, por lo que parece natural considerar que casi cualquier persona tendr

puntos de vista propios sobre dicha nocin que son diferentes de los puntos de vista de los

matemticos" (p. 471). En este estudio se escogieron varios aspectos del concepto

matemtico de conjunto y examinaron si los maestros poseen conocimientos de ello, y si no,

cules son sus concepciones. Las razones por las que seleccionaron maestros de escuela

elemental, eran los siguientes:

1) La importancia de saber sobre la comprensin que los maestros tienen de los conceptos

matemticos, y en particular, si estos conceptos son enseados en la escuela.

2) Los conceptos ingenuos que poseen los maestros de escuela elemental, son

probablemente similares al concepto ingenuo de otras personas educadas con base

matemtica limitada. As es posible considerar que los estudiantes de niveles altos o de

universidad, cuando comienzan a estudiar sobre conjuntos, tienen conceptos similares.

Sin embargo, estas hiptesis necesitaban comprobacin experimental.

Las preguntas que motivaron esta investigacin son las siguientes:

26

1) Piensan los maestros de la escuela elemental que todos los elementos de un

conjunto dado deben tener una propiedad comn? En otras palabras, bajo qu

condiciones es una coleccin de objetos considerada como un conjunto por los maestros

elementales?

2) Es una coleccin formada por un objeto considerada como un conjunto por los

maestros?

3) Entienden los maestros que un conjunto puede ser un elemento de otro conjunto, y

tambin, cuando dibujamos el diagrama de la unin de dos conjuntos? Son conscientes

de la diferencia entre el diagrama representando un nuevo conjunto cuyos miembros son

los dos conjuntos dados y el diagrama que realmente representa la unin?

4) Qu criterios tienen los maestros para determinar si dos conjuntos son iguales y

cuntos de estos criterios estn relacionados con el criterio matemtico?

La muestra de esta investigacin, consisti de 237 maestros (todos ellos trabajaban

enseando matemticas a sus estudiantes) y 72 estudiantes para maestros (quienes se

preparaban para ensear matemticas) en Jerusaln. En los 237 maestros se distinguieron

dos subgrupos. En el primero se incluy 54 coordinadores matemticos. Estos son los

maestros de la escuela elemental que estaban interesados en la enseanza de la matemtica,

y como complemento, tambin reciban alguna instruccin durante el servicio. As, sus

antecedentes matemticos eran mejores, en cierta medida, que los otros 183 maestros que

integraban el segundo grupo.

El procedimiento de recoleccin de datos consisti en la aplicacin de un

cuestionario escrito. Para su elaboracin, se realiz una entrevista a 21 maestros, en donde

se le propusieron varias preguntas y se grabaron sus reacciones. Como un resultado de esta

interaccin, se modificaron las preguntas de la entrevista y se propuso un cuestionario

formado por 5 tems. Entre algunos de los tems relacionados con nuestro trabajo, sealamos

los siguientes:

1) Cules de las siguientes colecciones es un conjunto? Explique su respuesta.

a) 1, 3, 7, 9, 0, 12

b) un libro, 1, 3, una mesa, 7, 9

c) una cuchara de mesa, una cuchara de t, un tenedor, un cuchillo.

d) 7

e) Todos los nios con menos de 10 aos que han volado a la luna.

f) {7}, {5}, 7, 5

g) un tringulo, un cuadrado, un crculo, una caja.

27

2) Un maestro pidi a sus estudiantes dar un ejemplo de un conjunto. Uno de los

estudiantes escribi: Mi conjunto tiene tres elementos: a) 5, b) 1.5, c) el conjunto de

todos los enteros impares entre 2 y 100? Es esta respuesta correcta? Explica tu

respuesta.

Los resultados revelaron que el concepto ingenuo de conjunto en estos maestros

difera del concepto matemtico. La mayora de estos sujetos crean que los elementos de un

conjunto dado tienen una propiedad comn, que un conjunto no puede ser elemento de otro

conjunto y que los elementos repetidos de un conjunto deben contarse por separado.

Adems, casi la mitad de las personas estudiadas rechazaron que la coleccin formada por

un slo objeto es un conjunto.

Zazkis y Gunn (1997), realizaron una investigacin sobre la comprensin de los

conceptos bsicos introductorios de la teora de conjuntos, tales como: conjunto, elemento

de un conjunto, cardinalidad, subconjunto, y el conjunto vaco, en un grupo de maestros en

formacin de la Facultad de Educacin de la Universidad Simon Fraser (Canad),

correspondiente al curso de desarrollo profesional de profesores de matemticas. El inters

primario de este estudio estaba en la comprensin de los maestros en formacin de escuela

elemental de los conceptos matemticos que se refieren a conjuntos.

