tgmatematicamusica

8/22/2019 TGMatematicaMusica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SO CARLOS

CENTRO DE CINCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE MATEMTICA

Ttulo: Matemtica e Msica

Disciplina: Trabalho de Graduao A e BResponsvel: Prof. Dr. Artur Darezzo Filho

Aluna: Juliana Pimentel Juliani

Orientador: Prof. Dr. Pedro Luiz A. Malagutti

So Carlos

Dezembro de 2003


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Matemtica e Msica

Juliana Pimentel Juliani

Orientador: Prof. Dr. Pedro Luiz A. Malagutti

Trabalho de Graduao A e B

Prof. Responsvel: Prof. Dr. Artur Darezzo Filho

So CarlosDezembro de 2003


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RESUMO

Neste trabalho sero abordadas as vrias relaes existentes entre a

matemtica e a msica desde nveis fundamentais como razes entre comprimentos

de cordas e entre freqncias das notas, relaes entre comprimentos de cordas e

mdias, as freqncias relacionadas as exponenciais e aos logaritmos, funesinversas entre comprimentos e freqncias, o som como ondas e comportamento

logartmico dos trastes, alm disso, a partir de conhecimentos fsicos, estudaremos o

comportamento de uma onda por meio da modelagem de um problema especfico em

uma corda elstica, resultando em sries de senos ou co-senos, conhecidas como

sries de Fourier e as ondas sob duas dimenses membrana elstica (bumbo) -, o

qual nos leva aos problemas de Sturn-Liouville e equaes de Bessel. Podemos

perceber que os elementos que unem a matemtica msica so muitos apesar dedispersos. Seriam vrios os experimentos que poderiam uni-los, se estes no viessem

a contrariar o principio de materiais baratos para poderem ser usados principalmente

nas escolas da rede pblicas de ensino. Refiro-me a matrias como osciloscpio,

freqncimetro e conjunto de diapases, os quais no so encontrados na maioria das

escolas. De qualquer maneira, com o material mencionado neste trabalho, j

possvel fazer uma belssima introduo ao estudo destas reas.


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SUMRIO

Introduo................................................................................................................... 5

Captulo 1: Uma Introduo as Origens das Relaes entre a Matemtica e a Msica......................................................................................................................................8

Captulo 2: Entendendo um pouco sobre Teoria Musical.........................................11

Captulo 3: As Razes na Msica............................................................................. 13

Captulo 4: A Freqncia sob um Novo ngulo ..................................................... 18

Captulo 5: As Ondas na Msica .............................................................................. 22

Captulo 6: Os Logartmos no Dimensionamento de Trastes................................... 29

Captulo 7: Analisando os Logartmos nos Instrumentos Musicais ......................... 33Captulo 8: O Nautilus e as Freqncais Musicais ................................................... 36

Captulo 9: A Descoberta dos Gregos....................................................................... 38

Captulo 10: Analisando o Som em uma Corda Elstica.......................................... 40

10. 1. Deduo da Equao Da Onda .................................................................40

10. 2. As Sries de Fourier ................................................................................... 44

10. 2. 1. Propriedades das Funes Seno e Co-Seno ......................................... 44

10. 2. 2. Funes Pares e mpares ......................................................................46

10. 2 .3. As Frmulas de Euler Fourier.............................................................. 47

10.3. Teorema de Fourier .................................................................................... 49

10.4. Um Problema Particular ............................................................................ 51

10.5. Corda Elstica com Deslocamento Inicial No Nulo ............................... 53

10.6. Justificativa da Soluo .............................................................................. 57

10.7. Problema Geral da Corda Elstica............................................................ 59

Captulo 11: Analisando o Som em uma Membrana Elstica .................................. 61

11.1 Equaes de Bessel de Ordem Zero......................................................... 61

11.2 Problemas de Valor de Contorno Homogneos e Lineares: Autovalores

e Autofunes............................................................................................................ 64

11.3 Problemas de Valor de Contorno de Sturn-Liouville ............................ 66

11.4 - Problemas de Sturn-Liouville Singulares ................................................ 70

11.5: Vibraes de uma Membrana Elstica ..................................................... 77

Concluses: ...............................................................................................................81

Bibliografia ...............................................................................................................82


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INTRODUO

Nem todo mundo toca um instrumento, mas todos gostam de msica.

Mesmo quem no toca, sabe que a seqncia das notas musicais d, r, mi, f, sol,

l, si. praticamente a partir destas sete notas fundamentais, e mais cinco auxiliares

(os bemis e sustenidos) que as melodias da msica ocidental so compostas.

Sabe-se que a msica j estava presente desde as primeiras

civilizaes mas as notas diferiam de um instrumento para o outro pois no existiam

regras para produzi-los. Foi ento, segundo conta a lenda, que Pitgoras, ao passar

em frente a uma oficina de ferreiro percebeu que as batidas dos martelos, os quais

diferiam por suas massas, eram agradveis ao ouvido e se combinavam muito bem.

Figura (1): a lenda dos martelos

Para pesquisar estes sons, construiu um instrumento,

mais tarde chamado monocrdio (mono = um e crdio = corda),

o qual se assemelha a um violo de uma corda e trabalhando

com fraes desta, descobriu relaes muito interessantes entre

uma nota e outra. Apesar de no estarmos certos sobre sua

existncia, o resultado que se segue tambm foi atribudo

Pitgoras.Figura(2): Pitgoras

Ele provou que ao dividir a vibrao bem no meio da corda, a

tonalidade do som era a mesma da produzida com a corda solta, mas uma oitava

acima, ou seja, com o som mais agudo. Ao fazer as outras divises, descobriu que as

principais consonncias, as combinaes de sons mais agradveis, eram as oitavas, as

quartas e as quintas, as quais correspondem s divises exatas de uma corda esticada

entre dois suportes fixos e so base da harmonia para instrumentos de cordas. Ele


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associou nmeros inteiros ao comprimento da corda; com a corda solta associada ao

nmero 1, a metade da corda equivalente a 1/2 e assim por diante.

A partir desta experincia, as relaes entre matemtica e msica

ficaram muito mais prximas; passou a ser uma forma de descrever a natureza e de

desenvolvimento da cincia.

O primeiro algoritmo que apareceu baseava-se no alfabeto: as sete

primeiras letras representavam os sete sons da escala, comeando pela nota l.

Depois, criaram-se os neumas, sinais oriundos dos acentos grave, agudo, circunflexo,

e do ponto. Porm, a notao neumtica tinha o defeito de no indicar a altura nem a

durao dos sons. Melhor que ela, era o mtodo do monge Guido d'Arezzo (995-

1050), que adotou uma pauta de quatro linhas e definiu as claves de f e d para

registrar a altura dos sons. Alm disso, Guido d'Arezzo deu nome s notas, tirando as

slabas iniciais de um hino a So Joo Batista; o qual era aplicado no canto

eclesistico:

HINO DE SO JOO BATISTA

Ut queant laxis Para que possam

REsonare fibris ressoar as maravilhasMIra gestorum de teus feitos

FAmuli tuorum com largos cantos

SOLve polluti apaga os erros

LAbii reatum dos lbios manchados

Sancte Ioannes. So Joo.

C = d D = r E = mi F = f G = sol A = l B = siFigura (3): algoritmo de Guido dArezzo

As claves, mencionadas acima, so sinais colocados no inicio da pauta

e servem para dar nomes s notas. No exemplo abaixo, temos a clave de sol algumas

notas musicais, as quais esto ou contidas entre duas linhas (F, A e C) ou cortando-as

(E, G e B). Alm destas, possvel reparar que existem notas abaixo das

mencionadas e espaos acima do ltimo C, isto acontece devido ao fato de podermos

tocar notas tanto acima quanto abaixo das relacionadas na figura. Estas podem ser


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facilmente representadas nas pautas ou prximas a eles, basta apenas seguirmos

certas regras de posicionamento e tempo, as quais no sero explicitadas em

maiores detalhes neste trabalho.

Figura (4): Clave de Sol e a escala central de C no piano: C, D, E, F, G, A, B, C.

Para determinarmos as notas na clave de F basta contarmos duasnotas acima da qual esta representa na clave de sol. Por exemplo, se a clave anterior

fosse de F, as notas representadas seriam respectivamente: E, F, G, A, B, C, D, E;

duas oitavas abaixo.

Na figura abaixo representamos um pequeno trecho, na clave de F,

da ltima pgina da Arte da Fuga de Bach, nele podemos perceber o nome dele

inserido no meio da msica. Podemos estar nos perguntando como isto pode

acontecer se as notas vo de d a si e no temos nenhuma nota representada por H. Oque acontece que na Alemanha, terra do prprio Bach, a nota si representada por

H e a nota sib que representada por B.

Figura(5): Trecho da fuga de Bach

Com relao ao que foi falado, sobre o posicionamento das notas,

temos que em um piano, por exemplo, a nota C representada na parte inferior da

figura (4) clave de sol e a nota C representada na parte superior da figura (5)

clave de F representam exatamente a mesma tecla.


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CAPTULO 1: UMA INTRODUO S ORIGENS DAS RELAES ENTRE A

MATEMTICA E A MSICA

Neste captulo, faremos um apanhado geral sobre as relaes existenteentre a matemtica e a msica no mundo ocidental desde a Grcia Antiga.

Provavelmente o incio da manifestao perde-se ao longo da histria

uma vez que em quase todos os povos da antiguidade era possvel encontrar

manifestaes destas reas em separado. Por exemplo, na mitologia Grega,

encontramos Orfeu, cujo canto acompanhado da Lira sustava rios, amansava feras e

levantava pedras. A matemtica tambm estava presente desde os tempos mais

remotos, por exemplo, na contagem de objetos. J a manifestao destassimultaneamente ocorre a partir da necessidade de equacionar e solucionar o

problema da consonncia1 no sentido de buscar fundamentos cientficos capazes de

justificar tal conceito.

No que diz respeito organizao das escalas musicais, esta ocorreu

de diversas maneiras, em diferentes povos e pocas, porm com alguns aspectos em

comum. Os gregos desenvolveram os tetracordes e depois a escala com sete tons.

Alguns tericos musicais como Pitgoras2, Arquitas, Aristoxeno, Eratstenes

dedicaram-se construo de escalas desenvolvendo critrios diferentes de

afinidade. Por exemplo, Pitgoras estabeleceu uma afinao utilizando percursos de

quinta para a obteno das notas da escala valorizando os intervalos de quinta

perfeitas3 alm da utilizao somente dos nmeros de 1 a 4 na obteno das fraes

da corda para gerar as notas da escala. Arquitas construiu sua escala baseada em

fraes da corda resultantes de mdias harmnicas e aritmticas daquelas

encontradas por Pitgoras no experimento do monocrdio. J Erasttenes elaborou a

diferenciao entre intervalos calculados aritmeticamente maneira de Aristoxeno,

de intervalos calculados pela razo. (Abdounur, 2002; Weber,1995).

