three nonparametric techniques for the optimum

8/18/2019 Three Nonparametric Techniques for the Optimum

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Mathemat ical Geology , Vol . 22 , No. 6 , 1990

T h r e e N o n p a r a m e t r ic T e c h n i q u e s fo r t h e O p t im u m

D i s c r e t i z a t i on o f Q u an t i t a t i ve G e o l og i c a l V ar i ab l e s

G u o c h e n g P a n 2 a n d D e V e r l e P . H a r r i s 3

T hre e nonparam e t r i c t e c hn i que s f o r t he op t i m u m d i sc re t iza t i on o f quan t i ta t i v e ge o l og i c a l f e a t ure s

are prop ose d a nd de m ons t ra te d . T he th re e m e t hods are : i so l a te d we i gh t , e n t ropy i n form at i on , an d

rank corre lat ion. Opt im um d iscre t i zat ion pla ys im portan t roles in solut ions to the fo l lo win g geo-

sc i e nc e prob l e m s : 1 ) s ignal ~no ise s e para t i on and de l i ne a t ion o f m e an i ng f u l anom al i e s and o t he r

geof ie lds re la ted to mineral targe ts ; 2) se lec t ion o f those geolog ical var iables that explain var ia-

t i ons in m i ne ra l r e sourc e s ; 3 ) de t e rm i na t i on o f the be s t sub i n te rv a l s o f v a l ue s f o r a v ar iab l e w i th

re spe c t t o m i ne ra l i za ti on ; 4 ) e nhanc e m e n t o f c e r t a in c om pl e x and c onc e a l e d i n f orm at i on o f a

geofeature abo ut i ts corre lat ion w i th ma gni tude o f minera l i zat ion; an d 5) unif ication o f d iverse

ge oda t a so t ha t t he se da t a c an be i n t e gra t e d an d ana l y ze d .

K E Y W O R D S

opt i mum di sc re ti z a t ion i so la t ed we i gh t en t ropy i n forma t ion rank cor re l a ti on

N b-T a depos i t A u-A g depos i t exp l ora t ion t a rge t.

I N T R O D U C T I O N

I n m i n e r a l e x p l o r a t i o n g e o l o g i s t s o f t e n c o n s i d e r m a n y q u an tit at iv e g e o l o g i c a l

m e a s u r e m e n t s a s d i sc r e t e g e o l o g i c a l p h e n o m e n a . F o r in s t a n ce t h e si z e o f o r e

d e p o s i t s m a y b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f q u a li ta t i v e c a t e g o r i e s s u c h a s l a r g e

m e d i u m a n d s m a l l d e p o s i t s . T h i s t r a n s fo r m a t i o n t a k e s p l a c e i n t h e m i n d o f a

g e o l o g i s t a n d m a y b e c o n s i d e r e d a t y p e o f s u b j e c t i v e d i s c r e t i z a t i o n . A l t h o u g h

su ch a t ran s format ion i s rou gh an d im p re c i se i t i s u se fu l in e s tab l i sh in g th e

id ea of d i scre t i zat ion . Th i s p ap er d esc r ib es n on p arametr ic s ta t i st i ca l t ech n iq u es

f o r o p t i m u m d i s c r e ti z a t io n o f a q u a nt it at iv e m e a s u r e m e n t .

S o m e m a j o r g e o s c i e n c e p r o b l e m s r e qu ir in g d i s c r e t iz a t i o n i n c l u d e a n o m a l y

a n d b a c k g r o u n d s e p a r a t io n d e l i n e a t i o n o f m i n e r a l t ar g et s s e l e c t i o n o f g e o l o g -

i c a l v a r i a b l e s a n d e n h a n c e m e n t o f g e o i n f o r m a t i o n . I n a d d i t io n d i s c r e ti z a t io n

~Manuscr ipt rece ived 31 July 1989; accepted 9 January 1990.

2Minera l Resources Est imat ion a n d M i n e r a l E c o n o m i c s D e p a r t m e n t o f M i n i n g a n d G e o lo g i c al

Engi nee r i ng Uni ve rs i t y o f Ar i zon a Tucson Ar i zon a 85721 .

3Di rec tor o f M i ne ra l Economi cs Dep a r t ment o f M i n i ng and Geol ogi cal Engi nee r i ng Uni ve rs i t y

of Ar i zona Tucson Ar i zona 85721.

699

0882-812 /90/0800-0699806.00/1© 1990 nternationalAssociation o r MathematicalGeology


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7 Pan and Harris

i s a l s o u s e f u l f o r un i f y i ng d i ve r s e g e od a t a f o r i m p l e m e n t a t i on o f s om e s t a ti s ti c a l

t e c hn i que s f o r m i ne r a l r e s ou r c e e s t i m a t i on s [ e . g . , c h a r a c t e r is t i c a na l y s i s ( Bo t -

bo l , 1971 ) , pa t te r n re c ogn i t i on ( A g t e r be r g , 1989; B onh a m - Ca r t e r , e t a l . , 1988 )] .

