theorie des cordes

LA THORIE DES CORDES Alexandre Depire Institut Henri-Poincar

Thorie des Supercordes 02/08/2004

TABLE DES MATIRES

TABLE DES MATIRES ......................................................................................................... 1 1. Introduction ............................................................................................................................ 3 2. Les pionniers .......................................................................................................................... 4

2.1. Kaluza.............................................................................................................................. 4 La relativit restreinte......................................................................................................... 6 La relativit gnrale.......................................................................................................... 9 Le spin .............................................................................................................................. 20

2.2. Klein .............................................................................................................................. 23 2.3. La priode d'oubli.......................................................................................................... 25

3. Les thories quantiques ........................................................................................................ 27 3.1. La mcanique quantique................................................................................................ 27

Le principe d'incertitude................................................................................................... 29 Les fluctuations du vide ................................................................................................... 34 Les bosons et les fermions ............................................................................................... 34

3.2. La thorie des champs ................................................................................................... 36 Les champs en mcanique quantique ............................................................................... 37 Le vide.............................................................................................................................. 38 Les champs en interaction ................................................................................................ 39 La thorie des perturbations ............................................................................................. 39 La thorie des collisions................................................................................................... 41 Diagrammatique ............................................................................................................... 43

3.3. La renormalisation......................................................................................................... 44 Les divergences ................................................................................................................ 45 Les divergences infrarouges............................................................................................. 45 Les divergences ultraviolettes .......................................................................................... 45 Thorie des perturbations ................................................................................................. 51

3.4. Les symtries................................................................................................................. 52 Symtries discrtes........................................................................................................... 52 Thorme PCT ................................................................................................................. 57

3.5. Les thories de jauge ..................................................................................................... 67 Principe des thories des champs de jauge....................................................................... 67 Le cas des lectrons.......................................................................................................... 68 Les champs de jauges non abliens.................................................................................. 68 Le mcanisme de brisure de symtrie .............................................................................. 69 L'interaction faible............................................................................................................ 71 L'interaction forte ............................................................................................................. 72

3.6. Les particules................................................................................................................. 74 4. Les problmes ...................................................................................................................... 76

4.1. Les paramtres libres..................................................................................................... 76 4.2. La gravit quantique...................................................................................................... 78 4.3. Le problme de la hirarchie......................................................................................... 82

Premier problme ............................................................................................................. 83 Deuxime problme ......................................................................................................... 83

4.4. L'interaction forte .......................................................................................................... 84 5. La thorie des cordes classiques........................................................................................... 88

5.1. Les cordes et l'interaction forte ..................................................................................... 88


5.2. Les cordes classiques .................................................................................................... 89 5.3. Avantages et problmes ................................................................................................ 93

Avantages ......................................................................................................................... 93 Problmes ......................................................................................................................... 94

6. La premire rvolution ......................................................................................................... 96 6.1. La super symtrie .......................................................................................................... 96 6.2. Les dimensions supplmentaires................................................................................. 102 6.3. La thorie des cordes super symtriques..................................................................... 102 6.4. Plusieurs thories......................................................................................................... 103

Thorie de type I ............................................................................................................ 105 Thories de type II.......................................................................................................... 106 Thories htrotiques ..................................................................................................... 106 Le dilaton........................................................................................................................ 107 Les champs tensoriels de jauge ...................................................................................... 108 Conclusions .................................................................................................................... 108

7. La seconde rvolution ........................................................................................................ 110 7.1. Les dualits.................................................................................................................. 110

Introduction .................................................................................................................... 110 La dualit T .................................................................................................................... 114 La dualit S..................................................................................................................... 117 La seconde rvolution .................................................................................................... 120

7.2. La thorie M................................................................................................................ 121 Les D-branes .................................................................................................................. 121 La dualit U.................................................................................................................... 124 La thorie M................................................................................................................... 126

7.3. Le repliement des dimensions ..................................................................................... 130


1. Introduction Le but de cette tude est d'expliquer l'historique de l'laboration de la thorie des cordes.

A cette occasion, nous prsenterons, bien sr, le contexte dans lequel cette gestation a eu lieu. Nous serons donc amens parler des autres thories physiques fondamentales. Celles-ci seront expliques dans les grandes lignes en mettant l'accent sur les aspects intressants pour la thorie des cordes.

Je n'aborderai pas les aspects exprimentaux, c'est dire les expriences actuelles ou futures qui pourraient confirmer ou infirmer la thorie des cordes ou dpartager plusieurs de ses variantes. C'est un cot trs intressant mais il n'est pas ncessaire pour expliquer la thorie des cordes.

Premirement, je mets moins l'accent sur la recherche d'une thorie universelle mais plutt sur l'aspect historique de la construction de la thorie des cordes. C'est dire que je dsire approfondir le "comment" plutt que le "pourquoi". Bien qu'historique, il y a parfois chevauchement de certaines parties. Ceci est d la ncessit de regrouper certaines explications, sinon la description serait trop dcousue et plus difficile comprendre. Je donnerai quelques dates chaque fois que ce sera possible. Mais il faut aussi signaler que ces dernires annes l'histoire s'est prcipite. Il y a eu un foisonnement extraordinaire d'ides et de dveloppements thoriques sur la thorie des cordes, ce qui rend difficile une stricte chronologie.

Deuximement, je souhaitais approfondir la description de la thorie des cordes. Avouons le, j'avais surtout envie d'crire cette tude !


2. Les pionniers

2.1. Kaluza

Le dbut de l'histoire

Nous voici au dbut de notre histoire en 1919.

Quelle est la situation cette poque ? Les thories quantiques, que nous aborderons plus tard, sont seulement en gestation. Les deux thories matresses sont la relativit gnrale d'Einstein et la thorie de l'lectromagntisme de Maxwell. Ces deux thories semblaient pouvoir tout expliquer ( quelques "dtails" prs comme les atomes) et avaient atteint un degr de raffinement mathmatique extraordinaire.

Je dcrirai un peu plus loin ces deux thories. La relativit gnrale est la thorie qui s'applique la gravitation. C'est dire la force qui fait tomber les pommes et tourner les plantes. C'est typiquement une thorie dont le domaine est les grandes chelles, disons de la taille des poussires aux galaxies.

L'lectromagntisme traite, comme son nom l'indique, de l'lectricit et du magntisme. Mais c'est aussi la thorie qui s'applique la lumire et plus gnralement aux ondes radios, aux rayons X, etc. Les forces lectriques et magntiques sont trs diffrentes de la gravitation. Cette dernire est toujours attractive. Alors que les forces lectromagntiques peuvent tre rpulsives, ce qui s'observe facilement avec deux aimants. Les forces lectromagntiques sont aussi considrablement plus fortes que la gravitation. Avec un simple petit aimant, on soulve facilement un morceau de fer, le soustrayant ainsi la force de gravit qui le maintenait au sol.


Cette intensit plus grande des forces lectromagntismes explique aussi que leur domaine de prdilection s'tend des chelles trs petites. Le courant lectrique, dans un fil conducteur, est du au parcours des lectrons qui sont lectriquement chargs. Et les lectrons sont extraordinairement petits. Pour un courant de un ampre, il passe environ seize milliards de milliards d'lectrons par seconde dans le conducteur !


Enfin, mme au niveau de leur description mathmatique, ces deux thories sont trs diffrentes.

Le problme qui se posait l'poque tait : comment unifier les deux thories ? C'est dire, comment obtenir une seule thorie expliquant la fois la gravit et l'lectromagntisme ? Etait-ce seulement possible ?

La solution ne semblait pas vidente quant, en 1919, Thodore Kaluza eut une ide curieuse qui va nous entraner trs loin. Mais nous y reviendrons plus loin aprs avoir un peu mieux dcrit la relativit gnrale et l'lectromagntisme.

La relativit restreinte

La relativit d'Einstein s'exprime simplement avec deux postulats :

Les lois physiques doivent s'exprimer de la mme manire pour tout observateur. Il existe une vitesse limite la transmission des signaux.

Elle fut formule au dbut du XXme sicle par Einstein.

A la place d'observateur on emploie souvent le terme "repre". C'est une notion mathmatique mais qui exprime tout simplement qu'un observateur donn mesure (repre) les vnements qui l'entourent par rapport lui avec des rgles gradues et une horloge.

Le premier postulat semble vident. Si une loi physique explique un phnomne, il est vident que cette loi est la mme pour tous les observateurs. Et il est naturel de demander ce que l'expression (mathmatique) de cette loi soit galement semblable (pour ce qui est de sa formulation) pour tous les observateurs.

Le deuxime postulat semble moins vident. A la fin du XIXme sicle, Michelson et Morley avaient dcouvert que la vitesse de la lumire (dans le vide) ne dpendait pas de la direction (ce que l'on


croyait l'poque, je ne m'tendrai pas sur ce sujet). Puis on dcouvrit que plus gnralement cette vitesse tait identique pour tout observateur.

Ce postulat est donc d'origine exprimentale. Il devrait donc, en toute rigueur s'exprimer :

Il existe une vitesse (gale celle de la lumire dans le vide) identique pour tout observateur.

Que cette vitesse soit aussi une vitesse limite impossible dpasser n'est pas trs important (et c'est aussi une consquence du reste de la thorie).

Ces deux postulats ne semble pas extraordinaires et pourtant, que de consquences !

Limitons-nous d'abord la relativit restreinte. Celle-ci se limite des observateurs qui se dplacent l'un par rapport l'autre vitesse constante. On n'aborde pas le cas des acclrations. Le problme est donc plus simple mais ici aussi les consquences sont extraordinaires.

Prenons tout simplement l'addition des vitesses. Supposons que je sois dans un train. Ce train roule 50 kilomtres par heure. Je me dplace dans le train, par exemple dans le mme sens que le train, la vitesse de 5 kilomtres par heure. Alors, je me dplace par rapport au sol la vitesse de 55 kilomtres par heure, c'est dire la vitesse du train ajoute ma propre vitesse.

