théorie de l'estimationcerim.univ-lille2.fr/...genin/cours/.../estimation.pdf · inconnue et...

.

...... Theorie de l’estimation

Michael Genin

Universite de Lille 2EA 2694 - Sante Publique : Epidemiologie et Qualite des soins

[email protected]

Sources : G. Marot, A. Duhamel, G. Saporta.

Plan

...1 Introduction a la theorie de l’estimationProblematiqueDefinition d’un echantillon aleatoire

...2 Estimation ponctuelleNotion d’estimateurProprietes d’un estimateurEstimation d’une moyenne, variance, proportion

...3 Estimation par intervalles de confianceDefinitionsIntervalle de confiance d’une moyenne (n < 30)Intervalle de confiance d’une moyenne (n ⩾ 30)Intervalle de confiance d’une proportion

...4 Resume

Michael Genin (Universite de Lille 2) Theorie de l’estimation Version - 30 octobre 2015 1 / 73

Introduction a la theorie de l’estimation

Point etudie


...2 Estimation ponctuelle

...3 Estimation par intervalles de confiance

...4 Resume


Introduction a la theorie de l’estimation

Notations preliminaires

Trois concepts differents a distinguer en theorie de l’estimation :

les parametres de la population comme la moyenne µ dont la valeur estinconnue et certaine⇒ symbolises par des lettres grecques

les resultats de l’echantillonnage comme la moyenne x dont la valeur estconnue et certaine⇒ symbolises par des minuscules (cf. stat desc.)

les variables aleatoires des parametres, comme la moyenne aleatoire X dontla valeur est incertaine puisqu’aleatoire mais dont la loi de proba est souventconnue⇒ symbolises par des majuscules


Introduction a la theorie de l’estimation Problematique

Point etudie




...4 Resume


Introduction a la theorie de l’estimation Problematique

Problematique

On s’interesse a un caractere X au sein d’une population P (ex : Taille)On modelise X par une v.a. (ex : a un francais tire au hasard, on associe sa taille)

Dans la population P, X suit une loi (distribution).

Resumer une loi → Moyenne (µ) et Variance (σ2) dans la plupart des cas.

On cherche donc a connaıtre µ et σ2 dans P.

Probleme

Dans la plupart des cas, impossible de considerer P dans son ensemble

On utilise un echantillon de n individus de P

Hypothese forte : On considere que l’echantillon est tire au hasard (i.e. chaqueindividu a la meme probabilite d’etre tire).


Introduction a la theorie de l’estimation Definition d’un echantillon aleatoire

Point etudie




...4 Resume



Definition d’un echantillon aleatoire

.Definition..

......

Soit X un caractere etudie sur une population P et E une experience aleatoire quiconsiste a tirer un individu au hasard dans P.On associe a E la v.a. X d’une certaine loi.On realise n fois la meme experience E , dans des conditions independantes.

n experiences −→ n v.a. Xi de meme loi

L’ensemble {X1,X2, ...,Xn} de n v.a. i.i.d. de meme loi que X est un echantillonaleatoire.




Population

Caractere etudie : XMoyenne : µVariance : σ2

Echantillon Aleatoire de taille n

{X1, X2, . . . , Xn}n variables aleatoires independantes de meme loi que X

Echantillon 1{x11, x12, . . . , x1n}

Realisation de {X1, X2, . . . , Xn}n realisations independantes de X




Rappel : On cherche a connaıtre µ et σ2 dans la population.

.

......

La theorie de l’estimation permet d’extrapoler (inference statistique) lescaracteristiques d’un echantillon a la population.En d’autres termes : l’estimation consiste a determiner les caracteristiques (µ, σ2,...) inconnues de la population a partir des donnees d’un echantillon.

2 types d’estimation :

Estimation ponctuelle

Estimation par intervalle de confiance


Estimation ponctuelle

Point etudie

...1 Introduction a la theorie de l’estimation



...4 Resume


Estimation ponctuelle Notion d’estimateur

Point etudie




...4 Resume



Notion d’estimateur - Exemple introductif

Population





Population

Caractere etudie : Taille (X)Moyenne : µVariance : σ2

Xi : v.a. qui associe a un individu i sa taille

x1i : taille obs. de l’individu i

dans l’echantillon 1

.

