the vismath anthology (full book!)

Experience-centered Approach and Visuality In The Education of Mathematics and Physics Élményközpontúság és vizualitás a matematika- és fizikaoktatásban Doživljaji i vizualnost u centru pozornosti u nastavi fizike i matematike

Board of Editors:Javier BarralloMateja Budin

Anthony DurityFenyvesi Kristóf

Slavik JablanKlingné Takács Anna

Ljiljana RadovićRadmila Sazdanović

Stettner Eleonóra

Élményközpontúság és vizualitás a matematika- és fizikaoktatásban

Experience-centered Approach and Visuality In The Education of Mathematics and Physics

Kiadja a Kaposvári Egyetem / / Publisher: Kaposvar University

Nemzetközi Szerkesztőbizottság / / International Board of Editors:Javier Barrallo, Mateja Budin, Anthony Durity, Fenyvesi Kristóf, Slavik JablanKlingné Takács Anna, Ljiljana Radović, Radmila Sazdanović, Stettner Eleonóra

Fordítók / / Translation: Anthony Durity, Fenyvesi Kristóf, John Hiigli, Füri Tamás, Kövér György, Stettner Eleonóra

Könyvterv és technikai szerkesztés / / Book design & technical editing: SAXON Szász János

Web: www.crossborder.ke.hu

This book is published and copyrighted, © 2012, by the Kaposvár University. All rights reserved. No part of this book shall be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted by any means – electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise – without written permission from the publisher or the authors.

ISBN 978-963-9821-52-1

Készült 2012-ben a Kozo Print Kft. nyomdájábanNyomdavezető: Kovács Zoltán

A kötet megjelenését támogatták / Supported by:

Natural Sciences Know No BordersHUHR / 1001 / 2.2.1 / 0006

Bjelovar-Bilogora County

Petar Preradović

Secondary Grammar Schoolwww.elmenymuhely.hu

3

FENYVESI Kristóf – STETTNER Eleonóra: Bevezetés, avagy kalandok a tudomány és aművészet határvidékén / Uvod ili avanture na granici znanosti i umjetnosti / Introduction:Adventures On The Borderland Of Science and Art

STETTNER Eleonóra: Néhány gondolat a matematika oktatásáról Magyarországon /Nekoliko misli o podučavanju matematike u Mađarskoj / A Few Thoughts On MathematicsEducation In Hungary

FENYVESI Kristóf – SZABÓ Ildikó: Ozmózis: a matematika és a művészetek formális ésinformális oktatásának összekapcsolhatósága az ÉlményMűhely eszközeivel / Osmoza:mogućnost povezivanja formalne i neformalne edukacije matematike i umjetnostisredstvima Zabavne radionice / Osmosis: Connectionship Between the Formal and InformalEducation of Mathematics and Arts in the Experience Workshop Math-Art Movement'sApproach

Iva VATROV: A természettudományok oktatásáról Horvátországban / Studij o edukaciji upodručju prirodnih znanosti u Hrvatskoj / Science Education In Croatia

Slobodanka POLAŠEK: Tavaszi fizikai iskola / Proljetna škola fizike / Project Report Of TheSpring School of Physics in Virovitica

Jasminka VILJEVAC: A GeoGebra szerepe A természettudomány nem ismer határokatcímű projektben / GeoGebra u projektu „Prirodoslovlje ne poznaje granice“ / GeoGebraworkshops in the Natural Sciences Know No Borders project

II. VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUALMATHEMATICS AND PHYSICS

Javier BARRALLOSzaniszló BÉRCZIRobert BOSCHIstván BÖSZÖRMÉNYIMateja BUDINAmina BÜHLER-ALLENVladimir BULATOVAnne BURNSMichael BURTPeter CALVACHEJ. Scott CARTERXavier De CLIPPELEIRBob COECKEBrent COLLINSFrancesco De COMITÉJean CONSTANTDonald W. CROWEGyörgy DARVASLynnclaire DENNISMark R. DENNIS – Robert P. KINGMirjana DEVETAKOVIĆ – Ljiljana PETRUŠEVSKI – Bojan MITROVIĆDániel ERDÉLYRobert FATHAUERNat FRIEDMANMehrdad GAROUSIPaulus GERDES

TARTALOMJEGYZÉK / SADRŽAJ / TABLE OF CONTENTS

5

9

17

29

39

49

57596264667072747679 808284868991939598

100103105109112114 115

I. TUDOMÁNY HATÁROK NÉLKÜL: KAPOSVÁR – VERŐCE – BJELOVÁR / ZNANOST BEZ GRANICA: KAPOŠVAR - VIROVITICA – BJELOVAR / SCIENCE WITHOUT FRONTIERS

4

Johan GIELISGeorg GLAESERGary GREENFIELD Franz GRUBERIzidor HAFNERGeorge HARTAnna HARTKOPF – Andreas Daniel MATTJohn HIIGLIJadranka HOFMAN-JABLANSándor HORVÁTHDirk HUYLEBROUCKSlavik JABLANSándor KABAIJay KAPRAFFLouis H. KAUFFMANFerhan KIZILTEPEDmitri KOZLOVTeja KRAŠEKPatrick LABARQUEHaresh LALVANIJos LEYSMojgan LISARMarcella Giulia LORENZI – Mauro FRANCAVIGLIA – Rick DOBLEElena MARCHETTI – Luisa ROSSI COSTAKazmier MASLANKASabetta MATSUMOTOAndrás MENGYÁNKoji MIYAZAKIIstván MUZSAIMike NAYLORChris K. PALMERHenk Van PUTTEN

R. C.-Z. QUEHENBERGER – P. WEIBEL – M. BLÜMLINGER – H. STACHEL, E.v. SAMSONOW – H. RAUCH, H. KATZGRABER – C. MAGNES – N. TASIĆ – K. STUMREICH – R. FRIEMEL

Ljiljana RADOVIĆPeter RAEDSCHELDERSEncarnación REYESTony ROBBINRinus ROELOFSIrene ROUSSEAUReza SARHANGIJános Szász SAXONRadmila SAZDANOVICBogdan SOBANVera W. de SPINADELMilena STAVRIĆ – Albert WILTSCHELajos SZILASSIKoos VERHOEFF – Tom VERHOEFFEva VOHLLEBENLászló VÖRÖSGünter WALLNER

117119121123125127131135138139141143145147149151153 157160163166169170172174175177180183185189193

195

198200202204206208211213216218221223225227229231235

TARTALOMJEGYZÉK / SADRŽAJ / TABLE OF CONTENTS

5

Bevezetés, avagy kalandok a tudomány és a művészet határvidékén

Mindazok, akik szépséget és örömöt lelnek a matematikában és a fizikában, tapasztalatból tudják, hogya tudományos ismeretek az iskolai példák és a mérnöki problémák megoldásán kívül, sok minden másrais alkalmasak. A matematika és a fizika titkainak a felfedezése révén, a praktikus ismereteken túl,játékokkal és olyan csodálatos eszközökkel is megajándékozhatjuk egymást, amelyekkel korlátainkatmeghaladva alkotni, teremteni is tudunk. Segítségükkel hidakat építhetünk a művészet, a tudomány ésaz oktatás között, elősegíthetjük a kultúrák közötti párbeszédet, interdiszciplináris és multikulturálisközösségeket hozhatunk létre.

A matematika és a fizika sokrétű lehetőségeinek a felderítését soha nem lehet elég fiatalon elkezdeni.Ehhez mindenekelőtt kellő érzékenységgel megáldott kreatív tanárokra, érdeklődő és támogatószülőkre és az ismeretterjesztés iránt elkötelezett szakemberekre van szükség. Olyan emberekre, akiknem csak az érdeklődés felkeltéséhez, hanem annak fenntartásához is értenek. Sok irányban nyitottak,szeretnek tanulni és készen állnak arra is, hogy ismereteiket, felfedezéseiket és élményeiket megosszákegymással és tanítványaikkal: az eljövendő generációk tagjaival.

Könyvünkben az összefoglalását adjuk annak a magyar és horvát diákoknak szóló, élményközpontúmegközelítésen és vizuális művészeti ismereteken alapuló nemzetközi matematikai és fizikai oktatásiprogramnak, amelyet 2011-2012 során valósítottunk meg magyarországi és horvátországi helyszíneken.A program kidolgozását és lebonyolítását a Magyarország-Horvátország IPA Határon ÁtnyúlóEgyüttműködési Program tette lehetővé, megvalósításában a Kaposvári Egyetem munkatársai ésnemzetközi partnerei, a viroviticai Petar Preradović Gimnázium tanárai és Bjelovar-Bilogora megyeintézményeinek dolgozói, valamint az ÉlményMűhely Nemzetközi Matematikai-Művészeti Mozgalomszakemberei működtek együtt. A projektpartnereken kívül a kaposvári Táncsics Mihály Gimnázium és agrubisno poljei Bartola Kašic gimnázium diákjai és tanárai vettek részt az országhatárokon, valaminttudományos és művészeti területeken átnyúló rendezvényekben.

Kötetünk első fejezetében körképet adunk a matematika és a természettudományok oktatásánakmagyarországi és horvátországi helyzetéről. Ezt követően a programunk keretében megvalósítottÉlményMűhely-rendezvényekről, műhelyekről, előadásokról, kiállításokról és a rendezvényeketmegalapozó pedagógiai szemléletről nyújtunk részletes összefoglalót.

Projektünk előkészítése, rendezvényeink megtervezése és lebonyolítása során, valamint az azokrólszóló információk terjesztése, híradások és a projektünkben résztvevő munkatársaink konferencia-szereplései, tudományos és ismeretterjesztő közleményei révén, az élményközpontú matematika- ésfizikaoktatás, valamint a vizuális matematika és vizuális művészetek oktatási alkalmazásának számosnemzetközi szaktekintélyével nyílt alkalmunk kapcsolatba lépni. Kötetünk nemzetköziszerkesztőbizottságának tagjait – Slavik Jablan-t (Matematikai Intézet, Belgrád), Ljiljana Radović-ot (Niš-i Egyetem), Radmila Sazdanović-ot (University of Pennsylvania), Javier Barrallo-t (The University ofthe Basque Country), Mateja Budin-t (Mathema Institute for popularisation of mathematics) és AnthonyDurity-t (Jyväskyläi Egyetem) – is a projekt sikeres megvalósítását kivételes aktivitással támogatószakemberek közül választottuk ki.

A könyv második részében a velük közösen összegyűjtött tudományos, oktatási és művészetianyagból adunk színes válogatást. Bízunk abban, hogy könyvünknek ez a kivételesen gazdag és sokrétűfejezete – benne a világ minden táján tevékenykedő kollégák legjobb gyakorlataival – projektünkfenntarthatóságát erősíti. Az a szándékunk, hogy kötetünket minél több tanárhoz, szakemberhez ésszülőhöz eljuttassuk, s a kiadvány így értékes ötletekkel, ismeretekkel szolgáljon további önállóprogramok kidolgozásához és kutatások tervezéséhez.

Kiadványunkat három nyelven: magyarul, horvátul és angolul ajánljuk olvasóink figyelmébe.

Fenyvesi Kristóf – Stettner Eleonóra

7

Introduction: Adventures On The Borderland Of Science and Art

Everyone who finds beauty and joy in mathematics and physics is well aware that knowledge in science canbe useful in far more ways than solving problems in school. By revealing the secrets of mathematics andphysics, we can invent interesting games or discover amazing tools, which can be useful in engineering,medicine or even in the creation of wonderful artworks. When we build bridges between science, art andeducation we also promote intercultural dialogue and create interdisciplinary communities.

It is never too early to start the exploration of the richness of mathematics and physics. This requiresensitive teachers, interested and supportive parents, and professionals who are themselves devoted to thedissemination of knowledge and information. We need people who not only know how to discover theinterests of the student but also know how to maintain and develop their interest. We need teachers who areopenminded, love to learn and who are ready to share their knowledge, discoveries and experiences withtheir colleagues and their pupils: the members of future generations.

In this book, we provide a summary of our international project for Hungarian and Croatian high schoolstudents in mathematics and physics, based on experience-centered learning methods and educationthrough visual arts. This program is made possible by the generous support of the IPA Cross-border Co-operation Programme. The events were realized in 2011-2012 in Hungarian and Croatian venues with theleadership of the Kaposvár University and with the cooperation of the Petar Preradović High School(Virovitica, Croatia), Bjelovar-Bilogora County (Croatia), and the members of the Experience Workshop Math-Art Movement. In addition to the above mentioned project-partners, the Táncsics Mihály High School(Kaposvár, Hungary) and the Bartola Kašic High School (Grubisno Polje, Croatia), also participated in theseground-breaking events connecting countries and scientific and artistic fields.

In the first chapter of our book we provide a comprehensive overview of education in mathematics andphysics in Hungary and Croatia. Then, we provide a detailed report on the workshops, presentations andexhibitions which we organized within the framework of our program. The reader can find detaileddescriptions of some of the experience-centered pedagogical methods and practices upon which we basethese activities.

During the preparation, planning and execution of our activities in this project we contacted a number ofinternationally recognized representatives of experience-centered education in mathematics and physics,and recognized artists who have exceptional experience in both theory and practice as it relates to theeducational role of visual arts, particularly in the special field of mathematics known as visual mathematics.We established an International Board of Editors consisting of Slavik Jablan (Mathematical Institute, Serbia),Ljiljana Radović (University of Niš, Serbia), Radmila Sazdanović (University of Pennsylvania, USA), JavierBarrallo (The University of the Basque Country, Spain), Mateja Budin (Mathema Institute for popularisationof mathematics, Slovenia) and Anthony Durity (University of Jyväskylä, Finland). With the essentialassistance of this board we established a representative and global collection in the field, which we show inthe second part of this book.

We trust that this colorful chapter of our book, containing the best of both visual science and scienceinspired art from all over the world, will assist us in further defining our goals and developing a sustainablemission.

It is our intention to share this book with as many educators, teachers, and parents as possible. Needless tosay we hope that it will be a valuable source of further research and independent art and educationprograms.

We provide our book in three languages: Hungarian, Croatian and English to our readers.

Kristóf Fenyvesi – Eleonóra Stettner

9

Véleményem szerint a magyar matematikaoktatásbannapjainkban élesen kettéválik az „elitképzés” és a„tömegképzés”. Kiváló tagozatos gimnáziumaink,tehetséggondozó szakköreink, táboraink vannak,amelyeket jól felkészült tanárok vezetnek. Ez a nemzetközi versenyeredményeinkben istükröződik. Ugyanakkor az átlagos tanulók képzése, a mindennapokban használható problémamegoldógondolkodás fejlesztése sok kívánnivalót hagy magaután. Pedig a matematikai felfedezés örömét, amatematika egész világot behálózókapcsolatrendszerét megmutatni és átélhetővé tennimindenki számára alapvető fontosságú feladat.

Sokáig azt gondoltam, hogy a magyarországimatematika oktatás a világ legjobb oktatási rendszere.Az egyik legjobb vidéki gimnázium matematikatagozatos osztályába jártam, ahova sokkal nagyobbvolt annakidején a túljelentkezés, mint az ELTEmatematika-fizika szakára, ahova később kerültem. A középiskolában és az egyetemen is kiváló tanárainkvoltak, én szorgalmasan tanultam, abban az időbennem voltak bennem kérdőjelek. Kezdő tanárként atanult hagyományok talaján álltam. Túlnyomórészttagozatos osztályokat kaptam, jó verseny és érettségieredményeket értem el velük.

Később, a matematika tagozatok zárt világábólkikerülve, oktatási tapasztalataim, a saját gyerekeimenkeresztül szerzett élmények, és a nemzetközifelmérések tapasztalatai megingattak.

Szükség van-e jó hagyományainkat megőrizve újmódszerek, látásmódok bevezetésére? A mai válaszomegyértelműen: igen. Ezért is kapcsolódtam beindulásakor azonnal a Nemzetközi ÉlményMűhelymunkájába.

A probléma pontos megfogalmazása a„Természettudományok tanítása korszerűen és vonzón”(ELTE, 2011. aug. 23-25.) című konferenciakiadványának előszavában olvasható:

„A természettudományok tanítása, ezen belül is akémia, fizika és újabban már a matematika is az egészvilágon problémákkal küzd. A diákok érdeklődéseelfordul a nehéz tantárgyaktól, a kémia és fizikatanárképzés megszűnőben van, pedig egyre nő amindennapi életünk szempontjából is fontostudásanyag. Az interdiszciplináris ismeretek helyetkövetelnek maguknak, s szinte szétfeszítik atanterveket. Hogyan szerezhetjük vissza diákjaink

Stettner Eleonóra

A few thoughts on mathematics education in Hungary

The gap between the so called 'elite' and 'mass ' education is very large in our days, in Hungary. On the one hand, there are excellenthigh schools, study circles and science-camps are available, lead by well-qualified teachers and it has several good effects on theHungarian results at international scientific student contests. But on the other hand, the education of 'average' students and thedevelopment of the everyday problem solving skills are less than satisfactory. In my opinion, the joy of learning mathematics and thesciences is our common value, which should be accessible to all. And I think that the Experience Workshop Math-Art Movement canhave a great role in the fostering and disseminating this idea.

Néhány gondolat a matematika oktatásáról Magyarországon

érdeklődését? Mi a megoldás a klasszikus tudományosismeretek és a modern témák közötti egyensúlymegtartására? Hogyan tehető közérthetővé az újfelfedezések bonyolult fogalomrendszerű elméletiháttere? Mivel lehetne meggyőzni a többséget, hogyérdemes (és a mindennapi életben is hasznos)természettudományos ismereteket tanulni? Ezek akérdések foglalkoztatják a felsőoktatásban ésközépiskolákban oktató tanárokat világszerte.”

Dolgozatom egyrészt rövid, vázlatos helyzetelemzésnapjaink matematika oktatásának néhány pontjáról, ésegyben a „Natural sciences know no borders” címűpályázatunk jelentőségének indoklása.

Elitképzés, tömegképzés

A jelen matematika oktatásában törésvonalat érzéke-lek az elitképzés és a tömegképzés között.

A magyar matematika jó hírneve csaknem egyévszázadra nyúlik vissza. Marx György A marslakókérkezése című könyvében olvashatunk a pályájukatAmerikában kiteljesítő kiváló magyar matematiku-sokról és természettudósokról. Eredményeik egyik oka,saját véleményük szerint is, a világ legjobbjai közészámító pesti gimnáziumokban zajló magas színvonalúmatematika és fizikaoktatás. Abban az időben atömegképzésről tudtommal felmérések,dokumentumok nem állnak rendelkezésre. Azelitképzés matematikából folyamatosan jó színvonalú.Erről visszajelzést ad számunkra az évenkéntmegrendezett Nemzetközi Matematikai Diákolimpia is.

A Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát 1959 ótarendezik meg. A 70-es évek közepéig a szocialistaországok versenye volt, ma az egész világra kiterjed, arésztvevő országok száma egyre nő. Magyarország azolimpiák történetének összesített eredménye alapján a3. helyen áll. A mellékletben megfigyelhetjük a magyarmatematikus diákok eredményeit. Ezek, ahogy egyretöbb nemzet kapcsolódik be a versenybe, már nemtűnnek annyira jónak, mint az olimpiák első éveiben,de ennek oka a külföldi versenyzők számának ésfelkészültségének növekedése.

A magyarországi matematikai tehetséggondozásfontos fóruma az Arany Dániel győri főreáliskolai tanáráltal 1894-ben középiskolásoknak alapítottKözépiskolai Matematikai Lapok. A feladatmegoldópontversenybe ma matematikából, fizikából ésinformatikából lehet nevezni. A feladatok napjainkbanangolul és franciául is megjelennek. A feladatok melletta folyóiratban ismeretterjesztő, tudományos cikkeket,versenyekről, tehetséggondozó táborokról szólóbeszámolókat is találhatunk.

1. táblázat, Forrás: www.komal.hu/hirek/KoMaLMagyarOrokseg1.ppt

Néhány gondolat a matematika oktatásáról Magyarországon10

11

Az előző táblázat a versenyzők, a feladatok és amegoldások számának változását mutatja a lapindulásának első és utolsó három évét összehasonlítva.

A nemzetközi felmérések tapasztalatai

A nemzetközi összehasonlítás lehetősége, a versenyek– például a már említett Matematikai Diákolimpia –kapcsán fennáll, de az átlagos képességű és gyengébbtanulók tudásának, a különböző országok„tömegoktatásának” az összehasonlítására először anemzetközi mérésekben való részvétel adottlehetőséget, ilyen a PISA, TIMSS, PIRLS. A magyartársadalomra az első PISA eredmények, 2000-ben –emlékszem –, szinte sokkszerűen hatottak. A magyardiákok kissé a középmezőny alatt végeztek, amiösszetörni látszott az addig vélt magyar matematikainagyhatalom képzetet. A TIMSS vizsgálatokban amagyar diákok sokkal jobb eredményeket értek el,egyes osztályokban az élmezőnyben végeztek. Ennekegyik oka valószínűleg az volt, hogy itt a felméréssokkal jobban a megtanult anyagra támaszkodott,ellentétben a PISA-val, ahol a használható tudást mérikfel. A PISA felmérés feladatai életszerű szituációkbanmegjelenő szöveges matematika feladatok, célja amunkaerő-piaci, továbbtanulási alkalmasság mérése.Az említett nemzetközi mérések nem az egyesországok versenyét szolgálják, hanem azeredményeket megfelelően értelmezve információkkallátják el az oktatáspolitikusokat döntéshozó munkájuksegítésére. Ha a magyar diákok matematikaeredményét vizsgáljuk 2000-2009 között, azszámszerűen alig változott, mégis a mutatónk átlagalattiból átlagossá vált, aminek oka a 2000 óta belépettOECD országok gyengébb teljesítménye.

Kompetenciamérések

Az Országos kompetenciamérés az ország szinteminden 4., 6., 8. és 10. évfolyamos tanulójára kiterjedőéves mérési rendszer. A felmérésben a tanulókmatematika és szövegértés feladatokat tartalmazótesztfüzeteket töltenek ki 4x45 percben, valamintszüleik bevonásával önkéntesen válaszolnak egy, acsaládi hátterüket felmérő kérdőív kérdéseire. A felmérés nem az adott tanévi tanterv ismeretanyagátkéri számon, hanem azt vizsgálja, hogy a diákok azaddig elsajátított ismereteket milyen mértékben tudjákalkalmazni a mindennapi életből vett feladatokmegoldásában, tehát hasonló a PISA felméréshez. A kompetenciamérés eredményei az évek során kismértékben ingadoznak, egyértelmű trend nemfigyelhető meg.

Érettségi eredményeink

A kétszintű érettségi bevezetése 2005-től történt.Ekkor matematikából az emeltszintű érettségiválasztható lett, de a felsőoktatási intézmények nemírták elő kötelező bementi feltételként az emeltszintűérettségit, csak többletponttal jutalmazták az emeltszintet választókat. A leendő hallgatók mérlegeltek,

a kapható többletpontok, vagy a középszintenelérhető jobb eredmény kedvezőbb-e számukra.

A 2. táblázat adatai alapján kiszámolható, hogy azutóbbi három évben az érettségizők kevesebb, mint2%-a választotta emelt szinten a matematikát.

2. táblázat, Saját szerkesztésAdatok forrása: http://www.oh.gov.hu/korabbi-erettsegi/korabbi-erettsegi

3. táblázatForrás: http://www.oh.gov.hu/korabbi-erettsegi/korabbi-erettsegi

A 3. táblázat a középszintű érettségi matematikaátlagait hasonlítja össze a másik két mindenkinekkötelező tantárgy, a magyar nyelv és irodalom és atörténelem eredményeivel. A matematika eredményekminden évben lényegesen alacsonyabbak a másik kétkötelező tantárgy átlagainál. Még szembetűnőbb akülönbség, ha a jegyek eloszlását vizsgáljuk. Ez mindentantárgynál hozzávetőlegesen normális eloszlást követ,vagy a jobb jegyek irányába nő, kivéve a matematikát.Itt az érettségizők közel 50 %-a ért el évről-évreelégséges eredményt, és innen a jobb jegyek irányábameredek csökkenés tapasztalható, a kb. 10%-os jeleseredményt elérőkig. Ez a tendencia minden évbenváltozatlanul megfigyelhető.

A 4. táblázat a 2011-es emelt szintű matematikaérettségi eredményeket mutatja százalékban. A táblá-zatból látható, hogy akik választották a matematikátemelt szinten, azok már a többi tantárgyhozviszonyítva is jó eredményt érnek el.

4. táblázatForrás: http://www.oh.gov.hu/korabbi-erettsegi/korabbi-erettsegi

A tanárképzésről

A jó problémamegoldó gondolkodásra nemcsak amatematikusoknak van szüksége, de mindenmunkakörben és hétköznapjainkban is fontos. Ehhezaz oktatás minden szintjén, minden iskolatípusbankiváló matematikaoktatásra lenne szükség.Véleményem szerint az oktatásban a kulcsfigura atanár. A jövő nemzedékének matematikatudása a ma


13

végzett tanároktól függ. A bolognai rendszer beveze-tésével matematikát tanítani csak mesterszakonvégzett tanárnak lehet általános és középiskolában is.A rendszer első végzett tanárai napjainkra hagyják el azegyetemet, de a kedvezőtlen tapasztalatok alapján adöntéshozók a rendszer átalakítását tervezik. Újrabevezetni szándékoznak az osztatlan, kétszintű,kétszakos tanárképzést. Az egyik indok az, hogy nemigazolódott be az a vélekedés, hogy a mesterképzésrejelentkező hallgató az alapképzés elvégzése utánérettebb döntést hoz, mint a 18 éves. A tanár szakokra,különösen a természettudományi és matematikaszakok esetén, a jelentkezők száma évről-évrecsökkent. Így ahhoz, hogy értelmes, értékelhetőeredményekkel rendelkező elemzéseket végezhessünka matematika tanárok számáról, felvételieredményeiről még néhány évet várni kell.

Befejező gondolatok

Bár az iskolai matematika szakkörök, és az úgynevezettközponti szakkörök száma napjainkra csökkent, de amatematikai tehetséggondozásnak, versenyfeladatokmegoldásának még elég sok területe megmaradt.Ilyenek a KÖMAL feladatmegoldó versenyei, azáltalános iskolások számára készült Abacus folyóirat, azolimpiai felkészítő szakkör, az Erdős Pál MatematikaiTehetséggondozó Iskola Veszprémben, általános ésközépiskolásoknak szóló matematika versenyek, atehetséggondozó nyári táborok.

Szendrei Julianna írja a Gondolod, hogy egyremegy? című könyvében (437. oldal):

„Sajnos jóval kevesebb lehetőségük van azoknak,akik nem a versenyszintű feladatmegoldást kedvelik.[...] A „matematikai örömökhöz való juttatás” terénkevesebb szervezett lehetőség van, …”

Remélhetjük, hogy az ÉlményMűhely egy ilyenlehetőség?

Irodalom

1. TERMÉSZETTUDOMÁNY TANÍTÁSA KORSZERŰEN ÉS VONZÓANMotiváció, tehetséggondozás, tanárképzésNemzetközi konferencia magyarul tanító tanárok számára az ELTETermészettudományi Oktatásmódszertani Centrum és az InfoParkAlapítvány szervezésébenBudapest, 2011. augusztus 23-25, az előadások és poszterbemutatókszerkesztett anyagahttp://termtudtan.extra.hu/kotet.pdf (2012. 07.01.)2. Marx György A marslakók érkezése, Akadémiai Kiadó Zrt., Budapest, 20003. Szendrei Julianna Gondolod, hogy egyre megy? Dialógusok amatematikatanításról tanároknak, szülőknek és érdeklődőknek TypotexKiadó, Budapest, 20054. Jelentés a magyar közoktatásról 2010,http://www.ofi.hu/kiadvanyaink/jelentes-magyar-111019, (2012. 07.01.)5. A pedagógusképzés átalakításának szakmai tervezete,http://mathdid.elte.hu/pic/vodon.pdf, (2012. 07. 01.)6. www.komal.hu7. www.oh.gov.hu

Melléklet, Forrás: Wikipédia A Nemzetközi Matematikai diákolimpiák listájahttp://hu.wikipedia.org/wiki/Nemzetk%C3%B6zi_Matematikai_Di%C3%A1kolimpi%C3%A1k_list%C3%A1ja 2011.06.30.


Sorszám Év Város Ország Résztvevő országok

száma

A magyar csapat

eredménye

1. 1959 Brassó–Bukarest Románia 7 2. 2. 1960 Sinaia Románia 5 2-3. 3. 1961 Veszprém Magyarország 6 1. 4. 1962 České Budějovice Csehszlovákia 7 1. 5. 1963 Varsó–Wrocław Lengyelország 8 2. 6. 1964 Moszkva Szovjetunió 9 2. 7. 1965 Berlin NDK 10 2. 8. 1966 Szófia Bulgária 9 2. 9. 1967 Cetinje Jugoszlávia 13 3.

10. 1968 Moszkva Szovjetunió 12 3. 11. 1969 Bukarest Románia 14 1. 12. 1970 Keszthely Magyarország 14 1. 13. 1971 Zsolna Csehszlovákia 15 1. 14. 1972 Toruń Lengyelország 14 2. 15. 1973 Moszkva Szovjetunió 16 2. 16. 1974 Erfurt–Berlin NDK 18 3. 17. 1975 Burgasz–Szófia Bulgária 17 1. 18. 1976 Lienz Ausztria 18 7. 19. 1977 Belgrád Jugoszlávia 21 3-4. 20. 1978 Bukarest Románia 17 — 21. 1979 London Nagy-Britannia 23 8.

1980 — 22. 1981 Washington, D.C. Egyesült Államok 27 17. 23. 1982 Budapest Magyarország 30 6. 24. 1983 Párizs Franciaország 32 3. 25. 1984 Prága Csehszlovákia 34 4-5. 26. 1985 Joutsa Finnország 38 3. 27. 1986 Varsó Lengyelország 37 8. 28. 1987 Havanna Kuba 42 6. 29. 1988 Canberra Ausztrália 49 16. 30. 1989 Braunschweig NSZK 50 10. 31. 1990 Peking Kína 54 6. 32. 1991 Sigtuna Svédország 55 6. 33. 1992 Moszkva Oroszország 56 8-9. 34. 1993 Isztambul Törökország 73 8. 35. 1994 Hongkong Hongkong 69 5. 36. 1995 Toronto Kanada 73 5. 37. 1996 Mumbai India 75 3. 38. 1997 Mar del Plata Argentína 82 2. 39. 1998 Tajpej Tajvan 76 3-4. 40. 1999 Bukarest Románia 81 11. 41. 2000 Taejon Dél-Korea 82 9. 42. 2001 Washington, D.C. Egyesült Államok 83 21. 43. 2002 Glasgow Nagy-Britannia 84 12-13. 44. 2003 Tokió Japán 82 10-11. 45. 2004 Athén Görögország 85 7. 46. 2005 Mérida Mexikó 91 9-10. 47. 2006 Ljubljana Szlovénia 90 17. 48. 2007 Hanoi Vietnam 93 16. 49. 2008 Madrid Spanyolország 97 10. 50. 2009 Bréma Németország 104 19-21. 51. 2010 Asztana Kazahsztán 96 13. 52. 2011 Amszterdam Hollandia 101 25-27.

15

Redni broj Godina Grad Država

Broj država

sudionika

Rezultata mađarske

ekipe

1. 1959 Brašov-Bukurešt Rumunjska 7 2. 2. 1960 Sinaia Rumunjska 5 2-3. 3. 1961 Vesprem Mađarska 6 1. 4. 1962 České Budějovice Čehoslovačka 7 1. 5. 1963 Varšava–Wrocław Poljska 8 2. 6. 1964 Moskva Sovjetski Savez 9 2. 7. 1965 Berlin DRNj 10 2. 8. 1966 Sofija Bugarska 9 2. 9. 1967 Cetinje Jugoslavija 13 3.

10. 1968 Moskva Sovjetski Savez 12 3. 11. 1969 Bukurešt Rumunjska 14 1. 12. 1970 Keszthely Mađarska 14 1. 13. 1971 Žilina Čehoslovačka 15 1. 14. 1972 Toruń Poljska 14 2. 15. 1973 Moskva Sovjetski Savez 16 2. 16. 1974 Erfurt–Berlin DRNj 18 3. 17. 1975 Burgas-Sofija Bugarska 17 1. 18. 1976 Lienz Ausztria 18 7. 19. 1977 Beograd Jugoslavija 21 3-4. 20. 1978 Bukurešt Rumunjska 17 — 21. 1979 London Velika Britanija 23 8.

1980 — 22. 1981 Washington, D.C. SAD 27 17. 23. 1982 Budimpešta Mađarska 30 6. 24. 1983 Pariz Francuska 32 3. 25. 1984 Prag Čehoslovačka 34 4-5. 26. 1985 Joutsa Finska 38 3. 27. 1986 Varšava Poljska 37 8. 28. 1987 Havana Kuba 42 6. 29. 1988 Canberra Australija 49 16. 30. 1989 Braunschweig SRNj 50 10. 31. 1990 Peking Kina 54 6. 32. 1991 Sigtuna Švedska 55 6. 33. 1992 Moskva Rusija 56 8-9. 34. 1993 Istambul Turska 73 8. 35. 1994 Hongkong Hongkong 69 5. 36. 1995 Toronto Kanada 73 5. 37. 1996 Mumbai Indija 75 3. 38. 1997 Mar del Plata Argentína 82 2. 39. 1998 Tajpej Tajvan 76 3-4. 40. 1999 Bukurešt Rumunjska 81 11. 41. 2000 Taejon Južna Koreja 82 9. 42. 2001 Washington, D.C. SAD 83 21. 43. 2002 Glasgow Velika Britanija 84 12-13. 44. 2003 Tokio Japan 82 10-11. 45. 2004 Atena Grčka 85 7. 46. 2005 Mérida Mexikóo 91 9-10. 47. 2006 Ljubljana Slovenija 90 17. 48. 2007 Hanoi Vijetnam 93 16. 49. 2008 Madrid Španjolska 97 10. 50. 2009 Bremen Njemačka 104 19-21. 51. 2010 Astana Kazahstan 96 13. 52. 2011 Amsterdam Nizozemska 101 25-27.

17

Hallok róla… és elfelejtemLátom… és emlékszem ráCsinálom… és megértemKínai bölcsesség

Az ÉlményMűhely – Mozgalom az ÉlményközpontúMatematika-oktatásért (www.elmenymuhely.hu) 2008-ban indult útjára a magyarországi Ars GEometricaművészet- és tudományközi találkozók nemzetközielismertségnek örvendő tudósai, művészei éspedagógusai összefogásával. Vezetői e cikk szerzői:Fenyvesi Kristóf, a Jyväskyläi Egyetem Művészet- ésKultúratudományok Intézetének kutatója (Finnország),a Bridges Organization (USA) közösségi eseményeinekigazgatója, valamint Szabó Ildikó, a pécsi ApáczaiNevelési és Általános Művelődési Központ 1. számúÁltalános Iskolájának matematika-fizika tanára.

Immár több mint száz elkötelezett tudós, művész,mérnök, építész, tanár, irodalmár, kézműves ésjátékkészítő vesz részt a tevékenységünkben, rendez-vényeinken gyakran látjuk vendégül a nemzetközimatematikai-művészeti élet legjelentősebb szereplőit.A tudományos és a művészeti oktatás,ismeretterjesztés összekapcsolhatóságánaklehetőségeit kutatva számos új interaktív ésjátékközpontú eszközt és módszert elevenítettünk fel,fejlesztettünk tovább és dolgoztunk ki az utóbbiévekben. Magyarországon és a szomszédos országokegyetemein, iskoláiban és közművelődési színtereinmegrendezett matematikai-művészeti fesztiváljaink,művészeti és tudományos műhelyeink, interaktívkiállításaink, konferenciáink és tudományos, valamintismeretterjesztő publikációink célja, hogy a gyerekek,szüleik és tanáraik számára tervezett újszerű tartalmak,oktatási eszközök, módszerek és újfajta személyköziegyüttműködési formák közül, minél több a családokmindennapjainak is a részévé váljon, valamint a

Fenyvesi Kristóf – Szabó Ildikó

Osmosis: Connectionship Between the Formal and Informal Education of Mathematics and Arts in theExperience Workshop Math-Art Movement's Approach

Abstract: The Experience Workshop Math-Art Movement, a movement advocating experience-centered mathematicseducation, was established in Hungary in 2008. Almost one hundred scholars, artists, engineers, architects, teachers,craftsmen and toymakers that participate in this movement, developed various forms of interactive and playorientedcombinations of mathematics and arts. By researching the connections between scientific and artistic education, theExperience Workshop Math-Art Movement's members are contributing to the dissemination of new educationalapproaches. The Experience Workshop Math-Art Movement organizes math-art festivals, art and science workshops,interactive math-art exhibitions, and conferences. It also contributes to the development of new school curricula. Nearlyfifteen thousand students and several hundred teachers and parents have attended the events organized by themovement since its inception. The movement’s publications are becoming popular among a growing circle of expertswithin the Hungarian art and science education community. This article introduces The Experience Workshop Math-ArtMovement’s main educational activities, including the launching of math-art festivals across Hungary, and three goodpractices, developed in the framework of the CrossBorderScience project.

Ozmózis: a matematika és a művészetek formális és informális oktatásánakösszekapcsolhatósága az ÉlményMűhely eszközeivel

formális oktatás keretei között, az iskolai és tanárkép-zési kurrikulumokban is megjelenjen. Ezen a módonigyekszünk aktívan hozzájárulni a terület legjobbgyakorlatainak a széleskörű disszeminációjához.

1. Mindenki tehetséges valamiben: egyenlőhozzáférést, egyenlő esélyeket!

Célunk, hogy megmutassuk: a matematika több islehet mint szigorú tudomány. A matematikaszámunkra a közös élmények, felismerések forrása, azörömteli alkotás eszköze. A tehetségpedagógia,valamint a matematikai és a művészeti oktatás jógyakorlatainak a népszerűsítése terén megfogalmazottkoncepcióinkat arra az elgondolásra alapozzuk, hogy ajövő felnőtteinek új típusú készségekre, képességekre,tudásra kell szert tenniük, amihez új típusú oktatásimegközelítések kialakítására és alkalmazására vanszükség. Ez élményközpontú, az érzékszervekmindegyikét játékba hozó, és a szociális képességeketfejlesztő, a tudományok és a művészetek széleskörűösszefüggéseit kutató pedagógiai gyakorlatokkidolgozását igényli, különös figyelemmel atehetségek felfedezésére és gondozására –, de sohanem szem elől tévesztve az egyenlő hozzáférés ésegyenlő esélyek elvét. Mindenki tehetséges valamiben!– a pedagógus, műhelyvezető, animátor elsődlegesfeladata, hogy a gyakran rejtőző, szunnyadó tehetségetfelkutassa, s az érdeklődés komplex stimulálásával azegyéni tehetségek, képességek kibontakozásához,mindenki számára, egyéni képességeinek ésérdeklődésének megfelelő környezetet biztosítson.