Mais pour la lumire c'est faux !


Comment expliquer ce paradoxe ? Il faut videmment revoir notre rgle d'addition des vitesses. Mais la vitesse est la mesure du dplacement d'une certaine distance au cours d'un certain temps. Donc, il faut aussi revoir nos notions de distances et de temps !

Cela se montre aisment. Pour en savoir plus, je conseille de lire LA MESURE DU TEMPS et LA MESURE DES DISTANCES.

Rcapitulons simplement brivement les consquences de la relativit restreinte.

1. Le temps n'est plus absolu. Pour un observateur immobile (au repos), le temps d'un objet en mouvement semble s'couler plus lentement. Ce phnomne est appel dilatation du temps.

2. L'espace n'est plus absolu. Pour un observateur au repos, un objet en mouvement semble tre plus court dans le sens du dplacement. Ce phnomne s'appelle la contraction des longueurs.

3. L'addition classique des vitesses (on dit galilenne) n'est plus valable. Les rgles permettant de passer des mesures de la position et du temps pour un observateur un autre, s'appellent les transformations de Lorentz. Elles permettent d'obtenir la bonne formule pour les vitesses.

4. L'nergie et la masse c'est la mme chose. Lorsqu'un systme perd de l'nergie il devient plus lger ! Bien entendu ce phnomne ne s'observe pas aisment car un kilogramme de matire quivaut nonante millions de milliards de Joules ! Pour le constater, il faudrait dtruire entirement ce kilogramme de matire. Ce qui ne pourrait se faire qu'avec de l'anti-matire (les physiciens observent ce phnomne avec les particules tel que des lectrons et des anti-lectrons). Mais l'effet est dj sensible (et mesurable) avec l'nergie nuclaire.

5. Pour un observateur au repos, un objet qui se dplace a une nergie plus leve. Ce qui est normal ! C'est tout simplement l'nergie cintique qui peut se convertir sous d'autres formes lors d'un impact par exemple, et tout le monde sait qu'il faut de l'nergie pour mettre un objet


en mouvement. Mais cause de (4) l'objet a aussi une masse plus grande. Et lorsque l'objet approche la vitesse de la lumire, pour l'observateur au repos, sa masse (et son nergie) augmente de plus en plus vite. A la limite, si l'objet atteignait la vitesse de la lumire sa masse deviendrait infinie ! Il faudrait, pour qu'il atteigne cette vitesse, lui communiquer une nergie infinie ce qui explique que cette vitesse ne peut pas tre dpasse. Cela implique aussi que la lumire est sans masse propre (sinon sa masse apparente, la vitesse de la lumire, serait infinie).

La relativit gnrale

La relativit gnrale se propose d'tudier ce qui se passe si le premier postulat est valable pour tout observateur. Donc mme pour des observateurs qui ne se dplacent pas vitesse constante. C'est dire des observateurs qui acclrent, ralentissent, tournent, Cette fois la situation est nettement plus complique. Mais on peut raisonner intuitivement et comparer les acclrations avec la gravit. En effet, lorsque l'on lche un objet celui-ci tombe et sa vitesse augmente de plus en plus (jusqu' ce qu'il heurte le sol ou soit frein par l'air, bien sr). C'est pourquoi on parle d'acclration de la pesanteur. Sur terre (au niveau du sol) un objet qui tombe est acclr de 10 mtres par seconde au carr. Ce qui signifie qu' chaque seconde qui passe sa vitesse augmente de 10 mtres par seconde.

Exprimentalement on constate que la masse inerte (qui s'oppose la mise en mouvement d'un objet) et la masse pesante (la masse responsable de l'attraction gravitationnelle) sont toujours identiques. C'est le principe d'quivalence. D'o l'ide d'identifier acclration et gravitation.

La comparaison conduit une hypothse tonnante : l'espace (et le temps qui est indissociable en relativit) est courbe ! Voir par exemple LA RELATIVITE GENERALE et LA COURBURE DE L'ESPACE-TEMPS.

Voici rsum quelques consquences (non exhaustives) de la relativit gnrale :

1. L'espace et le temps sont courbe.

2. La courbure influence la trajectoire des objets qui suivent (lorsqu'ils se dplacent librement) le chemin le plus court appel godsique (dans un espace plat c'est videmment une droite).

3. La matire (et donc l'nergie) donne la courbure l'espace-temps. Plus un objet est massif, plus cette courbure devient importante. La courbure ne devient notable que pour des objets trs massifs (comme les toiles). Mais mme une trs lgre courbure comme celle provoque par la terre suffit expliquer le mouvement de la lune !

4. La gravit est une consquence de cette courbure

5. Les rayons lumineux sont dvis par les toiles. Ce qui fut constat la premire fois en observant les toiles proches du soleil (proches sur la vote cleste) grce une clipse totale.

6. Les plantes ne dcrivent pas de parfaites ellipses mais drivent lgrement au cours du temps. Ce qui peut se mesurer pour la plante mercure.

7. Pour un observateur extrieur, le temps prs d'un objet trs massif (une toile neutrons par exemple) semble s'couler plus lentement.

L'lectromagntisme

La thorie de l'lectromagntisme fut tablie par Maxwell la fin du XIXme sicle. Elle fut l'aboutissement du travail d'un grand nombre de prdcesseurs qui avaient tudi l'lectricit et le magntisme.

Lorsqu'un objet est charg lectriquement il met autour de lui un champ lectrique. Lorsque deux objets sont chargs lectriquement ils s'attirent ou se repoussent selon que leurs charges sont de signes opposs ou gaux.


En pratique, les charges lectriques ngatives sont produites par les lectrons, ou plus exactement par un excs d'lectrons. De mme, les charges positives sont dues un dficit en lectrons.


Le champ magntique peut tre provoqu par un aimant.


Tout comme il y a des charges lectriques positives et ngatives, les aimants ont un ple sud et un ple nord. Les ples de mme type se repoussent, ceux de type diffrent s'attirent. Avec la particularit que les ples d'un aimant ne peuvent pas tre isols contrairement aux charges.

Lorsque l'on place un mtal ferromagntique (comme le fer) dans un champ magntique il prend lui-mme une aimantation, c'est pourquoi il est attir par l'aimant.


Mais nous n'arrtons pas de parler de "champs". Qu'est-ce que c'est ? Un champ est une proprit physique (lectrique, magntique ou autre) qui prend une valeur en tout point de l'espace (un peu comme un fluide).

Lorsque cette valeur est un simple nombre, on parle de champ scalaire. Par exemple, la temprature est un nombre (en degrs Celsius par exemple) dfinit en chaque point. La temprature forme donc un champ scalaire.

Cette valeur peut tre plus complique qu'un simple nombre. Par exemple, elle peut tre un vecteur. Un vecteur est comme une petite flche avec une grandeur et une direction. Les champs lectriques et magntiques sont de ce type, ce qui se vrifie aisment en disposant de la limaille de fer au-dessus d'un aimant.


Une suite de vecteurs peut former une trajectoire appele ligne de champ. Il est plus facile de reprsenter un champ avec ces lignes de champs.


Lorsque l'on tudie l'lectricit et le magntisme on constate rapidement qu'ils ne sont pas indpendants. Par exemple un courant lectrique provoque un champ magntique. Nous avons vu qu'un courant lectrique est un simple flux d'lectrons. Et effectivement, toute charge lectrique en mouvement engendre un champ magntique (en fait tout champ lectrique variable engendre un champ magntique).


De mme, un champ magntique variable provoque l'apparition d'un champ lectrique. Ce champ lectrique agit sur les particules charges comme les lectrons et peut provoquer l'apparition d'un courant dans un conducteur. C'est sur ce principe que fonctionne une dynamo.

Enfin, lorsqu'une charge lectrique se dplace dans un champ magntique elle subit une force perpendiculaire.


C'est sur ce principe que fonctionne un moteur lectrique.

Il s'avre donc que les champs lectriques et magntiques sont intimement lis.

Maxwell russit unifier les deux champs dans un unique jeu d'quations remarquablement symtriques. On y voit clairement que le champ lectrique et le champ magntique jouent un rle semblable.

Ces quations montrent d'ailleurs que les deux champs peuvent driver d'un unique champ appel potentiel lectromagntique. Il comporte une composante vectorielle et une composante scalaire.

Une des consquences des quations de Maxwell est la possibilit d'avoir des ondes lectromagntiques.

Une onde est comme une vague. C'est une vibration qui se propage. Elle possde une frquence, une vitesse et une longueur d'onde.


Il est possible d'exprimer les quations de Maxwell sous forme relativiste (la relativit restreinte). En ralit les quations sont inchanges ! En effet, les quations de Maxwell sont dj relativistes (on peut dire qu'elles taient en avance sur leur temps). Ceci n'a rien d'tonnant car les ondes lectromagntiques se propagent la vitesse de la lumire. A cette vitesse, la relativit est reine et une thorie correcte ne pouvait tre que relativiste.

On peut toutefois exprimer les quations l'aide des notations mathmatiques relativistes (appeles notations covariantes). Sous cette forme les quations deviennent incroyablement simples et compactes (une seule quation extrmement courte).

Formules de cette manire, les champs lectriques et magntiques s'crivent comme un champ unique appel bien videmment champ lectromagntique. C'est un champ tensoriel. Les tenseurs


sont des objets mathmatiques un peu plus compliqu que les vecteurs. Ils sont par rapport aux vecteurs ce que les vecteurs sont aux scalaires. Un scalaire n'a besoin que d'un nombre. Un vecteur a besoin de quatre nombres (en relativit, ceci est li au fait que l'espace temps quatre dimensions : trois d'espaces et une de temps). Et un tenseur a besoin de 16 nombres.