Continan sealando estos autores que muchos maestros de primaria en su educacin

matemtica se encuentran con los conceptos introductorios de la teora de conjuntos y

adquieren conocimiento sobre ellos, sin tener en cuenta las razones por las cuales estos

contenidos son parte de su curriculum de matemtica. La finalidad de este estudio fue

investigar la naturaleza de este conocimiento y cmo puede ser construido por los maestros

en formacin.

Adems Zazkis y Gunn (1997) indicaron que encontraron informes que muestran

mala interpretacin por parte de los maestros de escuelas primarias del concepto de conjunto

y usos inapropiados de este concepto en libros de texto de este nivel. "Tal evidencia aumenta

la interrogante acerca de la necesidad y el valor que tiene ensear los principios de la teora

conjuntos al nivel escolar elemental" (p.134). Entre las preguntas que motivaron esta

investigacin se encuentran, Por qu los conceptos de la teora de conjuntos son parte del

curriculum de matemtica de los maestros en formacin? Deben quedarse estos contenidos

como tales?

La tcnica de recogida de datos consisti en la aplicacin de un cuestionario escrito,

entrevistas clnicas, y la participacin de estudiantes en un proyecto basado en el uso de

28

ordenadores. El experimento incluy los conceptos bsicos de conjuntos en un entorno

abierto basado en un ordenador con el programa matemtico ISETL.

Despus de la enseanza del tema de la teora de conjuntos, se aplic un cuestionario

escrito a 46 estudiantes. El tiempo que tenan los estudiantes para completar los

cuestionarios no estaba limitado, y la mayora complet el trabajo despus de 15 minutos. Se

pidi que los estudiantes explicasen sus decisiones, aunque algunos participantes ignoraron

esta peticin. Las respuestas de todos los estudiantes se recogieron en trminos de verdadero

o falso, de acuerdo a sus decisiones y exactitud segn las convenciones matemticas. A

continuacin presentamos una sntesis de este cuestionario, sealando algunos de los tems

relacionados con nociones conjuntistas estudiadas en la tesis.

Dado el conjunto A = {5, 7, {5}, {5, 7, {7}}}

Determine el nmero de elementos de A.

Verdadero o falso? Marque con un crculo su decisin. Explique la respuesta.

1) 5 es un elemento de A v f

2) {5} es un elemento de A v f

3) {5, 7, {7}} es un elemento de A v f

4) es un elemento de A v f

5) {5} es un subconjunto A v f

6) {} es un subconjunto A v f

7) es un subconjunto A v f

8) {5, 7, {7}} es un subconjunto A v f

Por otro lado, se realizaron entrevistas semi-estructuradas a 15 de los 28 estudiantes

que siguieron el proyecto ISETL. Las entrevistas eran informales y aproximadamente de 15-

20 minutos de duracin. En las entrevistas los estudiantes realizaron tareas de presentar los

problemas especficos que ellos trabajaron en su proyecto, para reflejar su experiencia con

ISETL y tambin para discutir algunos conceptos generales de conjuntos tales como:

Qu es un subconjunto?

Cmo verificara si un conjunto es un subconjunto de otro?

Qu significa el conjunto vaco?

Por qu es el conjunto vaco un subconjunto de cualquier conjunto?

Los resultados de este estudio revelaron complejidades en la comprensin de los

estudiantes en las nociones de los conceptos estudiados, sobre todo cuando los elementos de

29

un conjunto son a la vez conjuntos, pues, interpretaban el elemento como un subconjunto.

Tambin se prest atencin especial a la descripcin de las dificultades mostradas por los

estudiantes con el concepto de conjunto vaco. En esto ltimo, la complejidad se mostr

cuando se consider algunas de las propiedades del conjunto vaco, como la que dice que el

conjunto vaco es un subconjunto de todo conjunto.

Fischbein y Baltsan (1999), en una investigacin realizada en un grupo de

estudiantes, entre los que se encontraban maestros en formacin, sobre "el concepto

matemtico de conjunto y el modelo coleccin", analizaron los diferentes conceptos

errneos sostenidos por los estudiantes con respecto al concepto matemtico de conjunto.

Entre los objetivos propuestos en este trabajo, se encontraban: a) verificar la hipotsis de que

todos los conceptos errneos con respecto al concepto matemtico de conjunto tienen su

origen en la influencia tcita del modelo "coleccin", b) determinar el efecto del modelo

coleccin despus que el estudiante aprende el concepto formal de conjunto; y c) notar el

efecto de la edad.

