the use of linear programming as search method … · admite-se que o potencial na parte metálica...

THE USE OF LINEAR PROGRAMMING AS SEARCH METHOD OFIMAGES IN ELECTRICAL IMPEDANCE TOMOGRAPHY

Miguel Fernando Montoya VallejoUniversity of São Paulo, Escola Politécnica da USP, Department of Mechanical Engineering, Av. Prof. Luciano Gualberto, no. 2231 -CEP - 05508 - 900 - São Paulo - [email protected]

Raul Gonzalez LimaUniversity of São Paulo, Escola Politécnica da USP, Department of Mechanical Engineering, Av. Prof. Luciano Gualberto, no. 2231 -CEP - 05508 - 900 - São Paulo - [email protected]

Abstract. Electrical Impedance Tomography allows to monitor the lungs under forced ventilation and it is a non invasiveprocedure. It uses electrical potentials of electrodes attached to the thorax, when electrical current is imposed on someelectrodes. The measurements allow estimating the electrical resistivity distribution inside the thorax, which, in turn, canbe related to the lungs state. The present work evaluates the use of Linear Programming (LP) as a method to searchimages in Electric Impedance Tomography. Linear Programming is used to solve an ill-conditioned linear system in theSensitivity Matrix algorithm, imposing restrictions in the solution space. These restrictions reduce the solution spaceinto a closed region, with clinical or physical meaning. The tests were performed using numerically simulated dataand experimental data. The images using Linear Programming are compared to images obtained using Lower UpperTriangular Decomposition (LU Decomposition). The use of LP and restrictions of the solution space generated imageswith better spacial solution, better resistivity resolution and more uniform the sensitivity in the domain center whencompared to the use of the LU Decomposition

Keywords: Electrical Impedance Tomography, Linear Programming, Linear System

1. Introdução

A necessidade de visualizar o interior de domínios cujo acesso a dispositivos como micro-câmeras é dificil, inviável,ou mesmo impossível, levou ao desenvolvimento de métodos de estimação de imagens baseados nas variações de pro-priedades elétricas do domínio. Tais métodos são atualmente utilizados em uma gama de situações que envolvem desde omonitoramento de processos industriais até o auxílio em diagnósticos médicos. Entre os diferentes métodos de estimaçãoencontra-se a Tomografia por Impedância Elétrica (TIE).

A TIE pode monitorar de forma contínua e não invasiva os pulmões durante a ventilação artificial, é uma técnica onde odomínio é discretizado usando uma malha de elementos finitos, eletrodos são alocados na fronteira do domínio, correntesconhecidas são injetadas e potenciais elétricos são medidos através destes eletrodos. Com a recoleção dos potenciaiselétricos é possível estimar a distribuição de resistividade ou condutividade no interior do domínio. Em diagnósticomédico, aplicações de TIE estão sendo desenvolvidas em diferentes áreas, tais como monitoramento do fluxo e volume desangue na região cerebral [Tidswell et al. 2001], monitoramento do cérebro dos recém nascidos querendo detetar possiveishemorragias [Murphy et al. 1987] e deteção da presença de apnéia e edema nos pulmões [Woo et al. 1992].

Algumas aplicações industriais da TIE são no monitoramento da distribuição de sólidos dentro de um hidrociclone[Williams et al. 1997], imagens de fluxos industriais, alterações de fluxo volumétrico em óleo e gás [Fehmers 2003], me-didas de distribuição de material em fluxos de duas fases [George et al. 2000], obtenção de imagens do magma vulcânico[Myer, Constable e Key], deteção de minas terrestres e minas anti-tanques [Church et al.] entre outros.