Le tenseur lectromagntique est un peu particulier (mathmatiquement c'est un tenseur "antisymtrique"). Il y a des restrictions sur ses valeurs qui impliquent qu'il se comporte un peu comme un vecteur. Ce n'est pas tonnant puisqu'il est en ralit compos de deux champs vectoriels !

Selon leurs frquences, les ondes lectromagntiques se manifestent comme de la lumire, des ondes radios, etc.

La description de l'lectromagntisme et de la gravit (relativit gnrale) montre bien les grandes diffrences entre les deux.


Le spin

Dans la suite, nous aurons souvent l'occasion de parler du spin, le moment est donc venu d'expliquer ce que c'est.

Un objet tel qu'une particule (ou une boule) peut tre en rotation. On dit qu'il possde un spin.

Mathmatiquement, on caractrise le spin par les proprits d'un systme physique lorsqu'on effectue une rotation.

Prenons un champ scalaire. En un point donn sa valeur est un simple nombre. Lorsqu'on effectue une rotation un point reste un point et un champ scalaire n'a pas de spin. On dit que son spin vaut zro.

Pour un champ vectoriel, la situation est diffrente. Comme un vecteur a une direction, une rotation change sa direction. Lorsque l'on effectue un tour complet, le vecteur revient sa direction originelle. On dit qu'un champ vectoriel a un spin gal un.


Le champ lectromagntique tant de type vectoriel, il a un spin gal un.

Lorsque l'on tudie la relativit gnrale, on constate que les quations autorisent aussi des ondes. Elles sont appeles ondes gravitationnelles et sont des vagues dans l'espace-temps ! Ces ondes peuvent aussi tre dcrites par un champ (champ de gravitation). Lors d'une rotation, il suffit d'un demi-tour pour que les valeurs de ce champ reviennent leurs valeurs initiales. Ceci ne peut se produire qu'avec des tenseurs et le champ de gravitation est effectivement un champ tensoriel. On dit que le champ de gravitation a un spin gal deux.

Notons que tous les champs tensoriels n'ont pas un spin gal deux. Par exemple le champ lectromagntique est un champ tensoriel de spin 1.

On peut aussi avoir un spin 3 (un tiers de tour), etc. Nous en retoucherons un mot plus tard.

La thorie de Kaluza

Revenons notre histoire. Quel est donc l'ide que Kaluza a eu ?

Il est parti de la relativit gnrale. Il a d'abord simplifi le problme en ignorant la matire. Les quations de la relativit gnrale sont alors un peu plus simples. Elles dcrivent un monde de "pure" gravitation. Un monde remplit d'ondes gravitationnelles.


Mais il ne se contenta pas de cela. Il imagina un monde cinq dimensions ! C'est dire quatre dimensions d'espace et une de temps. Bien sr le monde rel n'a que trois dimensions d'espace (de gauche droite, d'avant en arrire et de haut en bas), mais nous y reviendrons.

Et l, quelque chose d'extraordinaire se passe. Lorsque l'on dtaille les quations de cette gravit cinq dimensions, puis que l'on ignore la dpendance la dimension supplmentaire, on voit brusquement apparatre la relativit gnrale habituelle, quatre dimensions, et le champ lectromagntique !

Kaluza avait donc montr que non seulement le champ de gravitation et le champ lectromagntique pouvaient tre unifis mais qu'en plus ce dernier champ n'tait que la consquence du champ de gravitation ( cinq dimensions) !

Mais la thorie de Kaluza pose tout de mme quelques problmes. Enumrons-les.

1. Pourquoi supprimer arbitrairement la dpendance la cinquime dimension ? Bien sr le monde rel a quatre dimensions, mais on est partit d'un monde cinq dimensions, toutes sur le mme pied d'galit. Pourquoi changer cela en cours de route ?

2. Si le monde a cinq dimensions, comment se fait-il que nous n'en percevions que quatre ? O est la cinquime ?

3. On a omit de signaler que lors du calcul on voit apparatre non seulement le champ de gravitation et le champ lectromagntique mais en plus on voit apparatre un champ scalaire (appel dilaton). Sa prsence, l'poque, tait gnante car ce champ n'tait pas attendu ! De plus, dans le monde qui nous entoure, nous n'observons pas un tel champ.


2.2. Klein

Une tape supplmentaire fut franchie par Oskar Klein en 1926. Celui-ci se demanda si certaines dimensions ne pouvaient pas tre enroules sur elles-mmes.

Comment est-ce possible ? Tout d'abord, tant donn que l'espace-temps est courbe, il n'est pas tonnant d'avoir une dimension trs courbe. Mais quoi cela correspond-t-il ?

Pour simplifier, raisonnons d'abord sur un cas beaucoup plus simple. Imaginons un espace deux dimensions, comme une feuille. Imaginons ensuite qu'une des deux dimensions s'enroule sur elle-mme.

Comme on le voit, si la dimension est enroule sur une trs petite distance, vu de loin ou vu par quelqu'un beaucoup plus grand que cette distance, l'espace prend l'apparence d'un fil une seule dimension. L'enroulement peut donc rendre cette dimension inobservable ou difficile observer.


Comment cela se traduit-il pour notre espace ordinaire trois dimensions ? Il faut imaginer qu'en plus de la hauteur, de la largeur et de la longueur il existe une direction supplmentaire, dans une quatrime dimension d'espace, mais qui est enroule sur une trs petite distance. Si nous pouvions nous dplacer dans cette direction nous reviendrions presque immdiatement notre point de dpart car l'enroulement est trs serr. En chaque point de l'espace ordinaire il existe une direction supplmentaire formant une petite boucle. On peut facilement le dessiner pour un espace "normal" a deux dimensions plus une dimension enroule.

On suppose donc que la cinquime dimension est une dimension d'espace enroule sur une trs petite distance. Typiquement, la distance considre est de l'ordre de la longueur de Planck :

mtre, c'est dire 0,00000000000000000000000000000000001 mtre ! Nous reviendrons plus tard sur cette distance et son explication.

3510

L'tape suivante est identique Kaluza. On suppose une pure gravit cinq dimensions et on rsout les quations. C'est un peu plus compliqu cause de cette dimension enroule et du fait que l'on prend en compte la totalit des dimensions. La cinquime dimension n'est plus limine (en projetant sur un espace-temps quatre dimensions) comme avec Kaluza.

Qu'est-ce que cela apporte ?

1. La thorie est plus "saine" puisqu'on n'limine plus arbitrairement une des dimensions en cours de calcul.

2. La cinquime dimension est inobservable, en pratique, car elle est enroule sur elle-mme sur une trs petite distance.


3. La thorie prvoit toujours quatre champs : la gravitation, le champ lectromagntique et le champ scalaire (dilaton). La gravitation et le champ lectromagntique se manifestent dans les quatre dimensions "normales".

4. La thorie explique la quantification de la charge. C'est dire qu'elle explique pourquoi la charge lectrique est toujours observe comme un multiple entier d'une charge lmentaire. Cette charge lmentaire est trs petite, c'est la charge porte par l'lectron (voir par exemple le nombre d'lectrons qui forment un courant de un ampre pour avoir une ide de la petitesse de cette charge).

5. Le champ scalaire joue un rle important. Il garantit la cohrence de la thorie (si on le supprime arbitrairement, la thorie devient absurde c'est dire inconsistante). Il intervient dans la quantification de la charge. Il est en pratique inobservable et intervient galement dans la prdiction de particules supplmentaires.

Mais il reste tout de mme quelque chose en plus par rapport aux thories classiques. La thorie prdit des particules supplmentaires de masse trs grande. Cette masse est norme (typiquement la masse de Planck, nous y reviendrons). Tellement grande qu'il est exclut de pouvoir crer de telles particules et donc de les observer !

2.3. La priode d'oubli

Puis la thorie de Kaluza - Klein fut oublie ou ignore pendant environ 40 ans !

Que s'est-il pass ?

Il faut tout d'abord bien comprendre que l'ide d'une cinquime dimension tait quelque peu exotique. Cette ide n'amliorait pas la thorie de la gravitation ni l'lectromagntisme. Elle permettait seulement l'unification des deux. Or on n'accepte pas facilement une ide exotique si l'on n'a pas une raison imprieuse.

Ensuite, rappelons que la thorie de Kaluza - Klein n'est pas libre de problmes. Le champ de dilaton tait, tout particulirement l'poque, quelque chose de difficile comprendre et admettre.

Mais le plus important ne rside probablement pas l. Aprs tout, on aurait pu considrer ces aspects curieux comme des artefacts mathmatiques ou thoriques, sans consquence physique relle et pousser plus loin la thorie. En ralit, la grande coupable est la physique quantique.

Comme je l'ai dit au dbut du chapitre 2.1, cette poque la mcanique quantique tait en pleine gestation. Nous nous pencherons bientt sur le monde mystrieux de la physique quantique. Celle-ci obtint trs vite des succs considrables. Aprs avoir russi expliquer les comportements des atomes, les physiciens thoriciens russirent rapidement quantifier le champ lectromagntique.

Par la suite, la physique quantique amliora encore son palmars en unifiant d'autres forces fondamentales (nous y reviendrons), mais le mal tait dj fait.

Tout d'abord, le "classique" n'avait plus vraiment la cote. On s'intressait beaucoup plus aux thories quantiques. Or la thorie de Kaluza - Klein est une thorie tout ce qu'il y a de plus classique. Pire, la gravitation pose d'normes problmes en physique quantique (comme nous le verrons) et la thorie de Kaluza - Klein, base sur la gravitation, n'chappe pas ce problme.