...... Objectif : estimer µ et σ2




Considerons la moyenne et la variance calculees sur l’echantillon (moyenne etvariance empirique) :

x =1

n

n∑i=1

xi s2ech =1

n

n∑i=1

(xi − x)2




Population





Population



Variance obs. : s2ech1

Moyenne obs. : x1





x =1

n

n∑i=1

xi s2ech =1

n

n∑i=1

(xi − x)2

A chaque echantillon de taille n, les valeurs de x et de s2 sont susceptibles d’etredifferentes.




Population





Population





Echantillon k{xk1 , xk2 , . . . , xkn}

. . .


Variance obs. : s2ech3 Variance obs. : s2ech

k

Moyenne obs. : x2 Moyenne obs. : x3 Moyenne obs. : xk


Moyenne obs. : x1





x =1

n

n∑i=1

xi s2ech =1

n

n∑i=1

(xi − x)2

A chaque echantillon de taille n, les valeurs de x et de s2 sont susceptibles d’etredifferentes.x et de s2 sont des realisations des v.a. X et S2

ech

X =1

n

n∑i=1

Xi S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

et les Xi = {X1,X2, ...,Xn} un echantillon aleatoire.




Population





Population






. . .



k



Moyenne obs. : x1

X = 1n

∑ni=1Xi

S2ech = 1

n

∑ni=1

(Xi − X

)2





x =1

n

n∑i=1

xi s2ech =1

n

n∑i=1

(xi − x)2

A chaque echantillon de taille n, les valeurs de x et de s2 sont susceptibles d’etredifferentes.x et de s2 sont des realisations des v.a. X et S2

ech

X =1

n

n∑i=1

Xi S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

et les Xi = {X1,X2, ...,Xn} un echantillon aleatoire.

Remarques

Lorsque n −→ ∞, X et S2ech se rapprochent vers µ et σ2.

X et S2 sont des estimateurs qui convergent vers µ et σ2



Notion d’estimateur - Definition

.Definition..

......

Soit {X1,X2, ...,Xn} un echantillon aleatoire de taille n. Les Xi sont i.i.d. selonune loi de probabilite de parametre θ.On appelle estimateur de θ toute v.a. fonction des Xi :

T = f (X1,X2, ...,Xn)

Sur un echantillon tire {x1, x2, ..., xn}, T fournit une realisation qui est uneestimation ponctuelle de θ :

.

...... θ = f (x1, x2, ..., xn)

Exemple :

T = X = 1n

∑ni=1 Xi (Estimateur)

µ = x = 1n

∑ni=1 xi (Estimation)


Estimation ponctuelle Proprietes d’un estimateur

Point etudie




...4 Resume



Proprietes d’un estimateur

.Convergence..

......

Un estimateur est dit convergent si :

limn→∞

T = θ

.Biais..

......

Le biais d’un estimateur est defini par :

B(T ) = E [T − θ]

Un estimateur est dit sans biais si B(T ) = 0 ⇔ E [T ] = θ

La variance de T , V [T ] permet de renseigner la precision de l’estimateur.

Plus elle est faible, plus l’estimateur sera precis.




.Qualites d’un bon estimateur..

......

Un estimateur efficace doit etre de preference :

Convergent

Sans biais

De variance minimale

Remarques

Si deux estimateurs T1 et T2 d’un parametre θ sont convergents et sansbiais, on choisira l’estimateur qui a la variance la plus faible

On peut preferer un estimateur biaise d’une faible variance a un estimateurnon biaise.




T1 T2

E[T1] = ! E[T2] = ! + B(T )




T1

T2

E[T1] = E[T2] = !


Estimation ponctuelle Estimation d’une moyenne, variance, proportion

Point etudie




...4 Resume



Estimation d’une moyenne

.Theoreme..

......

