theorie de nombres

Mathématiques 2 Théorie des nombres

Par Paul Cheqe

African Virtual universityUniversité Virtuelle AfricaineUniversidade Virtual Africana

Université Virtuelle Africaine �

Note

Ce document est publié sous une licence Creative Commons. http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons

Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.


I. Mathématiques2,lathéoriedesnombres _______________________ 3

II. Prérequis________________________________________________ 3

III. Temps___________________________________________________ 3

IV. Matérielsdidactiques _______________________________________ 3

V. Justification_______________________________________________ 3

VI. Contenu__________________________________________________ 4

6.1Résumé_______________________________________________ 4

6.2Représentationgraphique_________________________________ 5

VII. Objectifsgénéraux _________________________________________ 6

VIII. Objectifsspécifiques________________________________________ 6

IX. Évaluationinitiale __________________________________________ 7

X. Concepts-clé(glossaire)____________________________________ 11

XI. Lecturesobligatoires_______________________________________ 12

XII. Ressourcesnécessaires____________________________________ 13

XIII. Liensutiles______________________________________________ 14

XIV. Activitésd’apprentissage ___________________________________ 16

XV. Synthèsedumodule_______________________________________ 80

XVI. Évaluationsommative______________________________________ 81

XVII.Référencesbibliographiques_________________________________ 82

XVIII.Dossiersscolaires _______________________________________ 83

XIX. Auteurdumodule_________________________________________ 83

XX. Structuredesfichiers______________________________________ 83

Table des maTières


i. mathématiques 2, la théorie des nombresPar Paul Cheqe, Université Amoud.

ii. Pré requis Mathématiques de base.

iii. Temps120 heures.

iV. matériels didactiques- Manuel en ligne ou sur disque compact.- Activités TIC en ligne ou sur disque compact.- Références en ligne.- Matériel pour l’évaluation initiale.- Logiciel distribué gratuitement.

V. JustificationLa théorie des nombres est un module essentiel qui offre un support aux en-seignants dans leur compréhension et leur interprétation de la propriété des nombres. Elle est un point de départ pour les nombreuses preuves et solutions de diverses équations. Elle forme la base de la théorie et est donc très importante dans l’enseignement des mathématiques à l’école secondaire, en plus d’être le tremplin vers l’étude des mathématiques avancées.

Par son appartenance au domaine de l’algèbre, la théorie des nombres offre un support inestimable pour enseigner et apprendre les modes de raisonnements logiques, notamment le raisonnement par l’absurde, le raisonnement par condi-tion nécessaire et le raisonnement par disjonction des cas. Notons en effet que ces deux derniers modes de raisonnement s’avèrent difficiles à être comprises par nombre d’apprenants dans le secondaire, alors ils sont très fréquemment demandés dans la vie active quotidienne : citons par exemple la recherche d’un gisement de pétrole, de saphir, d’or, etc, par des indices externes. L’arithmétique des entiers relatifs, rien que par les notions de diviseurs et de décomposition


d’un entier en un produit des facteurs premiers, peut être efficacement exploitée pour stimuler la capacité d’un calcul mental ou rapide, donc à l’argumentation pertinente spontanée, dans la résolution d’une équation polynomiale à coefficients entiers de degré supérieur ou égal à deux dès la quatrième ou la cinquième année du secondaire, avant même d’apprendre le discriminant d’un trinôme du second degré.

Vi. ContenuLe module sur la théorie des nombres est constitué de deux unités. On présume que l’élève-maître est familier avec les mathématiques de base. La première unité présente les propriétés des entiers relatifs ainsi que les équations diophantiennes linéaires. Elle s’avance ensuite sur la division avec reste, les nombres premiers et leur répartition, le théorème d’Euclide sur l’infinité des nombres premiers et, du même auteur, l’algorithme et son application pour résoudre les équations diophantiennes linéaires. L’unité se conclut avec le triplet pythagoricien et le dernier théorème de Fermat démontré par Andrew Wiles.

On présume aussi que l’élève-maître aura assimilé la matière de la première unité avant de passer à la seconde. Cette deuxième unité présente l’ensemble des entiers relatifs (mod p), les résidus quadratiques et carrés, le critère d’Euler, le symbole de Legendre, le lemme de Gauss et la loi de réciprocité quadratique, l’algorithme d’Euclide et l’anneau factoriel de l’entier de Gauss, l’arithmétique de l’entier quadratique et l’application des équations diophantiennes, et se conclut avec le dernier théorème de Fermat appliqué aux cubes, l’équation de Pell et les unités dans l’entier quadratique réel.

6.1Résumé

Unité1:Lespropriétésdesentiersrelatifsetleséquationsdiophantienneslinéaires.

Niveau 1. Priorité B. Les mathématiques de base 2 sont un prérequis.

- Les propriétés des entiers relatifs. - La division avec reste. - Les nombres premiers et leur répartition. - Le théorème d’Euclide sur l’infinité des nombres premiers. - L’algorithme d’Euclide. - Les conséquences, classes de résidus et entiers relatifs (mod n). - Le cas du nombre premier n. - Les racines primitives et leurs valeurs.


- L’utilisation de l’algorithme d’Euclide pour résoudre les équations dio-phantiennes linéaires.

- Le triplet pythagoricien et le dernier théorème de Fermat.

Unité2:Lathéoriedescongruencesetdel’entierquadratique.

Niveau 2 : Priorité B. L’unité 1 de ce module est un pré requis.

- L’ensemble des entiers relatifs (mod p). - Résidus quadratiques et carrés. - Le critère d’Euler. Le symbole de Legendre. - Le lemme de Gauss et la loi de réciprocité quadratique. - L’évaluation du caractère quadratique par la loi de réciprocité. - L’entier quadratique. - La norme et la trace. - L’algorithme d’Euclide et l’anneau factoriel de l’entier de Gauss. - L’arithmétique de l’entier quadratique et l’application des équations dio-

phantiennes. - Le dernier théorème de Fermat appliqué aux cubes. - L’équation de Pell et les unités dans l’entier quadratique réel.

6.2Représentationgraphique


Vii. Objectifs générauxL’élève-maître aura acquis la connaissance nécessaire des propriétés des nombres (et leurs liens entre eux) afin d’enseigner efficacement les mathématiques dans les écoles secondaires.

Viii. Objectifs spécifiques

Unité1:

À la fin de cette unité, les apprenants devraient être capable de :

- Connaître et comprendre les propriétés des nombres et les concepts de base lié à ceux-ci.

- Connaître et comprendre les relations et les modèles récurrents parmi les nombres.

- Illustrer les propriétés des entiers relatifs et leur divisibilité avec reste.- Calculer le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple

par factorisation.- Calculer le plus grand commun diviseur avec l’algorithme d’Euclide- Illustrer les propriétés des nombres premiers et leur répartition.- Illustrer le théorème d’Euclide sur l’infinité des nombres premiers.- Évaluer les entiers relatifs (mod p), le cas du nombre premier n, les raci-

nes primitives et les exposants.- Utiliser et appliquer l’algorithme d’Euclide pour résoudre les équations

diophantiennes linéaires.- Analyser et illustrer le triplet pythagoricien ainsi que le dernier théorème

de Fermat.

Unité2:

À la fin de cette unité, les apprenants devraient être capables de :

- Illustrer l’ensemble des entiers relatifs (mod p), les résidus quadratiques et carrés.

- Identifier les grandes lignes du critère d’Euler. - Utiliser le symbole de Legendre, le lemme de Gauss et la loi de récipro-

cité quadratique. - Évaluer le caractère quadratique par la loi de réciprocité quadratique.- Définir la norme.


- Appliquer l’algorithme d’Euclide à l’anneau factoriel de l’entier de Gauss.

- Explorer l’arithmétique de l’entier quadratique et l’application des équa-tions diophantiennes.

- Examiner l’équation de Pell et les unités dans l’entier quadratique réel.

iX. Évaluation initialeTitre de l’évaluation initiale : Révision des mathématiques de base.

9.1Justification:Lesmathématiquesdebasesontunprérequispourla théoriedesnombres.

QUESTIONS

1. Trouvezlavaleurdexdans2(2x+2)=64.

a) 3 b) 5 c) 1 d) 2

2. Résolvezsimultanément: 3x+2y=22

x+y=9

a) 7, 2 b) 1, 8 c) 4, 5 d) 6, 2

3. Résolvezlequadratique:x2–3x–10=0.

a) -5, 2 b) 5, -2 c) -5, -2 d) 5, 2

4. Trouvezl’inversedelafonction:g(x)=2x–3.

a) g-1(x) = 2

)3( +x

b) g-1(x) = 2

)32( +x

c) g-1(x) = 2

)3( -x

d) g-1(x) = 2

)32( x+


5. Trouvez le plus grand commun diviseur (PGCD) de 986 et 289.

a) 17 b) 58 c) 9 d) 3

6. Résolvezcetteéquation: 4

6

2

3

2

12 -

-+

=- x

x

xx .

a) -2 b) 4 c) 2 d) 3

7. Résolvez:(2–í)(4+3í).

a) 8 + í b) 13 c) 11 + 2í d) 10í - 3í²

8. Trouvez: ∑=

6

1i

( 4i + 2).

a) 6 b) 26 c) 84 d) 97

9. Déterminez:8C2.

a) 20 b) 28 c) 16 d) 4

10. Le3etermed’uneséquencegéométriqueestégalà1etle5etermeestégalà16.

Trouvez la valeur du 7e terme.

a) 4 b) 128 c) 256 d) 4096

11. Sis=ut+½at²,déterminezslorsque u=–3,a=10ett=5.

a) 30 b) 60 c) 110 d) 140

12. Considérantcetteéquationy=x2+5x–14,trouvezlepointderebrous-sement.

a) -2, 7 b) -7, 2 c) -2½, 141/8 d) -2½, -20 1/4

13.Lorsquefactorisé,36j–48devient:

a) 12 (3j – 4) b) 12 (24j – 36) c) 9 (4j – 7) d) 8 (4j – 6)

14. Lasolutionde 8

m - 11 = - 2 est:

a) 56 b) 64 c) 72 d) 96


15. Résoudrel’équation 6 (7+y) – 2 (5y-1) = 12 (3y+5) – 16 (y-5) produit :

a) -2 b) -4 c) -3 d) 2

16. Unepaillede20cmestl’objetlepluslongpouvantêtrecontenudansuncylindreayantunrayonde6cm.Lahauteurencmdececylindreserapprocheraitde:

a) 8 b) 15 c) 16 d) 9

17.Considérantcetteéquationy=-x²+2x+8,trouvezlavaleurdex.

a) - 2, 4 b) 2, - 4 c) 2, 4 d) -2, - 4

18.

67 cm

73 cm Pp

Q

R

-

65 cm

Le degr é de l’angle - est de: a) 0.570 b) 55.10 c) 430 d) 67.20

19. Pourcetteséquence:7,16,25,34...le56etermeest:

a) 495 b) 640 c) 55 d) 502

20. Chaqueangleàl’intérieurd’unpolygonerégulierestde1400.Combiendecôtécepolygonepossède-t’il?

a) 5 b) 9 c) 11 d) 7

9.2Réponsesauxquestions

1. d 11. c 2. c 12. d 3. b 13. a 4. a 14. c 5. a 15. b 6. a 16. c 7. c 17. a 8. d 18. b 9. b 19. d 10. c 20. b

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9.3Commentairepédagogiquepourlesapprenants

L’approche de l’apprenant envers les mathématiques déterminera s’il pourra bien saisir le module de la théorie des nombres. Ce module est fondé sur les mathéma-tiques de base. Cette évaluation initiale mesurera ainsi le degré de connaissance de l’apprenant et indiquera son niveau de disposition pour la suite. L’apprenant devrait réviser les mathématiques de base avant l’évaluation initiale, et après celle-ci s’il éprouve des difficultés, de manière à améliorer sa performance dans ce module.

La théorie des nombres est une branche des mathématiques pures qui utilise beaucoup de notations mathématiques. Avant de commencer le module, révisez toutes les notations mathématiques rencontrées à l’école secondaire et en ma-thématiques de base.

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X. Concepts-clé (glossaire)1.ALGORITHME:Procédure pour résoudre un problème dans un nombre défini d’étapes.

2.ENTIERRELATIF:Tout nombre entier positif ou négatif de cet ensemble : {…-3, -2, -1, 0, 1, 2,3…}.

3. NOMBREPREMIER: Tout nombre ne pouvant être divisé que par lui-même et 1.

4. NOMBREPAIR: Nombre qui peut être divisé par 2 sans reste.

5. NOMBRESIMPAIRS: Nombre qui a 1 comme reste lorsque divisé par 2.

6. L’ALGORITHMED’EUCLIDE : Procédure pour trouver le plus grand commun diviseur de deux entiers. Cet al-gorithme a été développé par Euclide, un mathématicien grec ayant vécu dans les années 400 av. J.-C.

7.ÉQUATIONDIOPHANTIENNE: Équation polynomiale dont les coefficients sont des nombres entiers et où les seules solutions possibles sont aussi entières. Par exemple : mx = k, où m et k sont des nombres entiers et m 0, est une équation linéaire diophantienne du premier degré. L’équation diophantienne doit son nom à Diophantus, un mathématicien grec ayant vécu dans les années 300 ap. J.-C.

8.LEMME,THÉORÈME,COROLLAIRE: Signifie une proposition qui peut être mathématiquement démontrée.

9.L’ENTIERDEGAUSS: Nombre complexe dont les parties, réelle et imaginaire, sont toutes deux des entiers relatifs. C’est à dire a + bi, où a et b sont des entiers relatifs.

10.LANORMEDESENTIERSDEGAUSS: Entier naturel défini par : N(a + bí) = a² + b².

11. LEMODULED’UNENTIERDEGAUSS:

Est simplement sa valeur absolue : | a + bí | = 22 ba + .12. LECONJUGUÉ: Le conjugué de : ( a + bí ) est ( a – bí).


Xi. lectures obligatoires

Lecture#1 WolframMathworld(visitéle03.11.06)

Réréfencecomplète:http://mathworld.wolfram.com/NumberTheory.html

Résumé: Ce site contient une valeur inestimable de matériels sur la théorie des nom-bres. Il est conseillé aux apprenants d’avoir un regard critique et de suivre les preuves de lemmes amenées dans ce site. Il y a aussi beaucoup d’illustrations venant appuyer les données et permet à l’apprenant d’explorer différentes méthodes d’approche. Justification : Cette référence permet à l’apprenant d’analyser la théorie des nombres à travers de multiples approches abstraites que beaucoup d’apprenants n’arrivent souvent pas à visualiser. En lisant de manière assidue, il pourra apprécier les conclusions techniques aux lemmes, corollaires, théorèmes et propositions qui sont utilisés dans plusieurs des démonstrations.

Lecture#2 Wikipédia(visitéle03.11.06)

Référencecomplète:http://en.wikipedia.org/wiki/Number_Theory

Référencecomplète:http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_Nombres

Résumé: Wikipédia devrait être la première source d’information sur la théorie des nombres. Elle est très complète et tout apprenant devrait s’y référer pour compren-dre les mathématiques pures. De plus, elle permet à l’apprenant un accès à des argu-ments variés ayant laissé perplexe les mathématiciens depuis des centaines d’années. Justification : Ce site donne des définitions, explications et exemples que l’appre-nant n’aurait autrement pas accès ailleurs. Le fait que Wikipédia est souvent mis à jour donne à l’apprenant la possibilité d’avoir sous la main les toutes dernières informations et elles font souvent référence à d’autres sources qui permettront de découvrir différentes approches proposées sur la théorie des nombres.

Lecture#3 MacTutorHistoryofMathematics(visitéle03.11.06)

Référencecomplète:http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Indexes/Num-ber_Theory.html

Résumé: MacTutor est une lecture essentielle sur l’histoire de la théorie des nombres. On y explique comment les théorèmes, propositions, corol-laires et lemmes ont su hanter les mathématiciens à travers les siècles. Le dernier théorème de Fermat y est très bien illustré comme un concept assez simple pouvant être compris facilement. Toutefois, la preuve de ce théorème a échappé aux mathématiciens sur plus de 300 ans (de 1637 jusqu’à 1995). Justification : L’histoire des mathématiques telle qu’amenée dans MacTutor nous permet non seulement de voir différents aspects historiques de la théorie des


nombres, mais elle défie aussi les apprenants de prouver les théorèmes, proposi-tions, lemmes et corollaires qui, jusqu’ à ce jour, restent sans preuve. L’apprenant appréciera un tel défi en tentant plusieurs approches telles que l’induction et la contradiction. Cette référence est donc appropriée pour la variété de ses appro-ches mathématiques que tout apprenant se doit de connaître pour approfondir ses connaissances et comprendre les mathématiques pures.

Xii. ressources nécessaires

Ressource#1 Maxima

Référencecomplète:UnecopiedeMaximasurdisquecompactestfournieaveccecours.

Résumé: Les apprenants éloignés sont parfois confrontés à des mathéma-tiques compliquées et ce, sans ressource pour les comprendre. Le manque de pratique avec la présence d’un enseignant peut rendre l’apprenant com-plètement démuni s’il ne peut s’équiper de ressources pouvant l’aider à résoudre les problèmes mathématiques. C’est ici qu’entre en jeu Maxima. Justification : Maxima est un logiciel en libre accès qui aide tout apprenant à résoudre les équations quadratiques et linéaires, les systèmes d’équations, l’inté-gration et la différentielle, à faire des manipulations algébriques : factorisation, simplification, expansion, etc. Cette ressource est essentielle pour tout ceux prenant le cours à distance, car elle leur permettra d’apprendre plus rapidement en utilisant les données TIC déjà acquises.

Ressource#2 Graph

Référencecomplète:UnecopiedeGraphsurdisquecompactestfournieaveccecours.

Résumé: Il est difficile de dessiner des graphiques de fonctions, surtout quand elles sont compliquées et encore plus lorsqu’elles sont en trois di-mensions. L’apprenant, qui apprend à distance, rencontrera inévitablement des situations où il aura besoin de graphiques mathématiques. Le cours est justement accompagné du logiciel Graph afin de l’aider à les faire. Il faut tou-tefois se familiariser avec le logiciel avant de pouvoir l’utiliser efficacement. Justification : Graph est un logiciel en libre accès disponible sur le disque com-pact accompagnant ce cours. Il aide tout apprenant mathématicien à constituer un graphique qui autrement serait un cauchemar à faire à la main. Il est facile d’utilisation lorsqu’on prend le temps d’apprendre à s’en servir. L’apprenant pourra ainsi profiter de ce logiciel, parce qu’il l’assistera non seulement durant ce cours, mais aussi après : il sera extrêmement pratique lorsque le temps sera venu d’enseigner les mathématiques du niveau secondaire.


Xiii. liens utiles

Lienutile#1 LedernierthéorèmedeFermat

AdresseURL:http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Fermat%27s_last_theorem.html

Résumé: Le dernier théorème de Fermat est simplement cette équation : x3 + y3 = z3. Malgré son apparence simple, la preuve de ce théorème a échappée aux mathématiciens sur plus de 300 ans (de 1637 jusqu’à 1995). Pourquoi une aussi simple équation cubique, pouvant être comprit par des enfants de l’école primaire, a pu ainsi échapper aux mathématiciens? Tout cela est expliqué sur le site web. Justification : Le triplet pythagoricien fut utilisé par les anciennes civilisations de Babylone et d’Égypte pour leurs constructions. Le mathématicien Pythagore a documenté la théorie de ce triplet, mais il n’a toutefois jamais tenté l’équa-tion cubique. C’est ce qui a intrigué les mathématiciens après la proposition de Fermat. L’histoire derrière cette théorie est vraiment fascinante pour l’esprit mathématique et ce site est donc une lecture essentielle pour la compréhension de la théorie des nombres.

Lienutile#2 Wikipédia

AdresseURL:http://en.wikipedia.org/wiki/Number_Theory

Résumé: Wikipédia est le dictionnaire par excellence pour tout mathéma-ticien. Ce site gratuit est fréquemment mis à jour. La plupart des apprenants de la théorie des nombres risque de faire face à des problèmes de référence de temps à autre. La majeure partie des livres disponibles sur la théorie des nombres ne couvre que certaines parties ou sections de ce module. Le manque d’ouvrage de référence peut donc être remédié par l’utilisation de Wikipédia. Il est facilement accessible par une recherche sur Google. Justification : Que Wikipédia soit aussi facile d’accès résout le problème d’avoir à chercher des ressources didactiques dans les multiples branches des mathémati-ques. L’apprenant devrait savoir l’utiliser à bon escient afin d’aider son apprentis-sage. C’est une ressource gratuite très utile qui non seulement résout le problème des élèves à trouver des sites de références, mais réfère aussi l’apprenant vers d’autres sites Internet en lien avec le sujet. Son utilité est inégalée.


Lienutile#3 Mathsguru

AdresseURL:http://www.bbc.co.uk/schools/websites/16/index.shtml

Résumé: Mathsguru est un site Internet qui aide l’apprenant à comprendre les branches variées de la théorie des nombres. Il est facilement accessible par une recherche sur Google et offre de l’information très détaillée sur de nombreuses questions. Les exemples et les explications sont faciles d’approche. Justification: Mathsguru est une bonne alternative pour avoir accès à d’autres sujets en lien avec la théorie des nombres, ainsi que de bons indices et solutions pouvant être très pratique pour l’apprenant. Il peut effectivement en venir à avoir des difficultés à trouver des livres pouvant l’assister lors de résolutions de problè-mes rencontrés, alors ce site peut être d’une grande aide.

Lienutile#4 WolframMathworld

AdresseURL:http://en.wikipedia.org/wiki/Number_Theory

Résumé: Wolfram Mathworld est un site web qui se démarque pour sa multitude de solutions sur la théorie des nombres. Il aborde corollaires, lemmes et propo-sitions ainsi que leurs preuves. L’apprenant peut y avoir accès simplement par une recherche sur Google. Wolfram amène aussi le visiteur vers d’autres sites qui couvrent ces mêmes sujets et lui permet ainsi d’élargir ses connaissances. Justification : Wolfram est un site utile offrant un bon aperçu de la théorie des nom-bres tout en fournissant une méthodologie et de nombreux défis. Il est surtout pratique pour la modélisation des mathématiques et est recommandé pour les apprenants voulant étudier la théorie des nombres et les autres branches des mathématiques. Il est une bonne source vers d’autres sites web tout aussi instructifs, leur permettant de bien comprendre la théorie des nombres.

Lienutile#5 ProofofFermat’slastTheorembyWiles

AdresseURL:http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html

Résumé: Le dernier théorème de Fermat a intrigué les mathématiciens sur plus de 300 ans; de 1637 jusqu’à 1995. C’est lors de cette dernière année que le professeur Wiles a finalement réussi à le résoudre et c’est pour ce théorème que nombre de mathématiciens partout dans le monde ont tenté de trouver la réponse, mais sans succès. Wiles a abordé ce problème la première fois alors qu’il était à l’école primaire et a ensuite tenté à maintes reprises de prouver ce théorème, en vain. C’est en 1995, alors devenu professeur de mathématiques, qu’il réussit à réaliser son rêve d’enfant : prouver le dernier théorème de Fermat. Justification : Ce site web souligne les étapes importantes vers les solutions de propositions mathématiques et décortique d’autres propositions qui restent encore à prouver. Tout apprenant peut donc essayer de les résoudre et ainsi contribuer au merveilleux monde des mathématiques, qui est toujours stimulant. Il est important de savoir que tout n’est pas résolu dans le domaine des ma-thématiques et qu’il y a toujours place à l’amélioration en prouvant toutes ces propositions qui ne demandent, depuis bien des années, qu’à être solutionnées.


Activité#1

XiV. activités d’apprentissage

Algorithmecd’Euclideetéquationsdiophantienneslinéaires.

Unité1(60heures):Lespropriétésdesentiersrelatifsetleséquationsdio-phantienneslinéaires.

Résumédel’unité1(Activitésmultiples)

L’approche utilisée dans ce module relie la théorie des nombres à des situations de la vie courante. À cause du côté très abstrait de cette théorie, la référence aux lemmes, théorèmes et preuves est donnée à l’apprenant par matériel didactique. L’apprenant peut être amené à écrire un simple programme d’ordinateur afin de faire des calculs de base pour démontrer ses capacités mathématiques et les for-mules. Il n’aura pas nécessairement à être très connaisseur en informatique pour réussir à faire les exercices. Les théorèmes sont soutenus, mais avec les preuves données pour les activités de groupe viennent les ressources nécessaires. Il faut noter que ce module se concentre sur les mathématiques pures et que les activités tournent autour de la théorie algorithmique des nombres, théorèmes, lemmes, propositions, corollaires et leurs preuves.

Lectures

Toutes les lectures pour ce module proviennent de livres en libre accès. Les auteurs les ont laissés disponibles pour tous et sont donc gratuits. Le disque compact accompagnant ce cours inclut les copies complètes de ces livres.

Vous serez référé à des sections spécifiques de ces livres lorsque nécessaire.

1. Elementary Number Theory, by W.Edwin Clark, University of South Florida, 2003. (File name on CD: Elem_number_theory_Clarke)

2. Elementary Number Theory, by William Stein, Harvard University, 2005. (File name on CD : Number_Theory_Stein)

3. MIT Open Courseware, Theory of Numbers, Spring 2003, Prof. Martin Olsson. (File name on CD : MIT_Theory_of_Numbers)

RessourcesInternet

Ces ressources générales couvrent toute la matière vue dans ce module. Elles offrent l’opportunité d’approfondir ses connaissances en citant des lectures supplémentaires. Des sources plus spécifiques seront détaillées dans la section appropriée de ce guide.


Prérequis

Ce module nécessite que les apprenants soient familiers avec les nombres des mathématiques de base, comme les propriétés des nombres suivantes:

1. Loi commutative : p + q = q + r et pq = qp

2. Loi associative: p + (q + r) = (p + q) + r = p + q + r

3. Loi des exposants : a) am x an = am + n b) am an = am - n c) (am)n = amn où m et n 0

d) =ma

1 a-m

e) a0 =1, a 0

f) a-n = na

1

g) 1

nna a= , n 0

h) a m

n mna a= ,n 0 i) am x bm = (ab)m

j) m

m

b

a =

m

ba

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

4. La valeur absolue (ou module) de p p= si p est positif et p p-= si p est négatif.

La fonction valeur absolue donne la valeur numérique d’une entrée. Elle

convertit les nombres négatifs en positifs et s’écrit comme suit : y x= et est lue comme « y égale mod x ».

Exemple : Donnez la valeur de |7 - x| où x = 15.

Solution: Lorsque x =15, |7 -15| = |-8| = 8

5. Solutions des équations quadratiques : vous devriez pouvoir résoudre les systèmes d’équations linéaires et quadratiques en utilisant une méthode algébrique.


Évaluationformative1

Exercices:Exposants Trouvez la valeur de x : 1. 4x+2 = 82x 2. 22x+1 – 5(2x) + 2 = 0 3. Logx6 = ½ Évaluez:

4. 2

3

49

4-

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

5. log

10 0.001

Réponses 1. x = 1 2. x = 1, x = -1 3. x = 36

4. 3

2

7⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

5. x = -3 Notation

1) Si p est divisible par q, nous écrivons p q. Si p n’est pas divisible par q, nous écrivons p q

2) ∀ veut dire « pour tout »

3) ∍ veut dire « de telle sorte que »

4) ssi veut dire « si et seulement si »

5) veut dire « est un élément de »

6) Z veut dire « ensemble des entiers relatifs »

7) veut dire « implique »

8) $ veut dire « il existe »

9) ≡ veut dire « équivalent à »

10) veut dire « n’est pas un élément de »


Prenez p, q et r comme entiers relatifs. Alors :

a) p|q, a>0,q>0 p q

b) p|q p|qr , ∀ entiers r

c) p|q, p|r p|( qx + ry) pour x,y Z

d) p|q, q|p p = ± q

e) p|q , q|r p|r

Preuvesmathématiques:parinduction(ourécurrence)etabsurde

Le module de la théorie des nombres utilise abondamment l’induction mathé-matique et la preuve indirecte (ou la preuve par absurde).

Exemple1:PreuveparinductionProuvez par induction mathématique que :

1 + 2 + … + m = 2

)1( +mm

Preuve: Étape1: Technique par récurrence L’induction mathématique prouve en vérifiant si la proposition retient que m = 1 et m = k + 1. Lorsqu’elle retient que m = k, alors la proposition retient pour tout entier relatif positif m = 1, 2, 3… Étape2: Substituez m = 1 de cette équation:

1 = 2

)11(1 + = 1

Étape3: Supposez que la formule retienne que m = k.

1 + 2 + … + k = 2

)1( +kk

Étape4: Preuve que la formule retient m = k + 1.

1 + 2 + … + k + ( k + 1 ) = 2

}1)1){(1( +++ kk

On écrit:


1 + 2 + … + k = 2

)1( +kk

Donc 2

)1( +kk +( k + 1) =

2

}1)1){(1( +++ kk , donc

2

22)1( +++ kkk

= 2

)2){(1( ++ kk

d’où 2

)2){(1( ++ kk =

2

)2){(1( ++ kk {par factorisation} [ PROUVÉ]

Ceci est une preuve par récurrence.

Exemple2:Prouvezparrécurrencequepourtoutentierpositifn,alors:

1² +2² + 3² + 4² +… + n² =6

)12)(1( ++ nnn

Étape1:Technique par récurrence L’induction mathématique prouve en vérifiant si la proposition retient que n = 1 et n = k + 1. Lorsqu’elle retient que n = k, alors la proposition retient pour tous entiers relatifs positifs n = 1, 2, 3… Étape2: Substituez n = 1 de cette équation :

1= 6

}1)12}{(11{1 +×+ = 1

Étape3: Assumez que la formule retient pour k :

1² +2² + 3² + 4² +… + k² = 6

)12)(1( ++ kkk

Étape4:Prouvez que la formule retient que n = k + 1.

1² +2² + 3² + 4² +… + (k + 1)² = 6

}1)1(2){11)(1( +++++ kkk


On écrit

1² +2² + 3² + 4² +… + (k + 1)² = (1² + 2² + 3² + 4² +…………. + k²) + (k + 1)²

= 6

)12)(1( ++ kkk+(k + 1)²

=6

)662)(1( 2 ++++ kkkk=

6

)32)(2)(1( +++ kkk

{par factorisation} [ PROUVÉ]

Ceci est une preuve par récurrence.

* À lire : Preuve par induction 1. Elementary Number Theory, by W.Edwin Clark, 2003, pages 2-7.

RessourceInternet

http://www.bbc.co.uk/schools/websites/16/index.shtml Lisez sur ce site les deux pages concernant la preuve par induction.


Exercices:Preuveparrécurrence1.Prouvez que 1 + 2 + 2_ +… + 2n = 2n+1 – 1 où n 1.

2. Prouvez que 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1) = n2.

3. Prouvez que a + ar + ar2 +… + arn = r

ra n

-

- +

1

)1( 1

, où n > 0.