Indican estos autores que, en las matemticas escolares, el concepto de conjunto es

usado en varios contextos, pero generalmente, de una manera incoherente. "Hoy da el

concepto de conjunto es una parte integral de la matemtica, y es una de sus componentes

centrales y seminales" (p.1). Una dificultad mayor para los estudiantes es el hecho de que el

concepto de conjunto se acepta en matemtica como un concepto primitivo, es decir, no

definido (al igual que punto, lnea recta, etc.), en contraste con la definicin formal que

comienza su enseanza con un modelo intuitivo, con la idea de una coleccin de objetos.

Pero el concepto matemtico de conjunto tiene un nmero formal de propiedades y aspectos

que contradicen al modelo inicial de coleccin.

"No afirmamos que el estudiante identifique explcita y conscientemente el concepto

matemtico de conjunto con la nocin de una coleccin de objetos concretos. Lo que

afirmamos es que el estudiante, mientras considera el concepto matemtico de conjunto,

tiene en mente la idea de una coleccin de objetos con todas sus connotaciones" (p.3). El

modelo intuitivo parece ser ms fuerte que el concepto formal. El estudiante simplemente se

olvida de las propiedades formales y tiende a tener en la mente aquellas propiedades

impuestas por el modelo. La pregunta que impuls esta investigacin es la siguiente: Cmo

influye el modelo coleccin en las interpretaciones y el uso del concepto matemtico de

conjunto por los estudiantes de secundaria y en los de la Universidad?

La muestra considerada en este estudio, consisti en cuatro grupos de sujetos: (a) 46

estudiantes del curso 8; (b) 51 estudiantes del curso 10; (c) 21 estudiantes de Universidad

30

(maestros de escuela elemental en formacin); (d) 32 estudiantes de Universidad (los

maestros en formacin de la escuela de primer ciclo de secundaria) para quienes la

matemtica es un tema principal. En el curso 8 los estudiantes aprenden y usan el concepto

de conjunto sistemticamente. En los cursos 9 y 10 el uso sistemtico del concepto

conjunto es abandonado. Los maestros de primaria en formacin toman slo pocas lecciones

en teora de conjuntos. Los maestros en formacin que ensean en la escuela del primer

ciclo de secundaria aprenden y usan la teora de conjuntos sistemticamente. Se elabor un

cuestionario, cuyas preguntas tenan el propsito fundamental de verificar la hipotsis de

investigacin.

Adems, se entrevistaron varios sujetos con respecto a las cuestiones que no

contestaron en el cuestionario. Al igual que en los casos anteriores, presentamos aquellos

tems que guardan una estrecha relacin con las nociones conjuntistas que analizamos en el

captulo 7.

1) Los elementos constituidos por todos los nmeros mayores que 8 y menores que 10,

definen un conjunto? En caso afirmativo, seale cuntos elementos tiene.

2) Es correcto afirmar que los puntos en donde se intersectan dos rectas diferentes constituyen

un conjunto? En cada caso afirmativo, cuntos elementos tiene?

3) Es posible definir un conjunto en donde su nico elemento sea el 5?

4) Es posible definir un conjunto formado por los puntos de la interseccin de dos rectas

paralelas? Si es afirmativo, cuntos elementos tiene?

5) Es posible formar un conjunto con los elementos comunes de las siguientes colecciones: 9,

7, 17, 10, 5, 3 y -9, -17, -10, -5, -3?

6) La coleccin 2, 4, 6, 8, 10,... define un conjunto? En caso afirmativo, cuntos elementos

hay en el conjunto?

7) La coleccin de todos los nmeros que contienen el dgito 8 es un conjunto? cuntos

elementos tiene?

8) Explique la nocin de conjuntos iguales.

9) Cules de las siguientes colecciones definen un conjunto? En caso afirmativo, cuntos

elementos poseen?

a) 6, 7, 6, 7, ...

b) 4, 4, 4, ...

c) {5, 10, 15, 20, 25}

d) {5, 5, 5, 10, 10, 15, 20, 25}

31

El cuestionario se administr durante las actividades usuales de clase en condiciones

escolares normales, para lo cual se le permiti un tiempo de 45 minutos para completarlo.

Los estudiantes estaban informados que el objetivo de la investigacin era conseguir una

imagen sobre qu entienden ellos del concepto matemtico de conjunto. El orden de las

preguntas era al azar. Cuatro versiones del cuestionario fueron organizadas con las mismas

preguntas, pero en diferente orden aleatorio. Cada sujeto recibi una de las cuatro versiones.