La variable aleatoire X definie par

X =1

n

n∑i=1

Xi

est un estimateur convergent et sans biais de µ

Exercice : prouver que X est un estimateur non biaise de µ.

E [X ] = E

[1

n

n∑i=1

Xi

]=

1

nE

[n∑

i=1

Xi

]=

1

n

n∑i=1

E [Xi ] = µ

La moyenne empirique calculee sur un echantillon est une bonne estimation de lamoyenne dans la population.

µ = x



Estimation d’une moyenne

.Theoreme..

......

La variable aleatoire X definie par

X =1

n

n∑i=1

Xi

est un estimateur convergent et sans biais de µ

Exercice : montrer que V[X]= σ2

n

V [X ] = V

[1

n

n∑i=1

Xi

]=

1

n2

n∑i=1

V [Xi ]︸︷︷︸=σ2

=σ2

n

.A retenir..

......E [X ] = µ V [X ] =

σ2

n



Estimation d’une variance

.Theoreme..

......

La variable aleatoire S2ech definie par

S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2,

est un estimateur convergent et sans biais de σ2 uniquement si µ est connue.

Exercice : Montrer que S2ech est un estimateur non biaise de σ2 uniquement si µ

est connue.

Correction : 1 - Si µ est connue :

E[S2ech

]=

E

[1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2

]= E

[1

n

n∑i=1

X 2i − 2µ

n

n∑i=1

Xi +1

n

n∑i=1

µ2

]

E[S2ech

]=

1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− 2µ

n

n∑i=1

E [Xi ]︸︷︷︸=µ

+µ2 =1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− µ2




.Theoreme..

......


S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2,



est connue.Correction : 1 - Si µ est connue :

E[S2ech

]=

E

[1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2

]= E

[1

n

n∑i=1

X 2i − 2µ

n

n∑i=1

Xi +1

n

n∑i=1

µ2

]

E[S2ech

]=

1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− 2µ

n

n∑i=1

E [Xi ]︸︷︷︸=µ

+µ2 =1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− µ2




.Theoreme..

......


S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2,




E[S2ech

]=E

[1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2

]=

E

[1

n

n∑i=1

X 2i − 2µ

n

n∑i=1

Xi +1

n

n∑i=1

µ2

]

E[S2ech

]=

1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− 2µ

n

n∑i=1

E [Xi ]︸︷︷︸=µ

+µ2 =1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− µ2




.Theoreme..

......


S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2,




E[S2ech

]=E

[1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2

]= E

[1

n

n∑i=1

X 2i − 2µ

n

n∑i=1

Xi +1

n

n∑i=1

µ2

]

E[S2ech

]=

1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− 2µ

n

n∑i=1

E [Xi ]︸︷︷︸=µ

+µ2 =1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− µ2




.Theoreme..

......


S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2,




E[S2ech

]=E

[1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2

]= E

[1

n

n∑i=1

X 2i − 2µ

n

n∑i=1

Xi +1

n

n∑i=1

µ2

]

E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− 2µ

n

n∑i=1

E [Xi ]︸︷︷︸=µ

+µ2 =

1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− µ2




.Theoreme..

......


S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2,




E[S2ech

]=E

[1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2

]= E

[1

n

n∑i=1

X 2i − 2µ

n

n∑i=1

Xi +1

n

n∑i=1

µ2

]

E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− 2µ

n

n∑i=1

E [Xi ]︸︷︷︸=µ

+µ2 =1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− µ2




Correction : 1 - Si µ est connue (suite)

Or par definition :

σ2 = V [X ] = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

Donc

E [X 2] = σ2 + µ2

Finalement :

E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− µ2

E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

(σ2 + µ2

)− µ2

E[S2ech

]=σ2 + µ2 − µ2 = σ2

Donc si µ est connue alors S2ech est un estimateur sans biais de σ2.