2. Szeretnénk-e, hogy a gyerekeink okosabbaklegyenek, mint mi magunk vagyunk?

Tehetséggondozó programjaink a nemzetköziszakirodalomban a STEM (Science, Technology,Engineering, Mathematics) integrációjakénthivatkozott komplex gondolkodást az esztétikai,művészeti nevelés eszközeivel egészítik ki. A digitáliskultúra, a strukturált információ és hálózatok, a magasfokon szervezett és kontrollált rendszerek, a logisztikaés a holisztikus megközelítések korában, egyre inkábbegy olyan magasan technicizált környezet veszbennünket körül, amelynek szinte minden elemébennövekvő szerephez jutnak a matematikai ismeretek, amérnöki tudományok és a művészeti-tudományosdesign. Ellentmondásosnak tűnik, hogy eközben amatematika és a természettudományok társadalmimegítélése folyamatosan romlik, az egyre szélesebbkörben végzett attitűdvizsgálatok világszerte negatívösszképet mutatnak. Ezek a negatív tendenciáksúlyosan veszélyeztetik a mérnök éstermészettudományos szakemberek utánpótlását, sebből fakadóan azt is, hogy képesek legyünk lépésttartani az egyre gyorsuló ütemű és egyre komplexebbinfrastruktúrát és egyben közös megértést, globáliskooperációt követelő innovációval. Az oktatás egészrendszere, s a tanári szakma, a tanárképzés jelenpillanatban is komoly kihívásoknak néz elébe. Nem szabad megfeledkeznünk olyan maguktól

Ozmózis: a matematika és a művészetek formális és informális oktatásának összekapcsolhatósága az ÉlményMűhely eszközeivel

18

19

értetődő, mégis talán meglepő tényekről, hogy azok atanárszakos hallgatók, akiket ma, 2012-ben tanárnakképzünk, illetve a most pályakezdő pedagógusok,2040-ben is a legfiatalabb generációkat fogják tanítani.Az eljövendő generációk tanárainak ezért számosolyan készségre van szükségük, amelyre csakfolyamatos önképzéssel, egyéni és közösségi, sőt, asaját diákjaikat is bekapcsoló kutatói tevékenységgeltehetnek szert. Mind a diákokban, mind a tanárokban,mind pedig a szülőkben és a társadalom egészébenérdemes ezeket az egyébként súlyoskövetkezményeket is magukban hordozóösszefüggéseket játékos, vonzó formábantudatosítanunk, s egy olyan 2040-re felkészítenünk atársadalmat, amelyben az emberiség rendelkezéséreálló tudástömeg és technológiai apparátus egyrenagyobb mértékben a globális problémákmegoldásának kidolgozását és az emberiség kreatívképességeinek kibontakoztatását szolgálhatja.

Munkánk során ezért olyan nemzetközileg iselismert tehetségpedagógusokkal keressük azegyüttműködést, akik a kor üzenetét alkotó módonmegragadva, a kockázatokat és a lehetőségeket egyszéles intellektuális spektrumon értékelve, amatematikai, geometriai eredményeket és aműalkotásokat a tudás absztrakt alakzatai és akreativitás érzékszerveinkkel felfogható formái közöttiösszekötő hidakként is értelmezik, valamint az oktatásszámára is kiaknázható kapcsolódások, átjárók, játékoslehetőségek után kutatnak, művészet- éstudományközi szemléletre alapozott tevékenységüksorán. Azt sem téveszthetjük ugyanis szem elől, hogy ajövő társadalma számára nem kielégítő, ha a jövőmatematikusai, mérnökei és természettudósai csupánkivételesen képzett technikusok lesznek. A legkiemel-kedőbb szakembereket és a tevékenységükettámogató és abba participatív technológiák révénaktívan be is kapcsolódó társadalom tagjait, kizárólagmagas fokú emberi érzékenységük, humanizmusuk,művészi-kreatív ambícióik és fantáziájuk segíthetiabban, hogy a lehető legmagasabb társadalmihatásfokkal, hosszú távra szóló elképzelések mentén,egymással együttműködve kamatoztathassák atehetségüket.

3. Szinergiák akcióban!

Az ÉlményMűhely – Mozgalom az ÉlményközpontúMatematika-oktatásért szakmai eseményeken,konferenciákon és önálló kiadványaiban számol beeredményeiről. Az elmúlt időszakban megrendezett,országos érdeklődésnek örvendő és határon túliprogramjainkon csaknem 15.000 óvodás, általános ésközépiskolai tanuló, főiskolás, egyetemista diák,többezer pedagógus és közel ugyanennyi szülő vettrészt. Az ÉlményMűhely 2008-ban a Kultúrák KözöttiPárbeszéd, 2009-ben pedig a Kreativitás és InnovációEurópai Évének hivatalos rendezvénye volt,ugyanebben az évben a Tempus Közalapítványhivatalos tájékoztatása szerint, programunk bekerültazon hat magyarországi kiemelkedően jó gyakorlatkörébe, amelyek a magyar tematikus évet

reprezentatív formában is képviselték a programközpontjában, Brüsszelben. 2010-től kezdődően,minden évben a Kutatók Éjszakája központirendezvényének főszereplői között szerepelünk. Az ÉlményMűhely rendezvényei nagy sikert arattakSzlovákiában, Horvátországban és Szlovéniában is.Tevékenységünket amerikai, belga, finn és norvégszakemberek tanulmányozzák. A közelmúltban Texas-ban (USA),1 az űrkutatás egyik legrangosabbnemzetközi eseményén, a belga Királyi Akadémián2, aTowson Egyetemen, Baltimore-ban (USA),3 és a 12thInternational Congress on Mathematical Education(ICME-12) eseményen, Dél-Koreában4 is meghívottrésztvevőként mutathattuk be eredményeinket anemzetközi szakmai közönségnek.

4. Ozmózis: az oktatás formális és informálisszíntereinek összekapcsolása

2011-ben, az ÉlményMűhely Mozgalom tagságánakösszefogásával két nemzetközi szerzőgárdávalbüszkélkedő kiadvány is napvilágot látott. A HIDAK:Matematikai kapcsolatok a művészetben, atudományban és az élményközpontú oktatásban címűkötet (a Kaposvári Egyetem kiadásában), valamint azangol és magyar nyelven is megjelent Vasarely és amatematika című album (a pécsi Vasarely-múzeumhivatalos kiadványa). Ezek a könyvek egyaránthozzájárulnak annak a minden egyes diákra egyarántkiterjedő tehetséggondozást kiemelt területkéntkezelő szemléletváltásnak a megalapozásához,valamint az oktatás formális és informális színtereinek„ozmotikus” összekapcsolásához, amelyre azÉlményMűhely tanárokból, tudósokból,képzőművészekből, muzsikusokból, kézművesekből,irodalmárokból, filozófusokból, színháziszakemberekből, szülőkből és gyerekekből álló, 2008óta egyre bővülő közössége szövetséget kötött.

Matematikai-művészeti kiállításunk, azÉlményMűhely Utazó Galériája 2010-ben jött létre, aBridges Világkonferencia pécsi kiállításán bemutatkozóvilághírű művészek és tudósok donációiból.Gyűjteményünk az elmúlt két év során 12 alkalommalmutatkozott be Közép-Európában. Gyűjteményünkrealapozva, 2011 szeptemberében egy állandó galériát issikerült megalapítanunk az egri Eszterházy KárolyFőiskola Természettudományi Karán. Célunk továbbihelyi egyetemi és főiskolai műhelygalériák alapítása,amelyekben a pedagógusképzés és a művészeti-tudományos menedzsment ismeretek oktatásának újformái is lehetővé válnak.

20

1. 43rd Lunar and Planetary Science Conference (2012), The Woodlands,Texas. Internet cím:http://www.lpi.usra.edu/meetings/lpsc2012/pdf/2611.pdf2. Math-Art Summit at the Royal Flemish Academy (2012), Brüsszel.Internet cím:http://etopia.sintlucas.be/3.14/Wiskunst/Wiskunst_Brussels_2012.htm3. Bridges 2012 World Conference (2012), Towson Egyetem, Maryland.Internet cím: http://bridgesmathart.org/bridges-2012/2012-speakers-coordinators/4. 12th International Congress on Mathematical Education; Activitiesand Programs for Gifted Students (2012), Szöul, Dél-Korea. Internet cím:http://www.icme12.org/

Ozmózis: a matematika és a művészetek formális és informális oktatásának összekapcsolhatósága az ÉlményMűhely eszközeivel

21

Sikeres, nemzetközi eredményeket is elkönyvelőtehetségfelfedező és -gondozó programokatvalósítottunk meg Magyarországon és a szomszédosországok magyarlakta területein, számos hazai ésnemzetközi szakmai szervezettel szorosegyüttműködésben dolgozunk. Célunk, hogy azoktatási innovációs központoktól akár a legtávolabblévő iskolákat, pedagógusokat, diákokat és szülőket isközvetlenül összekapcsoljuk az élményközpontúmatematika- és természettudományos oktatás hazai ésnemzetközi élvonalával, termékeny párbeszédet és újművészeti-tudományos színtereket hozzunk létre aközös érdeklődéssel, célokkal rendelkező emberek,közösségek számára, közelítve egymáshoz az azonosterületeken tevékenykedő intézmények ésszakemberek munkáját is.

5. Hosszú távú fenntarthatóság és szakmaiképviselet

Egy olyan többszintű és többirányúösszefüggésrendszerben törekszünk aprogramjainkban részt vevő művelődési és oktatásiintézményekkel együttműködni, amely magas fokúalkalmazhatósági potenciáljánál, kiterjedtségénél éstartalmi, módszertani sokszínűségénél fogva, aktívanhozzájárul ahhoz, hogy az élményközpontúmatematika és természettudományos oktatás helyihálózatait létrehozzuk és stimuláljuk. A világ többhelyszínén párhuzamosan futó projektjeinketigyekszünk összekapcsolni, s ezáltal a lokáliskezdeményezéseknek nemzetközi kimenetilehetőségeket is felkínálni. Az egyes lokálisprojektjeinkben részt vevő helyi pedagógus kollégákra,művelődési szakemberekre, szülőkre, s a projektjeinkkeretében vásárolt eszköz-parkra alapozott hosszútávú célunk, olyan önálló elképzeléseketmegfogalmazó lokális közösségi bázisok létrehozatala,amelyek aktív, önépítő és önfejlesztő közösségekkéntfunkcionálva, az egyes lokális projekteink lezárulásátkövetően is további önálló projektelképzelésekkel,módszertani programokkal, eszköz-fejlesztéssel,infrastrukturális innovációkkal növelik a hálózatunkbanrejlő lehetőségeket.

6. Három jó gyakorlat a magyar-horvát együttműkö-désen alapuló CrossBorderScience projekt köréből

Az alábbiakban bemutatandó gyakorlatainkat,akárcsak a képzőművészeti összefüggéseket hordozótöbbi műhelyünket, a táblázatban összefoglaltcélrendszer szerint építettük fel.

CÉL ESZKÖZRENDSZER

1. AZ ÉRZÉKELÉS CSATORNÁINAK MEGNYITÁSA Képzőművészeti alkotások

Kiállítások

Modellező készletek

Tanulói kísérletek

Személyes kapcsolatok és interakciók a művészek, kutatók, tanárok, diákok, szülők bevonásával

2. GONDOLKODÁSI FOLYAMAT KIALAKÍTÁSA

3. MODELLEZŐ KÉPESSÉG FEJLESZTÉSE

4. ABSZTRAKCIÓS KÉPESSÉG FEJLESZTÉSE

5. VERBÁLIS KÉPESSÉG FEJLESZTÉSE

6. FOGALOMRENDSZER KIALAKÍTÁSA

7. KUTATÁS-PROBLÉMAMEGOLDÁS

8. ALKOTÁS: MŰVÉSZETI KOMPOZÍCIÓK ÉS „TUDÁS-TÁRGYAK” LÉTREHOZATALA

CILJ SUSTAV SREDSTAVA

1. OTVARANJE KANALA PERCEPCIJE Likovna djela

Izložbe

Kompleti za modeliranje

Učenički pokusi

Osobni kontakti i interakcije uz uključivanje umjetnika, istraživača, nastavnika, učenika i roditelja

2. STVARANJE PROCESA RAZMIŠLJANJA

3. RAZVOJ SPOSOBNOSTI MODELIRANJA

4. RAZVOJ SPOSOBNOSTI APSTRAKCIJE

5. RAZVOJ VERBALNIH SPOSOBNOSTI

6. STVARANJE POJMOVNOG SUSTAVA

7. ISTRAŽIVANJE-RJEŠAVANJE PROBLEMA

8. STVARALAŠTVO: STVARANJE UMJETNIČKIH KOMPOZICIJA I „PREDMETA ZNANJA”

A./ Kis és nagy méretű matematikai-művészetikirakók Robert Fathauer-rel: Robert Fathauer 1982-ben végzett matematika-fizika szakon a DenveriEgyetemen. 1987-ben doktorált, 1987 és 1994 között aNASA repüléstechnológiai kutatólaboratóriumábandolgozott. Az 1990-es évektől, M. C. Escher ihletésérekezdett el művészi csempézések matematikai alapútervezésével foglalkozni. 1993-tól tervez a művészet ésa matematika megközelítésmódjait egyesítő játékokatés oktatási eszközöket. Gyerekeknek, tanároknak,művészeknek és matematikusoknak szóló műhelyeketés előadásokat tart világszerte. Művészetitevékenységét Designing and Drawing Tessellations ésFractal Trees című könyveiben is bemutatja.

Robert Fathauer a CrossBorderScience projektkeretében 2011 decemberében látogatott el aKaposvári Egyetemre. Szemléletmódjával,módszereivel és különleges eszközeivel a diákok és atanárok is egyaránt megismerkedhettek. Matematikai-művészeti kiállításán az utóbbi húsz év alkotóiterméséből válogatott: fraktálokban, csomókban ésösszetett csempézésekben gyönyörködhettünk. Amegnyitón jelenlévő gyerekeket és felnőtteket azalkotó személyesen kalauzolta a számítógéppelelőállított különleges alkotások világában és avatta beőket elkészítésük titkaiba. Csempézéseken ésfraktálokon alapuló összerakós játékok és műalkotásokcímű előadása már bevezetőt jelentett ahhoz aműhelyhez is, amit Polipok és ráják, a tengerek világacímen tartott, s amelynek keretében a saját maga általtervezett játékos matematikai-művészeti összerakókkalismertette meg a magyar és horvát gyerekeket ésfiatalokat.

A síklefedés számos különböző változatát az emberalkotta tárgyakon és a természetben istanulmányozhatjuk. M. C. Escher holland művész, olyancsempézéseket is kidolgozott, amelyekben amintázatok gyík és madár alakú csempékből épültekfel. Az ilyen eljárások műalkotások és összerakóskirakójátékok létrehozatalára is használhatók. Azúgynevezett Penrose-csempék szintén rendkívülérdekesek, mivel azokból végtelen számú, nemismétlődő mintázatot rakhatunk ki. A természetben ismegtalálható fraktálok a matematikai szerkezetek egymásik csoportjába tartoznak. A Robert Fathauerelőadásában elhangzottak szerint, a csempézések és afraktálok kombinációjával rendkívül szép, egyedimintázatokat alkothatunk. A fraktálkészítés eljárásai,olyan különlegesen összetett csomók tervezésére isalkalmasak, amelyekben a mintázat egy-egy részletemagában hordozza a teljes mintázat egészét. A fraktál-elmélet szabályait követve, akár még olyan fákat israjzolhatunk, amelyeknek az alakját matematikaiszabályok határozzák meg. Robert Fathauer Polipok ésráják, a tengerek világa című matematikai-művészetikirakókészlete is ezeken az elképzeléseken alapul.

A Polipok és ráják, a tengerek világa címűkirakókészlet eredetileg kisméretű, tengeriélőlényekhez hasonló alakú, végtelen kombinációbanegymáshoz illeszthető elemekből áll. Rendkívül jólhasználható az oktatásban, mivel az összetettmatematikai ismeretek elsajátításán kívül kreativitásra

22 Ozmózis: a matematika és a művészetek formális és informális oktatásának összekapcsolhatósága az ÉlményMűhely eszközeivel

23

is késztet. A készlet tervezőjével interneten egyeztetve,a Kaposvári Egyetem tanárai már a műhelytmegelőzően elkészítették egyszerű, vágható színeskartonpapírból a készlet moduláris elemeineknagyméretű változatát a megfelelő színekben. Miutána diákok a műhely keretében a kisméretű készletekkeljátszva felmérték, megismerték a készlet geometriaialaptulajdonságait, kezdetét vehette a játék azóriáskirakóval a Kaposvári Egyetem aulájában. A műhely keretében a diákok a két különbözőcsempeformával folytatható csempézések alapvetőtörvényszerűségeit ismerhették meg. Elsajátították az„él” geometriai fogalmát és azt, hogy az élek milyenszerepet játszanak egy-egy csempeforma jellegénekmeghatározásában. Kipróbálták a Polipok és ráják, atengerek világa című kirakókészlet adta lehetségesillesztéseket, szimmetria-kombinációkat. Végülnagyméretű, ötszörös forgásszimmetriával rendelkezőszerkezeteket állítottak össze.

B./ Poliuniverzum Játékcsalád Saxon SzászJánostól: a Saxon Szász János festőművészpolidimenzionális síkfestészetének elemeiből állóPoliuniverzum Játékcsalád nem más, mint egyesztétikai-matematikai formarendszer, egy„léptékváltásos szimmetrián” alapuló geometrikus,készségfejlesztő eszköz. A geometrikus alapformákbólösszeállított színes készlet szinte végtelen logikaiösszetettséget, bonyolult matematikai és formatanikérdéseket rejt magában, valamint újszerű művészetilátásmódot közvetít gyerekeknek és felnőtteknekegyaránt. A foglalkozás során a műhely résztvevőifelfedezték a kicsi-közepes-nagy formák közöttiösszefüggéseket, a színek közötti éles határvonalakat,és a frissen szerzett tapasztalatokban elmélyülvetanulmányozták a mikrokozmosz és a makrokozmoszegységét, magát a POLIUNIVERZUM-ot: a művészet, amatematika és a filozófia összetett birodalmát.

A játékcsalád színei: piros, sárga, zöld, kék. Formái:háromszög, kör és négyzet, maga a játék pedig aléptékváltásos szimmetriára épül. Ennek a lényege

1. Játék, Robert Fathauer Polipok és ráják, a tengerek világa címűkirakókészletével a CrossBorderScience projekt keretében Kaposváron,2011. decemberében.

abban áll, hogy az alapformák oldalhosszúságát (illetvea körnél az átmérőt) felezve az alapformákon belülegyre kisebb, más színű formákat kapunk. A játék-család egyszerű felépítése – 4 szín, 3 forma – ellenére, akombinációs lehetőségek száma rendkívül magas.Elenyésző az esélye például annak, hogy két játékosvéletlenül ugyanazt a konfigurációt hozza létre azelemekből.

2. Saxon Szász János Poliuniverzum Játékcsaládjának sokrétűalkalmazása a művész és Dárdai Zsuzsa művészetkritikus vezetésével azÉlményMűhely keretében.

A készlettel folytatott játékot követően a diákok azáltaluk legszebbnek tartott kompozíciókat színespapírból is elkészíthetik, s az ily módon létrehozottgeometrikus kompozíciókból absztrakt geometrikusművészeti kiállítás is rendezhető az osztályteremben,mégpedig olyan művekből, amelyeknek a tanulók apontos geometriai szabályszerűségeit, belsőtörvényszerűségeit is ismerik.

További izgalmas lehetőséget jelent az iskola falainbelül létrehozott geometrikus kompozíciókmegvalósítása a természetben is, azaz a formák színesvirágoskert formájában történő létrehozatala. A meg-határozott színű virágpalánták egy tapasztalt kertészsegítségével történő elültetése közben a növénytanszámos matematikai összefüggése áttekinthető,ökológiai, környezetgazdálkodási, természetvédelmiproblémák közös megtárgyalására nyílik lehetőség, adiákok tanárokkal, az iskola vezetőivel és szülőkkelegyütt végzett munkája az iskola kertjében pedigpáratlan alkalom az iskola közösségénekmegerősítésére. A folyamat során a diákok fejlesztik atudásukat, kreativitásukat és képzelőerejüket,mindazon készségeket és képességeket, amelyeknélkül az absztrakt elgondolások és a reális valóság


25

közötti távolság áthidalása, egyes komplex problémákmegoldása nem lehetséges.

C./ Anamorfózis az iskolában: az érzékszervieffektusok előállítása játékos alkotó tevékenység révénnagy lehetőségeket rejt a matematika és atermészettudományos tárgyak iránti érdeklődésfelkeltésében, fokozásában. Az ÉlményMűhely UtazóGalériájának darabjai egytől-egyig újszerű kutatások,alkotói kísérletezések meglepő végeredményeit tárjáka kiállítást meglátogató gyerekek, tanáraik és családjaikelé. Orosz István vagy Jan W. Marcus alkotásai azanamorfózisnak, ennek a sajátos effektusnak apedagógiai alkalmazhatóságára is felhívhatják azérdekes tananyag után kutató pedagógus figyelmét.Az anamorfózis, olyan felismerhetetlenné vagy„másként felismerhetővé” torzított képet jelent, amelycsak egy bizonyos nézőpontból vagy egy a képrehelyezett tükörtárgy segítségével válik láthatóvá. Azanamorfózisokkal való ismerkedés során számostudásterületen tehetünk érdekes felfedezéseket.Mindezek feltérképezése a pedagógus egyéni céljainés leleményességén múlik, az alábbiakban csaknéhányat sorolunk fel.

A matematika tantárgyhoz kapcsolható ismeretek:helymeghatározás a Descartes-féle koordinátarendszerben, valamint polárkoordináták segítségével;különböző vonatkoztatási rendszerek kölcsönösenegyértelmű megfeleltetése (cellák megfeleltetése);szögmérés, koncentrikus körök ábrázolása, egyenlőkörcikkekre osztása, stb. A fizika tantárgyban: ageometriai optika témakörbe tartozó fogalmak, mintfényforrás, fénytörés, fényvisszaverődés különbözőfelületekről, stb. A biológia tantárgyban hasznosmegfigyeléseket tehetünk, például a látás és a szemtémakörében. A foglalkozások és a tanórák menete aközölni kívánt ismereteknek megfelelően alakítható. Azalábbiakban ismertetett foglalkozási sor, csupánegyetlen a téma számtalan lehetséges feldolgozásimódja közül.

Első játék: olvassuk ki az eltorzított feliratot!

Megfigyelések– az olvasás módjával kapcsolatban: balról-jobbrahaladva olvasunk és a betűk tükörképét kell elképzelnünkahhoz, hogy ki tudjuk olvasni a szöveget– az eltorzított kép majdnem szabályos félkör alakbanhelyezkedik el a papíron, stb.

Második játék: játék a tükrökkel!

Megfigyelések– tükör használatával könnyebben olvasható a szöveg– nem mindegy, hogy milyen alakú tükröt használunk! – a megfelelő helyre illesztett henger alakú tükörrel egyrepontosabb a kép– Hipotézis megfogalmazása: a tükörképet egytükörhenger segítségével előállítva, az elrejtett szövegazonnal felismerhetővé tehető.

Harmadik játék: készítsünk tükörhengert!

A tükörhenger elkészítése rendkívülegyszerű: megfelelő sugarúpapírhengerre (akár konyhaitörlőkendő papírhengerére)öntapadós, papírboltokbanbeszerezhető tükörfóliátragasztunk.

A sík papírlap félköralakú részére helyezve atükörhengert, a korábbi-akban csak elképzelt képmár láthatóvá válik amegfelelően olvashatófelirattal és ábrával.

A fenti gyakorlatsorbanhasználható ábra elkészítéséhezaz anamorfózist előállító szoftverszabadon hozzáférhető az alábbiinternetcímen:http://www.anamorphosis.com/software.html

Így a gyakorlatok során használt ábra bármilyen képfelhasználásával előre elkészíthető.

Negyedik játék: figyeljük meg az anamorfózis-készítéstechnikáját! Keressünk összefüggéseket azanamorfózis-készítés során használt rácshálózatokközött!

Mindenki kap egy lapot, melyen előre elkészítettükaz anamorfózis megrajzolásához szükségesrácshálózatokat az itt bemutatott ábra és leírás szerint.A pirossal és kékkel jelzett segédvonalak, azonban nemszerepelnek az ábrákon, hogy a gyerekek saját magukfedezhessék fel az összefüggéseket.

A diákok a megfelelősegédvonalak berajzolásá-val könnyen rájönnek, hogyaz eredeti rácshoz hogyankészíthető el a torzítottrács: a tükörhenger alapjátképező körrel koncentrikusköröket rajzolunk, majdazokat a középpontbólkiinduló 22,5 fokosszögtartományokrafelosztva jönnek létre azábrán jelzett módon a máreltorzított cellák. Vastagnyíl jelzi a henger alapjánakközéppontját, a szaggatottvonalak, pedig a körülrajzolt henger alapkörévelkoncentrikusan megrajzoltelső kör sugarai. Az „r” ahenger alapköréneksugarát jelöli.


27

Ötödik játék: használjunklézert!

Az iskolai fizika órákonhasznált mechanikaikészletben találhatóállványra egy lézerfényforrást rögzítünk. A lézer használatánakszabályaira és veszélyeire isfelhívva a figyelmet, afényforrást először a saját, apapírra felülről rátekintőegyik szemünk sugaránakmegfelelően állítjuk be. Agyerekek megfigyelhetik,hogy a fényvisszaverődéssorán hová kerülnek azegymással megfeleltethetőpontok: a fénypont ahengeren – és képe arácson. (Cellák meg-feleltetése). Ugyanezt – amegfelelő biztonságiszabályok betartásával és folyamatos pedagógusifigyelemmel és segítséggel – kipróbáljuk a gyerekekperspektívájából is.

Hatodik játék: tervezzünk anamorfózist!

Szabályos négyzetrács hálón a diákok elkészíthetiksaját alkotásaikat, s a megfelelő cellákat a torzítottrácsfelületre másolva előállítható a torzított kép. A megfeleltetésben ismét segítenek a betűkkel ésszámokkal meghatározott cellák. Ezután a kijelölt körrehelyezve a tükörhengert máris láthatóvá válik abban atervezett alkotás.

Hetedik játék: készítsünksaját rácshálózatot!

Kiválasztunk egypapírhengert, amelynekfelületére tükörfóliátragasztunk. Rajzolunk egynégyzetes rácshálózatot, s anegyedik játékban leírtakszerint számokkal ésbetűkkel jelöljük a cellákat.A papírlapon elhelyezzük atükörhengert és azalaplapját körülrajzoljuk.Ezután a fent leírtak szerintelkészítjük a másik köralakú rácshálózatot. Ebbekerül az eltorzított kép,amelyet a tükörhengerbenfogunk visszatükröződvelátni az előre megtervezettformában.

29

BEVEZETŐ

Ez a tanulmány a Magyarország-Horvátország IPAHatáron Átnyúló Együttműködési Program keretébenkészült. A programban csatlakozó partnerkéntBjelovár-Bilogora megye is részt vett.

A tanulmány elkészítése során abból a szempontbólelemeztük a középiskolák jelenlegi állapotát, hogymilyen oktatási programok valósulnak meg, mennyirevan jelen a természettudomány az egyesprogramokban, valamint az óraszámokat bizonyostantárgyak esetében (fizika, kémia, biológia és földrajz).Bjelovar-Bilogora megyében közvéleménykutatást isvégeztünk azon tanárok körében, akik fizikát, kémiát,biológiát és földrajzot oktatnak. Arra voltunkkíváncsiak, hogy milyen gyakorlati tapaszatalatokatszereztek a természettudományokmegismertetésében, valamint a jó gyakorlatokalkalmazásában.

A ROSE (The Relevance of Science Education) egyolyan nemzetközi projekt, amelyet egy oslói székhelyűnorvég intézet indított útjára. Fő célja atermészettudományok oktatása volt. E projektkeretében elkészült egy közvéleménykutatás, amelyettöbb európai ország diákjai töltöttek ki. A projekt céljarámutatni a természettudomány bizonyos területeinekfontosságára, különösen azokra, amelyek felkelhetik afiatalok érdeklődését. A tanulmány elkészítése során,mi ugyanezt a tesztet végeztettük el a Bjelovar-Bilogora megyében található középiskolásokkal.Elemeztük az eredményeket, majd állást foglaltunk amegye jelenlegi helyzetével kapcsolatban, ésösszehasonlítottuk a saját eredményeinket a ROSEprojekt nemzetközi eredményeivel.

Ugyanazt a kérdőívet töltettük ki a tanárokkal is,azzal az utasítással kiegészítve, hogy írják le a tanulókmely témákat szeretik, illetve mely témák irántérdeklődnek. A tanulmány végén fellelhető néhánypélda a pedagógusok jó gyakorlatainak alkalmazására.

Megállapításaink szerint, először is nincsösszhangban a nyugdíjba vonuló pedagógusoktermészetes létszámcsökkenése a fiatal szakképesítéstszerzett pedagógusok munkába állásával. Túlzottan sokfiatal szerzett képesítést az alábbi területeken:

elektrotechnika és informatikaturizmus és vendéglátáskereskedelem

Science Education In Croatia

In this study we share the results of a survey about the examination of science teaching conditions in several highschools in Croatia. We used the survey system of the ROSE program (The Relevance of Science Education, Norway).This way we could compare our results with the results of other European countries.

A természettudományok oktatásáról Horvátországban

egészségügy és szociális ellátásközgazdasággépészet, hajógyártás és kohászat.

Míg potenciális hiány keletkezett a következő területeken:

erdészet, fafeldolgozásüzleti adminisztrációközlekedés és logisztikamezőgazdaság, élelmiszeripar területe és

állatorvosoképítészet és geodéziageológia, bányászat, olajipari és vegyészeti

technológia.

Másodszor, a kulcsfontosságú ágazatok szükségletei,amelyeknek komoly lehetőségei vannak, mint pl. abútorkészítés, fafeldolgozás, építőipar és szárazföldiszállítmányozás, nincsenek kielégítve.

Harmadszor, a keresleti és kínálati oldalösszehangolatlanságát tetőzi az a probléma, hogy aprogramonként meghírdetett oktatási tartalmakstruktúrájában meglehetősen nagy zűrzavartapasztalható. Példaként említhetjük a gépészeti oktatásprogramját, vagy a hajógyártást és kohászatot, ahol az afajta oktatási program dominál, amelynek keretében afiatalokat a szolgáltatói, és nem az ipari szakmákrakészítik fel.

Negyedszer, ezt az elemzést rendszeresen el kellenevégeztetni, mert ezáltal követhető lenne a tudás és aképesség kínálati struktúrája. A helyzetet látva a kvótákpontosabb meghatározásával, új programok bevezeté-sével és modernizációjával, ahogy a hagyományosoktatási rendszerben, úgy a felnőttképzésben is,csökkenthetőek lennének az egyes szakmák kereslete éskínálata között fennálló aránytalanságok. Továbbábiztosíthatnánk a munkavállalók mobilitását, illetve anagyobb foglalkoztatás lehetőségét a munkanélküliekkörében.

A fent említett következtetések arra utalnak, hogy ahagyományos oktatási rendszereket, és a felnőttképzésterületét úgy kell fejleszteni, hogy jobban alkalmazkodjona gazdaság és a társadalom fejlődésének szükségleteihez.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 1. sz. grafikon a középiskolaitanulók létszámát mutatja Bjelovar-Bilogora megyében: - gimnázium(közép szürke), - négyéves szakközép (sötétszürke), - háromévesszakmunkás (világosszürke)

A TERMÉSZETTUDOMÁNYOS TANTÁRGYAK JELENLÉTEA MEGLÉVŐ OKTATÁSI PROGRAMOKBAN:

Gimnáziumi programok

Az adatokból kiderül, hogy a gimnáziumi tanulók 19,57 %-a mind a négy év során tanulja a természet-tudományi tantárgyakat (kivéve az idegennyelvigimnáziumokat, ahol 3. vagy 4. osztálybanválaszthatnak a tantárgyak közül).

30A természettudományok oktatásáról Horvátországban

31

Négy – és ötéves szakirányú programok

Az egészségügyi ágazatban jónak mondható etantárgyak jelenléte, akár általános vagy szakirányúoktatásról beszélünk.

A technikusi képzésben jó helyen szerepel a fizikatantárgy. A földrajzot két éven keresztül oktatják,kémiát csak egy évig (kivéve a közlekedésitechnikusokat, akik az «ökológia a közlekedésben»,mint választható tantárgyat tanulhatják, viszont agépészinformatikai technikusok esetében még ez semválasztható).

Az úgynevezett „társadalmi ágazatban” egyáltalánnincs fizika, kémia (kivéve a közgazdászoknál egy évig).A biológiát csak egy évig tanulják (kivéve akereskedelmi tanulókat), míg a földrajzot aránylagnagy óraszámban oktatják. A kémia az a tantárgy,amelyik a legkisebb mértékben van jelen, mind azóraszámok, mind a szakmák tekintetében, és csaknagyon kicsit van jobb helyzetben a biológia (kivéve azegészségügyben), mert a szakmák zömében csak egyvagy két évig oktatják őket. A fizika jól szerepel atechnikusi képzésben, a földrajz pedig az úgynevezett„társadalmi ágazatokban”.

Hároméves szakképzési programok

Bjelovár megyében a hároméves szakképzésrebeiratkozott tanulók közül a második osztályban csak apincérek és a kereskedők tanulnak földrajzot, agépjármű-vezető tanulók első osztályban tanulnakfizikát, első és második osztályban pedig földrajzot. Azösszes többi képzési programban nincs se fizika, sekémia, se biológia, se földrajz.

AZ EREDMÉNYEK ELEMZÉSE

Az általunk használt kérdőív nyolc fejezetre oszlik éselsősorban arról gyűjt adatot, hogy milyen a diákokérdeklődése bizonyos természettudományos témákiránt, amelyek részét képezik az oktatási terveknek ésprogramoknak, különösen a gimnáziumokban.Továbbá, mi a diákok véleménye a jövőbenimunkájukról, a környezeti problémákról, a fizika,kémia, földrajz és biológia tantárgyak tanulásáról, atudomány és technológia fontosságáról, valamint adiákoknak milyen iskolán kívül szerzett gyakorlatitapasztalataik vannak.

A kérdőívet 319 első és második osztályos diáktöltötte ki, közülük 62 gimnazista lány és 28 gimnazistafiú, valamint 109 lány és 120 fiú, akik szakiskolákbajárnak. Ezt a kérdőívet 32 tanár is kitöltötte azzal azutasítással, hogy írják le, hogy mi érdekli a diákokat,valamint írják le jó gyakorlatok alkalmazását atermészettudományos tantárgyak oktatása során.

Kérdések és válaszok:

1. Úgy gondolja, hogy a jelenlegi oktatási tervekben ésprogramokban megfelelő óraszámban vanképviseltetve a természettudomány?

47,8 % igen 52,2 % nem

2. A tanulók kellőképpen motiválva vannak, hogyezeket a tantárgyakat tanulják?

31,8 % igen 68,2 % nem

3. Rendelkeznek-e megfelelő felszereléssel éseszközökkel, hogy minőségi munkát tudjanak végezni?

65,2 % igen 34,8 % nem

Mi hiányzik: gyakorlati oktatás, órán kívüli foglalko-zások, több kísérleti eszköz használata, speciálistantermek és felszerelés, több lehetőség kötetlenbeszélgetésekre a diákokkal a tananyaggalkapcsolatban. A kérdőíveken szereplő eredményeketegyes területek alapján elemezték, de a hangsúly két főfejezetre koncentrálódik: a „Kémia, fizika, biológia ésföldrajz tantárgyak tanulása”, illetve az „Én és akörnyezet” fejezetekre.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 2. sz. grafikon „A természet-tudományhoz köthető tantárgyak érdekesek” állítás értékelését mutatja.A grafikonon használt különböző színárnyalatok, felülről lefelé:

teljesen egyetérteknagyjából egyetértekkevésbé értek egyetegyáltalán nem értek egyet

Válaszadók: - gimnáziumi leánytanulók, - gimnáziumi fiútanulók, -szakiskolai leánytanulók, szakiskolai fiútanulók, - tanárok

A diákok többsége egyetért azzal, hogy a természet-tudományhoz köthető tantárgyak érdekesek, kivéve aszakiskolákban tanuló fiúkat. Ha a szakiskolákösszetételét vizsgáljuk, akkor ezek technikusi iskolák,ahol zömmel fiúk tanulnak, és nagyobb számbanoktatnak fizikát, a többi tantárgy pedig kevesebbóraszámban van jelen, tehát, azokat az óraszámokatkellene megnövelni, amelyek a szakterületükhözközelebb állnak. A tanárok meg vannak győződve arról,hogy a természettudományhoz köthető tantárgyakérdeklik a diákokat.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 3. sz. grafikon „A természet-tudományhoz köthető tantárgyak nehezek” állítás értékelését mutatja.

A gimnáziumi tanulók többsége úgy gondolja, hogya természettudományhoz köthető tantárgyak nehezek,míg a szakiskolákba járó diákok nem tartják nehéznekazokat. Érdemes lenne az okokra is fényt deríteni, mertezek szerint vagy a szakiskolákban túl kevés az óraszámezekből a tantárgyakból, és emiatt nem terheli őket eza feladat, vagy az oktatási programok alkalmazkodnak,és összhangban vannak a szerkezeti tartalmakkal,emiatt pedig a diákok nem nehéz tantárgyként élikmeg a felsorolt tantárgyakat. Érdekes, hogy a tanárok istisztában vannak vele, hogy ezek a tantárgyak bizonynehézségeket okoznak a diákoknak.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 4. sz. grafikon „A természet-tudományhoz köthető tantárgyak érdekesek” állítás értékelését mutatja.


33

Ezzel az állítással a diákok 50%-a ért egyet, viszont atermészettudományok a lányok számáraérdekesebbek, mint a fiúknak. Ezzel szemben a tanárokúgy gondolják, hogy ezeknek a tantárgyaknak atanulása érdekesebb annál, mint ahogy a diákokvélekednek.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 5. sz. grafikon „A természet-tudományhoz köthető tantárgyak tanulása révén új érdeklődésiterületet fedeztem fel” állítás értékelését mutatja.

Ennél a kérdésnél csak a gimnazisták és a tanároklátták érdekesnek a felsorolt tantárgyak tanulását.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 6. sz. grafikon „A természet-tudományhoz köthető tantárgyakat jobban szeretem, mint a többitantárgyat” állítás értékelését mutatja.

A diákok zöme kevésbé szereti a fizikát, kémiát,biológiát vagy földrajzot, mint a többi tantárgyat, errőlcsak a tanároknak más a véleménye.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 7. sz. grafikon az „Aztgondolom, hogy mindekinek tanulni kellene az iskolában ezeket atantárgyakat” állítás értékelését mutatja.

A tanulók 50%-a, és a tanárok 90%-a egyetért azzalaz állítással, hogy mindenkinek tanulni kellene ezeket atantárgyakat, kivéve a szakiskolákban tanuló fiúkat,ahol ez az arány jóval kisebb.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 8. sz. grafikon „Természet-tudományos ismereteimet a mindennapi életben is hasznosítani tudommajd” állítás értékelését mutatja.