Na China, os povos orientais desenvolveram, a desde a Antiguidade,

as seqnciaspentatnicas contendo, por exemplo, a partir da nota d, o r, o mi, o

1 Consonncia a reunio de sons harmnicos.2

Consideramos aqui Pitgoras em lugar de um pitagricos apesar de no termos a certeza de suaexistncia.3 Quinta perfeitos o intervalo produzido pela frao da corda correspondente a 2/3.


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sol e o l correspondendo as cinco primeiras notas do ciclo das quintas, comparadas

aos cinco elementos da filosofia natural: gua, fogo, madeira, metal e terra.

Figura (1.1): Escala pentatnica chinesa

J os rabes elaboraram escalas contendo 17 notas musicais e os

hindus com 22 (Abdounur, 2002 ; Helmoholtz, 1954).

A descoberta de Pitgoras com seu monocrdio efetua uma das mais

belas descobertas, que d a luz, na poca ao quarto ramo da matemtica: a msica.

Os Pitagricos foram os nicos at Aristteles a fundamentar cientificamente a

msica, comeando a desenvolv-la e tornando-se aqueles mais preocupados por este

assunto.

Posteriormente, um dos mais importantes tericos musicais do perodo

clssico grego, Arquitas de Tarento (430 360a.C.) colaborou de maneira

significativa no somente para o desenvolvimento da msica mas para o desvendar

de seus fundamentos racionais. Ele atribuiu mais ateno a tal arte do que a maioria

dos seus predecessores, acreditando que a msica deveria assumir um papel mais

importante que a literatura na educao das crianas. Para os pitagricos, a teoria

musical dividia-se no estudo da natureza das propriedades dos sons, noestabelecimento e no clculo respectivamente dos intervalos musicais e propores

musicais. Segundo Ptolomeu, Arquitas escreveu trabalhos cientficos principalmente

relacionados ao ltimo tema, sem deixar de dedicar-se aos dois primeiros,

especialmente no que concerne consonncia. Entre suas contribuies, h

evidncias de que ele possivelmente tenha modificado a denominao da mdia

subcontrria para mdia harmnica provavelmente pelo fato do comprimento relativo

ao intervalo de quinta - 2/3 da corda inteira ser de grande valor harmnico.


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Na idade mdia, temos uma forte contribuio do cidado romano e

escrito Boetius 9480 524d.C) para a sistematizao da msica ocidental escrevendo

sobre as disciplinas matemticas aritmtica, msica, geometria e astronomia -,

lgica, teologia e filosofia. Neste perodo at o Renascimento, a msica ocidental

sofre mudanas substancias que partem de uma concepo exclusivamente meldica

rumo a um carter principalmente harmnico. a partir do Renascimento que as

interaes entre a matemtica e msica se tornam ainda mais fortes com Gioseffe

Zarlino (1517 1590) e Marin Mersenne (1588 1648).


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CAPTULO 2: ENTENDENDO UM POUCO SOBRE TEORIA MUSICAL

Como vimos, o italiano Guido dArezzo desenvolveu um algoritmo

correspondendo as notas musicais letras do alfabeto as quais esto indicadas no

teclado que segue

F G A B C D E F G A B C D E F G A B C D E F G A

Figura(2.1): teclado de um piano

Repare que entre as teclas B e C ou entre E e F no existem teclas

pretas. O intervalo entre estas notas ir diferir de um semitom enquanto que as

demais, as quais possuem as teclas pretas, diferem de um tom. As teclas pretas

podem ser chamadas tanto bemis quanto sustenidos, depender apenas da escala a

que ela pertencer.

As escalas so uma seqncia de notas que obedecem a determinados

padres e compreendem o espao que vai de uma nota de determinada freqncia

outra com o dobro desta. Na escala musical h sete notas diferentes, repetindo-se a

primeira com a ltima, embora esta tenha o dobro da freqncia da primeira (ou

metade do comprimento de corda), e esteja uma oitava acima, ou seja, direita. A

oitava significa, portanto, que uma nota se torna a oitava a contar da primeira.

Como foi falado, a razo 1 para 2 chama-se oitava e na escala

temperada, uma oitava dividida em 12 partes iguais. Logo, altura de cada semitom

ir diferir do anterior de 1212 e o tom de 1222 .

A notao musical da escala maior baseada na escala de d maior ou

simplesmente C. Na escala maior h cinco tons e dois semitons os quais obedecem a

seqncia tom, tom, semitom, tom, tom, tom e semitom. Subindo um semitom da

terceira, da sexta e da stima nota da escala maior forma-se a escala menor natural.

Sua seqncia tom, semitom, tom, tom, semitom, tom e tom. As escalas maiores so

representadas apenas pelas letras maisculas enquanto que as escalas menores

possuem suas letras maisculas acompanhadas de um m minsculo e subscrito.


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Alm disso, ambas podem vir acompanhadas de bemis ou sustenidos, os quais sero

melhor explicados nos prximos pargrafos.

Repare que quando utilizamos a escala de C, trabalhamos apenas com

as teclas brancas (C, D, E, F, G, A, B, C) assim como quando produzimos a escala de

Am (A, B, C, D, E, F ,G, A).

Como para notao em msica usamos apenas sete notas musicais, o

sinal # (sustenido) colocado na frente da nota para indicar as de semitom acima e b

(bemol) para indicar as de semitom abaixo. Estes sinais so chamados acidentes. O

semitom acima do C o C# (l-se d sustenido) e o semitom abaixo do D o Db (l-

se r bemol); na escala temperada, estes sons so idnticos e diferem de C por 121

2 .

Estas notas com nomes diferentes, mas com freqncias iguais, so chamadasenarmnicas.Uma maneira prtica de decidirmos qual nome usar nas escalas : use

C# se o C no aparecer na escala e Db se quem no aparecer for o D.

Vejamos por exemplo que para tocarmos a escala de D (l-se r

maior) devemos tocar D, E, F#, G, A, B, C#, D. Repare que F# igual Gb, mas como

o G aparece nesta escala optamos pela nota anterior. O mesmo ocorre com o C#.

Um intervalo musical entre duas notas determinado por nmeros

ordinais que relacionam a posio entre a nota e a primeira da escala a que esta

pertence. Assim, o intervalo C-E uma tera maior, pois E a terceira nota da escala

de C maior(figura 3). O intervalo C-F uma quarta tanto maior quanto menor pois F

a quarta nota tanto da escala de C quanto de Cm, o intervalo F-C uma quinta (C

refere-se ao primeiro C depois do F).

Figura(2.2): determinao dos intervalos musicais.


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CAPTULO 3: AS RAZES NA MSICA

Os pitagricos foram os primeiros a registrar a descoberta de que

estando dois fios esticados, se estes fossem tocados simultaneamente o som seria

agradvel se as razes entre os seus comprimentos fossem formadas por um conjunto

de nmeros simples. Eles observaram que as relaes existentes entre os

comprimentos dos fios sempre obedeciam a determinadas razes em certos

intervalos.

Tabela(3.1): Relao entre os intervalos e comprimentos de corda

segundo os pitagricos

IntervaloRazo entre

o comprimento das cordasOitava 2:1Quinta 3:2Quarta 4:3Sexta 27:16Tera 81:64

Segunda 9:8Stima 243:128

Devido a algumas razes serem um tanto quanto complicadas, Zarlino

props algumas simplificaes, as quais foram facilmente aceitas por realmente

serem mais simples.

Figura(3.1): Zarlino

Tais razes se resumiam da seguinte forma:


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Tabela(3.2): Relao entre os intervalos e comprimentos de corda

segundo aproximao de Zarlino

IntervaloRazo entre

o comprimento das cordasOitava 2:1Quinta 3:2Quarta 4:3Sexta 5:3Tera 5:4

Segunda 9:8Stima 15:8

Para melhor visualizarmos o que acontece com os comprimentos,

podemos pensar em uma determinada corda de comprimento 12 u.m; a qual

chamaremos de C nos prximos exemplos. Tomando metade do seu tamanho (6

u.m.), encontraremos o C (ou C oitava acima), uma vez que o comprimento da

primeira ser duas vezes maior que o da segunda e portanto o intervalo considerado

a oitava. Se a dividirmos em trs partes iguais e tomando quatro (12 u.m. ou 8 u. m.

se quisermos considerar apenas o intervalo de uma oitava), obteremos desta vez anota F, a qual forma um intervalo de quarta com o C considerado.

Figura(3.2): intervalo de quarta

Procedendo desta maneira, possvel determinar os demais

comprimentos deste intervalo musical, como na tabela 3.3. Repare que os

comprimentos de corda das notas esto relacionadas segundo regras de trs simples,

levando sempre em considerao as razes obtidas na tabela 3.2. e as posies na


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oitava a que pertencem. Nos prximos exemplos iremos considerar apenas as escalas

maiores embora os clculos realizados sejam vlidos para os dois casos.

Tabela(3.3): Relao entre notas e seus comprimentos de corda

Notas Com rimento u.m.C 24

D 21,3E 19,2F 18G 16A 14,4B 12,8

C 12D 10,6E 9,6F 9G 8A 7,2B 6,4C 6

O matemtico francs Marin Mersenne (1588 1648) fez a coneco

entre o comprimento de uma corda esticada e a freqncia da nota por ela produzida.

Ele fez uma srie de experimentos que resultou na frmula

m

T

L2

nf = (1)

onde f a freqncia da nota em vibraes (ou ciclos) por segundo (hertz), L o

comprimento dado em centmetros da corda, T a tenso ou fora que age sobre a

corda, medida em Newton (N), n um nmero inteiro e m a massa, em g/cm de

corda. Note que a freqncia inversamente proporcional ao comprimento da corda;

logo, quanto maior for o comprimento da corda, menor ser a freqncia, ou seja, o

som ser mais grave; e quanto menor for o comprimento da corda, maior ser a

freqncia e o som ser mais agudo.


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Figura(3.2): Marin Mersenne

Atendo-nos apenas a relao existente entre a freqncia e o

comprimento da corda, podemos escrever uma nova tabela, relacionando-as:

Tabela(3.4): Relao entre as razes das freqncias e dos comprimentos de corda

IntervaloRazo entre o comp.

das cordas

Razo entre as

freqncias

Oitava 2:1 1:2Quinta 3:2 2:3Quarta 4:3 3:4Sexta 5:3 3:5

Terceira 5:4 4:5Segunda 9:8 8:9Stima 15:8 8:15

Sabendo que a freqncia da nota A da oitava mediana de um piano

440 htz4, podemos, por meio da tabela3.3, escrever a relao entre as freqncias da

notas de forma semelhantes usada nos clculos dos comprimentos das cordas.

Devemos apenas estar atentos aos intervalos, os quais esto diretamente relacionados

com a posio na escala a que a nota pertence.