Em TIE, é comum falar do Problema Direito e Problema Inverso. No problema direto são definidas as propriedadeseletromagnéticas do domínio, correntes de excitação, a estrutura do modelo e o objetivo é calcular os potenciais elétricosnos eletrodos. Para calcular o potencial elétrico nos eletrodos é preciso resolver a "Eq (1)"

Y V = C (1)

Onde Y(ρ) ∈ <m×m é a matriz de rigidez global em função da resistividade ρ ∈ <n e V(ρ) ∈ <m é uma matriz devoltagens correspondentes a cada padrão de corrente aplicado. Define-se o termo padrão de corrente como a formaem que a corrente é injetada, igualmente define-se o termo padrão de voltagem como a forma em que as voltagens sãomedidas. Na literatura, diferentes trabalhos apresentam diferentes formas de injetar corrente e ler potenciais, no presentetrabalho o método dos padrões pula um eletrodo foi adotado.

Para resolver a "Eq (1)" é necessário eliminar a singularidade da matriz de rigidez, no artigo Comparing reconstruc-tion algorithms for electrical impedance tomography [Yorkey, Webster e Tompkins 1987] descreve o procedimento paraeliminar a singularidade da matriz de rigidez.

1

No problema inverso são conhecidos os potenciais nos eletrodos, correntes de excitação, a estrutura do modelo eprocura-se conhecer a distribuição das propriedades eletromagnéticas. Para a solução do problema inverso, existe naliteratura os métodos absolutos e os métodos que geram imagens de variação das propriedades eletricas.

Para os métodos absolutos, as imagens obtidas são em valores absolutos de resistividade, como exemplo cita-se ométodo por otimização topológica [Lima, Silva e Lima 2003], Método de Newton-Raphson [Aruca 2002] e variantes doFiltro de Kalman [Trigo 2001]. Nos métodos que geram imagens de variação das propriedades elétricas, as imagensobtidas são a diferença entre dois valores de resistividades absolutas, ou seja, equivale a um valor absoluto em um sistemade referência cujo zero tenha sido transladado para um ponto qualquer escolhido como zero, como exemplo cita-se ométodo Matriz de Sensibilidade o qual é implementado no presente trabalho.

Variações da distribuição de resistividade são, o resultado da solução de um sistema linear do tipo Ax = b. O objetivodo presente trabalho é avaliar o desempenho da Programação Linear (PL) na solução do sistema linear, do ponto de vistade propagação de erro numérico e da facilidade de restringir o espaço solução ao espaço de interesse, que é evidente naPL.

Este artigo é organizado assim, na seção II é apresentada a formulação matemática do domínio como também omodelamento do domínio e dos eletrodos usando o Método dos Elementos Finitos (MEF), na seção III é descrito ométodo Matriz de Sensibilidade o qual é implementado para resolver o problema inverso, o uso da Programação Linear aTIE e a implementação desta técnica na Matriz de Sensibilidade é mostrado na seção IV, na seção V é explicado a formaem que foi gerado os dados com que foi testado PL, os resultados com os diferentes dados gerados são mostrados na seçãoVI e por ultimo na seção VII são discutidos os resultados obtidos.

2. Formulação Teórica

Dado um domínio com propriedades eletromagnéticas desconhecidas, a TIE permite estimar a distribuição de resis-tividade do domínio, dada a excitação do sistema, composta por correntes impostas no contorno do domínio e conhecidosos potenciais elétricos que também são medidos em regiões do contorno do domínio. É conhecido que diferentes tecidosdo corpo humano tem diferentes propriedades elétricas, as relações que governam as iterações entre a eletricidade e omagnetismo são resumidas nas equações de Maxwell.

As equações de Maxwell são simplificadas em uma equação diferencial parcial elíptica:

∇ • (1ρ∇V ) = 0 in Ω (2)

onde ρ é a resistividade elétrica, V é o potencial elétrico e Ω é o domínio em estudo. A "Eq (3)" é também conhecidacomo problema direto, a solução desta equação determina os potenciais elétricos que são utilizados na implementaçãodos algoritmos. A solução do problema direto pode ser determinada com o conhecimento das condições de Newmanne Dirichlet sobre a fronteira do domínio ∂Ω. Para poder aplicar as condições de Newmann e Dirichlet o domínio Ω foimodelado utilizando métodos de elementos finitos (FEM).

