the growth factor and efficiency of gaussian elimination with rook

21

Upload: others

Post on 10-Feb-2022

5 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

������������ ��������� ���������������! "�!����#$��&%'��(*)+)+ ,���-�!./ "01 /�2�3 � "4�5�6 7 ���8�9;:* 7<=� � /�*�

>@?�ACB7DE?GF�H�I4J�A�KL?+M

N�OEPRQ�SUTWVXOUY+T4Z\[=]^Q_Ta`ROUV2Q_TWbdcUe�Q�Y�fhgiZ�V�P�jRTEOUS@k�clbmOUY�c,O,nik�Q�YpoRZqerO@k�TmQ_TEOtsuYbav_OUSwe,bWTWxqnik�Q�YhoRZqerO,nyg�z{C|C}C{�~

���u�l���q��_��=�_��"�"���_�G�r�����2������"���C�����2�_���C�R�^�"�R�t���C�/�X�����R�r���&��/�r�G�/���C���X���G�"�l���r�L�"����� �U�C��¡+�R�"���R�R¢��=�_��"�"���_��r�����2������"���C�������"�£¡+��¤"�"���_��¡+��¥_�_�"���R��¤"�r¦����¤"�r���C���� §2¨a©�ªr«��U�C��¡+��¤w���/�C���¬��l�_�C��­�"�R�8���_¤"®£¤"�r¦����¤"�r�£����=�_��"�"���_�@�r�����2������"���C�=�����"�¯�R��¡+��¥_�_�"���R��¬+�R�!�l�_��°����8¡¤w����l��¡+���_°l��r¥_���l¤"¤"�_¤!�_¤"�����"�*�"����u�����U±²¡��C�R�r�L�"���_����h�"�R�X�2���/¤w��±h�"��³l�2©i¢��=�_��"�"���_�h�r�����2������"���C�´�����"�^�U�C��¡+���l�/�2¡+��¥_�_�"���R�­�C�^�"�R�2�_�"�R�l¤���_��h�l�_�µ�R�_���r¥_� �U±²¡��C�R�r�L�"���_���l¤"¤"�_¤2�_¤"�����"�G¬+�R��¤"�r¦����¤"�r�X§2¨a©�¶r«*�U�C��¡+��¤w���/�C���¬��l�_�C��G�"�R�­���_¤"®µ¤"�r¦����¤"�r�µ¬���=�_��"�"���_�·�r�����2������"���C�¸�����"���R�G¡+��¥_�_�"���R�R¢4¹����_®·¡+��¥_�_�"���R�G���­�G¡+��¥_�_�"���R���/�r�w����¦��R�h�"����t��¡¡��r��¤w��/�p¬��£���L�/�l¤w���r������/��¬��l�E���l�r��¡+��¤"�"���_�º¡+��¥_�_�"���R�p�_����U�C��¡+���l�/�£¡+��¥_�_�"���R�´���&�/�l¤w�2���_»��U¼��l���r��U�µ�_���_�l�l�R¤w�_�U�_¢�½\�·�"����£¡+��¡��l¤£���h¡¤"��¥_�h�"���� ¤"���_®¾¡+��¥_�_�"���R�G�l�_��R�_� ��r¥_�^�U±²¡��C�R�r�L�"���_�y�l¤"¤"�_¤­�_¤"�����"��¢¿ ���_���/�£���L�/¤"�²���U�*���U�C�¯¬+������"���C�t�_»3¡+��¤"�"���_�!¡+��¥_�_�"���R���_��t¤"���_® ¡+��¥_�_�"���R�X������w� �����l�_���i�=�_��"�"���_��r�����2������"���C�G�����"�À¡+��¤"�"���_��¤"���_®G¡+��¥_�_�"���R�µ�_��¾���´¡¤"��¥_�´�"�R�´¡+��¤"�"���_��¤"���_®G¡+��¥_�_�"���R�µ�l�_�·�R�_�£��r¥_��U±²¡��C�R�r�L�"���_���l¤"¤"�_¤4�_¤"�����"��¢ ¿ �@����l����R�y������l¤w���l�_���U±²¡��l¤w�����r�L�"���"�R�������R���"������C�­���/�l¤w���_���U�C��¡+�R�/�l¤�"�R�8¤w����"�����r�4»a�_¤4¤"���_®�¡+��¥_�_�"���R����¤"�@�_�����C�/���_�����r�²���l���C�/�8�/���"�R�C�/�@�_»u¡+��¤"�"���_��¡+��¥_�_�"���R���_��£�"�R�8¤w���"�����r�4»a�_¤�¡+��¤"�"���_��¤"���_®£¡+��¥_�_�"���R����¡¡��r��¤��/�2¬��8�"�R�@�"�_���¯�_���"�R�C�/�@�_»u¡+��¤"�"���_��¡+��¥_�_�"���R�R¢Á�OUx2ºZ�S/fqelà �=�_��"�"���_�­�r�����2������"���C��°��_¤"�����"�­»W�_�U�/�_¤r°+¤"���_®�¡+��¥_�_�"���R�

Ä*ŵƷÇ�ÈÊÉCËlË�Ì Í=ÇUÉ�ÎEÌ7ÏLÐ!Ñ�ÒRÓ�Ô�ÕRÓ+Ö�ÒRÓ²×2ÕRÓ

Ø ÙqÚ!Û_ÜCÝi޺ߺà�ÛCámÝ!Ú

â8ã�äaå@æ�ç�æ!èqé8äaå@ê�èqê�äaë�çLìUèqê^ìUítîyäaïaï × éUç�ð²ð­í²ñ^ã�äaå@å,ä�ò+ìUäaè�ìUã^ó�äaéwìUã�ê�ç�ô²õ

× ç�ö�å,å,äWç�ñÀèqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ&äaå�í²ñ�è í�ø�ìUã�è­÷tí²åwì�ù@äaê�èqïÊôµö�å,èqê·ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷tå¯äañÀå,ëqäaèqñRìUäÊú�ë­ëqí²÷tæ�ö�ìUäañ�ð�õûüã�èqñ^ç�æ�æ�ïaäaèqê ìUí­ç�ñpýhþtý�÷´çLìUé,ä�ò ÿ × ç�ö�å,å,äWç�ñ´èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ£ù@äÊìUã´ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè*æ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö æ�ç�éwìUäWç�ïæ�ä��²í�ìUäañ�ð8í²éiñ�í¯æ�ä��²í�ìUäañ�ð8æ�é,í+ê�ö�ëqè4øEç�ë�ìUí²é,ä���çLìUäaí²ñ�å��2ÿ���� ��ù@ã�èqé,è � ç�ñ�ê���ç�é,è4æ!èqé,÷£ö�ìlçLìUäaí²ñ÷´çLìUé,äaëqèqå Ö üäaå¯ö�ñ�äÊì*ïaí_ùyèqé*ìUé,äWç�ñ�ð²ö�ïWç�é Ö ç�ñ�ê���äaå*ö�æ�æ!èqé¯ìUé,äWç�ñ�ð²ö�ïWç�éqõ��iè�ì��� é,èqæ�é,èqå,èqñRì�å,í²ïaö�ìUäaí²ñìUí&ÿ � ���&ëqí²÷tæ�ö�ìUèqê¸äañ���íRçLìUäañ�ð&æ!í²äañRìXç�é,äÊìUã�÷tè�ìUäaë­í²ñ·ç^ëqí²÷tæ�ö�ìUèqé2ù@äÊìUã¾é,èqïWçLìUä��²è ÷´ç�ëlã�äañ�è

������� �"!$#&%�')(�*,+.- /1032)4&57686:9�48�,��;<5<989"=�576)>@?$!$# A"BDCFEF!$#<GIHJA�'K�L���MAK%N!�')#�(���')O�*,+.- /P67084&5768670848��;:5<989M; Q

Page 2: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

æ�é,èqëqäaå,äaí²ñ��qõ�â8ã�èqñµäÊì8äaå��ñ�í_ù@ñ����� Ö � Õ� ìUã�çLì�� ��� � ���� � ��� ��� ëqí²ñ�ê ��� ÿ�������� � ��

ù@ã�èqé,è � äaå@ìUã�è�èrò�ç�ë�ì�å,í²ïaö�ìUäaí²ñ Ö ëqí²ñ�ê ��� ÿ��@äaå@ìUã�è£ëqí²ñ�ê�äÊìUäaí²ñ&ñö�÷£ó!èqé*í�ø�ÿ äañ&ìUã�è�å,ö�æ�é,èq÷£ö�÷ñ�í²é,÷ Ö � äaå çGïaí_ù ê�èqð²é,èqè^æ!í²ïÊô+ñ�í²÷täWç�ï�äañ�ý ç�ñ�ê�äaå­ñ�í�ì ïWç�é,ð²è Ö ç�ñ�ê �¾äaå£ìUã�è^ð²é,í_ù8ìUã�øEç�ë�ìUí²éqõÔ í²ïaïaí_ù@äañ�ð��"!$#%!'&)(*��� 7Ö ùyè@ê�è�ú�ñ�è8ìUã�è8ð²é,í_ù8ìUã­øEç�ë�ìUí²é Ö ømí²é × ç�ö�å,å,äWç�ñ­èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ2ù@äÊìUã­æ�ç�éwìUäWç�ïæ�ä��²í�ìUäañ�ð­í²é@ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè�æ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö óRô

�@� ÷´çCò,+.- /10 23+.- /40÷´çCò5+.- /60 78+.- /80�9 � �8�

:�ö�è�ìUí � �� × ç�ö�å,å,äWç�ñ^èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ ù@äaïaï�ó!è2ñö�÷tèqé,äaë�ç�ïaïÊôtåwìlç�ó�ïaè2äÊø;�´äaå8ñ�í�ì@ïWç�é,ð²è�õâ8ã�è´ëqïWç�å,å,äaë�ç�ï�ê�è�ú�ñ�äÊìUäaí²ñ�� � Õ� í�øyìUã�è´ð²é,í_ù8ìUã¾øEç�ë�ìUí²éXäaåX÷´çCò,+.- /�- <=0 7?> <A@+.- / 0 B�÷´çCòC+.- /10 78+.- /80!ù@ã�èqé,èD7?> <A@+.- /ê�èqñ�í�ìUèqå@ìUã�èFEG�IH²ìUã^èqïaèq÷tèqñRì¯í�øºìUã�è2÷´çLìUé,ä�òhçLødìUèqé=ìUã�èKJìUã&åwìUèqæµí�ø�èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ�õRâ8ã�äaå@ê�è�ú�ñ�äÊìUäaí²ñç�ñ�ê&ìUã�è�ê�è�ú�ñ�äÊìUäaí²ñ � �8�@ç�é,èXè�Lö�ä���ç�ïaèqñRì¯ømí²é@ëqí²÷tæ�ïaè�ìUèXæ�ä��²í�ìUäañ�ðtç�ñ�êµù@äÊìUã�äañµç øEç�ë�ìUí²é@ý¾í�ø4è�ç�ëlãí�ìUã�èqé8ømí²é8æ�ç�éwìUäWç�ïuæ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ�û¸è�ù@äaïaï!ú�ñ�ê^ìUã�è2ê�è�ú�ñ�äÊìUäaí²ñ � �8�=÷tí²é,è�ëqí²ñ:�²èqñ�äaèqñRì�õÔ í²éyæ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö ù@äÊìUãpèqäÊìUã�èqéyìUã�è�ëqïWç�å,å,äaë�ç�ï�ê�è�ú�ñ�äÊìUäaí²ñpí�øiìUã�è�ð²é,í_ù8ìUã´øEç�ë�ìUí²éyí²éyìUã�è*ê�è�ú�ñ�äNMìUäaí²ñ � �8� Ö äÊì8äaå8ñ�í�ì¯ê�äPOtëqö�ïÊì8ìUí å,ã�í_ùQ� R Ö �TS Ö � Õ� ìUã�çLì

� � �U�V3W � SC�

ç�ñ�ê�ìUã�çLì�ìUã�äaå�ó!í²ö�ñ�ê£äaå�çLì,ìlç�äañ�èqê Ö ømí²éºèrò�ç�÷tæ�ïaè Ö ømí²é3ìUã�èy÷´çLìUé,ä�òXí²ñ£æ�ç�ð²è��5��@í�øX� � Õ� í²é�÷´çLìUé,äaëqèqåäañtìUã�è*ëqïWç�å,å�æ�é,èqå,èqñRìUèqê^äañY���TS õ+â8ã�èqé,è�ømí²é,èZ�­ë�ç�ñ´ð²é,í_ùüèrò�æ!í²ñ�èqñRìUäWç�ïaïÊô­äañ´ý Ö óRô ù@ã�äaëlã´ùyè*÷tè�ç�ñìUã�çLì'�\[]7,^ U ømí²é8ëqí²ñ�åwìlç�ñRìUåZ7D_ Õ ç�ñ�ê`^$_a�²õ3!*ïÊìUã�í²ö�ð²ã^å,ö�ëlãµð²é,í_ù8ìUãµäaå8éUç�é,è2äañ^æ�éUç�ë�ìUäaëqè Ö � b ç�ñ�êD� �5� ã�ç7�²è�æ�é,èqå,èqñRìUèqê£èrò�ç�÷tæ�ïaèqå�ù@ã�èqé,è�èrò�æ!í²ñ�èqñRìUäWç�ïRð²é,í_ù8ìUãXäaå3ç�ëlã�äaèK�²èqê2ømí²éi÷´çLìUé,äaëqèqå3ç�é,äaå,äañ�ðømé,í²÷ ëqí²÷t÷tí²ñ�ïÊô¾ö�å,èqê�ê�äaå,ëqé,è�ìUä���çLìUäaí²ñ�å�í�ø¯äañRìUèqð²éUç�ï=ç�ñ�ê�ê�äPcuèqé,èqñRìUäWç�ïyè�Lö�çLìUäaí²ñ�åqõ�â8ã�èqé,è�ømí²é,è^äañæ�é,äañ�ëqäaæ�ïaè�ç�ñ�ê Ö çLìhìUäa÷tèqå Ö äañ�æ�éUç�ë�ìUäaëqèd� ë�ç�ñüó!èGïWç�é,ð²èµèqñ�í²ö�ð²ã å,í�ìUã�çLìhæ�ç�éwìUäWç�ï*æ�ä��²í�ìUäañ�ð·äaåñö�÷tèqé,äaë�ç�ïaïÊô´ö�ñ�åwìlç�ó�ïaè�õ

Ô í²é@ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè2æ�ä��²í�ìUäañ�ð ìUã�è2ìUã�èqí²é,è�ìUäaë�ç�ï3ó!í²ö�ñ�ê�å�ç�é,èXó!è�ì,ìUèqéqõfe/ñ����Tg äÊì¯äaå@å,ã�í_ù@ñµømí²é¯ëqí²÷tæ�ïaè�ìUèæ�ä��²í�ìUäañ�ð£ìUã�çLì

� � ýhWji ª � �6S,Wji ªlk Wji ¶hmTmTm ýhWji > U�V3W@ �lWji ª � �Cn ý�ý%o p > U

@ ijq 9 � k �

â8ã�èqå,è@ømö�ñ�ë�ìUäaí²ñ�å�ç�é,è@é,èqïWçLìUä��²èqïÊô�å,ïaí_ù@ïÊô£ð²é,í_ù@äañ�ð�ù@ã�èqñtëqí²÷tæ�ç�é,èqê­ìUí�ìUã�è@æ!í�ìUèqñRìUäWç�ï�èrò�æ!í²ñ�èqñRìUäWç�ïð²é,í_ù8ìUãµí�ør�´ømí²é@æ�ç�éwìUäWç�ïiæ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ Ô ö�éwìUã�èqé,÷tí²é,è2äÊì¯äaås�ñ�í_ù@ñt���Tg ømí²é@ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè2æ�ä��²í�ìUäañ�ð­ìUã�çLììUã�èqå,è*ó!í²ö�ñ�ê�å�ë�ç�ñ�ñ�í�ì�ó!è¯çLì,ìlç�äañ�èqê ømí²é�ýu[vSXç�ñ�êtñ�íXí²ñ�è¯ã�ç�å�ó!èqèqñpç�ó�ïaè=ìUí2ú�ñ�êpç�ñRô èrò�ç�÷tæ�ïaèqåù@ã�èqé,è ìUã�ètð²é,í_ù8ìUãÀøEç�ë�ìUí²é�ømí²é�ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè­æ�ä��²í�ìUäañ�ð^äaå2ó�äað²ð²èqé�ìUã�ç�ñ Ö ømí²é�èrò�ç�÷tæ�ïaè Ö �Lý � å,èqèY� k �rõÔ í²é=ìUã�èqå,èXé,è�ç�å,í²ñ�å@ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè�æ�ä��²í�ìUäañ�ð­äaå8ëqí²ñ�å,äaê�èqé,èqê&ìUí ó!è2ñö�÷tèqé,äaë�ç�ïaïÊô´åwìlç�ó�ïaè�õ

Page 3: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

â8ã�è�ê�äaåUç�ê&��ç�ñRìlç�ð²è&ù@äÊìUã6ëqí²÷tæ�ïaè�ìUèµæ�ä��²í�ìUäañ�ð¾äaåtìUã�çLìpäÊì´é,è�Lö�äaé,èqåpç�æ�æ�é,í�ò�äa÷´çLìUèqïÊô�ý ¶ B4S¾ëqí²÷�Mæ�ç�é,äaå,í²ñ�å Ö ó!è�ô²í²ñ�ê ìUã�èhùyí²éG�·é,è�Lö�äaé,èqê óRô × ç�ö�å,å,äWç�ñ�èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñÀù@äÊìUã�ñ�íÀæ�ä��²í�ìUäañ�ð�ù@ã�èqé,è�ç�åæ�ç�éwìUäWç�ï@æ�ä��²í�ìUäañ�ð¸é,è�Lö�äaé,èqåhç�æ�æ�é,í�ò�äa÷´çLìUèqïÊô�ý ª B8�¾ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�åqõ�û¸è�ç�å,å,ö�÷tè�äañ ìUã�èqå,èGëqí²ö�ñRìUåç�ñ�ê6ìUã�é,í²ö�ð²ã�í²ö�ì´ìUã�èµæ�ç�æ!èqétìUã�çLìpÿ5äaå´ç¸ê�èqñ�å,è�÷´çLìUé,ä�òuõ��+äañ�ëqè × ç�ö�å,å,äWç�ñ èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ¸ù@äÊìUãñ�ítæ�ä��²í�ìUäañ�ð é,è�Lö�äaé,èqå*ç�æ�æ�é,í�ò�äa÷´çLìUèqïÊô �Lýu¶ B4S@��íRçLìUäañ�ð æ!í²äañRì@í²æ!èqéUçLìUäaí²ñ�å Ö ømí²é8ïWç�é,ð²è�ý × ç�ö�å,å,äWç�ñèqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñGù@äÊìUã�ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè´æ�ä��²í�ìUäañ�ð�ù@äaïaï�é,è�Lö�äaé,èhå,ö�ó�åwìlç�ñRìUäWç�ïaïÊô¾÷tí²é,è´ìUäa÷tètìUã�ç�ñ × ç�ö�å,å,äWç�ñèqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ´ù@äÊìUã�ñ�í´æ�ä��²í�ìUäañ�ðtù@ã�èqé,è�ç�å × ç�ö�å,å,äWç�ñµèqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ´ù@äÊìUãµæ�ç�éwìUäWç�ï3æ�ä��²í�ìUäañ�ð ù@äaïaïié,è MLö�äaé,èXç�æ�æ�é,í�ò�äa÷´çLìUèqïÊôtìUã�è2åUç�÷tè�ìUäa÷tè�ç�å × ç�ö�å,å,äWç�ñ^èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñtù@äÊìUã^ñ�í æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ× ç�ö�å,å,äWç�ñ6èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ¸ù@äÊìUã6é,í+í8��æ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö ù@ã�äaëlã6ùyèµê�è�ú�ñ�è�äañ��+èqë�ìUäaí²ñ � Ö ç�æ�æ!è�ç�é,åtìUí¸ó!èäañRìUèqé,÷tèqê�äWçLìUètó!è�ì/ùyèqèqñ ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè´æ�ä��²í�ìUäañ�ðGç�ñ�ê·æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ðµäañ¸ìUèqé,÷tå£í�ø@è�Otëqäaèqñ�ë�ô�ç�ñ�êç�ëqëqö�éUç�ë�ô²õ Ô í²é8åwô+÷t÷tè�ìUé,äaë2÷´çLìUé,äaëqèqå Ö æ�ä��²í�ìUäañ�ð å,ëlã�èq÷tèqå�é,èqïWçLìUèqê^ìUí ìUã�í²å,èXê�äaå,ëqö�å,å,èqê�ã�èqé,è�ã�ç7�²èó!èqèqñhæ�é,èqå,èqñRìUèqê^óRô Ô ïaè�ìUëlã�èqé�� Ò� ç�ñ�êpé,èqëqèqñRìUïÊô´óRô\!*å,ã�ëqéUçLødì Ö�× é,äa÷tèqå�ç�ñ�ê �iè�ù@äaåF� � õ���ö�é�ømí+ëqö�åäaå�í²ñ æ�ä��²í�ìUäañ�ð*ìUèqëlã�ñ�ä.Lö�èqå4ømí²é�ñ�í²ñ�åwô+÷t÷tè�ìUé,äaë=÷´çLìUé,äaëqèqåqõ�â8ã�è8ú�é,åwì�ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷'ù@ã�äaëlã­ùyè@ê�äaå,ëqö�å,åù=ç�åyæ�é,èqå,èqñRìUèqêhóRô��¯è�ç�ï!ç�ñ�êD#ºí+í²ïaè¯äañY��� Ó õâ8ã�èqäaé�÷tí�ìUä���çLìUäaí²ñ�ømí²é�ìUã�è¯÷tè�ìUã�í+êtù=ç�å�ó�ç�å,èqêpí²ñpçð²èqí²÷tè�ìUé,äaëyäañRìUèqé,æ�é,è�ìlçLìUäaí²ñ£í�ø × ç�ö�å,å,äWç�ñ­èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ�õ���ö�é�÷tí�ìUä���çLìUäaí²ñ2ømí²é�é,í+í8�2æ�ä��²í�ìUäañ�ð�äaå�ìUã�çLìäÊìUå=ð²é,í_ù8ìUãpøEç�ë�ìUí²é=ë�ç�ñ�ñ�í�ì8ð²é,í_ù èrò�æ!í²ñ�èqñRìUäWç�ïaïÊô²õ5e/ñ��+èqë�ìUäaí²ñ S�ùyè�æ�é,í8�²è�ìUã�çLì=ømí²éyé,í+í8�tæ�ä��²í�ìUäañ�ð

� � � 9 Ó ý ¶ o p > U@ ijq 9 � Ó �

û¸è¸ç�ïaå,í�å,ã�í_ù$ìUã�çLì^ìUã�è¾ð²é,í_ù8ìUãüøEç�ë�ìUí²éhømí²é&ç�ëqí²÷£ó�äañ�çLìUäaí²ñüí�ø�é,í+í8� æ�ä��²í�ìUäañ�ð ç�ñ�ê æ�ç�éwìUäWç�ïæ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö ù@ã�äaëlã6ùyèµë�ç�ïaï@æ�ç�éwìUäWç�ï8é,í+í8��æ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö ë�ç�ñ�ñ�í�ìpð²é,í_ù�èrò�æ!í²ñ�èqñRìUäWç�ïaïÊô²õ6e/ñ�+èqë�ìUäaí²ñ kùyè ê�äaå,ëqö�å,å�ìUã�è è�Otëqäaèqñ�ë�ôGí�øyé,í+í8�&æ�ä��²í�ìUäañ�ð^ç�ñ�êÀæ�ç�éwìUäWç�ï�é,í+í8�&æ�ä��²í�ìUäañ�ð^ç�ñ�êÀäañ�+èqë�ìUäaí²ñ Ó ùyèê�èqå,ëqé,äaó!è�ìUã�è�é,èqå,ö�ïÊìUå*í�ø�ñö�÷tèqé,äaë�ç�ï3èrò�æ!èqé,äa÷tèqñRìUå�ö�å,äañ�ð´÷tí+ê�äÊú�ë�çLìUäaí²ñ�å@í�ø�ìUã�è Ô í²éwìUéUç�ñµëqí+ê�è�äañ�"!$#%!'&)(­õ6e/ñ��+èqë�ìUäaí²ñ Ò ùyè^æ�é,èqå,èqñRì´ëqí²ñ�ëqïaö�å,äaí²ñ�å ç�ñ�ê Ö ú�ñ�ç�ïaïÊô Ö äañ�ç�ñ ç�æ�æ!èqñ�ê�ä�ò·ùyè&äañ�ëqïaö�ê�èê�è�ìlç�äaïaå=í�ø�ìUã�è2æ�é,í+í�øºí�ø�ç ïaèq÷t÷´ç�ö�å,èqêµäañ��+èqë�ìUäaí²ñ�S�õ