Se le pidi a los sujetos justificar sus respuestas, separadamente, para cada tem. Para la

mayora de las preguntas relacionadas con el problema investigado, las respuestas correctas

deben responderse con un "s". Para evitar reacciones automticas, el cuestionario inclua

tambin varios tems a los que las respuestas correctas habran sido "no", pero que, de

hecho, no eran pertinentes al problema investigado.

En los resultados obtenidos se mostraron en los estudiantes las siguientes

interpretaciones: a) un conjunto es una coleccin de objetos que tiene una propiedad comn,

b) los elementos de un conjunto son nmeros, c) un conjunto debe poseer un nmero

mnimo de elementos, d) no aceptaron la posibilidad de que un conjunto pueda consistir en

un slo elemento, e) no aceptan la existencia de un conjunto vaco, f) dos conjuntos son

iguales si tienen el mismo nmero de elementos; y g) contaron separadamente los elementos

repetidos en los conjuntos.

Destacan tambin estos autores en sus resultados que, aun despus que los

estudiantes aprendieron las propiedades formales de un conjunto en sentido matemtico,

todava estn influenciados en sus reacciones por la representacin del modelo coleccin,

confirmndose de esta manera la hiptesis propuesta. Adems se evidenci que los

estudiantes consideraron que un conjunto debe contener dos o ms elementos, por la

influencia tcita del mencionado modelo.

Entre las conclusiones presentadas por estos autores, se destacan las siguientes: a) el

porcentaje de respuestas correctas de los maestros en formacin, en la mayora de los tems

del cuestionario, fue ms bajo, en comparacin con el de los otros grupos que conformaron

la muestra de la investigacin, b) la propiedad relacionada con el concepto de conjunto vaco

y la de conjunto unitario tuvo un alto porcentaje de respuestas incorrectas en la mayora de

los grupos, es decir un bajo porcentaje de los sujetos pudieron usar estos conceptos

correctamente.

Finalmente, Kline (1973) seala que las dificultades que los grandes matemticos

encontraron para comprender conceptos matemticos son tambin los obstculos en los que

tropiezan los estudiantes para comprender la matemtica. La estril y seca interpretacin

32

axiomtica no facilita la comprensin, una ordenada presentacin lgica de las matemticas

puede ser un atractivo para el matemtico, pero sirve de anestsico para el estudiante. Otro

medio muy explotado de lograr precisin por las nuevas matemticas es el simbolismo. As

se encuentran corchetes, llaves, barras verticales, parntesis, cuantificadores, los smbolos de

implicacin y doble implicacin, los de unin e interseccin, el signo de pertenencia y

muchos otros. Los estudiantes quedan aturdidos por estos smbolos oscuramente

amenazadores, nadar en smbolos hace ms difcil la lectura y la comprensin.

1.3.3. ASPECTOS CURRICULARES E INSTRUCCIONALES

Sierra (1989)4 seala que despus de 1945, se produce una gran demanda en la

educacin de Occidente. Coombs (1968)5 indica tres razones principales para esta demanda:

aumento de las aspiraciones educativas de padres e hijos, el nuevo nfasis de la poltica

pblica sobre el desarrollo de la educacin y la expansin demogrfica. Cabe destacar que

la educacin secundaria de numerosos pases occidentales inici una expansin sin

precedentes, pero sin llevar a cabo revoluciones sociales.

A comienzos del siglo XX se produce en los educadores matemticos una gran

preocupacin por la enseanza de las matemticas, cristalizndose la fundacin de

asociaciones, publicaciones de revistas y celebracin de reuniones y congresos. Como por

ejemplo, en Estados Unidos se funda en 1920 el National Council of Teachers of

Matematics (N.C.T.M) y en Francia se crea la Association des Professeurs de

Mathmatiques de l'Enseignement Public (l'A.P.M.E.P). Es de hacer notar que en el IV

Congreso Internacional de matemticos se crea la Comission Internationale del

l'Ensegnement Mathemtique (C.I.E.M), cuyo objetivo era llevar a cabo una investigacin

sobre las tendencias de la enseanza de la matemtica en los diversos pases y por otra

analizar mtodos de enseanza a la luz de las nuevas aportaciones de la psicologa y

pedagoga. A esta comisin pertenecieron los matemticos Smith, Klein, Hadamards,

Enriques y Castelnuovo.

Cuando se produce la primera guerra mundial (1914-1918) se interrumpen las

actividades de la C.I.E.M, y es a partir de los aos cincuenta que vuelve a renacer. Despus

de la segunda guerra mundial la C.I.E.M que se haba separado de la asociacin de

matemticos se convirti en 1952 en una seccin de la Unin Matemtica Internacional.