4. Prouvez que 14 + 24 + 34 + 44 + … + n4 = 30

)133)(12)(1( 2 -+++ nnnnn

.

5. Prouvez que pour n < 2n pour tous les entiers relatifs positifs n.

6. Prouvez que (ab)n = anbn.

7. Prouvez que 1 + 4 + 7 + 10 + … + (3n -2) = (3n -1).


Nombrespairsetimpairs

Activitésurlesnombrespairsetimpairs

Cas1Que comprenez-vous des nombres pairs et impairs? Donnez une façon simple de distinguer les nombres pairs des nombres impairs. Combien de mois dans une année possèdent un nombre impair de journées? Combien d’années en nombres pairs y a-t-il entre 1960 et 2010? Réponse Les nombres divisibles par 2 sont appelés pairs et les nombres qui ne le sont pas sont appelés impairs.

Organigrammepourtesterlesnombrespairsetimpairs.

Départ

Insérez un entier N

Calculez M = (N / 2) × 2 (Ignorez le reste)

? M = N

Écrit N « est

pair »

Écrit N « est impair »

STOP

oui non


Procédures:

1. Insérez un entier N.

2. Calculez M comme indiqué.

3. Décidez si N est pair ou impair.

Cette activité est un organigramme qui représente le classement des nombres entiers pairs et impairs.

Classifiez vos résultats :

Nombre, NPairImpair


Exercice

Modifiez l’organigramme pour tester si un nombre est divisible par 3.

Réponse

Changez la formule M = N/2 x 2 pour M = N/3 x 3. Aussi, changez le format de la formule afin d’écrire les messages appropriés.

Réflexions

1. En tant qu’élève-maître, comment enseigneriez-vous les exposants et entiers relatifs tout en les reflétant dans des situations de la vie courante? Pensez à des approches pratiques pour les inclure dans des expériences de la vie quotidienne des apprenants.

2. La droite numérique a été utilisée pour enseigner le calcul des entiers relatifs positifs ou négatifs. Comment l’enseignant peut-il l’utiliser sans perdre la signification réelle des opérations de base comme la division, l’addition, la soustraction et la multiplication telles qu’elles sont reliées à la vraie vie? Par exemple : - 2 × - 2 = 4.

Diviseur

Le diviseur d’un entier relatif n, aussi appelé facteur de n, est un entier relatif qui divise n de manière égale et ce, sans laisser de reste.


Exemple:

7 est un diviseur de 35 parce que 35/7 = 5. On dit aussi que 35 est divisible par 7 ou 35 est un multiple de 7 ou 7 divise 35 que l’on écrit habituellement : 7/35.

Généralement, on dit m|n (se lit: m divise n) pour les entiers relatifs différent de 0. S’il existe un entier k pour que n = km et par conséquent les diviseurs peuvent autant être négatif que positif. Par exemple les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 mais la plupart ne mentionnerait que les positifs. 1 et -1 divisent (sont diviseurs de) tous les entiers relatifs, tous les entiers relatifs s’auto-divisent et sont diviseurs de 0.

Un diviseur de n qui n’est pas 1, -1, n ou –n est reconnu comme diviseur non trivial, les nombres avec diviseur non trivial sont connus comme nombres com-posés alors que les nombres premiers ont des diviseurs non triviaux.

Si a|b=c, alors a est le dividende, b le diviseur et c le quotient.

Lerestedesentiersnaturels

Si a et d sont des entiers naturels, avec d différent de 0, il est possible de prouver qu’il existe des entiers uniques q et r, pour que a = qd + r et 0 r < d. L’entier q se nomme le quotient, alors que r est appelé le reste.

Exemple :

1) Lorsqu’on divise 17 par 10, 1 est le quotient et 7 le reste puisque 17 = 1 x 10 + 7.

2) 22 / 4 = 5 x 4 + 2 où 5 est le quotient et 2 le reste.3) Lorsqu’on divise 42 par 7, 6 est le quotient et 0 est le reste puisque 42 =

7 x 6 + 0.Casgénéraldesentiers

Si a et d sont entiers, avec d différent de 0, alors le reste est un entier r pour que a = qd + r pour un entier q, et 0 <= |r| <= |d|.

Lorsque défini de la sorte, il y a deux possibilités de reste.

Exemple:

La division de -37 par 5 peut s’exprimer soit par -37 = 8 x (-5) + 3 ou par -37 = 7 x (-5) + (-2). Le reste est alors 3 ou -2.

Note: Lorsqu’on divise par d, si le reste positif est r1 et que le reste négatif est r2,

alors r1 = r2 + d.


Opérationmodulo

L’opération modulo calcule le reste par une division d’un nombre par un autre. Considérant deux nombres a et n, a modulo n (en abrégé : a mod n) est le reste, par la division de a par n. Par exemple : 10 mod 3 s’évalue à 1 et 12 mod 3 s’évalue à 0 où 1 et 3 sont les restes après la division.

Divisibilité

Définition : Un entier p est divisible par un entier q ssi $ un entier r ∍ p = q r.

Lethéorèmedeladivision

Si m et n sont des entiers, où n est différent de 0, alors il existe des entiers uni-ques q et r,

0 ≤ r< I n I, ∍ m = qn + r.

Les entiers :

a) m est le dividende

b) q est le quotient

c) n est le diviseur

d) r est le reste

Cas1

Divisez 11 hectares de terrain entre 5 personnes. Combien en auront-ils cha-cun?

Chaque personne a un nombre entier et une fraction.

Dans ce cas, identifiez le divisé (a), le quotient (q), le diviseur (b) et le reste (r).

Exemples :

Si m et n sont entiers où n est différent de 0, alors il existe des entiers uniques q et r.0 ≤ r< I n I, ∍ m = qn + r. n q r m= qn + rLes entiers 2 7 1 m=7(2) + 1m est le dividende 5 6 3 m =5(6) + 3q est le quotient - 10 2 1 m = -10(2) + 1n est le diviseur -9 5 8 m = -9 (5) +8



Exercice:Facteurs

1. Remplissez ce tableau

m n q r Solution7 27 -3-7 3-7 -3

Définition :

Un entier naturel qui se divise en un autre, et ce en un nombre exact de fois, s’appelle un facteur.

Exemples :

- Les facteurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.

- Les facteurs de 15 sont 1, 3, 6 et 15.


Exercice:Facteurs

Quels sont les facteurs de :

1. 20

2. 28

3. 36

4. 120

5. 169

6. 180

Communsmultiples

Un entier qui est divisible par deux entiers p et q est appelé un multiple de p et q. Les communs multiples de 2 et 3 sont 0, 6, 12, 18, 24… Les communs multiples de 4 et 5 sont 0, 20, 40, 60…



Exercice:Communsmultiples

É n u m é r e z l e s 8 p r e m i e r s c o m m u n s m u l t i p l e s d e : 1) 3 2) 7 3) 11 4) 23 5) 61 6) 138

Lepluspetitcommunmultiple(PPCM)

Aumarché

Madame Safia va faire ses courses au centre commercial le plus près de chez elle où tout est préservé dans des boîtes de conserves. Elle visite trois magasins qui utilisent trois formats différents de boîtes de conserves. Le magasin A utilise des 2 litres, le magasin B utilise des 4 litres et le magasin C utilise des 5 litres. Ayant besoin d’amener un récipient qui lui permettra d’acheter bon nombre de boîtes de conserves et ce, qu’importe le magasin où elle décidera d’aller, quel volume minimal devra avoir ce récipient?

Définition

Le plus petit commun multiple de p et q est défini comme étant le plus petit entier positif pouvant être divisé par p et q. Il peut être représenté comme [p, q].

Exemples :

- [4, 9] = 36

- [-3, 4] = 12

- [7, 8] = 56

CalculduPPCMenutilisantlesfacteurspremiers

Exemple:Trouvez le PPCM de 16, 24 et 840.

Étape1: Exprimez chacun des chiffres comme facteurs premiers

16 = 24

24 = 23 x 3

840 = 23 x 3 x 5 x 7

Étape2: Trouvez le plus grand exposant de chacun des facteurs premiers qui ressortent. Le facteur n’a pas à être commun. Par exemple, les plus grands expo-sants de 2, 3, 5 et 7 sont 4, 1, 1, 1 et le PPCM devient 24 x 3 x 5 x 7 = 1680.

Exercice:TrouvezlePPCM

Trouvez le PPCM de

1. 18, 20 et 24

2. 30, 45 et 50

3. 252, 990 et 3150

4. 450, 2100 et 900


Commundiviseur

Définition :

Un entier p est un commun diviseur de q et r si p|q et p|r.

Plusgrandcommundiviseur

Considérant ces trois chiffres : 20, 24 et 28; quel est le plus grand nombre pouvant diviser chacun de ces chiffres? Comment calculez-vous ce nombre?

Définition :

N’importe quel des deux entiers p et q a au moins un diviseur positif en commun appelé le plus grand commun diviseur (PGCD). Si au moins un des deux entiers p et q est différent de 0, alors il existe un plus grand entier positif d qui divise p et q. Cet entier est appelé le plus grand commun diviseur (PGCD) de p et q et peut être représenté comme PGCD (p,q) ou (p,q).

Exemples :

- PGCD (6,12) =3

- PGCD (0,18) = (0,-18) = 18

- PGCD (9,27) = 9

- PGCD (14,28) = 7

CalculduPGCDenutilisantlesfacteurspremiers

Exemple:Trouvez le PGCD de 60, 100 et 840.

Étape1:Exprimez chacun des nombres comme produit des facteurs premiers

60 = 22 x 3 x 5

100 = 22 x 52

840 = 23 x 3 x 5 x 7

Étape2: Trouvez le plus grand exposant commun de chacun des facteurs pre-miers. Le produit de ces plus grands exposants donne le PGCD. Par exemple, les facteurs premiers communs sont 2 et 5. Les plus grands exposants de 2 et 5, qui sont communs, sont 22 x 51 = 20 est le PGCD.


Exercice:TrouvezlePGCD

Trouvez le PGCD de

1. 540, 72 et 378

2. 105, 546 et 231


3. 1125 et 675

* À lire :

1. Elementary Number Theory, by Stein, October 2005, p. 5 – 7.

2. Greatest Commun Divisor MIT : Units 1 & 2 Notes, p. 1 – 2 each.

3. Elementary Number Theory, by W. Edwin Clark, p. 10 -14.


Exercice:

Prouvez les corollaires suivantes:

1. Pour chaque m > 0, m (b, c) = (mb, mc)

2. Si d|a, d|b, d> 0,alors ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

d

b

d

a, = ),(

1ba

d

Prouvez les propositions suivantes:

1. Si (a, m)= (b, m)= 1 alors (ab, m)=1

2. Si c|ab et (b,c) =1 alors c|a

Référence : MIT Notes 7 Feb 2003 (Common Divisor) page 1 & 2

Réflexions

1. Pensez à des exemples appropriés de la vie courante pour enseigner le PGCD et le PPCM afin que les apprenants puissent s’y identifier rapidement.

2. Une bonne méthode d’enseignement aide l’apprenant à assimiler la théorie par la pratique. Comment l’enseignant peut-il intégrer le PGCD et le PPCM dans les mathématiques d’usage courant?

L’algorithmeeuclidien

L’algorithme euclidien (ou l’algorithme d’Euclide) est un algorithme déterminant le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers en divisant de manière répétitive les deux nombres et le reste chacun leur tour.

Descriptiondel’algorithme

Considérant deux entiers naturels m et n, vérifiez si n = 0. Si oui, m est le PGCD. Si non, répétez le processus en utilisant n et le reste après la division des entiers m et n (s’écrit m modulo n).


Théorème: L’algorithme d’EuclideSoit m est un multiple de n, soit il y a un entier positif k, et les entiers q1, q2….qk, r1, r2…… r k-1 (et r = 0) pour que :

m= q1 n + r1 (0 ≤ r1< I n I )

n= q2 r1 + r2 (0 ≤ r1 < r2 )

……

rk-3= qk-1 rk-2 + rk-1 (0 ≤ rk-1< rk-2 )

rk-2 =qkrk-1 (0 ≤ rk )

Exemple:CalculezlePGCDde1071et1029.

Euclid ( 400 av.J.-C.) a développé une procédure systématique pour trouver le plus grand commun diviseur de deux entiers: l’algorithme euclidien.

a b Expression Explication

1071 1029 Étape 1: Mettre le plus grand nombre à gauche et le plus petit à droite.

1071 1029 1071=1029 1+42 Étape 2: Le reste de 1071 -1029 est 42, que l’on met à la droite, et le diviseur 1029 est mis à la gauche.

1029 42 1029=42 24+21 Étape 3: Répétez l’étape 2, divisez 1029 par 42, il y a un reste de 21.

42 21 42=21 2+0 Étape 4: Répétez à nouveau l’étape 2, vu que 42 est divisible par 21, il reste 0 et c’est ici que se termine l’algorithme.

21 0 Le nombre 21 est le PGCD


Exemple:CalculezlePGCDde5775et1008etde2261et1275.

Exemples: Illustration de l’algorithme d’Euclide pour trouver le PGCD

Exemple 1

Trouvez le PGCD de 5775 et 1008

Solution.

m = 5775 et n = 1008.

5775 = 5 x 1008 + 735

1008 = 1 x 735 + 273

735 = 2 x 273 + 189

189 = 2 x 84 + 21

84 = 4 x 21

Ainsi le PGCD = 21, c.-à-d. le plus grand entier divisant 5775 et 1008.

Exemple 2

Trouvez le PGCD de 2261 et 1275

Solution.

m = 2261 et n = 1275

2261 = 1 x1275 + 986

1275 = 1 x 986 + 289

986 = 3 x 289 +119

289 = 2 x 119 + 51

119 = 2 x 51 + 17

Ainsi le PGCD = 17.


Exercice:TrouvezlePGCDenutilisantl’algorithmed’Euclide

Trouvez le plus grand commun diviseur pour chacun en utilisant l’algorithme d’Euclide :

1. (276, 336, 396, 468, 972)

2. (1387, 1292, 722, 836)

3. (924, 798, 1358, 1827)

4. (60, 84)

5. (190, 72)

Solutions:

1) 12 2) 19 3) 7 4) 12 5) 2



Exercice

Tâche : Utilisez « Elementary Number Theory » par William Stein et tentez de répondre à la question 2.1, exercice 2.6 à la page 38.

* À lire :

1. Elementary Number Theory, by Stein, October 2005, p. 8 – 10.2. Euclidean Algorithm & Common Multiples MIT Unit 3, p. 1 & 2.3. Elementary Number Theory, by W. Edwin Clark,p. 1 -33.

Réflexion

L’algorithme d’Euclide est simplement une division familière, mais version longue. En vous référant aux deux exemples d’algorithme, liez une signi-fication quantitative à chaque étape de cette longue division. Est-ce que le sens est mieux compris de cette façon? Expliquez bien chaque étape de la division afin de permettre à un collègue de bien comprendre l’algorithme.

Lesnombrespremiersetleurrépartition

Introduction

L’ensemble desentiersnaturelsestN={1,2,3,4…}

L’ensemble des entiersrelatifsestZ = {...-2, -1, 0, 1,2 …}

Définition : Nombrepremieretcomposé

Un entier p > 1 est un nombre premier si et seulement s’il n’a pas de diviseur d avec 1< d< p. En d’autres mots, le seul diviseur positif de p sont 1 et p. On appelle p un nombrecomposé si p n’est pas un nombrepremier

Le chiffre 1 n’est ni premier, ni composé. Les premiers nombres premiers de N sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 42, 43, 47… et les premiers nombres composés sont 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27…

Définition :

Deux entiers p et q sont relativement premiers si PGCD (p, q) = 1.

ThéorèmeSi p est composé, alors p a un facteur premierExemple:

Le nombre composé 12 peut être décomposé en produit de facteurs premiers c.-à-d. 12 = 2 x 2 x 3, et 90 = 2 x 3 x 3 x 5


Théorème fondamental de l’arithmétiqueTous les entiers plus grands que 1 sont soit premiers, ou peuvent être considérés comme un produit de premiers.

Corollaire

Les énoncés suivants s’équivalent :

1. a et b n’ont aucun diviseur commun, c.-à-d. (n|a et n|b) n = ± 1.

2. (a, b) = 1 c.-à-d. le sous-groupe engendré par a et b est la totalité de Z.

3. $ m,n Z avec ma +nb = 1.

Définition

Si une seule de ces trois conditions est satisfaite, on dit que a et b sont des nom-brespremiersentreeux.

Théorème

Si a et b sont nombres premiers entre eux, où a est différent de 0, alors a|bc a|c.

Preuve

Supposons que a et b sont nombres premiers entre eux, c Z et a|bc, alors il existe m, n avec ma + nb = 1, et ainsi mac + nbc = c. Maintenant a|mac et a|nbc. Ainsi a|(mac + nbc) et donc a|c.

ThéorèmeSupposez que p est un nombre premier

1. Si a est un entier qui n’est pas un multiple de p, alors (p,a) = 1. En d’autres mots, si a est n’importe quel entier (p,a)=p ou (p,a)=1.

2. Si p|ab alors p|a ou p|b.3. Si p|a1,a2,…. an alors p divise ai. Ainsi si chaque ai est premier, alors p est égal à certain ai.


Théorèmedefactorisationunique

Supposons que a est un entier différent de 0, 1 ou -1. Alors a peut être décomposé en produit de facteurs premiers et, excepté l’ordre, cette factorisation est unique. Ceci dit, $ une collection unique de premiers distincts p

1,p

2,…….. , p

k et d’entiers

positifs s1,s

2,….,s

k afin que a=± p 1

1

S ,p 22S ,….p kS

k .

{E.H Connell, 2004}

Travaild’équipe

1. Étudiez la preuve de la théorie fondamentale de l’arithmétique. Assurez-vous de pouvoir prouver ce théorème pour les examens.

Référence: Euclid’s proof of intinitely many primes in Elementary Number Theory, by William Stein, 2005, pages 13 & 14.

2. Quel est le plus grand nombre premier connu?

3. Illustrez les nombres premiers des formules : a. ax + b b. 4x – 1

4. Énoncez le théorème des nombres premiers

Référence: Elementary Number Theory, by William Stein, 2005, pages 15 & 18.

Résoudreleséquationsdiophantienneslinéaires

Définition

Une équationdiophantienne est une équation polynomiale (p.ex. mx = k, mx + ny = k, etc.) dont les coefficients sont des nombres entiers (m et n) et pour laquelle seulement des solutions entières sont permises.

L’équationdiophantiennelinéairedupremierdegré est une équation à une variable, par exemple : mx = k, où m et k sont entiers et m est différent de 0.

L’équation diophantienne linéaire a une solution entière, x = k/m.

Les équationsdiophantiennesàdeuxvariables

Elles sont de la nature mx + ny = k (où m, n et k sont entiers et où m et n sont différents de 0).

Cette équation est résoluble si k est le PGCD (m, n), où m et n sont différents de 0.


Théorèmes1. Considérant que les entiers m 0 et n 0, il existe les entiers x et y pour l’équation dio-

phantienne mx + ny = gcd (m,n)

2. L’équation diophantienne mx+ny = k, est résoluble en entier ssi le PGCD (m, n) divise k.

Activité:Résoudreleséquationsdiophantiennes

Exemple1:

Résolvez l’équation diophantienne.

2772x + 390y = (2772, 390)

Solution:

Étape1: Appliquez l’algorithme d’Euclide pour trouver le PGCD de 2772 et 390.

Il vient :

2772 = 7 × 390 + 42…………………………………….(i)

Puis 390 = 9 × 42 + 12……………………………………….(ii)

et 42 = 3 × 12 + 6………………………………………….(iii)

d’où PGCD = 6

Étape2 : Substituez le PGCD dans l’équation, par exemple 2772x + 390y = 6. Substituez en utilisant les étapes utilisées en commençant par (iii), en-suite (ii) pour finir avec (i) afin d’obtenir les solutions pour l’équation. Comme 6 = 42 – 3 × 12

Donc 6 = 42 – 3 × (390 – 9 × 42) = 42 - 3(390)

= 42 + 27(42) - 3(390)

= 28(42) - 3(390)

= 28(2772 – 7 × 390) – 3(390)

= 28(2772) – 196(390) – 3(390)

donc 6 = 28(2772) – 199(390)

Soit 6 = mx + ny, avec x = 28 et y = -199


Exemple2:


7472x + 2624y = (7472, 2624)

Solution:

Étape1: Appliquez l’algorithme d’Euclide pour trouver le PGCD de 7472 et 2624.

Il vient 7472 = 3 × 2624 + 80………………………………… (i)

Puis 2624 = 30 × 80 + 64…………………………………....... (ii)

Ensuite 80 = 1 × 64 + 16………………………………………(iii)

Or 64 = 4 x 16 + 0

D’où PGCD(7472, 2624) = 16

Étape2: Substituez le PGCD dans l’équation, par exemple 7472x + 2624y = 16. Substituez en utilisant les étapes utilisées en commençant par (iii), en-suite (ii) pour finir avec (i) afin d’obtenir les solutions pour l’équation. On a 16 = 80 – 1 × 64

Donc 16 = 80 – 1 (2624 – 30 × 80)

= 80 - 1(2624) + 30 × 80

= (1)80 + 30(80) – 1(2624)

= 31(80) – 1(2624)

= 31(7472 – 3 × 2624) – 1(2624)

= 31(7472) – 93(2624) – 1(2624)

Donc 16 = 31(7472) – 94(2624)

c.-à-d. 16 = mx + ny, avec x= 31et y = -94

Exemple3:


803x + 154y = (803, 154)

Solution:

Étape1: Appliquez l’algorithme d’Euclide pour trouver le PGCD de 803 et 154

Il vient 803 = 5 × 154 + 33…….…………………………… (i)

Puis 154 = 4 × 33 + 22………………………………… (ii)

Ensuite 33 = 1 × 22 + 11

Comme 22 = 2 x 11+0..……………………………….…. (iii)


D’où PGCD(803, 154) = 11

Étape2: Substituez le PGCD dans l’équation, par exemple 803x + 154y = 11. Substituez en utilisant les étapes utilisées en commençant par (iii), ensuite (ii) pour finir avec (i) afin d’obtenir les solutions pour l’équation.

On a 11 = 33 – 1 × 22

= 33 – 1(154 – 4 × 33)

= 33 -154 + 4(33)

= 5(33) – 154

= 5(803 - 5(154)) – 154

= 5(803) – 25(154) – 154

= 5(803) - 26(154)

Soit 5(803) - 26(154) ≡ 803x + 154y

D’où x = 5 et y = -26.


Résoudreleséquationsdiophantiennes

Exercice

Résolvezleséquationsdiophantiennes:

1. mx + ny = (m, n) pour m = 5775, n = 10082. 18203x – 9077y = 173. 32x + 14y = 224. 35x + 61y = 1

Solutions

1. x = 11, y = -62. x = 17 x 742 = 12 597, y = 17 x 1486 = 25 2623. Plusieurs solutions : x = -33, y = 77. Généralement la solution est : x = -33,

y = 77 – 16i (i = 0, ±1, ±2, ±3,± 4…)4. x = 7, y = -4

(Kirch, 1974 & Clarke)


Travail d’équipe : Résoudre les équations diophantiennes

Trouvez toutes les solutions de x et y pour chacune de ces équations :

1. 64x + 108y = 4

2. 64x + 108y = 2

3. 64x + 108y = 1

Réflexions

1. Selon votre point de vue, quelles sont les étapes essentielles pour résoudre des équations diophantiennes? Quelle est la meilleure approche pour les résoudre?

2. Identifiez les zones sur lesquelles le professeur pourrait avoir à insister lors de l’enseignement des équations diophantiennes.


Congruencesetentiers(Modn)

Si deux nombres b et c ont la propriété que leur différence b - c est entièrement divisible par un nombre m {c.-à-d. (b - c)|m est un entier}, alors b et c sont appelés « congrus modulo m ». Le nombre m est appelé modulo et l’énonciation « b est congru à c (modulo m) » est écrit de manière mathématique comme

b ≡ c (mod m)

Si b – c n’est pas entièrement divisible par m, on dit « b n’est pas congru à c (modulo m) », qui s’écrit :

b ≡ c (modm)

La quantité b est parfois appelée la « base », et la quantité c est appelée le « ré-sidu ou reste ».

(Wikipédia)

Définition : Si m qui est différent de 0 est un entier positif et a, b Z; alors on dit que a est congru à b modulo m, si m|a-b.

Notation:Dans a ≡ b (mod m), l’entier positif m est appelé le module.


Exemples:

45 ≡ 3 mod 6 p.ex. m|a-b 345

6

- =

7

1

72 ≡ 0 mod 12 p.ex. m|a-b 072

12

- =

6

1

-27 ≡ 0 mod 4

L’idée de congruence et la notation a ≡ b (mod m) sont dues à Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

PROPRIÉTÉSDESCONGRUENCESMODULO

Soient a ≡ a’(mod m) et b = b’(mod m), alors les propriétés importantes des congruences incluent :

1) Équivalence : a ≡ b (mod 0) ⇒ a ≡ b2) Détermination : soit a ≡ b (mod m) 3) Réflexivité : a ≡ a (mod m) ou b ≡ c (mod m)4) Symétrie : a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m)5) Transitivité : a ≡ b (mod m) et b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡c (mod m)6) a + b ≡ a’ + b’ (mod m)7) a - b ≡ a’ - b’ (mod m)8) ab ≡ a’b’ (mod m)9) a ≡ b (mod m) ⇒ ka ≡ kb (mod m)10) a ≡ b (mod m) ⇒ an ≡ bn (mod m)11) a ≡ b (mod m

1) et a ≡ b (mod m

2) ⇒ a ≡ b (mod[m

1,m

2]), où [m

1,m

2] est

le plus petit commun multiple (PPCM)

12) ak ≡ bk (mod m) ⇒ a ≡ b (mod ),( mk

m ), où (k,m) est le plus grand commun diviseur

(PGCD)13) Si a ≡ b (mod m), alors p(a) ≡ p(b)(mod m), pour p(x) un polynome


Théorème Si a,b,c et d ∈ Z, alors :

1) a ≡ b (mod m) ssi b ≡ a (mod m) ssi b – a ≡ 0 (mod m)

2) Si a ≡ b (mod m ) et b ≡ c, alors a ≡ c (mod m)

3) Si a ≡ b (mod m) et d|m, d ≡ 0, alors a ≡ b (mod d)

4) Si a ≡ b (mod m) et c ≡ 0, alors ac ≡ bc (mod mc)

5) Si a ≡ b (mod m) et c ≡ d (mod m), alors a + c ≡ b + d (mod m)

6) Si a ≡ b (mod m) et c ≡ d (mod m), ac ≡ bd (mod m)

.

Théorème (La loi d’annulation)Soit m un module fixé et supposez ab ≡ ac (mod m). Alors b ≡ c (mod m/d), où d = (a, m). Particulièrement, si a et m sont deux nombres premiers entre eux, alors ab ≡ ac (mod m) implique b ≡ c (mod m).

Propositions

1.Annulation

Si le PGCD (c, n) = 1 et ac ≡ bc (mod n), alors a ≡ b (mod n)

2.Unités

Si le PGCD (a, n) = 1, alors l’équation ax ≡ b (mod n) a une solution, et cette unique solution est modulo n.

3.Solvabilité

L’équation ax ≡ b (mod n) a une solution ssi le PGCD (a, n) divise b.

Algorithme(inversezmodulon)

Supposez que a et n sont entiers et le PGCD (a, n) =

1. L’algorithme trouve un x afin que ax ≡ 1 (mod n).

Procédure: Calculez le PGCD en utilisant l’algorithme d’Euclide étendu afin de calculer les entiers x et y pour que ax + ny = 1

Exemple: Trouvez un entier 37x ≡ 1(mod 101)

Solution: 37x ≡ 1(mod 101)

Étape1: Formez l’équation 37x + 101y = 1


Étape2: Trouvez le PGCD = 1

Utilisez l’algorithme d’Euclide étendu

101 = 2 x 37 + 27 ……………… (i)37 = 1 x 27 + 10 ……………… (ii)27 = 2 x 10 + 7 ……………… (iii)10 = 1 x 7 + 3 ……………… (iv)7 = 2 x 3 + 1 ……………… (v)

Ainsi le PGCD (101, 37) = 1

Étape3: Passez à travers les étapes suivantes (i), (ii), (iii), (iv) et finalement (v) dans le sens contraire.

i. 27 = 101 – 2 (37)ii. 10 = 37 – 1 (37) = 37 – 1 [101 - 2 (37)] c.-à-d. substituez la valeur de 27 à l’étape (i) ci-

dessus. = 37 – 1 (101) + 2 (37) = -101 + 3 (37)iii. 7 = 27 – 2 (10) = 101 – 2 (37) – 2 [-101 + 3 (37)] c.-à-d. substituez les valeurs finales de 27 et 10 aux étapes (i) et (ii) ci-des-

sus.iv. 3 = 10 – 1 (7) = -101 + 3 (37) – 1 [3(101) - 8(37)] c.-à-d. substituez les valeurs de 10 et 7 à l’étape (ii) et (iii) ci-dessus. = -101 – 3 (101) + 3 (37) + 8 (37) = -4 (101) + 11 (37)v. 1 = 7 – 2 x 3 = 3 (101) – 8 (37) – 2 [-4(101) + 11(37)] = 3 (101) + 8 (101) – 8 (37) – 22 (37) = 11 (101) – 30 (37)

Donc 37x + 101y ≡ -30(37) + 11(101)

D’où x = -30 est la solution de 37x ≡ 1(mod 101)



Travail d’équipe: Équations linéaires modulo n

1. Allez voir la preuve de la loi d’annulation :

Units and Solvability in Stein 2005, pages 21-26.

2. Comment résoudre ax ≡ 1 (mod n). Stein 2005, pages 29 – 31. Résolvez la question 2.9 de l’exercice 2.6 à la page 39.

Classesderésidus

Le nombre b dans la congruence a ≡ b (mod m) est appelé le résidu de a (mod m).

Résiducommun

La valeur de b, où a ≡ b (mod m) est convenue comme étant non négative et inférieure à m.

Résiduminimal

Le résidu minimal de a (mod m) est la valeur de b ou b – m, celui qui est plus petit dans sa valeur absolue, où a ≡ b (mod m). Si m = 2b 9 afin que b=|b-m|, alors le résidu minimal est convenu à –b. Le tableau ci-dessous illustre les résidus communs et minimaux de 0, 1, 2 et 3 (mod 4).

n Résidu commun n(mod 4) Résidu minimal n(mod 4)0 0 01 1 12 2 - 23 3 - 1

Exemple

Trouvez 3713 (mod 17)

Solution

37 ≡ 3

372 ≡ 32 ≡ 9 ≡ -8

374 ≡ 81 ≡ ≡ -4

Alors 3713 = 371+4+8 ≡ 3 (-4) (-1) ≡12 (mod 17)


Systèmemodulairederéduction

Tout système d’entiers f(n), où f(n) est l’indicatrice, représentant toutes les clas-ses de résidus nombres premiers entre eux de n est appelé un système modulaire de réduction.