O domínio de interesse Ω é discretizado em uma malha de m nós e n elementos triangulares (elementos triangularesde três nós), o potencial elétrico em cada elemento é aproximado por uma função de interpolação linear que depende dosvalores de potencial elétrico nos nós. O potencial elétrico é descrito por um espaço finito dimensional e o problema deencontrar o potencial elétrico nos nós, V, é agora um problema algébrico ou problema matricial

Y V = I (3)

onde V é o vetor dos potenciais elétricos nos nós, I é o vetor das correntes elétricas nodais e K é a matriz de rigidezglobal em função da resistividade elétrica. Com os eletrodos alocados na fronteira do domínio, é necessário ter em contaa queda de potencial elétrico na região de contato eletrodo-pele. Neste trabalho é implementado o modelo de eletrodoproposto por [Hua, Webster e Tompkins 1993] que tem em conta o efeito producido pelos eletrodos. O modelo propostogera uma matriz Ye

i e um vetor Ie correspondente a cada eletrodo colocado na fronteira do domínio ∂Ω, a nova matriz eo novo vetor são acrescentados em K e i, respectivamente. A matriz Ye

i é

Yei =

ab

3tρ

1 12 0 − 3

22 1

2 −3sim 1 − 3

26

(4)

Admite-se que o potencial na parte metálica do eletrodo é igual, a espessura da interface do eletrodo t é muito menorque a largura do eletrodo a (t ¿ a).

2

Adicionando a matriz do modelo de eletrodo na matriz de rigidez global, obtem-se o seguinte modelo linear

KT VT = IT (5)

3. Matriz de Sensibilidade

Um domínio Ω que apresenta uma distribuição não-uniforme de resistividade ρ(x, y) é discretizado utilizando MEF.Sob estas hipóteses, pode-se para vj (vetor de potenciais nos nós para cada padrão de corrente), j = 1, . . . , p (p é onúmero de padrões de corrente) definir a transformação hj : (ρ, I) −→ vj .

vj(ρ) = hj(ρ) = Y(ρ)−1Ij (6)

onde Ij ∈ <m é o padrão de corrente injetado.Da "Eq. (6)", conclui-se que os vetores de voltagens nodais são funções não-lineares da distribuição de resistividade

no domínio. Tomando-se uma aproximação por série de Taylor e truncando a série a partir do termo linear em torno deuma distribuição ρ0, obtém-se

vj(ρ) ≈ vj(ρ0) +∂hj |(ρ0)

∂ρ[ρ− ρ0] =⇒ vj(ρ)− vj(ρ0)︸︷︷︸

∆V

=∂hj |(ρ0)

∂ρ︸︷︷︸Hj

[ρ− ρ0]︸︷︷︸∆ρ

(7)

Calculando a derivada parcial da transformação hj com respeito a resistividade de cada elemento por

Hj(ρ0) =∂hj |(ρ0)

∂ρ= −Y−1 ∂Y

∂ρY−1Ij (8)

Hj(ρ0) =[−Y−1 ∂Y

∂ρ1Y−1Ij − Y−1 ∂Y

∂ρ2Y−1Ij · · · − Y−1 ∂Y

∂ρnY−1Ij

], j = 1, . . . , p (9)

onde Hj ∈ <p×n é chamada matriz de sensibilidade,Para encontrar a resistividade partindo da equação "Eq (8)" é necessário definir o seguinte indice de performance

IP =12(H|ρ0∆ρ−∆Vm)T (H|ρ0∆ρ−∆Vm) + α∆ρT FT F∆ρ (10)

Onde F ∈ <n é uma Matriz filtro passa altas frequências espaciais e α é um escalar que controla o peso da matrizF. É necessario determinar a variação de resistividade que minimiza a diferença entre a voltagem medida e a voltagemcalculada, para tal objetivo é preciso derivar o indice de performance com respeito a ∆ρ e igualar a zero

