texto guia instrumentacion i

8/3/2019 Texto Guia Instrumentacion i

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2.2.3 Reduccin de diagramas de entrada simple y salida simple. 29

2.2.4 Reduccin de diagrama de entrada mltiple y salida mltiple. 29

2.3 GRAFICA DE FLUJO DE LA SEAL 34

2.3.1 Regla de la ganancia de Masn. 35

2.4 MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS 38

2.4.1 Representacin en el espacio de estados de sistemas dinmicos. 40

2.5 SISTEMAS MECNICOS 45

2.5.1 Conceptos principales. 45

2.6 SISTEMAS ELCTRICOS 48

2.7 SISTEMA DE NIVEL DE LQUIDOS 49

2.7.1 Resistencia y capacitancia de sistema de nivel de lquidos. 49

2.8 SISTEMA TERMICO 52

2.8.1 Resistencia y capacitancia trmica. 53

2.9 SISTEMA NEUMATICO 54

2.9.1 Sistemas neumticos 55

2.9.2 Resistencia y capacitancia de los sistemas de presin 55

2.10 LINEALIZACION DE MODELOS MATEMTICOS NO LINEALES 58

2.10.1 Aproximacin lineal de modelos matemticos no lineales. 58

2.10.2 Variables de desviacin. 60

2.11 PROBLEMAS PROPUESTOS 62

3. ANLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA 64

3.1 INTRODUCCION 64

3.2 SISTEMA DE PRIMER ORDEN 64


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3

3.2.1 Respuesta escaln unitaria de sistema de primer orden. 64

3.2.2 Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden. 66

3.2.3 Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. 67

3.3 SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN 69

3.3.1 Respuesta escaln de sistema de segundo orden. 72

3.3.2 Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria. 77

3.3.3 Sistemas de segundo orden y especificaciones de las respuestas transitoria. 78

3.4 SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR 81

3.4.1 Respuesta transitoria de los sistemas de orden superior 81

3.5 RESPUESTA EN ESTADO ESTABLE 83

3.5.1 Caracterisitica de la respuesta en estado estable. 83


4. ACCIONES BASICAS DE CONTROL Y RESPUESTA DE SISTEMA DE CONTROL88

4.1 INTRODUCCION 88

4.1.1 Acciones bsicas de control. 88

4.2 EFECTOS DE LAS ACCIONES DE CONTROL INTEGRAL Y DERIVATIVOSOBRE EL DESEMPEO DE UN SISTEMA 92

4.2.1 Accin de control integral. 92

4.2.2 Accin integral de los sistemas de control de nivel de lquidos. 93

4.2.3 Accin de control derivativa. 94

4.3 CRITERIO DE ESTABILIDAD ROUTH-HURWITZ 95

4.3.1 Casos especiales. 97

4.3.2 Aplicacin del criterio de estabilidad de Routh al anlisis de un sistema de control 99


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5. COMPONENTES ESPECIFICOS DE UN SISTEMA DE CONTROL 103

5.1 INTRODUCCION 103

5.2 TRANSMISORES NEUMTICOS 103

5.2.1 Conjunto tobera obturador. 103

5.2.2 Relevadores (amplificador de potencia). 105

5.2.3 Transmisor neumtico (de tipo Fuerza-Distancia). 106

5.2.4 Anlisis dinmico del transmisor neumtico. 107

5.2.5 Transmisor neumtico (de tipo Fuerza-Balance). 109

5.2.6 Anlisis dinmico de transmisor (Fuerza-Balance). 110

5.2.7 Velocidad de respuesta de los transmisores neumticos. 111

5.2.8 Otras configuraciones de transmisores neumticos. 113

5.3 TRANSMISORES ELECTRNICOS 114

5.3.1 Transmisor electrnico de equilibrio de fuerzas. 114

5.3.2 Trasmisor electrnico de equilibrio de fuerza LVDT. 115

5.3.3 Anlisis dinmico del transmisor electrnico. 116

5.3.4 Velocidad de respuesta del transmisor electrnico. 116

5.4 TRANSMISORES DIGITALES 116

5.4.1 Capacitivo. 116

5.4.2 Semiconductor. 116

5.4.3 Anlisis dinmico del transmisor digital. 117

5.4.4 Velocidad de respuesta del transmisor digital. 118

5.5 COMPARACION DE LOS TRANSMISORES UTILIZADOS 118


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5.6 CONTROLADORES NEUMTICOS 119

5.6.1 Controladores neumticos proporcionales y su accin proporcional. 119

5.6.2 Principio bsico para obtener una accin de control derivativa. 121

5.6.3 Accin de un control neumtico P-I. 122

5.6.4 Accin de control neumtico P-I-D. 123

5.7 CONTROLADORES ELECTRNICOS. 124

5.7.1 Controlador P (Proporcional). 125

5.7.2 Controlador I (Integrativo) 125

5.7.3 Controlador P-D (Proporcional-Derivativo) 126

5.7.4 Controlador P-I (Proporcional Integrativo) 127

5.7.5 Controlador P-I-D (Proporcional-Integrativo-Derivativo) 128

5.8 CONTROLADORES DIGITALES 129

5.8.1 Algoritmos 130

5.9 VALVULAS DE CONTROL 131

5.9.1 Dimensionamiento de las vlvulas de control. 131

5.9.2 Cv con los lquidos. 131

5.9.3 Caractersticas del flujo de la vlvula. 133

5.9.4 Ganancia de la vlvula de control. 134


6. SINTONIZACIN DE CONTROLADORES 135

6.1 INTRODUCCION 135

6.2 METODO DE LAZO CERRADO 135

6.3 METODO DE LAZO ABIERTO 136


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6

6.3.1 Mtodo de Ziegler-Nichols a lazo abierto. 138

6.3.2 Mtodo de Dahlin. 138

6.4 PROBLEMA PROPUESTO 145

BIBLIOGRAFIA


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LISTA DE TABLASPg.

Tabla 1. Relacin voltaje-corriente. 17

Tabla 2. Circuitos mecnicos de traslacin. 19

Tabla 3. Gua de rotacin 21

Tabla 4. Circuito anlogo serie 22

Tabla 5. Circuito anlogo paralelo 23

Tabla 6. Errores relativos en estado estable 85

Tabla 7. Comparacin de transmisores. 118

Tabla 8. Ecuaciones para ajuste de controladores. 136

Tabla 9. Parmetros de sintonizacin de Ziegler-Nichols a lazo abierto. 138

Tabla 10 Parmetros de sintonizacin de un controlador por Dahlin. 139


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LISTA DE FIGURASPg.

Figura 1. Lazo de control. 13

Figura 2. Ciclo abierto. 14

Figura 3. Ciclo cerrado. 15

Figura 4. Circuitos RLC. 17

Figura 5. Circuitos mecnicos de traslacin . 19

Figura 6. Diagrama de cuerpos libres 20

Figura 7. Circuito rotativo 21

Figura 8. Cuerpo libre rotacional 22

Figura 9. Analoga elctrica-mecnica. 23

Figura 10. Modelos electromecnicos. 23

Figura 11. Circuito mecnico serie. 25

Figura 12. Circuito mecnico paralelo. 25

Figura 13. Circuito mecnico mixto. 25

Figura 14. Elementos de diagrama. 29

Figura 15. Diagramas de bloques. 29

Figura 16. Diagrama para el ejemplo. 30

Figura 17. Elementos de grafica de flujo. 34

Figura 18. Equivalente de flujo de seal. 35

Figura 19. Proceso de Masn. 36

Figura 20. Diagrama de estado general 39

Figura 21. Mtodo de las variables de estado sin integrales. 41Figura 22. Sistema Mecnico, desplazamiento 42

Figura 23. Variables de estado general. 44

Figura 24. Sistema mecnico, desplazamiento u, y. 45

Figura 25. Circuito RLC. 48

Figura 26. Sistema de nivel. 50

Figura 27. Sistema trmico. 54

Figura 28. Sistema de presin. 55


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Figura 29. Sistema modelado. 62

Figura 30. Sistema de nivel de lquidos. 62Figura 31. Sistema de calentamiento de aire. 63

Figura 32. Sistema de movimiento. 63

Figura 33. Sistema complejo de polos. 63

Figura 34. Curva de primer orden. 65

Figura 35. Respuesta de rampa unitaria. 66

Figura 36. Respuesta de impulso unitario. 67

Figura 37. Ejemplo de control para un tanque. 67

Figura 38. Sistema de un servomotor. 70

Figura 39. Casos de amortiguamiento. 77

Figura 40. Representacin de la caracterstica de un proceso. 78

Figura 41. Sistema de realimentacin general. 81

Figura 42. Sistema de control. 82

Figura 43. Sistema realimentado. 83

Figura 44. Sistema mltiple. 87

Figura 45. Sistema de realimentacin. 87Figura 46. Diagrama todo o nada. 89

Figura 47. Vlvula de control en la brecha. 89

Figura 48. Brecha diferencial. 90

Figura 49. Representacin de error y salida. 92

Figura 50. Sistema de nivel de lquido. 93

Figura 51. Estado estable en el plano complejo. 96

Figura 52. Sistema de control. 100Figura 53. Sistema realimentado para estado estable. 101

Figura 54. Sistema complejo de realimentacin. 101

Figura 55. Bloque de las etapas de un transmisor neumtico. 103

Figura 56. Diagrama esquemtico del amplificador tobera-obturador. 104

Figura 57. Curva caracterstica de la presin tobera y la distancia tobera-obturador. 104

Figura 58. Diagrama de un relevador con escape. 105

Figura 59. Diagrama esquemtico de un relevador sin escape. 106


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Figura 60. Diagrama esquemtico de transmisor de tipo fuerza-distancia. 107

Figura 61. Diagrama de bloques de un transmisor neumtico. 109Figura 62. Diagrama de un transmisor tipo fuerza-balance. 109

Figura 63. Sistema de temperatura de un reactor. 112

Figura 64. Diagrama en Simulink de un modelo de transmisor. 113

Figura 65. Diagrama del transmisor de equilibrio de fuerzas. 114

Figura 66. Transmisor electrnico de equilibrio de fuerzas tubo bourdon. 114

Figura 67. Diagrama de un detector de posicin LVDT. 115

Figura 68. Transmisor digital capacitivo. 117

Figura 69. Transmisor digital inteligente. 117

Figura 70. Controlador neumtico proporcional. 119

Figura 71. Accin proporcional. 120

Figura 72. Accin P-D. 121

Figura 73. Controlador P-I. 122

Figura 74. Controlador P-I-D. 124

Figura 75. Controlador Proporcional 125

Figura 76. Controlador Integrativo 125Figura 77. Controlador Proporcional-Derivativo 126