4 Tesis doctoral titulada La reforma de la enseanza de las matemticas despus de la segunda guerra mundial: Aportacin del Centre Belge de Pdagogie de la Mathmatique, 1989, Universidad de Salamanca. 5 citado por Sierra, 1989.

33

Para esta misma poca, se produce una expansin de la educacin secundaria con el

proceso de democratizacin de la enseanza, plantendose nuevos problemas en la

enseanza de las matemticas que traspasan el mbito de esta disciplina exigindose la

colaboracin de otros profesionales, como psiclogos y pedagogos.

En la dcada de los aos cincuenta, cuando se produce el lanzamiento del primer

sputnik por los rusos, se conmociona todo el mundo occidental y se producen vivos debates

de cambiar el sentido de la educacin; como consecuencia surge el concepto de educacin

por inversin, frente a la concepcin de la educacin como camino de transformacin de la

sociedad. Es en esta nueva conceptuacin de la educacin, donde las matemticas son

consideradas como uno de los pilares del desarrollo cientfico y tecnolgico; por lo que

surge la necesidad de que su enseanza sea objeto de una profunda renovacin.

Wojciechowska (1998) resalta los dos grandes cambios producidos en el currculo

de matemticas de las escuelas secundarias a lo largo del siglo XX, uno producido al

principio del siglo y el otro en la dcada de 1960. Felix Klein (1849-1925) fue el pionero y

defensor de la primera reforma. Su filosofa consista en que el principal objetivo de la

enseanza de las matemticas se debe centrar en desarrollar la imaginacin geomtrica del

alumno y el pensamiento funcional, en la cual, se apoy la comisin para proyectar la

reforma del currculo de matemticas y ciencia.

Fue en la dcada de 1960, cuando el grupo de matemticos franceses conocido

como Bourbaki se hizo cargo del liderazgo traspasado por Klein producindose la segunda

reforma conocida como "matemtica moderna", destacndose entre ellos Jean Dieudonn.

La filosofa de Bourbaki consista en que la base de la nueva enseanza de las matemticas

se refiere a la nocin abstracta de estructura, basada en la teora de conjuntos. La nueva

metodologa de enseanza de la matemtica es influenciada por la propuesta que hizo

Dieudonn en el Coloquio de Royaumont, Francia, donde propone un sistema deductivo

para la presentacin de los contenidos; a partir de axiomas con una presentacin y

organizacin estructural sistemtica. Como se estudia en la tesis doctoral de Sierra (1989),

este enfoque fue sistemticamente implementado por Papy en el Centro Belga de

Pedagoga de las Matemticas y difundido a nivel internacional.

Se destaca que entre las innovaciones principales consideradas en los nuevos planes

en las matemticas modernas, se encuentran la insistencia mayor en las ideas abstractas,

mayor atencin al rigor lgico, el uso de un vocabulario contemporneo, la insistencia en la

precisin del lenguaje, la insistencia en las ideas matemticas nuevas (Schaaf, 1964).

Adems se insista en abandonar los temas de la matemtica tradicional para introducir

34

campos tan nuevos como el lgebra abstracta, la topologa, la lgica simblica, la teora de

conjuntos y el lgebra de Boole, por lo que la consigna de la reforma era: matemtica

moderna.

Segn Freudenthal (1983), el significado de la teora de conjuntos para los

innovadores tuvo importancia slo en la matemtica avanzada. Seala que "en la enseanza

de las matemticas los conjuntos se usan virtualmente slo como una herramienta

lingstica donde algunos predicados son reemplazados por su extensin" (p.34). Los

conjuntos que se ensean en las matemticas escolares de hoy no son un dispositivo

organizador para los fenmenos matemticos, sino un objetivo en ellos mismos. Las

operaciones de interseccin, unin, complemento, y el conjunto potencia no se introducen

cundo y dnde la materia pide estos dispositivos. En cambio la materia ha sido creada para

ejercitar y entrenar estas operaciones. Debe notarse que sta no es una manera usual de

realizar la enseanza de la matemtica en la escuela.