Classederésidu

Les classes de résidu de la fonction f (x) mod n sont toutes des valeurs possibles du résidu f (x) (mod n).

Exemple:

Les classes de résidus de x2 (mod 6) sont {0,1,3,4} puisque

0² ≡ 0 (mod 6)

1² ≡ 1 (mod 6)

2² ≡ 4 (mod 6)

3² ≡ 3 (mod 6)

4² ≡ 3 (mod 6)

5² ≡ 1 (mod 6), sont tous les résidus possibles.

Un système complet de résidus est un ensemble d’entiers contenant un élément de chaque classe, alors {0,1,9,16} serait un système complet de résidus pour x2 (mod 6).

(WolframMathworld)

Définitions

1) Si a ≡ b (mod m), alors b est appelé résidu d’un mod m.2) Un ensemble {x

1, x

2, x

3,……….. x

m} est appelé un système complet de résidus

(mod m) si ∀ n, $ x ∍ n ≡ xi(mod m)

3) La classe de congruence (classe de résidu) de n (mod m) est l’ensemble {n + mx|x Z}.

4) Un système modulaire de réduction (mod m) est un ensemble d’entiers ri avec

(ri, m) = 1 ∍ pour n’importe quel n avec (n,m)=1 $ ri ∍ n ≡ r

i (mod m)


Fonction∅ d’Euler

Définition : Fonction arithmétique (f)

Une fonction arithmétique est une fonction dont le domaine est un ensemble d’entiers positifs, p.ex. si une fonction f (p) = p où p = 1, 2, 3, 4… assigne seu-lement des valeurs positives de la racine, alors nous disons que la fonction est une fonction arithmétique.

Définition : Multiplicativ

Une fonction G est multiplicative si G (pq) = G (p) G (q) chaque fois que p et q sont entiers premiers entre eux, et complètement multiplicative si G (pq) = G (p) G (q) pour tous les entiers positifs p et q.

Définition : Fonction ∅ d’Euler (Indicatrice d’Euler)

Le symbole ∅ - (phi) est utilisé pour représenter la fonction d’Euler. ∀ p>1, laisse ∅ (p) désigner le nombre d’entiers positifs inférieurs à p et pre-miers entre eux avec p.

Exemple : ∅ (15) = 8 c.-à-d. qu’il y a 8 entiers positifs: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 premiers entre eux avec 15 et inférieur à ce dernier. Si vous voyez (1) = 1, alors est une fonction arithmétique. Cette fonction est appelée la fonction d’Euler ou l’indicatrice d’Euler.

(Leonhard Euler 1701-1783, mathématicien suisse)

Propriétésde∅

1. Pour tout nombre premier p, ∅ (p) = p – 1 = p (1-p

1 )

est multiplicative, c.-à-d. ∅ (pq) = ∅ (p) ∅ (q)

Théorème ∅ (m) du m des classes de résidu distinct mod m sont premiers entre eux avec m, qui est le nombre des entiers 0 r < m.

Le petit théorème de FermatSi p est un nombre premier et a est n’importe quel entier, alors

1. ap ≡ a (mod p). 2. Si a et p sont premiers entre eux, alors ap - 1 ≡ 1 (mod p).

Théorème chinois des restesLe système des congruencesx ≡ a (mod m)x ≡ b (mod n)Est résoluble si et seulement si (m, n) divise b – a. Dans le cas où une solution xo existe, un nombre x est aussi une solution et si seulement x ≡ xo (mod[m,n]), où [m, n] est le plus petit commun multiple de m et n.

(Kirch, 1974)


Théorème chinois des restes (généralisation)Si m1, m2,…, mk sont k entiers naturels premiers entre eux deux à deux, alors quels que soient k entiers r1, r2,…,rk, il existe au moins un entier r tel que le système des congruences

€

x = 1r (mod 1m )x = 2r (mod 2m )

…

x = kr (mod km )

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

est résoluble en entiers et admet pour solution le nombre x=r (mod m1, m2,…, mk), soit plus préci-sement : x = r1M1u1+r2M2u2+…+rkMkuk+tM, avec t entier relatif, où M=. m1, m2,…, mk, puis pour tout i, Mi = M/mi, et ui solution de l’équation de bezout Miui+mivi=1, vu que les mi sont premiers entre eux deux à deux.

Remarque:Lorsque leurs modules ne sont pas premiers entre eux, on peut tou-jours les transformer de telle sorte que l’on travaille avec des modules premiers entre eux.

Ainsi, par exemple, puisque (6, 15)=3, x=1 (mod 6) équivaut à (x=1 (mod 2) et x=1 (mod 3)).

De même x=1 (mod 4) équivaut à (x=1 (mod 2) et x=4 (mod 3)).

Par conséquent :

€

x = 1(mod6 )

x = 4 (mod 15)

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

équivaut à

€

x = 1(mod2 )x = 1(mod3 )

x = 4(mod5 )

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

.

Cette fois, les modules 2, 3 et 5 sont premiers entre eux.

Notehistorique(vers395ansaprèsJesus-Christ): le théorème chinois des restes est utilisé pour la première fois par les astronomes chinois pour construi-re des calendriers, ensuite par les militaires chinois pour compter leurs soldats en rangeant par certains ordres et comptant seulement les restes respectifs. Ce théorème prend essor ensuite dans la vie quotidienne pour résoudre des problè-mes de type suivant :


* À lire :

1. Elementary Number Theory, by Stein, October 2005, p. 21 – 37.

2. Attempt exercise on page 38, no. 2.1, 2.2, 2.4(b).

3. Congruences MIT Units 5 and 6, pages 1 & 2 in each.

4. Elementary Number Theory, by W. Edwin Clark, pages 58 – 80.


Travail d’équipe

1. Prouvez le théorème : ax ≡ ay (mod m) ssi x ≡ y (mod )),( ma

m

2. Prouvez la proposition : Si b ≡ c (mod m), alors (b, m) ≡ (c, m). Référence : MIT notes, Congruences 21 feb 2003, pages 1 & 2.

Exercice 3 : En comptant les marches d’un escalier 4 par 4, il en reste une, en les comptant 5 par 5 il en reste 3. Quel est le nombre de marches de cet escalier, sachant qu’il est certainement moins que 160?

Exercice 4 : Mon panier peut contenir au plus cent œufs. Si je le par trois œufs à la fois, il en reste un ; si je le vide quatre par quatre à la fois, il en reste trois ; et si je le vide par cinq à la fois, il en reste quatre. Combien ai-je d’œufs?

Exo 3 : x ≡ 1 (mod 4) et x ≡ 3 (mod 5). Donc x = x = r1m

1u

1+r

2m

2u

2 +t m

1 m

2,

où m1u

1+m

2u

2=1.

On trouve : x = 33+20t. Comme 0<x<160, les solutions possibles sont : x=13, ou bien 33, ou bien 53, ou bien 73, ou bien 93, ou bien 113, ou bien 133, ou bien 153.

Exo 4 : 1ç, ou 79.

Racinesprimitives

Une racine primitive d’un nombre premier p est un entier g pour que g (mod p) ait un ordre modulo p - 1.

Généralement, si le PGCD (g, n) = 1 (g et n sont nombres premiers entre eux) et g est de l’ordre modulo f (n) modulo n où f (n) est l’indicatrice, alors g est la racine primitive de n.

Si n a une racine primitive, alors il a exactement autant de: f [f (n)] , ce qui veut dire que si p est un nombre premier, alors il y a exactement f (p-1) de racines primitives non congrues de p pour n = 1, 2, 3… les pre-mières valeurs de f [f(n)] sont 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 4, 8.


N a un racine primitive si elle est de la forme 2, 4, pa ou 2pa, où p est un nombre premier impair et a 1.Les quelques premiers n pour lesquels des racines primi-tives existent sont 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22…, alors le nombre de racines primitives d’ordre n pour n = 1, 2… sont 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 2, 2, 4, 0, 4… La plus petite racine primitive pour les quelques premiers p sont 1, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 6, 3, 5, 2, 2, 2…

Tableau des racines primitives des quelques premiers n pour lesquels une racine primitive existe.

n g(n)2 13 24 25 2,36 57 3,59 2,510 3,711 2,6,7,813 2,6,7,11

Les plus grandes racines primitives pour n = 1, 2… sont 0, 1, 2, 3, 5, 5, 0, 5, 7, 8, 0, 11… (WolframMathworld)

Considérons m comme un entier positif. Si a est n’importe quel entier positif et nombre premier avec m et k est le plus petit entier positif afin que ak ≡ 1 (mod m). Le nombre k est appelé un exposant pour lequel a appartient au modulo m.

Exemple:

7 appartient à l’exposant 2 modulo 4 puisque 72 ≡ 1 (mod 4)

Théorèmes1) Si k est l’exposant pour lequel a appartient au modulo m, alors k divise f(m).2) Pour tout nombre premier p il y a exactement f(p – 1) de racines primitives non congrues

modulo p.3) Si p est n’importe quel nombre premier et g est n’importe quelle racine primitive modulo p,

alors les puissances g, g2…,gp-1 forment un système modulaire de réduction modulo p.4) Supposez que m est n’importe quel entier plus grand que 1. Les raciness primitives existent

modulo m si et seulement si m=2, m=4, m=pn, m=2pn où p nombre premier impair.



Travaild’équipe

Étudiez la preuve du théorème sur les racines primitives. Assurez-vous de pou-voir faire la preuve de ce théorème pour les examens. Référence : Elementary Number Theorem, by Stein, October 2005, page 36.

Letripletpythagoricien

L’histoiredutripletpythagoricien

L’étude du triplet pythagoricien commença bien avant l’existence de Pythagore. Les anciennes civilisations de Babylone et d’Égypte utilisaient ce triplet.

Tripletpythagoricien

Figure 1 : Le triangle pythagoricien

c

b

a

a2 + b2 = c2

Exemplesdutripletpythagoricien

·32 + 42 = 52

·52 + 122 = 132

·82 + 152 = 532

·282 + 452 = 532

Tableau 1

S/No a” Impair” b “ Pair” c “Impair” Équation1 3 4 5 32 + 42 = 52

2 5 12 13 52 + 122 = 132

3 7 24 25 72 + 242 = 252

4 9 40 41 92 + 402 = 412

5 11 60 61 112 + 602 = 612

6 15 8 17 152 + 82 = 172

7 21 20 29 212 + 202 = 292

8 33 56 65 332 + 562 = 652

9 45 28 53 452 + 282 = 532


TRIPLETPYTHAGORICIENPRIMITIF

Définition :

Un triplet pythagoricien primitif est un triplet de chiffres (a, b, c) afin que a, b et c n’aient aucuns facteurs communs et puissent satisfaire a2 + b2 = c2

Observations sur le triplet de Pythagore (Tableau 1)

- Un de a ou b est pair et l’autre impair et il semble que c soit toujours im-pair.

- Considérant a comme étant impair et b comme étant pair, alors pour a2 + b2 = c2

On peut trouver a avec a2 = c2 – b2 = (c – b) (c + b).

Exemples

3, 4, 5 ⇒ 32 = (52 – 42 ) = (5 –4) (5 + 4) = 1 × 9 = 12 × 32

5, 12, 13 ⇒ 52 = (132 – 122) = (13 –12) (13 + 12) = 1 × 25 = 12 × 52

7, 24, 25 ⇒ 72 = (252 – 242) = (25 –24) (25 + 24) = 1 × 49 = 12 × 72

15, 8, 17 ⇒ 152 = (172 – 82) = (17 –8) (17 + 8) = 9 × 25 = 32 × 52

- De ces observations, il semble que

1. (c – b) et (c + b) sont toujours des entiers impairs carrés.

2. (c – b) et (c + b) n’ont aucun facteur commun.

LetripletdePythagoreetlecercletrigonométrique

Considérant a2 + b2 = c2 divisé par c2 ⇒ (c

a)2 + (

c

b)2 = 1

Ceci suit les nombres rationnels ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

c

a et ( ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

c

b) est la solution à l’équation

d’un cercle x2 + y2 = 1, qui décrit un cercle dont le rayon est de 1 avec un cen-tre (0,0) sur le plan cartésien.


Listedetripletspythagoriciens

( a, b, c) ( a, b, c) ( a, b, c) ( a, b, c)3, 4, 5 64, 1023, 1025 84, 13, 85 96, 2303,

23055, 12, 13, 68, 285, 293 84, 187, 205 100, 621,

6297, 24, 25 63, 1155, 1157 84, 437, 445 100, 2499,

25019, 40, 41 72, 65, 97 84, 1763, 176515, 8, 17 72, 1295, 1297 88, 105, 13721, 20, 29 76, 357, 365 88, 1935, 193735, 12, 37 76, 1443, 1445 92, 525, 53345, 28, 53 80, 39, 89 92, 2115, 211763, 16, 65 80, 1599, 1601 96, 247, 265

LedernierthéorèmedeFermat

Les équations diophantiennes x + y = z et x2 + y2 = z2 ont une infinité de répon-ses.

En 1637, Fermat écrivit qu’il était impossible d’écrire un cube positif comme la somme de deux cubes, par exemple : x3 + y3 = z3 ou à la puissance4 : x4 + y4 = z4, comme la somme de deux fois la puissance4. En fait, toute puissance supérieure à 2 comme la somme de deux puissances semblables, c.-à-d. il écrivit l’équation diophantienne xn + yn = zn , qui n’a pas de résultat positif pour n ≥3.

La preuve de cette affirmation prit 358 années avant d’être trouvée en 1995, où Andrew Wiles a dévoilé sa quatrième tentative de réponse. Cinq ans plus tard, la preuve était confirmée.

RechercheInternet

Explorez l’histoire de la preuve du dernier théorème de Fermat dans les archives MacTutor venant de l’Université de St-Andrews en Écosse, Royaume-Uni.

Lethéorèmeetsapreuve:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat’s_last_theorem.html

PierredeFermat:

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fermat.html

AndrewWiles:


http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Wiles.html

Entrevued’AndrewWilesavecNovaMagazine:

http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html

Unité2 (60heures):La théoriedes congruences etde l’entierquadrati-que.

Résumédel’unité2(Activitésmultiples)

L’unité 2 de la théorie des nombres sous-entend que l’unité 1 est un pré requis. Elle illustre l’ensemble des entiers relatifs, les résidus quadratiques et carrés. Elle présente le symbole de Legendre, le lemme de Gauss et la loi de réciprocité quadratique. Elle analyse l’entier quadratique et met en application l’algorithme d’Euclide et l’anneau factoriel de l’entier de Gauss. On y analyse aussi l’arith-métique de l’entier quadratique et l’application des équations diophantiennes. L’unité 2 se termine avec l’équation de Pell et les unités dans l’entier quadratique réel. Le tout est amené à travers diverses activités pour les apprenants et contient des évaluations formatives à chaque sous-thème.

L’ensembledesentiersrelatifs(modp),résidusquadratiquesetcarrés

Définition :

Si xn = a (mod m) a une solution où a et m sont premiers entre eux, alors a est appelé résidu à la puissance n modulo m.

Si la congruence n’a pas de solution, alors a est appelé un non résidu à la puis-sance n modulo m.

* À lire :

1. Solving equations Modulo Primes, MIT Unit 14, Notes, pages 1 & 2.2. More on solving equations, modulo primes, MIT Unit 15, pages 1 & 2.3. Quadratic Residue Symbol, MIT Unit 16, Notes, pages 1 & 2.4 Elementary Number Theory, by W. Edwin Clark, pages 76 – 80.

Laréciprocitéquadratique,saloietlesymboledeLegendre

Définition : La réciprocité quadratique

L’équation linéaire a ≡ b (mod n) a une solution si et seulement si le PGCD (a, n) divise b. La réciprocité quadratique cherche le critère de si oui ou non cette équation ax2 + bx + c ≡ 0 (mod n).

Définition : Loi de la réciprocité quadratique

Soit a à la puissance p, un entier a non divisible par p est un résidu quadratique modulo p si a est un carré modulo p; sinon, a est un non résidu quadratique.


Définition : Le symbole de Legendre

Considérant p comme un nombre premier impair et a comme un entier premier avec p, alors

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

a =

On appelle ce symbole : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

a le symbole de Legendre. Cette notation est bien

ancrée dans la littérature, même si elle est aussi la notation pour « a divisé par p ».

Note : ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

a dépend seulement sur a (mod p), il est donc sensé de le définir ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

a

pour a ∈Z / pZ d’être ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

a~ pour tout changement de a~ à a vers Z.

LesymboledeLegendrede2

Définition : Si p est un nombre premier impair, alors

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

2 =


Travail d’équipe : Vérifiez les preuves

1. Legendre assertion from Number Theory by Stein page 67.

2. Quadratic reciprocity from Number Theory by Stein page 68 – 72.

+1 si a est un résidu quadratique 1 par ailleurs

+1 if p ± 1 (mod 8) 1 if p ± 3 (mod 8)


Lecritèred’Euler,lelemmedeGaussetlaloidelaréciprocitéquadratique

Lecritèred’Euler

Considérons un nombre premier impair p et un entier a non divisible par p. Euler a utilisé

l’existence des racines primitives pour démontrer que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

a est congru à a (p – 1)/2 modulo p.

Nous avons ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

a≡ 1 si et seulement si a (p – 1)/2 (mod p). Considérons un nombre

premier impair p et un entier a différent de 0 (mod p). Des nombres a, 2a, 3a,………,

ap

2

1- et les réduire modulo p afin de le mettre dans l’intervalle ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ -

2,

2

pp .

Considérons υ comme étant le nombre de nombres négatifs dans un ensemble.

Alors ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

a =(-1) υ .


Travail d’équipe : Étudiez la preuve du critère d’Euler

1. Euler’s criterion, Number theory by Stein, page 62.

2. Gauss lemma, Number theory by Stein, page 64.

3. Quadratic reciprocity using Gauss sums, Number theory by Stein, page 71.

* À lire :

1. Solving equations Modulo Primes, MIT Unit 14, Notes, pages 1 & 2.2. More on quadratic residues, MIT Unit 17, 18, 19 & 20, pages 1 & 2 each.3. Elementary Number Theory, by Stein, October 2005, pages 59 - 72. Com-

plete questions 4.1, 4.2 on page 74.4. Elementary Number Theory, by W. Edwin Clark, pages 24 – 25.


Évaluer le caractère quadratique par la loi de la réciprocité

Théorèmes 1. Considérant un nombre premier impair p et un entier a premier avec p. Alors 2 est un résidu

quadratique pour tous les nombres premiers de la forme 8n ± 1; 2 un non résidu quadratique pour tous les nombres premiers de la forme 8n ± 3.

2. Si p est premier et (a,p) = 1, alors la congruence de ax² + bx + c ≡ 0 (mod p) a tout au plus deux solutions non congrues modulo p.

* À lire :

1. Solving equations Modulo Primes, MIT Unit 14, 17, 18, 19 & 20 pages 1 & 2 each.

2. Elementary Number Theory, by Stein, October 2005, pages 59 - 72. 3.Elementary Number Theory, by W. Edwin Clark, pages 58 - 74.

L’équationdePelletlesunitésdansl’entierquadratiqueréel.

Définition

L’équation diophantienne x2 – qy2 = 1 (q ≠ 0) est appelée l’équation de Pell. Elle se concentre sur les valeurs positives entières de x et y qui satisfont l’équation, en assumant que q est un entier positif. Si on assume que q est un entier positif alors par conséquent 1 n’est pas la différence des carrés puisque q n’est pas carré.

Lasolutionfondamentaledel’équationdePell

Considérons un entier positif q qui n’est pas carré. Par une solution positive de l’équation de Pell, il faut comprendre une paire d’entiers positifs x

0 et y

0 afin que

x02 + y

02 = 1. Si l’équation a une solution d’entiers différents de 0 x

0 et y

0, alors elle

a une solution positive, à savoir [x0] , [y

0]. La solution positive x

1, y

1 minimisant

la quantité x1 + y

1 q est appelée la solution fondamentale de l’équation de Pell.

Le tableau ci-dessous donne les solutions (données par ordinateur) de l’équation de Pell x2 – qy2 = 1 pour des entiers non carrés où q satisfait 1 < q ≤ 52.


q x y q x y q x y q x y2 3 2 18 17 4 32 17 3 46 24335 35883 2 1 19 170 39 33 23 4 47 48 75 9 4 20 9 2 34 35 6 48 7 16 5 2 21 55 12 35 6 1 50 99 147 8 3 22 197 42 37 73 12 51 50 78 3 1 23 24 5 38 37 6 52 649 9010 19 6 24 5 1 39 25 411 10 3 26 51 10 40 19 312 7 2 27 26 5 41 2049 32013 649 180 28 127 24 42 13 214 15 4 29 9801 1820 43 3482 53115 4 1 30 11 2 44 199 3017 3 8 31 1520 273 45 161 24

ThéorèmeConsidérons x1, y1 comme solution fondamentale de l’équation de Pell (pour q donné). Alors x’, y’ est une solution positive si et seulement six’+ y’ q = (x1 + y1 q)n pour un certain entier positif n.

Exemplederésolutionpourl’équationdePell

Résolvez l’équation diophantienne x2 – 5y2 = 1

Solution

Étape 1: L’équation diophantienne est appelée l’équation de Pell, p.ex. x² - qy²=1.

Étape2:Du tableau ci-dessus sur les solutions fondamentales de l’équation de Pell, on peut noter que quand q = 5, x = 9, alors y = 4. Ceci est la solution fondamentale de l’équation de Pell.

Étape3:Dans le théorème ci-dessus, l’équation de Pell a une infinité de solu-tions.

En substituant q = 5, x = 9 et y = 4, nous avons :

(9 + 4√5)² = 161 + 72√5 et

(9 + 4√5)³ = (9 + 4√5)(161 + 72√5) = 2889 + 1292√5

Les deux plus larges solutions positives suivantes sont : x = 161, y = 72 and x = 2889, y = 1292



Exercice:SolutionsimpliquantleséquationsdePell

Trouvez toutes les solutions positives de :

1. x2 – 2y2 = 1

2. x2 – 3y2 = 1

Solutions:

1. (3, 2), (17, 12), (99, 70)… sont les quelques premières solutions.

2. (2, 1), (7, 4), (26, 151)… sont les quelques premières solutions.

* À lire :

1. Solving equations Modulo Primes, MIT Unit 14, 17, 18, 19 & 20 pages 1 & 2 each.

2. Elementary Number Theory, by Stein, October 2005, pages 59 - 72.


ApplicationduPGCDdanslarecherchedesracinessrationnellesd’uneequationpolynomialeàcoefficientsrationnels.

Résuméduparagraphe

Dans un souci d'atténuer des sauts psychocognitifs, cet article défend la faisabi-lité, la pertinence et l'efficacité de l'enseignement / apprentissage de la résolution d'équations qui débute par un travail déjà assez intense dans Z, puis dans l'ensem-ble Q des rationnels, en investissant les connaissances en arithmétique élémentaire, avant d'attaquer les ensembles continus de nombres réels ou complexes. Il offre une opportunité simple d'entraînement au raisonnement par conditions nécessaires, au calcul mental, à la mise en acte d'algorithmique chez des adolescents..

Introductionetmotivation

La recherche des racines d'un polynôme est l'un des problèmes majeurs en ma-thématiques. Un survol rapide du programme scolaire montre que l'apprentissage du concept de polynôme démarre au collège en classes de 4ième et 3ième par la manipulation des expressions affines et du produit de ces dernières qu'on écrira sous forme développée en regroupant les termes semblables : le développement d'une expression algébrique factorisée s'obtient en appliquant la distributivité de la multiplication des nombres réels par rapport à l'addition et à la soustraction. Faire sentir le sens de la distributivité de « . » par rapport à « + » faciliterait sa compréhension par les apprenants débutants : pour ce faire, l'enseignant peut s'aider de leur compétence en calcul d'aire d'une configuration géométrique plane, tel un rectangle, en décomposant des côtés et en comptant sur l'aspect intuitif de l'additivité d'une mesure d'aire. De telle dialectique de changement de cadres / registres de travail (ici, il s'agit de : algèbre – géométrie - algèbre) apparaît généralement fructueux sur le plan pédagogique en mathématiques. A titre indicatif, sur les figures 1, 2 et 3 ci-dessous, le calcul de l'aire du rectangle ABCD effectué de deux façons permet de donner sens à la distributivité de « . » par rapport à « + » ou à « - ».

Ensuite, la factorisation d’un polynôme n’est autre que l’opération inverse du développement d’un produit d’expressions affines.

Les polynômes sont re-appris en classe de seconde pour être investis en analyse en classes de premières et terminales pour définir les fonctions rationnelles et pour approcher à un certain ordre d’erreur une fonction numérique irrationnelle. Voilà en quelques mots un argument qui montre déjà l’importance des polynômes en mathématiques du secondaire.

Activité2


Avec le nouveau programme en vigueur dans certains pays, à Madagascar en l'occurrence, au niveau de collège, la recherche des racines réelles par la mé-thode du discriminant (le fameux delta !) n'est plus autorisée. La raison en est vraisemblablement que l'enseignement du discriminant d'un trinôme du second degré provoquerait une robotisation trop précoce chez les jeunes adolescents de 3ième d' aujourd'hui au détriment du développement de l'esprit d'initiative, de la créativité et de la spontanéité d'action face à une situation-problème. Ainsi, par

exemple pour l'équation

€

2x + x - 30 = 0 , conscient de la somme des racines S=-1 et de leur produit P=-30, l'élève du secondaire devrait être amené à tenter de factoriser -30 en un produit de deux facteurs ; or cette factorisation peut se faire ici de plusieurs manières ; il va falloir en faire un “choix judicieux” ; effec-tivement, -30 = 2x(-15) = (-2)x15=5x(-6)=(-5)x6=(-1)x30=1x(-30). Un simple raisonnement mental permet d’identifier que seuls 5 et (-6) conviennent ici : ce sont les racines cherchées de l'équation.

Pour s'en convaincre, à titre indicatif, analysons la démarche rapportée ci-des-sous d'un élève (alors envoyé au tableau) de terminale technologique du secteur industriel recueilli le mois de mars 2005 à l'occasion d'une inspection pédagogique formative d'un étudiant en stage à responsabilité au lycée technique d'Antsira-nana à Madagascar :

Exerciceproposé: Soit f la fonction numérique d'une variable réelle définie par :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠--

-=

3

1)2(

2 x si ,2)x2x(x

2)(xxf(x)

f

Préciser l'ensemble de définition de f.

Réponse proposée (sic) par un élève au tableau :

f est définie si x(x2-x-2) 0

x 0

x2-x-2 0

D = b2-4ac = (-1)2 – 4(1)(-2) = 1+8 = 9

39 ==D


X’ = a

b

2

D--=

2

31 -= - 1

X = 22

31

2=

+=

D+- b

x -1 et x 2

Df = ]- , -1[ ]-1, 0[ ]0, + [

Cette procédure squelettique de l'élève est très éloquente ; en effet, vraisembla-blement, le calcul du discriminant lui serait perçu comme incontournable ici, et l'apprenant y aurait laissé beaucoup d'implicites dans sa maladroite rédaction, entre autres :

« f est définie sur Df = {x réel / x(x2-x-2) 0} = {x réel / x 0 et x2-x-2 0}

Résolvons dans R l'équation x2-x-2 = 0. C'est une équation du second degré. Son discriminant est D = b2-4ac = (-1)2 – 4(1)(-2) = 1+8 = 9. Donc D>0 et

39 ==D . Donc l'équation x2-x-2 = 0 admet deux racines réelles à savoir :

X' = a

b

2

D--=

2

31 -= - 1 et X'' = 2

2

31

2=

+=

D+- b.

Donc x2-x-2 ≠ 0 équivaut à x ≠ -1 et x ≠ 2. Or par construction f(2) = 1/3. D'où l'ensemble de définition de f est D

f = ]- ∞ , -1[ ∪ ]-1, 0[ ∪ ]0, + ∞ [».

En fait, comme l'attestent nos expériences d'enseignement au premier cycle de l'enseignement supérieur, ce phénomène tend à persister encore en fin de la pre-mière année dans la résolution des équations exponentielles ou logarithmiques : ae2x+bex+c = 0, a(lnx)2+blnx+c = 0, avec a, b et c rationnels, etc.

Se pose alors la question suivante. Pourquoi un tel élève de niveau terminale quand bien même n'a pas pensé à utiliser d'autres moyens, comme la propriété - relevant des compétences exigibles d'élèves sortant de la classe de seconde - d'un trinôme du second degré vis-à-vis de la somme et du produit de ses racines et/ou d'autres propriétés relativement simples d'un polynôme à coefficients entiers ba-sées sur l'arithmétique de Z? Ainsi, par exemple pour l'équation du second degré

€

2x + x - 30 = 0,la prise de conscience de la somme des racines étant S=-1 et leur produit P=-30 devrait amené l'élève à décomposer -30 en un produit de deux facteurs ; or cette factorisation peut en fait se faire de plusieurs manières : -30=(-5)x6 = 5x(-6)=2=(-15)=(-2)x15=(-1)x30=1x(-30) ; laquelle parmi ces factorisation correspond à la somme égale à (-1)? Il est fort à parier que l'intelligence des élèves trouvera mentalement que c'est c'est 5x(-6) et non les autres qui convient, d'où


les racines de ce polynôme

€

2x + x - 30 = 0 sont identifiables mentalement et sans difficulté, sous réserve d'un entraînement au préalable : 5 et -6,

Aussi, conviendrait-il de trouver une voie plus propice à l'émancipation des jeu-nes esprits pour débuter l'étude des polynômes ! Ainsi, déjà muni d'une certaine compétence à cerner de façon plus libre les polynômes plus simples – ceux à coefficients entiers par exemples- les élèves de seconde seront moins tentés à la démarche routinière consistant à l'utilisation systématique de l'outil magique, car perçu comme incontournable, du discriminant « delta » avec ses trois cas im-muables : ils sauront choisir la méthode de façon délibérée, et leurs productions seraient alors plus personnelles.

Dans le but justement de donner une occasion pour bien maîtriser les tech-niques de recherche des racines rationnelles d’un polynômes de Q[X], il nous semble utile de retracer la théorie des polynômes de Q[X], ainsi que le théorème de Viête et les polynômes symétriques élémentaires. Par ailleurs, nous remarquerons que « l’algorithme » de la recherche des racines ainsi développé pourrait bien être utilement exploité pour l’apprentissage de l’informatique scientifique en schématisant le procédé qui sera prêt à être automatisé par la suite. Dans cet article, les notions de groupe, anneau, idéal et corps, d’anneau euclidien, factoriel ou principal sont supposés connues. Les notations Z[X], Q[X], R[X], C[X] désignent des ensembles des polynômes à une indéterminée à coefficients respectivement dans Z, Q, R, C. Quelques commentaires psychopédagogiques seront donnés tout au long des rafraîchissements mathématiques préparant ainsi la partie dévolue à l’implication pédagogique proprement dite.