� pÝ�Ý�����á��!Ý�ÛCáEÚ����ÚºÞ�����Ü_ÛCá����� pÝ�Ý�����á��!Ý�ÛCáEÚ��������Ý�ÜLádÛ��! #"

�iè�ì8ÿ > <A@ ó!è*ìUã�è�ö�æ!ê�çLìUèqê^÷´çLìUé,ä�òtÿ çLì=ìUã�èFJìUãhåwìUèqæ^í�ø × ç�ö�å,å,äWç�ñpèqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñtç�ñ�êhïaè�ì�7?> <A@+ / ó!èäÊìUå�èqñRìUé,äaèqåqõRâ8ã�è8í²ñ�ïÊô£ê�äPcuèqé,èqñ�ëqè8ó!è�ì/ùyèqèqñtìUã�è ��ç�é,äaí²ö�å × ç�ö�å,å,äWç�ñ èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñXç�ïað²í²é,äÊìUã�÷tåºäaå�ìUã�èå,èqïaèqë�ìUäaí²ñpí�øiìUã�è�æ�ä��²í�ì8èqïaèq÷tèqñRì�õ Ô í²é × ç�ö�å,å,äWç�ñpèqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ£ù@äÊìUãhé,í+í8� æ�ä��²í�ìUäañ�ðXùyè�ëlã�í+í²å,è Ö çLìåwìUèqæuJ Ö çtæ�ä��²í�ì¯èqïaèq÷tèqñRì@ìUã�çLì¯ù@äaïaï�ó!èXäañRìUèqé,÷tèqê�äWçLìUè�äañ&å,ä��qèXó!è�ì/ùyèqèqñµìUã�çLì*í�ø�æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ðç�ñ�ê¸ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè­æ�ä��²í�ìUäañ�ð&óRôÀå,è�ç�é,ëlã�äañ�ðµ÷tí²é,è í�ø=ÿ > <A@ ìUã�ç�ñ¾æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ðµç�ñ�ê¾ïaèqå,åXí�øyìUã�ç�ñëqí²÷tæ�ïaè�ìUèXæ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ�â8ã�è­ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷ ��� Ó ømí²é@ìUã�è£å,èqïaèqë�ìUäaí²ñµí�ø4ìUã�è�æ�ä��²í�ì�èqïaèq÷tèqñRì�çLì�åwìUèqæ�J&äañé,í+í8�´æ�ä��²í�ìUäañ�ð äaå%$������Ý�ÜLádÛ��! Ø �'& Ì�(�ÏLÎ4Ë*)�È+)lÇ�ÎEÌ7ÏLÐ-,�Ï/.0.UÏ_Ï*1 & Ì�(�ÏLÎEÌdÐ32 ��iè�ì5476 �aJpç�ñ�ê�8 W � é,í_ù äañ�ê�èròpí�ø�ç£ïWç�é,ð²èqåwì=÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�è*èqñRìUéwôpí²ñhí²é=ó!èqïaí_ù é,í_ù J´äañpëqí²ïaö�÷tñ476�õ.�iè�ì04 W � ìUã�è�ëqí²ïaö�÷tñµäañ�ê�èrò�í�ø�ìUã�è£ïWç�é,ð²èqåwì�÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�è2èqñRìUéwôGçLì�í²é¯é,äað²ãRì�í�ø�ëqí²ïaö�÷tñdJ&äañé,í_ù98 W õ��iè�ì¯ëqí²ñRìUäañö�è � � 476-:�;4 W � Ö E � � Ö ç�ñ�ê\H � Õ õ<@èqæ!è�çLì@ù@ã�äaïaè�ëqí²ñRìUäañö�èXäaå=ìUé,ö�è=$

S

Page 4: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

e\øhH � Õ ïaè�ì 8�+ � W � ìUã�èXé,í_ù äañ�ê�èrò&í�ø4çtïWç�é,ð²èqåwì¯÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�è2èqñRìUéwô&í²ñµí²é¯ó!èqïaí_ù'é,í_ù J^äañëqí²ïaö�÷tñ�4A+\õ��iè�ì@ëqí²ñRìUäañö�è � � 8�+ :�8�+ � W �=ç�ñ�ê\H@� ���èqïaå,è*ïaè�ì 4A+ � W � ìUã�è*ëqí²ïaö�÷tñtäañ�ê�èrò´í�ø�ìUã�è*ïWç�é,ð²èqåwìy÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�è@èqñRìUéwôpçLìyí²é�é,äað²ãRìyí�øiëqí²ïaö�÷tñJhäañ^é,í_ù98�+ � W õ��iè�ì¯ëqí²ñRìUäañö�è � � 4A+ :� 4A+ � W � Ö E �]E��v� Ö ç�ñ�ê H@� Õ õ

â8ã�è���ç�é,äWç�ó�ïaè2ëqí²ñRìUäañö�è�÷£ö�åwì�èK�²èqñRìUö�ç�ïaïÊô^ó!èXøEç�ïaå,è Ö ømí²é¯èrò�ç�÷tæ�ïaè�çLødìUèqé*ç�ïaï�ìUã�è�èqïaèq÷tèqñRìUå*í�ø�ìUã�è� ý � J�� ��@þ � ý � J�� ��@ïaí_ùyèqé*é,äað²ãRì�ã�ç�ñ�êGëqí²é,ñ�èqé�í�ø4ÿ > <A@ ç�é,è£èrò�ç�÷täañ�èqê�õ%!=ì�ìUã�äaå*æ!í²äañRì*äÊø4A+ :� JhäañRìUèqé,ëlã�ç�ñ�ð²è2ëqí²ïaö�÷tñ�å54A+�ç�ñ�êYJhç�ñ�ê&äÊø!8�+ :�aJpäañRìUèqé,ëlã�ç�ñ�ð²è2é,í_ù@å 8�+�ç�ñ�ê`J!õâ8ã�èqé,è�÷´ç�ô^ó!èX÷tí²é,è�ìUã�ç�ñµí²ñ�èXïWç�é,ð²èqåwì¯÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�è2èqñRìUéwô&äañµçté,í_ù í²é¯ëqí²ïaö�÷tñ�õ3e/ñµí²ö�é@äa÷tæ�ïaè M÷tèqñRìlçLìUäaí²ñ�äÊøF0 7 > <A@����� 0 � ømí²é�H � Õ �¯í²éD0 7 > <A@�� ����� 0 � ømí²é�H � ��¯äaå�ç�÷tí²ñ�ðpìUã�è­ïWç�é,ð²èqåwì�èqñRìUé,äaèqå�ùyè ïaè�ì8�+ � W � 8�+ � ømí²é�H � Õ �¯í²é04A+ � W � 4A+ � ømí²é�H �Q��rõuâ8ã�äaå�ù@äaïaïºåwìUí²æ�ìUã�è ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷�ç�å$Lö�äaëA�ïÊôGç�åæ!í²å,å,äaó�ïaè�äañhìUã�è2ë�ç�å,è2í�øºìUäaèqåqõ

�¯í�ìUè^ìUã�çLì´äañ6äa÷tæ�ïaèq÷tèqñRìUäañ�ð�ìUã�èµëqí²ïaö�÷tñ6ç�ñ�ê6é,í_ù�å,è�ç�é,ëlã�èqåpí²ñ�èµê�í+èqåtñ�í�ìpñ�èqèqê6ìUí¸å,è�ç�é,ëlãèqïaèq÷tèqñRìUå¯í�ø�ç�ñRô&é,í_ù í²é¯ëqí²ïaö�÷tñµç�ïaé,è�ç�ê�ôhå,è�ç�é,ëlã�èqê�õuâ8ã�äaå*ë�ç�ñµó!èXäa÷tæ�ïaèq÷tèqñRìUèqê Ö ç�å@ùyè�ê�äaêµäañí²ö�é�äa÷tæ�ïaèq÷tèqñRìlçLìUäaí²ñ Ö ù@äÊìUã¸å,æ�ç�ëqè´ømí²éXåwìUí²éUç�ð²è´í�ø=ì/ùyí�äañRìUèqð²èqé��²èqë�ìUí²é,å£í�ø8ïaèqñ�ð�ìUã·ý�� �²õ3â8ã�èåUç7�+äañ�ð�äañ­å,è�ç�é,ëlã­ìUäa÷tèyäaå�ö�å,ö�ç�ïaïÊô�÷täañ�í²éºå,äañ�ëqè Ö ç�å�ùyè=ù@äaïaï+å,èqè Ö é,í+í8�2æ�ä��²í�ìUäañ�ð*ì/ô+æ�äaë�ç�ïaïÊôXé,è�Lö�äaé,èqåå,è�ç�é,ëlã�äañ�ð �²èqéwôhømè�ù'é,í_ù@å*ç�ñ�ê^ëqí²ïaö�÷tñ�å@çLì@è�ç�ëlãµåwìUèqæ&í�ø × ç�ö�å,å,äWç�ñ^èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ�õ

Ô äañ�ç�ïaïÊôµùyèpå,ã�í²ö�ïaê¸÷tèqñRìUäaí²ñ¾ìUã�çLì�é,í+í8�Gæ�ä��²í�ìUäañ�ð&ù@äaïaï4æ�é,í+ê�ö�ëqèpç&øEç�ë�ìUí²é,ä���çLìUäaí²ñ��2ÿ�� � �ù@ã�èqé,è8ìUã�è8ïWç�é,ð²èqåwì4÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�è=èqñRìUéwô£äañ­è�ç�ëlãté,í_ù6í�ø��üäaå�í²ñ£ìUã�è8ê�äWç�ð²í²ñ�ç�ï7õLâ8ã�èqé,è�ømí²é,è8ùyè8ëqí²ö�ïaêù@é,äÊìUè �2ÿ�� � W�� �� ª ù@ã�èqé,è� W ç�ñ�ê ª ç�é,è*ó!í�ìUã´ö�ñ�äÊìyïaí_ùyèqé�ìUé,äWç�ñ�ð²ö�ïWç�é�ù@äÊìUãpç�ïaï�èqñRìUé,äaèqåyí²ñ�èí²éXå,÷´ç�ïaïaèqé�äañ¸÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�è�õ"e/ñ¸ìUã�äaåXå,èqñ�å,è´ìUã�ètøEç�ë�ìUí²é,ä���çLìUäaí²ñÀæ�é,í+ê�ö�ëqèqê·óRô¾é,í+í8�Gæ�ä��²í�ìUäañ�ð&äaå�çð²èqñ�èqéUç�ïaä���çLìUäaí²ñpí�øºìUã�è� � ���ømí²é8åwô+÷t÷tè�ìUé,äaë�÷´çLìUé,äaëqèqåqõ

× ç�ö�å,å,äWç�ñ^èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ ù@äÊìUã^æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ð­äaå8ñö�÷tèqé,äaë�ç�ïaïÊôtåwìlç�ó�ïaè2ö�ñ�ïaèqå,å8ìUã�è2ð²é,í_ù8ìUãhøEç�ë�ìUí²éäaå�ïWç�é,ð²è Ö ç�å�ùyè8ã�ç7�²è8ñ�í�ìUèqê è�ç�é,ïaäaèqé Ö ç�ñ�ê£ùyè@ë�ç�ñ­÷tí²ñ�äÊìUí²é3ìUã�è=ð²é,í_ù8ìUã­øEç�ë�ìUí²é�ç�å�æ�ç�éwìUäWç�ï+æ�ä��²í�ìUäañ�ðæ�é,í+ëqèqèqê�åqõ Ô í²é�èrò�ç�÷tæ�ïaèyïaè�ì 8 W ç�ñ�ê 4 W ó!èyê�è�ú�ñ�èqêtç�å�äañ !*ïað²í²é,äÊìUã�÷*�²õ Ô í²é�å,í²÷tè�ìUí²ïaèqéUç�ñ�ëqè=â � � Öç�å,å,ö�÷tètìUã�çLì`0 7 > <A@� � � 0 � â � �6þ·÷´çCòK0 78+ /C0�çLì�è�ç�ëlã�åwìUèqæ·í�ø@æ�ç�éwìUäWç�ï4æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ3â8ã�èqñ�äÊì2ømí²ïaïaí_ù@åømé,í²÷ ìUã�è�ê�è�ú�ñ�äÊìUäaí²ñ � �8��ìUã�çLì=ømí²é8æ�ç�éwìUäWç�ï!æ�ä��²í�ìUäañ�ð£ìUã�è�ð²é,í_ù8ìUãhøEç�ë�ìUí²é)� � â � �4õ�ûüäÊìUãpìUã�äaå8äañ÷täañ�ê´ùyè2í²ñ�ïÊôtñ�èqèqê^ìUí­÷tí+ê�äÊødôtæ�ç�éwìUäWç�ï!æ�ä��²í�ìUäañ�ð£äÊø�0 7 > <A@� � � 0Räaå=ïWç�é,ð²è�õ+â8ã�äaå8äaå�ìUã�è�÷tí�ìUä���çLìUäaí²ñtømí²éí²ö�é × ç�ö�å,å,äWç�ñ&èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ ù@äÊìUã^æ�ç�éwìUäWç�ïué,í+í8�pæ�ä��²í�ìUäañ�ð ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷&õ������Ý�ÜLádÛ��! ������á��!Ý�ÛCáEÚ��"��3���+à�ÛCámÝ!Ú��\Ý�Ü��!��Ü_ÛCá�����ÜCÝ�Ý�����á��!Ý�ÛCáEÚ����

e/ñ^ìUã�è2ê�èqå,ëqé,äaæ�ìUäaí²ñ&í�øX!*ïað²í²é,äÊìUã�÷ �Xé,èqæ�ïWç�ëqè�ìUã�èXê�è�ú�ñ�äÊìUäaí²ñ� wëqí²ñRìUäañö�è � � 476 :�;4 W �"!­ù@äÊìUã wëqí²ñRìUäañö�è � � 476-:� 4 W ç�ñ�êt0 7 ><A@� � � 05_6â � �¸þ�÷´çCòK0 78+ /C0 �rõ !

!�é,è�ç�å,í²ñ�ç�ó�ïaè=ëlã�í²äaëqè8í�ø!â � �&äaå�ýpå,äañ�ëqè@ç�ð²é,í_ù8ìUã­øEç�ë�ìUí²é�í�ø!ýpømí²é�æ�ç�éwìUäWç�ï+æ�ä��²í�ìUäañ�ð�ù@äaïaï+æ�é,í8�+äaê�èç�ëqëqèqæ�ìlç�ó�ïaè´ç�ëqëqö�éUç�ë�ô¾äañ¾æ�éUç�ë�ìUäaë�ç�ï4ë�ç�å,èqå�í�ø=äañRìUèqé,èqåwì�õ;e\øyìUã�ètð²é,í_ù8ìUã¾ømí²é2ìUã�ètæ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ðæ!í²éwìUäaí²ñpí�øºìUã�è2ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷1ó!èqëqí²÷tèqå8ð²é,è�çLìUèqé=ìUã�ç�ñ^ý Ö ìUã�è2ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷1åwù@äÊìUëlã�èqå@ìUí­åwìUèqæ�å@í�øºé,í+í8�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ�e/ñ­÷tí²åwì�ë�ç�å,èqå�ìUã�è8ð²é,í_ù8ìUã£øEç�ë�ìUí²éºømí²é�æ�ç�éwìUäWç�ï+æ�ä��²í�ìUäañ�ð*äaå�ïaèqå,å�ìUã�ç�ñ­ýu� Ó+Ö �TR Ö � Õ� ç�ñ�ê­å,íö�å,ö�ç�ïaïÊô æ�ç�éwìUäWç�ï�é,í+í8�­æ�ä��²í�ìUäañ�ðXù@äaïaï�ñ�í�ìyé,è�Lö�äaé,è�ç�ñRôté,í+í8� æ�ä��²í�ìUäañ�ðXåwìUèqæ�åqõ�û¸è*å,ã�í²ö�ïaêp÷tèqñRìUäaí²ñìUã�çLì�ìUã�è=äaê�è�ç�å�÷tí�ìUä���çLìUäañ�ð¯æ�ç�éwìUäWç�ï+é,í+í8�2æ�ä��²í�ìUäañ�ð�ç�é,è=å,äa÷täaïWç�é�ìUí�ìUã�è=äaê�è�ç�å�äañ � S ømí²é�ëqí²÷£ó�äañ�äañ�ðæ�ç�éwìUäWç�ïuæ�ä��²í�ìUäañ�ðtç�ñ�ê&ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ$#¯í_ùyèK�²èqé Ö ç�å8ùyè2ù@äaïaïuå,èqè Ö ç�ñµç�ïað²í²é,äÊìUã�÷;ö�å,äañ�ð é,í+í8�

k

Page 5: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

æ�ä��²í�ìUäañ�ð­å,ã�í²ö�ïaê&ó!è2÷tí²é,è�è�OtëqäaèqñRì@ìUã�ç�ñµç�ñ&ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷;ö�å,äañ�ðtëqí²÷tæ�ïaè�ìUè�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ

� �hÜCÝ�� Û�� � ��à�Û_Ý�Ü��4Ý!ߺںÞ!"� � �Ý�Ü �3 Ø�� Ï/. ýu[ � É�Ð � � J � ý�� È+)�Î� <�� )2Î���) & Ï_Ë�ÌdÎEÌ�(=)�Ë_ÏLÈ��+ÎEÌ7ÏLÐGÎ/Ï

< � � � <T� < V3W � J < i ª� J � �� > < V3W @ i ª

� Ò �

Î���)�ÐGÎ���)�2=.UÏ��4Î��0,qÉÇ�Î/Ï/. ,�Ï/.��@É��RËlË�ÌEÉ�Ð)�È�Ì��­ÌdÐ!É�ÎEÌ7ÏLÐ��4ÌdÎ�� .UÏ_Ï*1 & Ì�(�ÏLÎEÌdÐ32­Ë�É�ÎEÌaËmÍ )lË� � W � � � ª � � � � ¶ � mTmTm � � � U ����� U 9 � b8�

� Ï/. ýu[vS Î��+ÌaË2ÌdÐ ) �!��É�È�ÌdÎ#"tÌaˣɠË�Î .rÌ7Ç�Î�ÌdÐ ) �!��É�È�ÌdÎ#"%$� '&'&�(*) â8ã�èZ��è�ôtìUí+í²ï�äañ´í²ö�é�æ�é,í+í�øuù@äaïaï�ó!è #*ç�ê�ç�÷´ç�é,ê,+ å�äañ�è�Lö�ç�ïaäÊì/ô`��� k 7Ö ù@ã�äaëlã´äaåyç�ïaå,íXìUã�èìUí+í²ï�ö�å,èqê�óRô¾ûüäaï.�äañ�å,í²ñ¾äañ¸ã�äaåXê�èqé,ä���çLìUäaí²ñ ���Tg í�ø=ìUã�è´ó!í²ö�ñ�ê � k ��ømí²é2ìUã�è´ð²é,í_ù8ìUã¸øEç�ë�ìUí²éXí�øëqí²÷tæ�ïaè�ìUè�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ

û¸è4÷´ç�ô�ç�å,å,ö�÷tè�ù@äÊìUã�í²ö�ìiïaí²å,åií�ø+ð²èqñ�èqéUç�ïaäÊì/ô¯ìUã�çLì�ìUã�è�èqñRìUé,äaèqåiäañ�ÿ�ã�ç7�²è�ç�ïaé,è�ç�ê�ô*ó!èqèqñXæ!èqé,÷£ö�ìUèqêå,í@ìUã�çLìºñ�í@ømö�éwìUã�èqé3æ�ä��²í�ìUäañ�ð@äaå3é,è�Lö�äaé,èqêXäañXé,í+í8�*æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ�â8ã�èqñ�ÿ��� ��ù@ã�èqé,è �´äaåiö�ñ�äÊìºïaí_ùyèqéìUé,äWç�ñ�ð²ö�ïWç�é�ç�ñ�ê�-�ö�æ�æ!èqé4ìUé,äWç�ñ�ð²ö�ïWç�éºù@äÊìUã­ìUã�è@æ�é,í²æ!èqéwì/ô­ìUã�çLì�0 23+ /80 � 0 23+ +G0_ømí²é6EG�IH@� �8� �5� mTmTm �Uý�õ!*å,å,ö�÷tè�ìUã�çLì*ìUã�è£èqïaèq÷tèqñRìUå*í�ø�ÿ�ã�ç7�²è£ó!èqèqñGñ�í²é,÷´ç�ïaä��qèqê&å,ípìUã�çLì�÷´çCò,+.- /10 78+ /C0&� �²õ�ûüäÊìUã&ìUã�äaåç�å,å,ö�÷tæ�ìUäaí²ñ�äÊø¯ùyè&ïaè�ì/. +�� 0 23+ + 03ømí²é�E � �8� �5� mTmTm �Uý Ö ùyè^ù@äaå,ã�ìUíÀó!í²ö�ñ�ê ìUã�è^÷´çCò�äa÷£ö�÷ í�ø. + �3E � �8� mTmTm �Uý�õ�iè�ì108+ºó!è�ìUã�è EEìUã&ëqí²ïaö�÷tñ^í�ø �·ç�ñ�ê32=+ºó!è�ìUã�èFEEìUãµé,í_ù'í�ø�- å,í ìUã�çLì¯ÿ��54 U+ 08+62=+\õ Ô í²é8å,í²÷tè7 Ö � � 7 � ý Ö ïaè�ì98��;:Ej<4�%J�� �8� mTmTm � 7=< ó!ètç^å,ö�ó�å,è�ì£í�ø?> �;:,�8� �5� mTmTm �Uý < ç�ñ�ê¾ïaè�ìA@&ó!èìUã�èpý � 7 äañRìUèqð²èqé,å£äañ � ó�ö�ì­ñ�í�ì­äañ elõ�â8ã�èqñB4 +DCFE 0C+62=+ ��ÿ � 4 /GCIH 0/G2r/��KJ´õ �iè�ì �s� ��ç�ñ�ê �J�ó!è¯ìUã�è�å,ö�ó�÷´çLìUé,ä�òtù@äÊìUãpé,í_ù@å8ç�ñ�êpëqí²ïaö�÷tñ�åyäañDe4í�ø Ö é,èqå,æ!èqë�ìUä��²èqïÊô Ö � Ö - Ö ç�ñ�ê^î*õ5e\ìyìUã�èqñømí²ïaïaí_ù@å2ìUã�çLì �J � � �� ù@ã�èqé,è � äaåXö�ñ�äÊì£ïaí_ùyèqéXìUé,äWç�ñ�ð²ö�ïWç�é Ö �� äaå�ö�æ�æ!èqé�ìUé,äWç�ñ�ð²ö�ïWç�é�ù@äÊìUã Ö ømí²éJ%�,H@� �8� mTmTm � 7 Ö 0 �2f<I/40 � 0 �2f<l<C0F�L. � ù@ã�èqé,è08�äaåyìUã�èFJìUã^å,÷´ç�ïaïaèqåwìyäañRìUèqð²èqé=äañ e@õ?e/ñ&ç�ê�ê�äÊìUäaí²ñtùyè�ñ�í_ù ìUã�çLì@ìUã�è�÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�è�í�ø�è�ç�ëlã�èqïaèq÷tèqñRì¯äañ �J äaå@ïaèqå,å@ìUã�ç�ñµí²é@è�Lö�ç�ï3ìUí�� � 4 /GCIH .,/�å,äañ�ëqèìUã�èXç�ó�å,í²ïaö�ìUè���ç�ïaö�è�í�ø�è�ç�ëlãµèqïaèq÷tèqñRì@äañM2r/*äaå8ïaèqå,å8ìUã�ç�ñ&í²é8è�Lö�ç�ï�ìUíN.,/�õû¸è2ñ�í_ù ç�æ�æ�ïÊô #*ç�ê�ç�÷´ç�é,ê,+ å8äañ�è�Lö�ç�ïaäÊì/ôd��� k ìUí �J�ìUítð²è�ì