T h e c o m m o n t a s k o f d i s c r e t i z a t i o n p r o b l e m s i s t o f i n d o n e o r m o r e c r i t i c a l

t h r e sh o l d v a l u e s . S e v e r a l o f te n - u s e d m e t h o d s i n c l u d e : ( 1) th e f r e q u e n c y m e t h -

o d s [ e . g . , u p p e r ( l o w e r) a n o m a l o u s l i m i t d e f in e d a s / z + 3 o ( / ~ - 3 0 ) , w h e r e

# i s t he e xpe c t a t i on o f the f e a t u r e a nd a t he s t a nda r d de v i a t i on ] ; ( 2 ) s e c ond

ve r t i c a l de r i va t i ve ; a nd ( 3 ) t r e nd a na l y s i s f o r r e s i dua l s .

A l t hough t he r e doe s no t e x i s t a un i ve r s a l r u l e f o r d i s c r e t i z a t i on , a u s e f u l

ba s i c p r i nc i p l e i s t o d i s c r e t iz e t he qua n t i t a t i ve m e a s u r e s o a s t o e nha n c e a s m u c h

a s p o s s ib l e t h a t i n f o r m a t i o n o f th e m e a s u r e t h a t d e s c r i b e s s o m e o t h e r a p r io r i

s e l e c t e d f e a t u r e . T h i s e x t e r na l f e a t u r e i s i de n t if i e d f r om t he ob j e c t i ve o f t he

a n a l y s i s ( e . g . , e s t i m a t i o n o f r e s o u r c e s o r e x p l o r a t i o n t a r g e ts o f a p a r t ic u l a r

m e t a l ) . C o n v e n t i o n a l a p p r o a c h e s t o d is c r e ti z a ti o n a r e n o t o p t i m u m i n t e r m s o f

t h i s p r i nc i p l e , a s the y de f i ne the c r i t ic a l c u t o f f va l ue s on l y by s om e f e a t u r e o f

t h e m e a s u r e m e n t i t s el f , w i t h o u t c o n s i d e r in g e x t e r n a l i n f o r m a t i o n r e l at e d to t h e

m a j o r o b j e c ti v e . F o r i n s ta n c e , t h e u p p e r ( lo w e r ) a n o m a l o u s l im i t m e t h o d d e -

t e r m i ne s t he t h r e s ho l d va l ue s s i m p l y by c ons i de r i ng t he s t a t i s t i c a l c ha r a c t e r i s -

t i cs o f de ns i t y d i s t r ibu t i on o f t he f e a t u r e o f in t e r e s t, a nd t he s e c o nd v e r t i c a l

de r i va t i ve m e t h od ( Bo t bo l e t a l . , 1979 ) de f i ne s the c r i ti c a l c u t o f f va l ue s by t he

i n f l e c ti on po i n t s o f a c u r ve c ha r a c t e r i z i ng t he da t a m e a s u r e d i n a p r o f i l e o r m a p .

B o t h o f th e s e i g n o r e o t h e r i m p o r t a n t r e la t e d i n f o r m a t i o n .

T h r e e ne w n onp a r a m e t r i c s ta t i st i ca l te c hn i qu e s f o r t he op t i m um d i s c r e t i-

z a t io n , w h i c h a v o i d m a j o r l i m i ta t io n s o f t h e s e l f - d e f i n i t i o n p r o b l e m as s o c i -

a t e d w i t h t he t r a d i t i ona l m e t hods , a r e p r opos e d i n t h i s pa pe r : isolated weight

method entropy information method a n d rank correlation method. E a c h o f

t h e se m e t h o d s i s b a s e d u p o n a s s o c i a ti o n s b e t w e e n t h e v a r i a b le t o b e d i s c re t iz e d

a nd a s e l e c t e d f e a t u r e c ha r a c t e r i z i ng t he m a j o r ob j e c t i ve .

I S O L A T E D W E I G H T M E T H O D

T hi s a pp r oa c h i s e s pe c i a l l y de s i gne d f o r f i nd i ng a s i ng l e c r i t i c a l t h r e s ho l d

v a l u e f o r a q u a n t i ta t i v e m e a s u r e m e n t . I n o t h e r w o r d s , t h e g o a l o f t h is m e t h o d

i s t o t r a ns f o r m a qu a n t i t a t i ve ge od e s c r i p t o r in t o a b i na r y va r i a b l e . S uc h a na l y s i s

i s u s e f u l f o r a n o m a l o u s b a c k g r o u n d s e p a r a ti o n . T h i s s i m p l e t r a n s fo r m a t i o n a l s o

i s ne c e s s a r y f o r s om e s t a ti s ti c a l a pp r oa c h e s w h i c h r e qu i r e b i na r y i npu t va r i a b l e s

[ e . g . , t he c ha r a c t e r i s t i c a na l y s i s (Bo t bo l , 1971 ; M c C a m m on e t a l . , 1983 ; P a n

a nd W a ng , 1987 ; P a n a nd H a r r i s , 1989 a ) , the re l a t e d i n f o r m a t i on (P a n , 1985 ) ,

qua n t i f i c a ti on the o r i e s ( D ong e t a l . , 1979 ) , e t c . ] .

