[tfg]estudio experimental de vibraciones de una pala de turbohélice

i

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE VALENCIA

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIERA DEL DISEO

ANLISIS EXPERIMENTAL DE VIBRACIONES DE UNA PALA

DE TURBOHLICE

TRABAJO DE FIN DE GRADO

AUTOR:

Rodolfo Soler Miralles

DIRECTOR:

Dr. D. Francisco Javier Fuenmayor

VALENCIA, 20 DE SEPTIEMBRE DE 2014

Rodolfo Soler Miralles 2014

ii

Agradecimientos

Quera agradecer a mi familia el permitirme seguir estudiando, ya que sin su apoyo habra sido

absolutamente imposible.

A mis compaeros, que se convirtieron en grandes amigos a lo largo de este camino: Pablo,

Daro, David, Mara, Roco, Carlos, Christopher, ngel y Jose, sin vosotros el camino habra sido

infinitamente ms tortuoso. Espero que en los aos venideros pueda seguir disfrutando de

vuestro apoyo y compaa.

A D. Francisco Javier Fuenmayor, tutor de este proyecto, porque sin l este proyecto no habra

sido posible. Adems porque como profesor, destac con su metodologa de enseanza la cual

muchos deberan envidiar.


iii

I. NDICE GENERAL

I. NDICE GENERAL ............................................................................................................. III

II. NDICE DE FIGURAS .......................................................................................................... V

1. MEMORIA ............................................................................................................................. 9

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROYECTO ...............................................................................................10

1.1.1. Introduccin ............................................................................................................................ 10

1.1.2. Objeto del proyecto ................................................................................................................. 10

1.1.3. Viabilidad ................................................................................................................................. 11

1.1.4. Justificacin ............................................................................................................................. 11

1.2. FUNDAMENTOS TERICOS .........................................................................................................12

1.2.1. Sistemas de 1 GDL ................................................................................................................... 12

1.2.2. Sistemas de N GDL ................................................................................................................... 27

1.2.3. Sistemas de excitacin y medida ............................................................................................. 49

1.2.4. Objetivos y planificacin del ensayo modal ............................................................................ 55

1.2.5. Preparacin del ensayo ........................................................................................................... 56

1.2.6. Seleccin y utilizacin de los transductores ............................................................................ 60

1.2.7. Resumen de los mtodos de ensayo ....................................................................................... 77

1.3. METODOLOGA EXPERIMENTAL .................................................................................................80

1.3.1. Introduccin ............................................................................................................................ 80

1.3.2. Descripcin de la pala. ............................................................................................................. 80

1.3.3. Descripcin del equipamiento de medida. .............................................................................. 82

1.3.4. Descripcin del mtodo de medida. ........................................................................................ 87

1.4. ANLISIS DE RESULTADOS ..........................................................................................................89

1.4.1. Introduccin ............................................................................................................................ 89

1.4.2. Excitaciones y respuestas del sistema ..................................................................................... 89

1.4.3. FRFs y Nyquist en puntos de excitacin directa .................................................................... 119

1.4.4. Frecuencias naturales ............................................................................................................ 122

1.5. CONCLUSIONES ........................................................................................................................ 123

1.5.1. Introduccin .......................................................................................................................... 123

1.5.2. Conclusiones .......................................................................................................................... 123

2. PLIEGO DE CONDICIONES.......................................................................................... 126

2.1. OBJETO DEL PLIEGO DE CONDICIONES ..................................................................................... 127

2.1.1. Introduccin .......................................................................................................................... 127

2.1.2. Requisitos del pliego de condiciones ..................................................................................... 127

2.2. CONDICIONES GENERALES ....................................................................................................... 129

2.2.1. Introduccin .......................................................................................................................... 129

2.2.2. Condiciones facultativas ........................................................................................................ 129


iv

2.3. CONDICIONES PARTICULARES .................................................................................................. 131

2.3.1. Introduccin .......................................................................................................................... 131

2.3.2. Condiciones de seguridad e higiene ...................................................................................... 131

2.3.3. Condiciones de la sala de ensayos ......................................................................................... 131

3. PRESUPUESTO .............................................................................................................. 133

3.1. PRESUPUESTO DEL PROYECTO ................................................................................................. 134

3.1.1. Introduccin .......................................................................................................................... 134

3.1.2. Descripcin del mtodo presupuestario ............................................................................... 134

3.1.3. Presupuestos parciales .......................................................................................................... 136

3.1.4. Resumen del presupuesto ..................................................................................................... 137

4. BIBLIOGRAFA .............................................................................................................. 138


v

II. NDICE DE FIGURAS Fig. 1.1: Representacin discretizada de un sistema de 1-GDL.

Fig. 1.2: Ejemplo de respuesta temporal en vibraciones libres para desplazamiento inicial no

nulo y dife

Fig. 1.3: Decremento oscilatorio de sistema amortiguado en vibraciones libres

Fig. 1.4: Solucin completa de la ecuacin de movimiento de un sistema de 1-GDL.

Fig. 1.5:

Fig. 1.6:

Fig. 1.7: Definicin de funcin impulsional

Fig. 1.8: Funcin no peridica arbitraria como sucesin de impulsos.

Fig. 1.9: representacin polar en el plano de Laplace

Fig. 1.10: Funcin de respuesta impulsional de un sistema de 1-GDL

Fig. 1.11: Ejemplo de un modelo con N grados de libertad.

Fig. 1.12: Ejemplo de la representacin grfica de los dos primeros modos de vibracin de un

oje de tren; a) primer modo de flexin; b) primer modo de torsin

FIg. 1.13: Grafica de un punto directo de receptancia para un sistema de 4-GDL: a)magnitud

en escala lineal; b)ngulo de fase

Fig. 1.14: Representacin logartmica de la magnitud de la receptancia mostrada en 1.13

Fig. 1.15: Ejemplo de transferencia de receptancia

Fig. 1.16: FRF de punto directo en el extremo libre de una viga en voladizo no amortiguada

Fig. 1.17: Sistema de 4-GDL amortiguado

Fig. 1.18: Partes real e imaginaria de la receptancia para el sistema de 4-GDL amortiguado

usado en la figura 1.17

Fig. 1.18: Partes real e imaginaria de la aceleracin para el sistema de 4-GDL usado en la

figura 1.17

Fig. 1.19: Representacin de Nyquist de un punto de receptancia para un sistema de 3-GDL

proporcionalmente amortiguado.

Fig. 1.20: Representacin de Nyquist de transferencia de receptancia para un sistema de 3-

GDL proporcionalmente amortiguado.

Fig. 1.21: Representacin de Nyquist de punto directo de receptancia para un sistema de 3-

GDL no-proporcionalmente amortiguado.

Fig. 1.22: Representacin esquemtica del hardware bsico para el anlisis modal

Fig. 1.23: Anlisis modal mediante martillo de impacto

Fig. 1.24: Detalles del impactador y martillo de impacto

Fig. 1.25: Seal tpica del pulso de la fuerza aplicada con un martillo y su espectro;

a) punto de vista temporal b) punto de vista frecuencial

Fig. 1.26: Ejemplo de suspensin con muelles de baja rigidez

Fig. 1.27: Ejemplo de la interferencia del sistema en suspensin en la primera antirresonancia

Fig. 1.28: Influencia del empotramiento en una estructura en voladizo

Fig. 1.29: Varilla flexible entre excitador y transductor de fuerza

Fig. 1.30: Varilla de empuje tpica y unin extensible

Fig. 1.31: Transformador Diferencial Variable Lineal (LVOT)

Fig. 1.32: Sensor ptico lser

Fig. 1.33: Seccin transversal de un acelermetro piezoelctrico


vi

Fig. 1.34: Seccin transversal esquemtica de un acelermetro piezoresistivo

Fig. 1.35: Esquema de una clula de carga en un acelermetro piezoresistivo

Fig. 1.36: Seccin transversal esquemtica de un acelermetro capacitivo

Fig. 1.37: Vista esquemtica del circuito integrado de un acelermetro de balance de fuerzas

Fig. 1.38: Varias FRF para un sistema 1-GDL ensayadas con excitador fijo

Fig. 1.39: sistemas 1-GDL con unin flexible al excitador, 0.1 - 100 Hz

Fig. 1.40: 1-GDL con unin flexible al excitador, 1 - 10 Hz

Fig. 1.41: 1-GDL con unin flexible al excitador, 10 - 100 Hz

Fig.1.42: Justificacin del criterio de eleccin de la resolucin frecuencial

Fig. 1.43: Ejemplo del problema del aliasing

Fig. 2.1: Motor Turbo eje PW125B

FIg.2.2 : Pala Dowty R352 utilizada en los ensayos

Fig. 2.3: Pala Dowty R352 destruida por el impacto con un equipo de tierra.

Fig. 2.4: F50 propiedad de Air Nostrum, utilizando la configuracin PW125B con 6 palas por

eje.

Fig. 2.5: Acelermetro Kistler 8634B50.

Fig. 2.6: Martillo de impacto de la marca PCB.

Fig. 2.7: Curvas de respuesta impulsional en frecuencia del martillo 086C1.

Fig. 2.8: Equipo de adquisicin de medida Photon+.

Fig. 2.9: Pantallazo del software RT Photon+.

Fig. 2.10: Datos de salida del software de adquisicin de seales.

Fig. 2.11: Definicin de los nodos de excitacin y de los ejes de referencia.

Fig. 2.12: FRF y coherencia de la medida en nodo 1.1

























vii


Fig. 2.37: FRF y coherencia de la medida en nodo 3.2 hasta ~280Hz



Fig. 2.40: FRF y Nyquist del nodo 2.1 medido en 2.1



Fig. 2.43: Nube de puntos(frecuencia) de amplitudes de respuesta mxima.