0"ê�è�ì � �J��T0 � OP<GQ W R � JìUã^ëqí²ïaö�÷tñ^í�ø �J �TS �VUW 7 Wji ª9XY � �[Z/GCIH .,/ \]_^` O 9 � RC�

Ó

Page 6: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

�+äañ�ëqè2ê�è�ì � �J�� � ê�è�ì � ��F�yùyèX÷´ç�ôpëqí²ñ�ëqïaö�ê�è2ømí²é@ç�ñRô^å,ö�ó�å,è�ì$eyí�ø :,�8� �5� mTmTm �Uý < ç�ñ�ê&äÊìUå8ëqí²÷tæ�ïaè M÷tèqñRì*@£ìUã�çLì

P+DCFE . + �VUW 7 Wji ªAXY � � Z/GCIH .,/G\]?^` O9 � gC�

â8ã�è´è�Lö�çLìUäaí²ñ � gC��ïaè�ç�ê�å2ìUíd� U äañ�è�Lö�ç�ïaäÊìUäaèqå Ö í²ñ�è ømí²éXè�ç�ëlã·å,ö�ó�å,è�ì­í�ø5�Xõiû¸ètù@äaïaï4å,èqïaèqë�ì£ý í�øìUã�èqå,èXømí²é8ù@ã�äaëlã&ùyè�ë�ç�ñ&ú�ñ�êGç�ñ&èrò�æ�ïaäaëqäÊì8ømí²é,÷£ö�ïWç£ømí²é8ìUã�è�å,í²ïaö�ìUäaí²ñ Ö ö�ñ�ê�èqé¯ìUã�èqå,è�ëqí²ñ�åwìUéUç�äañRìUå Öømí²é@ìUã�è�÷´çCò�äa÷£ö�÷ í�ø,. +I�3E � �8� mTmTm �Uý�õ�âºípê�ítìUã�äaå¯ëqí²ñ�å,äaê�èqé¯ìUã�è�÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�èqå¯í�ø�ìUã�è�ê�äWç�ð²í²ñ�ç�ïèqñRìUé,äaèqå 0 23+ + 0 � . +�ç�ñ�ê í²é,ê�èqétìUã�èq÷ å,í¸ìUã�çLìA. + � [ . + � [ mTmTm [ . +

�õ Ô í²é`� � 7 � ý ïaè�ì8 O �5:E W �lE ª � mTmTm �lE O < õ�â8ã�èqñµóRô � gC��ùyèXã�ç7�²èOP<GQ W . + � �VUW 7 Wji ªAXY � � UZ<GQ O � W . + � \] ^` O ømí²é 7 � �8� �5� mTmTm �Uý 9 � � Õ �

ù@ã�èqé,è_. + � [ . + � [ mTmTm [ . +� 9

âºí2ú�ñ�ê ìUã�è@÷´çCò�äa÷£ö�÷ í�ø�. + �3E � �8� mTmTm �Uý^í²é�ìUã�è¯÷´çCò�äa÷£ö�÷ í�ø�. + � ö�ñ�ê�èqé4ìUã�è@ëqí²ñ�åwìUéUç�äañRìUå � � Õ �ùyè­ë�ç�ñGé,èqñö�÷£ó!èqé*ìUã�è£äañ�ê�äaëqèqå Ö ù@äÊìUã�í²ö�ì�ïaí²å,å*í�ø�ð²èqñ�èqéUç�ïaäÊì/ô Ö å,í´ìUã�çLì1. W [[. ª [ mTmTm [ . U ç�ñ�êö�å,è2ìUã�è�ømí²ïaïaí_ù@äañ�ð�é,èqå,ö�ïÊì@ù@ã�í²å,èXæ�é,í+í�øºäaå@äañpìUã�èF!*æ�æ!èqñ�ê�ä�òuõ� �3 # � ��� ��) (LÉ�È���)hÏ , Î���)��tÉ��²Ì�� ��� Ï , . W Ë � � )lÇ�ίÎ/Ï&Î���)hÇlÏLÐ�Ë�Î .,É�ÌdÐ�ÎdË . W [ . ª [ mTmTm [. U [ Õ�É�Ð OP+ Q W . + �VUW 7 Wji ª9XY � � UZ+ Q O � W . +D\]_^` O ,�Ï/. 7 � �8� �5� mTmTm �Uý � �8��

ÌaË*ÉÇG�+Ì ) (=) ­ÏLÐ�È�"N� ��)�Ð^É�ÈdÈ�Î���)¯ÌdÐ ) �!��É�È�ÌdÎEÌ )lË8ÌdÐ��� � ���É=. )�) �!��É�È�ÌdÎEÌ )lËF$ � ��)5(LÉ�È���)�Ï ,8Î���) �tÉ��²Ì�� ���ÌaË � U )mÍ�Ð )  ÌdÐ������%$�+äañ�ëqèpìUã�è^äañ�è�Lö�ç�ïaäÊìUäaèqå � � Õ ��ç�é,èhñ�èqëqèqå,åUç�éwô ëqí²ñ�ê�äÊìUäaí²ñ�å£í²ñ�ìUã�èh÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�èqå­í�ø¯ìUã�èhê�äWç�ð²í²ñ�ç�ïèqñRìUé,äaèqå8í�ø - ìUã�è�ð²é,í_ù8ìUãhøEç�ë�ìUí²éyømí²é × ç�ö�å,å,äWç�ñhèqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ­ù@äÊìUãhé,í+í8�tæ�ä��²í�ìUäañ�ð£äaå=ïaèqå,å=ìUã�ç�ñhí²éè�Lö�ç�ï�ìUí3� U õ �+äañ�ëqè´è�Lö�ç�ïaäÊì/ôÀäañ #*ç�ê�ç�÷´ç�é,ê,+ å�äañ�è�Lö�ç�ïaäÊì/ô � RC��äaå�ñ�í�ì£ç�ëlã�äaèK�²èqê�ømí²é 7 � S�ç�ñ�êí�ìUã�èqéI��ç�ïaö�èqå8í�ø 7 ��� k 7Ö è�Lö�ç�ïaäÊì/ôhäañ � b8�=ë�ç�ñ^ñ�í�ì¯ó!èXç�ëlã�äaèK�²èqê&ømí²é8ýd[]S�õ��

e\ì�äaå�è�ç�åwôµìUíhå,í²ï��²è�ìUã�è­è�Lö�çLìUäaí²ñ � Ò �¯ñö�÷tèqé,äaë�ç�ïaïÊô&ç�ñ�êGå,ípùyè ë�ç�ñGë�ç�ïaëqö�ïWçLìUèXìUã�è£ó!í²ö�ñ�ê�å � b8�rõ-¯å,äañ�ð � SC� Ö � Ò � Ö � b8�2ç�ñ�ê¾ìUã�ètïaè�ødìU÷tí²åwì2ó!í²ö�ñ�ê¸äañ � k ��ùyè´í²ó�ìlç�äañ Ô äað²ö�é,è � ù@ã�äaëlã·å,ã�í_ù@åXìUã�çLìí²ö�é*ó!í²ö�ñ�ê�ømí²é¯ìUã�è�ð²é,í_ù8ìUã�øEç�ë�ìUí²é*äañµé,í+í8�^æ�ä��²í�ìUäañ�ð´äaå*÷´ç�ñRô&í²é,ê�èqé,å�í�ø�÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�èXïaèqå,å*ìUã�ç�ñìUã�è2ó!í²ö�ñ�ê^ømí²é8æ�ç�éwìUäWç�ïuæ�ä��²í�ìUäañ�ðtç�ñ�ê^äaå8ïWç�é,ð²èqé=ìUã�ç�ñhìUã�è2ó!í²ö�ñ�ê^ømí²é8ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ

!*ëqëqí²é,ê�äañ�ð¯ìUí¯â8ã�èqí²é,èq÷Q��ìUã�èyó!í²ö�ñ�ê�äañ � b8�ië�ç�ñ�ñ�í�ì�ó!èyç�ëlã�äaèK�²èqê£ømí²éºç�ñRôXýu[vS�õ=��ö�é3ñö�÷tèqé,äaë�ç�ïèrò�æ!èqé,äa÷tèqñRìUå£äañ �+èqë�ìUäaí²ñ Ó å,ö�ð²ð²èqåwì£ìUã�çLì�ìUã�è´÷´çCò�äa÷£ö�÷ ð²é,í_ù8ìUã·øEç�ë�ìUí²é2ømí²é�é,í+í8�Àæ�ä��²í�ìUäañ�ð&äaå

Ò

Page 7: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

0 50 10010

0

102

104

106

108

Gro

wth

fact

or b

ound

s

Matrix dimension0 500 1000

100

105

1010

1015

1020

Gro

wth

fact

or b

ound

s

Matrix dimensionÔ äað²ö�é,è �²õ�îyí²ö�ñ�ê�å@í²ñ^ìUã�è2ð²é,í_ù8ìUã^øEç�ë�ìUí²é=ømí²é8ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè�æ�ä��²í�ìUäañ�ð � å,í²ïaäaêf� Ö é,í+í8�´æ�ä��²í�ìUäañ�ð� ê�ç�å,ã�èqåA�@ç�ñ�ê&æ�ç�éwìUäWç�ïuæ�ä��²í�ìUäañ�ð � ê�ç�å,ã5M/ê�í�ìUåA�rõ÷£ö�ëlã´å,÷´ç�ïaïaèqé�ìUã�ç�ñ ìUã�è¯ó!í²ö�ñ�ê � b8�rõ Ô í²é�ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè8æ�ä��²í�ìUäañ�ð�ìUã�è¯ó!í²ö�ñ�ê�å � k �4ç�ïaå,íXç�æ�æ!è�ç�é4ìUíXó!è÷£ö�ëlã^ïWç�é,ð²èqé�ìUã�ç�ñhìUã�è�ç�ë�ìUö�ç�ï�ð²é,í_ù8ìUãhøEç�ë�ìUí²é�ømí²é8ç�ñRôp÷´çLìUé,ä�òuõ5e/ñ�ê�èqèqê^ìUã�è�ê�èqé,ä���çLìUäaí²ñpí�ø3å,ã�ç�é,æö�æ�æ!èqé�ó!í²ö�ñ�ê�åºømí²é�ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè�æ�ä��²í�ìUäañ�ð¯ã�ç�å�ó!èqèqñ ç�ñ�í²æ!èqñ Lö�èqåwìUäaí²ñ£ìUã�çLì�÷´ç�ñRô2÷´çLìUã�èq÷´çLìUäaëqäWç�ñ�åã�ç7�²è2ùyí²éG��èqêµí²ñ ���� õû¸è8ë�ç�ñ­ö�å,è8â8ã�èqí²é,èq÷ �=ìUí�í²ó�ìlç�äañ­ç�ñ­èrò�æ�ïaäaëqäÊì�ó!í²ö�ñ�ê­ømí²éºìUã�è8ð²é,í_ù8ìUã­øEç�ë�ìUí²éºømí²é�é,í+í8�Xæ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ� � �Ý�Ü �3 � � Ï/. ý*[ � Î���)�2=.UÏ��4Î���,qÉÇ�Î/Ï/.�,�Ï/. �@É��RËlË�ÌEÉ�Ð;)�È�Ì��­ÌdÐ!É�ÎEÌ7ÏLÐB�4ÌdÎ���.UÏ_Ï*1 & Ì�(�ÏLÎEÌdÐ32Ë�É�ÎEÌaËmÍ )lË � � �%$� '&'&�(*) !6ê�äaé,èqë�ì4ëqí²÷tæ�ö�ìlçLìUäaí²ñXí�ø�ìUã�è=å,í²ïaö�ìUäaí²ñXìUí � Ò �ºç�ñ�ê � b8�3å,ã�í_ù@å�ìUã�çLì � U � � 9 Ó ý ¶ o p > U @ ijqømí²é8ý��a�TR�õ�û¸è2÷´ç�ô´ìUã�èqé,è�ømí²é,èXç�å,å,ö�÷tè�ìUã�çLì¯ýu[ �TR�õû¸è8ù@äaïaï+ú�é,åwì�å,ã�í_ù6ìUã�çLì4ømí²é4ýu[ �TR Ö U � ¶ o p,Uª U õRâºí2ê�í2å,í2ùyè8ù@äaïaï�ö�å,è8ìUã�è@é,èqå,ö�ïÊì4ømé,í²÷ ë�ç�ïaëqö�ïaö�å

� � � ý�� ª B8�8� è U�� � � � ��� �IU � è U�� 9 � ��8�

:�è�ú�ñ�è*. U � � �J�� � � �� � U�V3W � ý UTi ª�B � ý � �� > U�V3W @ i ª_õ e\ì�äaå�è�ç�åwôµìUíhå,èqè£ìUã�çLì�ømí²é���[ Õ�Ö . U � � �äaå£ç�ñ·äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ð&ømö�ñ�ë�ìUäaí²ñ·í�ø�� ç�ñ�ê¸ìUã�çLì . U � Õ � � Õ õºâ8ã�èqé,è�ømí²é,è´ìUã�èqé,èpäaå£çµö�ñ�ä.Lö�èpæ!í²å,äÊìUä��²èå,í²ïaö�ìUäaí²ñ ìUí . U � � � � Õ õ+î�ô � ��8� Ö . U � � �)[�� � � ��� � V3W � � � ý�� ª B8�8� è U�� � ý Wji ª è Wji ª ç�ñ�êtìUã�èqé,è�ømí²é,è

. U � S4ïañ=ý�Lý�� [�� � 9 Ó ïañ=ý� �v� 9 Ó ïañ � ý"�GBLý� � � g4ïañ ª ýR�ý�� � è Wji ª�� ýhWji ª 9 � �TSC�

�+äañ�ëqè Ö ømí²é�ý _ Õ�Ö ïañ=ý�ç�ñ�êÀý Wji ª�ç�é,è­äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ð^ç�ñ�ê Ö ømí²é�ý _ è ª Ö ïañ � ý"�GBLý�ç�ñ�êGïañ � ý"�GBLýuªXç�é,èê�èqëqé,è�ç�å,äañ�ð´äÊì@ømí²ïaïaí_ù@å8ìUã�çLì¯ømí²é@ý _ è ª ìUã�è�é,äað²ãRì¯ã�ç�ñ�êµå,äaê�èXí�ø � �TSC�=äaå¯ç�ñµäañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ð ømö�ñ�ë�ìUäaí²ñí�øyý�õ�!1ë�ç�ïaëqö�ïWçLìUäaí²ñ�å,ã�í_ù@å2ìUã�çLìXçLì2ý � �TRpìUã�äaå�é,äað²ãRì�ã�ç�ñ�êÀå,äaê�è äaå�æ!í²å,äÊìUä��²è�õ�â8ã�èqé,è�ømí²é,è Ö ømí²éýu[ �TR Ö . U � ¶ o p,Uª U �)_ Õ õ��+äañ�ëqè?. U � U � � Õ ùyèX÷´ç�ôpëqí²ñ�ëqïaö�ê�è�ìUã�çLì U � ¶ o pCUª U õ

b

Page 8: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

Ô é,í²÷ � b8� � U � W�� U <GQ W � � � < � � � U <GQ W � � � < �rõ�â8ã�èqé,è�ømí²é,èïañ � � U � � W��Z<GQ W ïañ � � � < � � UZ<GQ W�� ïañ � � � <T� �

W��Z<GQ W ïañ � � � <T� � UZ<GQ W�� <�W��Z<GQ W ïañ � � � <T� � UZ<GQ W��

S4ïañsJ�8J �

W��Z<GQ W ïañ � � � <T� � U�<GQ W��

S4ïañ'J�8J êfJ

� W��Z<GQ W ïañ � � � <T� � S4ïañ ª � ý"� � S4ïañ ª � �TRC�k

�+í Ö ømí²é ý*[ �TR Ö � U � � W�� W��<GQ W � � � <T�3B)�TR ¶ o p > W�� @ ijq ý ¶ o p > U @ ijU � 9 Ò b4g4ý ¶ o p > U@ ijU ù@ã�èqé,è&ìUã�è

øEç�ë�ìUí²é�õ Ò b4g­ëqí²÷tèqå8ømé,í²÷ ç­ê�äaé,èqë�ì¯ë�ç�ïaëqö�ïWçLìUäaí²ñ�õ �

e\ì�ømí²ïaïaí_ù@å@ømé,í²÷-â8ã�èqí²é,èq÷ S´ìUã�çLì Ö ømí²é�ïWç�é,ð²èXý Ö ìUã�è­ð²é,í_ù8ìUã�øEç�ë�ìUí²é¯ømí²é*é,í+í8�&æ�ä��²í�ìUäañ�ð´äaå�÷tí²é,èå,ïaí_ù@ïÊô¸ð²é,í_ù@äañ�ð�ìUã�ç�ñ�ç�ñRô¸ømö�ñ�ë�ìUäaí²ñ�í�ø@ìUã�è´ømí²é,÷ 7,^ U ømí²é�7 _ Õ ç�ñ�ê ^`_ �²õ�â8ã�èhømí²ïaïaí_ù@äañ�ðìUã�èqí²é,èq÷ å,ã�í_ù@å¯ìUã�çLì8ìUã�äaå8äaå@ç�ïaå,í­ìUé,ö�è2í�ø�æ�ç�éwìUäWç�ïué,í+í8�´æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ� � �Ý�Ü �3 �� � Ï/. �� [ � Î���)�2=.UÏ��4Î�� ,qÉÇ�Î/Ï/. ,�Ï/. & É=.rÎEÌEÉ�È .UÏ_Ï*1 & Ì�(�ÏLÎEÌdÐ32­Ë�É�ÎEÌaËmÍ )lË

� � ý � �� � � U � � 9 Ó ý � �� � ý ¶ o p > U @ ijq � � k �

� '&'&�(*) û¸èt÷´ç�ô¸ç�å,å,ö�÷tè ù@äÊìUã�í²ö�ì�ïaí²å,åXí�ø8ð²èqñ�èqéUç�ïaäÊì/ôGìUã�çLìXìUã�ètèqñRìUé,äaèqå�í�ø8ÿ � � ã�ç7�²èç�ïaé,è�ç�ê�ôµó!èqèqñ¾æ!èqé,÷£ö�ìUèqêÀå,íhìUã�çLì�ñ�íhømö�éwìUã�èqé�æ�ä��²í�ìUäañ�ðpäaå�é,è�Lö�äaé,èqêGømí²é�æ�ç�éwìUäWç�ï�é,í+í8�&æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ!*ïaå,íhç�å,å,ö�÷tè�ìUã�çLì�ìUã�è£èqïaèq÷tèqñRìUå�í�ø�ÿ ã�ç7�²è­ó!èqèqñÀñ�í²é,÷´ç�ïaä��qèqê&å,ípìUã�çLì�÷´çCò5+ /10 78+ /C0&�Q�²õ �iè�ì9@ó!è­ìUã�è å,è�ìXí�øyé,í_ù�äañ�ê�äaëqèqå�ù@ã�èqé,è Ö äañÀæ�ç�éwìUäWç�ï�é,í+í8��æ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö 0 7 > <A@� � � 0 � â � � þ¾÷´çCòK0 78+ /C0!ç�ñ�êïaè�ì e�ó!è ìUã�ètå,è�ì£í�ø8é,í_ù1äañ�ê�äaëqèqå2ù@ã�èqé,ètìUã�äaåXäaå2ñ�í�ìXìUé,ö�è�õ;e\ø=ìUã�ètñö�÷£ó!èqé�í�ø=äañ�ê�äaëqèqå 7 äañ�e�äaå�qèqé,í­ìUã�èqñ^ëqïaè�ç�é,ïÊô ìUã�è�ìUã�èqí²é,èq÷ äaå�ìUé,ö�è�õ��+ö�æ�æ!í²å,è�ìUã�çLì 7 [ �²õ -¯å,äañ�ð£ìUã�è�ñ�í�ìlçLìUäaí²ñpäañRìUé,í+ê�ö�ëqèqêäañhìUã�è2æ�é,í+í�ø�í�ø�â8ã�èqí²é,èq÷ � Ö äÊì8ømí²ïaïaí_ù@åyìUã�çLì �J � � �� ù@ã�èqé,è �6äaå8ö�ñ�äÊì@ïaí_ùyèqé8ìUé,äWç�ñ�ð²ö�ïWç�é Ö �� äaåö�æ�æ!èqé�ìUé,äWç�ñ�ð²ö�ïWç�é*ù@äÊìUã 0 �23+ /80 � 0 �23+ + 0�ømí²é�EG�5H � �8� mTmTm � 7 ç�ñ�ê �J�äaå�ìUã�è å,ö�ó�÷´çLìUé,ä�òGù@äÊìUãÀé,í_ù@åç�ñ�ê�ëqí²ïaö�÷tñ�åXäañ e2í�ø_J � ÿ � 4 /GCIH 0/G2r/^õ�â8ã�èp÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�ètí�ø@è�ç�ëlã�èqïaèq÷tèqñRì­äañ �J$äaå�ïaèqå,åìUã�ç�ñGí²é*è�Lö�ç�ï�ìUíY� � 4 /GCIH â � � � ýuâ � ��å,äañ�ëqèD� � â � � ç�ñ�ê�ìUã�è­ç�ó�å,í²ïaö�ìUè ��ç�ïaö�è�í�ø�è�ç�ëlãèqïaèq÷tèqñRì¯äañ32r/�äaå8ïaèqå,å@ìUã�ç�ñµí²é@è�Lö�ç�ïiìUítâ � �4õ �¯í_ù � ç�ñ�ê �� ëqí²é,é,èqå,æ!í²ñ�ê&ìUí´ç é,í+í8�pæ�ä��²í�ìUäañ�ðøEç�ë�ìUí²é,ä���çLìUäaí²ñpí�ø �J ç�ñ�ê^ìUã�è2é,èqå,ö�ïÊì8ømí²ïaïaí_ù@å=ømé,í²÷ â8ã�èqí²é,èq÷ �Xç�ñ�ê&â8ã�èqí²é,èq÷ S�õ��

� �� �àRá��+Úºà��

Ô í²é8é,í+í8�pæ�ä��²í�ìUäañ�ð­ìUító!èXè�OtëqäaèqñRì*äÊì@äaå@èqå,å,èqñRìUäWç�ïiìUã�çLì¯í²ñ�ïÊô^ç­ømè�ù é,í_ù@å*ç�ñ�ê&ëqí²ïaö�÷tñ�å@í�ø�ÿ ó!èå,è�ç�é,ëlã�èqêhçLì�è�ç�ëlãtåwìUèqæ´í�ø × ç�ö�å,å,äWç�ñ èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ�õCâ8ã�è@ømí²ïaïaí_ù@äañ�ð*ìUã�èqí²é,èq÷1å,ö�ð²ð²èqåwìUå�ù@ãRô­ìUã�äaå4äaåìUé,ö�è�õRâ8ã�è8ìUã�èqí²é,èq÷�äaå�ç�ð²èqñ�èqéUç�ïaä���çLìUäaí²ñ£í�ø�ç�é,èqå,ö�ïÊì�äañ���� Ò� ù@ã�äaëlãté,è�Lö�äaé,èqå4ìUã�è@÷tí²é,è8é,èqåwìUé,äaë�ìUä��²èç�å,å,ö�÷tæ�ìUäaí²ñhìUã�çLì8ìUã�è2èqïaèq÷tèqñRìUå@í�ø�ÿ ëqí²÷tè�ømé,í²÷�ç­ö�ñ�äÊømí²é,÷ ê�äaåwìUé,äaó�ö�ìUäaí²ñ�õ

R

Page 9: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

� � �Ý�Ü �3 �� Ä*Î�Ë�Î ) & J Ï , �@É��RËlË�ÌEÉ�Ð )�È�Ì��­ÌdÐ!É�ÎEÌ7ÏLÐ­Ì ,�Î���)5)�È+) ��)�Ð�ÎdË8Ï ,�Î���) � ý � J�����²þ � ý � J�����Ë � � �tÉ�Î .rÌ �GÌdÐ�Î���)pÈaÏ�� ) . .rÌ 2I�+Î_��É�ÐÀÇlÏ/.rÐ ) .hÏ , ÿ > <A@ É=. )´ÌdÐ ) & )�Ð )�Ð�ίÌ# )�Ð�ÎEÌ7ÇUÉ�ÈdÈ�"��ÌaË�Î .rÌ � �+Î ) .,É�ÐÏ�� (LÉ=.rÌEÉ � È+)lË ,7.UÏ�� É�Ð "GÇlÏLÐ�ÎEÌdÐ ��Ï��RË & .UÏ � É � ÌdÈ�ÌdÎ#" �ÌaË�Î .rÌ � �+ÎEÌ7ÏLÐ�Î���)�Ð�Î���)�) � & )lÇ�Î ) &Ð ��� � ) .Ï ,£ÇlÏ�� & É=.rÌaË_ÏLÐ�Ë�ÌdÐ&Ë�Î ) & J Ï , .UÏ_Ï*1 & Ì�(�ÏLÎEÌdÐ32tÌaËXÈ+)lËlË2Î���É�иÏ/. ) �!��É�È�Î/Ï � ý � J � è $� '&'&�(*) �iè�ì � � � � ý � J �t�� � ��ç�ñ�êhïaè�ì�� Ö � � � ��� Ö é,èqæ�é,èqå,èqñRì8ìUã�è*ñö�÷£ó!èqé=í�øié,í_ù@å=í²éëqí²ïaö�÷tñ�å8å,è�ç�é,ëlã�èqêµäañhÿ > <A@ õ��+ö�æ�æ!í²å,è�ìUã�çLì8ùyè2å,è�ç�é,ëlãµëqí²ïaö�÷tñ 476 � J Ö é,í_ù 8 W Ö ëqí²ïaö�÷tñ 4 W Ö é,í_ù8 ª Ö mTmTm Ö é,í_ù�8�� i ª � äÊø��8äaå4èK�²èqñf�4í²é4ëqí²ïaö�÷tñ 4 > � V3W @ i ª � äÊø��8äaå4í+ê�êf�rõ8e\ø�E � �8äaå4èK�²èqñ´ïaè�ì �3+!è�Lö�ç�ï�ìUã�è÷´çCò�äa÷£ö�÷ ÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�è�í�ø�ìUã�è8èqïaèq÷tèqñRìUå�äañ£é,í_ù�8�+ i ª í�ø�ÿ >

<A@ ìUã�çLì�ç�é,è=ïaè�ødì�í�ø�í²é�í²ñ£ëqí²ïaö�÷tñ�J£ç�ñ�êç�é,è¯ñ�í�ì�äañ ìUã�è¯ëqí²ïaö�÷tñ�å � 476T� 4 ª � mTmTm � 4A+ i ª ��æ�é,èK�+äaí²ö�å,ïÊô å,è�ç�é,ëlã�èqê�õ?e\ø�E � �¯äaå�í+ê�ê´ïaè�ì �3+uè�Lö�ç�ï�ìUã�è÷´çCò�äa÷£ö�÷ ÷´ç�ð²ñ�äÊìUö�ê�è�í�ø�ìUã�è=èqïaèq÷tèqñRìUå�äañ£ëqí²ïaö�÷tñ 4 > + V3W @ i ª ìUã�çLì�ç�é,è=í²ñ­í²é�ó!èqïaí_ù é,í_ù�J£ç�ñ�ê ç�é,èñ�í�ìyäañ ìUã�è*é,í_ù@å � 8 W � 8 ª � mTmTm � 8 > + V3W @ i ª ��ç�ïaé,è�ç�ê�ô­å,è�ç�é,ëlã�èqê�õ�â8ã�èqñ´ømí²é=E � �8� �5� mTmTm ���@ìUã�è �3+ + å�ømí²é,÷ç�å,è�ì�í�ø!ëqí²ñRìUäañö�í²ö�å Ö äañ�ê�èqæ!èqñ�ê�èqñRì � å,äañ�ëqè=ìUã�è8å,è�ìUå4í�ø!èqïaèq÷tèqñRìUå�í�ø!ÿ > <A@ å,è�ç�é,ëlã�èqê ømí²é�è�ç�ëlã �3+!ç�é,èê�äaå,í²äañRì ��éUç�ñ�ê�í²÷ ��ç�é,äWç�ó�ïaèqåqõ��iè�ì��h+ � � ��ó!è ìUã�ètëqö�÷£ö�ïWçLìUä��²ètæ�é,í²ó�ç�ó�äaïaäÊì/ôµømö�ñ�ë�ìUäaí²ñÀømí²é �3+8ç�ñ�êïaè�ì��8+ � � �yó!è�ìUã�è�ê�èqñ�å,äÊì/ôpømö�ñ�ë�ìUäaí²ñ^í�ø �3+/õ��+äañ�ëqè�ìUã�è�ñö�÷£ó!èqé@í�øºèqïaèq÷tèqñRìUå8å,è�ç�é,ëlã�èqê&ømí²é8è�ç�ëlã �3+äaå�ñ�í²ñ�äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ð�ç�å=Eºäañ�ëqé,è�ç�å,èqå=ç�ñ�ê´å,äañ�ëqè@ìUã�è¯èqïaèq÷tèqñRìUå�í�ø�ÿ > <A@ ç�é,è*ç�å,å,ö�÷tèqêtìUí�äañ�ê�èqæ!èqñ�ê�èqñRì Öäaê�èqñRìUäaë�ç�ïaïÊôhê�äaåwìUé,äaó�ö�ìUèqê�äÊì*ømí²ïaïaí_ù@å@ìUã�çLì*ømí²é�ç�ñRô � Ö � W � � � � � ª � � � � mTmTm � � � � � �rõ.�iè�ì � � ó!èìUã�è´æ�é,í²ó�ç�ó�äaïaäÊì/ô�ìUã�çLì�èrò�ç�ë�ìUïÊô �té,í_ù@å­ç�ñ�ê·ëqí²ïaö�÷tñ�åXí�ø8ÿ > <A@ ç�é,è´å,è�ç�é,ëlã�èqê�çLì£åwìUèqætJ¾í�ø8é,í+í8�æ�ä��²í�ìUäañ�ð&ç�ñ�ê¾ïaè�ì Ö ømí²é�� ��� � � Ö � � �D[ � ��ó!è­ìUã�ètæ�é,í²ó�ç�ó�äaïaäÊì/ô&ìUã�çLì � í²é�÷tí²é,è­é,í_ù@åXí²éëqí²ïaö�÷tñ�å�ç�é,è¯å,è�ç�é,ëlã�èqê�õ��¯í_ù � � ��[ �� ��� � ��[]�8� � �*ç�ñ�ê Ö ømí²é � []� Ö ìUã�è¯æ�é,í²ó�ç�ó�äaïaäÊì/ô�ìUã�çLì� í²é�÷tí²é,è@é,í_ù@åyí²é�ëqí²ïaö�÷tñ�å�ç�é,è¯å,è�ç�é,ëlã�èqêhäaå�è�Lö�ä���ç�ïaèqñRì�ìUí � W �� ª � mTmTm � ��� V3W õâ8ã�èqé,è�ømí²é,è

� � ��[ � �����6

����� ��6mTmTm ����6

� ��6

� V3WP+ Q W �8+ � �3+ �=ê � W ê � ª mTmTm ê ��� V3W���6

����� ��6mTmTm ����6� W � � ª � � V3WP+ Q ª �8+ � �3+ �8ê � ª mTmTm ê ��� V3W

���6

����� ��6mTmTm ����6� ª � � ª � � V3WP+ Q ¶ �8+ � �3+ �"� � ª � � ª ��ê � ª ê � ¶ mTmTm ê ��� V3W� mTmTm

���6

��� � �8���

� ��� V3W � ��� V3W � � V ª ��� V3W � ��� V3W �=ê ��� V3W � ��� � ���� 9

û¸èX÷´ç�ôhëqí²ñ�ëqïaö�ê�è�ìUã�çLì@ømí²éF� ��� � � Ö 4��� Q�� � � � �B � � � ����Êõ �+ö�÷t÷täañ�ð ç�ñ�ê&é,è�ç�é,éUç�ñ�ð²äañ�ðìUã�èqå,èXè�Lö�çLìUäaí²ñ�å8ùyè2ð²è�ì�Z��Q W

�Z� Q�� � � � �Z

� Q W �7� � ��Z��Q W

��� � ����

� è 9â8ã�èqé,è�ømí²é,è�ìUã�è�èrò�æ!èqë�ìUèqê ��ç�ïaö�è*í�ø�� Ö ìUã�è�ñö�÷£ó!èqé8í�ø3é,í_ù@å@ç�ñ�êhëqí²ïaö�÷tñ�å=å,è�ç�é,ëlã�èqê Ö äaå=ïaèqå,åyìUã�ç�ñè õ�â8ã�è­ìUã�èqí²é,èq÷5ømí²ïaïaí_ù@å�å,äañ�ëqè Ö çLì2åwìUèqæ J�í�ø × ç�ö�å,å,äWç�ñÀèqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ^ù@äÊìUãGé,í+í8�µæ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö í²ñ�èë�ç�ñ&å,è�ç�é,ëlã���é,í_ù@å*ç�ñ�ê^ëqí²ïaö�÷tñ�å Ö ù@äÊìUã�� � ý � J �=í²é=ømè�ùyèqé¯ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�åqõ��

g

Page 10: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

e\ø8ìUã�èpç�å,å,ö�÷tæ�ìUäaí²ñ�å�í�ø@â8ã�èqí²é,èq÷ Ó ç�é,ètìUé,ö�è´äÊìXømí²ïaïaí_ù@å2ìUã�çLì�ìUã�è´èrò�æ!èqë�ìUèqê�ñö�÷£ó!èqé£í�ø8ëqí²÷�Mæ�ç�é,äaå,í²ñ�åhäañüç�ëqí²÷tæ�ïaè�ìUèµøEç�ë�ìUí²é,ä���çLìUäaí²ñ óRô é,í+í8�6æ�ä��²í�ìUäañ�ð·ùyí²ö�ïaêüó!èGïaèqå,åpìUã�ç�ñüí²éhè�Lö�ç�ï*ìUíè ý � ý � ��GB8�+õ3e\ø4í²ñ�è2ù@äaå,ã�èqå¯ìUítëqí²÷tæ�ö�ìUè2ìUã�è�ð²é,í_ù8ìUã&øEç�ë�ìUí²é Ö ç�ñ�ç�ê�ê�äÊìUäaí²ñ�ç�ï�ý ª � ý � �­ëqí²÷�Mæ�ç�é,äaå,í²ñ�å ç�é,èhñ�èqèqê�èqê ìUíÀë�ç�ïaëqö�ïWçLìUèp÷´çCò5+ /10 78+ /80ºç�ñ�ê�÷´çCò5+ /10 23+ /80iømí²é­ç�ñ6ç�æ�æ�é,í�ò�äa÷´çLìUè´ìUí�ìlç�ïyí�ø� � � è B8�8�"ýuª�� � � 9 S Ò ýuª2í²é*ømè�ùyèqé�ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�åqõ!û¸è£å,ã�í²ö�ïaêGñ�í�ìUè£ìUã�çLì�ùyè��ñ�í_ù�í�ø�ñ�í^æ�é,í²ó�çMó�äaïaäÊì/ôµê�äaåwìUé,äaó�ö�ìUäaí²ñ�ømí²é�ìUã�è èqïaèq÷tèqñRìUåXí�ø�ìUã�ètäañ�äÊìUäWç�ïº÷´çLìUé,ä�òGÿ1ìUã�è­ù@äaïaï�äa÷tæ�ïÊô Ö çLødìUèqé�ìUã�è ú�é,åwìåwìUèqæµí�ø × ç�ö�å,å,äWç�ñ&èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ Ö ìUã�çLì@ìUã�è�ç�å,å,ö�÷tæ�ìUäaí²ñ�å@í�ø�â8ã�èqí²é,èq÷ Ó ç�é,è�ìUé,ö�ètõ�#¯í_ùyèK�²èqé*ìUã�èìUã�èqí²é,èq÷ å,ö�ð²ð²èqåwìUå@ìUã�çLì=ìUã�è2ñö�÷£ó!èqé@í�øºëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å8äañpøEç�ë�ìUí²é,äañ�ð ç­÷´çLìUé,ä�ò´óRôhé,í+í8�´æ�ä��²í�ìUäañ�ðå,ã�í²ö�ïaêµó!è�çtå,÷´ç�ïaïi÷£ö�ïÊìUäaæ�ïaè�í�ø4ý ª õ�â8ã�äaå¯äaå¯å,ö�æ�æ!í²éwìUèqê�óRô&í²ö�é@ñö�÷tèqé,äaë�ç�ï3èrò�æ!èqé,äa÷tèqñRìUå¯ù@ã�èqé,èé,í+í8�­æ�ä��²í�ìUäañ�ð2é,è�Lö�äaé,èqê S 9 � Ó ý ª í²é4ømè�ùyèqé=ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å�í²ñ´è�ç�ëlãpí�øuìUã�è¯÷tí²é,è@ìUã�ç�ñ`�8� Õ�Ö Õ²Õ²Õ ìUèqåwì÷´çLìUé,äaëqèqå8ê�èqå,ëqé,äaó!èqê&äañhìUã�è2ñ�èrò+ì¯å,èqë�ìUäaí²ñ�õ

â8ã�èqå,è�ëqí²ö�ñRìUåyë�ç�ñ´ó!è¯ëqí²÷tæ�ç�é,èqêtù@äÊìUã ìUã�è¯ý � ý � ��GB8�2ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å�é,è�Lö�äaé,èqêtømí²é�ó�ç�å,äaë@æ�ç�éwìUäWç�ïæ�ä��²í�ìUäañ�ð�õXe\ø*í²ñ�èpù@äaå,ã�èqå­ìUíGë�ç�ïaëqö�ïWçLìUè´ìUã�èhð²é,í_ù8ìUã�øEç�ë�ìUí²é­äañ�æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ðÀç�ñ ç�ê�ê�äÊìUäaí²ñ�ç�ï� S�ýuª � ý � k �GB8�·ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�åhí²é^ç�ìUí�ìlç�ï�í�ø��Lýuª � ��ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å^ç�é,èGé,è�Lö�äaé,èqê�õ'#�ç�éwìUäWç�ïé,í+í8�&æ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö èrò�ëqèqæ�ì2äañµìUã�è­ë�ç�å,è£ù@ã�èqé,è­æ�ç�éwìUäWç�ïºæ�ä��²í�ìUäañ�ð´ã�ç�å2ç´ð²é,í_ù8ìUãGøEç�ë�ìUí²é*ó�äað²ð²èqé¯ìUã�çLìâ � � Ö ù@äaïaï�ç�ïaå,í^é,è�Lö�äaé,èD�Lý ª � �hëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å2æ�ïaö�å�ç�ñ·ç�ê�ê�äÊìUäaí²ñ�ç�ï�ý ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å�ìUí&ìUèqåwì�äÊøé,í+í8�&æ�ä��²í�ìUäañ�ðhå,ã�í²ö�ïaêGó!è­äa÷tæ�ïaèq÷tèqñRìUèqêGçLì2ç�ñRô�åwìUèqæ�õ"!*æ�æ�é,í�ò�äa÷´çLìUèqïÊô&ý ¶ B4Spëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å�ç�é,èé,è�Lö�äaé,èqê¸óRôÀëqí²÷tæ�ïaè�ìUè­æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ"!*ïaï�í�øyìUã�èqå,è´ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷tå Ö èrò�ëqèqæ�ì�ømí²é × ç�ö�å,å,äWç�ñ¾èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñù@äÊìUã ñ�í2æ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö é,è�Lö�äaé,è@äañRìUèqé,ëlã�ç�ñ�ð²äañ�ð�èqïaèq÷tèqñRìUå4í�ø !�õ²â8ã�è@ñö�÷£ó!èqé4í�øuå,ö�ëlãtäañRìUèqé,ëlã�ç�ñ�ð²èqå�äaå� �Lý ª ømí²é�ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè¯æ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö é,í+í8�­æ�ä��²í�ìUäañ�ð£ç�ñ�êpæ�ç�éwìUäWç�ï�é,í+í8�­æ�ä��²í�ìUäañ�ð£ç�ñ�ê � ý ª ømí²é�æ�ç�éwìUäWç�ïæ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ�<@èqë�ç�ïaï!ìUã�çLì=ìUã�è�ñö�÷£ó!èqé@í�ø���íRçLìUäañ�ð£æ!í²äañRì8í²æ!èqéUçLìUäaí²ñ�å=é,è�Lö�äaé,èqê^óRôpìUã�è�èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñåwìUèqæ�å¯äañ^è�ç�ëlã �²èqé,å,äaí²ñ&í�ø × ç�ö�å,å,äWç�ñ^èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñtäaå@ç�æ�æ�é,í�ò�äa÷´çLìUèqïÊô �Lý ¶ B4S�õÔ äañ�ç�ïaïÊô Ö äañ2ìUã�äaåºå,èqë�ìUäaí²ñ�ùyèyå,ã�í²ö�ïaê£ñ�í�ìUè�ìUã�çLì�é,í+í8��æ�ä��²í�ìUäañ�ð*ë�ç�ñ�é,è�Lö�äaé,è�� � ý ¶ �iëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å�ç�åäaå4äaïaïaö�åwìUéUçLìUèqê­óRô Ö ømí²é�4$_ � Ö ìUã�è@÷´çLìUé,ä�òXù@ã�í²å,è¯ê�äWç�ð²í²ñ�ç�ï�ã�ç�å�èqñRìUé,äaèqå�4� 4 ¶ � 4��T� mTmTm � 4 ª U�V3W Ö ù@ã�í²å,èå,ö�æ!èqé,ê�äWç�ð²í²ñ�ç�ï�ã�ç�å�èqñRìUé,äaèqå 4rªT� 4 q � mTmTm � 4rª U�V ª=ç�ñ�ê´í�ìUã�èqéwù@äaå,è@ìUã�è¯÷´çLìUé,ä�ò­äaå �qèqé,í�õ3<@í+í8�£æ�ä��²í�ìUäañ�ðé,è�Lö�äaé,èqåyç�æ�æ�é,í�ò�äa÷´çLìUèqïÊô£ý ¶ B k ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å4ìUí2øEç�ë�ìUí²é�ìUã�äaå�÷´çLìUé,ä�òuõ8!*ïÊìUã�í²ö�ð²ãtèrò�ç�÷tæ�ïaèqå4ù@ã�èqé,èé,í+í8�­æ�ä��²í�ìUäañ�ð�é,è�Lö�äaé,èqå�� � ý ¶ ��ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å�èrò�äaåwì Ö ç�å�ùyè*å,èqè�äañtìUã�è*ñ�èrò+ì8å,èqë�ìUäaí²ñ´ìUã�è�ô´ç�æ�æ!è�ç�éìUí ó!è �²èqéwô^éUç�é,è�õ

� �µß! �ÜLáEà ��� ��� � �ÜLá �+Ú!Û�"

e/ñ ìUã�äaå4å,èqë�ìUäaí²ñ ùyè¯ëqí²÷tæ�ç�é,è �+äWç�ñö�÷tèqé,äaë�ç�ï�èrò�æ!èqé,äa÷tèqñRìUå4ìUã�è¯ð²é,í_ù8ìUã øEç�ë�ìUí²é�ç�ñ�ê­ìUã�è¯è�Otëqäaèqñ�ë�ôí�ø × ç�ö�å,å,äWç�ñ¸èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñµù@äÊìUã¸æ�ç�éwìUäWç�ï4æ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö ëqí²÷tæ�ïaè�ìUètæ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö é,í+í8�Gæ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö æ�ç�éwìUäWç�ïé,í+í8�´æ�ä��²í�ìUäañ�ðtç�ñ�ê^ñ�ítæ�ä��²í�ìUäañ�ð�õû¸è�÷tí+ê�äÊú�èqê^ìUã�è£ç�ïaï Ô í²éwìUéUç�ñµäa÷tæ�ïaèq÷tèqñRìlçLìUäaí²ñhí�ø �"!$#%!'&)( ��� õ Ô í²é¯èrò�ç�÷tæ�ïaè2ìUí´äa÷tæ�ïaèq÷tèqñRìæ�ç�éwìUäWç�ï*æ�ä��²í�ìUäañ�ð¸ùyèÀëlã�ç�ñ�ð²èqê��"!$#%!'&)( + å^ö�ìUäaïaäÊì/ô : × ���� óRô�í²÷täÊì,ìUäañ�ð¾ìUã�èGæ!í²éwìUäaí²ñ�å´í�øìUã�è2ëqí+ê�è�ìUã�çLì@ê�í ëqí²ñ�ê�äÊìUäaí²ñhèqåwìUäa÷´çLìUäaí²ñ^ç�ñ�ê^äÊìUèqéUçLìUä��²è�é,è�ú�ñ�èq÷tèqñRì�õ�û¸è�ìUèqåwìUèqê&ì/ùyí ��ç�é,äWçLìUäaí²ñ�åí�ø�ìUã�è&ëqí+ê�è&ømí²é æ�ç�éwìUäWç�ï8æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ6e/ñ í²ñ�è^ùyè`��èqæ�ì : × ���� + å´ë�ç�ïaëqö�ïWçLìUäaí²ñ�í�ø*ìUã�èµð²é,í_ù8ìUãøEç�ë�ìUí²é � ùyèµïWç�ó!èqï8ìUã�äaåtð²èqæ�æ ��ð�ø�äañ6í²ö�é ìlç�ó�ïaèqåA� ç�ñ�ê6äañ ìUã�èµí�ìUã�èqé �²èqé,å,äaí²ñ6ùyèµí²÷täÊì,ìUèqê�ìUã�äaåë�ç�ïaëqö�ïWçLìUäaí²ñ � ùyè�ïWç�ó!èqïiìUã�äaå¯ð²èqæ�æf�rõ Ô í²é8ìUã�è�é,èq÷´ç�äañ�äañ�ðtç�ïað²í²é,äÊìUã�÷tå=ùyè�÷tí+ê�äÊú�èqê`: × ���� ìUí