Tabela(3.5): Relao entre notas e freqncias

Notas Fre nciaA 220B 247,5

4 A nota A com freqncia de 440 htz muito utilizada na afinao de pianos.


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C 264D 297E 330F 352G 396

A 440B 495C 528

D 594E 660F 704G 783A 880

Podemos perceber que a razo entre os comprimentos das cordas e a

razo entre as freqncias das notas de oitavas diferentes, so apenas prximas nesta

escala formada. Isto ocasionava problemas no desenvolvimento dos teclados e alguns

instrumentos de corda uma vez que as melodias acabavam sendo modificadas de uma

oitava para outra. Para tocar em claves5 diferentes e com intervalos que soem direito,

seria necessrio afinar os instrumentos a cada mudana fundamental como fazem

alguns violinistas e flautistas, o que praticamente impossvel para um pianista por

exemplo.

Foi ento que Mersenne, em 1635, props um sistema de afinao

suave, tambm conhecido como torneamento igual-suave ou escala temperada,

pois requer que as relaes de freqncia de quaisquer meios-tons adjacentes sejam

constantes.

Tal sugesto s comeou a ser aceita aps as composies de O

Cravo Bem Temperado de Bach em 1722 e 1744.

Figura(3.4): Johann Sebastian Bach

5 Clave um sinal que serve para indicar o nome das notas e a altura dos sons.


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CAPTULO 4: A FREQNCIA SOB UM NOVO NGULO

Para que possamos calcular tais intervalos de freqncia entre as notas

em uma escala temperada, basta pensar que o intervalo i entre as notas igual, ou

seja, cada nota obtida pela multiplicao desse valor sucessivas vezes at que

resulte na nota esperada.

Se pensarmos com relao a uma oitava, a qual possui 12 intervalos

ento a relao i12 = 2 seria verdadeira uma vez que aps 12 intervalos a freqncia

da nota dobra. Desta forma possvel determinar qual ser o intervalo i que nos

fornece a escala proposta por Mersenne em 1635, da seguinte maneira: se i12 = 2

ento i = 12 2 logo i = 1,0594631.

Logo, podemos verificar que os dados obtidos segundo a tabela 4.1

so bem prximos na escala temperada, no proporcionando assim grande diferena

ao resultado final das obras apresentadas.

Tabela(4.1): Diferena entre freqncias das escalas

Notas Freqncia (htz)

escala de Zarlino

Freq. (htz) na escala

logartmica

A 220 220B 247,5 246,9C 264 261,6

D 297 296,6E 330 329,6F 352 349,2G 396 391,9A 440 440

B 495 493,8C 528 523,2

D 594 593,2E 660 658,4F 704 698,4G 783 783,8A 880 880

Ao estabelecermos a relao entre as notas e suas respectivas

freqncias podemos perceber que tal comportamento se dar de maneira


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exponencial enquanto que os comprimentos das cordas que produzem estas

freqncias crescero inversamente, segundo Mersenne, ou seja, quanto mais alta for

a freqncia, menor ser o comprimento da corda que a produz e conseqentemente

menor ser o comprimento de onda.

Figura(4.1): relao entre as freqncias das notas

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 20 40 60 80 100

posio da nota

freqncia

(htz

Figura(4.2):

comportamento das freqncias

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 20 40 60 80 1

pos io da nota

comprimentoda

corda(u.m.

00

Figura(4.3): comportamento dos comprimentos de corda


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Alm dessas propriedades, a freqncia nos fornece o nmero de

intervalos entre oitavas, o qual dado por uma relao entre a freqncia inicial e a

freqncia final da seguinte maneira

finicial= (21/12)0 = 20 = 1 = 0 (1)inicial2 flog

ffinal= (21/12)1 = 21 = 2 = 1 (2)final2 flog

Desta forma podemos perceber que ao relacionarmos estas duas

propriedades segundo uma razo, encontraremos o nmero de intervalos procurados,

que, no caso do exemplo exatamente uma oitava.

112log

flog

flog2

final2

inicial2 == (3)

Se considerarmos a faixa audvel ao homem, que de 20 a 20.000 htz,

podemos verificar que tal intervalo entre as freqncias inferior a 10 oitavas.

oitavas9657841,9x1000log2logxx20log

20000log2

2 === (4)

Tais relaes so muito utilizadas, principalmente por fabricantes de

instrumentos, que apesar de muitas vezes no saberem os por qus do uso de tais

relaes, sabem que so de fundamental importncia principalmente no fabrico dos

instrumentos com trastes como violo, bandolim entre outros.

Analisando o comportamento das freqncias audveis distribudas ao

longo de 10 oitavas

Figura(4.4): distribuio de freqncias ao longo 10 oitavas.


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Tabela(4.2): distribuio das freqncias ao longo de 10 oitavas.

Oitava Freqncia1 20-402 40-803 80-1604 160-3205 320-6406 640-12807 1280-25608 2560-102409 5120-10240

10 10240-20480

Podemos perceber que como seus intervalos so logartmicos, as

variaes das freqncias variam ao longo das oitavas, por exemplo na primeira

oitava temos a freqncia variando de 20 40 Hz, j na dcima oitava a freqncia

se encontra variando entre 10240 e 20480 Hz. Apesar da figura (4.4) nos induzir a

pensar que o meio de nossa faixa de udio 10240 Hz devido a maneira como est

disposto devemos prestar ateno pois a 5 oitava, a qual tem intervalo defreqncia variando entre 320 640 Hz.


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CAPTULO 5: AS ONDAS NA MSICA

Quando dedilhamos a corda esticada de um violo, ela vibra e produz

sons que podem ou no ser agradveis aos nossos ouvidos. Tais vibraes se

projetam por meio de ondas que podem facilmente ser identificadas com as funes

seno ou co-seno, quando os sons forem puros, ou como uma sobreposio de ambas

quando os sons forem compostos.

Figura(5.1): Superposio de trs sons simples resultando num som composto.

Quanto ao efeito sobre o ouvido, os sons so classificados em sons

musicais e rudos. Subjetivamente esta classificao deixa muito a desejar, pois h

quem considere por exemplo o rock'n rol como um rudo e outros como um som

musical.

Figura(5.2): representao de um som simples e de um rudo.

isicamente, devemos entender um som musical como o resultado da

superposio d

caractersticas.

F

e ondas sonoras peridicas ou aproximadamente peridicas e rudos

como ondas sonoras no-peridicas e breves, que mudam imprevisivelmente suas


23/85

Analisando uma onda, possvel determinarmos a amplitude a, o

comprimento de onda , os ventres e os vales.

altura

timbre

Figura(5.4): Amplitude das Vibraes

Figura(5.3): Elementos de uma onda

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

0 2 4 6 8 10 12 14

x

sen(x) a

a

ns

1,5

Os sons os pela intensidade e

enquanto que os sons compostos, alm destas diferenciam-se tambm pelo

.

pela qual um som forte (grande amplitude) se distingue de um som fraco(pequena ampl

simples distinguem-se uns dos outr

A intensidade do som esta ligada amplitude das vibraes; ela a

qualidadeitude).

-1,5

-1

-0,50

0,5

1

1,5

0 1 2 3 4 5 6 7

x

cosSOM FRACO

SOM FORTE


24/85

Tabela(5.1): Relao entre som forte e som fraco por meio de funes

intensidade do som captada pelo ouvido corresponde sensao

do que se den

anto ao fato de ser agudo ou

grave, e est l

X

Som Forte Som Fraco

trigonomtricas.

cos (x) cos (x)/40 1 0,25

0,785398 0,707107 0,1767771,047198 0,5 0,1251,570796 6,13E-17 1,53E-172,094395 -0,5 -0,1252,356194 -0, 17071 -0,176782,617994 -0,86603 -0,216513,141593 -1 -0,253,665191 -0,86603 -0,216513,926991 -0,70711 -0,176784,18879 -0,5 -0,125

4,712389 -1,8E-16 -4,6E-175,235988 0,5 0,1255,497787 0,707107 0,1767775,759587 0,866025 0,2165066,283185 1 0,25

0,523599 0,866025 0,216506

A

omina popularmente por volume do som. Quando o som tem uma

determinada intensidade mnima (freqncia inferior a 20 Hz), o ouvido humano

no o capta. Quando a intensidade elevada (freqncia superior a 20.000 Hz), o

som provoca uma sensao dolorosa e at inaudvel.

A altura do som ir diferenciar-se qu

igada unicamente sua freqncia. Ela determina a qualidade pela

qual um som grave (som baixo - freqncia baixa) se distingue de um som agudo

(som alto - freqncia alta).


25/85

SOM AGUDO

SOM GRAVE

cos

x

76543210

1,51

0,50

-0,5

-1-1,5

Figura(5.5): Freqncia das Vibraes

Tabela(5.2): Relao entre som grave e agudo por meio de funes trigonomtricas.

x cos (x) cos (4x)0 1 1

0,523599 0,866025 -0,50,785398 0,707107 -11,047198 0,5 -0,51,570796 6,13E-17 12,094395 -0,5 -0,52,356194 -0,70711 -12,617994 -0,86603 -0,53,141593 -1 13,665191 -0,86603 -0,53,926991 -0,70711 -14,18879 -0,5 -0,5

4,712389 -1,8E-16 15,235988 0,5 -0,55,497787 0,707107 -15,759587 0,866025 -0,56,283185 1 1

O timbre nos permite distinguir dois sons de mesma altura emitidos

por diferentes fontes sonoras. Ele depende dos harmnicos associados ao som

fundamental e as ondas superposta no caso dos sons compostos.Por exemplo,

podemos considerar uma determinada nota d sendo emitida por dois instrumentos

diferentes: uma flauta e um violino e ver como estes se comportam graficamente.


26/85

Figura(5.6): ondas representado o timbre de uma nota L

A fim de explorarmos os conceitos trabalhados anteriormente,

podemos utilizar alguns softwares como Sonic Foundy Sound Forge XP,

Construindo Sons e Sinewave:

Sonic Foundy Sound Forge XP

Figura (5.7): Tela do software Sound Forge

Nos utilizando deste

software possvel termos uma noo

maior sobre o comportamento de um

determinado som. Podemos, por

exemplo, gravar diferentes sons

produzidos pelos alunos e verificar as

diferenas entre um som forte e um

fraco, o som grave e o agudo.

Construindo Sons

Este software explora as propriedades das ondas como freqncia,

amplitude, perodo e sobreposio destas oscilaes. Por meio deste possvel

explorar uma oscilao simples, a qual descrita por uma equao do tipo:

G(t) = A sen (2f t), (1)


27/85

Figura(5.8): Tela do software Construindo

Sons

Estao Cincia da Universidade

de So Paulo.

Sine Wave

consiste em

explorar algum

Figura(5.9): Tela do software Sine Wave

onde G(t) a grandeza que oscila,

A a amplitude da oscilao, f a

freqncia da oscilao = 3.14159...

e t o tempo. Alm desta, podemos

encontrar vrias outras definies

disponveis em Ajuda, as quais

podem ser de grande utilidade a um

professor interessado no assunto.