Figura 78. Controlador Proporcional- Integrativo. 127

Figura 79. Controlador Proporcional-Integrativo-Derivativo. 128

Figura 80. Sistema de realimentacin con un controlador digital. 129

Figura 81. Curvas de la caractersticas de flujo inherente. 133

Figura 82. Razn de amortiguamiento. 135

Figura 83. Curva de reaccin del proceso usando el mtodo de los puntos. 137Figura 84. Tanque con agitacin contina. 139

Figura 85. Proceso en Simulink. 140

Figura 86. Transmisor de temperatura. 141

Figura 87. Convertidor de corriente a presin. 141

Figura 88. Vlvula de control. 142

Figura 89. Controlador P-I-D. 143

Figura 90. Sistema completo de simulacin. 143


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Figura 91. Escaln unitario con el bas con lazo abierto. 144

Figura 92. Curva de reaccin salida del transmisor. 144Figura 93. Variable controlada con el controlador sintonizado. 145

Figura 94. Tanque de agitacin. 146


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INTRODUCCIN

El propsito principal de este texto gua, es presentar las metodologas y procesospara adquirir una idea general de la teora de control. Con este fin se introducen una seriede conceptos desde lo bsico hasta lo ms prctico en el campo de los procesos industriales.

Los conceptos y teoras que conforman este texto gua, se basan en libros queaportan fundamentos y material importante, que a su vez son ejemplares recomendados enesta asignaturas, entre estos estn: Hostetter, Ogata, Creus y Corripio.

El inters se centra en la realizacin de un texto gua que sea de gran aporte en losconceptos y fundamentos de la teora de control, que rena los requisitos exigidos por elprograma acadmico de ingeniera Electrnica y Electromecnica de la UFPS, a su vez queapoye en forma eficiente a la academia en su respectiva enseanza, tambin queproporcione un instrumento fcil de adquirir y de bajo costo para el estudiante.

En el capitulo 1, se muestra conceptos preliminares de los sistemas de control,dando un desarrollo pedaggico en la terminologa de estos y a su vez se establecen losmodelos y sistemas de ecuaciones como base para la introduccin y fortaleza del capitulo 2que da un lineamiento fundamental de los modelos matemticos de diferentes sistemas oprocesos ms comunes de la industria en general.

En el capitulo 3 se presenta, despus de haber conformado los modelos, un anlisisde la respuesta transitoria, desde el punto de vista de su orden es decir, si es de primerorden o segundo orden.

En el capitulo 4, se establecen las acciones bsicas de control y las respuestas delsistema de control, introduciendo el anlisis de estabilidad.

En el capitulo 5, se dan los conceptos fundamentales de los elementos quecomponen un sistema de lazo cerrado desde el punto de vista analtico y prctico.

Despus que se obtiene el sistema general en el capitulo 6, se involucra un elemento

que se estudio en el capitulo 5 que es el controlador, desde el punto de vista desintonizacin o conformacin de los parmetros propios, aplicando en el, una serie demtodos que hacen una aproximacin para ajustar las constante propias de loscontroladores PID.

Este texto gua da como resultado, un aporte de gran inters al estudiante en suformacin acadmica cuando se enfrenta al sector industrial como ingeniero, debido a queha adquirido unas bases slidas sobre una teora de control fundamentada en la experienciade conocimientos reales y concretos.


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1. CONCEPTOS PRELIMINARES1.1 INTRODUCCIN

La teora de control anloga ha realizado una labor muy importante en el avance dela ingeniera y la tecnologa, desde un punto de vista cientfico, prctico y acadmico.

En este captulo mostraremos los trminos y representaciones de los sistemas decontrol, como los conceptos de realimentacin, los componentes de los sistemas de controlbsicos, el desarrollo de los sistemas de ecuaciones para diferentes sistemas de entradassimples y salidas simples, sistemas multivariables y por ltimo, expondremos modelos parasu compresin general en un sistema.

1.2 SISTEMA DE CONTROL Y TERMINOLOGIA

Para hacer un anlisis en un sistema de control ver figura 1, es importante tenerconceptos precisos sobre la terminologa bsica y sus definiciones, como se presenta acontinuacin:

Figura 1. Lazo de control.

Variable manipulada: Seal que entrega el controlador, para mantener constante lavariable de salida o variable controlada.

Controlador: Dispositivo que controla la variable manipulada para mantener lavariable controlada, a travs de condiciones preestablecidas del proceso en general.

Error: Seal producida por la diferencia entre el valor predeterminado con la variablecontrolada, dando como resultado una seal a la entrada del controlador.

Proceso: Conjunto de variables que conforman una funcin especfica a controlar.


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Planta: Conformacin de diversos procesos que ejecutan una funcin particular. Perturbaciones: Seal que interviene inversamente al valor de la salida de un proceso

o variable a controlar.

Variable controlada: Variable que se mide y se controla para mantener las condicionesdel proceso en rgimen estable y permanente.

Vlvula: Elemento final que introduce o controla el flujo a la entrada del proceso oelemento que regula el sistema en general.

Transmisor: Dispositivo que procesa la seal generada del sensor y la convierte en unaseal que se puede comparar con el valor establecido para el proceso.

Sistema: Combinacin de componentes que actan juntos y realizan una funcindeterminada.

El concepto general de un sistema de control, consiste en controlar una seal desalida a travs de una serie de dispositivos que al unsono conforman un equilibrioenergtico puro y exacto, con el fin que el proceso funcione exactamente sin ningninconveniente.

1.3 CONCEPTOS DE REALIMENTACIN

En los sistemas de control existen dos lazos, uno abierto y otro cerrado.

1.3.1 Lazo abierto. Seal de entrada sin la participacin de la variable controlada o sinrealimentacin de la salida con la entrada, ver figura 2.

Figura 2. Lazo abierto.

Para comprender este concepto se debe hacer la discusin de algunos aspectos quecomprometen este tema, como los siguientes:


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Comentarios sobre aspectos de lazo abierto.

En lazo abierto no se tiene ningn control directo e instantneo de la sealcontrolada. Tambin se puede decir que son sistemas en los cuales la salida no afecta la

accin de control. La precisin del sistema depende de la calibracin, ante la presencia de

perturbaciones. Un sistema de control de lazo abierto no realiza la tarea deseada,

eficientemente. El lazo abierto, se utiliza cuando se conoce la relacin entre la entrada y

salida y cuando no existen perturbaciones internas ni externas.

1.3.2 Lazo cerrado. Representa la seal de salida conectada con la seal de entrada, atravs de un brazo de realimentacin (transmisor), ver figura 3.

Figura 3. Lazo cerrado.

En un sistema de lazo cerrado se alimenta al controlador, para producir una seal deerror de actuacin, que es la diferencia entre la seal de referencia y la seal derealimentacin, a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor convenientey estable.

El trmino de control en lazo cerrado, implica el uso de una accin de controlrealimentado para reducir el error del sistema y mantener la seal de salida estable.

Algunas ventajas que ofrece el control de realimentacin o lazo cerrado son: Incremento en la exactitud: El sistema de lazo cerrado se puede disear para llevar a

cero el error entre la seal de referencia y la controlada.

Reducciones de efectos de perturbaciones: El sistema puede atenuar notablemente losefectos de perturbaciones que se presenta en un proceso.

Incremento en la rpidez de respuesta: Se utiliza para incrementar la gama defrecuencia sobre la cual un sistema responder en forma lenta o rpida.


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Estabilidad: Es una funcin primordial en el sistema de control en lazo cerrado, lo cualpuede conducir a corregir un exceso de errores que producen oscilaciones de amplitud

constante o cambiante en el tiempo de un proceso.

Costo: Este sistema es ms costoso que el de lazo abierto.Comentarios sobre aspectos de lazos de realimentacin o cerrado.

Podemos afirmar que el lazo cerrado es de gran importancia cuando aparecen los

disturbios ajenos al sistema o variaciones, ubicados en sus componentes que lo conforman.

Tambin podemos decir que el concepto de la energa de salida, nos lleva a plantear en

forma parcial los aspectos predominantes en un sistema, como son las caractersticas de

costo, reas, tamaos y cantidad de componentes. Otro aspecto importante para tener

encuenta, es que en estos sistemas se tiene un gran aliado, como son las herramientasinformticas de simulacin, en este caso el (MatLab - Simulink), se facilita el estudio,

anlisis y seleccin de todo un sistema de control desde lo particular a lo general, a travs

de una metodologa cientfica.

El campo de los sistemas de control realimentados no solamente son de la

ingeniera, sino que tambin son participe en forma directa en diversas reas de la ciencia,

como un caso muy particular en el rea de la salud.

1.4 MODELOS Y SISTEMAS DE ECUACIONES

1.4.1 Componentes del sistema de control. La metodologa utilizada para el diseo delsistema de control, consiste en obtener las ecuaciones integrales diferenciales del mundoreal, manipulacin de los modelos matemticos representados en forma analtica eimplementacin, manejo de las herramientas informticas de simulacin y la obtencin delos componentes que conforman los esquemas adecuados para su optimizacin en el campode control anlogo.

Generalmente los componentes del sistema de control anlogo incluyen elementoselctricos, electrnicos, mecnicos y electromecnicos.

1.4.2 Circuitos elctricos y electrnicos. Estos circuitos estn soportados por las leyes de

corriente y voltajes de Kirchhoff, en el caso de la tcnica de nodos se establece que lassumas de todas las corrientes que llegan o salen a un nodo debe ser cero y las caractersticasque se debe tener encuenta en un circuito elctrico son las siguientes:

La suma algebraica de los voltajes en un circuito cerrado (paralelo, serie o mixto). La suma algebraica de las corrientes en un nodo o malla de un circuito (paralelo, serie o

mixto).

Los elementos de un circuito incluyen resistencias, capacitancias, inductancias,fuentes de voltaje y corriente.