� Õ

Page 11: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

äa÷tæ�ïaèq÷tèqñRì*ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè�æ�ä��²í�ìUäañ�ð � ð²èqëqæf� Ö é,í+í8�^æ�ä��²í�ìUäañ�ð � ð²èqé,æf� Ö æ�ç�éwìUäWç�ïºé,í+í8�^æ�ä��²í�ìUäañ�ð � ð²èqæ�é,æf�ç�ñ�êüñ�í�æ�ä��²í�ìUäañ�ð � ð²èqñ�æf�rõ=û¸èÀ÷´ç�ê�èGç�åhømè�ù$ëlã�ç�ñ�ð²èqå^äañ]: × ���� ç�åpùyèÀëqí²ö�ïaê ç�ñ�êüåwìUäaïaïã�ç7�²è�è�OtëqäaèqñRì*äa÷tæ�ïaèq÷tèqñRìlçLìUäaí²ñ�å=í�ø�ìUã�èqå,è£ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷tåqõ�âºí´÷´ç4��è�ìUã�è2ìUäa÷täañ�ð²å8äañ&í²ö�é8ìUèqåwì*é,ö�ñ�åëqí²ñ�å,äaåwìUèqñRì Ö ùyè2ê�èqïaè�ìUèqê^ìUã�è�ømè�çLìUö�é,è2í�ø �"!$#%!'&)( ìUã�çLì8ìUèqåwìUå@ù@ã�è�ìUã�èqé*ç­÷£ö�ïÊìUäaæ�ïaäaèqé�äaåI�qèqé,í�õ��ö�éXé,ö�ñ�å2ùyèqé,è´ê�í²ñ�ètí²ñ¸ç � - � k ëqí²÷tæ�ö�ìUèqé2ö�å,äañ�ð Ô í²éwìUéUç�ñ��²èqé,å,äaí²ñ��+õ Õ ù@äÊìUã¸í²æ�ìUäa÷tä���çLìUäaí²ñïaèK�²èqï1S�õ�â8ã�äaå�äaå2çpå,èqé,äWç�ï�ëqí²÷tæ�ö�ìUèqé�èqñ:�+äaé,í²ñ�÷tèqñRì�ç�ñ�êGùyè ïaè�ì �"!$#%!'&)( + åXó�ïaí+ëA�µå,ä��qè­ó!è í²ñ�è�õ&yã�í+í²å,äañ�ðtç­ïWç�é,ð²èqé8ó�ïaí+ëA�´å,ä��qè2ê�äaê^ñ�í�ì@ê�èqëqé,è�ç�å,èXìUã�è2é,ö�ñ^ìUäa÷tèqå=äañhìUã�äaå8èqñ:�+äaé,í²ñ�÷tèqñRì�õ��ö�é­é,ö�ñ�å é,èqæ!í²éwì­ú �²è Lö�ç�ñRìUäÊìUäaèqå%$�ìUã�è^ç7�²èqéUç�ð²è^ëqí²÷tæ�ö�ìUèqé£ìUäa÷tèpé,è�Lö�äaé,èqê�ìUíÀå,í²ï��²èhÿ � � � ÖìUã�èµç7�²èqéUç�ð²è&å,ä��qè&í�ø*ìUã�è&ð²é,í_ù8ìUã øEç�ë�ìUí²é Ö ìUã�èµç7�²èqéUç�ð²è&ñö�÷£ó!èqétí�ø�ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å é,è�Lö�äaé,èqê6óRôìUã�è£ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷ Ö ìUã�è�÷´çCò�äa÷£ö�÷ ð²é,í_ù8ìUãµøEç�ë�ìUí²é@ømí²é@ìUã�èXåUç�÷tæ�ïaèqå*äañµçtå,è�ì�í�ø4÷´çLìUé,äaëqèqå Ö ç�ñ�êµìUã�è÷´çCò�äa÷£ö�÷-ñö�÷£ó!èqé�í�øyëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å*ømí²é2ç�ñRôGåUç�÷tæ�ïaè£äañ�ìUã�è å,è�ì�õ�û¸è­ê�äaêÀí²ö�é�é,ö�ñ�å�ù@ã�èqñ¾ìUã�èëqí²÷tæ�ö�ìUèqé*ù=ç�å�í�ìUã�èqéwù@äaå,è£äaê�ïaè�ç�ñ�ê�ømí²é*è�ç�ëlãGé,ö�ñ�ùyè­ë�ç�é,é,äaèqê�í²ö�ì�èqñ�í²ö�ð²ãGé,èqæ!è�ìUäÊìUäaí²ñ�å¯å,ípìUã�çLììUã�è2é,èqæ!í²éwìUèqêµëqí²÷tæ�ö�ìUèqé8ìUäa÷tèqå=ùyèqé,èXëqí²ñ�å,äaåwìUèqñRì¯ù@äÊìUã�äañ&ç£ømè�ù æ!èqé,ëqèqñRì¯ømí²é8é,èqæ!è�çLìUèqêµé,ö�ñ�åqõ Ô í²é× ç�ö�å,å,äWç�ñ¾èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ&ù@äÊìUã¾ñ�í&æ�ä��²í�ìUäañ�ðhìUã�ètå,ä��qè í�øyìUã�è èqïaèq÷tèqñRìUåXí�øI�6å,ã�í²ö�ïaê¾ó!è äañ�ëqïaö�ê�èqêäañGìUã�è­ð²é,í_ù8ìUãÀøEç�ë�ìUí²é � R Ö �� ç�ñ�ê��µç�å2ê�è�ú�ñ�èqê¾äañ � �8�*äaå�í²ñ�ïÊôGçhïaí_ùyèqé�ó!í²ö�ñ�ê¾í²ñGìUã�è ð²é,í_ù8ìUãøEç�ë�ìUí²éqõ Ô í²é8å,äa÷tæ�ïaäaëqäÊì/ô ùyèXé,èqæ!í²éwì8ìUã�èF�´í�ø�è�Lö�çLìUäaí²ñ � �8��ømí²é@ç�ïaï�í�ø�í²ö�é=ìUèqåwì*é,ö�ñ�åqõe/ñ¸â�ç�ó�ïaèqå � ìUã�é,í²ö�ð²ã Shùyè´é,èqæ!í²éwì2ìUèqåwì£é,ö�ñ�å2ømí²é�� Õ²Õ�Ö Õ²Õ²ÕµÓ�Õ óRô Ó�Õ ÷´çLìUé,äaëqèqå�ù@äÊìUã¸èqïaèq÷tèqñRìUåëlã�í²å,èqñ¸ømé,í²÷ ç^ö�ñ�äÊømí²é,÷$ê�äaåwìUé,äaó�ö�ìUäaí²ñÀó!è�ì/ùyèqèqñ�MA�´ç�ñ�ê � Ö � Õ�Ö Õ²Õ²Õ � Õ²Õ óRô � Õ²Õ ÷´çLìUé,äaëqèqå�ømé,í²÷ìUã�äaå�ëqïWç�å,å Ö ç�ñ�êt� Õ²Õ&Ó�Õ²Õ óRô Ó�Õ²Õ å,ö�ëlã¸÷´çLìUé,äaëqèqåqõ e/ñ¾â�ç�ó�ïaè k ùyèté,èqæ!í²éwì�ìUèqåwìUå�ømí²é�� Õ²Õ � Õ²Õ óRô� Õ²Õ ÷´çLìUé,äaëqèqå2í�ø=ìUã�ètømí²é,÷ � ��� ��ù@ã�èqé,è�- ç�ñ�ê � ç�é,è´éUç�ñ�ê�í²÷ í²éwìUã�í²ð²í²ñ�ç�ï�÷´çLìUé,äaëqèqå�ømé,í²÷ìUã�è #*ç²ç�é­ê�äaåwìUé,äaó�ö�ìUäaí²ñv���b ç�ñ�ê :�äaå ç�ê�äWç�ð²í²ñ�ç�ïy÷´çLìUé,ä�ò¾ù@äÊìUã�äÊìUå£ê�äWç�ð²í²ñ�ç�ïyèqñRìUé,äaèqå­ëlã�í²å,èqñømé,í²÷;ç ��ç�é,äaè�ì/ôtí�øiå,è�Lö�èqñ�ëqèqå � í²ñ�è*å,÷´ç�ïaï�èqñRìUéwô Ö í²ñ�è¯ïWç�é,ð²è¯èqñRìUéwô Ö ö�ñ�äÊømí²é,÷tïÊô­ê�èqëqé,è�ç�å,äañ�ð�èqñRìUé,äaèqåç�ñ�êhö�ñ�äÊømí²é,÷tïÊô ïaí²ðRç�é,äÊìUã�÷täaë�ç�ïaïÊô�ê�èqëqé,è�ç�å,äañ�ð èqñRìUé,äaèqåA�yå,ö�ëlãhìUã�çLì8ëqí²ñ�ê � ÿ�� � Ò 9 bXþu� Õ�� õ�â�ç�ó�ïaè Óé,èqæ!í²éwìUå�ìUèqåwì=é,ö�ñ�å�ømí²é Ò k � Õ²Õ óRô`� Õ²Õ ÷´çLìUé,äaëqèqå�ømé,í²÷�ìUã�è*ëqí²ïaïaèqë�ìUäaí²ñ�å�í�ø #¯äað²ã�ç�÷ ��� Õ�Ö �8� ç�ñ�ê´í�ø#*ç�ñ�å,èqñ � g õ��&í²åwì8í�øiìUã�èqå,è�÷´çLìUé,äaëqèqå=ç�é,è*ñ�í�ì8éUç�ñ�ê�í²÷ ç�ñ�êhå,í²÷tè�ç�é,èJ�²èqéwôpäaïaï�ëqí²ñ�ê�äÊìUäaí²ñ�èqê�õû¸èäañ�ëqïaö�ê�èqêÀç�ïaïºìUã�è­èrò�ç�÷tæ�ïaèqå�ð²èqñ�èqéUçLìUèqê¾óRô #¯äað²ã�ç�÷3+ å w÷´çLìUé,ä�ò !tømö�ñ�ë�ìUäaí²ñÀèrò�ëqèqæ�ì2ømí²é�÷´çLìUé,äaëqèqåìUã�çLì�ç�é,èXäaê�èqñRìUäÊú�èqê�ç�å¯èrò�ç�ë�ìUïÊô&å,äañ�ð²ö�ïWç�é@óRô × ç�ö�å,å,äWç�ñ&èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ´ù@äÊìUãµæ�ç�éwìUäWç�ïiæ�ä��²í�ìUäañ�ð´ç�ñ�êèrò�ëqèqæ�ì�ømí²é #¯äað²ã�ç�÷3+ åièrò�ç�÷tæ�ïaè�ù@ã�èqé,è�æ�ç�éwìUäWç�ïRæ�ä��²í�ìUäañ�ð@ã�ç�å�ç@ïWç�é,ð²è4ð²é,í_ù8ìUãXøEç�ë�ìUí²éqõ�û¸è�äañ�ëqïaö�ê�èqêç�ïaï�í�øºìUã�è2èrò�ç�÷tæ�ïaèqå8äañ�#*ç�ñ�å,èqñ,+ å¯å,è�ì*í�ø�èrò�ç�÷tæ�ïaèqå8é,èqïWçLìUäañ�ð£ìUí äañ:�²èqé,å,èXæ�é,í²ó�ïaèq÷tåqõ Ô í²é8â�ç�ó�ïaè Òùyè�ëqí²ïaïaèqë�ìUèqêtìUí²ð²è�ìUã�èqéyìUã�äaéwì/ô èrò�ç�÷tæ�ïaèqåyí�ø3÷´çLìUé,äaëqèqå�ù@ã�èqé,è�æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�ã�ç�åyïWç�é,ð²è¯ð²é,í_ù8ìUãøEç�ë�ìUí²é,åqõ+â8ã�èqå,è�èrò�ç�÷tæ�ïaèqåyäañ�ëqïaö�ê�è@ìUã�è�èrò�ç�÷tæ�ïaè¯í�øiûüäaï.�äañ�å,í²ñY� � Õ�7Ö ÷´çLìUé,äaëqèqå�ømé,í²÷1ìUã�è*ëqïWç�å,åyí�øèrò�ç�÷tæ�ïaèqå@í�ø #¯äað²ã�ç�÷�ç�ñ�ê #¯äað²ã�ç�÷ ���TS 7Ö ìUã�èXæ�éUç�ë�ìUäaë�ç�ïièrò�ç�÷tæ�ïaèqå@é,èqæ!í²éwìUèqêµóRô Ô í²åwìUèqé � b ç�ñ�êìUã�í²å,èXé,èqæ!í²éwìUèqêµóRô^û¸é,äað²ãRì � �5� õ3e/ñ&ìUã�èqå,è�èrò�ç�÷tæ�ïaèqå¯æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ð ã�ç�ê�ç ð²é,í_ù8ìUã&øEç�ë�ìUí²é@í�øÒ 9 g þ � Õ � í²é Ö äañ^å,í²÷tè2ë�ç�å,èqå Ö ÷£ö�ëlã&ïWç�é,ð²èqéqõâ8ã�èqå,è�ìlç�ó�ïaèqå=ê�í£ñ�í�ì=é,èqæ!í²éwì8äañ�ømí²é,÷´çLìUäaí²ñtç�ó!í²ö�ìyìUã�è�ñö�÷£ó!èqé,å8í�ø3èqïaèq÷tèqñRìUåyí�ø;! äañRìUèqé,ëlã�ç�ñ�ð²èqêç�å´é,í_ù@å´í²étëqí²ïaö�÷tñ�å´ç�é,èµåwù@äÊìUëlã�èqê�õ�â8ã�è�é,ö�ñ6ømí²é�� Õ�Ö Õ²Õ²Õ � Õ²Õ óRô]� Õ²Õ ÷´çLìUé,äaëqèqåtí²ñ ç7�²èqéUç�ð²èäañRìUèqé,ëlã�ç�ñ�ð²èqê 9 g Ò ý ª èqïaèq÷tèqñRìUåºømí²é3æ�ç�éwìUäWç�ïRæ�ä��²í�ìUäañ�ð*ç�ñ�ê�æ�ç�éwìUäWç�ïRé,í+í8��æ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö � 9 Ó g�ý ª èqïaèq÷tèqñRìUåømí²é�é,í+í8�&æ�ä��²í�ìUäañ�ðhç�ñ�ê�� 9 g?��ý ª èqïaèq÷tèqñRìUå�ømí²é�ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ!â8ã�èqå,è ñö�÷£ó!èqé,åXç�é,è�ì/ô+æ�äaë�ç�ïí�ø2í²ö�é´í�ìUã�èqétìUèqåwìUåqõ <@í+í8��æ�ä��²í�ìUäañ�ð¸é,è�Lö�äaé,èqåpå,ïaäað²ãRìUïÊô�÷tí²é,è � é,èqïWçLìUä��²è&ìUí¸ìUã�è � � ý ¶ � í8�²èqéUç�ïaïí²æ!èqéUçLìUäaí²ñ�åtäañ × ç�ö�å,å,äWç�ñ èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñf�XäañRìUèqé,ëlã�ç�ñ�ð²èqå´ìUã�ç�ñ ê�í+èqå´æ�ç�éwìUäWç�ï@æ�ä��²í�ìUäañ�ð¸í²étæ�ç�éwìUäWç�ïé,í+í8�´æ�ä��²í�ìUäañ�ðtç�ñ�ê^é,è�Lö�äaé,èqå@ømè�ùyèqé@äañRìUèqé,ëlã�ç�ñ�ð²èqå@ìUã�ç�ñ&ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ

�8�

Page 12: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

ð²èqñ�æ ð²èqæ�æ ð²èqæ�æ ��ð�ø ð²èqæ�é,æ ð²èqé,æ ð²èqëqæç7�²è�õ�ìUäa÷tè � å,èqëT� õ Õ � Õ²Ò õ Õ ��5� õ Õ � k S õ Õ � k � õ Õ � Ó�Ò õ Õ S k8k

ç7�²è�õf� S 9 R­þ � Õ WIW b+õ � b+õ � b+õ � k õ R S�õ Rç7�²è�õ�ëqí²÷tæ�ç�é,èqå��­ý ª Õ õ k g �+õ Õ²Õ �+õ Õ � �+õ k R �TR�õ �

÷´çCòuõ � S 9 Ó þ � Õ W�� �4S�õ Õ �4S�õ Õ �4S�õ Õ � Õ õ Ó Ó õ Ò÷´çCòuõ�ëqí²÷tæ�ç�é,èqå��£ý ª Õ õ k g �+õ Õ²Õ �+õ Õ � �+õ R Ò �TR�õ �

â�ç�ó�ïaè �²õ <@èqå,ö�ïÊìUå�ømí²és� Õ²Õ�Ö Õ²Õ²Õ�Ó�Õ óRô Ó�Õ ÷´çLìUé,äaëqèqå4ù@äÊìUã´èqïaèq÷tèqñRìUå�ømé,í²÷1çXö�ñ�äÊømí²é,÷�ê�äaåwìUé,äaó�ö�ìUäaí²ñ�õ

ð²èqñ�æ ð²èqæ�æ ð²èqæ�æ ��ð�ø ð²èqæ�é,æ ð²èqé,æ ð²èqëqæç7�²è�õ�ìUäa÷tè � å,èqëT� õ Õ g Ò õP� Õ b õP�8� Ò õP�8� Ó õP��5� õ �4g Ò

ç7�²è�õf� ÒRÓ b k �8�²õ b �8�²õ b �8�²õ b b+õ S Ó õ Óç7�²è�õ�ëqí²÷tæ�ç�é,èqå��£ý ª Õ õ Ó�Õ �+õ Õ²Õ �+õ Õ � �+õ Ó k S k õ R

÷´çCòuõ � b 9 g þ � Õ � S8S�õ Ò S8S�õ Ò S8S�õ Ò �TS�õ g b+õ Ò÷´çCòuõ�ëqí²÷tæ�ç�é,èqå��£ý ª Õ õ Ó�Õ �+õ Õ²Õ �+õ Õ � �+õ b4R S k õ R

â�ç�ó�ïaè �+õ�<@èqå,ö�ïÊìUå8ømí²é�� Õ�Ö Õ²Õ²Õ � Õ²Õ óRôu� Õ²Õ ÷´çLìUé,äaëqèqå=ù@äÊìUã^èqïaèq÷tèqñRìUå8ømé,í²÷ ç­ö�ñ�äÊømí²é,÷ê�äaåwìUé,äaó�ö�ìUäaí²ñ�õ

ð²èqñ�æ ð²èqæ�æ ð²èqæ�æ ��ð�ø ð²èqæ�é,æ ð²èqé,æ ð²èqëqæç7�²è�õ�ìUäa÷tè � å,èqëT� �8�²õ k �8�²õ g ��+õP� ��+õ � ��+õ k S k õ R

ç7�²è�õf� �4R Ó S Õ SC�+õ Ó SC�+õ Ó SC�+õ Ó �Tg�õ Õ � k õ Õç7�²è�õ�ëqí²÷tæ�ç�é,èqå��£ý ª Õ õ Ó�Õ �+õ Õ²Õ �+õ Õ²Õ �+õ Ò b � Ò R�õ �

÷´çCòuõ � Ò 9 Ò þ � Õ � k S�õ b k S�õ b k S�õ b � Ò õ R � Ò õ R÷´çCòuõ�ëqí²÷tæ�ç�é,èqå��­ý ª Õ õ Ó�Õ �+õ Õ²Õ �+õ Õ²Õ �+õ b Ó � Ò R�õ �

â�ç�ó�ïaèFS�õ�<@èqå,ö�ïÊìUå8ømí²é�� Õ²ÕtÓ�Õ²Õ óRô Ó�Õ²Õ ÷´çLìUé,äaëqèqå=ù@äÊìUã^èqïaèq÷tèqñRìUå8ømé,í²÷ ç ö�ñ�äÊømí²é,÷ ê�äaåwìUé,äaó�ö�ìUäaí²ñ�õ

â8ã�èqå,è*ñö�÷tèqé,äaë�ç�ï�é,èqå,ö�ïÊìUå�å,ö�æ�æ!í²éwìyí²ö�é�ìUã�èqí²é,è�ìUäaë�ç�ï�é,èq÷´ç�éG�å�ç�ó!í²ö�ì�é,í+í8��æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ²â8ã�è¯ð²é,í_ù8ìUãøEç�ë�ìUí²é�ømí²é�é,í+í8�£æ�ä��²í�ìUäañ�ðXäaåyç�ëqëqèqæ�ìlç�ó�ïaè¯äañ´ç�ïaï�í²ö�é�ìUèqåwìUåyäañ�ëqïaö�ê�äañ�ð�ìUã�è¯èrò�ç�÷tæ�ïaèqå�ù@ã�èqé,è*æ�ç�éwìUäWç�ïæ�ä��²í�ìUäañ�ð*ã�ç�å �²èqéwô�ïWç�é,ð²èyð²é,í_ù8ìUã�øEç�ë�ìUí²é,åqõ�â8ã�è=ïWç�é,ð²èqåwì�ð²é,í_ù8ìUã£øEç�ë�ìUí²éºømí²éºé,í+í8�2æ�ä��²í�ìUäañ�ð*äañ�ìUã�èqå,è÷tí²é,è8ìUã�ç�ñ��8� Õ�Ö Õ²Õ²Õ ìUèqåwìy÷´çLìUé,äaëqèqå�ù=ç�å Ó�Õ õ Ó õRâ8ã�äaå�í+ëqëqö�é,é,èqêtømí²é�ç2÷´çLìUé,ä�ò­æ�é,èqå,èqñRìUèqêpäañY���TS ømí²éù@ã�äaëlã¾ìUã�ètð²é,í_ù8ìUã¾øEç�ë�ìUí²é2äaåXç�æ�æ�é,í�ò�äa÷´çLìUèqïÊô�ý"B8�pømí²é2ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè æ�ä��²í�ìUäañ�ð&ç�ñ�ê¸é,í+í8��æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ��ö�é=ñö�÷tèqé,äaë�ç�ïué,èqå,ö�ïÊìUå@ç�ïaå,í£å,ã�í_ù ìUã�çLì8é,í+í8�tæ�ä��²í�ìUäañ�ð£é,è�Lö�äaé,èqå8å,í²÷tè�ù@ã�çLì8÷tí²é,è�ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å

��

Page 13: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

ð²èqñ�æ ð²èqæ�æ ð²èqæ�æ ��ð�ø ð²èqæ�é,æ ð²èqé,æ ð²èqëqæç7�²è�õ�ìUäa÷tè � å,èqëT� õ Õ g Ó õP� Õ b õP�8� Ó õP�8� k õP��5� õ �4g Ó

ç7�²è�õf� g8g8R k õ Ó k õ Ó k õ Ó S�õ S �+õ Òç7�²è�õ�ëqí²÷tæ�ç�é,èqå��£ý ª Õ õ Ó�Õ �+õ Õ²Õ �+õ Õ � �+õ Ó g S k õ R

÷´çCòuõ � � Ó g8S Õ �4S�õ � �4S�õ � �4S�õ � � Ó õ � g�õP�÷´çCòuõ�ëqí²÷tæ�ç�é,èqå��­ý ª Õ õ Ó�Õ �+õ Õ²Õ �+õ Õ � �+õ R8R S k õ R

â�ç�ó�ïaè k õ�<@èqå,ö�ïÊìUå8ømí²é�� Õ²Õ � Õ²Õ óRôd� Õ²Õ ÷´çLìUé,äaëqèqå8í�øºìUã�è�ømí²é,÷�� ��� ��ù@ã�èqé,èA- ç�ñ�ê � ç�é,èéUç�ñ�ê�í²÷ í²éwìUã�í²ð²í²ñ�ç�ï�÷´çLìUé,äaëqèqå@ç�ñ�ê^ìUã�è2å,äañ�ð²ö�ïWç�é ��ç�ïaö�èqå8í�øX! ç�é,è2ëlã�í²å,èqñ&ømé,í²÷P��ç�é,äaí²ö�å

ê�äaåwìUé,äaó�ö�ìUäaí²ñ�åyù@äÊìUã^ëqí²ñ�ê � !�� � Ò 9 b­þ � Õ � õ

ð²èqñ�æ ð²èqæ�æ ð²èqæ�æ ��ð�ø ð²èqæ�é,æ ð²èqé,æ ð²èqëqæç7�²è�õ�ìUäa÷tè � å,èqëT� õ Õ g Ó õP� Õ S õP�8�8� õP�8�8� õP�8� k õ �4gC�

ç7�²è�õ3� � �+õ R Ó �+õ R Ó �+õ R Ó �+õ S Ò �+õ SC�ç7�²è�õ�ëqí²÷tæ�ç�é,èqå��­ý ª Õ õ Ó�Õ �+õ Õ²Õ �+õ Õ � �+õ S8S S k õ R

÷´çCòuõ � � Ó�Ò õP� Ó�Ò õP� Ó�Ò õP� Ó�Õ õ Ó Ó�Õ õ b÷´çCòuõ�ëqí²÷tæ�ç�é,èqå��£ý ª Õ õ Ó�Õ �+õ Õ²Õ �+õ Õ � S�õ � Ó S k õ R

â�ç�ó�ïaè Ó õ�<@èqå,ö�ïÊìUå8ømí²é Ò k � Õ²Õ óRôd� Õ²Õ ÷´çLìUé,äaëqèqå8äañhìUã�è2ëqí²ïaïaèqë�ìUäaí²ñpí�ø #¯äað²ã�ç�÷ ��� Õ�Ö �8� ç�ñ�ê&äañìUã�è2ëqí²ïaïaèqë�ìUäaí²ñpí�ø #*ç�ñ�å,èqñ�� g õ �&í²åwì*í�øºìUã�èqå,è2÷´çLìUé,äaëqèqå@ç�é,è2ñ�í�ì@éUç�ñ�ê�í²÷&õ

ð²èqñ�æ ð²èqæ�æ ð²èqæ�æ ��ð�ø ð²èqæ�é,æ ð²èqé,æ ð²èqëqæç7�²è�õ�ìUäa÷tè � å,èqëT� õ Õ g Ó õ Õ g8R õP� Õ b õP� Õ g õP�8�� õ �4gC�

ç7�²è�õf� � S 9 Ó þ � Õ ª � S 9 Ó þ � Õ ª � � k b+õ Ò �²õ S Ò �²õ �8bç7�²è�õ�ëqí²÷tæ�ç�é,èqå��£ý ª Õ õ Ó�Õ �+õ Õ²Õ �+õ Õ S �+õ � Ò S k õ R

÷´çCòuõ � � Ò 9 S þ � Õ ª � Ò 9 S þ � Õ ª � � Ó �²õ Ò Ó õ Õ²Õ �+õ Õ²Õ÷´çCòuõ�ëqí²÷tæ�ç�é,èqå��­ý ª Õ õ Ó�Õ �+õ Õ²Õ �+õ Õ R �+õ Ó�Õ S k õ R

â�ç�ó�ïaè Ò õ�<@èqå,ö�ïÊìUå8ømí²ésS Õ � Õ²Õ óRôd� Õ²Õ ÷´çLìUé,äaëqèqå=ømé,í²÷ � b Ö �TS Ö � Õ�Ö �5� õ Ô í²é8ç�ïaï�í�øºìUã�èqå,èXèrò�ç�÷tæ�ïaèqå× ç�ö�å,å,äWç�ñ^èqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñtæ�ç�éwìUäWç�ïuæ�ä��²í�ìUäañ�ð ã�ç�å¯ç­ð²é,í_ù8ìUã^øEç�ë�ìUí²é8ïWç�é,ð²èqéyìUã�ç�ñ Ò 9 g þ � Õ � õ

�TS

Page 14: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

� çLìy÷tí²åwì ÒRÓ æ!èqé,ëqèqñRì8÷tí²é,è¯äañ´ìUã�èqå,è*ìUèqåwìUåA��ìUã�ç�ñpç�æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷ ìUã�çLì=ë�ç�ïaëqö�ïWçLìUèqåìUã�è´ð²é,í_ù8ìUã¸øEç�ë�ìUí²éqõ3â8ã�äaå�ïaè�ç�ê�å2ìUí�çµ÷£ö�ëlã·å,÷´ç�ïaïaèqé�äañ�ëqé,è�ç�å,è � ømé,í²÷ S^ìUí � Õ æ!èqé,ëqèqñRì �Xäañ¾ìUã�èí8�²èqéUç�ïaï�ëqí²÷tæ�ö�ìlçLìUäaí²ñµìUäa÷tèXí�ø�é,í+í8�^æ�ä��²í�ìUäañ�ð�õ%e/ñÀå,ö�÷t÷´ç�éwô Ö ìUã�è­é,ö�ñ�ìUäa÷tèqå¯ømí²é�é,í+í8�^æ�ä��²í�ìUäañ�ðç�é,è*ëqïaí²å,è*ìUí�ìUã�í²å,è�í�øió�ç�å,äaë�æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ð£ç�ñ�êhç�é,è �²èqéwô´ëqïaí²å,è*ìUí�ìUã�è*é,ö�ñpìUäa÷tèqå�í�øºç�æ�ç�éwìUäWç�ïæ�ä��²í�ìUäañ�ð ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷;ìUã�çLì@ë�ç�ïaëqö�ïWçLìUèqå=ìUã�è2ð²é,í_ù8ìUã^øEç�ë�ìUí²éqõ

â8ã�è�é,èqå,ö�ïÊìUå@ç�ïaå,í£äañ�ê�äaë�çLìUè*ìUã�çLì8æ�ç�éwìUäWç�ï!é,í+í8�tæ�ä��²í�ìUäañ�ð£å,ö�ëqëqèqå,åwømö�ïaïÊôpåwù@äÊìUëlã�èqå8ìUí­é,í+í8�tæ�ä��²í�ìUäañ�ðäañhë�ç�å,èqå=ù@ã�èqé,è2æ�ç�éwìUäWç�ï!æ�ä��²í�ìUäañ�ð£ã�ç�å=ê�äaåUç�åwìUé,í²ö�å8èqé,é,í²é=ð²é,í_ù8ìUã�õ�â8ã�è�ð²é,í_ù8ìUãhøEç�ë�ìUí²é�ømí²é=æ�ç�éwìUäWç�ïé,í+í8� æ�ä��²í�ìUäañ�ð2ù=ç�å8ç�ïÊù=ç�ô+ås� Ó �2í²é�å,÷´ç�ïaïaèqé4ømí²éy÷´çLìUé,äaëqèqå�ù@ã�èqé,è�æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�ã�ç�êhç�ð²é,í_ù8ìUãøEç�ë�ìUí²éXç�å2ïWç�é,ð²è ç�å Ò þ � Õ ª � õ"!;ð²é,í_ù8ìUãÀøEç�ë�ìUí²é2í�øs� Ó �päaå2ñ�í�ìXå,äað²ñ�äÊú�ë�ç�ñRì2å,äañ�ëqè Ö ømí²é�èrò�ç�÷tæ�ïaè Öí²ñ�èGåwìUèqæ í�øXäÊìUèqéUçLìUä��²è�é,è�ú�ñ�èq÷tèqñRì^ù@äaïaï*èqïaäa÷täañ�çLìUè^ìUã�èGèqé,é,í²éhäañRìUé,í+ê�ö�ëqèqêüóRô�å,ö�ëlã ç�ð²é,í_ù8ìUãøEç�ë�ìUí²éqõ?!*å8ñ�í�ìUèqê^äañu� b 7Ö ømí²é=æ�ç�éwìUäWç�ï!æ�ä��²í�ìUäañ�ð�ìUã�è�ð²é,í_ù8ìUãhøEç�ë�ìUí²é=ë�ç�ñhó!è�ïWç�é,ð²è*èqñ�í²ö�ð²ã^å,í£ìUã�çLìäÊìUèqéUçLìUä��²è é,è�ú�ñ�èq÷tèqñRìXù@äaïaï�ñ�í�ì�äa÷tæ�é,í8�²è­ìUã�ètë�ç�ïaëqö�ïWçLìUèqêÀå,í²ïaö�ìUäaí²ñ�õuûüäÊìUã�äañGìUã�ètö�ñ�ëqèqéwìlç�äañRì/ôÀí�øçµømè�ù æ!èqé,ëqèqñRì äañ�í²ö�é�ìUäa÷täañ�ð&é,í²ö�ìUäañ�èqå Ö ìUã�èhëqí²÷tæ�ö�ìUèqé�ìUäa÷tèqå�ømí²é�æ�ç�éwìUäWç�ï�é,í+í8�¾æ�ä��²í�ìUäañ�ðGç�é,èäaê�èqñRìUäaë�ç�ï!ìUí£ìUã�í²å,è2í�ø�ç£æ�ç�éwìUäWç�ïuæ�ä��²í�ìUäañ�ð­ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷1ù@ã�äaëlã^ë�ç�ïaëqö�ïWçLìUèqåyìUã�è�ð²é,í_ù8ìUãhøEç�ë�ìUí²éqõ�â8ã�èñö�÷£ó!èqé*í�ø4ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�å¯é,è�Lö�äaé,èqê�óRô&ìUã�èXì/ùyíhç�ïað²í²é,äÊìUã�÷tå@ç�é,è�ëqïaí²å,è�èqñ�í²ö�ð²ã�å,í´ìUã�çLì¯ìUã�èqé,è�äaåñ�ítå,äað²ñ�äÊú�ë�ç�ñRì8è�cuèqë�ì*í²ñhìUã�è2ëqí²÷tæ�ö�ìUèqé@é,ö�ñ^ìUäa÷tèqåqõ��ö�épé,èqå,ö�ïÊìUåpç�ïaå,í·å,ö�æ�æ!í²éwìpìUã�è �+äaè�ù�ìUã�çLìpëqí²÷tæ�ïaè�ìUèµæ�ä��²í�ìUäañ�ð¸äaå´å,ö�ó�åwìlç�ñRìUäWç�ïaïÊô å,ïaí_ùyèqé´ìUã�ç�ñæ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ðhç�ñ�êGìUã�çLì × ç�ö�å,å,äWç�ñGèqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ^ù@äÊìUãGñ�í^æ�ä��²í�ìUäañ�ðpí�ødìUèqñÀã�ç�å�ö�ñ�ç�ëqëqèqæ�ìlç�ó�ïaèèqé,é,í²é8ð²é,í_ù8ìUã�õ

û¸è¯å,ã�í²ö�ïaê´ñ�í�ìUè@ìUã�çLì�ùyè¯ìUèqåwìUèqê´ìUã�è*èrò�ç�÷tæ�ïaè@÷tèqñRìUäaí²ñ�èqêpçLì�ìUã�è*èqñ�ê´í�ø!�+èqë�ìUäaí²ñ k ù@ã�èqé,è*é,í+í8�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�é,è�Lö�äaé,èqê � � ý ¶ �2ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�åqõ Ô í²é�ý � � Õ²Õ ìUã�è´ì/ùyí��²èqé,å,äaí²ñ�å­í�ø@æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ðé,è�Lö�äaé,èqê�õP� Õ R�ç�ñ�êµõP�8� Ò å,èqëqí²ñ�ê�å Ö æ�ç�éwìUäWç�ï�é,í+í8�­æ�ä��²í�ìUäañ�ðXé,è�Lö�äaé,èqê�õP�8� Ó å,èqëqí²ñ�ê�å Ö é,í+í8�­æ�ä��²í�ìUäañ�ðé,è�Lö�äaé,èqê õ � Ò g&å,èqëqí²ñ�ê�å ç�ñ�ê¸ëqí²÷tæ�ïaè�ìUètæ�ä��²í�ìUäañ�ðµé,è�Lö�äaé,èqê õ �4g Ó å,èqëqí²ñ�ê�åqõX!*ïÊìUã�í²ö�ð²ã¸èrò�ç�÷tæ�ïaèqåèrò�äaåwì8ù@ã�èqé,è2æ�ç�éwìUäWç�ïué,í+í8�´æ�ä��²í�ìUäañ�ð£äaå8å,ïaí_ù Ö ìUã�è�ôhê�äaêhñ�í�ì@å,ã�í_ù'ö�æ^äañpìUèqåwì¯é,ö�ñ�å8í²ñ^÷tí²é,è*ìUã�çLì�8� Õ�Ö Õ²Õ²Õ éUç�ñ�ê�í²÷ ÷´çLìUé,äaëqèqå8í²é8÷´çLìUé,äaëqèqå8äañhìUã�è2æ�ö�ó�ïaäaå,ã�èqê^ëqí²ïaïaèqë�ìUäaí²ñ�åyìUã�çLì8ùyè2ìUèqåwìUèqê�õ

��ö�é*ìUèqåwìUå2ç�ñ�ê�ìUã�è£ìUèqåwìUå�äañt��� Ó+Ö � Ò� å,ö�æ�æ!í²éwì�è�ç�ëlãÀí�ìUã�èqéqõ�îyí�ìUãGå,è�ìUå�í�ø�ìUèqåwìUå2ç�æ�æ!è�ç�é*ìUíhå,ã�í_ùìUã�çLì�ømí²éXéUç�ñ�ê�í²÷ ÷´çLìUé,äaëqèqå2ìUã�è´ñö�÷£ó!èqé�í�ø8ëqí²÷tæ�ç�é,äaå,í²ñ�åXäañ¸é,í+í8�Àæ�ä��²í�ìUäañ�ð&äaå�ñ�í�ì�ïWç�é,ð²è´ç�ñ�êìUã�çLìXé,í+í8�µæ�ä��²í�ìUäañ�ð^ë�ç�ïaëqö�ïWçLìUèqå2ç�ëqëqö�éUçLìUètç�ñ�åwùyèqé,åXù@ã�èqñ¾ìUã�äaå�äaå2æ!í²å,å,äaó�ïaè�õ�â8ã�è ìUèqåwìUå2ùyètã�ç7�²èé,èqæ!í²éwìUèqêtã�èqé,è@äañ�ëqïaö�ê�è8é,èqå,ö�ïÊìUå�í²ñ ð²é,í_ù8ìUã øEç�ë�ìUí²é,å Ö é,èqå,ö�ïÊìUå�í²ñ ëqí²÷tæ�ö�ìUèqé�é,ö�ñ ìUäa÷tèqå�ømí²é Ô í²éwìUéUç�ñëqí+ê�è Ö é,èqå,ö�ïÊìUå¯ømí²é@æ�ç�éwìUäWç�ïié,í+í8�hæ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö ìUèqåwìUå¯ømí²é8ìUã�è�ñ�í²ñ�éUç�ñ�ê�í²÷�÷´çLìUé,äaëqèqå@äañ^ìUã�è�åwìlç�ñ�ê�ç�é,êëqí²ïaïaèqë�ìUäaí²ñ�åyí�ø�#¯äað²ã�ç�÷ ç�ñ�ê #*ç�ñ�å,èqñµç�ñ�êpìUèqåwìUå8ømí²éy÷´çLìUé,äaëqèqåyù@ã�èqé,è�æ�ç�éwìUäWç�ï!æ�ä��²í�ìUäañ�ð£ã�ç�å8ïWç�é,ð²èð²é,í_ù8ìUã^øEç�ë�ìUí²é,åqõ�âºèqåwìUå¯å,ö�ëlã�ç�å=ìUã�èqå,è�ç�é,è2ñ�í�ì@äañ�ëqïaö�ê�èqê&äañpìUã�è2èrò�æ!èqé,äa÷tèqñRìUå¯äañ���� Ó+Ö � Ò� õ

� ��Ý!Úºà �Eß!"�ámÝ!Ú!" ��ÚºÞ��/ß3Ü_Û�� �Ü��£Ý�Ü��× ç�ö�å,å,äWç�ñtèqïaäa÷täañ�çLìUäaí²ñ�ù@äÊìUãtñ�í�æ�ä��²í�ìUäañ�ð Ö æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�ç�ñ�ê´ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè@æ�ä��²í�ìUäañ�ðXë�ç�ñ´ó!è¯æ�ö�ìí²ñ¾ëqí²ñRìUäañö�ö�÷tå�í�ø=äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ðpùyí²éG�Àç�ñ�ê¾ê�èqëqé,è�ç�å,äañ�ð&ó!í²ö�ñ�ê�å2í²ñGìUã�ètèqé,é,í²é�äañGìUã�è ë�ç�ïaëqö�ïWçLìUèqêå,í²ïaö�ìUäaí²ñ�õ <@í+í8��æ�ä��²í�ìUäañ�ð2ç�ñ�êtæ�ç�éwìUäWç�ï�é,í+í8��æ�ä��²í�ìUäañ�ð2ç�é,è8ëqïaí²å,è8ìUí2æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ð�äañ è�Otëqäaèqñ�ë�ôç�ñ�ê¾ëqïaí²å,èqé�ìUí^ëqí²÷tæ�ïaè�ìUè­æ�ä��²í�ìUäañ�ðhäañ�ìUèqé,÷tå2í�ø�ìUã�è å,ä��qè­í�ø�ìUã�è èqé,é,í²é�ó!í²ö�ñ�ê�åqõ�<@í+í8�µæ�ä��²í�ìUäañ�ð

� k

Page 15: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

ç�ïa÷tí²åwì*ç�ïÊù=ç�ô+å*é,è�Lö�äaé,èqå*í²ñ�ïÊô&çtå,÷´ç�ïaïºç�÷tí²ö�ñRì¯í�ø�ç�ê�ê�äÊìUäaí²ñ�ç�ïiëqí²÷tæ�ö�ìUèqé@ìUäa÷tèXó!è�ô²í²ñ�êµìUã�çLì*í�øæ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ð ç�ñ�ê Ö äañ^í²ö�é8ìUèqåwì*é,ö�ñ�å Ö æ�ç�éwìUäWç�ï�é,í+í8�´æ�ä��²í�ìUäañ�ð é,è�Lö�äaé,èqê^ìUã�èXåUç�÷tè2ç�÷tí²ö�ñRì@í�øëqí²÷tæ�ö�ìUèqéºìUäa÷tèyç�å�ç¯æ�ç�éwìUäWç�ïæ�ä��²í�ìUäañ�ð�ç�ïað²í²é,äÊìUã�÷ ìUã�çLì�ë�ç�ïaëqö�ïWçLìUèqå3ìUã�èyð²é,í_ù8ìUã£øEç�ë�ìUí²éqõCâ8ã�èqí²é,èq÷tå� Ö S2ç�ñ�ê k æ�é,í8�²è8ìUã�çLì4é,í+í8�Xæ�ä��²í�ìUäañ�ð2ç�ñ�ê­æ�ç�éwìUäWç�ï+é,í+í8��æ�ä��²í�ìUäañ�ð�ë�ç�ñ ñ�í�ì4ã�ç7�²è8ìUã�è8èrò�æ!í²ñ�èqñRìUäWç�ïèqé,é,í²é8ð²é,í_ù8ìUã^ìUã�çLì¯ë�ç�ñ Ö çLì8ìUäa÷tèqå Ö ÷´ç4��è�æ�ç�éwìUäWç�ï�æ�ä��²í�ìUäañ�ð­ñö�÷tèqé,äaë�ç�ïaïÊô´ö�ñ�åwìlç�ó�ïaè�õâ8ã�èqé,è@ç�é,èyå,èK�²èqéUç�ï�äañRìUèqé,èqåwìUäañ�ð�èrò+ìUèqñ�å,äaí²ñ�å�ìUí*ìUã�äaåºùyí²éG��õ ��ö�é�äa÷tæ�ïaèq÷tèqñRìlçLìUäaí²ñ2í�ø�é,í+í8�2æ�ä��²í�ìUäañ�ðù=ç�å¯ìUèqåwìUèqêGí²ñ�çtå,èqé,äWç�ï3ëqí²÷tæ�ö�ìUèqéqõ%e\ì¯ùyí²ö�ïaêµó!è�í�ø4äañRìUèqé,èqåwì*ìUí´èrò�æ�ïaí²é,èXè�cuèqë�ìUä��²è£äa÷tæ�ïaèq÷tèqñRìlçMìUäaí²ñ�å*í²ñGã�äað²ã�æ!èqéwømí²é,÷´ç�ñ�ëqè�ëqí²÷tæ�ö�ìUèqé,åqõ !*ïaå,íhäÊì�ç�æ�æ!è�ç�é,å*ìUã�çLì�é,í+í8�^æ�ä��²í�ìUäañ�ðpæ�é,í+ê�ö�ëqèqå�éUç�ñ �é,èK�²è�ç�ïaäañ�ð£øEç�ë�ìUí²é,ä���çLìUäaí²ñ�åyç�ñ�êhäÊì8äaåyí�øºäañRìUèqé,èqåwì8ìUí­èrò�æ�ïaí²é,è*ìUã�äaåyømö�éwìUã�èqéqõ :�èK�²èqïaí²æ�÷tèqñRì@í�ø3å,ã�ç�é,æó!í²ö�ñ�ê�å8ømí²é=ìUã�è2ð²é,í_ù8ìUã^øEç�ë�ìUí²é8äañ^é,í+í8�´æ�ä��²í�ìUäañ�ð äaå@ç£ìUã�äaé,ê&ç�é,è�ç­í�ø�äañRìUèqé,èqåwì�õ

� ��� � �+ÚºÞºá � ) �XÜCÝ�Ý �¯Ý � � �3 # � �e\ìºäaå3ñ�í�ìºã�ç�é,ê2ìUí¯å,ã�í_ù·ìUã�çLìºäÊø�ç�ïaï�ìUã�è�äañ�è�Lö�ç�ïaäÊìUäaèqå�äañ � �8��iç�é,è�è�Lö�ç�ïaäÊìUäaèqå�ìUã�èqñ . W �[� U õ #¯í_ùyèK�²èqé�ièq÷t÷´ç��Àäaå ñ�í�ì ìUé,ö�è � . W äaå ö�ñó!í²ö�ñ�ê�èqêf�­ømí²é ý [ SGù@äÊìUã�í²ö�ì ìUã�èµç�ê�ê�äÊìUäaí²ñ�ç�ï=äañ�è�Lö�ç�ïaäÊìUäaèqå. W [L. ª [ mTmTm [ . U [ Õ ç�ñ�ê&ùyè£ç�é,èXñ�í�ì�ç�ó�ïaè2ìUítæ�é,í8�²è@�ièq÷t÷´ç � óRô&ê�äaé,èqë�ìUïÊôh÷´ç�ñ�äaæ�ö�ïWçLìUäañ�ðìUã�è*äañ�è�Lö�ç�ïaäÊìUäaèqå4äañ � �8��rõCe/ñpí²ö�é�æ�é,í+í�ø��ièq÷t÷´çK��ømí²ïaïaí_ù@å4ømé,í²÷1�ièq÷t÷´çF!�õ � Ö ó!èqïaí_ù Ö óRô´ïaè�ì,ìUäañ�ðJ �üý Ö .3< � W � Õ ç�ñ�ê��� ý UTi ª õ �ièq÷t÷´ç�å=!�õP��ç�ñ�êD!�õ S�ç�é,è¯ö�å,èqêhäañtìUã�è¯æ�é,í+í�øií�ø��ièq÷t÷´çF!�õ �+õ� �3 # ���)EØ�� Ï/. JD[ ��� È+)�Î� <�� )A )mÍ�Ð ) � " �����%$ � ��)�Ð

