the support splitting algorithm

37
HAL Id: inria-00073037 https://hal.inria.fr/inria-00073037 Submitted on 24 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. The Support Splitting Algorithm Nicolas Sendrier To cite this version: Nicolas Sendrier. The Support Splitting Algorithm. [Research Report] RR-3637, INRIA. 1999. <inria- 00073037>

Upload: dangxuyen

Post on 08-Jan-2017

241 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: The Support Splitting Algorithm

HAL Id: inria-00073037https://hal.inria.fr/inria-00073037

Submitted on 24 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

The Support Splitting AlgorithmNicolas Sendrier

To cite this version:Nicolas Sendrier. The Support Splitting Algorithm. [Research Report] RR-3637, INRIA. 1999. <inria-00073037>

Page 2: The Support Splitting Algorithm

ISS

N 0

249-

6399

ap por t de r ech er ch e

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

The Support Splitting Algorithm

Nicolas Sendrier

N ˚ 3637

Mars 1999

THEME 2

Page 3: The Support Splitting Algorithm
Page 4: The Support Splitting Algorithm

����� ������ �������������������� ������ ��������

�! #"%$'&)(+*-,/.%0�1�23 4.%2

57698:�;<:>=@? A�B:�CEDF:HGJILKMDJN�DF:�G:�OPN�Q3GJN�REGTSVU%;>WXIMGYDFZ[R\:]�^ I3_V:�OH`badcde�f

g QihEhXI ^ OPjE: ^ :�N 6 : ^ N 6 :�Clk[mMnLm[op? qpQ ^ SsrutLtMt@? mLmlhvQMKL:�S

wyx�z�{u|~}\�M{[� 57� I�GYDJC\:�Q ^ N�I%jE:�SlQ ^ : hX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC��):�Z[REDJ�3Q3GJ:�C�OdDJ�7O 6 :�U�Q ^ :<:�Z�R\Q3G�R�h�O�I�Q-����:�jh+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC<IM�9O 6 :�N�I%jE: � I ^ jESbN�I%I ^ j�DJCvQiO�:�S�����:�h ^ :�S�:�C%O 6 : ^ :dQ3C-Q3GJKLI ^ DYO 6 ;�Q3WEGF:PO�I>N�IM; hEREO�:O 6 DFS�h+: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC9�p��:<DYC%O ^ I%j�R\N�:<O 6 :<N�IMC\N�:�hEOlIM�PS�DJKMCvQ3O�R ^ :3�<Qph ^ IMh+: ^ O�U�IM��Q-hXILSVDJO�DFIMC�IM��QN�I%jE:bSVR\N 6 O 6 Q3O�O 6 :bS�:�O�IM�'QiGJG�S�DFK3CvQ3O�R ^ :�S�I3�'QHKMDY�L:�C�N�I�j�:�DFS�KMGJIMWvQ3GYGJUdDYC%�3Q ^ D�Q3C�O�W�U�hX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC9�5 I-N�IM; hEREO�:�O 6 :lh+: ^ ;lREO�QiO�DFI3C�WX:�O � :�:�C�O � I�:�Z[REDY�3Q3GF:�C%OsN�I�j�:�S��9I3C\:lC\:�:�jES@QyS�DJKMCvQ3O�R ^ : �b6 DFN 6DFSdW+IMO 6 j�DJS�N ^ DJ; DJCvQiC%OdQ3C\j�:�QMSVUO�I-N�IM; hEREO�:M� 576 : � :�DJK 6 O>:�C�RE;<: ^ Q3O�I ^ IM�7O 6 : 6 REGJG�IM��Q-N�I�j�:h ^ I~��DJjE:�S�Q�S�DFK3CvQ3O�R ^ : �b6 DJN 6p6 Q3S�SVR\N 6 h ^ IMh+: ^ O�DF:�S�DJC�;�ILS�OPN�QMS�:�S�� ¢¡[£X¤�¥l¦ |i§/zM� N�I%jE:3�E:�Z[REDY�MQiGF:�CEN�:M� 6 R�GJG)��h+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC'��S�DJKMCvQ3O�R ^ :3��DYC%�3Q ^ D�Q3C�O�� � :�DJK 6 OP:�C�RE;�: ^ Q~�O�I ^

¨ª©<«¬�­�®u¯ «¬�°�±²­�³4´�µ

Unite de recherche INRIA RocquencourtDomaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)

Telephone : 01 39 63 55 11 - International : +33 1 39 63 55 11Telecopie : (33) 01 39 63 53 30 - International : +33 1 39 63 53 30

Page 5: The Support Splitting Algorithm

����� ��� �������� � ��� ����d� � � � ���� � �� ������ ���

�¡ z ��� ¡ � cH:�R�� N�I%jE:�SdGYDJC7B:�Q3D ^ :�S�S�IMC�O B:�Z[REDJ�3Q3GJ:�C�O�SdhvQ ^ hX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMCS�� DYGFSdS�I3C%OB:�K[Q3R�� 8Q!R�C\:h+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC<h ^�8:�SbjE:HGF:�R ^ SbN�I�I ^ jEIMCEC7B:�:�S���� IMR\S�h ^ B:�S�:�C�O�I3C\S�DJN�D+REC-Q3GFKMI ^ DYO 6 ;�: N�Q3hvQ3W�GF:HjE:dN�Q3GY�N�R�GF: ^ N�:�O�O�:�h+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC'��� IMRES�DJC�O ^ I%j�REDFS�IMC\SdG�Q!C\IMO�DFIMC�jE: S�DFK3CvQ3O�R ^ : N�IM; ;<: RECE:�h ^ IMh ^ D�B:�O�B:j�� REC\:lh+ILS�DYO�DJIMCj�� REC�N�I%jE:lO�:�GJGJ:lZ[R\:lG�� :�C\S�:�;lW�GF:ljE:�SsS�DFK3CvQ3O�R ^ :�S hXIMR ^ REC�N�I%jE:ljEIMC�C�B:�:�S�OsK3GFI3�WvQ3GJ:�;�:�C�O DJC��3Q ^ D�Q3C�OlhvQ ^ hX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC9� ] IMR ^ j�B:�O�: ^ ; DJC\: ^ G�Q�h+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC�:�C�O ^ :pjE:�R�� N�I�jE:�SB:�Z[REDY�3Q3GF:�C%O�S���DYG7SVR���O jE:yO ^ IMRE�M: ^ RECE:yS�DJKMCvQ3O�R ^ : 8Q-G�Qp� IMDJS�j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O�: :�Ol� Q3N�DJGJ: 8Q�N�Q3GFN�REGF: ^ �� � B:�C�RE; B: ^ Q3O�:�R ^ jE:�S�hXIMDJjES�j�R 6 REGJG�j�� RECN�I�jE:@hX: ^ ;�:�O�jE:>N�IMC\S�O ^ RED ^ :@REC\:�O�:�GYGF:@S�DFK3CvQ3O�R ^ :shXIMR ^G�Q>h�GJREhvQ ^ OPjE:�S N�I�jE:�S��� ¦ {~z ¤ ��� ¡ � N�I�j�:M��B:�Z[REDY�3Q3GF:�C\N�:3� 6 R�GJG)�+hX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC9�+S�DFK3CvQ3O�R ^ :M�+DJC��3Q ^ DFQ3C�O�� B:�C%R�; B: ^ Q3O�:�R ^ jE:�Sh+IMDFjES

Page 6: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! m

" # �!���� ��%$P���� �

576 :�h ^ IMWEGJ:�; � :sQMjEj ^ :�S�S 6 : ^ :HDFS�O�I'&�C\I � �b6 :�O 6 : ^ I ^ C\IMO�O � I KMDY�L:�CyGJDYC\:�Q ^ N�I%jE:�SbQ ^ : hX: ^ ;lR��O�QiO�DFI3C���:�Z�R�DJ�3Q3GF:�C�O)( ��*��+* IMC\: DJS@I3WEO�Q3DYC\:�j � ^ I3; O 6 :�IMO 6 : ^ W�UhX: ^ ;lREO�DJC\K�O 6 : N�I�I ^ j�DYCvQ3O�:�S-, �/.)�O 6 :�U!Q ^ :M� � :sQ3GJS�I � Q3C�ObO�I ^ :�N�Iu�M: ^ O 6 DJS7h+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC'� �b6 DJN 6�� DJGJG W+:�RECEDJZ�RE:HDJ�/Q3C\j�IMC�GJU�DJ�TO 6 :h+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC�K ^ IMREhpIM�/O 6 :sN�I�jE:�SbDFS ^ :�j�R\N�:�jpO�I O 6 :dDFjE:�C�O�DJO�U<:�GJ:�;�:�C�O��

.)C�Q ^ :�N�:�C�O�hvQihX: ^10 ]�g t[o324� ] :�O ^ QiC4& Q3CEj g IMO 6 6 Q��L:bj�DJS�N�R\S�S�:�j O 6 :bN�IM; hEREO�QiO�DFI3CvQ3G%j�D � N�REGJO�UIM�'O 6 DFS�jE:�N�DJS�DFI3C<h ^ IMWEGF:�;¢� 576 :�U�S 6 I � :�jyO 6 Q3O�O 6 :�5�68789%9�:<;>=@?BADC�9�EF5�9%G�HI68JICK9�L DJS�CEIMO � ] �N�I3;�hEGJ:�O�:�WEREO/Q3GJS�IbO 6 QiO9DJO9DFSTQiO9GF:�Q3S�O/QMS 6 Q ^ j�QMS9O 6 :�MNH�ADG�OP=RQ368L16<H>G�O>=RQ3LSG�H�6<JICK9�L��8T�DJCEj�DJC\KQlhXI3GJU�C\IM; D�Q3G O�DY;<:HQ3GFKLI ^ DJO 6 ; Q3WEGF:HO�I ;yQU&M:dO 6 DJSbjE:�N�DFS�DJIMC � I3REGFj�O 6 R\SbW+:@I3��DYC%O�: ^ :�S�O��V O�:�C�O�QiO�DJ�M:<S�IMGJREO�DFIMC O�I-O 6 :�j�:�N�DJS�DJIMC�h ^ IMWEGJ:�; DJS@K3DJ�L:�C�W�U O 6 : � :�DFK 6 O�:�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ ��O � I:�Z[REDY�3Q3GF:�C%O N�I%jE:�S 6 Q��L:�O 6 :�S�Q3;�: � :�DJK 6 OH:�C%R�;<: ^ Q3O�I ^ � 576 DJS�N ^ DJO�: ^ DJIMC-DFS 6 I � :��L: ^ DJC\N�IM;�h�GF:�O�:M�W Q���DJCEK O 6 :!S�Qi;<: � :�DFK 6 O�:�C�RE;<: ^ Q3O�I ^ jEI%:�S C\IMO DY;�h�GJU O 6 QiO O � I�N�I%jE:�S Q ^ :!:�Z[REDY�MQiGF:�C�O���WER�O� :�N�Q3CpO 6 :�CpKLI ��R ^ O 6 : ^ � � :sN�Q3C¢: ��Q3;�DYC\:HO 6 : � :�DJK 6 O�:�C�RE;�: ^ QiO�I ^ S�I3��Q3GYGXO 6 :@N�I�j�:�SPIMWEO�Q3DJC\:�jW�U hEREC\N�O�R ^ DJC\K W+IMO 6 IM�>O 6 :�; DJC IMC\:hXIMS�DJO�DFIMC'�X.)�>O 6 :�N�I�jE:�S¢Q ^ :hX: ^ ;lR�O�Q3O�DFIMC��):�Z[REDY�MQiGF:�C�OO 6 :�C�O 6 :�S�:�O � I-S�:�O�S � DJGJG�WX:�:�Z�R\Q3G�Q3C\j'�9��R ^ O 6 : ^ ;�I ^ :3�9O 6 : ;<Q3O�N 6 :�SdWX:�O � :�:�C�O 6 :lO � IpS�:�O�SsIM�:�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ S�;yQ�UlK3DJ�L:PR\S�S�I3;<:bDJC�� I ^ ;<Q3O�DJIMC IMC O 6 :�h+: ^ ;lREO�QiO�DFI3C9�<YPCE� I ^ O�RECvQiO�:�GYUL��N�I3;�hER�O�DJCEKO 6 : � :�DFK 6 O7:�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ IM�/Q�N�I�j�: W+:�N�I3;<:�S7N�I3;�hER�O�Q3O�DFIMCvQiGJGJU�DJC�O ^ QMN�O�Q3WEGJ: �b6 :�C!DJO�S�SVD@Z�: K ^ I � S��� ^ I3; 0\[ q-� 5 o�]�29DJObDJSPDYC�� QMN�O � ] � 6 Q ^ jX� V h ^ QMN�O�DFN�QiG9S�IMGYREO�DJIMC�� I ^ G�Q ^ KL:HGJ:�C\KMO 6p� DYGJG'O 6 R\S�;<QU&M:C\:�N�:�S�S�Q ^ U�O 6 :dR\S�:@I3��S�I3;<:dIMO 6 : ^ DYC%�3Q ^ D�Q3C�O�h ^ IMh+: ^ O�U!IM��Q N�I�jE:3�\:�QMSVDF: ^ O�I�N�IM; hEREO�:M�

T�D ^ S�O�� � : � DJGJGPDYC%O ^ I%j�R\N�:�Q3GYGbO 6 :�j�:��ECEDYO�DJIMC\S�C\:�N�:�S�S�Q ^ U � I ^ Q � I ^ ;<Q3G�jE:�S�N ^ DJhEO�DFIMC IM�dO 6 :Q3GJKLI ^ DYO 6 ;p� V C DJC��3Q ^ DFQ3C�O � DJGYG�WX:�Qh ^ IMhX: ^ O�U�I3�HQ N�I%jE:yO 6 Q3O jEI�:�S C\IMO �3Q ^ U�DJ�PO 6 :-N�I%jE:yDJSh+: ^ ;>REO�:�j'�^T ^ IM; QiC%U¢DJC��3Q ^ DFQ3C�O�� � :�N�Q3C�N�IMC\SVO ^ R\N�O�Q�S�DFK3CvQ3O�R ^ :M�'O 6 Q3OdDJSsQ-S�:�O@IM��h ^ IMh+: ^ O�DJ:�S��IMC\:d� I ^ :�QMN 6 hXILSVDJO�DFIMC�IM�/O 6 :@N�I�j�:M� �b6 DJN 6 DJS�DJC��3Q ^ DFQ3C�ObW%U<hX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC�IM�/O 6 :sN�I�jE:sSVREhEh+I ^ O��

.)��O 6 :�SVDFKMCvQiO�R ^ :�S�IM��O 6 :@h+ILSVDJO�DJIMC\SbIM��Q�N�I�jE:�Q ^ :�QiGJGTj�D`_X: ^ :�C�O��vO 6 :�CpO 6 :sh+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC�W+:�OV�� :�:�C O 6 DFS�N�I�j�:PQ3C\j�Q3C�UlI3O 6 : ^ IMC\:3�MhX: ^ ;lR�O�Q3O�DFIMC��):�Z[REDY�MQiGF:�C�O/O�IHDYO��LN�Q3C WX: ^ :�N�Iu�L: ^ :�j�W�UlS�DY;�h�GJU;<Q3O�N 6 DYC\K�O 6 : S�:�O�SlIM�7S�DJKMCvQ3O�R ^ :�S�IM�7WXIMO 6 N�I�jE:�S��a.)��O 6 :<SVDFKMC\Q3O�R ^ :�S�Q ^ :�C\IMO>Q3GYG�j�Db_+: ^ :�C�O���Q3CDJO�: ^ Q3O�DY�L: h ^ I%N�:�j�R ^ :3� �b6 DFN 6 DJS7: ��N�DF:�C%ObDYCy;�ILS�O7N�QMS�:�S�� � DYGJG :�C\Q3WEGF: R\S7O�I ^ :�N�Iu�L: ^ O 6 :�h+: ^ ;>REO�Qi�O�DJIMC9�

576 :�;yQ3DYC j�D � N�REGJO�U�DJC O 6 :!DY;�hEGJ:�;�:�C�O�QiO�DFI3C�IM��O 6 :-Q3GJKLI ^ DJO 6 ;�GYDF:�SlDJC O 6 :�N 6 I3DFN�:!I3��O 6 :DJC��3Q ^ D�Q3C�O�� 576 :�;�ILS�OPCvQiO�R ^ Q3G/IMC\:M�vO 6 : � :�DFK 6 O :�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ IM��O 6 :�N�I%jE:M�vDFSb�L: ^ Upj�DFS�N ^ DJ; DJCvQ3C�OWEREO ^ Q3hEDFj�GJU<W+:�N�IM;�:�SPDJC�O ^ QMN�O�Q3WEGF:3�c.)O�DJSbO 6 R\SPC\:�N�:�S�S�Q ^ U-O�I R\S�:lQ3CEIMO 6 : ^ DJC��3Q ^ DFQ3C�O���O 6 : � :�DJK 6 O:�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ IM��O 6 : 6 R�GJG)� 576 : 6 REGJG�IM��Q�GJDYC\:�Q ^ N�I%jE: 0 V1d tfe�2�DJSH:�Z[RvQ3G�O�I<DYO�S DYC�O�: ^ S�:�N�O�DJIMC � DJO 6DJO�S�j�RvQ3G#��Q3C\j DJO�DFS KL:�C\: ^ Q3GJGYU�IM�HSV;yQiGJGPj�DY;<:�C\S�DJIMC 0 f�:�Cvt[oiW�2PO 6 IMR\K 6 C\IMO�Q3G � Q�U%S ^ :�j�R\N�:�j O�Ig eBh��+Q3O�GF:�Q3S�O�DYC¢O 6 :�WEDYCvQ ^ UpN�QMS�:3� 576 DJS � DYGJG9h ^ I~��DJjE:lQ<SVDFKMC\Q3O�R ^ :M�vC\IMOHQMS�j�DJS�N ^ DJ; DJC\Q3C�O�QMS�O 6 :� :�DFK 6 O :�C%R�;<: ^ Q3O�I ^ ��WEREO S�O�DJGYG�j�DJS�N ^ DJ; DJCvQiC%Ol:�C\IMREK 6 O�IWX:�S�REN�N�:�S�SV��REG DYC ;<ILSVO�N�QMS�:�S�Q3��O�: ^ Q� : � ^ :��EC\:�;<:�C%O�S�� 576 : ;<Q3DJC¢DJC�O�: ^ :�SVOsIM��O 6 : 6 REGYG�DFSHO 6 Q3O��XWX:�N�Q3RES�:�IM��DJO�S�S�;<Q3GJG�j�DJ;�:�CES�DFI3C9�XDJOh ^ I�j�REN�:�SHDYC��MQ ^ D�QiC%O�S O 6 Q3OdN�Q3CWX:>N�IM; hEREO�:�j�DJC¢hXIMGYU�C\IM; D�Q3G/Q��L: ^ QMKM:lO�DJ;�:lQiC\j�DJO�O 6 R\SH;<QU&L:�SO 6 :�QiGFKLI ^ DJO 6 ; h ^ QMN�O�DJN�Q3G'� I ^ G�Q ^ KL:HGF:�C\KMO 6 (ji rkefe�e�,��

T�DJC\Q3GJGYU � :�KMDY�L: S�I3;<:lN�IMC\SVDFjE: ^ Q3O�DFIMC\SsQiWXIMR�OHO 6 :lDY;�h�GF:�;�:�C�O�Q3O�DJIMCpDYCO 6 : WEDYCvQ ^ U¢N�QMS�:3�l.)ChvQ ^ O�DJN�REGFQ ^ � � :>S 6 I � O 6 Q3O��vDYC¢O 6 :�KM:�C\: ^ Q3G�N�QMS�:M� O 6 :s;<IMS�O :��%hX:�C\S�DY�L:>h\Q ^ O IM��O 6 :>QiGFKLI ^ DJO 6 ; DJSQ K[Q3R\S�S�DFQ3C¢:�GJDY;�DYCvQ3O�DJIMC�IMCpQ S�Z�R\Q ^ :s;yQiO ^ D²�yI3��SVD@Z�:d:�Z[RvQ3GTO�I O 6 :sGJ:�C\K3O 6 IM�/O 6 :sN�I%jE:3�

mFmoncprqtsrq+u

Page 7: The Support Splitting Algorithm

� � ���-������� ���r��� �� �r

� � ���� �

� ��:sjE:�C\I3O�:dW�U ���bO 6 :d�EC�DJO�:H�E:�GFj � DJO 6�� :�GJ:�;�:�C�O�S��� T\I ^ Q3C�U DJC�O�:�KL: ^�� ioe�� � :¢jE:�C\IMO�:�W�U�����Q�S�:�O�IM�dN�Q ^ j�DYCvQ3GJDYO�U � R\S�:�j O�I DJCEjE:�� O 6 :N�I�I ^ j�DJC\Q3O�:�SbIM��O 6 : � I ^ jES�IM��� �� ��� �� ������r�������-� ����� g r! #"$"$"% � h��

� T\I ^ Q3GYG�&(')� �� Q3C\jpQ3GJG�*+')����� � :@jE:�C\IMO�:dW�U,&.-TO 6 :/* �)O 6 N�I�I ^ j�DJC\Q3O�:dIM�0&T�� T\I ^ Q3GYG�&pDJC�� �� � :sjE:�C\IMO�:@W�U!SVREhEhD(1&�,+� g *+')���324&.-�5� eBh@O 6 :sS�R�hEhXI ^ O�IM�0&T�� T\I ^ Q3GYG�&pDJC�� �� � :sjE:�C\IMO�:@W�U761&%8�O 6 :s�M:�N�O�I ^ S�R�W\S�hvQ3N�:>I3�9� �� SVhvQ3CEC\:�jpW�U3&T�� T\I ^ Q3GYG'SVREW\S�:�O�S;: IM�9� �� � :@S�:�OPW�U�S�R�hEhD(<:1,=�?>A@$B#CHS�R�hEhD(1&�,�O 6 :sS�REhEh+I ^ O I3�9:��

D E �d���H� � ��������� �

FHGJI K(LNMPORQTS+UJV0WYXZV\[�] XZ[_^PVa`57� I�N�I%jE:�S,b�Q3C\jcb/dbI3�HGF:�C\KMO 6c� Iu�L: ^ ���!Q ^ :¢:�Z[REDJ�3Q3GJ:�C�O 0 q�fEoLo���h'� � e�2 DY�HO 6 : ^ :�: �%DFS�OyQh+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMCfe�IMC,���lQiC\j�Q>S�:�Z[R\:�C\N�:^(1g.-R,R- B�h<i IM� � hX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC\S�IMC,�j��S�R\N 6 O 6 Q3OkbPd��mlD(�b ,�b6 : ^ :nl¢��(1&.-�,R- B#h1i/op (1g.- (1&rqts�uwv -yx , ,w- B�h1i �

.)�zl ;<Q3h\S�Q3C�U GYDJC\:�Q ^ N�I�jE:�DYC�O�I Q�GJDJCE:�Q ^ N�I�j�:�O 6 :�C :�QMN 6 g.-sDFSyO 6 :N�I3;�h+ILS�DYO�DJIMC IM�>QS�N�Q3G�Q ^ ;lR�GJO�DYhEGJDJN�Q3O�DFIMC � DJO 6 Q-�\:�GFj�Q3R�O�IM;�I ^ h 6 DFSV;¢� 576 :yS�N�Q3G�Q ^ ;lREGYO�DYhEGF:l;<Q�U��3Q ^ U � I ^ :�QMN 6N�I%I ^ j�DJCvQiO�:M��WEREOPO 6 :d�\:�GFj-Q3REO�IM;�I ^ h 6 DFS�; ;lR\SVOPWX:dO 6 :@S�Q3;�:M�

{�¡}|�~0� { � ¦~��j������� �r ����R�;�8�r� b�� �n�,�-�#���l�w���b�r��������� �����r ��� * � �� '�����r �����r �!��B������� ��� e �������� �����%�����r� �� �� } � (<�}-�,w- B#h1i ��� (<�_�� , � ����f�����!� �r���3���B� ��!/�� ������r!n� g �w� �j���=� �������c�I�

( }%� e�  gD,r(�b ,+� g (1g (<��q s4u v -¡x &rq s�u v -yx , ,w- B�h1i 2B(1&.-�,w- B�h1i '¢b�h�"£ � � �����j�#�¤� ������� b ���� ( }%� e� ¥gD,t(<b', �� -� :�Z[REDJ�3Q3GJ:�C�O *T\I ^ IMR ^ h�R ^ h+ILS�:3� � :sN�I3C\S�DJjE: ^ Ql;<I ^ : ^ :�S�O ^ DFN�O�DY�L:sjE:���CEDJO�DFIMC9�{�¡}|�~0� { � ¦~��j�¦�m�8�r� b§� �3�¨�-�#��� �w�^�b�r�������©� �����r ��� * � �� ª��������r r!���������� ����� e ��� �����P� ������c�I�

e (<b',T� g (1&rq s�u v -yx ,R- B�h<i 2 (�&.-R,R- B#h1i ')b)h�"£ � � �����«�#�¤�'������� b ���� e (<b', �� -� h+: ^ ;lREO�QiO�DFI3C���:�Z�R�DJ�3Q3GF:�C�O �� e�¬ � ­+�B�������b�r��� �9� �����-� � �/���r�I��� �� � b¯®�e (�b , *576 : O � I jE:��EC�DJO�DJIMC\S�N�I3DJC\N�DFjE:DJC O 6 :�W�DJCvQ ^ U N�QMS�:M�dIMO 6 : ^�� DFS�:�O 6 :�U jEIMC�� O�� 576 :�S�:�OpIM�lQ3GJGh+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMCES I3C°������:�Z[REDYhEh+:�j � DYO 6 O 6 :¢N�IM; hXILSVDJO�DFIMC9��� I ^ ;<S�O 6 :-S�U�; ;<:�O ^ DFN-K ^ IMR�h IM�P�����jE:�C\IMO�:�j�W�U²±Z���%T\I ^ Q3C�U�N�I�jE:fb I3�bGF:�CEKMO 6³� � � :yN�Q3C j�:��EC\:yQphvQ ^ O�DFN�REG�Q ^ SVREW\K ^ IMREh IM�k±Z�N�QiGJGF:�jyO 6 :dh+: ^ ;lREO�QiO�DFI3CpK ^ IMREh-IM�9b��

´�µDma´�¶

Page 8: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! �

{�¡}|�~0� { � ¦~��j��� ����� h+: ^ ;lREO�QiO�DFI3CpK ^ IMREh �w�����-�#��� b �w���b�r�����R��� � ���r�I��� � � � ������� (<b',�� ��������P�r� � �� ��� �w�������>�R�����r�b�r!/�r����� e �w� ±Z� �r�.�-� �R����� e (<b',+� b *.)��� I ^ :��M: ^ U-h\Q3D ^ (<*¥ ���,PI3��:�GJ:�;�:�C�O�SPDJC©����O 6 : ^ :�:��%DFSVO�S;e ' ����� (�b ,bSVR\N 6 O 6 Q3O eN(<* ,����v�vO 6 :h+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC�K ^ IMREhlI3�rb DFSTS�Q3DJj�O�I W+: �� ¥�����r��������� � 576 :�h+: ^ ;lREO�QiO�DFI3C>K ^ IMREhlQ3G � Q�U�S/N�I3C%O�Q3DJCES�O 6 :DFj�:�C�O�DYO�UyhX: ^ ;lR�O�Q3O�DFIMC9� .)��DJOPjEI%:�SVC � O�N�IMC�O�Q3DYC¢QiC%U�I3O 6 : ^ :�GF:�;<:�C%O � : � DYGJG9S�Q�U!O 6 Q3OPDYObDFS �� r���k�1��� �.)��O 6 :dhX: ^ ;lR�O�Q3O�DFIMC�K ^ IMREhpIM��Q�N�I�j�:�b DJS�C\IMC��#O ^ DJ��D�Q3G'Q3C\j�DJ��bPd DJSbhX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC��):�Z[REDJ�3Q3GJ:�C�O7O�Ib��EO 6 :�C¢S�:��L: ^ Q3GTh+: ^ ;lREO�QiO�DFI3C � DJGJG'S�Q3O�DFS���U3b/d�� eN(�b ,��

FHGRF �¨MPWYX��«M��«Va^ S+WY^ `��Y[�����V�WYVa^ XZ[_^PVa`T\I ^ Q3C�UpSVREW\S�:�O���IM�T����� � :>jE:�C\I3O�:�W�U����>O 6 : � I ^ jES IM�T� �� IM��S�R�hEhXI ^ O�DYC\N�GYR\jE:�jpDJC���� T\I ^ QS�DYC\KMGJ:�O�I3C��)� g * h � : � DJGYG'S�DY;�h�GJU �b^ DJO�:���-4�{�¡}|�~0� { � ¦~��j�! \�8�r� b � �)� �-�#��� �w� �b�r�����R�²� ���� �b�r� � � �)�²�r� � �k�r�)�w� ��� * �����¢�-�#��� bhERECEN�O�R ^ :�j ��� � ���n�����c�I� � � �

b"�/� (�b�#$���U,&%'� h1i)( � "�����A�-�#��� b S 6 I ^ O�:�C\:�j ��� � ���n�����c�I� � � �

b ( � �mb*%'� h1i+( � "576 : N�I%jE:Yb"�HN�IMC\SVDFSVO�S7I3�TQ3GJGv:�GF:�;<:�C%O�S7IM�Zb �b6 : ^ : O 6 : N�I%I ^ j�DYCvQ3O�:�S�DJC\j�:���:�jyW�U���Q ^ : ^ :�hEGFQMN�:�jW�U Z�: ^ I%:�S�� 576 :dN�I%jE:Pb ( �sDJS�O 6 :dS�REW\S�:�OPIM��Q3GYGXN�I�j�: � I ^ jESbI3�9b �b6 ILS�:dN�I%I ^ j�DYCvQ3O�:�S�DYC\jE: ��:�j!W%U��Q ^ :d:�Z[RvQ3GTO�I)Z�: ^ IE�c.)�9b DFS�GYDJC\:�Q ^ O 6 :�C-WXIMO 6 b"� Q3CEj©b ( �lQ ^ :HGJDJCE:�Q ^ �

.)C�O 6 : R\SVRvQ3G�jE:��ECEDJO�DFIMC�IM��h�REC\N�O�R ^ :�j�Q3C\j�S 6 I ^ O�:�C\:�j�N�I%jE:�S 0 q�f�oLo���` 6 ��rM�-,�t�� 24��O 6 :�hXI3�S�DYO�DJIMC\S�DYC\jE:���:�j W�U.� Q ^ : ^ :�;�I~�M:�j'�'h ^ I%j�R\N�DYC\K!N�I%jE:�S@I3��GJ:�C\K3O 6 �0/ 21��2 �>a�R ^ jE:���CEDJO�DFIMC � DYGJGQ3GYGFI � O 6 :�DJC\jE: �%DJC\K!IM��O 6 : N�I%I ^ j�DJCvQiO�:�S IM��WXI3O 6 b"��Q3C\j b ( � � DYO 6 O 6 :lS�Qi;<:lS�:�O/���!QMS�� I ^ b �TER ^ O 6 : ^ ;<I ^ :M�/O 6 :�S�:<O 6E^ :�:yN�I%jE:�SlQ ^ :�GJDY��DJC\K�DJC�O 6 :�S�Q3;�: W Q3; ;�DYC\KpSVhvQMN�:3� �� ��DJC�h\Q ^ O�DFN�R�G�Q ^� : 6 Q��M:nb ( �/�mb"�"%,b ����:@GYDFS�O7WX:�GFI � � � DJO 6 IMREObh ^ I�IM� �E�3Q ^ DFIMRES�h ^ IMh+: ^ O�DJ:�SPIM��S 6 I ^ O�:�C\:�jQiC\jhERECEN�O�R ^ :�jpN�I%jE:�S��

2 }�3�4 ¦ � � �9{u}�{ �65a� { £r� [ I3O 6 IMhX: ^ Q3O�DFIMCESbN�IM; ;lREO�:M�EO 6 Q3OPDFS���� I ^ Q3GJG9N�I�j�:�S;b IM��GJ:�C\K3O 6©� QiC\jQ3GJG�S�REW\S�:�O�S7�-Q3CEj��jd�IM���� � : 6 Q��L: (�b"��, �)8 ��b"�+9:� 8 Q3C\j (�b ( �U, ( �)8 �mb ( �+9;� 8 �NTER ^ O 6 : ^ ;<I ^ :M�DJ�-�<%=� d �?>lO 6 :�C (�b ( �U, �)8 � (�b"�)8`, ( � �

2 x@30A ~ { ¡ |iz ¡ �M{ � ¦~ z�} ~ §�z ����z � � :�OCB Q3C\j b WX:yO � IN�I%jE:�S I3��GJ:�C\K3O 6³� QiC\j�GF:�OD� W+:!QS�REW\S�:�OPIM�a��������: 6 Q��M:�(EBF%�b ,G( � �HB ( �I%ªb ( �Y�FB ( �I%�b Q3C\j (EBJ#�b',K( ��L B ( �@#¨b ( ���� DJO 6 :�Z[RvQ3GJDYO�U�DJ�@�C% S�REhEhD(MB�,+�?>��EQiC\j (EBJ# b , � �HBN�I# b"�@Q3CEj (MBF% b , ��O B��P%ªb"���� DJO 6 :�Z�R\Q3GJDYO�U<DJ�I�'%�SVREhEhD(EB�Q>,T�?>��

2 ��30R�S�� �T5 } � ¡�~ � ¡r� T\I ^ Q3GYG'N�I�jE:�S_b IM�TGF:�C\KMO 6 � �\Q3GYG'SVREW\S�:�O�S�� IM�0��� Q3C\j-Q3GJG h+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMCESHeIM�9����� � : 6 Q��L:�e (�b"��,=��e (�b , q#v ��x Q3C\j�e (�b ( � ,T��e (�b ,G( q#v ��x �

mFmoncprqtsrq+u

Page 9: The Support Splitting Algorithm

n � ���-������� ���r��� �� �r

2 § 3 { �T} � � { £r��] REC\N�O�R ^ DYC\K Q3C\j!S 6 I ^ O�:�CEDYC\K�Q ^ :Hj�RvQ3G+O�I :�QMN 6 IMO 6 : ^ �cT\I ^ QiGJG GJDJCE:�Q ^ N�I%jE:�S_b IM�GF:�CEKMO 6�� Q3C\j-Q3GYG'SVREW\S�:�O�SN� IM������� � : 6 Q��M: (<b"�U,GQ©� b�Q( � � ����Q3C\j (<b ( � ,GQ©� b�Q� � ���Y�b Q # � ���£ � � �����j�k�r� b�Q� � (�b�Q>, � ���� b Q( � � (<b Q�,G( � *

2 ¡ 3������ � z � ( �k�-�������c������� ������*��1«�k����� , TvI ^ Q3GYG+GYDJC\:�Q ^ N�I�j�:�S_b I3�9GF:�CEKMO 6 � QiC\j�Q3GJG+S�R�W\S�:�O�S��I3�9����� � : 6 Q��L:� (�b"�U,T� � (<b Q( � ,T�mb"� % b�Q�Q3C\j�� (�b ( �U,T� � (<b Q� ,T�mb Q� %�b��

2�� 3 {©� � ¡�~ z � ¦~+� TvI ^ Q3GYG�GYDJC\:�Q ^ N�I%jE:�S b IM�HGJ:�C\K3O 6°� QiC\j Q3GYG SVREW\S�:�O�S�� IM�/����� � : 6 Qu�M:j�DJ;P(�b"�3,+� j�DY; (<b', / j�DJ; (�b*%<���3,PQiC\j�j�DJ;P(�b ( � ,=� j�DJ;P(<b', / 2 � 2+# j�DJ; (<b Q'%'� �U,��

.)�P�©� g * h@DFSPQ�S�DJCEKMGF:�O�IMC9� � : � DJGYG'S�:�O;b -��mb��<-��PQ3C\j�b ( -��mb ( �<-����

� # ��� � ��� � �y� � � � � ����� � � ������ �

�kGJI ��WHQTS-�.OJS+WP��`� :�O�� �>j�:�C\IMO�:�O 6 :HS�:�ObIM�/Q3GYG+N�I�j�:�S�IM�9GJ:�C\K3O 6,� �EQ3C\j�GF:�O�� � > ����� ����W+: O 6 :HS�:�ObIM�/Q3GYG N�I%jE:�S��{�¡}|�~0� { � ¦~ �%���S��� DJC��3Q ^ D�Q3C�O �����r ª�©�k�r�! ���f�����c�I� � � � � �f� !���������� � p �r�.�-� �R��������.�^� � �1��r �!���������� ��� ¬ � ­+�B�������b�r���H�-�#����� ����"�� �����P�#��!/�/���������+*T\I ^ DJCES�O�QiC\N�: O 6 :�GJ:�C\K3O 6 �9O 6 : N�Q ^ j�DJCvQ3GYDJO�UpI ^ O 6 : ; DJCEDY;lRE; W Q3; ; DJC\K � :�DJK 6 O�Q ^ : DJC��3Q ^ D�Q3C�O�SIu�L: ^ O 6 :>DYC�O�:�KM: ^ S�� 576 : W Q3; ; DJC\K � :�DFK 6 Od:�C�RE;<: ^ Q3O�I ^ DJSdQ3C�DYC%�3Q ^ D�Q3C�O�I~�M: ^ O 6 :>h+IMGJU�C\IM; D�QiGFS� DJO 6 DJC�O�:�KL: ^ N�I%:�� N�DF:�C�O�S��

V hEh�GJU�DJC\K Q3C DJC��3Q ^ DFQ3C�O�� � I ^ DYC\S�O�Q3C\N�:�O 6 : � :�DJK 6 O¢:�C�RE;<: ^ Q3O�I ^ �H;<Q�U 6 :�GJh RES-O�I jE:�N�DJjE:�b6 :�O 6 : ^ O � I N�I%jE:�S�Q ^ :!:�Z[REDY�3Q3GF:�C%OlI ^ C\IMO�� 57� I�N�I%jE:�S � DYO 6 j�D`_X: ^ :�C�O � :�DJK 6 O :�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ SN�QiCEC\IMO�W+:b:�Z[REDJ�3Q3GJ:�C�O��NY�CE� I ^ O�REC\Q3O�:�GJU � :b;yQ�U 6 Q��L:PDJC\:�Z�R�DJ�3Q3GF:�C�O�N�I%jE:�S � DJO 6 O 6 :bS�Q3;<: � :�DJK 6 O:�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ �'O 6 IMR\K 6 O 6 DFSdIMCEGYU¢I%N�N�R ^ S � DYO 6 QyS�;<Q3GJG�h ^ I3WvQ3WEDYGJDJO�U �b6 :�C�O 6 :�N�I%jE:�SsQ ^ : N 6 ILS�:�C^ QiC\jEIM; GJUM�

�kGRF #;O%$�WYS �«M��«V0`V C�U�DJC��3Q ^ DFQ3C�O7DFS�QlKMGFIMW\Q3Gvh ^ IMh+: ^ O�UyIM��QlN�I�jE:3�Y����:HC\:�:�j!O�I jE:��EC\:@Q�GJI�N�Q3G+h ^ IMh+: ^ O�UL�EO 6 Q3O�DFS7Qh ^ IMhX: ^ O�U¢IM��QyN�I%jE:�Q3C\jIM��IMCE: IM��DJO�S hXILSVDJO�DFIMC\S��@f%R\N 6 Q<h ^ I3hX: ^ O�U¢DJSHIMWEO�Q3DJCE:�j'�X� I ^ DJC\SVO�Q3CEN�:M�W�U�Q3hEh�GJU�DJC\K Q3C�DYC%�3Q ^ D�Q3C�ObI3CphER�C\N�O�R ^ :�j¢N�I%jE:�S��

�%�¦����� {-¡}|9~�� { � ¦~{�¡}|�~0� { � ¦~ �%�¦� � SVDFKMCvQiO�R ^ :�& �����r 3�©�k�r�(' !���r�f�²�-�#��� b �w�^�b�r�����R���\����¢��� �r�b�r!/�r���* �w� ��� ����� �¨��� �r�b�r!/�r���)�w�)' ���� ���,�r�.�-� �R�����=��� (�����8��r �!���������� ����� e ��� �����& (<b�  * ,3�& (<e (<b',� �e (1* , , *

´�µDma´�¶

Page 10: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! o

f%DJKMCvQ3O�R ^ :�SHjEIy: ��DJS�O�� TvI ^ DJCES�O�QiC\N�:3� � :>N�Q3C�QMS�S�I%N�DFQ3O�:>O�I!Q3C�U-DJC��3Q ^ DFQ3C�O�� O 6 :lS�DJKMCvQ3O�R ^ : &����(�b/ �* , op ��(<b -R, �

� I � �bDJ� � : 6 Q��M:Q3C DYC%�3Q ^ D�Q3C�O��H�PQ3CEj � DFS 6 O�I�QiC\S � : ^ O 6 :�Z[R\:�S�O�DJIMC9��� �� � b ���� b d��r �!��B������� ��� ¬ � ­+�B�������b�r����� � � : N�Q3C�KLIpQ�GYDJO�O�GF:>��R ^ O 6 : ^ O 6 Q3C-_ R\S�O�N�I3;�hER�O�:���(�b ,sQ3C\j��1(�b d ,��.)�/O 6 :�S�:@N�I%jE:�S�Q ^ :HhX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC��):�Z[REDJ�3Q3GJ:�C�O � DYO 6 b d ��e (�b ,�O 6 :�C � : 6 Q��L: ��(<b -R,T����(<b d q$v -yx ,� I ^ Q3GJG0*7DYC¢����� 576 R\SHC\IMOHIMCEGJU���(<b',k����(�bPd , �XWEREOHQ3GFS�I<O 6 :�;lREGJO�DFS�:�O�S'( ��*��+* Q<KMDY�L:�C :�GF:�;<:�C�ON�QiC�Q3h�hX:�Q ^ S�:��L: ^ Q3G/O�DJ;�:�S ,�� � g ��(<b -R,�  *='(����hlQ3CEj��Pd«� g ��(�bPd -�,� �*+')���Bh>Q ^ :s:�Z�R\Q3G)�

��: ;<QuU C\I � S�O�Q ^ O�O�I S�IMGJ�M:O�I O 6 : S�:�N�IMCEj hvQ ^ O-IM�>I3R ^ h ^ IMW�GF:�;p����� � b ���� b d �� ���r �!��B������� ��� ¬ � ­+�B�������b�r��� � �c�� ����� ��r �!���������� ��� � �r� � �-�r� �����r!� � .)��� I ^ Q3C�U�S�DJKMCvQ3O�R ^ :�&b� � :6 Q��L: & (�b/ �* ,/5� & (<b/d� ���,7O 6 :�C)e (1* ,�5���\� 576 R\S�� O 6 :�DY;yQMKM:dIM��*�W�U©e 6 QMSPO�I WX:@N 6 ILS�:�C Qi;<IMCEKO 6 :�DJC\jE: ��:�S � �M: ^ DY��U�DJC\K & (�bPd¦ ���,)� & (�b/ �* , � 576 :C�RE;lW+: ^ IM��j�DJS�O�DYC\N�O<�MQiGJR\:�S<O�QU&M:�C W�U QKMDY�L:�C-SVDFKMCvQiO�R ^ :H� I ^ O 6 :dN�I�j�:�b DFS7O 6 RES�I3��N ^ R\N�D�Q3G'DY;�h+I ^ O�Q3C\N�: O�I�;�:�Q3S�R ^ : 6 I � :�� N�DF:�C�OPDJO7DFS��TER ^ O 6 : ^ ;<I ^ :M�%DJ�TO 6 :H;yQ3h�hEDJC\Kn* op & (�b/ �* ,�O�QU&L:�S�Qlj�Db_+: ^ :�C�Ob�3Q3GJR\: � I ^ Q3GJG+:�GJ:�;�:�C�O�SbI3�9���>O 6 :�CO 6 :sh+: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC!WX:�O � :�:�C b Q3C\jpQ3C�U!IM�/DJO�S�h+: ^ ;lREO�:�j��L: ^ S�DJIMC\S�N�Q3C-WX: ^ :�N�Iu�M: ^ :�j'�

�%�¦���¦� � }E|u{ � { � ¦~ }\z�z ¦ � � }�{ ¡ § { ¦ }�z ���~ }�{ �T| ¡ } ~ § }�� ¦ § ¡

T\I ^ Q3C�U S�DFK3CvQ3O�R ^ : &�Q3C\jyQiC%U N�I�jE:;b IM�'GJ:�C\KMO 6f� �%DY� � : ^ :�G�QiO�:PO 6 :PO � I�DJC\jE: ��:�S *�Q3C\j��>DJ�9QiC\jIMCEGYUyDJ� & (�b/ �* ,+� & (�b/ ���,�� � :�jE:��ECE:>Q3Cp:�Z[REDY�3Q3GF:�C\N�: ^ :�G�Q3O�DFIMC9�c.)O�S�N�ILS�:�O�S�h ^ I%j�R\N�:>Q hvQ ^ O�DJO�DFIMCIM����� Q3CEj�O 6 DFSbhvQ ^ O�DYO�DJIMC � DJGYGX;<Q3O�N 6-� DJO 6 Q3C�U!IMO 6 : ^ IMWEO�Q3DJC\:�j!� ^ IM; Q�N�I�j�:�bPd.® b �{�¡}|�~0� { � ¦~ �%��� �8�r� & � �,�(�r� ��������B � �����r /* � �� ª���.�<�%��� � �3�����c�I� ����� g *�'�����2& (�b/ �* ,k� � h *²£ � � �����+� ����� (K��� ,�� B�� ����� (�b/ &c,��#hvQ ^ O�DJO�DFIMC �w� ��� * � �� ���.�f�r� � �k�r� � �w� � ������k�r� > � B"! �#�=� g *T')���,2 & (<b� �* , ' � h ��� � �����b� �3� (�b/ &c,��)j�DFS�N ^ DJ; DJCvQ3O�:�j�S�REW\S�:�O IM����� *$ 6&%>9 r(' a���N�IMR ^ S�: � : 6 Qu�M:A���A�*)&� B"� ����Q3C\j ��� %=���E8�� > DJ� � 5� � d�� 576 R\S O 6 : ��� � S�� I ^ ;

QlhvQ ^ O�DYO�DFI3C�IM�9���lDJC�O 6 :dR\S�RvQiGTS�:�CES�:M�$ 6&%>9p=+' .)� DFSPQ3C�DYCE�ECEDYO�:dS�:�OPO 6 :�C�Q3GY;<IMS�OPQ3GYG'O 6 :C�#��� S�Q ^ :d:�Z�R\Q3GTO�I O 6 :s:�;�hEO�UyS�:�O��

� | ¦-,�¦ z � { � ¦j~ �%� \�8�r� b � ��� �-�#��� �w�1�b�r�������z� � �b�r� & � �/�z�r� ��������B �'�����r � �����^�b�r� ( ��� ,.� B"�� � �R��� (<b� &c,�¬ «�� r������� ��� �w� ��� * � �� l�����r �� ��r �!��B������� ��� e ��� ����� (<e ( ��� , ,�� B�� ���'����� (1e (�b ,� &�,�¬«�� �������� ��� �w� ��� */10�232�4�5 f%O ^ Q3DJK 6 O�� I ^�� Q ^ j!� ^ IM; O 6 :sjE:��ECEDJO�DFIMC-IM��Q S�DJKMCvQ3O�R ^ :3� 6

576 : (<b� &c,)�)hvQ ^ O�DYO�DFI3C¢IM�=���<DFS O 6 :lhvQ ^ O�DYO�DJIMC�IMW�O�Q3DYC\:�j�W�U Q3h�hEGJU�DJCEK<O 6 : SVDFKMC\Q3O�R ^ : & O�I!:��M: ^ Uh+ILS�DYO�DFI3C\S I3��O 6 :lN�I�j�: b � V (�b/ &c,��)j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3O�:�j!S�R�W\S�:�O�I3�+��� DFSHQ�S�:�OHIM��hXIMS�DJO�DFIMCES O 6 Q3O � :Q ^ :�QiWEGF:HO�I ^ :�N�ILKMCEDbZ�:sIMCpQ3C�U!N�I%jE:dh+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC���:�Z[REDY�3Q3GF:�C%O7O�I�b �c.)�9b¯® b/d�� eN(�b ,���O�I�QiC%U(�b/ &c,��)j�DFS�N ^ DJ; DJCvQ3O�:�j�S�REW\S�:�O���IM�9��� N�I ^�^ :�S�h+IMC\jESPO 6 : (<b/d� &c,��)j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3O�:�jySVREW\S�:�O

� d � g *+')���32 & (<b d �* , ' & (<b� +�F,�hY� e ( �F,� Q3C\j�O 6 :�C � : 6 Q��L:3�\DJC�hvQ ^ O�DFN�REG�Q ^ b/d � 8 � e (<b"�U,��

mFmoncprqtsrq+u

Page 11: The Support Splitting Algorithm

] � ���-������� ���r��� �� �r

�%�¦����� {©� z��L| � � �<~ } ~ { z ���~ }�{ �T| ¡ z576 :dO 6 DJCEC\: ^ O 6 :@QMS�S�I%N�D�QiO�:�j!hvQ ^ O�DYO�DJIMCyDFS��EO 6 :HW+:�O�O�: ^ O 6 :sN�I ^�^ :�S�h+IMC\j�DYC\K�SVDFKMC\Q3O�R ^ : � DJGYGXW+:M�c.)CO 6 : � I ^ SVO>N�QMS�:3��IMC�GJUIMCE:�:�GF:�;�:�C�O@IM��O 6 :�hvQ ^ O�DJO�DFIMCDJSdC\IMC�:�;�h�O�U (#Q3C\j�:�Z[RvQiG�O�I(����, � �b6 DFN 6;�:�Q3C\SbC\I hXIMS�DJO�DFIMC�N�Q3C¢W+:sj�DFSVO�DYC\KMREDJS 6 :�j-� ^ IM; Q3C�U�IMO 6 : ^ � .)CQ � Q��LI ^ Q3WEGJ:@N�QMS�:3�\O 6 :shvQ ^ O�DJO�DFIMCN�I3C%O�Q3DJCES�QiO/GJ:�QMSVOTO � IPC\IMC��):�; hEO�Us:�GJ:�;�:�C�O�S��MQiC\j@DJjE:�QiGJGJUM��DJOTN�IMC�O�Q3DYC\S � SVDJC\KMGJ:�O�IMC\S�� �b6 DJN 6 ;�:�Q3CESO 6 Q3O � : � : ^ :�Q3WEGJ:HO�I �EC\jpQ j�DFSVO�DYC\N�Obh ^ IMh+: ^ O�U!� I ^ :�QMN 6 hXIMS�DJO�DFIMC�I3��O 6 :sN�I%jE:M�{�¡}|�~0� { � ¦~ �%���m�8�r� b�� �n� �-�#�����w���b�r��������� *

� � �r� ��������� -� & �����#���1�a� � � � j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O ��� b � �'�����r � ���f���r� * ���� � ��� ��� �r�r�-� �R�����& (�b/ �* ,Y5� & (�b/ ���, *

� � �r� ��������� -� & ���/�#���1� � � � � ��REGJGYU!j�DJS�N ^ DJ; DJCvQiC%O ��� b � �+��� A����� * ���� � �����r�������r� ��� �����& (�b/ �* ,Y5� & (�b/ ���, *

.)�0bPd«��e (�b ,�Q3CEj<DJ� &�DFS���REGJGYU�j�DFS�N ^ DJ; DJCvQ3C�O�� I ^ b ��O 6 :�C9��� I ^ Q3GJG*�DYC3�����%O 6 : ^ :H: ��DJS�O�SbQ�RECEDJZ[R\::�GJ:�;�:�C�O7�!DJC7���<S�R\N 6 O 6 Q3O& (<b�  * , � & (�b d ���,��TQ3C\j � : 6 Q��L:ze (<* , � �\�>��: N�Q3C O 6 R\SsIMW�O�Q3DYCO 6 :sh+: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC e��4 ¦ � , }�| �1~ � z � �~ }�{ �/| ¡ z �{�¡}|�~0� { � ¦~ �%��� �8�r� & ������ � � � � � �r� ��������B ���n���� �b�r� b � �����-�#���l�w� �b�r�����R� � *

� £ � � �����j�#�¤�^�R������� ��� ;<I ^ :Hj�DJS�N ^ DJ; DJCvQiC%O7O 6 Q3C�& � I ^ b � ����3���r�I��� � ��� � � &�� � � � � *  ��f'¢���� � (�b/ �* ,T� � (<b� �B,�� & (�b/ �* ,T� & (�b/ ���,�"

£ � � �����j�#�¤�^�R����� & ������ �� � :�Z�R�DJ�3Q3GF:�C�Ob� I ^ bA� ����f���r�I��� � ��� � � &���� � � � � &�� ������� �� & *3£ � � �����r�#�¤�l��������� ��� SVO ^ DFN�O�GJU�;�I ^ : j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O�O 6 QiC &�� I ^ bA� ���r�I��� � �� � &��� � � � � &��� � ���� &m5��� � *