∂IP

∂∆ρ= 0 =⇒ H|Tρ0

(H|ρ0∆ρ−∆Vm) + αFT F∆ρ = 0 (11)

Agrupando termos na "Eq (11)" obtem-se a expressão de interesse

(H|Tρ0H|ρ0 + αFT F)∆ρ = (H|Tρ0

∆Vm) (12)

4. Como usar Programação Linear a TIE

Uma maneira de utilizar PL em TIE é na solução de sistemas lineares do tipo [A] ~x = b aproveitando a grandevantagem de poder colocar restrições nas variáveis ~x.

O problema de identificar as distribuições de resistividade dentro do tórax, tem restrições naturais, a resistividade nãopode ser negativa nem pode ultrapassar um valor máximo característico de tecido biológicos. Estas restrições tornam oespaço solução convexo, o que simplifica a solução do problema inverso.

Para conseguir resolver o sistema linear é necessário re-escrever o problema clássico de PL. Escolhe-se um vetorarbitrário ~x0 ∈ <n e procede-se a determinar o vetor ~e ∈ <n como ~e = A~x0 − b.

O sistema de restrições original na forma A~x = b é agora mudado como apresentado na seguinte equação

A~x− b + δ~e = 0 (13)

3

O problema original agora é reformulado da seguinte forma

Minimizar δ

Sujeito aA~x− b + δ~e = 0 (14)~xmin ≤ ~x ≤ ~xmax

0 ≤ δ ≤ ε

Quando δ ≈ 0, obtém-se que o vetor solução ~x satisfaz A~x = b.Examinando a "Eq (12)", ela representa um sistema linear na forma Ax=b, então fazendo uma similitude podemos

identificar nossa matriz A e os vectores x e b

Ax = b =⇒ (H|Tρ0H|ρ0 + αFT F)︸︷︷︸

A

∆ρ︸︷︷︸x

= (H|Tρ0∆Vm)︸︷︷︸b

(15)

Aplicando o procedimento anteriormente mencionado para o método Matriz de Sensibilidade obtem-se

Minimizar δ

Sujeito a

(H|Tρ0H|ρ0 + αFT F)∆ρ− (H|Tρ0

∆Vm) + δ~e = 0 (16)

∆ρmin ≤ ∆ρ ≤ ∆ρmax

0 ≤ δ ≤ ε

Sendo

e = (H|Tρ0H|ρ0 + αFT F)∆ρa − (H|Tρ0

∆Vm)

A imposição de limites na "Eq (16)" é tendo em conta informação a priori, o valor de resistividade encontrado peloalgoritmo tem que ser positivo para o caso da cuba e do copo, então como limite inferior é imposto o valor zero e para olimite superior é imposto o valor máximo de resistividade que pode ser encontrado, para nosso caso de estudo esse valoré a resistividade do copo. Para aplicações médicas, as resistividades dentro do tórax segundo [Zhang e Patterson 2006],são valores positivos que variam desde 4Ωm para o coração (músculo) até 1 × 105Ωm para o ar presente nos pulmões.Partindo desta informação conhecida a priori, é possível impor os limites nas variáveis para obter imagens médicas.

5. Dados de simulação numérica e dados experimentais

O problema direto que gera os dados simulados consiste num domínio circular, onde a distribuição de resistividade éconhecida a priori. Para gerar os dados de voltagens simuladas pode-se considerar um domínio circular homogêneo, isto é,com distribuição de resistividade constante para obter o basal. Para obter a voltagem com objeto (perturbado), escolhe-seuma resistividade para o domínio e outra resistividade diferente para o objeto, por ultimo resolve-se o problema diretoque gera as voltagens com perturbação.

Os dados da bancada experimental são gerados injetando corrente nos eletrodos, os quais estão alocados num domíniocircular chamado cuba, dentro da cuba encontra-se uma solução salina e um copo de vidro. São recoletados dados devoltagem em diferentes posições do copo para obter imagens nestas duas posições.

