Dpartement de formation doctorale en automatique e UFR Sciences et Technologies

Ecole doctorale IAEM Lorraine

Gnralisation du lemme de e e Gronwall-Bellman pour la stabilisation des syst`mes fractionnaires e` THESEtel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011prsente et soutenue publiquement le 23 fvrier 2011 e e e pour lobtention du

Doctorat de lUniversit Henri Poincar Nancy 1 e e et de lUniversit Hassan II A Chock Casablanca e n(spcialit automatique) e e par

Ibrahima NDOYEComposition du jury Prsident : e M. DAROUACH Professeur, CRAN, Nancy Universit, Nancy e Professeur, LAEP - U2RC, Universit Cadi Ayyad de Marrakech e Professeur, LAII - EMI, Universit Mohammed V de Rabat e Professeur, ENSEIRB - MATMECA, Universit de Bordeaux I e

Rapporteurs : A. BENZAOUIA N. EL ALAMI A. OUSTALOUP Examinateurs : N. RADHY

Professeur, LP2MT, Universit Hassan II A Chock de Casablanca e n Professeur, CRAN, Nancy Universit, Nancy e

M. ZASADZINSKI Invits : e A. BAALAL A. BOUAZIZ

Professeur, LMACS, Universit Hassan II A Chock de Casablanca e n Professeur, ESTC, Universit Hassan II A Chock de Casablanca e n

Centre de Recherche en Automatique de Nancy UMR 7039

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Mis en page avec la classe thloria.

RemerciementsLes travaux prsents dans ce mmoire ont t eectus, sous la responsabilit scientique de Monsieur Michel ZASADZINSKI, Professeur lUniversit Henri Poincar Nancy I et de Monsieur Nour-Eddine RADHY, Professeur lUniversit Hassan II An Chock - Casablanca. Je tiens tout dabord remercier les membres du jury qui me font lhonneur de participer lexamen de ce travail. Je suis trs sensible lintrt quont bien voulu porter ce travail Monsieur Abdellah BENZAOUIA, Professeur lUniversit Cadi Ayyad de Marrakech (LAEP-U2RC) et Monsieur Nour-Eddine EL ALAMI, Professeur lUniversit Mohammed V de Rabat (LAII-EMI). Je tiens les remercier pour mavoir fait lhonneur dtre rapporteurs de ce mmoire.

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Je remercie chaleureusement Monsieur Alain OUSTALOUP, Professeur lUniversit de Bordeaux I (ENSEIRB-MATMECA) pour lattention quil a manifest mes travaux de recherches et pour mavoir fait lhonneur dtre rapporteur de ce mmoire. De plus, je garde et garderai un trs bon souvenir de mon passage Bordeaux. Je tiens remercier, Monsieur Abdelhaq BOUAZIZ, Professeur lEcole Suprieure de Technologie de Casablanca (ESTC) et Monsieur Azzedine BAALAL, Professeur lUniversit Hassan II An Chock - Casablanca (LMACS) pour mavoir fait lhonneur dtre membre de mon jury. Que Monsieur Mohamed DAROUACH, Professeur lUniversit Henri Poincar Nancy I, trouve ici lexpression de ma profonde gratitude pour mavoir accueilli au sein de lquipe de Longwy du CRAN, pour mavoir encourag et aid tout au long de mes recherches. Je tiens remercier vivement mes Directeurs de Thse, Monsieur Michel ZASADZINSKI, Professeur lUniversit Henri Poincar - Nancy I et membre de lquipe de Longwy du CRAN et Monsieur Nour-Eddine RADHY, Professeur lUniversit Hassan II An Chock - Casablanca, pour leur disponibilit et leur soutien permanent. Leurs qualits, tant humaines que scientiques furent pour moi un apport inestimable. Je leur en suis trs reconnaissant. Jadresse un grand merci tous les membres de lquipe de Longwy du CRAN que jai eu le plaisir de ctoyer pendant la dure de ma thse : Harouna SOULEY ALI, Hugues RAFARALAHY, Mohamed BOUTAYEB, Latifa BOUTAT-BADDAS, Ali ZEMOUCHE, Cdric DELATTRE, Christophe FONTE, Benjamin GERARD, Boulad BOULKROUNE, Bertrand GRANDVALLET, Mohamed ZERROUGUI, Lama HASSAN, Arnaud KOEHL et Mohamed BENALLOUCH. Ils ont tous, de prs ou de loin, contribu, par les nombreuses discussions que nous avons pu tenir, leur conseils ou leur bonne humeur, lexcellent droulement de ma thse. i

Je tiens remercier Madame Marie-Pascale SAINT MICHEL, secrtaire de lquipe de Longwy du CRAN et Madame Jolle PINELLI, secrtaire lInstitut Universitaire de Technologie Henri Poincar de Longwy, pour leurs soutiens, sans oublier Allison BORDIER pour son aide dans lorganisation de la soutenance. Je remercie galement lensemble du personnel de lInstitut Universitaire de Technologie Henri Poincar de Longwy, de lEcole Suprieure des Sciences et Technologies de lIngnieur de Nancy (ESSTIN), de la Facult des Sciences An Chock de Casablanca (FSAC) et de lEcole Suprieure de Technologie de Casablanca (ESTC). Durant ces annes, mes parents Moustapha et Khady Samba DIOUF, mes frres et surs FATOU, LAMINE (sa femme ANNA et ses enfants), NDEYE KHADY, ADA, PAPIS, LAYE et ADJI, mon cousin AMETH (sa femme et ses enfants), mon homonyme, ainsi que mes ami(e)s BARO, BABOU, DIADJI, FALLOU, DEMBA, TITO, DADO, MAGUY, SAFIA, DINA, FATIM, ASSA, ont toujours t prsents et mont apport leur soutien. Quils trouvent ici toute ma reconnaissance. Jadresse mes remerciements Monsieur Abdou DIOP, directeur associ du Cabinet Mazars Masnaoui de Casablanca et Monsieur Alioune GUEYE, prsident directeur gnral du groupe Afrique Challenge pour leur soutien durant ces trois annes de thse. Mes remerciements vont aussi lgard de Monsieur Cheikh Tidiane SAL, Consul Gnral du Sngal Casablanca, pour sa disponibilit et pour mavoir fait lhonneur dassister ma soutenance de thse. Jadresse galement mes remerciements au Gouvernement du Sngal, lAgence Marocaine de Coopration Internationale (AMCI) et lInstitut Francophone dEtudes et dAnalyses Systmiques (IFEAS). Enn, jaimerais conclure en saluant tous ceux qui luttent, individuellement ou collectivement, pour vivre dignement aujourdhui.

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la mmoire de mon pre.

mes chers parents Moustapha et Khady Samba DIOUF, Ceci est le fruit de tant dannes de votre ducation, de votre attention et de vos eorts. Vous trouverez dans cet humble travail lexpression de ma reconnaissance et de mon ternelle gratitude.

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Ku ygg ci teen, baag fekk la fa. Qui attend longtemps au puits nira par y trouver un seau puiser. Source : Lbu, proverbes wolof. CILF/edicef/ACCT. 1986

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iv

Table des matiresListe des publications Symboles et abrviations

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Introduction gnrale Chapitre 1

1

Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation des systmes non linaires 1.1 1.2 5 6 6 7 7 9 9

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description des systmes non linaires et stabilit des points dquilibre . . 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Les systmes non linaires anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les systmes bilinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Points dquilibre et stabilit des systmes dynamiques . . . . . . . 1.2.3.1 1.2.3.2 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple : Commande par retour de sortie statique dun

systme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Rappels sur les systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.4 Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Commandabilit, observabilit, stabilisabilit et dtectabilit . . . . 15 Norme H , gain L2 et lemme born rel . . . . . . . . . . . . . . . 17 Systmes linaires incertains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Prsentation de la nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman . 21 1.4.1 1.4.2 Forme standard du lemme de Gronwall-Bellman . . . . . . . . . . . 21 Nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman un seul paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 v

Table des matires 1.4.3 1.5 Nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman deux paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Stabilisation par retour dtat statique et par retour de sortie statique . . . 23 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.6 Stabilisation par retour dtat statique . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Stabilisation par retour de sortie statique . . . . . . . . . . . . . . 26 Justication de lhypothse 1.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 A propos du domaine dattraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Exemple : Cas dun systme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Stabilisation exponentielle avec la gnralisation du lemme de GronwallBellman deux paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6.1 1.6.2 Stabilisation par retour dtat statique . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Stabilisation par retour de sortie statique . . . . . . . . . . . . . . . 35

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1.7 1.8 1.9

Stabilisation robuste par retour de sortie statique des systmes non linaires 36 Commande base sur un observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Chapitre 2 Les systmes drive dordre fractionnaire : Thorie et applications 45 2.1 2.2 2.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Exemples dapplications des systmes fractionnaires . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.4 2.4.1 Automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Thermique : Diusion et quation de la chaleur . . . . . . . . . . . 49 Electricit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Rhologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Electrochimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Fonctions spciques pour la drivation non entire . . . . . . . . . 56 2.4.1.1 2.4.1.2 2.4.2 2.4.2.1 2.4.2.2 2.4.2.3 2.4.2.4 vi La fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 La fonction Mittag-Leer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Drive fractionnaire au sens de Grnwald-Letnikov . . . . 59 Drive fractionnaire au sens de Riemann-Liouville . . . . 59 Drive fractionnaire au sens de Caputo . . . . . . . . . . 60 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Thorie de la drivation non entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Dnitions et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4.3 2.4.4 2.4.5

Interprtations gomtrique et physique

. . . . . . . . . . . . . . . 62

Systmes fractionnaires versus systmes dordre entier . . . . . . . . 63 Mthodes oprationnelles fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4.5.1 2.4.5.2 Elments sur la transforme de Laplace . . . . . . . . . . . 63 Transforme de Laplace de la drive fractionnaire . . . . 64 Equation direntielle fractionnaire un seul terme . . . . 65 Equation direntielle fractionnaire deux termes . . . . . 66 Equation direntielle fractionnaire trois termes . . . . . 66 Equation direntielle fractionnaire n-termes . . . . . . 67

2.4.6

Equations direntielles fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4.6.1 2.4.6.2 2.4.6.3 2.4.6.4

2.4.7 2.4.8

Reprsentation dans lespace dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Systmes fractionnaires dordres commensurable et non commensurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.4.8.1 2.4.8.2 2.4.8.3 2.4.8.4 Systmes fractionnaires dordre non commensurable . . . . 70 Systmes fractionnaires dordre commensurable . . . . . . 71 Matrice de transition fractionnaire . . . . . . . . . . . . . 72 Solution de lquation dtat fractionnaire . . . . . . . . . 73

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2.4.9

Evaluation numrique de la drive fractionnaire de quelques fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.4.10 Solutions numriques des quations drive fractionnaire . . . . . 77 2.4.10.1 Equation doscillation-relaxation drive fractionnaire . . 78 2.4.10.2 Equation de Bagley-Torvik drive fractionnaire . . . . . 78 2.5 Etude des systmes chaotiques fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.5.1 2.5.2 2.6 2.6.1 2.6.2 2.7 2.8 Caractrisation du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Systme chaotique fractionnaire de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . 81 Stabilit des systmes fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Stabilit des systmes fractionnaires dans une rgion GLMI . . . . 86

Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Commandabilit, observabilit, stabilisabilit et dtectabilit . . . . . . . . 89 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Chapitre 3 Stabilisation des systmes linaires fractionnaires 3.1 3.2 93

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Stabilisation des systmes linaires fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . 95 vii

Table des matires 3.2.1 Approche par placement de ples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2.1.1 3.2.1.2 3.2.1.3 3.2.2 3.2.2.1 3.2.2.2 3.2.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2 Stabilisation par retour dtat statique . . . . . . . . . . . 96 Stabilisation par retour de sortie . . . . . . . . . . . . . . 96 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Cas 1 < < 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Cas 0 < < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Approche LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Stabilisation robuste des systmes linaires fractionnaires . . . . . . . . . . 103 Prsence dincertitudes non linaires paramtriques additives et multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Prsence dincertitudes non linaires paramtriques bornes en norme106 3.3.2.1 3.3.2.2 Stabilisation robuste du systme fractionnaire (3.30) . . . 108 Stabilisation robuste du systme fractionnaire (3.33) . . . 111

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3.4 3.5

Commande base sur un observateur pour les systmes linaires fractionnaires113 Stabilit et stabilisation des systmes singuliers linaires fractionnaires . . . 115 3.5.1 Systmes singuliers linaires fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . 115 3.5.1.1 3.5.1.2 3.5.2 3.5.2.1 3.5.2.2 Rgularit et modes impulsionnels . . . . . . . . . . . . . 116 Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Forme canonique de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 119 Rgularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.6

Stabilisation robuste des systmes singuliers linaires fractionnaires . . . . 130 3.6.1 3.6.2 3.6.3 Cas 1 < < 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Cas 0 < < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Stabilit de lerreur dobservation : cas 1 < < 2 . . . . . . . . . . . 137 Stabilit de lerreur dobservation : cas 0 < < 1 . . . . . . . . . . . 137 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Paramtrage des matrices et synthse de lobservateur . . . . . . . . 140 Stabilit de lerreur dobservation : cas 1 < < 2 . . . . . . . . . . . 141

3.7

Observateurs pour les systmes linaires fractionnaires . . . . . . . . . . . 135 3.7.1 3.7.2 3.7.3

3.8

Observateurs pour les systmes singuliers linaires fractionnaires . . . . . . 137 3.8.1 3.8.2 3.8.3

viii

3.8.4 3.8.5 3.8.6 3.9

Stabilit de lerreur dobservation : cas 0 < < 1 . . . . . . . . . . . 142 Algorithme de synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Synthse dobservateurs dordre minimal, dordre rduit et dordre plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Chapitre 4 Stabilisation des systmes non linaires fractionnaires 4.1 4.2 4.3 147

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Prsentation des systmes anes non linaires fractionnaires . . . . . . . . 149 Stabilisation des systmes non linaires anes fractionnaires . . . . . . . . 150 4.3.1 Approche Mittag-Leer lorsque la drive est linaire . . . . . . . . 150 4.3.1.1 4.3.1.2 4.3.1.3 4.3.2 4.3.2.1 4.3.2.2 4.3.3 Retour dtat statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Retour de sortie statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Stabilisation par retour dtat statique . . . . . . . . . . . 155 Stabilisation par retour de sortie statique . . . . . . . . . 156

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Approche Mittag-Leer lorsque la drive est non linaire . . . . . . 154

Approche LMI lorsque la drive est linaire . . . . . . . . . . . . . . 157

4.4 4.5 4.6

Commande base sur un observateur pour les systmes anes non linaires fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Stabilisation robuste des systmes non linaires fractionnaires . . . . . . . 160 Stabilisation des systmes singuliers non linaires fractionnaires . . . . . . 162 4.6.1 4.6.2 Approche Mittag-Leer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Approche LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.7 4.8 4.9

Stabilisation robuste des systmes singuliers non linaires fractionnaires . . 164 Observateurs pour les systmes non linaires fractionnaires . . . . . . . . . 166 Observateurs pour les systmes singuliers non linaires fractionnaires . . . 169 4.9.1 4.9.2 4.9.3 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Paramtrage des matrices et synthse de lobservateur . . . . . . . . 171 Stabilit de lerreur dobservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Conclusion gnrale 175

ix

Table des matires Annexe A Sur la nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman 177

A.1 Forme standard du lemme de Gronwall-Bellman . . . . . . . . . . . . . . . 177 A.2 Nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman un seul paramtre 178 A.3 Nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman deux paramtres 179 Annexe B Complments mathmatiques B.1 Produit de Kronecker 183

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

B.2 Les ingalits matricielles linaires (LMI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 B.3 Lemme de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 B.4 Rappels sur lquation direntielle de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . 185 B.5 Coecients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 B.5.1 Dnitions et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 B.5.2 Extension aux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Annexe C Sur la stabilit des systmes dordre non entier 187

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C.1 D-stabilit et ingalits matricielles linaires gnralises G-LMI . . . . . . 187 C.1.1 Dnition dune rgion GLMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 C.1.2 Condition ncessaire et susante de stabilit dans une rgion GLMI 187 C.2 Application la D-stabilit dans une union de sous-rgions convexes . . . 188 C.2.1 Rgions du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 C.2.2 Formulation GLMI de lunion de sous-rgions convexes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 C.2.3 Approche GLMI pour lanalyse de la stabilit des systmes dordre fractionnaire si 0 < < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Bibliographie Rsum Abstract 193 203 204

x

Liste des publicationsConfrences internationales avec comit de lectureI. N Doye, M. Zasadzinski, N. E. Radhy and A. Bouaziz, Robust controller design for linear fractional-order systems with nonlinear time-varying model uncertainties". In 17th Mediterranean Conference on Control and Automation, MED09, Thessaloniki, Greece, 2009.

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I. N Doye, M. Zasadzinski, N. E. Radhy and A. Bouaziz, Stabilization of a class of nonlinear ane fractional-order systems using generalizations of Bellman-Gronwall lemma". In 17th Mediter. Conf. on Control and Automation, MED09, Thessaloniki, Greece, 2009. I. N Doye, M. Zasadzinski, N. E. Radhy and M. Darouach, Exponential observerbased stabilization for a class of ane nonlinear systems". In IFAC - IEEE Conf. Methods and Models in Automation and Robotics, MMAR09, Miedzyzdroje, Poland, 2009. I. N Doye, M. Zasadzinski, M. Darouach and N. E. Radhy, Observer-based control for fractional-order continuous-time systems". In IEEE Conference Decision and Control, CDC09, Shanghai, P.R. China, 2009. I. N Doye, M. Zasadzinski, M. Darouach and N. E. Radhy, Stabilization of a class of nonlinear ane fractional-order systems". In IFAC - IEEE Conference Methods and Models in Automation and Robotics, MMAR09, Miedzyzdroje, Poland, 2009. I. N Doye, M. Zasadzinski, N. E. Radhy and M. Darouach, Stabilisation des systmes bilinaires fractionnaires". In Confrence Internationale Francophone dAutomatique, CIFA10 Nancy, France, 2010. I. N Doye, M. Zasadzinski, N. E. Radhy and M. Darouach, Stabilization of singular fractional-order systems : An LMI approach". In 18th Mediterranean Conference on Control and Automation, MED10 Marrakech, Morroco, 2010. I. N Doye, M. Zasadzinski, M. Darouach and N. E. Radhy, Robust stabilization of linear and nonlinear fractional-order systems with nonlinear uncertain parameters". In 49th IEEE Conference Decision and Control, CDC10, Atlanta, USA, 2010. xi

Liste des publications

I. N Doye, M. Zasadzinski, M. Darouach and N. E. Radhy, Regularization and stabilization of singular fractional-order systems". In 4th IFAC Workshop on Fractional Dierential and Its Applications FDA10, Badajoz, Spain, 2010. I. N Doye, M. Zasadzinski, M. Darouach and N. E. Radhy, Regularization and robust stabilization of uncertain singular fractional-order systems". In Proc. Triennal IFAC Word Congress, Milano, Italy, 2011.

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xii

Symboles et abrviationsEnsemblesIR, C IR+

lensemble des nombres rels (resp. complexes) lensemble des nombres rels non ngatifs IR+ = [0, ) lensemble des nombres rels non nuls espace rel (resp. complexe) euclidien de dimension nnm

IR

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IRn , Cn IRnm

, C

ensemble des matrices relles (resp. complexes) de dimension n m boule ouverte de centre zro, de rayon r > 0

Br

Fonctions et sous-espaces de fonctionss L variable de la transforme de Laplace dun signal continu (s C) transforme de Laplace

n L [0, ) espace des signaux continus amplitude nie sur [0, ) vers IR n L2 [0, ) espace des signaux continus carr-intgrables sur [0, ) vers IR

(f ())i K

est la ime composante du vecteur f () fonction de classe K drivables k fois

C k (IR; IR) ensemble des fonctions f (x) de IR dans IR qui sont continment E (.) E, (.) fonction de Mittag-Leer un paramtre fonction de Mittag-Leer deux paramtres

xiii

Symboles et abrviations

Matrices, oprations et relations matriciellesP > 0, P P > Q, P tr(A) rang(A) det(A) (A)ik dim(A) Re(A) Im(A) (A) 0 Q matrice P hermitienne dnie (resp. semi-dnie) positive P Q > 0 (resp. P Q trace de A IRnn rang de A IRnm dterminant de A IRnn (i, k)me lment de A dimension de la matrice A partie relle de A partie imaginaire de A valeurs propres de A IRnn transpose hermitienne (transpose complexe conjugue) de A Cnm (A + A ) spectre de la matrice A : ensemble des valeurs propres de A transpose de A (resp. de linverse de A) IRnm inverse de A Cnn , det(A) = 0 pseudo-inverse de A IRnm vriant AA+ A = A matrice identit (resp. nulle) de dimension approprie matrice identit (resp. nulle) de dimension n n (resp. n m) matrices Ai IRnn , i = 1, . . . , p bdiag(A1 , . . . , Ap ) matrice bloc-diagonale constitue avec A1 , . . . , Ap (Ai IRnm ), i = 1, . . . , p A11 (1, 2) T

0) pour P, Q hermitiennes Cnn

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max (A), min (A) valeur propre de module maximal (resp. minimal) de A IRnn A Sym(A) spec(A) A , A A1 A+ I, 0 In , 0nmT T

diag(A1 , . . . , Ap ) matrice diagonale constitue avec les lments de la diagonale des

A12 A22

matrice partitionne telle que le symbole (1, 2)T reprsente le transpos du bloc (1,2), soit AT 12 produit de Kronecker

xiv

Normesx = A = x x G x x norme euclidienne de vecteur maximale de la matrice symtrique AA 2

max (AA) norme spectrale de matrice o max (A A) est la valeur propre norme L du signal x L [0, ) norme L2 du signal x L2 [0, ) norme H du systme continu G(s)