� � W � ª _ ¶ _ q _ mTmTm � !�õP��

� '&'&�(*) �¯í�ìUèpìUã�çLì W � ª � �^äaå�ìUé,ä��+äWç�ï7õ �+ö�æ�æ!í²å,èhìUã�çLì\Jv[ �Gç�ñ�ê�ïaè�ì�� � � � � J ��� > < V3W @ i ª � � � � < V3W � J < i ª õiâ8ã�èqñ�� � n J � _ Õ ømí²ïaïaí_ù@å�è�ç�å,äaïÊôÀç�ñ�ê¸å,äañ�ëqè�� � Õ � � Õ�Ö ùyè´÷´ç�ôëqí²ñ�ëqïaö�ê�è�ìUã�çLì < � n J!õ Ô í²é@ìUã�äaå*é,è�ç�å,í²ñÀç�ñ�ê�ê�ö�è�ìUí � Ò �@äÊì¯ømí²ïaïaí_ù@å@ìUã�çLì � � <�_ R << V3W S Wji ªømí²é$JY[ �+õ �iè�ì � < ó!èXìUã�è�ê�èqé,ä���çLìUä��²èXí�ø <2ù@äÊìUãµé,èqå,æ!èqë�ì�í�ø�J!õ!â�ç4�äañ�ð´ïaí²ðRç�é,äÊìUã�÷tå8í�ø � Ò �¯ç�ñ�êê�äPcuèqé,èqñRìUäWçLìUäañ�ð¯ù@äÊìUã£é,èqå,æ!èqë�ì4ìUíFJXäÊì�ømí²ïaïaí_ù@å3ìUã�çLì � < � W

�� < V3WW � � � �üïañ R << V3W S Wji ª � ïañ � �$� < � � Õ õ

â8ã�èqé,è�ømí²é,è <�äaå8ê�èqëqé,è�ç�å,äañ�ð ømí²é'J []� Ö æ�é,í8�+äañ�ð ìUã�è2é,èqå,ö�ïÊì�õ��

� �3 # ���)+� �=Ì�(=)�Ð J�[ ��� Õ ��� � J< i ª É�еÉ2Í �3) .3< � W [ Õ�ÇlÏLÐ�Ë�Ì# ) .£Î���) & .UÏ � È+) � Ï ,�tÉ��²Ì��­Ì �qÌdÐ32 . W Ë � � )lÇ�Î�Î/ÏtÎ���)­ÇlÏLÐ�Ë�Î .,É�ÌdÐ�ÎdË. W [ . ª [ mTmTm [ .3<F[ .3< � W � � !�õ �8�

<P+ Q W . + � � É�Ð � !�õ SC�

OP+ Q W . + � UW 7%Wji ªAXY � � <Z+ Q O � W . + \]_^` O ,�Ï/. 7 � �8� �5� mTmTm � J � � 9 � !�õ k �

� Ó

Page 16: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

� )�Î�� < � W � Õ�É�Ð � ,�Ï/. 8 � �8� mTmTm � J � È+)�Î�� < V � � W _ ÕhË�É�ÎEÌaË�,T"� J � 88� > < V � @ i ª � � < V � � W � � � � ��8 � < V � � W �

< V � � � 9 � !�õ Ó �

� ) �4ÌdÈdÈ+ËG��Ï���ÌdÐ � ) � �tÉ�Ä9$��­Î���É�Î�� < � W � � < � mTmTm � � W $ � ��) �tÉ��²Ì�� ��� (LÉ�È���)�Ï , . W ) & )�ÐCËÏLÐ .3< � W $���,�,�Ï/.�Ë_Ï���) 8 � Õ � 8 � J � � � � < V � � W � .3< � W � � < V � � Î���)�ЭÍ�Ð .3< V � [ .3< � W Ë ��ÇG�Î���É�Î

� J � 8 � �� > < V � V3W @ i ª .3< V � � � ��8T.3< � W � .3< V � � < V � V3W � ��B � .3< � W � �­É�дÈ+)�Î � !�õ Ò �. W � W � � � ª � mTmTm � � � < V � V3W � � � ��8T.3< � W � .3< V � � � � !�õ b8�

Ì ,�� ª � .3< � W � � W Î���)�Ð . W � ��B � .3< � W � < V3W � � !�õ RC�

É�Ð�Ì ,� W � .3< � W Î���) . )=ÌaËyÐuÏ!, )UÉCË�Ì � È+)�Ë_ÏLÈ��+ÎEÌ7ÏLРÎ/Ï �mÄ9$� � � �mÄ9$ � �%$��rРÎ���)¯ÇUÉCË*)yÎ���É�Î .3< � W � � < Î���)�tÉ��²Ì�� ��� . W ÌaË£ÉÇG�+Ì ) (=) pÏLÐ�È�"�� ��)�ÐÀÉ�ÈdÈiÎ���)2ÌdÐ ) �!��É�È�ÌdÎEÌ )lËXÌdÐ �mÄ9$�� �pÉ�Ð �mÄ9$ � �pÉ=. ) ) �!��É�È�ÌdÎEÌ )lËF$� '&'&�(*) Ô í²é'J � ��ìUã�è�ìUã�èqí²é,èq÷ äaå8ëqïaè�ç�é,ïÊô´ìUé,ö�è�õ��¯í_ù ç�å,å,ö�÷tè�ìUã�çLì8ìUã�è2ïaèq÷t÷´ç£äaå=ìUé,ö�è�ømí²éJ � ý�õuû¸è�ù@äaïaïºå,ã�í_ù ìUã�çLì�äÊì*ømí²ïaïaí_ù@å¯ìUã�çLì�äÊì�äaå¯ìUé,ö�è£ømí²éFJ � ý � �²õ e/ñÀí²ö�é�ñ�í�ìlçLìUäaí²ñ�ó!èqïaí_ùìUèqé,÷tå¯ù@äÊìUã�ã�çLìUå � è�õ ð�õ �. W �8ù@äaïaï3é,èqæ�é,èqå,èqñRì ��ç�é,äWç�ó�ïaèqå@ømí²é$J � ý·ç�ñ�ê�ìUèqé,÷tå¯ù@äÊìUã�í²ö�ì*ã�çLìUå � è�õ ð�õ. W �*ù@äaïaï�é,èqæ�é,èqå,èqñRìXìUã�è­ìUèqé,÷tå�ìUã�çLì2ëqí²é,é,èqå,æ!í²ñ�ê¾ìUí`J �1ý �a�²õ�!*å�ùyè ù@äaïaï�å,èqè Ö óRôÀö�å,äañ�ðhìUã�èäañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ¸ãRô+æ!í�ìUã�èqå,äaå£ùyèpë�ç�ñ·ú�ñ�ê Ö ømí²é�è�ç�ëlã·ú�ò�èqê . U � W [ . U � ª [ Õ�Ö ìUã�èp÷´çCò�äa÷£ö�÷ í�ø . Wå,ö�ó ,èqë�ì�ìUí � !�õ �8� M � !�õ k �3ù@äÊìUã\J � ý �Y�²õRâ8ã�äaå�ù@äaïaï+ïaè�ç�ê£ìUíXç�å,í²ïaö�ìUäaí²ñ£ømí²é4ç�ñRô*. U � W [ . U � ª õ�û¸èëqí²ñ�å,äaê�èqé�ì/ùyí£ë�ç�å,èqåyäañtí²ö�é�å,í²ïaö�ìUäaí²ñ $ � [�ý UTi ª . U � W � � ��. U � W � U ç�ñ�ê�� �6ý UTi ª . U � W � � ��. U � W � U õe/ñ�ìUã�èyë�ç�å,è�ìUã�çLì �*[�ý UTi ª . U � W � � � . U � W � U è�Lö�çLìUäaí²ñ�å � !�õ �8� M � !�õ k ��ømí²éXJ � ý �D�8ç�é,è�è�Lö�ä���ç�ïaèqñRììUí � !�õ �8�=ç�ñ�ê � !�õ k �rõ �iè�ì@ö�å8ê�è�ú�ñ�è �. +.� . + B � � � . U � W ��ømí²é)E � �8� mTmTm �Uý ���²õ�â8ã�èqñ&óRôhç�ïað²èqó�éUçäÊìtømí²ïaïaí_ù@å­ìUã�çLì � !�õ �8� Ö � !�õ SC� ç�ñ�ê � !�õ k �tç�é,è^ìUé,ö�è&ømí²éDJ � ýüù@äÊìUã�ç�ïaï=ìUã�è�. + + å´é,èqæ�ïWç�ëqèµóRô�. +=ç�ñ�ê¸ù@äÊìUã ��é,èqæ�ïWç�ëqèqê¸óRô¸ý UTi ª õ Ô ö�éwìUã�èqé,÷tí²é,è äañ¾ìUã�äaåXë�ç�å,è9. U � W � � � . U � W � U � ��BLý UTi ª �� ý ���� > U � W @ i ª BLý UTi ª õ��+äañ�ëqè � � � ��� � U äaåyç�ñ´äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ðXømö�ñ�ë�ìUäaí²ñ´í�ø �&ç�ñ�êpê�ö�è¯ìUí � Ò ��äÊì�ømí²ïaïaí_ù@åìUã�çLì�. U � W � U � W ç�ñ�ê^ìUã�èqé,è�ømí²é,è2óRô �ièq÷t÷´ç�!�õP�2ìUã�çLì �. U � W � U � W B � � � U � W � � U � W � U õ#¯í_ùyèK�²èqé­óRô � !�õ Ó �2ç�ñ�ê � Ò � �� U Ö ìUã�è´å,í²ïaö�ìUäaí²ñÀìUí � !�õ Ó ��ù@äÊìUã�J � ý Ö 8 � �pç�ñ�ê ��é,èqæ�ïWç�ëqèqêóRô ý UTi ª Ö äaå ,ö�åwì U õ�â8ã�äaå äa÷tæ�ïaäaèqå�ìUã�çLì Õ � �. U � W � �� U ç�ñ�ê�ùyèµë�ç�ñ ç�æ�æ�ïÊô·ìUã�è&äañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñãRô+æ!í�ìUã�èqå,äaå^ìUí ëqí²ñ�ëqïaö�ê�è Ö óRô � !�õ Ò �hç�ñ�ê � !�õ b8�´ù@äÊìUã;8�� Õ�Ö ìUã�çLì^ìUã�èÀ÷´çCò�äa÷£ö�÷ í�ø �. W äaåç�ëlã�äaèK�²èqê¸ømí²é �. W � W � � � ª � mTmTm � � � U�V3W � � � � �. U ��� W � � � ª � mTmTm � � � U�V3W � � � � �� U ��� W � �$� ª � mTmTm � �$� U�V3W � � �$� U �rõ�â8ã�èqé,è�ømí²é,è Ö ømí²éºú�ò�èqê/. U � W å,ö�ëlã­ìUã�çLì�ý UTi ª . U � W � �$�N. U � W � U � �. W � W � � � ª � mTmTm � � � U�V3W � � � � U � � � � . U � W � 9 � !�õ gC�

e/ñ ìUã�è¾ë�ç�å,è¾ìUã�çLì&ý UTi ª . U � W � � � . U � W � U _ � è�Lö�çLìUäaí²ñ�å � !�õ �8� M � !�õ k �´ømí²é`J � ý �Q�¸ç�é,èè�Lö�ä���ç�ïaèqñRì�ìUí � !�õ �8� Ö � !�õ SC�¯ç�ñ�ê Ö ømí²é 7 �Q�8� �5� mTmTm �Uý � � Ö ìUã�è­è�Lö�çLìUäaí²ñ�å�äañ � !�õ k �rõ%!*ðRç�äañµùyè

� Ò

Page 17: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

ê�è�ú�ñ�è �. + � . + B � � � . U � W ��ømí²é�E � �8� mTmTm �Uý �*�²õ4â8ã�èqñ óRô6ç�ïað²èqó�éUçGäÊì ømí²ïaïaí_ù@å­ìUã�çLì � !�õ �8� Ö� !�õ SC�=ç�ñ�ê � !�õ k �=ç�é,è�ìUé,ö�è�ømí²é'J �üýGù@äÊìUã&ç�ïaï!ìUã�è?. + + å@é,èqæ�ïWç�ëqè�óRô �. +�ç�ñ�êhù@äÊìUã ��é,èqæ�ïWç�ëqèqê^óRô�� � � Bs� . U � W � � � . U � W � U � ý UTi ª õâ8ã�èXå,í²ïaö�ìUäaí²ñ�å � W � � ª � mTmTm � � U � W ìUí � !�õ Ó ��ù@äÊìUãYJ �üý �v�Xç�é,èXç�ïaå,í£ìUã�èXå,í²ïaö�ìUäaí²ñ�å � é,èqæ�ïWç�ëqè 8£óRô8 �v���ìUí

� ý � 88� > U�V � @ i ª � � U�V � � W � � � W � � � � 8 �v�� � U�V � � W �IU�V � � � ømí²é 8�� Õ � �8� mTmTm �Uý 9 � !�õP� Õ �

:�è�ú�ñ�è �� U � W � Õ ç�ñ�ê �� U�V � � W Ö 8�� �8� �5� mTmTm �Uý Ö ìUí ó!è�ìUã�è2å,í²ïaö�ìUäaí²ñ�åyìUí� ý � 88� > U�V � @ i ª � �� U�V � � W � � � � ��8 �� U�V � � W �IU�V � � � Bs� . U � W � � � . U � W �IU � �� 9 � !�õP�8��

âºí øEç�ëqäaïaäÊìlçLìUè¯í²ö�é@äañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ^ç�é,ð²ö�÷tèqñRì@ùyè�ù@äaïaï�å,ã�í_ù ìUã�çLì@ømí²é 8 � �8� �5� mTmTm �Uý Ö. U � W � � U�V � � W äÊø�ç�ñ�ê^í²ñ�ïÊôpäÊø �. U � W � �� U�V � � W 9 � !�õP��8�

âºí¾ê�í¾ìUã�äaå ç�å,å,ö�÷tè^ømí²é å,í²÷tè 8 Ö � � 8 � ý Ö ìUã�çLì Õ � . U � W � � U�V � � W õ1:�è�ú�ñ�è��� U�V � � W �� U�V � � W B � � � � U�V � � W �=ç�ñ�ê&é,èqë�ç�ïaïuìUã�çLì �. U � W � . U � W B � � � . U � W �rõ��+äañ�ëqè � B � � �v��yäaå8äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ðømí²é �Y[ Õ�Ö . U � W � � U�V � � W äa÷tæ�ïaäaèqå �. U � W � �� U�V � � W õ²î�ô � !�õP� Õ �ºç�ñ�ê£å,äañ�ëqè � � � � � � U äaå�äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ðømí²é �Y[ Õ äÊì=ømí²ïaïaí_ù@åyìUã�çLì� ý � 88� > U�V � @ i ª � �� U�V � � W � � � � ��8��� U�V � � W �IU�V � � ��Bs� � U�V � � W � � � � U�V � � W �IU � �� 9 � !�õP�TSC�

�+äañ�ëqè � � � ��� 8 � � U�V � äaå�äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ðXømí²é �Y[ Õ�Ö � !�õP�8���ç�ñ�ê � !�õP�TSC�4äa÷tæ�ïÊô£ìUã�çLì��� U�V � � W � �� U�V � � Wç�ñ�êGùyè­÷´ç�ô�ëqí²ñ�ëqïaö�ê�è£ìUã�çLì �. U � W � �� U�V � � W õ �¯í_ù�ç�ïaïºìUã�è � äañ�è�Lö�ç�ïaäÊìUäaèqå¯äañ�ìUã�è­äañ�è�Lö�ç�ïaäÊìUäaèqåømé,í²÷-è�Lö�çLìUäaí²ñ � !�õP� Õ �@ìUã�é,í²ö�ð²ãGìUã�è­ëqí²ñ�ëqïaö�å,äaí²ñ�ìUã�çLì �. U � W � �� U�V � � W ë�ç�ñÀó!è£é,èqæ�ïWç�ëqèqê Ö ö�å,äañ�ðäaê�èqñRìUäaë�ç�ïiç�é,ð²ö�÷tèqñRìUå Ö ù@äÊìUãu_'ç�ñ�ê^ìUã�äaå8æ�é,í8�²èqå � !�õP��8�rõ&yí²ñRìUäañö�äañ�ð2ìUã�è@ë�ç�å,è¯ù@ã�èqé,è¯ý UTi ª . U � W � ��� . U � W � U _ � ùyè*÷´ç�ô­ö�å,è@ìUã�è¯äañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ ãRô+æ!í�ìUã�èqå,äaåqõe\ø�ømí²é@å,í²÷tè 8 Ö!Õ � 8 � ý � � Ö � U�V � � W � . U � W � � U�V � ìUã�èqñ�óRô � !�õP��8� �� U�V � � W � �. U � W � �� U�V �ç�ñ�êüëqí²ñ�å,è�Lö�èqñRìUïÊôüè�Lö�çLìUäaí²ñ�å � !�õ Ò �´ç�ñ�ê � !�õ b8�pç�é,è�ìUé,ö�èGù@äÊìUã]J � ý ç�ñ�ê . W Ö . U�V � Ö . U � Wç�ñ�ê �;é,èqæ�ïWç�ëqèqê Ö é,èqå,æ!èqë�ìUä��²èqïÊô Ö óRô �. W Ö �. U�V � Ö �. U � W ç�ñ�ê �� õ%!*ïaå,ípóRôµìUã�è�äañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ�ãRô+æ!í�ìUã�èqå,äaå�. U�V � [ �. U � W å,í²ï��+äañ�ð � !�õ Ò �yèrò�äaåwìUåqõ�â8ã�èqé,è�ømí²é,èXóRô&ç�ïað²èqó�éUç . U�V � [ . U � W ù@ã�èqé,è

� ý � 8 � �� > U�V � V3W @ i ª . U�V � ��� � � 8 �v���. U � W � . U�V � U�V � V3W � ��B � . U � W � � � W8ç�ñ�ê � !�õP� k �. W � W � � � ª � mTmTm � � � U�V � V3W � � � � � 8 �v���. U � W � . U�V � � 9 � !�õP� Ó �

e\ø � ª � . U � W � � W ìUã�èqñ �� ª � �. U � W � �� W ç�ñ�ê&óRô � !�õ RC� �. W � ��KB � �. U � W � U�V3W ù@ã�äaëlã&äa÷tæ�ïaäaèqåyìUã�çLì. W � ��B � . U � W �IU 9 � !�õP� Ò �

�b

Page 18: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

Ô äañ�ç�ïaïÊôhäÊø � W �B. U � W ìUã�èqñ �� W � �. U � W ç�ñ�êGóRôµìUã�è£äañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ�ãRô+æ!í�ìUã�èqå,äaå�ìUã�èqé,è£äaå�ñ�ípømè�ç�å,äaó�ïaèå,í²ïaö�ìUäaí²ñpìUí­ìUã�è2ëqí²ñ�åwìUéUç�äañRìUåqõ

î�ô¸ö�å,èpí�ø8ìUã�èpäañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ¸ãRô+æ!í�ìUã�èqå,äaå�ùyèhã�ç7�²èpé,èqê�ö�ëqèqê�ìUã�èpý�� �pê�äa÷tèqñ�å,äaí²ñ�ç�ï4æ�é,í²ó�ïaèq÷ í�øú�ñ�ê�äañ�ð­ìUã�è2÷´çCò�äa÷£ö�÷;í�ø. W å,ö�ó ,èqë�ì¯ìUí � !�õ �8� M � !�õ k ��ù@äÊìUã`J �üý � ��ìUítç­æ�é,í²ó�ïaèq÷ äañ:�²í²ï��+äañ�ðí²ñ�è ��ç�é,äWç�ó�ïaè . U � W ù@ã�èqé,è . W ç�å8çXømö�ñ�ë�ìUäaí²ñpí�ø . U � W äaåyð²ä��²èqñ Ö ømí²éyý UTi ª . U � W � ���M. U � W � U � � Ö óRô� !�õ gC�=ç�ñ�ê Ö ømí²é8ý UTi ª . U � W � � � . U � W � U _ � Ö óRô � !�õP� k ��ìUã�é,í²ö�ð²ã � !�õP� Ò �rõ�¯í�ìUè ìUã�çLì�äÊì2ømí²ïaïaí_ù@å2è�ç�å,äaïÊô�ìUã�çLì . W ð²ä��²èqñ¸óRô � !�õ gC��äaåXç�ñ¸äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ð^ømö�ñ�ë�ìUäaí²ñ¸í�ø . U � W õiû¸èñ�í_ùüå,ã�í_ùüìUã�çLì . W ð²ä��²èqñpóRô � !�õP� k �4ìUã�é,í²ö�ð²ã � !�õP� Ò �4äaå=çXñ�í²ñ5M/äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ðXømö�ñ�ë�ìUäaí²ñ´í�ø . U � W õ+âºíê�íXå,í�ñ�í�ìUè8ìUã�çLì�. W ð²ä��²èqñtóRô � !�õP� Ò ��äaå�ëqïaè�ç�é,ïÊô£ê�èqëqé,è�ç�å,äañ�ð�õ Ô í²é�å,í²÷tè58 ÖÕ � 8 � ý � �Xç�å,å,ö�÷tèìUã�çLì � !�õP� k � M � !�õP� Ó �yç�æ�æ�ïÊô²õ �iè�ì�. � W ç�ñ�ê . �U�V � ó!è�ìUã�è2ê�èqé,ä���çLìUä��²èqå8í�ø Ö é,èqå,æ!èqë�ìUä��²èqïÊô Ö . W ç�ñ�ê . U�V �ù@äÊìUãµé,èqå,æ!èqë�ì�ìUí9. U � W õfe/÷tæ�ïaäaëqäÊìUïÊô´ê�äPcuèqé,èqñRìUäWçLìUäañ�ð � !�õP� Ó �@ç�ñ�êµè�Lö�çLìUäaí²ñ � !�õP� k �8÷£ö�ïÊìUäaæ�ïaäaèqêhóRô� . U � W � � � W ùyè2í²ó�ìlç�äañ . � W � W � � � ª � mTmTm � � � U�V � V3W ��� � 8 �v�� � . �U�V � ç�ñ�ê

� � 8 �v���� . �U�V � � . U � W � � � W���� � � 8 �v���. U � W � . U�V � U�V � V ª � � ý � 88��. U�V � � � 8 �v���. U � W �v� � � � 8 �v�� � . U � W � � ��� � � 8 �v���. U � W � . U�V � U�V � V3W�� . U�V � � . U � W 9 � !�õP�b8�

�+äañ�ëqèA. U�V � [ . U � W ùyèh÷´ç�ô¾ëqí²ñ�ëqïaö�ê�è´ìUã�çLì . � W � Õ í²éXìUã�çLì*. W äaå�ñ�í²ñ5M/äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ð�õ!�¯í�ìUèpóRô� !�õP� Õ �4ìUã�çLì � U � W äaå�ìUã�è�å,í²ïaö�ìUäaí²ñ ìUí£ý UTi ª � U � W � � � � U � W � U � � õ5e\ìyømí²ïaïaí_ù@å�è�ç�å,äaïÊô ømé,í²÷1�ièq÷t÷´ç!�õ SÀìUã�çLìtäÊø . U � W � � U � W ìUã�èqñ . U :�;. U � W õ4â8ã�èqé,è�ømí²é,è&ømí²é/. U � W å,ïaäað²ãRìUïÊô·ïWç�é,ð²èqé­ìUã�ç�ñ � U � W Ö. U _ . U � W ç�ñ�ê^óRô � !�õP�b8��ù@äÊìUã 8�� Õ�Ö . W äaå8åwìUé,äaë�ìUïÊô´ê�èqëqé,è�ç�å,äañ�ð�õâºí�ú�ñ�äaå,ã´ìUã�è*æ�é,í+í�ø�í�øiìUã�è*ïaèq÷t÷´ç�ømí²éyç�ð²ä��²èqñ9. U � ª _ Õ ùyè�ñ�èqèqê´ìUí£ïaí+í8�­çLì � !�õ �8� M � !�õ k ��ù@äÊìUãJ � ý�� � ømí²é�ç�ñRôM. U � W [5. U � ª õ Ô äaé,åwì2ùyè´ëqí²ñ�å,äaê�èqéXìUã�ètë�ç�å,ètìUã�çLì . U � ª � � U � W õ�î�ô � !�õ gC�. W äaåXç�ñ¾äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ð^ømö�ñ�ë�ìUäaí²ñ¾í�ø . U � W ømí²é?. U � ª � . U � W � � U � W Ö óRôGìUã�èté,èq÷´ç�éG�åXäañÀìUã�ètïWç�åwìæ�ç�éUç�ð²éUç�æ�ãA. W äaåyê�èqëqé,è�ç�å,äañ�ð�ømí²é�. U � W å,ïaäað²ãRìUïÊô­ó�äað²ð²èqé�ìUã�ç�ñ � U � W ç�ñ�ê´ømí²é�. U � W ïWç�é,ð²èqé Ö . W äaå�ñ�í�ìäañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ð�õ3â8ã�èqé,è�ømí²é,è´ìUã�è´÷´çCò�äa÷£ö�÷ í�ø�. W äaå�ç�ëlã�äaèK�²èqê·ømí²é_. U � W � � U � W ç�ñ�ê¸ìUã�äaå ��ç�ïaö�ètí�ø. U � W äaå=ö�ñ�ä.Lö�è�õ �iè�ì,ìUäañ�ð*. U � W � � U � W äañ � !�õ gC�yäÊìyømí²ïaïaí_ù@å�ìUã�çLì=ømí²é 8 � Õ ç�ñ�ê�J � ý � � � !�õ Ò �ç�ñ�ê � !�õ b8��ç�é,è¯ìUé,ö�è�ç�ñ�êtìUã�çLì .3< V � [ .3< � W õ,e/ñ´ìUã�äaå�ë�ç�å,è�äañ´í²é,ê�èqé�ìUí­ç�ëlã�äaèK�²è¯ìUã�è*÷´çCò�äa÷£ö�÷ . WìUã�è���ç�ïaö�è�í�ø . U � W ë�ç�ñ^í²ñ�ïÊô´ó!è � U � W õ -¯å,äañ�ð£ìUã�äaå8ç�ñ�ê&ç�ñhäañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ^ç�é,ð²ö�÷tèqñRì Ö í²ñ�è�ë�ç�ñ^è�ç�å,äaïÊôå,ã�í_ù'ìUã�çLì¯ç�ïaïuìUã�è2äañ�è�Lö�ç�ïaäÊìUäaèqåyäañ � !�õ SC�=ç�ñ�ê � !�õ k �8ç�é,è�è�Lö�ç�ïaäÊìUäaèqåqõe/ñ´ìUã�è*ë�ç�å,è*ìUã�çLì . U � ª _ � U � W ùyè$�ñ�í_ùüìUã�çLì . W äaåyç�ñ�í²ñ5M/äañ�ëqé,è�ç�å,äañ�ð2ømö�ñ�ë�ìUäaí²ñpí�ø . U � W [ . U � ª õâ8ã�èqé,è�ømí²é,è Ö äañpìUã�äaå8ë�ç�å,è�ùyèXë�ç�ñ^å,è�ì�. U � W �L. U � ª õ�ûüäÊìUãhìUã�äaå ��ç�ïaö�è�í�ø. U � W � !�õP� k � M � !�õP� Ò �yç�é,è,ö�åwì � !�õ Ò � M � !�õ RC��ù@äÊìUã J �üý ����ç�ñ�ê 82äañ�ëqé,è�ç�å,èqêpóRô`�²õ,!*ïaå,íXùyè$�ñ�í_ù�ìUã�çLì . U�V � [ . U � W ç�ñ�êìUã�èqé,è�ømí²é,è?. U�V � [ . U � ª õ�â8ã�äaå@ëqí²÷tæ�ïaè�ìUèqå=ìUã�è2äañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ^æ�é,í+í�ø"õ��

� �3 # ���)D� ��, J []� � Õ � � � J < i ª É�Ð � W � � ª � mTmTm � � < Ë�É�ÎEÌaË�,T" �mÄ9$ � � Î���)�Ð� < � � < V3W � mTmTm � � W 9 � !�õP�TRC�

� '&'&�(*) û¸è*ó!èqð²äañ´óRôtå,ã�í_ù@äañ�ð�ìUã�çLì � < � � < V3W õ �iè�ì � � � � � � J � �� > < V3W @ i ª � � � ��� � < V3W � �ç�ñ�ê �� � � � � J � �8� > < V ª @ i ª � ª � � ��� � � < V ª � � õ�â8ã�èqñ � <2äaå8ìUã�è2æ!í²å,äÊìUä��²è�å,í²ïaö�ìUäaí²ñhìUí�� � � � � Õ

�TR

Page 19: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

ç�ñ�ê � < � W äaåXìUã�èpæ!í²å,äÊìUä��²è´å,í²ïaö�ìUäaí²ñ¸ìUí �� � � � Õ õ �¯í_ù � � Õ � � �

� Õ � � � � � Õ�Ö � � � Õ �\_ Õç�ñ�ê � � � Õ � � Õ õ�â8ã�èqé,è�ømí²é,è2ømí²é@å,÷´ç�ïaï��d_ Õ�Ö �

� � � � � � � �rõ �+ö�æ�æ!í²å,è2ìUã�çLì@ømí²é@å,í²÷tè �d_ Õ ìUã�çLì� � � �J� �

� � �rõuâ8ã�èqñ � J � �� > < V3W @ i ª � � � �� � < V3W � � J � �8� > < V ª @ i ª � ª � � �v� � � < V ª õ�:�ä��+äaê�äañ�ðtóRô� � ��� � < V3W ç�ñ�êhê�è�ú�ñ�äañ�ð �� � � B � � � � ��ìUã�èqñ � J � �� > < V3W @ i ª � � J � �8� > < V ª @ i ªI�� � � � �� � < V ª ç�ñ�êäÊìXømí²ïaïaí_ù@å�ømé,í²÷ � Ò ��ìUã�çLì �� � < V3W õºâ8ã�èqé,è�ømí²é,è �

� � � � � � � ��ømí²é Õ � � � < V3W B � � � < V3W �rõ�¯í_ù-ìUã�èGëqí²ñ�ê�äÊìUäaí²ñ � � J< i ª Ö � Ò �´ç�ñ�ê � !�õ Ó �täa÷tæ�ïÊô�ìUã�çLì � < � <Gç�ñ�êüóRô �ièq÷t÷´ç !�õP� < � < V3W � < V3W B � � � < V3W �rõ�â8ã�èqé,è�ømí²é,è �

� � � � � � � �*ømí²é Õ �� � � <�õ!�+äañ�ëqè�� � � < � � Õ äÊìømí²ïaïaí_ù@å*ìUã�çLì�ìUã�è �qèqé,í � < V3W í�ø �

� � �*åUçLìUäaåwú�èqå � < � � < V3W õ�â8ã�äaå�èqåwìlç�ó�ïaäaå,ã�èqå�ìUã�è ó�ç�å,è­åwìUèqæ�å2ømí²éìUã�è2äañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ&ç�é,ð²ö�÷tèqñRìUå8ó!èqïaí_ù2õ

û¸è­ñ�í_ù å,ã�í_ù � !�õP�TRC�@óRô�ö�å,äañ�ðhäañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ�í²ñ�J!õ!û¸è ç�å,å,ö�÷tè�ìUã�çLì � !�õP�TRC�¯äaå*ìUé,ö�è�ømí²éFJ � ýç�ñ�ê¾å,ã�í_ù�ìUã�çLì2ìUã�äaå�äa÷tæ�ïaäaèqå � !�õP�TRC�¯ømí²éKJ��;ý � �²õ�!*åXäañÀí²ö�é2è�ç�é,ïaäaèqé�ñ�í�ìlçLìUäaí²ñGùyè­ù@äaïaï�ö�å,èã�çLìUå�í8�²èqé���ç�é,äWç�ó�ïaèqå�ìUíµé,è�ømèqé2ìUí&ìUã�è´ë�ç�å,ètìUã�çLì�J � ý ç�ñ�ê���ç�é,äWç�ó�ïaè£ù@äÊìUã�í²ö�ì�ã�çLìUåXù@äaïaï4é,è�ømèqéìUí´ìUã�è£ë�ç�å,è�ìUã�çLìFJ � ý�� �²õ�û¸è­ç�ïaå,ítù@äaïaï3ö�å,è­äañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñµí²ñ 8´ç�ñ�êµù@äaïaïºç�å,å,ö�÷tè�ømí²é*å,í²÷tè-8 Ö� � 8 � ý � � Ö ìUã�çLì

� U � W � � U � mTmTm � � U�V � � W 9 � !�õP�TgC�

û¸è�ù@äaïaïuå,ã�í_ù'ìUã�çLì � U�V � � W � � U�V � ù@ã�èqé,è � óRô � !�õ Ó ��ù@äÊìUã`J � ý �v�Xç�ñ�ê�8£äañ�ëqé,è�ç�å,èqêµóRôd��� ý � 88� > U�V � @ i ª � � U�V � � W � � � W���� � � 8 �v�� � U�V � � W U�V � � � � !�õ � Õ �

ç�ñ�ê� ý � 8 � �� > U�V � V3W @ i ª � � U�V � � � � ª ��� � � 8 � �8� � U�V � U�V � V3W � � � !�õ �5��

ù@äÊìUã � � � ý �]�� > U � W@ i ªCõ �¯í_ù ïaè�ì �� U�V � � W � � U�V � � W B � � � � U�V � � W �rõ�â8ã�èqñ�ê�ä��+äaê�äañ�ð � !�õ � Õ �8óRô� � � � U�V � � W � U ùyèXð²è�ì

� ý � 88� > U�V � @ i ª � �� U�V � � W � � ��� ��8 �� U�V � � W U�V � ��

� U�V � � W � � � � U�V � � W � U� �� 9 � !�õ �8�8�

�¯í_ù'ê�è�ú�ñ�è 7 � � � � ��B � � � � ��� � U ç�ñ�ê&ê�è�ú�ñ�è �� U�V � óRô� ý � 8 � �� > U�V � V3W @ i ª � �� U�V � � � � W���� � � 8 �v�� �� U�V � U�V � V3W � ��� 7 � � U�V � � W � 9 � !�õ �4SC�

î�ô�ìUã�è&äañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ ãRô+æ!í�ìUã�èqå,äaå � !�õP�TgC�­äañ�8Gùyè��ñ�í_ù�ìUã�çLì � U � W � � U�V � � W ù@ã�èqé,èµóRô � !�õ Ó �ý UTi ª � U � W � � � � U � W � U � � õ �+äañ�ëqè 7 � � �häaå&ê�èqëqé,è�ç�å,äañ�ð6äÊì^ømí²ïaïaí_ù@åhìUã�çLì �� � 7 � � U�V � � W � �7 � � U � W � � ý UTi ª õ�û¸è2ë�ç�ñ&ñ�í_ù ç�æ�æ�ïÊô´ìUã�è2äañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ^ãRô+æ!í�ìUã�èqå,äaå � äañhý"�yìUí ëqí²ñ�ëqïaö�ê�è�ìUã�çLì�� U�V � � W � �� U�V � 9 � !�õ � k �

�Tg

Page 20: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

âºí ú�ñ�äaå,ãhìUã�è2æ�é,í+í�ø�ïaè�ì@ö�å@ê�è�ú�ñ�è �� U�V � � � U�V � B � � � � U�V � �rõ�î�ô � !�õ �5��yäÊì8ømí²ïaïaí_ù@åyìUã�çLì� ý � 8 � �� > U�V � V3W @ i ª � �� U�V � � � � W���� � � 8 �v�� �� U�V � U�V � V3W �

�� U�V � � � � � U�V � � U 9

� !�õ � Ó �

�+ö�æ�æ!í²å,è8ìUã�çLì �� U�V � � �� U�V � Ö ìUã�èqñtóRô � !�õ �4SC��ç�ñ�ê � !�õ � Ó ��äÊì�ømí²ïaïaí_ù@å�ìUã�çLì ��B � � U�V � � ��� � U�V � � U �7 � � U�V � � � �� � 7 � � U�V � � W �Xç�ñ�ê·ìUã�èqé,è�ømí²é,è � U�V � � W � � U�V � ù@ã�äaëlã�äaåXìUã�è´ê�èqå,äaé,èqê�ëqí²ñ�ëqïaö�å,äaí²ñ�õ��ñ¾ìUã�ètí�ìUã�èqéXã�ç�ñ�ê·å,ö�æ�æ!í²å,ètìUã�çLì �� U�V � � �� U�V � õ3â8ã�èqñ � !�õ � k ��äa÷tæ�ïaäaèqå�ìUã�çLì �� U�V � � W � �� U�V � õâ8ã�èqé,è�ømí²é,èXóRôhìUã�è2ê�è�ú�ñ�äÊìUäaí²ñ�å �� U�V � � W � � U�V � � W B � � � � U�V � � W �8ç�ñ�ê��� U�V � � � U�V � B � � � � U�V � �yùyè÷´ç�ôµëqí²ñ�ëqïaö�ê�è­ìUã�çLì � U�V � � W � � U�V � õ�!*ðRç�äañµùyè ð²è�ì�ìUã�è­ê�èqå,äaé,èqêÀëqí²ñ�ëqïaö�å,äaí²ñ�ù@ã�äaëlãÀëqí²÷tæ�ïaè�ìUèqåìUã�è2äañ�ê�ö�ë�ìUäaí²ñ^æ�é,í+í�ø"õ �

�� � �Ü �+Úºà��3"

������� ¢��y��R�l¤w�/�C��°�u¢���_�d° �y¢��¯¢�����"�w�R�_»7° �R¢��R¢��y�C�R�C��¤"¤w���R¢ ¿ ¢��y�r�2���r�d°��R¢��R¢��=����¤"�_³_°��¢��R¢��y�_�2�2��¤w�����R���¯¢��y¤"�l�r�L¬+�_��­°��¯¢��´���8�r��R�l�_°���¢��=�/�/¤"�C��w�R��¥�°¯�_����*¢��y¢����_¤"�r��/�r��¢�!z���z�g�Á s!erOUSwe! �j²bdfLO,n#"�O%$�O"QqerO ~'&)( ¢*��½+���&°-,º������_�R�r��¡+����²° �/.0.01 ¢

� 23� �����l¥_�4�y�"��U¤w��»a�l°R¹��_�_�l¤y�*¢�y¤w�����r�l°²�_��5�_�C��­�*¢76��l�����l¢8�y�l�l�R¤w���/�@�/�²�2���l�/¤w��������R�U������/�������R�r��¤�r¦�����"���C�t�/�C��¥_�l¤w�l¢:9!�X��¡¡��r��¤���� k7;/zy]�o & ]^Q_TWS,b=< & zyY�Q>$ & z�PCP�$ & ° �/.0.0? ¢

� @3� ,u¢A�¯¢A���"���R�_�l¤r¢#�t�C����/�_¤w���R�¯�"�R�=������l¤w���l�_�+�/�"��¬+�������E���_»��=�_��"�"���_�X�r�����2������"���C��¢#B j²VXOUS & ]^Q_Ta` & °�/C'D @0C>E3FA@0CA� ° �/.HG'� ¢

� I>� �y���_� � �R�r���2�_��¢J9��R�­�U�C��¡+���l�/�£¡+��¥_�_�"���R�p�U�C�LK/�r�U�"�R¤"�­»a�_¤��=�_��"�"���_�µ�r�����2������"���C�&���*»W�_���/�_¢NM `RO]^Q_Ta`ROUV2Q_TWbdcwQ£oRZ�j²S,Y�Q>$ ° 2'D 10?/FACA� ° �/.0.02 ¢

� 13� �y���_� � �R�r���2�_� �_�� ¿ �_���/�l¤O�´�_�"�l��¤"�r���_�l¢P�=� �"�R�·�U�C��¡+���l�/�·¡+��¥_�_�"���R� �U�C�LK/�r�U�"�R¤"�·»a�_¤G��y�_��_�2��¤w�t�2���/¤w��±��_»��_¤w�R�l¤ �/2 ¢ ��baY�O"Q�S�Q�Y�f�]pjA$�TWbQ$ baY�O"Q�S8z�$ R�O3SUS/Q ° @0?'DT�/?A�UF��/?01 ° �/.0.01 ¢

� C3� ¹��_�_�l¤WV����l�"�w�R�l¤r¢XV�_�U�/�_¤w��³r���R� �/�²�2���l�/¤w���6����R�U������/� �2���/¤w���U�r�l¢ ��baY�O"Q�S�z�$ R�O3SUS/Q'Q�Y�f'bWTaez�PCP�$ bdcwQ_TWbdZ�YRe ° �%I7D 201HG�FA2HG>2 ° �/.HG>C ¢

� G/� 6��r�"������Y*¢ZVR�C�/�/�l¤r¢��=�_��"�"���_�´�r�����2������"���C� �����"�´¡+��¤"�"���_�u¡+��¥_�_�"���R���l�_�h»W�_���u���t¡¤w�_�U�"���U�_¢ k7;/zy]5o &]^Q_TWS,b=<2zyY�Q>$ & z�PCP & ° �/1'DT�/@01LILF��/@0C02 ° �/.0.LI ¢

� ?3� �y�r�R���¯¢��y�C���R¬t�_��[�����¤w���r�\V�¢]Y3�_�^6��C�_��¢ ]^Q_TWS,b=<^giZ�V�P�jRTmQ_TWbdZ�YRe ¢��_�C��_���_¡®²����\`y���¥_�l¤w�"���E�,3¤"�r�"�l°]��_���"�����_¤"�_° �/.0?0. ¢

� .3� ,u�l¤a���R¤w���/�"���_�b�y�_��/�r��¢ ¹��l�C�����¤w��³r���"���C� �/���C���l¢c9!�r�w�����l�_�t¹��l¡��_¤"�O`�d�½e�gf .02 f EH@ °h�=�_����"����C��¡+�R�"���R�!���r�L�/�l¤�»a�_¤�¹��r�/�r��¤w�w�t�_�� � ���l���"���C��°-9!�r�w�����l�_�i`y���¥_�l¤w�"���E���_»8�y�r��2��¤"®�° �/.0.01 ¢

����EL� dy���w�R�C���_�j�R¢��y���C��_�­¢��y���_�_¤w���"�� C0.LI7D �ü�U�C�����r�U�"���C�t�_»3�/�r�/�=�2���/¤w���U�r�=���^�´���"����¬�¢ z�g�] M S/Q�YRe &]^Q_Ta` & k�Z\[UTWºQ�S"O ° �3GkD 20?0./[email protected] ° �/.0.A� ¢

���0��� dy���w�R�C���_�l�R¢7�y���C��_�­¢:9��R�8�/�r�/���2���/¤w��±��/���C��¬��r±£»a�_¤\�´���"����¬�°¥_�l¤w�"���C� @ ¢ E ¢g9!�r�w�����l�_��¹��l¡��_¤"��»a�_¤dy����l¤w���l�_�Z�y��_���²�"���l°7d��R¢ 2HG>C °]`y���¥_�l¤w�"���E���_»#�´�_��w�R�r�/�/�l¤r°��´�_��w�R�r�/�/�l¤r° � �R�C���_���° �/.0.01 ¢

� Õ

Page 21: The growth factor and efficiency of Gaussian elimination with rook

���/23� dy���w�R�C���_�l�R¢-�y���C��_�­¢ z�cwclj²S/QCclx£Q�Y�f2k�TmQkSUbQ$ bWTWx£Z\[ B j²VXOUS,bdcwQ>$�z�$ RLZ�S,bWTa`LV*e ¢ ��½+���&°-,º������_�R�r��¡+����²°�/.0.0C ¢

���/@3� dy���w�R�C���_�*�R¢k�y���C��_� �_��!�y�r�"���C�� �R¢'�y���C��_�­¢86!��¤"�_�y�_¤"�����"�2»W�_�U�/�_¤w�������=�_��"�"���_�2�r�����2������"���C������"�£¡+��¥_�_�"���R�R¢ k7;/zy]�o & ]^Q_TWS,b=< & zyY�Q>$ & z�PCP�$ & ° ��EADT�/101/F��/CLI ° �/.0?0. ¢

���%I>� ¹��_�_�l¤ �¯¢g���_¤w�À�_�� �����¤w���r��y¢ �_�C���/�C��¢ ]^Q_TWS,b=<hzyY�Q>$ xqe,bÊe ¢ ���_�¯¬¤w���R�_�_`y���¥_�l¤w�"���E� ,3¤"�r�"�l°���_�¯¬¤w���R�_�_°-`���° �/.0?01 ¢

���/13� 6!��¤"¤"� d��r�_���_��À�y�l�_¤"�_�^,u���C���_¢ � �_�l�C���l�/¤w���­�_��_���²�"���*�_»8�=�_��"�"���_���r�����2������"���C��°!½"½,¢ ��baY�O"Q�Sz�$ R�O3SUS/Q£Q�Y�f�bWTaeyz�PCP�$ bdcwQ_TWbdZ�YRe ° �3G>@'D @0./FA20CLI ° �/.0.02 ¢

���/C3� 6!��¤"¤"�hd��r�_�u�_��p�y�l�_¤"�_��,u���C���_° �´���"�R�r�2���"���l�4�y�l¡+��¤"�"���r�L�l° � �_�/��9!�r��R�r�"�/�l�����"���/��`y���¥_�l¤w�"���E�_¢9��R�8¤"���_® � ��¡+��¥_�_�"���R���/�/¤w���/�l�_�_¢*,3¤w��¥����/�@�U�C�2�*�����l���"���C��° �/.0.0C ¢

���3G/� �*¢ ¿ ¢-���/�l����¤"�l¢:9��R�y�U¼��l���r�L���_�r�R�l¤w���"���C���_»�¤w�_��R�C� �_¤"�"�R�_�_�C��_���2���/¤w���U�r�������"�X�_�£��¡¡+�����l���"���C��/�X�U�C�����"���C�£�r�/�"���2���/�_¤w�l¢ k7;/zy]�oRZ�j²S,Y�Q>$�Z�Y B j²VXOUS,bdcwQ>$�zyY�Q>$ xqe,bÊe ° �3GkD IHEH@/FkIHEH. ° �/.0?>E ¢

���/?3� 6!�����²� d¯¢k9!¤"�l»a�l�"�R�r�X�_���¹��_¬��l¤"� �R¢'�²�w�R¤"�r��¬��l¤r¢ ��¥_�l¤w���_�y�l�_�/�y�/�"��¬+�������E�¯�_»!�=�_��"�"���_���r�����2������"���C��¢k7;/zy]�o & ]^Q_TWS,b=< & zyY�Q>$ & z�PCP�$ & ° �0�>D @0@01/FA@0C>E ° �/.0.>E ¢

���/.3� �R¢H�¯¢ ¿ ����®²����/�C��¢ � ¤"¤"�_¤3�_��_���²�"���u�_»����¤"�r�U�i���l�"�R�²��i»a�_¤3�2���/¤w��±����L¥_�l¤w�"���C��¢ o & k�Zrc & ;wY�f�j�eUT & z�PCP�$ &]^Q_Ta` & ° ��EADT�/C02/F��/.01 ° �/.0C02 ¢

� 2>EL� �R¢ �¯¢ ¿ ����®²����/�C��¢bM `RO­z�$ R�O3SUS/Q�bdc��g;+R�OUYv�Q>$ j+O5��S/ZkS%$�OUV ¢ ��±²»a�_¤w�O`y���¥_�l¤w�"���E� ,3¤"�r�"�l° 6��C��R�C��°�/.0C01 ¢

� 2A��� ���/�l¡+�R�r� �R¢ ¿ ¤w���C�L�l¢^� �U�C�����r�U�"���C�^�_»�¡¤"�_¬+���r�2�8»a�_¤¯������w���=�_��"�"���_�^�r�����2������"���C�h�����"�h¡+��¤"�"���_�¡+��¥_�_�"���R�2���4���/�"��¬+���_¢ k7;/zy]�oRZ�j²S,Y�Q>$�Z�Y´k�clbmOUY+TWb ��c£giZ�V�P�jRTWbaY'R ° �%I7D 20@A�UFA20@0? ° �/.0.0@ ¢

�5