Or par definition :

σ2 = V [X ] = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

DoncE [X 2] = σ2 + µ2

Finalement :

E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− µ2

E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

(σ2 + µ2

)− µ2

E[S2ech

]=σ2 + µ2 − µ2 = σ2






Or par definition :

σ2 = V [X ] = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

DoncE [X 2] = σ2 + µ2

Finalement :

E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− µ2

E[S2ech

]=

1

n

n∑i=1

(σ2 + µ2

)− µ2

E[S2ech

]=

σ2 + µ2 − µ2 = σ2






Or par definition :

σ2 = V [X ] = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

DoncE [X 2] = σ2 + µ2

Finalement :

E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− µ2

E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

(σ2 + µ2

)− µ2

E[S2ech

]=σ2 + µ2 − µ2 = σ2






Solution beaucoup plus simple :

E[S2ech

]= E

[1

n

n∑i=1

(Xi − µ)2

]=

1

n

n∑i=1

E[(Xi − µ)2

]=

1

n

n∑i=1

V [Xi ] = σ2




Correction : 2 - Si µ est inconnue

On estime µ par son estimateur sans biais : X . Donc :

S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

E[S2ech

]= E

[1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

]= E

[1

n

n∑i=1

X 2i − X 2

]=

1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− E

[X 2]

Par definition : {σ2 = V [X ] = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

V [X ] = σ2

n = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

Donc {E [X 2] = σ2 + µ2

E [X 2] = σ2

n + µ2






S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

E[S2ech

]=

E

[1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

]= E

[1

n

n∑i=1

X 2i − X 2

]=

1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− E

[X 2]


V [X ] = σ2

n = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

Donc {E [X 2] = σ2 + µ2

E [X 2] = σ2

n + µ2






S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

E[S2ech

]= E

[1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

]=

E

[1

n

n∑i=1

X 2i − X 2

]=

1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− E

[X 2]


V [X ] = σ2

n = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

Donc {E [X 2] = σ2 + µ2

E [X 2] = σ2

n + µ2






S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

E[S2ech

]= E

[1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

]= E

[1

n

n∑i=1

X 2i − X 2

]=

1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− E

[X 2]

Par definition : {

σ2 = V [X ] = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

V [X ] = σ2

n = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

Donc {E [X 2] = σ2 + µ2

E [X 2] = σ2

n + µ2






S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

E[S2ech

]= E

[1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

]= E

[1

n

n∑i=1

X 2i − X 2

]=

1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− E

[X 2]


V [X ] = σ2

n = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

Donc {E [X 2] = σ2 + µ2

E [X 2] = σ2

n + µ2






S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

E[S2ech

]= E

[1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

]= E

[1

n

n∑i=1

X 2i − X 2

]=

1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− E

[X 2]


V [X ] = σ2

n = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

Donc {

E [X 2] = σ2 + µ2

E [X 2] = σ2

n + µ2






S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

E[S2ech

]= E

[1

n

n∑i=1

(Xi − X )2

]= E

[1

n

n∑i=1

X 2i − X 2

]=

1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− E

[X 2]


V [X ] = σ2

n = E [X 2]− E [X ]2 = E [X 2]− µ2

Donc {E [X 2] = σ2 + µ2

E [X 2] = σ2

n + µ2





E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− E

[X 2]

E[S2ech

]=

1

n

n∑i=1

(σ2 + µ2

)−(σ2

n+ µ2

)

E[S2ech

]=

σ2 + µ2 − σ2

n− µ2

E[S2ech

]=

n − 1

nσ2

.

......

Donc lorsque µ est inconnue mais estimee par X , la quantite

S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2,

est un estimateur biaise de σ2 (sous-estimation).





E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− E

[X 2]

E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

(σ2 + µ2

)−(σ2

n+ µ2

)E[S2ech

]=

σ2 + µ2 − σ2

n− µ2

E[S2ech

]=

n − 1

nσ2

.

......


S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2,






E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− E

[X 2]

E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

(σ2 + µ2

)−(σ2

n+ µ2

)E[S2ech

]=σ2 + µ2 − σ2

n− µ2

E[S2ech

]=

n − 1

nσ2

.

......