A válaszadók közül a lányok és a tanárok 80%-agondolja így, míg a fiúk közül kevesebben vélikugyanezt.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 9. sz. grafikon„Azt gondolom, hogy a természettudományos ismereteim nagybannövelhetik az elhelyezkedésem esélyeit, és az üzleti karrieremalakulását” állítás értékelését mutatja.

A szakiskolákban tanuló fiúk ebben az esetben is alegkevésbé tartják ezt az állítást elfogadhatónak. Afejlett országokban tanuló diákok 50%-a nem ért egyetezzel az állítással, míg a fejletlenebb országokbantanuló diákoknál ez az arány sokkal magasabb.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 10. sz. grafikon„A természettudományi tantárgyak tanulása során egyre kritikusabb éskörültekintőbb leszek.” állítás értékelését mutatja.

Teljesen világossá vált, hogy a diákok számára atermészettudományos követelmények nemmegoldásra váró problémaként kerülnek bemutatásra.Ha viszont így lenne, akkor fejleszthetnék kritikaikészségüket, valamint kibontakozhatna belőlük a«felfedező».

A cikk horvát nyelvű változatában látható 11. sz. grafikon„A természettudományok tanulása felébresztette bennem akíváncsiságot olyan dolgok iránt, amelyeket még a tudomány nemtudott megmagyarázni” állítás értékelését mutatja.

A tanulók többsége egyetért azzal, hogy atermészettudomány felkelti érdeklődésüket olyandolgok iránt, amelyek egyelőremegmagyarázhatatlanok.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 12. sz. grafikon„A természettudományok tanulása növelte bennem a természet irántitiszteletet” állítás értékelését mutatja.

A tanulók többsége belátja a természettudományfontosságát, ami a természettel való együttéléshez, ésaz ehhez kapcsolódó életmódhoz köthető.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 13. sz. grafikon„A természettudományok tanulása rámutatott a tudományfontosságára életmódunkon keresztül.” állítás értékelését mutatja.

A válaszadók nagy többsége általánosságbanegyetértett ezzel az állítással.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 14. sz. grafikon„A természettudományok tanulásán keresztül megtudhatom, hogyantudok jobban gondoskodni az egészségemről” állítás értékelésétmutatja.

Mindenki egyetért azzal a ténnyel, hogy atermészettudományok révén fontos információkhozjutnak az egészségről.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 15. sz. grafikon „Szeretnéktermészettudósként vagy hasonló tudományos területen tudóskénttevékenykedni” állítás értékelését mutatja.

A válaszadók többségét nem érdekli a tudományosmunka, talán egy kicsit nagyobb érdeklődést mutatnaka gimnazisták.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 16. sz. grafikon a „Szeretnékminél több természettudományos tantárgyat az iskolában” állításértékelését mutatja.

Itt is megegyeznek az eredmények az európaiátlaggal: a tanulók nem szeretnének többtermészettudományos tantárgyat az iskolákban.

ÉN ÉS A KÖRNYEZET

A cikk horvát nyelvű változatában látható 17. sz. grafikon „A környe-zeti problémák engem nem érintenek” állítás értékelését mutatja.

A diákokat érzékenyen érintik a környezetiproblémák.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 18. sz. grafikon az„Egyetértek a környezeti problémák megoldásával, még akkor is, haezért fe kell áldozni sok mindent” állítás értékelését mutatja.

A fiúk kevésbé készek feláldozni dolgokat akörnyezet megóvása érdekében, mint a lányok.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 19. sz. grafikona „Személyesen is tudok tenni a környezet állapotáért” állítás értékelésétmutatja.


35

A lányok érzékenyebbek a környezeti problémáktekintetében, mint a fiúk, és hajlandóak is pozitívlépéseket tenni a problémák megoldása érdekében.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 20. sz. grafikon„Az embereknek többet kellene tenni a környezetvédelemért” állításértékelését mutatja.

A tanulók többsége úgy gondolja, hogy minden-kinek többet kellene tenni a környezetvédelemért éstisztában vannak azzal a ténnyel is, hogy jelentősmértékben hozzájárulhatnak környezetük védelméhez.

A cikk horvát nyelvű változatában látható 21. sz. grafikon az „Aztgondolom, hogy mindenki jelentős mértékben hozzájárulhatnakörnyezete védelméhez.” állítás értékelését mutatja.

És ami nagyon fontos, hogy a tanulók többsége, defőleg a lányok, optimistán néznek a jövőbe:

A cikk horvát nyelvű változatában látható 22. sz. grafikon az„Optimista vagyok a jövőt illetően” állítás értékelését mutatja.

VÉGKÖVETKEZTETÉSEK

1. A gimnazisták teszik ki a középiskolás populáció19,57%-át, és négy éven keresztül tanulják atermészettudományos tantárgyakat, a többi diák pedig(80,43%) több vagy kevesebb óraszámban tanulja etantárgyakat, attól függően melyik területen tanulnak.A négyéves szakiskolák oktatási programjábankülönböző mértékben van jelen a természettudomány:

Az egészségügyi szakiskolákba a tanulók 7,03%-ajár, és nagyobb óraszámban tanultermészettudományos tantárgyakat,

Technikai jellegű szakiskolákba a tanulók 16,76%-ajár, közülük négy éven keresztül mindenki tanul fizikát,földrajzot két évig, kémiát és biológiát viszont csak egyévig.

Az úgynevezett „társadalmi ágazatban” tanulókaránya 22,11%, itt egy kicsit nagyobb óraszámbanoktatják a földrajzot (két vagy három évig is), biológiátegy évig, a kémia és fizika tantárgyak pedig egyáltalánnincsenek az oktatási programban, tehát a tanulóknem is tanulják őket (kivéve a közgazdász tanulókat,akik 1.osztályban tanulnak kémiát).

A hároméves szakmunkás iskolákban nagyon kismértékben vagy egyáltalán nincsenek képviselve ezeka tantárgyak:

A gépjármű-vezető tanulók a diákok 1,47%-t teszikki, és két éven keresztül tanulnak földrajzot, egy évigpedig fizikát

A pincérek 2,87%-át, az eladók pedig a diákok7,04%-át teszik ki, és a 2.osztályban csak földrajzottanulnak

A többi szakmát tanuló diákok, akik a teljesközépiskolai populáció 23,16%-át teszik ki, egyáltalánnem tanulnak természettudományhoz köthetőtantárgyakat.

2. A tanulmány eredménye alapján, amely az IPA IV.Komponense – A humánerőforrás fejlesztés – tisztánkivehető, hogy Bjelovar-Bilogora megyében komolyhiány mutatkozik a közoktatási szektorban, ahol alegnagyobb mértékben a természettudományhozköthető szakmák hiányoznak:

erdészet, fafeldolgozás (biológia, kémia)közlekedés és logisztika (fizika, kémia, földrajz)mezőgazdaság, élelmiszeripar és állatorvosi

(biológia, kémia)építészet és geodézia (fizika, kémia)geológia, bányászat, olaj –és vegyipari technológia

(fizika, kémia)

3. Az eredmények azt mutatják, hogy a természet-tudományos tantárgyakat elég nehezen, és nem isszívesen tanulják a diákok, viszont érdekesek. Tisztábanvannak vele, hogy ezek az ismeretek segítségetadhatnak a mindennapi életben, felkelti azérdeklődésüket, sokan úgy gondolják, hogy általuknövekszik az elhelyezkedés lehetősége. Atermészettudományok rávilágítanak arra a tényre,hogy milyen fontos a tudomány. Növelik a természetiránti tiszteletet, ismereteket szereztek arról, hogyanóvhatják még jobban az egészségüket, de nemgondolják úgy, hogy mindenkinek tanulni kelleneezeket a tantárgyakat. A többség nem szeretne kutatólenni, és nem szeretnék nagyobb óraszámban ezeket atantárgyakat tanulni. A hároméves szakmunkásiskolákban egyáltalán nem folyiktermészettudományos tantárgyak oktatása, ezért ezt aréteget semmilyen szinten nem érdeklik ezek atantárgyak, és csak plusz teherként élnék meg. Anégyéves szakközépiskolákban a technikai szakokonlegtöbbet a fizikát oktatják, ami vagy nehéz, és emiattnem szeretnének több órát a diákok, vagy ez a tantárgyrészét képezi a komplett természettudományosoktatásnak, és emiatt nem szeretnének plusz órákat.Úgy gondolják, hogy a szakmájukon keresztülalaposabban elsajátítíhatják majd az ezzel kapcsolatosismereteket.

Ahhoz, hogy megfelelő motivációs szintre juttassukel a diákokat, a tanároknak fel kell mérni a diákokérdeklődési körét bizonyos témákban, és ehhezmegpróbálni hozzáigazítani a nevelési tartalmakat,vagy problémákat tartalmazó kérdéseken keresztüleljutni a diákok érdeklődési területéhez, amikapcsolódhat a tantárgyi témákhoz.

4. A tanulók tisztában vannak a környezetiproblémákkal, és azzal is, hogy befolyásolhatják eproblémák megoldását. Úgy gondolják, hogy azembereknek többet kellene foglalkozni akörnyezetvédelemmel, többet tehetnének a környezetiproblémák megoldása érdekében, továbbá hajlandóakáldozatot hozni környezetük védelméért. Akörnyezettel kapcsolatos kérdések tekintetében alányok sokkal érzékenyebbek, mint a fiúk.

Fontos tényező, hogy a fiatalok többsége optimistaa jövőt illetően.


39

Ez a határokon átnyúló projekt a Kaposvári Egyetem,mint vezető partner, a verőcei Petar PreradovicGimnázium, továbbá Bjelovar-Bilogora megye, minttársult partner, valamint a grubisno poljei Bartol KasicKözépiskola együttműködése révén valósult meg.

A projekt időtartama 12 hónap volt. A projekt soránmegvalósult tevékenységekre 39.000 Euró álltrendelkezésre (ebből valamivel több mint 22.000 Euróta fizika oktatásához használatos eszközök beszerzéséreköltöttünk). A projekt az Európai Unió pénzügyitámogatásával valósult meg (85%-s támogatás). A fennmaradó részt Verőce-Drávamente megyefinanszírozta. A projekt Verőce-Drávamente megye, ésa VIDRA Regionális Fejlesztési Ügynökség hathatóstámogatásával jött létre.

A projektteam tagjai horvát részről: SlobodankaPolašek középiskolai tanár, Ivana Bešir középiskolaitanár és igazgató, Jasminka Viljevac középiskolai tanárés Slava Drpić könyvelő voltak. A projekt során komolytámogatást nyújtott Emina Cirikovic, a VIDRAÜgynökség alkalmazottja.

A projekt céljai

A természettudományos ismeretek (elsősorban amatematika és fizika) népszerűsítése a határon átnyúlóterületeken; különféle jó gyakorlatok kipróbálása ésátvétele; játékos és egyéb módszerekkel végrehajtottkísérletek; a közösséghez való tartozás érzésénekfejlesztése, valamint a tolerancia fejlesztése ahatármenti térségben.

Fő program-eseményünk: a Tavaszi fizika műhely

Az eseményt 2012. május 10-11-én rendeztük meg averőcei Petar Preradovic Gimnáziumban. Az első naponegy fizika-versenyre került sor. A versenyen 49 tizedikés tizenegyedik osztályos tanuló vett részt, akik aVerőcéről, Kaposvárról és Grubisno Poljéból érkeztek.

A verseny után Korado Korlević, visnjani származásúhorvát csillagász egy fotókiállítást nyitott meg,amelynek témája az űrkutatás volt. Abban a különleges

Slobodanka Polašek

Project Report Of The Spring School of Physics in Virovitica

The Spring School of Physics was the Croatian event of our CrossBorderScience (HUHR/1001/2.2.1/0006) project. This project event was coordinated by the Kaposvár University and organized by the Petar Preradović High School inVirovitica with the partnership of Bjelovar- Bilogora County. This paper is a project report on the activities of SpringSchool of Physics, 2012, May 10-11, Virovitica. In this phase of the project we realized 8 workshops in physics and 6workshops in mathematics and arts. After the workshops an anonymous survey was conducted with the participationof the students about the student's attitude towards physics and mathematics and about the success of our program.We had more than 300 participants at the events and more than 250 students took part in the survey. Most of themfound interesting our approach and found important the application of non-formal methods and approaches in theeducation of mathematics and physics.

Tavaszi fizikai iskola

élményben lehetett részünk, hogy egy igazi meteoritotis a kezünkbe foghattunk, a verőcei Zlatko Kovačevićsegítségével pedig napkitöréseket ismegfigyelhettünk.

A rendezvény második napján egy rendhagyóiskolanapot szerveztünk az egész iskola részvételével.A Tavaszi fizikai műhely megszervezésében az iskolaminden dolgozója rész vett.

A megtartott 8 fizikai és 6 matematikai-művészetitárgyú műhelyen közel háromszázan voltak jelen.

A két órán át tartó workshopok után a Tavasziműhely több mint 300 résztvevője a VerőceiSzínházban folytatta programját.

Slobodanka Polašek, Ivana Bešir, Vesna Šerepac,Diana Dumenčić, dr. Stettner Eleonóra és Szabó Ildikóköszöntő szavai után közösen meghallgattuk KoradoKorlevic horvát csillagász plenáris előadását “Űr-őrség”címmel. Korlevic úr a jelenlévő diákokat arra biztatta,hogy minél többen kapcsolódjanak bekutatócsoportok munkájába.

40

A fizikai műhelyek címe és előadói:

A műhelyek címe Előadói Fizika a víz felszínén dr.sci. Ivica Aviani

Jelenségek a vákuumban Hrvoje Mesić, PMF Zagreb

Játsszunk Isaac Newtonnal Slobodanka Polašek, prof.

Geometriai optika Ivana Salajić, prof.

Súrlódási erő Marko Stipandić, prof.

Hullámok Lea Mioković, Ivan Kasumović és Josip Živković, valamint a diákok

Gravitációs gyorsulás meghatározása matematikai inga segítségével

Sara Marija Lovrenović, Dario Barišić és Slaven Nađ, valamint a diákok

Enigmatikus fizika Marin Lovreković, Hrvoje Mikec és Tibor Žukina, valamint a diákok

A matematikai-művészeti műhelyek címe és előadói:

A workshopok címe Előadói Geogebra Jasminka Viljevac, prof

A molekulától az űrbázisokig Zometool és Styro-block készlet segítségével

Kabai Sándor, mérnök, Dr. Holló-Szabó Ferenc matematikus (Matematikai Múzeum, Budapest) és mérnök, valamint Szabó Ildikó,

matematika-fizika tanár Ezt rakd össze! Geometriai testek építése

Zometool segítségével Dr. Vörös László matematikus (Pécsi

Tudományegyetem)

Poliuniverzum műhely Saxon Szász János, képzőművész, feltaláló és Dárdai Zsuzsa, művészetkritikus

Geometria 3D-ben Dr. Nagy Gyula matematikus (Szent István Egyetem)

Escher-féle periódikus minták a háromdimenziós testek felületén

Dr. Eleonóra Stettner matematikus (Kaposvári Egyetem)

Radionice iz fizike bile su :

Naziv radionice Voditelj Fizika na površini vode dr.sci. Ivica Aviani

Pojave u vakuumu Hrvoje Mesić, PMF Zagreb

Igrajmo se s Isaacom Newtonom Slobodanka Polašek, prof.

Geometrijska optika Ivana Salajić, prof.

Sila trenja Marko Stipandić, prof

Valovi Lea Mioković, Ivan Kasumović i Josip Živković, učenici

Određivanje gravitacijskog ubrzanja pomoću matematičkog njihala

Sara Marija Lovrenović, Dario Barišić i Slaven Nađ, učenici

Enigmatska fizika Marin Lovreković, Hrvoje Mikec i Tibor Žukina, učenici

Radionice iz matematike bile su:

Naziv radionice Voditelj Geogebra Jasminka Viljevac, prof

Istraživanja Građe Od Molekule Do Svemirskih Stanica Sa Pomagalima

Zometool I Styro-Bock

Sándor Kabaim, ing. , Dr. Ferenc Holló-Szabó matematičar i inženjer i Ildikó Szabó,

prof.

Složi! Gradnja geometrijskih tijela s pomagalima zometool

Dr. László Vörös (Sveučiliste u Pečuhu)

Radionica poliuniverzuma» -radionicu vodio

János Saxon Szász, umjetnik i izumitelj i s Zsuzsa Dárdai, kritičarka umjetnosti

Geometrija u 3D Dr. Gyula Nagy

Escherovi periodični uzorci na površinama trodimenzionalnih tijela

Dr. Eleonóra Stettner (Sveučilište u Kaposvaru)

Tavaszi fizikai iskola

Ezt követően egy másik fontos eseményre is sorkerült „Fizika a színpadon” címmel. Az esemény idejealatt számos érdekes fizikai kísérletet végeztek ameghívott előadók: dr.sci. Ivica Aviani, a zágrábi FizikaiIntézet kutatója, valamint Hrvoje Mesi fizikus, a zágrábiTermészettudományos Főiskola Fizika Tanszékénektanára.

A foglalkozások végén kiosztották az ajándékokat ésokleveleket azoknak a diákoknak, akik részt vettek afizika versenyen.

A Tavaszi fizikai műhely értékelése

A foglalkozások megtartása után egy anonim kérdőívkitöltésére kértük fel a verőcei Petar PreradovicGimnázium tanulóit, valamint a Tavaszi iskolarésztvevőit. A kérdőívet Ivana Bezak középiskolai tanárállította össze. Az első nyolc kérdésre 125 diáktólkaptunk választ, akik részt vettek a fizikai műhelyeken.Az első három kérdésben a diákok véleményét kértükki azzal kapcsolatban, hogy mennyire érdekes tantárgyszámukra a fizika, megfelelő-e a tananyagmagyarázatának módszertana, és milyennehézségekkel szembesülnek a fizika tanulásakor. Akövetkező négy kérdés megválaszolása során a diákokarról fejtették ki a véleményüket, hogy miként éreztékmagukat a fizikai műhelyeken.

Az utolsó két kérdésben a műhelyeket követőeseményekről kaptunk információkat. Ezekre akérdésekre összesen 219-en válaszoltak. Ebben azesetben olyan diákoktól is kaptunk választ, akik amatematikai műhelyeken vettek részt. A kapottválaszok és eredmények elemzéséből azt állapíthattukmeg, hogy sikeres volt-e a Tavaszi fizika műhelyprogram, és teljesültek-e a projektben előzetesenmegfogalmazott célok.

1. grafikon: Arra a kérdésre, hogy «Érdekes-e a fizika?» a diákok 1 és 5közötti osztályzatokat adtak, ahol az 5 az érdekes kategóriába, míg az 1a nem érdekes kategóriába tartozott. 80 diák (64%) számára érdekes a fizika, 34-en gondolták úgy (27,2%),hogy számukra érdekes is, meg nem is, és 11 diák (8,8%) nyilatkozta azt,hogy nem érdekli őket a fizika.

2. grafikon: A tananyag magyarázatára vonatkozó módszertan eseténa válaszok az érdekestől (5) az unalmas irányába (1) haladtak.A diákok 44%-a válaszolt úgy, hogy a fizika érdekes tantárgy és motiválóhatása van. A diákok többsége (46 diák, azaz 36,8%) a fizikát nem tartja seérdekesnek, se unalmasnak. 24 diák, azaz 19,2 % a fizikát unalmasnak tartja.Felvetődik a kérdés, hogy mit lehetne tenni, és hogyan kellene a diákokérdeklődését felkelteni a fizika tanulása iránt?

3. grafikon: A kérdőívet kitöltők közül 39-en (a diákok 31,2 %-a) a fizikátgond nélkül, vagy kisebb nehézségek árán tanulják. A válaszadókkevesebb mint egyharmadának, azaz 38 diáknak (30,4%) közepesnehézséget okoz a fizika tanulása. Viszont 48 diák (38,4%) kifejezetten nehezen tanulja a fizikát.

4. grafikon: Arra a kérdésre, hogy milyenek voltak a fizika workshopoka következő válaszokat adták a diákok: A legkevesebben, négyennyilatkoztak úgy, hogy unalmasak voltak (3,2%). 36% érdekesnek és hasznosnak, 31,2% szórakoztatónak, 32 % pedigújnak és másnak vélte.

42Tavaszi fizikai iskola

43

5. grafikon: Arra a kérdésre, hogy hogy érezték magukat a fizikaworkshopokon, ezeket a válaszokat kaptuk:6 diák (4,8%) volt csalódott, 67,2%-uk volt elégedett, és izgalmasbenyomásokról számolt be. 35 diák (28%) kellemesen csalódott, akik felfedezték, hogy a fizikaérdekes is lehet.

6. grafikon: A diákok többségének tetszettek az érdekes bemutatók(32,8%).A csapatmunkát és a hangulatot a válaszadók 20,8%-a dicsérte. A feldolgozott példák a válaszadók 19,2%-a szerint voltak érdekesek. Kicsit kevesebben (16,8%) értékelték érdekesnek a feldolgozott témákat.A válaszadók kb.egytizede számára volt érdekes az aktív részvétel..

Az utolsó két kérdésre 219 diák válaszolt. A kérdésKorado Korlevic plenáris előadására vonatkozott,amelyet a verőcei színházban tartott.

7. grafikon: A válaszadók több mint fele, 64 diák (51,2%) úgy gondolja,hogy ilyen módszer segítségével jobban megértik a tananyagot. 40 diákpedig (32%) kifejezetten szeretne bekapcsolódni a tananyagfeldolgozásába.És amíg 15 diák (12%) gondolja érdekesnek ezt a munkát, de ettől mégújat nem tanulnak, addig 6 diák (4,8%) nyilatkozott úgy, hogy úgy tanultöbbet, ha nincs bevonva a tananyag feldolgozásába.

8. grafikon: 14 diák (6,4%) gondolta azt, hogy ez az előadás nemjelentett semmi újat a számukra. A többiek úgy gondolják, hogy kivételesen érdekes (45,7%), nagyonhasznos (28,3%), és motiváló hatású (19,6%) volt.

9. grafikon: A színpadon bemutatott kísérletek csak 4 diák (1,8%)számára voltak érdekesek, de nem értették őket. A diákok majdnem fele, azaz százan (45,7%) jelezték, hogy a kísérletekérdekesek és szórakoztatóak voltak. 83 diák (37,9%) számára pedig a kísérletek az elméleti dolgokgyakorlatba való átültetését jelentették.

A diákok válaszait elemezve, arra a következtetésrejutottam, hogy a fizika, mint tantárgy meglehetősnehézségeket okoz a diákok számára. Ugyanakkordicséretes, hogy a diákok zöme aktívan szeretnebekapcsolódni a kísérletek folyamatába, szeretnénektöbbet tanulni, és szükség lenne új tartalmakbemutatására nem-formális tanulási módszerekalkalmazásával.

A kérdőív és a verbális kommunikáció alapján adiákok nagyon elégedettek voltak a látottakkal.

Összegezve: számos tevékenységen és nem-formálistanulási módszerek segítségével sikeresen valósultmeg a matematika és fizika népszerűsítése a határonátnyúló térségben, és sor került a jó gyakorlatokmegismerésére is a természettudományok alaposabbtanulmányozása által. Sikerült néhány nevelési célt ismegvalósítanunk: megerősítettük a közösségheztartozás élményét, fejlesztettük a jószomszédi viszonyt,valamint a különbözőségek tiszteletben tartására issikerrel hívtuk fel a figyelmet. Diákjaink megtapasztal-hatták, hogy a természettudomány nem csak közöstalálkozók érdekes témája lehet, hanem egyben újismeretek és játékok forrása is.

46Tavaszi fizika iskola

48Tavaszi fizika iskola

49

A horvátországi projektpartner részéről a matematikaiműhelyek megvalósítása és szervezése JasminkaViljevac, a verőcei Petar Preradovic Gimnáziummatematika és fizika tanárának irányításával történt.Ezeknek a műhelyeknek a fő témája a Geogebramatematikai program alkalmazása volt.

A Geogebra egy olyan matematikai szoftver, amely ageometria, algebra és az analízis elemeit ötvözi. Ezt aprogramot Markus Hohenwarter 2001-ben fejlesztetteki a salzburgi egyetemen a matematikai tanuláshoz. A Geogebra program egy dinamikus geometriairendszer, amely pontokat, vektorokat, szakaszokat,egyeneseket, sokszögeket, görbéket és függvénygrafikonokat szerkeszt, amelyeket később a felhasználódinamikusan változtathat, s ezzel megváltoznak azalgebrai tulajdonságaik is. Másrészről a paramétereket,egyenleteket, koordinátákat és utasításokatközvetlenül is bevihetjük, és ha ezeken változtatunk,akkor ezeket a változtatásokat is követik a hozzájukköthető már megszerkesztett geometriai alakzatok. Eza kétfajta megközelítés a Geogebra program alapvetőjellemzője: az algebrai ablakban történő kifejezésmegfelel a geometriai ablakban történő kifejezésnekés fordítva.

A GeoGebra egy ingyenes program (freeware),melynek jellemzői:

professzionális szintű alkalmazási lehetőségei vannakszámos nyelven (természetesen horvátul és

magyarul is) tökéletes fordítással rendelkezik jól fedi az általános és gimnáziumi matematikai

tananyagotjobban összeköti az algebrát és a geometriát, mint

más programokegyszerű a használata diák és tanár számára

egyaránta diákok 5. osztálytól egészen az egyetemig

használhatják ezt a programotgrafikai megjelenítése magas színvonalú, különösen

a vetítések esetébendinamikus rajzot generál a weboldalon (applet)a rajzok más programok és prezentációk alkalma-

zása során is felhasználhatóak, beleértve a LATEXet is.

Jasminka Viljevac

GeoGebra workshops in the Natural Sciences Know No Borders project

GeoGebra is a mathematical software uniting geometry, algebra and analysis. It was developed by MarkusHohenwarter in 2001. This software has been widely used and developed in Croatia as well. Our workshops, under thetitle of "Mathematics, Art And GeoGebra" aimed to show the connection between certain geometric shapes and visualarts. The workshops were conducted by Jasminka Viljevac, mathematics and physics teacher of Petar PedarovicGrammar School.

A GeoGebra szerepe “A természettudomány nem ismer határokat”című projektben

Horvátországban a program megszületése ótaalkalmazzák, fejlesztik a Geogebrát, matematikatanárok szemináriumain is népszerűsítik. Fontosmegemlíteni, hogy e témában a pázini illetőségű ŠimeŠuljić professzor tart továbbképzéseket általános ésközépiskolai tanárok számára. A Geogebra alegelterjedtebb matematikai programHorvátországban, amelyet nagyszámban használnakdiákok és tanárok is. Abban bízom, hogy e projektmegvalósítása után a Geogebrát még többen fogjákhasználni magyarországi és horvátországi partnereinkközül is.

A „Matematika, művészet, geogebra” című műhelyekvalójában összekötötték a klasszikus matematikaiproblémák megoldását a Geogebra matematikaiprogrammal, a cél pedig az volt, hogy bemutassák, amatematikában is vannak olyan görbék és alakzatok,amelyeket megtalálhatunk a hagyományos és amodern művészetekben is. A diákok végül, tekintettela 2011 telén megrendezett műhelyek idején márközelgő ünnepre, a matematikai problémák ésfeladatok megoldásán keresztül karácsonyi díszeketterveztek és kiviteleztek. A feladatokat előszörszámolással, méréssel, rajzolással, varrással majdvágással oldották meg, utána pedig a Geogebramatematikai programmal. Az így szerzett tapasztala-tokat és új készségeket a diákok hasznosítani tudjákmajd új matematikai ismeretek megszerzésében vagya mindennapi életükben is.

50A GeoGebra szerepe a Natural Sciences Know No Borders - A természettudomány nem ismer határokat című projektben

51

Az első műhelyt 2011. november 5-én tartottukVerőcén. A résztvevők a Petar Preradovic Gimnázium 2.és 3. osztályának matematika tagozatos tanulói voltak.

A „Matematika, művészet, GeoGebra“ című másodikműhely 2012. december 2-án került megrendezésreKaposváron a helyi Táncsics Mihály Gimnázium 10. és11. osztályának tanulói részvételével. Az iskola aKaposvári Egyetem projektpartnere.

Ahogy Verőcén, a cél itt is az volt, hogy különbözőfeladatok megoldásán keresztül, matematikaialakzatok segítségével fel kellett díszíteni akarácsonyfát.

Először a diákok megrajzolták, majd kivágták a piros,fehér és zöld színű papírból papírból az f1(x) = 1 + 2 (sin x) és f2(x) = -1 - 2 (cos x) függvényekgrafikonjait, amelyek ugyanabba a koordinátarendszerbe lettek berajzolva, és az így kapottszalagokat rögzítették a fenyőfához: a csúcs közelébehelyezték a piros szalagokat, aztán következtek afehérek, majd végül a zöldek – ezzel egyben a magyarzászló színeit is szimbolizálták.

A követekező feladat díszek készítése voltgeometriai alakzatok segítségével: kör, háromszög,négyzet, téglalap és trapéz. A diákok megtanulhattákhogyan viszonyulnak egymáshoz a papír szalagbólkészített és a Geogebra program által szerkesztettugyanolyan kerületű alakzatok területei. Az elkészített

alakzatokat a fenyőfán a csúcsából indulva úgyhelyezték el, hogy a legkisebb területűek voltaklegmagasabban (háromszögek), a legnagyobbak pediga fa alsó részén kaptak helyet (kör).

A Bézier-görbéket mindenki szépnek látja, ezértolyan díszeket is készítettünk, amelyek a Béziergörbéken alapulnak. A Bézier-görbe a számítógépesgrafikában gyakran használt parametrikus görbe. Aszámítógépes grafikán belül a Bézier görbe fontoseszköz, amelyet szabadon alakítható sima görbékmodellezésére használnak. A rajzoló és képszerkesztőprogramok, mint például az Adobe Illustrator , AdobePhotoshop vagy a CorelDraw egymáshoz kapcsoltBézier-görbék kombinációját használják. A Béziergörbék nagyon elterjedtek, és a számítógépesanimációban is használják olyan programok, mintpéldául a Adobe Flash , Adobe After Effects és a 3DMax.

Mivel minden karácsonyfán van csillag, ezért mi isszerkesztettünk egy szabályos ötszöget és az átlóit,majd készítettünk egy arany színű ötágú csillagot. AGeogebrában eljátszottunk a csillag elkészítésével,amelyet a következő egyenlet paramétereineksegítségével határoztunk meg: 2mx-3(3-x)=m2(x-1).

Különleges dísz készíthető, ha különböző színűpapírokból háromszögeket vágunk ki, vagy talán mégjobb, ha Sierpinski-négyszöget. A feladat Geogebrasegítségével történő megoldása érdekessé teszi az újeszköz készítését. A műhely végén egy érdekes,matematikai alakzatokkal feldíszített karácsonyfátkaptunk, amely a lenti fényképen látható mindazoktársaságában, akik részt vettek a munkában, azaz akaposvári Táncsics Mihály Gimnázium tanulói, valaminta műhely vezetője Jasminka Viljevac Verőcéről.

A grubisno poljei Bartol Kasic Középiskola tanulói, (a projekt partnerei Bjelovár megyéből) csakúgy, mint averőcei Petar Preradovic Gimnázium tanulói, résztvettek a Tavaszi műhely keretében megtartottGeogebra workshopon is. Ők függvényeket ábrázoltak.Tanulmányozták a lineáris, négyzetes és trigono-metrikus függvények tulajdonságait.Ezeken a műhelyeken a projektben résztvevőkmegtanulhatták alkalmazni a Geogebra számítógépesprogramot geometriai problémák megoldásához,függvény grafikonok rajzolásához, de különbözőérdekes tárgyak és díszek készítéséhez is.


53

A műhelyeken részt vett diákjaink együttműködése azteredményezte, hogy nagyobb aktivitást és részvételtmutattak más matematikai projektek iránt (egyéni éscsoportos versenyeken való részvétel, stb.)

Kitűzött célunkat, amit a matematika népszerűsítéseérdekében a határ menti térségben tettünk,teljesítettük, továbbá sikerült jó gyakorlatokonkeresztül tapasztalatot cserélni a természettudományés a matematika területén. Sikerült más nevelésicélokat is megvalósítani: a közösséghez tartozásérzésének fejlesztését és a jószomszédi viszonyelmélyítését. A diákok megtapasztalhatták, hogy atermészettudomány témája lehet találkozóknak, s újismeretek szerzésének és játékoknak, az alkotásnak isaz eszköze.

57

Sliceforms

Sliceforms are geometrical models constructed by assembling planar sections of a mathematical surface togetherby means of notches. The first models of second order surfaces were first constructed in Munich following theinstructions of the famous mathematician Felix Klein (1849-1925). In 1990, the British mathematician John Sharppopularized Sliceforms in educational environments.

The notches of the Sliceforms are divided in regular intervals. There will be as many notches as pieces that will beassembled in each direction. The notches are usually cut from the midpoint of the sheet in increasing direction forcross sheets and decreasing direction for longitudinal sheets (or vice versa). The intervals and length of the notchesmay be changed in different ways.

Popular Computer Algebraic Systems (CAS) like Mathematica, Maple, Derive or Sage can be used to calculateaccurately the flat sections of any surface to be assembled as a Sliceform. Let’s see a quick example for theHyperbolic Paraboloid z = 1.75 x*y using notation from Mathematica. First we draw the figure:

Javier BarralloProfessor of Mathematics, The University of the Basque Country, San Sebastián, [email protected]

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Síkmetszet alakzatok

A síkmetszet alakzatok geometriai testekből keletkeznek. Atesteket két egymásra merőleges tengely mentén, egymástólegyenlő távolságra elmetsszük, a keletkezett síkmetszeteket aszükséges bevágásokkal ellátva összeillesztjük.

RegionPlot3D [ z < 1.75 x*y, {x,-1,1}, {y,-1,1}, {z,-2,2} ]And then create an array of n flat slices for the surface in X direction:

Table [ RegionPlot [ z < 1.75 x*y, {x,-1,1}, {z,-2,2} ], {y,-1,1, 2/(n-1) } ]And the same process for Y direction. Remember to substitute n with the desired number of slices:

Table [ RegionPlot [ z < 1.75 x*y, {y,-1,1}, {z,-2,2} ], {x,-1,1, 2/(n-1) } ]

Notches are not printed in this example and will need some more mathematical programming, although they maybe calculated easily with a simple geometrical calculation.

VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS58

59

Fourfold layering in composite plane symmetry patterns from Samarkand, onceAfrasiab, Uzbekistan

Several murals of royal towns preserve worthy cultural and scientific heritage of the societies of ancient Eurasia.They shed light on the ethnomathematical knowledge of those times. The structural characteristics ofmultilayered composite plane symmetry patterns have been shown to be important Eurasian artistic heritage(Bérczi, 2004). We can even find fourfold layering in wallpaper patterns painted in Samarkand (whose ancientname was Afrasiab) in Uzbekistan. The archaeological excavations and architectural reconstructions began inSoviet era Uzbekistan and occurred again recently. The murals of the palace of the ancient Afrasiab is an extremelyinteresting place in ethnomathematical terms in Eurasia.

Plane symmetry patterns that were produced from repeated congruent elements arranged in a regular formhave been found from the Neolithic Age (Jablan, 2002). Multi layered composite patterns were described onarchaeological finds of ancient Eurasia. Especially those royal tombs of the Scythians, Xiongnu-Huns and Chineseexhibit more than one wallpaper pattern system in one ornamental adornment.

The highest complexity among these old Eurasian multi layered plane symmetry patterns can be found on thedress of the figures painted on the Afrasiab mural. There three merchants bring presents to the princess ofSamarkand (Fig. 1.)

Figure 1: The 3 merchants bringing presents to the Princess of Afrasiab. (Samarkand, Uzbekistan)


Szaniszló BércziEötvös University, Institute of Physics, Budapest, [email protected] / planetologia.elte.hu

Négyrétegű összetett síkbeli szimmetria-mintázatokaz üzbég Szamarkandból, a hajdani Afrasiab-ból

Olyan mintákat figyelhetünk meg, amelyek 4 alrendszerrebonthatók és az egyes részek más-másszimmetriacsoport szerint rendeződnek.

Figure 2: The merchant with the dress of fourfold layering plane symmetry pattern. (Samarkand, Uzbekistan)

Figure 3: The fourfold layering plane symmetry pattern with the different plane symmetry subsystem patterns differentiated by color.(Samarkand, Uzbekistan)


61

Figure 4: The separated four subsystems: up left: cm (the 3 black arcs in the red dots are important), pm (the leafy branches), p4m (the pearl-rings), and pg (the boar-heads).

The detail of the Afrasian mural we are analyzing consists of 4 different plane symmetry patterns. They can beshown in various forms as separated subsystems (Figs. 3, and 4) The great pearls in the quarters of the ring form acm subsystem (There the 3 black arcs are important, because they violate the up-down symmetry of these pearls).The pearl rings form a p4m type subsystem. The leafy branches form a pm subsystem. Finally, the mostremarkable figures, the boar-heads form a pg plane symmetry group subsystem.

Central Asian mathematics is best known by Al-Khwarizmi, who originated from Chorezm, a town situated atthat time at the southern shoreline of the Aral Sea. However, Central Eurasian mathematics moved to the court ofthe caliphate, that is why we do not know more about Central Asian mathematics. I hope this short report helps inreviewing the important developments once carried out in the Central Asian states around 500-700 AD.

References:

Bérczi Sz. (2011): Évezredek etnomatematikája az eurázsiai művészetekben. (Thousand years of ethnomathematics in the EurasianOrnamental art.) TKTE, BudapestJablan S. (1995), Theory of Symmetry and Ornament. Beograd, Matematički Institut.Jablan S. (2002): Symmetry, Ornament and Modularity. World Scientific, Singapore


Simple Closed Curve Artwork

Is it possible to place a loop of string on a sheet of paper in such a way that the string resembles a circle? Yes. A square? Yes! But what if we want the string to resemble a portion of Michelangelo’s The Creation of Adam? Andwhat if we want the string to be a simple closed curve, a curve that does not intersect itself and has no endpoints,so that when we trace it, we return to our starting point? Is it still possible? The answer is once again yes. If youexamine the Hands (after Michelangelo) curve shown below, you will find that the curve does not intersect itself.And if you trace it, you will find that you end up where you started. So it is a simple closed curve. Mathematicianscall simple closed curves Jordan curves after the French mathematician Camille Jordan (1838-1922). Jordan’s JordanCurve Theorem states that when a simple closed curve is drawn in the plane, it cuts the plane into two pieces: thepart that lies inside the curve, and the part that lies outside it.

From an artistic standpoint, simple closed curves are incredibly rich. When we view Hands from a distance, wemay conclude that the hand of Adam and the hand of God have just separated. Perhaps God just finished giving lifeto Adam. But when we move closer, we notice that the entire image is formed of a single black line (188 feet long)on a 44” by 19.5” white canvas. We may wonder: Are Adam and God really separate from one another?