D e f i n i t i o n o f I s o la t e d W e i g h t

L e t x d e n o t e t h e q u a n t it a t iv e g e o l o g i c a l o b s e r v a t i o n s m a d e o n a s a m p l e o f

s iz e n : x = ( X l, x 2 . . . . . x n ) . I n o r d e r t o t r a n s f o r m th e m e a s u r e m e n t o p t i m a l l y ,


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Op timum iseretization of Qu antitative Geological Variables

7 0 1

s e l e c t a n o t h e r f e a t u r e , r e f e r r e d t o as t h e o b j e c t i v e v a r i a b l e a n d d e n o t e d b y y =

( Y l , Y2 . . . . y ~ ) . V a r i a b l e y r e f l e c ts s o m e f e a tu r e o f t h e m a j o r o b j e c t i v e o f t h e

i n v e s t i g a t i o n . F o r i n s t a n c e , i f t h e o b j e c t i v e i s t h e d e l i n e a t i o n o f e x p l o r a t i o n

t a r g e ts f o r a p a r t i c u l a r t y p e o f m i n e r a l d e p o s i t , t h e n y m a y b e t h e s i z e o f o r e

d e p o s i t , t h e d e n s i ty o f m i n e r a l i z a t i o n , t h e n u m b e r o f m i n e r a l d e p o s i t s , e t c.

D e n o t e y * = ( Y i ,, Yi2 . . . . Yi , , ) a s t h e r a n k e d a r r a y o f y ( r e f e r r e d t o a s th e

s t a n d a r d a r r a y ) , w h e r e Y i, -< Yi2 -< . . • - - Y i,,. C o r r e s p o n d i n g t o t h i s r a n k i n g ,

t h e o b s e r v a t i o n s o n x a r e a l s o r a n k e d i n t h e s a m e w a y s u c h t h a t x * = ( x i , , x i2 ,

. . . . x i , ) . T o s i m p l i f y n o t a t i o n w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , le t j = j , j = 1, 2 ,

. . . . n . T h u s , x * = ( x l , x 2 . . . . . x ~ ) . F o r a n y g i v e n t h r e s h o l d v a l u e , x 0 ,

v a r i a b l e x c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o a b i n a r y a r r a y d e n o t e d b y e ( x o ) = ( e l , e 2,

. . . . e n ) , w h e r e e i i s 1 ( i f x i > - X o ) O r O ( i f x i < x o ) . D e n o t e E = { k l k = 1 ,

2 . . . . . n } , a s a l i m i t i n t e g e r s e t a n d i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g s e t d e f i n i t i o n s :

E ( ~ = { i l e i = 1 , i ~ E } , E ( ° , : { i l e i = O , i ~ E }

L e t t h e n u m b e r s o f e l e m e n t s c o n t a i n e d i n s e t s E (1~ a n d E ( °) b e n l a n d n o ,

r e s p e c t i v e l y . T h e n ,

n j + n o = n ,

E l )

U E ° ) = E , E ~ ) 3 E ° ~ = q 5

w h e r e • i s a n e m p t y s e t .

D e f i n i t i o n 1 . T h e n u m b e r o f e l e m e n t s c o n t a i n e d i n t h e s e c ti o n b e t w e e n

a n y t w o e l e m e n t s e~ a n d e k i n a r r a y e ( i ~ E ( t~ a n d k ~ E ( °~ ) is c a l l e d t h e

d i s t a n c e

b e t w e e n t h e t w o e l e m e n t s . T h e s u m o f th e d i s t a n c e s b e t w e e n a l l p a i rs o f su c h

e l e m e n t s i s c a l l e d th e a r r a y d i s t a n c e [ d ( e ) ] o f se t E :

n - - 2 n

d ( e ) = Z Z w ( e p , e q ) ( q - p - 1 ) ( 1 )

p - I q = p + l

w h e r e W ( e p , e q m a x ( e p , e q ) - m i n ( e p , e q ) .

D e f i n i t i o n 2 .

G i v e n t h a t n u m b e r s n ~ a n d n o a r e f i x e d , t h e a r r a y e i s c a l l e d

t h e b e st d e s c r ip t i v e a r r a y ( D A ) o f y * i f e ha s t h e m a x i m u m a r r a y d i s t a n c e a m o n g

a l l o f th e p o s s i b l e c o n f i g u r a t i o n s ; t h e a r r a y e i s c a l l e d t h e i n v a l i d D A o f y * i f

i t h a s t h e m i n i m u m a r r a y d i s t a n c e a m o n g a l l p o s s i b l e c o n f i g u r a ti o n s ; a n d a l l

o t h e rs a r e c a l l e d th e u s u a l D A s o f y * .

D e n o t e l~ a n d lo a s t h e m a x i m u m r u n n i n g l e n g t h s o f th e s a m e e l e m e n t s

n e x t to e a c h o t h e r o f 1 a n d 0 i n t h e a r r a y e , r e s p e c t i v e l y . T h e n , t h e f o l l o w i n g

r e su l ts a r e p r o v e n ( s e e A p p e n d i x A ) .