S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2,






E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

E[X 2i

]− E

[X 2]

E[S2ech

]=1

n

n∑i=1

(σ2 + µ2

)−(σ2

n+ µ2

)E[S2ech

]=σ2 + µ2 − σ2

n− µ2

E[S2ech

]=n − 1

nσ2

.

......


S2ech =

1

n

n∑i=1

(Xi − X )2,





En pratique, la moyenne µ est tres souvent inconnue et estimee par X . Dans cecas :.Theoreme..

......

La variable aleatoire S2 definie par

S2 =1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X )2

est un estimateur convergent et sans biais de σ2

.Remarques..

......

Remarquons que

S2 =n

n − 1S2ech

Si n est grand, les deux estimateurs donnent des resultats tres proches.




Vocabulaire

Ecart-type de l’echantillon

sech =

√√√√1

n

n∑i=1

(xi − x)2

Deviation standard (anglicisme)

s =

√√√√ 1

n − 1

n∑i=1

(xi − x)2



Estimation d’une proportion

Soit π une proportion d’un caractere dans une population que nous cherchons aestimer.

(Exemple : proportion de femmes dans la population francaise).

Soit K une v.a. discrete distribuee selon une loi binomiale B(n, π).(Exemple : K associe a un echantillon de taille n le nombre de femmes.

.Theoreme..

......

La frequence observee dans un echantillon de taille n constitue le meilleurestimateur de π (Loi des grands nombres)

F =K

n

F est donc un estimateur convergent et sans biais.


Estimation par intervalles de confiance

Point etudie




...4 Resume


Estimation par intervalles de confiance Definitions

Point etudie




...4 Resume



Introduction

L’estimation ponctuelle d’un parametre (moyenne, variance, proportion) peutvarier d’un echantillon a l’autre.

Population





Population






. . .



k



Moyenne obs. : x1

X = 1n

∑ni=1Xi

S2ech = 1

n

∑ni=1

(Xi − X

)2



Introduction

L’estimation ponctuelle d’un parametre (moyenne, variance, proportion) peutvarier d’un echantillon a l’autre. On dit qu’elle ne prend pas en compte lesfluctuations d’echantillonnage.

Comment avoir confiance en cette estimation ponctuelle ?

Il est necessaire de lui associer un intervalle qui contient, avec une certaineprobabilite, la vraie valeur du parametre dans la population.

⇒ Estimation par intervalle de confiance



Definition

L’estimation par intervalle de confiance de θ consiste a associer a un echantillonun intervalle aleatoire [θ1, θ2] qui contient θ avec une certaine probabilite. Cetintervalle est appele intervalle de confiance de θ

On appelle risque d’erreur la probabilite α que l’intervalle de confiance necontienne pas la vraie valeur de θ.On appelle niveau de confiance la probabilite 1− α que l’intervalle de confiancecontienne la vraie valeur de θ.

P(θ1 < θ < θ2) = 1− α

Soit T l’estimateur d’un parametre θ. Posons θ1 = T − ϵ et θ2 = T + ϵ.

P(θ ∈ [θ1, θ2]) = P(T − ϵ < θ < T + ϵ) = 1− α

P(θ ∈ [θ1, θ2]) = P(θ − ϵ < T < θ + ϵ) = 1− α



Definition

! + "! ! " !

Loi de l’estimateur T

#

2

#

21 ! #

P (! ! " < T < ! + ") = 1 ! #



Definition

Pour determiner cette probabilite, il est necessaire de connaıtre la loi deprobabilite de l’estimateur T .

On l’appelle la distribution d’echantillonnage de T .

Dans le cas des estimateurs d’une moyenne (X ) et d’une proportion (F ), letheoreme central-limite va nous permettre de determiner les distributionsd’echantillonnage de X et F .



RappelTheoreme ”Central - Limite” (T.C.L.)

Theoreme tres important en statistique

Idee : convergence en loi de la somme de v.a. i.i.d. vers la loi normale.

Utile dans l’approximation d’une loi par une loi normale (Binomiale,Poisson,...)

Utile, essentiel dans la theorie de l’estimation



RappelTheoreme ”Central - Limite” (T.C.L.)