Fig. 2.44: Zona de operacin segura de la pala


viii

9

1. MEMORIA


10

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROYECTO

1.1.1. Introduccin

El conocimiento del comportamiento dinmico de componentes en la aeronutica, ms an de

aquellos componentes que son vitales para la propulsin o la sustentacin de la aeronave, son

cruciales para el diseo de las mismas. El anlisis experimental de las vibraciones de estos

componentes permite conocer en qu regmenes de vuelo sera estructuralmente peligroso

hacer funcionar dichos componentes.

En este contexto, el anlisis de un sistema de N grados de libertad (en adelante GDL) puede

resultar extremadamente complicado de forma analtica, ms an cuando N tiende a ser

elevado debido a que la geometra, las propiedades de material, etc. son complejas. El anlisis

experimental de las vibraciones proporciona de forma relativamente sencilla una solucin a este

problema y permite conocer de forma fiable las funciones de respuesta en frecuencia del

componente en cuestin, pudiendo as evitar los problemas aeroelsticos de los modos

inestables del componente.

1.1.2. Objeto del proyecto

El objetivo del presente proyecto es proporcionar unos resultados experimentales de

vibraciones de una pala de turbohlice para su posterior anlisis modal.

Estos resultados sern utilizados en futuros proyectos para un anlisis ms exhaustivo de los

modos de vibraciones y el comportamiento dinmico de la pala en cuestin.

Adicionalmente, ste proyecto tiene como finalidad la obtencin del ttulo Grado en Ingeniera

Aeroespacial en la Escuela Tcnica Superior de Ingeniera del Diseo de la Universidad

Politcnica de Valencia, de la cual el autor es alumno.

Siendo un trabajo de final de grado, unos de los objetivos principales es la adquisicin de

experiencia, metodologa de trabajo, integracin en un grupo de trabajo y la validacin de los

conocimientos adquiridos durante los estudios universitarios.

Adems, ha de servir al autor como ampliacin de su conocimiento sobre ingeniera mecnica y

de vibraciones proporcionndole algunas de las muchas herramientas cognitivas que pudiera

necesitar en su futura vida profesional.


11

1.1.3. Viab ilidad

Un aspecto fundamental en el planteamiento de cualquier proyecto es el anlisis de la condicin

de viabilidad necesaria para su desarrollo. Este concepto hace referencia no slo a factores

econmicos, sino que tambin exige disponer de una base tecnolgica adecuada y medios

humanos suficientemente cualificados.

La viabilidad econmica y humana del presente proyecto queda totalmente asegurada por estar

englobado en el departamento de Ingeniera Mecnica y de Materiales de la Universidad

Politcnica de Valencia. Con respecto a la viabilidad tecnolgica hay que hacer constar, que el

laboratorio de vibraciones, en el que se realizan los ensayos, as como las restantes instalaciones

del departamento cubren la mayora de las necesidades tecnolgicas del presente proyecto, ya

que disponen de gran parte del material necesario para la realizacin de los experimentos y la

fabricacin de los elementos necesarios.

1.1.4. Justificacin

Dado que el objeto del proyecto es puramente acadmico, y que el componente en cuestin no

volver a trabajar, el presente proyecto servir para que futuros estudiantes comprendan mejor

la respuesta dinmica de sistemas complejos, as como para validar un futuro modelo numrico

del componente en cuestin.


12

1.2. FUNDAMENTOS TERICOS

1.2.1. Sistemas de 1 GDL

Vibraciones libres

Todas las propiedades dinmicas de sistemas mecnicos estn distribuidas en el espacio, estas

propiedades son la masa, la rigidez y el amortiguamiento, responsables de la inercia, de las

fuerzas elsticas y disipativas respectivamente.

Modelar un sistema mecnico real es por tanto muy complejo e incluso imposible si trata de

describir como todas las propiedades interactan entre s. Sin embargo, en la mayora de los

casos, estas propiedades se pueden considerar independientes y estudiarse como un sistema

que, combinndose por separado, puede representar fielmente la dinmica del sistema.

Para comenzar, tomamos la discretizacin ms simple de ste tipo de problemas, un sistema con

un slo GDL, cuyas propiedades se representan en la figura 1.1 (inercia representada por una

masa infinitamente rgida m, elasticidad representada por un muelle ideal sin masa de constante

de rigidez k, y el amortiguamiento representado por un amortiguador viscosos ideal sin masa de

constante c).

Fig. 1.1: Representacin discretizada de un sistema de 1-GDL.

La siguiente ecuacin de movimiento describe el modelo espacial correspondiente al sistema:

[1.1]

Dnde f(t) y x(t) son la fuerza de excitacin aplicada al sistema y la respuesta espacial

correspondiente en funcin del tiempo.


13

Sabemos que la solucin de [1.1] es la suma de soluciones de la correspondiente ecuacin

homognea ms una solucin particular. Si fijamos f(t)=0, la solucin homognea viene dada

por:

[1.2]

correspondiente a lo que llamaremos sistema en vibraciones libres. La solucin general a la

ecuacin [1.2] tiene la siguiente forma:

[1.3]

dnde s, conocida como variable de Laplace. Sustituyendo en [1.2]:

[1.4]

Se puede observar que hay una solucin trivial en x(t)=0 que corresponde a ausencia de

movimiento, lo cual no es de nuestro inters, y una solucin no trivial correspondiente a:

[1.5]

La ecuacin [1.5] tambin llamada ecuacin caracterstica posee dos races s1 y s2 dadas por:

[1.6]

Por tanto la solucin general de la ecuacin homognea [1.2] viene dada por:

[1.7]

dnde C1 y C2 son constante determinadas por las condiciones iniciales del sistema. Es obvio que

las dos races s1 y s2 pueden dar lugar a los siguientes casos:

Las fuerzas de amortiguamiento gobiernan el movimiento ((c/2m)^2>k/m) y las dos

races son reales. En este caso se dice que el sistema est sobreamortiguado

Las fuerzas elsticas y de inercia prevalecen ((c/2m)^2


14

Donde n es la frecuencia natural del sistema sin amortiguar. Se define el amortiguamiento

relativo como la magnitud adimensional :

[1.9]

Por tanto las races caractersticas de la anterior ecuacin se pueden escribir como:

[1.10]

y por tanto:

Sistema sobreamortiguado: >1

Sistema crticamente amortiguado: =1

Sistema subamortiguado:


15

que en los otros casos el sistema simplemente vuelve a una posicin de equilibrio esttico sin

oscilacin:

Fig. 1.2: Ejemplo de respuesta temporal en vibraciones libres para desplazamiento inicial no nulo

Mientras que la solucin no-amortiguada (=0) se corresponde con un movimiento armnico

simple de frecuencia n y de amplitud constante, la solucin del sistema subamortiguado

(0<


16

Fig. 1.3: Decremento oscilatorio de sistema amortiguado en vibraciones libres

Vibraciones forzadas

El problema de vibraciones forzadas es anlogo al descrito en [1.1] con f (t) 0. Ya sabemos la

solucin de la correspondiente ecuacin homognea y por tanto, para obtener la solucin

completa, debemos partir de la solucin particular de [1.1]. que se aplica una excitacin

armnica de frecuencia y amplitud F:

[1.19]

Donde F y son constantes, la solucin particular viene dada por:

[1.20]

donde es una amplitud compleja conocida como fasor:

[1.21]

sustituyendo [1.20] en [1.1]:

[1.22]

Y dado que cualquier nmero complejo de la forma x+iy puede ser escrito como Re^(i), con

R=(x^2+y^2)^(1/2) y tan ( )=y/x, [1.22] se reescribe como:

[1.23]


17

con

[1.24]

La solucin particular de [1.1] para la fuerza armnica definida en 1.19 viene por tanto dada por:

[1.25]

que es una funcin armnica de amplitud constante, como lo es la fuerza aplicada. Adems,

[1.24] y [1.5] indican que la respuesta x (t) est retrasada respecto de la f (t) un ngulo . La

solucin completa es la suma de [1.25] con la solucin [1.15] de la ecuacin homognea:

[1.26]

o bien

[1.27]

Dnde = / n es un parmetro adimensional que representa el ratio entre la frecuencia de

excitacin y la frecuencia natural del sistema no-amortiguado. La ecuacin anterior muestra que

los desplazamientos de la solucin particular de la ecuacin [1.1] y la solucin de la ecuacin

homognea estn superpuestos, es decir, sumados algebraicamente. Como se ha visto en el

apartado anterior, la solucin particular es solo importante en el periodo inicial, y con el paso de

una cierta cantidad suficiente de tiempo nicamente la solucin homognea permanece.

Fig. 1.4: Solucin completa de la ecuacin de movimiento de un sistema de 1-GDL.


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Tomando nicamente la parte estacionaria a la solucin del movimiento, es comn no utilizar la

magnitud X de respuesta sino:

[1.28]

Donde Xs es el ratio F/k, correspondiente a la deformacin esttica del sistema si fuera cargado

con una fuerza constante de magnitud F. La ventaja de la ecuacin [1.28] es que es

completamente adimensional y es su representacin grfica es vlida para cualquier sistema de

1-GDL (ver figura 1.5).

Se puede ver claramente que cuando =1 (frecuencia de excitacin = frecuencia natural) y =0

(sistema no amortiguado), entonces Q tiende a infinito y por tanto independientemente de lo

pequea que sea F, el desplazamiento tender a infinito. A esta indeseada situacin se le conoce

como resonancia. Es por tanto muy importante evitar este efecto en cualquier sistema

estructural.