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La relacin voltaje-corriente de los modelos matemticos que conforman estecampo de la ciencia aplicadas se presenta en la tabla 1.

Tabla 1. Relacin voltaje-intensidad.

Ejemplo

Encuentre el sistema de ecuaciones integral-diferencial de la figura 4.

Figura 4. Circuito RLC.

Solucin

Para solucionar esta clase de circuitos elctricos (serie, paralelo o mixto), se debehacer primero la escogencia de la tcnica de anlisis a utilizar, en este caso se escogi latcnica de nodos y se procede a utilizar los modelos presentados en la Tabla 1. Se contina


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Tabla 2. Circuitos mecnicos de traslacin.

La tabla 2, se usa de acuerdo a la siguiente metodologa.

Plantear y analizar el circuito propuesto. Definir las posiciones con sentidos direccionales (x(t), f(t)) para cada cuerpo que

componen el sistema en estudio.

Dibujar un diagrama de cuerpo libre de cada una de las masas, expresando las fuerzasque actan sobre ellas en trminos de posiciones, segn los modelos matemticospresentados en la tabla 2.

Conformar las respectivas sumatorias en las masas, teniendo encuenta las direccionesrespectivas de su movimiento.

Establecer la conformacin de ecuaciones integrales-diferenciales.Ejemplo

Hallar las ecuaciones integrales-diferenciales del siguiente sistema mecnico,presentado en la figura 5.

Figura 5. Circuitos mecnicos de traslacin.


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Solucin

Primero: Anlisis del sistema: Es un sistema que tiene dos masas, cada masa estasujeta a los elementos de absorcin y liberacin de energa como los resortes,amortiguadores. Se le aplica una fuerza F que emitir un movimiento al lado derecho de ladisposicin del sistema, esta hace que la masa se muevan en ese sentido, pero loscomponentes que estn sujetos a estas masas efectan sus respectivas opciones (accin-reaccin), en este sistema se desprecia el rozamiento de la ruedas con el piso.

Segundo: Se define las direcciones y sentidos de las masas que compone el sistemamecnico de traslacin de la figura 5, como son x1 y x2 hacia la derecha, teniendo encuentael sentido de la aplicacin de la fuerza F.

Tercero: Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de cada masa figura 6, se colocatodas las fuerzas en sus respectivas direcciones que afecta a este cuerpo en movimiento.

Figura 6. Diagrama de cuerpos libres.

Cuarto: Se escriben las ecuaciones de movimiento segn la figura 6, usando la leyde newton, y ordenando el sistema nos queda las siguientes expresiones:

022192

61

61

42

2

=++ xxdt

dx

dt

dx

dt

xd

Fxxdt

dx

dt

dx

dt

xd=++ )1225162625

2

2

1.4.4 Circuitos mecnicos de rotacin. Los circuitos mecnicos rotacionales se trabajande la misma forma que los circuitos mecnicos de traslacin, la diferencia radica en que elpar reemplaza la fuerza y el desplazamiento lineal al desplazamiento rotacional angular.

Los componentes mecnicos rotacionales, con su respectivo modelo matemtico sepresentan en la tabla 3.


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Tabla 3. Gua de rotacin.

Ejemplo

Hallar las ecuaciones integrales-diferenciales del siguiente sistema mecnico, derotacin presentado en la figura 7.

Figura 7. Circuito rotativo.

Solucin

Primero: Anlisis del sistema: Es un sistema que tiene una masa rotativa con surespectiva inercia J, la masa rotativa esta sujeta a los elementos de absorcin y liberacin deenerga como el resorte y el amortiguador. Se le aplica un movimiento rotativo i quegenerara un movimiento al lado derecho de la disposicin del sistema, esta hace que lamasa gire en direccin de las manecillas de reloj, pero los componentes que estn sujetos aestas masas efectan sus respectivas opciones (accin-reaccin).

Segundo: Se define las direcciones y sentidos de las masas que componen elsistema mecnico de rotacin de la Figura 7, como son i y o , teniendo encuenta elsentido de giro.

Tercero: Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de cada masa, se coloca todas lasfuerzas en sus respectivas direcciones que afecta a este cuerpo en movimiento, como sepresenta en la figura 8.


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Figura 8. Cuerpo libre rotacional.

Cuarto: Se escriben las ecuaciones de movimiento segn la figura 8, usando la leyde newton. Ordenando, nos queda lo siguiente:

dt

odBoiK

dt

odJ

= )(

2

2

02

2

=++ iKoKdt

odB

dt

odJ

1.4.5 Analoga elctrica mecnica. El concepto fundamental de las analogas se centraen la obtencin de un sistema a otro, al comparar las ecuaciones descriptivas de un circuitoya sea elctrico, mecnico o rotacional.

A continuacin se presentara un ejemplo donde se analizar las analogas elctricasy mecnicas, desde el punto de vista de sus configuraciones, serie y paralela.

Ejemplo

Convertir en su anlogo serie, el circuito mecnico de traslacin de la figura 5.

Solucin

Para realizar la analoga correspondiente, se debe tener encuenta la clase de circuitoque se va a trabajar, serie o paralelo, con el objetivo de hacer la conversin de suscomponentes mecnicos a elctricos. Esta conversin se hace utilizando las tablas deanaloga presentadas anteriormente Tabla 4 5, en nuestro caso se utiliza la Tabla 4.

Tabla 4. Circuito anlogo serie.

Mecnico Elctrico

Masa = M Inductor = M HenriosAmortiguador = B Resistor = B ohmios

Resorte = K Capacitor = 1/K FaradiosFuerza aplicada = F(t) Fuente de voltaje = F(t)

Velocidad = v(t) Corriente = v(t)


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Tabla 5. Circuito anlogo paralelo.

Mecnico Elctrico

Masa = M Capacitor = M FaradiosAmortiguador = B Resistor = 1/B ohmios

Resorte = K Inductor = 1/K HenrioFuerza aplicada = F(t) Fuente de voltaje = F(t)

Velocidad = v(t) Corriente = v(t)

El resultado anlogo serie de la figura 5 es el circuito elctrico presentado en lafigura 9.

Figura 9. Analoga elctrica mecnica.

1/2

1/31/7

6

5

F(t)

4

1.4.6 Circuitos electromecnicos.

Figura 10. Modelos electromecnicos.

Sistema oscilante, cambia la capacitancia del condensador por medio deldesplazamiento de la varilla a travs de las placas del condensador C.


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Sistema de momento angular, con el movimiento angular se intercambia a undesplazamiento vertical.

Comentarios sobre aspectos de los circuitos anlogos.

Podemos decir que estos circuitos mecnicos tienen tres elementos que loconforman (resorte, amortiguador y masa), tambin existen tres componentes en los

circuitos elctricos (resistencia, bobina y condensador), pero lo importante es la

caracterstica de almacenamiento o disipacin de estos elementos o componentes. El

resorte y la masa son elementos que almacenan energa, el amortiguador libera energa. Si

hacemos la analoga con el circuito elctrico establecemos que el condensador y la bobina

almacenan energa y la resistencia disipa energa.

Otro aspecto importante para tener encuenta, es la analoga de un circuito elctrico

serie o paralelo respecto a un circuito mecnico, que nos representa un modelo prctico en

un sistema real dado.

Lo importante de estas analogas, es la interaccin de diversas reas del saber, es

decir, un lenguaje comn de comunicacin entre esta.

Como ejemplo, podemos indicar que el diseador mecnico se puede entender en

un lenguaje comn y sin ninguna dificultad con el diseador electrnico o electricista.

1.5 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar las ecuaciones de movimiento para la siguiente red mecnica, ver figura 11.


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Figura 11. Circuito mecnico serie.

2. Hallar las ecuaciones de movimiento para la siguiente red mecnica, ver figura 12.Figura 12. Circuito mecnico paralelo.

3. Hallar las ecuaciones de movimiento para la siguiente red mecnica, ver figura 13.Figura 13. Circuito mecnico mixto.


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26

2. RESPUESTAS DE LOS SISTEMAS2.1 INTRODUCCION

Los diagramas de bloques y las grficas de flujo de seal son representaciones delas relaciones entre las partes de los componentes de un sistema. Despus de haberadquirido cierta prctica en las descripciones de los diagramas de bloques y en las grficasdel flujo de seal, se analizar el modelado en el espacio de estados, se comprender losconceptos de los sistemas de: movimiento, circuitos elctricos, nivel, trmicos, neumaticosy se introducir en la linealizacin de los modelos matemticos no lineales.

2.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Y DIAGRAMAS DE BLOQUES

2.2.1 Definicin de la funcin de transferencia. Se define como la relacin de latransformada de Laplace de la variable de salida entre la transformada de Laplace de lavariable de entrada.

La funcin de transferencia se representa generalmente por la ecuacin (3):

)1...(

)1...(

)(

)()(

1

1

1

11

1

++++

++++==

sbsbsb

sasasaK

sX

sYsG

n

n

n

n

m

m

m

m (3)

=)(sG Representacin general de una funcin de transferencia.=)(sY Transformada de Laplace de la variable de salida.

=)(sX Transformada de Laplace de la variable de entrada.=besaesK ,, Constantes.

La K, representa la ganancia del sistema y tiene como unidades la de Y(s) sobre lasunidades de X(s). Las otras constantes, las ba, tienen como unidades (tiempo), s seasocia con la constante particular, lo que da como resultado un trmino sin dimensiones, ya

que la unidad de s es 1/tiempo.

Nota: En general, la unidad de s es el recproco de la unidad de la variableindependiente que se usa en la definicin de la transformada de Laplace. En la dinmica ycontrol del proceso la variable independiente es el tiempo y, en consecuencia, la unidad des es 1/tiempo.

La funcin de transferencia define completamente las caractersticas de estadoestacionario y dinmico de un sistema, es decir, la respuesta total de un sistema quedescribe mediante una ecuacin diferencial lineal. Esta es la caracterstica del sistema y sustrminos determinan si el sistema es estable o inestable, tambin se conoce al denominador

de esta relacin como polinomio caracterstico.


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27

Las siguientes son algunas propiedades importantes de las funciones detransferencia:

En las funciones de transferencia de los sistemas fsicos reales, la potencia ms altade s en el numerador nunca es mayor a la del denominador; en otras palabras

mn .