Autres oprateurs mathmatiques arg(.) produit de convolution argument dun nombre complexe partie entire dun nombre complexe module dun nombre complexe factorielle n z k coecient binomial du complexe z et de lentier naturel k oprateur de drivation fractionnaire

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[.] |.| n!k Cz =

D

AbrviationsCRONE Commande Robuste dOrdre Non Entier LFT LMI LPV LTI LTV MIMO SISO Linear Fractional Transformation - Transformation Fractionnaire Linaire Linear Matrix Inequality - Ingalit Matricielle Linaire Linear Parameter Varying - Linaire Paramtres Variants Linear Time Invariant - Linaire Invariant dans le Temps Linear Time Varying - Linaire Variant dans le Temps Multi Input Multi Output - Multi-Entre Multi-Sortie Single Input Single Output - Mono-Entre Mono-Sortie

xv

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xvi

Symboles et abrviations

Introduction gnraleLa stabilisation et lobservation pour des systmes non linaires drive dordre non entier restent des problmes ouverts en automatique du fait de la nature fractionnaire et de la non linarit de ces systmes. En eet, la stabilisation est lune des proccupations majeurs aussi bien des chercheurs que des ingnieurs. Les mthodes de stabilisation des systmes linaires sont nombreuses ; elles se basent en gnral sur les techniques de placement de ples ou la minimisation dun critre quadratique et conduisent des retours dtat dont limplantation ncessite le recours aux observateurs lorsque ltat est partiellement mesur. La premire mthode de Lyapunov permet dutiliser ces rsultats pour la commande des systmes non linaires partir de leurs linariss et de lutilisation dobservateurs. Dans le cas des systmes fractionnaires, labsence dune formulation adquate de la mthode de Lyapunov ne permet pas dutiliser ecacement cette approche dans la thorie du contrle. Rcemment, Trigeassou et al. [TMSO11] propose lapplication de la mthode de Lyapunov aux systmes linaires et non linaires fractionnaires grce la dnition dune fonction spcique de Lyapunov. Cette approche repose sur le concept dun oprateur dintgration fractionnaire caractris par une frquence distribue. Beaucoup de systmes dynamiques sont mieux caractriss par un modle dynamique dordre non entier, bas en gnral sur la notion de direntiation ou dintgration de lordre non entier. Ltude de la stabilit des systmes dordre non entier est plus dlicate que pour leurs homologues, les systmes dordre entier. En eet, les systmes fractionnaires sont, dune part, considrs comme des systmes mmoire, notamment pour la prise en compte des conditions initiales, et, dautre part, ils prsentent une dynamique beaucoup plus complexe. Rcemment, le problme de la synchronisation chaotique a t naturellement tendue aux systmes fractionnaires en raison des applications nombreuses et potentielles en physique des lasers, des racteurs chimiques, de la communication scurise et de la biomdecine. Le calcul traditionnel tant bas sur la direntiation et lintgration dordre entier, le concept du calcul fractionnaire a le potentiel norme de changer la manire dont nous voyons, modlisons, et commandons la nature autour de nous. Plusieurs tudes thoriques et exprimentales montrent que certains systmes lectrochimiques [DN97], thermiques [BLB+ 00] et viscolastiques [Ser01] sont rgis par des quations direntielles drives non entires. Lutilisation de modles classiques bass sur une drivation entire nest donc pas approprie. Des modles bass sur des quations direntielles drives non entires ont, cet eet, t dvelopps [COBB00]. La raison principale de lusage des modles dordre entier tait labsence des mthodes 1

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Introduction gnrale de solution pour des quations fractionnaires ou dordre non entier. Actuellement, un bon nombre de mthodes pour lapproximation de la drive et de lintgrale fractionnaire ont t proposes et peuvent tre employes dans diverses applications, notamment en thorie du contrle (nouveaux contrleurs et modles de systmes fractionnaires), en thorie de circuits lectriques (fractances), etc ... La drivation fractionnaire a largement dpass le stade de simple outil formel capable de condenser en une criture plus compacte certaines proprits purement analytiques ; cest notamment par ses domaines dapplication de plus en plus nombreux quelle a ouvert la voie des questionnements scientiques profonds. Les oprateurs intgro-direntiels dordre fractionnaire font partie dune plus large classe doprateurs pseudo-direntiels. Llargissement du cadre ou la leve de la contrainte strictement fractionnaire savre trs riche tant pour lanalyse que la synthse et lidentication de modles non standard. Il est important de comprendre que le mot systmes dordre fractionnaire signie tout simplement systmes qui sont mieux dcrits par des modles mathmatiques dordre non entier, le systme lui-mme nest pas fractionnaire au vrai sens du terme, cest le modle qui lest. Dans les dernires dcennies, beaucoup dauteurs ont arm que lusage des oprateurs de drivation et dintgration fractionnaires est souhaitable pour la description des proprits de plusieurs matriaux comme les polymres. La drive fractionnaire procure un excellent instrument pour la description de la proprit de mmoire de plusieurs matriaux et processus puisque, en eet, la drive fractionnaire dune fonction tient compte de tout lhistorique de la fonction et ne rete pas uniquement des caractristiques locales comme dans le cas de la drive dordre entier. Les outils fractionnaires apparaissent aussi en automatique, notamment dans la commande des systmes dynamiques o le systme contrler et/ou le rgulateur sont rgit par des quations direntielles fractionnaires. Lintroduction de ces outils fractionnaires est motive par le caractre robuste que procure la commande CRONE (Commande Robuste dOrdre Non Entier), introduite par A. Oustaloup [Ous91]. Le travail prsent dans ce mmoire sinscrit dans le cadre de la stabilisation des systmes linaires et non linaires fractionnaires. Les modles envisags dans le mmoire pour dcrire les systmes de manire temporelle sont dits modles dtat linaires invariants dans le temps. Dans le cas linaire, ltude de la dynamique passe par la notion de ples du systme. La dynamique du systme dpend beaucoup de la localisation des ples dans le plan de Laplace. Ces ples sont choisis par une loi de commande. Cependant, lorsque le modle est sujet des incertitudes, il devient dicile de dterminer une loi de commande xant avec prcision la dynamique du systme global : lobjectif du travail est donc de dterminer des lois de commande qui puissent garantir que les ples du systme boucl sont dans une rgion du plan complexe de manire assurer une stabilisation robuste par rapport aux incertitudes considres. Si on ne dispose pas de la mesure de tous les tats et des entres du systme, pour des raisons intrinsques au systme ou pour des cots dinstallation des capteurs trs levs, la dmarche consiste donc construire un correcteur performant en se basant sur lestimation de ltat. Dans le cas des systmes non linaires fractionnaires, les mthodes de stabilisation proposes sont bases sur une gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman. Pour les systmes fractionnaires linaires 2

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et non linaires, les rsultats proposs dans ce mmoire ont t tendus aux cas des systmes algbro-direntiels fractionnaires, aussi appels systmes singuliers fractionnaires. Les dveloppements rsums ci-dessus constituent les quatre chapitres de ce mmoire. Nous allons en dcrire les principaux aspects. An de faciliter la lecture de ce mmoire, certains dveloppements et dmonstrations sont donns en annexe.

Chapitre 1 : Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation des systmes non linairesCe chapitre est consacr ltude de la stabilisation des systmes non linaires drive dordre entier et la nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman. La dmonstration de la nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman sera tablie dans lannexe A an de ne pas alourdir ce chapitre. Dans ce chapitre, les systmes non linaires considrs sont prsents, en mettant laccent sur les systmes anes (bilinaires et multilinaires) avec quelques exemples. Cette nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman est utilise pour la stabilisation par retour dtat statique et par retour de sortie statique des systmes non linaires [NZD+ 10]. Cette approche est mise en uvre dans le chapitre 4 pour la stabilisation des systmes non linaires fractionnaires. Ensuite, la nouvelle gnralisation du lemme de GronwallBellman sera applique la stabilisation robuste [NZD+ 10] et la commande base sur un observateur [NZRD09] pour les systmes non linaires. Dans ce chapitre, laccent est mis sur la spcicit de cette nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman qui permet de prendre en compte une grande classe de non linarits et qui est bien adapte au contexte de la commande robuste en prsence dincertitudes paramtriques et de la commande base sur un observateur.

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Chapitre 2 : Les systmes drive dordre fractionnaire : Thorie et applicationsCe chapitre est ddi la prsentation des systmes drive dordre non entier qui sont lobjet des dveloppements des chapitres 3 et 4 et au rappel des principaux rsultats de la littrature concernant ces systmes. Des exemples de processus dcrits par des quations direntielles avec une drivation non entire sont prsents. Un rappel historique et une description exhaustive de la thorie de la drivation fractionnaire sont proposs : les direntes dnitions de la drivation fractionnaire proposes dans la littrature (Grnwald-Letnikov, Riemann-Liouville et Caputo), la transformation de Laplace, les fonctions de Mittag-Leer, les critres de stabilit,... Les interprtations gomtrique et physique de la drive fractionnaire sont mises en exergue. Lanalyse des solutions des quations direntielles fractionnaires linaires est dveloppe. La reprsentation dtat fractionnaire dans lespace dtat est donne (en ralit, 3

Introduction gnrale il faut plutt parler de pseudo-tat, voir remarque 2.4.3). Le choix de la drivation au sens de Caputo pour la suite des dveloppements dans ce manuscrit est justi.

Chapitre 3 : Stabilisation des systmes linaires fractionnairesCe chapitre est consacr la stabilisation des systmes linaires avec drivation non entire. Nous nous intressons particulirement aux types de commandes suivants : le retour dtat statique, le retour de sortie statique et le retour de sortie via un observateur. Lapproche est base soit sur lapproche par placement de ples, soit sur la rsolution dingalits matricielles linaires (LMI) appliques dans deux domaines du plan complexe : un domaine convexe o on peut naturellement caractriser une ingalit matricielle linaire avec les rsultats dj connus dans la littrature (ordre de drivation compris entre 1 et 2) et un domaine non convexe (ordre de drivation compris entre 0 et 1). Le domaine non convexe constitue un point dlicat lorsque lon souhaite exhiber des conditions non conservatrices pour la stabilisation. La mthodologie mise en uvre dans ce chapitre est tendue la stabilisation robuste en prsence dincertitudes sur les paramtres du modle. Pour conclure ce chapitre, nous proposons une extension de nos rsultats sur la stabilisation des systmes singuliers fractionnaires. Lapproche utilise est base sur la forme canonique de Weiesstrass an davoir une dcomposition du systme singulier fractionnaire en deux sous-systmes (rapide et lent). Ainsi, le problme de la stabilit se rsume alors tudier la stabilit du sous-systme lent sous lhypothse dadmissibilit [NZDR10c]. Ltude de la stabilisation des systmes singuliers linaires fractionnaires est galement faite en intgrant des conditions de rgularisation [NZDR10a].