Afortunadamente, en la prctica nunca es 0 puesto que siempre hay algn tipo de disipacin

en los sistemas reales. Esto significa que cualquier modelo dinmico deber incluir un

mecanismo de amortiguamiento. En este caso la amplitud de resonancia no ser infinita,

aunque para bajos niveles de amortiguamiento podr tener valores muy altos. Se puede probar

que el valor mximo para la amplitud de la solucin homognea ocurre para = n*(1-

2 ^2)^(1/2). Esta caracterstica particular es observable en la figura 1.5:

Fig. 1.5:

Si se representa el ngulo de fase frente a , como se muestra en la figura 1.6, se puede

observar que la respuesta pasa de un desfase inicial de 0 hasta uno de -180 cuando pasa por la

frecuencia de resonancia. El significado de este desfase es que la respuesta est retrasada en el

tiempo respecto a la fuerza de excitacin. En el caso terico donde =0, el cambio de fase seria

instantneo mientras que para mayores valores de resulta un cambio ms gradual.


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Fig. 1.6: ngulo de fase de la respuesta x(t) respecto a f(t) para diferentes

En el anlisis anterior el objetivo era tomar un sistema y calcular su respuesta dinmica x(t)

frente a una fuerza excitadora f(t). Una forma alternativa de observar las ecuaciones derivadas

de la solucin homognea es considerar las propiedades dinmicas del sistema que estn

contenidas en la expresin matemtica que relacin la salida x(t) y la entrada f(t):

[1.29]

A la funcin compleja H( ) se la llama Funcin de Respuesta en Frecuencia (FRF).

Excitacin no-armnica: anlisis de Fourier

Hasta ahora, para obtener la solucin completa de la ecuacin de movimiento se ha tenido que

suponer un tipo particular de fuerza. Sin embargo las fuerzas de excitacin pueden ser de

muchos tipos aparte de excitaciones armnicas. De hecho si se piensa en situaciones de

excitacin reales como terremotos, viento, olas, discontinuidades en el pavimento, etc. es fcil

entender que la las fuerzas de excitacin pueden tener diversas formas y slo algunos casos

particulares son seales armnicas.

Las seales dinmicas se pueden clasificar como deterministas o aleatorias. Las primeras pueden

ser descritas mediante una expresin analtica de su magnitud mientras que las segundas no.

Las seales aleatorias se caracterizan en base a sus propiedades estadsticas y pueden ser

clasificadas como estacionarias y no-estacionarias. El anlisis de fuerzas de excitacin aleatorias

es complicado y no se va a analizar con profundidad en el presente proyecto.

Las seales deterministas pueden ser peridicas o transitorias. Una seal peridica es aquella

que se repite despus de un periodo T de tiempo, f(t)=f(t+T). Las seales harmnicas son , por

tanto, un caso particular de seales peridicas. Una seal transitoria es aquella que solo excita

durante un corto periodo de tiempo. Si una funcin peridica satisface ciertas condiciones se

puede representar como el sumatorio de funciones harmnicas conocido como series de

Fourier. Por tanto, el anlisis de Fourier de funciones peridicas llevara a espectros discretos en


20

frecuencia representando amplitudes y fases de las componentes discretas harmnicas que

componen la seal completa frente a la frecuencia.

Dado que estamos suponiendo continuamente comportamiento lineal estamos asumiendo por

tanto que se aplica el principio de superposicin. Este principio ya se ha aplicado cuando la

solucin completa se ha obtenido como la suma algebraica de la solucin homognea con la

particular. Por tanto, la validez del principio de superposicin implica que la respuesta de un

sistema lineal excitado por una fuerza peridica, puede ser obtenida sumando las respuestas a

las componentes armnicas correspondientes. Esta tarea puede parecer imposible sin

consideramos el hecho de que las series de Fourier tienen un nmero infinito de harmnicos, sin

embargo en la prctica se consideran solo unos pocos (tpicamente menos de 10).

Cuando las fuerzas de excitacin son transitorias, no se pueden tratar directamente mediante

series de Fourier. Sin embargo se puede aceptar que una seal transitoria es una seal peridica

con T infinito. Considerando que el lmite por el que se aproximan las series de Fourier tiende a

infinito, se puede encontrar una funcin f(t), bajo ciertas circunstancias, descrita por la integral

F( ) dada por:

[1.30]

Dnde F( ) se conoce como la transformada de Fourier de f(t). Adems, la funcin f(t) siempre

podr obtenerse de F() a travs de la funcin transformada inversa de Fourier:

[1.31]

Las ecuaciones [1.30] y [1.31] constituyen lo que se conoce como par de transformacin de

Fourier. Aplicando este razonamiento a la ecuacin [1.29], f(t) siendo una excitacin transitoria

arbitraria:

[1.32]

Dnde la transformada de Fourier de la respuesta es sencillamente el producto de la FRF H() y

la transformada de Fourier de la fuerza de excitacin. La respuesta x(t) es obtenida de X():

[1.33]

Ntese que la transformada de Fourier y su inversa se expresan frecuentemente de la siguiente

manera:

[1.34]

[1.35]

donde f= /2 denota la frecuencia expresada en Hercios.


21

Es importante recalcar que ahora el espectro de frecuencia es una funcin continua de , a

diferencia del espectro de frecuencias obtenido para funciones peridicas en el tiempo que est

compuesto de componentes discretos nicamente.

Para obtener x(t) es entonces necesario evaluar la integral en [1.33] lo que lleva generalmente a

dificultades desde el punto de vista matemtico. Por otro lado, hay algunas situaciones donde el

anlisis mediante transformada de Fourier es inapropiado, llevando a soluciones sin sentido de

la integral (en el caso de f(t) ser una funcin escaln, por ejemplo). Una alternativa a la

utilizacin de la transformada de Fourier es aplicar la Laplace.

Dominio temporal. Funcin de respuesta impulsional (IRF)

Una forma alternativa a realizar el anlisis de Fourier (dominio frecuencial) es utilizar la

aproximacin en el dominio temporal para estimar la respuesta del sistema a una excitacin

arbitraria. La forma ms simple de una fuerza no peridica es la funcin impulso o delta de

Dirac:

[1.36]

que es cero para todos los valores de t excepto para t=, donde:

[1.37]

Esta funcin puede ser visualizada por un rea rectangular de espesor t y altura 1/ t tomada

hasta el lmite donde t tiende a cero.

Fig. 1.7: Definicin de funcin impulsional

Considerando nuestro sistema de 1-GDL (Fig. 1.1) en reposo antes de la excitacin impulsional,

obtenemos, de la relacin de momento del impulso:

[1.38]

y por tanto, podemos concluir que la respuesta a la excitacin impulsional no es otra sino unas

vibraciones libres con desplazamiento inicial cero y velocidad igual a 1/m. por tanto , de [1.16]:


22

[1.39]

donde h(t- ) denota la funcin de respuesta impulsional (IRF).

La respuesta a una entrada arbitraria f(t) puede ser considerada como la superposicin de las

respuestas a una serie de impulsos que representan la funcin completa. Esto es posible

realmente ya que consideramos que el sistema se comporta de forma lineal y se puede aplicar el

principio de superposicin.

Fig. 1.8: Funcin no peridica arbitraria como sucesin de impulsos.

Por tanto:

[1.40]

Haciendo tender a cero, la suma se convierte en una integral y por tanto:

[1.41]

sta integral se llama integral de convolucin o de Duhamel. En los casos donde f(t) no tiene una

forma que permita una integracin explcita, podr ser evaluada numricamente. Sustituyendo

[1.39] en [1.41], obtenemos:

[1.42]

que representa la respuesta de un sistema de 1-GDL no amortiguado a una fuerza arbitraria f(t).

Consideremos ahora el problema en trminos de anlisis de Fourier, asumiendo que nuestra

fuerza de excitacin es un delta de Dirac. Considerando [1.41] y dado que h(t- )=0 para t


23

hacemos ahora un cambio de la variable de integracin a utilizando la relacin =t- , entonces

[1.43] se convierte en:

[1.44]

o

[1.45]

Finalmente, dado que h(t- )=0 para t< entonces h()=0 para todo


24

[1.53]

que, por definicin, ha de ser idntica a h(t). Por tanto, se puede concluir que la FRF H() y la IRF

h(t) constituyen un par de transformacin de Fourier. Esto es una conclusin muy importante

puesto que permite la obtencin de la FRF para un sistema dado simplemente haciendo la

transformada de Fourier de su IRF.

Dominio de Laplace. Funcin de transferencia

Una forma de obtener la respuesta dinmica de un sistema bajo cualquier tipo de excitacin,

incluyendo evidentemente las peridicas y las harmnicas, es mediante el mtodo de

transformacin de Laplace. Bsicamente, el mtodo de transformacin de Laplace convierte

ecuaciones diferenciales en algebraicas, que son ms fciles de manipular. Otra gran ventaja de

este mtodo es que puede tratar funciones discontinuas y automticamente tiene en cuenta las

condiciones iniciales.

La transformada de Laplace de una funcin x(t) , denotada como X(s), se define como:

[1.54]

donde s es, en general, un valor complejo conocido como variable de Laplace. Tomando la

transformada de Laplace en ambos lados de [1.1], se obtiene:

[1.55]

y

[1.56]

o

[1.57]

Si las condiciones iniciales son nulas, lo que es equivalente a ignorar la solucin de la ecuacin

homognea [1.2], el ratio de respuesta transformada frente a la excitacin transformada puede

ser expresada como:

[1.58]

donde

[1.59]


25

es conocida como funcin de transferencia del sistema. H(s) es una funcin compleja de s y es

representada como la superficie en el dominio de Laplace. El denominador de [1.59] es la

ecuacin caracterstica (ya definida en [1.5]) y lleva a 2 races como se expres en [1.6]. Para un

sistema no amortiguado, las races s1 y s2 de la ecuacin caracterstica se pueden escribir como:

[1.60]

con

[1.61]

y

[1.62]

ya definidos anteriormente. Ahora la funcin de transferencia se puede escribir como:

[1.63]

donde s1 y s2 son los polos de la funcin de transferencia, que se pueden ver en el plano S como

se muestra en la figura 1.9.