T h e o r e m 1 . G i v e n t h a t n u m b e r s n 1 a n d n o a r e f i x e d ; ( i ) a r r a y e i s t h e b e s t

D A o f Yo i f a n d o n l y i f 11 = n l a n d lo = n o ; a n d ( i i) a r r a y e i s t h e i n v a l i d D A

o f e i f a n d o n ly i f 11 = 1 a n d lo = 1 , w h e n ]n l - n o l -< 1 .

D e f i n i t i o n 3 . T h e f o l l o w i n g r e g u l a r i z e d a r r a y d i s t a n c e i s c a l l e d t h e i s o -

l a t e d w e i g h t ( I W ) b e t w e e n t h e t w o r e s p o n s e s ( 1 a n d 0 ) i n a r r a y e :

1

d e ( 0 , 1 ) - A d ( n l , n o ) [ d ( e ) - d r a i n e ) ] ( 2 )


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702 Pan and Harris

w h e r e A d ( n l n o ) = d m a x e ) - d ra in ( e ) ; d m a x ( e ) a n d d r ain ( e ) a r e t h e m a x i m u m

a n d m i n i m u m a r r a y d is t a n c e s i n e c o r r e s p o n d i n g t o t h e b e s t a n d i n v a l id D A s o f

y * , r e s p e c t i v e l y .

O n t h e b a s i s o f d e f i n i t io n s 1 , 2 , a n d 3 a n d T h e o r e m 1 , t h e f o l l o w i n g r e s u lt s

a r e o b v i o u s .

Theorem 2 .

( 1 ) 0 < d e ( 0 , l ) < 1

( 2 ) d e ( 0 , 1 ) = 0 i f a n d o n l y i f e i s t h e i n v a li d D A o f y *

( 3 ) d e ( 0 , l ) = 1 i f a n d o n l y i f e i s t h e b e s t D A o f y *

( 4 ) 0 < d e ( 0 , 1 ) < 1 i f a n d o n l y i f e i s a u s u a l D A o f y *

G i v e n t h a t n u m b e r s n l a n d n o a r e f i x e d , i t i s r e a d i l y s h o w n t h a t

n l n i 1

d m a x ( e )

=

m a x [ d ( e ) ] = ~ ~ ] [ = ½ nOr / l ( /' / 2 )

e i = l t = n l i

C o m p u t a t i o n o f q u a n t it y d m i . ( e ) , h o w e v e r , i s n o t s o e a s y , a s i t i s n o t o n l y a

f u n c t i o n o f n u m b e r s n l a n d n o , b u t i t a l s o i s r e l a te d t o t h e c o n f i g u r a t i o n s o f t h e

a r r ay . F o r t u n a t e l y , t h e f o l l o w i n g i s f o u n d t o b e a n e x c e ll e n t a p p r o x i m a t i o n t o

i t s r e a l v a l u e :

d r a i n ( e ) = ~ o ( d m a x ( e ) ) -~- 7 d m a x ( e )

w h e r e ' ) , = 0 . 4 1 1 + # / 2 + ( n o - n l ) 2 ] , /x = 1 i f n > 7 a n d # = 0 i f n _<

7 .

H e n c e , t h e i s o la t e d w e i g h t d e f i n e d i n ( 2) m a y b e a p p r o x i m a t e d b y

1 I n ~ ] 2

~ w e i , e j ) j _ i _ l ) _ 3 ` d m a x e ) ]

d e O , 1 ) = 1 - V ) d m a x e ) [_ i= 1 j = i + l

n--2

n

w e i , e j ) V

_ 2 Z Z - - j - i - 1 ) 3 )

n o n l n - 2 ) i = l j = i + l 1 - 3, 1 - 3 '

P r o c e d u r e o f D i s c r e t i z a t i o n

T h e b a s i c r u l e o f th e i s o la t ed w e i g h t ( I W ) m e t h o d f o r d is c r e ti z a ti o n is to

f in d a c r i ti c a l t h r e s h o l d v a l u e s u c h t h a t t h e I W d e f i n e d i n E q . ( 3 ) i s m a x i m i z e d .

O b v i o u s l y , m a x i m i z a t i o n o f t h e IW is e q u i v a le n t t o m a x i m i z i n g t h e c o n f o r m i t y

o f t h e d i s c r e ti z e d v a r i a b l e a n d t h e se l e c t e d o b j e c t i v e fe a t u re . T h e t e rm c o n -

f o r m i t y m a y b e i l l u s tr a te d b y t h e f o l l o w i n g e x a m p l e . S u p p o s e t h a t t h e s iz e o f

s a m p l e ( n ) i s 1 0 a n d n u m b e r n l = 5 ( n o = 1 0 - 5 = 5 ) . S u p p o s e th a t t h e