In Embrace, the simple closed curve is the gap between the steel inside and the brass outside. The two water-jet-cut pieces share many features. For example, if we lift up the outside, rotate it 60 degrees about its center, and thenplace it down on top of the inside, we discover a considerable amount of overlap. In fact, the two pieces differ attheir centers and near the edges of the disk. Elsewhere, they are identical. Viewed mathematically, Embrace is asculptural illustration of the Jordan Curve Theorem. But it is more. When we interact with it, we may becomeconvinced that a union (of objects, or of human beings) can be more beautiful than its individual parts.


Robert BoschOberlin College, [email protected] / www.dominoartwork.com

Az egyszerű zárt görbék művészete

Az egyszerű zárt görbe, más szóval Jordan görbe egyolyan vonal, amelynek kezdő és végpontja egybeesik, ésnem metszi önmagát. Michelangelo Ádám teremtésecímű alkotásának egy részletét látjuk egyszerű zártgörbével megrajzolva, majd az Ölelés című alkotást, ahola hatod rendű forgásszimmetriát is megszemlélhetjük. A Karma-gömb pedig egy szép térbeli példát mutat.

63

A final example is Karma Ball, a simple closed curve hard-carved into the surface of a 3'' diameter ball of maple,the curve a channel that holds a 0.5" diameter ball of steel. One can pick up Karma Ball and maneuver it so that thesteel ball rolls through the entire channel and ends up where it started. What goes around comes around.


Klein Bottles Made of Planes

To my students

The fundamental questions are always simple. What does that “thingy” look like? That January night, the thingy inquestion was a unilateral surface constructed of planes. A Klein bottle. I was sure that similar bottles had been builtfrom planes before, but I wanted to see the object. I wasn’t much into research; it seemed easier to toy with theproblem. So, I got down to designing Klein bottles by applying the least possible planes. This purpose raised a newquestion: what is the lowest possible number of planes?

Figure 1: Klein bottle made of 120 faces. A Klein bottle made of 8 faces, following the same principles.

In my experience, a radical reduction of the number of planes cannot be done mechanically. However, thedesign process, which calls for lots of intuition, yields a look that is drastically different from any conventionalrepresentation of the Klein bottle.

Is it possible to define a Klein bottle built out of planes as a polyhedron? Two necessary conditions are not methere. The Klein bottle cannot be constructed without allowing the surface to intersect itself. Furthermore, althoughbeing a closed manifold, it does not enclose space, that is, it does not have volume. Still, it is worth having somerules defining polyhedra in effect. Similar to the tori, the Euler characteristic of the Klein bottle is 0.


István BöszörményiSculptor, Pécsi Művészeti Gimnázium és Szakközépiskola, [email protected]

Klein palack síklapokból

A Klein palack 0 Euler-karakterisztikájú, egyoldalú felület,háromdimenziós terünkben csak önátmetsző módonjeleníthető meg. Azt a kérdést vizsgáljuk, hogyelőállítható-e síklapokból, hány síklapból építhető fel, ésmeddig csökkenthető a lapok száma. A jó szemléltetőmodell fizikai megvalósításának nehézségeiről is szólunk.

65

Figure 2: Klein bottle with 16 vertices 26 edges and 10 faces. Euler characteristic: 0

The time inevitably comes, when in order to get hold of a notion one has to see it in the flesh. Any furtherunderstanding is only possible by building models. For this, the spatial coordinates of the planes had to beconverted into planar ones by the graphic design program. These values then could be marked onto a graph paperand finally copied to cardboard. The finished model can be held in hand, thus facilitating the process ofunderstanding. However, cardboard is not transparent. We can follow the surfaces for a while into the inside of theobject, but in the end we can rely only on our logic. I had to build a transparent model, which turned out to bemore difficult than it seemed. I had to cheat (a little) to create these transparent models. The framework holding thefoil is not identical with the edge-network of the Klein bottle. The models are built of perforated planes.

Figure 3: A 14-plane object and its faces before construction, and after gluing.

Figure 4: Variations on reducing faces. A 14-, 11-, 9 and a 8-plane Klein bottle.

All images, photos and models were made by the author.

Further images: https://picasaweb.google.com/ujbosze/PALACKPOSTAMessageInABottle#


Visual Mathematics for Children: Play and Learn

When to start with math education? How does one start? What mathematical content is acceptable for children?What content do they prefer? How does one turn mathematical education into a more rewarding experience withgameplay? When are children able to start to use computers? Are computers necessary? Which kind ofmathematical problems will stimulate a child’s creativity? Does mathematics always have to be seen as boring?

The simplest geometrical transformations are isometries: distance preserving transformations. The basis of allisometries is mirror reflection, a sense-reversing (orientation-reversing) transformation turning every figure into itsmirror image. The first mirror reflection in a vertical line turns left-handed “Little Man” into a right-handed one. Inthe second step, an even worse thing will happen to him:after the horizontal reflection it will be turned upsidedown. What will happen to him at the end of his tripthrough Wonderland? Will he be left-handed or right-handed? Will he be turned upside down or not? How topredict the end of its adventure? Every mirror reflectionchanges chirality, and every horizontal reflection turnsthe “Little Man” upside down and vice versa. Count thetotal number of mirror reflections: if this number is even,the right-handed “Little Man” will remain right-handed; ifnot, it will become left-handed. If the number ofhorizontal mirrors is odd, he will finish his trip turnedupside down; if not, he will proudly walk out of the game.And at the end of the game there are only fourpossibilities: the final position of the “Little Man” will bethe same as the initial, or vertically mirror-symmetrical, orhorizontally mirror-symmetrical, or the final result will beobtained by a half-turn of the initial figure. What willhappen with the “Little Man” if we use only verticalmirrors? Or only horizontal ones? The game becomesmuch more complicated if we use not only vertical andhorizontal mirrors, but mirrors with a slanting mirror axis.(Fig. 1.)

Figure1: Reflections - reflect a “Little Man” across dashed lines and figure out its position at the end of the game.

A kaleidoscope is a cylinder with mirrors containing loose, colored objects such as beads or pebbles and bits ofglass. As the viewer looks into one end, light entering the other creates a colorful pattern, due to the reflection ofthe mirrors.

In mathematics, kaleidoscopes are different placements of mirrors, usually with the ability to produce patterns:rosettes, friezes or plane ornaments (wallpaper patterns). Since every mirror-reflection preserves distances, the


Mateja BudinMathema, Institute for popularisation of mathematics, [email protected] / www.mathema.si

Vizuális matematika gyerekeknek: játék és tanulás

Mikor kezdjünk matematikát oktatni és hogyan? Mittanítsunk? Mit szeretnének a gyerekek tanulni? Milyenjátékokat készítsünk nekik? Mikor kezdjenekszámítógépet használni? Egyáltalán szükségük van rá?Milyen matematikai problémákkal kelthetjük fel azérdeklődésüket? Ezekre a kérdésekre keressük a választkülönböző korosztályoknak szóló szemléletes geometriaijátékokon keresztül.

67

results are isometric symmetry groups. Moreover,every isometric symmetry group is a subgroup of agroup generated by reflections. Every plane isometry isa product of at most three mirror reflections. A similarfact is true for space groups: every space isometry is aproduct of at most four reflections. An isometry is even(sense-preserving or orientation-preserving) if it is aproduct of an even number of mirror reflections;otherwise, it is odd. The entire world of crystals (andcrystallographic symmetry groups) is based on thesesimple geometrical rules, giving finite classes ofsymmetry groups: 7 symmetry groups of friezes, 17plane symmetry groups, or 230 space symmetrygroups.

In every symmetry group we can start from a “LittleMan”- an asymmetrical basic element multiplied bysymmetry transformations. However, to producewallpaper patterns usually we are working in moreeconomical ways: we take some (non necessarilyasymmetrical) basic element – a tile and multiply it bysymmetries. One such element is a Truchet tile: asquare divided by a diagonal into two triangles ofdifferent colors. A similar element is a square dividedby a middle line into two rectangles of different colors.Both elements have the nice geometrical propertiesand they perfectly fit together. (Fig. 2.)

Figure 2: Constructing symmetric patterns from colored Truchet tiles and colored square mid-tiles.

How does one produce rosettes or friezes by cuttinga piece of paper? How does one cut a piece of paper inidentical parts? Again, we will use mirror reflections,where folding substitutes mirroring.

Figure 3: How to fold paper so that by cutting we get rosettes(flowers) or friezes.

After learning at the age of 5 how to make friezes,one-dimensional symmetry groups, you will be able toproduce wallpaper patterns, two-dimensional sym-metry groups at the age of 6. Hopefully, if you continuein the same way, at the age of 15 you will be able toderive crystallographic symmetry groups of 18-dimensional space!

Figure 4: Some wallpapers, constructed by 3 plates of circles (5 - 6 years old)


Figure 5: Searching for shapes - intersection and overlappingdifferent geometrical shapes (triangles, etc.)

For tilings, there is a simple rule: cover a planewithout gaps and overlaps. But what will happen if wepermit gaps, overlaps and the intersection of basicfigures, when the intersection of two or more identicalfigures will be a symmetrical figure? Can we make“overlapping friezes” or “overlapping wallpaperpatterns”? What will happen if we take a fewtransparent copies of a same drawing and make a layerfrom them? Victor Vasarely, probably the most famousOp-artist, discovered the visual effect of transparencyas a child, looking in winter through the window of hiskitchen covered with ice-flowers.

Take any tile and try to cover a plane? Can you dothat with an arbitrary tile? For some tiles, like a square or regular hexagon it is easy to find a solution. Is it thissolution unique? The simplest tiling is edge-to-edge, but what will happen if you break this rule? If you shift everysuccessive row or column in the square tiling in the same way, you obtain again a symmetrical tiling, but lesssymmetrical. What will happen if the shifts are unequal? In wallpaper patterns you can recognize some rosettes(flowers), but how many petals can they have? Two, three, four, six? Why not five? For that you need two basic tiles:kites and darts: your flowers will have five petals, and as the result you obtain an aperiodic tiling, the famousPenrose tiling.

Figure 6: Aperiodic tilings- kites and darts

Figure 7: Early attempts of building uniform polyhedra (4 - 5 years old)

From 2-dimensional space we can jump to the 3D space and playwith polyhedra. The simplest one is a cube. You can color its faces,count the number of faces colored by different colors, or followcolored traces of a dice. Then you can use “Zometool” or some othersimilar set of elements to construct the remaining regular and uniformpolyhedra. From tiling sets you can even make a polyhedral hat,different kinds of animals for your geometrical zoo, or letters madefrom tiles.

Figure 8: Making a hat with the polyhedral tiling (octahedron).


69

Since your polyhedra are open, every face is a window giving thesame or different view into a polyhedron. How many different viewsinside the polyhedron does one polyhedron offer? Can you predictthis number by recognizing its faces? By looking inside apolyhedron, you can draw what you see and obtain Schlegeldiagrams of polyhedra-graphs corresponding to them. If the edgesof the original polyhedron have different colors, color the edges ofthe graph in the same way.

Figure 9: A look through different faces of the same polyhedron - polyhedra andgraphs (Schlegel diagrams). Icosahedron in 3 colors (8 years old)

Look at the shadow of a polyhedron on the wall. Put a light insidethe polyhedron and look the shadows. Turn the polyhedron andfollow the changes of the shadow.

Make a planar net and fold it into a polyhedron from plasticelements. Which nets will give a closed polyhedron? If from your netyou cannot obtain a closed polyhedron, add or delete some

elements of the net in order to obtain it. Use the models of polyhedra that you already constructed from plasticshapes and try to make their foldable nets.

Sometimes, you will obtain the nets like the figure of a “Little Man”, with head, hands, body and legs. A family ofpolyhedra, antiprisms, will always give you nets that look like a “Little Man”.

Figure 10: Playing with a “Little man” and composing itinto polyhedra, searching for those kind of shapes thatchildren like. Through this game they easily find the nets ofdifferent polyhedra (e.g., antiprisms). (from 5 years old)

By using geometrical plane configurationsmade from beads or pebbles you can count thenumber of elements producing triangularnumbers, square numbers… Construct the towerfrom brick rods, where rod on each lower level hasone brick more. How many bricks has your tower?Try with rods of odd lengths, where every levelhas two bricks more. Maybe your tower has the

same number of bricks as a square number? Make amultiplication table and color similar results using thesame color. Is the colored table always mirrorsymmetrical with regards to its diagonal line?

Figure 11: Counting and coloring: variations of the coloredmultiplication table.

Dissect of a polygon and color the pieces usingdifferent colors. Can you divide any polygon intocongruent parts? What about regular polygons? Canyou divide a polygon into parts of the same shape anddifferent sizes? Can you do that with a square? Intohow many smaller squares you can divide it?

Believe or not, children from the “Mathema” schoolfrom Ljubljana, Slovenia (http://www.mathema.si/)know the answers to all these questions. And we hopethat for them mathematics will never be boring.


Colored Geometric Tiles

For many people math is an intimidating subject which is more apt to get a response of fear rather than fascinationand enthusiasm. Math concepts are easier to grasp with visual aids and a more comprehensive understanding canbe gained by using manipulatives. This allows the observer to play a more active role in the discovery process.

The images shown here are made using magnetic tiles that are colored and cut into geometric shapes. They canbe arranged and rearranged into patterns/tessellations. Depending on how color is used, various patterns canappear different. Playing with color can make an object appear as if it were 3-D. Generally, warm colors comeforward and cooler colors recede.

I call these Color Fields Tiles. There are tile sets for each symmetry group up to 12-fold symmetry and everygroup has particular angles and polygons inherent to each. The 4/8 set is based around the square and cutting thesquare along its diagonal to form an isosceles right triangle. The other shapes include all the Tangram shapes(which I embarrassingly rediscovered), trapezoids, rhombi, and parallelograms. The size progression from one sizesquare to the next size is 1: √2: 2: 2√2. This progression allows for visual investigation of square root relationshipsand takes the hypotenuse of the isosceles triangle and makes tiles that fit this irrational edge length. Everything fitstogether.

In each image there are many relationships that can be observed by studying that example. For instance, in thefirst illustration, 8 triangles are needed to complete 360° (360° ÷ 8=45°). Also it can be seen that the parallelogramhas the same area as the right triangle. In the next image, the center square is 1:20 of the overall pattern. It is a self-inflating pattern. What relationships can you find?

Using colorful magnetic geometric tiles as an interactive medium is quite engaging. It is easy to create pleasingworks of art quickly through the use of geometry.


Amina Bühler-AllenColor Fields [email protected]

Színes geometriai csempék

A színes mágneses csempékből szép, akár térhatásúmintákat is kirakhatunk, emellett geometriaiösszefüggések felfedezésére is alkalmasak.

71VIZUÁLIS MATEMATIKA ÉS FIZIKA / VIZUALNA MATEMATIKA I FIZIKA / VISUAL MATHEMATICS AND PHYSICS

Mercator Projection in Hyperbolic Geometry

The projection of a map of the Earth's surface onto a plane was invented by Flemish cartographer Mercator. Theprojection transforms the sphere into infinite vertical bands. The north pole is projected to positive infinity andsouth pole is send to negative infinity. The equator is transformed into a horizontal line. Areas around the south andnorth poles are greatly stretched and are distorted.

To visualize hyperbolic geometry we need to use some kind of projection, because the hyperbolic plane isinternally curved and can't be placed flat on the euclidean plane. A usual property as a result of the visualization ofhyperbolic tilings is the presence of highly condensed areas – limit points, which are actual artifacts of projections.The natural thing to do is to use a minor modification of the Mercator projection to stretch these condensed areas.The hyperbolic Mercator projection maps from plane to plane via the explicit formula w = (4/π)arctanh(z), where zand w are complex variables. The 4/π coefficient is chosen for convenient scaling and we have changed theprojection orientation – the projection stretches a unit disk of diameter 2 into an infinite horizontal band of width2 centered around the x-axis. The projection stretches to infinity in the neighborhood of the two points: +1 and -1.We can transform the tiling to place any selected pair of limit points in the stretched areas. The examples show afew projections of the same tiling with different kinds of limit points placed into the stretched areas. The projectedimages clearly show the periodicity of the tiling near limit points.

Another useful property of the Mercator projection is that it transforms the whole plane into an infinitehorizontal band of width 4 centered around the x-axis. Therefore it works well for the visualization of Kleiniantilings, which in general span the whole plane. Different transformations of the plane before projection givedifferent periodic patterns.


Vladimir BulatovPhysicist, mathematician, software developer, [email protected] / http://bulatov.org

Mercator vetítés a hiperbolikus geometriában

Ezt a módszert először a flamand térképész Mercatorhasználta a föld felszínének síkra vetítésére. Hahiperbolikus minták vetítésére szeretnénk a módszertalkalmazni, módosításokra van szükség a modell szélénlevő túl sűrű mintázat miatt. A képek azonos hiperbolikuskövezések vetítései különböző határpontokból.

Iterated Möbius

A Möbius Transformation is a function from the complex plane to itself that maps circles (and lines) to circles (andlines). Two or more contracting Möbius Transformations can be composed to form an iterated function system.Starting with an initial circle and n Möbius Transformations that map an initial circle into n smaller circles inside theinitial circle, after k iterations there will be nk circles. Where the original circles are tangent, the images will betangent. If the original circles overlap, the images will overlap.

The Unit Circle Group is a subgroup of the group of Möbius Transformations. A transformation from this groupmaps the unit circle onto itself and the interior onto the interior; such a transformation can be written in terms ofthree real parameters. If the transformation is not the identity, a geometric figure (that is not a circle) inside the unitcircle will be mapped to a distorted image somewhere else inside the unit circle. Starting with an initial set of ncircles inside the unit circle and n Möbius Transformations that map the unit circle into the n circles, thencomposing the n transformations with a transformation from the unit circle group to form an iterated functionsystem, some artistic images are created. Each new iteration causes a compounding of the distortion yieldinginteresting patterns. Changing one of more of the three parameters by even a small amount can drastically changethe picture.

More about this subject can be found at http://www.anneburns.net/circles/unitcircle.htmland at http://myweb.cwpost.liu.edu/aburns/flash/evmthart.htm


Anne BurnsProfessor of Mathematics, Long Island University - C.W. Post Campus, USAaburns@liu / anneburns.net

Iterált Möbiusz

A komplex síkon alkalmazott Möbiusz-transzformációegyik tulajdonsága, hogy kör képe kör lesz. A transzformációt többször egymás után alkalmazva amellékelt színpompás körökből álló képeket kapjuk. A transzformáció paramétereinek már egészen kisváltoztatása is jelentős módosulást hoz létre a képeken.

The Phenomenology of Cellular Close Packing in 3D space

Cellular-polyhedral close packing (cell. pack) agglomerations in 3D space are closely associated with 3D networks.In fact, every pair of dual networks entails two cell.packs and a specific partition surface between the two, definingamong themselves the ‘quintuplet’ associated features, which, more than anything else, determine themorphological-structural nature of the perceived space.

When associated with ordered-periodic networks, the cell. packs share in the same symmetry regime anduniform networks (same vertex figures and identical edges) give rise to cell. packs of identical solids, the self-packs.

It should be understood that the mutual relationship of two dual networks and derivation of one from itsgenetic dual, involves a stereometrical analysis of the genetic dual net and its associated cell.pack.

Also important to note that two different interpretations of the cell.packs within a given network has to leadeventually to two different definitions of its dual network.

The mutual stereometrical relationship between two dual networks dictates the following parametric relations:

1. Centroids of cell polyhedra within network A are the vertex system of the dual network B. 2. Valency (number of edges in a vertex) of network B, corresponds to the number of faces F of the

polyhedral cells within network A.


Michael BurtProf. Emeritus, Technion, Israel Institute of Technology, Faculty of Architecture & Town Planning, [email protected] / www.professormichaelburt.com

A 3D térkitöltő szoros csomagolás fenomenológiája

A térkitöltő poliéderek és a térbeli rács-szerkezetekkapcsolata, csoportosítása.

77

The mode of derivingnetwork B from network A isby joining every two centroidsof neighboring polyhedralcells of A with an edgethrough a face partitionpolygon between the two. Itimplies the following:

VA. = SB. ; EA. = FB. ; FA. =EB. ; SA. = VB. , with V; E; F; Sstanding for Vertices, Edges,Faces and Solids, respectively.If a network is not uniform andhas n different vertex figures,the cell.pack within it’s dualnetwork consists of n differentcell polyhedra.

It should be noted that thefaces of the polyhedralcell.packs may be plain orhyperbolical or a combinationof both.

Any categorization of cell.packs has to follow the categorization already adopted to describe the possible networktypes, leading to the following:

a. Centroidal (relating to spherical nets); a cell.pack with all cells having one vertex point in common.b. Centro - linear (relating to Axial nets); a cell.pack with all cells having an edge which is sharing a

common axis.c. Double - layered honeycombs, related to double-layer networks, the vertices of which are equi-distant

from a given plain.d. Multi - layer nets cell.packs. e. Poly - vectorial nets cell.packs.

It seems that the category of Translation Networks (whether uniform or not) simulating n-dimensional nets,could not be associated with cell.packs, because of their entangled morphological nature (no dual pairs)although these features are not fully explored as yet.

‘Self - packs’ are probably the most intriguing stereometrical features. The number of ‘self-packs’ equals thenumber of Uniform Nets (excluding the Translation Uni.Net.s), and therefore the total exhaustive enumeration ofself - packs and Uni.Net.s in the realm of the theoretically imaginable, pose one and the same problem.


79

Dune Surfaces

A Dune Surface is a 3-dimensional parametric surface that isconstructed from a given set S of 2-dimensional (planar) shapes. These shapes may be given as parametric shapes or as polylines,which are simply chains of line segments. The Z-coordinate (orheight coordinate) of each point on the Dune Surface is equal tothis point’s minimum distance from any shape in S. Therefore, thefarther a point on the Dune Surface is from any shape, the higher itis located in respect to the plane on which the shapes all reside.

Likewise, the closer a point is to anyshape, the closer it is (vertically)

to ground level. The secondcharacteristic of a Dune

Surface is that if a point happens to reside outside of any closed shapesin S, its height coordinate is simply inverted (multiplied by -1). These

two simple geometric relationships lead to the emergence of quiteelaborate “mountain ranges” which closely resemble sand dunes(hence the name Dune Surface).

The Dune Surface’s ridges (maxima) and trenches (minima) arelocated at the median axes of the surrounding shapes. Thesecomprise all locations that have at

least two closest points onthe shapes in S. Median

axes are often used fortopological

reconstruction in thecontext of image

recognition. They allow adiscrete “topoligical skeleton” to be extracted from imagesof imperfect fidelity. This is especially relevant in the field ofoptical character recognition (OCR).

A Dune Surface can also be calculated on the sphere,which can be seen in the images. In such cases, theminimum distances of points to shapes are calculatedspherically by means of the great-circle distance.

Three perspectives of a spherical Dune Surface based on thecontours of Earth’s continents.


Peter CalvacheSenior Scientist at the University of Applied Arts Vienna in the Department of Geometry, CEO of ProgressiveMindworks GmbH, [email protected]

Dűne felületek

A dűne felület egy háromdimenziós, parametrikus felület.Kétdimenziós alakzatok halmazából indulunk ki, aharmadik koordinátát, a felület magasságát úgy kapjuk,hogy vesszük a kétdimneziós alakzat határától valóminimális távolságot. Az alakzaton kívül levő pontokmagasságát -1-gyel szorozzuk, tehát ezek mélyebbenlesznek a kiindulási alakzatnál. A dűne felületek gömbönis értelmezhetők, ahogy a mellékelt ábrák mutatják.

Visualizing the Dihedral Group

One of my favorite geometrical objects is a four-dimensional figure that has no analogue in three-dimensionalspace. It is described as a point-set consisting of four coordinates. Each of these variables is allowed to take valuesbetween zero and one inclusively. The first variable is no larger than the second while the third is no larger than thefourth. The point-set of two variables inclusively bounded between zero and one in which the first is no larger thanthe second is a right triangle whose legs have unit length.

So the point set with which I am enamored is a product of triangles. It has six three-dimensional faces each ofwhich is a prism that resembles that glass figure which Newton used to separate light into a rainbow of constituentwave-lengths. In the drawing, ‘Dihedral Table,’ I have emphasized two such prisms that intersect along a triangularface. The principal character in this work is the planar projection of these two prisms. The projection intentionallydistorts angles and distances. In addition, after applying a symmetry of the square to this figure, I producedshadows and layers that indicate (sometimes paradoxical) three dimensional information.

Besides being one of my favorite figures, this projection has an important property in that it has no symmetry. SoI use this figure to exemplify the transformations that represent symmetry. Let me elaborate.

The mathematical term ‘group’ refers to the set of symmetries an object might possess. A group, then, is a set ofgeometrical transformations. We can perform such transformations sequentially. The sequential application of apair of transformations is a transformation. Each transformation has an opposite or ‘inverse’ transformation whoseoperation undoes the changes that the original transformation performs. The identity transformation leaves anobject unchanged. So the sequential application of a transformation and its inverse is the identity. When three ormore transformations are performed sequentially, then any two in the sequence can be thought of as a singletransformation. It does not matter how neighboring transformations are gathered when three or more areamalgamated. We can, for example, amalgamate the first and second, and then amalgamate the result with thethird, or we can amalgamate the second and third and amalgamate the first with the result. Either association willresult in the same composite transformation.

On the other hand, the order in which two transformations are performed can result in different results. There isa significant difference between checking if you have the keys and subsequently locking the door and performingthe key check after the door is locked.

So transformations of a symmetrical object are an expressions of its symmetries. For example, there are eightdifferent ways to place a square piece of paper upon another of the same size. You will only be certain that youhave counted them all after you have marked the square to indicate left and right, top and bottom, front and back.Even the words, top/bottom, left/right, and front/back are indicative of a breaking of symmetry.

The Roman san-serif font F is the first character in the alphabet that does not possess any of the symmetries thata square has. The font A is symmetric with respect to the vertical while B,C,D, and E all can be depicted withhorizontal symmetry. A simple way of breaking the symmetry of a square is to write the letter F upon the square.You could turn the square over and imagine the mirror image of the F being inscribed upon the back.


J. Scott CarterUniversity of South Alabama, [email protected] / www.jscottcarter.com / www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/carter/

A diédercsoport szemléltetése

A csoportelméletben diédercsoportnak nevezzük az olyancsoportokat, amelyeket a síknak egy adott szabályossokszöget önmagába képező egybevágóságai alkotnak.Négyzet esetén ez 8 transzformáció, 4 elforgatás anégyzet középpontja körül és 4 tengelyes tükrözés. Ezen 8elemű csoport művelettábláját látjuk a mellékelt ábrán aszerző kedvenc 4D alakzatával szemléltetve.

81

By placing the letter F upon the square, you can easily determine the eight symmetries of the square: first rotatethe square counterclockwise through angles of zero-degrees, 90-degress, 180-degrees, and 270-degrees. The F liesupon its back, is upside-down, and face first in a push-up position. Then reflect the F in each one of the vertical axis,the horizontal axis, and both of the diagonals. Rather than using an F which I consider a bit mundane, I used thefigure that I described in the first few paragraphs.

Thus, to quantify the sequential application of a pair of transformations of the square, I have placed the projec-tion of my favorite figure in each of possible eight positions in a smaller square. The table indicates the result of firstperforming the transformation in the first column of the table and then following it with the transformation in thefirst row. My goal in the work ‘Dihedral Table’ is to graphically depict the successive application of a pair ofsymmetries.

In the background field, the plane has been tiled with regular hexagons. Each of these is also tiled by a set ofpolygons. The choices of these tilings is also based upon the four-dimension figure that was described above. Butthis is another story that will remain untold.


Elliptic Cylinders and Transforming Polyhedra

Slinky, the metal spring toy that walks down stairs has been the key inspiration. When squeezed it forms a cylinderwith an ellipse as cross-section . The endings remain circular, parallel or anti-parallel.The truncated parts are assembled to make flexible chains.Figure 1 shows a closed ring of 12 anti-parallel elliptic parts. The ring rotates into different forms: a square, a circle, a triangle an octahedron and countless others.

Figure 1: Ellipso

After experimenting with many flexible chains I had the idea to build a cube with elliptic cylinders as edges. The edges are cut at the suitable angle of 35° 16’ to obtain two anti-parallel circular sections. The geometry allowsthe cube to transform ( Figure 2 ).

Figure 2

Each axe of rotation is parallel to a diagonal of the cube. This observation turned out to be the recipe for thetransformation of the other rhombic polyhedra.

The cube rotates into a solid with 12 faces, 24 edges and 14 vertices.The rhombic dodecahedron ( 12 rhombic faces ) rotates into a cube.The triacontahedron ( 30 rhombic faces ) rotates into a dodecahedron.The sphere transforms into a solid similar to the cube.


Xavier De ClippeleirDesigner, Belgium [email protected]

Az elliptikus hengerek és az átalakuló poliéder

Az ihletet a felfedezéshez a lépcsőn „lesétáló” óriásrugóadta. Sokféle módon átalakítható elliptikus hengerekbőllétrehozott sokszögeket, kockát és más poliédereketláthatunk az ábrákon. A cikkben az átalakításokmódjáról és számáról is olvashatunk.

83

The cube and rhombic dodecahedron are space filling solids. They are the basis for transformable grids or lattices.A cube in the cubical grid has 32 axes of rotation: 24 on the edges plus 8 on the corners parts.A rhombic dodecahedron in the grid has 62 axes of rotation: 48 on the edges plus 14 on the corner parts.

Notes:

1. The ELLIPTIC CYLINDER was the subject of my Degree work at the Royal College of Art in 1978.The first prototype of the transforming cube dates from 1977.2. The ring of 12 elliptic parts is produced by the Swiss toy company NAEF since 1983, named ELLIPSO.In 1992 they produced a small series of the cube ( black and white, 30 cm beach wood ), named RHOMBIC.3. The rhombic hexacontahedron ( 60 rhombic faces, 120 edges, 240 hinges ) is also a candidate for transformation. I learned about the polyhedron trough Sándor Kabai and Szaniszló Bérczi at the Bridges Math Art conference in Pécs. A balsa wood model is being made. I presume it makes the set of edge divided transformable polyhedra complete.


Picturalistic1 Maths and Reality

Pictures do not constitute some soft form of mathematics but are in fact related to symbolic mathematicalstructures called monoidal categories, by means of some very high-powered theorems [2]. Some theorems evenstate that all statements of a certain kind derivable in quantum theory can also be derived pictorially [3]. The areaof mathematics which establishes connections of this kind is still relatively young and is becoming more and moreimportant for pure mathematics itself, because of the huge simplifications graphical representation can provide.

But there is much more: the pictures are effectively closer to the truth! Indeed, they paint a picture that’s closerto reality than what their low-level counterparts do.

Around 1935 Erwin Schrödinger stated that the true `soul’ of quantum theory is the manner in which compositesystems behave [1]. Expressing this is exactly what pictures do. In Figure 2, wires represent systems, and two wires

Figure 1: Sound and faithful diagrammatic computations.

1 The term 'picturialism' refers to a diagrammatic formalism in the context of quantum computing. It was introduced by Bob Coecke inhis article Quantum picturalism published in Contemporary Physics (2010) 51, 59–83.


Bob CoeckeProfessor of Quantum Foundations, Logics and Structures, Governing Body Fellow of Wolfson College, Oxford University, [email protected] / www.cs.ox.ac.uk/people/bob.coecke/

A matematika szemléletessége és a valóság

A képek szimbolikus rendszereket jelenítenek meg. Aharmincas évek közepén Erwin Schrödinger azzal azállítással hozta izgalomba a tudományos közvéleményt,hogy a kvantumelmélet tulajdonképpeni lényege az amód, ahogyan az összetett rendszerek viselkednek. Eztnagyon jól ki lehet fejezni képekkel.

85

side-by side represent two systems. The double `cup-shaped wire’ represents the `preparation of two systems in an`entangled state’. It is the fact that the graphical language describing quantum processes contains these cups thatcaptures an important aspect of `true quantumness’.

Figure 2: Foundational representation of quantum processes.

References:

[1] E. Schrödinger (1935) Discussion of probability relations between separated systems. Cambridge Philosophical Society 31,555–563.[2] P. Selinger (2011) Finite dimensional Hilbert spaces are complete for dagger compact closed categories. ENTCS 270, 113–119.[3] P. Selinger (2011) A survey of graphical languages for monoidal categories. In: New Structures for Physics, B. Coecke (ed), 289–356. Springer-Verlag.


Floral Sculptures and Helicoid Geometries

Floral aspects began appearing in my recent work without any deliberate intent on my part that I was aware of atthe time. Only with the dawning recognition of their nature would I come to consciously focus on creating the suiteof sculptures which I now view as mathematical flowers, and will discuss here. I should emphasize that I am asculptor using traditional methods, and that in referring to these sculptures as mathematical flowers I am implyingnothing more mathematically formal in my approach than an intuitively algorithmic deployment of geometriescommon across our world cultural heritage and known from prehistory.

More particularly the geometric content aesthetically expressed in these “flowers” is exclusively helicoid. Lackingforeknowledge that helical geometries are an optimal means to generate a floral sculptural fabric how did I cometo the realization they are? I became aware of their applicable potential in the empirical context of a project toexperimentally evolve surfaces of multiply embedded helicoid dimensions as a geometrical class representingnothing outside themselves, and was startled by how evocative of floral forms they could be. With this discovery Ireoriented myself and began modulating their format to further enhance a flower-like resonance. Whatever thedynamics of natural selection have been for the evolution of natural flowers in their enormous morphologicdiversity and symbiosis with pollinators, I felt I had found an approach through visual mathematics for the creationof sculptures which suggested the blossoms of certain flowers, and were convincing in their aesthetic affinity tothem. I wasn’t engaged in portraying the morphology of a particular species of flower or in essentially decorativeembellishment, but in creating sculpture of algorithmically rigorous mathematical content whose elegance lies inits floral resonance.

A blossom is a flexible living membrane and much of my sculpture has had a membrane-like quality in beingconceived as surfaces in distinction to being substantially volumetric (sculpture must, of course, have someminimum of material thickness to exist in distinction to a theoretic construct which may lack any). Such surfaces inmy past work have generally been locally minimized in area relative to their given edge constraints by having theircurves in any direction balanced by others in the opposite direction to approximate the zero mean of negativecurvature. By contrast the incorporation of certain helically patterned curvatures to create a surface with a floralaspect necessitates having positive curvatures which balloon as well as having a negative curvature in theequestrian saddle-form of area minimization (see images in figures E and F for the clearest illustration of this). Thespare elegance of negative curvature becomes too confining an aesthetic optimum, and the more heterogeneousrichness of form found in nature must be permitted to reach the closest verisimilitude in visual mathematics to thedimension of floral aesthetics. Moreover, the organic integration of multiple helicoid geometries which achievesthis effect also generates a surface whose maximally rich coherence of curvature has no precedent in geometricsculpture I currently know of. This richness of curvature was the sole intent of my original project, before Iempirically realized it could potentially lead to engagingly floral sculptures.

The floral aspect of these sculptures is evident even from a cursory glance at the four from the series whoseimages I’ve chosen. What warrants further description is how their anatomies are algorithmically based on multiplyembedded helicoid geometries.

The slender "stems" of my closely related sculptures Blosme 1 and Blosme 2 (Blosme is an archaic spelling; thecontemporary English spelling is blossom), are helical bands; and finally the “blossoms” themselves have a globalhelical movement in continuity with their helical “stems”. These helicoid dimensions have a clockwise chirality inboth works; the two differ algorithmically only in having their “blossoms” formed by lateral growth outwards from


Brent CollinsSculptor, 90 Railroad Ave., Gower, MO 64454, USA

Virág szobrok és csavart felületű geometria

Collins csavart felületű szobrokkal kísérletezett ésfelfedezte, hogy alakzatai a virágokra emlékeztetnek. Eztkövetően úgy módosította az alakokat, hogy még jobbanhasonlítsanak a virágokra. Szobrászként, rendszeresmatematikai képzettség nélkül, de jelentős tapasztalatitudással és érzékenységgel, Collins célja a geometriaitartalom esztétikus kifejezése.

87

opposite sides of their helical bands or “stems”.Actually these works are a genre of ruled surfacewhich can be generated by a continuoussuccession of straight lines spanning the helicallinearity of their edges and that formed by angledintersection of the undulating planes which facettheir “blossoms”.

The edges of the "stem" of my sculptureAsrolily, show on the left, as well as thelongitudinal mid-lines of the opposite convex andconcave sides of the surface between theseedges, all follow clockwise helical pathways.Likewise the radial mid-lines of the successivecrests and troughs of the sine curvatures on bothfaces of its “blossom” also follow clockwise helicalpathways. In a final touch of consistency theedges which encircle this “blossom” proceedalong a clockwise helical pathway. A pinched-offdeformation of this encircling edgeaccommodates the “stem” of this “blossom”, but alinear abstraction of the edge otherwise would bea toroidally warped helix.

Molecular Flower, shown in the last image, isrecognizably molecular in its resemblance todiagrams of protein folding. Its configuration canalso be viewed as being the skeleton of a flower.Each of this works’ skeletal segments, as theytravel between nodes of multiple intersection, hasa helical twist parameter of 180 degrees. Thechirality of both this parameter and that of thehelical “stem” is counterclockwise. The surfacecurvature of this ribbonesque skeletal flower isnegative. It is necessarily less than exact becauseof the procrustean deformation which resultsfrom keeping each helical segment in strictadherence to the global floral pattern. Onlyribbonesque skeletal flowers can have exclusively

positive or negative curvature, while a membraneous “blossom” with greater surface area only achieves a maximumrichness of sine curvatures when they are both positive and negative in their fluid continuity.

While these mathematical flowers are biomorphic nothing quite like them can be observed in nature, thoughhelical patterns permeate life across a spectrum of scales, and were present at a quite early stage in the molecularconfiguration which organizes the genetic code. It seems unrealistic to image natural flowers ever evolving atopography closely conforming to that of these aesthetic ones, since reproductive advantage rather than ouraesthetics sense underlies natural selection. (Our aesthetic sense has its own evolutionary provenance:appreciation of gender difference correlates with reproductive advantage in a most primal way; less obviously andof more subtle significance, an appreciation of the natural world – both its inorganic grandeur and its life forms inany transient current generation – is a cathartic incentive for the adaptive feature of perceptual intelligence.) Theexquisite detail seen in natural flowers with fully opened eyes transcends the dulling effect of thoughtless cliché,and an art of visual mathematics which in some small degree successfully evokes their aesthetics will havemeaningful significance. The aesthetic dimension we perceive in natural flowers seems to intrinsically impart aspecies of comfort. We know there was a density of flower pollen at certain Neanderthal gravesites which suggestsgathered bouquets were part of the interment. With our theory of mind enabled by a circuitry of “mirror” neuronswe can empathically commune with these long lost relatives, not a separate species but a contributor to the humangenome after the African exodus. Organic evolution has created sentience over a continuum of species, which alsoexperience uniquely individualized sensory pain and fear in their vulnerability to injury. Natural flowers might bethought to mutely indict the hubris present in the immiseration of other sentient species to the condition of beingour poor relations…under a sky whose visible light is a prelude atmospherically cast with earth’s eventualincineration in the late stellar cycle of its sun, our vision might have a more humane temper…



Phot

ogra

phy

by P

hilli

p G

elle

r

89

Cardioid

The cardioid is a curve that has been known about forsome time, it can be defined in several ways. It wasperhaps my first encounter with sophisticatedmathematics.