Mediante expansiones en fracciones simples, [1.63] puede ser expresado como:

[1.64]

donde los complejos conjugados A y A* son definidos como los residuos de la funcin de

transferencia estando, como se ver en [1.69], directamente relacionados con la amplitud de la

IRF. Estos residuos son fcilmente calculables y vienen dados por:

[1.65]

Fig. 1.9: representacin polar en el plano de Laplace


26

Aunque para un sistema de 1-GDL el residuo A es puramente imaginario, para sistemas de N-

GDL los residuos son, en general, nmeros complejos completos.

Funcin de respuesta en frecuencia (FRF)

Cmo se ha visto previamente, el dominio de Laplace describe el sistema bajo anlisis en

trminos de polos y residuos. Evaluando ahora la funcin de transferencia nicamente en el

dominio frecuencial obtenemos:

[1.66]

La anterior ecuacin representa la expansin en fracciones de la FRF de un sistema de 1-GDL. La

misma FRF podra haber sido obtenida de [1.59] bajo una forma ms comn:

[1.67]

que no es ms que la ecuacin [1.29]. Por tanto, la FRF es solo un caso particular de funcin de

transferencia.

El comportamiento en vibraciones libres puede ser obtenido asumiendo que el sistema fue

excitado por una fuerza impulsional en t=0. La IRF de un sistema de 1-GDL puede ser

determinada fcilmente por [1.58] y [1.64] tomando condiciones iniciales nulas y que F(s)=1

para una fuerza impulsional llegamos a:

[1.68]

y, por tanto

[1.69]

que es precisamente el mismo resultado por mtodos clsicos (ver [1.15]. La ecuacin [1.69]

representa el decremento logartmico de frecuencia d. Por tanto, la frecuencia de oscilacin

corresponde a la parte imaginaria del polo, el residuo A controla la amplitud inicial de la

respuesta al impulso y la parte real del polo controla el ratio de decremento:

Fig. 1.10: Funcin de respuesta impulsional de un sistema de 1-GDL


27

1.2.2. Sistemas de N GDL

En la seccin anterior hemos analizado los sistemas ms simples y su comportamiento en

condiciones dinmicas, ya que este tipo de aproximacin permite entender ms fcilmente los

conceptos bsicos y su significado fsico. Sin embargo, la mayora de sistemas mecnicos y

estructuras no pueden ser modelados asumiendo un nico grado de libertad.

Las estructuras reales son sistemas elsticos continuos y en general no-homogneos, por lo que

tienen un nmero infinito de grados de libertad. En general, su anlisis se basar en una

aproximacin suponiendo N grados de libertad, tantos como sea necesario para alcanzar la

precisin deseada.

Normalmente, las estructuras no-homogneas y continuas son descritas como sistemas

discretizados de N-GDL. Hay que remarcar que los grados de libertad del sistema son el nmero

de coordenadas independientes necesarias para describir por completo el movimiento de ese

sistema. Por ejemplo, podemos considerar el modelo en la figura 1.11 que representa un

sistema amortiguado definido por su masa, su rigidez y su amortiguamiento. Hacen falta un total

de N coordenadas xi(t) (i=1,2,...,N) para describir la posicin de las N masas respecto al equilibrio

esttico, y por tanto se dice que el sistema tiene N grados de libertad.

Fig. 1.11: Ejemplo de un modelo con N grados de libertad.

Suponiendo que cada masa es excitada por una fuerza externa fi(t) (i=1,2,..., N) y estableciendo

el equilibrio de fuerzas que actan sobre ellas, el movimiento del sistema est gobernado por las

siguientes ecuaciones:

[1.70]

Estas ecuaciones consisten en N ecuaciones diferenciales de segundo orden, cada una de las

cuales requiere 2 condiciones iniciales para poder resolver la respuesta completa. Es inmediato

que ninguna ecuacin puede resolverse por s misma porque todas estn ligadas, es decir, el

movimiento de una coordenada depende del resto. Esta dependencia se expresa por el hecho

de que cada ecuacin incluye trminos que involucran ms de una coordenada. Un mtodo

convencional para resolver este tipo de ecuaciones es utilizar un mtodo matricial:


28

[1.71]

que de forma compacta se expresa como:

[1.72]

donde [M], [C] y [K] son matrices simtricas NxN de masa, amortiguamiento y rigidez

respectivamente y que describen las propiedades espaciales del sistema. Los vectores {},{ } y

{x} son vectores de aceleracin, velocidad y desplazamiento respectivamente, mientras que {f}

es el vector de las fuerzas externas de excitacin.

Frecuencias naturales y modos de vibracin:

Hemos visto que cuando un sistema de 1-GDL no amortiguado es sometido a una perturbacin

inicial y despus dejado a su movimiento libre, oscila alrededor de su posicin de equilibrio con

lo que se puede definir como su modo natural de vibracin.

Dinmicamente el sistema fue caracterizado nicamente mediante una propiedad descrita por

su frecuencia natural en vibraciones libres, veremos ahora que pasa con los sistemas de N-GDL.

Sistemas N-GDL no amortiguados:

Empecemos por asumir que el sistema no est amortiguado y consideremos la solucin de

vibraciones libres que es:

[1.73]

Dado que las N ecuaciones en [1.73] son homogneas, se ver que x1(t), x2(t),...,xn(t) representan

una solucin {x} del sistema, entonces x1(t), x2(t),..., xn(t), donde es una constante distinta

de 0 arbitraria, tambin es una solucin. Esto significa que la solucin de [1.73] solo se puede

encontrar en trminos de movimiento relativo.

Se sabe que [1.73] tiene soluciones donde los movimientos dependientes del tiempo del sistema

son sincronizados, es decir, todos obedecen a la misma ley de variacin en el tiempo y que estas

soluciones son de la forma:

[1.74]

donde { } es un vector Nx1 de amplitudes de respuesta independientes, sustituyendo en [1.73]

obtenemos:

[1.75]

como el trmino exponencial siempre ser distinto de cero, entonces:


29

[1.76]

Lo que vemos en [1.76] es un problema generalizado de auto valores. Si pre-multiplicamos

ambos lados de [1.76] por la inversa de [[K]- ^2[M]], obtenemos:

[1.77]

si la inversa de [[K]- ^2[M]] existe, entonces

[1.78]

que corresponde a la solucin trivial, es decir, a la ausencia de movimiento. Esta solucin no

tiene ningn inters y, por tanto, la en la solucin no-trivial, la inversa de [[K]- ^2[M]] no debe

existir y por tanto la matriz ha de ser singular:

[1.79]

sta es una ecuacin algebraica conocida como ecuacin caracterstica del sistema, que lleva a N

posibles soluciones reales 1^2, 2^2,... m^2 que son los autovalores de [1.76]. Estos valores

son las frecuencias naturales del sistema sin amortiguar.

Sustituyendo cada valor de frecuencia natural en [1.76] y resolviendo cada conjunto resultante

de ecuaciones para {X}, obtenemos N posibles vectores solucion { r} (r=1,2,...,N), conocidos

como modos de vibracin del sistema y que son los auto vectores del problema.

Cada { r} contiene N elementos que son valores reales, y que solo son conocidos en trminos

relativos, por tanto, sabemos la direccin de los vectores pero no su magnitud absoluta. En

trminos fsicos, hemos demostrado que nuestro sistema puede vibrar libremente con un

movimiento sncrono, para N valores particulares de frecuencia r, cada uno de los cuales

implica una configuracin particular o "forma" de movimiento libre, descrito por {r}. Cada par

de r y { r} se conocen como modo de vibracin del sistema. El sufijo r denota el nmero del

modo y vara de 1 hasta N.

La representacin grfica de un modelo en su posicin de equilibrio esttico es usada

frecuentemente superpuesta con el mismo modelo con sus coordenadas desplazadas por

valores proporcionales a los valores de los elementos de {r}, y da una idea clara de cmo un

sistema se mueve de forma particular.


30

Fig.1.12: Ejemplo de la representacin grfica de los dos primeros modos de vibracin de un

bogie de tren; a) primer modo de flexin; b) primer modo de torsin

Los vectores de modos de vibracin, siendo de hecho los autovectores que satisfacen el

problema de autovalores en [1.76], poseen ciertas propiedades conocidas como propiedades de

ortogonalidad. Tomando [1.76] y dos modos particulares r y s podemos escribir:

[1.80]

y

[1.81]

Pre-multiplicando [1.80] por { s} traspuesto:

[1.82]

Por otro lado, si transponemos [1.81] y lo post-multiplicamos por { r} obtenemos:

[1.83]


31

Que es lo mismo que

[1.84]

Debido al hecho de que [M] y [K] son matrices simtricas. Combinando [1.82] y [1.84],

obtenemos:

[1.85]

que solo puede ser satisfecho por r s si

[1.86]

Adems, de [1.86 ] y [1.84] se obtiene

[1.87]

Finalmente, si tomamos r=s y consideramos [1.82] o [1.84], obtenemos

[1.88]

o bien

[1.89]

dnde kr y mr son comnmente conocidos como rigidez y masa modales o generalizadas del

modo r. Por tanto, considerando todas las posibles combinaciones de r y s podemos definir las

propiedades ortogonales del modelo modal de la siguiente forma:

[1.90]

Los modos de vibracin, debido a sus propiedades ortogonales, son linealmente independientes,

y por tanto forman una base en un espacio N-dimensional. Como consecuencia, cualquier otro

vector en el mismo espacio puede ser expresado como una combinacin lineal de los N vectores

independientes de forma modal. Esta afirmacin constituye lo que normalmente se conoce

como el teorema de la expansin y su utilidad se ver posteriormente cuando se estudia la

respuesta de sistema N-GDL a excitaciones arbitrarias.