Tal software di desenvolvido pela

Este um software desenvolvido pela

Electronics Lab Sine Wave Generator - 3.0, ele

gerar freqncias a partir de 4 Hz e

segue at ser superior a 4.000 Hz.

Com este software possvel

as propriedades das ondas

sabendo por exemplo que cada modo de

vibrao (n) meio comprimento de onda (/2),

ento se uma corda possui n modos de vibrao,

ento:

L = n. /2 (2)

Alm disso, sabendo que a velocidade de propagao (V) do som

constante (366 m/s) e dada por

V = .fn (3)

podemos verificar algumas importantes propriedades das ondas.


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Figura(5.10): Aparato para ser utilizado junto os Sinewave

Com este aparato podemos explorar quantidade de ns que sero

produzidos dependendo do comprimento e da tenso que est sendo aplicada ao fio,

entre outros, ou melhor, determinamos o nmero de harmnicos6 existentes em um

determinado intervalo.

6 Harmnicos refere-se ao nmero de /2 existentes em um determinado intervalo.


29/85

CAPTULO 6: OS LOGARTMOS NO DIMENSIONAMENTO DE TRASTES

Ao considerarmos um violo, por exemplo, precisamos primeiramente

conhecer como as notas esto dispostas sobre seu brao. Para isso, devemos ter

sempre em mente que este formado por seis cordas as quais soltas produzem as

notas E (164,8Hz), A (220Hz), D (293,7), G (392 Hz), B (493,9 Hz) e E (659,3 Hz)

respectivamente. A partir destas cordas podemos tocar as demais notas apenas

aumentando e/ou diminuindo o tamanho de suas cordas pressionado sobre os trastes.

Figura(6.1): parte do brao de um violo com as respectivas notas produzidas

Para determinarmos qual a melhor posio para um

determinado traste, devemos lembrar que as freqncias das notas so inversamente

proporcionais aos comprimentos de corda, ou seja, fazendo (21/12) X . 1 / (21/12) X = 1.

As relaes entre a freqncia emitida e o comprimento da corda deve ser constante

e igual a 1. Logo, para descobrirmos qual o melhor lugar para posicionarmos um

determinado traste entre apestana e o cavalete, devemos fazer 1 / (21/12) X onde x a

ordem do traste. Por exemplo, ao considerarmos o 12 traste do brao de um violo

teremos 1 / (21/12) 12 = , ou seja, o traste de ordem 12 fica exatamente na metade do

comprimento da corda livre (ou escala).

Figura(6.2): Posicionamento dos trastes de um violo


30/85

Como vimos, as freqncias crescem exponencialmente enquanto o

comprimento das cordas que produzem estas freqncias cresce inversamente, ou

seja, quanto mais alta for a freqncia menor o comprimento da corda que a

produz estas freqncias, e menor o comprimento de onda produzido. Assim,

podemos escrever a expresso que nos permite calcular as distncias dos trastes que

produziro as freqncias que queremos gerar. Para isso, devemos considerar

tn = ce (1 / 21/12) n (1)

onde

n: ordem do traste;

tn : distncia do traste de ordem n;

ce : comprimento da escala (corda solta ou distncia entre os suportes fixos);

Podemos tomar vrios exemplos de instrumentos de corda e verificar

como tal conceito pode ser trabalhado. No caso analisaremos um baixo (de quatro

cordas) e a distncia entre os trastes at a ordem 20, ou seja, t20. Tal procedimento

poder ser verificado por meio da visualizao no instrumento e da tabela.

Figura (6.3): distncia dos trastes de um baixo at o cavalete


31/85

Tabela (6.1): relao entre a ordem do traste e a distncia deste at o cavalete.

Ordemdo traste

Distnciado traste

1 8642 815,50743 769,73654 726,53455 685,75736 647,26877 610,94038 576,6508

9 544,285910 513,737511 484,903612 457,688113 43214 407,753715 384,868216 363,267317 342,878618 323,6343

19 305,470120 288,3254

Tal conceito tambm pode ser explorado em alguns instrumentos de

trastes como bandolim, violo, viola caipira, guitarra, entre outros; basta apenas que

conheamos os comprimentos de corda de cada instrumento.

Figura (6.4): Instrumentos de traste: Bandolim, violo, guitarra


32/85

Figura (6.5.): instrumentos de traste: contrabaixo, cavaquinho e viola caipira

Para explorar alguns dos conceitos mencionados acima podemos fazer uso do

experimento dos pitagricos, o monocrdio, e trabalhar com atividades que

relacionam, por exemplo, um determinado comprimento L aos intervalos produzidos

por 4L/9; ou ento, sabendo que L corresponde a uma determinada nota ento qual

dever ser o comprimento que produziro duas quartas acima, ou uma quinta acima.

Como estas, vrias outras questes podem ser exploradas de modo a explorar os

conceitos de razo com o uso do monocrdio, o qual pode ser facilmente construdo

com dois cavaletes fixos um pedao de madeira, um fio ligando estes e um outro

cavalete mvel para deslizar sobre a madeira e determinar os intervalos

correspondentes.

Figura(6.6): monocrdio


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CAPTULO 7: ANALISANDO OS LOGARTMOS NOS INSTRUMENTOS

MUSICAIS

Podemos ainda perceber o comportamento logartmico mais aparentedas notas em outros instrumentos musicais, que no os de trastes. o caso por

exemplo da flauta, do xilofone, da lira, do piano de cauda, entre outros.

Figura(7.2): Lira,Harpa e Piano

O motivo capaz de tornar instrumentos destes tipos ainda mais

interessantes,

ino, passaremos a seguir, a

to de tubo que reproduza od de 256 Hz. Seja 344 m/s a velocidade do som se propagando no ar a uma presso

Figura(7.1): Flauta e Xilofone

o fato de por meio destes, podermos utilizar estratgias palpveis e

interessantes que abordam contedos no s matemticos e fsicos por meio da

msica, mas tambm outras ligaes interdisciplinares.

A fim de buscar tais estratgias de ens

descrever e comentar a construo de uma flauta semelhante figura (7.1) com tubos

de PVC de polegadas. Precisamos construir um conjunto de treze tubos que

reproduzam uma oitava da escala logartmica. Precisamos partir do menor tubo, o

qual reproduz a nota mais aguda da escala e determinar o comprimento dos 12 tubos

subseqentes, numa progresso geomtrica de razo 21/2.

Escolhemos, por exemplo, um comprimen


34/85

de 1 atm a temperatura de 20. Se V = . f, onde v a velocidade de propagao

do som, o comprimento de onda ef a freqncia ento temos que:

344 = 256. = 344/256 = 1,34375

e um

(1)

Consideran

rma, o comprimento do tubo ser:

4375/4 L = 0,3359 (2)

Poderespectivamente:

ensionamento dos 13 tubos, considerando a progresso geomtrica

de razo 21/12 1,05946

Nota Termo s rimento do Tubo (m)

do um tubo fechado de comprimento L, temos que = 4 L. Desta

fo

= 4L L = 1,3

mos ento verificar que os comprimentos do demais tubos sero

Tabela(7.1): dim

da Progres o Comp

C a1 0,3359C# / Db a 2 = a1 . r

1 = 0,3359 . (21/12)1 0,355873653

D a3 = a1 . r2 = 359 . (21/12)2 0,3770350020,3

D# / Eb a4 = a1 . r3 = 0,3359 . (21/12)3 0,39945467

E a5 = a1 . r4 = 0,3359 . (21/12)4 0,423207481

F a6 = a1 . r5 = 0,3359 . (21/12)5 0,448372707

F# / Gb a7 = a1 . r6 = 0,3359 . (21/12)6 0,475034336

G a8 = a1 . r7 = 0,3359 . (21/12)7 0,503281347

G# / Ab a9 = a1 . r8 = 0,3359 . (21/12)8 0,533208013

A a10 = a1 . r9 = 0,3359 . (21/12)9 0,564914212

A# / Bb a 11 = a1 . r10 = 0,3359 . (21/12)10 0,598505759

B a12 = a1 . r11 = 0,3359 . (21/12)11 0,634094763

C a13 = a1 . r12 = 0,3359 . (21/12)12 0,6718


35/85

Ao final deste experimento possvel perceber que enquanto a altura

do som cresce linearmente, o comprimento dos tubos crescem numa progresso

Figura(7.3): Relao logartmica e

geometria de razo 21/12 de uma nota para outra.

ntre os tamanhos dos tubos

tilizando o mesmo princpio, poderamos ter trabalhado com pedao

de ferro de d

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

nmero do tubo

alturadotubo(m)

#/b#/b

#/b#/b

#/b

CB

A

GFED

C

U

iferentes tamanhos - respeitando, claro, o princpio logartmico

adotado acima e simular um instrumento como o xilofone, ou ainda, simular as

cordas de uma harpa ou um piano, embora esta necessite de materiais maiselaborados para poder medir as tenses na corda para que estas sejam constantes.


36/85

CAPTULO 8: O NAUTILUS E OS E AS FREQNCAIS MUSICAIS

Observando a natureza, Galileu percebeu que a matemtica est

presente em todas as partes e afirmou que a matemtica a linguagem da Fsica.

Podemos verificar um destes fenmenos matemticos na concha do Nautilus e

verificar que o raio foge logaritmicamente do centro .

Figura(8.1): Concha do Nautilus

Devido ao comportamento logartmico que pode ser observado nos

instrumentos musicais, podemos verificar que ao montar uma espiral com estes

valores; comeando do comprimento 1, obedecendo a razo geomtrica 21/12

, eterminado em 2; verificamos que esta se assemelha a concha do Nautilus.

Figura(8.2): Concha das notas musicais


37/85

Para uma melhor visualizao de como tal concha foi construda

podemos nos utilizar a tabela onde especificamos quais so as notas, a razo de

progresso que est envolvida e o comprimento resultante. Podemos perceber pela

tabela (8.1) que o primeiro tringulo da figura (8.2) possui catetos 1 (o C) e

1,0594630 (o C#), j o segundo tem com um dos catetos hipotenusa do anterior e

outro cateto a medida 1,122462 (o D), e assim por diante.

Tabela (8.1): Representao das notas e comprimentos dos catetos

Nota Termo da Progresso Comprimento dos catetos

C a1 = (21/12)0 1

C# / Db a2 = a1 . r1 = 1 . (21/12)1 1,059463

D a3 = a1 . r2 = 1 . (21/12)2 1,122462

D# / Eb a4 = a1 . r3 = 1 . (21/12)3 1,189207

E a5 = a1 . r4 = 1 . (21/12)4 1,259921

F a6 = a1 . r5 = 1 . (21/12)5 1,33484

F# / Gb a7 = a1 . r6 = 1 . (21/12)6 1,414214

G a8 = a1 . r7 = 1 . (21/12)7 1,498307

G# / Ab a9 = a1 . r8 = 1 . (21/12)8 1,587401

A a10 = a1 . r9 = 1 . (21/12)9 1,681793

A# / Bb a11 = a1 . r10 = 1 . (21/12)10 1,781797

B a12 = a1 . r11 = 1 . (21/12)11 1,887749

C a13 = a1 . r12 = 1 . (21/12)12 2

Podemos perceber que alm das vrias outras aplicaes, a msica

tambm est presente na natureza por meio de suas relaes matemticas.