Contexte : Epreuves repetees caracterisees par une suite X1,X2, ...,Xn de v.a. i.i.d..E [Xi ] = µ et V [Xi ] = σ2.

Soit Sn =∑n

i=1 Xi et Zn la variable centree-reduite :

Zn =Sn − nµ

σ√n

.Theoreme..

......

∀x , la fonction de repartition Fn(x) = P(Zn ≤ x) est telle que

limn→∞

Fn(x) = Φ

avec Φ fonction de repartition de N (0, 1)



Distribution d’echantillonnage de X

.Theoreme (Grands echantillons)..

......

Soit X une v.a. continue de moyenne µ et de variance σ2. En utilisant le T.C.L.,on montre que :

X −→n→∞

N(µ,

σ√n

)ou encore

X − µ

σ/√n

−→n→∞

N (0, 1)

Quelque soit la loi de X . En pratique, valable pour n ⩾ 30.

Si σ2 est inconnue, on l’estime par s2 :

X −→n→∞

N(µ,

s√n

)



Distribution d’echantillonnage de X

.Theoreme (Petits echantillons)..

......

On suppose que X ∼ N (µ, σ2). Alors :

Si σ2 est connue alors X ∼ N(µ,

σ√n

)Si σ2 est inconnue et estimee par s2 alors :

X − µ

s/√n

∼ Tn−1 d.d.l.

En pratique, on considere un petit echantillon lorsque n < 30.



Distribution d’echantillonnage de F

.Theoreme..

......

Soit π la proportion d’un caractere dans une population. D’apres le T .C .L. onmontre que :

F −→n→∞

N

(π,

√π(1− π)

n

)

En pratique, cette approximation est valable lorsque :

n ⩾ 30 et min{nπ, n(1− π)} > 5


Estimation par intervalles de confiance Intervalle de confiance d’une moyenne (n < 30)

Point etudie




...4 Resume



IC d’un moyenne - Petits echantillons (n < 30)

On considere que X ∼ N (µ, σ)

.Intervalle de confiance d’une moyenne..

......

σ2 connue (rare)

IC1−α

µ =

[x − z1−α/2

σ√n; x + z1−α/2

σ√n

]

σ2 inconnue mais estimee par s2

IC1−α

µ =

[x − t1−α/2;n−1

s√n; x + t1−α/2;n−1

s√n

]




Demonstration

On cherche (µ1, µ2) tel que P(µ1 < µ < µ2) = 1− α (definition IC).On suppose σ connu donc X ∼ N (µ, σ√

n).

Posons X ∗ = X−µσ/

√n∼ N (0, 1)

Posons z1−α2tel que

P(X ∗ < z1−α2) = 1− α

2

z1−α/2−z1−α/2 0

N (0, 1)

α

2

α

21− α

Par symetrique de la courbe : P(−z1−α2< X ∗ < z1−α

2) = 1− α

P(−z1−α2<

X − µ

σ/√n

< z1−α2) = 1− α

P(−X − z1−α2σ/

√n < −µ < −X + z1−α

2σ/

√n) = 1− α

P(X − z1−α2σ/

√n︸︷︷︸

µ1

< µ < X − z1−α2σ/

√n︸︷︷︸

µ2

) = 1− α




Autre Demonstration

On cherche (µ1, µ2) tel que P(µ1 < µ < µ2) = 1− α (definition IC).On suppose σ connu donc X ∼ N (µ, σ√

n).

On sait que P(µ1 < µ < µ2) = 1− α = P(µ− ϵ < X < µ+ ϵ). Posons

X ∗ = X−µσ ∼ N (0, 1) Donc

P(µ− ϵ < X < µ+ ϵ) =P(µ− ϵ− µ

σ/√n

< X ∗ <µ+ ϵ− µ

σ/√n

)= 1− α

P(µ− ϵ < X < µ+ ϵ) =P(

−ϵ

σ/√n< X ∗ <

ϵ

σ/√n

)= Φ(

ϵ

σ/√n)− Φ(

−ϵ

σ/√n)

P(µ− ϵ < X < µ+ ϵ) =2Φ(ϵ

σ/√n)− 1 = 1− α

Donc Φ( ϵσ/

√n) = 1− α

2 . Posons z1−α2/Φ(z1−α

2) = 1− α

2 .