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O p t i m u m D i s c r e t i z a ti o n o f Q u a n t i t a t i v e G e o l o g i ca l V a r i a b l e s 7 0 3

o b s e r v a t i o n s y a r e r a n k e d t o y * . I f v a r i a b l e x i s d i s c r e t i z e d i n t o e = ( 1 , 1 , 1 ,

I , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) o r e = ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ) , m e a n i n g t h a t t h e

m a x i m u m r u n n i n g l en g t h s e q u a l t h e n u m b e r s o f c o r r e s p o n d i n g r e s p o n s e s ( i . e . ,

l l = n l ; a nd lo =

n o ,

t h e d i s c r e ti z e d a r r a y o f x * is th e b e s t D A o f y * , s u g -

g e s t i n g t ha t th e d i s c re t iz e d m e a s u r e m e n t is m o s t c o n f o r m a b l e t o y * . H o w e v e r ,

a n o t h e r e x t r e m e c a s e i s t h a t t h e d i s c r e t i z e d a r r a y t a k e s t h e f o l l o w i n g c o n f i g u -

r a t io n : e = ( 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ) , w h i c h i s t h e i n v a l i d D A o f y * , m e a n i n g

t h a t t h e d i s c r e t i z e d a r r a y i s l e a s t c o n f o r m a b l e t o t h e o b j e c t i v e v a r i a b l e .

T h e r e e x i s t m o r e t h a n o n e w a y t o d e t e r m i n e t h e c r i t i c a l t h r e s h o l d v a l u e

t h a t o p t i m i z e s t h e d i s c r e t i z a t i o n o f a q u a n t i t a ti v e v a r i a b l e w i t h r e s p e c t t o a se -

l e c t e d o b j e c t i v e f e a t u r e . T h e s e a r c h p r o g r a m p r e s e n t e d b e l o w , h o w e v e r , i s a

f e a s i b l e a n d e f f e c t i v e p r o c e d u r e .

W i t h o u t lo s s o f g e n e r a l i t y , a s s u m e t h a t y i s a l r e a d y s t a n d a r d i z e d [ i . e . , y

= Y l , Y 2 . . . . . Y n ) , w h e r e

Y l < -

Y 2 < . • • ~ Y n ] I f t h i s i s n o t t h e c a s e ,

v a r i a b le y w o u l d b e r a n k e d i n th is w a y . T h e n , x is o p t i m a l l y d i s c r e ti z e d t h r o u g h

t h e f o l l o w i n g s t e p s .

R e a r r a n g e t h e e l e m e n t s o f x s u c h t h a t x * = ( x i, , xi2 . . . . . x i , , , w h e r e x i ,

< - x i 2 < - • . • ~ x i , , an d 1 _< i j _< n fo r a l l j = 1 , 2 . . . . , n . C lea r ly , t he c r i t i ca l

t h r e s h o l d m u s t b e c o n t a i n e d i n th e i n t e r v a l [ x i ~ , x i,,]. M o r e s p e c i f i c a ll y , t h e

c r i ti c a l t h r e s h o l d m u s t b e in o n e o f t h e n - 1 s u b i n t e r v a l s , [ x i L , x i 2 ] . T h e n -

1 m i d v a l u e s o f t h e s e s u b i n t e r v a l s a r e c a n d i d a t e s f o r t h e c r it ic a l t h r e s h o l d v a l u e .

A c c o r d i n g l y , c o n s i d e r t h e c r i ti c a l t h r e s h o l d t o b e o n e o f th e f o l l o w i n g v a l u e s :

X i j J r- X i ) + I

x m - , j = 1 , 2 . . . . n - 1

2

F o r a n y g i v e n p o s s i b l e c u t o f f v a l u e x¢ ) ( 1 - < j -< n - 1 ) , x * i s d i s c r e t i z e d

t o a b i n a r y D A e j = ( e ~j ), e~ ~ . . . . , e j ~ ) , w h e r e e} ) = 1 w h e n x i > - x } ° ~ o r

e l ~) = 0 w h e n x i < x j .°) f o r i = 1 , 2 . . . . . n . R e p e a t i n g t h e s i m i l a r d i s c r e t i z a t i o n s

f o r a l l o t h e r m i d v a l u e s , w e w o u l d o b t a i n n - 1 b i n a r y D A s , e ~, e 2 . . . . . - l-

F o r e a c h ek , i ts I W ( d e~ ( 0, 1 , ) ) i s c o m p u t e d u s i n g E q . ( 3 ) . T h e s a m e

c o m p u t a t i o n s r e p e a t e d f o r a l l D A s p r o d u c e t h e n - 1 I W s : d e, ( 0 , 1 ) , d e 2 ( 0 ,

1 ) . . . . . d e . . . 0 , 1 ) .

I n th e l a s t s t e p , d e t e r m i n e t h e c r it i c a l t h r e s h o l d t h a t m a x i m i z e s t h e i so l a t e d

w e i g h t , i . e . ,

d e~ (O , 1 ) = m a x { d e j (O , 1 ) }

l < _ j ~ n - - I

w h e r e e k* is o n e o f t h e e j ' s . T h e o p t i m u m c r i ti c a l p o i n t i s, t h e r e f o r e , x m ) =

x ~ ) a n d t h e o p t i m a l l y d i s c r e t i z e d b i n a r y a r r a y f o r v a r i a b l e x i s: e * = e ~ =

k) k) k) ,

( e l , e 2 , • . . , e n ) .