Pedoe describes a method for constructing acardioid as the envelope of a set of circles. Draw a circleand choose a point on its circumference. Now drawcircles with centers lying on the initial circle, andpassing through the chosen point. The envelop of thisinfinite set of circles is a cardioid.

As an exercise, I first implemented this method inPovray, my favorite ray-tracing software. But the resultwas desperately flat. I then thought of rotating eachcircle in the third dimension, with an angle dependingon its radius. The function relating the rotation angle tothe radius can be arbitrary, and each choice defines a different final shape (in fact, some images were built withparameter values I have lost, and I am unable to reproduce those drawings !)

The shape is not difficult to describe, once drawn. We can output the information (circle centers, radii, angle) anduse it to obtain a real three-dimensional version of the virtual drawing.

The experience of turning this 3D cardioid in your hands is still stronger than seeing it on the screen. Each angleof vision makes it look different, and the observer finds new symmetries each time he moves it.

One of those cardioidal variations made the cover of may 2012 issue of the College Mathematics Journal, and thethree-dimensionnal sculpture is part of the cover of Marillion's next CD.

Computers in general, raytracing software likePovray and 3D modelers like Blender in particular, withtheir built-in programming abilities can helpmathematicians and artists to test mathematicalshapes one could not imagine otherwise. Computationand rendering are fast enough nowadays to allow us totest a great number of hypotheses, and aid in thefinding of graphical nuggets. The advent of 3D printingis yet another improvement towards a new disciplinewe could call experimental mathematics.

Figure 1-2: two variations of the 3D cardioid


Francesco De ComitéAssociate Professor in computer Science at the University of Sciences and Technology of Lille, [email protected] / www.lifl.fr/~decomite / www.flickr.com/fdecomite

Kardioid

A kardioid, vagy szívgörbe olyan síkgörbe, amit egyrögzített körön kívül csúszás nélkül legördülő, vele azonossugarú kör egy rögzített pontja ír le. Az ábrán láthatókardioidon alapuló 3D szobrok a kardioidot előállítókörök különböző szögű forgatásaival keletkeztek.Napjaink számítógépes lehetőségei és a 3D nyomtatássegíthetik a matematikusokat és a művészeket, hogykorábban ismeretlen, a valóságban csak nehezenelőállítható formákat próbáljanak ki, és így esztétikusalkotásokat hozzanak létre.


Figure 3-4: the same 3D cardioidal sculpture seen from different angles. Quite hard to believe it is the same shape.

91

Pattern Recognition

Mikhail Bongard is a Russian scientist who developed arational to approach complex problems of visual patternrecognition. Artist-theoreticians, in particular V. Kandinsky,Ittten and Albers formulated a mapping of the creativeenvironment based on a systematic reviewing of thecomponents available to visual communication. Howclosely Science and Art can benefit from each others bestpractices is what the following attempted to demonstrate.

Figure 1: Bongard’s problem: circle above triangle / triangle above circle.

A Bongard problem-solving procedure has severalstages. Raw data gradually get converted into descriptions. These features constitutes a “vocabulary”: line, segment,curve, horizontal, vertical, black, white, big, small, pointy, round, etc. This descriptive vocabulary matches in manyrespects the codification established by V. Kandinsky in “Points & Line to Plane” as he recorded some fundamentalelements of artistic composition. I revisited the Bongard templates in a monochrome environment to highlightboth the singularity of each symbol and their association with each other within the composition (fig. 02).

Figure 2: Monochrome pattern.


Jean ConstantNNMC, Past Professor of Visual Communication. Media, Technology consultant. Santa Fe NM, [email protected] / http://hermay.org

Minta felismerés

A tudósok és a művészek egymás jó gyakorlatait hogyantudják hasznosítani? Az együttműködésre és apárbeszédre épülő műalkotások láthatók a képeken.

Color is defined by light. Scientists such as I. Newton, philosophers such as Goethe and more recently arttheoricians Itten and Albers among them, researched light and color properties. Light affects how we see andunderstand patterns. I added color to the monochrome plates both to increase specific patterns signals and tounite all the elements in one larger esthetic statement (fig.03).

Figure 3: Texture & color pattern

Twenty-two plates were created following this method (fig 04). They were shown to different audiences indifferent settings. Many agreed that significant similarities emerged between the creative process and Bongard’smethodology and enriched the dialog between art and science. It can only be hoped that further collaborativeeffort between these two fields of investigation will continue to add to our collective knowledge base and helpdeepen our understanding of the environment and the perception of it.

Figure 4: Full composition – light – texture – color


93

The two-color patterns of masi kesa of Fiji

We call a plane pattern two-color if it is the union of two congruent patterns, one of one color and one of another.(Think of an ordinary (infinite) chessboard with its alternate black and white squares.) In 1936 the 17 two-colorband patterns and 46 two-color two-dimensional patterns were enumerated and illustrated by the textile designerH. J. Woods under the name counterchange patterns. In 1989-90 the author (with Dénes Nagy) stumbled across atreasure trove of black -white plane patterns with perfect two-color symmetry, in Fiji. Although similar patternswere familiar in museums from the previous century the art of their construction had experienced a recent revival.The home town of the President of Fiji was Somosomo,island of Taveuni, region of Cakaudrove. The walls of hissummer home there, as well as the walls of the Visitor’sCenter in Suva, and a life-size manikin in the Fiji museumwere covered with Cakaudrove-style white barkcloth(masi) stenciled with black ink so that the black andwhite parts of the result were exactly equivalent.Although barkcloth has been used in many placesthroughout the South Pacific, it was only in Fiji that thedesigns on it were made with stencils. In Fiji thesestencils were originally made from leaves, but in moderntimes used X-ray film was found to be more durableNote the care taken so that each small white area is

accompanied by a congruent black area. The artist behind much of thisrevival was Fine Nailevu. At her home in Somosomo she demonstratedthe creation of these classical Cakaudrove masi kesa. The photos showthe artist and her assistants at work outdoors in Somosomo, as well asseveral of the two-color strip patterns found in her work and that ofothers, and one wall of the summer house of the Fijian President RatuSir Penaia Ganilau in Somosomo as it appeared in 1990.

Finally, we note that several of the patterns invented by H. J. Woodsbear striking similarities to Cakaudrove patterns in museums and inthe work of Fine Nailevu. One of these old cloths was on display in thePitt Rivers museum in Oxford at the time Woods was an undergraduatethere. It is inviting to speculate that what he saw inspired hispioneering enumeration of all the mathematical types of two-colorpatterns.


Donald W. CroweDepartment of Mathematics, University of Wisconsin-Madison, [email protected]

„Masi kesa” kétszínű minták Fidzsi-szigetén

Azokat a mintákat nevezzük kétszínű szimmetriájúnak,amelyek két különböző színű, egybevágó minta uniójábólállnak. H. J. Woods textiltervező 1936-ban 17 kétszínűsávon és 46 kétdimenziós kétszínű szimmetrián alapulómintát számolt össze és illusztrált. 1989-90-ben a szerző,Nagy Dénessel közösen rábukkant egy addig ismeretlenkincsre, a tökéletes kétszínű szimmetriájú, fekete-fehérsíkmintákra Fidzsin.

(Further discussion, and more photos, can be found at http://vismath6.tripod.com/crowe1/.)


95

About symmetries of the Möbius strip

Fame is not always dispensed for the most deserved andgreatest achievements. August Ferdinand Möbius (1790Schulpforta – 1868 Leipzig), German mathematician andphysicist, contributed to the advance of mathematics inseveral fields, like the introduction of homogenouscoordinates and the Möbius (or homographic)transformations in projective geometry (so important inarchitectural design), as well as the Möbius transform ofnumber theory (also important in combinatorics)together with the Möbius function, and the Möbiusinversion formula. He wrote important paperscontributing to theoretical astronomy, chaired theDepartment of Astronomy and directed the Observatoryin Leipzig. He was considered a pioneer in topology. Inspite of the above listed remarkable more genuine

scientific achievements it was the Möbius strip (or -band) that brought him fame (which, to be fair, was co-inventedindependently by J. B. Listing). In a topological sense the Möbius strip belongs to the family of one-sided surfaces.(This family was extended later by the discovery of the not-as-famous Klein bottle.)

Why did posterity honour just this achievement above all the rest? There is no easy exact answer to this question.Maybe because it is surprisingly simple to demonstrate its surprisingly simple unique property. In all likelihood it isthis simplicity that astounded the non-mathematical public.

The Möbius strip is very simple. While mathematical topology is a difficult to understand topic in mathematics, aMöbius strip can simply and easily be made from a paper band with one creaseless fold and join.

On the same side (because our strip in question has no other), it demonstrates a special symmetry. Whiledouble-sided surfaces distinguish directions in the space, the Möbius strip does not: all spatial directions areequivalent for it. Space is isotropic when observed from the surface of a Möbius strip, as against other surfaces.

The surprise accompanied Möbius from science to literature. Although Möbius’ contribution to physics wasminor compared to his impact on mathematics, F. Dürrenmatt placed him above two of probably the greatest


György Darvas – Klaudia KozmaSymmetrion, [email protected] / http://members.iif.hu/darvasg/

A Möbiusz-szalag szimmetriáiról

Miért a Möbius-szalag tette híressé A. F. Möbius németmatematikus és fizikus nevét? A válasz valószínűleg aszalag meglepő egyszerűségében, ugyanakkorabszurditásában rejlik. Ezek a tulajdonságokirányíthatták számos művész figyelmét is a Möbius-szalag felé. Kozma Klaudia hatalmas, rugalmas anyagbólkészült mőbiusz-szalagjai a matematikai alkotásrészeseivé avatják műhelyeinek résztvevőit.

Figure 2: Klaudia Kozma's Moebius & Daniel Aschwanden

physicists in the history of science. At any rate the astonishment that his best known mathematical novelty causedcould be compared with that of those. Möbius plays the central dramatic role between Newton and Einstein in thePhysicists by Dürrenmatt.

The heros of Dürrenmatt are the subjects of forces, just like their physical objects, only these forces are social.Nevertheless, they are as much paradox, like the discoveries of the above-named physicists were in their age. And,of course, as much accidental as surprising. Dürrenmatt appended 21 points to the Physicists. I quote from thesepoints:

‘4. The worst possible turn is not foreseeable. It occurs by accident.6. The carriers of dramatic action are human beings.

8. The more human beings proceed by plan the more effectively they may be hit by accident.9. Human beings proceeding by plan wish to reach a specific goal. They are most severely hit by accident when through it they reach the opposite of their goal: the very thing they feared, they sought to avoid (i.e., Oedipus).10. Such a story, though it is grotesque, is not absurd (contrary to meaning).11. It is paradoxical.12. Playwrights, no less than logicians, are unable to avoid the paradoxical.19. Within the paradoxical appears reality.


Figure 3: Klaudia Kozma's Moebius

97

20. He who confronts the paradoxical exposes himself to reality.21. Drama can dupe the spectator into exposing himself to reality, but cannot compel him to withstand it or even to master it.’

Accidental surprise brings about the feeling of the absurd. The strip constructed by Möbius seemed at first sightabsurd, at least for laymen. However, it can be realised - therefore it was not absurd, rather paradoxical (cf. 10-11).That was unavoidable (cf. 12). This paradox keeps the curiosity in the Möbius strip alive. Within that paradoxical (cf.19.) form there appears reality. Möbius strips have inspired many artists, and further studies by mathematiciansduring the past one-and-a-half century. Their works have become constituents of reality. We, spectators, haveexposed ourselves to this reality (cf. 21).

However easy it is to make a Möbius strip, the process requires the active, teleological participation of a humanbeing. Nature never creates Möbius strips. It is an artificial product. Thus did it become an object of arts. The Möbiusstrip, then, aligned scientists and artists next to each other on the single side of an endless ring.

Klaudia Kozma is a young artist. Her Möbius strips are made of flexible materials, at human body scale.Participants in her workshops may bend the strips around themselves, change the shape in a variety of ways, whilekeeping the surface one-sided. The play with these flexible materials brings about the experience of visualmathematics along with the experience of collective creation.


Figure 4: Klaudia Kozma's Moebius & Sophia Eyb

Figure 1: Mereon1

Unity, Perspective and Paradox; A dynamic unitive matrix linking natural & social systems, Elsevier (Oxford, England)will be released in the second quarter of 2013. This book introduces the dynamic geometric model known asMereon, the dynamic structure that is the source of my art.

Mereon defines a ‘QuintEssential’ Jitterbug, a dynamic made famous by R. Buckminster Fuller. A geosphericalstructure, the boundary of this model also arises naturally in fifteen golden ratio ellipses, it motion defining aspherical knot known as the Mereon Trefoil. The context defines 33 polyhedra, 32 inside, and 1 outside, redefininginclusivity as it shows how singular forms and clusters of the regular Platonic Solids arise with the Kepler Solids. Allelements are independent, interdependent and interconnected. This knotting matrix is leading to a newunderstanding of time, the oft chaotic but ever elegant and exasperatingly fast flow of life. Mereon’s dynamicsmimic all biological processes and incredibly, every aspect is ‘pure gold’, every point, all planes, all 3D forms and theMereon Trefoil Knot secured in the Golden Ratio (http://www.mereon.org/lynnclaire-dennis/). The Mereon team isworking with the developer of CymaScope, imaging the Mereon systems unique mathematics as frequencies, bringsound to light in 3D. These spectacular observable experiments are providing stunningly consistent images withMereon’s well documented dynamics.


Linnclaire DennisThe Mereon Institute, [email protected] / www.mereon.org / www.EssenceIllumined.com

Mereon: a kapcsolatok matematikája

99

Figure 4: Mereon; sound as light


Figure 2: Mereon 2 Figure 3: Mereon trefoils

Weaving dark threads in light beams into knots and links

The flow of light through space is similar to water flowing in a river.Although it usually flows in a particular direction, the light can also flow inwhirls and eddies, forming lines in space called `optical vortices' [NB,D1].Along these vortex lines, the intensity of the light is zero.

The randomly reflected and scattered light all around us is filled with atangle of these dark lines, even though we cannot see them. By visualizingthe connection between knots, braids and complex functions we createlaser beams with computer-controlled holograms that have these threadsof darkness woven into knots and links.

Physical realisation of such beams requires explicit construction of lightfields with vortex knots [D2, PHKD]. First, we weave a braid in 3-dimensionalspace, where the strands all follow the same trajectory projected into thehorizontal plane. In Fig.1., three strands weave out a pigtail braid,projecting to a lemniscate. This information is encoded into the zeros of a 1-parameter family of complex polynomials.

Following Alexander's famous theorem that `a panoramic view of a knotis a braid', this complex field is wrapped around the azimuthal coordinate inthree-dimensional space, and we map the previous polynomial to anothercomplex polynomial of x, y and z, with knotted or linked zero loops fromthe braid closure, such as the borromean rings in Fig. 2.

On paraxially propagating the previous function from the z=0 symmetryplane, a new function emerges, with the same zero topology Fig.3. Manysuch fibred knots and links are possible in fields satisfying optical waveequations in this way, such as the `Turk's head knot' 818 Fig. 4.

These functions can be embedded in laser beams experimentally using ahologram, and measured by a CCD camera scanning through the three-dimensional knotted field. An example of an experimental trefoil knot isshown in Fig. 5 (experiments by K O'Holleran, B Jack and M J Padgett of theUniversity of Glasgow).

It is intriguing to speculate whether these knot and link structures mightbe made visible directly, such as by fluorescent particles in the knottedbeam. Since fluorescent light emission can be suppressed by the presenceof laser light, so the dark knots could be picked out by the remainingfluorescent glow; such experiments are challenging, but would be visuallystriking. Even more striking might be to use such a technique to reveal therandom tangled threads of darkness that surrounds us in everyday light.


Mark R. Dennis – Robert P. KingH.H. Wills Physics Laboratory, University of Bristol, [email protected] / [email protected] / www.phy.bris.ac.uk/people/dennis_mr/index.html /

Csomók és láncok szövése sötét szálakból afénysugarakban

A fényáramban található optikai örvények mentén a fény0 intenzitású, sötét vonalakat képez. A véletlenszerűenvisszavert és szétszórt fény körülöttünk ezekkel a sötétvonalakkal van tele, bár nem látjuk őket. A csomók,fonatok és a komplex függvények közötti kapcsolatokszemléltetésére lézer sugarakat hoztunk létre számítógépáltal vezérelt hologramok segítségével. A fizikaimegvalósításhoz örvénylő csomókkal rendelkezőfénymezőket kellett kialakítani.

101

We are grateful to the Leverhulme Trust for its financial support of the research described herein.MRD is a Royal Society University Research Fellow.

References: [NB] J.F.Nye and M.V.Berry, Dislocations in wave trains, Proceedings of the Royal Society A 336 (1974) 165-90[D1] M. R. Dennis, K. O'Holleran, and M. J. Padgett, Singular optics: optical vortices and polarization singularities, Progress in Optics 53(2009) 293-363.[D2] M. R. Dennis, R. P. King, B. Jack, K. O'Holleran, and M. J. Padgett, Isolated optical vortex knots, Nature Physics 6 (2010) 118-21.[PHKD] M. J. Padgett, K. O'Holleran, R. P. King, and M. R. Dennis, Knotted and tangled threads of darkness in light beams, ContemporaryPhysics 52 (2011) 265-79.


103

Examining an Affine Form

Affine Transformations have been introduced to thefirst year architecture students within the courseMathematics in Architecture 1, which is part of the coreB.Arch. curriculum. After getting the usual theoreticexplanations of affine transformations illustrated byvery general diagrams and matrices, the students thenuse the Affine Transformations Applet aimed atexamining an affine spatial form.

Figure 1: Fragments from the virtual learning environment,supporting the knowledge sharing within the courseMathematics in Architecture 1.

The applet supports a single, iteratively repeated,affine system, combining rotation (Rx, Ry, Rz),translation (Tx, Ty, Tz), and scaling (Sx, Sy, Sz) of aninitial cubic element defined by variable width, heightand length. Some basic visualization controls, like lineweight and transparency are also available, as well asthe background and foreground color. Apart from

understanding the power of combining the simpletransformations (R, T, S) in the process of creation ofspatial form, the students are required to visuallyexamine the architectonics of the created form, i.e. itsspatial appearance, structure, dynamics, as well as itspotential to become an architectural object. At thesame time, they share the parameters of the createdform, so that it can be recreated by others, furtherexamined and modified.

Figure 2: A physical model of an affine form, a final coursesubmission by student Jelenko Simović (scholar 2011/12)

A range of illustrations created by students,representing spatial forms based on the affinetransformation system, has been published in adiscussion forum within a virtual learningenvironment. This way, the specific mathematicalknowledge has been activated in a creative process,exhibited within the discussion forum - in this case


Mirjana Devetaković – Ljiljana Petruševski – Bojan MitrovićUniversity of Belgrade, Faculty of Architecture, Serbiahttp://genericexplorations.blogspot.com/ / https://sites.google.com/site/softwarevolution// [email protected] / [email protected] / [email protected]

Affin formák vizsgálata

A képeken látható modelleket a Belgrádi Egyetem ÉpítészKarának első éves hallgatói készítették az affintranszformáció felhasználásával. A modelleket előszörszámítógépen tervezték meg.

there are about 300 submissions. They arearchived for future use. Some students decide totranspose the digitally created form into ananalogue, physical model, as a final coursesubmission.

The Affine Transformations Applet is one ofseveral explorative tools developed by the Chairfor Mathematics, Architectural Geometry andCAAD (Kabinet za matematiku, arhitektonskugeometriju i CAAD), at the University ofBelgrade, Faculty of Architecture, and is availableonline at:http://www.arh.bg.ac.rs/upload/aft/index.html

Figure 3: The Affine Transformation Applet

Figure 4: An affine form based on the submission of student Jovana Jelisavac, scholar 2011/12.


105

Interesting Pythagorean Properties of General Triangles

Extensions of some aspects of the Pythagorean Theorem

“All we know is that the classical Pythagorean Theorem is abouta triangle and three squares constructed on its sides. If theoriginal triangle is a right angle triangle than the equation istrue. We know that the areas of the two squares of a right-angled triangle are equal to the square on the hypotenuse. But it is a lesser-known fact that the validity of the Pythagoreanrelationship holds also for an endless number of other figures (so long as they are geometrically similar).” Ivan Moscowich:BrainMathics

Figure 1: Examples

As any triangle can be bisected into two right-angledtriangles and we can choose the area of the complementarytriangle of both of them to apply the Pythagorean Theorem,we can get to interesting general conclusions.

We show two cases. The first is a right-angled triangle, thesecond is a general one.

Figure 2: Right-angled triangle Figure 3: General triangle


Dániel Erdély Designer and developer, [email protected] / www.spidron.hu

Az általános háromszögek érdekes pitagoraszitulajdonságai

Egy háromszöget egy magasságvonalával bontsunk kétderékszögű háromszögre. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételhasonló síkidomokra vonatkozó általánosítását mindkétderékszögű részháromszögre úgy, hogy a másikháromszög legyen a hasonló síkidom. Így egy érdekesösszefüggést kapunk a háromszögek területeire, ráadásulegy szép 2D kövezés is kialakul.

Figure 4: Triangles around a right-angled triangle Figure 5: Triangles around a general triangle

Let’s see the triangles of the general triangle, corresponding to the theorem:

Figure 6: Triangles around one composing triangle Figure 7: Triangles around other composing triangle

1. If we substract the areas of lower triangles from the upper triangles we always get the area of the originaltriangle.

Figure 8: The capitals represent the areas of the triangles


107

Why?

Look at the picture and the following equations:

A = B + C

E = B + G; B = E – G

D = F + C; C = D – F

So

A = (E + D) – (F + G)

2. If we draw triangles similar to the other right-angled triangle that composes the original triangle aroundboth the right-angled triangles, we always get a shape that tessellates the 2D plane with its mirrored pair.

Let me show some examples:

Figure 9. Tesselation using the right-angled triangle with its “Pythagorean neighbours”, and the mirror image of that figure.


Figure 10: Tesselation using the general triangle with its “Pythagorean neighbours”, and the mirror image of that figure

Figure 11: Another example

This way you can create infinitely many versions. Following the instructions in this paper, you are welcome to makeyour own designs.

Translated By Balázs Földváry


109

Fractal Tiling

Fractals and tilings can be combined to form avariety of visually appealing constructs thatpossess fractal character and also obeymany of the properties of tilings. A widevariety of fractal tilings have beendiscovered that are based on asingle prototile. A prototile is a tileto which many or all of the tilesin a tiling are similar; i.e., thesame within scalings,translations, rotations, andreflections. The prototilesfound to allow fractal tilingsare triangular, trapezoidal,kite-shaped, dart-shaped, V-shaped, or morecomplicated. These fractaltilings obey the mainrestriction on tilings that thetiles neither overlap nor leavegaps. They also contain aninfinite number of tiles, as doconventional tilings. However,they do not cover the entiremathematical plane. The tilesbecome infinitesimally small near theboundaries of the fractal tilings, and theboundaries are in general fractal curves. Thetiles have long and short edges, and the startingpoint in the construction of these fractal tilings is toarrange a group of tiles such that their long edges are matchedup. This starting group usually has some sort of rotational symmetry. The next step is to scale the tiles by the ratio ofthe lengths of the short and long edges. These scaled-down tiles are arranged around the starting group accordingto some matching rule. The process is repeated over and over using the same matching rule and ever smaller tiles.The final fractal tiling will have the same rotational symmetry as the starting group of tiles. More about fractal tilingcan be found at the address: http://www.tessellations.com/.


Robert FathauerOwner, Tessellations Company, [email protected] / www.tessellations.com / www.robertfathauer.com

Fraktál kövezések

A fraktál kövezések a sík egybevágóságokon alapulókövezéseihez hasonlítanak annyiban, hogy hézag ésátfedés mentesen fedik le a síkot. A kétféle kövezés közöttazonban lényegesen több különbség található. A fraktál-csempézés sohasem fedi le a teljes síkot, határvonalafraktálgörbe, az egybevágósági transzformácókon kívülitt a hasonlóság is fontos szerephez jut.

Figure 1: Robert Fathauer: Fractal Tiling 1

Cutting and Stacking I-Beams

Cutting an I-Beam

A long I-beam can be cut into shorter modules bycutting the I-Beam across the width diagonally at 45degrees. The length between cuts is equal to thelength of the diagonal cut. This results in identicalmodules with top in the shape of an equal-sidedparallelogram.

Stacking Modules

Figure 1: Directional Gaze: Cantilever, 2011, Steel.

On the parallelogram, draw each of two lines connectingmidpoints of opposite sides. These lines cross in the center ofthe original parallelogram and divide the parallelogram intofour smaller equal sided parallelograms similar to the originalparallelogram. Three modules are stacked as shown in Figure 1.The lower module “faces” left and the middle module facingright is stacked so the front left small parallelogram of its lowersurface is on the rear right small parallelogram of the uppersurface of the lower module. Similarly, the top module facesleft and is stacked so the rear right small parallelogram of itslower surface is on the front left small parallelogram of theupper surface of the middle module. I think of the I-Beammodules as “gazing” to the left or right, as well as having acantilever effect; hence the title.

Two other examples of sculptures constructed by stacking I-Beam modules are shown in Figures 2 and 3. The sculpture inFigure2 reminded me of rock faces in Yosemite National Park.The zig-zag pattern of the sculpture in Figure 3 reminded meof the zig-zag train ride up the Eiger mountain in Switzerland.

Figure 2: Yosemite, 2011, Steel.


Nat FriedmanDepartment of Mathematics, University at Albany, [email protected]

I-tartók darabolása és egymásra pakolása

Ha egy hosszú I-tartót különböző módon kisebbdarabokra vágunk és egymásra helyezünk, különböző,érdekes szobrokat kapunk. Például a 2. és 3. ábrán láthatóépítmények a Yosemite Nemzeti Parkban, illetve a svájcihegyekben megfigyelt sziklaképződményekreemlékeztetnek.

113

Figure 3: Eiger, 2012, Steel

Alternate Cutting and Stacking of I-Beams

Instead of cutting an I-Beam on the flat side, the I-Beam can becut diagonally across the flat sides at 45 degrees with thelength between cuts equal to the length of the diagonal cut. Asbefore, this results in modules having an equal lateralparallelogram profile, as seen in Figure 4.Here the upper module is shifted to the left so that its rightbottom edge can be joined to the left top edge of the lowermodule, as also shown in Figure 5.

Additional examples of cutting and stacking I-Beams arediscussed in [1] and [2].

References:

[1] Nat Friedman, Form, Space, and Light: Cutting and Stacking,Hyperseeing*, Spring 2012, Proceedings of SMI 2012, Shape ModellingInternational 2012, Texas A&M, College Station, Texas, May 22-25, 2012,Ergun Akleman, Editor.[2] Nat Friedman, Variations on 45 Degrees and Cutting and Stacking,Hyperseeing*, Summer, 2012, Proceedings ISAMA 2012, DePaul University,Chicago, Illinois, Ergun Akleman, Editor.*Issues of Hyperseeing can be viewed at www.isama.org/hyperseeing/

Figure 4: Torso, 2012, Steel, side view. Figure 5: Torso, 2012, Steel, alternate view.


3D Fractals: a Window to Psychedelism

Since the representation of the first fractals using plotters by Mandelbrot in the mid '70s, 2D fractals havecontinuously played a significant role as one of the most mysterious and complex forms of geometric art in thefollowing four decades. These complex images are two-dimensional representations of shapes which havefractional dimensions mathematically. It should be also mentioned that, along with 2D fractals, there also exist 3Drepresentations of standard fractals like the Menger sponge which are constructed totally on the basis of three-dimensional iterations in 3D space. But, these 3D constructed fractals had a solid look about them and a veryconventional view and did not contain a compelling amount of pleasing aesthetics. That is until the possibility ofexperiencing fractals in 4 and higher dimensions and depicting these results as 3D environments opened a newwindow onto the strange journey of experiencing fractal worlds in high-dimensional environments. These 3Dfractals, usually known as Mandelbulbs and Mandelboxes, apart from building bridges between concepts likeinfinity and complexity to concepts like regularity and self-similarity, also (by tying different dimensions together)create digital worlds resembling nothing less than new forms of digital psychedelism stemming from numbers andformulations. The unknown world of otherworldly and psychedelic aesthetics which was sought by means of purelyspiritual art over the centuries nowadays can be surveyed through mathematical rules originating from theunderlying layers of pure nature.


Mehrdad GarousiFreelance Fractal Artist, [email protected] / http://mehrdadart.deviantart.com

3D fraktálok: Tudatunk kinyíló ablaka

Napjaink digitális technikája lehetővé teszi, hogy 4 ésmagasabb dimenziós fraktálok 3 dimenziós képeitmegalkossuk. Ezek egyrészt összekapcsolják avégtelenség és komplexitás fogalmait a szabályosság ésönhasonlóság fogalmaival, másrészt tudattágítóesztétikát és semmi másra nem hasonlító új világotkínálnak fel a nézőnek.

115

Examples of compositions of toothed squares on twill-woven circular baskets

Basket weavers in different historic periods andfrom various quarters of the world have found outthat it is possible to make a basket tray byfastening a square mat to a circular rim. At the endof the process the corners of the mat are cut off.The mat itself is easier to weave if the middle linesof the opposite sides of the square become visiblein one way or another. Photograph 1 shows one way of doing so: aroundthe centre, rings of concentric toothed squares arewoven, forming together four quadrants. The useof colours may reinforce the visibility of themiddle lines of the square that become theperpendicular diameters of the circle.

Figure 1

Master weavers can explore this basic idea andmake compositions of toothed squares, as somebasket trays collected during my fieldwork in thePeruvian Amazon and in various parts ofMozambique may illustrate.A very creative artisan-geometer may break the symmetry of the circle and invent an elliptical structure likeMulaliha, a Makhuwa basket weaver from the North of Mozambique did, as the woven container in Photograph 6illustrates.

References

Gerdes, Paulus (2000), Le cercle et le carré: Créativité géométrique, artistique, et symbolique de vannières et vanniers d’Afrique,d’Amérique, d’Asie et d’Océanie, L’Harmattan, Paris, 301 pp.Gerdes, Paulus (2009), Geometry and Basketry of the Bora in the Peruvian Amazon, 176 pp. & Supplement: Images in Colour, Lulu,Morrisville NC, 36 pp.Gerdes, Paulus (2010a), Otthava: Making Baskets and Doing Geometry in the Makhuwa Culture in the Northeast of Mozambique, Lulu,Morrisville NC, 290 pp. & Otthava Images in Colour: A Supplement, 68 pp.Gerdes, Paulus (2010b), Tinhlèlò, Interweaving Art and Mathematics: Colourful Circular Basket Trays from the South of Mozambique,Lulu, Morrisville NC, 132 pp. (in colour).


Paulus GerdesVice-President for Southern Africa, African Academy of Sciences, Senior Advisor for Research and Quality, ISTEG-University, Boane, [email protected] / www.lulu.com/spotlight/pgerdes

Sásból szőtt kör alakú kosarak fogazottnégyszögmintái

Különböző korokban és a világ különböző pontjain akosárfonók kitalálták, hogy a kör alakú kosarat úgykészítik el, hogy a négyzet alakú alapra kör alakú peremetrögzítenek, végül a négyszög sarkait levágják. A mintákezért a négyzet szimmetriáit öröklik.

Figure 2-3: Bora population (Peruvian Amazon)

Figure 4/a-b: Two basket trays made by the Changana basket weaver Bendzana (Southern Mozambique)

Figure 5: A circular tray made by a Makhuwa basket weaver (Northern Mozambique)Figure 6: An elliptical basket container made by the Makhuwa artisan Mulaliha (Northern Mozambique)


117

Curves, Surfaces and Transformations

Gielis transformations operate on a function f (λ) and all associated curves. For f (λ) constantwe obtain transformations of a circle intosquares, triangles, hexagons, regular polygons.Three-dimensional examples include spheres,super-quadrics, cylinders, pyramids, cones,prisms, knots and a variety of complex shapes(which as a consequence are as complex or assimple as a sphere).

Gielis curves, surfaces and transformationsachieve something remarkable in the descriptionof natural shapes: they provide for a unifieddescription of natural shapes like mollusks, snails,starfish, plant cells, stems and flowers, crystals,elementary particles, galaxies and even space-time models of the Big-Bang-type, hence thename Universal Natural Shapes.

Gielis curves and surfaces provide ageometrical framework to help us understandhow other organisms, confronted with differentenvironmental conditions, experience the world,with specific geometries as the abstraction ofsuch perception, growing from a central point.For starfish or flowers, atoms or stars, right angles

and distances are measured differently, not in ourEuclidean way.

Being a generalization of the Pythagorean Theoremand of conic sections, Gielis curves and surfaces makeuniversal natural shapes commensurable orsymmetrical as conic sections, in the spirit of Greek andmodern geometry.


Johan GielisUniversity of Antwerp, Department of Biosciences Engineering, [email protected]

Görbék, felületek és transzformációk

A Gielis görbék, felületek és transzformációk egységesleírását szolgáltatják az univerzális természetialakzatoknak, mint pl. a puhatestűek, csigák, tengericsillagok, növényi sejtek, ágak, virágok, kristályok, elemirészecskék, galaxisok, tér-idő modellek.

119

The Accompanying Developable Surfaces

When a plane is transformed without distortion in space, it will produce a single curved surface called adevelopable surface, a surface with zero Gaussian curvature. A space curve is uniquely determined by the so-called accompanying Frenet frame that moves along the curve. The Frenet frame is is determined by the curve’stangent and the corresponding osculating plane (shown in translucent green). The tangent surface (Figure 1:Tangent surface of a helix) contains the curve as a regression curve. The normal plane (translucent yellow) isperpendicular to the curve and generates the normal developable surface that does not contain the curve (Figure 2).

The most useful accompanying developable surface is the rectifying surface, generated by the plane perpendicularto the normal translucent red) and the osculating planes (Figures 3 and 4). It again contains the curve. The spacecurve is a geodesic line on the rectifying surface. The surface made by twisting a rectangular strip of paper is therectifying surface for the space curve given by the strip’s midline. These considerations are very useful inarchitectural geometry [1].

[1] H.Pottmann et al: Architectural Geometry. BentleyInstitute Press, 2007


Georg GlaeserUniversity of Applied Arts, Department of Geometry, [email protected]

A kísérő síkba fejthető felületek

A térgörbe kísérő triédere három síkot határoz meg.Miközben a kísérő triéder mozog a görbén, a három síkmindegyike egy-egy síkba fejthető (0 Gauss-görbületű)felületet söpör. Ilyen felületeket szemléltet az 1-4 ábra.

121

Reaction-Diffusion Art based on a Mathematical Model for Morphogenesis

Interest in visualizing reaction-diffusion and applying it to biological modeling traces back to Alan Turing's earlyefforts at the dawn of computing in the 1950s to model pattern formation by chemical morphogenesis. Ascomputing matured, thanks to Conway's game of Life, cellular automata became popular and many examples ofsimulating reaction-diffusion and morphogenesis1 by visualizing the states of cells in cellular automata according

to various update schemes (including one based onTuring's original model2 ) were proposed. These in turnled to the creation patterns, designs and artworksbased on such automata.

The artworks shown here however are of a differentnature. A genome is associated to each cell and cellssupport a number of (virtual) substances calledmorphogens or transcription factors. A sophisticatedcalculation based on the cell's genome and the current

levels of all the morphogens is done during each update cycle to determine how those levels changeand how morphogens are shared among neighboringcells.3 Visualization occurs by using three of themorphogens to determine values in RGB color space.By assigning appropriate genomes to regular patternsof cells, a startling variety of designs and patterns canbe achieved.

Gary GreenfieldUniversity of Richmond, [email protected]


Reakció-diffúzió: A morfogenezis matematikai modelljénalapuló művészet

A reakció és diffúzió biológiai folyamatainak számítógépesmodellezése Alan Turing ötvenes évekbeli kísérleteivelkezdődött. Majd Conway sejtautomata modelljeiből kiindulva aművészek számára is megnyílt az út, hogy mintázatokatdolgozzanak ki. Az itt bemutatott alkotások, azonban ettőlkülönböznek. Egy "genomot" társítunk minden egyes "sejthez".Minden sejt meghatározott morfogenetikai tulajdonságokkal ésörökítő-képességgel rendelkezik. Ezek a tulajdonságokhatározzák meg a végeredményként előálló mintázatokat.

1 A. Turing, The chemical basis of morphogenesis, Phil. Trans. Roy. Soc. B237 (1952), 37-72.2 D. Young, A local activator-inhibitor model of skin patterns, in Theory and Applications of Cellular Automata, S. Wolfram (ed.), World Scientific (1986), 320-327.3 G. Greenfield, Genetic learning for biologically inspired aesthetic processes, Int. J. on Artificial Intelligence Tools 15(4) (2006), 577-598.


123

Approximations of a Sphere by Successive Truncation of the Platonic Solids

Inspired by the work of the sculptor Klaus Becker [1] we approximate the inscribed sphere of a platonic solid byapplying the following sequence of truncation steps: either cutting all corners or cutting all edges of the parentsolid, where the cutting depth is limited by the insphere of the initial platonic solid. Since the initial platonic solid,the truncation order and the number of truncation steps is arbitrary, a various range of patterns arises.

As an example we cut all corners of an octahedron in a first step. This yields a new solid whose edges aretruncated in a second step. Finally, in a last step, all corners of the new solid are cut. For the purpose of notation wecall the resulting solid O-CEC, which refers to the initial solid (octahedron O) and the applied cutting sequencecorners/edges/corners (CEC). In the selection below the initial solids are indicated by T (tetrahedron), H(hexahedron=cube), O(octahedron), I (Icosahedron):

[1] Klaus Becker: http://www.youtube.com/watch?v=0OTAxO5K_Ns


Franz GruberUniversity of Applied Arts Vienna, Department of Geometry, [email protected]

A gömb közelítése a platóni testek sorozatoscsonkolásával

Egy platóni testből kiindulva, egy lépésben vagy mindencsúcsot, vagy minden élet levágunk. A vágások sorrendje,az iterációs lépések száma tetszőleges lehet, ezért ezzel azeljárással sokféle mintázatot kaphatunk.

125

Hypothetical Quasicrystal Jewellery

With the discovery of artificial quasicrystals in 1982 [1] and with the discovery of them in the nature in 2010 [2]having icosahedral jewellery made from precious stones became possible. Although, 0.1 mm grains of icosahedriteand even much smaller artificilal quasicryslals are too tiny to be useful in crafts.

Golden rhombic polyhedra can explain aperiodic tiling with icosahedral symmetry.There are only five convex solids of this type [figure 1]. The prolate and obtuse rhombohedron (PR, OR) were

known to Kepler, the (rhombic) dodecahedron of the second kind (RD2) was discovered by Bilinski in 1960, therhombic icosahedron (RI) was discovered by Fedorov in 1885 and the triacontahedron (RT), was discovered byKepler in 1611. Only the last one has icosahedral symmetry. Using bricks of five basic types we can build many(non-convex) solids with a high level of symmetry. It is possible to only use rhombohedra since the other solids canbe built from them [3].