Zazkis y Gunn (1997) examinaron varios argumentos en pro y en contra de la

enseanza de conjuntos a maestros en formacin. La mayora de los temas para los maestros

en formacin, como formas geomtricas y transformaciones, nmeros racionales,

introduccin a la teora de nmeros, y anlisis de datos se relacionan de algn modo a los

temas incluidos en el currculo de la escuela elemental. Los conceptos de teora de

conjuntos parecen ser la nica excepcin, los "sobrantes" de la tendencia de la nueva

matemtica para introducir la suma y substraccin por la va de los conjuntos. Puede

aparecer en el plan de estudios de los maestros de primaria en formacin y no estar

contemplados en el plan de estudios para los nios de la escuela primaria. Por otro lado, uno

puede considerar los conceptos de la teora de conjuntos como un complemento importante

sobre los fundamentos de la matemtica, extendiendo los horizontes matemticos de los

maestros en formacin ms all de lo que se espera que ellos enseen.

1.4. MARCO TERICO

Siguiendo a Godino (1999), consideramos que la investigacin didctica debe hacer

esfuerzos para poner en relacin y articular las diversas facetas que se ponen en juego en

los procesos de enseanza y aprendizaje de las matemticas en el seno de los sistemas

didcticos. Entre estas facetas identificamos las siguientes: epistemolgica (la naturaleza

del contenido matemtico); cognitiva (procesos de comprensin de los estudiantes;

dificultades y obstculos), e instruccional (procesos de enseanza y aprendizaje en

contextos escolares, curriculum y procesos de estudio).

35

El foco de atencin primario de una investigacin didctica lo situamos en el

anlisis de los procesos de enseanza y aprendizaje de los contenidos matemticos en el

seno de los sistemas didcticos. Por tanto, se tratar de caracterizar la naturaleza y factores

condicionantes de las relaciones entre un saber, los alumnos que tratan de apropiarse de

dicho saber con la ayuda de un profesor, y bajo unas circunstancias contextuales

determinadas. Pero el estudio de los sistemas didcticos se puede hacer de diversos modos.

En nuestro caso nos proponemos adoptar una aproximacin epistemolgica, lo que

significa, en primer lugar, problematizar la naturaleza del propio saber pretendido (la teora

elemental de conjuntos) y tratar de explicar los fenmenos cognitivos e instruccionales

teniendo en cuenta los resultados del anlisis epistemolgico.

A continuacin describiremos brevemente las nociones tericas que usaremos en el

estudio de las tres dimensiones mencionadas, desarrolladas en el modelo terico propuesto

por Godino y Batanero, y que lo consideran como un enfoque semitico-antropolgico a la

investigacin en didctica de las matemticas (Godino y Batanero, 1994; 1997).

Entre las nociones bsicas que proponen los autores citados para el anlisis

didctico estn las de "significado institucional y personal de un objeto matemtico"

(Godino y Batanero, 1994). Tales significados se conciben como los sistemas de prcticas

(operativas y discursivas) realizadas por una persona (o en el seno de una institucin) para

resolver un campo de problemas matemticos. Los sistemas de prcticas que una

institucin considera apropiados para resolver un tipo de tareas son denominados por

Chevallard, Bosch y Gascn (1997) una praxeologa matemtica, nocin que podemos

asimilar con la que Godino y Batanero denominan "significado institucional de un objeto

matemtico". La interpretacin de las praxeologas como significados de los objetos

matemticos (teoras, contenidos u organizaciones matemticas) supone la adopcin de una

epistemologa de tipo pragmatista y relativista (en consonancia con la filosofa de las

matemticas de Wittgenstein). Estas entidades se conciben como sistemas formados por

distintos elementos agrupables en dos categoras:

(a) Dimensin praxmica (praxis), formada por el campo de problemas, las

tcnicas (operaciones, procedimientos) y los elementos notacionales o lingisticos puestos

en juego.

(b) Dimensin discursiva (logos), formada por los conceptos, propiedades y

argumentaciones que regulan, organizan y estructuran los componentes praxmicos.

36

La nocin de praxeologa nos proporciona una herramienta potente para analizar la

variedad de significados atribuidos a las expresiones "teora de conjuntos" y nmero

natural. Para seleccionar los aspectos de la teora de conjuntos viables en un nivel y

contexto educativo es necesario disponer de las diversas posibilidades e identificar sus

elementos constituyentes, as como tener en cuenta las relaciones ecolgicas entre los

objetos matemticos (Godino, 1993).

Por otra parte, para describir y explicar los logros y dificultades de los estudiantes

tenemos que analizar con suficiente detalle el proceso de estudio, los patrones de

interaccin docente-discente a lo largo del proceso, as como la trama compleja de objetos

y relaciones que constituyen el conocimiento pretendido. Con dicho fin las nociones de

"praxeologa didctica" y "funcin semitica" pueden ser herramientas conceptuales tiles.