Ensuite, puisque le champ lectromagntique tait quantifi, le problme de l'unification s'tait dplac. Le but n'tait plus d'unifier l'lectromagntisme et la gravitation mais plutt d'unifier la gravitation avec l'ensemble de la thorie quantique.


Mais l'histoire n'a pas dit son dernier mot. Et les ides de Kaluza - Klein finirons par ressurgir.


3. Les thories quantiques

3.1. La mcanique quantique

Voici venu le moment de nous plonger dans les eaux profondes de la mcanique quantique. J'espre que vous n'avez pas trouv trop difficile ce qui a prcd car la mcanique quantique est infiniment plus complique et plus droutante que la relativit gnrale ou l'lectromagntisme !

Il va de soit que je n'expliquerai la mcanique quantique que dans les grandes lignes. Je passerai sur beaucoup de dtails, en particulier les dtails mathmatiques (bien sr). C'est un sujet extrmement vaste, rsultat de trois quarts de sicle de recherches thoriques par un trs grand nombre de physiciens. Ses succs et ses applications sont innombrables. Un livre entier ne pourrait couvrir compltement le sujet. Nous toucherons seulement aux aspects les plus fondamentaux, ncessaires pour comprendre de quoi on parle, et aux aspects qui nous conduirons progressivement la thorie des cordes.

La mcanique quantique est le monde de l'infiniment petit. Le monde des atomes et des particules atomiques. C'est un monde trs particulier o les lois classiques, celles qui gouvernent notre quotidien, ne s'appliquent pas. Au contraire, les concepts de la mcanique quantique sont tranges et droutants. Nous aurons l'occasion de le voir.

Postulats de base

En physique quantique, l'tat d'un systme physique est reprsent par un "tat quantique" ou un "vecteur d'tat" not pour reprsenter un tat . Les postulats de la mcanique quantique disent que les tats sont "linaires". C'est dire que toute combinaison d'tats est encore un tat (mathmatiquement, c'est de l que vient leur nom de vecteur). Par exemple si 1 et 2 sont deux tats possibles, alors 1 2 + est galement un tat possible pour le systme. Attention, les tats ne sont pas de simples nombres. Ils peuvent tre trs compliqus.

Lorsqu'un systme physique est dans un tat, il peut malgr tout tre dans un autre tat ! Par exemple

2 1 est appele "l'amplitude" d'tre dans l'tat 2 si le systme est dans l'tat 1 . L'amplitude n'est pas un simple nombre. C'est un nombre que les mathmaticiens appellent nombre "complexe". En l'levant au carr (plus exactement en le multipliant par son conjugu) on obtient un nombre classique. Ce nombre est interprt comme la probabilit que le systme physique soit dans l'tat 2 s'il est dans l'tat 1 . Le monde quantique est donc un monde de probabilits. Et cette probabilit ne semble pas tre une consquence de notre imprcision ou de notre ignorance mais semble bien tre une proprit intrinsque de la nature.

Que reprsente exactement un tat ? C'est un peu compliqu mais on peut prendre un cas simple. Supposons que l'on ait une particule isole, disons un lectron. Cet lectron peut se situer en un endroit prcis, disons la position . Un tel tat sera not x x . Rappelez-vous que l'on peut superposer les tats. Ainsi l'tat 1 2x x+ reprsente une situation o l'lectron peut se situer deux endroits ! Il peut donc tre dans un tat quelconque x . Dans ce cas, l'amplitude (et de l, la

probabilit) qu'il soit situ (observ, lors d'une mesure) la position est x x . Comme cette valeur peut tre donne pour chaque position, on obtient ce qui est appel une fonction d'onde. C'est une


fonction qui donne une valeur (une amplitude) pour chaque position. On la note traditionnellement ou ( )x . Historiquement, c'est Schrdinger qui trouva, l'aide de raisonnements intuitifs, la premire quation applicable la fonction d'onde de l'lectron plong dans le champ lectrique du noyau de l'atome. Elle permit une avance considrable dans la comprhension des atomes.

Les rgles que nous avons donnes ci-dessus autorisent dj des choses extraordinaires. Mme sans manipuler d'quations. On l'a vu avec l'lectron qui peut se trouver en deux endroits.

Par exemple, un lectron est-il une onde ou une particule (comme une bille dure) ? L'ide de particule souffre quelque peu puisque l'lectron peut se retrouver compltement "dispers" un peu comme une onde. Oui mais si on effectue une mesure, on observera l'lectron en un endroit prcis et uniquement cet endroit, ce qui n'est pas possible pour une simple onde ! Pour en savoir plus, voir LA LUMIERE : Onde ou particule ?.

On peut modifier un tat. On peut le transformer en un autre tat. Cette opration se fait avec ce qui est appel un "oprateur". Un oprateur est un objet mathmatique qui effectue une opration mathmatique sur l'tat. Ce n'est pas toujours une simple multiplication ou une simple addition, cela peut tre une opration beaucoup plus complique (que je ne dcrirai videmment pas ici).

Certaines valeurs d'un systme sont appeles des observables. C'est dire des valeurs que l'on peut mesurer. C'est le cas de la position d'une particule, de sa vitesse, de sa charge lectrique, etc.

Les observables sont aussi reprsents par des oprateurs. Par exemple l'oprateur "vitesse de la particule", appelons-le V . Si un systme a une vitesse prcise, alors l'opration sur l'tat correspondant donne : v V v= . L'tat ne change pas (en toute rigueur il peut tre multipli par un nombre, mais cela ne change pas les raisonnements) ! C'est aussi une manire de dfinir les oprateurs pour les observables (ce n'est donc pas un postulat mais une dfinition). Lorsqu'un tel tat est inchang par un oprateur il est appel "tat propre" ou "vecteur propre".

Pour un tat quelconque , on peut le dcomposer (en utilisant la superposition des tats) : 1 1 2 2 3 3...a v a v a v = + + + . Qu'une telle dcomposition soit toujours possible, fait partie des

postulats de base sur les tats.

Alors, comme chaque vitesse "pure" est un tat propre, les valeurs sont les amplitudes (et

de l, les probabilits) d'observer la particule avec la vitesse . Cette suite de valeur s'appelle la quantification car dans certains tats on peut trs bien n'avoir que des valeurs prcises et pas d'autres. On dit que la valeur est quantifie.

1 2 3, ,...,a a a

1 2 3, ,...,v v v

Comme les oprateurs ne sont pas des nombres, ni toujours des oprations mathmatiques simples, ils ne sont pas toujours "commutatif". C'est dire que l'on ne peut pas toujours les intervertir. Si j'ai un oprateur A et un oprateur B alors on peut trs bien avoir A B B A . C'est dire que si j'agis sur un tat avec A puis avec B le rsultat sera diffrent si j'agis avec B puis avec A . On dit dans ce cas qu'ils ne "commutent" pas. Si le rsultat est identique, alors on dit qu'ils commutent. L'opration [ , ]A B A B B= Aest appele un commutateur. S'il est non nul, cela signifie que les oprateurs ne commutent pas.

Par exemple, en mcanique quantique, les oprateurs vitesse et position ne commutent pas ! Une situation sans quivalent classique o mesurer position puis vitesse est identique mesurer vitesse puis position. Alors que la non-commutation implique que l'ordre des mesures peut avoir une importance en mcanique quantique.


Il est vident que je n'ai pas expliqu la forme exacte de ces oprateurs position et vitesse, mais impossible d'entrer dans tous ces dtails sans faire des mathmatiques. Malheureusement.

Le principe d'incertitude

On peut montrer que si deux oprateurs (observables) ne commutent pas alors il est impossible d'avoir un tat ayant une valeur prcise et unique pour les deux observables la fois (cela est li l'ordre des mesures expliqu ci-dessus). C'est le principe d'incertitude qui est une des consquences les plus extraordinaires de la physique quantique. Nous allons en donner quelques exemples et applications.

La vitesse et la position sont deux oprateurs qui ne commutent pas. Ils sont donc sujet au principe d'incertitude. Celui-ci dit qu'il est impossible de mesurer avec une prcision aussi grande que voulue la fois la vitesse et la position d'une particule. Plus prcisment, si x est l'incertitude sur la position (dans une direction donne) et l'imprcision sur la mesure de la vitesse (dans la mme direction). Alors on aura :

v

2hx vm

o est le nombre pi (3.1416), est la masse de la particule et est une constante appele constante de Planck. Mathmatiquement, la position et la vitesse sont dites des variables "conjugues" (au sens hamiltonien, je n'expliquerai pas ici ce que cela signifie, c'est un peu compliqu et hors sujet). Toute paire de variables conjugues obit cette formule.

m h

La constante de Planck est extrmement petite. Cela explique que cet effet est impossible dtecter notre chelle. Par contre, la masse des lectrons est extrmement petite aussi. Donc la fraction ci-dessus est notable pour un lectron et l'effet de cette incertitude est important.

Si je mesure avec une trs grande prcision la position d'un lectron, alors sa vitesse sera trs incertaine. Inversement, si sa vitesse est mesure trs prcisment, alors il peut se trouver peu prs n'importe o !


Par exemple, autour d'un atome l'lectron a une nergie trs prcise (comme le montre l'quation de Schrdinger). Plus exactement, il existe plusieurs tats d'nergies diffrentes (on dit des niveaux). Mais l'quilibre l'lectron se trouve sur le niveau d'nergie le plus bas. Puisque son nergie est prcise, alors sa vitesse aussi. En fait, pas tout fait, car l'lectron tourne et sa vitesse change donc constamment de direction, mais elle reste constante en grandeur.


Cette vitesse prcise en grandeur (mais pas en direction) fait que la position de l'lectron est trs incertaine autour de l'atome. Il forme une espce de petit "nuage" autour de lui.