Brefsaperçussurlespolynômes

Définition

Soit A un anneau commutatif unitaire.

• On appelle polynôme à une indéterminée sur l'anneau A, toute expression de type : P = a

nXn + a

n-1Xn-1 + …+a

1X + a

0, avec (a

n, a

n-1, …, a

1, a

0) ∈ An+1

tel que an ≠ 0, n ∈ N, X étant l'indétermination.

Dans ce cas :

• an est le coefficient dominant, n le degré de P noté d°P = n, et a

0, a

1,…, a

n:

sont les coefficients de P. Si an = 1, alors P est dit un polynôme unitaire ou

normé.Le cas où a

n = 0 correspond au polynôme nul.


2.2Racinesd'unpolynôme

Définition

Soit A un anneau factoriel, P = Xa in

ii∑

=0, avec a

n ≠ 0, un polynôme non constant

de A[X].

On appelle une racine de P, tout élément a ∈ A vérifiant P(a) = 0.

Exemple: Pour P = X3 – 7X2 + 3X +14, P(2) = 0 ; donc 2 est une racine de P.

Commentaire:Etantdonnéunnombre

a ∈ A, pour vérifier que a est une racine de P, il suffit de calculer P(a) et comparer P(a) avec 0. Dans la pratique, le calcul de P(a) n’est pas toujours facile surtout lorsque a est une fraction et que P est de degré supérieur. D’où la considération des propriétés suivantes.

2.2Existencederacined'unpolynôme

On se rappelle du Théorème de D'Alembert-Gauss dont la démonstration est visible dans beaucoup d'ouvrages sur la théorie des nombres :

Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexes. Un polynôme de degré n a exactement n racines dans C.

On dit que l'ensemble des nombres complexes C est un corps algébriquement clos.

Passons à l'étude spécifique des polynômes à coefficients rationnels (dans Q ou Z) qui nous intéressent à juste titre.

2.3-Recherchedesracinesrationnellesd'unpolynômedeQ[X]

Le Théorème de D’Alembert Gauss affirme l’existence d’au moins une racine dans C, mais il ne donne pas cette racine ou ces racines. Puis, parmi ces racines dans C, lesquelles sont dans R ?

Toutefois, pour un polynôme de Q[X], de simples considérations d’arithmétique de Z permettent de savoir s’il admet des racines rationnelles ou entières, et même de les déterminer le cas échéant. L’idée de base réside en l’exploitation du lemme de Gauss qui figure déjà parmi les acquis des élèves de fin de 5ième ou de 4ième .


LemmedeGauss

Pour tous a,b,c ∈ Z – {0] tels que a divise bc, et que a premier avec b, alors a divise c. Soit : si a|bc et pgcd(a,b) = 1, alors a|c.

Remarquons d'abord que dans un anneau intègre A : si x|ai ∀i = n,1 , alors

x|Slia

i.

En effet, ∀i x|ai, alors ∀i = n,1 , a

i = b

ix

Donc lia

i = l

ib

ix.

Alors xba iiin

ii )(

1∑=∑

=ll . D'où la proposition.

Considérons alors deux entiers a et b premiers entre eux.

D'après l'identité de Bezout, il existe U et V A tels que aU + bV = 1. Donc pour c A-{0}, on a : acU + bcV = c (1).

D’autre part, a|bc par hypothèse, et a|ac. Donc a|(acU + bcV).

D'où a|c.

2.4Optimisationdeniveau1

Pour réduire le champ de recherche, on a peut déjà s'aider du théorème sui-vant :

Pour tout polynôme

P = anXn + a

n-1Xn-1 + …+ a

1X + a

0 ∈ Z[X] avec a

0 ≠ 0 et a

n ≠ 0, et soit p/q ∈ Q*

irréductible. Si p/q est une racine rationnelle de P, alors p|a0 et q|a

n.

En effet : soit p/q un rationnel irréductible. Si p/q est racine de P, alors an(pn/qn)

+ an-1

(pn-1/qn-1) + …+a1(p/q) + a

0 = 0.

En rendant au même dénominateur, il vient :

anpn + a

n-1qpn-1 +…+ a

1qn-1p + a

0qn = 0 (1)

Soit p(a

npn-1 + a

n-1qpn-2 + …+ a

1qn-1 = -a

0qn = a

0(-qn).

Donc p|a

0(-qn) ; or p et q sont premiers entre eux ; donc p et qn sont aussi pre-

miers entre eux.

Donc d'après le lemme de Gauss on a : p|a

0.


D'autre part, en factorisant q dans la relation (1), il vient :

q( an-1

pn-1 + …+a0qn-1 ) = -a

npn. Donc q|a

n(-pn).

Comme p et q sont premiers entre eux, il en est de même de q et pn.

Et d'après le lemme de Gauss, q/an.

Ainsi, si p/q est racine de P, alors p|a0 et q|a

n.

Levinesttiré,ilneresteplusqu'àboire.

En effet, ce théorème nous fournit une méthode d'identification d'un ensemble assezlimité déjà des rationnels candidats à être racines de P, à savoir :

(1) Lister l’ensemble D(a0) = {d ∈ Z ; d|a

0} des diviseurs de a

0

(2) Lister l’ensemble D(an) = {d ∈ Z ; d|a

n} des diviseurs de a

n

(3) Lister l’ensemble des Racines Possibles de P, ou tout simplement le domainedes tests : DT(P) = { p/q ; p ∈ D(a

0) et q ∈ D(a

n)} D(a

0) x D(a

n).

Notons au passage qu'une telle approche, malgré sa simplicité, possède au moins la vertu de « Former à la démarche scientifique en développant l'esprit d'analyse et de synthèse, de créativité ou d'initiative, de rigueur, ainsi que les qualités d'expres-sion écrite ou orale par rapport à la clarté, à la présentation et à la rédaction que l'élève sera amené à faire».

Exemple: Le polynôme P= 3X3 – 2X2 + 5X + 2 admet-il des racines ration-nelles ?

Solution:

Recherchonsdesconditionsnecessaries.

Ici a3 = 3 et a

0 = 2. Donc D(a

3) = {±1, ±3} et D(a

0) = {±1, ±2}

Ainsi l’ensemble des racines rationnelles possibles de P est

DT(P) = {-1, 1, -1/3,1/3, -2/3, 2/3}.

Ce qui va exiger à faire cinq tests : c'est la démarche de recherche des conditions suffisantes. L'élève dispose d'une liberté, donc d'une autonomie dans son choix de succession de validation.

P(1) = 3 – 2 + 5 +2 = 8 ≠ 0 ;

P(-1) = -3 – 2 – 5 + 2 = -8 ≠ 0

P(-1/3) = -3(1/27) – 2(1/9) + 5(-1/3) + 2 = (-3 – 6 – 45 + 54)/27 = 0

P(1/3) = (3/27) – 2(1/9) + 5(1/3) + 2 = (3 – 6 + 45 + 54)/27 = 96/27


P(-2/3) = -8(3/27) – (8/9) – (10/3) + 2 = (-24 – 24 – 90 + 54)/27 ≠ 0

P(2/3) = (24/27) – (8/9) + (10/3) + 2 = (24 –24 + 90 + 54)/27 = 144/27

D'où a = -1/3 est l’unique racine rationnelle de P.

Le recours à une calculatrice ou au mieux à un tableur en serait économique pour les candidats entiers. Néanmoins, les polynômes offrent une occasion d'apprendre la réalité des approximations d'Excel ou d'autres calculatrices aux élèves, dès qu'on travaille sur les fractions irréductibles. En effet, Excel ne va donner ce même résultat P(- 1/3) =0, par exemple. Les élèves se rendraient alors conscients que le recours systématique à une calculette n'est pas toujours convenable, car il s'agit en fait de l'approximation à précision limitée. Ceci permet déjà de motiver l'opération d'un changement de variable pour se ramener à un polynôme unitaire).

Del’algorithmiqueenacte

A ce stade déjà, il serait très instructif de solliciter les apprenants à élaborer une synthèse sous forme de schéma pour décrire l'algorithme de recherche auto-matique des racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers ou même rationnels.

Le cas d'un polynôme unitaire

Si an = 1, alors D(a

n) = {-1, 1} : donc les racines rationnelles, si elles existent,

sont nécessairement des nombres entiers cette fois.

La preuve est évidente à partir du théorème qui précède.

Exemple:

P=X7 – 8X6 + 5X5 + 3X2 –2X + 1 admet-il des racines rationnelles ?

Recherchedeconditionsnécessaires:

Ici a7 = 1 = a

0,. Donc, si les racines rationnelles existent, elles devraient être

entières.

Or D(a7) = D(a

0) = {-1, 1}.

Donc DT(P) = {-1, 1}.

Recherche des conditions suffisantes :

Testons ces deux valeurs :

P(-1) = -1 – 8 – 5 + 3 + 2 + 1 = - 6 et P(1) = 1 – 8 + 5 + 3 – 2 + 1 = 0

Donc 1 est l’unique racine rationnelle de P.


2.5Optimisationdeniveau2

Le résultat qui suit permet encore une recherche moins coûteuse encore.

(1) Si a ∈ Z est un zéro d'un polynôme

P Z[X], alors 1

)1(

-a

P et

1

)1(

+

-

a

P sont des entiers.

(2) Par contraposition,

si 1

)1(

-a

P ou

1

)1(

+

-

a

P ne sont pas entiers, alors a n'est pas racine entière de

P.

En effet :

Pour (1) : Si a est racine de P ∈ Z[X] alors P(X) = (X - a)T(X), avec T Z[X].

Donc T(X) = P(X)/(X-a) ;

donc T(1) = P(1)/(1-a) et T(-1) = P(-1)/(-1-a) ; or T ∈ Z[X] ;

donc T(-1) Z et T(1) Z. D'où 1

)1(

-a

P et

1

)1(

+

-

a

P sont des entiers.

Cette proposition réduit beaucoup le domaine de recherche des racines ration-nelles d'un polynôme normé, car elle permet d'éliminer encore les candidats a tels que

1

)1(

-a

P ∉ Z ou

1

)1(

+

-

a

P ∉ Z.


2.5Retouràlarecherchedesracinesfractionnaires

Pour embrasser le cas plus général des polynômes à coefficients entiers, on a le thèorème suivant.

Pour tout polynôme P ∈ Z[X], on a :

• (1) Si P est normé (unitaire), alors tout zéro rationnel de P est un entier.• (2) Si P n'est pas normé et P = a

0Xn + a

1Xn-1 + …+ a

n-1Xn + a

n , avec a

0 1

et an ≠ 0.

Alors, chercher les zéros rationnels de P équivaut à trouver les zéros entiers du polynôme normé f, avec f (Y) = Yn + a

1Yn-1 + a

0a

2Yn-2 + …+ (a

0)n-1a

n-1Y +

(a0)n-1a

n.

Ainsi, dans ce second cas(2) pour trouver les zéros rationnels de P, il suffit alors de diviser les zéros entiers de f par le coefficient dominant a

0 de P.

Démonstration

(1) découle d'un résultat antérieur dans le cas où P est unitaire.

Pour (2), nous savons que la multiplication du polynôme P par un nombre non nul ne modifie pas la nature de ses racines.

Comme

(a0)n-1P = (a

0)nXn + a

1(a

0)n-1Xn-1 + a

2(a

0)n-1Xn-2 + …+ a

n-1(a

0)n-1X + (a

0)n-1a

n.

= (a0X)n + a

1(a

0X)n-1 + a

2a

0(a

0X)n-2 + …+ a

n-1(a

0)n-2(a

0X) + (a

0)n-1a

n.

Posons Y = a0X. Alors

(a0)n-1P = Yn + a

1Yn-1 + a

2a

0Yn-2 + …+ a

n-1 (a

0)n-2Y + (a

0)n-1a

n = FY).

D’où : les racines rationnelles de P s’obtiennent de la relation Y = a0X par X =

Y/a0, i.e. en divisant les racines rationnelles de F par le coefficient dominant a

0

du polynôme P.

Exemple

Reprenons l’exemple du polynôme

P = 3X3 – 2X2 + 5X + 2.

Ici, on a : a0 = 3, n = 3,

(a0)n-1p =32p =

33X3 - 2.32X2 + 5.3.3.X + 32.2= (3X)3 – 2(3X)2 + 15(3X) + 18


Ce qui conduit à considérer le transformé F(Y) = Y3 – 2Y2 + 15Y +18.

Cherchons les diviseurs de son terme constant 18 : ils constituent l’ensemble

D(18) = {±1, ±2, ±3, ±9, ±18}. Effectuons maintenant les tests qui s’imposent, en tenant compte de l’optimisation du second niveau évoqué plus haut. Il vient :

F(1) = 1 – 2 + 15 + 18 = 32

et F(-1) = -1 – 2 –15 + 18 = 0.

Donc -1 est racine de F.

Pour les autres candidats a ±1, étudions si 1

)1(

-a

f appartient ou n’appartient

pas à Z.

Si a = 2 alors a -1 = 1, F(1)/ a - 1 = 32 Z ; donc a = 2 peut être racine du polynôme F.

Si a = -2 alors

a - 1 = -3; F(1)/(-3) = 32/-3 ∉ Z donc

a = -2 ne peut pas être racine de F.

Si a = 3, F(1)/a-1 = 32/2 = 16 ∈ Z.

Si a = 3, a-1 = -4, F(1)/a-1 = 8 ∈ Z

Si a = 9, alors a - 1 = 8 ; F(1)/a-1 = 32/8 = 4 ∈ Z

Si a = -9, F(1)/a-1 = 32/10 ∉ Z.

Si a = 18, a - 1 = 17, alors F(1)/a-1 = 32/17 ∉ Z.

Si a = -18, a - 1 = -19, alors F(1)/a-1 = 32/-19 ∉ Z.

Donc les racines rationnelles possibles sont éléments de DT(F) = {2, -3, 3, 9}.

Calculons F(a) pour tout a DT (F).

F(2) = 8 - 8 + 30 + 18 = 48 ≠ 0

F(9) = 729 - 162 + 135 + 18 ≠ 0

F(3) = 27 - 18 + 45 + 18 = 72 ≠ 0

F(-3) = -27 - 18 - 30 + 18 = -57 ≠ 0


En conclusion, la seule racine entière de F est –1.

D’où : l’unique racine rationnelle de P est –1/3.

Cet exemple illustre que cette démarche de résolution d’une équation polyno-miale à coefficients rationnels donne beaucoup de latitude à l'élève quant au choix des candidats à tester, une fois que –1 et 1 sont déjà testés. De plus, on n'est pas contraint à se limiter aux trinômes du second degré, comme c'est le cas pour l'emploi du discriminant. Dès lors, ceci n'est que conjecture certes, après un certain nombre d'entraînement, l'algorithmique aurait beaucoup de chance à se généraliser chez l'apprenant.


2.6Algorithmedecalculdesracinesrationnelles

De ce qui précède, on élabore facilement un algorithme de résolution dans Z et Q de P(x) = 0 avec P Z[X]. L'idée de cet algorithme peut s'exprimer comme ci-dessous.

Données :

• le degré n ∈ N*• les n+1 coefficients a

0, a

1, a

2, …, a

n éléments de Z

• le polynôme P(x) = a0+ a

1x+ a

2,x2+…+a

nxn.

Etape 1 : a - t-on an = 1 ?

Si an = 1, alors :

• lister l’ensemble D(a0) de tous les diviseurs de a

0 (ce qui nécessite la dé-

composition de a

0 en un produit de facteurs premiers)

• Calculer P(1) et P(-1)• Pour tout i D(a

0)\{-1, +1}, calculer A(i) = P(1)/(i-1) et B(i) = P(-1)/(i+1)

Si P(1)=0 et P(-1)=0, alors tous les diviseurs de P sont racines de P, Sinon si P(1)=0 et P(-1) ≠ 0 alors Pour tout i ∈ D(a

0)\{-1, +1}, si B(i) ∈ Z, alors i est racine de P,

Sinon i n’est pas racine de P, Si P(-1)=0 et P(1) ≠ 0 alors Pour tout i ∈ D(a

0)\{-1, +1}, si A(i) ∈ Z, alors i est racine de P,

Sinon i n’est pas racine de P, Si P(1) ≠ 0 et P(-1) ≠ 0 alors si A(i) ∈ Z et B(i) ∈ Z, alors i est racine de

P, Sinon i n’est pas racine de P.

Sinon, étape 2 :

• Faire le changement de variable suivant : poser y = anx, soit x=y/a

n.

• Calculer les nouveaux coefficients : pour tout i allant de 0 à n, bi = a

i. (a

n)n-

1-i

• Considérer le polynôme unitaire T(x) = b0+ b

1y+ b

2, y2+…+b

nyn, avec b

n

= 1.• Considérer T(x) au lieu de P(x) : les zéros de T sont des entiers, et les zéros

de P sont les rationnels dont les numérateurs sont les zéros entiers de T et les dénominateurs tous égaux au coefficient dominant a

n de P.

• Revenir à l'Etape 1

∈


Synthèse:

• Soit, P admet des racines entières et la liste exhaustive de ses racines entières ou rationnelles est trouvée ;

• soit, P n’a aucune racine rationnelle.

Cet algorithme, qui se programme facilement sur ordinateur, fonctionne essen-tiellement par le raisonnement par conditions nécessaires dont le manque, voire l'incompréhension, fait souvent l'objet du reproche que les enseignants du pre-mier cycle du supérieur surtout font à l'encontre des jeunes étudiants. Le mode de raisonnement par disjonction de cas est en action également tout au long de la recherche des éventuelles racines rationnelles.

Remarque:Le célèbre critère d'Eiseinstein qui donne les conditions suffisantes d'irréductibilité dans Q[X] d'un polynôme à coefficients entiers pourrait faire l'objet d'un algorithme également, mais sa compréhension nécessite celle de la notion de corps de fractions d'un anneau. Donc ce théorème d'Eiseinstein n'est pas administrable au niveau secondaire ; cependant, il offre un excellent terrain de mise en acte du mode de raisonnement par conditions suffisantes qui fait défaut chez bons nombres d'élèves ou de jeunes étudiants, semble-t-il.

Rappelons que le théorème d'Eiseinstein évoqué ci-dessus peut s'énoncer ainsi :

Soit A un anneau factoriel, K son corps de fractions, et P ∈ A[X], non constant, avec P(x) = a

0+ a

1x+ a

2,x2+…+a

nxn, tel que a

0 ≠ 0 et a

n ≠ 0.

S’il existe p/A tel que p/a0, p/a1, …, p/an-1, et p ne divise pas an et p2 ne divise pas a0, alors p est irréductible dans K[X].

La difficulté y résiderait manifestement dans la recherche d'un tel élément diviseur p. Dans le présent article, on s'est intéressé au cas où A = Z et K = Q.

2.6Aproposduproblèmeinverse

Comment construire un polynôme de degré minimum dont les racines sont don-nées et/ ou vérifiant quelques contraintes supplémentaires? On peut y répondre partiellement en appliquant les célèbres formules de Viète dans C[X].

Pour tout Pn ∈ C[X] non constant et normé, P

n = Xn + a

n-1Xn-1 + ....+ a

1X + a

0,

alors on peut exprimer les coefficients a0, a

1, …, a

n-1 de P en fonction des poly-

nômes symétriques des racines de Pn.

Démonstration:

Comme C[X] est un corps algébriquement clos alors le polynôme Pn de degré n

de C[X] admet exactement n-racines complexes a1, a

2, ..., a

n.


Donc

Pn(X) = (X-a

1)(X-a

2)...(X-a

n) = )(

1∏ -=

n

iiX a .

Pour trouver les relations entre des coefficients ai pour i = 0 à n-1 et les racines

ai , i = ),1( n , nous partons de quelques cas particuliers, puis nous tirons une

conjecture et enfin nous les généraliserons.

Pour n = 2 P2 = (X - a

1)(X - a

2)

= X2 – (a1 +a

2)X + a

1 a

2

D’autre part P2 = X2 + a

1X + a

0.

Par identification, nous avons

a1 = - (a

1 +a

2

a0 = a

1 a

2

Soit en introduisant les polynômes symétriques élémentaires de degré 2, nous obtenons :

a1 = - s

1(a

1 , a

2) et a

0 = s

2(a

1 , a

2)

Pour n =3 :

P3 = X3 + a

2X2 + a

1X + a

0 = (X - a

1)( X - a

2)( X - a

3)

= X3 – (a1 +a

2 +a

3)X2 + (a

1a

2 +a

1a

3 +a

2a

3)X - a

1 a

2 a

3

Par identification, nous obtenons :

a2 = - (a

1 +a

2 +a

3)

a1 = a

1 a

2 + a

1 a

3 + a

2 a

3

a0 = - a

1 a

2 a

3

Soit encore :

a2 = -s

1( a

1, a

2, a

3)

a1 = s

2( a

1, a

2, a

3)

a0 = - s

3( a

1, a

2, a

3)

En résumé, on a :

Pour n = 2 :

a1 = - (a

1 +a

2) =

- s1( a

1, a

2) = (-1)1 s

1( a

1, a

2)


a0 = a

1 a

2 = s

2( a

1, a

2) = (-1)2 s

2( a

1, a

2)

or on peut remarquer que

a1 = a

2 – 1 = (-1)1 s

1( a

1, a

2)

a0 = a

2 – 2 = (-1)2 s

2( a

1, a

2)

Pour n = 3, il vient :

a2 = a

3 – 1 = (-1)1 s

1( a

1, a

2, a

3)

a1 = a

3 – 2 = (-1)2 s

2( a

1, a

2, a

3)

a0 = a

3 – 3 = (-1)3 s

3( a

1, a

2, a

3)

On peut conjecturer que :

si Pn = Xn + a

n-1Xn-1 + ....+ a

1X + a

0 = )(

1∏ -=

n

iiX a , alors

an-1

= (-1)1 s1(a

1, a

2…,a

n)

an-2

= (-1)2 s2(a

1, a

2…,a

n)

...

an-k

= (-1)k sk(a

1, a

2…,a

n)

…

an – (n-1)

= a1 = (-1)n-1 s

n-1(a

1, a

2…,a

n)

an – n

= a0 = (-1)n s

n(a

1, a

2…,a

n).

La propriété est vraie pour n = 2, 3. Supposons la vraie jusqu’à n.

Calculons les coefficients de Pn+1

en fonction des polynômes symétriques élé-mentaires de degré (n+1).

Par définition, Pn+1

= Xn+1 + anXn + a

n-1Xn-1 + …+ a

1X

+ a

0

= Pn .(X - a

n+1)

= [ Xn + (-1)1s1Xn-1 + … + (-1)n-1s

n –1X + (-1)n s

n] (X - a

n+1)

Par hypothèse de récurrence, en développant, on obtient :

Pn+1

= Xn+1 + (-1)1s1Xn + (-1)2s

2Xn-1 + … + (-1)n -1s

n -1X2 + (-1)ns

nXa

n+1Xn

– (-1)1s1a

n+1Xn-1 - …. – (-1)n s

n a

n+1

Donc en regroupant les termes semblables, on obtient :

Pn+1

= Xn+1 + [(-1)1 s1 - a

n+1]Xn + [(-1)2s

2 - (-1)1 s

1 a

n+1]Xn-1 + …

+ [(-1)n sn - (-1)n -1s

n -1 a

n+1]X - (-1)n s

n a

n+1

= Xn+1 + (-1)1 s1(a

1, a

2…,a

n+1)Xn + (-1)2s

2(a

1, a

2…,a

n+1)Xn-1 + …

+ (-1)n sn(a

1, a

2…,a

n+1)X + (-1)n +1s

n +1(a

1, a

2…,a

n+1).


Par identification, nous avons :

an = (-1)1 s

1(a

1, a

2…,a

n + 1)

an = (-1)2 s

2(a

1, a

2…,a

n + 1)

…

a1 = (-1)n s

n(a

1, a

2…,a

n + 1)

a0 = (-1)n s

n + 1(a

1, a

2…,a

n + 1).

Donc la propriété demeure vraie à l’ordre n+1.

D’où si Pn C[X] tel que P

n = Xn + a

n-1Xn-1 + ....+ a

1X + a

0 admet n-racines

a1, a

2…,a

n alors on peut exprimer les coefficients de P

n en fonction des

polynômes de racines de Pn par les relations de Viête :

∀ k = (0,n-1) ; an-k

= (-1)k sk (a

1, a

2…,a

n)

Remarques

1°/ Les formules de Viête généralisent le résultat connu dès la classe de seconde : relation entre les sommes et les produits des racines et les coefficients d’un trinôme X2 + a

1X + a

0 à savoir X2 + a

1X + a

0 = X2 - SX + P, où S = a

1+ a

2 et P = a

1a

2

et a1, a

2 sont les solutions de X2 + a

1X + a

0 = 0.

2.7LesformulesdeViêtepermettentdereconstituer,sansbesoin dedéveloppement,unpolynômedansC[X],d’oùlaconnaissance detouteslesracines.

Exemple

Trouver un polynôme de degré minimum unitaire dont 1 et –2 sont des racines simples et 4 une racine double.

d°P = Om(1) +O

m(-2) +O

m(4) où O

m(a)désigne l’ordre de multiplication

de racine a..

d°P = 1+1+2 = 4

Donc P = X4 + a3X3 + a

2X2 + a

1X + a

0.

Cherchons les coefficients a3, a

2, a

1 et a

0. D’après les formules de Viête, ici

a1 = 1, a

2 =-2, a

3 = 4, alors :

a3 = (-1)1s

1(a

1, a

2, a

3, a

4) = -1(a

1 + a

2 + a

3 + a

4) = -(1-2+8) = -7


a2 = (-1)2s

2(a

1, a

2, a

3, a

4) = a

1a

2 + a

1a

3 + a

1a

4 + a

2a

3 + a

2a

4 + a

3a

4

a2 = -2 + 4 + 4 – 8 – 8 +16 = 6

a1 = (-1)3 s

3(a

1, a

2, a

3, a

4) = -(a

1a

2a

3 +a

1a

2a

4 + a

1a

3a

4 + a

2a

3a

4)

= -( - 8 – 8 + 16 – 32)

a0 = (-1)4 s

4(a

1, a

2, a

3, a

4) = a

1a

2a

3a

4 = 1.(-2).4*4 = -32

d’où P4 = X4 – 7X3 + 6X2 + 32X - 32

2.8Implicationpédagogique

La résolution des équations polynomiales de degré supérieure ou égale à 2 ap-paraît dès la classe de seconde. La forme varie un peu suivant le changement de variable adapté au niveau des classes de première et de terminale.

2.8.1 Enclassedeseconde, on résout les équations du type ax2 +bx + c = 0 ;

Cela exige le calcul du discriminant D = b2 – 4ac, et la discussion sur son signe pour savoir le nombre des racines et le calcul des racines.

Cependant, le calcul de D ne devrait pas être perçu incontournable, surtout lorsque l'équation admet des racines évidentes sachant que :

1 est un racine d'un polynôme XaXP kn

kk∑=

=0)( , si la somme des coefficients

est nulle : 00

=∑=

n

kka .

(-1) est une racine d'un polynôme XaXP kn

kk∑=

=0)( , si la somme des coefficients

de degré pair diminué de la somme des coefficients de degré impair est nulle.

Donc en connaissant une racine, et par factorisation ou par les formules de Viête, on peut trouver les autres racines.

Exemple: Résoudre dans R l’équation 2x2 – 3x + 1 = 0

Posons P(x) = 2x2 – 3x + 1 . On remarque que 2-3+1 = 0 donc x’=1 est racine de P(x) = 0.

P(x) = 2x2 – 3x + 1 = 2(x2 –3x/2 + 1/2) =

2(x2 – Sx + p), d'après les formules de Viête.


Soit x’’ la seconde racine, alors x’.x’’ = ½ d’où x’’ = 1/2

D'où l'ensemble des solutions S est :

S = {1, 1/2}

2.2.2Enclassedepremière, sa résolution exige plus de compréhension par le choix de changement de variable adapté pour se ramener au cas des polynômes étudiés en classe de seconde. De plus, on va interpréter la solution de f(x) = g(x) comme abscisse du point d'intersection des deux courbes représentatives (C

f) et

(Cg) respectivement de f et g.

D'autre part, on introduit la notion de dérivée d'une fonction dans le but d'étudier les sens des variations d'une fonction f, en calculant la fonction dérivée f’ de f et d'étudier le signe de f’(x).

Dans le cas d'une fonction polynomiale ou d'une fonction rationnelle, résoudre f’(x) = 0 revient à chercher les racines d'un polynôme.

Exemple: Etudier les sens de variations de la fonction numérique f définie par

3

5)(

2

3

+

+-=

x

xxxf .

Pour tout réel x, f(x) existe, si x2 + 3 0. Or x2 + 3 = 0 n'admet pas de solution réelle. Donc l'ensemble de définition de f est D

f = R = ]- , + [.

Calcul de la dérivée f’(x) :

Pour tout réel x, il vient

€

f '(x) ==-( 4x +14x2 -15)

( 2x + 3)2

Soit

€

f '(x) ==-( 4x +14x2 -15)

( 2x + 3)2 .

Résolvons f’(x) = 0.

f’(x) = 0 signifie –(x4 +14x2 – 15) = 0 soit x4 +14x2 – 15 = 0 (1)

Posons X = x2 alors l'équation (1) devient :

X ≥ 0

(2) X2 +14X –15 = 0


On remarque que 1 + 14 – 15 = 0, donc X’ = 1 est solution de (2) et l’autre racine est X’’ telle que X’X’’ = -15 ; donc X’’ = -15 < 0.

Or X = x2 = 1, donc x = ±1.

D’où f’(x) = 0 équivaut à x = 1 ou x = -1.

Par conséquent f’(x) = -(x2 + 15)(x2 – 1)/(x2 + 3)2. Or (x2 +15)/ (x2 + 3)2 > 0. Donc f’(x) est de même signe que 1 – x2. Le tableau de variations de f s’en déduit facilement.

2.2.3EnclassedeTerminale, avec les changements de variable de type expo-nentiel ou logarithmique, on peut se ramener parfois au cas des polynômes, et on appliquerait les acquis des classes antérieures sur la recherche des racines rationnelles d'un polynôme à coefficients rationnels.

Exemple: RésoudredansRl’équation(lnx)4+14(lnx)2–15=0(1)

L'équation est définie, si x > 0. Posons Y = (lnx)2, avec Y 0. L'équation (1) devient Y2 + 14Y –15 = 0 (2).

D'après l'exemple ci-dessus, on a ;

Y = 1 ou Y = -15 < 0.

Donc (lnx)2 = 1 soit lnx = 1 ou lnx = -1.

lnx = 1 équivaut à x = e ; lnx = -1 = ln(1/e) donc x = 1/e

D'où l'ensemble des solutions S = {e, 1/e}.