I t i s w o r t h w h i l e t o p o i n t o u t t h a t w h e n v a r i a b l e s x a n d y a r e h i g h l y c o r -

r e la t e d , t h e o p t i m u m c r it ic a l p o i n t t e n d s t o b e c l o s e t o th e m i d - v a l u e o f x . I n

t h e e x t r e m e c a s e , a s o n e o f t h e r e fe r e e s o f t hi s p a p e r s u g g e s t e d , i f t h e c o r r e l a -


6/24

7 4 P a n a n d H a r r i s

t i o n b e t w e e n x a n d y i s o n e o r n e g a t i v e o n e , t h e n , t h e o p t i m u m c r i t i c a l v a l u e

d e t e r m i n e d b y t h e a b o v e p r o c e d u r e w i l l b e t h e m e d i u m p o i n t o f x .

C a s e S t u d y

I n th e e s t i m a t i o n o f N b - T a r e s o u rc e s o f p e g m a t i t ic d e p o s i ts , t h e I W m e t h o d

w a s a p p l i e d to 8 q u a n t i t a t i v e m e a s u r e m e n t s a m o n g 4 0 g e o l o g i c a l , g e o c h e m i c a l ,

a s w e l l a s m i n e r a l o g i c a l v a r i a b l e s ( t h e o t h e r s a r e 3 2 b i n a r y v a r i a b l e s ) c o l l e c t e d

o n 2 1 o r e d e p o s i t s h o s t e d i n t h e g r a n i t e p e g m a t i t e s i n t h e s o u t h e r n C h i n a ( P a n ,

1 9 8 5) . S i n c e t h e m a i n i n t e r e s t o f th i s s t u d y w a s t h e e s t i m a t i o n o f p o t e n t i a l

r e s o u r ce s o f t h e p e g m a t i t i c N b - T a d e p o s i t s , i t i s d e s i r a b l e th a t th e i n f o r m a t i o n

o f th e s e m e a s u r e m e n t s a b o u t v a r i a ti o n o f t h e N b - T a r e s o u r c es i s e n h a n c e d a s

m u c h a s p o s s i b l e t o i m p r o v e r e s o u r c e s e s t i m a t i o n . F u r t h e r m o r e , t h e s t at i s t i ca l

a p p r o a c h e m p l o y e d i n th i s e s t i m a t i o n i s c h a r a c te r i s t i c a n a l y s is , w h i c h r e q u i re s

b i n a r y o r t e rn a r y i n p u t v a r i a b le s . A c c o r d i n g l y , t h e I W m e t h o d w a s e m p l o y e d

i n t h i s s t u d y f o r b o t h u n i f i c a t i o n o f t h e d a t a s e t ( i . e . , t r a n s f o r m a t i o n o f a l l q u a n -

t i ta t iv e m e a s u r e m e n t s i n to b i n a r y v a r i a b l e s) a n d t h e e n h a n c e m e n t o f i n f o rm a -

t i o n a b o u t r e s o u r c e v a r i a t i o n . C l e a r l y , i t i s a p p r o p r i a t e t o c h o o s e t h e q u a n t i t y

o f t o t a l m e t a l o f N b a n d T a a s t h e o b j e c t i v e v a r i a b l e ( y ) . U s i n g t h e p r o c e d u r e

d e s c r i b e d a b o v e , 8 q u an t i ta t i v e m e a s u r e m e n t s w e r e o p t i m u m l y d i s c r e ti z e d i n to

b i n a r y v a r i a b l e s , a n d t h e r e s u l t s a r e p r e s e n t e d i n T a b l e 1 . F r o m t h i s t a b l e , t w o

m a j o r c h a r a c t e r i s t i c s m e r i t c o m m e n t .

F i r s t , t he l a r g e r th e i s o l a t e d w e i g h t , t h e m o r e i n f o r m a t i o n o f t h e v a r i a b l e

a b o u t t h e v a r i a t i o n o f t h e N b a n d T a m e t a l is e n h a n c e d , a n d , t h e r e f o r e , t h e

m o r e i m p o r t a n t t h is v a r i a b l e w i l l b e i n t h e e s t im a t i o n o f t h e r e s o u r c es . F o r

i n s t a n c e , v a r i a b l e s x 8 a n d x I a r e m o s t i m p o r t a n t , a s t h e y a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e

l a r g e s t i s o l a t e d w e i g h t s .