Se ha visto que, al contrario que las frecuencias naturales que son valores fijos y nicos, los

modos de forma son conocidos dentro de un factor de escala indeterminado. Por tanto, kr y mr

no pueden ser tomados por separado dado que sus valores son tambin conocidos dentro de un

factor de escala. Es el cociente kr/m r= r2 el que es un valor perfectamente definido.

La presentacin de los modos de vibracin est por tanto siempre sujeta a un escalado previo o

a una normalizacin. Esta normalizacin est normalmente basada en hacer el mayor elemento


32

del vector igualado a 1. Sin embargo, en anlisis modal, es comn escalar los vectores modo de

vibracin de la siguiente forma:

[1.91]

Dnde [I] es la matriz identidad, y [ matriz modal normalizada sobre la masa,

construida de los vectores de forma {r}= r{ r} cada uno de los cuales obedece a la

relacin:

[1.92]

Para cada modo r. De [1.92] obtenemos:

[1.93]

Por tanto, las propiedades de la matriz modal normalizada a masa unitaria pueden ser descritas

como:

[1.94]

Estas propiedades particulares de la matriz modales pueden ser utilizadas para poder encontrar

la solucin a vibraciones libres de [1.73]. Por tanto definimos la transformacin de coordenadas:

[1.95]

y sustituimos en [1.73]:

[1.96]

pre-multiplicando [1.96] por [

[1.97]

y teniendo en cuenta [1.94], la representacin matricial del conjunto de ecuaciones del

movimiento se convierte en

[1.98]


33

Que representa un conjunto de N ecuaciones desacopladas de un grado de libertad de

movimiento. Ntese que si utilizramos una matriz modal [

llegaramos a

[1.99]

Por tanto, a travs de una simple transformacin de coordenadas, nuestro sistema de N-GDL se

ha transformado en N sistemas independientes de 1-GDL, cada uno de los cuales pueden ser

resueltos como se ha explicado en el apartado anterior.

Despus de resolver [1.98], la solucin de vibraciones final, se obtiene fcilmente en trminos

de xi(t), mediante la transformacin de coordenadas [1.95]. Las coordenadas de respuesta {q(t)}

son conocidas como coordenadas modales o principales, y los vectores de forma {r} se dice

que representan los modos normales del sistema.

Sistemas de N-GDL con amortiguamiento viscoso

Si revisamos las ecuaciones de movimiento de nuestro sistema general de N-GDL con

amortiguamiento viscoso como se describe en [1.72], y asumiendo que {f}={0}, aplicando las

mismas tcnicas que anteriormente, basndonos en la matriz modal del sistema no

amortiguado, obtenemos:

[1.100]

o bien:

[1.101]

Dnde es, en general, una matriz NxN no-diagonal. Esta caracterstica, en trminos simples,

es explicable por el hecho de que la matriz modal [ est obtenida utilizando solo informacin

r} no tenan en cuenta nada

acerca de [C] cuando fueron calculados, por lo que no tendran porque diagonalizar la matriz de

amortiguamiento. Estamos, por tanto, enfrentndonos a un difcil problema debido al hecho de

que el amortiguamiento est aadiendo otro acoplamiento entre las ecuaciones del movimiento

que no puede ser desacoplado a travs de la anterior transformacin modal. Antes de avanzar,

analizaremos las situaciones particulares en las cuales se dice que el amortiguamiento es

proporcional.

El amortiguamiento proporcional puede definirse como una situacin donde la matriz de

amortiguamiento viscoso [C] es directamente proporcional a la matriz de rigidez, a la matriz de

masas, o a una combinacin lineal de ambas. Considerando el caso ms general de

amortiguamiento proporcional, podemos escribir:

[1.102]

Dnde

ortogonales de la matriz modal sin amortiguar llevan a


34

[1.103]

o

[1.104]

y por tanto, tomando como analoga el sistema de 1 GDL, podemos escribir:

[1.105]

dnde

[1.106]

es definido como la relacin de amortiguamiento para el modo r. Tenemos ahora en [1.105] un

conjunto de N ecuaciones de 1 GDL amortiguadas desacopladas, cada una de las cuales pueden

ser resueltas utilizando los mtodos descritos en la seccin anterior. De nuevo, la respuesta final

a vibraciones libres se obtiene utilizando la relacin de transformacin de coordenadas y el

conocimiento de las condiciones iniciales.

En general, el amortiguamiento no es proporcional, y terminamos con la ecuacin [1.100] y una

matriz no diagonal . En muchas situaciones, cuando el amortiguamiento es pequeo, es

aceptable anular los trminos no-diagonales de la matriz sin perder demasiada precisin,

pudindose alcanzar una solucin aproximada. Sin embargo, cuando el amortiguamiento es

grande, esta aproximacin no se puede realizar. La forma correcta de abordar el problema es

considerar la forma homognea de [1.72] y asumir una solucin general de la forma:

[1.107]

sustituyendo en

[1.108]

Obtenemos

[1.109]

Que constituye un problema de autovalores complejo. Una forma ms conveniente de resolver

[1.108] es definir un vector complejo de estado u(t) como

[1.110]


35

Re-escribiendo [1.08] en trminos de sta nueva variable obtenemos

[1.111]

o de forma simplificada

[1.112]

Esta formulacin es frecuentemente llamada anlisis de espacio-estado, en contraste con el

normal anlisis vector-espacio. [A] y [B] son matrices reales simtricas de 2Nx2N. En el vector

espacio se busca una solucin de la forma [1.107] donde {X} es un vector complejo Nx1 que

representa la amplitud de la respuesta y s es un valor complejo. Por tanto

[1.113]

y

[1.114]

Sustituyendo [1.113] y[1.114] en [1.112] obtenemos, para todo tiempo t

[1.115]

que representa un problema generalizado de autovalores, cuya solucin comprende un

conjunto de 2N autovalores que son reales o existen en pares de complejos conjugados. Para el

caso que nos compete, es decir, sistemas amortiguados, los valores siempre aparecern en

pares de complejos conjugados. Denotando los autovalores por sr y sr*y los autovectores por

{ r} y { r*}, tenemos

[1.116]

y

[1.117]

donde { r} y { r*} son los autovectores complejos Nx1 correspondientes al vector de

coordenadas espaciales {x}.


36

Como en el caso de sistemas sin amortiguar o proporcionalmente amortiguados, los autovalores

poseen propiedades ortogonales. Por tanto, definiendo una coordenada de transformacin

[1.118]

donde [ ] es una matriz modal compleja 2Nx2N. Sustituyendo en [1.112] y pre-multiplicando

por su traspuesta, obtenemos

[1.119]

que se convierte en

[1.120]

Por tanto, hemos terminado teniendo un conjunto de 2N ecuaciones desacopladas que es

equivalente a tener un conjunto de 2N sistemas independientes de 1-GDL. Considerando cada

solucin de la forma

[1.121]

Dnde Qr depende de las condiciones iniciales, y sustituyendo en [1.118] y [1.120] tenemos la

respuesta en vibraciones libres en trminos de coordenadas espacio-estado.

[1.122]

con sr=-br/ar. En [1.122], Qr puede ser tomado como un factor de peso asociado con cada modo

{ r}, representando la contribucin de cada modo a la respuesta total para cada coordenada y

generalmente conocido como factor de participacin modal.

Hemos llegado a una solucin del problema de autovalores complejo donde tenemos 2N

autovalores en forma de complejos conjugados. En otras palabras, podemos decir que tenemos

un numero N de autovalores sr y su correspondientes N autovectores mas otro complejo de

autovalores sr* y sus correspondientes autovectores. Cada autovalor es normalmente escrito de

la forma:

[1.123]

tomando como analoga el caso de 1 GDL. Una forma de entender el significado fsico de estas

cantidades es comprender que cada par autovalor/autovector sr y { r} debe satisfacer la

ecuacin [1.109]

[1.124]


37

Y de forma similar para otro para como sp y { p}, despus de transponer la ecuacin resultante

[1.125]

Si ahora multiplicamos [1.124] por {p}T,y post-multiplicamos [1.125] por {p}, obtenemos

[1.126]

y

[1.127]

restando la ecuaciones resultantes nos lleva a

[1.128]

Por otro lado multiplicando [1.126] por sp y [1.127] por sr y restando una la otra nos lleva a

[1.129]

Las ecuaciones [1.128] y [1.129] constituyen un par de condiciones ortogonales que deben ser

satisfechas por nuestros autovectores del sistema de N-GDL. Considerando [1.123] y asumiendo

que los modos r y p son un par de complejos conjugados, y teniendo en cuenta [1.128] y [1.129],

alcanzamos las siguientes expresiones:

[1.130]

y

[1.131]

Por tanto, hemos acabado definiendo, para nuestro sistema general de amortiguamiento

viscoso, una analoga con los sistemas no amortiguados y proporcionalmente amortiguados, una

masa modal mr , un amortiguamiento modal cr y una rigidez modal Kr r y r pueden

ser tomados como la frecuencia natural sin amortiguar y el ratio de amortiguamiento,

respectivamente, asociados al modo r.