Commentaire

Parfois au niveau de la classe Terminale, la solution exacte d'une équation n'est pas toujours possible. Pour cela, on va se contenter de racine approchée, en s'ap-puyant sur le théorème des valeurs intermédiaires : si une fonction f est continue et strictement monotone sur [a, b] et que f(a).f(b) <0, alors il existe une solution unique a ∈ ]a, b[ tel que f Puis, par des itérations successives, on trouve la valeur approchée de a avec la précision voulue.

Exemple: Soit à montrer que l’équation –x3 + 6x2 – 9x + 5 = 0 admet une solution réelle unique x

0 dans l’intervalle ]4 ; 4,5[.

Considérons la fonction f définie par

f(x) = –x3 + 6x2 – 9x + 5

Il est évident que f est définie sur R, et f(x) tend vers +∞ au voisinage - ∞, vers -∞ au voisinage de +∞.


Donc il existe a > 0, b< 0 tel que f(a)>0 et f(b)< 0 donc f(a).f(b)< 0.

Calcul de la dérivée f’(x) : f’(x) = -3x2 +12x – 9. On voit que –3 +12 – 9 = 0, donc f’(x) = 0 admet x’ = 1 comme racine et x’’ = 3 la seconde racine.

Il en résulte le tableau de variations de f. En particulier, f est continue stricte-ment décroissante sur [3, + [, a fortiori elle l'est sur [4 ; 4,5] ; comme f(4).f(4,5) = -5,25 < 0

Donc il existe une racine unique a ]4 ; 4,5[ tel que f(a) = 0.

Enfin, en guise de dernier exemple, voici un exercice non résolu proposable au niveau des terminales scientifiques :

On veut trouver les racines rationnelles du polynôme P(x)=2x4 – x3 + 5x2 – 3x – 3.

1. a) Calculer la somme des coefficients de P(x). b) En déduire l’existence d’une racine évidente entière de P(x). c) Ecrire P(x) = (x - a )T(x), où T(x) est un polynôme que l’on

déterminera.2- a) Montrer que l’équation T(x) = 0 admet une solution unique - Encadrer b) Que peut on dire sur la racine de T(x) et de T

1(x) = 22.T(x) ?

c) Montrer que résoudre T(x) = 0 équivaut à résoudre T2(y) = y3 + y2 + 12y

+ 12 = 0.3 Montrer que la racine de T(y) est entière que l’on précisera.4 En déduire les racines rationnelles de P(x).


CONCLUSIONDUCHAPITREXV

L'étude quelque peu théorique de la recherche des racines rationnelles d'un poly-nôme à coefficients rationnels présente un grand intérêt eu égard à son implication pédagogique. En effet, ce travail pourrait fournir une base théorique concernant la recherche des racines évidentes d'un polynôme à coefficients rationnels : elles sont intuitivement à trouver généralement parmi les entiers ou parmi les rationnels au plus, au lieu de se contenter de tâtonner parmi 1 et -1.

Ainsi, ce travail montre qu'au niveau scolaire (collège et lycée), les nombres qualifiés de «racines évidentes» d'un polynôme à coefficients rationnels ne sont pas toujours évidents comme le penseraient certains professeurs du secondaire. Initier les élèves de fin du collège à cette «théorie des racines évidentes des poly-nômes à coefficients rationnels» apparaîtrait très formateur et intellectuellement enrichissant.

On notera en particulier que, malgré sa simplicité, l'approche évoquée dans ce papier contribuerait à la formation des jeunes adolescents à la démarche scienti-fique par sa vertu de développer ainsi l'esprit d'analyse et de synthèse et l'esprit critique, esprit de créativité et de rigueur, ainsi que les qualités d'expression écrite ou orale par rapport à la clarté, à la présentation et à la rédaction mathématique. La mise en œuvre des résultats théoriques sur la résolution d’une équation polynomiale dans le corps des rationnels est sous-jacente à des prises d’initiative de l’élève, une autre faculté qui n’est pas simple à cultiver chez les jeunes apprenants du secondaire en plus de sa vertu d’aiguiser la mémoire, donc l’intelligence.

En vue de l'initiation à l'informatique scientifique, il serait également fructueux de demander aux jeunes apprenants de schématiser l'algorithme de recherche des racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers : ce qui les préparerait de façon précoce à la culture d'algorithmique ou à la gestion informatisée d'un système de productions à plusieurs éventualités prévisibles. A cette occasion, les « compétences » en arithmétique élémentaire de Z acquises en 5ième et 4ième sont également mobilisées et donc consolidées : divisibilité, diviseurs, pgcd, ppcm, primalité, décomposition en un produit de facteurs premiers, etc. De façon im-plicite, Il en est de même pour leur capacité à faire du calcul mental nécessité d'une réflexion personnelle et du raisonnement mental et spontané, à raisonner par analogie et par conditions nécessaires, à adopter une démarche scientifique devant une situation-problème relevant de la vie quotidienne.

Cette suggestion pédagogique, eu égard à la recherche des racines rationnelles en fractions irréductibles, contribuerait aussi à la prise de conscience des jeunes apprenants que le recours systématique à une machine à calculer ou à un tableur n'est pas toujours approprié : ils comprendraient alors que les machines utilisent de l' approximation. La précision en est donc limitée. Du coup, ceci pourrait les motiver à optimiser l'algorithme d'approximation intégré dans l'avenir !


Dans la recherche des conditions suffisantes parmi les nombres délivrés par l'ac-tion de la recherche des conditions nécessaires, il serait économique d'utiliser un tableur, à un changement de variable près pour se retrouver le cas d'un polynôme unitaire.

Comme suggestion, par soucis d'un objectif terminal d'intégration [8, 9] et de l'Education Pour Tous , nous suggèrerions de prendre le temps de faire travailler les élèves de la classe de troisième sur la «Résolution dans Z ou Q d'une équation polynomiale de degré supérieur ou égal à 2 à coefficients entiers ou rationnels» ou «Recherche des racines entières ou rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers ou rationnels». Ce qui permettrait d'assurer une progressivité psycholo-giquement et génétiquement congruente dans l'apprentissage de résolution des équations polynomiales : travailler déjà dans les ensembles discrets Z, puis Q au collège avant de fouiner dans les ensembles continus des nombres réels ou complexes au lycée.


Exercice:Trouverlesracinessrationnellesdespolynômessuivantsetendéduire leurs factorizationsrespectivesenunproduitdesplynômes irré-ductibles:

1)

€

p(x) = 3x + 2 2x - 29x - 30.

2)

€

q(x) = 3x - 6 2x + 11x - 6.

3)

€

r(x) = 4x - 6 3x - 23 2x + 132x - 140.

4)

€

t(x) = 412x - 11 3x + 31 2x + 4x + 12.

5)

€

s(x) = 12 4x + 37 3x - 123 2x - 28x + 60.

Solutionouindications

Les trois premiers polynômes ont leurs raciness rationnelles entières, leurs coefficients dominants étant égaux à 1. Alors que les deux derniers polynômes peuvent admettre des raciness rationnelles fractionnaires dont les dénominateurs sont des diviseurs de 12, et les numérateurs sont des diviseurs de 12 pour r(x), des diviseurs de 60 pour s(x).

Les raciness rationnelles cherchées sont respectivement :

1) -1, -6 et 5; 2) 1, 2 et 3. 2) 2 est une racine de r, en déduire les autres raciness rationnelles.

4) deux raciness fractionnaires : -3/4 et 2/3 ; deux raciness entières : -1 et 2.

5) deux raciness fractionnaires : -3/4 et 2/3 ; deux raciness entières : -5 et 2


XV. synthèse du moduleÀ la fin de ce module, l’apprenant devrait connaître les propriétés des entiers et leur divisibilité, les nombres premiers ainsi que leur distribution. Il pourra aussi mettre en application la divisibilité de l’algorithme d’Euclide qui forme la base pour ensuite aller vers les solutions des équations diophantiennes linéaires. En effet, l’algorithme d’Euclide résout les équations diophantiennes linéaires. Le triplet pythagoricien, étroitement lié au théorème de Fermat, est un aspect fonda-mental que tout apprenant devrait maîtriser. L’unité 1 de la théorie des nombres est expliquée à travers beaucoup d’exemples que l’apprenant peut suivre sans difficulté. Il est recommandé que l’apprenant essaie les évaluations formatives incluses afin d’évaluer le progrès de leur compréhension de la matière. Il devra aussi prendre le temps de vérifier le matériel de référence recommandé inclut sur le disque compact ainsi que les logiciels en libre accès et les sites Internet. De plus, il est très important que l’apprenant s’encourage à lire tout le contenu et essaie de répondre aux questions après chaque sujet.

L’unité 2 de ce module amène l’apprenant vers les résidus et leurs propriétés ainsi que vers la réciprocité quadratique. Le critère d’Euler et la notation du symbole de Legendre sont importants. L’apprenant devrait être en mesure de définir la norme et son application dans l’anneau factoriel de l’entier de Gauss. Il devrait aussi être capable de prouver les lemmes des entiers de Gauss. L’unité 2 comprend plusieurs activités d’apprentissage où l’apprenant est amené à comprendre la matière des nombreux sujets explorés afin d’évaluer sa connaissance à travers les évaluations formatives. S’il commet beaucoup d’erreurs, il serait bien de revoir la matière qui a été abordée avant de passer à autre chose. Les activités font parties intégrantes du module afin de rendre l’apprentissage plus facile. Les différentes tâches données lors de ces activités vous offrent la possibilité de démontrer votre haut niveau de compétences TIC. Les objectifs d’apprentissage sont tous décrits au début de ce module et devraient guider l’apprenant dans ses attentes envers celui-ci. La dernière partie de ce module aborde l’équation de Pell qui demande à l’apprenant d’utiliser les connaissances acquises avec les équations diophan-tiennes pour comprendre pourquoi elle constitue une équation à part des autres. L’évaluation sommative permettra de juger si l’apprenant maîtrise bien la matière du module. Il est recommandé de réviser avant de faire cette évaluation.


XVi. Évaluation sommativeÉvaluation globale (Répondez à trois questions de votre choix – 60%)

1. Utilisez l’algorithme d’Euclide pour calculer le PGCD de (i) m = 25 174, n = 42 722 (ii) m = 7472, n = 2464 (iii) m = 455, n = 1235

2. Prouvez par induction que :

(i) 13 + 23 + 33 + 43 + ..…+ n3 = 4

)1( 22 +nn

(ii) a + ar + ar2 +…+ arn = r

ra n

-

- +

1

)1( 1

, n > 0

3. a) Prouvez cette proposition d’annulation : Si le PGCD (c, n) = 1 et ac ≡ bc (mod n) alors a ≡ b (mod n)

b) Résolvez 17x ≡ 1 (mod 61)

4. Le tableau ci-dessous démontre des solutions fondamentales de l’équation de Pell

Value of q Value of x Value of y6 5 2

10 19 614 15 4

Utilisez ce tableau pour résoudre les équations de Pell suivantes : x2 – 6y2 = 1 x2 – 14y2 = 1

5. Résolvez x et y de l’équation diophantienne suivante : 2261x + 1275y = PGCD (2261, 1275)


XVii. références bibliographiques- Elementary number theory, by W.Edwin Clark, University of South Florida,

2003

- http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Wiles.html

- Notes on Algebraic Numbers, by Robin Chapman, 2002

- Algebra and number theory, by A.Baker, University of Glasgow, 2003

- http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html

- Prime factorization, by William Stein, Havard University, 2001

- Lecture notes, by William Stein, Havard University, 2001

- Elementary number theory, by Allan M.Kirch, Intext Educational Publishers, New York, 1974

- Elements of abstract & linear algebra, by E.H. Connell, Coral Gables, Florida, USA

- MIT Open Courseware, theory of numbers, spring 2003, Prof. Martin Olsson

- http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Fermat%27s_last_theorem.html

- http://www.bbc.co.uk/schools/websites/16/index.shtml

- http://en.wikipedia.org/wiki/Number_Theory

- http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_Nombres

- http://mathworld.wolfram.com/NumberTheory.html


XViii. dossiers scolairesVoici le nom du fichier EXCEL : Mathématiques Théorie des nombres Dossiers scolaires

XiX. auteur du moduleMonsieur Paul Cheqe (B.Ed(Sc), M.Ed)

Contact: [email protected]

L’auteur de ce module est un pédagogue chargé de former les enseignants à l’Université Amoud de Borama en Somalie.

Il a aussi occupé le même poste au Kenya, à la République de Seychelles et en Somalie. Il s’est impliqué au renforcement des mathématiques et des sciences au niveau secondaire et tertiaire sous le programme de l’Agence corporative internationale du Japon dans quinze pays africains.

Il est marié et père de trois enfants.

XX. structure des fichiersNom du module en fichier WORD : Mathematics Number Theory (WORD)

Nom de tous les autres types de fichiers (WORD, PDF, PPT, etc.) pour ce module:

1. Number Theory Students Record (EXCEL)

2. Marking Scheme for Summative Evaluation (WORD)

3. Number Theory Lecture Notes by Stein (PDF)

4. Elementary Number Theory Textbook by Clarke (PDF)

5. Number Theory Textbook by Stein (PDF)

6. MIT – Theory of Numbers Lecture Notes and Exams (PDF)

1

THÉORIE DE NOMBRES

Lectures Obligatoires

Source: Wikipedia.org

2

Table des matières Algorithme d'Euclide .................................................................................................................................. 5

Remarque préliminaire ......................................................................................................................... 6

Description de l'algorithme ................................................................................................................... 6

Exemple ............................................................................................................................................... 6

Pseudocode récursif ........................................................................................................................... 7

Remarque historique ............................................................................................................................. 7

Démonstration de sa finitude et de son exactitude .............................................................................. 7

Le théorème de Lamé ............................................................................................................................ 8

Algorithme étendu aux coefficients de Bézout .................................................................................... 8

Description .......................................................................................................................................... 8

Commentaires .................................................................................................................................... 8

Fractions continues ................................................................................................................................ 9

Plus grand commun diviseur ................................................................................................................... 10

Dénomination ....................................................................................................................................... 10

Notations ............................................................................................................................................... 10

Définitions ............................................................................................................................................. 11

Pour des entiers ................................................................................................................................ 11

Quelques précisions sur « plus grand » .......................................................................................... 11

Cas du zéro ........................................................................................................................................... 12

Exemple ................................................................................................................................................. 12

Calcul .................................................................................................................................................... 13

Propriétés .............................................................................................................................................. 13

Généralisations ..................................................................................................................................... 13

PGCD de fractions ........................................................................................................................... 13

Cas des réels ...................................................................................................................................... 14

Polynômes à coefficients réels ......................................................................................................... 15

Dans les anneaux commutatifs ........................................................................................................ 15

Définition par les idéaux .................................................................................................................. 16

Anneaux non-commutatifs .............................................................................................................. 16

Algorithme d'Euclide étendu ................................................................................................................... 17

Exemple introductif ............................................................................................................................. 17

3

L'algorithme ......................................................................................................................................... 18

Complexité de l'algorithme ................................................................................................................. 20

Généralisations ..................................................................................................................................... 20

Les entiers relatifs ............................................................................................................................ 20

Les anneaux euclidiens .................................................................................................................... 21

Nombre premier ........................................................................................................................................ 21

Éléments historiques ............................................................................................................................ 22

Structures algébriques, topologiques, et nombres premiers ............................................................ 23

Nombres premiers particuliers ........................................................................................................... 24

Nombres premiers de Mersenne ..................................................................................................... 24

Nombres premiers jumeaux ............................................................................................................ 25

Nombres premiers et nombres de Fermat ..................................................................................... 25

Algorithmique : calcul des nombres premiers et tests de primalité ................................................ 26

Crible d'Ératosthène et algorithme par essais de division ........................................................... 26

Autres algorithmes ........................................................................................................................... 27

Des formules sur les nombres premiers ............................................................................................. 28

Répartition des nombres premiers ..................................................................................................... 29

Infinité des nombres premiers ........................................................................................................ 29

Les avancées du XIXe siècle ............................................................................................................. 30

Théorème de Green-Tao .................................................................................................................. 31

Conjecture de Bateman-Horn ......................................................................................................... 32

Applications .......................................................................................................................................... 32

Cryptographie à clé publique .......................................................................................................... 32

Généralisations des nombres premiers .............................................................................................. 33

Questions ouvertes ............................................................................................................................... 33

Équation diophantienne ........................................................................................................................... 34

Arithmétique élémentaire ................................................................................................................... 35

Identité de Bézout ............................................................................................................................ 35

Théorème de Wilson ........................................................................................................................ 36

Triplet pythagoricien ....................................................................................................................... 36

Petit théorème de Fermat ................................................................................................................ 36

Autres techniques ............................................................................................................................. 38

4

Arithmétique modulaire ...................................................................................................................... 40

Groupe abélien fini .......................................................................................................................... 40

Anneau euclidien .............................................................................................................................. 41

Théorème de la progression arithmétique ..................................................................................... 42

Théorie algébrique des nombres ......................................................................................................... 44

Entier algébrique ............................................................................................................................. 44

Corps cyclotomique ......................................................................................................................... 45

Géométrie algébrique .......................................................................................................................... 47

Le dixième problème de Hilbert ..................................................................................................... 47

Recherche moderne .......................................................................................................................... 48

5

Algorithme d'Euclide

L'algorithme d'Euclide est un algorithme permettant de déterminer le plus grand commun

diviseur (P.G.C.D.) de deux entiers dont on ne connaît pas la factorisation. Il est déjà décrit dans

le livre VII des Éléments d'Euclide.

Dans la tradition grecque, en comprenant un nombre entier comme une longueur, un couple

d'entiers comme un rectangle, leur PGCD est la longueur du côté du plus grand carré permettant

de carreler entièrement ce rectangle. L'algorithme décompose ce rectangle en carrés, de plus en

plus petits, par divisions euclidiennes successives, de la longueur par la largeur, puis de la

largeur par le reste, jusqu'à un reste nul.

Dans le rectangle de dimensions L=21 par l=15 ci-dessous, par exemple, on peut glisser un carré

de côté 15 mais il reste un rectangle de côtés 15 et 6, dans lequel on peut glisser deux carrés de

côté 6 mais il reste un rectangle de côtés 6 et 3 que l'on peut carreler entièrement de carrés de

côté 3. Les carrés de côté 6 ou 15 peuvent aussi se carreler en carrés de côté 3. Le rectangle

entier peut se carreler en carrés de coté 3. Il n'existe pas de carré plus grand permettant un tel

carrelage.

Cet algorithme repose sur la structure d'anneau euclidien de l'anneau des entiers relatifs, plus

particulièrement sur la propriété de division euclidienne. Il se généralise donc à bien d'autres

anneaux, en particulier les anneaux de polynômes à coefficients dans un corps. L'algorithme se

généralise pour permettre le calcul des coefficients de Bezout.

L'algorithme est effectif à condition de disposer d'un algorithme effectif de division euclidienne.

La possibilité de disposer d'un tel algorithme rend de nombreux autres calculs effectifs,

notamment, en algèbre linéaire, le calcul de facteurs invariants.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithmique

http://fr.wikipedia.org/wiki/PGCD


http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_relatif

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_produit_de_facteurs_premiers

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide

http://fr.wikipedia.org/wiki/Euclide

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_euclidien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Division_euclidienne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne_ax%2Bby_%3D_c


http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_facteurs_invariants

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Euclide2115.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Euclide2115.svg

6

Remarque préliminaire []

Puisque l'algorithme a pour objet le calcul d'un PGCD, il est possible de se restreindre aux

entiers positifs, un PGCD de deux entiers relatifs étant égal au PGCD de leurs valeurs absolues.

Description de l'algorithme []

Soient deux entiers naturels a et b, dont on cherche le PGCD. Le cas où a ou b est nul ne

nécessite aucun algorithme ; on l'exclut. Une suite d'entiers (an)n est définie par récurrence de pas

2, plus précisément par divisions euclidiennes successives ; la suite est initialisée par a0 = a,a1 =

b, puis propagée par la règle de récurrence : tant que an + 1 est non nul, an + 2 est défini comme le

reste de la division euclidienne de an par an + 1.

On commence donc par calculer le reste de la division de a par b, qu'on note r ; puis on remplace

a par b, puis b par r, et on réapplique le procédé depuis le début.

On obtient ainsi une suite, qui vaut 0 à un certain rang ; le PGCD cherché est le dernier reste non

nul.

Exemple []

Calculons, par exemple, le PGCD de 1071 et de 1029 à l'aide de l'algorithme d'Euclide :

1071 = 1029 x 1 + 42

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entiers_naturels

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_r%C3%A9currence


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:PGCD.png

7

1029 = 42 x 24 + 21

42 = 21 x 2 + 0

Il faut prendre le dernier reste avant le zéro, donc PGCD(1071 ; 1029) = 21

Pseudocode récursif []

Fonction PGCD(a:nombre, b:nombre):nombre

Si b=0

| alors PGCD=a

Sinon

| r egal au reste de la division entière (modulo) de a par b

| PGCD=PGCD(b, r)

Ce qui pourrait donner en C:

int PGCD(int a, int b) {

return b ? a : PGCD(b, a%b);

}

Remarque historique []

Au début, Euclide a formulé le problème de façon géométrique : comment trouver une « unité de

mesure » commune pour deux longueurs de segments. Il procède par soustractions répétées de la

longueur du plus court segment sur la longueur du plus long. Cela correspond à une adaptation

de la méthode naïve de calcul de la division euclidienne, telle que décrite dans l'article consacré.

Démonstration de sa finitude et de son exactitude []

La définition même de la suite (an) par division euclidienne montre que, pour tout n tel que an + 1

est non nul, il existe un entier qn + 2 tel que :

avec de plus . La suite d'entiers naturels (an) est donc strictement

décroissante, et donc vaut 0 à un certain rang. L'existence d'un dernier reste non nul est ainsi

établie.

Soit N + 1 l'indice de ce dernier reste non nul. Il faut montrer que aN + 1 est bien le PGCD

cherché. La relation précédente s'écrit donc ici , qui montre que aN + 1

divise aN. Écrivant ensuite , on en déduit que aN + 1 divise

aussi aN − 1 ; puis, de même, et par récurrence, que aN + 1 divise tous les termes de la suite an ; en

particulier les premiers termes a et b. aN + 1 est donc bien un diviseur commun de a et b.

Réciproquement, tout diviseur commun de a et b divisera aussi , et à

nouveau par récurrence, divisera tous les termes de la suite (an) ; donc en particulier aN + 1.


http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie


http://fr.wikipedia.org/wiki/Divisibilit%C3%A9

8

aN + 1 est donc un diviseur commun de a et b que divise tout autre diviseur commun ; c'est bien le

PGCD.

Le théorème de Lamé []

Le théorème de Lamé stipule que le nombre d'étape de l'algorithme d'Euclide exécuté sur deux

entiers est borné (supérieurement) par cinq fois le nombre de chiffres nécessaire à écrire (en base

10) le plus petit de ces deux entiers.

On peut en fait être légèrement plus précis : le nombre d'étapes de l'algorithme d'Euclide exécuté

sur deux entiers a et b, avec , est borné par la partie entière de , où ln

désigne le logarithme naturel et est le nombre d'or.

Comme le nombre de chiffres de l'écriture de b en base 10 est ln(b) / ln(10) et que la quantité

est inférieure à 5 (elle vaut environ 4,78497), on retrouve bien le théorème de

Lamé.

De plus, cette borne supérieure est la meilleure possible, puisqu'elle est atteinte quand a et b sont

deux nombres de Fibonacci consécutifs.

Algorithme étendu aux coefficients de Bézout []

Article détaillé : Algorithme d'Euclide étendu.

L'identité de Bézout assure l'existence de deux entiers u et v tels que : au + bv = aN + 1 =

PGCD(a,b). L'algorithme d'Euclide convenablement adapté permet de calculer de tels

coefficients.

Description []

Pour cela, on introduit deux suites (un) et (vn) telles que pour tout n, on ait la relation : aun + bvn

= an. Si de telles suites existent, les termes uN + 1,vN + 1 constitueront une paire de coefficients de

Bezout pour a et b.

On peut choisir u0 = 1,v0 = 0 puis u1 = 0,v1 = 1, puis la relation de récurrence de pas 2 entre les an

montre :

an + 2 = an − qn + 2an + 1 = aun + bvn − qn + 2(aun + 1 + bvn + 1) = a(un − qn + 2un + 1) + b(vn − qn + 2vn + 1)

On peut ainsi définir (un) par la relation de récurrence de pas 2 : un + 2 = un − qn + 2un + 1 et

l'initialisation précédente, et (vn) par vn + 2 = vn − qn + 2vn + 1 et l'initialisation précédente ; et on

obtient bien la relation annoncée pour tout n.

Commentaires []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Lam%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_enti%C3%A8re

http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_naturel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%27or

http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_%28arithm%C3%A9tique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Fibonacci

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_d%27Euclide_%C3%A9tendu

http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_de_B%C3%A9zout

9

L'algorithme étendu s'implémente comme l'algorithme classique ; il suffit de rajouter des

variables correspondant aux coefficients u et v à calculer, et de faire une multiplication et une

soustraction supplémentaires, pour calculer chacun des deux nouveaux coefficients, à chaque

étape.

Fractions continues []

Article détaillé : fraction continue.

Les quotients successifs qui apparaissent quand l'algorithme d'Euclide est appliqué aux données

a et b, sont précisément les nombres qui apparaissent dans la représentation sous forme de

fraction continue de a/b. Considérons l'exemple de a = 1071 et b = 1029 utilisé ci-dessus.

Voici le calcul avec les quotients soulignés (successivement 1, 24 et 2):

1071 = 1029 × 1 + 42

1029 = 42 × 24 + 21

42 = 21 × 2 + 0

De cela on tire :

.

Dans l'égalité précédente, le second membre s'appelle la fraction continue ou continuée du

quotient 1071/1029.

On peut en déduire les 3 approximations suivantes de la fraction, classées par ordre de précision

croissante :

Cette méthode peut également être utilisée pour des nombres réels a et b ; comme dans le cas de

deux entiers, la suite de quotients calculés représente la « décomposition en fraction continue »

de a/b et fournit une suite d'approximations successives, de qualité croissante, du quotient a/b.

Dans le cas où ce quotient est irrationnel, l'algorithme d'Euclide ne se termine pas et la suite des

approximations obtenues est donc elle-même infinie !

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_r%C3%A9el

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_irrationnel

10

nota : La décomposition en fraction continuée (et la série d'approximations successives

correspondante) peut être appliquée, non seulement à un nombre réel quelconque, mais

également à une fonction : cette démarche consiste à rechercher les approximants de Padé, dont

on peut définir le principe comme suit : Au voisinage d'un point, le développement en série de

Taylor d'une fonction donnée fournit un polynôme qui réalise une approximation de la fonction.

Mais on peut également chercher une fraction rationnelle qui satisfasse les mêmes conditions

que la partie polynômiale du développement de Taylor : l'égalité des dérivées de la fonction et

de son approximation, jusqu'à un certain ordre donné.

La comparaison de ces deux types de développements permet de très intéressants

développements (voir par exemple la démonstration de l'irrationalité de ζ(3)).

Plus grand commun diviseur

En arithmétique élémentaire, le plus grand commun diviseur, abrégé en général PGCD, de

deux nombres entiers naturels est le plus grand entier naturel qui divise simultanément ces deux

entiers.

Par exemple le PGCD de 42 et 56 est 14. En effet, , et 3 et 4 sont premiers entre eux (il

n'y a aucun naturel à part 1 qui soit à la fois diviseur de 3 et de 4).

Pour une explication plus détaillée suivant ce sens, voir :

Article détaillé : Plus grand commun diviseur (mathématiques élémentaires).

On peut étendre cette notion, tout d'abord aux entiers relatifs, 0 compris, mais aussi aux nombres

rationnels, voire aux réels. On pose même des définitions s'appliquant pour n'importe quel

anneau, en distinguant les propriétés valables pour tous les anneaux et celles valables pour des

anneaux de types particuliers.

De plus, on peut également considérer le PGCD d'un nombre arbitraire d'éléments, et dans

certains cas d'une infinité.

Dénomination []

L'élément dont nous parlons est le plus grand diviseur commun de a et b. On pourrait s'attendre à

le voir appelé le plus grand diviseur commun, abrégé "PGDC" et non le plus grand commun

diviseur. Mais le nom est assez ancien, et en ancien français il était plus normal de dire "commun

diviseur" que "diviseur commun" et l'on retrouve plus souvent l'appellation PGCD.

Notations []

Le PGCD de deux entiers a et b est souvent noté : PGCD(a,b) ou pgcd(a,b). De même, le pgcd

d'une séquence d'entiers ai sera notée pgcd(ai) ou PGCD(ai).

http://fr.wikipedia.org/wiki/Approximant_de_Pad%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique_%C3%A9l%C3%A9mentaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_naturel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Divise

http://fr.wikipedia.org/wiki/Plus_grand_commun_diviseur_%28math%C3%A9matiques_%C3%A9l%C3%A9mentaires%29


http://fr.wikipedia.org/wiki/Infinit%C3%A9

11

Certains auteurs notent le pgcd de deux entiers a et b sous la forme . Cette notation fait

référence aux ensembles ordonnés : tout diviseur commun à a et b divise leur pgcd (voir ci-

dessous).

Les anglophones le nomment greatest common divisor, noté : gcd(a,b).

Définitions []

Pour des entiers []

Étant donnée une séquence finie ou infinie ai d'entiers qui ne sont pas tous nuls, l'ensemble des

diviseurs communs des termes de la séquence est une partie finie et non vide de N

Finie, car un diviseur d'un entier non nul a est borné par |a| ;

Non vide car contient 1, entier qui divise tous les entiers.

Cet ensemble admet donc un élément maximal d, appelé le pgcd de la séquence ai considérée.

Par exemple, les diviseurs communs de 36, 48 et 60 sont 1, 3, 4 et 12. Le pgcd de 36, 48 et 60 est

donc 12.

Rappelons qu'un entier n s'écrit de manière unique à l'ordre près des facteurs et au signe près

comme un produit fini de nombres premiers. Le nombre de fois que l'entier premier p apparait

dans cette écriture s'appelle la valuation p-adique de n, notée vp(n). Un entier m divise un entier n

si et seulement si pour tout p .

De fait, le pgcd d'une séquence ai est donnée par :

où le produit portent sur l'ensemble des nombres premiers (presque tous les termes du produit,

hormis une quantité finie, sont égaux à 1).

Tout diviseur commun à une séquence d'entiers relatifs, non tous nuls, divise leur pgcd. Ce

constat résulte immédiatement de l'écriture ci-dessus en produit de nombres premiers. Le pgcd

apparait de fait comme l'élément maximal de l'ensemble des diviseurs communs, maximal au

sens de la division (avec son opposé : certains préfèrent même préciser "le PGCD positif",

cependant quand on parle des entiers, si on demande le PGCD, il est évident qu'on parle du

PGCD positif).