La reprsentation sous forme d'orbite circulaire est trs image et moins prcise que les orbitales ci-dessus (c'est le moins que l'on puisse dire !) mais cette reprsentation est trs pratique. Disons que chaque orbite circulaire reprsente un niveau d'nergie de l'lectron plutt qu'une orbite relle.

D'autres variables (oprateurs) prsentent ce phnomne.

Ainsi le temps et l'nergie sont des variables conjugues. On a donc :

2ht Em

Que signifie en pratique cette formule ? Par exemple, si une particule reste dans un tat donn pendant un temps trs court (et donc forcment trs prcis). Alors l'nergie de cette particule sera trs imprcise. Cela peut se manifester avec les atomes.

On voit que nous associons frquence de la lumire (sa couleur, comme on l'a vu avec le spectre lectromagntique) avec l'nergie mise par l'atome. En ralit, en mcanique quantique les valeurs sont quantifies, comme on l'a vu. Et la lumire ne peut tre mise que par "paquets" d'nergie, appels quanta ou photons. La relation entre la frquence de la lumire est : . O on retrouve la fameuse constante de Planck. Historiquement, ce fut la premire manifestation quantique qui fut dcouverte (par Planck avec le rayonnement du corps noir, puis confirme et gnralise par Einstein avec l'effet photo lectrique).

E hv=


Mme le spin des particules est quantifi. On trouve ainsi des particules de spin 0, 1, 2, comme pour un champ. Classiquement, une particule peut tourner n'importe comment. Ce n'est pas le cas en mcanique quantique !

Pour voir quelques autres effets et consquences de la mcanique quantique, je conseille de voir Mcanique quantique et relativit o l'on parle de deux phnomnes qui semble (en apparence) contredire la relativit.

Les fluctuations du vide

Une consquence fantastique dcoule de l'incertitude sur le temps et l'nergie et de la relativit. Supposons que je prenne le vide. Supposons aussi que je regarde ce qui se passe en un endroit donn pendant un temps trs court. Alors, le principe d'incertitude nous dit que l'nergie de cet tat (le vide !) est trs imprcise. Or la relativit dit que l'nergie c'est aussi de la masse, donc des particules. Donc, pendant ce temps trs court des particules peuvent apparatre spontanment du vide ! On les appelle des particules virtuelles car elles disparaissent trs vite (sinon la dure de leur existence ne serait plus trs courte).

Donc le vide doit tre remplit de plein de "fluctuations". Des particules de toute nature doivent apparatre et disparatre constamment.

Ces fluctuations ne sont pas quelque chose d'imaginaire car leurs effets sont bien rels ! Pour en savoir un peu plus, voir Les fluctuations du vide.

Les bosons et les fermions

Le monde contient deux types de particules. Les particules de spin entier (0, 1, 2, ) appels les bosons et les particules de spin demi-entier (1/2, 3/2, ) appels les fermions.

Par exemple les photons sont des bosons car ils ont le spin 1 (ce qui est identique la valeur du spin du champ lectromagntique ce qui n'est pas tonnant). Et les lectrons sont des fermions car ils ont le spin 1/2.

Que signifie un spin demi-entier ? On a vu que le spin caractrisait les proprits sous les rotations. Ainsi, pour un champ de spin 1, les vecteurs reprennent leur position initiale aprs un tour. Pour le spin deux, un demi-tour suffit. Pour un spin 1/2, il faut effectuer deux tours ! Voil qui est extraordinaire et n'a nouveau aucun quivalent classique. Quel objet classique pourrait bien avoir la


proprit de ne pas retrouver son tat original aprs un tour complet ? Aucun ! Cette particularit des effets curieux comme d'empcher deux lectrons d'tre exactement dans le mme tat (autour du mme atome, avec la mme nergie, etc.) alors que pour des bosons c'est possible (dans un rayon laser, tous les photons ont mme direction, mme frquence, etc.).

La thorie montre que la matire habituelle (les atomes) est constitue de fermions tandis que les bosons sont responsables des forces. Par exemple, le photon est responsable de la force lectromagntique.

Si le boson vecteur de force est sans masse propre, alors la "porte" de la force est infinie. Sinon, la force a une porte limite. Par exemple, le photon n'ayant pas de masse propre (comme on l'a vu), l'lectromagntisme agit grande distance. Par contre, les forces nuclaires qui drivent de l'interaction forte (nous en parlerons plus tard) et qui ont un vecteur massif n'agissent qu' courte distance : au sein du noyau atomique.

Le lien entre masse du boson et porte de la force est li au principe d'incertitude sur le temps et l'nergie. Le boson qui est chang est comme une particule virtuelle, il est cr (mis par une particule) puis dtruit (absorb par l'autre). Cet change prend un certain temps puisqu'il ne peut pas dpasser la vitesse de la lumire. Le principe d'incertitude dit que l'incertitude sur l'nergie est d'autant plus faible que ce temps est grand. Or pour crer une particule massive, il faut au moins l'nergie correspondant sa masse propre (on a vu que la masse c'est de l'nergie). Donc, pour une particule massive le temps d'change est limit et donc aussi la distance. Par contre, pour un photon pas de limite. Si la distance est grande, l'nergie "disponible" est faible mais un photon peut avoir une nergie aussi petite que l'on veut, il suffit que sa frquence soit petite. Cela explique aussi qu' grande distance la force lectromagntique est moins grande puisque les nergies en jeu sont plus faibles.


3.2. La thorie des champs

Pour traiter de la cration (ou de la destruction) des particules, les formalismes que nous avons vus tel la fonction d'onde ne conviennent pas. On a vu que la fonction d'onde dcrivait l'amplitude pour une seule particule.

On peut avoir des tats, et de l une fonction d'onde plus complexe, pour deux particules. Mais il est assez difficile de manipuler des tats nombre de particules variables. Pire encore, je peux avoir un tat qui dcrit un systme avec une particule et un autre tat qui dcrit le systme avec deux particules. Je peux superposer les tats et avoir un tat qui est la fois une et deux particules !

De plus les thories doivent tre relativistes car la cration des particules, transformation d'nergie en masse, est un effet typiquement relativiste (on parle ici, bien sr, de relativit restreinte). Ce qui complique un peu les choses.

La solution est venue des champs. L'ide tant : et si on pouvait reprsenter, par exemple, les lectrons par un champ. Tout comme on l'a vu pour la lumire qui est compose du champ lectromagntique en physique classique et de photons en physique quantique. D'o l'ide de


reprsenter classiquement toutes les particules par des champs puis de passer la physique quantique. Est-ce que a marche ? Oui, et mme trs bien !

La thorie quantique des champs fut labore dans les annes trente mais, mme maintenant, c'est encore un sujet actif de recherches thoriques.

Les champs en mcanique quantique

Les champs possdent les proprits requises. Par exemple, ils peuvent tre linaires ce qui entrane des mcanismes de superposition comme pour les tats.

On quantifie le champ en remplaant les variables dcrivant le champ par des oprateurs. On recherche les variables conjugues (au sens mathmatique de ce terme) et on exprime que les oprateurs ne commutent pas. Et le tour est jou.

Un champ peut avoir des "modes" prcis. C'est dire avoir une frquence de vibration prcise. Aprs quantification, on constate que ces modes se comportent comme des tats une particule ! Comme un champ peut avoir des tas de frquences en mme temps, alors il peut correspondre des tats avec plusieurs particules. Il est mme possible de calculer des oprateurs dit de cration (ou de destruction) qui modifient un tat en lui ajoutant une particule. Ils jouent un grand rle dans la thorie et, on le devine aisment, dans les champs en interaction o des particules peuvent tre cres.


Quantifier un champ pose parfois quelques difficults techniques. C'est le cas du champ de l'lectron car sa nature de fermion, c'est dire son spin 1/2, entrane quelques complications. Pour information, le champ "classique" de l'lectron se dcrit avec une quation appele quation de Dirac et qui avait t imagine au dbut de la mcanique quantique pour essayer de trouver une formulation relativiste de l'quation de Schrdinger.

C'est encore pire pour le champ lectromagntique. Sa nature "purement" relativiste ( cause de sa vitesse gale la vitesse de la lumire) entrane de grosses difficults (sur lesquelles je ne m'tendrai pas ici) mais qui peuvent tre surmontes au prix de quelques complications mathmatiques.

Le vide

Comment se reprsenter le vide pour un champ ? C'est simplement l'tat minimal. Il a l'nergie minimale et correspond zro particules. Lorsqu'on agit sur cet tat avec l'oprateur de destruction on obtient zro (et non pas l'tat du vide). C'est normal, comment dtruire une particule dans un tat qui n'en contient aucune ?

Mais cet tat du vide est un peu particulier. Les rgles de non-commutation entranent que certaines variables ne peuvent s'annuler. On a vu que deux oprateurs qui ne commutent pas sont tel que A B B A . Mais si A s'annule (ou plutt l'application de A sur l'tat physique), alors on a forcment . Donc 0A B B A = = A ne peut pas s'annuler. L'tat du vide ne contient aucune particule mais il reste "quelque chose" !

Si l'on analyse l'tat du vide plus en profondeur, on constate que les modes de vibrations ne s'annulent pas tout fait. On constate rapidement qu'ils correspondent des fluctuations du vide. Les fameuses particules virtuelles !


Comme il y a une infinit de modes (car il y a une infinit de frquences possibles), alors le vide est remplit d'une infinit de fluctuations.

Quelle est l'nergie du vide ? Si on fait le calcul de manire abrupte, on obtient l'infini ! En ralit ce n'est pas surprenant puisqu'il y a une infinit de fluctuations. Chaque mode de vibration apporte une petite contribution et il y a une infinit de modes possibles.

Mais ce rsultat n'a pas vraiment de sens. On ne peut pas observer l'nergie du vide. On peut seulement en observer les variations comme dans l'effet Casimir. Pour observer ou "extirper" l'nergie du vide il faudrait le dtruire entirement ce qui semble plutt difficile !