Figure 1: Five convex golden rhombic polyhedra


Izidor HafnerFaculty of Electrical Engineering, Ljubljana, [email protected] / http://matematika.fe.uni-lj.si/people/izidor/homepage/

Képzeletbeli kvázikristály ékszer

Miután 1982-ben felfedezték a mesterségeskvázikristályokat, majd 2010-ben a természetben ismegtalálták őket, elméletileg az ikozaéderesszimmetriájú drágakő ékszerek elkészítése is lehetővé vált.

Using parts of non-convex rhombic solids having 3-fold or 5-fold symmetry as decorative stones for rings andpendants would increase amount of possible shapes in jewellery:

References:[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Quasicrystal[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedrite[3] Izidor Hafner, Golden rhombic polyhedra, Symmetry, Culture and Science Vol. 11, Nos. 1-4, 337-359, 2000


127

Computers and Sculpture

I have created and taught a course called "Computers and Sculpture" at Stony Brook University [1]. As far as I knowit still is the only course on sculpture taught in a Computer Science department anywhere in the world. Thisundergraduate elective course has several goals:

to expose students to the theory and practice of3D design;

to expose students to a wide variety ofmathematical artwork by sculptors past andpresent;

to teach students how to see underlyingmathematical ideas in sculpture;

to explore a range of software tools that can beused for designing sculpture;

to present a variety of computer-basedtechnologies for sculpture fabrication;

to give students an opportunity to design andbuild original mathematical artworks.

Figure 1: Students in Computers and Sculpture class after assembling 60-part wood construction

Between ten and twenty-five students take this course each year. Roughly half are computer science majors andthe rest come from many other departments across the university. The course is always an experiment, providingopportunities for me to devise new activities and assignments. So there is no one fixed syllabus. The constants inthe course include lectures surveying the history of math-based sculpture, many hands-on activities, practice withvarious software packages (detailed below), and original design projects. The hands-on activities vary but couldinclude cutting Möbius strips, giant Zometool constructions [2], dipping wire knots in soap solution to generatesurfaces, and complex modular origami designs. Students are required to create their own artworks using andexpanding on the ideas presented in class. They then present their designs to the class for discussion and critique.Instead of a midterm and final exam, there are a series of projects, with a capstone project at the end of the term.

An important component of the course is the hands-on fabrication of original models. I believe that one mustwork in depth in three-dimensional space to really understand it. Some of the organized activities use paper,cardboard, pipe cleaners, string, and/or commercial constructions sets such as Zometool, etc. As an introductoryactivity, I might have the class work together to assemble a geometric construction of my own design, as in Fig. 1,[3]. This provides a teaching opportunity to informally discuss the visual, aesthetic, mathematical, engineering, andeconomic aspects of creating sculpture. At various points in the semester, I would lead the class in specificconstructions, such as how to cut a bagel into linked halves [4] or the creation of orderly tangles from paper [5].

Foundational exercises begin with assignments such as creating paper polyhedra by taping together polygons


George HartSculptor, [email protected] / http://georgehart.com

Számítógépek és szobrászat

George Hart, világszerte elismert matematikai szobrász„Számítógépek és szobrászat” címmel tervezett és tartottkurzust a Stony Brook Egyetemen. Ez egyinterdiszciplináris kurzus, amely egyesíti a matematika, aművészet, az adat-ábrázolás, a programhasználat, agyakorlati tevékenységek és a legkorszerűbb nyomtatásitechnológiák alkalmazásának széles körét.

as in Figure 2. This would then be followed with an assignment to build a more complex, original, polyhedral papermodel. Another exercise is building the icosahedron structure of Figure 3 from three interpenetrating index cardsand a length of string. Afterward, this is labeled with XYZ axes and coordinates for each vertex, e.g., (±1, 0, ± o),which are the basis for creating a software model of the icosahedron. It also presents opportunity to discuss theuses and abuses of the golden ratio (o) in art and correct some of the widely published misconceptions. Figure 4shows a construction from pipe cleaners, illustrating icosahedral symmetry. One assignment, after discussing thevarious frieze groups and polyhedral point groups, was for students to design and build an original pipe cleanerconstruction illustrating a chosen symmetry group.

Figure 2: Paper Platonic solids in open-face style of Leonardo da Vinci

Many different software packages are used in the class, so students get a sense of their varying capabilities andbecome familiar with processes of exporting from onepackage and importing into another to accessdifferent available operations. Maya [6] is afundamental tool in the course, as it provides a rich setof general purpose tools and there happens to be asite license for it at the university. A typicalfoundational exercise with Maya would be for studentsto create the interlocked cube and octahedronstructure shown in Figure 5. This sort of assignmentintroduces many fundamental operations, such aspositioning/scaling/manipulating offaces/edges/vertices, subdivision, smoothing, etc. Afterdisucssing the notion of duality in polyhedra, studentsare able to generalize from this example and create ananalogous structure based on the icosahedron anddodecahedron.

Figure 3: Guide for a paper and string construction oficosahedron vertices on four rectangles in space


129

Figure 4: Pipe-cleaner construction illustrating icosahedral symmetryFigure 5: Rendering of interpenetrating forms based on cube and octahedron, to be built on a 3D printer.

The course is taught in a computer lab classroom, so I can demonstrate software at the front of the class andstudents can follow along while working on their own PC. Special purpose software packages used include:

Great Stella [7] for creating polyhedral forms and unfolding them to nets that can be printed on card stock, cut out,and assembled.

TopMod [8] for more complex, freeform topological surfaces, often of high genus.SeifertView [9] for generating knots, relaxing them, and creating surfaces that span them.Carlo Sequin's software [10] for generating Sherk-Collins towers.Any text editor can be used in one exercise to type in STL (STereoLithography) files of simple polyhedra. This requires

understanding the representation of boundary triangles in terms of the XYZ coordinates of the vertices and editing adocument with a structured format like a programming language.

I used Mathematica for a two-week module once, but I found that was not enough time for students to gain a strongcommand of its capabilities. So I decided it would be better to create a separate, higher-level, full semester coursewhich focuses on algorithms for 3D design using Mathematica. That special topics course is described in [11].

The geometry produced by these programs can be converted to .stl format and fabricated on one of the 3Dprinters on campus. The course budget allowed for two physical models to be made for each student over thecourse of the semester. Figure 6 shows some of the 3D printed constructions from one class. Producing these wasmore difficult than it may look, because often designs appear interesting on the computer screen yet are notsuitable for 3D fabrication. Overly thin parts, non-manifold boundaries, backwards-facing elements, and otherproblems may not be apparent on the screen, yet lead to failed fabrication. Teaching students to be aware of theseissues, detect them, and correct them, is an important aspect of this course.

Now that 3D printers are becoming ubiquitous, I expect that a course like this could be replicated in manyuniversities. Another technology I would like to incorporate in the course is laser cutting. Many styles ofmathematical art can be cost effectively produced through laser-cutting, so this technology would easily fit into thecourse. Unfortunately Stony Brook University does not yet have a laser-cutter, so it has not been an option here, butothers who may be looking to create similar courses should consider it if available.

Another aim of the course is to provide a glimpse of the wide variety of mathematical sculpture being madetoday. One of the assignments is for students to pick a sculptor whose work involves mathematical ideas orcomputer-based fabrication technologies and to give a presentation to the class on the sculptor's work andtechniques. I provide a list of possibilities as a start, but students are encouraged to search the internet for otherartists whose work interests them. The Bridges Conference gallery page is a good resource for this [12]. Thisassignment provides a basis for discussion of many styles and techniques. For example, metal casting, ceramics,wood carving, and kintting are outside the range of techniques of my direct expertise, but we could discuss them inthese student presentations with the aid of internet images and videos.


In summary, Computers and Sculpture is an interdisciplinary class touching on topics of math, art, datarepresentation, software usage, hands-on building, and state-of-the-art 3D printing technologies. Student reviewthe course very highly and I have had a great deal of fun teaching it. Since I have left Stony Brook University, thecourse has been continued by other faculty, and it continues to evolve.

References:

[1] G. Hart, Computers and Sculpture, http://www.georgehart.com/sunysb/325/[2] G. Hart, "Barn Raisings of Four-Dimensional Polytope Projections," in Proceedings of International Society of Art, Math, andArchitecture 2007, Texas A&M, May, 2007[3] G. Hart, "Sculptural Presentation of the Icosahedral Rotation Group," in special issue of CRM-AMS Proceedings & Lecture Notes series,for the Groups and Symmetries Conference, AMS publications, p. 211-214. [4] G. Hart, Mathematically Correct Breakfast, http://www.youtube.com/watch?v=dN8AwGUaqDA[5] G. Hart, "Orderly Tangles Revisited", Proceedings of Bridges 2005: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, Banff, AB,2005. [6] Maya, http://usa.autodesk.com/maya/[7] Great Stella, http://www.software3d.com/Stella.php[8] TopMod, http://code.google.com/p/topmod/[9] SeifertView, http://www.win.tue.nl/~vanwijk/seifertview/[10] Carlo Sequin, http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/SCULPTS/scherk.html[11] G. Hart, "Procedural Generation of Sculptural Forms," in Proceedings of Bridges 2008, Leeuwarden, pp. 209-218[12] Bridges Conference Gallery page, http://bridgesmathart.org/bridges-galleries/

Figure 6: Student projects fabricated by 3D printing


131

The art of an algebraic surface

"The Programme SURFER,1 developed by the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach for the IMAGINARYexhibition, was used in online picture competitions [1] and as a tool by many artists [2];" some with and otherswithout any mathematical background. In the following we present a selection of artists and their work.

Playing with the programme the users sooner or later get to the point where they want to recreate a specialimagined object. Valentina Galata, now student of bioinformatics in Germany specialized in remodelling real worldobjects with SURFER, a truly complex task. She found equations that create images of fruits, design objects orlandscapes. The German artist Hiltrud Heinrich used her pictures in own math art exhibitions. The pictures are ofabstract and aesthetic nature. She also replicated the design of the SURFER pictures as patterns for patchworkquilts. Kurt Ballay explores numerical errors and their beautiful outcome by creating a series of artistic images.Torolf Sauermann, a mathematical artist, explores mathematical properties and adds new effects to the surfaces.Bianca Violet, mathematician and film editor, created animations with SURFER, that were used at the film LPDJLQH D VHFUHW [3]. Mehrdad Garousi an Iranian artist and scientist is dealing with mathematical and digitalforms. In SURFER he found new inspiration for his pictures. He published a paper about the programme and its usein math art [4]

Figure 1: Left: winner image of the SURFER competition with DIE ZEIT in 2008.Right: Patchwork quilt of an algebraic surface shown at a math art exhibition. Both pictures by Hiltrud Heinrich.

1 SURFER. Visualization of algebraic surfaces in real-time: http://www.imaginary-exhibition.com/surfer - (2007-2012).


Anna Hartkopf − Andreas Daniel MattMathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, [email protected] / [email protected] / www.imaginary.org

Egy algebrai felület művészete

Az esszé a SURFER program felhasználásának sokoldalúlehetőségeit mutatja be. A program algebrai formulákvizuális megjelenítésére alkalmas. Segítségévelmodellezhetjük a valódi világ tárgyait, példáulgyümölcsöket, tájakat, patchwork ágytakaró mintákattervezhetünk, numerikus hibák révén létrehozott képeketrajzoltathatunk vele, sőt animációkat is létrehozhatunk.

The idea to connect algebraic equations with its visual aspect resulted in a general motivation to explore theconnection between “formulae and images” and other art forms: Students at the ITBA University in Buenos Airesdeveloped a plugin, where names and sentences are translated into equations and thus displayed as colourfulsurfaces [5].

Figure 2: Images of numerical errors in the visualization with SURFER by Kurt Ballay.

Another project called SoundSurfer adds the possibilityto generate sound files with SURFER. In Malaga the SURFERimages were connected to fine cuisine, were uniquealgebraic dishes were created and presented in a photoexhibition - some of them were also offered in a restaurant.

Figure 3: An algebraic surface combined with the Droste effect.

Picture by Torolf Sauermann.

Figure 4: An algebraic cappuccino cup and an algebraic spoon, pictures by Valentina Galata.


133

Figure 5: Melting Chocolate and Buddhist Lads at the Back Seat by Mehrdad Garousi.

References:

[1] Ch. Pöppe. Das Ausgedachte in Sichtbares umgerechnet. Spektrum der Wissenschaft, 2008.[2] IMAGINARY picture galleries. http://www.imaginary-exhibition.com/galerie_view.php?gal=93[3] LPDJLQH D VHFUHW - a film of art and mathematics on elliptic curves and cryptography. http://www.cim.pt/?q=LPD-UHW. 2010.[4] M. Garousi. Mathematical Art and Surfer. Proceedings of ISAMA. Chicago. 2011[5] A. Rincón, M. Merchante. Experiencias en Artes Interactivas: Física – Música – Lingüística - Movimiento corporal. Proceedings ofECIMAG. Buenos Aires. 2012.

Figure 6: Picture of the exhibition “The taste of mathematics” in Malaga.Photographs by Pedro Reyes Dueñas.


Figure 7: Mosaic of entries at the Spektrum SURFER competition.


135

Artist Statement

Throughout the history of art, geometry has beenequated with perfection of natural order, and lighthas been perceived as the vehicle for spiritualtransport. My work continues this tradition, usingpolyhedra as a metaphor for nature as “spatialpanorama”, and color as a mode of transcendence.In my work transport is defined as movement of theeye through the picture plane. A visualtranscendence beyond the limitations of opaque oilpaint is achieved through the use of transparentpigments. Thus the viewer is provided a “window oftransport” into the nucleus, and thus into infinity.

“Transparency” is the key to the visual effect. Theprocess of layering transparent paint plays with theformal constraints of opaque oil painting. Geometricforms are perceived as flat, like the picture planeand are also perceived as volumetric. Passage or thelinkage of planes, which occurs with the layering,allows the viewer to perceive geometries as bothself-contained and constantly shifting. Transparencyallows the eye to enter to the focal center or nucleusof the polyhedral constructions. The comprehension of form is linear and concrete, yet translucent and tenuous.These oppositions reveal the structure as process; and process, in turn, is inseparable from time. Time makes theconcept of physical and spiritual transport complete!

The work can be characterized as “pragmatic contingency”. Pragmatism suggests the determination of truth ormeaning of concepts by the testing of practical results, while contingency refers to a certain acceptance of chance.The “color” of any particular point on the picture plane is determined not by its “local” or applied color, as in any“opaque” oil painting, but rather by its interaction with all previous and all future “screens” of color, thereforeaccording to its “position” within a hierarchy of screens.

My intent was to shatter the opaque picture plane and break through to a suggestion, at least, of infinity inglorious color, creating images of totality, images that are optical and energetic– not a “signal” or transmitter, orpoint of reception of “something else”– but objects, states of mind, visions, expressions that stand for what they arein and of their own unique selves.

Transparent painting is not without historical precedent. Orthodox Icon Painters made art in which lighttechnically came from the background, from the gesso. As in my paintings, there was no source of light, whichwould illumine objects from one side, or from another. Venetian Renaissance Masters experimented withtechniques such as under-painting and glazing. Even later Cezanne used transparency in his watercolors, where heapplied thin screens (ecrans) of colors over other colors.


John HiigliLe Jardin a l'Ouest / Jardin Galerie, [email protected] / http://www.johnahiigli.com/

Ars Poetica

John A. Hiigli művészetében a poliéderek a természetmetaforájaként, a tér panorámájaként jelennek meg, aszínek pedig a transzcendens jelenlétet fejezik ki. A képekhatásának kulcsa a színrétegek átlátszósága. Az átlátszófestékrétegek egymásra helyezésével, az olajfestékkorlátait közelítve éri el az alkotó a kívánt hatást.

My abstract-geometric paintings feature the exclusive use of only transparent oil colors, including transparentwhite to achieve a brilliant light and perception of form.


Order in Tonality

As the result of tempering it was obtained the sequence of twelve equal semitones, denoted as 0,1,...,11 (mod 12),where the enharmonic tones are treated as the same, and where the unit is a semitone. During the history, from allmodes two of them are distinguished: the major and minor. In the sense of their meaning and emotional-symbolical role they are a well-known example of antisymmetry. According to the notation introduced, C major isrepresented by the sequence 0,2,4,5,7,9,11, D major by 2,4,6,7,9,11,13, C minor by 0,2,3,5,7,8,10, etc., where all thatsequences are periodic mod 12. To every major corresponds the same sequence of intervals (measured from thefirst tone): 0,2,4,5,7,9,11, and to every minor the sequence 0,2,3,5,7,8,10. The interval i between any two tones is thenumber of semitones between them, so to the octave corresponds the interval 12, to the perfect fifth the interval 7,to the perfect fourth the interval 5, etc., where all tones and intervals could be reduced mod 12 (so-called verticalreduction). For a reduced interval i, its complement is i'=12-i.

By using this mathematical formalization, we may prove the remarkable fact: the tonal system major - minor iscompletely invariant with regard to the complementarity of intervals. The basis of all modes is the periodic tonesequence ...0,2,4,5,7,9,11... with the period 12. All particular modes are derived from it by a different choice of thebeginning point. If we denote the intervals 6,5,4,3,2,1 by the corresponding colored lines, as the result we obtainthe following circle diagram.

From this diagram, we can notice two important properties: (1) thesingularity of the interval i=6; (2) the mirror-symmetry of the diagram.The mirror axis contains the point 2 and passess between the points 7and 9. We could observe here the tritone triangle with the vertices2,5,11. Because it represents the center of instability, its vertices are notacceptable for the first tone of any tonality. Among the remainingpoints we have two pairs of mirror-symmetrical (this means, equivalent)points: 0,4 and 9,7. This means, that we have only two possiblenonequivalent beginning points: 0 and 9. Taking the first, we obtain thesequence of the intervals 0,2,4,5,7,9,11 corresponding to all majortonalities, and from the other results the sequence 0,2,3,5,7,8,10,corresponding to all minor tonalities.

In this way, after the mutualidentification of complementaryintervals (i.e. by reducing allintervals between two tones tothe minimal ones), we discoverthe basic symmetry of the major -minor tonal system: its complete invariance with regard to the complementarity of intervals. As the final result, allthe important parameters of the tonal system (e.g. number of joint tones for two tonalities, the chord structure ofevery tonal system, etc.) are symmetrical with regard to the tritone interval i=6. From this basic symmetry results alarge number of symmetries in the complete harmony level of the tonal music. So, in the beginning it was theORDER.


Jadranka Hofman-JablanVisiting Professor of the Musical Academy, Novi Sad (retired), [email protected] / http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/jadrbookhtml/index.html

Rend a tonalitásban

Periodicitás, rend és szimmetria a tonalitásban. Aszemléletes ábrák, amelyeken a különböző színekkülönböző hangközöket jelölnek, segítenek észrevenni aszabályosságokat.

139

Mathematics possesses not only truth, but supreme beauty – a beauty cold and austere, like that of sculpture,... sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. Bertrand Russell (1872-1970)

The Pseudosphere Monument in Tîrgu Mures

The 200th birthday of János Bolyai was celebrated in2002 in Tîrgu Mureş, Romania. On this occasion themayor’s office announced a tender for a public artmemorial, called Pseudosphere, to comemorate themathematical discovery of János Bolyai. The winningentry was signed by the author of the present essay,who wishes now to introduce the memorial briefly.

The keynote of the concept was to suggest not onlythe revolutionary discovery but the harmony given bythe third type of possible geometry.

The monument consists of three parts. The first, apedestal – a square based truncated pyramid –suggests the stepped development of science. The sixsteps symbolize also the first six days of the week.

On the seventh level – the seventh day, the level ofscientific discovery – is a frame, made of stainless steelbars. The shape of the frame has the topology of ahyperbolic polyhedron which can be used to cover a hyperbolic 3-space without any gaps. The tubular structurecan be viewed also as a symbol of time: the four triangles stand for four seasons and the 12 skewed squares standfor the 12 months.

Finally, in the middle part of Pseudosphere there appears as a bell, to herald the discovery.The monument possesses a hidden feature: in a subtle way it is “connected” to the Universe. This connection

becomes visible every year on November 3, at 12:06 (the moment of astronomical noon time) when the rays of theSun illuminate an inscription engraved on an incision in a corner of the pedestal: "from nothing I have created anew, different world”, which appears in a letter sent by János Bolyai on November 3, 1823 to his father.

The following is also written on the monument:

HOMAGE TO FREEDOM, TO THE UNIVERSALITY OF TRUTH AND TO THE SCIENCE OF SPACE.


Sándor Horváth“Petru Maior” University of Tîrgu Mureş, [email protected]

Pszeudoszféra emlékmű Marosvásárhelyen

Bolyai János születésének 200. évfordulója alkalmából2002-ben, Marosvásárhely egy köztéri emlékmű, aPszeudoszféra tervének elkészítésére hirdetett megpályázatot. A nyertes terv alkotója az alábbiakbanbemutatja az emlékművet, és feltárja a tervezés néhányalapgondolatát. A koncepció lényege, hogy érzékletesenmegjelenítse azt a térszemléletünkben bekövetkezettrendkívüli fordulatot, amelyet a Bolyai János felfedezésejelent; valamint, hogy kifejezze a harmóniát, amelyet aBolyai-féle geometria teremt.

References:[1] Wikipedia. "Pseudosphaera-szobor.", hu.wikipedia.org/wiki/Pseudosphaera-szobor.[2] Sándor Kabai and Sándor Horváth, Bolyai Memorial in Marosvásárhelydemonstrations.wolfram.com/BolyaiMemorialInMarosvasarhely/


141

Creativity with Fuller domes

In 1926 Walter Bauersfeld built the first spherical dome: the planetarium in Jena, Germany. Still, it was RichardBuckminster Fuller’s merit to have popularized the constructions that would carry his name. He promoted the lightyet strong structure, pleasingly formed by (almost) equal triangles, having the maximum volume with respect tothe covering area. The domes are sometimes called ‘geodesic’, that is: ‘along the shortest path between two pointson a surface’, i.e. along great circles in case the surface is a sphere, thus distributing stress across the structure. Theyare constructed by subdividing of the edges of a regular polyhedron, projecting them orthogonally onto thecircumscribed sphere and connected them to produce a triangular grid. Since the subdivision often starts from anicosahedron, there will be 12 groups of triangles meeting by five and often many more meeting by six.Mathematicians admire Fullers predilection for the geometric shape, but chemists too, who called the C60 molecule‘Buckminsterfullerene’.

Figure 1: Construction of a classical Fuller dome

Looking at the many large and/or artistic domes constructed by Fuller, the visual artist may wonder what else canbe done in modern times in the field. Fortunately the triangular dome construction can be easily drawn usingmodern software. It also works with other polyhedrons inscribed in a sphere, such as tetrahedron or theoctahedron but then there will be 4 groups of triangles meeting by three (and more meeting by six) or 6 groups oftriangles meeting by four (and more meeting by six). The construction even works for sets of triangles with verticeson a cylinder or on a hyperboloid (or even an arbitrary surface), since today’s software allows avoiding Fuller’stedious spherical geometry computations. When applied for equilateral triangles with vertices on a hyperboloid,the Fuller construction reminds Fields medalist William Thurston’s idea: he found a model for the hyperbolic planeusing triangles meeting by seven in some vertices (and more meeting by six) or meeting by eight in some vertices(and more meeting by six). It opens up Fuller’s idea to more ‘organic’ architecture.


Dirk HuylebrouckLUCA, Department for Architecture, Brussels, Gent, [email protected] / http://etopia.sintlucas.be/3.14/

A Fuller-kupolák kreativitása

A Fuller-kupola úgy készül, hogy egy szabályos poliéderéleit részekre osztjuk, a pontokat a poliéder köré rajzoltgömb felületére vetítjük és összekötjük úgy, hogyháromszögrácsot kapjunk. Manapság, arendelkezésünkre álló szoftverek segítségével a gömbhelyett más felületek, például henger és hiperboloidfelületére is rávetíthetjük a háromszögek csúcspontjait ésígy Fuller ötletének továbbfejlesztésével, újabb organikusépítményeket hozhatunk létre.

Figure 2: The Fuller dome construction starting from a tetrahedron and from an octahedron.

Figure 3: The Fuller construction for a hyperboloid, applied to 18 triangles on a hyperboloid, meeting in groups of eight on the middle rim.

Figure 4: An hour glass Fuller construction with 6 groups of triangles meeting by seven, as required by William Thurston.



Slavik Jablan

145

Modelling Menger Sponges with Wolfram Mathematica and StyroBlock System

Introduction

The Menger Sponge is usually defined as the three dimensional version of the Sierpinski Carpet, or described by aprocedure including such terms as “divide a cube”, “take away cubes”. Actual physical models, however, are generallymade by sticking identical cubes together.

Modelling

The following procedure can be used to build a physical model: Align a cube to all the vertices and to all the edgesof a larger cube with face-to-face connections (20 altogether), thus creating a framed cube, and repeat thisoperation with the framed cube, and so on. The same algorithm can be followed with computer modelling, as theauthor did in a the Wolfram Mathematica demonstration. In this demonstration a void within the Menger sponge isalso filled. This latter can be called the negative of the Menger sponge, and it can be conveniently modelled withthe author's StyroBlock system as shown in the figures.

The cross section of the Menger sponge exhibits six pointed starts, as can be seen in the Museum of Mathematicsin New York designed by George Hart and also made with 3D printing.


Sándor Kabai Director of ELTE Mathematical Museum, Budapest, [email protected] / www.kabai.hu

A Menger szivacs modellezése Wolfram Mathematicaés a StyoBlock rendszer segítségével

A cikk a Menger szivacs létrehozásának egy algoritmusátmutatja be. Érdemes megjegyezni, hogy a Menger szivacsegy metszete hatágú csillagokat mutat, amint azt a NewYork-i Matematikai Múzeum egy modelljén is látni lehet.Az ott kiállított modellt a könyvünkben is szereplő GeorgeHart tervezte és 3D nyomtatással készítette el.

147

The Brunes Star

The Danish engineer, Tons Brunes, has studied the properties of the eight pointed star shown in Figure 1. He claimsto have seen it on tapestries found in Pompeii and Hertzegovina. He felt that it was one of the templates at thebasis of ancient temples and other sacred structures. I saw this star made of string in Barcelona at the home of theSpanish architect, Antonio Gaudi, and also on the ceiling of the guest shop at the great Gaudi cathedral, SagradaFamilia. Its structure is both elementary and surprising.

Figure 1

Divide a square into two half squares by a vertical line.Place the two diagonals in each half-square . Thendivide the square into two additional half-squares by ahorizontal line, and place the two diagonals into eachof these half-squares. Finally place its two diagonalsinto the original square. What emerges is the Brunesstar with its internal structure as shown in Figure 2. Thestar has been subdivided almost entirely into 3,4,5-triangles or fragments of such triangles at four

different scales . The star can also be constructed bytaking four string loops subdivided into 12 equal parts.Each loop can be bent into a 3,4,5-triangle anchoredwith pins. When these loops are placed properly into asquare the star emerges.

Figure 2


Jay KappraffAssoc. Prof. of Mathematics, New Jersey Institute of Technology, [email protected]

A Brunes csillag

Az 1. ábrán látható csillag megtalálható többek közöttPompejiben és Hercegovinában is, lévén, hogy egy olyanalapelem, amely gyakorta feltűnik ősi templomokban,megszentelt építményekben. A csillag egyik konstrukciójaa 2. ábráról leolvasható. A csillag sok érdekestulajdonságából látunk néhányat a 3. és 4. ábrán. Példáula 4. ábra a piros vízszintes szakasz hét egyenlő részretörténő felosztását mutatja.

Figure 3 Figure 4

This star has many interesting properties described in my book “Beyond Measure”. It gives an approximate squaringof the circle in both length and area. The star with its internal structure also creates equipartitions of horizontal linesat different locations into of 1,2,3,…,11,12 equal parts as shown in Figure 3. The level at which the starequipartitions a horizontal line into 7 equal parts is found at the level of the sacred cut as shown in Figure 4.

Construction: Create a Brunes star with its internal structure and color the regions to bring out its power. Somestudent designs (by Amakona, Martin, Crosby, and Maldonado) are shown.


149

On the Reidemeister Moves

I. Introduction

Reidemeister [2] discovered a simple setof moves on link diagrams that capturesthe concept of ambient isotopy of knotsin three-dimensional space. There arethree basic Reidemeister moves.Reidemeister's theorem states that twodiagrams represent ambient isotopicknots (or links) if and only if there is asequence of Reidemeister moves takingone diagram to the other. TheReidemeister moves are illustrated inFigure 1.

Figure 1: Reidemeister Moves

Reidemeister's three moves areinterpreted as performed on a largerdiagram in which the small diagramshown is a literal part. Each move isperformed without disturbing the rest ofthe diagram. Note that this means thateach move occurs, up to topologicaldeformation, just as it is shown in thediagrams in Figure 1. There are no extralines in the local diagrams.

Diagrams are always subject totopological deformations in the planethat preserve the structure of thecrossings. These deformations could bedesignated as "Move Zero". Can onerecognise unknots by simply looking forsequences of Reidemeister moves thatundo them? This would be easy if it were not for the case that there are examples of unknots that require somemoves that increase the number of crossings before they can be subsequently decreased. Such an demonicexample is illustrated in Figure 2.


Louis H. KauffmanProfessor of Mathematics, University of Illinois at Chicago, [email protected] / www.math.uic.edu/~kauffman

A Reidemeister mozgások

Reidemeister a mozgások olyan egyszerű halmazátfedezte fel, amelyekkel megérthetjük a csomók környezetiizotópiáját a háromdimenziós térben. Reidemeister tételeazt mondja, hogy két diagram, akkor és csak akkorábrázol környezetileg izotóp csomót, ha létezik egyReidemeister mozgásokból álló sorozat, ami az egyiket amásikba viszi. Az 1. ábrán láthatjuk a Reidemeistermozgásokat.

Figure 2: A Demon

Let's say that an knot can be reduced by a set ofmoves if it can be transformed by these moves to theunknotted circle diagram through diagrams that neverhave more crossings than the original diagram. Thenwe have shown that there are diagrams representingthe unknot that cannot be reduced by theReidemeister moves.

II. Reidemeister's Theorem

We now indicate how Reidemeister proved hisTheorem.

He uses a single move - the triangle move - in threedimensional space. See Figure 3. He then projects theresults of subdivided triangle moves into the plane asshown in Figure 4.

Figure 3: Triangle Move

These shadows of the triangle move in threedimensional space turn out to be generated by theReidemeister moves.

Figure 4: Shadows

We obtain then

Reidemeister's Theorem. If two links are piecewiselinearly equivalent (ambient isotopic) in threedimensional space, then there is a sequence ofReidemeister diagram moves taking a projection ofone link to a projection of the other.

This gives a combinatorial reformulation of the theoryof knots in three dimensional space.

References:

1. L.H. Kauffman, "On Knots", Annals Study No. 115,Princeton University Press (1987)2. K. Reidemeister, "Knotentheorie", Chelsea Pub. Co.,New York, 1948, Copyright 1932, Julius Springer, Berlin.


151

A Short Essay on Ottoman Ceramic Art and Symmetry

The Ottoman Empire attached great importance to public works and in addition to the public works undertaken across the empire;the Ottomans also preserved the architectural works from earlierperiods, which has ensured the survival of these works to date. Inthe light of current knowledge, ceramic art as an element ofottoman architecture is a feasible base from which to analyzesymmetry groups.

In the voyage of ceramics art, particularly in late 14th and early15th centuries, major developments in color glazing and sub-glazepainting techniques helped produce the rarest products in thehistory of worldceramics-making andled to the great valueOttoman ceramic artenjoys today. Ceramictiles, used as anornamental element onthe exterior façades ofarchitectural structuresuntil the 15th century,started to be used ininterior spaces as aresult of thearchitectural changesthat came aboutstarting from the early15th century. Thisunderstanding also hadan impact on thepatterns and the use oftiles. Infinite patternbraids comprised ofsmall patterns and panelswhere a variety ofcompositions are pictured, all of which used in interior spaces, createa different perception of space. The ornamentation of the elementsused in symmetrical order in architectural structures was alsoplanned in accordance with this symmetry. A dynamic mobility inthe pattern networks formed by the tiles should also be mentioned.

Figure 3: Topkapi Saray


Ferhan KiziltepeMathematician, [email protected] / [email protected] / www.ferhankiziltepe.com

Az ottomán kerámiaművészet és a szimmetria

Az elegáns rajzolatú, dinamikusan változó mintájúcsempéken a szimmetriacsoportok jóltanulmányozhatók.

Figure 1: Rustem Pasa mosque

Figure 2: Rustem Pasa mosque 2

Apart from their analytical value, the visual impression created by the pattern networks while one tries to viewthem is also highly dynamic. Other groups that constitute the pattern network position themselves in accordancewith the symmetry group focused on by the viewer and elegantly draw the general network. This process showsthat different movements can form the same pattern network; and at the same time is an imaginary indicator of theinterchanges under certain conditions.

Figure 4: Topkapi Sarayi 2

Figure 5: Topkapi Saray, Harem Dairesi

Figure 6: Topkapi Sarayi Harem Dairesi 2




153

Form-Finding with Resilient Knots and Links

Resilient filamentous materials, like steel wire, tend to take the minimum value of their elastic energy. Knots tiedwith such materials have smooth shapes with physically contacting crossings and tend to coincide with plane. Theenergetic stability of the resilient knots are closely associated with the values of symmetry of their diagrams. Thecyclic shape of the loops provide the best distribution of the elastic energy in the knots.

The principle of cyclic periodicity may be extrapolated from the simplest knots to the more complicated ones toturn them into transformable structures. The spatial transformation of cyclic knots consists in the sliding of thecontact crossings along the resilient filaments and in the twisting of the filaments around their central axis. This isbecause the cross-sections of the filaments must be round.


Dmitri KozlovResearch Institute of Theory and History of Architecture and Town-planning, Russian Academy of the Architectureand Construction Sciences, Russian [email protected]

Különféle formák kialakítása rugalmas csomókból ésláncokból

Az összetett, többrétegű csomók különböző kombinációilehetővé teszik olyan változatos felületek kialakítását,mint az ellipszoid, hiperboloid, tórusz, perecfelület.Természetesen a csomók rugalmas anyagának fizikaitulajdonságait is figyelembe kell vennünk.

The quantity of physically contacting crossings depends on the number of waves on the elastic closed filamentsthat corresponds to the bridge number of knots. The waves stretch the fragments of filaments between theneighboring crossings of the same sign: the over or the under crossings. As a result, the resilient cyclic knots workas tensegrity structures, which are stretched inside the bridges and compressed at the contact points of thecrossings.

To transform a structure of the developed cyclic knot it is necessary to reduce the size of its perimeter while kee-ping the size of the center fixed. The distributed forces applied to the peripheral points of the flat structure causethe increase in elastic energy in the knotted resilient filaments and the structure transcends the plane and takes theform of a spherical segment. If the forcing is continued, the structure successively takes the forms of a hemisphere,a truncated sphere and finally a sphere then the size of the peripheral circumference equals the central one.


The multi-layered combinations of complicated cyclic knots make it possible to create surfaces of many differentforms, such as elliptic and hyperbolic, torus and pretzel ones, forms with different numbers of self-crossings,including knotted and one-sided surfaces.

The form finding properties of the steel wire models of the cyclic knots may be extrapolated to the large-sizedstructures of resilient materials, as well as to the structures of nanoscale.


157

A Personal Quest for Beauty of Symmetry

Among other things, my artistic research and creative work is connected to different kinds of symmetry (symmetryoperations), Penrose tilings, Penrose rhombs, quasicrystals, the golden mean as an element of symmetry, Fibonaccisequences, etc. With the help of reflection, imagination and intuition I try to glean new relationships, new levels ofstructure, new and different kinds of order in these elements and structures. Through some perceptually unstable(ambiguous) compositions I wish to emphasize the principles of the way our cognitive system works - not solelyourvisual apparatus, our brain and mind, but the entire process of perception (as a whole) as well.

Figure 1: 2 in 1 Variation (2010)

In a quasicube shape constitued of Penrose rhombs we can observe thin Penrose rhombs on a smaller scale,Penrose darts, which are part of a P2 tiling, golden mean relations, and perceptual instability.


Teja KrašekFreelance artist, [email protected] / http://tejakrasek.tripod.com

A szimmetria szépségének felfedezése

Teja Krašek művészeti kutatásai és kreatív munkáikülönböző szimmetriákhoz kapcsolódnak, például aPenrose lefedésekhez, kvázikristályokhoz vagy azaranymetszéshez. Képzelőerővel, intuícióval kutatja az újkapcsolatokat, struktúrákat.

Figure 2: X (2009)

Ten interlaced pentagonal stars forming a tree-like shape are scaled by the golden mean. They are showing self-similarity and forming Penrose rhombs on different scales in the middle. We can observe the richness of golden mean relations in the lines, and in geometrical shapes.


159

Figure 3: TwinStar (2010)

In the black quasicube constitued of thin and thick Penrose rhombs we can find two interlaced pentagons in whichtwo interlaced pentagrams can be drawn, together forming a double- or a twin-star. While observing the artworkour minds themselves complete the image in parts where the lines are intentionally absent. The image is perceivedin various interpretations.

Figure 4: Whirled Heart (2010)

In the mysterious world of chaos andstrange attractors a seeker can findvery 'heartful' things...Repetition of geometric shapes inNature makes one think that in thecentre of space, time and matter liesmathematics. We may also think, onthe other hand, that the whole ofmathematics originates withinourselves, within our minds [1].Whether mathematics has existedforever, or whether it is but a productof man's thoughts and has thereforeexisted only since the appearance ofmankind is a question to which there isno answer yet. Maybe it is not soimportant whether mathematicalprinciples exist because we search forthem, or because we find them [2].

References:1. Krašek, M. T., Spreading Symmetry Through Artworks. In Symmetry 2000, Hargittai I., Laurent T.C., Eds. (Wenner-Gren InternationalSeries, London: Portland Press, 2002), p. 522.2. Ibid.


“Two straight closed Ribbon Puzzles”

A positive or right twist in a straight ribbon has the same sense of rotation as a normal screw. In the opposite caseit has a negative or left twist. The signed sum of all twists gives the twist number1 of the ribbon. It can be zero,negative or positive. Sticking the ends of a straight ribbon to each other results in a closed straight ribbon.

A closed straight ribbon can be twisted and/or knotted or not (see fig.1 left). Its twist number cannot changewithout cutting the ribbon. It’s a topological invariant. The twists number of a closed ribbon can only be a multipleof half twists. Closed ribbons with an odd number of half twists are Moebius like strips with only one edge and oneside. Two sided closed ribbons have an even number of half twists, and they have two edges.

Figure 1: Straight closed two sided ribbons in 3D and their flattened 2D ribbon diagrams.

Any closed 3D ribbon can be flattened into a 2D ribbon diagram (see fig 1 right). With an appropriate width suchflattened ribbon can always be drawn so that it has at most two layers at a crossing or fold.

When a ribbon crosses entirely over another part of the ribbon it gives a rhombic double layer. It has four edge-crossings and we call it a full crossing. A fold in a ribbon produces a triangular double layer . We call it a halfcrossing and it has only one edge-crossing.