S e c o n d , a c c o r d i n g t o th e r e l a t iv e m a g n i t u d e o f th e I W , v a r i a b l e s h a v i n g

I W v a l u e s s i g n i fi c a n t ly l o w e r t h a n th e a v e r a g e m i g h t b e e x c l u d e d f r o m f u r th e r

c o n s i d e r a t i o n , a s th e i r p r e s e n c e m a y i n t r o d u c e n o i s e o r m a s k t h e m o s t c r i t ic a l

Ta ble 1. D iscretized Results by the Isolated Weight Method

Variable

Thresho ld Value d*(0, 1)

No. of pegmatitic veins (x0

M aximum length (m) o f veins (x2)

No. of structural zones (x3)

Average value (%) of Nb205 (x4)

Average value (% ) of TazO5 (xs)

Ratio of Ta20~/Nb205 (Xr)

Ratio of Sn /Y (xT)

Ratio of Sn /L a (xs)

4.0 ( >

210.0 ( >

4.0 ( >

0.019 ( >

0 .015 (>

0 .8 (>

16.01 (>

15.05 ( >

1 0.82

1 0.64

1 0.46

1 0.71

1 0.65

1 0.62

1 0.73

1 0.91

aThe column contains value assignment: 1 ifx > threshold and 0, otherwise.


7/24

Op timum iscretization of Qu antitative Geo logical Variables 7 5

i n f o rm a t i o n c a r d e d b y o t h e r v a r i a b le s . F o r i n s ta n c e , m e a s u r e m e n t x3 m a y b e

c o n s i d e r e d f o r e l i m i n a t io n .

E N T R O P Y I N F O R M T I O N M E T H O D

T h e i so l a t ed w e i g h t m e t h o d d e s c r i b e d a b o v e p r o v i d e s a m e a n s o f o p t i m u m

d i s c r e t i z a t i o n t o a b i n a r y v a r i a b l e t h r o u g h f i n d i n g o n l y a s i n g l e t h r e s h o l d v a l u e .

I n m a n y c a s e s , h o w e v e r , m u l t ip l e c r i t ic a l t h r e s h o l d v a l u e s m a y b e a p p r o p r i a te .

T h e e n t r o p y i n f o r m a t i o n m e t h o d p r e s e n t e d i n t h is s e c ti o n p r o v i d e s a m e a n s o f

d i s c r e t iz i n g a q u a n t i t a t iv e m e a s u r e m e n t i n t o a q u a l i t a t i v e o n e w i t h a n y l i m i t e d

n u m b e r o f d is c r e te c a t e g o r i es .

D e f i n i t i o n o f E n t r o p y I n f o r m a t i o n

S u p p o s e t h a t t h e m e a s u r e m e n t x b e i n g d i s c r e ti z e d i s o b s e r v e d o n a s a m p l e

o f s i z e n: x ~ I x 0 , x ° ] x ° > x 0 ) . A q u a l i t a t i v e v a r i a b l e y i s s e l e c t e d a s t h e

o b j e c t i v e f e a t u r e , w h i c h i s o b s e r v e d o n t h e s a m e s a m p l e : y ~ { y ~ , Y z . . . .

Y s } , w h e r e y j j = 1 , 2 . . . . . s ) a r e t h e s i n g l e n u m b e r s . L e t p y j ) j = 1 , 2 ,

. . . . s ) d e n o t e t h e o c c u r r e n c e p r o b a b i l i t y f o r v a l u e y j. T h e n , t h e e n t r o p y , H y ) ,

o f y a n d t h e c o n d i t io n a l e n t r o p y , H x y ) , o f y o n x a r e d e f in e d a s f o l lo w s :

s

H y ) = - ~ ]

p y j ) l n p y ; )

4 )

j = l

s

H x y ) = - 2 p y j l x ) l n p y j l x ) 5 )

j l

i n E q s . 4 ) a n d 5 ) , w h e n p y j ) = 0 , w e a s s u m e t h a t p y j ) l n p 3 ~ / ) = 0 . F o r

c o n t i n u o u s v a r i a b l e s , E q s . 4 ) a n d 5 ) a r e g i v e n , r e s p e c t i v e l y , b y

H y ) = - l / y y ) l n f s y ) d y

a n d

H x y ) = - ~ f y l x ) ln f y l x ) d y

w h e r e f y y ) i s t h e m a r g i n a l p r o b a b i l i ty d e n s i t y o f y a n d f y l x ) is t h e c o n d i -

t i o n a l d e n s i t y o f y o n x .

O n t h e b a s i s o f t h e s e d e f in i t i o n s , t h e r e l a t iv e e n t r o p y i n f o r m a t i o n o f x o n

y i s i n t r o d u c e d a s f o l l o w s P a n a n d X i a , 1 9 8 8 ) .

Definition 4.

D e f i n e t h e r e l a t i v e e n t r o p y i n f o r m a t i o n o n y c o n t a i n e d i n x

as :

p x y ) - A I x y )

h ( y ) ( 6 )


8/24


w h e r e A l ( x ~ y ) = H ( y ) - H x ( y ) , r e f e rr e d t o a s t h e a b s o l u t e e n t r o p y i n -

f o r m a t i o n .