La funcin de transferencia relaciona las transformadas de las variables de entradacon las de salida, a partir de algn estado inicial estacionario; de lo contrario, lascondiciones iniciales que no son cero originan trminos adicionales en latransformada de la variable de salida.

Para los sistemas estables, la relacin de estado estacionario entre el cambio en lavariable de entrada y el cambio en la variable de salida se obtiene con:

)s(Glim0s

Lo cual se deriva del teorema del valor final, quedando lo siguiente:

)t(xlim)s(Glim

)s(sXlim)s(Glim

)s(X)s(sGlim

)s(sYlim)t(ylim

t0s

0s0s

0s

0st

=

=

=

=

Esto significa que el cambio en la variable de salida, despus de un tiempo muylargo, si esta limitado, se obtiene al multiplicar la funcin de transferencia con s = 0 vecesel valor final del cambio en la entrada.

Funcin de Transferencia

Las descripciones de un sistema en el dominio del tiempo permiten predecir elcomportamiento transiente (en este caso, el voltaje de salida) de un sistema dado por unperodo limitado despus de haber hecho algn cambio (por ejemplo, conectar la batera aun sistema). Sin embargo, muchas veces estamos interesados en el comportamiento enestado de rgimen (steady-state). Para estos casos se usa el anlisis en el dominio de lafrecuencia, usando tcnicas basadas en la transformada de Laplace. Si aplicamos latransformacin de Laplace a cada trmino de la ecuacin (4), se obtiene el siguientearreglo.

)(1

)0()()( sQC

RqssRQsVi += (4)


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28

Donde las letras maysculas son usadas para representar las respectivastransformadas de Laplace.

[ ][ ] )()(

)()(sQtqL

sVitviL

=

=

De este modo, en trminos de lo que se desea observar, en este caso el voltaje desalida Vo(s), presentado en la siguiente ecuacin (5).

)(1

1)(

1)( sVi

RCssvo

RCs

RCsVo

++

+= (5)

Si nos centramos en la ecuacin (5) de estado de rgimen (steady-state), y

asumimos que las condiciones iniciales son iguales a cero, podemos entonces determinar elconciente entre la transformada de Laplace del voltaje de salida y el del voltaje de entrada:

RCssVi

sVo

+=

1

1

)(

)((6)

Observe que el lado derecho de la ecuacin (6) depende solamente de losparmetros R y C, y de la variable de frecuencia compleja s. Esta forma de ecuacin seconoce como funcin de sistema, o funcin de transferencia del sistema, quehabitualmente se designa como G(s).

Empleando la designacin habitual RC = para la constante de tiempo, entonces lafuncin de transferencia del sistema RC serie puede escribirse de la forma:

ssG

+=

1

1)(

Por lo tanto, podemos representar (simplificar) el circuito RC serie por eldiagrama equivalente de bloques simple. Con este mtodo, dado cualquier voltaje deentrada que se aplique, podemos calcular la transformada de Laplace del voltaje de salidacon la siguiente expresin:

)()()( sVisGsVo =

Y, si quisiramos la respuesta en el dominio del tiempo, la obtendramos evaluandola transformada inversa de Laplace y se obtiene la siguiente ecuacin.

[ ])()()( 1 sVisGLtvo =

2.2.2 Elementos del diagrama. Los diagramas de bloques se emplean para describiresquemticamente los sistemas, ver figura 14.


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29

Figura 14. Elementos de diagrama.

En un diagrama de bloques, se utiliza un bloque para indicar una correspondenciaproporcional entre dos seales, transformadas segn Laplace. La funcin deproporcionalidad relaciona las seales de entrada con la salida. Un sumador se usa paraindicar adiciones o sustracciones de seales. Este sumador puede tener cualquier nmero de

seales entrantes, pero slo una seal de salida. Una unin indica que la misma seal salehacia diferentes direcciones.

2.2.3 Reduccin de diagramas de entrada simple y salida simple. La agrupacin ymovimientos de bloques de un sistema es lo que se denomina lgebra de bloques. En unesquema de bloques de entrada y salida simple, se debe hacer la reduccin del diagramageneral hasta la obtencin mnima de un solo bloque, que represente la funcin detransferencia del valor de referencia con la variable controlada. Existen reduccionesimportantes para minimizar paso a paso un sistema de bloques, como se presenta en lafigura 15.

Figura 15 Diagramas de bloques.

2.2.4 Reduccin de diagramas de entrada mltiple y salida simple. La reduccin de unsistema de entrada y salida mltiple, implica hallar cada una de las funciones reducidas detransferencia del sistema en general entre entradas y salidas. Esto se lleva a cabo de lasiguiente forma: se toma una de las entradas del sistema en reduccin, se relaciona contodas las salidas que proporciona el diagrama general, a continuacin las otras entradas sehacen cero o nulas, se procede a determinar la funcin de transferencia que relaciona una delas salidas con la entrada elegida y as se procede repetitivamente a realizar con las demsentradas que conforma el sistema.


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30

Ejemplo:

Hallar las funciones de transferencias entre las entradas y salidas, correspondiente alsistema mostrado en la figura 16.

Figura 16. Diagrama para el ejemplo.

Solucin

Para hallar las funciones de transferencia de la figura 16, debemos aplicar elconcepto de la superposicin, es decir, la entrada 1 con la salida 1, la entrada 2 con la salida1 y as sucesivamente con las restantes entradas y salidas.

A continuacin describiremos los diagramas de bloque de acuerdo a la funcin detransferencia 12222111 ,,, TTTT .

La funcin de transferencia entre Y1(s) respecto X1(s), se presenta en el siguientediagrama de bloques simplificado:

ssYsC

1*)(1)( = (7)

3

3*)()(1

+=

ssEsY

Despejando E(s) nos queda:

3

3*)(1)(

+=

ssYsE (8)

)()(1)( sCsXsE = (9)


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31

Reemplazando las ecuaciones (7), (8) en (9) y ordenndola, da la ecuacin (10).

ssYsX

ssY

1*)(1)(1

3

3*)(1 =

+

)(11

3

3)(1 sX

s

ssY =

+

+

s

ssX

sY

1

3

31

)(1

)(1

+

+=

33

3

)(1

)(1)(

211 ++==

ss

s

sX

sYsT (10)

La funcin de transferencia entre Y1(s) respecto X2(s), se representa a continuacinsegn el siguiente diagrama de bloques:

+= 1*

1*

3

3*)(1)(

sssYsC (11)

)(1)()(1 sXsCsY = (12)

Reemplazando la ecuacin (11) en (12), y ordenndola, se obtiene la ecuacin (13).

)(11*1

*3

3*)(1)(1 sX

sssYsY

+=

)(1)3(

31*)(1 sX

sssY =

+


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32

+

=

)3(

31

1)(1 )(1

ss

sXsY

33

3

)(1

)(1)(

2

2

12++

==

ss

ss

sX

sYsT (13)

La funcin de transferencia entre Y2(s) respecto X1(s), segn el siguiente diagramade bloques simplificado, se describe a continuacin:

+=

sssEsY

1*

3

3*)()(2

3

)3(*)(2)(

+=

sssYsE (14)

)(2)(1)( sYsXsE = (15)

Reemplazando la ecuaciones (14) en (15) y ordenndola, obtenemos la ecuacin(16).

)(2)(13

)3(*)(2 sYsX

sssY =

+

)(113

)3(*)(2 sX

sssY =

+

+

13

)3(1

)(1

)(2

++

=sssX

sY

33

3

)(1

)(2)(

221 ++==

sssX

sYsT (16)

La funcin de transferencia entre Y2(s) respecto X2(s), segn el siguiente diagramade bloque simplificado, se describe a continuacin:


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33

3

3*)(2)(

+

=

ssYsC (17)

ssEsY

1*)()(2 =

)(2*)( sYssE = (18)

)(2)()( sXsCsE = (19)

Reemplazando las ecuaciones (17), (18) en (19) y ordenndola, resulta la ecuacin (20).

)(23

3*)(2)(2* sX

ssYsYs

+

=

)(233)(2 sXsssY =

+

+

=

3

31

)(2

)(2

ss

sX

sY

33

3

)(2

)(2)(

222 ++

==

ss

s

sX

sYsT (20)

Comentarios sobre aspectos de la funcin de transferencia

Podemos decir que la funcin de transferencia caracteriza completamente el

proceso en estudio, debido a que contiene toda la informacin referente a las condiciones

de este. Tambin afirmamos que con la funcin de transferencia podemos reconstruir la

ecuacin diferencial del proceso en estudio.

Otra afirmacin respecto a la funcin de transferencia, es que sta depende

solamente del proceso y no de la entrada o de las condiciones iniciales.


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34

Para qu sirve la representacin de un sistema en forma de una funcin de

transferencia?. Sirve para disear sistemas complicados, con decenas o centenares de

componentes, que interactan entre s en el estado de rgimen. En esos casos, hay mtodosque permiten ir combinando las mltiples funciones de transferencia hasta llegar a una

sola expresin matemtica, la cual describe de una sola vez el comportamiento de todo un

conjunto de mltiples subsistemas en uno solo.

2.3 GRAFICA DE FLUJO DE LA SEAL

La informacin que se transmite en un diagrama de bloques es la misma que setransmite en una grfica de flujo de seal, ver Figura 17.

La ventaja de la grfica del flujo de seal, es que se adapta perfectamente a la

determinacin de las funciones de transferencia, es prctico, muy sencillo y se ajusta acualquier sistema de seales, este mtodo es conocido como la regla de ganancia de Masn.

Figura 17. Elementos de grfica de flujo.

Las grficas del flujo de seal, al igual que los diagramas de bloques, representan

las ecuaciones de las transformadas de Laplace de un sistema. Para escribir el conjunto deecuaciones simultaneas representadas por una grfica del flujo de seal, primero seidentifican las seales en cada nodo, excepto las seales sobrantes en las entradas y salidasde estos.

Ejemplo

Hallar las ecuaciones de cada nodo por el mtodo de flujo de seal del siguientediagrama de bloques.

Solucin

Para hallar las ecuaciones de los nodos por el mtodo de flujo de seal, se debehacer lo siguiente:


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35

Analizar y estudiar el diagrama de bloques presentado. Reemplazar los elementos que componen el diagrama de bloques por sus similares, es

decir, el sumador por un nodo, el bloque por una flecha, el valor de la ganancia secoloca alrededor de la flecha y las variables de entrada-salida se ubica con su respectivonombre. El resultado se presenta como se muestra en la figura 18.