Lorsque l'on mesure l'nergie d'un tat, disons une particule, on le fait toujours par comparaison avec l'nergie du vide. Dans ce cas, les nergies des tats deviennent finie. Bien sr, il est possible d'exprimer cela mathmatiquement de manire prcise avec disparition des infinis (on ne fait pas btement l'infini moins l'infini). Techniquement, on exprime les oprateurs en fonctions des oprateurs de cration et destruction et on place ces derniers droite (appel ordre normal). Curieux que cela rende les rsultats finis, n'est-ce pas ? Mais il est difficile d'expliquer pourquoi sans mathmatique.

Les champs en interaction

Pour un champ simple tel que le champ lectronique ou le champ lectromagntique, on a vite fait le tour. On peut juste dcrire des tats avec un nombre donn, et constant, de particules. On peut aussi effectuer quelques statistiques intressantes sur les fluctuations du vide. Mais c'est peu prs tout. Mais les choses deviennent beaucoup plus intressantes ds que l'on considre plusieurs champs ensemble. Par exemple, le champ lectronique et le champ lectromagntique. C'est aussi beaucoup plus raliste puisque des charges lectriques mettent des champs lectromagntiques comme on l'a vu. Dans ce cas, les champs peuvent interagir entre eux et provoquer la cration de particules, en particulier de photons car leur nergie pouvant tre aussi faible que l'on veut, il est facile d'en crer.

Les champs peuvent aussi interagir avec eux mme. De tels champs sont appels champs en auto interaction.

Typiquement, dans les quations qui dcrivent les champs, on rajoute simplement un terme qui dcrit l'interaction puis on quantifie.

Malheureusement, si la situation est plus intressante elle est aussi beaucoup plus complique. Et, sauf dans quelques cas simples, les quations ne peuvent pas tre rsolues de manire exacte. On a donc besoin de mthodes approches. La plus connue et la plus puissante est fournie par la thorie des perturbations qui fut labore dans les annes quarante.

La thorie des perturbations

Le principe de cette thorie est simple. On considre un systme physique raliste mais insoluble de manire exacte. Puis on regarde un systme physique plus simple, qui lui ressemble et que l'on sait rsoudre de manire exacte. On considre alors la diffrence entre les deux systmes comme une "perturbation" que l'on sait traiter mathmatiquement de manire approche.

Regardons cela d'un peu plus prs. On a vu que le champ lectronique et le champ lectromagntique taient relativement simples et ils peuvent tre l'objet de calculs exacts. L'interaction entre les deux, c'est dire le terme d'interaction ajout aux quations, est alors considr comme une perturbation au systme sans interaction. Mathmatiquement, le terme d'interaction est caractris par une valeur, appele constante de couplage, qui est une image de la force de l'interaction. La force lectromagntique est encore assez modre et la perturbation peut gnralement tre considre comme assez petite. Cette constante, dans le cas de l'lectrodynamique (c'est le nom donn au champ lectromagntique + le champ lectronique en interactions), est appele constante de structure fine (pour des raisons historiques que je ne dtaillerai

pas ici) et vaut 1/136, c'est dire environ sept millimes. Nous appellerons cette constante .


Appelons le rsultat d'un calcul sur le systme complet (champ lectronique + champ lectromagntique + interaction entre les deux) totR . Appelons le rsultat du mme calcul sur le systme simplifi (champ lectromagntique + champ lectronique, sans interaction) 0R . Ce rsultat peut tre calcul exactement mais pas le prcdent. La thorie des perturbations fournit des outils mathmatiques qui permettent d'obtenir une relation du genre :

20 1 2 ...totR R kR k R= + + +

Les termes successifs 1 , 2R R , sont des corrections successives de plus en plus prcises. Les outils mathmatiques donnent ce qu'il faut pour les calculer. Plus on calcule de termes et plus le rsultat sera prcis. Bien sr, il faut que k soit suffisamment petit pour que les corrections successives ci-dessus deviennent de plus en plus petite. Par exemple, avec la constante de structure fine, le premier terme donne une correction de l'ordre du pour cent, le deuxime terme une correction de l'ordre du dix millime, etc.


La thorie des collisions

Une approche particulirement fructueuse de la thorie des perturbations est son application la thorie des collisions.

On considre initialement des particules bien spares. Celles-ci peuvent tre dcrites par les champs sans interaction (c'est une approximation). Puis ces deux particules se rapprochent et entrent en collision. Dans cette phase, les champs sont en interaction. Puis les particules s'loignent et finissent par tre suffisamment loin pour tre nouveau considres comme bien spares et dcrites par des champs sans interaction. Les champs initiaux et finaux, sans interaction, sont appels des champs libres.


On peut caractriser la situation entrante par des champs libres , par exemple, deux particules. Appelons cet tat in . De mme l'tat sortant sera out . Ce dernier tat permet une description simple (puisque ce sont des champs sans interaction) mais il reste inconnu puisque nous ne connaissons pas le rsultat de la collision. Si on le connaissait, il permettrait de calculer tout ce que nous voulons savoir. Par exemple, si l'tat 3 caractrise un tat trois particules (dont une a t cre) avec des directions et des vitesses bien prcises, alors on peut calculer l'amplitude (et la probabilit d'avoir ce cas) : 3 out .

La collision peut tre calcule comme le rsultat d'un oprateur qui transforme l'tat entrant en tat sortant : out S in= . L'oprateur est souvent appel matrice car on travaille frquemment dans une reprsentation mathmatique des oprateurs sous forme matricielle (des tableaux de nombres).

S S

Le problme est alors de calculer cette matrice qui contient tout ce que nous voulons savoir sur le processus de collision. Notons que s'il n'y avait pas de collision, c'est dire si les particules s'vitaient ou s'il n'y avait pas d'interaction, on aurait alors

S

out in= . L'oprateur qui ne change pas les tats : I = est appel oprateur identit (par analogie avec la multiplication par le nombre 1 qui ne

change rien). La thorie des perturbations permet alors de calculer une expression du type :

0 1 ...S I S S= + + +


Diagrammatique

Il existe une extraordinaire expression graphique de cette quation. Elle fut labore par Feynman. Cette mthode permet de tracer des diagrammes (appels diagrammes de Feynman) et s'appelle donc mthode diagrammatique.

Un diagramme reprsente un processus de collision. On a deux particules qui s'amnent et qui repartent avec dans le processus des crations de particules.

Ces diagrammes caractrisent des collisions mais peuvent aussi caractriser des propagations (une seule particule avant et aprs, comme le dernier ci-dessus) ou des dsintgrations (une particule au dpart, plusieurs aprs).

Il est possible d'tablir une correspondance entre les diagrammes et les termes successifs calculs avec la thorie des perturbations.

Les rgles de construction des diagrammes sont appeles rgles de Feynman. Elles donnent les contraintes dans la construction des diagrammes (par exemple un lectron ne peut pas tre cr tout seul car la charge lectrique est toujours conserve). Mais elles donnent aussi la manire d'associer le diagramme et les calculs (elles donnent des expressions mathmatiques aux "branches" et aux "nuds" du diagramme et la mthode pour les regrouper). Ces rgles mathmatiques sont gnralement assez simples.

Dans l'expression pour la matrice , les termes successifs correspondent aux nombres de boucles dans le diagramme.

S


Pour rsoudre un problme de collision donn, on trace tous les diagrammes (jusqu' une certaine taille, le nombre de diagrammes grandit trs vite). Puis on les traduit en quations grce aux rgles de Feynman, on additionne le tout et le tour est jou, on a trouv l'expression (approche) de la matrice

. Si le rsultat n'est pas suffisamment prcis, il suffit de calculer plus de diagrammes. S

3.3. La renormalisation

Le mcanisme de la renormalisation que nous allons prsenter fut labor la fin des annes quarante et dans le courant des annes cinquante. Certains rsultats mathmatiques rigoureux ne furent mme obtenus que dans les annes soixante. Il a encore subit des prolongements depuis et n'a certainement pas fini de nous rserver des surprises.


Les divergences

Le problme vient de l'apparition dans les calculs de nombres infinis. C'est plutt gnant quand on calcule des probabilits. La probabilit maximale est videmment de 100 %. Ce serait dj ennuyeux de trouver plus, mais alors l, l'infini, c'est carrment catastrophique !

Le problme est mme trs srieux. Quand on calcule les diagrammes pour l'lectrodynamique, on constate que les seuls qui ne posent pas de problme sont ceux sans boucle ou avec une boucle. Ds que l'on a deux boucles, patatras, les infinis font leur apparition.

D'o vient le problme ? Prcisons d'abord ce que nous entendons par "valeurs infinies". Les calculs consistent en la rsolution d'intgrales sur les frquences. C'est dire que l'on a des fonctions mathmatiques, et l'on effectue une opration mathmatique (l'intgration) sur un paramtre qui est la frquence. Le calcul devant s'effectuer en utilisant toutes les frquences possibles de 0 l'infini. Les petites frquences sont celles des ondes radios et infrarouges, comme on l'a vu, et les hautes frquences les ultraviolets.

On peut effectuer un calcul en limitant les frquences. Par exemple on peut effectuer le calcul des intgrales de la valeur v1 la valeur v2. Puis, dans la formule obtenue, on doit en principe faire tendre la valeur v1 vers zro et la valeur v2 vers l'infini pour obtenir une valeur (par exemple l'amplitude ou la probabilit d'un processus). Et c'est l que les problmes apparaissent. Dans la plus part des cas, le rsultat devient infini. Plus la valeur de v1 approche de zro et plus la valeur de v2 approche de l'infini, plus la valeur devient grande. On dit que l'intgrale est divergente. Si elle reste finie, elle est dite convergente.