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Chapitre 4 : Stabilisation des systmes non linaires fractionnairesCe chapitre est ddi la stabilisation des systmes non linaires anes en la commande avec drivation non entire. Lapplication de la gnralisation du lemme de GronwallBellman la fonction de Mittag-Leer permet de proposer des stratgies de stabilisation par retour dtat statique et par retour de sortie en considrant deux cas : retour de sortie statique et retour de sortie base sur un observateur. Dans ce chapitre, des conditions pour la stabilit et la stabilisation des systmes non linaires fractionnaires sont tudis via une approche base sur lutilisation de la fonction de Mittag-Leer et une formulation des conditions de stabilit base sur des ingalits matricielles linaires (LMI) [NZDR09b, NZRB09b, NZRD10]. La stabilisation robuste [NZRB09a] et la commande base sur un observateur pour les systmes non linaires fractionnaires [NZDR09a] sont galement traites. Ltude de la stabilisation et de la stabilisation robuste des systmes singuliers non linaires fractionnaires est ralise en intgrant des conditions de rgularisation [NZDR10a].

4

Chapitre 1 Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation des systmes non linairestel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

Sommaire1.1 1.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Description des systmes non linaires et stabilit des points dquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Les systmes non linaires anes . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Les systmes bilinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Points dquilibre et stabilit des systmes dynamiques . . . . . 9 1.3 Rappels sur les systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Commandabilit, observabilit, stabilisabilit et dtectabilit . 15 1.3.3 Norme H , gain L2 et lemme born rel . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.4 Systmes linaires incertains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Prsentation de la nouvelle gnralisation du lemme de GronwallBellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.1 Forme standard du lemme de Gronwall-Bellman . . . . . . . . . 21 1.4.2 Nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman un seul paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.3 Nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman deux paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Stabilisation par retour dtat statique et par retour de sortie statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.1 Stabilisation par retour dtat statique . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.2 Stabilisation par retour de sortie statique . . . . . . . . . . . . 26 1.5.3 Justication de lhypothse 1.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.4 A propos du domaine dattraction . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.5 Exemple : Cas dun systme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . 31

5

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation1.6 Stabilisation exponentielle avec la gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman deux paramtres . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Stabilisation par retour dtat statique . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Stabilisation par retour de sortie statique . . . . . . . . . . . . 1.7 Stabilisation robuste par retour de sortie statique des systmes non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Commande base sur un observateur . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 33 35 36 39 43

1.1

Introduction

La stabilisation des systmes non linaires reprsentent la principale problmatique traite dans la littrature en automatique. On peut distinguer quatre grandes classes de mthodes pour stabiliser ces systmes : les approches bases sur les fonctions de Lyapunov, les mthodes de linarisation, les techniques bases sur le thorme du petit gain et lutilisation de majorations, cette dernire approche tant souvent couple aux trois autres. Le but de cette introduction nest pas de dcrire ces direntes mthodes. Le lemme de Gronwall-Bellman, qui est le point fort de ce chapitre, appartient aux techniques de stabilisation bases sur des majorations. Lobjectif de ce chapitre est de prsenter la nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation dune classe de systmes non linaires [NZD+ 10]. Lobjectif est de montrer que lapplication de la nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman, sous certaines hypothses adquates, permet dassurer la stabilisation du systme non linaire par retour dtat statique ou par retour de sortie statique. Le chapitre se dcompose de la faon suivante. Aprs une prsentation de la classe de systmes non linaires anes en la commande considre, nous exposons tout dabord la forme standard du lemme de Gronwall-Bellman. A partir de cette forme standard, nous prsentons direntes versions de cette nouvelle gnralisation du lemme : une version du lemme un seul terme et une version deux termes. An de ne pas trop alourdir ce chapitre, nous donnons la dmonstration de ces direntes versions du lemme en annexe. Cette approche est utilise dans le chapitre 4 pour la stabilisation des systmes non linaires fractionnaires. Ensuite, la nouvelle gnralisation du lemme de GronwallBellman est applique la stabilisation robuste [NZD+ 10] et la commande base sur un observateur [NZRD09] pour la classe de systmes non linaires considre.

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1.2

Description des systmes non linaires et stabilit des points dquilibre

De nombreux processus en biologie, en cologie et en conomie [Moh73, Moh91] (modlisation dun racteur biologique dans [Wil77] ou dchange commerciaux), ainsi quen mcanique [Rug81, Ha92, ZRMD98] (modlisation dune suspension active), et en chimie (approximation du comportement dune colonne distiller dans [EL77]) peuvent tre 6

1.2. Description des systmes non linaires et stabilit des points dquilibre modliss par des systmes non linaires, en particulier des systmes anes ou bilinaires par rapport au contrle. On considre dans ce mmoire le systme de contrle suivant x(t) = f (x(t), u(t)) (1.1)

o x(t) IRn est le vecteur dtat, u(t) IRm le vecteur des commandes ; la fonction f : IRnm IRn est suppose de classe C . Dans de tels systmes non linaires, on retrouve en gnral les systmes non linaires anes ou bilinaires.

1.2.1

Les systmes non linaires anes

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Les systmes anes tudis dans ce mmoire sont de systmes qui peuvent scrire sous la forme suivante m x(t) = Ax(t) + gi (x(t))ui (t) + Bu(t) i=1 (1.2) y(t) = Cx(t) x(0) = x 0 o x(t) IRn est le vecteur dtat, u(t) IRm le vecteur des commandes (mesures) et y(t) IRp le vecteur des mesures, ce sera le cas dans tout ce mmoire. A, B et C sont des matrices constantes de dimensions appropries.

1.2.2

Les systmes bilinaires

Les systmes bilinaires tudis tout au long de ce mmoire de thse sont des systmes pouvant scrire sous la forme suivante m x(t) = A0 x(t) + ui (t)Ai x(t) + Bu(t) i=1 (1.3) y(t) = Cx(t) x(0) = x 0 o x(t) IRn est le vecteur dtat, u(t) IRm le vecteur des commandes (mesures) et y(t) IRp le vecteur des mesures, ce sera le cas dans tout ce mmoire. Cette reprsentation englobe plusieurs types de systmes bilinaires tudis tout au long de ce mmoire. Dans la partie robustesse, nous serons amen nous intresser aux systmes bilinaires avec des perturbations sur les paramtres. Les systmes bilinaires dcrits constituent un cas particulier des systmes non linaires anes. Remarque 1.2.1 (Notations des bilinarits). Dans ce mmoire, nous utilisons les notations suivantes, an de mieux avoir une bonne harmonisation des systmes bilinaires tudier : ui (t) est la iime coordonne du vecteur des commandes u(t) et Ai est la matrice associe la coordonne ui (t) dans le systme (1.3). Ainsi la matrice A0 dcrit la dynamique de la partie linaire du systme bilinaire. 7

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation A titre dexemple pris dans la littrature, considrons le cas dun actionneur lectromcanique. Dans [Moh91, ZRMD98, Sou02, Gr08], les auteurs proposent un modle bilinaire pour un actionneur lectromcanique constitu par un moteur courant continu avec un accouplement lastique et une charge, dcrit par la gure suivante.encodeur absolu moteur courant continu gnrateur de frottements rducteur encodeur relatif

accouplement lastique

inertie additive inertie fondamentale

Figure 1.1: Actionneur lectromcanique.

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Ce processus peut tre modlis par le systme bilinaire sans perturbation suivant x = A0 x + u1 A1 x + Bu, avec Ra La

0Fm Jm

0 0 0 0 0

0kr N Jm

0

0

ka La

0 A0 = 0 0 0

11 N

0 0kr Jc

0 0 , 1 Fc Jc

0

k a Jm A1 = 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0

0 0 B = 0 0 0

01 La

0 , 0 0

ia m u1 ie = , x = m et u = u2 va c o Jm et Jc sont les moments dinertie du moteur et de la charge, Fm et Fc sont les coecients de frottements visqueux du moteur et de la charge, ka est la constante du couple du moteur, kr est le coecient de couplage rigide, Ra et La sont la rsistance et linductance du rotor. Le vecteur dtat x(t) est compos du courant du rotor ia (t), de la vitesse de rotation de larbre du moteur m (t), de la position angulaire de larbre du moteur m (t), de la rotation angulaire (t) entre les arbres du moteur et de la charge, due laccouplement lastique, et de la vitesse de rotation de larbre de la charge c (t). Le vecteur des commandes u(t) est compos du courant du stator ie (t) et de la tension du rotor va (t). 8

1.2. Description des systmes non linaires et stabilit des points dquilibre

1.2.31.2.3.1

Points dquilibre et stabilit des systmes dynamiquesDnitions

Dans cette partie, nous rappelons quelques concepts sur la stabilit des systmes dynamiques. Lanalyse de la stabilit dun systme dynamique consiste tudier son comportement au voisinage dun point dquilibre. Cela passe par lanalyse de la trajectoire de ltat du systme lorsque son tat initial est proche dun point ou dune trajectoire dquilibre [Vid93]. Les principales notions de stabilit sont prsentes ici, savoir la stabilit asymptotique, la stabilit exponentielle et la stabilit au sens de Lyapunov. On considre lensemble des systmes non linaires dcrits par lquation dynamique suivante : x = f (t, x) (1.4) o x IRn , nous dsignons x = 0 comme point dquilibre (f (0) = 0). La fonction f (t, x) est Lipschitzienne par rapport x. On pose t0 = 0 comme instant initial. Soit V (x, t) : IRn IR+ IR+ une fonction continue. La drive de V (t, x) le long de la trajectoire du systme (1.4) est V (t, x) V (t, x) + f (t, x). V (t, x) = t x (1.5)

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Dnition 1.2.1. [Sas99, Vid93] Le point dquilibre x = 0 du systme (1.4) est stable si et seulement si > 0, () > 0 t.q. x0 < () = x(t, x0 ) < , t 0. (1.6)

Dnition 1.2.2. [Sas99, Vid93] Le point dquilibre x = 0 du systme (1.4) est attractif si > 0 t.q. lim x(t, x0 ) = 0. (1.7)t

Dnition 1.2.3. [Sas99, Vid93] Le point dquilibre x = 0 du systme (1.4) est asymptotiquement stable sil est stable et attractif. Dnition 1.2.4. [Sas99, Vid93] Le point dquilibre x = 0 du systme (1.4) est un point dquilibre localement exponentiellement stable sil existe deux constantes strictement positives et telles que : x(t, x0 ) exp (t) , t 0, x0 Br . (1.8)

Lorsque Br = IRn , on parle de stabilit exponentielle globale. Dnition 1.2.5. Soit V (x, t) : IRn IR+ IR+ une fonction continue. V est dite propre et dnie positive si : t IR+ , x IRn , x = 0 V (t, x) > 0 ; t IR+ , V (t, x) = 0 = x = 0 ; 9

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation t IR+ , lim x V (x, t) = ; il existe une constante d > 0 et une fonction de classe K telles que ( x ) V (t, x), t 0, x d. (1.9)

Dnition 1.2.6. Une fonction V (t, x) de classe C 1 est une fonction de Lyapunov locale (resp. globale) au sens large pour le systme (1.4) si elle est propre dnie positive et sil existe un voisinage de lorigine V0 tel que x V0 , (resp. x IRn ) : V (t, x) V (t, x) + f (t, x) V (t, x) = t x 0. (1.10)

Si V (t, x) < 0, alors V est appele fonction de Lyapunov au sens strict pour le systme (1.4).