Realizar las respectivas sumatorias de cada nodo para obtener las ecuaciones generales,es decir, se suman las llegadas y salidas de cada rama.

Figura 18. Equivalente de flujo de seal.

A continuacin se escriben las ecuaciones del sistema que se deducen en la figura18, se realiza una ecuacin por cada nodo, igualando la seal en ese punto con la suma delas seales que llegan a travs de las ramas procedentes de otros nodos.

)(4

1)()( 211 sXs

sRsX+

+= (21)

)(2

1)(9)()(6)( 2212 sX

ssYsRsXsX

++= (22)

8

1)()( 2

+=

ssXsY (23)

Observe que en el ciclo simple, la rama con transmitancia2

1

+

s, que principia y

termina en el mismo nodo, contribuyen con un termino que incluyen a la seal nodal 2X

que es la misma del segundo miembro de la ecuacin (22) para 2X . No interesa el sentidode un ciclo simple.

2.3.1 Regla de la ganancia de Masn. Las relaciones representadas por las grficas delflujo de seal, similares a las de los diagramas de bloques, son ecuaciones algebraicaslineales con coeficientes que dependen de la variable (s). La regla de la ganancia de Masn,es una formula que permite determinar la funcin de transferencia de un seal de entrada ysalida simple, a partir de su grfica del flujo de seal. Puede aplicarse repetidamente a unsistema de entrada y salida mltiples, obtenindose as, cada una de las funciones detransferencias del sistema dado.


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36

Reglas para utilizar el mtodo de Masn.

Trayectoria: Sentido nico desde la entrada hasta la salida en sentido de las flechasde las ramas (unin entre nodos), al recorrerla no se debe pasar por ningn nodo ms de unavez.

Ganancia de trayectoria: Es el producto de las transmitancias de las ramas que seencuentran al recorrer la trayectoria considerada.

Ciclo: Es cualquier sucesin cerrada de ramas en la direccin de las flechas; cuandose recorre no pasa por un nodo ms de una vez.

Ganancia de ciclo: Es el producto de las transmitancias de las ramas del ciclo. Se

dice que dos ciclos se tocan si tienen algn nodo en comn. Un ciclo y una trayectoria setocan si tienen algn nodo en comn.

El determinante: Es la unidad, menos la suma de las ganancias de todos los ciclos,ms la suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones de dos ciclos quese tocan, menos la suma de los productos de las ganancias de todas las ganancias de todaslas consideraciones de tres ciclos que no se tocan, ms la suma.

El cofactor: Es el determinante de la grfica del flujo de seal formado por lasupresin de todos los ciclos que tocan la trayectoria.

Regla de Masn:

+++= nn

PPPPsT 332211)( (24)

Ejemplo:

Determinar el proceso de Masn de la figura 19.

Figura 19. Proceso de Masn.

Solucin

Para hallar la funcin de transferencia utilizando el proceso de Masn se debe seguirpaso a paso con las reglas descrita anteriormente. Se halla la ganancia de la trayectoria P1,

segn el diagrama representado a continuacin:


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37

( ) ( )111

122

6

6

111

+

+=

ssssP (25)

Se halla la ganancia de la trayectoria P2, segn el siguiente diagrama:

)1(11

1

2

5

1)1(2

+

+=

ssssP (26)

Se halla la ganancia de los ciclos respectivos, segn el diagrama descrito a continuacin:

+

+

=

=+

==+

=

3

1

4

811)12(

;6;1

10;;2

48

5

4321

ssssL

sL

sLsL

sL

(27)

Se halla el determinante de todos sus ciclos:

( ) ( )4213214232413121543211 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL ++++++++++=


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38

Se halla el cofactor del sistema en general:

( ) ( )2

48

2

4811

11

21212

21

+++

++=++=

+==

s

ss

sLLLL

sL

(28)

Se aplica la ecuacin general de Masn y se reemplazar los valores hallados anteriormente.

+=

2211)(PP

sT (29)

Comentarios sobre aspectos de flujo de seal y reglas de Masn

La grfica de flujo de seal es un mtodo muy simple, fcil y sencillo para hallar a

travs de la reglas de Masn la funcin de transferencia de un proceso en general. Este

procedimiento se puede elaborar para desarrollar diagramas de bloque complicados de

diversos sistemas de control.

2.4 MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS

En esta seccin mostraremos el material introductorio al anlisis en el espacio de

estado de los sistemas de control. A continuacin se presenta la terminologa o conceptosdel espacio de estado.

Estado: Es el conjunto ms pequeo de variables de un sistema dinamico(denominadas variable de estado) tal que el conocimiento de esas variables en 0tt= ,

conjuntamente con el conocimiento de la entrada para 0t , determinan completamente elcomportamiento de un sistema en cualquier tiempo 0tt .

Variables de estado: Son las variables que constituyen el conjunto ms pequeo devariables que determinan el estado del mencionado sistema dinmico.

Vector de estado: Es aquel que determina de manera nica el estado del sistema,para cualquier tiempo, una vez que se obtiene el estado y se especifica la entrada en untiempo determinado.

Espacio de estado: El espacio de n-dimensiones cuyos ejes coordenados consistenen el eje 1X , el eje 2X ,, el eje nX , se denomina Espacio de Estado. Cualquier espacio se

puede representar por un punto en el espacio de estado.

Ecuaciones en el espacio de estado: Conjunto de las variables de estado ordenadasen forma unificada, ver figura 20.


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40

Nota: Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo texplcitamente, el sistema se denomina sistema invariante con el tiempo.

2.4.1 Representacin en el espacio de estados de sistemas dinmicos. Un sistema dinmicoformado por una cantidad finita de elementos de parmetros concentrados se describemediante una serie de ecuaciones diferenciales, en las cuales el tiempo es la variableindependiente.

A continuacin presentaremos dos procedimientos para determinar larepresentacin en el espacio de estado de sistemas dinmicos.

El primer procedimiento. Mediante ecuaciones diferenciales lineales en las cuales nocontiene derivadas de la funcin de excitacin. Se considera el siguiente sistema:

yayayayu nn

nn

++++=

1

1

1 ... (34)

Concluimos que:

1

2

1

=

=

=

n

n yx

yx

yx

(35)

Tomando la ecuacin general de variable de estado, definimos lo siguiente:

nn xx

xx

xx

=

=

=

1

32

21

(36)

uxaxax nnn +=

11 ... (37)

Podemos afirmar que:

BuAxx +=

(38)


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41

=

nx

x

x

x2

1

(39)

=

121 ...

...

...

0...100

0...010

aaaa

A

nnn

(40)

=

1

0

.

.

0

0

B(41)

La salida y es como se describe a continuacin.

[ ]

=

nx

x

x

y.

.0...01

2

1

(42)

[ ]001 =

=

C

Cxy (43)

La representacin en diagrama de este proceso se muestra en la figura 21.

Figura 21. Mtodo de las variables de estado sin integrales.


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42

Ejemplo

Obtener una ecuacin de salida, en representacin de variables de estado delproceso que se presenta en la figura 22.

Figura 22. Sistema mecnico, desplazamiento

Solucin:

Para encontrar la ecuacin de este sistema mecnico, debemos aplicar los conceptosadquiridos de los circuitos mecnicos de traslacin con su metodologa apropiada y as, seobtendra la ecuacin (44).

ukyybym =++

(44)

Al analizar la ecuacin (44), vemos que es de segundo orden, y al reemplazarla enlas ecuaciones (35)(36), se obtiene la ecuacin (45).

( ) ( )

( ) )(2

1

tytx

tytx

=

=

um

xm

bx

m

kx

xx1

212

21

+==

(45)

La ecuacin de salida (46), esta formada de la siguiente manera:

1xy =


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43

um

x

x

mb

mkx

x

+

=

1

010

2

1

2

1

(46)

La ecuacin de salida reducida es:

[ ]

=

2

101x

xy (47)

La aplicacin de las ecuaciones de estado nos proporciona la ecuacin (48).

,10

=

m

b

m

kA ,10

=

m

B [ ],01=C D = 0 (48)

El diagrama general obtenido, se presenta a continuacin.

El segundo procedimiento, mediante ecuaciones diferenciales lineales en las cualescontiene derivadas de la funcin de excitacin, como la ecuacin (49).

ububububyayayay nn

nn

nn

nn

++++=++++

1

1

101

1

1 (49)

Se aplica n ecuaciones diferenciales de primer orden.

ubububxaxaxax

xx

xx

n

nn

nnnn ++++=

=

=

1

101211

32

21

(50)

Hacemos que yx =1 , esta apreciacin no puede concluir a una solucin nica.


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44

uBxuBuBuBuByx

uBxuBuByx

uByx

nnnn

nnn

n 1112

2

1

1

0

1

11102

01

==

==

=

(51)

01111

021122

0111

00

BaBaBabB

BaBabB

BabB

bB

nnnnn =

=

=

=

(52)

Llevndola a la representacin de variables de estado, se obtiene la ecuacin (53).

uBxx

uBxx

uBxx

nnn 1

232

121

+=

+=

+=

(53)

Las ecuaciones anteriores se representan a travs de la figura 23.

Figura 23. Variables de estado general.

Comentarios sobre aspectos de las variables de estado

Podemos analizar y discutir el siguiente planteamiento propuesto por Lewis

Chang Yang Sistema de Control en Ingeniera que dice: Un modelo de estado es un

modelo de ecuacin diferencial que se expresa en un formato especial que ofrece un

mtodo unificado para el estudio de los sistemas. El modelo de estado es particularmente


45/150

45

ventajoso cuando se aplica la simulacin y el modelo de estado lineal proporciona el

fundamento matemtico para un importante conjunto de tcnicas de anlisis y diseo. Si un

sistema es lineal el modelo de estado se puede expresar utilizando la ecuacin matricialque mantiene el mismo formato sin tomar en consideracin el orden del sistema.

2.5 SISTEMAS MECNICOS

La ley fundamental que gobierna los modelos matematicos de los sistemasmecanicos, es la segunda ley de Newton, que se aplica a cualquier sistema dedesplazamiento lineal o rotativo.