Donc ϵσ/

√n= z1−α

2⇔ ϵ = z1−α

2σ/

√n




Autre Demonstration

En remplacant dans la definition d’un intervalle de confiance T par X et θ par µ :

P(X − z1−α/2

σ√n< µ < X − z1−α/2

σ√n

)= 1− α

Donc l’intervalle de confiance au niveau de confiance 1− α d’une moyenne sur unechantillon de taille n est donne par :

IC1−α

µ =

[x − z1−α/2

σ√n; x + z1−α/2

σ√n

]




Exemple

On suppose que le taux de cholesterol dans une population est distribue selon unloi normale de parametres inconnus µ et σ.De cette population est extrait un echantillon de 20 personnes. La moyenneempirique du taux de cholesterol est de x = 1.8 et l’ecart-type empirique(deviation standard) est egal a s = 0.1.

Donner un intervalle de confiance de la moyenne du taux de cholesterol dansla population au niveau de confiance 95%

Donner un interpretation des bornes de l’IC




Exemple

Nous sommes dans le cadre d’un petit echantillon n = 20 < 30

La distribution normale du taux de cholesterol dans la population estsupposee.

La variance dans la population σ2 est inconnue mais estimee par s2

IC95%

µ =

[x − t1−α/2;n−1

s√n; x + t1−α/2;n−1

s√n

]t1−α/2;n−1 = t0.975;19 = 2.093

IC95%

µ = [1.75; 1.85]


Estimation par intervalles de confiance Intervalle de confiance d’une moyenne (n ⩾ 30)

Point etudie




...4 Resume



IC d’un moyenne - Grands echantillons (n ⩾ 30)

.Intervalle de confiance d’une moyenne..

......

σ2 connue (rare)

IC1−α

µ =

[x − z1−α/2

σ√n; x + z1−α/2

σ√n

]

σ2 inconnue mais estimee par s2

IC1−α

µ =

[x − z1−α/2

s√n; x + z1−α/2

s√n

]




Exemple

On desire estimer la taille moyenne (cm) des hommes en France. On sait que sonecart-type σ = 14.

On tire un echantillon de 100 francais. La moyenne empirique de la taille surl’echantillon est x = 175.

Calculer un intervalle de confiance la taille moyenne des francais au seuil deconfiance :

90 %

95 %

99 %




Exemple

1. Seul de confiance 1− α = 0.90

IC90%

µ =

[x − z1−α/2

σ√n; x + z1−α/2

σ√n

]

Determiner z1−α/2 = z1−0.1/2 = z1−0.05 = z0.95

Table de la loi Normale centree reduite : trouver z0.95 tel que

Φ(z0.95) = 0.95




z0.95!z0.95 0

N (0, 1)

5%5% 90%




On trouve que z0.95 ≈ 1.64. Donc l’intervalle de confiance a pour valeur :

IC90%

µ =

[175− 1.64

14√100

; 175 + 1.6414√100

]IC

90%

µ = [172.7; 177.3]

La taille moyenne des francais a 90% de chances de se trouver dans l’intervalle[172.7; 177.3]





On cherche la valeur de z1−α/2 = z1−0.05/2 = z1−0.025 = z0.975

z0.975 ≈ 1.96

Donc l’intervalle de confiance a pour valeur :

IC95%

µ =

[175− 1.96

14√100

; 175 + 1.9614√100

]IC

95%

µ = [172.3; 177.7]






On cherche la valeur de z1−α/2 = z1−0.01/2 = z1−0.005 = z0.995

z0.995 ≈ 2.58

Donc l’intervalle de confiance a pour valeur :

IC99%

µ =

[175− 2.58

14√100

; 175 + 2.5814√100

]IC

99%

µ = [171.4; 178.6]





Remarque par rapport a l’exemple :

IC90%

µ = [172.7; 177.3]

IC95%

µ = [172.3; 177.7]

IC99%

µ = [171.4; 178.6]

Plus le seul de confiance est eleve, plus la taille de l’IC est importante.