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Dnition 1.2.7. Si le systme (1.4) admet une fonction de Lyapunov locale au sens large (resp. au sens strict) alors lorigine est un point dquilibre localement stable (resp. asymptotiquement stable). Si la fonction de Lyapunov est globale, on parle alors de stabilit globale (respectivement stabilit asymptotique globale). Dnition 1.2.8. Le point dquilibre x = 0 du systme (1.4) est un point dquilibre localement exponentiellement stable sil existe des constantes , , , un entier p 0 et une fonction V (t, x) : V0 IR+ IR+ de classe C 1 tels que, x V0 : p p x V (t, x) x ; V (t, x) < V (t, x). Si V0 = IRn , alors lorigine de (1.4) est globalement exponentiellement stable. Il nexiste, en gnral (sauf dans le cas linaire), aucune mthode systmatique pour trouver une fonction candidate de Lyapunov. Il est toutefois assez classique dutiliser une fonction de Lyapunov quadratique, de type V (t, x) = x(t)T P x(t), o la matrice P est symtrique et dnie positive. Ce choix prsente lavantage dtre simple mettre en uvre. Cependant, il induit gnralement des conditions trs conservatives. Par ailleurs, si aucune fonction convenable nest trouve, on ne peut rien dire quant la stabilit ventuelle du point dquilibre. 1.2.3.2 Exemple : Commande par retour de sortie statique dun systme bilinaire

Considrons le systme bilinaire [Moh73, Moh91, Rug81]m n

x = A0 x + i=1

Ai ui x + Bu = A0 x +j=1

Ai xi u + Bu

(1.11a) (1.11b)

y = Cx avec x IRn , u IRm et y IRp et la relation suivante A(k,i) = Ai j 10(k,j)

(1.12)

1.2. Description des systmes non linaires et stabilit des points dquilibre o A(k,i) est llment de la k me ligne et de la ime colonne de la matrice Aj . La commande j u = Ky est applique au systme (1.11), ce qui donnen n

(1.13)

x = (A0 BKC)x + j=1

(Ai KC)xi x = A0 x +j=1

Ai xi x.

(1.14)

Posons n = 2, m = 1, p = 1 et A0 = a01 0 , A1 = a11 a12 a13 a14 ,B = b1 b2 , C = 0 1 A1 = a11 a13 , A2 = a12 . a14 (1.15)

a03 a04

Le systme boucl (1.14) devient

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x = A0 x+A1 x1 x+A2 x2 x = Si on pose

a01

b1 K

a03 a04 + b2 K

x+

0 a11 K 0 a13 K

x1 x+

0 a12 K 0 a14 K

x2 x. (1.16)

b1 = 0 et x(0) =

0 z0

, 0

(1.17)

alors les solutions de lquation direntielle (1.16) sont donnes par x(t) = z(t) est la solution de z = az + bz 2 avec z(0) = z0 , a = a04 + b2 K et ba14 K. Systme bilinaire mono-variable : stabilit et points dquilibre Nous considrons lquation (1.19) donne par x = ax + bx2 = x(a + bx) avec x(0) = x0 et b = 0. Ce systme possde deux points dquilibre x1 = 0 et x2 = a . b

z(t)

o

(1.18)

(1.19)

(1.20)

Si on pose a(t) = a, b(t) = b et m = 2 dans lquation direntielle de Bernouilli (B.7) (voir annexe B), on obtient lquation direntielle bilinaire (1.19) dont la solution x(t) sobtient partir de (B.8) (voir annexe B) comme suit x(t) = x0 et 0

a s

d

t

1

1 x00

b e

s 0

a v

d

ds 11

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation = x0 aeat x0 eat = . b at a x0 b (eat 1) 1 x0 (e 1) a (1.21)

Pour vrier cette solution, on calcule (avec t = ts , voir (1.26)) x = = ax = bx2 = ax + bx2 = d x0 aeat x0 a2 eat (a x0 b (eat 1)) x0 aeat (x0 abeat ) = 2 dt a x0 b (eat 1) (a x0 b (eat 1)) x0 a2 eat (a + x0 b + x0 beat (1 1))) x0 a2 eat (a + bx0 ) = 2 2, (a x0 b (eat 1)) (a x0 b (eat 1)) x0 a2 eat x0 a2 eat (a x0 b (eat 1)) x0 a2 eat (a + x0 b x0 beat ) = = , 2 2 a x0 b (eat 1) (a x0 b (eat 1)) (a x0 b (eat 1)) x2 a2 be2at 0 2, (a x0 b (eat 1)) x0 a2 eat (a + x0 b x0 beat + x0 beat ) x0 a2 eat (a + bx0 ) = 2 2 = x. (a x0 b (eat 1)) (a x0 b (eat 1)) a caeat

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Une autre expression de la solution est donne par x(t) = b (1.22)

o c est une constante. Si on pose t = 0 dans (1.22), on obtient x0 = et lquation (1.23) devient x(t) = a a + x0 b at ae b x0 a = x 0 a2 . (a + x0 b) aeat x0 ab (1.24) a a + x0 b c = ca b x0 a (1.23)

Les solutions (1.21) et (1.24) sont quivalentes car x0 aeat ((a + x0 b) aeat x0 ab) = x0 a2 (a x0 b (eat 1)) . (1.25)

La relation (1.25) est vraie car, si on dveloppe les 2 termes de cette quation, on obtient x0 a3 + x2 a2 b x2 a2 beat = x0 a3 x2 a2 beat + x2 a2 b. 0 0 0 0 La solution x(t) nest pas dnie si a = x0 b (eat 1), cest--dire si ts = 1 a ln +1 a x0 b ts > 0 bx0 < a < 0, 0 < a et 0 < bx0 . (1.26)

En eet, si t = ts , la solution x(ts ) tend vers linni la courbe x(t) prsente une asymptote verticale t = ts . Stabilit asymptotique des deux points dquilibre 12

1.2. Description des systmes non linaires et stabilit des points dquilibre Les deux points dquilibre x1 = 0 et x2 = a < 0 a > 0t0

a sont attractifs car b (1.27) (1.28) a = x2 . b

= lim x(t) = 0 = x1 , = lim x(t) =t0

Le point dquilibre x1 = 0 est stable si et seulement si [Vid93] (voir dnition 1.2.1) 1 > 0, 1 (1 ) > 0 t.q. |x0 | < 1 (1 ) = |x(t, x0 )| < 1 , t et le point dquilibre x2 = 0 (1.29)

a est stable si et seulement si (voir dnition 1.2.1) b a a 2 > 0, 2 (2 ) > 0 t.q. x0 + < 2 (2 ) = x(t, x0 ) + < 2 , t 0. (1.30) b b

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En utilisant (1.28), la relation (1.29) nest jamais vrie si a > 0. Le point dquilibre x1 = 0 est donc instable si a > 0 et une condition ncessaire pour que le point dquilibre x1 = 0 soit stable est a < 0. En utilisant (1.27), la relation (1.30) nest jamais vrie si a < 0. Le point dquilibre a x2 = est donc instable si a < 0 et une condition ncessaire pour que le point dquilibre b a x2 = soit stable est a > 0. b Le tableau 1.1 permet de rsumer la stabilit des points dquilibre en fonction du signe de a et de b. En rsum : a a < x0 < , le point dquilibre x1 = 0 est asymptotiquement si a < 0 et si b b stable car il est stable et attractif, si a > 0, le point dquilibre x1 = 0 est instable, 2a a si a > 0, si b < 0 et si 0 < x0 < , le point dquilibre x2 = est asymptotib b quement stable car il est stable et attractif, 2a a si a > 0, si b > 0 et si < x0 < 0, le point dquilibre x2 = est asymptotib b quement stable car il est stable et attractif, a si a < 0, le point dquilibre x2 = est instable. b La drive de la fonction de Lyapunov V (x) = x2 le long de la trajectoire de (1.19) est V (x) = 2 (a + bx) x2 . De plus, si a < 0, la fonction a+bx et dnie ngative si |x| < (1.31)

a , et vu les dveloppeb 2 ments ci-dessus, la drive de la fonction de Lyapunov V (x) = x le long de la trajectoire a de (1.19), donne par (1.31), est dnie strictement ngative si |x0 | < . Ainsi, la foncb tion de Lyapunov (1.31) permet de conrmer les conditions de stabilit asymptotique locale du point dquilibre x1 = 0 donnes ci-dessus. 13

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation a0 0 a b + a + b + +

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x a + bx x x(t)

+

Table 1.1: Stabilit des points quilibre.

1.3

Rappels sur les systmes linaires

Tout au long de ce mmoire, nous utilisons des rsultats largement rpandus dans la littrature sur la stabilit des systmes linaires continus, rsultats qui sont rappels dans cette partie.

1.3.1

Stabilitx = Ax (1.32)

Thorme 1.3.1. [Vid93] Le systme linaire

est globalement asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres de A ont une partie relle strictement ngatives, cest--dire si et seulement si Re(i (A)) < 0, i = 1, . . . , n, (1.33)

globalement stable si et seulement si toutes les valeurs propres de A ont une partie relle ngatives au sens large, cest--dire Re(i (A)) 14 0, i = 1, . . . , n, (1.34)

1.3. Rappels sur les systmes linaires o Re(i (A)) = 0 correspond une valeur propre simple de A. I La relation (1.33) est quivalente P = P T > 0 > 0 t.q. AT P + P A < 0 avec V (x) = xT P x. Thorme 1.3.2. [Vid93] Soit le systme autonome x = f (x) avec f (x) Lipschitzienne par rapport x et f (0) = 0, f (x) A = x (1.37a) .x=0

(1.35)

(1.36)

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(1.37b)

Si x = 0 est un point dquilibre asymptotiquement stable pour le systme x(t) = Ax(t) alors x = 0 est un point dquilibre asymptotiquement stable pour le systme (1.36). I

1.3.2

Commandabilit, observabilit, stabilisabilit et dtectabilit

Pour ltude de la commandabilit, de lobservabilit, de la stabilisabilit et de la dtectabilit, nous considrons le systme linaire temps invariant dcrit par les quations suivantes x = Ax + Bu y = Cx + Du (1.38a) (1.38b)