38/85

CAPTULO 9: A DESCOBERTA DOS GREGOS

Para os gregos, a relao existente entre a matemtica e a msica era

to forte que descreviam a msica como sendo nmeros em movimento.

A escala bsica Grega era o tetracorde, a qual consistia de apenas

quatro notas. Dois tetracordes eram algumas vezes colocados juntos, em diferentes

situaes, para formar as grandes escalas; que nada mais era que a oitava da

msica ocidental, tanto na sua forma maior quanto menor.

Os matemticos desta regio eram particularmente interessados nos

diferentes significados existentes entre os nmeros. Uma de suas descobertas mais

interessantes foi com relao as mdia. Eles perceberam que tais mdias tinham umaforte relao com a msica, ou mais especificamente, com os comprimentos das

cordas que determinavam as notas.

Perceberam que a mdia aritmtica entre os comprimentos de corda

de duas notas em oitava x e y, dada por a e definida como x a = a y,

determinavam o tamanho de corda da nota que forma um intervalo de quarta com a

primeira. Se considerarmos os Fs da figura 6, cujos comprimentos so 18 e 9,

podermos determinar o comprimento de corda da nota que faz um intervalo de quartacom o primeiro F, ou seja, Bb cujo comprimento ser 13,5.

Conhecendo os tamanhos de duas notas consecutivas em oitava x e

y, viram que era possvel determinar o comprimento de corda da nota que fazia um

intervalo de quinta com a primeira por meio da mdia harmnica h, a qual

definida por 1/x 1/h = 1/h 1/y. Tomando, por exemplo, os comprimentos de

corda de dois Es consecutivos cujas medidas so 19,2 e 9,6 podemos verificar que a

mdia harmnica destes ser 12,8, que nada mais que o B, o qual possui umintervalo de quinta com o primeiro.

Viram ainda que tendo trs notas consecutivas em oitava, mdia

geomtrica g entre o tamanho da superior x e da inferior y, definida por x/g =

g/y, resultam exatamente no comprimento de corda da nota central. Considerando

os trs Cs cujos comprimentos de corda das notas das extremidades so 24 e 6

teremos, aplicando na relao descrita, que o C central, dado por g, ter

comprimento 12, exatamente como foi verificado.


39/85

Pensando desta forma e conhecendo apenas um dos tamanhos,

possvel determinar os demais comprimentos de corda da escala musical utilizando

tambm as mdias apresentadas.

Tal fato possvel pois as notas musicais possuem um

comportamento modular ou seja elas seguem sempre o mesmo ciclo, ou seqncia.

Podemos tocar qualquer escala similar as j apresentadas comeando

por qualquer outra nota e usando a combinao de teclas brancas e pretas que

respeitem os padres de intervalos entre tons e semitons mencionado. Vejamos que

estas notas podem ser consideradas como um exemplo de aritmtica modular (mod

12),uma vez que o padro das teclas brancas e pretas se repetem a cada doze notas.

Desta forma, para formar qualquer escala, devemos escolher a nota, seguir a lei de

formao das escalas e sem grandes dificuldades perceber que as notas sempre se

repetem aps determinado perodo, diferindo apenas quanto a freqncia.

Figura(9.1): seqncia de notas segundo o mdulo


40/85

CAPTULO 10: ANALISANDO O SOM EM UMA CORDA ELSTICA

A partir de conhecimentos fsicos trataremos o som de maneira mais

especfica. Faremos a modelagem de um problema de ondas em uma corda elstica

de comprimento e espessura determinados.

10. 1. DEDUO DA EQUAO DA ONDA

Para que possamos deduzir tal equao, devemos primeiramente fazer

algumas consideraes importantes. Consideremos uma corda flexvel e

perfeitamente elstica de comprimento L e espessura , cujas extremidades estofortemente presas por suportes verticais de tal forma que a corda esteja ao longo de

um eixo x. Se a corda for posta em movimento por um movimento de tangncia em

um certo instante inicial t=0 e ficar livres de agentes externos de amortecimento

como por exemplo a resistncia do ar, ela vibrar livremente em um plano vertical. A

fim de determinarmos a equao diferencial que descreve tal movimento, devemos

considerar as foras que atuam sobre um pequeno elemento da corda de

comprimento x, situado entre os pontos x e x+x. Devemos admitir ainda que talmovimento seja pequeno e por isso, cada ponto da corda s se desloque em um

segmento de reta vertical o qual denotaremos por u(x,t). Temos que a tenso na

corda, a qual sempre atua na direo tangencial ser denotada porT(x,t) e a massa

por unidade de comprimento da corda ser denotada por (densidade linear).

Figura(10.1): corda elstica sob tenso


41/85

T V=T.sen

H=T.cos

Figura(10.2): decomposio da tenso na corda

T

+

T x x x +x

Figura(10.3): elemento deslocado da corda elstica

Pela segunda Lei de Newton, temos que a resultante das foras, queatuam em virtude de uma tenso nas extremidades do elemento, deve ser igual ao

produto da massa do elemento pela acelerao do centro de massa do mesmo. Uma

vez que no temos uma acelerao horizontal, as componentes horizontais devem

obedecer:

T(x+x,t) . cos(+) - T(x,t) . cos() = 0 (1)

Se representarmos a componente horizontal da tenso por H, como na

figura 13, ento a equao (1) diz que H independe de x.

Por outro lado, a componente vertical obedece:

)t,x(xu)sen()t,x(T)sen()t,xx( tt =++T (2)

onde x a coordenada do centro de massa do elemento da corda que est sendo

analisado. Como claro, x est no intervalo x < x < x+x. Devemos ainda


42/85

considerar que o peso da corda atuando na vertical para baixo seja desprezvel e por

isso no aparece na equao (2).

Se a tenso for representada por sua componente vertical a equao

(2) pode ser escrita como:

),(),(),(

txux

txVtxxVuu=

+(3)

Passando o limite, com x 0 temos:

Vx(x,t) = . utt (4)

Para que possamos escrever a equao inteiramente em termos de u,

devemos observar que multiplicando o segundo membro da componente vertical (V

= T.sen )porcos / cos, obtemos:

V(x, t) = H(t) . tan = H(t) . ux(x,t) (5)

Logo, a equao (4) fica da seguinte forma:

(H . ux)x = . utt (6)

mas, uma vez que H independe de x podemos escrever a equao (6) como sendo:

H . uxx = . utt (7)

Para pequenos movimentos, possvel substituirmosH = T . cos por

T, para que assim, a equao (7) assuma sua forma usual:

a2 . uxx = utt (8)

onde:


43/85

a2 = T/ (9)

A equao (8) a equao de onda do espao unidimensional. Alm

disso, uma vez que T tem a dimenso de fora e a de massa por comprimento,

temos que a constante a tem a dimenso de velocidade. De acordo com a equao(9), a velocidade da onda diretamente proporcional a tenso e inversamente com a

densidade linear do material da corda.


44/85

10. 2. AS SRIES DE FOURIER

Para resolvermos um problema de valor de contorno como este,

necessrio que consigamos exprimir uma funo dada, definida em um intervalo 0

x L como uma srie de senos e/ou co-senos. Principiamos por analisar sries um

tanto mais gerais com a forma

=

++1

0 cos2 n

mm L

xmsenb

L

xma

a (1)

onde no conjunto de pontos em que a srie da equao (1) for convergente, ela

define uma funofcujo valor, em cada ponto a soma da srie para este valor de x.

Neste caso ela conhecida como Srie de Fourier da funo f. Precisamos

determinar, a princpio, quais so as funes que podem ser representadas como a

soma de uma Srie de Fourier e achar um processo para calcular os coeficientes na

srie.

Alm de sua associao ao mtodo de separao de variveis, as

sries de Fourier tm vrias outras utilidades como por exemplo na anlise de

sistemas mecnicos ou eltricos excitados por agentes externos peridicos.

10. 2. 1. PROPRIEDADES DAS FUNES SENO E CO-SENO

Para discutirmos sobre as sries de Fourier, necessrio deduzirmos

algumas propriedades das funes sen(mx/L) e cos(mx/L), onde m um inteiro

positivo:

Periodicidade: uma funo dita peridica, com perodo T > 0, se e s se

o domnio defcontiver x + T sempre que x estiver nele contido e se

f (x+T) = f(x) (2)

para qualquer valor de x. Devemos observar que se T for o perodo de uma

funof, ento todos os mltiplos de T tambm o sero e alm disso temos que


45/85

o menor valor de T da funo f representa o chamado perodo fundamental.

Devemos observar que uma funo constante, apesar de peridica, no possui o

perodo fundamental.

Ortogonalidade: a fim de descrevermos uma segunda propriedade,

generalizamos o conceito de ortogonalidade de vetores. O produto interno

padro (u,v) de duas funes reais u e v no intervalo x , definido por

=

dx)x(v)x(u)v,u( (3)

so ortogonais neste intervalo se o respectivo produto interno for nulo, isto

0dx)x(v)x(u =

(4)

As funes sen(mx/L) e cos(mx/L), m=1,2,..., constituem um

conjunto de funes mutuamente ortogonais, ou seja, todos os pares de

funes do conjunto so ortogonais, no intervalo L x L. Na realidadeelas satisfazem s seguintes relaes de ortogonalidade que podem ser

facilmente comprovados por integrao direta:

=

=

L

L nm,L

nm,0dx

L

xncos

L

xmcos

(5)

=LL

n,mquaiquer,0dxL

xnsenL

xmcos (6)

=

=

L

Lnm,L

nm,0dx

L

xnsen

L

xmsen

(7)


46/85

10. 2. 2. FUNES PARES E MPARES

til ainda que distingamos duas importantes classes de funes onde

as frmulas de Euler-Fourier, a qual veremos em seguida, podem ser simplificadas:

as funes pares e mpares, as quais caracterizam-se geometricamente pelas

propriedades de simetria em relao ao eixo y e em relao origem

respectivamente.

1. Uma funo par se o seu domnio contiver o ponto x sempre que o x

estiver presente e se f(x) = f(-x).

Figura(10.4): funo co-seno, simtrica com relao ao eixo y

2. Uma funo mparse o seu domnio contiver o ponto x sempre que o x

estiver presente e se f(-x) = -f(x).