Quelques précisions sur « plus grand » []

Usuellement, pour des nombres entiers, on considère uniquement des PGCD positifs et la notion

de « plus grand » correspond bien à la notion d'ordre usuelle pour les nombres. Pour d'autres cas,

12

le « plus grand » de PGCD ne correspond pas forcément à la relation d'ordre habituelle mais au

fait que tout diviseur commun de a et de b divise PGCD(a,b). Le ou les PGCD de a et de b sont

donc les plus grands éléments de l'ensemble des diviseurs de a et de b au sens de la relation de

divisibilité, et donc -3 et 3 sont tous deux des PGCD de 6 et de 9. Cette façon de voir les choses

est utile pour définir le PGCD, pour des polynômes par exemple, ou pour le PGCD de nombres

rationnels. Dans le cas des polynômes, le PGCD est le diviseur de plus haut degré. Pour le cas de

nombres entiers, on préfère en général prendre le PGCD positif, ce qui permet de faire en sorte

qu'il soit bien le plus grand au sens normal du terme. Et même, on ne précise pas qu'on souhaite

le PGCD positif quand on désigne le PGCD comme unique.

Évidemment, celui des deux pgcd qui est positif est également le plus grand diviseur au sens de

la relation d'ordre « supérieur ou inférieur », mais ce n'est vrai que pour le cas des nombres (le

PGCD s'étend à d'autres objets mathématiques). Et encore, le cas de PGCD(0,0), que nous

examinerons plus loin, contredit cette assertion.

Rappelons que le D de PGCD signifie toujours diviseur et non dénominateur. Le plus petit

commun dénominateur est en fait le PPCM employé pour la réduction de fractions. L'emploi de

cette expression n'est pas une erreur, c'est un cas particulier d'emploi du PPCM. L'expression

"Plus grand commun dénominateur" est en revanche erronée, sauf si l'on considère

"dénominateur" comme synonyme de "diviseur" (ce qu'on fait parfois à cause de sa position en

bas d'une fraction, le nombre rationnel n/m étant égal à n divisé par m, et m est le dénominateur).

Cas du zéro []

Certaines définitions du PGCD autorisent le calcul du PGCD d'un entier quelconque avec 0. Pour

tout n entier, pgcd(0,n) = n.

Cette propriété reste vraie pour n=0.

Donc pgcd(0,0)=0 (c'est la réponse donnée par les calculatrices : elle ne peut se justifier par la

définition du PGCD du premier paragraphe).

Ce n'est pas une simple convention, mais la conséquence de la définition formelle du PGCD.

En effet, ce résultat devient évident quand on adopte la #Définition par les idéaux (a) + (b) =

(pgcd(a,b)) ("(a)" signifiant "idéal engendré par l'élément a") comme définition du PGCD, ce qui

se fait sans problème si on travaille sur les nombres entiers, puisque leur ensemble est un anneau

principal.

Il s'agit d'ailleurs du seul cas pour lequel il n'y a pas à choisir entre un PGCD positif et un

négatif.

Exemple []

On cherche le PGCD de 15 et 12.


http://fr.wikipedia.org/wiki/PPCM

http://fr.wikipedia.org/wiki/PGCD#D.C3.A9finition_par_les_id.C3.A9aux

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_principal


13

Les diviseurs positifs de 15 sont : 1, 3, 5, 15.

Les diviseurs positifs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12.

On obtient donc d12,15 = {1,3}

On en déduit pgcd(12, 15) = 3.

Pour trouver le PGCD de deux nombres plus grands, on peut utiliser l'algorithme d'Euclide

Calcul []

On peut calculer le PGCD de deux nombres en écrivant leur décomposition en produit de

facteurs premiers et en considérant le produit de certains facteurs premiers communs. Dans la

pratique, on utilise rarement cette méthode du fait de sa lenteur, excepté dans les cas évidents

(par exemple pour 4 et 6, on trouve immédiatement 4=2*2 et 6=2*3, d'où PGCD(4,6)=2).

Une méthode beaucoup plus efficace est l'algorithme d'Euclide.

Propriétés []

Soit

, on peut étendre

à un nombre arbitraire d'éléments

Géométriquement, pgcd(a,b) est le nombre de points de coordonnées entières sur le

segment d'extrémités des points (0,0) et (a,b), sans compter (0,0).

Généralisations []

PGCD de fractions []

Dans ce paragraphe, on utilise la définition suivante: d est un pgcd de a et b si d divise a et b et d

est divisible par tout élément divisant a et b. (paragraphe 2)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_d%27Euclide


14

Premier point de vue: c'est le plus évident: on se place dans le corps des rationnels. Alors pour

p1/q1 et q2/p2 deux rationnels non tous deux nuls, tout rationnel non nul est un PGCD de p1/q1

et q2/p2 (Q étant un corps, tout rationnel autre que 0 divise 1, et 1 divise tout rationnel). Par

convention, on choisit 1 comme PGCD. Dans le cas où les deux fractions sont nulles, le PGCD

vaut encore 0.

Note: on montre que A est un corps si et seulement si A est un anneau unitaire dont les seuls

idéaux sont {0} et A. On comprend facilement, avec la définition du paragraphe 2.1, que deux

éléments non tous deux nuls de A admettent n'importe quel élément non nul de A comme PGCD,

et on choisit 1 (le neutre de la seconde loi) par convention. La notion de PGCD n'a donc pas

beaucoup d'intérêt dans un corps!

Deuxième point de vue: il consiste à considèrer qu'une fraction p/q en divise une autre p'/q' non

pas s'il existe une fraction a/b telle que p/q*a/b=p'/q' (toujours vrai si p ne vaut pas 0: prendre

a=q*p' et b=p*q') mais seulement s'il existe un entier c tel que p/q*c=p'/q'.

De façon analogue au paragraphe sur les idéaux, un pgcd de p1/q1 et q2/p2 est une fraction p/q

telle que . Mais attention, les objets manipulés ici ne

sont pas des idéaux, ni des pseudo sous-anneaux de Q, seulement des sous-groupes.

Finalement, on trouve p=+/- pgcd(p1,p2) et q=ppcm(q1,q2).

De même, on a ppcm(p1/q1,p2/q2)= +/- ppcm(p1,p2)/pgcd(q1,q2)

Le PGCD obtenu suivant le deuxième point de vue est également un PGCD possible quand on se

place sur le corps Q. Les calculatrices et les logiciels de calcul choisissent l'un ou l'autre suivant

le choix des programmeurs (par exemple Maple adopte le premier point de vue, la Casio Graph

100+ et la TI-92 le second).

Un inconvénient du second point de vue est que le PGCD d'une famille infinie de rationnels

n'existe pas toujours. Par exemple la famille des fractions 1/n, n allant de 1 à l'infini parmi les

entiers, n'admet pas de PGCD.

Cas des réels []

On peut encore étendre les définitions précédentes avec des nombres réels: le premier point de

vue conduit à un PGCD de 1 pour tout couple de réels non tous deux nuls.

Le second point de vue dit que pour deux réels quelconques a et b, s'il existe un réel c tel que

a=u*c et b=v*c avec u et v rationnels, on choisit PGCD(a,b)=|c|*PGCD(u,v), suivant la

définition des PGCD de rationnels vue ci-dessus (2e point de vue).

Pour deux réels a et b tels que a/b soit irrationnel (si b=0 on est dans la situation précédente) on

est obligé de revenir au premier point de vue d'où PGCD(Pi, )=1; à noter que le PPCM le

http://fr.wikipedia.org/wiki/Maple

http://fr.wikipedia.org/wiki/Casio_Graph_100%2B

http://fr.wikipedia.org/wiki/Casio_Graph_100%2B

http://fr.wikipedia.org/wiki/TI-92

15

même problème, mais il est déterminé par PGCD(a,b)*PPCM(a,b)=|a*b|. (PPCM(Pi, )=Pi*

)

Chaque calculateur se plaçant dans la continuité de son comportement concernant les rationnels,

Maple répond suivant le premier point de vue, la Casio Graph 100+ selon le second ; la Ti-92 n'a

pas de réponse.

Polynômes à coefficients réels []

Le PGCD dans l'anneau vérifie la définition donnée plus haut. Mais cette fois il y a une

infinité de PGCD possibles pour 2 polynômes: tout PGCD des polynômes A et B multiplié par

un réel non nul est aussi un PGCD de A et B. Pour définir un PGCD unique il y a deux

conventions possibles: ou bien on pose par convention que le PGCD doit être un polynôme

unitaire, ou bien on choisit le polynôme dont le coefficient dominant est le PGCD des

coefficients dominants de A et B, en employant la définition du paragraphe précédent pour les

PGCD de réels.

À titre d'exemple, Maple choisit la première option quand les polynômes sont à coefficients

entiers, la seconde sinon, tandis que les calculatrices Casio optent toujours pour la seconde

convention.

Dans les anneaux commutatifs []

Par extension, le plus grand commun diviseur peut être défini plus généralement pour les

éléments d'un anneau commutatif arbitraire, pas forcément unitaire (certains diraient: pseudo-

anneau). Le plus grand commun diviseur d'une famille ai d'éléments de A non tous nuls est le

plus grand diviseur commun aux ai au sens de la division.

L'existence d'un tel élément (tout comme du PPCM) est certaine dans un anneau factoriel, pas

toujours dans d'autres anneaux.

Par exemple, dans l'anneau , 4 et admettent 2 et comme diviseurs,

mais aucun élément divisible simultanément par 2 et ne les divise.

Le PGCD de a et b n'est pas toujours unique, mais si A est intègre alors deux quelconques PGCD

de a et b sont des éléments associés.

Dans le pseudo-anneau 2 * Z / 20Z, [8] et [12] admettent comme pgcd possibles [4], [8], [12],

[16] ([2]*[4]=[8], [4]*[8]=[32]=[12], [8]*[12]=[96]=[16], [4]*[16]=[64]=[4]), qui ne sont pas

associés.

Dans un anneau principal, il existe c et d éléments de A (non uniques) tels que ac + bd =

pgcd(a,b) (théorème de Bachet-Bézout)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ti-92

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_commutatif

http://fr.wikipedia.org/wiki/PPCM

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_factoriel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_int%C3%A8gre



http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Bachet-B%C3%A9zout

16

Si A est un anneau euclidien alors une forme de l'algorithme d'Euclide peut être utilisée pour

calculer le PGCD.

L'unicité peut dans certains cas être rétablie en posant une contrainte supplémentaire. Par

exemple dans l'anneau des polynômes à coefficients complexes, le PGCD est unique si on exige

qu'il soit un polynôme unitaire.

D'ailleurs dans le cas des nombres entiers, l'unicité du PGCD est obtenue avec la convention "le

PGCD est un nombre positif". Sans cette convention, la définition ci-dessus donne deux PGCD

distincts, opposés.

Tout ce qui précède se généralise à un nombre arbitraire ou même infini d'éléments, sauf

l'algorithme d'Euclide.

Définition par les idéaux []

La définition de ce paragraphe est un peu plus générale que celle du paragraphe précédent, et

permet de définir des PGCD dans des cas où ils ne pourraient l'être suivant la définition

précédente.

Dans l'anneau commutatif A, on note (x) l'idéal principal engendré par l'élément x, ie

l'intersection de tous les idéaux de A contenant x, (l'ensemble des éléments xy, y décrivant A si

A est unitaire).

Pour a et b éléments de A, (a)+(b) est également un idéal.

Alors d est un pgcd de a et b ssi (d) est le plus petit idéal engendré par un seul élément et incluant

(a)+(b), ie (a)+(b) ⊂(d) et pour tout x ⊂ A, (a)+(b) ⊂ (x) (ce qui équivaut à "x est un diviseur de

a et b" si A est unitaire) ⇒ (d) ⊂ (x) (ce qui équivaut à "x est un diviseur de d" si A est unitaire).

Dans le pseudo-anneau (anneau non unitaire) 2Z, 8 et 12 ont pour PGCD possibles 4 et -

4… En effet, (8)+(12) ⊂ (4) = (-4) = 4Z, et pourtant il n'existe pas dans 2Z d'élément x tel

que 4*x=12.

Dans un anneau principal, ce qui précède équivaut à (a)+(b) = (d)

Comme plus haut, il n'y a pas unicité du pgcd.

Ici encore, on peut étendre à un nombre arbitraire voire infini d'éléments.

Anneaux non-commutatifs []

Dans un anneau non-commutatif, un élément peut admettre des "diviseurs à droite" et des

"diviseurs à gauche". On peut dans certain cas définir un PGCD à droite et/ou un PGCD à

gauche. Mais l'existence de l'un n'implique pas forcément celle de l'autre, et l'existence commune

n'implique pas forcément l'égalité.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_formel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Id%C3%A9al

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quivalence_logique


17

Demander à un calculateur électronique le PGCD de deux matrices n'est pas forcément interprété

au sens de l'algèbre linéaire. Par exemple une TI-92 interrogée sur le PGCD de deux matrices de

même taille répond en donnant la matrice composée des PGCD des éléments de même position

des deux matrices.

Algorithme d'Euclide étendu

L'algorithme d'Euclide étendu est une variante de l'algorithme d'Euclide qui permet, à partir de

deux entiers a et b, de calculer non seulement leur plus grand commun diviseur (PGCD), mais

aussi un de leurs couples de coefficients de Bézout (deux entiers u et v tels que au + bv =

PGCD(a, b)). Quand a et b sont premiers entre eux, u est alors l'inverse pour la multiplication de

a modulo b, ce qui est un cas particulièrement utile. L'algorithme d'Euclide étendu fournit

également une méthode efficace non seulement pour déteminer quand une équation

diophantienne ax+by = c possède une solution, ce que permet déjà l'algorithme d'Euclide simple,

mais également pour en calculer dans ce cas une solution particulière, dont on déduit facilement

la solution générale.

Comme l'algorithme d'Euclide, l'algorithme étendu se généralise aux anneaux euclidiens, tels

celui des polynômes à une variable sur un corps commutatif. De même que pour les entiers, il

permet alors de calculer l'inverse d'un polynôme modulo un polynôme avec lequel il est premier,

et donc des calculs d'inverse dans les anneaux ou corps construits par quotient sur l'anneau des

polynômes : corps de rupture, corps finis …

Exemple introductif []

Considérons par exemple le calcul du PGCD de 120 et 23 avec l'algorithme d'Euclide :

120 ÷ 23 = 5 reste 5

23 ÷ 5 = 4 reste 3

5 ÷ 3 = 1 reste 2

3 ÷ 2 = 1 reste 1

2 ÷ 1 = 2 reste 0

Dans ce cas, le reste obtenu à l'avant dernière ligne donne le PGCD égal à 1 ; c'est-à-dire que 120

et 23 sont premiers entre eux. Maintenant présentons autrement les divisions précédentes :

Reste = Dividende - Quotient × Diviseur

5 = 120 - 5 × 23

3 = 23 - 4 × 5

2 = 5 - 1 × 3

1 = 3 - 1 × 2

0 = 2 - 2 × 1


http://fr.wikipedia.org/wiki/Plus_grand_commun_diviseur


http://fr.wikipedia.org/wiki/Premiers_entre_eux

http://fr.wikipedia.org/wiki/Modulo




http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_de_rupture

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_fini

18

Observons que 120 et 23 apparaissent sur les deux premières lignes. D'autre part, la valeur la

plus à droite dans chaque ligne (à partir de la 2e ligne du tableau) est le reste de la ligne

précédente, et le dividende est — dans chaque égalité à partir de la 3e ligne — le reste obtenu

deux lignes plus haut. Nous pouvons ainsi calculer progressivement chaque reste successif

comme combinaison linéaire des deux valeurs initiales 120 et 23.

Cependant cette méthode n'est pas la plus efficace. On écrit d'abord ces calculs de façon à faire

apparaître un algorithme plus direct :

r

= u × a + v × b

120

= 1 × 120 - 0 × 23

23

= 0 × 120 + 1 × 23

5 = 120 - 5 × 23

= 1 × 120 - 5 × 23

3 = 23 - 4 × 5 = 1×23 - 4 × (1×120 - 5×23) = -4 × 120 + 21 × 23

2 = 5 - 1 × 3 = (1×120 - 5×23) - 1 × (-4×120 + 21×23) = 5 × 120 - 26 × 23

1 = 3 - 1 × 2 = (-4×120 + 21×23) - 1 × (5×120 - 26×23) = -9 × 120 + 47 × 23

Remarquons que la dernière ligne donne 1 = -9×120 + 47×23, et nous fournit exactement ce que

nous voulons : u = -9 et v = 47. Ceci signifie que -9 est l'inverse pour la multiplication de 120

modulo 23, parce que 1 = -9 × 120 (mod 23). De même 47 est l'inverse, pour la multiplication

modulo 120, de 23.

On a en bleu les calculs successifs qui conduisent au pgcd par reste de la division des deux

nombres précédents (algorithme d'Euclide ordinaire). On a noté en jaune les quotients

correspondants. Les deux colonnes vertes donnent les calculs successifs qui aboutissent aux

coefficients de Bezout (u et v). On peut vérifier que ces coefficients se calculent à partir des deux

coefficients les précédant dans la même colonne, à l'aide des quotients de la colonne jaune : les

formules sont précisées dans le tableau du paragraphe suivant.

L'algorithme []

On présente, sous forme de suite, le calcul du PGCD et des coefficients de Bezout pour deux

entiers naturels a et b. Le quotient (entier !) de x par y est noté x ÷ y. Pour a=120 et b=23, on

vérifiera que le calcul conduit aux trois colonnes r, u et v de l'exemple.

r u v

r0 = a u0 = 1 v0 = 0

r1 = b u1 = 0 v1 = 1

… … …

ri-1 ui-1 vi-1

ri ui vi

ri-1 - (ri-1÷ri)ri ui-1 - (ri-1÷ri)ui vi-1 - (ri-1÷ri)vi

19

… … …

rn= pgcd(a, b) un = u vn = v

0 un+1 vn+1

On obtient donc une suite (ri, ui, vi), récurrente d'ordre 2, nécessairement finie car la suite (rn) est

strictement décroissante au plus tard à partir du second rang, et parce que l'on ne peut diviser par

0. On a posé n+1 le premier indice tel que rn+1=0 qui est donc l'indice maximal d'un élément de

la suite. On peut justifier cette construction, plus précisément justifier que l'avant dernier terme

de la suite, soit (rn, un, vn) fournit bien le pgcd de a et b et deux coefficients de Bezout u et v

vérifiant pgcd(a, b)= ua + bv. En effet, il est immédiat, par récurrence à partir des deux termes

précédents, qu'à chaque étape ri= aui + bvi (voir le tableau). On en déduit que tout diviseur de a

et b divise les ri, combinaisons linéaires de a et b, en particulier rn. Enfin on remarque que si un

entier divise ri+1 et ri, il divise ri-1 (voir le tableau) ; comme rn divise bien rn+1 = 0 et rn, on en

déduit par récurrence qu'il divise tous les ri, en particulier r0 = a et r1 = b, c'est donc bien le pgcd

de a et b.

Au cours de la démonstration, on a jamais eu besoin de supposer le théorème de Bezout, et de

fait, celle-ci fournit également une démonstration de ce théorème pour deux entiers naturels et on

le déduit immédiatement pour deux entiers relatifs.

La définition par récurrence de la suite (ri, ui, vi) fournit directement un algorithme très simple

pour calculer les coefficients de Bezout. L'algorithme, va calculer à chaque étape deux triplets

consécutifs de la suite (deux lignes consécutives du tableau ci-dessus). Par exemple on obtient le

pgcd et les deux coefficients de Bezout par la définition récursive suivante :

eucl(r, u, v, 0, u', v') = (r, u, v)

eucl(r, u, v, r', u', v') = eucl(r', u', v', r - (r÷r')*r', u - (r÷r')*u', v

- (r÷r')*v') pour r' ≠ 0

On a alors eucl(a, 1, 0, b, 0, 1) = (pgcd(a, b), u, v) avec pgcd(a, b)= a*u + b*v.

De façon à peu près équivalente, on a l'algorithme impératif suivant, qui utilise une boucle while.

Entrée : a, b entiers (naturels)

Sortie : r entier (naturel) et u, v entiers relatifs tels que r = pgcd(a, b)

et r = a*u+b*v

Initialisation : r := a, r' := b, u := 1, v := 0, u' := 0, v' := 1

q, rs, us, vs quotient et variables de stockage

intermédiaires

les égalités r = a*u+b*v et r' = a*u'+b*v' sont des invariants de boucle.

tant que (r' ≠ 0) faire

q := r÷r'

rs := r, us := u, vs := v

r := r', u := u', v := v'

r' := rs -q *r', u' = us - q*u', v' = vs -q*v'

fait


http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_r%C3%A9cursif

20

renvoyer (r, u, v)

Les calculs de ui et vi dépendent tous deux de celui des ri, mais sont indépendants entre eux. On

peut donc simplifier cet algorithme en ne calculant que (ri, ui). Cela suffit si on cherche l'inverse

de a modulo b (cas où a et b sont premiers entre eux). On peut de toute façon calculer ensuite

directement le second coefficient à partir du premier.

Complexité de l'algorithme []

L'algorithme d'Euclide étendu a la même structure que l'algorithme d'Euclide : le nombre

d'itérations est le même, seul change le nombre d'opérations à chaque itération.

Pour évaluer le nombre de pas d'itérations, c'est-à-dire l'entier noté n + 1 ci-dessus, on suppose

tout d'abord que a ≥ b, pour que la suite (ri) soit décroissante dès le début. On remarque alors que

le quotient est, par construction, toujours supérieur ou égal à 1. En prenant la suite (ri) dans

l'ordre inverse, soit (rn + 1 - i), et en remplaçant à chaque étape le quotient par 1, on reconnait la

suite de Fibonacci, à la différence que si le premier terme, rn + 1 - 0, est bien 0, le second, rn + 1 - 1,

est le PGCD de a et b. En notant d = pgcd(a, b), et (fi) la suite de Fibonacci, on obtient donc :

rn + 1 - i ≥ d.fi

et donc (théorème de Lamé) :

r1 = b ≥ d.fn où le nombre d'itérations de l'algorithme est n+1.

Ce nombre est d'ailleurs effectivement atteint pour a et b deux nombres consécutifs de la suite de

Fibonacci, ou multiples de ceux-ci : la suite de Fibonacci étant croissante le quotient est bien 1 à

chaque étape..

Comme fn ~ [(1+√5)/2]n (voir l'article sur la suite de Fibonacci), le nombre d'itérations est donc

en log b, à une constante multiplicative près.

Il n'est guère réaliste, sauf à ne manipuler que de petits nombres, de considérer que le coût des

opérations effectuées à chaque itération, division, multiplication et soustraction, est constant. Si

l'on suppose que celui-ci est linéaire en la taille de l'entrée (en binaire), on obtient une

complexité en O(log²(sup(a, b)), c'est-à-dire, à une constante multiplicative près, celle de

l'algorithme d'Euclide ordinaire.

Généralisations []

Les entiers relatifs []

On pourrait facilement ramener le calcul du pgcd et des coefficients de Bezout de deux entiers

relatifs, à celui de deux entiers naturels. L'algorithme indiqué s'applique cependant sans aucune

modification aux entiers relatifs. Il suffit de remarquer que, dans la division euclidienne, c'est

http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci





21

alors la valeur absolue du reste qui est plus petite que la valeur absolue du diviseur, ce qui assure

la terminaison de l'algorithme. En effet, si on définit de la même façon à partir de deux entiers

relatifs a et b la suite (ri, ui, vi), c'est cette fois-ci la suite des valeurs absolues des ri qui est

strictement décroissante à partir du second rang. On montre de façon identique que rn, l'avant

dernier terme de la suite, est un diviseur commun de a et de b, multiple de tout diviseur commun

de a et de b, c'est-à-dire un plus grand (au sens de la divisibilité) diviseur commun de a et b, et

donc le pgcd de a et b ou son opposé. Pour les mêmes raisons les nombres un, vn satisfont

l'identité de Bezout.

Les anneaux euclidiens []

L'anneau des entiers relatifs est un anneau euclidien, et ce sont les seules propriétés utiles pour

l'algorithme d'Euclide étendu. Celui-ci se généralise donc directement aux anneaux euclidiens, et

se justifie de la même façon. Seules changent les opérations de base, et la division. Comme pour

les entiers relatifs, il n'y a pas forcément unicité, et l'algorithme détermine un plus grand diviseur

commun, les autres s'en déduisent par multiplication par une unité (1 et -1. pour les entiers

relatifs). De même que pour les entiers, il peut être légèrement modifié quand le pgcd est défini

de façon unique grâce à une condition supplémentaire, de façon à ce que le résultat vérifie celle-

ci.

Nombre premier

7 est un nombre premier car il admet exactement deux diviseurs positifs.

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers

et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur

entier positif. Par opposition, un nombre non nul produit de deux nombres entiers différents de 1

est dit composé. Par exemple 12 = 2 × 6 est composé, tout comme 21 = 3 × 7 ou 7 × 3, mais 11



http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_des_unit%C3%A9s

http://fr.wikipedia.org/wiki/7_%28nombre%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_naturel


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_compos%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Nombrepremier4.png

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Nombrepremier4.png

22

est premier car 1 et 11 sont les seuls diviseurs de 11. Les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni

composés. Les nombres premiers inférieurs à 100 sont :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

De telles listes peuvent être obtenues grâce à diverses méthodes de calcul. On sait depuis

l'Antiquité qu'il existe une infinité de nombres premiers. Découvert en 2008, le plus grand

nombre premier connu est le nombre premier de Mersenne « 243 112 609

-1 », qui comporte près de

13 millions de chiffres en écriture décimale[1]

. La notion de nombre premier est une notion de

base en arithmétique élémentaire : le théorème fondamental de l'arithmétique assure qu'un

nombre composé est factorisable en un produit de nombres premiers, et cette factorisation est

unique à l'ordre des facteurs près. Elle admet des généralisations importantes dans des branches

des mathématiques plus avancées, comme la théorie algébrique des nombres, qui prennent ainsi à

leur tour l'appellation d'arithmétique. Par ailleurs, de nombreuses applications industrielles de

l'arithmétique reposent sur la connaissance algorithmique des nombres premiers, et parfois plus

précisément sur la difficulté des problèmes algorithmiques qui leur sont liés ; par exemple

certains systèmes cryptographiques et des méthodes de transmission de l'information. Les

nombres premiers sont aussi utilisés pour construire des tables de hachage et pour constituer des

générateurs de nombres pseudo-aléatoires.

Éléments historiques []

L'os d'Ishango

Les entailles retrouvées sur l’os d'Ishango daté à plus de 20 000 ans avant notre ère, mis au jour

par l'archéologue Jean de Heinzelin de Braucourt[2]

et antérieur à l'apparition de l'écriture

(antérieur à 3 200 ans avant J.-C.), semblent isoler quatre nombres premiers 11, 13, 17 et 19.

Certains archéologues l'interprètent comme la preuve de la connaissance des nombres premiers.

Toutefois, il existe trop peu de découvertes permettant de cerner les connaissances réelles de

cette période ancienne[3]

.

Des tablettes d'argile séchées attribuées aux civilisations qui se sont succédé en Mésopotamie

durant le IIemillénaire av. J.-C. montrent la résolution de problèmes arithmétiques et attestent des

premières connaissances de l'époque. Les calculs nécessitaient de connaître des tables d'inverses

d'entiers (les réciproques) dont certaines ont été retrouvées. Dans le système sexagésimal utilisé

par la civilisation babylonienne pour écrire les entiers, les réciproques des diviseurs des

puissances de 60 (nombres réguliers) se calculent facilement : par exemple, diviser par 24, c'est

multiplier par et décaler de deux places le rang. Leur connaissance nécessitait une

bonne compréhension de la multiplication, de la division et de la factorisation d'entiers.


























http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_de_Mersenne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers#cite_note-0

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_produit_de_facteurs_premiers

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_alg%C3%A9brique_des_nombres

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cryptographie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_l%27information

http://fr.wikipedia.org/wiki/Table_de_hachage

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9n%C3%A9rateur_de_nombres_pseudo-al%C3%A9atoires

http://fr.wikipedia.org/wiki/Os_d%27Ishango

http://fr.wikipedia.org/wiki/Os_d%27Ishango


http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89criture


http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9sopotamie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_sexag%C3%A9simal

http://fr.wikipedia.org/wiki/Babylone

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Ishango_bone.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Ishango_bone.jpg

23

Dans les mathématiques égyptiennes, le calcul fractionnaire demandait des connaissances sur les

opérations, les divisions d’entiers et les factorisations. Les Égyptiens ne notaient que les inverses

d’entiers (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...) ; l’écriture des fractions se faisait en additionnant des inverses

d'entiers, si possible sans répétition (1/2 + 1/6 au lieu de 1/3 + 1/3). Disposer d’une liste des

premiers nombres premiers devait être nécessaire.

La première trace incontestable de la présentation des nombres premiers remonte à l'Antiquité

(vers -300 av. J.-C.), et se trouve dans les Éléments d’Euclide (tomes VII à IX). Euclide donne la

définition des nombres premiers, la preuve de leur infinité, la définition du plus grand commun

diviseur (pgcd) et du plus petit commun multiple (ppcm), et les algorithmes pour les déterminer,

aujourd’hui appelés algorithmes d’Euclide. Les connaissances présentées lui sont toutefois bien

antérieures.

Structures algébriques, topologiques, et nombres premiers []

12 n'est pas un nombre premier car il est l'aire d'un rectangle de côtés 3 et 4.

La notion de nombre premier est liée à l'étude de la structure multiplicative de l'anneau des

entiers relatifs. Le théorème fondamental de l'arithmétique, basé sur le lemme d'Euclide, élucide

cette structure en assurant que tout entier se factorise en un produit de nombres premiers, de

manière unique à l'ordre des facteurs près. Ce théorème permet de déterminer des notions de

pgcd, ppcm, et de nombres premiers entre eux, qui sont utiles pour la résolution de certaines

équations diophantiennes, notamment la caractérisation des triplets pythagoriciens.

D'autres problèmes naturels sont envisagés, comme la détermination de la proportion d'entiers

premiers à un entier fixé. L'introduction de structures algébriques plus avancées permet de

résoudre ce problème rapidement dans le cadre de l'arithmétique modulaire. De nombreux

théorèmes classiques de nature arithmétique peuvent être énoncés, comme le petit théorème de

Fermat, ou le théorème de Wilson ; ou des théorèmes de nature plus algébrique comme le

théorème des restes chinois.

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89gypte_antique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Antiquit%C3%A9



http://fr.wikipedia.org/wiki/Livre_VII_des_%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide

http://fr.wikipedia.org/wiki/Livre_IX_des_%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide



http://fr.wikipedia.org/wiki/Plus_petit_commun_multiple


http://fr.wikipedia.org/wiki/Rectangle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_d%27Euclide

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pgcd

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ppcm

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_entre_eux

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Triplet_pythagoricien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Structure_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Structure_alg%C3%A9brique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique_modulaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat


http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Wilson

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_restes_chinois

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Prime_rectangles.png

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Prime_rectangles.png

24

Le théorème des restes chinois est un premier résultat dans l'étude des groupes abéliens finis[4]

. Il

est en fait suffisant pour décrire entièrement la structure de ces groupes, qui est donc en partie

liée à la décomposition en produit de facteurs premiers de leurs cardinaux. Les choses sont plus

compliquées pour les groupes non abéliens, cependant, l'étude se base à nouveau sur la

décomposition en facteurs premiers de leurs cardinaux, à travers la théorie de Sylow.