Dnition 1.3.1. Le systme linaire (1.38a) est commandable (ou la paire (A, B) est commandable) si, x0 , tf > 0 et xf , il existe une commande u(t) continue par morceaux telle que la solution du systme (1.38a) satisfasse x(tf ) = xf . Dnition 1.3.2. Le systme linaire (1.38) est observable (ou la paire (C, A) est observable) si, tf > 0, ltat initial x0 peut tre dtermin de manire unique en utilisant la trajectoire de lentre u(t) et la trajectoire de la sortie y(t) pour 0 t tf . Pour vrier si le systme linaire (1.38) est commandable et observable, il existe deux critres dits de Kalman et dHautus. Le systme linaire (1.38a) est commandable (ou la paire (A, B) est commandable) si et seulement si lune des deux conditions quivalentes suivantes est vrie. Critre de Kalman rang B AB A2 B An1 B = n = dim(x) (1.39) 15

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation Critre dHautus rang sIn A B = n = dim(x) s C (1.40)

Le systme linaire (1.38) est observable (ou la paire (C, A) est observable) si et seulement si lune des deux conditions quivalentes suivantes est vrie. Critre de Kalman C CA rang CA2 = n = dim(x) (1.41) . . . n1 CA Critre dHautus

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rang

sIn A C

= n = dim(x) s C

(1.42)

Dnition 1.3.3. Le systme (1.38) est stabilisable (ou la paire (A, B) est stabilisable) si et seulement sil existe une commande par retour dtat u = Kx telle que le systme boucl soit stable, cest--dire telle que les valeurs propres de A BK soient stables. Dnition 1.3.4. Le systme (1.38) est dtectable (ou la paire (C, A) est dtectable) si et seulement sil existe un gain L tel que les valeurs propres de A LC soient stables. Puisquon ne peut dplacer avec un retour dtat que les valeurs propres commandables de la paire (A, B) en passant de A A BK et quon ne peut dplacer avec une injection de sortie que les valeurs propres observables de la paire (C, A) en passant de A A LC, on peut reformuler la stabilisabilit et la dtectabilit comme suit. Dnition 1.3.5. Le systme (1.38a) est stabilisable (ou la paire (A, B) est stabilisable) si toutes les valeurs propres instables de A sont commandables (donc si toutes les valeurs propres non commandables de A sont stables). Dnition 1.3.6. Le systme (1.38) est dtectable (ou la paire (C, A) est dtectable) si toutes les valeurs propres instables de A sont observables (donc si toutes les valeurs propres non observables de A sont stables). Les critres de Hautus (1.40) et (1.42) donnent les ples commandables et observables (et donc les ples non commandables et non observables) et sont donc ecaces pour caractriser la stabilisabilit et la dtectabilit. Dnition 1.3.7. Le systme (1.38a) est stabilisable (ou la paire (A, B) est stabilisable) si et seulement si le critre dHautus suivant est vri rang sIn A B = n = dim(x) s C avec Re(s) 0. (1.43)

16

1.3. Rappels sur les systmes linaires Dnition 1.3.8. Le systme (1.38) est dtectable (ou la paire (C, A) est dtectable) si et seulement si le critre dHautus suivant est vri rang sIn A C = n = dim(x) s C avec Re(s) 0. (1.44)

1.3.3

Norme H , gain L2 et lemme born rel

On considre dsormais le systme LTI dcrit par G := x = Ax + Bw z = Cx + Dw (1.45)

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o x(t) IRn est le vecteur dtat, z(t) IRp le vecteur de sortie et w(t) IRm celui de lentre. Dnition 1.3.9 (Norme H ). [Fra87] La norme H du systme (1.45) est dnie par G

:= sup max (G(j)GT (j))I R

(1.46)

dans le cas o le systme (1.45) est stable (pas de ples partie relle positive ou nulle). Dnition 1.3.10. On dnit lnergie E dun signal w(t) comme lintgrale de sa puissance 2 E= w(t) dt. (1.47)0

En dautres termes, la norme H dune fonction de transfert reprsente le maximum du module sur toute la bande de frquence de la valeur singulire maximale de la rponse frquentielle du systme considr condition que ce dernier soit stable. Elle permet de spcier des conditions de pire cas. Cette proprit en fait une norme trs pertinente pour traiter les problmes de robustesse. La norme H est dnie par (1.46), si le systme est stable. En eet, les systmes 1 1 1 = s1 = 1 ont le mme module. Toutefois, pour une entre borne, le systme s+1 s+1 1 possde une sortie borne, ce qui nest pas vrai pour le systme s1 sauf si cette entre est stabilisante. Il est donc ncessaire de dnir le gain L2 . Dnition 1.3.11 (Gain L2 ). [GL95] Si le systme (1.45) est asymptotiquement stable, alors, w(t) L2 implique z(t) L2 et, pour x(0) = 0, le gain L2 du systme (1.45) est donn par z 2 , w 2 = 0. (1.48) G = sup wL2 w 2

17

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation Si ce gain est infrieur 1, on dit que le systme est contractif ou non expansif. Ainsi, la notion de gain L2 est utile pour quantier la faon dont le systme rejette ou amplie les perturbations externes. Remarque 1.3.1 (Norme H et gain L2 ). Lutilisation du thorme de Parseval permet dinterprter (1.48) comme un gain frquentiel ou temporel sur les signaux (la norme L2 dun signal temporel est la mme que la norme L2 de la transforme de Fourier de ce mme signal). Ainsi, pour un systme stable, la norme H de la fonction de transfert est la norme induite L2 de loprateur dentre-sortie associ au systme, cest donc le gain L2 du systme. De plus, les quations (1.46) et (1.48) permettent de considrer G comme une gnralisation de la norme spectrale des matrices constantes. Remarque 1.3.2. Daprs la dnition 1.3.11, la norme G vrie donc lingalit multiplicative GF

est une norme induite, elle

G

F

.

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Cette proprit savre trs utile pour les problmes de robustesse. Le lemme born rel est donn par le thorme suivant. Thorme 1.3.3 (Lemme born rel). Les trois propositions suivantes sont quivalentes. 1. A est stable et G < . 2. X = X T > 0 telle que [Wil71, AV73, SMN90] R = 2 Im DT D > 0, AT X + XA + C T C + (XB + C T D)R1 (XB + C T D)T < 0. 3. X = X T > 0 telle que [BEFB94, Sch90] AT X + XA XB CT BT X 2 Im DT < 0. C D Ip (1.49) (1.50)

(1.51)

I Le lemme born rel, qui fournit une majoration du gain L2 entre lentre et la sortie dun systme, peut tre utilis pour quantier lattnuation des perturbations.

1.3.4

Systmes linaires incertains

Dans ce mmoire, nous considrons la classe de systmes linaires incertains dont la partie nominale (sans incertitudes) du systme est aecte par des incertitudes non structures pouvant varier dans le temps et bornes en norme. Ce type dincertitudes est lun des plus utiliss dans la littrature. Considrons le systme suivant ayant des incertitudes bornes en norme x = A (t)x + B (t)w z = C (t)x + D (t)w 18 (1.52)

1.3. Rappels sur les systmes linaires o A (t) = A + A (t), B (t) = B + B (t), C (t) = C + C (t), D (t) = D + D (t), x(t) IRn est le vecteur dtat du systme, w(t) IRm1 reprsentant les perturbations exognes et z(t) IRp1 la sortie rguler. Nous supposons que les matrices des incertitudes peuvent scrire sous la forme suivante A (t) B (t) C (t) D (t) H1 H2 (t)(Ij E3 (t))1 E1 E2 et (t)(t)(t) T

=

Ij , t

0 (1.53)

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o (t) IRij est une matrice que nous ne connaissons pas avec exactitude, mais dont tous les lments sont mesurables au sens de Lebesgue. La matrice E3 IRji est constante T et nous devons avoir Ii E3 E3 > 0, t 0, pour assurer linversibilit de Ij E3 (t). Nous ne disposons daucune information sur (t) (ou sur (t)) si ce nest sa borne suprieure. Cest pourquoi ce type dincertitudes bornes est dite non structures. Cependant cela peut souvent se rvler trs conservatif lorsque les incertitudes sont fortement structures. Le systme incertain (1.52) peut tre reprsent par les deux gures 1.2 et 1.3 suivantes qui sont quivalentes o le systme (s) donn par E1 C E3 E2 H2 D

(s) =

(sIn A)1 H1 B +

(1.54)

reprsente la fonction de transfert de la partie nominale et o (t) reprsente les incertitudes.w(t) B + B (t) + + A + A (t) x(t) C + C (t) + + z(t)

D + D (t)

Figure 1.2: Systme incertain avec des incertitudes non structures. Pour traiter de la stabilit et des performances des systmes incertains qui peuvent varier dans le temps, nous allons utiliser une notion de stabilit, la stabilit quadratique [Gu94], qui permet donc de considrer le cas des systmes avec incertitudes temps variant pour lesquels on ne peut pas dnir de fonction de transfert. Thorme 1.3.4. (Stabilit quadratique-H ). [Gu94] Le systme incertain (1.52)1 (1.53) avec (t) < est quadratiquement stable si et seulement sil existe un paramtre 19

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisationw(t) z(t)

(t)

w(t)

(s)

z(t)

Figure 1.3: Systme incertain avec des incertitudes non structures bornes en norme reprsent sous la forme dune LFT haute. scalaire > 0 tel que le systme

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x = Ax + B H1 z = z C1

w w D H2 0 w w I E2 (1.55)

E1

x+

1

soit stable et ait une norme H infrieure 1.

Une implication directe de ce thorme dans le cas dun retour de sortie statique est donne par le thorme suivant 1.3.5 (voir [Gu94]). Thorme 1.3.5. [Gu94] On considre le systme suivant x(t) = (A + A (t))x(t) + (Bu + Bu (t))u(t) + (Bw + Bw (t))w(t)

y(t) = (Cy + Cy (t))x(t) + (Dyu + Dyu (t))u(t) + (Dyw + Dyw (t))w(t) z(t) = (C + (t))x(t) + (D + (t))u(t) + (D + (t))w(t) z Cz zu Dzu zw Dzw

(1.56)

o x(t) IRn est le vecteur dtat du systme, w(t) IRm1 reprsentant les perturbations exognes, u(t) IRm le vecteur des commandes et z(t) IRp1 la sortie rguler. Nous supposons que les matrices des incertitudes peuvent scrire sous la forme suivante A (t) Bu (t) Bw (t) Hx C (t) D (t) D (t) = Hy (t) Ex Eu Ew (1.57) yu yw y Cz (t) Dzu (t) Dzw (t) Hz 1 contrl par un retour de sortie statique est quadratiquement stable si et seulement sil existe un paramtre scalaire > 0 tel que le systme Le systme incertain (1.56)-(1.57) avec (t) < 20

1.4. Prsentation de la nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman

w(t) x(t) = Ax(t) + Bu u(t) + Bw Hx w(t) w(t) y(t) = Cy x(t) + Dyu u(t) + Dyw Hy w(t) z(t) C Dzu Dzw Hz = 1 x(t) + 1 x(t) + 1 z(t) Ex Ey Ew 0

(1.58) w(t) w(t)

contrl par le retour de sortie u(t) = Ky(t) soit stable avec une norme H infrieure 1. w(t) et z(t) sont respectivement des pseudo perturbations exognes et des pseudo sorties contrler dcrivant linterconnexion entre le modle nominal et les incertitudes paramtriques (voir gure 1.3). I

tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

1.4

Prsentation de la nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman

Dans ce mmoire, nous prsentons une nouvelle gnralisation du lemme de GronwallBellman qui constitue un lment cl dans la stabilisation des systmes non linaires considrs (anes et bilinaires) quils soient non linaires drive dordre entier ou non entier. Cette nouvelle gnralisation permet dlaborer une commande simple an de stabiliser exponentiellement le systme non linaire considr.