Figura(10.5): funo seno, simtrica em relao origem

Dentre as propriedades elementares das funes pares e mpares,podemos citar:


47/85

a soma/diferena e o produto/quociente de duas funes pares uma

funo par;

a soma/diferena de duas funes mpares mpar e o produto/quociente

de duas funes mpares par;

a soma/diferena de uma funo mpar e uma funo par, no par nem

mpar; o produto/quociente de duas destas funes mpar.

Seffor uma funo par, ento =L

L

L

0;dx)x(f2dx)x(f

Seffor uma funo mpar, ento =L

L;0dx)x(f

Estas funes so intuitivamente evidentes pela interpretao das

reas subentendidas pelas curvas e tambm decorrem imediatamente da definio.

10. 2 .3. AS FRMULAS DE EULER FOURIER

Suponhamos que a srie da equao (1) da seo 10.2 seja

convergente e sua soma sejaf(x)

=

++=1n

mm0

L

xmsenb

L

xmcosa

2

a)x(f

(8)

Os coeficientes am e bm podem ser relacionados a f(x) de maneira

muito simples devido s condies de ortogonalidade determinadas nas equaes (3)

e (4) da seo 10.2.1., para isso, basta que multipliquemos os dois membros da

equao (8) porcos(nx/L), onde n um inteiro fixo, e integremos termo a termosem relao a x no intervalo de L a L. Apesar de nem sempre ser possvel

integrarmos, termo a termo, uma srie convergente com termos variveis, o caso

especial das Sries de Fourier sempre nos permite justificar tal integrao. Logo a

equao (8) pode ser escrita da seguinte forma

dxL

xncos)x(f

L

L

= ++

=

dxL

xncos

L

xmcosadx

L

xncos

2

a LL

1nm

L

L

0


48/85

dxL

xncos

L

xmsenb

L

L1m

m

=

(9)

Como n fixo e m cobre todo o domnio dos inteiros positivos,

podemos deduzir das relaes de ortogonalidade das equaes (5), (6) e (7) da seo

10.2.1, que o nico termo no-nulo no segundo membro da equao (9) aquele

onde m = n. Logo

,...2,1n,LadxL

xncos)x(f n

L

L==

(10)

Para determinarmos a0, podemos integrar a equao (8) de L a L e

obter

dxL

xmsenbdx

L

xmcosadx

2

adx)x(f

L

L1m

m

L

L1n

m

L

L

0L

L

=

=

++=

(11)

uma vez que todas as integrais que envolvem funes trigonomtricas so

nulas.Logo

,...;2,1,0n,dxL

xncos)x(f

L

1a

L

Ln==

(12)

,...;2,1n,dxL

xnsen)x(f

L

1b

L

Ln==

(13)

Estas ltimas equaes (12) e (13) so conhecidas como as frmulasde Euler-Fourier para coeficientes de uma srie de Fourier. Portanto se a equao (8)

for convergente para f(x), se a srie puder ser integrada termo a termo, ento os

coeficientes devem ser dados pelas equaes (12) e (13).


49/85

10.3. TEOREMA DE FOURIER

Vimos que se a srie

=

++1n

mm0

L

xmsenb

L

xmcosa

2

a for

convergente e definir uma funo f, ento a funo peridica com perodo 2L e os

coeficientes am e bm esto relacionadas afpelas frmulas de Euler-Fourier

,...;2,1,0m,dxL

xmcos)x(f

L

1a

L

Lm==

(1)

,...;2,1m,dxL

xmsen)x(f

L

1b

L

Lm

==

(2)

Agora, adotaremos uma postura um pouco diferente. Suponhamos que

seja dada uma funo f. Se esta for peridica, com perodo 2L e integrvel no

intervalo[-L, L] ento pode-se determinar um conjunto de coeficientes am e bm pelas

equaes (1) e (2) e construir formalmente a srie de Fourier. Ainda temos que saber

se esta srie convergente para cada valor de x e se for, se sua soma f(x).

Para garantirmos a convergncia da srie de Fourier para uma dadafuno, com a qual calculamos seus coeficientes essencial impormos condies que

devem ser suficientemente gerais, para cobrir todas as situaes de interesse, mas ao

mesmo tempo devem ser suficientemente simples para que possam ser verificadas

com cada funo particular.

Antes de enunciarmos o teorema necessrio que saibamos que

funof seccionalmente dominante em um intervalo a x b se o intervalo puder

ser dividido por um nmero finito de pontos a = x0 x1 ... xn = b de modo que:

1. fseja contnua em cada subintervalo aberto x i-1 x xi;

2. ftende a um limite finito nas extremidades de cada subintervalo, quando

estas extremidades forem aproximadas por dentro do intervalo.

Observemos ainda que no essencial que fseja definida em x, assim

como, que o intervalo seja fechado em pelo menos uma das extremidades.


50/85

Teorema 1:Suponhamos f e f sejam contnuas no intervalo L x < L. Alm

disso, suponhamos que f seja definida fora do intervalo L x < L, de modo

a ser peridica com perodo 2L. Ento f tem a srie de Fourier

=

++=1n

mm0

L

xmsenb

L

xmcosa

2

a)x(f

(3)

cujos coeficientes so dados pelas equaes de Euler-Fourier equaes (2) e

(3). A srie de Fourier converge para f(x) em todos os pontos onde f for

contnua, e para [f(x+)+f(x-)]/2 em todos os pontos onde f for descontnua.


51/85

10.4. UM PROBLEMA PARTICULAR

Queremos agora resolver a equao de onda, a qual foi um dos

maiores problemas da matemtica nos meados do sculo XVIII. A equao de onda

foi deduzida e estudada, pela primeira vez por DAlembert, em 1746, atraiu tambm

a ateno de Euler em 1748, Daniel Bernoulli (1753) e de Lagrange (1759).

Para resolvermos tal problema, consideremos uma corda elstica de

comprimentoL, fortemente esticada entre dois suportes fixos, em um mesmo nvel

horizontal, de modo que o eixo x seja coincidente com a corda. Suponhamos que a

corda seja movimentada, por exemplo, tangendo-a de modo que esta vibre num plano

vertical e seja u(x,t) o deslocamento vertical da corda no ponto x e instante t. Se

forem desprezados os efeitos de amortecimento como por exemplo a resistncia do

ar, e se a amplitude no for muito grande, ento u(x,t) obedece equao de onda

a2 . uxx = utt (1)

com 0 < x < L, t > 0 e a2 = T/, onde T a tenso e a massa por unidade de

comprimento da corda.

Para que possamos resolver tal E.D.P. preciso especificar

apropriadamente as condies iniciais e de contorno para o deslocamento u(x,t).

Como as extremidades esto fixas, temos que as condies de contorno so:

u(0,t) = 0 u(L,t) = 0, t 0 (2)

Uma vez que a equao diferencial (1) de segunda ordem em

relao a t, razovel que se devam explicitar duas condies iniciais:

posio inicial da corda

u(x,0) = f(x), 0 x L (3)

e velocidade inicial

ut(x,0) = g(x), 0 x L (4)


52/85

onde f e g so funes conhecidas. Afim de que as equaes (2), (3) e (4) sejam

coerentes, tambm necessrio que

f(0) = f(L) = 0, g(0) = g(L) = 0. (5)

Nosso problema resume-se em determinarmos a soluo da equao

de onda (1), de forma que esta satisfaa as condies de contorno (2) e condies

iniciais (3) e (4). Como podemos perceber, este um problema de valor inicial na

varivel tempo t, e um problema de valor de contorno na faixa semi-infinita do plano

xt, 0 < x < L, t > 0. Alm disso, temos uma condio imposta em cada ponto dos

lados da faixa semi-infinita, e duas esto impostas em cada ponto da base finita.

Vejamos agora, com resolver alguns problemas tpicos de valor de

contorno com uma equao de onda unidimensional.


53/85

10.5. CORDA ELSTICA COM DESLOCAMENTO INICIAL NO NULO

Suponhamos que a corda seja perturbada da sua posio de equilbrio

e depois libertada com velocidade nula no instante t = 0, a fim de vibrar livremente.

Assim, o deslocamento vertical u(x,t) deve obedecer a equao de onda (1), as

condies de contorno (2) da seo 10.4 e as condies iniciais

u(x,0) = f(x), ut(x,0) = 0, 0 x L; (1)

ondef uma funo dada que descreve a configurao da corda em t=0.

Para conseguirmos a soluo das equaes (1), (2) da seo 10.4 e (1)

desta, podemos utilizar o mtodo de separao de variveis. Com a hiptese

u(x,t) = X(x ). T(t); (2)

com a substituio de u na equao (1) da seco 10.4 temos

;''1''

2==

T

T

aX

X (3)

onde - uma constante uma vez que variando x o segundo membro permanece

constante e vice-versa. Encontramos assim que X(x) e T(t) devem obedecer s

equaes diferenciais ordinrias

X + . X = 0; (4)T + a2..T = 0; (5)

Precisamos determinar agora, quais so os possveis valores da

constante pelas condies de contorno. Com a substituio de u(x,t), da equao

(2), nas condies de contorno (2) da seo 10.4, temos que

u(0,t) = X(0).T(t) = 0 X(0) = 0 (6)

u(L,t) = X(L).T(t) = 0 X(L) = 0


54/85

uma vez que T(t) 0.

Para que possamos resolver o problema da equao diferencial (4),

sujeita s condies de contorno (2) da seo 10.4, precisamos determinar e para

verificar se existem solues no triviais devemos estudar os casos onde > 0, < 0e = 0:

= 0:

Como uma EDO de segunda ordem temos que se = 0, a soluo

dever ser linear da forma:

X(x) = k1.x+k2 (7)

A fim de satisfazer a 1 condio de contorno (6),devemos terk2 = 0.

Sendo k2 = 0 e a fim se satisfazer2 condio de contorno (6),devemos ter

k1= 0.

Logo X(x) = 0; x; portanto existem apenas solues triviais para =

0.

< 0:

Para evitarmos o aparecimento de sinais nas razes no raciocnio que

se segue, conveniente substituirmos por -2, onde >0 um novo

parmetro.

Procuramos soluo do tipo X(x) = erx para a equao (4), logo,

derivando X(x) e substituindo na equao (4), obtemos:

r2erx - 2erx = 0 r = +/- (8)

logo temos que as solues do problema sero:

X1 = (ex + e-x)/2 = cosh x eX2 = (e

x - e-x)/2 = senh x (9)


55/85

fazendo uma combinao linear das solues encontradas temos que

X(x) = c1 cosh x + c2 senh x (10)

Aplicando a 1 condio de contorno obtemos que c1 = 0; segue ento

que X(x) = c2 senh x. Com a 2 condio de contorno obtemos que X(L) =

c2 senh L = 0, mas como e L so positivos, senh L > 0 ento c2 = 0.