Par abus de langage ont dit que le diagramme est divergent. Lorsque le rsultat devient infini quand v1 tend vers zro on dit que le diagramme est divergent infrarouge. De mme lorsqu'il devient infini pour v2 tendant vers l'infini, on dit que le diagramme est divergent ultraviolet. On parle aussi de singularit infrarouge ou ultraviolette.

Les divergences infrarouges

Les divergences infrarouges sont les moins graves. Leur explication physique est simple. Les photons de petite frquence ont aussi, nous l'avons vu, une petite nergie. Par consquent pour une nergie donne, on peut avoir un trs grand nombre de photons infrarouges (on dit aussi des photons "mous"). A la limite, le nombre de photons peut tendre vers l'infini lorsque la frquence tend vers zro tout en conservant une nergie totale finie.

Mais vouloir tenir compte de tous les photons de frquence aussi petite n'a pas de sens. Plus un photon a une nergie faible et plus il est difficile observer. Des photons de trs petite frquence (des ondes radios dans les trs grandes longueurs d'onde) chappent la dtection des appareils. On peut donc conserver une valeur minimale pour v1 sans changer les rsultats observs. Et avec cette valeur minimale, sans la faire tendre vers zro, les rsultats deviennent fini. Il n'y a plus de divergence infrarouge.

Les divergences ultraviolettes

Une divergence ultraviolette est plus grave car les photons de grande frquence ont aussi une grande nergie. Si leur nombre tend vers l'infini, l'nergie aussi ! Cette fois il ne s'agit plus d'une difficult exprimentale mais bien d'un problme thorique, et grave de surcrot.

C'est d'autant plus ennuyeux que les rsultats une boucle donnent des rsultats finis et corrects du point de vue exprimental (bien que moyennement prcis puisque l'on a peu de diagrammes).

Pourquoi cela drape-t-il juste aprs ? D'o vient cette anomalie ?


Dans la thorie des champs, nous avons expliqu que l'on part des quations dcrivant le champ. Ce sont des quations classiques o les particules sont considres comme classiques. Les particules entrent dans les quations via leurs caractristiques : masse, charge lectrique, etc. Ces particules sont appeles particules "nues" car elles peuvent tre isoles. Un tat classique une seule particule reprsente une particule isole.

Puis on passe la quantification qui a pour consquence de faire apparatre les fluctuations du vide. En particulier une particule ne peut plus tre isole.

Autour de la particule il y a un nuage de particules virtuelles qui interagissent avec la particule "relle". L'ensemble est appel particule "habille".

En ralit, seule la particule habille a un sens physique rel, car on ne peut jamais enlever cet "habillage". Les seules particules que l'on peut observer, mesurer, sont les particules habilles.

Lorsque l'on mesure la masse ou la charge des particules, on mesure en ralit la masse ou la charge de la particule habille. Celle-ci est forcment diffrente de l'hypothtique particule nue. Les paramtres de la particule nue sont appels paramtres nus, par exemple la masse nue (on dit aussi masse "barre"). Ceux de la particule habille sont appels paramtres rels ou ne portent pas de qualificatif (masse relle, masse habille ou tout simplement masse tout court). Pour bien faire la distinction nous emploierons le terme de paramtres rels.

Supposons que l'on parte de masse nue, charge nue, finis. On calcule alors les masses relles, charges relles, en utilisant la thorie et en particulier les diagrammes. On obtient alors des rsultats infinis comme nous l'avons vu. Mais dans la ralit c'est l'inverse qui se passe ! Les valeurs relles sont finies et c'est les paramtres nus qui devraient tre infinis. Pour eux ce n'est pas gnant puisque les particules nues n'existent pas physiquement. Les paramtres nus peuvent tre considrs comme un intermdiaire mathmatique pour dcrire la thorie.

Voil donc l'origine de ces infinis. On a considr que les particules nues taient les particules relles et avaient des proprits finies alors qu'en ralit ces particules nues n'existent pas et devraient (si jamais elles existaient) avoir des proprits infinies.

Tout cela explique, intuitivement, que l'apparition des divergences ne se produise qu' partir des diagrammes prsentant une certaine complexit puisque ceux-ci reprsentent des particules "un peu plus habilles".


Maintenant que nous avons compris ce qui se passe, il nous faut trouver une mthode pour obtenir des rsultats corrects.

Pour rsoudre le problme nous allons procder en trois tapes.

1re tape : la rgularisation

La premire tape s'appelle la rgularisation.

Cela n'a pas de sens de travailler avec des nombres infinis. Des intgrales qui divergent sont mathmatiquement sans signification et on peut obtenir des rsultats aberrants.

On va donc veiller d'abord ne manipuler que des rsultats finis. Il existe pour cela une norme varit de mthodes. Aucune n'est universelle. Chacune prsente des avantages et des inconvnients.

Une premire mthode consiste effectuer une "coupure". C'est dire que l'on coupe les frquences pour ne conserver que les plus petites. Techniquement, on peut faire comme expliqu au dbut, on garde la valeur de v2 finie. Il existe des mthodes moins "brutales" comme amortir les valeurs de grande frquence.


Une autre mthode consiste faire varier le nombre de dimensions de l'espace-temps. C'est la rgularisation dimensionnelle. Attention, il n'y a pas d'interprtation physique cette opration. C'est une pure astuce mathmatique. D'ailleurs on utilise mme des valeurs fractionnelles pour le nombre de dimensions (4,5 dimensions par exemple) ! On peut montrer que les rsultats deviennent


convergents, donc fini, pour des dimensions suffisamment leves (pour l'lectrodynamique). Dans un monde cinq dimensions, les quations de l'lectrodynamique quantique sont convergentes.

Il existe bien d'autres mthodes (rgularisation de Pauli - Villars par exemple). Quels sont les critres recherchs dans ces mthodes ?

Le premier critre est bien entendu la simplicit des calculs. Les deux mthodes ci-dessus sont, par exemple, relativement simples. Mais, selon le problme physique considr, l'une ou l'autre mthode peut s'avrer plus simple.

Une caractristique cruciale est la consistance de la mthode. Il ne faut pas que le rsultat final dpende de la rgularisation qui n'est qu'une astuce intermdiaire pour manipuler des quantits mathmatiquement significatives. Si la mthode que j'utilise dpend d'un paramtre, par exemple v2 ci-dessus, il ne faut pas que ce paramtre se retrouve dans le rsultat final.

Il est souvent prfrable que la relativit soit conserve. Certaines mthodes (comme la coupure de frquence) brisent explicitement l'invariance relativiste. Cela peut parfois s'avrer gnant.

Enfin, il est vident que la mthode doit pouvoir s'appliquer ! Par exemple, la rgularisation dimensionnelle n'est pas utilisable en prsence de fermions (pour des raisons techniques que je ne dvelopperai pas ici). Donc en prsence d'lectrons cette mthode est inutilisable.

2me tape : la renormalisation

Maintenant que nous avons des rsultats finis, convergents, nous pouvons passer au mcanisme appel renormalisation.

Ce mcanisme consiste rexprimer les rsultats non plus en fonction des paramtres nus (qui sont en ralit infinis) mais en fonction des paramtres rels finis. Il existe plusieurs mthodes. L'une d'entre elle, la plus simple mais la moins rigoureuse, consiste isoler les termes divergents dans les calculs et les enlever. Cette mthode est peu rigoureuse car il y a plusieurs manires d'isoler les parties divergentes !

Une mthode plus rigoureuse consiste modifier les masses et les charges en leur ajoutant des "contre termes". On dit donc que la masse nue, par exemple, est gale la masse relle plus un contre terme (potentiellement divergent puisque la masse nue est infinie).

0m m m= + Le suffixe 0 est mis pour indiquer qu'il s'agit de la masse nue.

On calcule la masse ou la charge, par exemple avec des diagrammes (c'est un tantinet plus compliqu que cela, mais c'est le principe) et on pose l'galit du rsultat avec la masse relle ou la charge relle.

Cela modifie les formules qui deviennent alors convergentes. La procdure consiste donc rexprimer les formules en fonction des paramtres rels finis. Techniquement, les parties divergentes de la formule sont compenses par les parties divergentes provoques par le contre terme :

Formule originale (divergente) = Formule convergente + des divergences ultraviolettes

Aprs introduction des contre termes, on obtient :

Formule originale (avec des contre termes) = Formule originale (sans contre termes) + des termes dpendant des contre termes.


Le rsultat final est alors

Formule finale = Formule originale (avec des contre termes) = Formule convergente + des divergences ultraviolettes + des termes dpendant des contre termes.

Et les deux dernires parties se compensent (aprs identification des paramtres calculs et des paramtres rels) rendant la formule convergente.

Ce genre de manipulation avec des valeurs potentiellement infinie (masse nue, contre terme) peut faire peur. Mais n'oublions pas qu'avec la rgularisation tous ces termes sont en ralit finis et ont une signification mathmatique prcise.

3me tape : fin de la rgularisation

La dernire tape est simple, elle consiste enlever la rgularisation. Comme les formules sont devenues convergentes, les rsultats finaux sont finis. Par exemple, on fait tendre v2 vers l'infini dans la mthode de coupure, mais le rsultat lui-mme reste fini.

Toute cette procdure peut sembler artificielle et pourtant cela marche trs bien, et les rsultats sont corrects (exprimentalement) ! Cela cache forcment quelque chose de plus profond, nous verrons d'ailleurs plus tard (interactions fortes) que la renormalisation conduit un mcanisme physique extrmement fcond (le groupe de renormalisation).