1.4.1

Forme standard du lemme de Gronwall-Bellman

La forme standard du lemme de Gronwall-Bellman est donne dans le lemme suivant. Lemme 1.4.1. [Vid93] (p 292) [DV75] (p 252) Soit i) ii) iii) iv) f , g et k, fonctions intgrables et dnies de IR+ IR, g 0, k 0, g L , gk est intgrable sur IR+ .

Si u : IR+ IR satisfaitt

u(t) alors

f (t) + g(t)0

k( )u( )d

t IR+

(1.59)

t

t

u(t)

f (t) + g(t)0

k( )f ( ) exp

k(s)g(s)ds d.

(1.60)

21

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation Corollaire 1.4.1. [Vid93] (p 236) [DV75] (p 252) Soit k : IR+ IR, intgrable sur IR+ et k 0. Sit

u(t) alors

c+0

k( )u( )dt

t IR+

(1.61)

u(t)

c exp0

k( )d

.

(1.62)

Des gnralisations du lemme de Gronwall-Bellman ont t proposes dans plusieurs travaux, notamment par Pachpatte [Pac73, Pac75b, Pac75a] et N. El Alami [El 86, El 95]. Dans la suite de ce chapitre, nous nous appuyons sur la gnralisation propose par N. El Alami.

1.4.2tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

Nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman un seul paramtre

Thorme 1.4.1 (1re gnralisation du lemme). [El 95] Considrons les rels a, b, n et k avec a < b, n > 1 et k > 0. Soit i) f : [a, b] IR+ une fonction intgrable telle que, pour tout , [a, b] avec < , on ait

f (s)ds > 0,

(1.63)

ii) x : [a, b] IR+ une fonction borne telle que, pour tout t [a, b], on aitt

x(t) alors, sous lhypothse suivante

k+a

f (s)(x(s))n ds,

(1.64)

b

1 (n 1)k n1a

f (s)ds > 0

(1.65)

nous avons lingalit suivante x(t) kt1 n1

t [a, b].

(1.66)

1 (n 1)k n1a

f (s)ds I

Ce thorme a t utilis pour la stabilisation et pour la stabilisation robuste des systmes bilinaires avec retour de sortie par J. El Alami [El 01] et avec retour dtat par A. Echchatbi [Ech04]. 22

1.5. Stabilisation par retour dtat statique et par retour de sortie statique

1.4.3

Nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman deux paramtres

Thorme 1.4.2. Soit i) a, b, k IR, 0 a < b, k > 0, deux rels > 1 et p 1 ii) f1 : [a, b] IR+ , f2 : [a, b] IR+ deux fonctions intgrables telles que, pour tout , [a, b] avec (0 < ), on ait

f1 (s)ds > 0,

f2 (s)ds > 0,

iii) x : [a, b] IR+ une fonction borne telle que, pour tout t [a, b], on aitt

x(t)

k+a

f1 (s)(x(s)) + f2 (s)(x(s))p ds.

(1.67)

tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

alors, sous lhypothse suivantet t

1 ( + p 2) k nous avons lingalit suivante x(t)

1 a

f1 (s)ds + k p1a

f2 (s)ds

>0

(1.68)

kt t1 +p2

.

(1.69)

1( +p2) k

1 a

f1 (s)ds+k p1a

f2 (s)ds I

Dmonstration. An de ne pas trop alourdir cette partie, les dmonstrations des thormes 1.4.1 et 1.4.2 sont prsentes dans lannexe A.

1.5

Stabilisation par retour dtat statique et par retour de sortie statique

Considrons maintenant le systme non linaire ane suivant m x(t) = Ax(t) + gi (x(t))ui (t) + Bu(t) i=1

y(t) = Cx(t) x(0) = x 0

(1.70)

o x(t) IRn est le vecteur dtat, u(t) IRm le vecteur des commandes (mesures) et y(t) IRp le vecteur des mesures, ce sera le cas dans tout ce mmoire. A, B et C sont des matrices constantes de dimensions appropries. La fonction non linaire gi (x(t)) satisfait lhypothse suivante. 23

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation Hypothse 1.5.1. Le systme non linaire ane (1.70) satisfait aux conditions suivantes. 1. La fonction gi (x(t)) est mesurable avec gi (0) = 0 (pour tout i = 1, . . . , m). 2. Pour tout i = 1, . . . , m, il existe un entier q 1, tel que gi (x(t)) i x(t)q

(1.71)

o i sont des constantes positives. 3. La paire (A, B) est stabilisable, cest--dire toutes les valeurs propres instables de la matrice A sont commandables. 4. La paire (C, A) est dtectable, cest--dire toutes les valeurs propres instables de la matrice A sont observables.m

Dans la suite de ce mmoire, nous dnissons =i=1

i .

tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

1.5.1

Stabilisation par retour dtat statique

Nous considrons que ltat du systme non linaire est entirement mesur, cest-dire la matrice C = In du systme (1.70) et nous supposons que le systme non linaire (1.70) satisfait lhypothse 1.5.1. On peut donner le thorme suivant sur la stabilisation exponentielle par retour dtat statique du systme (1.70). Thorme 1.5.1. [NZD+ 10] En considrant C = In dans le systme (1.70) et sous lhypothse 1.5.1, le systme (1.70) contrl par le retour dtat statique suivant u(t) = Lx(t) (1.72)

est exponentiellement stable si toutes les valeurs propres de la matrice A + BL sont strictement partie relle ngative et si 0 < q 0 0 , || , < = q+1 L M x0 (1.73) (1.74)

o 0 > 0, M > 0 et < 0 sont des rels donns et satisfont la relation suivante e(A+BL)t < M et t 0. (1.75)

De plus, il existe un rel strictement positif 1 tel que ltat du systme boucl x(t) est born en norme comme suit x(t) 1 M et x0 M q+1 L q x0 1 1 ||q1 q

.

(1.76)

I 24

1.5. Stabilisation par retour dtat statique et par retour de sortie statique Dmonstration. Si C = In , la solution du systme (1.70) contrl par le retour dtat (1.72) peut scriret m

x(t) = e

(A+BL)t

x0 +0

e

(A+BL)(ts) i=1

gi (x(s))(Lx(s))i ds

(1.77)

o (Lx(t))i est la ime composante du vecteur Lx(t). Sous lhypothse 1.5.1, la matrice de gain L est choisie telle que toutes les valeurs propres de la matrice A + BL soient partie relle ngative. Alors, il existe deux rels M > 0 et < 0 tels que la relation (1.75) soit satisfaite, et sous lhypothse 1.5.1, ltat x(t) du systme peut tre born comme suitt

x(t)

M et x0 + M et0 t

es L es L

x(s)q+1

q+1

ds (1.78)

tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

M e 0 + M e

t

t 0

x(s)

ds

o 0 est un rel dni dans la relation (1.73), ce qui est quivalent t

x(t) et Puisque, t > 0, on a

M 0 + M L0

eqs x(s)

q+1

e(q+1)s ds.

(1.79)

M q+1 L q 0 , || 0 (1.80) si lingalit (1.74) est bien satisfaite, alors il existe un rel 2 strictement positif tel que h(t) = 1 qM q+1 L q 0 eqs ds = 1 1 0 < 2 h(t). (1.81)

t

M q+1 L q 0 (1 et ) ||

Par consquent, en utilisant les relations (1.80) et (1.81), et la nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman donne dans le thorme 1.4.1, nous obtenons lingalit suivante M 0 x(t) et (1.82) 1 .tq

1 qM

q+1

L

q 0 0

eqs ds

En utilisant (1.80) et lingalit (1.82), lingalit suivante est bien satisfaite x(t) M et 0 M q+1 L q 0 1 ||1 q

=

1 M et x0 M q+1 L q x0 1 1 ||q1 q

(1.83)

o 1 est un rel strictement positif tel que 0 = 1 x0 .

25

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation

1.5.2

Stabilisation par retour de sortie statique

tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

On considre maintenant, le cas o ltat du systme non linaire est partiellement accessible travers dune quation de mesure considre, cest--dire la matrice C = In avec p < n dans le systme (1.70). Le retour de sortie statique est lun des problmes ouverts dans la communaut des automaticiens. Un bon nombre de travaux traitant de la synthse dun gain statique par retour de sortie ont t publis. Comme indiqu dans [Fu04], la synthse dun gain K de retour de sortie tel que toutes les valeurs propres de la matrice A + BKC soient partie relle ngative est souvent dicile obtenir et conduit en gnral des problmes doptimisation non convexe : il n y a pas de conditions ncessaires et susantes sur des matrices A, B et C donnes telles quil existe une matrice de gain K garantissant que toutes les valeurs propres de la matrice A + BKC soient stables (voir [SADG97]). Dans la littrature, beaucoup dauteurs ont propos des conditions susantes pour le problme de la stabilisation par retour de sortie statique des systmes linaires, malheureusement, la majorit de ces auteurs ne garantissent pas lexistence ou linexistence dune solution lorsque leur algorithme de synthse est dfaillant (par exemple, voir [ISG94, EOA97, CLS98, GdS98, CT99, Sha03, Fuj04]). Tout au long de ce mmoire, nous utiliserons particulirement une des deux approches suivantes Crusius et al. [CT99] ou Shaked [Sha03] pour trouver le gain de la commande par retour de sortie statique an de garantir la stabilisation du systme non linaire considr. Notons que litem 3 de lhypothse 1.5.1 donne une condition ncessaire et susante pour lexistence du gain L tel que toutes les valeurs propres de la matrice A + BL soient partie relle ngative. Cependant, les items 3 et 4 de lhypothse 1.5.1 donnent des conditions ncessaires mais non susantes pour lexistence du gain K tel que toutes les valeurs propres de la matrice A + BKC soient partie relle ngative. La stabilisation exponentielle par retour de sortie statique du systme (1.70) est une extension du thorme 1.5.1, elle est donne par le thorme suivant. Thorme 1.5.2. [NZD+ 10] On considre dans ce cas C = In avec p < n. Sous lypothse 1.5.1, le systme (1.70) contrl par le retour de sortie statique suivant u(t) = Ky(t) (1.84)

est exponentiellement stable si toutes les valeurs propres de la matrice A + BKC sont partie relle ngative et si 0 < q 0 0 , || , < = q+1 KC M x0 (1.85) (1.86)

o 0 > 0, M > 0 et < 0 sont des rels donns et satisfaisant e(A+BKC)t < M et t 0. (1.87)

De plus, il existe un rel 1 strictement positif tel que ltat x(t) du systme boucl soit 26

1.5. Stabilisation par retour dtat statique et par retour de sortie statique born en norme comme suit x(t) 1 M et x0 M q+1 KC q x0 1 1 ||q1 q

.