Finalmente, es importante saber que, en el caso de sistemas no amortiguados, los autovectores

no estn determinados en un sentido absoluto. Hemos visto que los sistemas no amortiguados

exhiben formas modales con amplitudes reales que solo son conocidas mediante una constante


38

multiplicativa. Ahora, en el caso general de sistemas amortiguados, tenemos formas modales

complejas, esto significa que tenemos que considerar tanto las amplitudes como los ngulos de

fase. Por tanto, los vectores modales no solo son conocidos mediante una constante

multiplicativa, hasta lo que compete a las amplitudes, sino tambin en una constante de cambio

angular, en cuanto a las fases se refiere.

Respuesta de vibraciones forzadas de sistemas de N-GDL

Ahora centraremos nuestra atencin a la respuesta de vibraciones forzadas para sistemas de N-

GDL. Como en el caso de los sistemas de 1-GDL, vamos a obviar la parte transitoria de la

respuesta completa y considerar solo la solucin estacionaria. Hay una forma obvia y directa de

derivar las ecuaciones correspondientes, para el caso particular de excitacin harmnica. De

[1.72], tomando el vector de excitacin {f(t)}={F}eiwt y el vector respuesta {x(t)}={X} eiwt,

obtenemos

[1.132]

y por tanto

[1.133]

el mismo razonamiento basado en un modelo histertico llevara a

[1.134]

donde [ )] es la matriz de receptancia del sistema NxN, conteniendo toda la

informacin jk de la matriz

corresponde a una FRF individual que describe la relacin entre la respuesta en una

coordenada particular j y una fuerza de excitacin aplicada en una coordenada k. La

matriz de receptancia [ )] constituye otra forma de modelar nuestro sistema y es

conocido como Modelo de Respuesta, en oposicin con los modelos Espacial y Modal

nombrados anteriormente.

A pesar de su aparente simplicidad, las ecuaciones [1.133] y [1.134] tienden a ser muy

ineficientes para aplicaciones numricas y su utilidad para propsitos identificativos es

muy limitada. De hecho, aunque es posible calcular los valores de [ )] para cualquier

frecuencia, esta operacin requiere la inversin de una matriz NxN para el valor de

frecuencia escogido. Cuando se trabaja con sistemas con un alto nmero de grados de

libertad, este proceso puede llevar mucho tiempo. La ineficiencia de este proceso es

aumentada si uno est interesado solo en un nmero limitado de elementos

individuales de receptancia (FRFs individuales). Afortunadamente, es posible derivar

expresiones ms tiles para [ )], basadas en propiedades modales.


39

Representacin de FRFs de sistemas de N-GDL

Hemos visto que la respuesta modal de un sistema de N-GDL consiste en un conjunto de

diferentes FRFs y se ha visto que un sistema con N-GDL esta descrito por un modelo modal con

N frecuencias naturales y N modos de forma. Adems, se ha mostrado que cada FRF se puede

escribir bajo la forma de una serie de trminos, cada uno de los cuales se refiere a su

contribucin a la respuesta total de cada modo de vibracin.

Teniendo en mente las caractersticas anteriores, echemos un vistazo a la representacin de

Bode de una receptancia FRF en un ejemplo de un sistema no-amortiguado de 4-GDL. Las figuras

1.12 a) y b) muestran la magnitud y fase, respectivamente, usando una escala lineal de un punto

directo de receptancia.

Fig. 1.13: Grafica de un punto directo de receptancia para un sistema de 4-GDL: a)magnitud en

escala lineal; b)ngulo de fase

Es inmediatamente obvio, de la grfica de magnitud, que hay 4 picos de amplitud,

correspondientes a las cuatro frecuencias naturales del sistema. El significado de esto es que el

sistema posee 4 frecuencias de resonancia. En analoga con lo que vimos en los sistemas de 1-

GDL, se espera que, para cada resonancia, habr un desfase de 180.

Sin embargo, observando la figura 1.13 b) est claro de que hay ms de 4 cambios de fase. Estos

no solo ocurren a cada resonancia sino que tambin durante frecuencias intermedias que no

tienen un comportamiento especial en lo que a la representacin de la magnitud se refiere. Esto

es solo consecuencia de utilizar una escala lineal en la magnitud de la receptancia, que oculta los

comportamientos de bajo nivel, si reemplazamos la representacin lineal en la figura 1.39 a) por

una logartmica, obtenemos lo que se muestra en la siguiente figura:


40

Fig. 1.14: Representacin logartmica de la magnitud de la receptancia mostrada en 1.13

Ahora, podemos ver el detalles de los niveles bajos de la respuesta y la FRF muestra que, en esas

regiones, hay algunos picos "invertidos", cada uno de los cuales aparece entre picos de

resonancia. Estas son las llamadas antirresonancias y tienen una caracterstica muy importante,

y es que hay un cambio de fase de la misma forma que ocurre con las resonancias.

Para un sistema no amortiguado, la antirresonancia corresponde a un movimiento nulo en la

coordenada donde se est considerando la respuesta. Esta situacin se puede explicar si uno

recuerda que la receptancia FRF puede ser representada por un sumatorio de trminos, cada

uno de los cuales corresponde a uno de los modos de vibracin del sistema.

Tomando, por ejemplo, la siguiente ecuacin para amortiguamiento nulo,

[1.135]

Donde la constante modal rAjk es ahora un valor real. Si consideramos un punto de medida,

digamos kk, la constante modal rAkk es siempre positiva, debido a ello por el producto del

elemento k del autovector para el modo r, por si mismo.

Lo que determina la ecuacin [1.135] es que la receptancia total FRF es la suma de las

contrigucions de trminos "1-GDL" correspondientes a cada uno de los modos de vibracin del

sistema. Para un punto directo de receptancia:

[1.136]

Por tanto, en la regin de baja frecuencia, todos los trminos del sumatorio son positivos y el

valor de la receptancia es positivo y dominado por el primero modo, para el cual el

denominador es ms pequeo que para los otros trminos del sumatorio. Despus de la

resonancia, 12- 2 se vuelve negativo y por tanto, el primer termino de las series se vuelve


41

negativo, an dominando la respuesta, y por tanto kk se vuelve negativo. Este cambio de signo

corresponde al cambio de fase de 0 a -180.

A medida que nos aproximamos a 2, habr un valor de frecuencia por el cual el primer termino

del sumatorio es anulado por la suma del resto de trminos, y por consiguiente, habr un nuevo

cambio de signo en kk que se volver positivo. Acorde a este cambio hay un cambio de fase y de

nuevo el ngulo de desfase vuelve a ser 0. La frecuencia a la cual ocurre este cambio es la de

anti-resonancia.

El mismo razonamiento, a medida que aumenta la frecuencia, nos lleva a la conclusin de que

habr una antirresonancia para cada par de resonancias. Esta caracterstica es muy til para

evaluar la validez de una medida de FRF.

Si uno considera FRF cruzadas (j k), el signo de las constantes modales ya no es siempre

positivo y la aparicin de antirresonancias entre dos resonancias ya no es segura, como se

puede ver en la figura 1.15.

Fig.1.15: Ejemplo de transferencia de receptancia

Sin embargo, se puede concluir que, si el signo de la constante modal es el mismo para dos

modos consecutivos, entonces habr una antirresonancia en algn punto entre ambas

frecuencias naturales. Cuando no hay una antirresonancia, la FRF simplemente alcanzar un

mnimo local no-nulo.

Otra caracterstica interesante relacionado con las antirresonancias es su significado fsico

cuando consideramos FRFs de punto. De hecho, cada antirresonancia es una frecuencia natural

del mismo sistema si el movimiento coordinado en consideracin es fijo. Esta propiedad es util

en algunos casos experimentales, como cuando se usan mesas ssmicas para ensayar

estructuras, donde la fuerza de excitacin y la respuesta son medidas en la tabla ssmica. Las

frecuencias de antirresonancia de todo el sistema (mesa+estructura) son las frecuencias de

resonancias de la estructura bajo anlisis.

Ahora es interesante ver como diferentes formas de FRF se comparan cuando son representadas

en diagramas de Bode log-log. Esto es mostrado en la figura 1.16, donde se muestra una FRF de

punto del extremo libre de una viga en voladizo.


42

Fig. 1.16: FRF de punto directo en el extremo libre de una viga en voladizo no amortiguada

Est claro que las representaciones de receptancia e inertancia hacen un uso pobre del espacio

disponible en vertical porque generalmente se representan descendiendo (receptancia) o

ascendiendo (inertancia). Esto es cierto para la mayora de estructuras tipo placa/viga para las

cuales la movilidad, a travs de un amplio rango de frecuencias, produce una representacin

nivelada.

Como consecuencia de sta caracterstica, los diagramas de FRF en Bode son representados

utilizando la funcin movilidad. De hecho, las tres alternativas (receptancia, movilidad e

inertancia) describen las mismas propiedades y cada una tiene sus propias ventajas. En general,

la receptancia es conveniente para el trabajo analtico mientras que la aceleracin es usada para

representacin directa de los datos medidos, siendo que es usual medir directamente

aceleracin y fuerza.

Ahora tomamos en consideracin sistemas amortiguados, las FRFs representadas en diagramas

de bode son muy similares a las descritas anteriormente. Las diferencias son debidas a que las

resonancias y antirresonancias son menos agudas y que los ngulos de desfase ya no son

exactamente 0 o 180. Esto se muestra en la figura 1.17 donde se representa la receptancia par

a un sistema de 4-GDL amortiguado.


43

Fig. 1.17: Sistema de 4-GDL amortiguado

Ntese que, como se muestra en la figura, valores altos de amortiguamiento pueden

enmascarar la existencia de una antirresonancia, haciendo que una FRF de punto directo

parezca una FRF cruzada.