A closed ribbon can have different 2D ribbon diagrams but as long as we don’t cut the ribbon its twist numberremains the same.

In preparation for the wrap puzzle we start first with a flattened ribbon puzzle without knots.

1 In knot/link theory the twist number is called the “linking number”. Don’t confuse the twist number with the “twist” (Tw) in theCalugareanu-White-Fuller theorem.2 We exclude the singular case when a straight closed unknotted and untwisted ribbon is folded into a rectangular double layer. It’snot a crossing, as it has no edge crossings.


Patrick LabarqueArchitect, St Lucas Architectuur, Brussel-Gent, retired, [email protected]

Két rejtvény az egyenes, zárt szalagokról

Egy szalag két végét néhány csavarás, vagy csomózásután ragasszuk össze, majd lapítsuk a síkba. Hogy tudjukmegállapítani az így kapott síkbeli szalag csavarásainakszámát? És, ha a szalaggal egy test, például egy tetraéderfelületét burkoljuk be, akkor is meg tudjuk mondani acsavarások, vagy csomózások számát?

161

Figure 2: What is the twist-number of each of the 16 ribbons?

We can find the answer by actually making the ribbons with a strip of paper. We then stretch the ribbon andbring all twists in the front part. This is called “bringing the ribbon in braid position”. After a second stretch we onlyhave positive or negative twists in the front part, as left and right twists cancel out each other. It is now possible tofind the twist number by counting the number of positive or negative twists.

But if the ribbon is knotted we can’t bring it in braid position by stretching. So we have to find another way thatcan be used also for knotted two or one sided ribbons.

First we give an orientation to the edges of the flattened ribbon. For a one sided ribbon the orientation ofopposite edges is always the same. For a two sided ribbon we give the opposite edges the same orientation3 . Wethen give a plus or minus sign to an edge crossing following the convention4 of figure 3.

Figure 3: Convention for the sign of an edge-crossing.

Next we assign a twist value to each of the two kinds ofribbon crossings as follows:- A half crossing has a value of +½ or ½ dependent on thesign of its only edge crossing. - A full crossing has a value of +1 or 1 dependent on thesign of one of its four edge crossings (as opposite edgeshave the same orientation, all edge crossings in a fullcrossing have the same sign).

Finally we add the twist values of all ribbon crossings to get the twist number of the ribbon. Figure 4 illustratesthe consistency of the above conventions.

Figure 4: Changing a full crossing (left) into two half crossings (right) with the same partial twist number. The dark grey parts havebeen given a half turn around the horizontal axis. The twist number of this one sided ribbon is -1/2.

3 With this convention we can treat a full crossing in a one or two sided ribbon in the same way. 4 This convention ensures also that a right twist is positive and a left twist negative.


We are now ready to solve the following wrap puzzle.

Figure 5: Wrapping a straight closed ribbon around a tri rectangular tetrahedron with proportions 1x1x2. Which one of the 16 drawings has a ribbon that is:

1) nor twisted nor knotted?2) twisted and not knotted?3) knotted and not twisted?4) knotted and twisted?5) ... ?

Bibliography:

S. Jablan, R. Sazdanović, LinKnot- Knot Theory by Computer, Series on Knots and Everything Vol. 21, World Scientific, Singapore, 2007.E. Conley, E. Meehan, R. Terry, Flat folded Ribbons, Smith College, Northampton, after 2009. C. Feist, R. Naimi, Topology explains why Automobile Sunshades fold oddly, The College Mathematical Journal Vol. 40, TheMathematical Association of America, 2009.


163

Xurf Portraits

“The ancients [1] fractured god into a thousand gods in orderto understand god. To understand light you have tofracture it into a thousand colors. Haresh Lalvani hasfractured structure into a thousand facets in order tounderstand form.” William Katavalos [2]

Artists often use the mirror to explore self-reflection and self-portraiture. When they doso, they are relying on plane geometry of themirror and physics of reflection. When thegeometry of the mirror is transformed, so isthe artist’s perceived reality. The curvedmirrors in circuses have delighted audiencesfor years via this type of perceptualtransformation.

The four XURF Portraits [3] shown here are allproduced by a far more complex transformationthan a single-piece mirror sculpture. Each sculpturein this series [4] starts off from a flat laser-cutmirrored stainless sheet pattern comprising of facetsand is morphed into three dimensions by the artist atMilgo-Bufkin, the factory where this work is being produced.

The morphing process re-orients each facetdifferently in three-dimensional space yet it maintainsthe integrity of the surface as one single piece. Eachfacet mirrors its environment interactively inunexpected and subtle ways. Each facet reflectsdifferently from others, and an image is fractured,multiplied, rotated, zoomed, transposed, inverted ormorphed, all within a one-piece mirror surface. Thereflections change as you come closer, walk away, ormove in front of this fractured looking-glass.

Remarkably, the optics of a fractured mirrorreconfigures the human face and surroundings in amanner reminiscent of what the cubists had achievedon canvas a hundred years ago through their mind’seye.


Haresh LalvaniLalvani Studio, NYC, USA [email protected] / www.lalvanistudio.com

Xurf portrék

A tükröző felületet lézerrel felvágták, minden darabját atér különböző irányába állították. A kép így összetörik,megsokszorozódik, elfordul, kicsinyítődik, nagyítódik,invertálódik, torzul egy tükröző felületen belül. Azösszetört tükör átrendezi az emberi arcot és környezetét, akubisták módszerére emlékeztető módon.

Figure 1: CALLISTO, Mirrored Stainless Steel, Laser-cut, 4 feet dia., wall mounted.(The Philoctetes Center, New York, 2008, in the exhibit ‘Self-Reflection,The True Mirror’, curator Hallie Young). Photo: Bruce Gitlin.Figure 2: SELF-PORTRAIT (in CALLISTO)(Haresh Lalvani solo exhibition 2POINT5D+, De Castellane Gallery, Brooklyn, NY, 2010, curator Core.Formula). Photo: Hans DeCastellane.

Figure 3: DEBORAH BUCK (in HYPERION 1). (Haresh Lalvani solo exhibition, xTRAD, Buck House, New York, 2011).

[1] For example, the ancient Greeks and Hindus.[2] William Katavolos is an architectural futurist and Co-Director, Center for Experimental Structures, School of Architecture, PrattInstitute, New York.[3] We have been using the term XURF (from eXpanded sURFace) for a new technology jointly developed with Milgo. XURF wasinvented by the artist in 1998 and has been in continual development with Milgo since then (US Patent 8,084,117 B2) for applicationsto art, design and architecture. The XURF Portraits began in 2008. The largest XURF sculpture is currently being planned for an outdoorinstallation in a sculpture park of an educational institution. [4] The series comprises several other sculptures including HYPERION 1 which was used for portraits in Figs.3-5.


165

Figure 4: RUTH LYNFORD (in HYPERION 1). (Haresh Lalvani solo exhibition, xTRAD, Buck House, New York, 2011).

Figure 5: MIGUEL (in HYPERION 1). (Haresh Lalvani solo exhibition, xTRAD, Buck House, New York, 2011).


A tribute to Benoît Mandelbrot

Benoît Mandelbrot passed away in 2010. Hemade many contributions to science but willmost certainly be best remembered for hisdiscovery of the Mandelbrot set. This is the setof points in the complex plane that do notescape to infinity under the iteratedtransformation z→z2 +c.

The Mandelbrot set is easy to draw, andzooming in on its boundaries in order toexplore the intricate patterns hidden therehas been a pastime for many amongst us.Many programs exist for this exploration,restricted only by numerical accuracy, and thepatience of the user.

The set lives in a 2D plane, but 3D views arepossible by defining a depth function forpoints outside of the set. This requires afunction that gives an estimate of the distancefrom a point to the border of the set. This distance can be given for instance by 0.5|z|logf()f(z)|dz| where z is the valuewhen the iteration stops, and dz is the derivative which is also calculated iteratively.

This produces an alternativeview of the set that is very good atshowing all the intricacies of themany patterns hidden in the nooksand crannies in the vicinity of theset’s border.

The figures are a tribute toprofessor Mandelbrot, who gaveus a gem of a mathematical object,a gem that we can explore withoutend!


Jos LeysMathematical Imagery, [email protected] / www.josleys.com

Mandelbrot emlékére

Mandelbrot 2010-ben távozott el közülünk. Soktudományos felfedezése közül leginkább a róla elnevezetthalmazokról emlékezünk rá. Az eredeti Mandelbrot-halmaz 2 dimenziós, de egy komplex függvénnyel azegyes pontokhoz mélységet rendelve, 3 dimenzióssáalakíthatjuk. Ezekkel a 3 dimenziós, részlet gazdagképekkel fejezzük ki tiszteletünket Mandelbrot professzoriránt.

169

Elements of Mathematics in Tazhib

Tazhib (Illumination) is classical Persian art used for thedecoration of treatises and books, which has played,along with calligraphy, a fundamental role in structuraldesign. This art has an intertwining relationship withcalligraphy. In medieval Persia, the highly refined art ofTazhib was developed and its tradition continues eventoday.

In traditionalPersian Tazhib, one can findmathematical ideasand concepts suchas symmetries,logarithms andArchimedean spirals, polygons and star polygons.

In the beginning, Tazhib symbols were used as signs for categorizingverses and chapters in literature. Over time, along with the changes incalligraphy, a new order of execution and presentation for illuminative art hasbeen created. This was especially true with the rise of lithography and cursivewriting, which played a role in Iranian national writing.

The root of this art, which has a fundamental connection with theportrayal of vegetables and plants, can be found in pre-Islamic Persia,especially in the decorative art created during the Sassanid dynasty.

The following is some Tazhib artwork, created by the author, which carriessome elements ofmathematics.


Mojgan LisarArt therapist and Artist, The Netherlands [email protected]

Tazhib és matematika

A Tazhib klasszikus perzsa művészeti forma, amit akalligráfia mellett alkalmaztak a könyvek díszítésére. Ahagyományos perzsa Tazhib-ban számos matematikaiötletre, elképzelésre bukkanunk, olyanokra, mint példáula szimmetria, a logaritmus, az archimedeszi spirál, asokszögek és a csillag sokszögek.


The Geometry of “Photodynamism” in Futuristic Art and Digital Photography

20th century physics changed our perception of the world andnew mathematics emerged: this revenge of time anddynamism against space and staticness also influenced art(space-rigidity cancelled out by Impressionism, Cubismmerging single views in an extra spatial dimension).Photography was able to capture just an instant in time; cinemaput these in motion.

Futurism (1909)aimed at creating newforms of imagery toexpress movement:abolishing perspectivein a simultaneousvision. A temporal dimension adds to artworks and obliges the mind toreconstruct time from a single shot – its Aesthetic of Velocity had strictrelations with photography; Bragaglia’s Photodynamism claims thatartworks “should show the continuity of motion”. In its algebra ofmovement rigid motions are inserted in photography, introducingabsolute and relative motion through a technology requiring an increasingnumber of shots “to capture dynamism in frozen time”.

Futurism’s heritage is important to contemporary art. Digitalphotography lets artists pick up from where futurists left off, helping to refresh an innovative vision. In thetechnique painting with light the digital camera is used as a brush:the artist chooses a subject with (multicolored) lighting togenerate a light pattern; the camera is set in motion to create thedesired shapes or in an erratic way to create unexpected patterns.Bragaglia’s algebra is in this way revisited. Photography definestwo kinds of motion: subject and camera movement (implicitlybased on Galilean Relativity, corresponding to interchanging twoframes); the resulting image is obtained by superposition.Combining movements the artwork becomes an algebraiccombination of motions. If these are rigid enough thecomposition algebra is Euclidean, but whenever subjects do notmove rigidly larger groups of transformations enter. An explodingfirework will generate dilatations; even more complicatedtopological transformations are obtained when shooting at

170

Marcella Giulia Lorenzi − Mauro Francaviglia − Rick DobleLorenzi: artist and researcher, University of Calabria / Francaviglia: professor of mathematical physics, University of Torino / Doble: photographer. [email protected] / [email protected] / [email protected]

A „fotódinamizmus” geometriája a futuristaművészetben és a digitális fényképezésben

A futurizmus elnevezésű művészeti irányzat meghatározószemélyiségei 1909-ben többek között azt tűzték ki célul,hogy ábrázolhatóvá tegyék a mozgást. A futurizmusöröksége napjaink művészetében is fontos. A digitálisfényképészet lehetővé teszi a művészeknek, hogy ottfolytassák, ahol a futuristák „abbahagyták”, felfrissítsenekegy innovatív látásmódot.


171

subjects evolving in a quite morecomplicated way. “Painting with Light”corresponds then to the creative way inwhich motion is inserted into artworks fromthe point-of-view of the artist without beingalready present in the subject. This new artborn with the advent of digital photographyleads therefore to dynamic abstract imagery,representing in a sense a modern way toimplement Bragaglia’s ideas.

Decorate the marble turning the circle

Milan is nowadays considered the capital of fashion and design,but it is also rich in artistic monuments. Capital of the RomanEmpire (285-402), important town in the Lombard period (568-774), and crucial cultural point in the Middle Ages andRenaissance, Milan discloses its historical background in animportant artistic Cathedral, the Duomo (Figure 1).

The construction of the Duomo started around 1386 and wascompleted in the second half of the last century. The Cathedralprovides an occasion to discover not only a big variety ofartworks, but also many mathematical details. We will focus onsome decorations related to cycloid, epicycloid and ipocycloid.

Figure 1

The cycloid is the curve traced by a point P on the edge of a circle (radius r) rolling along a straight line, withoutslipping or stopping.

It’s possible to detect the form of the cycloid in the dark, following the path of a lighted spot, fixed on the edgeof a wheel, when a bicycle moves along a straight line at uniform angular speed.

In the XVI century, the most important period for the Differential Calculus, mathematicians and physicians likeGalilei, Bernoulli, Leibniz and Newton, investigated the numerous properties of the cycloid. In the Calculus ofVariations the curve comes out as solution of the brachistochrone problem: the cycloid minimizes the travel time ofa bead that moves, frictionless and influenced only by the gravity, along a curve connecting two points not on avertical line.

- The epicycloid is described by a point P onthe edge of a circle γ of radius r , rollingaround a circle γ−’ having radius a, a ≥ r.Different forms of the curve depend on theratio q = a / r :- if q = 1 the curve is known as cardioid,- if q = 2 the curve is known as nephroid(Fig.2, Fig.2a),

Figure 2, Figure 2a


Elena Marchetti − Luisa Rossi CostaDepartment of Mathematics, Milan Polytechnic, [email protected] / [email protected]

Márvány díszítés a körök elforgatásával

Milánó szinte minden történelmi korban fontos művészetiközpont volt. 1386 körül kezdték el építeni a DuomoKatedrálist. A katedrális tanulmányozása lehetőséget adarra, hogy ne csak a művészeti alkotások szélesválasztékát fedezzük fel, hanem a matematikai alapúdíszítéseket is. Ebben a cikkben a ciklois, epiciklois ésipociklois által létrehozott mintákkal foglalkozunk.

172

133

if q = 4, 8, 20 you can find thecorresponding lines in the followingillustrations of Duomo decorations(Fig. 3, Fig.3a, Fig.4, Fig.4a),

Figure 3, Figure 3a

Figure 4, Figure 4a

if q = 3 / 2, the form is evident insome of the Duomo windows (Fig.5,Fig.5a).

Figure 5, Figure 5a

The hypocycloid is described by apoint P on the edge of a circle γ ofradius r, rolling inside a circle γ’,having radius a, r ≤ a / 2.Different forms of the curve dependon the ratio q = a / r, q > 2:if q = 4 the hypocycloid is known asastroid, easy to find in Duomo rose-windows (Fig.6, Fig.6a),Figure 6, Figure 6a

- if q = 5 the line is related to theform of a starfish,- if q = 8 / 3 the line corresponds toother Duomo rose-windows (Fig.7,Fig.7a).

We underline that, if q = 2, theresulting curve degenerates in adiameter of γ’.

Figure 7, Figure 7a


The orthogonal space poem

The orthogonal space poem is one of the simplestmathematical structures one can use for mathematicalpoetry. The structure can be seen in numerouscontexts in the discipline of the sciences. Examples inphysics would include Newton’s second law “F = ma”,Ohms Law “E = IR”, the kinematical properties of “d =vt”, “p=mv” and E = Fd. Please notice all of theequations are in the form of ‘a’ equals ‘b’ multiplied by ‘c’or “a = (b)(c)”. This wonderful equation states that thevalue of one particular concept is equal to the productof two values held by two other concepts. When thisequation is depicted in a Cartesian coordinate systemyou can see that the latter two concepts exist in anorthogonal or perpendicular space.

The orthogonal space poem possesses the exactsame form as our scientific equations however; ourintention is poetic as opposed to scientific.

In 2008 the mathematical poem titled “Prometheus’s Epistle To Job” was nominated for a Pushcart Prize in poetryby the San Francisco Poetry Journal, ZYZZYVA. Since this mathematical poem is an orthogonal space poem it works

well to use as an example of mathematical poetry.In this poem Prometheus expresses to Job that the

suffering of pious people is equal to the arrogance of theirGod divided by the level of ostentatious generosity impartedby their God.

Let’s see how this poem relates to an orthogonal spaceusing a Cartesian coordinate system. First let us put themathematical poem in the same mathematical form as theformer physics problem by solving the equation for “Thearrogance of their God”. After we solve it we have "Thearrogance of their God" is equal to the “ostentatious generosityof their God” multiplied by the “suffering of the pious people”.Now let us visualize how it looks on a Cartesian system. We canassign one axis to be an axis of “Ostentatious Generosity” andthe other axis to be an axis of “The Suffering of Pious People”Now we can see that the green area is the orthogonal space or“The amount of Deific Arrogance that Prometheus declares thepious people experience. See Figure 1.


Kazmier MaslankaArtist, [email protected] / www.kazmaslanka.com

Az ortogonális tér költészete

Számtalan fizikai törvényt szemléltethetünk a derékszögűkoordináta rendszerben. De hogyan szemléltessünk egymatematikai költeményt? Kazimier Maslanka Prométeuszepisztolája Jóbhoz című versében az istenfélő emberekszenvedése úgy fejezhető ki, hogy az istenük gőgjét osztjukistenük nagylelkűségével. Ez Newton 2. törvényének, vagyOhm törvényének megfelelő összefüggés, tehát a derék-szögű koordinátarendszerben történő szemléltetése ishasonló.

174

133

Patterns on a Roll

Ordered regularity is a seemingly manmade phenomenon. The perfect right angles that divide up a city into a gridalmost contradict the playful puffiness of a cloud or the chaotic turbulence of a river. Yet hidden almost everywherein nature and its mathematics we find order. Think beyond the crystal, with its atoms living in neat rows of identicalneighbours. What is the difference between a cube of ice and a glass of water? Order.

The entire nanotechnology industry harnesses the natural ability of different types of matter to order itself anddirects them to form complex materials with specific properties. Biology is the true genius behind the design offunctional ordered structures. These mechanisms must be robust – after all you are different from all other people

but your cells and organs perform the samefunctions. Chemistry governs much of cellularfunctionality. But how do tissues and whole organsystems organize and function as a whole? Oneanswer is elasticity.

Imagine being able to take advantage ofelasticity to design and pattern nanomaterials.Start with a thin sheet of rubber and cut outcircular holes on a lattice. Upon mechanicalcompression, the holes snap shut to form adiamond plate pattern with long-ranged order.Indeed a whole zoo of patterns can be formedfrom a single sheet by changing the magnitudeand direction of the compression. Yet the goal ofreliably creating increasingly complex patterns onever smaller substrates with even finer featuresconstantly recedes into the distance.

The next step is to change the topology of themembrane, from flat to cylindrical.

The additional symmetry afforded us by theperiodicity of the cylinder combined with thelong-range elastic interactions between the slitsleads to an extended library of motifs. Bycapitalizing on the periodicity of the cylinder, onecan upgrade from the “sheet-at-a-time” contactprinting method for flat membranes tocontinuous-feed printing. Thereby previouslyunachievable patterns can be transferred toarbitrarily long flat substrates with possiblyinteresting optical properties.


Elisabetta A. MatsumotoPrinceton Center for Theoretical Science, Princeton University, [email protected] / wwwphy.princeton.edu/~ematsumo

Minták a hengeren

A természetben a rend és a káosz egyaránt jelen vannak.A különálló szövetek és szervek rendszerét példáulrugalmasságuk segíti abban, hogy együttesen, szervesegészként funkcionáljanak. Használjuk ki tehát arugalmasságot a nanoanyagok mintázatának tervezésesorán. Erre láthatunk példákat az ábrákon.

175

133

Polyphonic Visual Space

I have been attempting to find the answers to threequestions:

How is it possible (if it is possible at all) to comprehendsimultaneously the multifaceted nature and qualitativechanges and aspects of a perceived environment? - and

Whether there is any means of visually expressing thissimultaneous perception?

Whether our three dimensional base is adequate tocomprehend all of these?

I have been taking the investigation from our perceptionpoint of view.

I take our perception as a complex process, which isactive, kinaesthetic and occur by the internal and externalstimulus in our central nerve system.

During our existence all of our sensors are active(otherwise we are not able to survive) and register theevents surrounding us at the same time. Let us take a walk ina town to investigate this phenomenon. During our walk theevents that are surround us are continuously changing andwe are in motion, we perceive only the stimulus bysequences. However, during our walk we perceive largenumber of sequenced stimulus. It means that we perceiveour surrounding holistically and by sequences and our brainintegrates and supplements the missing information. For an overlook of a town, we need thousands and thousandsof sequences, we get a qusi complex image about it where our motion is a natural part of the sequences. Thissupposes vision in motion and multiple-view-points of vision.

Examples and our experiences show that our biological apparatus is capable of apprehending andunderstanding the changes of the events happening in space and time simultaneously and one after the other.

The term Polyphony from a visual point of view means: interaction of the related elements and events at thesame time and/or after one another.

Given that the greatest variety of things happen simultaneously in time and space and these continually change,the approach I take for taking into account the relation of the parts in time and space - that is thinking in terms ofrelationships and alternatives - is predestined.

The weighing up of the possibilities of providing an answer led me to a sort of solution, which in short I refer toas: I had to create such visual situations in my works that are situated in space and allow each of their elements tobe visible from any viewpoint at the same time and after one another. Another important aspect was to generatemotion by suitably organizing the elements. This lead to me to use of fragmented forms and transparency in myworks.


András MengyánArtist, designer and professor, [email protected] / www.andrasmengyan.com

A polifonikus vizuális tér

A következő kérdésekre keressük a választ: lehetséges-eegyidejűleg befogadni és megérteni a természetsokarcúságát, minőségi változásait, valamint az érzékeltkörnyezet komplexitását? Van-e vizuális eszköz, amivel kitudjuk fejezni az egyidejű érzékelést? Háromdimenzióslehetőségeink megfelelőek-e mindezek befogadására?

177


179

Impossible Polycubefour-dimensional version

A four-dimensional impossible polycube may be derived by forcibly deforming the symmetric projection into 3-space of a 4-polycube (Figs.1, 2). The model can be constructed in 3-space, but it would be impossible to realize in4-space.

The central portion and the origin of the construction is derived by contracting the four-dimensional impossible4-bar, or Scott Kim’s four-dimensional version of the Penrose tribar, consisting of four five-dimensional prismswhose bases are all 4-cubes (Fig.3). In 2-space, this central portion is subsequently surrounded by either anoverlapping pattern of regular octagons and squares or by a tessellation by two kinds of rhombi gathering arounda square, which is a projection of a regular tetrahedron (Fig.4). In 3-space, it appears as an overlapping stacking ofrhombic dodecahedra (Fig.5), or as a stacking of two kinds of rhomboids gathered around a regular tetrahedron,which in turn is derived from a polyoctet, a three-dimensional space-filling by regular octahedra and tetrahedra(Fig.6).

Figure 1: Symmetric projection of a four-dimensional regular tetrahedron made of five three-dimensional regular tetrahedra into aregular pentagon (top) and of a 4-cube made of eight 3-cubes into a regular octagon (bottom), as line patterns in 2-space (left) andsolid models in 3-space (right). CG: Motonaga Ishii.


Koji MiyazakiEmeritus Professor, Dr. Engineering, Kyoto University, JAPAN [email protected]

A lehetetlen poly-kocka 3, 4, 5 dimenziós verziói

A cikk részletes ábrasorozattal illusztrált leírást ad alehetetlen 3, 4, 5 dimenziós poly-kockák konstrukciójáról.Az eljárás általánosítható és n dimenzióba iskiterjeszthető.

180

133

Figure 2: Typical symmetric projections into3-space of a 4-cube: A rhombic dodecahedralprojection embedded in a 3-polycube with itsprincipal diagonals (left) and a projection aspart of a polyoctet (right).

Figure 3: Construction of the central portion of an impossible 4-polycube in 2-space. From left to right: The line pattern of a four-dimensional impossible 4-bar; the line pattern and solid model of the central portion derived by contracting the 4-bar. The shadedpolygons highlight a 4-cube, four of which are gathering around the central dark square, which is a projection of a regular tetrahedron.

Figure 4: Extended patterns of theimpossible 4-polycube on 2-space shownas a line pattern in which regular octagonsand squares are overlapping (left) and solidmodel in which two kinds of rhombi gatherin a radial fashion around the centralsquare (right).

Figure 5: Construction of the central portion ofan impossible 4-polycube in 3-space. On theleft, a line pattern of Kim’s four-dimensionalversion of the Penrose tribar, a differentprojection of which can also be seen in Fig.3. Onthe right, the central portion derived bycontraction of Kim’s pattern. The central darkportion represents a regular tetrahedron.


Figure 6: An impossible 4-polycube in 3-space derived from a polyoctet. A small regular tetrahedron is hidden at the center. The greenand yellow rhomboids are congruent and so are the blue and red ones. This construction can be expanded infinitely in the same

manner. CG: Paul Patrashcu.


133

Nesting C60 Fullerene , Dodecahedron, Icosahedron and RhombicTriacontahedron way to golden rhombic Zonohedral spacefilling

Buckminster Fuller architect’s heritage must be exemplary for every progressive researcher-Architect.

What size of dodeca- ,icosa and rhombic triacontahedron1 can be fitted in the ’Buckyball’ (truncated icosahedron) ,if it’s edge length is2 ?

A very elegant proportion is obtained if vertices of the dodecahedron are fitted to the centres of hexagonal faces ofthe fullerene: the edge length of the dodecahedron is f, and the edge length of its dual, the icosahedron, is f2 ,where f is the golden ratio (or golden mean)

Figure 1: C60 is represented with blue edges, rhombictriacontahedron with red edges, icosahedron with greensurfaces, dodecahedron with pink surfaces. Goldenrhombohedra are over the C60's hexagonal faces, at the verticesof the inscribed RT and dodecahedron. If a RT is placed in theC60, so that its three-fold vertices coincide with the centres of thehexagonal faces of the C60, then the five-fold vertices of RT arelocated above the pentagonal faces of C60. Each such vertex ofRT forms a pentagonal pyramid with the edges of the pentagon.If we mirror the sides of pyramid relative to the edges ofpentagon, then we get rhombi with diagonal proportionsequalling square root two. Together with the centre ofhexagonal face of C60 (or a vertices of RT or dodecahedron), 3vertices of these rhombi are atthe vertices of an acute goldenrhombohedron , giving cluster of 20 A6 golden rhombohedraaltogether.

1 marked with red on Mathematica model (courtesy to S.Kabai)and modelled with black nodules in ZomeTool.2 M Ya Amusia et al 2005 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 38 L169doi:10.1088/0953-4075/38/10/L06


István MuzsaiArchitect DLA MOME, [email protected] / www.theycom.hu

Szupermolekula, avagy a C60 Fullerénbe írtdodekaéder, ikozaéder és rombikus triakontaéder,avagy 3D dupla kupolahéj sugárszerkezettel

A címben említett poliéderek kapcsolatainak elemzése aMathematica program és a Zometool modellező készletfelhasználásával.

183

Figure 2: a Zome Tool model

The hexagonal face of the C60 can be regarded as a polygon thatdivides a large golden rhombohedron (e) into two congruentparts. The relationship of the edges of the large rhombohedronand the small rhombohedron: e/e1 = 2 f2 = 5.23607

Figure 3: Blue edge: C60, red edge: RT, big golden rhombohedron (e) and littlerhombohedron (e1). The small rhombohedron is one of 20 rhombohedraforming a rhombic hexecontahedron (RH), which fits into the largerhombohedron.

This frame model can be used for domestructure, floating emergencybuilding/construction or space capsule(Bérczi Sz.). De facto it is works as anextremely solid double shelled 3D sphereframe with tetrahedrical flexible fixturesand 12 sluices or opeions.

The following problem is arising: if all the 4nested polyhedra are 3D hyperplanesections of a polychoron, and furthermorea golden rhombohedral cluster appears onthe Triacontahedron’s vertexes. What typeof dual with higher dimension can have theC60 molecule, and if it does not have, howcan it catalyze to a higher dimensionalhypercube lattice? According to SándorKabai, this solid shows connectionstowards to the Enneacontahedron, whichpolihedron appears between RussellTowle’s quasicrystalline zonohedralspacefillings. Endohedral fullerenespromise important applications inquantum computing, magnetic resonanceimaging and nuclear magnetic resonanceanalysis examining its new effect, thedistortion of the giant resonance (2) by theC60 fullerene.

Figure 4: Cluster of RHs and RTs around the surface of C60


185

Naked Geometry: Mathematics and the Human Form

Hands and feet, paces and faces, polygons and legs - these are among the many body references used inmeasurement and geometry to this day. We often think of geometric forms in relation to our bodies, and recreatinggeometric figures with humans is a reminder of this human connection to mathematics.

The human form introduces a set of constraints that is exciting to work with. Finding arrangements of humanfigures to produce mathematical shapes and structures develops ideas both from geometry and anatomy. Further,the symmetries and asymmetries of the human body present challenges and opportunities for creativity andunderstanding.

Nearly every topic in mathematics provide rich ideas for exploration with the human form; areas such as polyhedra,tessellations, fractals and topology are particularly exciting.

Polyhedra are 3-d formscomposed of polygons.Constructing polyhedra usinghuman bodies introduces aunique set of constraints thatcan teach us much abouthidden properties andconnections between theseelegant geometric forms. Theset of 5 Platonic solids shownhere, for example, were builtusing the same set of humanfigures with pairs of figuresaligned on the x-, y- and z-axes.Construction of these modelsrequires careful attention to thesymmetries of these forms.

Mike NaylorNorwegian Center for Mathematics Education, [email protected] / mike-naylor.com


Meztelen geometria: a matematika és az emberi test

Napjainkban is használatosak az emberi testrészekhezkapcsolódó mértékegységek, mint a láb, arasz, öl, stb.Emberi alakokkal újrateremtett geometriai ábrákatláthatunk, sokszögeket, poliédereket, fraktálokatkövezéseket.


Fractals can be made by repeating a set of instructions at smaller and smaller scales. They are fascinating figuresand are especially surprising when created with human figures, resulting in images that are at once familiar andstrange. The fractal image evokes the idea that our ancestry stretches into the past like a tree.

Tessellations, or tiling patterns come in many arrangements and finding different ways to create them with humanforms is challenging and instructive. Human figures introduce new symmetries into the patterns and often result inpleasing surprises. This 6.3.4.3 tessellation (so named because each vertex is the meeting point for a 6-gon, 3-gon,4-gon and 3-gon) starts in the center with a hexagon of alternating male and female figures, but continuing thepattern results in the surrounding hexagons becoming composed solely of male or female figures. What willhappen if the pattern is continued? Mathematical art is full of such surprises.

Topology, the study of relationships, has many interesting forms that can be demonstrated with human figures. Thisfigure demonstrates all possible connections between pairs of points in a set of 5 points, and creates a pentagraminscribed in a pentagon, a sacred symbol of the Pythagorean society.

Creating mathematical artwork with the human form reinforces a fundamental idea: mathematics is a part of us,and we are a part of mathematics. Many other images and ideas can be found at http://www.nakedgeometry.com.

189

Recursive Spiral Space Filling Curves

On exposure to an antique HP pen plotter at the San Francisco hackerspace NoiseBridge (www.noisebridge.net) Iremembered stories told to me by my friend Douglas McKenna about his days as a postscript programmer makingprograms to plot illustrations for Mandelbrot’s famous book about fractals. I also fondly remembered Douglas’s artand work [1] with space filling curves from the old days and still are fun to do on pen plotters because the pennever has to pick up, the art comes from one continuous line. I was inspired to produce some continuous curves todrive the pen plotter.

The first place I looked was to tradition, specifically Celtic spiral work. In my favorite book on the subject CelticArt: the Methods of Construction by George Bain [2] traditional examples of what he calls a two-coil spiral had theproperties of a single continuous line I was after. [3] They consist of one spiral rotated and copied around a circle'scenter as a starting point and then joined to make one spiral that starts and ends on the opposite sides of a circle.

Throughout the section on spirals, figures show circles which are used to compose arrangements of spirals forrosettes or friezes which are then filled in and transitioned to each other [4]. None of these arrangements have onecontinuous line so using my knowledge of spiral tilings [5] I composed some simple arrangements using this rule:Begin on one side of the bounding circle, travel through the inner circles each from one side to the opposite thenout to the opposite side of the bounding circle (transition curves cannot produce kinks at the start or end of theinner circles). The first and simplest one is shown in Figure 2a, Figure 2b shows the recursive principle that is made


Chris K. PalmerArtist, [email protected] / www.shadowfolds.com

Rekurzív spirális térkitöltő görbék

A hagyományos kelta spirálok inspirálta spirálkompozíciókat mutat be a cikk.

Figure 1b-d: la Circle 1b One- 1c Two- 1d Two-Coil. More


Figure 3

191

possible when the rule is followed; the motif from Figure 2a is inserted into itself. Others composed and selectedfrom many possibilities for aesthetic qualities of balance, and smoothness of curve transitions are shown in Figure 3(in the rightmost column) along with construction drawings. All of the elemental motifs in Figure 3 can be insertedinto each other as shown in Figure 4. Figures 5 and 6 show some of the multitude of possible compositions withrecursive arrangements and combinations of the elemental motifs.

Figure 4


Figure 5

References:

[1] http://www.mathemaesthetics.com[2] Celtic Art The Methods of Construction byGeorge Bain, Dover edition 1973[3] Ibid., p.61 plates 1-2, p.63 plates 5-6[4] Ibid., p. 64 plate 8[5] http://www.shadowfolds.com/whirl_spools_paper/ScurlsBridges9.pdfhttp://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/palmer/index.html Figure 6



Limitation or addition?

It is said, especially in constructive art, that "less ismore".

The ideal would be a simple strong shape, well madeand of interesting construction. For the past forty yearsI have been trying to make such works. But always alittle devil deep within me was dissatisfied.

By using all kinds of materials I tried to make thework more interesting for myself. There can be nodoubt that the same work when made in wood ormarble or steel, is of different radiance and thereforealmost a new work.

Let me give an example: "Borsalino" (the title refersto an Italian hat). Picture no 1 shows it in solid bronze.It is an assemblage of nine pieces, six eighth-partcircles and three semicircles. Glueing the nine piecestogether results in a smooth shape. I made it in wood,aluminium, stainless steel and then all of a sudden I

found the shape too solid, too dense, not spaciousenough. Thus I constructed all nine pieces from steel rods,just the outlines, leaving the surfaces open. Joining the 9elements together resulted in the shape you see inPicture 2. This shape, however, looks rather complicated.Not "less" but "more"! The onlooker has to make an effortto discover the essence of the construction. Only at acertain angle can one see the image as shown in picture2, which was, of course, taken from this specific viewpointto clearly show the ‘plan’ underlying the work.

When creating a new sculpture, I look for new andinteresting ways to arrange the all-time basic geometricalforms. By manipulating these given elements in a certainway, surprising and interesting new shapes can becreated. For this to be possible, all the elements should

Henk van PuttenSculptor, India (originally from The Netherlands)[email protected] / www.henkvanputten.com / www.artstable.eu

Korlátozás vagy kibővítés?

Az ideális az lenne, ha lenne egy egyszerű, erős, megfelelőalakú, jól elkészített és érdekes szerkezetünk. Ha ugyanazta munkát más-más anyagból készítjük el különböző leszaz alkotás kisugárzása, szinte megváltozik az alkotás. Aképeken látható művek nyolcad, negyed és félkör alakú,téglalap keresztmetszetű darabokból és különbözőanyagokból készült alkotások.

Figure 1: Borsalino, a ‘zero’ form

Figure 2: Borsalino, a ‘plus’ form

have planes of similar form and size. For instance, if the circle elements were cut from a ring with a rectangular crosssection, it is only possible to fit two elements together in two ways: continuing the circle, or, by turning one of theelements a half-turn, reversing the circle form. But by using a square cross section, one can join them in 4 ways: aquarter turn will also make them fit. During the design of the Borsalino, I discovered one more "fitting" possibility: ifthe eighth-part circles are of a certain diameter it is possible to reverse the whole element (see the sketch, picture3). This optimal fittings process enabled me to build ‘the knot’, the kernel of the Borsalino sculpture (picture 4). Onlythree semicircle elements would be needed to complete the sculpture into the Borsalino shape.

Since the discovery ofthis optimal fitting element,I use these proportionsalways in my new works.Even if the sculpture is notas “severe” looking as thisone, but rather “playful”, theoverall harmony of thepiece is more perfect. Thesculpture “ContrapunctusNo 14, a completion”(picture 5) is made of 33pieces. 21 eighth-partcircles, 10 semicircles andtwo quarter circles.

Here the reversing of theeighth-part circle elementsis visible everywhere. Thecontinuation of the squaredshape seems endless.

Figure 5: Contrapunctus,a ‘zero’ form


Figure 3 Figure 4: Knot, a ‘plus’ form

195

Visualisation of the icosahedral Group in a new 3D representation

We would like to introduce a newly discovered polytope, the epitahedron [1], which can be assigned as a 3-D cell of5-D space. The lengths of their edges as well as the volumes of the epitahedra – E- (concave) E+ (convex) and bothtogether, EE (E- : E+ = E+ : EE ) – conform to the golden ratio, thus the epitahedron tiles space in the golden ratioanalogous to the Penrose Tiling in the 2D plane.

With seven faces, E± is topologically homeomorphic with one of the 34 topologically distinct convexheptahedra, with 4,3,3,3,3,3,3 faces, 6 vertices and 11 edges. Its dual E7 corresponds to the hexahedron with5,4,4,3,3,3 faces, 7 vertices and 11 edges in the proportion of the golden ratio, and it uses the seven vertices of theicosahedron not used by E+.

The decoration is taken from the Penrose Kites and Darts decoration, since the faces of E± are the obtuse and theacute triangles are derived from the Robinson triangle decomposition of the Penrose Pattern, along with atrapezoid composed from these two types.

The fact that the faces of two intersecting epitahedra E+ in an icosahedron form a dodecahedron at the centre,and that the dodecahedron itself can be confined by 12 epitahedra, comprises a certain “hyper-Platonic” trait. [3]

Inscribed in the icosahedron, a member of the epitahedra family (E+, E-, E7) is capable of uniquely marking therotational position of the icosahedron.