6. Resultados

Para a obtenção dos dados simulados usou-se a situação em que a resistividade é constante no domínio circular, excetonum objeto que vai ser colocado em duas posições diferentes, na primeira posição o copo é posicionado a 0.11cm docentro e na segunda posição o copo é posicionado no centro da cuba. A resistividade do objeto foi 100Ωm para osdemais elementos a resistividade foi de 10Ωm. Na solução do problema inverso, utilizou-se uma estimativa inicial deresistividade de 10Ωm e 0, 02Ωm2 para os elementos e os eletrodos respectivamente. A corrente injetada foi de 2mApara cada uma das posições do copo, as malhas utilizadas para resolver o problema inverso e o problema direto sãomostradas nas "Fig.1(a)","Fig.1(b) ","Fig.2(a) " e "Fig.2(b) "

4

(a) (b)

Figure 1. Malhas de elementos finitos para resolver o problema (a) direto e (b) inverso

(a) (b)

Figure 2. Malhas de elementos finitos para resolver o problema (a) direto e (b) inverso

Para a obtenção de dados da bancada experimental ubicou-se o copo em duas posições diferentes, perto da borda e nocentro da cuba. Foi imposta uma resistividade de 0.02Ωm2 para os eletrodos e 20.0Ωm para a solução salina, a correnteinjetada foi de 2mA para cada uma das posições do copo. A malha de elementos finitos utilizada para resolver o problemainverso é mostrada na "Fig.3 "

Figure 3. Malha de elementos finitos para trabalhar com dados da bancada experimental

5

Para cada posição do copo, vai ser gerada imagem com dois diferentes valores de α, permitindo observar tanto ocomportamento de PL como de LU Decomposition quando a matriz vai-se tornando mal condicionada.

As imagens geradas com dados de simulação numérica são mostradas a continuação

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ

Matriz de Sensibilidade Normalizado

0

10

20

30

40

50

(a)

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


−5

0

5

10

15

20

25

30

(b)

Figure 4. Obtenção da variação de resistividade na borda ∆ρ[Ωm] e α = 1.0e−2 (a) com PL e (b) LU Decomposition

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


0

20

40

60

80

100

(a)

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


−5

0

5

10x 10

18

(b)

Figure 5. Obtenção da variação de resistividade na borda ∆ρ[Ωm] e α = 0 (a) com PL e (b) LU Decomposition

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


0

5

10

15

20

25

30

(a)

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


0

2

4

6

8

10

12

(b)

Figure 6. Obtenção da variação de resistividade no centro ∆ρ[Ωm] e α = 1.0e−2 (a) com PL e (b) LU Decomposition

6

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


0

20

40

60

80

100

(a)

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


−5

0

5

10

x 1018

(b)

Figure 7. Obtenção da variação de resistividade no centro ∆ρ[Ωm] e α = 0 (a) com PL e (b) LU Decomposition

Para os dados experimentais as imagens obtidas utilizando programação linear são mostradas a continuação

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


0

20

40

60

80

(a)

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


−10

0

10

20

30

40

50

(b)

Figure 8. Obtenção da variação de resistividade na borda ∆ρ[Ωm] e α = 1.0e−3 (a) com PL e (b) LU Decomposition

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1


∆ρ

0

50

100

150

200

(a)

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Problema Relativo Normalizado

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

x 1017

(b)

Figure 9. Obtenção da variação de resistividade na borda ∆ρ[Ωm] e α = 0 (a) com PL e (b) LU Decomposition

7

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


0

10

20

30

40

(a)

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


0

5

10

15

20

(b)


−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


0

50

100

150

200

(a)

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

∆ρ


−6

−4

−2

0

2

4

x 1018

(b)


7. Responsibility notice

The author(s) is (are) the only responsible for the printed material included in this paper

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