> 0:

= n

2

2

/L

2

, n = 1,2,... (11)

e as solues correspondentes paraX(x) so proporcionais asen(nx/L). Com

os valores de , dados pela equao (11), na equao (5), temos que T(t)

uma combinao linear de sen(nat/L) e cos(nat/L). Ento, funes com a

forma

,...2,1n,LatnsenLxnsen)t,x(u n == (12)

,...2,1n,L

atncos

L

xnsen)t,x(v n ==

(13)

satisfazem equao diferencial parcial (1) e tambm s condies de

contorno (2), ambas da seo 10.4. Estas funes so solues fundamentais

do problema dado.

Vamos agora procurar a superposio das solues fundamentais (12)

e (13) que tambm satisfaz s condies iniciais (1). Admitamos que u(x,t) seja dado

por

[ ]

=

+=1n

nnnn )t,x(uvk)t,x(uuc)t,x(u

+=

= L

atncosk

L

atnsenc

L

xnsen nn

1n

(14)


56/85

onde cn e knso constantes a serem determinadas pelas condies iniciais.

Aplicando a condio inicial u(x,0) =f(x) temos:

)x(fLxnsenk)0,x(u 1nn ==

= (15)

Logo temos que os kn devem ser os coeficientes de uma srie de Fourier para

f, com perodo 2L, e so dados por

,...2,1n,dxL

xnsen)x(f

L

2k

L

0n==

(16)

Admitamos agora que a srie (14) possa ser derivada termo a termo em

relao t. A condio inicial u(x,t) = 0 nos d

,0L

xnsen

L

anc)0,x(u

1nnt ==

=

(17)

Portanto, os coeficientes cn(na/L) devem ser os coeficientes de uma srie deFourier de uma funo que identicamente nula, com o perodo 2L. Pelas formulas

de Euler-Fourier, vem que cn = 0, para qualquer n. Ento, a soluo do problema das

equaes (1), (2) da seo 10.4e (1) desta,

,L

atncos

L

xnsenk)t,x(u

1nn

=

=

(18)

com os coeficientes kndados pela equao (16).


57/85

10.6. JUSTIFICATIVA DA SOLUO

Esta apenas uma soluo formal das equaes (1), (2) da seo 10.4

e (1) da seo 10.5. A fim de termos certeza de que a equao (18) da seo 10.5

pode representar realmente a soluo do problema da conduo de calor, tentador

mostrar a correo da soluo pela substituio direta de u(x,t) dada pela equao

(18) da seo 10.5 nas equaes (1),(2) da seo 10.4 e (1) da seo 10.5. No

entanto, ao fazermos o calculo formal de uxx, por exemplo, obtemos

=

=

1n

2

nxx ;L

atncosL

xnsenL

nk)t,x(u

(1)

o que em virtude do n2 no numerador da srie pode no ser convergente. Isto no

significa necessariamente, que a srie (18) da seo 10.5 para u(x,t) seja incorreta,

mas apenas que ela no pode ser usada para calcularuxxe utt. Mas, nas equaes de

onda, as solues em sries da equao de onda s contm termos oscilatrios que

no decaem quando n aumenta.

H, no entanto, uma outra forma de estabelecermos a validade da

equao (18) da seo 10.5 de maneira indireta. O que nos permitir, tambm,

conseguir informaes adicionais sobre a estrutura da soluo. Inicialmente,

mostremos que a equao (18) equivalente a

u(x,t) = [h(x-at)+h(x+at)] (2)

onde h a funo que se obtm estendendo-se os dados iniciaisfno intervalo (-L,0),

como uma funo mpar, e aos outros valore de x como funo peridica de perodo

2L. Isto


58/85

A fim de demonstrar a equao (2), observamos que h tem a srie de

Fourier

.L

xnsenk)x(h

1nn

==

(4)

Ento, com as identidades trigonomtricas para o seno da soma, ou da

diferena, de dois argumentos, obtermos

;L

atnsen

L

xncos

L

atncos

L

xnsenk)atx(h

1nn

=

=

(5)

;L

atnsen

L

xncos

L

atncos

L

xnsenk)atx(h

1nn

+=+

=

(6)

e consegue-se imediatamente a equao (2), pela soma das duas ltimas equaes.


59/85

10.7. PROBLEMA GERAL DA CORDA ELSTICA

Suponhamos que a corda seja excitada a partir de uma posio inicial

especificada, com uma velocidade dada.Ento, o deslocamento vertical u(x,t) deve

obedecer equao de onda (1) da seo 10.4.

a2 . uxx = utt, 0 < x < L, t > 0;

s condies de contorno (2) da seo 10.4,

u(0,t) = 0 u(L,t) = 0, t 0;

e as condies iniciais (3) e (4) da seo 10.4 respectivamente

u(x,0) = f(x), ut(x,0) = g(x), 0 x L

ondefegso funes dadas que definem a posio inicial e a velocidade inicial da

corda, respectivamente.

Lembremos que as solues fundamentais dadas pelas

equaes (12) e (13) da seo 10.5, obedecem equao diferencial (1) e s

condies de contorno (2) e vamos admitir que u(x,t) seja dada, tambm pela

equao (14), ambas da seo 10.4. Os coeficientes cn e kn devem agora ser

determinados pelas condies iniciais (3) e (4) da seo 10.5. Aplicando a condio

u(x,0) = f(x) conseguimos

)x(fL

xnsenk)0,x(u

1nn ==

=

(1)

Portanto,os coeficientes kn so outra vez coeficientes de uma srie de

Fourier paraf, com perodo 2L, e exprime-se pela equao (16) da seo 10.5.

,...2,1n,dxL

xnsen)x(fL2k L

0n==


60/85

Derivando a equao (14) da seo 10.5em relao a te aplicando a

segunda condio inicial ut(x,0) = g(x) nos d

)x(gL

xnsencL

an)0,x(u n

1nt ==

=

(2)

Portanto os coeficientes (nat/L)cn so os coeficientes da srie de

senos de Fourier parag, com perodo 2L; logo

,...2,1n,dxL

xnsen)x(g

L

2c

L

an Lon

==

(3)

Desta forma, a equao (14) com os coeficientes dados pelas

equaes (16) e (17) da seo 10.5, constitui uma soluo formal do problema das

equaes (1), (2), (3) e (4) da seo 10.4. A validade da soluo formal pode ser

estabelecida mediante argumentos semelhantes aos que foram indicados, em

passagem anterior, para a resoluo das equaes (1), (2) da seo 10.4 e (1) da

seo 10.5.


61/85

CAPTULO 11: ANALISANDO O SOM EM UMA MEMBRANA ELSTICA

Estamos interessados em estender o mtodo de separao de

variveis, desenvolvido anteriormente em uma corda elstica, uma classe mais

ampla de problemas, os seja, problemas que envolvem equaes diferenciais mais

gerais, com condies de contorno mais gerais ou regies geomtricas diferentes.

Neste captulo veremos um exemplo que envolve o desenvolvimento de uma

equao de onda bidimensional em uma srie de funes de Bessel; embora antes

tenhamos que lembrar alguns pontos importantes para solucionar a mesma.

11.1 EQUAES DE BESSEL DE ORDEM ZERO

Consideremos um dos casos especiais da equao de Bessel

x2 y + x y + (x2 v2)y = 0 (1)

onde v uma constante. fcil mostrar que x = 0 um ponto singular regular. Para

ter simplicidade, vamos analisar somente o caso x > 0.

Em uma equao de Bessel de ordem zero, podemos ilustrar a situao

onde as razes da equao inicial so iguais. Fazendo v = 0 na equao (1) obtemos

L[y] = x2 y + x y + (x2 v2)y = 0 (2)

Admitindo

=

++==1n

mrn

r0 ,xaxa)x,r(y (3)

obtemos


62/85

=

=

+++ +++++=0n 0n

2nrn

nrn xax)]nr()1nr)(nr[(a)x,r]([L

1r

1

r

0 x)]1r(r)1r[(ax]r)1r(r[a+

+++++=

=++++++ + 0x}a)]nr()1nr)(nr[(a{ nr2nn (4)

As razes da equao inicial F(r) = r (r-1) + r = 0 so r1 = 0 e r2 = 0,

ento temos o caso de razes iguais. A relao de recorrncia

2n,)nr()r(a

)nr()1nr)(nr()r(a)r(a

22n2n

n +=

++++= (5)

A fim de encontrarmos y (x), devemos fazer r = 0, logo, pela equao

(4) temos que para o coeficiente de xr+1 se nulo devemos escolher a1=0. Ento, pela

equao (5), a3 = a5 = a7 = ... = 0. Alm disso

...8,6,4,2n,n

)0(a)0(a 22n

n == (6)

ou fazendo n = 2m, temos

...7,5,3,1m,)m2(

)0(a)0(a

22m2

m2 == (7)

Assim,

,)2.3(2

a)0(a,

22

a)0(a,

2

a)0(a

260

6240

420

2 ===

e em geral


63/85

...4,3,2,1m,)!m(2

a)1()0(a

2m0

m

m2 =

= (6)

Portanto

0x,)!m(2

x)1(1a)x(y

1m2m2

m2m

01 >

+=

=

(7)

onde a funo entre colchetes a funo de Bessel de primeira espcie e de ordem

zero, e simboliza-se por J0(x). Esta srie convergente para todo x e J0 analtico em

x = 0.


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11.2 PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO HOMOGNEOS E

LINEARES: AUTOVALORES E AUTOFUNES

Considerando o problema de valor de contorno constitudo pela

equao diferencial

y + p(x) y+ q(x) y = 0, 0 < x < 1 (1)

e as condies de contorno

a1 y(0) + a2 y(0) = 0 e b1y(1) + b2 y(1) = 0 (2)

temos que este um problema de valor inicial que tem soluo nica em qualquer

intervalo nas proximidades do ponto inicial, no qual as funes p e q seja contnuas.

No se pode fazer uma afirmao to abrangente a propsito do problema de valor de

contorno (1) e (2). Em primeiro lugar, todos os problemas homogneos tm a soluo

y = 0. Esta soluo trivial no tem, em geral, interesse e a questo importante saber

se existem ou no solues no triviais. Com a hiptese de y = (x) ser uma destas

solues, vem da natureza homognea e linear do problema, que y = k (x) tambm

soluo para qualquer valor da constante k. Assim, correspondendo a uma soluo

no trivial h uma famlia infinita de solues no triviais. Nos problemas de valor

de contorno de segunda ordem, mais gerais, porm, podem existir duas famlias de

solues, correspondendo a duas solues linearmente independentes 1 e 2.

Consideremos a equao diferencial

y + p(x,) y+ q(x,) y = 0, 0 < x < 1 (3)

cujos coeficientes dependem de um parmetro , com as condies de contorno (2).

Para quais valores de , se existem estes valores, o problema de valor de contorno

tem solues no triviais? Admitamos que as funes p e q sejam contnuas em 0 x

1, e para todos os valores de .