� £ � � �����+���r�I��� � � � &� � �(&�� � �� &�� �������-��  ������� � � � ���r�����r �� ���^ ��� ����r�������r�¡�!/�� �������t�r ���!��������� ������� � � ­+���������b�r��� � � �� ��r�� r���r���¡� !/�� �������t�r ���!��������� ������� & ��� z���.��-�#��� b *

� I3O�:dO 6 QiObO 6 :sI ^ jE: ^ �� DJS�C\IMObO�I3O�Q3G'DYC-KL:�C\: ^ Q3G#��C\:�DJO 6 : ^ DFS�@�

4 ¦~ z�{�| �/�M{ �1~ �²~T¡�¥ z ���~ }�{ �T| ¡ z � | ¦ � ¦ {�� ¡ |iz �{�¡}|�~0� { � ¦~ �%���m�8�r� & ������ � � � � � �r� ��������B ���+*

� ����� h ^ I%j�R\N�O �w� & ������X���n�����c�I� � � � &�� � ��(<b�  * , op ( & (�b/ �* ,� � (�b/ �* , , *� ����� j�RvQ3G �w� & ���n�����c�I� � � � &@Q��(�b/ �* , op & (�b�Q� �* , *� �����Y�r� ��������� -� & ���P�#���1�^� � � � S�:�GJ�F�)j�RvQ3G � � & � & Q *

��:¢Q3G � Q�U%S 6 Q��L: &! &�� � Q3C\j O 6 :�h ^ I�j�REN�O &�� &@Q DJS Q3G � Q�U�S S�:�GJ�F�)j�RvQ3G#� qpIMS�O�IM�HO 6 :S�DJKMCvQ3O�R ^ :�S � : � DJGYG�N�IMC\SVDFjE: ^ Q ^ :<S�:�GJ�F�)j�RvQ3G#��QiC\j�DJ��C\IMO�� � :yN�Q3C�N�IMC\S�DJjE: ^ O 6 :�D ^ h ^ I%j�R\N�O � DJO 6O 6 :�D ^ j�RvQ3GTS�DJKMCvQ3O�R ^ :HDYC\S�O�:�QMjX�

´�µDma´�¶

Page 12: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! t

R�� � z�{ ¡�~ � ¡ ¦ � § � z��L| � � �1~ } ~ {z � �~ }�{ �/| ¡ z � .)O>DFS�h+ILS�S�DJW�GF:�O�I�h ^ I�j�REN�:!Q¢SVDFKMC\Q3O�R ^ :M� �b6 DFN 66 QMS�Q�h ^ I 6 DJWEDYO�DJ�M:�Q3GJKLI ^ DJO 6 ;�DJN�N�ILSVO��LO 6 Q3O � DYGJG%WX:7;�I ^ :�j�DFS�N ^ DJ; DJCvQ3C�OTO 6 Q3C Q3C�UlIMO 6 : ^ S�DFK3CvQ3O�R ^ :M�Q3C\j �b6 ILS�:@QMS�S�I�N�D�Q3O�:�j�hvQ ^ O�DJO�DFIMCyDJSPQMSbO 6 DYCpQMSbO 6 :dh+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC�K ^ IMREh¢Q3GYGFI � S��

� | ¦-,�¦ z � { � ¦j~ �%��� �8�r��� � �P�R���©�r� ��������� �)�����c�I� �3��� )���.� �-�#��� b �w� �b�r�������²� ��������.���t�r����� ��� * ��� ���¢� �

� (�b/ �* ,9� g (<e (<b',� �e (<b -�, ,Y24e7'(±Z��h="����� (�b/ � ,�¬ «�� �������� ��� �w� ��� ��� ��� �!/� � � � �����^�� � ����� �w� ����� �r�b�r!/�r�����)�w� ��� ������r '����� ���r��� ����w�7����� (<b', *�� �� �-�����r � ��� ������j�r� ��������B ��� &��+� �����¤��� & � *.)C-hvQ ^ O�DFN�REG�Q ^ ��O 6 : ^ :�SVREGJO�QiWXIu�L:sDJ; hEGYDF:�S�O 6 QiO

� Ql��REGYGJU j�DFS�N ^ DJ; DJCvQ3C�O7S�DFK3CvQ3O�R ^ :d:��%DJS�O�Sb� I ^ b DJ��Q3C\j�IMC�GJU<DY�TO 6 :Hh+: ^ ;lREO�QiO�DFI3C�K ^ IMR�h�IM��bDJS�O ^ DY��D�Q3G#�

� Q@j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O�SVDFKMCvQiO�R ^ : : ��DJS�O�S�� I ^ b DJ�'Q3C\j<I3CEGJU DY�+O 6 : h+: ^ ;lREO�QiO�DFI3C�K ^ IMREh<IM�ab DFS�C\I3OO ^ Q3C\SVDJO�DJ�L:3�

576 :s� IMGJGJI � DYC\K>O�:�N 6 CEDJN�Q3G9GJ:�; ;yQ � DJGJG+WX:dR\S�:���REGTO�I�h ^ Iu�L:sO 6 :dh ^ IMh+ILS�DYO�DFI3C9�

��¡ � ��} �Z� � � �����r -�P���f���r��� e ��� � ��� (�b , �r�.�-� ������� b��3��e (�b -�, �R���r� �R���r � ���f���r��� g �������� (<b', �r�r�-� ������� b��k��gc(<b -R, ���� �A��gc(1* , */10�232�4�5 � :�O=*/Q3C\j���W+:�O � I�:�GJ:�;�:�C�O�S�IM�j���@QiC\j GF:�O+e�W+:PQ3C<:�GF:�;<:�C%O�I3�j±Z�sSVR\N 6 O 6 Q3O=b ��eN(�b ,Q3C\j7b���� e (�b -�,��l��: jE:�C\I3O�:�� d � e (<* ,HQ3C\j � : 6 Q��L:�� d 5� �pI ^ O 6 :lh ^ IMWEGF:�; DJSdI~�M: ^ � � :�O� jE:�C\IMO�:dO 6 :dO ^ QiC\S�h+ILS�DYO�DJIMC!WX:�O � :�:�C��<Q3C\j � d ���: 6 Q��L:�b��k��e (<b -R,+��eN(�b , q#v -yx ��b��G8'QiC\j!O 6 R\S��EDYC!hvQ ^ O�DFN�REG�Q ^ S�REh�hD(�b ,�� g �4h/� SVREhEhD(<b��+,T�S�R�hEhD(�b��K8b,T� S�REhEhD(<b',�� g � d h���f%DJCEN�:@�©5� � d �MC\:�DJO 6 : ^ �dCEI ^ � d Q ^ :7DYClS�R�hEhD(�b ,�Q3CEj� �' � ��� (�b ,��576 DJSPDY;�h�GJDF:�S�g(�� �� e7' � ��� (�b ,�Q3C\j gc(<* ,+� �\� 6

/10�232�4�5 (4I3� ]�^ IMh+ILS�DYO�DFI3Cm�� ]�, � :�OP*bQ3C\j'��W+:�O � I!:�GJ:�;�:�C�O�SHI3�+������.)�+*bQ3C\j<�-Q ^ :�DJC¢O 6 :lS�Q3;�:I ^ WEDJO�REC\j�: ^ O 6 : QMN�O�DFIMC<IM� ����� (<b',�O 6 :�C<O 6 : ^ :�: ��DJS�O�S epDYC ����� (<b',�SVR\N 6 O 6 QiO �A� e (<* ,�QiC\jO 6 R\S;b � eN(�b ,�Q3C\j©b��k��e (<b', q$v -yx ��eN(�b -R, �EO 6 QiObDFS � (�b/ �* ,T� � (�b/ ���,��g :�N�DYh ^ I%N�QiGJGJUM�\DJ� � (�b/ �* ,k� � (�b/ ���,bO 6 :�CO 6 : ^ : :��%DFSVO�SYe�DYC ����� (<b',PS�R\N 6 O 6 Q3OPb �¯eN(�b ,Q3C\j¨b�� � eN(�b -R, � T ^ I3; � :�; ;yQ�m�� t � : N�Q3C�QMS�SVRE;<: �¢� e (<* ,@Q3CEj�O 6 RESn*�Q3C\j0��Q ^ :�DJC�O 6 :S�Qi;<:dI ^ WEDJO��T�DYCvQ3GJGYUL�%O�I�h ^ Iu�L:@O 6 Q3O & � � � : 6 Q��L:�O�I h ^ Iu�L:@O 6 Q3OP� I ^ Q3GYG9N�I%jE:�S b IM��GJ:�C\K3O 6)� Q3CEj�Q3GYGa*Q3C\jD� DYC���� SVR\N 6 O 6 Q3O � (�b/ �* ,T� � (�b/ ���,�� � : 6 Q��L: & (�b/ �* ,T� & (<b� �B, ����: 6 Q��M:

� (<b� �* ,T� � (<b� ���, � (���e7' ����� (<b',;2)� ��e (<* , ,� ( & (�b/ �* ,T� & (<e (<b',� �e (1* , ,T� & (<b� �B, ,"

6

mFmoncprqtsrq+u

Page 13: The Support Splitting Algorithm

rke � ���-������� ���r��� �� �r

� � ��� ������ ��� ���������������� � ������������� � � � � ������������� ��� � � ���������H��� �¢� � ������ ������� �H�d� ��� ���!�� � � ���d�y� $� ��� �

� :�O�b Q3CEjfbPd�WX:�O � I�h+: ^ ;lREO�QiO�DFI3C���:�Z�R�DJ�3Q3GF:�C�O�N�I%jE:�S�IM� GF:�C\KMO 6ª� �N.)� � : QMS�SVRE;�:PO 6 Q3O � : &�C\I �QdS�DJKMCvQ3O�R ^ : & �b6 DFN 6 DJS���REGJGYU>j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O�� I ^ b��[O 6 :�CyQH�L: ^ U S�DY;�h�GF:7h ^ I�N�:�j�R ^ :M��O 6 Q3O ^ :�Z�R�D ^ :�SO 6 :HN�IM; hEREO�Q3O�DJIMC!IM��= � S�DFK3CvQ3O�R ^ :M� � DJGYG+h ^ Iu�%DJjE:�R\S � DYO 6 O 6 :Hh+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC�WX:�O � :�:�C)b Q3CEj©b d �

, | ¦ � ¡ §��/| ¡ h+: ^ ;lREO�QiO�DFI3C�1~ , �9{ ��N�I%jE:�b��.b/d � S�DJKMCvQ3O�R ^ : &

� ¦ | *¥ �� �1~ ��� § ¦� � & (�b/ �* ,T� & (�b d ���, {�� ¡�~

e 0 *�2 �| ¡ { �T| ~ (<e>,

a��bN�I3R ^ S�:M��Q-��R�GJGJU�j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O@S�DJKMCvQ3O�R ^ : � DJGYG�C\IMO>CE:�N�:�S�S�Q ^ DYGJU WX:<Q��MQiDJG�QiWEGF:3��QiC\j�:��L:�C DY�7DJODFS���DYO�;yQ�U�W+:!O�I%I�: �%hX:�C\S�DY�L:pO�I�N�IM; hEREO�:3� .)�dQ SVDFKMC\Q3O�R ^ : & DFS�j�DJS�N ^ DJ; DJCvQiC%O>WEREO�C\IMO���REGYGJUj�DJS�N ^ DJ; DJCvQiC%O�� I ^ O 6 :�N�I%jE: b���O 6 :�C � :�N�QiCEC\IMO�IMWEO�Q3DJC�O 6 : h+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC'� W I � :��M: ^ ��O 6 :'(�b/ &c,��hvQ ^ O�DYO�DFI3C�I3�«���PK3DJ�L:�S�R\S�QPN�G�Q3S�S�DY�\N�QiO�DFI3C>IM�EQ3GJGL:�GF:�;<:�C�O�S/IM�.����Q3N�N�I ^ j�DYC\K�O�I O 6 :�D ^ SVDFKMC\Q3O�R ^ :�S�����:h ^ :�S�:�C�O7DJC O 6 :�C\: �%O�S�:�N�O�DFIMCyQs;�:�Q3CES�O�I�� ^ :��ECE:� lQsj�DJS�N ^ DJ; DJCvQiC%O�SVDFKMC\Q3O�R ^ :M�%Q3C\j DJO�S�Q3S�S�I%N�DFQ3O�:�jhvQ ^ O�DYO�DFI3C9��O�I�h ^ I%j�R\N�: ( 6 IMhX:���REGJGYU ,7Ql��REGJGYUyj�DJS�N ^ DJ; DJCvQiC%O7IMC\:3� V S�j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3O�DJIMC<DJS ^ :�G�Q3O�DJ�L:HO�IQ N�I%jE:M�EO 6 : ^ :��EC\:�;�:�C�O�S � DYGJGTQ3GJS�I jE:�hX:�C\j¢I3Cp:�QMN 6 h\Q ^ O�DFN�R�G�Q ^ N�I�j�:M�

� GJI �°V��WPO¥W $ S ^/OJ` X �.O�� O¥WYS+WP�c`«O $ WYS �«M��«V� :�O &�WX:sQ S�DJKMCvQ3O�R ^ :dIu�M: ^ �b6 DFN 6 DFS�C\IMOb��REGYGJU�j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O7� I ^ b �\Qi��O�: ^ N�IM; hEREO�DYC\K�Q3GYGXO 6 :& (�b/ �* , � :sN�QiC-h\Q ^ O�DJO�DJIMC,���lDJC�O�I'���� $"$"$"Z +����( � DJO 6����c� , � .)��bPd\DFSke+�):�Z[REDY�MQiGF:�C�O�O�Izb � : � DYGJGIMWEO�Q3DJCQ<hvQ ^ O�DJO�DFIMC���d� $"$"#"% ��d� S�R\N 6 O 6 Q3O���d� �¯e (K��� ,� $"#"$"+�jd� � eN(K���j,�� .)� ��DJS�:�Z[RvQiG�O�I�Q3C�UpIM�O 6 : ��� � S��'I ^ O�I!Q3C�U-RECEDJIMCIM��O 6 :�;p� �jd%� e (K�>, N�QiC�WX:�GJDb&M: � DJS�:>I3WEO�Q3DYC\:�jp� ^ IM; O 6 : ��d� � S�� 576 :N�I%jE:�Snb"�yQ3C\j¨b/d � 8 Q ^ : Q3GJS�I e+��:�Z[REDJ�3Q3GJ:�C�O�Q3C\j O 6 R\S��/W�U�N�IM; hEREO�DYC\K-Q3GJG�O 6 : & (�b"�}  * ,sQ3C\j�Q3GJGO 6 : & (<b/d � 8  * ,�� � :d;yQ�U!I3WEO�Q3DYC-QMjEj�DYO�DJIMCvQ3G+DJCE� I ^ ;yQiO�DFI3CyIMC©e���qpI ^ :d� I ^ ;<Q3GJGYUL� � : 6 Q��L:3�� | ¦-,�¦ z � { � ¦j~ a�1���8�r� � � �Y���r� ��������� � �����r ! *!�)���c�I�0��� Y���.�/�r� � �k�r� � �w�! � ��� P�����%�-�#�����b �w���b�r�����R���c����3�����<�r�b�r!/�r����� * �w� ��� ����� !���������� &��� ! � �

&��! ! (�b/ �* ,T� & (�b#"�$&% ' v �.xJ �* , (�rk,� ���r �)( �� ! (�b ,T� g *+')���32 � (�b/ �* , ' � h!� �������r� ��������� �+*/10�232�4�5 ��:lhEREO ( � ( �� ! (<b', �'� ^ IM; ]�^ IMh+ILSVDJO�DJIMC�m�� � � : 6 Q��M: ( �! ! (<eN(�b , ,N� eN( ( , � I ^ QiC%Uh+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC e�� T ^ IM; e (<b#" ,T� eN(�b , q#v "Tx �\Q3C\j�O 6 :@j�:��ECEDYO�DJIMC-IM��Q SVDFKMCvQiO�R ^ :M� � : 6 Qu�M:M�

&��� ! (<e (<b',� �e (<* , , � & (<eN(�b , q#v "Tx �e (1* , ,� & (<eN(�b#" ,� �e (1* , ,� & (�b#"_ �* ,=� &��! ! (�b/ �* ,�"

´�µDma´�¶

Page 14: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! rLr

576 DJSPh ^ Iu�L:�S�O 6 Q3O &��� ! DFSPQ S�DJKMCvQ3O�R ^ :3� 6

.)�HO � I�N�I%jE:pN�I%jE:�Sfb�QiC\jcbPdbQ ^ :©e ��:�Z[REDY�3Q3GF:�C%O���O 6 :�C � I ^ Q3C�U (�b/ � ,��)j�DFS�N ^ DJ; DJCvQ3O�:�j�SVREW\S�:�O� � ( �! ! (<b', � : 6 Q��M: ��dY�§eN(K�F,�� ( �� ! (�bPd ,���Q3CEj O 6 :pO � I�N�I�jE:�S,b"��Q3CEj°b/d��)8 Q ^ :(e �:�Z[REDY�3Q3GF:�C%O�����:�N�Q3C!O 6 RES7O ^ U�O�I�Q3hEhEGYU O 6 :HSVDFKMCvQiO�R ^ : � IMC!O 6 :�; O�I IMWEO�Q3DJC�;<I ^ : DYCE� I ^ ;<Q3O�DFIMCIMC�e�� 576 Q3O � SP: �EQ3N�O�GYU �b6 Q3O &��� ! jEI%:�S��

W IMh+:���R�GJGJU�O 6 :�h ^ I�j�REN�ObSVDFKMCvQiO�R ^ : � � &��� ! � DYGJG WX:HSVO ^ DFN�O�GJU�;�I ^ : j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O�O 6 QiC � � I ^b�� ��IMO�:@O 6 Q3O�:��M:�C DJ� & DJS S�:�GY�F��j�RvQiG)�\DJO�;yQ�U�C\IMO WX:@O 6 :�N�QMS�:>� I ^ &��! ! �+Q3C\j¢DYO ;<Q�U-W+:�RES�:���R�GO�I�N�IMC\S�DJjE: ^��&��� ! � &��� ! � & Q�� ! � � :�O & W+:@Q S�:�GY�F��j�RvQiG9S�DJKMCvQ3O�R ^ :dIu�L: ^ � � :dO ^ UyO�I�N�IMC\S�O ^ R\N�OQ S�:�Z�RE:�C\N�: � -TI3��S�DJKMCvQ3O�R ^ :�S � DJO 6

, | ¦ � ¡ §��/| ¡ � j SVDFKMC\Q3O�R ^ :�1~ , �9{ ��N�I%jE:�b � S�DJKMCvQ3O�R ^ : &

* e � � � &¥ � � � ¡ 2 � - (�b/ �����,42 � � § ¦

� O�� � - (<b�  ����,� -���� � - � �&���� !* * # r

| ¡ { �T| ~ ( � -�,W : ^ :@O 6 :sDJC\N�GJR\SVDFIMC � O�� � - (�b/ �����,�;<:�Q3C\SbO 6 Q3O O 6 :@S�:�O � DFSPN 6 ILS�:�C�Q3O ^ Q3C\jEIM;p� .)Cph ^ QMN�O�DJN�:M�;<QU&�DJC\K<Q ^ Q3CEjEIM; N 6 IMDJN�:>DJS�C\I3O�WvQMjX�XS�DYC\N�:�;<ILSVO ^ :��EC\:�;<:�C�O�SdQ ^ :>SVR\N�N�:�S�SV��REG)�'W�REOHO 6 :�R\S�:lIM�S�DYC\KMGJ:�O�I3C\S�� I ^ � DJSbN�IM; hEREO�Q3O�DJIMCvQ3GYGJU�;<I ^ :H: ��N�DF:�C%O���q-I ^ :�I~�M: ^ � S�IM;�:dIMO 6 : ^P6 :�R ^ DFSVO�DFNH;<Q�UyW+:DJC��MIMGJ�M:�j�DJC�O 6 :sN 6 I3DFN�:sIM� � ( S�:�:sS�:�N�O�DFIMC � � m��²r3,��

576 :�Q3GFKLI ^ DJO 6 ; DFSs:�� N�DJ:�C�O �b6 :�C�O 6 :�DJC\SVO�Q3CEN�:�S�Q ^ : N 6 ILS�:�C Q3O ^ Q3CEjEIM;p� 6 I � :��L: ^ � � :<j�DJjC\IMO7;yQ3C\QMKL: O�I>h ^ I~�M:sQ3C�U�O 6 DYC\K IMC!O 6 :�O�: ^ ; DJCvQ3O�DFIMC�I ^ I3CyO 6 :dN�IM; hEGF: ��DYO�UL�%:��M:�C�DJ� � : ^ :�S�O ^ DFN�OIMR ^ S�:�GJ�L:�S�O�I�N�I%jE:�S � DJO 6 QlO ^ DJ��DFQ3GXh+: ^ ;lREO�QiO�DFI3C�K ^ IMR�h9�

V OlG�Q3S�O�� ^ :�;yQ ^ & O 6 Q3O�O 6 :<:��%DFSVO�:�CEN�:!IM��Q���REGJGYU j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O@S�DJKMCvQ3O�R ^ : & � I ^ b Q3C\j�O 6 ::�Z[RvQiGJDJO�U g & (�b/ �* ,� �*z'\���Bh � g & (<b d �* ,� �*�'\���Bh � DJGYGbQ3GYGFI � R\S O�I IMWEO�Q3DJC Q�REC�DFZ[R\:!hXIMS�S�DYWEGF:h+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMCªepW+:�O � :�:�C©b QiC\j,b d ��WEREO�j�I�:�S�C � O7C\:�N�:�S�S�Q ^ DJGYU�DJ; hEGJU�O 6 Q3O b d ��e (�b ,�� 576 DFS�GFQMS�O:�Z[RvQiGJDJO�U�S�O�DJGYG 6 Q3S�O�IHW+:�N 6 :�N &M:�j'�%O 6 I3R\K 6 DJO�S�:�:�;<S��M: ^ U j�D � N�REGJO�O�IdWEREDYGFj Q�hvQiD ^ I3� DYC\:�Z[REDY�3Q3GF:�C%ON�I%jE:�SPO�QU&�DJC\K O 6 :sS�Q3;�:sS�:�O�IM�/�3Q3GJRE:�S�� I ^ Q ��REGJGYU<j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O�SVDFKMCvQiO�R ^ :M�

� GRF K�;S ��PUJVa` a�¦����� �@¥l¦ z ��} � � ¡ �9}�� , � ¡ z ¥ª� {�� ~T¦~9¤ � �<~T¡ }E|y� ¦ § ¡ z��:@h ^ :�S�:�C�OHDJC-O 6 DFS�S�:�N�O�DJIMC¢O � IyS�;<Q3GYG9:���Q3; hEGF: � DJO 6 C\I3C¢GJDYC\:�Q ^ N�I%jE:�S�� 576 IMR\K 6 O 6 :�S�REhEh+I ^ OS�h�GJDJO�O�DYC\K�Q3GJKLI ^ DJO 6 ; DFSlj�:�S�DJKMC\:�j�� I ^ ( GFQ ^ KM:k,HGJDJCE:�Q ^ N�I%jE:�S���O 6 :�U�Q ^ :yKLI%I�j�DYGJGYR\S�O ^ Q3O�DFIMC�IM�PO 6 :WvQMSVDFNdN�IMC\N�:�hEO��

w � � � � £ § � z��L| � � �<~ } ~ {�z ���~ }�{ �T| ¡r� ��:sN�IMCES�DFj�: ^ O 6 :@:�Z[REDJ�3Q3GJ:�C�O�N�I%jE:�S

b � g rLrMrke� -e�rMrLr! �rke�rkeBhsQ3CEj©b d � g efe�rMr! �rke�rMr! �rLrke�r�h�

mFmoncprqtsrq+u

Page 15: The Support Splitting Algorithm

r~= � ���-������� ���r��� �� �r

Q3C\jpQMS�DYC%�3Q ^ D�Q3C�O � : � DJGJG+O�QU&M:@O 6 : � :�DFK 6 O�j�DJS�O ^ DJWER�O�DFI3C!jE:�CEIMO�:�jpW�U�� ����:sIMWEO�Q3DJC�� I ^ b������ ���b �T� g e�rMrke� -e�rMrLr! -efe�rkeBh p � (<b � ,T��� #��&#�� �b � g rke�rke� -efe�rLr�h p � (<b ,T� =�� b � � g rLrefe� -e�re�r! �rke�efeBh p � (<b � ,T��� # =�� b��H� g rLrMrke� -e�rMrke� �rke�rkeBh p � (<b��t,T� =�� #�� �

Q3C\j�� I ^ bPd ���� ���bPd �T� g efe�rLr! -e�re�r�h p � (<b/d � ,+� =�� bPd � g efe�rLr! �rke�rLr! �rke�e�r�h p � (<b/d ,+� =�� #�� �bPd � � g efe�e�r! �rke�e�r! �rLre�r�h p � (<b/d � ,+��� #�� #�� �bPd��H� g efe�rke� �rke�rke� �rLrefeBh p � (<b/d��r,+��� # =��

T ^ IM; O 6 DJS � :sDJ; ;�:�j�DFQ3O�:�GJU�IMWEO�Q3DJC�O 6 :dhX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC e��\SVR\N 6 O 6 Q3ONbPd«��e (�b ,��eN(�r3,T� m NeN()=f,T� r¤ NeN(#m�,T� � @r#e ( � ,T� = "

R��9}�� , � ¡¢¦ � }�| ¡}|9~/¡ § z � �~ }�{ �/| ¡r� ��:sN�IMC\SVDFjE: ^ O 6 :sN�I%jE:�S

b � g e�rLrke�r! -e�rke�rLr! -e�rMrLrke� �re�rke�r! �rLrLrLr+eBh� Q3C\j

b d � g re�rke�r! efe�rLrLr¤ �rkefe�rMr! �rLrLrefe� �rLr+e�rLr�h�"��:@KM:�OP� I ^ b�������� �����

b �T� g e�rLre�r! -e�re�rLr! -e�rLrLrke� efe�rke�rUh p � # m�� �b � g efe�re�r! -efe�e�rLr! -e�e�rLrke� �rke�rke�r¤ �rke�rLre�h p m�� # =�� �b � � g e�rke�e�r! -e�re�rLr! -e�rke�rke� �rkefefe�r¤ �rLrke�re�h p m�� # =�� �b��H� g e�rLre�r! -e�refe�r! -e�rLrkefe� �rke�rke�r¤ �rLrLrke�e�h p =�� # m�� �b���� g e�rLrefe� -e�re�rke� -e�rLrLrke� �rke�rkefe �rLrLrLre�h p m�� #�� � #�� �

] IMS�DJO�DFIMCES�=�QiC\j¢m N�Q3CEC\IMOPW+:sj�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3O�:�j'��WEREO� b�� � �=� g efe�re�r! -efe�e�rLr! -e�e�rLrkeBh p m�� b � � � � � g e�rke�e�r! -e�re�rLr! -e�rke�rke� efefefe�rUh p � # =�� #�� �

� I � � I ^ b/dJ� ������ �����bPd �T� g efe�rke�r! -efe�rMrLr! -efe�e�rLr! -e�rLrkefe� e�re�rMr�h p m�� # =�� �bPd � g rke�rke�r! -efe�rMrLr! �rke�e�rLr! �re�rkefeBh p � # m�� �b d � � g rkefefe�r! -efefe�rLr! �rke�e�rLr! �rMrkefefe� �rLre�rMr�h p m�� #�� � #�� �bPd��H� g rke�rke�r! -efe�re�r! �rke�efe�r! �rMrLrkefe� �rLrefe�r�h p =�� # m�� �bPd���� g rke�rke�e� -efe�rMrke� �rke�e�rke� �rMrLrkefe� �rLre�reBh p m�� # =�� �

´�µDma´�¶

Page 16: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! rum

Q3O�O 6 Q3O�hXI3DJC�O�h+ILSVDJO�DJIMC\S r!Q3C\j � N�Q3C�C\IMOlW+:<j�DJS�N ^ DJ; DJC\Q3O�:�j'�/W�REO � :/&�C\I � O 6 Q3OAeN( g = �m�hU,��g r! � h��.e (�r3,�� =%�eN( � ,�� � Q3C\j©e ( � ,�� m�� .)�+b Q3C\j(b/dXQ ^ :�:�Z[REDY�MQiGF:�C�O��vO 6 :�C¢b �PQ3C\j(b/d Q ^ :Q3GJS�I�:�Z[REDY�MQiGF:�C�O�����:dO 6 R\S�N�I3;�hER�O�:� bPd � � � � g efe�re�r! -efe�rLrLr! -e�efe�rLr! efe�rkefe�h p � # =�� #�� �bPd � � �=� g rke�refe� -efe�rLrke� �refe�rkeBh p m��

�b6 DJN 6 KMDY�L:�SPRESNeN()=f,+� � Q3CEj©e (4m�,T� rL�

a�¦���¦� w ~/¦ {�� ¡ | ¡ �9} � , � ¡-¥ª� {�� } � �1~/¡ }E|�� ¦ § ¡��:@N�IMC\SVDFjE: ^ O 6 : 0 =Ue� �rkeU2+WEDJC\Q ^ UyGYDJC\:�Q ^ N�I�jE:dI3��KL:�C\: ^ Q3O�DYC\Kl;yQiO ^ D²�

� �

����������������

r e e e e e e e e e r e r e r e r r r re r e e e e e e e e e r e r r r r r e ee e r e e e e e e e r e e r r e e r e re e e r e e e e e e r r r r r r e r e re e e e r e e e e e e r e e e e r e e ee e e e e r e e e e e e e e e e r r r re e e e e e r e e e e r e r e e e r r ee e e e e e e r e e e e r r r e e r r re e e e e e e e r e e r r e e r e e e ee e e e e e e e e r e e r r r e e e r e

�����������������

576 : � :�DFK 6 OPj�DJS�O ^ DJW�REO�DJIMC\SbIM��:��M: ^ U�SVDJC\K3GJU<h�REC\N�O�R ^ :�j¢N�I�jE:�S�Q ^ :3������������������������������������� �����������������������������������

� (�b � , � (Vr! -e� -e = � �=�e� � � �rkef]� �r � m� �r�n�]� �r�tMn� �r � � -]Lo� � =� �=L= ] � e -e� e -e�,� (�b , � (Vr! -e� -e = � �=�r! � o� �rke � �r � r! �ruoUe� �r�t � �r � n� �t�e � t �=�r! �t � e -e� e -e�,� (�b � , � (Vr! -e� �r¤ �r! � �=L= � t �rkeLm� �r � r! �r]�e� �r]Lo �r � m� �t � � � �rut� �t � e -e� e -e�,� (�b��t, � (Vr! -e� �r¤ �r! �m� �= � � m �t[o �r � m� �rk] � �r~o3t �r � o� �t[o� � ]� �=3m� �rMr¤ = e -e� e -e�,� (�b���, � (Vr! -e� �r¤ �r! � �= � � r¤ �t[o �r � = �rk] � �rk]Mm �r � o� �tLn � ]� �=%r! �rMr¤ �m� e -e� e -e�,� (�b�r, � (Vr! -e� -e = -]� �r~o � t �rLrke� �r � o �ruo � �r]Mn� �r � e� �t�] � o� �=�r! �re� =� �r! -e e� -ef,� (�b��, � (Vr! -e� -e = � �=�r! � o� �tLt� �r � o �rk]Mn �r~oU] �r �¤� �rkeL=� � t �=�r! �rMr! =� e� -e e� -ef,� (�b�r, � (Vr! -e� -e �m� � �=�e� � e �rke[= �r � o �ruo3m� �r]�e� �r � t� �t�r¤ � n �=Mn� ] = �r¤ -e� e -e�,� (�b r, � (Vr! -e� �r¤ = � �rk]� � m �rLrke� �r �!� �ruoM= �r�t � �r � e� -]�] � e �=Mm� �re� �m e� -e e� -ef,� (�b � �r, � (Vr! -e� -e �m� � �=�r! � � �tLn� �r � m� �rk]Mn �rutMn �r � o� -][o� � t� �=M= �re � e -e� e -e�,� (�b � � , � (Vr! -e� -e = � �=�e� � � �rkef]� �r � m� �r�n�]� �r�tMn� �r � � -]Lo� � =� �=L= ] � e -e� e -e�,� (�b � , � (Vr! -e� �r¤ = �m� �=�e� � m �rkef]� �r � o �r�n�]� �r�t � �r � � -] � � =� �=Mm� ] � e -e� e -e�,� (�b � � , � (Vr! -e� -e �m� �n� �r~o � � �rke[o �r � e� �ruo � �r�tMn� �r � m� �t�e � o� �=L= �t �m� �r¤ -e� e -e�,� (�b � �t, � (Vr! -e� -e = �n� �=�e� � � �rkeLm� �r � e� �r]�r! �r�tMn� �r �¤� �t�e � � �=L= �o� �m� �r¤ -e� e -e�,� (�b � ��, � (Vr! -e� -e = � �=Mm� � r¤ �rkefe� �r � � �ruo%r! �r]L= �r�nL= �tMm � � �=Mm� ] �m� �r¤ -e� e -e�,� (�b ���r, � (Vr! -e� -e �m� �m� �=�r! � o� �tLn� �r � e� �rk]Mn �r~oU] �r � o� �tLt � t� �=%r! �re �m� e -e� e -e�,� (�b ���, � (Vr! -e� �r¤ �r! o �=�r! � � �rkeLm� �r � m� �r]Mm� �r]Lo �r � m� �tMm � r¤ �=Mm� �t = �r¤ -e� e -e�,� (�b ���r, � (Vr! -e� -e �m� � �=�r! �;� �tLn� �r � t� �rk]Mn �rk]L=� �r � o� �tf] � t� �r�t� �re � e -e� e -e�,� (�b �� r, � (Vr! -e� -e = o �=�r! � =� �tLt� �r�mLt� �rk]Mn =�e�e �r �¤� -]Lt � t� �=Ue� �rMr¤ � e -e� e -e�,� (�b �r, � (Vr! -e� -e �m� � �rut� �;� �rke � �r � o �ruo � �r�t�e� �r � � -]Mn � o� �=Lo �re� =� e� -e e� -ef,

mFmoncprqtsrq+u

Page 17: The Support Splitting Algorithm

r � � ���-������� ���r��� �� �r

V GYG+h+ILSVDJO�DJIMC\S�N�Q3C!W+:Hj�DJS�N ^ DJ; DJC\Q3O�:�j<:���N�:�hEOPh+ILS�DYO�DFI3C\S rHQ3C\jrLrL� 576 :HN�I ^�^ :�S�h+IMC\j�DYC\KlhvQ ^ O�DJO�DFIMCIM��� �PDFS

� � ��� �-��B � � � � �

g *jh�� ) g r! �rMr�h

.)ObDFS�O 6 R\S�C\:�N�:�S�S�Q ^ U!O�I ^ :��EC\:dO 6 DFS�SVDFKMC\Q3O�R ^ :M����: � DJGYG'SVO�Q ^ O � DJO 6�� � g � (�b � � ,-h/( O 6 :HGFQ ^ KM:�S�O� I ^ GJ:��%DFN�ILK ^ Qih 6 DFN�I ^ jE: ^ , ����:sIMWEO�Q3DJC� � (<b � � � � � , � (�r! -e -e� � �t� �mfe� �oMt� �r~=3n� �runfe �r�tLn �r][=� �r~=Ue �nLt �mfe� �rMr! �n �r! e� e� e� e�,� (<b � � � � � � , � (�r! -e -e� � ]� =Mn� ] � �rum�r! �r � e �r�tLn �r�t[=� �rLr � �n � �m � �ru= � �r! e� e� e� e�,

��:�hEREO�� ��� (�b � � ,�Q3C\jl� I ^ Q3C�UlN�I�jE: B IM�vGJ:�C\KMO 6z� � � :bjE:�CEIMO�: �N(EB�,+� g *+')���32�� (MB;-�,T�� h�� 576 :sS�DJKMCvQ3O�R ^ : & j�:��EC\:�jp� I ^ QiC%U<WEDJCvQ ^ UyN�I�j�: B�W�U

& (EBª �* ,T��� � (MB;-�,� � (MB�� v�� x 9 �<-��t,DFS���R�GJGJU�j�DJS�N ^ DJ; DJCvQiC%O7� I ^ b �V O�G�Q3S�O�� ^ :�;yQ ^ &�O 6 Q3O7WX:�N�Q3R\S�:dIM� � :�; ;yQ � � ] (K, � � � � =f,7QiC\jyIM�9O 6 :@q¢QMN�� DJGJGYD�Q3;�S�O ^ Q3C\SV� I ^ ;O 6 :HS�DJKMCvQ3O�R ^ :Y* op � (�b -�,�DJS�S�:�GJ�F�)j�RvQ3G#��QiC\j!O 6 R\S�C\IlDY;�h ^ Iu�L:�;�:�C�O�DFS�IMW�O�Q3DYC\:�jyW�UyN�IMC\SVDFjE: ^ DJCEK� (�b ( -�,7I ^ � (<b Q�-�,��

� � ��� ������ � ! � ����� � � ������ �

V S�DFK3CvQ3O�R ^ :�N�Q3C�WX: :�Q3S�DJGYU�WEREDYGJOs� ^ I3; Q3C�DYC��MQ ^ D�QiC%O�� 576 DJS�SVDFKMC\Q3O�R ^ : ;lR\S�O@W+:�j�DJS�N ^ DJ; DJC\Q3C�O���b6 DJN 6 :���N�GYR\jE:�S Q3GJG�O 6 :<:�QMS�U DJC��3Q ^ D�Q3C�O�S@S�REN 6 QMS�O 6 :�GJ:�C\KMO 6 I ^ O 6 :<j�DY;<:�C\S�DJIMC9�-a�O 6 : ^ DYC%�3Qi�^ DFQ3C�O�S��[QMS�O 6 :�;�DYCEDJ;lR�; � :�DFK 6 O��[I ^ :��M:�C WX:�O�O�: ^ �LO 6 : � :�DFK 6 O�j�DJS�O ^ DJW�REO�DJIMC>;<Q�U�W+:bj�DFS�N ^ DJ; DJCvQ3C�O0 f�:�Cvt � 2#�EW�REO �b6 :�CpO 6 :sS�DbZ�:dIM��O 6 :sN�I�jE:HDYC\N ^ :�QMS�:�SPO 6 :�D ^ N�IM;�h�REO�Q3O�DFIMC!W+:�N�IM;�:�SbDJC�O ^ QMN�O�Q3WEGJ:M�

HGJI � MPU¥U�[�] S UJO¥WYVaS-�°XZ[_^PV576 : 6 REGJG � QMSbDJC�O ^ I%j�R\N�:�j-DYC�rutLtfelW�U V S�S�;lRES�Q3CEj d :�U 0 V�d t�e�24�{�¡}|�~0� { � ¦~ �j��� ������6 REGJG �w�A�a�����I� �� A�-�#��� b ���A�����c�I� �/� � � � �����'����� �r ��k���r��� ��� � ���R� ����� ������� *£ � � �����a���r�I��� � � (<b',T� bJ% b�Q *.)�bO 6 : 6 REGJG7IM��Qp�L:�N�O�I ^ S�hvQ3N�:yIu�L: ^ Qp�\:�GFj�IM�PN 6 Q ^ QMN�O�: ^ DFSVO�DFN Z�: ^ I�DFS>Q3G � Q�U%S ^ :�j�R\N�:�j�O�I g eBh��DJO�DFS�� W�U-� Q ^ �vC\IMOHQ3G � Q�U%S�O 6 :�N�QMS�:>� I ^ �ECEDJO�:>N 6 Q ^ QMN�O�: ^ DFSVO�DFN3��T\I ^ DJC\SVO�Q3CEN�:>S�:�GY�F��j�RvQiG�I ^�� :�QU&�GJUS�:�GJ�F�)j�RvQ3G9N�I�j�:�S�Q ^ :s:�Z�R\Q3G9O�I�O 6 :�D ^b6 REGYG)�

576 : 6 REGYGXIM�9Q�hX: ^ ;lR�O�:�j!N�I�j�: DFS�IMWEO�Q3DJCE:�j<W�U<Q3hEhEGYU%DYC\KsO 6 : �#��!/� ��r �!���������� ��� O�I>O 6 : 6 REGYG)�576 DJS7DFS�IM�9K ^ :�Q3O�DY;�h+I ^ O�Q3C\N�:M�[W+:�N�QiR\S�:HDYO�;�:�Q3CES7O 6 QiObQ3C�U DJC��3Q ^ DFQ3C�O�Q3h�hEGJDJ:�j�O�I>O 6 : 6 REGJG DFS�S�O�DYGJGQ3C�DJC��3Q ^ D�Q3C�O��

´�µDma´�¶

Page 18: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! r �

� | ¦-,�¦ z � { � ¦j~ �j���m�8�r� b � �ª�P�����I� �� f�-�#��� �w�l�b�r�����R�3� ���� e?� �ª����r �!��B������� ��� ��� ��� * £ ����¤��� � (1e (�b , ,+��eN( � (�b , , */10�232�4�5 ��:@SVDJ; hEGJU 6 Q��L:sO�I ^ :�;yQ ^ &<O 6 Q3O_e (<b Q�,=��e (�b ,GQ�Q3C\j e (1: %�B�,+��eN(<:�, %3e (EB�, ��6

4 ¦ | ¦ � � }�| £ �j��� � �� ����.� ���.���� ��1����� �;� ����� !���������� b op ��( � (<b', , ���n��� ���.���� ��1����� *$ 6&%>9 ' � IlSVR\N 6 h ^ I3hX: ^ O�U :��%DFSVO�S7DYCyKL:�C\: ^ Q3G � I ^ :�Z�R�DJ�3Q3GF:�C�O7N�I�jE:�S���O 6 : O � IlN�I�jE:�S�� (�b ,�QiC\j

� ( ( }%� ej  gD,r(�b , ,�Q ^ :lC\IMOsQiG � QuU%Sd:�Z�R�DJ�3Q3GF:�C�O�� 576 : :���N�:�hEO�DFIMC\S@Q ^ : � ��=yQ3C\j � � m�� .)C� QMN�O�� � : 6 Q��L: ( }%� e�  gD,r(�b , Q � ( }�� � � e � �  g � � ,r(�b Q , �b6 : ^ : }�� � DFSHO 6 : N�IM; hXI3C\:�C�O�� � DFS�:DYC%�M: ^ S�:<I3� } � .)C�O 6 :�WEDJC\Q ^ UN�QMS�:�:�Z[REDY�MQiGF:�CEN�:�Q3C\j hX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC��):�Z[REDJ�3Q3GJ:�C\N�: N�IMDYC\N�DJjE:M�Q3CEj DYCO 6 : O�: ^ C\Q ^ U¢N�QMS�:M�9O 6 : ^ : DFS C\I!C\IMC��#O ^ DY��D�Q3G/�\:�GJj�Q3REO�I3;<I ^ h 6 DJS�; ( O 6 R\SPg�� rL�TQ3S� I ^ QiC%U<h ^ DY;<:H�\:�GFj�,�QiC\j¢QiGJGXO 6 :dC\IMC�� Z�: ^ I��\:�GJj-:�GF:�;<:�C%O�S�Q ^ :HO 6 :�D ^ I � CpDJC��L: ^ S�:M�

576 R\S � : 6 Qu�M: Q3OHIMR ^ j�DFSVhXIMS�Q3G�Q3C�U¢DJC��3Q ^ D�Q3C�OdQihEhEGJDJ:�j¢O�IyO 6 : 6 REGYG)� 576 :lh ^ QMN�O�DFN�Q3G�DYC�O�: ^ :�SVOdIM�`7I ^ IMGJGFQ ^ U � � msDJS�j�R\:bO�IsO 6 :b� QMN�O�O 6 Q3O�O 6 :Pj�DJ;�:�C\SVDFIMC�I3�XO 6 : 6 REGYG\DFS�IMC<Q��L: ^ QMKL:�QsS�;<Q3GJG�hXILSVDJO�DJ�L:N�I3C\S�O�Q3C�O��

� | ¦-,�¦ z � { � ¦j~ �j� \�����r���� � � ����� �¤���r ¥�k���n����!/�r���r� ��� �w� ����� ���B���<�w�n�A� ¬ �� �� 0 � ���2 �-�#��� � �r����� �f���-�����r������� � ���r� �����P�r�������w������� �-�#��� ���k��� � �^���$�c�����<� � �R����� �-�����r�������c����� ­+�«���>� �

�� �- ���

r� - # r

����� � -� ��� ���� ��� �w� � ¬ �� �� 0 � ��K2 �-�#��� � �����7�/���B���c�w�z����!/�r���r� ����� i e ����������! �� ������� �����¡�P� ­+������ �

� �r� � � � �� � / r���� � � ���

-�� �r

r�# � � - "

576 DJS ^ :�S�R�GJO�DFSbh ^ Iu�M:�j¢W�U-N�IMR�C%O�DJC\K�O 6 :�C�RE;lW+: ^ N�I%jE:�S � DJO 6 Q�KMDJ�M:�C 6 R�GJG/j�DJ;�:�CES�DFI3C-� ^ IM; O 6 :C�RE;lW+: ^ IM� � :�QU&�GJU�S�:�GJ�F�)j�RvQ3G'N�I%jE:�S�Q3C\j�W�UyR\S�:�IM�/O 6 :@KM:�C\: ^ Q3O�DJC\K�S�: ^ DJ:�S��

� (���,=������

� ��� � � � ���-�� � ��r�#�� � � - =" ()=�,

��:lKMDJ�M:�DYC 5 QiWEGF:�r Q�hvQ ^ OHIM��O 6 :lj�DY;<:�C\S�DJIMC�SVhX:�N�O ^ RE; IM��O 6 : 6 REGJG�IM� � ��Q ^ U!GYDJC\:�Q ^ N�I%jE:�S�� I ^S�I3;<:H�3Q3GYR\:�SPIM� � �

576 : 6 R�GJGvIM�XQ ^ Q3C\jEI3; � ��Q ^ U>N�I%jE:PDFS�IM�+S�;<Q3GJGEj�DJ;�:�C\SVDFIMC � DYO 6 Qs�M: ^ U 6 DFK 6 h ^ IMWvQ3W�DJGJDYO�UL�[QiC\jDJO DFS�CEIMOsQ3G � Q�U%S ^ :�j�R\N�:�j�O�I g eBh�� 576 : S�DJKMCvQ3O�R ^ :lQMS�S�I�N�D�Q3O�:�j�O�I�QiC�DYC��MQ ^ D�QiC%O�IM��O 6 : 6 R�GJG � DYGJGO 6 R\S�WX:H:�QMS�U O�I>N�IM; hEREO�:M� � DYO 6 QlK ^ :�QiO7h ^ IMWvQ3WEDYGJDYO�UL��Q3C\jy;<Q�U�h ^ Iu��DFjE:HQ�C\IMCyO ^ DY�%DFQ3GvhvQ ^ O�DJO�DFIMCIM�/O 6 :sSVREhEh+I ^ O��

mFmoncprqtsrq+u

Page 19: The Support Splitting Algorithm

run � ���-������� ���r��� �� �r

� � � � � � � � � � ��= e�" � rut � e�" � rut � e�"Yr�mLtf] e�" e[=�efe r!" mPre � � e�" oMn � �m e�" nLmLtfe e�" m�rut � e�" eMmLtLt r!" � rke � � r!" tPre � � e�" � e � r� e�" oMm[o � e�" = � � ] e�" e�run � = " nbrke � � r!" ePre � � e�" =LoMt �run e�" tLm[oMm e�" eLn[=�] = " � re � � n�" ebrke � � t�"²r�rke � � � e�" eLnLmfe= � n e�" tLtLn�r m�" tbrke � � n�" ePre � � m�" nbrke � � � ]�" =�rke � � m�" tbrke � �

5 Q3WEGF:@rL� W REGYG+I3� � � Q ^ U GJDJCE:�Q ^ N�I�jE:�S���h ^ IMh+I ^ O�DFIMC � DJO 6 QsKMDJ�M:�C!j�DJ;�:�C\SVDFIMC�Q3C\j<Q��L: ^ QMKL: j�DJ;�:�C��S�DJIMC

HGRF ��MPO¥Uw^/O¥W $ S `«O $�WYS �.M��«V\])�«[ � � �YV �_MPU¥U� :�O � (�b ,�jE:�C\I3O�:dO 6 : � :�DJK 6 O :�C�RE;<: ^ Q3O�I ^ IM��b � � :@N�IMC\SVDFjE: ^ O 6 :sS�DJKMCvQ3O�R ^ :

& ��(�b/ �* , op � � ( � (�b -�, ,� � ( � (�b Q- , ,="`7IM; hvQ ^ :�j � DYO 6 O 6 : � :�DFK 6 O :�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ �\O 6 DJSPS�DFK3CvQ3O�R ^ :dDFSb;lR\N 6 :�QMSVDF: ^ O�I�N�IM;�h�REO�:3�Pa�C¢O 6 :IMO 6 : ^P6 Q3CEj'�\S�DYC\N�:dO 6 : 6 REGYG 6 QMS�Q S�;<Q3GYG9j�DJ;�:�CES�DFI3C!O 6 :sS�DJKMCvQ3O�R ^ :HDJS�;lR\N 6 GF:�S�SPj�DFS�N ^ DJ; DJCvQ3C�O��

�j�¦����� R��9} � , � ¡ �s} � �<~T¡ }E|y� ¦ § ¡¢¦ � � ¡�~ � {�� ���� :�O;b W+:dO 6 :^()=Ue� �rke�,�WEDJCvQ ^ U<GYDJC\:�Q ^ N�I�jE:dR\S�:�j-DJC-S�:�N�O�DJIMC � � =%� =lIM��KL:�CE: ^ QiO�DJCEK�;<Q3O ^ DY�

� �

����������������

r e e e e e e e e e r e r e r e r r r re r e e e e e e e e e r e r r r r r e ee e r e e e e e e e r e e r r e e r e re e e r e e e e e e r r r r r r e r e re e e e r e e e e e e r e e e e r e e ee e e e e r e e e e e e e e e e r r r re e e e e e r e e e e r e r e e e r r ee e e e e e e r e e e e r r r e e r r re e e e e e e e r e e r r e e r e e e ee e e e e e e e e r e e r r r e e e r e

�����������������

576 DJS!N�I%jE: 6 QMS-Q 6 R�GJGd:�Z�R\Q3GdO�I g eBh�� 576 : � :�DJK 6 O-:�C�RE;�: ^ QiO�I ^ S-I3��O 6 : 6 REGJGJS!IM�lQiGJGHSVDJC\K3GJUhERECEN�O�R ^ :�jpN�I%jE:�S�Q ^ :sKMDJ�M:�C-DJC 5 QiWEGF:@= Q3C\j�h ^ I~��DJjE:dO 6 :d� ^ S�OPhvQ ^ O�DJO�DFIMC� �H� g oKh ) g � �r~o�h�) g t� �r~= �rumBh�) g m� � �run� �rk]Bh ) g r¤ = �rLr¤ =�eBh ) g n� -]� �r � h�) g rke� �r � �rut�h�"V O�O 6 Q3O@h+IMDJC�O�� � :�N�IMCES�DFj�: ^ O 6 :<N�I�j�:�SAb�Q Q3CEj b�lQ3CEj ^ :�hX:�Q3O>O 6 :�h ^ I%N�:�S�S��PT\I ^ O 6 :<N�I�j�:b d ��e (�b ,�O 6 :HhXIMS�DJO�DFIMC<N�I ^�^ :�S�h+IMC\j�DYC\KlO�I�o>N�Q3C!W+:�DFjE:�C�O�DJ�E:�j � DYO�DJS7O 6 :HIMCEGYU�h+ILS�DYO�DJIMC3* �bS�R\N 6O 6 Q3O � ( � (<b/d Q-�� , , � r #�� � � � .)�PC\II ^ DY��S�:��M: ^ Q3GPS�R\N 6 h+ILS�DYO�DFI3C\S>: ��DJS�OlO 6 :�C bPd�N�Q3C�C\IMO W+:h+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC���:�Z[REDY�3Q3GF:�C%O O�I�b�� 576 : ^ :�S�REGYOsIM��O 6 : � ^ SVO ^ :��EC\:�;�:�C�O@DFSHK3DJ�L:�C�DYC 5 QiWEGF:�m�� 576 :hvQ ^ O�DYO�DFI3CyWX:�N�IM;�:�S

� �H� �- �B � � � � ��� �%�g * h ) g t� �r~=�h�) g � �rk]Bh ) g r! �=�eBh�"