La nocin de praxeologa didctica (Chevallard, 1997) se corresponde con la de

praxeologa matemtica, pero en este caso el componente praxmico se refiere a las tareas

del profesor y del alumno, las tcnicas de estudio, y de ayuda al estudio. Para el profesor,

en el momento de la planificacin de la enseanza, se trata de disear una praxeologa

matemtica viable y en el momento de realizacin de la instruccin se trata de decidir y

aplicar las tcnicas de ayuda al estudio mejor adaptadas.

Un aspecto integrante de la praxeologa didctica es la distribucin en el tiempo de

las diversas funciones docentes y discentes en conjuncin con los distintos componentes de

las praxeologas matemticas. Se necesita describir el dilogo efectivamente ocurrido entre

profesor y estudiante a propsito de cada componente del saber matemtico, o prever

posibles alternativas para tales dilogos e interacciones. Los distintos elementos que

componen la praxeologa matemtica escolar debern ser abordados por el docente y

discente de acuerdo con patrones de interaccin definidos distribuidos en el tiempo, lo que

constituye una trayectoria didctica.

Objetos matemticos y puntos de vista desde los que se pueden considerar

En consonancia con el interaccionismo simblico, se considera como objeto o

entidad matemtica "todo aquello que puede ser indicado, todo lo que puede sealarse o a lo

cual puede hacerse referencia, cuando hacemos, comunicamos o aprendemos matemticas"

(Godino, 2001, p.6). Para analizar los procesos de enseanza y aprendizaje de las

matemticas se considera necesario explicitar los distintos tipos de objetos mediante los

cuales describir la actividad matemtica y los productos resultantes de la misma.

En el trabajo citado, Godino, propone los siguientes tipos de entidades:

37

(1) Lenguaje (trminos, expresiones, notaciones, grficos). En un texto vienen dados en

forma escrita o grfica pero en el trabajo matemtico pueden usarse otros registros (oral,

gestual). Mediante el lenguaje (ordinario y especfico matemtico) se describen otros objetos

no lingsticos.

(2) Situaciones (problemas ms o menos abiertos, aplicaciones extramatemticas o

intramatemticas, ejercicios, ...); son las tareas que inducen la actividad matemtica.

(3) Acciones del sujeto ante las tareas matemticas (operaciones, algortmos, tcnicas de

clculo, procedimientos).

(4) Conceptos, dados mediante definiciones o descripciones (nmero, punto, recta, media,

funcin, ...)

(5) Propiedades o atributos de los objetos mencionados, que suelen darse como enunciados

o proposiciones.

(6) Argumentaciones que se usan para validar y explicar las proposiciones (sean deductivas

o de otro tipo).

Estos seis tipos de objetos, que podemos calificar de matemticos porque se ponen

en juego en la actividad matemtica, son los constituyentes primarios de otros objetos ms

complejos u organizaciones matemticas, como los sistemas conceptuales, teoras, etc.

Las entidades lingsticas tienen un papel representacional se ponen en lugar de las

restantes- y tambin instrumental, o sea deben contemplarse adems como instrumentos de

la actividad matemtica. Aunque mucha actividad matemtica es mental, poco podramos

avanzar en el trabajo matemtico si no tuvieramos el recurso de la escritura, la palabra y los

restantes registros materiales.

Las situaciones-problemas matemticos son las promotoras y contextualizadoras de la

actividad matemtica, y junto con las acciones (algoritmos, operaciones, procedimientos)

constituyen el componente prctico de las matemticas, la accin dirigida a un fin. Parece

apropiado describir a estos dos componentes (situaciones-problemas y acciones) como

praxis segn propone Chevallard (1997).

Los otros tres componentes (conceptos-definiciones, proposiciones, argumentaciones)

desempean un papel normativo en las matemticas. Son el resultado de una actividad

reflexiva y regulativa de la praxis; conjuntamente se pueden describir como los

componentes tericos o discursivos (logos).

Este agrupamiento de las entidades matemticas en praxis y logos no quiere decir

que entre dichos componentes no existan relaciones de interdependencia. El lenguaje est

38

presente de manera intrnseca y constitutiva tanto en la praxis como en el logos; el logos

encuentra su razn de ser en la praxis y sta se desarrolla y rige por el logos.

Las entidades matemticas, segn el juego de lenguaje en que participan, pueden ser

consideradas desde las siguientes facetas o dimensiones duales:

personal - institucional

ostensiva - no ostensiva

concreta abstracta

elemental - sistmica

expresin - contenido

Remitimos al lector a Godino (2001) para una explicacin detallada del significado

que atribuye a estas dimensiones del conocimiento matemtico.