Les nombres premiers interviennent aussi dans les structures topologiques. Le corps des nombres

rationnels admet une structure topologique habituelle, qui donne par complétion le corps des

nombres réels. Pour chaque nombre premier p, une autre structure topologique peut être

construite, à partir de la norme suivante : si est un nombre rationnel non nul sous forme

irréductible et que pα et p

β sont les plus grandes puissances de p divisant a et b, la norme p-

adique de x est pβ − α

. En complétant le corps des rationnels suivant cette norme, on obtient le

corps des nombres p-adiques, introduit par Kurt Hensel au début du XXe siècle. Le théorème

d'Ostrowski assure que ces normes p-adiques et la norme habituelle sont les seules sur le corps

des nombres rationnels, à équivalence près[5]

.

Nombres premiers particuliers []

Nombres premiers de Mersenne []

Article détaillé : Nombre premier de Mersenne.

Marin Mersenne.

Les nombres premiers de la forme :

Mp = 2p − 1

où p est lui-même un nombre premier, sont appelés nombres premiers de Mersenne. Les grands

nombres premiers sont souvent recherchés sous cette forme car il existe un test efficace, le test

de primalité de Lucas-Lehmer, pour déterminer si un tel nombre est premier ou non.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien_fini


http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Sylow

http://fr.wikipedia.org/wiki/Structure_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Topologie



http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique#Approche_analytique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique#Approche_analytique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Kurt_Hensel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Ostrowski

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Ostrowski



http://fr.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalit%C3%A9_de_Lucas-Lehmer

http://fr.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalit%C3%A9_de_Lucas-Lehmer

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Marin_mersenne.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Marin_mersenne.jpg

25

En 2009, le plus grand nombre premier connu est M43 112 609=243 112 609

-1, qui comporte

12 978 189 chiffres en écriture décimale. Il s'agit (chronologiquement) du 45e nombre premier de

Mersenne connu et sa découverte a été annoncée le 23 août 2008 grâce aux efforts du projet

collaboratif de calcul distribué « Great Internet Mersenne Prime Search ». Le 46e nombre

premier de Mersenne, 237 156 667

-1, qui est inférieur au précédent a été découvert deux semaines

plus tard ; le 12 avril 2009 était découvert, par le même projet GIMPS, le 47e nombre premier de

Mersenne, 242 643 801

-1, lui aussi "légèrement" inférieur au premier cité.

L'Electronic Frontier Foundation offre un prix de calcul coopératif d'un montant de 100 000

USD pour la découverte d'un nombre premier d'au moins 10 millions de chiffres décimaux, afin

d'encourager les internautes à contribuer à la résolution de problèmes scientifiques par le calcul

distribué; ce prix devrait donc être attribué à GIMPS ; l'EFF offre également des prix plus

importants (de 150 000 et 250 000 USD respectivement) pour la découverte de nombres premiers

de 100 millions et 1 milliard de chiffres décimaux[6]

.

Nombres premiers jumeaux []

Article détaillé : Nombres premiers jumeaux.

Deux nombres premiers sont dits jumeaux s'ils ne différent que de deux. Hormis pour la paire (2,

3), cette distance de deux est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers. Les

plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13.

Au 15 janvier 2007, les plus grands nombres premiers jumeaux connus sont 2003663613 ×

2195000

±1, qui possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale et furent découverts par Éric

Vautier dans le cadre des projets de calcul distribué Twin Prime Search et PrimeGrid[7]

.

Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.

Nombres premiers et nombres de Fermat []

Article détaillé : Nombre de Fermat.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre



http://fr.wikipedia.org/wiki/23_ao%C3%BBt

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ao%C3%BBt_2008

http://fr.wikipedia.org/wiki/2008

http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_distribu%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Great_Internet_Mersenne_Prime_Search

http://fr.wikipedia.org/wiki/GIMPS

http://fr.wikipedia.org/wiki/Electronic_Frontier_Foundation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dollar_am%C3%A9ricain



http://fr.wikipedia.org/wiki/Dollar_am%C3%A9ricain


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_jumeaux










http://fr.wikipedia.org/wiki/15_janvier

http://fr.wikipedia.org/wiki/Janvier_2007




http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Fermat

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Pierre_de_Fermat.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Pierre_de_Fermat.jpg

26

Pierre de Fermat.

Les nombres de la forme :

sont appelés les nombres de Fermat. Pierre de Fermat avait conjecturé que tous ces nombres

devaient être premiers. Cependant, les seuls nombres de Fermat premiers connus sont

F0,F1,F2,F3 et F4. Le calcul donne :

Le nombre de Fermat F5 n’est pas premier : il est divisible par 641.

Il s'agit du premier contre-exemple à cette conjecture de Fermat, découvert par Euler en 1732.

Algorithmique : calcul des nombres premiers et tests de

primalité []

Crible d'Ératosthène et algorithme par essais de division []

Le crible d'Ératosthène : nombres premiers inférieurs à 120.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat



http://fr.wikipedia.org/wiki/Crible_d%27%C3%89ratosth%C3%A8ne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Animation_Sieb_des_Eratosthenes_mod.gif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Animation_Sieb_des_Eratosthenes_mod.gif

27

Les premiers algorithmes pour décider si un nombre est premier (appelés tests de primalité)

consistent à essayer de le diviser par tous les nombres inférieurs à sa racine carrée : s'il est

divisible par l'un d'entre eux, il est composé, et sinon, il est premier. Cependant, l'algorithme

déduit de cette formulation peut être rendu plus efficace : il suggère beaucoup de divisions

inutiles, par exemple, si un nombre n'est pas divisible par 2, il est inutile de tester s'il est divisible

par 4. En fait, il suffit de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs à sa racine

carrée.

Le crible d'Ératosthène est une méthode, reposant sur cette idée, qui fournit la liste des nombres

premiers inférieurs à une valeur fixée n (n = 120 dans l'animation ci-contre) :

On forme la liste des entiers de 2 à n ;

On retient comme « nombre premier » le premier nombre de la liste non encore barré (le

premier dans ce cas est 2) ;

On barre tous les entiers multiples du nombre retenu à l'étape précédente, en commençant

par son carré (puisque 2*i, 3*i, ...(i-1)*i ont déjà été barrés en tant que multiples de 2, 3,

...) ;

On répète les deux dernières opérations (c'est-à-dire : on retient le prochain nombre non

barré et on barre ses multiples) ;

Dès qu'on en est à chercher les multiples des nombres excédant la racine carrée de n, on

termine l'algorithme.

Ainsi les nombres premiers inférieurs à n sont les nombres qui restent non barrés à la fin du

processus. Cet algorithme est de complexité algorithmique exponentielle.

Le crible d'Ératosthène fournit donc plus d'information que la seule primalité de n. Si seule cette

information est souhaitée, une variante parfois plus efficace consiste à ne tester la divisibilité de

n que par des petits nombres premiers dans une liste fixée au préalable (par exemple 2, 3 et 5),

puis par tous les nombres entiers inférieurs à la racine carrée de n qui ne sont divisibles par

aucun des petits nombres premiers choisis ; cela amène à tester la divisibilité par des nombres

non premiers (par exemple 49 si les petits premiers sont 2, 3 et 5 et que n excède 2500), mais un

choix d'un nombre suffisant de petits nombres premiers doit permettre de contrôler le nombre de

tests inutiles effectués[8]

.

Autres algorithmes []

Une variante du crible d'Ératosthène est le crible de Sundaram qui consiste à former les produits

de nombres impairs. Les nombres qui ne sont pas atteints par cette méthode sont les nombres

premiers impairs, c'est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2. Par ailleurs, à partir du crible

d'Ératosthène, la factorisation de l'entier n peut facilement être trouvée. D'autres méthodes plus

générales concernant ce problème plus difficile que simplement déterminer la primalité sont

aussi appelées méthodes de crible, la plus efficace étant actuellement le crible général des corps

de nombres[9]

.

Les algorithmes présentés précédemment ont une complexité trop importante pour pouvoir être

menés à terme, même avec les ordinateurs les plus puissants, quand n devient grand.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Crible_d%27%C3%89ratosth%C3%A8ne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Complexit%C3%A9_algorithmique


http://fr.wikipedia.org/wiki/Crible_de_Sundaram

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_factorisation_par_crible_sur_les_corps_de_nombres_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_factorisation_par_crible_sur_les_corps_de_nombres_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9


28

Une autre classe d'algorithme consiste à tester l'entier n pour une famille de propriétés vérifiées

par les nombres premiers : si une propriété de cette famille n'est pas vérifiée pour n, alors il est

composé ; en revanche, le fait qu'une des propriétés de la famille soit vérifiée pour n ne suffit pas

à assurer la primalité. Toutefois, si cette famille est telle qu'un nombre composé ne vérifie pas au

moins la moitié des propriétés en jeu, alors l'utilisateur peut estimer qu'un nombre n qui vérifie k

propriétés de la famille est premier avec une probabilité supérieure à 1-2-k

: il est déclaré

probablement premier à partir d'une valeur de k à choisir par l'utilisateur ; un nombre déclaré

probablement premier, mais qui n'est pas premier est appelé nombre pseudo-premier. Un test

basé sur ce principe est appelé test probabiliste de primalité. De tels tests reposent souvent sur le

petit théorème de Fermat, amenant au test de primalité de Fermat, et à ses raffinements : le test

de primalité de Solovay-Strassen et celui de Miller-Rabin, qui sont des améliorations, car ils

admettent moins de nombres pseudo-premiers.[10]

L'algorithme AKS mis au point en 2002 permet de déterminer si un nombre donné N est premier

en utilisant un temps de calcul polynomial.

Des formules sur les nombres premiers []

Article détaillé : Formule pour les nombres premiers.

De nombreuses formules ont été cherchées pour générer les nombres premiers. Le plus haut

niveau d'exigence serait de trouver une formule qui à un entier n associe le ne nombre premier.

De manière un peu plus souple, on peut se contenter d'exiger une fonction f qui à tout entier n

associe un nombre premier et telle que chaque valeur prise ne le soit qu'une fois.

Enfin, on souhaite que la fonction soit calculable en pratique[11]

. Par exemple, le théorème de

Wilson assure que p est un nombre premier si et seulement si . Il

s'ensuit que la fonction vaut n si n est un nombre

premier et vaut 2 sinon. Cependant, le calcul de la factorielle est rédhibitoire, et cette fonction a

donc peu de valeur pour générer les nombres premiers.

Il est donc tentant de chercher des fonctions polynômes dont les valeurs sont des nombres

premiers. Ceci a conduit au résultat (négatif) suivant: un polynôme, à une ou plusieurs variables,

dont les valeurs aux entiers naturels sont des nombres premiers, est un polynôme constant[12]

.

La recherche de polynômes vérifiant une propriété plus faible s'est développée à partir de la

notion d'ensemble diophantien de nombres entiers ; de tels ensembles peuvent être caractérisés

comme les ensembles de valeurs strictement positives prises par un polynôme (à plusieurs

variables) dont les coefficients et les variables sont des nombres entiers.

Un travail mené dans les années 1960 et 1970, notamment par Putnam, Matijasevic, Davis,

Robinson, permet de montrer que l'ensemble des nombres premiers est diophantien, conduisant à

l'existence de polynômes à coefficients et variables entières dont toutes les valeurs positives sont

les nombres premiers. L'écriture de divers polynômes explicites a ensuite été possible, avec

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_pseudo-premier


http://fr.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalit%C3%A9_de_Fermat

http://fr.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalit%C3%A9_de_Solovay-Strassen

http://fr.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalit%C3%A9_de_Solovay-Strassen

http://fr.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalit%C3%A9_de_Miller-Rabin


http://fr.wikipedia.org/wiki/Test_de_primalit%C3%A9_AKS


http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_pour_les_nombres_premiers





http://fr.wikipedia.org/wiki/Diophantien


http://fr.wikipedia.org/wiki/Yuri_Matijasevic

29

différents nombres de variables, et divers degrés. Notamment, le polynôme suivant, de degré 25

à 26 variables (de a à z), a été déterminé par Jones, Sato, Wada et Wiens en 1976 :

( 1

− [ w.z + h + j − q ]2

− [ 2.n + p + q + z − e ]2

− [ a2.y

2 − y

2 + 1 − x

2 ]

2

− [ e3.(e + 2).(a + 1)

2 + 1 − o

2 ]

2

− [ 16.(k + 1)3.(k + 2).(n + 1)

2 + 1 − f

2 ]

2

− [ ((a + u2.(u

2 − a))

2 − 1).(n + 4.d.y)

2 + 1 − (x + c.u)

2 ]

2

− [ a.i + k + 1 − l − i ]2

− [ (g.k + 2.g + k + 1).(h + j) + h − z ]2

− [ 16.r2.y

4.(a

2 − 1) + 1 − u

2 ]

2

− [ p − m + l.(a − n − 1) + b.(2.a.n + 2.a − n2 − 2.n − 2) ]

2

− [ z − p.m + p.l.a − p2l + t.(2.a.p − p

2 − 1) ]

2

− [ q − x + y.(a − p − 1) + s.(2.a.p + 2.a − p2 − 2.p − 2) ]

2

− [ a2.l

2 − l

2 + 1 − m

2 ]

2

− [ n + l + v − y ]2

) . (k + 2)

De même que pour les formules à factorielles, l'exploitation de ce polynôme ne donne aucun

résultat en pratique car il ne donne pratiquement que des valeurs négatives quand on fait varier

les variables a à z de 0 à l'infini.

La notion d'ensemble diophantien s'est plus généralement développée à partir des problèmes

posés par le dixième problème de Hilbert sur les équations diophantiennes[13]

.

Répartition des nombres premiers []

Infinité des nombres premiers []

Euclide a démontré dans ses Éléments (proposition 20 du Livre IX) que les nombres premiers

sont en plus grande quantité que toute quantité proposée de nombres premiers. Autrement dit, il

existe une infinité de nombres premiers. La démonstration d'Euclide repose sur la constatation

qu'une famille finie p1,...,pn de nombres premiers étant donnée, tout nombre premier divisant le

produit des éléments de cette famille augmenté de 1 est en dehors de cette famille (et un tel

diviseur existe, ce qui est aussi prouvé par Euclide)[14]

.

D'autres démonstrations de l'infinité des nombres premiers ont été données. La preuve d'Euler[15]

utilise l'identité :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8mes_de_Hilbert




http://fr.wikipedia.org/wiki/Livre_IX_des_%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide

http://fr.wikipedia.org/wiki/Infinit%C3%A9


http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9monstration

http://fr.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler


30

Dans la formule précédente, le terme de gauche est la somme de la série harmonique, qui est

divergente. Par conséquent, le produit de droite doit contenir une infinité de facteurs.

Furstenberg fournit une preuve utilisant une argumentation topologique[16]

.

Les avancées du XIXe siècle []

La distribution des nombres premiers de 1 à 76 800, de gauche à droite et de haut en bas. Un

pixel noir signifie que le nombre est premier alors qu'un blanc signifie qu'il ne l'est pas.

Le résultat sur l'infinité des nombres premiers amène des questions plus précises concernant la

fonction qui à un nombre réel x associe π(x), le nombre de nombres premiers inférieurs à x, et qui

tend donc vers l'infini [17]

. Une conjecture importante au XIXe siècle, formulée par Adrien-Marie

Legendre et Carl Friedrich Gauss, était que cette fonction de compte des nombres premiers est

équivalente à la fonction quand x tend vers l'infini, c'est-à-dire que la proportion de

nombres premiers parmi les nombres inférieurs à x (soit ) tend vers 0 à la vitesse de

. Avant la démonstration de la conjecture à la fin du siècle, un résultat partiel[18]

avait été

démontré par Pafnouti Tchebychev, l'existence de deux constantes explicites C et D telles qu'on

ait l'encadrement, pour x assez grand :

L'inégalité de Tchebychev permettait notamment de démontrer le postulat de Bertrand selon

lequel dans tout intervalle d'entiers naturels entre un entier et son double existe au moins un

nombre premier[19]

. Plus généralement, les résultats sur la fonction de compte des nombres

premiers permettent d'obtenir des résultats sur le ne nombre premier ; par exemple les résultats

d'Ishikawa de 1934 sont des conséquences directes des théorèmes de Tchebychev : pn + pn + 1 >

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_harmonique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Hillel_Furstenberg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Noir

http://fr.wikipedia.org/wiki/Blanc

http://fr.wikipedia.org/wiki/Infini



http://fr.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre


http://fr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_compte_des_nombres_premiers


http://fr.wikipedia.org/wiki/Pafnouti_Tchebychev

http://fr.wikipedia.org/wiki/Postulat_de_Bertrand


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:PrimeNumbersSmall.png

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:PrimeNumbersSmall.png

31

pn + 2 et pnpm > pn + m, où pn désigne le ne nombre premier (et donc p1=2) ; ou encore, d'après un

résultat de Felgner de 1990 : 0,91 n ln(n) < pn < 1,7 n ln(n)[20]

.

La démonstration analytique d'Euler sur l'infinité des nombres premiers peut être vue comme un

premier pas vers la résolution de problèmes plus avancés. Elle consiste essentiellement à étudier

le comportement de la fonction zêta de Riemann en 1 au moyen de ce qu'il est convenu d'appeler

un produit eulérien, et d'en déduire la divergence de la série des inverses des nombres premiers.

En reprenant cette étude, au moyen d'un outil appelé caractère de Dirichlet, et en utilisant à la

place de la fonction zêta de Riemann des fonctions analogues appelées fonction L de Dirichlet,

Dirichlet a été capable d'adapter la démonstration aux nombres premiers dans des progressions

arithmétiques : si a et b sont premiers entre eux, alors il existe une infinité de nombres premiers

de la forme aq+b. Plus précisément, les nombres premiers sont équirépartis entre les différentes

progressions arithmétiques de raison a (c'est-à-dire avec a fixé, et b variant parmi les divers

restes inversibles dans la division euclidienne par a)[21]

.

La conjecture de Legendre et Gauss a été démontrée indépendamment par Jacques Hadamard et

Charles-Jean de La Vallée Poussin en 1896[22]

, et porte le nom de théorème des nombres

premiers. Ces démonstrations nécessitent des outils puissants d'analyse complexe pour démontrer

un énoncé d'arithmétique et d'analyse réelle. Une stratégie pour ces démonstrations est l'étude de

la fonction zêta de Riemann sur un domaine plus grand qu'un simple voisinage de 1 : il est

nécessaire de la contrôler (c'est-à-dire majorer son module) au voisinage de la droite verticale des

nombres de partie réelle 1 dans le plan complexe[23]

. En particulier, l'étude de la fonction zêta de

Riemann devient un thème central en théorie analytique des nombres, en particulier l'hypothèse

de Riemann sur la localisation de ses zéros, encore non démontrée, qui aurait des conséquences

fortes sur l'étude de la fonction de compte des nombres premiers. Ultérieurement, des

démonstrations ont été proposées sans recours à l'analyse complexe (par Erdös et Selberg au

milieu du XXe siècle)

[24]. Toutefois, la puissance des outils d'analyse complexe a conduit au

développement d'une branche entière des mathématiques : la théorie analytique des nombres.

Théorème de Green-Tao []

Un théorème démontré en 2004 par Ben Joseph Green et Terence Tao généralise notamment le

théorème de Dirichlet en assurant que pour tout entier k, il existe une infinité de suites de k

nombres premiers en progression arithmétique, c'est-à-dire de la forme :

Le théorème de Green-Tao est en fait bien plus fort que cet énoncé seul : par exemple, ils sont en

mesure d'affirmer qu'une telle progression arithmétique existe, avec des entiers tous plus petits

que :

Ils assurent aussi que pour tout entier k et tout réel δ strictement positif, pour tout x suffisamment

grand, si P est un ensemble de nombre premiers inférieurs à x contenant au moins δπ(x)


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann

http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_eul%C3%A9rien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Caract%C3%A8re_de_Dirichlet

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Dirichlet


http://fr.wikipedia.org/wiki/Jacques_Hadamard

http://fr.wikipedia.org/wiki/Charles-Jean_de_La_Vall%C3%A9e_Poussin


http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_nombres_premiers


http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_complexe


http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_analytique_des_nombres

http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypoth%C3%A8se_de_Riemann



http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Green-Tao

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ben_Joseph_Green

http://fr.wikipedia.org/wiki/Terence_Tao

32

éléments, alors P contient au moins une progression arithmétique de nombres premiers comptant

k termes[25]

.

Conjecture de Bateman-Horn []

Article détaillé : Conjecture de Bateman-Horn.

De nombreux résultats et conjectures sur la répartition des nombres premiers sont contenus dans

la conjecture générale suivante. Soit f1,...,fk des polynômes de degré 1, irréductibles et vérifiant la

propriété que pour tout nombre premier p il y ait au moins un entier n parmi 0, ..., p-1 tel que p

ne divise pas le produit des fi(n). On note ω(p) le complémentaire à p du nombre de tels entiers.

Un tel ensemble de polynômes est dit admissible ; on cherche à connaître la proportion d'entiers

en lesquels les polynômes prennent simultanément des valeurs premières, et se limiter à des

ensembles de polynômes admissibles permet d'éviter des cas triviaux comme f1(t)=t, et f2(t)=t+1.

Il est alors conjecturé[26]

que le nombre d'entiers n plus petits qu'un réel x tels que les valeurs

f1(n),...,fk(n) sont simultanément premières, est, pour x assez grand, de l'ordre de :

Le théorème des nombres premiers correspond au cas k=1 et ft=t, le théorème de Dirichlet à k=1

et ft=at+b, et pour k=2, f1(t)=t et f2(t)=t+2, on obtient une version quantitative (et donc plus

générale) de la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Applications []

Les nombres premiers, et la théorie des nombres en particulier, ont longtemps été vus comme un

sujet purement mathématique, avec peu ou pas d'applications extérieures. Cela changea d'un seul

coup dans les années 1970, quand des nouveaux systèmes de cryptographie basés sur les

propriétés des nombres premiers furent découverts.

Cryptographie à clé publique []

Article détaillé : Cryptographie à clé publique.

Jusque dans les années 1970, les systèmes de chiffrement connus étaient basés sur le principe de

la cryptographie symétrique, où une même clé (secrète) est utilisée pour chiffrer et déchiffrer un

message. En 1978, Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman décrivent le premier système

public de cryptographie asymétrique (nommé d'après eux RSA), basé sur les propriétés des

nombres premiers et de la factorisation[27]

. Dans un tel système, deux clés sont utilisées : l'une

sert à chiffrer, l'autre à déchiffrer. La clé permettant de chiffrer est accompagnée d'un grand

nombre entier, le produit de deux grands nombres premiers gardés secrets (de l'ordre de 200

chiffres). Pour calculer la clé de déchiffrement, la seule méthode connue nécessite de connaître

les deux facteurs premiers. La sécurité du système est basée sur le fait qu'il est facile de trouver


http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Bateman-Horn

http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_irr%C3%A9ductible




http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_des_nombres_premiers_jumeaux

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cryptographie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cryptographie_%C3%A0_cl%C3%A9_publique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cryptographie_sym%C3%A9trique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ronald_Rivest

http://fr.wikipedia.org/wiki/Adi_Shamir

http://fr.wikipedia.org/wiki/Leonard_Adleman

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cryptographie_asym%C3%A9trique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Rivest_Shamir_Adleman


33

deux grands nombres premiers (en utilisant des tests de primalité) et de les multiplier entre eux,

mais qu'il serait difficile pour un attaquant de retrouver ces deux nombres. Ce système permet

également de créer des signatures numériques, et a révolutionné le monde de la cryptographie.

Généralisations des nombres premiers []

La notion de nombre premier s'est vue généralisée au cours du dix-neuvième siècle dans d'autres

structures algébriques que l'anneau des entiers relatifs. Pour résoudre des problèmes

arithmétiques tels que le théorème des deux carrés, le théorème des quatre carrés, ou encore la loi

de réciprocité quadratique (dont la première preuve est due à Carl Friedrich Gauss dans ses

Disquisitiones Arithmeticae), les mathématiciens ont été amenés à mener des raisonnements sur

la divisibilité analogues à ceux qui impliquent les nombres entiers dans d'autres anneaux, par

exemple celui des entiers de Gauss ou celui des entiers d'Eisenstein.

Le point de vue moderne trouve sa source dans les travaux de Kummer, qui introduit la notion de

« nombre premier idéal », dans sa tentative de démontrer le grand théorème de Fermat. Cette

notion est à l'origine de la théorie moderne des anneaux d'entiers algébriques, suite aux travaux

de Dedekind et Kronecker[28]

: en termes modernes, on dit que ces anneaux ont une structure

d'anneaux de Dedekind ; notamment, le théorème sur la factorisation des nombres premiers y est

remplacé par un résultat de factorisation des idéaux de l'anneau (c'est-à-dire les sous-groupes

absorbants pour la multiplication, que Kummer appelait donc « nombres idéaux ») en produit

d'idéaux premiers. L'arithmétique dans ces anneaux a en général des liens profonds et difficiles

avec l'arithmétique des nombres premiers classiques : par exemple, dans ses travaux sur le

théorème de Fermat, Kummer parvient à démontrer l'impossibilité de trouver des solutions non

triviales (c'est-à-dire avec x, y et z non nuls) à l'équation xp+y

p=z

p si p est un nombre premier

vérifiant une condition portant sur la nature de l'anneau des entiers algébriques engendré par une

racine primitive p-ème de l'unité ; c'est-à-dire si p est ce qu'on appelle un nombre premier

régulier.

Questions ouvertes []

Il y a beaucoup de questions ouvertes sur les nombres premiers. Par exemple :

La conjecture de Goldbach : tout nombre pair strictement supérieur à 2 peut-il s'écrire

comme somme de deux nombres premiers ?

La conjecture de De Polignac : tout entier naturel pair peut-il s'écrire comme différence

de deux nombres premiers consécutifs et cela d'une infinité de manières?

Conjecture des nombres premiers jumeaux : un couple de nombres premiers jumeaux est

une paire de nombres premiers dont la différence est égale à 2, comme 11 et 13. Existe-t-

il une infinité de jumeaux premiers ? (cas particulier de la conjecture de De Polignac pour

n=2)

Toute suite de Fibonacci contient-elle une infinité de nombres premiers ?

Existe-t-il une infinité de nombres premiers de Fermat ou de Mersenne?

Y a-t-il une infinité de nombres premiers de la forme n² + 1 ?

Y a-t-il une infinité de nombres premiers factoriels ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_carr%C3%A9s

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_quatre_carr%C3%A9s

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_r%C3%A9ciprocit%C3%A9_quadratique



http://fr.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_de_Gauss

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_d%27Eisenstein

http://fr.wikipedia.org/wiki/Grand_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat


http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_de_Dedekind

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_r%C3%A9gulier


http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Goldbach

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_De_Polignac

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_des_nombres_premiers_jumeaux

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_jumeaux


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_de_Fermat


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_factoriel

34

Y a-t-il une infinité de nombres premiers primoriels ?

Soit la suite, dite d'Euclide-Mullin, de premier terme u1=2 et telle que le terme un soit le

plus petit nombre premier diviseur du produit des termes ui, pour i<n, augmenté de 1.

Tous les nombres premiers apparaissent-ils dans cette suite ? C'est une conjecture de

Daniel Shanks.

La conjecture de Legendre affirme qu'il existe toujours au moins un nombre premier

entre n² et (n+1)². Cette conjecture non démontrée est liée à l'hypothèse de Riemann et,

comme cette dernière, non démontrée.

L'hypothèse H de Schinzel, qui englobe la conjecture des nombres premiers jumeaux, dit

que si on a une famille finie de polynômes à coefficients entiers, alors il existe une

infinité d'entiers n tels que tous les polynômes de la famille donnent des nombres

premiers quand on les évalue en n (à condition qu'il n'y ait pas d'obstruction évidente

pour ce soit le cas: par exemple, si un des polynôme est n(n+1) ou 2n, ce n'est clairement

pas possible).

La conjecture de Bateman-Horn qui précise l'hypothèse de Schinzel en donnant une

valeur approchée du nombre de n ayant cette propriété.

Équation diophantienne

Édition de 1670 des Arithmétiques de Diophante d'Alexandrie.

Une équation diophantienne, en mathématiques, est une équation dont les coefficients sont des

nombres entiers et dont les solutions recherchées sont également entières. Le terme est aussi

utilisé pour les équations à coefficients rationnels. Les questions de cette nature entrent dans une

branche des mathématiques appelée arithmétique.

Si l'expression du problème posé est parfois simple, les méthodes de résolution peuvent devenir

complexes. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), un mathématicien du XIXe siècle, disait des

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_primoriel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Daniel_Shanks

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Legendre


http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypoth%C3%A8se_H_de_Schinzel



http://fr.wikipedia.org/wiki/Arithmetica

http://fr.wikipedia.org/wiki/Diophante_d%27Alexandrie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_rationnel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique



http://fr.wikipedia.org/wiki/1855_en_science

http://fr.wikipedia.org/wiki/XIXe_si%C3%A8cle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Diophantus-cover-Fermat.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Diophantus-cover-Fermat.jpg

35

problèmes de cette nature : « Leur charme particulier vient de la simplicité des énoncés jointe à

la difficulté des preuves[1]

. »

Certaines équations diophantiennes ont demandé pour leur résolution les efforts conjugués de

nombreux mathématiciens sur plusieurs siècles. Gauss se plaignait « des efforts démesurés que

lui a coûté la détermination d'un signe d'un radical dans la théorie des nombres ; bien d'autres

choses ne l'ont pas retenu autant de jours que cette question l'a retenu d'années[2]

. » Le dernier

théorème de Fermat est un exemple archétypal, il est conjecturé par Pierre de Fermat (1601 - 1665)

et résolu en 1994 par Andrew Wiles après 357 ans d'efforts de la part de nombreux

mathématiciens.

L'intérêt de la résolution de questions de cette nature réside rarement dans l'établissement d'un

théorème clé pour les mathématiques, la physique ou les applications industrielles, même s'il

existe des contre exemples comme la cryptologie, qui fait grand usage du petit théorème de

Fermat. Leur analyse amène le développement d'outils mathématiques puissants dont l'usage

dépasse le cadre de l'arithmétique. Les formes quadratiques sont à cet égard exemplaires. La

richesse et la beauté formelle des techniques issues de la résolution d’équations diophantiennes

fait de l'arithmétique la branche reine des mathématiques pour David Hilbert[2]

.