Kostant uses the C60 fullerene (well known in chemistry) to visualise some special properties of the icosahedralgroup and some group theoretical constructions of it by means of a truncated icosahedron, its 60 vertices and thefact, that they are grouped into twelve pentagons.[4] He visualises some of his results in group theory with help ofthe five sets of three orthogonal golden rectangles inside the icosahedron, accordingly with the vertex denotationuvu-1v-1 etc.

By inscribing an E+ into an icosahedron, these results can be visualised without any naming at all. The position ofthe peak C of E+ “marks” Kostant’s pentagon and the position of the trapezoid gives an unused co-neighbour of thepeak – marking a vertex inside Kostant’s pentagon. E-, EE/2 and E7 can also be used for this purpose. Adding an E-or E7 with a different peak position to an E+ gives an easy possibility to visualise 660 elements out of the PSl(2,11)group investigated by Kostant.

For Bengtsson’s mutually unbiased bases (MUBs), E+ can be used to visualise the six distinct MUBs for the caseN=5 [6] – because the normals on the seven faces give six distinct directions. [5] The internal properties ofepitahedra system as well as their practical usability (hyperspace element, group theory, MUB theory, geometry)may lead to a correct visualisation of elementary particle descriptions in a digital space configuration of a higherorder – as a kaleidoscope of the golden number.

[1] Greek: ἐπιτά as distinct from ἑπτά, seven, cf.: ἐπι-τάφιος, belonging to the grave, and ἐπι-τάφιος, extremely expensive, itstranscendental meaning reflects its properties as a 5D space cell; E± found by Renate Quehenberger (2006) and named by RaoulQuehenberger (2011)[2] constructed by Hans Katzgraber, Nov. 2011[3] found by Christian Magnes, 2011[4] Bertram Kostant, The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois, NOTICES OF THE AMS, September 1995[5] Ingemar Bengtsson, MUBS, POLYTOPES, AND FINITE GEOMETRIES1 Stockholm University, Alba Nova Fysikum, Stockholm USITP 04-4 June 2004


Quantum Cinema AR_Group: R. C.-Z. Quehenberger, P. Weibel, M. Blümlinger, H. Stachel, E.V. Samsonow, H. Rauch, H. Katzgraber, C. Magnes, N. Tasić; K. Stumreich, R. Friemel

University of Applied Arts, Quantum Cinema, Vienna, [email protected]

Az ikozaéder csoport új, 3D szemléltetése

Az újonnan felfedezett politóp az epitaéder bemutatása,az ikozaéder csoport további elemeinek újszerű 3dimenziós ábrázolása.

Visualisation of the icosahedral Group in a new 3Drepresentation (Table/Picture in doc-Format)Path on Icosahedron:

I_dentN_eighborC_o-neighborO_pposite

QC_Images:All graphics are devoloped during the Quantum Cinema Project; Artist /CAD modelling and animated graphics:Christian Magnes, Programming: Hans Katzgraber

Figure 2: Examples of digitally animated 3D geometry: Hyper-Platonic solids: Epita-Icosahedron and Epita-Dodecahadron [QC_3DAnimated Geometry, artist: C. Magnes]


Reconstruction of ornaments

In many cases, working with archaeologicalmaterial, it is necessary to make a reconstructionof complete ornaments from fragmentspreserved in bone, on stone, ceramics or textile.One of the possible ways is the use of symmetrywhere the complete ornament is extrapolatedusing plane symmetry groups and periodicity.

But, the theory of symmetry does not offer asimple enough explanation of how the ancientantisymmetric ornaments were constructed.Basic design concepts and constructionmethods are generally derived from commoncrafts such as weaving, carpet-making, paintingand textile manufacturing.

A large number of antisymmetric (black and white)rosettes and most of the antisymmetric friezes andplane antisymmetric ornaments can be derived in avery simple way, using just one basic element: theTruchet tile (a black-white square) or a full set of tilesderived from a square by all of its black-whitecolorings.

Modularity in art occurs when several basicelements (modules) are combined to create a largenumber of different structures. Using the modularityfrom every set of modules by their recombination alarge collection of different ornaments can beobtained. Therefore, having a larger amount ofarchaeological material we may try to find the samemodules occurring in different pieces and thus provethe modular basis of the ornaments in question.

The other similar antisymmetric prototiles areobtained when some simple tile, a square, rectangle or

triangle, is divided in 2 or more parts. From this division, by a systematic coloring, a full set of antisymmetric tiles isderived. If a basic tile is divided in n subregions, that complete set consists of 2n two-colored tiles.

A series of interesting ornaments of that kind was found in the authors’ attempts to make a symmetricreconstruction of the patterns of the carpets from Pirot (Serbia) or much older Turkish carpets. In both cases wewere able to recognize a simple set of two-colored rectangular or square elements (i.e., the complete set ofantisymmetric prototiles) used as the modules. In that sense, the patterns and the details of the kilims from Pirot orTurkish carpets could be considered as a treasure preserving some much older knowledge, originating even fromprehistoric times.


Ljiljana RadovićUniversity of Niš, Faculty of Mechanical Engineering, Department of Mathematics, [email protected]

Díszítések rekonstrukciója

Gyakran szükséges régészeti leletek esetén a teljes díszítésrekonstrukciója a megmaradt darabok alapján. A mintahelyreállítására gyakran sikerrel alkalmazhatjuk a mintákgeometriai sajátosságait, a szimmetriát, periodicitást,antiszimmetriát, modularitást.

199

In those and in similar Neolithic patterns we can recognize ahigher level of antisymmetric organization: instead of using a parti-cular disjoint element arranged according to the laws of antisym-metry, here we have a complete counterchange – the perfect two-colored ornaments where the figure (black part) is congruent withthe ground (white part), covering a plane without gaps or overlaps.

Patterns with antropomorphic and zoomorphic counterchanging congruent tiles were created by M.C. Escher,but a large number of such geometric ornaments can be found in the Neolithic ornamental art or Precolumbian art.Together with the counterchanges, the border of the figure/ground in the preceding image can be recognized as aPeano curve.


Supermodulus-Prints

A fractal is created by only one formula and by iteration, which means that a process is repeated over and overagain. Supermodulus-prints also uses one formula with mathematical abstract design as result. In order to make itas simple as possible the very common Microsoft Excel-program was used. For making a 2D-pattern, a 3D-patternhad to be defined. So some kind of landscape with mountains was created. The second step was to make atopographical map of this mathematical landscape. With Excel this is very easy to do. The problem was to find agood mathematical formula which creates nice landscapes.

After several attempts the results stayed simple until it was decided to use the modulus-function. (MOD-functionin the English version of Excel). Suddenly complicated images occurred. Therefore these prints are called“Supermodulus-prints”.

The procedure is quite simple: a 50 x 50 table was created. In each of the 2500 cells the modulus function wascalculated. For example MOD( x2 + y2 ; m) with x and y the position of the cell and m a constant number.

As long as m was small the graph was very simple but very soon interference-patterns occurred. The results wascertainly not as spectacular as fractals but interesting enough to continue further investigations. Sometimes anextreme small change in one of the parameters resulted in a huge change in the patterns.

For further information, please contact: [email protected]. The Excel-file will be sent to you, so youcan make you own Supermodulus-print.


Peter [email protected] / http://www.raedschelders.webs.com/

Szupermodulusz nyomatok

Excel programban először egy 3D képet hozunk létre,majd ebből a „matematikai tájból” egy topográfikustérképet készítünk 2D-ben. A képletek és a paraméterekváltoztatásával színpompás, izgalmas szimmetriájúábrákat kapunk.

Tiling The Plane With Clusters Of Heptagons

Historically, the use of the regular heptagon has been neglected by both the mathematical and artistic community.This is due to its non constructibility with the Euclidean straightedge and compass, among other reasons.

Concerning the geometry of tessellations, tiling the plane with a single convex polygon of seven or more sideshas been proved to be impossible. Due to the fact that the interior angle of the regular heptagon, H7, is 5π/7, whichis no divisor of 2π, it is impossible to form a monohedral mosaic with it. However, by joining several regularheptagons, it is possible to build aggregates of this polygon to make a tiling of the plane. In this context, suchcombinations are named by the author as “Clusters of regular heptagons”.

The clusters have been obtained by means of axial symmetry applied to one side of an initial regular heptagon,H7, and continuing the process just to get a closed aggregate formed by the juxtaposition of regular heptagons.

The closed sets obtained, in accordance with this criterion, will be named “Side by Side Clusters of regularheptagons”.


Encarnación ReyesUniversidad de Valladolid, Departamento Matemática Aplicada, ETS Arquitectura, [email protected]

A sík lefedése hétszög csoportokkal

Hét, vagy többoldalú szabályos sokszögekkel azeuklideszi sík nem fedhető le hézag- és átfedés-mentesen.Ha egy szabályos hétszöget bizonyos oldalaira tükrözünk,az ábrákon látható gyűrűszerű alakzatokat, klasztereketkapunk.Ezekből különböző szimmetriák alkalmazásávalérdekes minták állíthatók össze.


The family so obtained is composed of one cluster formed by six heptagons, six clusters formed by ten, twoclusters formed by twelve, six clusters formed by fourteen and two clusters formed by eighteen regular heptagons.

The clusters will be denoted by means of the nomenclature: Sa-b, S for Side, a refers to the number of heptagonsof the aggregate and number b serves to list the clusters of the same class.

“Side by Side” Clusters can be combined to cover the plane generating astonishing tessellations by usingtransformations (rotation and symmetries) and, of course, as usual, two translations of independent vectors.

In the first column we show some examples of monohedral mosaics, whereas in the following ones, some othertilings -generated by two, three or four clusters- are built. The last one presents rotational symmetry.

The notation for the mosaics is MSa-b, where M indicates Mosaic or M(Sa-b +MSc-d), when more than onecluster is used.

A Quasicrystal for Cherry Valley

Quasicrystals fill space with a non-repeating pattern; parts repeat, but not at regular intervals. In two dimensions,the pattern might be a Penrose tessellation, although other similar patterns could also be in this category. In threedimensions, the units are two skewed cubes, and in a lattice structure these can be made with rods anddodecahedral nodes. All the rods are of the same length; all the nodes are the same and in the same orientation; allthe faces of the lattice are the same rhomb, and can be filled with identical plates.

For the Cherry Valley Sculpture Exhibition of 2012, I made a quasicrystal sphere. It has a triacontahedral hull – a30 sided figure that derives from the fusion of a regular dodecahedron and a regular icosahedron. Nested inside myhull is a rhombic icosahedron and nested inside that is a rhombic dodecahedron.

Even though all the parts are standard, the sculpture has 2-fold symmetry (of squares), 3-fold symmetry (oftriangles and hexagons), and 5-fold symmetry (of star pentagons), depending on the location of the viewer. Thiswonderful complexity of aspect is also apparent in the shadows that the sculpture casts.


Tony Robbin [email protected] / http://tonyrobbin.net

Kvázikristály Cherry Valley-ben

A kvázikristályok úgy töltik ki a teret, hogy mintázatuknem ismétlődik. A síkban ilyen például a Penrosecsempézés. A Cherry Valley szoborkiállításra 2012-benkészítettem egy térbeli kvázikristályt. A burkolatatriakontaéder, amit egy szabályos dodekaéder és egyszabályos ikozaéder egyesítéséből hoztam létre. Ebbenegy rombikus ikozaéder, azon belül, pedig egy rombikusdodekaéder található. Az alakzat szimmetriái azárnyékon is jól tükröződnek.

A knot in a cylinder

When someone is asked to make a knot in a cylinder, most probably he will come up with something that looks likethe object in Figure 1. Several sculptures are based on this idea and I think the most well known are the works ofTajiri. But this is not the only possible answer to the question. The object shown in Figure 2 may not look like aknotted cylinder but when we cut away a part of the object we can get a look at the cross-section. And then it isclear that when we follow the entire skin of the cylinder starting at the bottom part, going up to the top part,describes a nice knotted surface.The realization of the final wooden sculpture is done by milling. Layer by layer cross-sections of the object weremilled and after that glued together to make this version of a knot in a cylinder.


Rinus RoelofsSculptor, The [email protected] / www.rinusroelofs.nl

Csomó a hengerben

Első közelítésben az 1. ábrán látható képre gondolhatunk,ha a címet olvassuk. A második ábra nem tűnikcsomónak, de ha elvágjuk, a keresztmetszet már érdekescsomót mutat. A szobor, számítógépes grafikaimodellezés után, fából is elkészült.

Art as a Metaphor for Universal Energy and Structural OrderElements of Composition: Structure and Uncertainty

1-We live in a world of patterns

Mathematical patterns can be found everywhere. Innature we recognize patterns manifest themselves indifferent ways and by repeating and growing ordecreasing patterns are generated. Some patterns usesymmetry while others combine translation, rotationand reflection. In tessellation a single cell is repeatedwithout change. The honeycomb is a hexagonalrepeating pattern. Fractal patterns exhibit self-similarity through magnification or scaling. Naturalsystems such as weather are chaotic in their behaviornever exactly repeating, but they have order andregularity though consisting of similar elements.

2-The Elusive Behavior of Color

Color is a perceptual experience. Perceptualexperiences exist in our brain. Color depends on theabsorption of certain wavelengths of light and thereflection of others. A given color also depends on thecontext in which it is presented. Our perception ofcolor and shape depends on such factors as luminanceand the detection of edges, shadows, and the resolution. For example, when there are differences in luminance andthe definition of edges, the shapes seem to jiggle. The shapes seem to be unstable, as they shimmer and “float”. Bycreating an interplay of light and color that is fragmented, the forms seem to be unstable creating a visuallydematerialized space.

We find early examples of this effect in Byzantine mosaic tesserae and modern artists using dashes of painted colorsuch as in the works of Signac, Seurat and Monet.During the Byzantine era, the medium of mosaic (tiny cubes of glass) pieced together in a tiled pattern became avehicle for the artistic representation of dematerializing space through the play of light. Fragmented pieces andbroken color visually resulted in an uncertain, unstable space as it visually dematerialized the form. Dematerializedspace exemplified the religious ideal of a transcendental space standing outside of time. The Byzantine mosaicistsand contemporary painters both want to dematerialize structures to achieve an atmosphere. It is no coincidencethat they arrived at similar solutions. Though the impetus for the expression served different ideals.


Irene RousseauArtist, [email protected] / www. irenerousseau.com

A művészet mint az univerzális energia és astrukturális rend metaforája

Rousseau festményei olyan szerkezetibizonytalanságokat próbálnak megragadni, amelyekkela valóságban is találkozunk.

Figure 1: “Curved Space: fragments towards infinite smallness”

209

Figure 2: “Honeycomb Lattice”

Figure 3: “Visual Polyphony”


Figure 4: “Tiled Space: patterns of change”


211

Triangular Modularity in Persian Tilling

The first two figures present a construction method, which is an extension of the modularity concept using twotriangles that each have been composed from smaller triangles and rhombuses in three colors. The actual tilingadorns a wall of the Bibi Zinab Mausoleum in Isfahan, Iran. Notice that except for the corners, the two compoundtriangles (girih modules) are in opposite colors. Using these two girih modules in a rotational fashion results in thepattern in this artwork.

The second two figures are also based on an extension of the modularity concept using one single triangle,which is formed from smaller triangles and rhombuses in three colors; however, the number of required colors tomake the tiling is two. The actual tiling of this pattern has decorated a wall of the Jâme Mosque, Natanz, Iran.


Reza SarhangiPresident, Bridges Organization and Professor, Department of Mathematics, Towson University, [email protected] / www.BridgesMathArt.org

Háromszög modularitás a perzsa csempézésben

Az ábrák alapján követhetjük, hogy a bemutatott két irániminta, hogy rakható ki a kiterjesztett modularitás elvealapján. Az alapmotívum két, illetve egy háromszög,amelyek mindegyike kis háromszögekből ésrombuszokból áll, az első esetben ellentétesen színezve.

213

Footless Chair in The Poly-Universe

This poly-dimensional space-construction fires yourimagination. At first sight, it looks like an unimaginablecrystal structure, in which microscopic systems areconnected step by step, in an indirect way tomacroscopic worlds. In order to have a clearer insightinto the interconnectedness of spaces or structures onvarious levels, I placed identically formed chess pieceson a poly-dimensional field consisting of squares(Figure 2). The proportion of the pieces should followthe different sizes of the planes. Then I constructed twowooden stools of sixteen legs each, continuing thesplitting of the legs mentally (4, 16, 64, 256, 1024, 4096,16384... 4n-1, 4n ) up to infinity.

The infinite-legged chair is a concomitant of thepoly-dimensional chess board and figures. It would notbe possible to break out of the parameters of ourpresent world unless our thoughts rested on such anobject. In a physical sense, the infinite number of legsis not a very reassuring idea, since the segmentation of


János Szász SAXONFreelance artist, [email protected] / [email protected] / www.poly-universe.com

Lábatlan szék a poliuniverzumban

A fraktálszerű alkotások, a sakk, a szék, valamint a széklábainak síkmetszetei kapcsán, el kell gondolkoznunk avéges és a végtelen problémáján.

Figure 5: Dimension Chess 1998, oil on wood,152×200×152 cm

Figure 1: Poly-dimensional Space 2000

the plane involves a smaller and smaller surface for thelegs to support themselves on, and reaching infinity (n→∞) the plane crumbles (Tn = [4/9]n) and the legs reston an infinite number of points with no dimension.Thus, getting at the infinite-legged chair we can speakabout the singularity of the chair, that is, about alegless chair, or as I named it, footless chair.

Let us examine the plane sections of the footlesschair in our logical experiment, and let us work withthe square again. The direction of progress is inward-building (interior = taking some of the area away,leaving a gap), that is, diminution of the plane, sincethe aim is to decompose the form. We mark the cornersas connecting points again, in each of which we leavethe smaller black squares obtained from the 1:3proportion of the sides of the previous scale. We followthe same procedure several times.

It is obvious that in the first square there are foursmaller T1 = 4/9 elements left, and four more elementsin each of them, up to infinity... In the meantime thearea of the starting square (T0 = 1) has beendiminished T3 = 1 – (5/9) – (5/9) × (4/9) – (5/9) × [(4/9) ×(4/9)] = 0.087792... times in three steps, while thenumber of squares will be D3 = 64. Furthermore, thenumber of squares can be calculated by the formulaDn = 4n and provided n →∞, the remaining form will bea cloud of dust made up of infinitesimal granules,invisible to the naked eye. In this fierce fight our blacksquare has whitened, losing the last bits of its area.

Figure 3: Footless Chair 1998, oil on wood, 30×30×∞ cm


Figure 4: Immaterial Transit 1997

215

Figure 5: SAXON Szász János, Immaterial Transit 1997, oil on wood, 152x152 cm


The Tessellation Puzzle

According to the Oxford English Dictionary, a tessellation is an arrangement of shapes closely fitted together,especially of polygons in a repeated pattern without gaps or overlapping. The word comes from Latin tessellare, topave with tesserae (tiles). How does the image in Fig. 1 fit into this definition? What are the tiles? Which space arewe tessellating and what are the rules?

Figure 1: Red Sea Pearls by R. Sazdanović 2011


Radmila Sazdanović University of [email protected] / http://www.math.upenn.edu/~radmilas/

A mozaik-rejtvény

A lefedés alakzatok ismétlődő mintázatba rendezése,rések és átfedések nélkül. A hiperbolikus sík végtelensokféle módon fedhető le egybevágó alakzatokkal. A 2.ábrán a Poincare körmodellen látunk egy hétszögekbőlálló hiperbolikus lefedést. A következő két ábra pedig aztmutatja meg, hogy a Vörös tenger gyöngye című alkotás(1. ábra), hogyan szerkeszthető meg a lefedés alapján.

217

To answer the last question first, the space we aretiling is a hyperbolic plane – quite different from theEuclidean plane, yet at small scales very similar. In Fig.1.we have used the Poincaré disk model of thehyperbolic plane, a unit disk whose boundary circlerepresents infinity.

The theory of tessellating the hyperbolic plane ismuch richer than that of the Euclidean plane [1]: thereare infinitely many different tessellations and they canbe determined, although not uniquely, by somethingcalled the Schlafli symbol. The Schlafli symbol of thetessellation hidden in Fig.1. is (7,7,7,7), which meansthat each vertex of the tessellation has precisely fourheptagons adjacent to it (see Fig. 2).

Figure 2: Tessellation (7,7,7,7) of the hyperbolic plane realized inthe Poincare disk model.

Figure 3: Fundamental domain (tile) of tessellation (7,7,7,7) is aquadrilateral bounded by yellow lines.

Figure 4: The pattern consists of circles of various sizes andcolors.

How did we construct Red Sea Pearls (Fig. 1) fromFig. 2? The first step is straightforward formathematicians interested in differential geometry. Itconsists of finding the smallest tile, formally referred toas the fundamental domain, by studying thesymmetries of the given tessellation (see Fig. 3). RedSea Pearls is obtained by choosing a specific pattern tobe printed on the smallest tile (see Fig. 4). This patternconsists of disks of different sizes, white or differentshades of red. The tiles are then arranged according tothe symmetries of the underlying tessellation (7,7,7,7).This determines the final appearance of thetessellation.

Red Sea Pearls shows how, in creating tessellations,mathematics and art interact to produce a piece whichengages the creator's and viewer's analytical andcreative sides.

References

[1] J.H. Conway, H. Burgiel, C. Goodman-Strauss,’TheSymmetries of Things’ AK Peters/CRC Press 2008.[2] R. Sazdanovic and M. Sremcevic, Tessellations of theEuclidean, Elliptic and Hyperbolic Plane, Symmetry: Artand Science, 2 (2002) 229–304.[3] R. Sazdanovic and M. Sremcevic, ’HyperbolicTessellations by tess, Symmetry: Art and Science (TheQuarterly of ISIS Symmetry), 1-4 (2004) 226–229.[4] R. Sazdanovic and M. Sremcevic, ’Tessellations of theEuclidean, Elliptic and Hyperbolic Plane’, MathSource,Wolfram research 200http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/4540/[5] I. Knezevic, R. Sazdanovic, and S. Vukmirovic ’BasicDrawing in the Hyperbolic Plane’, MathSource,Wolfram research 2002http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/4260/


CREATOR – Math Produces Irregular Shapes

I have been developing my Generative Art Project, writing programs which use math to produce geometricalabstractions. Images are composed of colored points, lines, curves and polygons. The composition, colors and otherelements of the image are selected randomly. In the beginning I was satisfied with the results but all the imageswere recognizable as simple computer products. Naturally geometrical abstraction is a very popular way for theartist to express himself in the world. But the idea to develop a program which could create an abstract image thatrecalls the artist's imagination realized with a common brush was more and more present. How to do this usingmath which is perfectly exact? The solution was found in connection with mathematical formulas (algebraic,trigonometric and logarithmic expressions) and variables produced by a drawing process.


Bogdan SobanFree generative artist, [email protected] / www.soban-art.com

CREATOR – szabálytalan formákat létrehozómatematika

A geometriai absztrakció nagyon népszerű módszer aművészek számára önmaguk kifejezésére. De az az igénymindinkább fontossá vált, hogy olyan programotfejlesszünk ki, amely ugyan absztrakt képet készít, deemlékeztet arra, ahogy a művész a közönséges ecsettelfejezi ki képzeletét. Erre fejlesztettem ki egy programot.


Putting together all my previous experience I developed in the year 2004 a Visual Basic program (80 KB of sourcecode and 240 KB of exe version), a typical modular structure with no use of any library routines and which can berun on any MS Windows version. The program consists of five functional parts or sections, which are executedduring every program cycle. In the first section the gene code is defined. The gene code consists of about 60different variables, which get their random values and have an important influence on the final result. In the secondsection the main controlling parameters (procedure path, type of primary coloring algorithm, type of secondarycoloring algorithm, the drawing mode etc) are randomly defined. The third part has 240 coloring algorithms(primary) and the fourth part has additional 20 coloring algorithms (secondary). The result of both levels of coloringalgorithm becomes the color of the elaborated pixel. The last section has a function to draw pixels on the selectedposition on the screen. So the program can create 4.800 different image types. Repeating the same type theprogram generates images, which are always different but recognizable as members of the same group.

A typical formula to define the pixel color:ba = Log(Abs(ob67 + x)) * Log(Abs(rmin * Cos(ba + r5))) * Log(Abs(y + Tan(rmax)))

The demo version of CREATOR is available for download from www.soban-art.com/hyperp02.exe. Naturally allgenerated images are not aesthetically pleasing and some of them look geometrical. After finding a beautiful one itis possible to repeat the same type and to save the best one on disc C: or D: under the nameTyyyymmddhhmmss.bmp.

221

Fractal art and coloring algorithms

An object is called a fractal when its border, its surface or itsinternal structure shows a self-similar constitution. Thename fractal was introduced by the polishmathematicianBenoît B. Mandelbrot in the ´70s. They appeared whenstudying the behavior of nonlinear iterative equations byusing computer software even in such simple cases as thequadratic one which produces Mandelbrot´s set depicted in Figure 1.

After a first period during the ´80s and ´90s of thecreative production of fractal images, considering all sortsof nonlinear equations, the mathematical formulas did notproduce on the computer screen “relevant” new fractals.Then, some mathematicians began to consider thepossibilities of interpreting the old formulas through “coloralgorithms”.

Orbit traps are one of the largest sets of coloringalgorithms because they provides an enormous variety of options. The idea is to choose a region T of the complexplane (computer screen), start at a point z0 and analyze the relationship between the zn values and T, stopping theiteration when the zn falls inside the trap, and coloring based on the distance to T. Mathematicians andprogrammers began with regions like triangles, ellipses, astroids or rectangles situated at different zones of thecomplex plane and the figures obtained were really astonishing.


Vera W. de SpinadelFull Emerit Professor at the University of Buenos Aires, Argentina [email protected], / http://www.maydi.org.ar

Fraktál művészet és színezési algoritmusok

Amikor a 80-as, 90-es években a matematikai képletekmár nem hoztak létre lényegesen új fraktálokat, akkorfordult a matematikusok figyelme a különböző „színezésialgoritmusok” felé. Az „orbit traps” a színezésialgoritmusok legnagyobb halmaza. A komplex síkkülönböző alaptartományaiból kiindulva, rendkívülmeglepő ábrákat kapunk. Ezekből látunk a képekennéhányat.

For example, Javier Barrallo and Vera W. de Spinadel (2001) have obtained the following artistic designs in blackand white (Figs. 2, 3, 4. 5, 6 and 7). All of them correspond to the quadratic transformation, where a specialtechnique has been used to get white and black images.

More exotic artistic designs were obtained by the same authors, using colored images that are shown in thefollowing figures: Figs. 8, 9.


223

Spatializing Flat Ornaments

The seventeen different and well known wallpaper groups are the starting point of the design of three-dimensionalornaments. Two-dimensional ornamental patterns have been of great interest in different cultures throughout thecenturies. There also exists a long mathematical tradition in investigating this topic.

Ornamental patterns consist usually of the same cell which reproduces itself over the whole. There exists also thepossibility to generate special pattern-cells which belong to different wallpaper groups. So it can be employed andassembled in different ways.

There are different possibilities to spatialize a two-dimensional ornament. One possible way is to produce singleor different modular pattern-parts and to assemble them into a complex ornamental structure. To spatialize thetwo-dimensional parts one or more different geometric surfaces can be used. Depending on the strategycylindrical surfaces or hyperbolic paraboloids are mostly suitable. If the parts are programmed parametrically it ispossible to change the shape of the ornament step by step by preserving the topology.


Milena Stavrić − Albert WiltscheGraz University of Technology, Institute of Architecture and Media, Austria. [email protected] / [email protected] / www.iam.tugraz.at

A sík díszítések térbelivé alakítása

A síkbeli mintából úgy készítünk térbelit, hogy egy, vagytöbb térbeli geometriai felületet használunk, mint példáula hengeres, vagy hiperbolikus paraboloid. Parametrikusprogramozással lehetőség adódik arra is, hogy adíszítések alakját lépésről lépésre megváltoztassuk,miközben a felület topológiáját megtartjuk. Az így kapottdíszítéseket az építészetben homlokzati elemként is lehethasználni.

To get a material thickness we can simply extrudethe spatial ornaments in an appropriate direction.

A further way to spatialize an ornament is mappingit onto a double curved surface which can beaccomplished by means of the uv-parameter-plane.This kind of generation provides in every case uniqueparts where each is different.

The construction of modular ornamental partsprovides the advantage of keeping the costs downwhen fabrication is needed. Simultaneously it offers abig variation in design. Ornaments on a double curvedsurface are however unique and are of big interest fordesigners. Spatialized ornaments can be used asfacade elements and more generally in thearchitectural context.

See Figure 1-5


225

Poncelet’s Closure Theorem after 200 years

Napoleon’s army suffered a decisive defeat in 1812close to Moscow. This is why the 24 years oldFrench military engineer Jean-Victor Ponceletbecame the prisoner of war in Saratov afterwalking 800 km in the very cold winter of1812-13. He started to think of his recentuniversity studies and turned hisattention towards the wonderful worldof mathematics to easy his physicalpain, although he had no opportunityto visit libraries or meet fellowthinkers. Among many things, hecreated the term of ideal points, hedevised a special projection, thepolarity, thus laying the foundationsof the projective geometry. Theclosure theorem named after himwas discovered during hisimprisonment, too. He published itin1822, after returning home.

I would like to show an example of theuse of this theorem in commemoration ofthe terrible events taking place 200 yearsago.

Let k and t be circles, where t is inside k. Draw achord A0A1 of the circle k starting from any point A0 ofcircle k, which is a tangent to circle t. Draw another chordA1A2 starting from A1 having the same property. We cancontinue this procedure to produce a broken line A0 A1 A2 …An consisting of different segments. According toPoncelet’s theorem, if A0 = An for any n, then the broken line will also close after the same number of steps whenstarted from any point of circle k.

If the radius of each circle is selected randomly, then we can calculate the distance d of the centers of circles onlyin case of n=3 and n=4. If n>4, then we have to use trial and error method with the help of a computer. Theproblem becomes more and more difficult by the increase of n, when we face a characteristic property of chaostheory: the points A0 and An might be very far from each other even when the change in d is very small.

This mathematical feature is hidden in the illustration, where a 60-sided and 128-sided Poncelet polygon can beseen.


Lajos SzilassiMathematician, Hungary. [email protected] / http://hu.wikipedia.org/wiki/Szilassi_Lajos

Poncelet záródási tétele 200 év távlatából

Egy fiatal francia hadmérnök Jean-Victor Poncelet 1812-ben a borogyinói csatábanorosz fogságba került. Szenvedései közepette geometriával kezdett foglalkozni,többek között megvetve a projektív geometria alapjait.Ekkor született a nevéhez fűződő un. záródási tétel, miszerint ha van olyan zárttöröttvonal, melynek minden csúcsa egy körre (vagy ellipszisre) illeszkedik, valamintminden éle érint egy másik kört vagy ellipszist, akkor a külső kör bármely ponja lehetegy ugyanilyen tulajdonságú sokszögnek az egyik csúcsa. A sokszög csúcsainak aszámát növelve egyre nehezebb feladat két olyan kört találni, még számítógéppel„kitapogatva” is amely eleget tesz ezeknek a feltételeknek. Ebben rejlik az ittbemutatott képek matematikai értéke: ez a 60 ill. 128 oldalú Poncelet-poligonemlékeztet bennünket arra, hogy szörnyű körülmények közepette is születhetnekörök értékű csodálatosan szép matematikai eredmények.

227

Mitered Fractal Trees

Take an upright beam with a 1:√2 rectangle as cross section. Cut it at 45° to obtain a square cut face P1 P2 P3 P4 atthe bottom. At the top, cut it twice, from opposite sides, at 45°, creating a `roof' consisting of two smaller squarepanels P6 P7 P10 P9 and P8 P5 P9 P10. Using this piece, you can construct all kinds of fractal binary trees: take aversion of the piece scaled down by a factor √2 and glue its base onto one of the roof panels (four possibilities;eight if you also allow reflection). Do the same for the other panel, and repeat for the roofs of the smaller pieces.The picture at the top shows a bronze mitered fractal tree with twelve generations, involving 212 - 1 = 4095 pieces.No two branches point in the same direction, giving it a chaotic appearance.

The bottom picture shows a wooden mitered fractal tree, constructed from a beam with a square cross section. Ithas nine generations, involving 29 - 1 = 511 pieces. The cuts are now 1:√2 rectangles. The roof is rotated over 90°degrees compared to the piece shown above. In the resulting tree, each branch points in one of only six directions,giving it a highly organized appearance.


Koos Verhoeff − Tom Verhoeff Eindhoven University of Technology, Department of Mathematics and Computer Science [email protected] / wiskunst.dse.nl

Ferde illesztésű fraktál fák

A ferde illesztésű bináris fák néhány példányánakelkészítését írjuk le. A felhasznált alapelem, amelynekkülönböző méreteit illesztjük össze és a többgenerációseredmények az ábrákon láthatók.

229

Art and ResearchInteractions between Shapes and Methods

A three-dimensional object is not fully perceiveduntil you start interacting with it. A spatial objecthas this advantage over the uniplanar, in that itcan be manipulated by hand which includesviewing it from different perspectives all at once.Seeing an object from different angles can beconfusing, since some projections may seemcontradictory. Full understanding of the 3D objectmay require opening the mind to various options,seeing the pieces and putting them together.

Research in science always carries a risk offailure. Those unwilling to take risks will reproduceknown concepts. The attempt to paint a goodpicture leads to a boring picture. Art is oftenthough of being all about beauty and appeal. No!Art is like throwing ourselves into the unknown,letting the method shape the idea.

The figures show paper models of "corpuscle"compounds. At the base of research is curiosity –to see how structure evolves from almost nothing:a number, space and time. Creating flexible,hands-on models is the key, unlike the traditional polyhedra or 3D-printed art. The choice of materials is crucial asthey may need to be distorted and manipulated, but the main idea is to build a coherent structure, consisting ofcorpuscules, with a clear logic behind yet with potentially surprising level of flexibility and range of motions. Thepaper models illustrate how corpuscles can evolve from flat to 3D and back, continuously changing their shape andvolume. The flexibility of a each unit depends on the overall design. The design makes "little corpuscles" movesimultaneously, according to some unknown music, rhythm and choreography.


Eva VohllebenMuthesius Kunsthochschule Kiel, [email protected] / www.korpuskel.de

A művészet és a kutatás találkozása (forma ésmódszer kölcsönhatása)

Egyes térbeli papírmodellek készítése során felmerülőelméleti megfontolások.

231

Art in Shadow of the Six-dimensional Cube

A three-dimensional model of greaterthan three-dimensional cubes can beconstructed on a rotational axis and onthe joining central point in symmetricalform, as a so-called zonotope. Anorthogonal projection of this kind ofmodel of the six-dimensional cubeshows an image, similar to theprojection of the cube in the direction ofits diagonal, perpendicular to the planeof the image. The appropriate projectionof any derived lower-dimensional cubemaps to a network of triangles, joinedby their sides, in this method. Thewireframe, axonometric shadows of acube can be visually interpreted in twoways. The lacking eighth of a cubeshown in isometric-axonometricprojection as a solid, is perceived eitheras a negative or a positive form. Thesephenomena are known in psychologythrough the experiments of Necker andKoffka.

Numerous works of art were created with this perception and interpretation phenomenon and the abovediscussed geometrical base structure. Two-dimensional images often show "impossible" forms, seen as noninterpretable in three dimensions. We even tend to perceive objects that can definitely be reconstructed as"impossible", in cases of more complex geometrical structures, more so if the applied light effects and"distractional" portrayal tools encourage us to do so. Apparent instances can be the works of Victor Vasarely, but forus it's natural, to refer to the pictures of Tamás F. Farkas as well. Regarding the works of these artists, we canassociate with Reuterswärd's and Robert Penrose's triangle and connected to this with the "impossible" staircaseconstructed together with Lionel Penrose. These structures were constructional bases of several pictures of M. C.Escher.

Based on all this, a spatial reconstruction maintaining the topology of the forms made up of cubes, like thosehinted by the related pictures, is possible. New images can evolve by geometrical transformations of the createdreconstructions.


László VörösUniversity of Pécs, [email protected] / http://pmmik.pte.hu/felhasznalo/Voros_Laszlo_dr_/publikaciok/

A hatdimenziós kocka árnyékának művészete

A több-dimenziós kockák 3-dimenziós modelljeit és azok2-dimenziós árnyékait sokféleképpen szerkeszthetjükmeg. A modellek megfelelő kombinációja térkitöltőmozaikokat alkothat. A modellek árnyékai és a mozaikokmetszetei végtelen lehetőséget nyújtanak síklefedőmozaikok létrehozására. A 2-dimenziós kép gyakranlehetetlen alakzatokat mutat, amelyeket 3-dimenzióbannem lehet megépíteni.

Figure 1: The model of the 6-dimensional cube

Figure 2: Derived parts of the model

Figure 3: Spatial reconstruction of a picture of Victor Vasarely:Duo-2 1967

Figure 4: Tessellation of the reconstruction ofVasarely's picture


233

Figure 5: Spatial reconstruction of a cover-picture ofTamás F. Farkas

Figure 6: Spatial reconstruction and tessellation based on Tamás F.Farkas's picture: Tibet I. 1997

Figure 7: Impossible patterns with Penrose-triangles

Figure 8: Spatial reconstruction based on ourmodels


Figure 9: Parts of our two-sided impossiblestaircase

Figure 10: Picture of a network of ourimpossible staircases


235

Electric Fields

Within the area of influence of a staticelectrical charge any other electricalcharge experiences a force, describedby the electric field. This force acts ina similar way to the gravitationalforce between two masses, exceptthat two charges can either attract orrepel each other: like charges repeland unlike charges attract oneanother. The electric field of anisolated positive charge pointsradially away from the charge whilethe electric field of a single negativecharge points toward the charge.Using the law of superposition theelectric field of any number ofcharges is given by the vector sum ofthe individual fields.

Since an electric field can beconsidered as a vector field, commonvector field visualization techniqueslike streamlines or streamribbons canbe used to depict the disturbances inthe field. Both methods have beenused to generate the images on thispage. Yellow spheres depict positivecharges and red spheres constitute negative charges. Each streamline runs from a positive to a negative charge orto infinity and visualizes the trace of a charged particle moving through the field. An introduction to electric fieldscan, for example, be found in [1] and vector field visualization is treated in [2].

[1] Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics, 3rd Edition, Benjamin Cummings, 1999[2] Johnson , Christopher R. and Hansen, Charles D., Visualization Handbook, 1st edition, Academic Press, 2004


Günter WallnerUniversity of Applied Arts Vienna, Department of Geometry, [email protected]

Elektromos mezők

Az ábrákon több pontszerű töltés által létrehozottelektromos mezőt szemléltetünk elektromoserővonalakkal, amelyek néha szalagszerű formát öltenek.A sárga pont pozitív, a piros negatív töltést jelképez, éstöbb töltés mezőjének megrajzolásakor természetesenfigyelembe vettük a szuperpozíció elvét.

Figure: SAXON Szász János, Rota-Rota Square2002, oil on wood, 110x120 cm

the vismath anthology (full book!)

Documents