Como hemos visto estudiando los casos de 1-GDL, en lugar de representar la magnitud y fase de

una FRF, se puede representar sus partes real e imaginaria. La figura 1.18 ilustra este tipo de

representacin, usando el mismo ejemplo que la figura 1.17.


44

Fig. 1.18: Partes real e imaginaria de la receptancia para el sistema de 4-GDL amortiguado

usado en la figura 1.17

Lo que se ve inmediatamente es que, debido al uso de una escala lineal y al hecho de que, en

general, la amplitud de la receptancia decae con la frecuencia, los modos de frecuencia mayores

tienden a no verse en estos grficos.

Para resolver este problema, se podra utilizar mltiples grficos por separado, cada uno de los

cuales cubriendo un rango de frecuencias limitado para escalar diferentes escalas de amplitud

para cada grfico. Como alternativa, la representacin de las receptancias pueden ser

reemplazados por representaciones de inertancia, como se puede ver en la figura 1.19.


45

Fig. 1.18: Partes real e imaginaria de la aceleracin para el sistema de 4-GDL usado en la figura

1.17

Ahora, todos los modos son visibles.

Centraremos nuestra atencin ahora al uso de las representaciones de Nyquist. El problema de

escalado que encontramos cuando representamos las partes real e imaginaria de la receptancia

frente a la frecuencia se har tambin presente y har difcil interpretar una representacin de

Nyquist de la receptancia que cubra el total de frecuencias de inters. La solucin es usar

grficas de Nyquist separadas, uno por cada region de frecuencias naturales. Esto es realizado

de hecho, para tomar la ventaja particular de las grficas de Nyquist con el propsito de

identificar propiedades modales. Sin embargo, ahora es interesante tener una representacin

completa de una FRF en un slo grfico.

Por tanto vamos a tomar el ejemplo donde las constantes modales tienen unos valores que

hacen que todos los modos sean visibles. Empezaremos por representar la receptancia de un

punto directo de un sistema de 3-GDL con amortiguamiento viscoso proporcional.


46

Fig. 1.19: Representacin de Nyquist de un punto de receptancia para un sistema de 3-GDL


Como era de esperar, las regiones de las frecuencias naturales se muestras con bucles circulares.

Sin embargo se puede ver que los bucles no estn centrados exactamente respecto al eje

imaginario, como en el caso de un sistema de 1-GDL. Esto puede ser fcilmente explicado si

tenemos en cuenta la siguiente ecuacin

[1.137]

Donde las constantes modales rAkk son cantidades reales debido al hecho de que el

amortiguamiento asumido era proporcional. Consideremos, por ejemplo, el primer bucle de

nuestra representacin. Teniendo en cuenta que cada bucle ocurre en una region de frecuencias

cercanas a una frecuencia natural, puede asumirse que, para un rango particular de frecuencias,

[1.137] puede ser aproximado por

[1.138]

Donde Bkk es una constante compleja que tiene en cuenta la contribucin del resto de modos a

la receptancia total, que es dominada por el primer modo. El primer termino del sumatorio se

representa como un circulo centrado en el eje imaginario, como en el caso de un sistema de 1-

GDL. La nica diferencia con un sistema de 1-GDL es el hecho de que hay un factor de escala

real, debido a la existencia de una constante modal 1Akk en el numerador. Sumando una

constante compleja Bkk se produce una traslacin del circulo, desplazndolo de la posicin

original.

Adems, como se ve en la figura [1.19], todos los bucles circulares ocurren en la mitad inferior

del plano complejo. Como se ha explicado arriba, la nica diferencia con un sistema de 1-GDL es


47

el producto del factor de escalado de cada termino del sumatorio. Como estamos considerando

una receptancia de punto directo, las constantes modales son todas positivas y , por tanto, los

bucles permanecen en la mitad inferior del plano complejo.

La situacin es diferente cuando representamos una receptancia cruzada. En este caso, las

constantes modales pueden ser positivas o negativas y los signos de estas constantes pueden

hacer que uno o varios bucles estn en la parte superior del plano complejo. Esto es

ejemplificado en la figura [1.20], donde se representa la receptancia transferida del mismo

sistema ejemplificado antes.

Fig. 1.20: Representacin de Nyquist de transferencia de receptancia para un sistema de 3-GDL


Si consideramos la situacin en la que el amortiguamiento no es proporcional, no es difcil

predecir lo que va a suceder. La diferencia ahora es el hecho de que las constantes modales se

convierten en valores complejos. Por tanto, el efecto de desplazamiento de bucle y escalado

permanecen y son debidos a la contribucin de los modos existentes fuera del modo analizado y

de la magnitud de la constante modal respectivamente.

Adems de los efectos previos, las fases de las constantes modales producen rotaciones de los

bucles modales, como se ilustra en la figura 1.21


48

Fig. 1.21: Representacin de Nyquist de punto directo de receptancia para un sistema de 3-GDL

no-proporcionalmente amortiguado.


49

1.2.3. Sistemas de excitacin y medida

Introduccin al ensayo de vibraciones

En muchos aspectos el estudio y anlisis de las vibraciones es ms un arte que una ciencia. No

hay un camino correcto para hacer un ensayo de vibraciones. En la mayora de casos el soporte,

el equipo de excitacin o los transductores influenciarn el comportamiento dinmico del

sistema a ensayar, por ello se tratar de entender cmo ocurren y posteriormente se intentar

disear un ensayo que minimice estos efectos en el comportamiento dinmico del sistema bajo

estudio. El arte y la ciencia de los ensayos de vibraciones tratan de obtener resultados que estn

cerca de la realidad, a un coste que se amolde al presupuesto, y si es posible al primer intento.

El propsito de este captulo es dar una introduccin generalista de esta extensa materia que

son los ensayos de vibraciones para el anlisis modal, comnmente conocido como anlisis

modal. El objeto de esta forma de ensayo de vibraciones es adquirir conjuntos de Funciones de

Respuesta en Frecuencia (FRF) que sean suficientemente extensas y precisas, en frecuencia y

dominios espaciales, para permitir el anlisis y la extraccin de las propiedades para todos los

modos de vibracin del sistema requeridos. Tambin existen otras formas de ensayos de

vibracin como:

Environmental Testing, donde un sistema est sujeto a vibraciones de una determinada

forma y amplitud por un periodo de tiempo dado de manera que se obtenga la

capacidad de resistencia.

Operational Testing, donde se mide la respuesta de una estructura a una excitacin

desconocida o no cuantificable.

La seleccin y el uso de los transductores aplicados en estas tcnicas son los mismos tambin.

En los ensayos modales los niveles de excitacin son frecuentemente mucho ms bajos que los

utilizados en los ensayos de operacin, y la linealidad de las estructuras se fuerza a diferentes

niveles, a menudo se asume que se aplica hasta ciertos lmites. Toda estructura posee sus

propios problemas para los ensayos modales y hay diferentes formas de atacar el mismo

problema, ya que no hay una manera definitiva de ensayar una estructura dada. Todos los

ensayos modales comprenden un grado de compromiso y el ingeniero que ensaya el sistema

est comprometido para con la consideracin de todos los aspectos de la preparacin del

ensayo, el equipo de medida, la toma de datos y su evaluacin en una etapa temprana.

No hay frmulas para un ensayo modal exitoso porque no las hay. Un trabajo preparatorio

concienzudo es un requisito vital para un ensayo modal exitoso. Desafortunadamente, esta

etapa clave, es comnmente acelerada debido al irresistible deseo de tomar datos. A menos que

un modelo analtico o un modelo de elementos finitos (FE) estn disponibles, las propiedades

vibratorias de la estructura tienen que ser derivadas de un modelo matemtico del

comportamiento dinmico basado en FRF obtenido a travs de medidas experimentales sobre la

estructura. La ventaja de esta aproximacin es que la estructura real es ensayada con todas las

anomalas de fabricacin. No se asume ningn comportamiento sobre juntas, las que

contribuyen directamente sobre el comportamiento en la respuesta vibracional de la estructura.

Sin embargo, para motivos prcticos, la validez de un modelo obtenido de este modo es ms

limitada en los dominios espaciales y de frecuencia que son el caso para un modelo de FE.


50

En la mayor parte de casos, no es prctico medir la respuesta de la estructura en todos los

puntos que pueden ser usados en el modelo de FE, adems los g.d.l. pueden ser diferentes de

aquellos del modelo de FE en la posicin y la direccin. Tambin es raro que haya medidas de

respuesta rotativa y todava ms raro cualquier excitacin de momento de rotacin de la

estructura. La posicin de la excitacin y puntos de respuesta es crtica si todos los modos deben

ser excitados e identificados de modo unvoco.

El dominio de frecuencia del modelo obtenido de las medidas experimentales ser dictado por

las capacidades de los transductores y el equipo de procesado de datos usado en las medidas.

Tanto la exactitud como la correccin del modelo pueden estar bajo la influencia de la

estructuracin experimental. Alguna forma de excitacin tiene que ser aplicado a la estructura

(y medida) para generar las respuestas requeridas. Casi todos los mtodos para aplicar la

excitacin estructural tienen algn efecto de modificacin no deseado sobre la estructura.

Asimismo casi todos los transductores de medida de respuesta y las fijaciones (condicin de

contorno) tendrn una influencia no deseada sobre la estructura. El ensayista debe ser

consciente de estas influencias y esforzarse en seleccionar los mtodos de excitacin y la

medida de respuesta que reduce al mnimo estos efectos.

La adquisicin de una base de datos de medidas que sea suficientemente extensa (tanto en el

dominio espacial como el de frecuencia) y de la alta calidad requerida para los objetivos de

refinar el modelo de FE pueden ser una tarea abrumadora.