(1.88)

I Dmonstration. Si C = In avec p < n, la solution du systme (1.70) contrl par le retour de sortie (1.84) est donne part m

x(t) = e

(A+BKC)t

x0 +0

e

(A+BKC)(ts) i=1

gi (x(s))(KCx(s))i ds

(1.89)

tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

o (KCx(t))i est la ime composante du vecteur KCx(t). Nous supposons que le gain K existe car les items 3 et 4 de lhypothse 1.5.1 donnent des conditions ncessaires mais non susantes de lexistence du gain K tel que toutes les valeurs propres de la matrice A + BKC soit partie relle ngative. La suite de la preuve est omise car elle est dduite directement des relations (1.78) (1.83) de la preuve du thorme 1.5.1, en remplaant dune part la matrice L par la matrice KC et dautre part les relations (1.73) (1.75) par les relations (1.85) (1.87).

1.5.3

Justication de lhypothse 1.5.1

La nouvelle gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman propose, permet de stabiliser exponentiellement de manire trs simple une large classe de systmes non linaires anes. En eet, contrairement la littrature o la plupart des systmes non linaires anes sont gnralement Lipschitziens, les systmes non linaires anes considrs dans ce mmoire ne sont pas Lipschitziens lorsque le paramtre q de litem 2 dans lhypothse 1.5.1 est strictement suprieur 1. Par exemple, cette large classe de systmes inclue les systmes multilinaires anes de la formem n n

x(t) = Ax(t) + i=1 j=1 k=1

Ai,j,k xj (t)xk (t)x(t) ui (t) + Bu(t)gi (x(t))

(1.90)

o xj (t) est la j me composante du vecteur x(t). Dans ce cas, q = 3 et les scalaires i de la relation (1.71) peuvent tre crits comme suit gi (x(t)) Ai,1,1 . . . Ai,n,1 . . . Ai,1,n . . . Ai,n,ni

x(t)

3

(1.91)

puisque gi (x(t)) = P Ai,1,1 . . . Ai,n,1 . . . Ai,1,n . . . Ai,n,n (x(t) x(t) x(t)) (1.92) 27

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation o P est une matrice de plein rang donne et de dimension approprie, satisfaisant P = 1 avec toutes les composantes nulles, except un lment qui vaut 1 dans chaque ligne et, avec au plus un lment gal 1 dans chaque colonne et o est le produit de Kronecker satisfaisant A (B C) = (A B) C et A B = A B (voir [LT85], p. 408 et p. 439). Illustration avec deux exemples Les deux exemples suivants montrent comment obtenir la condition (1.71) de lhypothse 1.5.1. Exemple 1 : x = [ x1 x2 ]T IR2 , g(x) = A1 x1 x + A2 x2 x. On a

g(x) = A1 x1 x + A2 x2 x = A1 x2 1 x1 x2 + A2 x1 x2 x2 2 = A1 A2

x2 1

tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

x1 x2 x x 1 2 x2 2

=

A1 A2 (x x).

On en dduit donc

g(x) =

A1 A2 A1 A2

xx =

A1 A2 A1 A2

x4 + 2x2 x2 + x4 1 1 2 2 x4

(x2 + x2 )2 = 1 2

=

A1 A2

x

2

car nous avons A B = A B . Exemple 2 : x = [ x1 x2 ]T IR2 , g(x) = A1 x2 x + A2 x1 x2 x + A2 x2 x. On a 1 2

g(x) = A1 x2 x + A2 x1 x2 x + A2 x2 x = A1 1 2 x3 1

x3 1 x2 x2 1

+ A2

x2 x2 1 x1 x2 2

+ A3

x1 x2 2 x3 2

=

A1 A2 A3

x2 x 1 2 2 x1 x2 x x2 = A1 A2 A3 P (x x x) 1 2 x1 x2 2 x3 2

28

1.5. Stabilisation par retour dtat statique et par retour de sortie statique x x2 x2 1 2 x1 x2 x x2 1 2 P 2 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 x3 2 3 1

= A1 A2 A3

x2 1

x1 x2 P x x x = A1 A2 A3 1 2 x2 2

= avec

A1 A2 A3 P (x x x)

tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

1 0 0 P = 0 0 0 et donc (avec A B = A g(x)

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 P = 1, 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 B ) xxx = A1 A2 A3 x3

A1 A2 A3

.

Si on nutilise pas la relation A B = A conservatrice car g(x) = = = = A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 xxx =

B , la majoration obtenue est plus A1 A2 A3 x6 + 3x4 x2 + 3x2 x4 + x6 1 1 2 1 2 2

(x3 + 3x2 x2 + 3x1 x2 + x3 )2 1 1 2 2 (x1 + x2 )2 (x1 + x2 )23

(x2 + x2 + 2x1 x2 )2 1 2 (x1 + x2 )4 = A1 A2 A3 |x1 + x2 |3

A1 A2 A3 1 1 x 3 x 2 2 A1 A2 A3

ou bien g(x) = A1 A2 A3 A1 A2 A3 x6 + 2x4 x2 + 2x2 x4 + x6 1 1 2 1 2 2 (x3 + 2x2 x2 + 2x1 x2 + x3 )2 1 1 2 2 29

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation = = = A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 = A1 A2 A3 2 = 2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 (x1 + x2 )2 (x2 + x2 + x1 x2 )2 1 2 (x1 + x2 )2 |x1 + x2 | x |x1 + x2 | ( x2

( x

2

+ x 1 x2 ) 2

+ x1 x 2 + |x1 x2 |)2

2

1 1 x ( x x ( x x x2

+ |x1 x2 |)

+ |x1 x2 |)2

+

x1 x2

0 0.5

0.5 0

x1 x2

tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

2 2 2 A1 A2 A3 x ( x + 0.5 x ) 3 x . = 1.5 2 A1 A2 A3 Pour obtenir (1.93), nous avons utilis la relation suivante |x1 x2 | = x1 x2 0 a b 0 x1 x2 = |x1 x2 | (a + b) avec

(1.93)

a + b = 1,

Les rels a et b sont obtenus comme suit 0 a b 0 = max(|a| , |b|) min 0 a b 0 = min(max(|a| , |b|)) a = b = 0.5.

1.5.4

A propos du domaine dattraction

Dans les thormes 1.5.1 et 1.5.2, on peut concevoir la matrice de gain L ou K an de maximiser le rayon de convergence de la boule et dnir un domaine dinitialisation admissible donn par les relations (1.73) et (1.74) ou les relations (1.85) et (1.86). Cela peut se faire en rduisant au minimum L ou K et en imposant certaines contraintes an dobtenir un assez grand || (voir (1.75) ou (1.87)). Pour rduire au minimum L (ou K ), on peut ajouter loptimisation LMI suivante dans la synthse du gain min tel que I L L I > 0.

Puisquil existe un rel M tel que eAt M et , t > 0, o < 0 est la plus grande partie relle des valeurs propres de la matrice A, nous pouvons ainsi maximiser || par la rsolution de la LMI suivante (voir [BEFB94], p. 66)) max tel que P = P T > 0 and AT P + P A + 2P 0

o = . Cette dernire LMI sera ainsi inclue dans la synthse du gain en remplaant la matrice A par A + BL ou A + BKC. 30

1.5. Stabilisation par retour dtat statique et par retour de sortie statique

1.5.5

Exemple : Cas dun systme bilinaire

Considrons le systme bilinaire suivant x = A0 x + A1 ux + Bu y = Cx x(0) = x 0 avec A0 = 1 2 2 1 , A1 = 0 1 1 0 , B= 1 1 , C = [1 0].

(1.94)

tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

La matrice A0 a une valeur propre stable 3 et une valeur propre instable 1. Pour toute entre u constante, A0 + A1 u est instable. Par consquent, le systme bilinaire (1.94) avec la commande u(t) = 0 est instable, ceci est illustr dans la gure 1.4.1.4

1.2

1

x1 (t) et x2 (t)

0.8

0.6

x1 (t) : trait plein0.4

x2 (t) : trait en pointill0.2

0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

temps [sec]

Figure 1.4: Evolution dans le temps du systme avec une entre u(t) = 0. Avec le gain statique L = [1 1], les valeurs propres de la matrice A0 + BL sont (1, 3). Ainsi, il rsulte du thorme 1.5.1, que le systme bilinaire contrl par le retour dtat statique u(t) = Lx(t) est exponentiellement stable. La rponse temporelle du systme est indique sur la gure 1.5, avec M = 1, = 5, = 2, q = 1 et x0 = [1 0]T . Dans la mme optique, nous avons synthtis un gain par retour de sortie statique. Le gain statique de sortie a t calcul par la mthode du W-problme (voir Crusius et al. [CT99]). Ainsi, en utilisant lapproche de [CT99], on obtient le gain statique par retour de sortie K = 16.0654, ce qui donne (15.0654, 3) comme valeurs propres de la matrice A0 + BKC. Ainsi, il rsulte du thorme 1.5.2, que le systme bilinaire contrl par le retour de sortie statique u(t) = Ky(t) est exponentiellement stable. La rponse temporelle du systme est indique sur la gure 1.6, avec M = 0.5, = 15, = 2, q = 1 et x0 = [1 0]T .

31

Chapitre 1. Gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour la stabilisation

2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2

x(t)

1 0.8 0.6 0.4 0.2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

temps [sec]

Figure 1.5: Evolution dans le temps du systme avec une entre u(t) = Lx(t).

tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

1 0.9 0.8 0.7 0.6

x(t)

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5

temps [sec]

Figure 1.6: Evolution dans le temps du systme avec une entre u(t) = Ky(t).

1.6

Stabilisation exponentielle avec la gnralisation du lemme de Gronwall-Bellman deux paramtres

Dans cette section, nous proposons ltude de la stabilisation exponentielle dun systme non linaire par lutilisation de la nouvelle gnralisation du lemme de GronwallBellman deux paramtres. Lobjectif est de montrer que, sous certaines hypothses adquates, nous pouvons stabiliser le systme non linaire considr par retour dtat statique et par retour de sortie statique. 32

1.6. Stabilisation exponentielle avec le lemme de Gronwall-Bellman deux paramtres Le systme non linaire considr est dcrit par lquation direntielle suivante m x(t) =Ax(t) + (x(t))+ gi (x(t))ui (t) + Bu(t) i=1 (1.95) y(t) = Cx(t) x(0) = x 0 La fonction non linaire gi (x(t)) dans (1.95) satisfait lhypothse 1.5.1 et la fonction non linaire (x(t)) vrie lhypothse suivante. Hypothse 1.6.1. La fonction non linaire (x(t)) est mesurable avec (0) = 0 et il existe un entier r > 0, tel que (x(t)) x(t)r+1

,

(1.96)

tel-00584402, version 1 - 8 Apr 2011

o est une constante positive.

1.6.1

Stabilisation par