2.5.1 Conceptos principales.

Masa: Cantidad de materia que contiene un cuerpo, se supone constante. Fsicamente lamasa es la propiedad de un cuerpo que le proporciona inercia, es decir, resistencia amoverse o detenerse.

g

wm = (54)

w = peso, Kg., Lbf g = gravedad, 22 , spie

sm

Fuerza: Es la causa que tiende a producir un cambio en el movimiento de un cuerpo.Ejemplo

Obtener una ecuacin de salida, en representacin de variables de estado delproceso que se presenta en la figura 24.

Solucin

Para encontrar la ecuacin del sistema mecnico de la figura 24 se debe hacer losiguiente: 1. Aplicar los conceptos adquiridos de los circuitos mecnicos de traslacinsegn la tabla 2, con su procedimiento establecido. 2. Realizar la metodologa de lasvariables de estado con mltiples funciones de entradas.

Figura 24. Sistema mecnico, desplazamiento u, y.


46/150

46

Segunda ley de Newton:

= maF (55)

Se conforma el diagrama de fuerzas libres de la figura 24, segn lo propuesto en elitem 1.4.3, teniendo como resultado la siguiente ecuacin (56).

kudt

dubky

dt

dyb

dt

ydm +=++

2

2

(56)

A continuacin se establecer el modelo en el espacio de estado:

um

ku

m

by

m

ky

m

by +=++

(57)

La forma general:

ubububyayay 21021 ++=++

(58)

Se dice que:

m

kb

m

bbb

m

ka

m

ba ===== 21021 ,,0,, (59)

Reemplazando los valores de la ecuacin (59) en las ecuaciones de estado (52), (53)segn el segundo procedimiento, se obtiene el siguiente resultado:

2

021122

0111

00 0

==

==

==

m

b

m

kBaBabB

m

bBabB

bB

(60)

1

2

21221122

2121

1112

01

xy

um

b

m

kx

m

bx

m

kuBxaxax

um

bxuBxx

um

bxuBxx

yuByx

=

+=+=

+=+=

==

==

(61)


47/150


48/150

48

fuerzas en un sistema, sean estas aplicadas o reactivas, igualan a la masa por la

aceleracin a que esta sometida dicha masa.

2.6 SISTEMAS ELECTRICO

En esta seccin se involucran los elementos pasivos, como las resistencias,capacitores e inductores y se utiliza las leyes de Kirchhoff.

Ejemplo

Obtener una ecuacin de salida en representacin de variables de estado del circuitoelctrico que se presenta en la figura 25.

Figura 25. Circuito RLC.

Solucin

Para encontrar la ecuacin del sistema elctrico de la figura 25 se debe hacer lo

siguiente: 1. Aplicar los conceptos adquiridos de los circuitos elctricos segn la tabla 1,aplicando su procedimiento establecido. 2. Realizar la metodologa de las variables deestado con mltiples funciones de entradas.

=++ iVidtCRi

dt

diL

1(70)

(71)

Desarrollar la conversin de las ecuaciones en tiempo a Laplace,

)()(11

)()( sVsIsC

sRIsLsI i=++ (72)

)()(11

0 sVsIsC

= (73)

Hallar la funcin de transferencia del sistema:

(74)

= oVidtC1

1

1

)(

)(2

0

++=

RCsLCssV

sV

i


49/150

49

La representacin en el espacio de estado es:

(75)

10

1

02

01

xVy

Vu

Vx

Vx

==

=

=

=

(76)

u

LCx

x

L

R

LCx

x

+

=

1

0

1

10

2

1

2

1(77)

[ ]

=

2

101x

xy (78)

Comentarios sobre aspectos de sistemas elctricos

Podemos plantear sobre la importancia de un sistema elctrico que se convierte en

su similar anlogo como lo es el sistema mecnico o caso inverso, con el fin que sea til

para el diseador en cualquiera de las ramas de aplicacin y as, este pueda solucionar y

obtener respuesta que lo llevaran a una solucin acertada y razonable en cualquiera de los

campos en estudio.

2.7 SISTEMA DE NIVEL DE LQUIDO

Se va analizar sistemas que implican el flujo de lquidos. En esta seccin seanalizar el modelo matemtico de nivel de tanques.

2.7.1 Resistencia y capacitancia de sistemas de nivel de lquido. La R, resistencia para elflujo de lquido, se define como la variacin en la diferencia de nivel necesaria paraproducir una variacin de una unidad en la rata del flujo.

sm,flujoderatalaenVariacin

m,quetandelnivelelenVariacinR 3= (79)

Dado que la relacin entre la velocidad del flujo y la diferencia de nivel es distintapara el flujo laminar y el flujo turbulento, se estudiara las dos ecuaciones (80) y (81) y as

iVLC

VLC

VL

RV 11 000 =++


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50

se tendr un entorno general para cualquier aplicacin en este campo de los procesosindustriales.

Figura 26. Sistema de nivel.

La relacin entre la velocidad del flujo y la altura en el nivel predefinido en elsistema de la figura 26, se obtiene de la siguiente forma:

Flujo laminar:kHQ = (80)

Q = Velocidad del flujo del lquido.s

m3

K = Coeficiente s

m2

, depende del coeficiente de flujo y del rea de restriccin.H = Altura del nivel del lquido en el sistema, m.

Para el flujo laminar la resistencia lR , se presenta en la ecuacin (81).

Q

H

dQ

dHR

l == (81)

La resistencia del flujo laminar es constante y anloga a la resistencia elctrica.

Si el flujo es turbulento a travs de la restriccin, la velocidad del flujo se considerade la siguiente forma.

HkQ = (82)

La resistencia tR para el flujo turbulento se obtiene derivando la ecuacin (82) y

remplazandola en la ecuacin (81), llegando como resulado a la ecuacin (83), tR .

dHH

kdQ

2=


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51

tR

Q

H

Q

HH

k

H

dQ

dH====

222(83)

El valor de la resistencia de flujo turbulentot

R depende del flujo y la altura, sin

embargo el valor de tR se considera constante si los cambios en la altura y en el flujo son

pequeos.

La capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario en la cantidadde lquido almacenado, para producir un cambio de una unidad en el potencial (altura).

(84)

Debe sealarse que la capacidad y la capacitancia son diferentes. La capacitanciadel tanque es igual a su rea transversal.

2mAh

hAC =

= (85)

Consideremos el almacenamiento del lquido, donde V es el volumen.

2

3

mhmVC = (86)

Derivando respecto al tiempo la ecuacin (86), obtenemos un flujo en el que serepresenta el almacenamiento del sistema o flujo transitorio sq .

dt

dhC

dt

dVqs == (87)

La ecuacin de continuidad puede escribirse como:

isoqqq =+ (88)

Ejemplo:

Hallar la funcin de transferencia de la figura 26.

Solucin

Se analiza el circuito de la figura 26, se plantea las ecuaciones que lo gobierna desdeel punto de vista de su balance de energa, refirindonos a la variable controlada y se

mquedelalturalaenVariacin

malmacenadoliqidoelenVariacinC

,tan

, 3=


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52

plantea la ecuacin respectiva. A continuacin se hace la relacin del caudal de salida conlas prdidas del tanque, dando como resultado una ecuacin de primer orden y as se

establece el crterio de la aplicacin de la transformada de Laplace.

(89)

(90)

iRqhdt

dhRC =+ (91)

( ) )()(1 sRQsHRCs i=+

La funcin de transferencia es de la siguiente forma:

1)(

)(

+=

RCs

R

sQ

sH(92)

Comentarios sobre aspectos del sistema de nivel

Este campo de aplicacin como lo es el sistema de nivel, es muy importante en la

industria donde se establezca procesos industriales, porque podemos decir que casi en sutotalidad, cualquier industria tiene en sus procesos un sistema de nivel implementado.

2.8 SISTEMA TERMICO

Los sistemas trmicos involucran la transferencia de calor de una sustancia a otra.El calor fluye de un medio a otro de tres formas diferentes, como son: Conduccin,Conveccin y Radiacin. Para la transferencia de calor por conduccin o conveccin sedescribe de la siguiente ecuacin:

(93)

q = Flujo de calor,s

kcal

=T Diferencia de temperatura en el proceso C.

=oi q;q Flujo de calor en la entrada y salida,s

kcal

k = Coeficiente,s

kcal

El coeficiente K se obtiene mediante las ecuaciones (94) y (95).

( )oi qqdtdh

C =

R

hqo =

Tkq =


53/150

53

(94)

K = HA Conveccin (95)

=1K Conductividad trmica,cms

kcal

A = Area normal para flujo de calor

=X Espesor del conductor, m

H = Coeficiente de conveccin,csm

kcal2

2.8.1 Resistencia y capacitancia trmica. Se define la resistencia trmica como:

skcalcalordeflujoelenVariacin

CatemperaturdediferencialaenVariacinR

,

,= (96)

La resistencia trmica para una transferencia de calor por conduccin o porconveccin, es como se presenta a continuacin:

( )Kdq

TdR

1=

= (97)

Dado que los coeficientes de conductividad y conveccin trmica sonaproximadamente constantes, la resistencia trmica para la conduccin o la conveccin esconstante. La capacitancia trmica C se define como:

CprocesodelatemperaturlaenVariacin

kcalalmacenadocalorelenVariacinC

=

,

,(98)

Ejemplo:

Se supone el tanque aislado, ver figura 27, para eliminar las prdidas de calor haciael aire circundante, tambin se supone que no hay almacenamiento de calor y que el lquidodel tanque est perfectamente mezclado, por lo que contiene una temperatura sin ningunavariacin. Se supone que la temperatura del lquido no varia, el flujo de calor de salidacambiar en forma gradual y la temperatura del lquido que sale tambin tendr suscambios. Posee una fuente de calor (Resistencias o un, Intercambiador de calor), un sistemade mezclado (Motor con aspas) para mantener la temperatura constante dentro del tanque ydos puertos (Tubera), uno de entrada y el otro de salida con sus respectivos flujos.

Conduccin

X

AKK

= 1


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54

Figura 27. Sistema trmico.