Cualquier variabilidad de medida debera ser menor que los efectos de variabilidad de la fabricacin inherente en las estructuras bajo ensayo. Esto es particularmente relevante cuando se requieren el modelo que permita representar algo ms que solamente una aproximacin de la estructura. Muchos de los problemas potenciales con anlisis modal solo se hacen evidentes durante las pruebas reales. Con frecuencia, no es posible predecir tales problemas de antemano porque no hay ningn modelo analtico o porque el modelo de la estructura no es representativo. Por esta razn es fuertemente recomendable que se realice una revisin preliminar antes de empezar a medir. En la revisin de medida preliminar pueden ser definidos, el rango de frecuencia de medida, la resolucin de frecuencia necesaria y las posiciones probables para la modificacin estructural. Adems, la revisin preliminar ofrece la oportunidad de evaluar la influencia del equipo de medida sobre la estructura; la seleccin de los apoyos de la estructura o las varillas de empuje del excitador por ejemplo. La ventaja principal del ensayo preliminar consiste en el empleo ms eficaz del tiempo de ensayo y consecuentemente de los recursos derivados. En la parte del ensayo preliminar, y durante el ensayo real, deberan de llevarse a cabo ciertas evaluaciones con espritu crtico de la calidad de los datos medidos. La repetitividad y la reproducibilidad son dos mtodos establecidos para evaluar la calidad de los datos medidos. Sin embargo, se sabe que la mayor parte de la informacin que podra ser sacada de estas comprobaciones visualmente. Por consiguiente, pequeas diferencias entre dos cantidades grandes invariablemente son pasadas por alto a pesar del hecho que las diferencias pueden ser sistemticas e indicativas de cambios leves en las frecuencias de resonancia estructurales. Para ayudar a la evaluacin de la


51

calidad de los datos mediante esta metodologa, el empleo de las funciones de c Cadena bsica de medida La introduccin anterior ha aclarado que el anlisis modal requiere el conocimiento de una amplia gama de reas como la instrumentacin, el tratamiento de seal, la valoracin de parmetros (la identificacin modal) y, desde luego, el anlisis de vibraciones. A continuacin se har un breve resumen de los principios bsicos de anlisis modal y se tratar con mayor detalle algunos temas especficos de medida experimental de FRF. El anlisis modal implica la disponibilidad de varios componentes de hardware como los que se pueden ver en la figura [1.22] , que muestra una disposicin tpica para un sistema de medida simple. Bsicamente, hay tres componentes bsicos en el sistema experimental:

1. El mecanismo de excitacin 2. Los sensores 3. La adquisicin y tratamiento de datos

El mecanismo de excitacin est constituido por un sistema que proporciona el movimiento de entrada a la estructura a ensayar, generalmente en forma de f(t) aplicada en una coordenada dada. Hay muchas variantes para este sistema, su eleccin depender de varios factores como la entrada deseada, la accesibilidad y las propiedades fsicas de la estructura. El excitador, tambin conocido como el vibrador, es por lo general un vibrador electromagntico o electrohidrulico, alimentado por un amplificador de potencia. Las seales de excitacin, en estos casos, son generadas por un generador de seal y pueden ser escogidas de entre una gran variedad de seales diferentes (stepped-sine, swept sine, impulso, random etc.), para acomodarla a las exigencias de la estructura bajo ensayo. Este tipo de mecanismo de excitacin puede ser fcilmente controlado tanto en frecuencia como en amplitud y por lo tanto ofrece buena exactitud. Sin embargo, esto tambin tiene algunas desventajas como la necesidad de tener el excitador unido a la estructura a ensayar. A pesar del empleo de dispositivos de unin (varillas de empuje) diseados para reducir la influencia de dicha unin, siempre existen efectos derivados de la unin o de la propia masa del cabezal del excitador. Los excitadores convencionales electromagnticos (o electrohidrulicos) varan en tamao y su eleccin depende de la estructura bajo ensayo. El objetivo es proporcionar entradas lo suficientemente grandes para causar respuestas fcilmente medibles. La fuerza de excitacin aplicada es medida comnmente mediante una clula de carga conocido como el transductor de fuerza que est localizado al final de la varilla de empuje y est a su vez rgidamente conectado a la estructura a ensayar.


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Fig. 1.22: Representacin esquemtica del hardware bsico para el anlisis modal

Una alternativa popularmente utilizada es el martillo de impacto que consiste en un martillo con un transductor de fuerza conectado a su cabeza. Este utensilio se utilizara de forma similar a como se hace con un excitador unido a la estructura, como se aprecia en la figura 1.22. Este dispositivo no necesita un generador de seal ni un amplificador de potencia. El martillo, por s mismo, es el mecanismo de excitacin y es usado para golpear la estructura y as producir un amplio rango de frecuencias. El anlisis modal mediante martillo de impacto tiene un uso extendido en la fase de pre anlisis del proceso de medida. Por otra parte, como el martillo de impacto no necesita un dispositivo de unin, su empleo evita la sobrecarga de la estructura a ensayar, y es ms rpido de utilizar que un excitador unido a la estructura. La fuerza que detecta el sensor instalado en el martillo ser igual pero de sentido contrario a la que se ejerza sobre la estructura. Cuando se aplica el impacto a mano, el excitador tiene forma de martillo como se ve en el apartado a) de la figura 1.24, aunque puede ser aplicada mediante el excitador en suspensin como se ve en el apartado b) de la figura 1.24. A menudo el ensayista controlar mejor la velocidad de impacto antes que la fuerza de impacto, de manera que para ajustar el orden de magnitud de la fuerza se vara la masa del cabezal, por ello el tamao (masa) del martillo junto con la velocidad de impacto son las variables de la amplitud de la fuerza de impacto. El rango de frecuencias en el que es efectivo excitar la estructura mediante este tipo de utensilio est controlado por la rigidez tanto de la punta de impacto como de la superficie donde impactamos, adems de las masas de ambos como ya se sabe. Existe un sistema resonante a una frecuencia dada por una simple frmula: la raz cuadrada de rigidez de contacto/masa del impactador por encima del cual es muy difcil transmitir ms energa a la estructura. Cuando el martillo impacta en la estructura, sta experimenta una fuerza puntual o pulso con la forma de medio seno, como se puede ver en el apartado a) de la figura 1.25, con un contenido en frecuencia ilustrado en el apartado b) de la misma figura que es esencialmente plano hasta una cierta frecuencia fe (no se le puede dar ms energa al sistema como se coment), y luego disminuye hasta valores de fuerza indeterminados.


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Fig. 1.23: Anlisis modal mediante martillo de impacto

Claramente este tipo de pulso es ineficiente por encima de fe y por tanto debemos tener cierto control sobre este parmetro. Se puede demostrar que hay una relacin directa entre la primera frecuencia de corte fe y la duracin del pulso Te, de manera que para conseguir un rango de frecuencia dado es necesario inducir un pulso corto. Cuanto mayor sea la rigidez de los materiales menor ser la duracin del pulso y mayor el rango de frecuencias cubierto. De forma parecida, cuanto ms liviano sea el impactador, mayor ser el rango efectivo de frecuencias. Generalmente cuanto ms blanda sea la punta del martillo mejor, para transmitir la mayor energa posible a la estructura en el rango de frecuencias de inters. Utilizar una punta ms rgida de lo necesario resulta en transmisin de energa a frecuencias fuera de rango. Una de las dificultades de usar un martillo de impacto es asegurarse de que cada impacto es esencialmente igual al anterior, no tanto en magnitud (puesto que en proceso de medida esto se soluciona con parejas de fuerza-respuesta), sino tambin en lo referente a la orientacin del impacto (lo ms perpendicular a la superficie posible) y a la posicin del mismo. Al mismo tiempo deben extremarse las precauciones para evitar mltiples impacto (repique) ya que esto creara dificultades a la hora de procesar la seal. Otro problema ms que hay que considerar cuando utilizamos el martillo de impacto es la naturaleza de las vibraciones bajo las que se han tomado las medidas, y es que se puede producir, una sobrecarga en la estructura que haga que la respuesta no sea lineal, o lo que es lo mismo, que la estructura responda fuera del rango elstico.


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Fig. 1.24: Detalles del impactador y martillo de impacto

El mecanismo sensor bsicamente est constituido por dispositivos sensores conocidos como transductores. Hay una gran variedad de estos dispositivos aunque los ms comnmente utilizados en el anlisis modal experimental son los transductores piezoelctricos para medir la fuerza excitadora (transductores de fuerza) o para medir la respuesta de aceleracin acelermetros). Los transductores generan seales elctricas que son proporcionales al parmetro fsico que uno quiere medir. Puede aparecer un problema, por lo general relacionado con las seales que son muy dbiles y con el desajuste de impedancia elctrica, que es solucionado por los amplificadores de seal o el acondicionador de seal. Estos dispositivos por lo general son considerados como parte de los transductores y por lo tanto del mecanismo sensor (algunos transductores incorporan la electrnica de acondicionamiento bsica). Finalmente, se tiene que considerar la adquisicin y tratamiento de datos. Su objetivo bsico es el de medir las seales generadas por los sensores que permita obtener las magnitudes y las fases de las fuerzas de excitacin y respuesta. Hay sofisticados sistemas preparados para esta tarea, es el llamado procesador de seal, que incorporan muchas funciones y pueden incluir la componente de generacin de seal. Los procesadores de seal ms comunes estn basados en

Se conocen como analizadores de espectro o analizadores FFT. Bsicamente, convierten las seales en el dominio temporal analgicas generadas por los transductores en informacin en el dominio de la frecuencia digital que posteriormente puede ser procesada con ordenadores. Los procesadores de sea

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