´�µDma´�¶

Page 20: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! r~o

576E^ :�:lIMO 6 : ^�^ :��EC\:�;�:�C�O�S � DJGYG9WX:@C\:�N�:�S�S�Q ^ U-W+:�� I ^ : � :>IMWEO�Q3DJC¢Q ��R�GJGJUyj�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�OPS�DJKMCvQi�O�R ^ :M� V S�� I ^ hXILSVDJO�DFIMC o � I ^ O 6 :�� ^ SVO ^ :��EC\:�;<:�C%O��[O 6 :7h+ILSVDJO�DJIMClR\S�:�j�:�Q3N 6 O�DJ;�:7N�Q3C WX:�DFjE:�C%O�DJ�\:�jW�U�Q3C�DJC��3Q ^ D�Q3C�O�h ^ IMh+: ^ O�UM� [ U!N�I3C\S�O ^ R\N�O�DFI3C9��� I ^ Q3C�U!N�I�j�:HhX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC��):�Z[REDJ�3Q3GJ:�C�O�O�Izb �\IMCE:Q3C\j�I3CEGJU�IMC\:<h+ILSVDJO�DJIMC � DYGJG 6 Q��L:yO 6 DFS>h ^ IMh+: ^ O�UM� T\I ^ DJC\SVO�Q3CEN�:yO 6 :yhXILSVDJO�DFIMC r~opR\S�:�j�DJC�O 6 :O 6 D ^ j ^ :��EC\:�;<:�C�O�DJSbO 6 :sIMCEGYUyIMCE:dS�R\N 6 O 6 Q3O � ( � (<b ���, ,+� r�#�� � QiC\j � ( � (�b�Q� � �� � , ,T� rL�

� IMO�: O 6 Q3OdO 6 : S�:�N�IMCEj ^ :��EC\:�;<:�C%O@jEI%:�SHCEIMOdh ^ I%j�R\N�: Q3C�U�DJ; h ^ Iu�M:�;�:�C�OsIM��O 6 : hvQ ^ O�DYO�DJIMC9�V ��O�: ^ O 6 :yG�Q3S�O ^ :��EC\:�;<:�C�O�� � :-Q ^ :!Q3WEGJ:�O�I�h ^ I%j�R\N�:�Q¢��REGJGYU�j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O>SVDFKMC\Q3O�R ^ :M� � :�O)&jE:�C\IMO�:lO 6 : S�DJKMCvQ3O�R ^ : (EBf �* , op � � ( � (EB;-R, ,� � ( � (EB�Q- , , L� T\I ^ QiC%UpGJDYC\:�Q ^ N�I%jE: B IM��GJ:�C\KMO 6=�e�� � :@jE:���C\:@O 6 :sS�:�O�S��

� �t(MB�,T���}*+')� ��2 & (EBª �* ,T����r�#�� � � �r ��� (MB�,T���}*+')� � �"� �r(MB�, 2 & (EBf �* ,+� ��r�#�� � �r = & (MB Q� u v � x  * ,+� ��r! �rI#�� � ��� � (MB�,T���}*+')� � �"� �r(MB�, 2 & (EBf �* ,+� ��r! �rI#�� � � & (MB Q� u v � x  * ,+� ��r! �rI#�� � ��

Q3C\jd� I ^ � � r! =� �m���GF:�O &��'��(MBf �* , op � & (EB���� v � xw �* ,� & (EB�Q��� v�� x �* ,��� 576 :�S�DFK3CvQ3O�R ^ : &��(& � ��& ��& �DFS���R�GJGJU�j�DJS�N ^ DJ; DJCvQiC%O7� I ^ b �cT\I ^ DYC\S�O�Q3C\N�:C���r(�b ,+� g o�h���� (�b ,T� g r~o�h�Q3C\j � � (<b',+� g r � h��

.)Ch ^ Q3N�O�DJN�:3� R\SVDJC\K�O 6 : � :�DFK 6 OH:�C�RE;<: ^ Q3O�I ^ I3��O 6 : 6 R�GJGTDJC\SVO�:�QMj�IM��O 6 : � :�DJK 6 OH:�C�RE;�: ^ Q3O�I ^IM�'O 6 :�N�I�j�: � DYGJG\DJCEN ^ :�QMS�:�O 6 :�C�RE;lW+: ^ I3� ^ :��EC\:�;�:�C�O�C\:�:�jE:�jyWER�O � DJGYGvj ^ Qi;yQ3O�DFN�Q3GJGYU ^ :�j�R\N�:�O 6 :N�IMS�O�IM��:�QMN 6 DJO�: ^ Q3O�DFIMC'�

.)C�O 6 :<N�QMS�:yIM�bO 6 : 6 REGJG#��O 6 :!Q��L: ^ QMKL:<N�ILSVOlDFS@hXIMGYU�C\IM; D�Q3G#� � : 6 Q��M:<O�I�N�IM; hEREO�:yQ3O>;�ILS�O��6 REGYGFS�� :�QMN 6 IM��O 6 :�; DJS IMW�O�Q3DYC\:�j-DJC-hXIMGYU�C\IM; D�Q3G'O�DJ;�:M� Q3C\jpO 6 :�D ^�� :�DFK 6 O :�C�RE;�: ^ QiO�I ^ S��X:�QMN 6IMWEO�Q3DJCE:�j�DJC�N�IMC\SVO�Q3C�O Q��L: ^ QMKM:yO�DJ;�:M� 576 IMR\K 6�� : � : ^ :yC\IMO Q3WEGF: O�I�h ^ Iu�L:-Q3C�U�O 6 DYC\K�IMC O 6 :C�RE;lW+: ^ IM� ^ :��EC\:�;<:�C%O7C\:�:�jE:�j'��DJO�DFS�DJC�h ^ QMN�O�DJN�: GJILK[Q ^ DJO 6 ;�DJN�DYC � � 576 R\S�W%U R\SVDJC\K@O 6 : 6 R�GJG)� � :IMWEO�Q3DJC-Q�N�I3;�hEGJ:��%DJO�U �b6 DFN 6 DFS�h ^ QMN�O�DFN�Q3GJGYU�hXIMGYU�C\IM; D�Q3G DJC � �

� DJO 6 O 6 : � :�DJK 6 Ob:�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ SbQ3GJIMC\:'(4S�:�N�O�DFIMC � � =�� =f,�� � : 6 Q��L:HO�I N�IM; hEREO�: � :�DFK 6 Ob:�C%R�;<: �^ QiO�I ^ SbIM� ( � �� ,bN�I�j�:�S��EO 6 R\S�DYC�h ^ QMN�O�DJN�:HO 6 :@N�IM; hEGF: ��DYO�U<DJSb:��%hXI3C\:�C�O�DFQ3G9DJC �+�

.)C-S�:�N�O�DJIMC-n>O 6 : DJ; hEGF:�;<:�C%O�Q3O�DJIMC<QMS�h+:�N�O�SPQ ^ :dj�DFS�N�R\S�S�:�jX����: � DJGYGXS�:�:HO 6 Q3ObN�IM;�h�REO�DYC\K>O 6 :6 REGJG+IM�/Q>N�I�j�:HN�Q3C<WX:dQ3N 6 DF:��L:�j!W�U<Q A@QiR\S�SVD�Q3C!:�GJDY;�DYCvQ3O�DJIMC Q3C\j�O 6 Q3O7N�IM; hEREO�DJC\K@O 6 : 6 R�GJG+IM�/Q

* � ( � (<b -R, , � ( � (�b�Q- , ,o r�#�� � � r

� �r~o r�#�� � rn� ]� �r � r r�#�� �rke� �r � �rut r r�#�� � �t� �ru= �rum r�#�� � rm� � �run� �rk] r�#�� � � rr! �= �rLr! �=�e r�#�� � r

5 Q3W�GF:@=�� .)CEDYO�DFQ3G'SVO�:�h

mFmoncprqtsrq+u

Page 21: The Support Splitting Algorithm

rk] � ���-������� ���r��� �� �r

* � ( � (<b � � -�� , , � ( � ( (�b��, Q- , , � ( � (�b�Q� � -�� , , � ( � ( (<b Q , Q- , ,� r r r�#�� � rr~o r�#�� � #�� � #�� � � r�#�� � � r rI#�� �r � r r r rI#�� �n r r r rP#�� � ] rP#�� � � rP#�� � #�� � � #�� � � r�#�� � rr � r r r rP#�� � �rut r r r rP#�� � �rke rP#�� � � rP#�� � #�� � � #�� � � r�#�� � � rrum r r r�#�� � rt� �ru= r r r�#�� � � rrun r r r�#�� � rm r�#�� � #�� � � #�� � � r�#�� � � r rP#�� � �

� �r] r r r�#�� � r= r r r�#�� � � rrLr r�#�� � #�� � #�� � � r�#�� � � r rP#�� � r! =Ue r r r�#�� � r

5 QiWEGF:@m��cT�D ^ SVO ^ :���C\:�;�:�C�O

* � ( � (�b�� �� -��-, , � ( � ( (�b���, Q- , , � ( � (<b Q� �� -�� , , � ( � ( (�b Q� , Q- , ,t� �r~= r r�#�� � rP# =�� � #�� � r�#�� �� �rk] r r�#�� � � r�#�� � #�� � #�� � � r�#�� �r! =�e r�#�� � � r r r

5 Q3WEGF: � ��f�:�N�IMC\j ^ :��ECE:�;�:�C�O

* � ( � (<b�� ��� -��-, , � ( � ( (�b ��r, Q- , , � ( � (<b Q� ��� -�� , , � ( � ( (�b Q�� , Q- , ,r~= r r�#�� � r�# =�� � #�� � r�#�� �t r r�#�� � r�#�� � #�� � #�� � � r�#�� �

� �rk] rP#�� � r r rr! �=�e r r�#�� � r�#�� � #�� � #�� � � r�#�� �

5 Q3W�GF: � � 576 D ^ j ^ :��EC\:�;�:�C�O

hERECEN�O�R ^ :�j�N�I%jE: �b6 ILS�: 6 REGYGEDFS8&%CEI � C<N�Q3C�W+:�QMN 6 DF:��L:�j<Q3O�QiC�: �%O ^ :�;<:�GJUlGJI � N�ILS�O�� T\I ^�^ QiC\jEIM;N�I%jE:�S��[O 6 : �b6 IMGF:�SVREhEh+I ^ O�SVhEGJDYO�O�DJC\K�Q3GFKLI ^ DJO 6 ; � DJGYG�C\I3O�WX:7;>R\N 6 ;�I ^ :7:��%h+:�C\SVDJ�M:�O 6 Q3C�QHS�DYC\KMGF:AsQ3R\S�SVD�Q3C-:�GJDJ; DJC\Q3O�DJIMC9�

´�µDma´�¶

Page 22: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! rut

* � ( � (�b � � �� -�� , , � ( � ( (�b � ��, Q- , , � ( � (<b Q� � �� -�� , , � ( � ( (<b Q� � , Q- , ,r] r r�#�� � r r� r�#�� � � r rP#�� � r�#�� � # =�� � �=Ue r r�#�� � r rr r r�#�� � � r r

5 Q3WEGF:sn��cTvI3R ^ O 6-^ :��ECE:�;�:�C�O�j�¦���¦� w ~/¦ {�� ¡ |�� �1~T¡ }�| ¡ �9} � , � ¡��: h ^ :�S�:�C�O 6 : ^ : O 6 :�N�IMC\S�O ^ R\N�O�DJIMC!IM�TQs��REGJGYU j�DJS�N ^ DJ; DJCvQiC%O�SVDFKMCvQiO�R ^ :�� I ^ Q�N�I�j�: � DJO 6 Q 6 R�GJG IM�j�DY;<:�C\S�DJIMC�IMC\:3� 576 :@KM:�C\: ^ Q3O�DJC\K ;<Q3O ^ DY��DFSbO 6 :d� IMGYGFI � DJCEKE�

� �

����������������

r e e e e e e e e e r r e e e r e r r ee r e e e e e e e e r e e r r e r e r ee e r e e e e e e e r r r e r e r r r ee e e r e e e e e e r r e e e e r r e ee e e e r e e e e e r r r e r e r e e ee e e e e r e e e e e r e e r e r e e ee e e e e e r e e e e e e e e e e r r re e e e e e e r e e e e r e e r e e r re e e e e e e e r e r e e e e e r r r re e e e e e e e e r r r e r e r r e r e

� ���������������

V GYGPO 6 :�N�IM; hEREO�QiO�DFI3C\S � I ^ O 6 DFS :���Q3; hEGF:¢Q ^ :-h ^ :�S�:�C�O�:�j DJC 5 Q3WEGJ:o�� V O!:�QMN 6 ^ :��EC\:�;�:�C�O��O 6 :lN 6 IMDJN�:>I3��O 6 :�j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3O�:�j-S�REW\S�:�OdDJS�;<QMjE:3�'QMS�� I ^ O 6 :>h ^ :���DFI3R\SH:���Q3; hEGJ:M�+QMN�N�I ^ j�DYC\K�O�Ih ^ :�jE:�O�: ^ ;�DYC\:�j¢S�I ^ O�DJCEK ^ R�GF:�S � O 6 :>N�ILS�:�O�SHIM��O 6 :�h\Q ^ O�DJO�DJIMCpQ ^ :�S�I ^ O�:�j�DJC¢DYC\N ^ :�QMSVDJC\K�S�DbZ�:M�vO 6 :�CDJC DYC\N ^ :�QMSVDJC\KdI ^ jE: ^ DJC O 6 :Ph ^ :���DJIMR\S�hvQ ^ O�DYO�DFI3C9�3O 6 :�C�DJC DYC\N ^ :�QMSVDJC\KHGJ:��%DFN�ILK ^ Q3h 6 DJN�I ^ j�: ^ � I ^ :�QMN 6:�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ � 576 DJS�j�:��EC\:�SlQ�O�IMO�Q3G�I ^ j�: ^ DYC\KpQ3O@:�QMN 6 SVO�:�h9� 576 : ^ :�DJS�QiC�QMjEj�DJO�DJIMCvQ3G 6 :�R ^ DFSVO�DJN^ R�GF: �b6 :�C�O 6 : 6 REGYG 6 QMS�QHS�O ^ DFN�O�GJU@h+ILS�DYO�DJ�M:7j�DY;<:�C\S�DJIMC9�iO 6 DJS ^ REGJ:�:��%hEGFQ3DJCES�O 6 :7N 6 IMDFN�:bIM�vhXIMS�DJO�DFIMCnl� I ^ O 6 :sGFQMS�O ^ :��ECE:�;�:�C�OHQiC\j!DFSP:��%hEGFQ3DJC\:�j!DJC-S�:�N�O�DJIMC � � m��YrM�

HG � � MPU¥U�[�]PMPWYX��«M��«Va^ XZ[_^PV0`�� � PUJOJXZS �«OJ[�W ��[ ���YV��POJWYS-��� XZST`�V576 :sS�DJKMCvQ3O�R ^ :�SPN�IMC\SVO ^ R\N�O�:�j�� ^ IM; O 6 : 6 REGJG9Q ^ :dj�DJS�N ^ DJ; DJC\Q3C�O�DJC!h ^ QMN�O�DFN�:M� 576 DJS�:�;�h�D ^ DJN�Q3G � QMN�O� QMS�C\IMO�IMW���DFIMR\S � � �� �� �� �NT ^ IM; ]�^ I3hXILSVDJO�DFIMC � � � � : &�C\I � O 6 Q3O�O 6 : � :�DJK 6 O�:�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ IM� O 6 :6 REGJGTDJS��vIMCQ��M: ^ Q3KL:M�+:�QMSVU-O�I<N�IM;�h�REO�:3� W I � :��L: ^ � � : 6 Q��L:@C\I<K3RvQ ^ QiC%O�U-IMC 6 I � j�DFS�N ^ DJ; DJCvQ3C�OO 6 DFS7SVDFKMC\Q3O�R ^ : DJS�� T\I ^ O � I j�D`_X: ^ :�C%O�hXIMS�DJO�DFIMCES�*�QiC\j �\��O 6 : � :�DJK 6 Ob:�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ S�IM� � (<b -R,�QiC\j� (�b��r,bQ ^ :)(4IM��O�:�C ,�:�Q3S�UyO�I�N�IM;�h�REO�:3��WEREO 6 I � I3��O�:�C¢Q ^ :sO 6 :�U<DJC\:�Z�R�DJ�3Q3GF:�C�O��

��: � DJGYGvjE:�C\I3O�: W�U � v -¡x O 6 : �M:�N�O�I ^ I3�Z� �� IM�9S�R�hEhXI ^ O g *jhdS�REN 6 O 6 Q3O � v -yx- � rL��Q3C\j ��-�� 6 � v -yx 8O 6 :s�M:�N�O�I ^ S�hvQ3N�:sS�hvQiCEC\:�j-W�U � v -yx �� | ¦-,�¦ z � { � ¦j~ �j� �m�8�r� b � ���/�����I� �� n�-�#���l�w� �b�r�����R� � * � �� ������ * ��� ���(� �����¤���

mFmoncprqtsrq+u

Page 23: The Support Splitting Algorithm

=�e � ���-������� ���r��� �� �r

* � ( � (�b -R, , � ( � (�b�Q- , ,r~= r�#�� � � r�#�� � # = � � �rke r�#�� � � r�# =�� � � # � � run r�#�� � � r�# =�� � � # � ���o rP#�� � # =�� � � r�#�� � �r r�#�� � #�� � � #�� � r�#�� � �] rP#�� � � #�� � #�� � � r�#�� � �� r�# = � � � #�� ��� r�#�� � �

m �r~o �r�t r�# = � � � #�� � r�#�� � �= � �n �t� �rLr¤ �rum� �r � �r � �rk]� =�e r r

* � ( � (�b � � -�� , , � ( � ( (<b � , Q- , , � ( � (�b Q� � -�� , , � ( � ( (<b Q� , Q- , ,r~o rP#�� � � r�#�� � � r�#�� � � r�#�� � # =�� � �rut r�#�� � # =�� � � r�# = � � #

� � � � #�� � rP# =�� � � #�� � rI#�� � �m r�#�� � # =�� � � r�#�� � #�� � #

m�� � � # = � � rP# =�� � � #�� � rI#�� � �= �n� �t �rum rP#�� � � r�#�� � � r r

� �rLr! �r � �r � �rk]� =Ue r�#�� � r�#�� � r r

* � ( � (�b�� � � - �-, , � ( � ( (�b � �r, Q- , , � ( � (<b Q� � � -�� , , � ( � ( (<b Q� � , Q- , ,n r�#�� � r�#�� � r r

= �t� �rum r�#�� � � r�#�� � � r rrLr! �r � �rk] r�#�� � � r�#�� � � r r� �r � =�e r�#�� � r�#�� � r r

* � ( � (�b�� � -��-, , � ( � ( (�b�r, Q- , , � ( � (<b Q� � -�� , , � ( � ( (<b Q� , Q- , ,= r rI#�� � r r�#�� � �r�m rP#�� � r r�#�� � rt r�#�� � r r�#�� � rr � r r�#�� � � r r�#�� �rMr rP#�� � r r�#�� � rr] r�#�� � r r�#�� � r=Ue rP#�� � r r�#�� � r� rP#�� � r r�#�� � rr � r�#�� � � r r�#�� � r

5 Q3WEGF:@o%�7f%:�N�I3C\jp: ��Q3;�h�GF: � DJO 6 Q 6 REGYG9IM��j�DJ;�:�C\SVDFIMC�I3C\:

´�µDma´�¶

Page 24: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! =�r

2 � 3 ��- O b�� *N5'�SVREhEhD(<b Q>,2 �1� 3 ��- O b�# b Q � *N5'�SVREhEhD( � (<b', ,

/10�232�4�5 � :�O;b W+:@Q�GYDJC\:�Q ^ N�I%jE:sQ3CEj-GJ:�O_*�WX:@Q3C-:�GF:�;�:�C�OPIM�9��������: 6 Q��M:� v -yx ')b Q � ( &)'¢b/ k&�� � v -yx � ef,�� ( &('¢b/ _&.-�� ef,�� *N5'�SVREhEhD(�b ,

f%DYC\N�: � (�b ,GQ��mb # b�Q�� 2 �1� 3 DJSbIMWEO�Q3DJC\:�j!W%U!Q3hEhEGYU%DYC\K 2 � 3 O�I � (�b ,�� 6

�j���Z��� � �<~ }E| £ �L}\z ¡

��:�QMS�SVRE;<:lDYC�O 6 DFSHS�:�N�O�DFIMC O 6 Q3O � ��=���e�QMN 6 O�DJ;�:n*n5'�S�REh�hD( � (�b , , �X� ^ I3; ]�^ IMh+ILSVDJO�DJIMC � � � �� : 6 Q��M: � v -yx '¢b�#�b Q � 576 RES�O 6 : ^ : : ��DJS�O�S+& v -yx DYC3b QiC\j�� v -yx DJCªb Q SVR\N 6 O 6 Q3O+& v -yx ��� v -yx # � v -yx �576 :�S�:d:�GJ:�;�:�C�O�S7Q ^ :�C\IMO�RECEDFZ[R\:3��WER�ObQ3C�U IMO 6 : ^ hvQiD ^ (1& d � d ,H'¢b��3b Q �L: ^ DY��U%DYC\K�& d ��� d # � v -yx� DJGYG�WX: S�REN 6 O 6 QiO�& d / & v -yx �� d / � v -¡x ' � (�b ,@QiC\j�O 6 RES���SVDJC\N�:ª*ª5' S�R�hEhD( � (<b', ,�� � : 6 Qu�M:(���d-  &.d- ,+� (�� v -yx-  & v -¡x- , � � (�b , � 61& v -yx 8T� � (<b', � 6�&.d�8�Q3C\j � (<b', � 6�� v -yx 8T� � (�b , � 6���dy8 � .)C�O 6 :C\IMCpjE:�KL:�C\: ^ Q3O�:�jpN�QMS�:M� ��*��+* SVREhEhD(<b',+� SVREhEhD(<b Q ,+�������EO 6 : ^ :@Q ^ :dO 6E^ :�:@j�Db_+: ^ :�C�O N�QMS�:�S��w ¤ DJ�0*+'�S�REh�hD( � (�b , ,�O 6 :�C � (�b -�,T� � (�b Q- ,T� � (<b', ( - �� ¤ DJ�T*/5'�S�REhEhD( � (�b , ,�Q3C\j (�� v -yx-  & v -¡x- ,k� ( e� �rk,bO 6 :�C � (<b -R,k� � (<b', � 6�� v -yx 8�QiC\j�� (�b Q- ,k�

� (�b ,��4 ¤ DJ��*Y5'S�R�hEhD( � (<b', ,�Q3CEj (�� v -yx-  & v -yx- ,=� (�r! e�,7O 6 :�C�� (�b -�,�� � (<b',PQ3C\j�� (�b Q- ,�� � (�b , �

61& v -¡x 8 �cH:�O�Q3DJGJSbQ3C\j!h ^ I�I3� S�N�Q3C�WX:d� IMR�C\j-DYC-S�:�N�O�DJIMC � � � �

T ^ IM; �b6 Q3ObDJS�S�O�Q3O�:�j�Q3WXIu�M:M� � :dN�Q3C-N�I3;�hER�O�: � (<b -R,7Q3CEj�� (<b Q- ,�� ^ IM; � (�b ,��EQ3C\j'�%;lR\N 6;�I ^ :<DY;�h+I ^ O�Q3C�O�� � : 6 Q��M:-S�IM;�:<DJCE� I ^ ;<Q3O�DJIMC\S@IMC 6 I � O 6 : 6 REGJG7IM�PO 6 :!j�Db_+: ^ :�C�OlhEREC\N�O�R ^ :�jN�I%jE:�SP�3Q ^ UL�

A � { � ¡ ��� � � �T}\z�§ � � ¡�~ z � ¦~� [¡ | ¦a� ��: 6 Q��L:!SVREhEhD( � (<b', , � >Q3C\j�O 6 R\S � I ^ Q3GYG *HDYC³���O 6 : ^ :s: ��DJS�O�S�QlRECEDJZ[R\:dhvQ3D ^ (1& v -yx �� v -yx ,�DJC©b �¢b�Q SVR\N 6 O 6 Q3O_& v -yx / � v -yx � � v -yx �

� .)�0& v -¡x- �SelO 6 :�C�� (�b�Q- ,T� g e  & v -¡x h>Q3C\j�O 6 R\S � ( � (<b Q- , ,T� r�#������ v @�� ��� x �� .)�0& v -¡x- � rdO 6 :�C�� (�b -�,T� g e� �� v -yx h Q3CEj�O 6 R\S � ( � (�b -R, ,+� r�#������ v�� � ��� x �

.)��O 6 :�N�I�j�: 6 QMSPC\I hvQ ^ O�DFN�REG�Q ^ SVO ^ REN�O�R ^ :M�vO 6 :�C�O 6 : W Q3;�; DJCEK � :�DFK 6 O�S���� (�& v -¡x , (4I ^ ��� (�� v -yx , ,DFSdGYDb&L:�GJU�O�Ip�3Q ^ U �b6 :�C³*P�3Q ^ DJ:�S�� 576 R\S�O 6 :�� ^ S�O�S�O�:�h � DYGJG�h ^ Iu�%DJjE:�R\S � DYO 6 Q ^ :�G�Q3O�DJ�M:�GJU¢O 6 DYChvQ ^ O�DYO�DFI3C!IM�������A � {�� ¡ ����� � �T}\z<§ � � ¡ ~ z � ¦~ ¦~/¡r� 576 : 6 REGJG � (<b',7N�IMC�O�Q3DYC\SPIMC\:sC\IMC�� Z�: ^ I N�I%jE: � I ^ jX�vO 6 R\SO 6 :lQ��L: ^ QMKL:>N�Q ^ j�DJCvQiGJDJO�UyIM��S�REh�hD( � (�b , ,�DFS ��� =%��T\I ^ Q3GJG0*�DJC�SVREhEhD( � (�b , ,�� � : 6 Q��L: � (<b -R,H�� (�b Q- ,+� g e�h���Q3C\j O 6 :�S�:PhXIMS�DJO�DFIMCES�N�Q3C�C\IMO�WX:bj�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3O�:�j Q3O�Q3GYGEDJC O 6 :b� ^ SVO�S�O�:�h9� W I � :��M: ^O 6 DFSbj�DJS�N ^ DJ; DJCvQiO�DFI3C � DJGYG'W+:HhXILS�S�DYWEGF:H� I ^ O 6 :sIMO 6 : ^ hXIMS�DJO�DFIMCES���O 6 Q3OPDFS�� I ^ Q3WXI3REO 6 Q3GY��I3�9�����

mFmoncprqtsrq+u

Page 25: The Support Splitting Algorithm

=L= � ���-������� ���r��� �� �r

A � {�� ¡ ��� � � �T}\zy§ � � ¡�~ z � ¦j~�� i r � .)C�O 6 Q3O N�QMS�:>SVREhEhD( � (<b', , � DYGJGTW+:@GFQ ^ KL: ^ ( DJO�S�Q��M: ^ Q3KL:N�Q ^ j�DYCvQ3GJDYO�U � DJGJG+WX: � /¨��� =���, , �\Q3C\j!O 6 R\SbO 6 :dS�;<Q3GJG+C�RE;lW+: ^ IM�/hXIMS�DJO�DFIMCES�DJC���� ��S�R�hEhD( � (<b', ,( h+ILS�S�DJW�GJU¢CEIMC\:k, ;<Q�U¢C\I3Odh ^ Iu��DFjE:�QyO 6 DJC�:�CEIMR\K 6 hvQ ^ O�DYO�DFI3C9� W I � :��L: ^ DJCO 6 DFSdN�QMS�: � (�b -�, �� (�b Q- ,�DJS7IMW�O�Q3DYC\:�j<W�U<S 6 I ^ O�:�CEDJC\K � (<b',�DJC!IMCE:�hXIMS�DJO�DFIMC'� 576 :HC�RE;lW+: ^ IM�Tj�DFSVO�DYC\N�ObS 6 I ^ O�:�CE:�jS�R�WXN�I�jE:�SpI3� � (<b',�DJSyREhEh+: ^ �#WXI3REC\jE:�j W�U ; DJC�( � �= � / r3,��X.)�@O 6 : N�I�jE: 6 Q3SyC\I h\Q ^ O�DFN�R�G�Q ^S�O ^ R\N�O�R ^ :HO 6 :HQMN�O�RvQ3GXC�RE;>WX: ^ IM�/j�DFSVO�DYC\N�O7S 6 I ^ O�:�C\:�j�N�I%jE:�S�DFS�GYDb&M:�GJU O�IlWX:�N�GFIMS�:�O�I>O 6 DJS7W+IMREC\j'���: � DYGJG+O 6 R\S Q3GFS�I IMWEO�QiDJC�DJC�O 6 DFSbN�Q3S�:@Q�h\Q ^ O�DJO�DJIMCyO 6 DJC-:�CEIMR\K 6 O�I W+:@SVR\N�N�:�S�S���REGYGJU ^ :��EC\:�j'�

� ¡ �T| � z�{ � � ��576 :�;<ILSVO�� Qu�MI ^ QiWEGF:�N�QMS�:�S�:�:�;�S�O�I�W+:�� (�b ,T� g eBh��[O 6 DJS � QMS�N�IMC�� ^ ;�:�j�:��%hX: ^ D²�;�:�C�O�Q3GYGJUM� V KLI%I%j@SVO ^ Q3O�:�KMU �b6 :�C � i e � DJGYGLO 6 :�ClN�IMC\S�DJS�O/DJC@S�:�Q ^ N 6 DJC\K�Q�S�:�OI��I3�Ej�DJS�N ^ DJ; DJCvQiO�:�jh+ILS�DYO�DFI3C\S���S�REN 6 O 6 Q3O!� (�b"�3,=� g eBh�� 576 DJS7SVO ^ QiO�:�K3U h ^ Iu�L:�j�O�I�W+:�: ��N�DF:�C%O�DJC�h ^ QMN�O�DJN�:M��� I ^�^ Q3C��jEIM; N�I%jE:�S�IM��GJ:�C\K3O 6 rkefefe�Q3C\j-j�DY;<:�C\S�DJIMC � efe��EO 6 :dC%R�;lWX: ^ I3� ^ :��EC\:�;<:�C%O�C\:�:�jE:�j¢WX:�� I ^ : � :IMWEO�Q3DJC-Q ��REGYGJU�j�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O�SVDFKMC\Q3O�R ^ :d�MQ ^ DF:�S ^ IMREK 6 GJU�� ^ IM; m�O�I�r~=�� � DYO 6 Q3C¢Qu�M: ^ QMKL:sIM��o��

HG � � �YV���� S-����XZST` V.)C¢O 6 :sWEDJCvQ ^ U!N�QMS�:3�vO 6 :shXILSVDJO�DFIMC\SbN�Q3C¢W+:@j�DJ��DFj�:�j�DJC�O�I�O 6 :dO 6E^ :�:>S�R�W\S�:�O�S�j�:�S�N ^ DYWX:�jpW�U�DJO�:�;<Sw � � Q3C\j 4 IM�", � � m��YrM�!qpI ^ :�KM:�C\: ^ Q3GYGJUL�'DYC�O 6 : � ��Q ^ UN�QMS�:3��O 6 : h+ILSVDJO�DJIMC\SdN�Q3C�W+: C\Q3O�R ^ Q3GJGYUj�DY�%DJjE:�j�DJC�O�I � # r�S�REWES�:�O�S �b6 DFN 6�6 Q��L:!QpC\Q3O�R ^ Q3G�N�I ^�^ :�S�h+IMC\jE:�C\N�: � DYO 6 O 6 :<h ^ I3_V:�N�O�DY�L:�GYDJC\:� � (<�j��,���j�! 0��� � ����{ ��, � £a�<~ � ¦~/¡ � ¦X¦ |i§ �<~ }�{ ¡ x £ }�� ¦~ z�{u} ~ {576 :�h ^ I3_V:�N�O�DY�L:�GJDYC\: � � (1����,/DJS�O 6 :�S�:�O�IM�+Q3GJG�IMC\: ��j�DY;<:�C\S�DJIMCvQ3G%S�R�W\S�hvQ3N�:�S�IM�vO 6 :H�����#�L:�N�O�I ^ S�hvQMN�:� � � V h+IMDJC�OHI3� � � (1����,�DJSHQ<�M:�N�O�I ^ S�h\QMN�:©6 (= ���, 8 � DYO 6 ( + ��I, 5� ( e -e�,�� 576 : � # r :�GF:�;�:�C�O�SIM� � � (<���-,7N�Q3C-WX: ^ :�h ^ :�S�:�C�O�:�jpW%U3���1) g�� h � DJO 6 6 (+ �r3, 8T���Q3C\j²6 (Vr! -e�, 8T� � ����:@j�:�C\IMO�:6 (= ���, 8 � � � 6 (��0 �8,�8 �%O 6 DJS7C\IMO�Q3O�DJIMC!N�IMDJC\N�DFjE: � DJO 6 R\S�RvQiG'DJC��L: ^ S�:M�vQ3C\j � : 6 Q��L: � � � � e��cT\I ^Q3GYG��DYC � � (1����, � � :sjE:��EC\:sO 6 :dGYDJC\:�Q ^ N�I%jE:

b���� -j� g �3'(� �� 2 ��&¢'¢b/ H& / �3'0� -� (���-� ¥&.-�, '� h�"��: 6 Q��L:Ab���� -Z�\b ( - � ��-�Q3C\jp� I ^ QiGJG� 5� � �\O 6 :>N�I%jE:nb���� -/DFS�IMWEO�QiDJC\:�jpW�U�;lREGJO�DJhEGYU�DJC\K O 6 :* �#O 6 N�I�I ^ j�DYCvQ3O�:@IM��Q3GYG/:�GF:�;<:�C�O�SHIM�Tb W�U��� .)ChvQ ^ O�DFN�REG�Q ^ � � : 6 Q��L:zb ��� -��¯b Q3C\j)b(��� -��¯b -)�� I3O�:dO 6 QiOb� I ^ Q3GJG� � : 6 Qu�M:nb ( - O b���� -/Q3C\j-j�DJ;P(�b���� -�, / j�DJ; (�b ( -R,�� rL�

��: � DYGJG9jE:�C\IMO�:sW�U � ��� - (<b',7O 6 :dDJC�O�: ^ S�:�N�O�DFIMC-IM�9b���� - � DYO 6 b Q���O 6 Q3ObDJS���!��� - (�b ,+� b���� -�% b Q � g �ª'¢b Q 2 ��&¢')b� k& / �3'0��-< (�� -<  &.-�, '"ch�"

��: 6 Qu�M: � (<b', ( - � b ( - % b Q O � ��� - (<b',bQ3CEj�O 6 :sj�Db_+: ^ :�C\N�:sIM��j�DY;<:�C\S�DJIMC!DFSPQiOb;<ILSVOPIMC\:3�.)�a*N5'�S�REh�hD( � (�b , ,�O 6 :�C!� ^ IM; ]�^ I3hXILSVDJO�DFIMC � � � O 6 : ^ :H: �%DFS�O�S�&�DJC3b QiC\j�� DJC b�Q¢SVR\N 6 O 6 QiO

& / ��� � v -yx � 576 :�S�: :�GF:�;�:�C�O�S�Q ^ :bRECEDJZ�RE:P;�I%j�REGFI � (�b ,�QiC\j O 6 R\S�O 6 :bhvQ3D ^ (���-�  &.-�,�N�IMC\SVO�DJO�REO�:�jW�UpO 6 :�D ^ * �)O 6 N�I%I ^ j�DYCvQ3O�:�S DJS REC�DFZ[R\:M� T\I ^ Q3GYG#�DJC � � (<���-, � : N�IMC\SVDFjE: ^ O 6 :>� IMGYGFI � DJC\K S�R�W\S�:�O�SIM�����

:$�4(<b',+� g *T'(���,2 ��(1&a �4,H'¢b �(b Q _& / �3'0��-< n6 (���-�  &.-�,�8T�% h�"

´�µDma´�¶

Page 26: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! =Mm

V S � : � DJGYG�S�:�: W+:�GJI � �/O 6 : S�:�O�S�: � (�b ,d� I ^ ; Q-h\Q ^ O�DJO�DJIMC IM� �����aTER ^ O 6 : ^ ;<I ^ :M�T� I ^ Q3GJG+*���IMCE:Q3C\j�IMCEGYU IMC\:�IM�XO 6 :��!��� - (�b ,�DJS�S�O ^ DFN�O�GJUlK ^ :�Q3O�: ^ O 6 Q3C)� (�b , ( - �%Q3C\j DJO�DFS�h ^ :�N�DFS�:�GJU O 6 : I3C\:PS�R\N 6O 6 Q3O_*+'): �4(�b ,��� | ¦-,�¦ z � { � ¦j~ �j� � �8�r� b � ��� �����I� �� ��-�#���l�w�1�b�r�������z�³�r�r�-� ������� S�REh�hD(�b Q ,T� S�R�hEhD(�b ,+����� *� �� ������ * ��� ��� ����3����� ���� � ��� � � (1����,P� �����¤���2 � 3 (<*+'): �4(�b , ,�� � � (�b ,G( - � �!��� - (�b , �2 �1� 3 � � c5� � �R���r� :$�4(<b',&% :���(�b ,+�F> *

/10�232�4�5 2 � 3 .)�=*;'³:$�4(<b',PO 6 :�C�O 6 : ^ : :��%DFSVO�S ��DJC b�Q�Q3C\j¢& DJC¢b S�REN 6 O 6 Q3OY& / �¢' ��-�QiC\j6 (�� -<  &.-R,�8n� ��f�DJC\N�:3*A' S�REhEhD(<b Q�,�� � : 6 Q��L: � -z5O b Q3C\j � 5'?b ( ]�^ IMhXIMS�DJO�DFIMC � � � ,��576 R\S>DYC�hvQ ^ O�DFN�REG�Q ^ ��5' � (�b ,G( - ��qpI ^ :�Iu�L: ^ ��W�U�j�:��ECEDYO�DJIMC9� � : 6 Q��M: ��' �!��� - (�b ,�QiC\jO 6 R\S � (<b',K( - 5� �!��� - (�b ,��g :�N�DYh ^ I%N�QiGJGJUM�MGF:�O � S7Q3S�S�R�;<:�� (�b , ( - 5� �!��� - (<b', � � :�O �3'��!��� - (�b , � � (<b', ( - ��W�U jE:��EC�DJO�DJIMC9�O 6 : ^ :�: �%DFS�O�SZ&�DYC�b S�R\N 6 O 6 Q3OZ& / �,' ��-%Q3C\j^(�� -� ¥&.-R,H'���9��:�N�Q3CEC\IMO 6 Q��M: (�� -<  &.-�,T� (�e� -e�,W+:�N�QiR\S�:!:�GFS�: � : � IMREGFj 6 Q��M: �c' b ( - ��O 6 RES�6 (���-�  &.-�,�8A� �� 576 DFS : �EQ3N�O�GYU�;�:�Q3CES>O 6 QiO*+'): � (�b ,��

2 �1� 3 ��: � DYGJGXS 6 I � O 6 Q3ObDJ�TO 6 :dDJC�O�: ^ S�:�N�O�DFIMCpIM��: � (�b ,PQiC\j :��B(�b ,�DFS�CEIMO�:�; hEO�UyO 6 :�C�¢�%�/�� :�Ok*+'):$�4(<b', %ª:��B(�b ,�� � :�O (1&a �� ,�QiC\j (1& d � d ,�DJC b ��b Q SVR\N 6 O 6 Q3O�6 (�� -�  &.-R,�8�� �QiC\j6 (�� d-  & d- ,�8+� ���c.)C-hvQ ^ O�DFN�REG�Q ^7� : 6 Q��M:/(�� -� ¥&.-R,P5� (�e� -e�,�Q3CEj (�� d-  & d- ,P5� (�e� -e�, �� .)�r*='¢S�REhEhD( � (�b , , �<.)� � : 6 QMj � -�5��&.-\I ^ ��d- 5��&.d- � � : � IMREGJj 6 Q��L: & / �,'0��- � g eBh�QiC\jO 6 R\S � v -yx '¢b #7b�Q �b6 DJN 6 DFS�DJCEN�IM; hvQ3O�DJWEGJ: � DJO 6 *+'�S�REh�hD( � (�b , , ( ]�^ I3hXILSVDJO�DFIMC � � � ,����:dC\:�N�:�S�S�Q ^ DJGYU 6 Q��L: � -j��&.-�Q3CEj � d- ��& d- Q3C\j�O 6 R\S ¢�%� � rL�

� .)�k*�5' S�REhEhD( � (�b , , �<��: 6 Q��L:�& 5��I ^ :�GJS�:z&���³' � (<b',dQ3C\j (���-�  &.-�,�5�o(�e� -e�,I ^ :�GJS�: *Y' S�REh�hD( � (�b , , ��T\I ^ O 6 : S�Q3;�: ^ :�QMS�IMC7&.d_5� ��d9Q3C\j W%UQ!h ^ IMh+: ^ N�IMC\S�O�Q3C�O;lREGJO�DJhEGYDFN�Q3O�DJIMC9� � : N�Q3C�Q3S�S�R�;<:>O 6 Q3OY& / � � � v -yx Q3C\j)&.d / ��d%� � v -yx � 576 DJS�DJ; hEGJDJ:�S& / & d � � / � d '�� (<b', �EO 6 R\S (���-�  &.-�,+� (�� d-  & d- ,�Q3C\j ¢���/�

6

4 ¦ | ¦ � � }�| £ �j���m�8�r� b � �k� �����I� �� k�-�#��� �w� �b�r������� � �����r �j� �r�.�-�'�R����� SVREhEhD(<b Q>,+� SVREhEhD(<b',T���� *

� :��r(�b ,+� S�R�hEh8( � (�b , , *� � �� ������ °5� r ��� � � (<�j��, ����3����� * ��� : �4(�b ,/� �����¤���

� ��� - (<b',T� b Q % (6��-�#�b',�"

/10�232�4�5 � ��: 6 Q��L:f*A'�: �t(�b ,sDY�bQ3CEj�IMCEGYU�DY�(� (�b , ( - � ����� - (�b ,n� � (�b ,�� V C\j�� I ^ QiC%UN�I%jE:�� � : 6 Q��L:�� ( - 5��� DJ��Q3C\j�IMCEGYU<DJ��*+'�S�R�hEhD(�1,�� 576 R\SN: �t(<b',T� SVREhEhD( � (�b , ,��

mFmoncprqtsrq+u

Page 27: The Support Splitting Algorithm

= � � ���-������� ���r��� �� �r

� T\I ^ Q3GYG �QiC\j¢QiGJG%*�� � :@N�QiCpI3WEO�Q3DYC�� ^ IM; O 6 :sjE:��ECEDJO�DFIMCES�O 6 Q3O��

� (�b ,G( -&O � (<b', O �!��� - (�b , O b Q %%( ��-�#�b',�" (#mf,.)� �5� r¢Q3C\j * '¯: ��(<b',>O 6 :�C9��� ^ IM; O 6 :-� ^ S�O�DJO�:�; IM�HO 6 :-S�O�QiO�:�;�:�C�O�� � : 6 Q��L:(*75'S�R�hEhD( � (<b', ,PQiC\j�� (�b , ( - � � (�b ,�� TER ^ O 6 : ^ ;<I ^ :M�\O 6 :�j�Db_+: ^ :�C\N�:�IM��j�DJ;�:�C\SVDFIMC-WX:�O � :�:�C� (�b ,T�mb�%Pb Q-Q3C\j O 6 : ^ DFK 6 O�;<ILSVO�O�: ^ ;�I3�N(4m�,�DFS�Q3O�;�ILS�O�I3C\:�Q3C\j O 6 R\S���Q3O�;�ILSVO�I3C\:bIM�O 6 :�O 6E^ :�:bDJC\N�GJR\SVDFIMCES�DFS�CEIMO�Q3C :�Z[RvQ3GYDJO�UM�NT ^ IM; ]�^ IMh+ILSVDJO�DJIMC � � n � : 6 Q��M:�� (<b',P5� �!��� - (�b ,Q3C\j!O 6 RES��!��� - (<b',T�mb�Q % (6��-�# b ,��

6

576 DJS ^ :�SVREGJObh ^ I�j�R\N�:�S�Ql;�:�Q3C\SbO�I N�IM; hEREO�: �!��� - (<b',�� ^ IM; � (<b', �� .)�N*�'?: �t(<b',z� SVREhEhD( � (<b', ,@O 6 :�C � : 6 Q��M:�� (<b', ( - � � ��� - (�b ,z� � (�b ,>Q3C\j�� I ^ Q3GJG� 5� rL� � : 6 Qu�M: � � � - (�b ,+� � (<b', ( - �

� .)�Z*+'):$�4(<b', � DJO 6 5� rL�[O 6 :�C,*_5'SVREhEhD( � (<b', ,�Q3C\j � ��� - (<b',T� � (�b , � 6��.8 � �b6 : ^ : �>DJSQ3Cp:�GJ:�;�:�C�O�IM� � b�Q % ( � -�# b , �(� (�b ,�����: � DYGJG9S�:�:sDJC�, n�O 6 Q3O�S�REN 6 Q � I ^ j �<DJS�:�QMS�UO�I N�IM; hEREO�:3�

� �1~ } ��| ¡ ��}�|�� � .)C-;<ILSVO ^ :�S�REGYO�SPIM�/O 6 DJSbS�:�N�O�DJIMC9� � : 6 Qu�M:>Q3S�S�R�;<:�j-O 6 Q3ObW+IMO 6 O 6 :@SVREhEh+I ^ O�SIM��b�Q3C\j©b Q � : ^ :sWXIMO 6 :�Z[RvQ3G/O�I�������a���N�IMR ^ S�:M�vO 6 DFSbDFSbC\IMO Q3G � Q�U%SPO ^ RE:M�\WEREOPh+ILS�DYO�DFI3C\S�O 6 QiOQ ^ : C\IMO�DJCyO 6 :�SVREhEh+I ^ O�IM�ab I ^ b Q N�QiC!WX: :�QMSVDJGJU DJjE:�C�O�DJ�\:�j!Q3C\j ^ :�;�I~�M:�j ( I ^ DJKMC\I ^ :�j�, � 576 R\SIMR ^ Q3S�S�R�;�hEO�DFIMC-jEI%:�SbC\I3O�DY;�h�GJU�Q3C�U!GFILS�SbIM��KL:�C\: ^ Q3GYDJO�UM�

�j�! 0�¦� w ~T¡[¥ § � z��L| � � �<~ } ~ { z ���~ }�{ �T| ¡T\I ^ Q3C�U<N�I�jE:Yb � � :dj�:�C\IMO�: W�U � (<b',+��� @$B � � � � v @ x DJO�S � :�DFK 6 O�:�C�RE;�: ^ QiO�I ^��b6 : ^ : ��� ( ,�DJSO 6 : W Q3; ;�DYC\K � :�DFK 6 O����¡ � ��} ���� � �� ����.� �����I� �� n�-�#��� b ����3���.� *+'�S�R�hEhD(�b Q ,��=� �����¤���

� � (�b -R,+��� (<b', #S( � / r3, � (<b ( - ,/10�232�4�5b576 :pS�:�O � � b �/b ( -�N�IMC�O�Q3DYC\S O 6 :-N�I%jE: � I ^ j�SyIM�Pb �b6 ILS�:©* �)O 6 N�I�I ^ j�DJC\Q3O�:!DFS C\I3OZ�: ^ I!QiC\j¢O 6 R\S O 6 : � :�DFK 6 OH:�C�RE;<: ^ Q3O�I ^ IM� � hEREC\N�O�R ^ :�j�DJC(*�DJS � ( � -�, � � ( � , � ��� ��: 6 Qu�M:b � b ( -�) � Q3CEj,b -�� b ( -�) � -���Q3C\j'�%WX:�N�Q3RES�:P*+'�S�R�hEhD(�b Q ,���W+IMO 6 O 6 :�S�:HRECEDJIMC\S�Q ^ :�j�DFS _VI3DJC�O��576 R\S

� (�b ,+��� (�b ( -R, # � ( � ,bQ3C\j � (�b -�,T� � (<b ( -�, # � ( � -�,T��� (<b ( -�, # � ( � ,���:@I3WEO�Q3DYC!O 6 : ^ :�S�R�GJOPW�U!:�GYDJ; DJCvQ3O�DFIMC<IM� � ( � ,�� 6

´�µDma´�¶

Page 28: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! = �

� | ¦-,�¦ z � { � ¦j~ �j�� ������!���������� B � (�b/ �* , op � ���r � *P'c: � (�b , ���f���r� ��������� -� � ����P�����!����������

&�� ��(�b/ �* , op� ( + � ( � ��� - (�b , , , � � )�FB (�b/ �* ,Y5� r

(�r! � ( � (�b ,G( - , , � � B (<b�  * ,T� r ( � ,���n�z�k�r� � ¬ �������j�r� ��������B �+��� ������ b �r�r�-� ������� SVREhEhD(<b Q>,+� S�REhEhD(<b',+����� */10�232�4�5 T�D ^ S�ObCEIMO�:dO 6 Q3O��ESVDJC\N�:/: � (�b ,=��: � s�u (<b Q , � � : 6 Q��M:�B (<b Q �* ,+�HB/(�b/ �* , � � �� :�ON*�Q3C\j ��W+:HO � I�:�GJ:�;�:�C�O�SPIM����� SVR\N 6 O 6 Q3O$¢�JB (�b/ �* ,=�JB (�b/ ���,��� .)� � rlO 6 :�C &�� (�b/ �* ,_� &�� (<b Q9  * ,N� � r! � ( � (<b',K( - ��Q3C\jO 6 : ^ :�S�REGYOdDFSHSVO ^ Q3DFK 6 O�� I ^ �� Q ^ j'�

� .)� °5� rbO 6 :�C � : � Q3C�O�O�IHh ^ Iu�L:bO 6 QiO�� I ^ Q3GYG�*TQ3CEj �sDJCz���dS�R\N 6 O 6 Q3OIB (�b/ �* ,T�HB (<b� ���,T��� � : 6 Qu�M: � ( �!��� - (�b , ,+��� ( �!��� ��(�b , ,�� � ( � � s�u � - (<b Q , ,T� � ( � � s�u � � (<b Q , , ( � ,��: 6 Q��L: �!��� - (�b , � � (�b , � 6��.8 �b6 : ^ : � ' b Q�% (T��-�# b ,�� [ UjE:��ECEDYO�DFI3C IM� �!��� - (�b ,O 6 : ^ :s: ��DJS�O�S_&pDJC�b SVR\N 6 O 6 Q3Ok& / �f'=��-4����: 6 Q��M:/&('¢bJ% �M� -�# b�Q [�\Q3C\j &³5' � (�b ,W+:�N�QiR\S�:�*T'S�REh�hD(�b ,�� 576 R\S�� � s4u � - (�b�Q�,+� � (<b', � 61&%8 �� .)� °5' g e� � h�O 6 :�C � (�b , � 6��r8�DJS�I3WEO�Q3DYC\:�j�W�U!;lREGYO�DJh�GJU�DJC\K�O 6 :/* �#O 6 N�I%I ^ j�DJCvQ3O�:dIM�

� (�b , � 61&%8PW�U��� 576 R\S � ( �!��� - (�b , ,k� � ( � � s4u � - (<b Q>, ,�� 576 : S�Q3;�:>:�Z[RvQ3GJDYO�UpQ3GFS�I6 IMGFj�S�� I ^ �yQ3C\j � :�KM:�O ( � , �� .)�� �Xe�� � : 6 Qu�M:���-+�Xe�Q3C\j¢&.-/5�Xe�� 576 R\S� (�b , � 6��.8bDFSdIMW�O�Q3DYC\:�j�W�U�hER�C\N�O�R��^ DJCEK � (�b , � 6�&%8PDJC7*���f 6 I ^ O�:�CEDYC\K � (�b , � 61&%8�DJC * � DYGJG�h ^ I%j�R\N�: � (<b',HQiC\j� ^ IM;� :�;�;<Q � � ] � :@KL:�O� � ( �!��� - (�b , ,T� � ( � � s�u � - (�b Q , , #S( � / r3, � ( � (�b , ,� Q3C\j-S�DJ; DJGFQ ^ GYU � I ^ �� � ( �!��� �3(�b , ,+��� ( � � s4u � � (<b Q , , # ( � / r3, � ( � (�b , ,�b6 DFN 6 DFSb:�C\IMR\K 6 O�I h ^ Iu�L: ( � , �� TvI ^ ¢� � � � :�_ R\S�OPDYC%O�: ^ N 6 Q3C\KL:�b Q3CEj(b�Q��

6

.)C¢Q h ^ QMN�O�DFN�Q3G'h+IMDJC�OPIM�/��DF: � �EO 6 :sS�DJKMCvQ3O�R ^ :HO 6 Q3O � DJGYGXW+:sN�IM; hEREO�:�j�DFS�O 6 :s� I3GJGFI � DYC\K

&�� ��(�b/ �* , op��� ��� � -&.- � ( � (<b', � 6��.8 ,�� DJ����(1&a �� , ' b �)b Q S�R\N 6 O 6 Q3Ok& / �z� � v -yx