Solucin:

R

Tqo = (99)

oi qqdt

dTC = (100)

iqRTdt

dTRC =+ (101)

La ecuacin de continuidad puede escribirse como se describe a continuacin:

isoqqq =+ (102)

Donde sq , es la perdida y absorcin de calor en el horno de la figura 27 y la funcin

de transferencia es:

1)(

)(

+=

RCs

R

sQ

sT

i

(103)

Comentario sobre aspectos del sistema trmico

Este campo de aplicacin como lo es el sistema trmico, es importante en la

industria, se puede decir que cualquier industria tiene en sus procesos un sistema trmico

implementado.

2.9 SISTEMA NEUMATICO

En este tem se presenta el modelo matemtico que nos describe la teorafundamental de los sistemas que involucran la neumtica en procesos industriales.


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55

2.9.1 Sistemas neumticos. Las razones para que estos controladores resulten atractivos, esque son a prueba de explosiones, son sencillos, fcil mantenimiento y que han llegado a un

alto nivel de perfeccionamiento en su tecnologa.

2.9.2 Resistencia y capacitancia de los sistemas de presin. En los procesos industriales, loscontroladores neumticos, realizan sus funciones a travs de un flujo de un gas, que es elaire, en recipientes a presin controlada y conectados a travs de accesorios y tuberas.

Considere el sistema a presin mostrado en la figura 28.

Figura 28. Sistema de presin.

El flujo del gas que pasa por la restriccin, es una funcin de la diferencia depresin del gas Pi Po. Tal sistema de presin se caracteriza en trminos de una resistencia

y una capacitancia, como se presenta en las ecuaciones (105) y (106).

seglbgasdelflujoelenCambio

pielbgasdelpresindediferencialaenCambio

R,

, 2= (104)

( )

dq

pdR

= (105)

( )pd = Cambio pequeo en la diferencia de presin del gas.

dq = Cambio pequeo en el flujo del gas

La resistencia se calcula experimentalmente con facilidad a partir de una grfica,que relaciona la diferencia de presin contra flujo, calculando la pendiente de la curva enuna condicin de operacin determinada.

La capacitancia del recipiente a presin se define como:

2,

,

pielbgasdelpresinlaenCambio

lbalmacenadogaselenCambioC = (106)


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57/150


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58

geogrfico como es el caso de las grandes refineras del vecino pas de la Republica

Bolivariana de Venezuela, PDVSA.

Comentario sobre el modelo matemtico de un sistema

Se afirma que para efectuar el anlisis de un sistema, es necesario obtener un

modelo matemtico que lo represente. El modelo matemtico equivale a una ecuacin

matemtica o un conjunto de ellas en base a las cuales podemos conocer el

comportamiento del sistema. Es necesario comentar que el modelo matemtico que se

desarrolla a partir de un sistema no es nico, debido a lo cual se pueden lograr

representaciones diferentes del mismo proceso. Estas diferentes representaciones no

contradicen una a la otra, ambas contienen informacin complementaria por lo que se

debe encontrar aquella que proporcione la informacin de inters para cada problema en

particular.

2.10 LINEALIZACIN DE MODELOS MATEMTICOS NO LINEALES

Se presentar una teora de linealizacin aplicable a muchos sistemas no lineales. Elprocedimiento de linealizacin que se presenta aqu se basa en la expansin de lasfunciones no lineales en series de Taylor, alrededor del punto de operacin y la retencinslo del trmino lineal.

2.10.1 Aproximacin lineal de modelos matemticos no lineales. Al realizar estaaproximacin suponemos que las variables slo se desvan ligeramente de alguna condicin

de operacin. Considere un sistema cuya entrada es x(t) y salida y(t).

Primer caso:

La relacin entre y(t) y x(t) se obtiene segn la siguiente funcin:

)(xfy = (119)

Si la condicin de operacin normal

yx , y la ecuacin anterior se expande en seriesde Taylor alrededor en ese punto, se obtiene la ecuacin (120).

+

+

+=

2

2

2

!2

1)( xx

dx

fdxx

dx

dfxfy (120)

En donde las derivadas son las siguientes:

2

2

,dx

fd

dx

dfSe evalan en

= xx . (121)


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59

Si la variacin

xx es pequea, es posible no considerar los trminos de orden

superior en

xx .

)(

+= xxkyy (122)

)(

= xfy (123)

| =

=xxdx

dfk (124)

)(

= xxkyy (125)

Segundo caso:

Consideremos un sistema no lineal donde la salida depende de una funcin de dosentradas como se presenta en la ecuacin (126).

),( 21 xxfy = (126)

Expandiendo la funcin anterior (126), se obtiene la ecuacin (127).

+

+

+

+

+

+=

2

2222

2

221121

22

111

2

2

222

111

21

2!2

1

),(

xxx

fxxxx

xx

fxx

x

f

xxxfxx

xfxxfy

(127)

Las derivadas parciales se evalan cerca del punto de operacin normal, es posibleno considerar los trminos de orden superior.

En las condiciones en estado normal evaluamos y realizamos, haciendo que:

+

=

222111 xxkxxkyy (128)

=

21 ,xxfy (129)

2211 ,11 |

==

=

xxxxx

fk (130)


60/150

60

2211 ,

2

2 | =

=

xxxx

x

fk (131)

2.10.2 Variables de desviacin. La definicin de este concepto, se fundamenta en ladiferencia entre el valor de la variable o seal y su valor en el punto de operacin:

= xtxtX )()( (132)

Donde:

)(tX = Variable de desviacin.

)(tx = Variable absoluta.x = Valor base.

Definiendo de otra forma la ecuacin (132), podemos decir que la variable dedesviacin es la desviacin de una variable respecto a su valor de operacin o base.

Puesto que el valor base de la variable es una constante, las derivadas de lasvariables de desviacin son siempre iguales a las derivadas correspondientes de lasvariables:

...,3,2,1)()( == nparadt

txddt

tXd n

n

n

n

(133)

La variable principal en la utilizacin de variables de desviacin se deriva del hecho

de que el valor

x es generalmente, el valor inicial de la variable. Adems, el punto deoperacin est generalmente en estado estacionario; es decir, las condiciones iniciales delas variables de desviacin y sus derivadas son todas ceros;

= xx )0( X (0) = 0

....,3,2,10)0( == nparadt

Xdn

n

(134)

La transformada de Laplace para cualquier derivada es:

)()(

sXsdt

tXdL n

n

n

=

(135)

)(sX = Transformada de la variable de desviacin.


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61

Ejemplo:

Hallar la linealizacin de la densidad de un gas ideal expresada mediante lasiguiente ecuacin (136):

TR

PMd = (136)

La aproximacin lineal segn la ecuacin (136), es:

+

+=

__

__

_

PPP

PTT

Tdd

(137)

Las derivadas de la funcin de densidad son las siguientes:

P

d

TR

M

P

d

T

d

TR

PM

T

d==

==

;

2(138)

M = Peso molecular para el aire 29 a 300 K

P = Presin atmosfrica 101,300 2mN .

R = Constante de los gases perfecto, 8,314KKgmol

mN

Evaluando las condiciones de base se obtiene:

_

d = 1,178 2mkg ,

Kmkg

T

d3

_

00393,0=

,

Nmkg

P

d

=

5_

10*163,1

La funcin linealizada es:

)(10*163,1)(00393,0178,1_

5_

PPTTd += (139)

En trminos de la variable de desviacin:

PTd 510*163,100393,0 +=


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62

2.11 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Obtenga el modelo en el espacio de estado del sistema que aparece en la figura 29.Figura 29. Sistema modelado.

2. El sistema de nivel de liquido de la figura 30, se supone que la salida Q m3/s de lavlvula de salida se relaciona con H m mediante la siguiente ecuacin

HQ 02,0= , Tambin se supone que cuando el flujo de entrada Qi es de 0,024m3/s, la altura permanece constante. En t=0, el ejecutor de entrada cierra y, portanto no hay entrada para t>=0. Se pide hallar el tiempo necesario para vaciar a lamitad de la altura inicial. La capacitancia del tanque es de 2,5 m2.

Figura 30. Sistema de nivel de lquidos.

3. Linealizar la siguiente ecuacin, que representa el modelo matemtico de unsistema de nivel de lquido.

C

HKQ

CQHf

dt

dHii ==

1),( (140)

4. Se consideran desviaciones pequeas en estado estable, dibujar un diagrama debloques del sistema de calentamiento por aire de la Figura 31. Todas las perdidas decalor en este sistema son nulas.


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63

Figura 31. Sistema de calentamiento de aire.

5. Obtener un modelo matemtico en el espacio de estado para el sistema de la Figura32.

Figura 32. Sistema de movimiento.

6. Obtener la representacin en el espacio de estado del sistema segn la siguientefigura 33.Figura 33. Sistema complejo de polos.


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64

3. ANALISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA Y ESTADOESTABLE

3.1 INTRODUCCION

En esta seccin se analiza un sistema de control de primer orden, conociendo lossignificados de la seal de salida con la respuesta escaln unitario, rampa e impulso desdeel punto de vista del error en la estabilidad del sistema, tambin se analiza un sistema desegundo orden a travs de un sistema de seguimiento, teniendo en cuenta la carga nominal

del servomotor a travs de las entradas de escaln. Entraremos al sistema de la respuestatransitoria, estableciendo sus conceptos de tiempo de retardo, tiempo de asentamiento,sobrepaso mximo y algunas especificaciones de primer orden, segundo orden y ordensuperior y se estudiar el concepto fundamental de una respuesta en estado estable.

3.2 SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Considere el sistema de primer orden, segn la ecuacin (141). Fsicamente serepresenta por un circuito RC, un sistema trmico o algo similar.

La relacin entrada y salida se describe a continuacin:

1

1

)(

)(

+=

TssR

sC(141)

Todos los sistemas que tienen la misma funcin de transferencia, tendrn la mismasalida en respuesta a la misma entrada.

3.2.1 Respuesta escaln unitario de sistemas de primer orden. La transformada de Laplace

de la funcin escaln unitario ess

1 .

ssR 1)( = (142)

sTssC

1

1

1)(

+= (143)

Expandiendo la ecuacin (143) en fracciones parciales, se obtiene la ecuacin (144),de la siguiente forma:


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65

TssTs

T

s

sC1

11

1

1)(

+

=

+

= (144)

A continuacin se realiza la transformada inversa de Laplace en la ecuacin (144),obteniendose como resultado la ecuacin (145).