Retour a l’exemple :

Avec un echantillon de 100 francais, l’intervalle de confiance a 95% est de :

IC95%

µ = [172.3; 177.7]

Considerons que nous avons un echantillon de 1000 francais, sur lequel lamoyenne empirique est la meme (x = 175).

IC95%

µ = [174.7; 175.3]

Plus la taille de l’echantillon est importante, plus la taille de l’IC se reduit.

→ la precision de l’estimation est fonction de la taille de l’echantillon.


Estimation par intervalles de confiance Intervalle de confiance d’une proportion

Point etudie




...4 Resume



Intervalle de confiance d’une proportion

Soit π la proportion d’un caractere dans une population.On note π = k/n la proportion observee sur un echantillon de taille n.

.Intervalle de confiance d’une proportion..

......

Si n ⩾ 30 et min{nπ, n(1− π)} > 5

IC1−α

π =

[π − z1−α/2

√π(1− π)

n; π + z1−α/2

√π(1− π)

n

]




Exemple

Quelques jours avant une election tres importante opposant le candidat A et lecandidat B, on realise un sondage sur 100 individus.

On obtient 54% d’intention de vote pour le candidat A contre 46% pour lecandidat B.

Calculer un intervalle de confiance a 95% de la proportion de personnesfavorables a A dans la population.

Que dire de cet intervalle ? De la taille de l’echantillon ?




Exemple

Soit π la proportion de votants pour le candidat A dans la population.

Soit π la proportion de votants pour le candidat A dans l’echantillon de taille100.π = 0.54

n ⩾ 30, nπ = 54 > 5, n(1− π) = 46 > 5

IC95%

π =

[π − z1−α/2

√π(1− π)

n; π + z1−α/2

√π(1− π)

n

]

z1−α/2 = z0.975 = 1.96

IC95%

π = [0.4423; 0.6377]




Exemple

L’intervalle de confiance est relativement grand. On ne peut conclure quant aufait que le candidat A gagne les elections.

La taille de l’echantillon n’est pas assez importante pour avoir une precisionpermettant de se prononcer sur la victoire de A

Vers le nombre de sujets necessaire...Quelle serait la taille minimale de l’echantillon pour avoir un idee sure a 95% duresultat du vote ?




Exemple

IC95%

π =

[π ± z1−α/2

√π(1− π)

n

]π = 0.54

Il faudrait une precision de l’IC ≤ 0.03 pour pouvoir tirer une conclusion.

z1−α/2

√π(1− π)

n≤ 0.03

π(1− π)

n≤(

0.03

z1−α/2

)2

n ≥ π(1− π)(0.03

z1−α/2

)2 =0.54× 0.46(

0.031.96

)2 ≈ 1061


Resume

Point etudie




...4 Resume


Resume

Moyenned’une va. continueX ∼ L(µ, σ2)

σ2

IC1−αµ =

[x− z1−α/2 σ√

n; x+ z1−α/2

σ√n

]

IC1−αµ =

[x− z1−α/2 s√

n; x+ z1−α/2

s√n

]σ2

σ2

IC1−αµ =

[x− z1−α/2 σ√

n; x+ z1−α/2

σ√n

]

IC1−αµ =

[x− t1−α/2;n−1 s√

n; x+ t1−α/2;n−1

s√n

]

n ≥ 30

n < 30

connue

connue

inconnuemais estimee pars2

inconnuemais estimee pars2

On suppose queX ∼ N (µ, σ)

Proportionπ

n ≥ 30,min{nπ, n(1− π)} > 5 IC1−απ =

[π − z1−α/2

√π(1−π)

n ; π + z1−α/2

√π(1−π)

n

]


théorie de l'estimationcerim.univ-lille2.fr/...genin/cours/.../estimation.pdf · inconnue et...

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