� r! � ( � (�b ,G( - , � :�GFS�:576 :lS�:�N�IMC\jN�Q3S�:lN�I ^�^ :�S�h+IMC\j�SHO�If*k'�S�REhEhD( � (�b , ,PQ3C\j¢O 6 :>� ^ S�O O�I3*/5'�S�REhEhD( � (�b , , �+DJCpO 6 QiON�Q3S�:©& Q3C\j ��N�Q3C W+:¢: � N�DF:�C�O�GJU N�IM; hEREO�:�j ( S�:�:pS�:�N�O�DJIMC nf,�� 576 DJS�SVDFKMC\Q3O�R ^ :pN�Q3C W+:�;yQMj�:;�I ^ :yj�DFS�N ^ DY;�DYCvQ3C�O�DY�PDJC\SVO�:�Q3j�IM� O 6 : � :�DFK 6 O�:�C�RE;<: ^ Q3O�I ^l� :�N�IMC\SVDFjE: ^ O 6 :!N�IM; hEGF:�O�: � :�DJK 6 O:�C�RE;�: ^ Q3O�I ^ � (�b ,,� � @$B ���¢- B�h<i � @ ��� ��:pj�DFj C\IMO DJC��L:�S�O�DFK[Q3O�:-O 6 DFS�h+ILS�SVDJWEDYGJDJO�U�DJC jE:�O�Q3DJGS�DYC\N�:sIMR ^ ;yQ3DYC�N�IMCEN�: ^ C � QMSbO 6 :dWEDYCvQ ^ U!N�QMS�:M�

mFmoncprqtsrq+u

Page 29: The Support Splitting Algorithm

=Mn � ���-������� ���r��� �� �r

� # � ����d� �d�y� � ���� �

a�R ^ Q3GJKLI ^ DYO 6 ; ^ :�Z[RED ^ :�SPO 6 :dN�IM; hEREO�QiO�DFI3C�IM� 6 REGYGFS��\Q3C\j!O 6 :@N�IM; hEREO�QiO�DFI3C�IM� � :�DJK 6 OPj�DFSVO ^ DJWER��O�DJIMC\S���.)OPDJSPQ3CpDY;�h+I ^ O�Q3C�O7� Q3N�OPO 6 QiO � : 6 Q��L:sO�I ;yQ�&L:dO 6 :�S�:@N�IM; hEREO�Q3O�DJIMC\SbIMCpN�I%jE:�SPO 6 Q3O Q ^ :N�GJILS�:PO�I�:�QMN 6 I3O 6 : ^ � � :�I3CEGJU�N�IMC\S�DJjE: ^ N�I%jE:�S�O 6 QiO�Q ^ :�IMW�O�Q3DYC\:�j�W�U�hER�C\N�O�R ^ DYC\K>I ^ S 6 I ^ O�:�CEDYC\KIMC\:�IM��O 6 :�O � I¢N�I%jE:�S�KMDY�L:�C�QMSsDJC�hEREO�� 576 :�� QMN�OsDJS@I3��C\I 6 :�GJh�� I ^ O 6 : � :�DFK 6 O@j�DJS�O ^ DJWER�O�DFI3C\S��WEREO��vQMS � : � DYGJG9S�:�:M�EDYObDFS��M: ^ U 6 :�GJh���REG9� I ^ N�I3;�hER�O�DJCEKlO 6 : 6 REGJGJS��

�kGJI � [ ��PM"�.OJW $ �_MPUJUJ`f%DYC\N�: � (�b ,Y� (�bF#�b�Q>,KQ��9O 6 : 6 REGJG�I3��Q!N�I%jE:�b IM��GF:�C\KMO 67� Q3C\j�j�DY;<:�C\S�DJIMC �DJSd:�Z[RvQ3G�O�IO 6 : C�REGYGFS�h\QMN�: IM��O 6 : � � � ;<Q3O ^ DY� �b6 ILS�: � ^ SVO � ^ I � SlQ ^ :�I3�bQ-W\QMS�DJS�IM�kb Q3C\j �b6 IMS�:�GFQMS�O��/ � ^ I � SbQ ^ :HQ@W\QMS�DJS7IM�ab�Q�� 576 DJS�;<Q3O ^ DY� DJS�I3WEO�Q3DYC\:�j W�U<SVO�QMN &�DJCEK Q>KL:�C\: ^ Q3O�DYC\K�;<Q3O ^ DY� QiC\jQlhvQ ^ DJO�UyN 6 :�N &!;<Q3O ^ DY�<IM��b�� � :�O � � (1��� � ,�WX:@Q KL:�C\: ^ Q3O�DYC\Kl;yQiO ^ D²�yI3��b DYC�:�N 6 :�GFIMC-� I ^ ;¢�O 6 :�C���� (�� � / ���B,�DFSPQlhvQ ^ DJO�U<N 6 :�N &!;<Q3O ^ DY�<IM��b�� 576 :sK[Q3R\S�S�D�QiCp:�GJDY;�DYCvQ3O�DJIMC�IM��O 6 :H;<Q3O ^ DY�

�� ��� �� � / ��� � (#nf,

� DJGYGXh ^ Iu�%DJjE:@Q KL:�C\: ^ Q3O�DJC\K ;<Q3O ^ DY�<IM� � (�b ,��

�%������ {©� } �v¦~ }�� � } ��z�z � } ~ ¡ � � � �<~ }�{ � ¦~T\I ^ Q3C�U � � � S�Z[RvQ ^ :>;<Q3O ^ DY� Iu�M: ^ �j���XQ�j�D�QMKMIMCvQ3G/S�O�Q3C\j\Q ^ j¢� I ^ ; DFS�Q3C � � � S�Z[RvQ ^ :;<Q3O ^ DY�� SVR\N 6 O 6 Q3OPO 6 :sCEIMC�� Z�: ^ I N�IMGJR�;�C\SbI3�9��� / � I ^ ; QlWvQMSVDFSPIM�/O 6 :dC�REGYGFS�h\QMN�:sIM� �

T\I ^ DJC\SVO�Q3CEN�:M�� DJSPQ j�DFQMKLIMC\Q3G'SVO�Q3C\jEQ ^ j�� I ^ ; IM� d

d �

����������

r � �r � �

r � �r �

r

����������� � �

����������

r � �r � �

r � �

r �

r

�����������

576 :�;<Q3O ^ DY�� d Q3W+Iu�L:�DFSTQ3Cs:�N 6 :�GJIMC@;yQ3O ^ D²�X��O 6 DFS+� I ^ ; DFS'IMW�O�Q3DYC\:�j@Q3��O�: ^ Q�K[Q3RES�S�DFQ3C@:�GYDJ; DJCvQ3O�DFIMC'���: � DJGJG7N�Q3GYGbj�DFQMKLIMCvQiG7K[QiR\S�SVD�Q3C :�GYDJ; DJCvQiO�DFI3C�O 6 :yh ^ I%N�:�j�R ^ :�O�I IMWEO�QiDJC Qj�D�Q3KLIMCvQ3G7S�O�Q3C\j\Q ^ j;<Q3O ^ DY�+�c.)CE� I ^ ;<Q3GYGJUL��O 6 :�j�DFQMKLIMC\Q3G9S�O�Q3C\j\Q ^ j�� I ^ ; DJSPIMWEO�QiDJC\:�j�W�U-Q�K[Q3R\S�S�DFQ3C¢:�GJDY;�DYCvQ3O�DJIMC!QiC\jW�U &L:�:�hEDYC\K�O 6 : �Yr � SPIMC�O 6 :@j�D�QMKLI3CvQ3G)�%GF:�Qu��DYC\K�Z�: ^ I�GJDJCE:�S�DJ�TC\:�N�:�S�S�Q ^ UL�

576 :Ph ^ I%N�:�j�R ^ : � :�C\:�:�j<DYC�h ^ QMN�O�DJN�:PjEI%:�S�QsGYDJO�O�GF:�;<I ^ :M�LDYO�O�QU&M:�S�QMS�DYCEhEREO�O � I � � � S�Z[RvQ ^ :;<Q3O ^ DFN�:�S Q3C\j �>� � DYO 6 � C\IMC��)S�DJCEKMREG�Q ^ Q3CEj ^ :�O�R ^ CESlO � I � � � S�Z�R\Q ^ :y;<Q3O ^ DFN�:�S� QiC\j&�� �b6 : ^ :� DJS@Qpj�DFQMKLIMCvQiG�S�O�Q3C\j\Q ^ j�� I ^ ; IM� Q3C\j & DFS@Q!C\IMC��)S�DJCEKMREG�Q ^ ;yQ3O ^ D²�S�REN 6 O 6 QiO� � � � & � � ¢����:sjE:�C\IMO�:/(�( &c,�� csA�( �1,���� IMO�:dO 6 Q3ObDY� �m�����v��O 6 :�C & ��¢�

´�µDma´�¶

Page 30: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! =Lo

576 DFS h ^ I%N�:�j�R ^ :�DFS Q3GJ;�ILS�OPDJjE:�C�O�DJN�Q3G/O�I�O 6 :�N�G�Q3S�S�DJN�Q3G�K[Q3RES�S�DFQ3C�:�GJDY;�DYCvQ3O�DJIMC-Q3C\j ^ :�Z[RED ^ :�SdQC�RE;lW+: ^ I3��I3hX: ^ Q3O�DFIMC\S�DJC¢�j�Hh ^ I3hXI ^ O�DJIMCvQ3GTO�I � � � TER ^ O 6 : ^ ;<I ^ :M� O 6 :>;<Q3O ^ DY� � : 6 Q��L:lO�I!jE:�Q3G� DJO 6�6 QMS�O 6 : hvQ ^ O�DFN�REG�Q ^ � I ^ ; I3�P:�Z[RvQ3O�DFIMC (4n�,�� 576 :yj�DFQMKLIMC\Q3G�K[Q3R\S�S�D�QiC�:�GYDJ; DJCvQ3O�DFIMC I3�bO 6 DJS;<Q3O ^ DY�<N�Q3C-WX:@QMN 6 DF:��M:�j � DJO 6 Ql;lR\N 6 GFI � : ^ N�I3;�hEGJ:��%DJO�U�O 6 QiC-DYC�O 6 :sKL:�C\: ^ Q3GTN�QMS�:M�

� | ¦-,�¦ z � { � ¦j~ �%�1� ���������1�k���������r������}��  �;��� �! �w� ����� !����� �� � �����c�I� � � �

�� � � �� � / � � �

����� ­+������� �

�� ��� �*/ �

e �� ���r � ��� �����;���1�k��������}�r������}�� ¥�=��� �! �w� � ��� # � � �)* � �� ��R���r �!/�� � � � � � ���;� �I���ª�r������������ !����� r� �ª�r�.�-� ������� � � � �����r�

& �� ��� / � � � � � �

� � � / � ����n� �I���(�r������������ �!����� �� � � �����-�3���r r� � ��� & �� *5 I IMWEO�QiDJCyO 6 :�;<Q3O ^ DFN�:�S�&�Q3C\j jE:��EC\:�j�DYC!O 6 :HQ3WXIu�M:dS�O�QiO�:�;�:�C�O�� � :HO 6 R\S 6 Q��L:HO�I N�IM; hEREO�:Q�j�D�QMKLI3CvQ3G K[Q3R\S�S�DFQ3Cy:�GJDJ; DJC\Q3O�DJIMC IMC�QiC ( ��/ �4, �P( ��/ �4,�;yQiO ^ D²� � QiC\j<O�I�hX: ^ � I ^ ; � ;<Q3O ^ DY�;lREGYO�DYhEGJDJN�Q3O�DFIMC\S�I3C!;yQ3O ^ DJN�:�S�IM��Q3W+IMREO 6 QiGJ�9O 6 :HS�DbZ�:M����:sQMS�S�RE;�:HO 6 QiO�O 6 :HQu�M: ^ QMKL:dN�IMS�OPIM�TO 6 :;lREGYO�DYhEGJDJN�Q3O�DFIMC I3�/Qn� � � ;<Q3O ^ DY� W�U<Q � ����;<Q3O ^ DY��DFS (�r / r ��� ,w� � ���\:�GFjyIMh+: ^ Q3O�DJIMC\S���Q3CEj<O 6 QiOO 6 :HQ��L: ^ QMKL:�N�ILSVO�IM�'O 6 :�j�D�QMKLI3CvQ3GvK[Q3RES�S�DFQ3Cy:�GJDY;�DYCvQ3O�DJIMC h ^ I�N�:�j�R ^ :�IMC � DFS7= (Vr / r � � ,t( ��/ � , ��\:�GFj�IMh+: ^ QiO�DFI3C\S��

.)� �ai � � = QiC\j!DJ� � :�Q ^ :dK3DJ�L:�C�Q KL:�C\: ^ Q3O�DYC\K ;yQiO ^ D²�yI3��O 6 :sN�I%jE:dDJC-S�U%S�O�:�;<Q3O�DJNd� I ^ ;p��O 6 :N�IMS�O�� I ^ N�IM; hEREO�DJC\K &�Q3C\j� DJS�O 6 :�CyQ3G � Q�U%S�GJ:�S�S�O 6 Q3CyIMCE: 6 QiGJ�+IM�'O 6 : N�ILS�O�� I ^ N�IM; hEREO�DJC\KsO 6 ::�GYDJ; DJCvQiO�DFI3CpI3��Q3C � � � ;<Q3O ^ DY�-DYCO 6 : KL:�C\: ^ Q3G�N�QMS�:3�l.)� � � ��� =<O 6 :�C � : N�Q3C�N�IMCES�DFj�: ^ O 6 :j�RvQiG�I3�+b DJC\SVO�:�Q3j�IM�+b Q3O�C\I<N�ILS�O�� .)� � : 6 Q��L:�O�I<N�IM;�h�REO�:�Q�SVU�SVO�:�;yQ3O�DFN�KL:�C\: ^ Q3O�DJC\K�;<Q3O ^ DY�� ^ S�O�� � : 6 Q��M:�Q3C�QMjEj�DYO�DJIMCvQ3G/N�IMS�OdIM� (Vr / r � � , � � Q3C\j�O 6 :>O�I3O�Q3G�N�ILSVO ^ Q3O�DFI DFS�SVO�DYGJG/GF:�S�S�O 6 Q3CIMC\: 6 QiGJ� �

576 :�S�:��\K3R ^ :�S�N�Q3C-WX:dDJ; h ^ I~�M:�j!W�U!R\S�DYC\K Ql� QMS�O�: ^ Q3GFKMI ^ DYO 6 ; � I ^ ;<Q3O ^ DY��;lREGYO�DJh�GJDFN�Q3O�DJIMC9�

�%����¦� 4 ¦ � , �9{ �<~ � � � � �4z ¦ � � ¦ § ¡ z � ¦ § ��|�¡ § �1~ ¦~T¡�,�¦ z � { � ¦~576 : QiGFKLI ^ DJO 6 ; DFS�WvQMS�DJN�Q3GYGJU!DYO�: ^ Q3O�DY�L:3� 6 I � :��M: ^ O 6 :�� ^ SVOdS�O�:�h DFS��+W�Up� Q ^ �+O 6 :>;�ILS�O�:��%h+:�C\SVDJ�L:3�T�D ^ S�OsW+:�N�Q3R\S�:�IMC\N�:<Q�hXILSVDJO�DFIMC 6 QMSsW+:�:�C�j�DFS�N ^ DJ; DJCvQ3O�:�j'�9O 6 Q3OsDFS�Q3hEh+:�Q ^ :�j�QMS>Q�S�DYC\KMGJ:�O�I3C�DYCIMC\:bI3� O 6 :7hvQ ^ O�DYO�DJIMC9�3CEIdIMO 6 : ^ N�IM; hEREO�Q3O�DJIMC � DYO 6 DJO�DFS�CE:�N�:�S�S�Q ^ UM�7f%:�N�I3C\j'�LW+:�N�QiR\S�:PN�I3;�hER�O�DJCEKO 6 : 6 REGYG9IM��Q�h�REC\N�O�R ^ :�j¢N�I�jE:�b"�@DFSb:�QMS�DJ: ^ DJ�TO 6 : 6 R�GJG9IM��b 6 QMS�Q3G ^ :�QMj�U<W+:�:�C¢N�IM; hEREO�:�j'�

mFmoncprqtsrq+u

Page 31: The Support Splitting Algorithm

=�] � ���-������� ���r��� �� �r

� � |3z�{�z�{ ¡3,=� ��:�Q ^ : KMDY�L:�C�Q�N�I%jE:�b Q3C\j � : jE:�C\IMO�: � � (<��� 2 � ,HQ3C\j � � ( � � 2 / ���B,��^ :�S�h+:�N�O�DJ�M:�GYU�QlKL:�CE: ^ QiO�DJCEK�Q3C\j-Q>hvQ ^ DJO�U�N 6 :�N &!;<Q3O ^ DY��IM��b�� � :�O W+:HO 6 :H;yQ3O ^ D²�<j�:��EC\:�j¢Q3SDJC%(#n�,�W�U<S�O�Q3N &%DYC\K � Q3CEj ��� � I3O�:HO 6 Q3O���j�R\:HO�Ilh\Q ^ O�DFN�R�G�Q ^ � I ^ ; IM� � QiC\j ����O 6 :H;<Q3O ^ DY� DFSPSVU%; ;�:�O ^ DFN3����: 6 Q��M:lQMS�S�RE;�:�j 6 : ^ :3� � DYO 6 I3REOPGFILS�S�I3��KL:�CE: ^ QiGJDJO�UM�EO 6 QiO�O 6 :s� ^ SVO �yhXILSVDJO�DFIMC\SIM��b Q3GJGJI � O 6 :P:�N 6 :�GFIMC�� I ^ ; IM� DJO�S�KL:�C\: ^ Q3O�DYC\Kd;yQiO ^ D²� � � � :�O W+: Qsj�DFQMKLIMCvQiGES�O�Q3C\j\Q ^ j�� I ^ ;IM� Q3C\j GF:�O & W+:�O 6 :�CEIMC���SVDJC\K3REG�Q ^ ;yQiO ^ D²��S�R\N 6 O 6 Q3O & ��¢�/��: � DYGJG�jE:�C\I3O�: ^ :�S�h+:�N�O�DJ�M:�GJUW�U &j-�Q3C\j -�O 6 :z* �)O 6�^ I � IM� & Q3C\j ¢�^T ^ IM; � : jE: ^ DJ�L:�Q!KL:�CE: ^ QiO�DJCEK�;<Q3O ^ DY��IM� � (�b ,jE:�C\IMO�:�j�W�U=B<�'O 6 DJSH;yQiO ^ D²� 6 QMS � N�I3GJRE; C\SdQ3CEj ��^ I � S�� �b6 : ^ : � jE:�C\I3O�:�SdO 6 : j�DJ;�:�CES�DFI3CIM�� (�b ,��

� .)�Z*+'�SVREhEhD( � (�b , ,T� :��t(�b ,�O 6 :�C � :�C\:�:�j<O�I�N�IM; hEREO�:�Q@KL:�C\: ^ Q3O�DJC\Ks;<Q3O ^ DY��IM� � (�b , ( - ��b6 DJN 6 N�Q3C-WX:sIMWEO�Q3DJCE:�j!� ^ IM; B<�

� .)�T* 5'�SVREhEhD( � (�b , ,��\O 6 :�C � : 6 Qu�M:�O�I��EC\j©&�DJC(b Q3C\j �yDYC¢b�Q�SVR\N 6 O 6 Q3O;& / �3� � v -yx ���: � DJGYG7O 6 :�C IMWEO�QiDJC \�§6 (�� -<  &.-R,�8lQiC\j �!��� - (�b ,ª� � (<b', � 6��r8�� T\I ^ Q3GYGH* � : 6 Qu�M:&j- � ( &j- � � &j- � �%,T� � v -yx �vQ3C\jX�� DY�=* � ��O 6 :�C &j- � �§� e�Q3C\j ( &j- / � v -yx , � � �Xe��+O 6 R\S &j-H'�b QiC\j &j- / � v -yx '�b Q����:dhEREO_& � &j-�QiC\j �z� &j- / � v -yx �

� DY�Z*ci � O 6 :�C�&j- � � �Se>Q3CEj%( &j- # � v -yx , � � � e��%O 6 RES�&j-0'¢b QpQ3C\j�&j- # � v -yx '¢b�����:h�REO_& � &j-�# � v -yx QiC\j � � &j-)�

R��9}�� , � ¡r� ��:bN�IMC\SVDFjE: ^ Q�WEDYCvQ ^ U@GJDYC\:�Q ^ (Vr~= �n� �m�,/N�I�jE:3� 576 :�;<Q3O ^ DY� DFS�IMWEO�QiDJClW�UlSVO�QMN &�DYC\KQ KL:�C\: ^ Q3O�DYC\K ;yQ3O ^ D²�yIM�/O 6 :s� I ^ ; (1� �Z2 � ,7Q3C\j�O 6 :dhvQ ^ DJO�U<N 6 :�N &�;<Q3O ^ DY� (�� � 2 ���B,

��������������������

r e e e e e r r r e r re r e e e e r e r r e re e r e e e r r e r e re e e r e e r r r r r re e e e r e r r e r r ee e e e e r e r r r r rr r r r r e r e e e e er e r r r r e r e e e er r e r e r e e r e e ee r r r r r e e e r e er e e r r r e e e e r er r r r e r e e e e e r

���������������������

��:¢QihEhEGJDJ:�j�O�I Q�j�D�QMKMIMCvQ3GbKLQ3R\S�SVD�Q3C :�GYDJ; DJCvQiO�DFI3C�O�I�IMWEO�Q3DJC & Q3C\j ¢� � DYO 6 DYCj�DFQMKLIMC\Q3GTS�O�Q3C\j\Q ^ j¢� I ^ ;¢�vS�REN 6 O 6 Q3O & � ¢�b��:>:�Q3S�DJGYU�jE:�j�R\N�: Q KL:�CE: ^ QiO�DJCEK�;<Q3O ^ DY�

´�µDma´�¶

Page 32: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! =Mt

B IM�/O 6 : 6 REGJGXW%U!O�QU&�DJC\KlO 6 :dC\IMC�� Z�: ^ I N�IMGYRE;�CESbIM�9��� / ¢�

&²�

��������������������

e r e r e r e e r e e er e e r r e r r e e r ee e e e r r r e r e e er r e e e r e e r e e ee r r e e e e r r e e er e r r e r r e r e r ee r r e e r r e e e r ee r e e r e e e r e r er e r r r r e r e e e er e e e e r r e e r e ee r e e e r r r e e e er e r r e e r r e e e r

� �������������������

��������������������

r e e e e e e e e r e re r e e e e e e e e e ee e r e e e e e e e e re e e r e e e e e e e re e e e r e e e e e e ee e e e e r e e e r e ee e e e e e r e e r e re e e e e e e r e e e re e e e e e e e r e e ee e e e e e e e e e e ee e e e e e e e e e r ee e e e e e e e e e e e

� �������������������

B¯�� r e e e e r r e e r e er e r r e e r r e e e r �

576 :pS�REh�hXI ^ O<I3��O 6 : 6 REGYG�DJS�KMDJ�M:�C W�U O 6 :-C\I3C�� Z�: ^ I�N�IMGYRE; C\S�IM�NB<� ��IMO�:�O 6 Q3O�O 6 :�S�:h+ILS�DYO�DJIMC\SdQ ^ : :���QMN�O�GJUpO 6 : DYC\jE:���:�S@I3��O 6 : ^ I � SsIM� � :�DFK 6 O�r�IM� ¢� 576 DJS � QMSs: ��h+:�N�O�:�j'�SVDJC\N�:@O 6 : ^ I � S�IM� KL:�C\: ^ Q3O�:�S O 6 :>S�h\QMN�:nb*# b Q�Q3C\j � v -¡x DJSPDYCpO 6 DFS�S�h\QMN�:@DJ��Q3C\j¢I3CEGJUDY��*�DJS�C\IMOPDJC!O 6 :sS�REhEh+I ^ O I3��O 6 : 6 R�GJG)���: DYC\jE:���O 6 : h+ILS�DYO�DFI3C\S � DYO 6 O 6 :�S�:�Ok� � � g r! $"$"$"� �r~=�h � DYO 6 O 6 :�GJI � :�SVO7DYC\jE:���:�S�IMC!O 6 :GJ:���O��

� ��: 6 Q��L:@S�REh�hD( � (�b , ,+� g r! �m� � �n� o ]� �rke� �r~=�h���Q3C\j� DJ��*+' g m� � -] �r~=�hdO 6 :�C � (�b ,G( - � 6 (�r¤ -e� -e� e� -e� �r¤ �r! -e� e� �r! -e -e�,�8 �c.)O�h ^ I%j�R\N�:�SQ � :�DFK 6 O�j�DFSVO ^ DJWEREO�DFIMC�I3�7r�#�� � �

mFmoncprqtsrq+u

Page 33: The Support Splitting Algorithm

mfe � ���-������� ���r��� �� �r

� DJ�k*�' g n �rkeBh�O 6 :�C � (�b ,G( - � 6 (Vr! -e� �r! �r! -e -e� �r! �r! -e� -e -e� �r3,�8 � .)O>h ^ I�j�R\N�:�S Q� :�DFK 6 O�j�DJS�O ^ DJWER�O�DFI3C!IM��rI#�� � �� DJ�T*_' g r¤ o�h O 6 :�C � (�b , ( - � 6 ( e� e� �r! �r¤ -e� �r! e� �r! -e �r! -e� �r3,�8��1.)OdQ3GJS�I<h ^ I%j�R\N�:�SQ � :�DFK 6 O�j�DFSVO ^ DJWEREO�DFIMC�I3�7r�#�� � �

� ��: 6 Q��L:/� � ��S�REhEhD( � (�b , ,+� g =� � �t� �rLr�h���Q3C\jyO 6 :H�L:�N�O�I ^ � � :sQ ^ :HGFI%I�&�DJC\K@� I ^ DJS:�Z[RvQ3GTO�I O 6 :�* �)O 6p^ I � IM� & �b6 : ^ :sO 6 :/* �#O 6 N�I%I ^ j�DJCvQiO�:HDFS ^ :�hEGFQMN�:�j-W�U�Q��²r �²�� DJ�T*=� =�O 6 :�C¢& � & � e�O 6 R\S � � rlQiC\j�³� 6 (��  & ,�8 � 6 (Vr! -e�, 8H� � �

576 :sN�I%jE: � � � (�b , 6 QMS�Q�KL:�CE: ^ QiO�DJCEK�;<Q3O ^ DY�<:�Z[RvQiG9O�I�� r e e e e r r e e r e er e r r e e r r e e e rr r e r r e r r e e r e