Finalmente, la nocin de funcin semitica pretende tener en cuenta la naturaleza

esencialmente relacional de la actividad matemtica y de los procesos de difusin del

conocimiento matemtico. Se dice que se establece una funcin semitica entre dos

entidades (ostensivas o no ostensivas) cuando entre ambas se establece una dependencia

representacional o instrumental, esto es, una de ellas se "pone en lugar de la otra", o una de

ellas "es usada por la otra". Esta nocin permite formular en trminos semiticos, y de una

manera general y flexible el conocimiento matemtico y explicar en trminos de conflictos

semiticos las dificultades y errores de los estudiantes.

1.5. OBJETIVOS E HIPTESIS DE LA INVESTIGACIN

Objetivo General

El objetivo general de nuestro trabajo consiste en investigar un aspecto del currculo

matemtico de los estudiantes de Magisterio, que, una vez pasada la resaca de la

matemtica moderna, es conflictivo actualmente: el papel que las nociones bsicas de

teora de conjuntos deberan desempear en los planes de formacin de maestros de

educacin primaria. Para alcanzar este objetivo general, nos plantearemos los objetivos

especficos que describimos a continuacin.

Objetivos especifcos

1) Explicitar los fundamentos tericos que nos permitan tomar una decisin sobre la

problemtica abordada. Para ello ser necesario hacer un estudio pormenorizado sobre

39

aspectos epistemolgicos de la teora de conjuntos, su origen, desarrollo, evolucin y

su papel en la matemtica. Adems con la realizacin de este estudio pretendemos

analizar los problemas, motivaciones y obstculos que dieron lugar a las nociones

conjuntistas.

No hay duda de que los maestros en formacin tienen que dominar los contenidos

matemticos elementales que se incluyen en el nivel de educacin primaria. Entre ellos

figuran la construccin de los nmeros naturales, el estudio de la forma y la medida de

magnitudes. Un criterio para la inclusin de las nociones conjuntistas en el currculo de

matemtica de la formacin de los maestros ser si para el desarrollo de esos temas dichas

nociones son necesarias o no, o en qu medida. Con el fin de acotar nuestro problema de

investigacin, el estudio de las relaciones de las nociones conjuntistas con otros contenidos

curriculares elementales lo centraremos en los nmeros naturales. Esto nos lleva a formular

los siguientes objetivos.

2) Estudiar las diversas construcciones de los nmeros naturales y caracterizar el papel

que desempean las nociones conjuntistas en dichas construcciones. Nos parece

necesario estudiar las construcciones de N elaboradas por autores interesados por los

fundamentos de la matemtica (Frege, Dedekind, Peano, Russell) y contrastarlas con las

realizadas desde un enfoque constructivista (Weyl, Lorenzen, Benacerraf). Todo ello

con la finalidad de analizar las diferentes construcciones que sean adecuadas en la

formacin de maestros a los que se presentara en forma simplificada.

3) Realizar un anlisis a una coleccin de libros de textos de matemticas de educacin

primaria, correspondientes a la poca de vigencia de la matemtica moderna y de la

poca actual, con el fin de caracterizar el papel de las nociones conjuntistas en el

tratamiento dado a los nmeros naturales en este nivel educativo.

Puesto que los maestros tienen responsabilidad en la concrecin de los ltimos

niveles curriculares deberan tener conocimientos que les permitan leer crticamente textos

escolares, incluso de los planes anteriores y tomar una posicin respecto a los mismos.

En virtud de que las nociones conjuntistas bsicas fueron los contenidos que mayor

nfasis se le dieron en el currculo de matemtica moderna, consideramos necesario,

como marco de referencia para nuestra investigacion, hacer una revisin de las principales

40

caractersticas del fenmeno conocido como matemtica moderna, sobre sus causas,

consecuencias y las razones aducidas tanto para la inclusin de la teora de conjuntos en los

niveles de primaria, secundaria, como para su supresin. Esta faceta de nuestra

investigacin se concreta en el siguiente objetivo.

4) Hacer un estudio curricular de la teora de conjuntos con la finalidad de describir el

fenmeno didctico conocido como matemtica moderna en los niveles de primaria y

secundaria en el perodo de los aos 60 a 80, as como en los currculos de formacin de

maestros.

La decisin de incluir un tema en el currculo puede estar basada en su conexin con

otros temas, esto es, por su carcter instrumental. Pero es necesario investigar su viabilidad

y los requisitos necesarios para el estudio. No es suficiente realizar un estudio de tipo

epistemolgico-ecolgi