Ce type d'équation doit son nom au mathématicien grec Diophante d'Alexandrie, un

mathématicien vivant à une date incertaine, probablement autour du IIIe siècle. Il est l'auteur d'un

traité, Arithmétiques, étudiant des questions de cette nature.

Arithmétique élémentaire []

Si les questions diophantiennes deviennent rapidement difficiles, il existe certaines exceptions

résolubles avec un minimum d'outils théoriques et une démonstration courte et simple.

Identité de Bézout []

Articles détaillés : Équation diophantienne ax+by = c - Théorème de Bachet-Bézout

Claude-Gaspard Bachet de Méziriac propose une méthode de résolution de l'identité de Bézout.

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne#cite_note-0

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne#cite_note-Hilbert-1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dernier_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat






http://fr.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cryptologie



http://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_quadratique

http://fr.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

http://fr.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

http://fr.wikipedia.org/wiki/Diophante_d%27Alexandrie

http://fr.wikipedia.org/wiki/IIIe_si%C3%A8cle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Arithmetica



http://fr.wikipedia.org/wiki/Claude-Gaspard_Bachet_de_M%C3%A9ziriac

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Bachet_de_M%C3%A9ziriac.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Bachet_de_M%C3%A9ziriac.jpg

36

Quelques techniques élémentaires permettent de résoudre une première famille d'équations

diophantiennes[3]

. Un exemple est donnée par l'équation linéaire du premier degré à deux

indéterminées :

Cette équation porte le nom d'identité de Bézout, du nom du mathématicien qui a généralisé ce

résultat aux polynômes[4]

. Sa résolution n'utilise que la division euclidienne et l'algorithme

d'Euclide. Cette identité possède un double statut. Elle correspond à une équation diophantienne

et représente un des piliers soutenant l'édifice de l'arithmétique élémentaire. Le lemme d'Euclide

se démontre à l'aide de cette identité et le théorème fondamental de l'arithmétique à l'aide du

lemme d'Euclide. Le théorème fondamental permet de déterminer les propriétés des opérateurs

plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple ainsi que celles des nombres

premiers entre eux.

Théorème de Wilson []

Article détaillé : Théorème de Wilson.

Un exemple d'équation diophantienne utilisant ces outils pour sa résolution est le théorème de

Wilson. Il correspond à la résolution de l'équation suivante, le signe ! désignant la fonction

factorielle :

Les seules valeurs de x différentes de un vérifiant cette équation sont les nombres premiers.

Triplet pythagoricien []

Article détaillé : Triplet pythagoricien.

Le lemme d'Euclide permet de venir à bout de la recherche des triplets pythagoriciens, c'est-à-

dire des triplets de nombres entiers (x, y, z) vérifiant l'équation :

Ces mêmes techniques permettent de montrer que l'équation suivante, correspondant au dernier

théorème de Fermat pour n égal à 4, n'a pas de solutions autres que celles qui vérifient x.y.z = 0.

Cette équation diophantienne correspond à[5]

:

Petit théorème de Fermat []

Article détaillé : Petit théorème de Fermat.


http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_lin%C3%A9aire

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_premier_degr%C3%A9






http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_d%27Euclide

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique


http://fr.wikipedia.org/wiki/Plus_petit_commun_multiple




http://fr.wikipedia.org/wiki/Factorielle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers

http://fr.wikipedia.org/wiki/Triplet_pythagoricien





37

Pierre de Fermat est l'auteur de nombreuses découvertes sur les équations diophantiennes.

Pierre de Fermat consacre une large part de ses recherches mathématiques à la résolution de

questions diophantiennes. Il découvre le petit théorème de Fermat qu'il exprime de la manière

suivante : « Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque

progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier

donné -1 ... »[6]

. En terme diophantien, il offre une réponse partielle à l'équation suivante, où a

désigne un entier et p un nombre premier :

Le petit théorème de Fermat indique que p – 1 est une valeur possible pour x. Ce résultat possède

de nombreuses applications. Il permet de construire des grands nombres premiers, comme ceux

de Mersenne, correspondant à l'équation suivante où y est recherché parmi les nombres

premiers :

Il est relativement aisé de montrer que x est alors aussi un nombre premier. Cette question

diophantienne permet de trouver les plus grands nombres premiers connus en 2008[7]

. Fermat

s'intéresse à une équation analogue, permettant de construire d'autres nombres premiers portant

maintenant son nom. Ici y est encore recherché dans les nombres premiers[8]

:









http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Pierre_de_Fermat.png

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Pierre_de_Fermat.png

38

A cette occasion, Fermat commet la seule conjecture fausse connue de lui. Il imagine que tout

nombre de Fermat est premier : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 7, 17,

257, 65537... sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette

matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part »[9]

. Presque un

siècle s'écoule avant que Leonhard Euler (1707 - 1783) présente[10]

un diviseur du cinquième

nombre de Fermat. Il ne dévoile la construction de sa preuve[11]

que quinze ans plus tard. Elle

correspond exactement aux travaux de Fermat, ayant permis de démontrer[12]

en 1640 la non

primalité de deux nombres de Mersenne.

L'intérêt du petit théorème de Fermat ne se limite pas à l'étude de la primalité de nombres entiers.

Il permet aussi de résoudre certaines équations, la suivante est un exemple où p désigne un

nombre premier[13]

:

Elle correspond à une étape de la résolution de l'équation suivante :

Si cette équation est résolue pour p premier, il devient relativement aisé de la résoudre pour p un

entier positif quelconque. La résolution de cette équation se fonde sur un résultat nommé

théorème des deux carrés de Fermat et dont la première preuve connue est l'œuvre d'Euler[14]

. Ce

mathématicien généralise le petit théorème en apportant une réponse de même nature que celle

de Fermat à l'équation suivante, ici a et b désignant deux entiers premiers entre eux :

Ce résultat est connu sous le nom de théorème d'Euler.

Autres techniques []










http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_carr%C3%A9s_de_Fermat


http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Euler_%28nombres%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Joseph_Louis_Lagrange.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Joseph_Louis_Lagrange.jpg

39

Joseph-Louis Lagrange introduit les formes quadratiques pour étudier des équations

diophantiennes comme les généralisations du théorème des deux carrés de Fermat.

Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) cherche à généraliser des équations diophantiennes déjà

traitées dans des cas particuliers. L'équation du théorème des deux carrés devient, si n désigne un

entier sans facteur carré et p un nombre premier :

Pour cela, il étudie les formes quadratiques à deux variables, c'est-à-dire les fonctions φ qui à un

couple (x, y) associe[15]

:

Il cherche à savoir quelle forme linéaire est équivalente à quelle autre. Equivalente signifie en

termes modernes qu'un changement de base dans Z2 (Z désigne l'ensemble des nombres entiers)

permet de passer d'une forme à une autre. Cette démarche lui permet de résoudre l'équation (1)

dans le cas où n est égal à 1, 2, 3 ou 5[16]

. Le cas général reste hors de portée.

Une autre généralisation de cette équation est résolue à l'aide de cette méthode, elle consiste à

trouver le plus petit nombre de carrés nécessaire pour trouver au moins une solution pour tout

entier positif. La réponse est 4, elle correspond à l'équation suivante :

Le Théorème des quatre carrés de Lagrange affirme que pour toute valeur de n, cette équation

admet une solution. Edward Waring (1736 - 1798) généralise la question sous le nom de problème

de Waring qui s'exprime de la manière suivante. Combien faut-il de termes dans une somme de

puissance kième

pour obtenir tous les entiers positifs ?

L'équation (1), pour une valeur donnée de n, impose de résoudre pour la même valeur du

paramètre n et pour p un nombre premier quelconque, l'équation :

Pour chaque valeur de n, il est souvent relativement simple de trouver la liste des nombres

premiers admettant une solution pour l'équation (2). L'expression de la solution générale est

conjecturée par Euler[17]

, mais sa démonstration échappe aux arithméticiens du XVIIIe siècle

[18].

Lagrange s'intéresse à une autre question, déjà soulevée par Fermat 150 ans plus tôt et par

Diophante dans l'antiquité. Elle correspond à l'équation dite de Pell-Fermat. Si n est un entier

sans facteur carré, elle s'écrit :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange


http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_carr%C3%A9s_de_Fermat

http://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange






http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_quatre_carr%C3%A9s_de_Lagrange

http://fr.wikipedia.org/wiki/Edward_Waring



http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Waring

http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Waring


http://fr.wikipedia.org/wiki/XVIIIe_si%C3%A8cle

http://fr.wikipedia.org/wiki/XVIIIe_si%C3%A8cle

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Pell-Fermat

40

Cette question est objet d'étude par les mathématiciens indiens si m est égal à 1. La méthode dite

de chakravala permet de trouver les solutions[19]

avec une grande efficacité. Bhāskara II (1114–

1185 ?) l'utilise pour n égal à 61 et trouve la solution x = 1 766 319 049 et y = 226 153 980.

Fermat redécouvre cette méthode et la démontre selon les critères de rigueur de l'époque.

Lagrange trouve une autre méthode, fondée sur les fractions continues. Elle permet aussi de

trouver une infinité de solutions pour toutes valeurs de n, la démonstration du fait que toutes les

solutions sont bien atteintes pour m = +/-1 est enfin démontrée, le cas général reste néanmoins

hors de portée[20]

.

Arithmétique modulaire []

Article détaillé : Arithmétique modulaire.

Carl Friedrich Gauss est à l'origine d'une approche structurelle d'étude d'équations

diophantiennes. Ces méthodes portent maintenant le nom d'arithmétique modulaire.

Si quelques cas particuliers se traitent avec les méthodes élémentaires, en revanche les solutions

générales restent inabordables. Aucun des trois cas d'équations diophantiennes quadratique à

deux indéterminées, n'est traité dans le cas général. Ils correspondent soit à une ellipse avec

l'équation (1) du paragraphe précédent, soit à une parabole avec l'équation (2), soit à une

hyperbole avec l'équation (3). Les méthodes de l'arithmétique élémentaire ne sont pas assez

puissantes.

En 1801 Gauss propose l'usage d'une nouvelle approche[21]

maintenant appelée arithmétique

modulaire. Elle consiste, en termes modernes, à user d'une démarche structurelle. Des ensembles

sont munis d'opérations, une addition et parfois une multiplication. Les structures, c'est-à-dire

l'ensemble et ses opérations sont étudiées dans un cadre général, permettant d'obtenir des

théorèmes au vaste champ d'application. Cette démarche permet de simplifier les résolutions

d'équations diophantiennes déjà connues, de résoudre des cas particuliers nouveaux et même

d'établir des solutions générales, par exemple pour l'équation (2).

Groupe abélien fini []

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_chakravala


http://fr.wikipedia.org/wiki/Bh%C4%81skara_II



http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue_d%27un_nombre_quadratique





http://fr.wikipedia.org/wiki/Quadratique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse

http://fr.wikipedia.org/wiki/Parabole

http://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbole



http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Carl_Friedrich_Gauss.jpg

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41

Article détaillé : groupe abélien fini.

Leopold Kronecker établit le théorème décrivant la structure d'un groupe abélien fini.

Il est possible de considérer le quotient de l'anneau Z par n Z, l'élément générique de cette

structure est la classe de tous les entiers ayant même reste par la division euclidienne par n. Les

éléments de cette structure s'additionnent et se multiplient. L'étude du quotient apporte une

formulation plus simple de certaines équations diophantiennes. Le petit théorème de Fermat

s'écrit, si p est un nombre premier et a un entier non nul[22]

:

Si n est un nombre premier, alors l'ensemble des éléments non nuls forment un groupe abélien

non seulement fini, mais aussi cyclique. L'égalité précédente devient une conséquence directe du

théorème de Lagrange sur les groupes. Si n n'est pas premier, l'ensemble des éléments inversibles

de Z/n Z* forme encore un groupe abélien fini, offrant ainsi une démonstration simple de la

généralisation d'Euler du petit théorème de Fermat. La structure générale d'un groupe abélien

fini, élucidée par le théorème de Kronecker, n'est démontrée que bien plus tard, en 1870[23]

. Ce

formalisme simplifie aussi la démonstration du théorème de Wilson.

La résolution de l'équation (2) revient au problème suivant, au signe près :

Cette équation admet une solution non nulle si et seulement si n est élément du sous-groupe des

carrés de (Z/p Z*, .). L'étude des morphismes de ce groupe dans celui des racines de l'unité des

nombres complexes permet à Gauss de résoudre l'équation (2) dans toute sa généralité. Ce

résultat est connu sous le nom de loi de réciprocité quadratique[24]

. C'est la première famille

d'équations quadratiques entièrement résolue, elle correspond au cas parabolique[25]

.

Anneau euclidien []


http://fr.wikipedia.org/wiki/Leopold_Kronecker

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Kronecker


http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_quotient

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_Z/nZ

http://fr.wikipedia.org/wiki/Classe_d%27%C3%A9quivalence


http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_ab%C3%A9lien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_cyclique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lagrange_sur_les_groupes

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Kronecker



http://fr.wikipedia.org/wiki/Sous-groupe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Homomorphisme_de_groupe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_de_l%27unit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe




http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Leopold_Kronecker.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Leopold_Kronecker.jpg

42

Article détaillé : Anneau euclidien.

Une autre structure, permettant de résoudre des équations diophantiennes, est au cœur de

l'arithmétique modulaire : celle d'anneau euclidien. Un anneau est un ensemble munis d'une

addition et d'une multiplication compatibles entre elles. Parfois, il est possible de définir une

division euclidienne. Un tel anneau dispose de tous les théorèmes de l'arithmétique élémentaire :

l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique

s'appliquent encore.

Gauss étudie l'ensemble des nombres de la forme a + i.b où a et b désignent deux nombres

entiers et i l'unité imaginaire. L'ensemble forme un anneau euclidien dont les éléments portent le

nom d'entier de Gauss. Travailler sur cet anneau simplifie la résolution de certaines équations

diophantiennes comme celle des deux carrés[26]

. Il existe d'autres anneaux euclidiens de cette

nature. Ferdinand Eisenstein (1823 - 1852) étudie ceux de la forme a + j.b où a et b désigne encore

deux nombres entiers et j la racine cubique de l'unité dont la composante imaginaire est

strictement positive. Un tel nombre est appelé entier d'Eisenstein. Cet anneau est le cadre d'une

résolution de l'équation (1) pour n égal à trois[27]

.

Il permet aussi de résoudre le dernier théorème de Fermat pour n égal à trois[28]

. Elle reprend les

grandes lignes d'une tentative d'Euler de résolution de cette question. En revanche, le

mathématicien utilisait l'anneau des nombres de la forme a + i√3.b[29]

. Il supposait que l'anneau

considéré est euclidien, ce qui n'est pas le cas et invalidait sa démonstration. En effet, le nombre

quatre possède deux décompositions en facteurs irréductibles, ce qui est impossible dans un

anneau euclidien :

En 1825 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) utilise un anneau analogue, composé

d'entiers de Dirichlet et initialise une preuve du grand théorème de Fermat pour n égal à 5. Elle

est finalisée par Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833) quelques mois plus tard[30]

.

Théorème de la progression arithmétique []

Article détaillé : Théorème de la progression arithmétique.



http://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9_imaginaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_de_Gauss


http://fr.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Eisenstein



http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_d%27Eisenstein





http://fr.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet



http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_de_Dirichlet





http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_progression_arithm%C3%A9tique

43

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, pour établir le théorème de la progression arithmétique,

utilise de nouvelles techniques, fondatrice de la théorie analytique des nombres.

Une équation diophantienne, pose une question dont la réponse est déjà conjecturée par Gauss et

Legendre. Si a et b sont deux entiers premiers entre eux, elle prend une des deux formes

suivantes, toutes deux équivalentes :

Les solutions recherchées sont celles où x est un nombre premier. La conjecture affirme qu'il

existe une infinité de valeurs de x satisfaisant l'équation.

Dirichlet parvient à démontrer ce résultat[31]

en 1837. La démonstration utilise l'arithmétique

modulaire à travers l'étude des morphismes du groupe multiplicatif de Z/a Z dans C. Il généralise

l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini entamée par Gauss avec les sommes et périodes

de Gauss qui ne traitaient que le cas où a est un nombre premier. Dirichlet s'inspire des

découvertes de Joseph Fourier (1768 - 1830) sur ses séries. Charles Gustave Jacob Jacobi (1804 -

1851) dit de lui : « En appliquant les séries de Fourier à la théorie des nombres, Dirichlet a

récemment trouvé des résultats atteignant les sommets de la perspicacité humaine »[32]

.

Sa démonstration est remarquable au sens où elle ne se limite pas au simple usage de techniques

algébriques. Il reprend les travaux d'Euler sur un produit infini, trouvé à la suite de l'étude du

problème de Mengoli[33]

et qui établit le résultat suivant, si P désigne l'ensemble des nombres

premiers :

La démonstration ouvre la porte à une nouvelle arithmétique, faisant aussi usage de l'analyse et

maintenant appelée théorie analytique des nombres.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet





http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_harmonique_sur_un_groupe_ab%C3%A9lien_fini

http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Gauss

http://fr.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9riode_de_Gauss

http://fr.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9riode_de_Gauss

http://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier



http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier

http://fr.wikipedia.org/wiki/Charles_Gustave_Jacob_Jacobi




http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_eul%C3%A9rien

http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Mengoli

http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Mengoli

http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_%28math%C3%A9matiques%29


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Dirichlet.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Dirichlet.jpg

44

Théorie algébrique des nombres []

Article détaillé : Théorie algébrique des nombres.

Quatorze ans plus tard, le succès de Dirichlet est suivi par une tentative réussie de Gabriel Lamé

(1795 - 1870) pour résoudre le cas n égal à 7 du dernier théorème de Fermat. Une fois encore les

techniques modulaire sont à l'œuvre, la structure clé est encore un anneau euclidien[34]

. Mais la

complexité de la preuve montre que la démarche n'est pas généralisable.

Ainsi, l'arithmétique modulaire permet de véritables avancées, mais la résolution générale de

famille d'équations reste très généralement hors de portée. Cette remarque est valable pour le

dernier théorème de Fermat ainsi que pour les équations quadratiques. En effet, s'il est possible

de trouver une infinité de solution à l'équation (3), personne ne sait démontrer si l'ensemble des

solutions est exhaustif ou non. Enfin l'équation (1) reste inabordable dans le cas général. Une

famille d'anneaux représentent des bons candidats pour aller plus loin, ils sont constitués

d'entiers algébriques.

Entier algébrique []

Article détaillé : Entier algébrique.

Cette figure illustre le groupe des unités de l'anneau des entiers de Dirichlet. Ici ω désigne l'entier

de Dirichlet égal à 1/2.(1 + √5).

Plusieurs exemples d'anneau entiers algébriques ont déjà été observés dans cet article : les entiers

de Gauss, d'Eisenstein ou de Dirichlet. Une démarche plus générale consiste à étudier un corps

quadratique c'est-à-dire le plus petit sous-corps de C (l'ensemble des nombres complexes)

contenant les racines d'un polynôme de degré deux. Un entier quadratique est un élément de ce

corps qui est racine d'un polynôme unitaire (le monôme de degré deux a pour coefficient un) et à

coefficients dans Z. Les entiers quadratiques forment un anneau inclus dans le corps quadratique.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_alg%C3%A9brique_des_nombres

http://fr.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Lam%C3%A9




http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_alg%C3%A9brique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_alg%C3%A9brique


http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_de_Dirichlet

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_quadratique


http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_d%27un_polyn%C3%B4me


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Entier_de_Dirichlet_Unite.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Entier_de_Dirichlet_Unite.jpg

45

A certains égards, les exemples utilisés sont exceptionnels. Dans le cas général, deux

obstructions demandent d'aménager les résultats de l'arithmétique modulaire pour permettre de

résoudre des équations diophantiennes. Une fois la structure de ces obstructions comprises, les

équations de type (1) et (3) peuvent être traitées.

La première est mise à jour par Dirichlet. Pour les entiers quadratiques, elle ne concerne que les

cas où les éléments sont tous inclus dans l'ensemble des nombres réels, on parle de corps

quadratique totalement réel. Le groupe des unités, est l'ensemble des éléments inversibles de

l'anneau. Il devient infini sur un corps quadratique totalement réel. L'équation (3) revient à

trouver tous les éléments du groupe des unités de l'anneau. Le théorème des unités de Dirichlet

donne la structure d'un tel groupe, sans se limiter aux extensions associées aux polynômes de

degré deux. Dans le cas d'un corps quadratique totalement réel, il est isomorphe au groupe additif

Z/2Z x Z. Graphiquement, l'illustration de gauche montre que les éléments se situent sur quatre

branches d'hyperboles. Toute solution de l'équation de Pell-Fermat correspond à un couple de

racines inverse l'une de l'autre. Les fractions continuées permettent de déterminer une racine

primitive du groupe des unités, c'est-à-dire que cette racine génère toutes les autres. La

compréhension de la structure de cette obstruction montre que la méthode de Lagrange permet

effectivement de trouver toutes les solutions de l'équation (3) et clôt la question.[35]

La deuxième obstruction concerne la décomposition en facteurs premiers d'un entier algébrique.

Elle est unique dans le cas des anneaux euclidiens, principaux ou factoriels. Cette propriété,

exprimée par le théorème fondamental de l'arithmétique, est l'un des fondements de

l'arithmétique élémentaire ou modulaire. Elle n'est plus vérifiée dans le cas d'un anneau d'entiers

algébriques. Ernst Kummer (1810 - 1893) interprète cette réalité comme un défaut de nombres

premiers, c'est parce qu'il en manque que l'unicité de la décomposition disparaît. Il a l'idée

d'enrichir l'anneau de nombres idéaux pour remplacer les nombres premiers manquants[36]

.

Richard Dedekind (1831 - 1916) donne à cette théorie son formalisme moderne. Il met en évidence

en 1876 que les nombres idéaux de Kummer se formalisent simplement à l'aide du concept

d'idéal, un sous-groupe de l'anneau stable par multiplication par un élément quelconque. Il

reprend à cette occasion le vocabulaire de Kummer, tout en modifiant le formalisme. Les

nombres premiers idéaux correspondent en fait à des idéaux premiers non principaux[37]

. Grâce à

la notion d'idéal fractionnaire, il trouve un équivalent du théorème fondamental : tout idéal se

décompose de manière unique en un produit d'idéaux premiers. Il reste alors à déterminer la

structure des idéaux premiers principaux et non principaux. À l'aide d'un groupe quotient

d'idéaux par des idéaux principaux, il définit le théorème clé, à savoir que ce quotient, appelé

groupe des classes d'idéaux est un groupe abélien fini[38]

. Dans les cas simples, comme celui des

anneaux d'entiers quadratiques, ce résultat permet de déterminer les idéaux premiers non

principaux et par la même occasion de résoudre l'équation (3) dans le cas général[39]

.

Corps cyclotomique []

Article détaillé : Corps cyclotomique.



http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_unit%C3%A9s_de_Dirichlet

http://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_alg%C3%A9brique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Isomorphisme

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Pell-Fermat



http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_factoriel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ernst_Kummer




http://fr.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind




http://fr.wikipedia.org/wiki/Id%C3%A9al

http://fr.wikipedia.org/wiki/Id%C3%A9al_premier

http://fr.wikipedia.org/wiki/Id%C3%A9al_principal

http://fr.wikipedia.org/wiki/Id%C3%A9al_principal

http://fr.wikipedia.org/wiki/Id%C3%A9al_fractionnaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_quotient

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_des_classes_d%27id%C3%A9aux




http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_cyclotomique

46

Ernst Kummer démontre en 1847 le dernier théorème de Fermat pour tout nombre premier

régulier

Si le formalisme moderne venant à bout de la deuxième obstruction est l'œuvre de Dedekind et

date de la fin du XIXe siècle, une partie non négligeable du travail mathématiques provient des

travaux de Kummer du milieu du siècle. Sa préoccupation est la généralisation de la loi de

réciprocité quadratique ainsi que le dernier théorème de Fermat.

La démonstration du cas n égal à sept de Lamé se fonde encore sur l'anneau des entiers

algébriques d'un corps quadratique. L'impossibilité de réponse générale fondée sur l'étude des

entiers quadratiques poussent Lamé et Kummer à étudier d'autres corps de nombres, c'est-à-dire

que plus petit sous-corps de C contenant toutes les racines d'un polynôme. Ils choisissent tous

deux les polynômes cyclotomiques, c'est-à-dire les polynômes unitaires de degré minimal ayant

pour racine une racine de l'unité. Le corps de nombre associé est appelé corps cyclotomique. De

tels corps possèdent de multiple bonnes propriétés. Le polynôme cyclotomique est à coefficients

dans Z[40]

ainsi une racine de l'unité est toujours un entier algébrique. Un corps cyclotomique

reste plus longtemps principal et, si tel est le cas, l'anneau des entiers vérifie le théorème

fondamental de l'arithmétique. Ainsi, les anneaux d'entiers algébriques des corps cyclotomiques

d'indice 5, 7, 11, 13, 17 et 19 sont principaux. Cette observation pousse Lamé[41]

à présenter une

solution qu'il croit générale au grand théorème de Fermat en 1847. Kummer est plus prudent, il a

déjà démontré trois ans plus tôt que pour l'indice 23, l'anneau n'est pas principal[42]

.

Le formalisme utilisé dans cet article est celui en vigueur actuellement et diffère de celui de

Kummer, cependant le contenu mathématique est le même. La difficulté à résoudre est de

comprendre comment s'agencent les idéaux premiers non principaux. Ce problème, bien que

résolu plus tôt, est finalement plus complexe que celui des anneaux d'entiers quadratiques. Le

polynôme à l'origine du corps de nombres est de degré quelconque et non plus égal à deux. La

théorie de Galois est d'une grande aide. Dans le cas d'un corps cyclotomique K, l'extension est

dite galoisienne, c'est-à-dire qu'il existe autant d'automorphismes de K que l'ensemble possède de

dimensions s'il est considéré comme un Q espace vectoriel. Ces automorphismes forment un

groupe fini G, appelé groupe de Galois. L'image d'un idéal premier par un automorphisme est

aussi un idéal premier. Cette remarque permet de comprendre la structure des idéaux premier à

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ernst_Kummer


http://fr.wikipedia.org/wiki/XIXe_si%C3%A8cle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_de_nombres

http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_cyclotomique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_de_l%27unit%C3%A9





http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois

http://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_de_Galois

http://fr.wikipedia.org/wiki/Automorphisme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Ernst_Eduard_Kummer.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Ernst_Eduard_Kummer.jpg

47

l'aide de la ramification. Tout idéal premier P contient un unique nombre premier p. La

technique consiste alors à décomposer l'idéal principal pK en idéaux premiers. Le groupe G agit

transitivement sur le idéaux premiers décomposant pK ce qui permet de déterminer la

décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes.

De plus, K est une extension abélienne et même cyclique, c'est-à-dire que le groupe de Galois est

cyclique. Une conséquence est que le groupe des classes est aussi cyclique. Le groupe des

classes devient relativement aisé à déterminer et, si p est un nombre premier régulier, alors il ne

divise pas l'ordre du groupe des classes. Cette propriété permet d'obtenir une démonstration

relativement aisée du dernier théorème de Fermat[43]

. Les seules exceptions plus petites que 100

sont 37, 59 et 67.

Géométrie algébrique []

La démarche fondée sur l'analyse fine d'un corps de nombres possède des limites. Pour une

équation polynomiale diophantienne non homogène, c'est-à-dire si le degré des différents

monômes n'est pas le même, les outils imposent des acrobaties limitant largement la portée de la

méthode. Même dans les cas les plus simples, comme celui de l'extension cyclotomique, la

structure des idéaux premiers est parfois complexe, tel est le cas pour les idéaux associées à des

nombres premiers non réguliers.

En revanche, les outils développées dans ce contexte, se généralisent à d'autres branches des

mathématiques. La théorie des anneaux, et particulièrement des anneaux de Dedekind avec ses

idéaux premiers ou fractionnaires s'appliquent aussi à la géométrie algébrique. Une variété

algébrique se définit comme l'ensemble des racines communes d'un idéal de polynômes. La

théorie de Galois est aussi opérationnelle dans ce domaine. Enfin d'autres outils sont disponibles,

un polynôme se dérive alors qu'un entier non, une surface possède de nombreuses propriétés

topologiques comme le genre, source de théorèmes nouveaux.

Une équation polynomiale diophantienne s'interprète aussi comme l'intersection d'une variété

algébrique et d'un réseau égal à Zn. Cette approche permet des méthodes de résolutions simples

d'équations diophantiennes comme la recherche de triplets pythagoricien. Ces différentes raisons

poussent le XXe siècle à étudier les équations diophantiennes avec cet axe.

Le dixième problème de Hilbert []

Ces problèmes traditionnels sont posés et souvent non-résolus durant des siècles, les

mathématiciens d'ailleurs en viennent graduellement à les comprendre dans leur profondeur

(dans certains cas), plutôt qu'à les traiter comme des puzzles. En 1900, en reconnaissance de leur

profondeur, Hilbert proposa la résolubilité de tous les problèmes diophantiens comme le dixième

de ses célèbres problèmes. En 1970, un nouveau résultat en logique mathématique connu sous le

nom de théorème de Matiyasevich le résolut négativement : en général les problèmes

diophantiens ne sont pas résolubles, au sens où l'on peut construire explicitement de tels

problèmes pour lesquels l'existence d'une solution est indécidable (dans le système axiomatique

où l'on s'est placé ; on construit un polynôme précis en partant de la liste des axiomes). Le point

de vue de la géométrie diophantienne, qui est une application des techniques de la géométrie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ramification

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_des_id%C3%A9aux_premiers_dans_les_extensions_galoisiennes

http://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_ab%C3%A9lienne



http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_de_Dedekind

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_alg%C3%A9brique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_alg%C3%A9brique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Genre_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9seau_%28g%C3%A9om%C3%A9trie%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/XXe_si%C3%A8cle


http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8mes_de_Hilbert


http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_math%C3%A9matique


http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_arithm%C3%A9tique

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique

48

algébrique dans ce domaine, a continué de croître comme résultat ; puisqu'en traitant

arbitrairement les équations, cela mène à une impasse, l'attention se tourne vers les équations qui

ont aussi un sens géométrique.

Recherche moderne []

Une des approches générales est à travers le principe de Hasse. La descente infinie est la

méthode traditionnelle, et a été poussée très loin.

La profondeur de l'étude des équations diophantiennes générales est montrée par la

caractérisation des ensembles diophantiens comme récursivement énumérables.

Le domaine de l'approximation diophantienne a à voir avec les cas d'inégalités diophantiennes :

les variables sont toujours supposées être entières, mais certains coefficients peuvent être des

nombres irrationnels, et le signe de l'égalité est remplacé par des bornes supérieures et

inférieures.

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique

http://en.wiktionary.org/wiki/arbitraire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_Hasse

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_descente_infinie


http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9cursivement_%C3%A9num%C3%A9rable

http://fr.wikipedia.org/wiki/Approximation_diophantienne

theorie de nombres

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