��.)OPh ^ I%j�R\N�:�S�Q � :�DJK 6 OPj�DFSVO ^ DJWEREO�DFIMC�I3�7r�#�� � #�� � # =�� � # =�� #�� �� DJ�9*T� � O 6 :�C(& �_� & �� �H� e O 6 R\S�� �k� r>Q3C\j"7� 6 (�� �# ¥& �-,�8�� 6 (Vr! -e�, 8�� � �576 :sN�I%jE: � � � �(�b , 6 QMS�Q�KL:�CE: ^ QiO�DJCEK�;<Q3O ^ DY�<:�Z[RvQiG9O�I�� r e e e e r r e e r e e

r e r r e e r r e e e re r r e r e e r r e e e

��.)OPh ^ I%j�R\N�:�S�Q � :�DJK 6 OPj�DFSVO ^ DJWEREO�DFIMC�I3�7r�#�� � #�� � # =�� � # =�� #�� �� DJ�T*�� t O 6 :�C � � & � e�O 6 R\SY& � r QiC\j ³� 6 (�� �  & r,�8H� 6 ( e� �rk,�8H� e¢�576 :sN�I%jE: ����� 3(�b , 6 QMS�Q KL:�C\: ^ Q3O�DYC\K ;yQ3O ^ D²�y:�Z�R\Q3GTO�I�� r e e e e r r e e r e e

r e r r e e r r e e e rr e r r r r e r r e e e

��.)OPh ^ I%j�R\N�:�S�Q � :�DJK 6 OPj�DFSVO ^ DJWEREO�DFIMC�I3�7r�#�� � # =�� � # =�� � # =�� �� DJ�j*�� rLrPO 6 :�C���� �+� & � � � �=� eHO 6 R\S=&�� �=� r�Q3CEj �¯6 (���� ��  &�� � ,�8T� 6 ( e� �r3,�8��e!� 576 :@N�I�j�:� ��� � �t(�b , 6 QMS�Q KL:�C\: ^ Q3O�DJC\K ;<Q3O ^ DY�<:�Z[RvQ3GTO�I�� r e e e e r r e e r e e

r e r r e e r r e e e re r e e e r r r e e r e

��.)OPh ^ I%j�R\N�:�S�Q � :�DJK 6 OPj�DFSVO ^ DJWEREO�DFIMC�I3�7r�#�� � # =�� � # =�� � # =�� �

V O�O 6 QiO h+IMDJC�O��vO 6 :shvQ ^ O�DJO�DFIMC-N�QiC�WX:sWEREDYGFj�� ^ IM; O 6 : � :�DFK 6 OHj�DFS�O ^ DYWEREO�DJIMC\SPQ3CEjpDFS�:�Z[RvQiGO�IE�

� � � g m� � -]� �ru=�h�) g r! �n o �rke�h�) g = � h ) g t� �rLr�h�"��IMO�:HO 6 Q3ObO 6 :@N�I�j�:dIM��O 6 DFSb: ��Q3;�h�GF: 6 QMSPQlC\I3CpO ^ DJ��DFQ3G+h+: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC�K ^ I3REh9��DYC¢Q3jEj�DJO�DFIMCO�I�O 6 :�DFjE:�C�O�DJO�UM�3DYO�N�IMC�O�Q3DYC\S�O 6 :7h+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC/(�r�n�,t(#o@rke�, �3h ^ I�j�R\N�O�I3�EO � IHO ^ Q3CES�h+ILS�DYO�DFI3C\S��576 :bSVREhEh+I ^ O�S�hEGYDJO�O�DJC\K�Q3GFKMI ^ DYO 6 ; h ^ I�j�R\N�:�S�O 6 :�I ^ WEDYO�S�I3� O 6 :bQ3R�O�IM;�I ^ h 6 DFSV; K ^ IMREh'�MO 6 QiODJS1]yS�DYC\KMGJ:�O�I3C\S DYC QMjEj�DYO�DJIMC¢O�I g r! �n� �o �rkeBh>DJC�rLr ^ :���C\:�;�:�C�O�SsQi;<IMCEK �b6 DFN 6 I3CEGJU � Q ^ ::r_X:�N�O�DY�L:3�

´�µDma´�¶

Page 34: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! m�r

y¡}|9~/¡ � ¡�~ {~z � � :�O �W+:dQ S�REWES�:�O�IM�0����� � :�O � ��jE:�C\IMO�:HO 6 :H;<Q3O ^ DY��IMWEO�Q3DJC\:�jyW�U ^ :�hEG�Q3N�DJCEKDJC � O 6 :�N�IMGYRE; C\SbDJC\jE: ��:�j¢W�U ��W�U Z�: ^ I%:�S�� O 6 DFSPh ^ I%j�R\N�:�S�Q KL:�C\: ^ Q3O�DYC\K�;<Q3O ^ DY�yIM�+b"�L� � :�O � SN�I3C\S�DJjE: ^ O 6 :s;<Q3O ^ DY�

d �� � ��

��� � � � � u � � ��� 576 : ^ I � S7IM� d\KL:�CE: ^ QiO�: O 6 :�SVhvQMN�:Pb"� #7b�Q¢QiC\j'��DY� ªd�jE:�CEIMO�:�S7DJO�S�j�DFQMKLIMC\Q3GvS�O�Q3C\j\Q ^ j<� I ^ ;¢�O 6 :�SVhvQMN�:�KL:�CE: ^ QiO�:�j�W%UdO 6 :�N�IMGYRE;�CES�IM����� / �d3DJSTO 6 R\S�:�Z�R\Q3G�O�I(� � (<b"� #Ab�Q>,KQ(� (<b"��,KQ-%�b��Q3C\j�� ^ I3; � : 6 Q��M: ���Y� � (�b"�3,��

576 :�;<Q3O ^ DFN�:�S QiC\j d\j�Db_+: ^ IMC-Q�SV;yQ3GYGvC%R�;lWX: ^ IM�9N�IMGJR�;�C\S��%O 6 DFS � DJGYG+K ^ :�QiO�GJU�SVDJ; hEGJDY��UO 6 : N�IM; hEREO�QiO�DFI3C�I3��Q!j�DFQMKLIMCvQiG�S�O�Q3C\j\Q ^ j�� I ^ ; IM� d DJ�7Q!j�D�QMKMIMCvQ3G�SVO�Q3CEj\Q ^ j � I ^ ; IM� DJS&�C\I � C9�

� :�O'( ( &c,+� csA�( ���� , � � � / d9QiC\j (�ªd¦ &�d�,�� csA)(� # & �) &c,�� [ U�jE:��ECEDYO�DFI3CIM� O 6 :Pj�DFQMKLIMC\Q3GEK[QiR\S�SVD�Q3C :�GYDJ; DJCvQiO�DFI3C9� � : 6 Q��L: � & QiC\j & � � (� #�& � ,T� & d � � d � �b6 DFN 6DJ; hEGYDF:�S O 6 Q3O & d d � d Q3C\j�O 6 R\S� d DJS�Q-j�D�Q3KLIMCvQ3G�S�O�QiC\j\Q ^ j�� I ^ ; I3� d � ��IMO�:�O 6 Q3OsO 6 DJSjEI%:�S�CEIMO�DY;�hEGYDF:�S�O 6 Q3Ol( d & d ,k� csA)( d ����B,��vWEREO�� I ^ I3R ^ hER ^ h+ILS�:3�9Q3C�U¢j�D�QMKLI3CvQ3G/S�O�Q3C\j\Q ^ j� I ^ ; IM� d DFSbKLI%I�j�:�C\IMR\K 6 �V C DY;�h+I ^ O�Q3C�O<N�IM; hEREO�QiO�DFI3CvQ3G QMj��3Q3C�O�Q3KL:¢DFS�IMWEO�Q3DJC\:�j DJ� � :N�IM;�h�REO�:csA�(� # & �( &c,DJCES�O�:�QMj IM�>csA)( d ����B,�� 576 :;yQiO ^ D²� & � IMC�GJU 6 QMS³21��2�C\IMC�� Z�: ^ I N�IMGYRE; C\S�� Q3C\j O 6 R\S�O 6 :;<Q3O ^ DY� # & � j�Db_+: ^ S�� ^ IM; O 6 :!DFjE:�C%O�DJO�U�IMC QiO ;<ILSVO 21� 2 # � N�IMGJR�;�C\S�� .)C h ^ QMN�O�DFN�:yO 6 DJS^ :�j�R\N�:�S�O 6 :>N�ILS�O�IM��O 6 :�:�GJDJ; DJC\Q3O�DJIMCyO�I (�2 � 2 # � ,�� ( � , ( DJC\N�GJR\j�DYC\K�O 6 :@h ^ I%j�R\N�O & � ,�DJC\SVO�:�QMjIM���/( � � , �b6 : ^ : � DFS�O 6 :sj�DJ;�:�CES�DFI3C�IM��O 6 : 6 REGJG#�

V S Q3W+Iu�L:M� � : � DYGJG�j�:�C\IMO�: ^ :�SVhX:�N�O�DJ�L:�GJU�W�U &9d- Q3C\j ªd- O 6 : * �)O 6 ^ I � IM� &�d�QiC\j �dF����:jE:�C\IMO�: W�U�B�d9O 6 : ;<Q3O ^ DY� �b6 ILS�: ^ I � SsQ ^ : :�Z�R\Q3G�O�IyO�I�O 6 :lC\IMC�� Z�: ^ I�N�I3GJRE; C\SHIM�=��� / �dF�'DJODFS�QyKL:�CE: ^ QiO�DJCEK�;<Q3O ^ DY�pIM��O 6 :lS�hvQ3N�:zb"� #�b�Q�� ��IMO�:�O 6 Q3O B�d'DJS�C\IMOHQ<KL:�CE: ^ QiO�DJCEK<;yQiO ^ D²�-IM�� (�b"��,���WER�OPS�R\N 6 Ql;yQ3O ^ D²��DJS�:�Q3S�DJGYU<I3WEO�Q3DYC\:�j!W�UyhER�O�O�DYC\KlO�I�Z�: ^ I�DYC B�dvO 6 :dN�IMGJR�;�C\S�DJC\jE: ��:�jW�U=���

� .)��* ' S�REh�hD( � (�b"��, , O 6 :�C � : 6 Q��M: O�I!N�IM; hEREO�: � (�b"�U,K( - �b6 DFN 6 N�Q3C W+:�IMWEO�QiDJC\:�j�� ^ IM;B�dJ�

� .)�+*/5'�SVREhEhD( � (�b"�U, ,PO 6 :�C9�XQMS�� I ^ O 6 :��VC\I ^ ;yQ3G �N�QMS�:3� � : � DJGYG�I3WEO�Q3DYC(& DJC)b"� Q3C\j �-DYCb�Q¢S�REN 6 O 6 Q3O�& / �z� �d- � � v -yx � .)ObN�QiCyWX:�:�QMSVDJGJU h ^ Iu�L:�j�O 6 Q3O �3'¢b�Q( � O (�b"�U,KQ�� 576 R\S� :sKL:�O$¢� 6 (���-� ���-�# r3,�87Q3C\j��!��� - (�b ,+� � (�b"�3, � 6��r8��

T\I ^ b Q� � � :�_ R\S�O 6 Qu�M:>O�I<:���N 6 Q3C\KM:lO 6 : ^ IMGJ:�S�I3� � QiC\j � � O 6 :lN�IM; hEREO�QiO�DFI3C � DYGJGTWX:>:���QMN�O�GJUO 6 :@S�Q3;�: � DJO 6 O 6 :s;<Q3O ^ DY�

d d �� ��'� �

�b6 : ^ : �'��DFSbI3WEO�Q3DYC\:�j!� ^ IM; � W�U ^ :�h�G�QMN�DJC\K W�UaZ�: ^ I%:�SPO 6 :@N�I3GJRE; C\S�DJCEjE:���:�j�W�U���� 576 :sN�ILSVOQ3CvQiGJU%S�DJS�DFS�DFj�:�C�O�DJN�Q3G'O�I O 6 :sIMC\:d� I ^ O 6 :d� ^ SVO�S�O�:�h9�

mFmoncprqtsrq+u

Page 35: The Support Splitting Algorithm

m[= � ���-������� ���r��� �� �r

�kGRF � [ ��PM"�.OJW $��¨V�O $�� �c^/OJ` � �.O �PM"�«OJ[�W576 :�N�IMS�OsDJC� I ^ N�IM; hEREO�DYC\KyO 6 : � :�DJK 6 Osj�DFSVO ^ DJWEREO�DFIMC�IM� � � Q ^ UQyGYDJC\:�Q ^ N�I�jE:�IM��GF:�C\KMO 6 � QiC\jj�DY;<:�C\S�DJIMC � DFSsh ^ IMh+I ^ O�DFI3CvQ3G�O�I ��� �<I3hX: ^ Q3O�DFIMC\SdDYC¨�j���aT\I ^s^ Q3CEjEIM; DJCES�O�QiC\N�:�S���O 6 :<Q��M: ^ Q3KL:C�RE;lW+: ^ IM��IMh+: ^ Q3O�DJIMC\S�DFS�h ^ IMh+I ^ O�DFIMCvQiG/O�I � � ����� � � � � � ��� ( � ,N��= � � (�r3,N��= � ( S�:�:P(#=f,�DYC, � �²r3, � .)C h ^ QMN�O�DFN�:M�X� I ^�^ Q3C\j�IM; DYC\S�O�Q3C\N�:�S��'O 6 : N�IMS�OdIM��O 6 : � :�DFK 6 Odj�DFS�O ^ DYWEREO�DJIMC�N�IM; hEREO�QiO�DFI3CDFS�CE:�KMGYDFKMDYWEGF:3�

�kG � � [ ��PM"�«S �«OJ[�W �.O � V576 : �b6 IMGF:�h ^ I%N�:�j�R ^ : 6 QMS@WX:�:�C�DY;�hEGJ:�;�:�C�O�:�j�DYC�G�QiC\KMRvQMKM:<` � I ^ O 6 :�WEDYCvQ ^ U N�QMS�:3�p��: ^ Q3CO 6 :�h ^ ILK ^ Q3; IMCprkefecefe�e ^ Q3C\jEI3; DJC\SVO�Q3CEN�:PIM�XW�DJCvQ ^ U N�I%jE:�S�I3�XGF:�C\KMO 6 rke�efesQ3C\j j�DJ;�:�C\SVDFIMC � e�eQ3C\j�O 6 :!Q��L: ^ QMKM: ^ RECEC�DJC\K¢O�DJ;�: � I ^>^ :�N�Iu�L: ^ DYC\K IMC\:<h+: ^ ;lREO�QiO�DFI3C � QMS�QpGJDYO�O�GF: GF:�S�S>O 6 Q3C 6 Q3GY�Q!S�:�N�IMC\j�IMC�Q�cde�` V GJh 6 Q ] � � efe�� 576 :�Q��M: ^ Q3KL: C%R�;lWX: ^ IM� ^ :���C\:�;�:�C�O�S � QMS@n�" � � ^ QiC\KMDJCEK� ^ I3; m O�I�r � �

� � �%$���� ���� �

.)O¢DJSph+ILS�SVDJWEGJ:�O�I ^ :�N�Iu�M: ^ DJC �Vh ^ QMN�O�DFN�QiG hXIMGYU�C\IM; D�Q3GdO�DJ;�: O 6 :�h+: ^ ;lREO�QiO�DFI3C W+:�O � :�:�C O � Ih+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC���:�Z[REDY�3Q3GF:�C%O�N�I�jE:�S �b6 :�C!O 6 :HN�IMC\S�DJjE: ^ :�j!N�I�jE:�S 6 Q��L:sQ@O ^ DY��D�Q3Gvh+: ^ ;>REO�Q3O�DFIMC<K ^ I3REhQ3C\jpQ 6 REGJG9I3��SV;yQ3GYG9S�DbZ�:3� V C�U ^ Q3CEjEIM; DYC\S�O�Q3C\N�: � DYGJGX�M: ^ DJ��U!SVR\N 6 QMS�S�RE; hEO�DFIMC\S��

T\I ^ N�I%jE:�S9O 6 Q3O 6 Q��L:�Q�C\IMCsO ^ DJ��D�Q3G3hX: ^ ;lR�O�Q3O�DFIMCsK ^ IMREh9�~O 6 :�SVREhEh+I ^ O/SVhEGJDYO�O�DYC\KbQ3GJKLI ^ DJO 6 ; � DYGJGh ^ I~��DJjE:dO 6 :sI ^ WEDJO�S�I3��O 6 :dhXILSVDJO�DFIMC\S�R�C\jE: ^ QMN�O�DJIMC-IM��O 6 :dhX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC�K ^ IMREh9� [ UyhER�C\N�O�R ^ DYC\KO 6 :@N�I�j�:�SPDJCpIMC\:sI ^ ;<I ^ :Hh+ILS�DYO�DFI3C\S��Ej�:�h+:�C\j�DYC\K IMCpO 6 :dO ^ Q3C\S�DYO�DY�%DYO�UL��O 6 DFSb;<Q�Uyh ^ Iu��DFj�:�Q O�I%IMGO�IpN�IM; hEREO�: O 6 :�hX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC�K ^ IMR�h�W�U R\S�DYC\KpO 6 :�O�:�N 6 CEDFZ[R\:�S>DJC�O ^ I�j�R\N�:�j�W�U � :�IMC 0 � :�I�]L=�2#�g :�S�:�Q ^ N 6 Q ^ :dDYC!h ^ ILK ^ :�S�S�DYC�O 6 DJSbj�D ^ :�N�O�DFIMC'�

.)C�W+IMO 6 N�Q3S�:�S�� ^ :�N�Iu�M: ^ DYC\KpO 6 : hX: ^ ;lR�O�Q3O�DFIMC�I ^ O 6 :�I ^ WEDJO�S�� � :�j�DJj�CEIMOs;yQ3C\QMKL:lO�I�h ^ I~�M:Q3C�U�O 6 DYC\K h ^ :�N�DFS�:�IMC�O 6 :�N�IM; hEGJ:��%DJO�UM�~;<Q3DYCEGJU WX:�N�Q3R\S�:�O 6 :�C�RE;lW+: ^ IM� ^ :���C\:�;�:�C�O�CE:�:�j�:�jlW+:�� I ^ :� :lIMWEO�Q3DJCpO 6 :>;�ILSVO�j�DJS�N ^ DJ; DJC\Q3C�O SVDFKMC\Q3O�R ^ :�DJS j�D � N�REGYO O�I<WXI3REC\j'� .)C� QMN�O�� � : 6 Q��L:lCEI � Q�UM�Q3hvQ ^ O�� ^ IM; 6 :�R ^ DJS�O�DFN ^ REGF:�S���O�I�jE:�O�: ^ ; DJCE: � � �� �� r� DJ�TQ@KMDJ�M:�C ^ :��EC\:�;<:�C�O � DJGYG\WX: :�� N�DJ:�C�O��%O 6 QiODFS�DJ�9DYO � DYGJG h ^ I%j�R\N�:dQ>O 6 DYCEC\: ^ hvQ ^ O�DYO�DFI3CyIM�9O 6 :HS�R�hEhXI ^ O���Q3C\jyO 6 : ^ :HDFS�QiC!:��%h+IMC\:�C�O�D�Q3G'C�RE;>WX: ^IM�/hXIMS�S�DYWEGF: ^ :��ECE:�;�:�C�O�S�"$"$"

.);�h�GF:�;�:�C�O�Q3O�DJIMC h ^ Iu�L:�j O�I�WX:p�L: ^ U :�� N�DF:�C�OyDYC O 6 :¢WEDJC\Q ^ U N�Q3S�:M��:�Q3N 6 O�DJ;�:-O 6 : 6 REGJG � Sj�DY;<:�C\S�DJIMC � QMS�S�;<Q3GJGP:�C\IMR\K 6 � 576 :¢Q3GFKLI ^ DJO 6 ; DJS�S�O�DYGJG�R�C\:�� N�DJ:�C�O<DY��O 6 : 6 REGYG�j�DJ;�:�C\SVDFIMC DJSG�Q ^ KL:3��W�REO7� ^ IM;�O 6 : ^ :�j�R\N�O�DFI3C!KMDJ�M:�C�DJC 0 ]�g tLo�2 IM�'O 6 :�5�68789%9�:<;>=@?BADC�9�EF5�9%G�HI68JICK9�L O�I�O 6 :MNH�ADG�O =RQ36<L�6<H>G�O>=RQ�L G�HI68JICK9�L��EO 6 :s: ��DJS�O�:�C\N�:�IM��j�D ��N�REGJObDYC\S�O�Q3C\N�:�S 6 QMj�O�I W+:@: �%hX:�N�O�:�j'�

w!� � ~/¦%¥ � ¡ § � � ¡ ~ { � 576 :PQ3REO 6 I ^ DFS��L: ^ U K ^ Q3O�:���REG�O�Ide�j��^Q3Q3L1;FQb� I ^�6 DJS�:�Q ^ GJU>Q3C\j N�IMC\S�O�Q3C�ODJC�O�: ^ :�S�OsDJC O 6 DFS � I ^ & �TDJC hvQ ^ O�DJN�REGFQ ^ � I ^ SVR\KLKL:�S�O�DYC\K�O 6 : R\S�:�IM��O 6 : 6 REGYG�QMSsQ3C�DJC��3Q ^ DFQ3C�O�� W :Q3GJS�I � DJS 6 :�S�O�Id:��%h ^ :�S�S 6 DJS�O 6 Q3C4&%S�O�I V GF:���Q3CEjE: ^�� ADH>7�p� I ^�6 DJS�:�C\N�IMR ^ QMKL:�;�:�C�O�S�Q3C\jl�3Q3GJR\Q3WEGF:^ :�� : ^ :�C\N�:�SHQiC\j!O�I<`�G�Q3R\j�:��ADH>CK9-%� I ^b6 DJS�hvQ3O�DF:�C�O ^ :�QMj�DYC\K�IM�/O 6 :d� ^ S�O�j ^ Qi��O�SPIM�/O 6 DJS�hvQ3h+: ^ �

´�µDma´�¶

Page 36: The Support Splitting Algorithm

������������� ����������������������� ���� �������! mLm

� ���L�H���H�%$�� �

0 V1d tfeU2 eb� T7� V S�S�;lR\S���� ^ Q3C\j���� cl� d :�UL� V � CE:�Q3C\j�h ^ I3_V:�N�O�DJ�M:lhEG�QiC\:�S�� � ���t�r �r� � �²������� ¬!���������� �4]Lm��²run�r ' r][o��Xr�tLtfe��

0 [ : ^ tLnU2 5 � [ : ^ KL: ^ ��� �������²��� ����� ��!/�� ������r!/��� �r�ª���^��r r!���������� �����²�����¨�-�#�����7� �I� ¬���.���� ��1������� � W Q3WEDYGJDYO�Q3O�DFIMC 8Qbj�D ^ DFKL: ^ jE:�S ^ :�N 6 : ^ N 6 :�S���YPCEDJ�M: ^ SVDJO�B:�jE: � DY;<IMKL:�S����LQ3C�RvQ ^ UrutLtLn��

0 [ q-� 5 o�]U2>eb� g � [ : ^ GJ:t&3Q3; h9� g �����EqpN�e�GJDF:�N�:3�\Q3C\j W � `��%�3Q3C 5 DJGYWXI ^ KE�/a�CyO 6 :�DJC 6 : ^ :�C�O�DJC�O ^ QMN��O�Q3W�DJGJDYO�UsIM� N�: ^ O�QiDJC�N�I%j�DYC\K�h ^ IMWEGF:�;<S��-�� � � �4 ¥�����#���r��� ����� ��� � �$��� �!������ ��� �����-�� �� �= � (4m�,��vqpQuU�rut[o�]��

0 � :�I�][=�2 ��� f � � :�IMC9�<`7IM; hEREO�DYC\K-Q3REO�IM;<I ^ h 6 DJS�; K ^ I3REh\S@IM�7: ^�^ I ^ �)N�I ^�^ :�N�O�DYC\K�N�I%jE:�S�� � � � �4 ¥�����#���r��� �����'��� � �$��� r!������ ��� �����-�� �� �v=�]4(4m�,�� � tLn ' � rLrL��q¢Q�U rutf][=%�

0 q�fEoLo�2 T7�����9q¢QMN�� DJGYGJD�Qi;<SPQ3CEj ������� V �Tf%GFILQ3C\:M� �����P�����-�� �� �w� � �� ¬�� �� r ���r������� � �#����� �� I ^ O 6 � W IMGYG�Q3CEj'�+r�t[oLo��

0 ]�g t[o�2 eb� ] :�O ^ QiC4& Q3C\j g � q�� g I3O 6 � .�SdN�I%jE: :�Z[REDY�3Q3GF:�C\N�: :�QMS�U�O�I!jE:�N�DFjE: � � � � �4 ¥��� ¬�#���r��� �����'��� � �$��� �!������ ��� �����-�� �� � � m4( � , �Yr�nfe[=�' r�nfe � ��f�:�h�O�:�;>WX: ^ r�tLt[o��

0 f�:�Cvt � 2 ���Xf�:�CEj ^ DJ: ^ � a�C�O 6 :>SVO ^ REN�O�R ^ :lIM��Q ^ QiC\jEIM; GJUyh+: ^ ;lREO�:�j�N�IMC\N�QiO�:�C\Q3O�:�jN�I%jE:M� .)C] �M` 6 Q ^ hEDJC9�3:�j�DYO�I ^ � �N���k �k����� �����r�B!����� ���������� � �� �3h\QMKL:�S�runLt 'vr~oMm�� V W�WvQ�UL:jE:dG�Q [ RES�S�D 8: ^ :�SVR ^ aHREN 6 :M� T ^ Q3CEN�:M� aHN�O�IMW+: ^ rutMt � �4. � g . V �

0 f�:�CvtLoMQU2 ���7f�:�CEj ^ DJ: ^ � T�DJC\j�DJC\K O 6 :phX: ^ ;lREO�Q3O�DJIMC W+:�O � :�:�C :�Z[REDJ�3Q3GJ:�C�O<W�DJCvQ ^ U N�I%jE:�S�� .)C�� � � � ���$��r -�r���-� � � � � ��� ��� �4Y�GY;¢�EAs: ^ ;<Q3C�UL�!�3R�C\:�rutLt[o��

0 f�:�CvtLoiW42 ���+f�:�C\j ^ DJ: ^ ��aHCpO 6 :@j�DY;<:�C\S�DJIMC¢I3��O 6 : 6 REGJG#� � � � � "4���� ����� ��� � ���t�r -�r� ���²������� ¬!���������� �Xrke4()=�,�� =�][=�'�=3tLm���q¢Q�U rutLt[o��

mFmoncprqtsrq+u

Page 37: The Support Splitting Algorithm

Unit e de recherche INRIA Lorraine, Technopole de Nancy-Brabois, Campus scientifique,615 rue du Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LES NANCY

Unit e de recherche INRIA Rennes, Irisa, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES CedexUnit e de recherche INRIA Rhone-Alpes, 655, avenue de l’Europe, 38330 MONTBONNOT ST MARTIN

Unit e de recherche INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY CedexUnit e de recherche INRIA Sophia-Antipolis, 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA-ANTIPOLIS Cedex

EditeurINRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)��������������� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399