Thorie des perturbations

La mthode prcdente peut tre applique avec la thorie des perturbations. On travaille ordre par ordre. C'est dire que l'on travaille comme suit :

on calcule tous les diagrammes l'ordre de deux boucles. On effectue la procdure de renormalisation. Les paramtres (masses, charges, ) sont

modifis par des contre termes. Les rsultats sont finis. On calcule tous les diagrammes l'ordre de trois boucles. Les diagrammes sont, nouveau, infini mais on peut appliquer la mme procdure. Les

paramtres sont nouveau modifi (sans que les diagrammes prcdents ne deviennent divergents). Les contre termes sont simplement plus "prcis". Les rsultats sont nouveaux finis (et plus prcis)

La mthode consiste formellement calculer la valeur des contre termes par la thorie des perturbations : 1 20 ...m m m = + + + L'ensemble de cette thorie a bien sr un norme arsenal mathmatique a sa disposition. En particulier il existe des thormes prouvant la convergence de toutes les formules aprs renormalisation des paramtres. Il existe des thormes prouvant l'indpendance des rsultats selon les mthodes utilises (en particulier un paramtre comme v2).

Les thoriciens ont mis au point des mthodes sophistiques applicables en thorie des perturbations. Constructions dites "explicites", rcursives, mthode paramtrique, etc.

Les thories renormalisables et non renormalisables

Il est trs important pour la suite de parler des thories renormalisables et non renormalisables. Qu'est-ce que c'est ?

Nous nous sommes surtout concentrs sur l'lectrodynamique. Avec cette thorie la renormalisation fonctionne trs bien. Mais ce n'est pas toujours le cas. On peut construire toutes sortes de thories (qui n'ont pas toujours d'applications physiques mais qui sont utiles pour amliorer les outils mathmatiques) et certaines ne peuvent pas tre renormalises.

Comment est-ce possible ?

Nous avons vu que pour l'lectrodynamique il suffisait de renormaliser la masse et la charge de l'lectron. Pour certaines thories c'est insuffisant. En pratique, on travaille comme suit.

On trace les diagrammes un certain ordre (par exemple tous les diagrammes deux boucles). On regarde les diagrammes possdant des divergences ultraviolettes. Pour chacun d'eux on introduit un paramtre renormaliser. Dans l'lectrodynamique il faut introduire deux paramtres (la masse et la charge), il y a d'autres diagrammes divergents mais des mcanismes de compensation en liminent automatiquement (c'est un mcanisme mathmatique ayant en ralit une origine physique, li aux symtries, et appel identits de Ward) mais cela importe peu.

Puis on trace les diagrammes l'ordre suivant. A nouveau, on a des diagrammes divergents. On regarde si les paramtres initiaux suffisent sinon on doit rajouter ne nouveaux paramtres. Et on continue ainsi de suite.

Si le nombre total de paramtres introduire (deux en lectrodynamique) pour rendre tous les diagrammes convergents ( tout ordre possible) est fini, alors la thorie est dite renormalisable.

Si le nombre de paramtres est infini alors la thorie est dite non renormalisable. C'est dire que chaque fois que l'on rajoute des diagrammes ont doit ajouter de nouveaux paramtres renormaliser.


Ces paramtres ne sont pas prdits par la thorie. On doit les mesurer puisque dans la procdure de renormalisation on les compare avec les paramtres mesurs. On identifie par exemple, comme on l'a vu, la masse calcule et la masse relle (mesure). On les appelle des paramtres libres.

Cela veut dire que dans une thorie non renormalisable il y a une infinit de paramtres arbitraires ou qui doivent tre dduits de l'exprience. La thorie perd toute signification car il est toujours possible de trouver des valeurs pour cette infinit de paramtres de telle manire que les rsultats collent aux rsultats exprimentaux.

Il n'est bien entendu pas ncessaire de suivre toute cette procdure pour savoir si la thorie est renormalisable ou pas. Il existe des formules simples qui permettent de le savoir immdiatement (en gnral !), partir de l'expression des quations des champs.

3.4. Les symtries

En physique, les symtries jouent un rle trs important. Une opration de symtrie est une opration qui change certains paramtres du systme (nous allons en voir tout de suite quelques exemples). Le systme est dit invariant sous cette symtrie si les rsultats sont inchangs ou plus exactement si on obtient les mmes rsultats ayant subit l'opration de symtrie.

Systme -> rsultats R

Systme aprs symtrie -> rsultats R'

R aprs symtrie = R' (invariance)

Tout cela est un peu formel, ce sera plus facile comprendre sur des exemples.

Symtries discrtes

Il existe trois symtries discrtes que nous allons prendre la peine de prsenter car cela en vaut la peine.

Parit

La parit est analogue la rflexion dans un miroir. On renverse le sens de toutes les directions.

Le systme sera invariant sous la parit si les lois physiques sont identiques dans le miroir. Par exemple, l'lectrodynamique est invariante sous la parit.


Prenons un systme donn avec un lectron. Les quations vont prvoir une trajectoire pour cet lectron. Prenons le mme systme vu dans un miroir. On peut lui appliquer les mmes quations. La trajectoire prvue est alors bien l'image de la premire, le systme est invariant sous la parit.

Il peut sembler vident qu'il doive en tre ainsi. Mais c'est faux ! Il existe des phnomnes physiques qui ne sont pas invariant par parit. Par exemple, il existe une particule appele neutrino qui a la curieuse proprit de tourner toujours dans le mme sens. Si on la regarde par l'arrire, on la voit tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (ont dit que son hlicit est gauche).


Aprs inversion par parit, on s'attendrait ce que la rotation d'un neutrino soit inverse (hlicit droite). Mais le monde n'est pas ainsi ! Il n'existe que des neutrinos d'hlicit gauche. Donc, mme aprs parit, les neutrinos prvus par la thorie sont encore des neutrinos d'hlicit gauche. La thorie (et la nature) viole la parit. C'est une consquence de l'interaction faible qui viole la parit (nous parlerons plus tard de cette force).


Comme pour toute opration, en mcanique quantique on peut la caractriser par un oprateur mathmatique agissant sur les tats physiques. Pour l'oprateur on le nomme et il agit sur un tat en le transformant en le mme tat invers par parit.

P

Conjugaison de charge

La conjugaison de charge consiste inverser toutes les charges des particules. Pour l'lectrodynamique cela revient remplacer les charges ngatives par des positives.

A nouveau, l'lectrodynamique est invariante sous cette opration. La thorie prvoit le mme comportement pour les lectrons ngatifs que pour des lectrons positifs. En fait, les lectrons positifs sont les positrons, l'anti-particule de l'lectron. Nous en reparlerons un peu plus loin.

L'oprateur pour la conjugaison de charge s'appelle et il change, par exemple, les lectrons en positrons.

C

Le neutrino possde une anti-particule appele, bien videmment, anti-neutrino. Mais les lois de l'interaction faible ne respectent pas non plus cette symtrie ! Par contre, elles sont invariantes sous la

combinaison des deux, c'est dire sous l'oprateur . Si on effectue une opration de conjugaison de charge suivie d'une parit, le systme est invariant aussi pour les neutrinos et l'interaction faible.

On a longtemps cru que cette double opration tat toujours invariante. C'est dire qu'elle tait une symtrie conserve pour toutes les lois de l'univers. Mais on a dcouvert des particules, les msons

K, qui violent cette symtrie . C'est une proprit de l'interaction forte dont nous parlerons galement plus tard.

Renversement du temps

La dernire symtrie consiste renverser le temps.


Au dbut on a un systme dans l'tat , il volue au cours du temps et se transforme en l'tat .

Prenons maintenant l'tat . Renversons le sens du temps. Appliquons les quations et voyons si l'on retombe bien sur l'tat . Si oui, le systme est invariant par renversement du temps. L'lectrodynamique est invariante par renversement du temps et l'oprateur est nomm T .


Thorme PCT

Les thoriciens ont russi dmontrer mathmatiquement (ce qui est une trs belle russite) que dans un monde quantique relativiste, la combinaison des trois symtries tait toujours respecte. C'est dire que le monde est invariant sous la combinaison des trois oprateurs . PCT

Cela implique que si une des trois symtries est non respecte, alors forcment la combinaison des deux autres doit galement tre viole pour pouvoir rtablir l'invariance de la combinaison des trois symtries.

On a vu que l'interaction forte violait la symtrie . Cela signifie qu'elle doit obligatoirement violer la symtrie T . Le comportement des msons K n'est pas invariant par renversement du temps !

Faut-il voir l l'origine de la flche du temps ? C'est dire du fait que le temps semble s'couler dans un sens privilgi ? Non, probablement pas. Du moins pas directement. Cette asymtrie dans le sens du temps est un effet statistique (dcrit par la thermodynamique qui dit que le sens du temps se fait toujours de l'ordre vers le dsordre) alors que cette violation de la symtrie T par les interactions fortes est mineure. Toutefois, si l'on recherche l'origine de cette asymtrie dans l'univers, on finit par rflchir l'univers tout entier et sa cration ! On en vient se demander pourquoi l'origine l'univers tait trs ordonn et la fin de l'univers (il sera) trs dsordonn. L'origine de cette asymtrie dans la nature globale de l'univers pourrait avoir une origine fondamentale qui n'est pas ncessairement trangre avec celle constate dans l'interaction forte.

Anti-Matire

Le thorme PCT a des consquences extraordinaires. Il implique notamment l'existence de l'anti-matire. C'est dire que pour toute particule il doit exister une anti-particule avec la mme masse mais avec toutes ses charges opposes (jusqu'ici nous n'avons vu que la charge lectrique). Ainsi nous avons dj parl du positron, de l'anti-neutrino, mais il y a aussi l'anti-proton, l'anti-neutron, Toutes particules qui ont rellement t observes.

Parfois, pour certaines particules qui ne portent aucune charge (ni lectrique, ni autre), la particule est sa propre anti-particule. C'est le cas du photon. L'anti-photon est identique au photon, c'est la mme particule.

L'univers est essentiellement

theorie des cordes

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