65/85

A soluo geral da equao (3) deve depender de x e de , e podemos

escrever

y = c1 y1 (x,) + c2 y2 (x,) (4)

onde y1 e y2 constituem um conjunto fundamental de solues da equao (3). Os

valores para o qual apresenta soluo no trivial so chamados autovalores. Se

substituirmos y nas condies de contorno (2) obtemos as equaes

c1[a1y1(0,) + a2 y1(0,)] + c2[a1y2(0,) + a2 y2(0,)] = 0

c1[b1y1(1,) + b2 y1(1,)] + c2[b1y2(1,) + b2 y2(1,)] = 0 (5)

em c1 e c2. Este sistema de equaes linear homogneo ter solues no triviais se e

somente se o determinante dos coeficientes D() for nulo, ou seja

0),1(yb),1(yb),1(yb),1(yb

),0(ya),0(ya),0(ya),0(ya)(D

22211211

12211211 =++

++=

(6)

Os valores de que formam as razes desta equao so os autovalores do problema

de valor de contorno (3) e (2), se estes existirem. A cada autovalor h pelo menos

uma soluo no trivial, uma autofuno que determinada a menos de uma

constante multiplicativa arbitrria.

Em virtude da forma arbitrria na qual aparece na equao

diferencial (3), difcil afirmar outras coisas sobre os autovalores e as autofunes

do problema de valor de contorno (3), (2). Vamos nos limitar a problemas nos quaiso coeficiente p na equao (3) independente de e o coeficiente q uma funo

linear de .


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11.3 PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO DE STURN-LIOUVILLE

Os Problemas de Valor de Contorno de Sturn-Liouville so constitudos pela

equao diferencial da forma

[p(x)y]- q(x)y +r(x)y = 0 (1)

e as condies de contorno

a1 y(0) + a2 y(0) = 0 e b1y(1) + b2 y(1) = 0 (2)

Utilizando o operador linear

L[y] = -[p(x)y]- q(x)y (3)

na equao (1), obtemos

L[y] = r(x)y (4)

admitindo p, q e r contnuas no intervalo 0 x 1.

Deduzindo a identidade de Lagrange para duas funes u e v com as

derivadas contnuas no intervalo 0 x 1 obtemos

+=1

0

1

0

1

0

quvdxvdx)u(p[vdx]y[L (5)

+=1

0

I

1

0

quvdxvdx)pu(

4434421

integrando I por partes duas vezes obtemos


67/85

== ])dx)pv(uupv[vpu()dxvpuvpu(1

0

1

0

1

0

1

0

+++=

1

0

1

0

1

0

1

0

quvdxudx)pv(vpuvpu

+++=1

0

1

0

1

0dx]qvuu)pv[(vpuvpu

+=++=1

0

1

0

1

0

1

0

1

0udx]v[L]vuvu[pudx]v[Lvpuvpu

logo

deLagrangeIdentidade]vuvu[pudx]v[Lvdx]u[L1

0

1

0

1

0

=+ (6)

Supondo que as funes u e v da equao (6) satisfaam as condies

de contorno e admitimos que a2 0 e b2 0. Resolvendo o segundo membro de (6) e

substituindo nas condies de contorno obtemos:

= p(1) [u(1)v(1) u(1)v(1)] + p(0)[u(0)v(0)-u(0)v(0)]

= p(1) [-b1/b2 u(1)v(1) + b1/b2 u(1)v(1)]

+ p(0)[-a1/a2 u(0)v(0) + a1/a2 u(0)v(0)] = 0

logo

(7)0udx]v[Lvdx]u[L1

0

1

0

=+

Podemos definir o produto interno (u,v) de duas funes reais u e v,

numa dada integral definida para 0 x 1


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1

0

dx)x(v)x(u (8)

como sendo

(L[u],v) (u,L[v]) = 0 (9)

Suponhamos que dada uma funo f, que obedece as condies

apropriadas, possa ser desenvolvidas numa srie infinita de autofunes do problema

de Sturn-Liouville mais geral (1) e (2). Se isto puder ser feito, teremos ento

)x(c)x(f n1n

n

=

= (10)

onde n (x) satisfaz s equaes (1) e (2) e tambm as condies de ortogonalidade

definidas por

=1

0

mnnm dx)x()x()x(r (11)

onde mn conhecido como delta de Kronecker e definido por

=

=

nmse1

nmse,0mn (12)

Para calcular os coeficientes cn na srie (10), multiplicamos a equao

(10) por r(x)m(x)dx e integramos de x = 0 x = 1. Admitindo que a srie possa ser

integrada termo a termo, obtemos:

mn1n 1n

n

1

0

mnm

1

0

cdx)x()x(rcdx)x()x(f)x(r

=

=

== (13)


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Portanto, com a definio de mn,

,...2,1m),r,f(dx)x()x(f)x(rc m

1

0

mm === (14)

Os coeficientes na srie (10) forma formalmente determinados. A

equao (14) tem a mesma estrutura das frmulas de Euler-Fourier para os

coeficientes de uma srie de Fourier, e a srie de autofunes (10) tem propriedades

de convergncia semelhantes s sries de Fourier.

A partir deste momento apenas enunciaremos alguns importantes

Teoremas que garantem a resoluo do problema que ser investigado:

TEOREMA 11.1: Todos os autovalores do problema de Sturn-Liouville (1) e (2) so

reais.

TEOREMA 11.2: Se 1 e 2 forem duas autofunes do problema de Sturn-Liouville

(1) e (2), correspondentes, respectivamente, aos autovalores 1 e 2, e se 1 2,

ento

=1

0

21 0dx)x()x()x(r

TEOREMA 11.3: Os autovalores do problema de Sturn-Liouville (1) e (2) so todos

simples, isto , cada autovalor corresponde somente a uma autofuno independente.

Alm disso, os autovalores constituem uma seqncia infinita que pode ser ordenada

crescentemente, de modo que

1 < 2 < 3


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11.4 - PROBLEMAS DE STURN-LIOUVILLE SINGULARES

Admitindo que para um problema regular de valor de contorno Sturn-

Liouville, a equao diferencial da forma

L[y] = - [p(x)y] + q(x)y = r(x)y, 0 < x < 1 (1)

e as condies de contorno so dadas por

a1y(0) + a2y(0) = 0 (2)

b1y(1) + b2y(1) = 0 (3)

onde p uma funo derivvel, q e r so contnuas e p(x) > 0 e r(x) > 0 para todos os

pontos de intervalo fechado.

No entanto, existem tambm as equaes de interesse fsico nas quais

algumas destas condies no esto cumpridas. Por exemplo, suponhamos que

queremos investigar a equao de Bessel de ordem v no intervalo 0 < x < 1. Esta

equao se escreve, s vezes, na forma

xyyx

v)xy(

2

=+ (4)

onde p(x) = x, q(x) = v2/x e r(x) = x. Assim, p(0) = 0, r(0) = 0 e q(x) limitada, e

portanto descontnua, quando x0. No entanto, as condies impostas aosproblemas de Sturn-Liouville regulares so cumpridas em todos os outros pontos de

intervalo.

Analogamente, com a equao de Legendre temos

- [(1 - x2) y] = y , -1< x < 1 (5)


71/85

onde = (+1), p(x) = 1 x2, q(x) = 0 e r(x) = 1. Neste caso, as condies

mencionadas sobre p, q e r so cumpridas no intervalo 0 x 1, exceto em x = 1,

onde p nula. Identificamos como problema de Sturn-Liouville singular o de uma

certa classe de problemas de valor de contorno da equao diferencial (1), na qual asfunes p, q e r obedecem s condies que j foram explicitadas no intervalo 0 < x

< 1, onde pelo menos uma delas deixa de ser cumprida em um dos pontos da

fronteira, ou ambos. Alm disso, impomos condies de contorno convenientes,

separadas, de uma espcie a ser descrita pormenorizadamente um pouco adiante.

Apesar de ocorrerem problemas singulares quando o intervalo bsico for ilimitado,

por exemplo 0 x < , estes no sero considerados.

Como exemplo de um problema singular sobre um intervalo finito,

consideremos a equao

x y + y+ xy = 0, (6)

ou

- (x y)= x y, (7)

no intervalo 0 < x < 1, e suponhamos que > 0. Esta equao aparece na

investigao das vibraes livres em uma membrana circular elstica, e ser

discutida posteriormente. Se introduzirmos a varivel independente t, definida por

xt = , ento

.dt

yddx

yd,dtdy

dxdy 2

2

2

2

==

Portanto, a equao (6) fica

0yt

dt

dy

dt

ydt2

2

=++

ou, cancelando-se o fator comum em cada parcela,


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0tydt

dy

dt

ydt

2

2

=++ (8)

A equao (8) uma equao de Bessel de ordem zero. A soluo geral para

esta equao, para t > 0,

y = c1 J0 (t)+c2 Y0 (t)

e portanto, a soluo geral da equao (7), para x > 0

y = c1 J0 ( x )+c2 Y0 ( x ),

onde J0 e Y0 simbolizam as funes de Bessel de primeira espcie e de segunda

espcie, ambas de ordem zero. Pelas equaes (7) e (13) da seo anterior, temos:

,0x,)!m(2

x)1(1)x(J

1m2m2

m2mm

0 >

+=

=

(10)

,0x,)!m(2

xH)1(x(J

2

xln

2)x(Y

1m2m2

m2mm

1m

00 >

+

+=

=

+

(11)

onde Hm = 1 + (1/2) + ... + (1/m); e y = lim m(Hm ln m). Os grficos de y = J0 (x)

e de y = Y0 (x) aparecem nafigura (51).


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-0,8

-0,3

0,2

0,7

1,2

0 2 4 6 8 10 12 14

x

y

y = J0(x) (2/x)1/2 cos(x-(/4)) quando x

y =Y0(x) (2/x)1/2 sen(x-(/4)) quando x

Figura(11.1): Funes de Bessel de ordem zero

Suponhamos que buscamos uma soluo da equao (5) que tambm

satisfaa s condies de contorno

y(0) = 0 (12)

y(1) = 0 (13)

que so tpicas das que encontramos em outros problemas deste captulo. Uma vez

que J0(0) = 1 e Y0(x) - quando x 0, a condio y(0) = 0 s pode ser cumprida

fazendo-se c1 = c2 = 0 na equao (9). Assim, o problema de valor de contorno (7),

(12), (13) s tem a soluo trivial.

Uma interpretao deste resultado que a condio de contorno (12)

em x = 0 muito restritiva para a equao diferencial (7). Isto ilustra a situao geral,ou seja, em um ponto singular da fronteira necessrio considerar um tipo

modificado da condio de contorno. No problema que estamos vendo, suponhamos

que exigimos somente que a soluo (9) e sua derivada permaneam limitadas. Em

outras palavras, tomamos como condio de contorno em x = 0 a exigncia

y, ylimitadas quando x 0


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Esta condio pode ser cumprida fazendo-se c2 = 0 a f

tgmatematicamusica

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