01)( =

tparaetC Tt

(145)

La curva de respuesta exponencial )(tC es, para t = T, el valor de )(tC = 0.632 o larespuesta )(tC alcanza 63.2 % de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad

sustituyendo t = T en )(tC .

632.01)( 1 == eTC (146)

Observe que entre ms pequea es la constante de tiempo T, ms rpida es larespuesta del sistema. La pendiente de la lnea de tangente en t = 0 es 1/T, segn laecuacin (147).

Te

Tdt

dCt

T

t1

|1

0 == =

(147)

La respuesta alcanzar el valor final en t = T si mantuviera su velocidad derespuesta inicial (ver figura 34).

Figura 34. Curva de primer orden.


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66

3.2.2 Respuesta rampa unitaria de sistema de primer orden. La transformada de Laplace de

la funcin rampa unitaria es 2s1

, al remplazarla en la ecuacion (141) se obtiene la siguienteexpresin.

+=

2

1

1

1)(

sTssC (148)

Se expande la ecuacin (148) en fracciones parciales y se obtiene la ecuacin (149).

1

1)(

2

2 ++=

Ts

T

s

T

ssC (149)

La transformada inversa de Laplace de la ecuacin (149), es la ecuacin (150) y surepresentacin grfica es la que se presenta en la Figura 35.

T

t

TeTttC

+=)( (150)

Figura 35. Respuesta de rampa unitaria.

La seal de error e(t) es:

)()()( tctrte = (151)

)1()( Tt

eTte

= (152)

Si t tiende a infinito, Tt

e

se aproxima a cero, y por lo tanto la seal de error e(t) seaproxima a T.

Te =)(


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68

Solucin:

Se analiza el sistema presentado en la figura 37, se hace el diagrama de bloques, seobtiene la funcin de transferencia del sistema y por ltimo se desarrolla el procedimientopara hallar el error de la variable a controlar H(s), en estado permanente.

1)(

)(

+=

RCs

R

sQ

sH

i

(155)

El controlador es proporcional al flujo de entrada iq y al error e, por lo que

ekkqvpi = , en donde pk es el aumento del controlador y vk es la ganancia de la vlvula de

control.

)()( sEkksQ vpi = (156)

Donde.

)(1

)( sRk

sXb

= (157)

RCTyRkkkk bvp == (158)

Al analizar h(t) para un cambio en la entrada de referencia, se supone un cambio

escaln unitario en x (t), en donde )(1

)( trktx b= .

1)(

)(

++=

kTs

k

sX

sH(159)

)(1

)( sXkTs

ksH

++= (160)

Al aplicar la funcin escaln unitario en la ecuacin (160), se obtiene lo siguiente.


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70/150

70

Figura 38. Sistema de un servomotor.

La diferencia entre la posicin angular de entrada r y la posicin angular de salidac es la seal de error e.

cre = (166)

La diferencia potencial vcr eee = es el voltaje de error, en donde re es

proporcional a r yc

e es proporcional a c, es decir, tetanconsk,ckeyrke o0c0r === .

El amplificador aumenta el voltaje de error del potencimetro y su constante deganancia es 1K , este voltaje se aplica al motor de CD.

Al motor CD se le aplica un voltaje fijo a la bobina de campo. Si existe un error, elmotor desarrolla un par rotor a la carga de salida, de tal forma que el error se reduzca acero.

Para una corriente de campo constante, el par que desarrolla el motor es:

aikT 2= (167)

En donde 2k es la constante de par del motor e ai es la corriente de armadura.Observe que si se invierte el signo de la corriente ai , el signo del par T se invierte yproveer la direccin de giro del rotor se invierta.

Cuando la armadura gira, se induce un voltaje proporcional al producto del flujo y lavelocidad angular. Para un flujo constante, el voltaje inducido be es directamente

proporcional a la velocidad angulardt

d, como se presenta en la ecuacin (168).


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71

dt

dkeb

3= (168)

En donde be es la fuerza contraelectromotriz, 3k es la constante de la fuerza

contraelectromotriz del motor y es el desplazamiento angular de la flecha del motor.

La velocidad del servomotor controlado por armadura est determinada por elvoltaje de la armadura v1a eke = . La ecuacin resultante de la armadura es (169).

vaa

a

a ekdt

dkiR

dt

diL 13 =++

(169)

La ecuacin para el equilibrio del par es (170).

aikTdt

db

dt

dJ 202

2

0 ==+

(170)

.,,arg0 rotorengranajesdetrenacladeInerciaJ =

.arg,cos0 engranajedetrenyacmotordelavisfriccindeeCoeficientb =

La funcin de transferencia entre el desplazamiento angular de la flecha del motor yel voltaje de error, es la presentada en la ecuacin (171).

( )( ) skkbsJRsLs

kk

sE

s

aav 3200

21

)(

)(

+++=

(171)

Se supone que la relacin de engranaje del tren de engranajes, es tal que la flecha desalida gira n veces por cada revolucin de la flecha del motor y se presenta en la ecuacin(172).

)()( snsC = (172)

[ ] )()()()( 00 sEksCsRksEv == (173)

La funcin de transferencia en la trayectoria directa se representa en la siguienteecuacin.

( )( )[ ]3200

210

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

kkbsJRsLs

nkkk

sE

sE

sE

s

s

sCsG

aa

v

v +++==

(174)

aL = es pequea,


72/150

72

( )[ ]s

R

kkbsJ

R

nkkk

kkbsJRsnkkksG

a

a

a

++

=++

=32

02

0

210

3200

210)( (175)

,acosvisfriccindeeCoeficientR

kkb

a

320 =

+

Si 0J y

+

aR

kkb 320 se multiplican por 2

n

1 , la inercia y la funcin viscosa se

expresa de esta forma:

,salidalaareferidaInerciadeMomentonJ

J20 ==

B =

+

aR

kkb 320 2n

1 = Coeficiente de friccin viscosa referida a la salida

,

210

anR

kkkk

= (176)

( )1)(

2 +=

+=

sTs

k

BsJs

ksG

m

m (177)

320

0,kkbR

JR

B

JT

B

kk

a

a

mm+

=== (178)

3.3.1 Respuesta escaln de sistema de segundo orden. Segn la solucin anterior, que dacomo resultado la ecuacin (177) y acondicionandola nos proporciona la ecuacin (179)que nos sirve para el desarrollo de la respuesta transitoria de un proceso en general.

kBsJs

k

sR

sC

++=

2)(

)((179)

Al remplazar los valores de B, J en la ecuacin (179), nos resulta la ecuacin (180).


73/150

73

+

++

=

J

k

J

B

J

Bs

j

k

J

B

J

Bs

J

k

sR

sC

22

2222

)(

)((180)

Los polos en lazo cerrado son complejos, si ,0Jk4B2 y son reales si

,0Jk4B2 .

Al hacer el anlisis de la respuesta transitoria observamos que:

22,

2

=== nn wJ

B

wJ

k

(181) = Atenuacin

nw = Frecuencia natural no amortiguada

= Factor de amortiguamiento relativo

JkBc 2= (182)

Jk

B

B

B

c 2== (183)

Remplazando en la ecuacin (180), los valores de las ecuaciones (181), (182) y(183), nos resulta la ecuacin general (184).

22

2

2)(

)(

nn

n

wsws

w

sR

sC

++=

(184)

El comportamiento dinmico del sistema se describe a continuacin, utilizando lassiguientes condiciones, .110 = y

Se describen tres casos de gran importancia a continuacin:Primer caso

Caso Subamortiguado 10 <

( )( )dndn jwwsjwws

wn

sR

sC

+++=

2

)(

)((185)

Donde:


74/150

74

,1 2 oamortiguadnaturalfrecuenciawwnd

== (186)

Al aplicar fracciones parciales en la ecuacin (185), obtenemos las siguientesecuaciones (187) y (188).

22 2

21)(

nn

n

wsws

ws

ssC

++

+=

(187)

( ) ( ) 22221

)(dn

n

dn

n

wws

w

wws

ws

ssC

++

++

+=

(188)

A continuacin se procede aplicar la transformada inversa a los terminos queconforman la ecuacin (188).

( )twe

wws

wsL

d

tw

dn

n n cos22

1

=

++

+(189)

( )tsenwe

wws

wL

d

tw

dn

d n

=

++22

1 (190)

Por consiguiente se obtiene la funcin en el tiempo, representada en la ecuacin(193).

[ ] )()(1 tCsCL = (191)

[ ]

+= tsenwtwesCL dd

twn

2

1

1cos1)(

(192)

[ ] 01

tan1

1)(2

1

2

1

+

=

tparatwsen

esCL d

twn

(193)

A continuacin se determina el error, segn el siguiente procedimiento:

)()()( tctrte =

01

cos)(2

+= tparatsenwtwete dd

twn

(194)


75/150

75

Si 0=

twtcncos1)( = (195)

Segundo caso

Crticamente amortiguado 1=

Se tiene una entrada escaln unitarios

sR1

)( =

( ) sws

wsC

n

n

2

2

)(

+

= (196)

Aplicndo fracciones parciales y la transformada inversa de Laplace a la ecuacin(196), se obtiene la siguiente expresin (197).

( ) 011)( += tparatwetc ntwn (197)

Suponemos que 1=

twtsenwtsenw

n

nd =

=

2

2

121 1

1lim

1lim

(198)

Tercer caso

Sobreamortiguado 1>

Para una entrada escaln unitarios

1)s(R = .

( )( )swwswwsw

sC

nnnn

n

11)(

22

2

+++=

(199)

Al aplicar fracciones parciales y la transformada inversa de Laplace a la ecuacin(199), se obtiene la ecuacin (201).


76/150

76

( )

( )

( )( ) tw

tw

n

n

e

etc

1

22

1

22

2

2

112

1

112

11)(

+

+

+=

(200)

012

1)(21

2

21

+=

tparas

e

s

ewtc

tstsn

(201)

nnwsws 1;1 22

21 =+= (202)

Cuando es apreciablemente mayor que la unidad, uno de las dos exponencialesque decaen disminuye exponencial ms rpido que la otra, esta condicin se puede notomar en cuenta. Es decir, si 2s se localiza mucho ms cerca del eje jw, que 1s . Una vezdesaparecido el trmino exponencial que decae ms rpido, la respuesta es similar a la deun sistema de primer orden y de la siguiente forma:

2

2

2

2

1

texto guia instrumentacion i

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