E q u a t i o n ( 6 ) m e a s u r e s h o w m u c h o f t h e u n c e r t a i n t y a b o u t y is r e l a t i v e l y

r e d u c e d , w h e n x is r e a l i z e d . C l e a r l y , a l a r g e p i n d i c a t e s a st r o n g d e p e n d e n c y

o f y o n x , a n d v i c e v e r s a . B e c a u s e o f u n c e r t a i n t y a b o u t v a r i a b l e x , t h e r e l a t i v e

e n t r o p y i n f o r m a t i o n p ( x ~ y ) i s a l s o u n c e r t a i n . T h e r e f o r e , i ts m e a n v a l u e i s

c o m p u t e d :

~ ( x ~ y ) = f p ( x ~ y ) g ( x ) d x ( 7 )

w h e r e g x ) i s t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y o f x .

N o w c o n s i d e r a d i s c r e t i z a t i o n o f x i n t o m ( > 2 ) s u b i n t e r v a s , e a c h o f w h i c h

i s a s s o c i a t e d w i t h a d i s c r e t e p r o b a b i l i s t i c v a l u e

g x i ) ,

w h e r e x i is th e m e d i a n o f

i n t e r v a l i ( i = 1 , 2 . . . . . m ) a n d E im

g x i )

1 . T h u s , E q . ( 7 ) c a n b e w r i t t e n

i n t h e d i s c r e t e f o r m :

rn S

Z Z p y i l x i )g x i ) l n p y j I x i

)

i = l j = l

8 )

H ( y )

~ x ~ y ) = 1 +

U s i n g t h e B a y e s i a n fo r m u l a , w e h a v e

p y j l x i ) -

s u c h

t h a t

p x, lyi)p y j)

g x i )

Z Z p x , l y j ) p y j ) I n

i = , j = | g x i ) )

~ ( x ~ y ) = 1 - ~ ( 9 )

P (

y

I n p ( y j )

a

j = l

T h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s o f t h e e n t ro p y i n f o r m a t i o n a r e p r o v e n ( s e e A p p e n d i x

B ) .

Theorem 3.

0 - < ~ ( x ~ y ) -< 1

~ ( x ~ y ) = 0 i f a n d o n l y i f y i s s t a t i s t i c a l l y i n d e p e n d e n t o f x

~ ( x - - ' y ) = 1 i f a n d o n l y i f s -< m a n d y is a d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n o f x ,

i . e . , y = 6 ( x ) , a . s .

~ ( y - ~ x ) = 1 i f a n d o n l y i f m -< s a n d x i s a d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n o f y ,

i . e . , x = ~ b ( y ) , a . s .

~ ( x - ~ y ) = ~ ( y ~ x ) = 1 i f a n d o n l y i f m = s a n d t h e r e e x i s t s a

d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n 3 ', s u c h t h a t y = 3 , ( x ) a n d x = , y - i ( y ) , a . s .


9/24

Op timum iscretization of Qu antitative Geological Variables

7 0 7

Est imat ion o f t he Re lat ive Ent ropy Inf ormat ion

E s t i m a t i o n o f t h e m e a n o f th e r e l a ti v e e n t r o p y i n f o r m a t i o n m a y b e a c h i e v e d

b y u s in g e i t h er o f t h e tw o a p p r o a c h e s : t h e m a x i m u m l ik e l ih o o d m e t h o d a n d th e

B a y e s i a n r o b u st m e t h o d . D e n o t e

n i j

a s th e n u m b e r o f t h e o b s e r v a t i o n s f o r w h i c h

v a r i a b l e x ta k e s v a l u e s w i t h i n t h e s u b i n t e r v a l i a n d v a r i a b l e y t a k e s v a l u e o f y j

( i = 1 , 2 . . . . . m a n d j = 1 , 2 . . . . . s ) . T h e n , t h e m a x i m u m li k e l ih o o d

e s t i m a t e s o f t h e r e l e v a n t p r o b a b i l i t i e s a r e

n~j n . j n i

p ( X i [ Y i ) : - - , P ( Y j ) = - - , g ( x i ) : 1 0 )

F I . j n n

w h e r e

n . j r , n = E s = m s

:

i =

1 l l i j , h i .

j = I n u ,

an d n El= ~ E~ = i n0-

A c c o r d i n g l y , t h e m e a n o f th e r e l a ti v e e n t r o p y i n f o r m a t i o n d e f i n e d i n (9 )

i s e s t i m a t e d b y t h e m a x i m u m l i k e l i h o o d m e t h o d a s f o l l o w s :

m s

E E n o In

( n i f f n i . )

~ ( x --~ y ) : 1 - ~ = J = ( 1 1 )

n . j l n ( n j / n )

j = 1

F o r t h e p u r p o s e o f r o b u s t n e s s , i t i s n e c e s s a r y t o u s e t h e B a y e s i a n e s ti -

m a t o r s f o r p r o b a b i l i t i e s

p ( y j ) , g ( x i ) ,

a n d

p ( x i [y i ) :

r l . j - t - 1 h i . + 1 f i ( x i l Y j ) _ r li j -}- 1 ( 1 2 )

f i Y J ) - - n + s ~ ( X i ) - - n + m r t . j + m

G i v e n t h e s e e s t im a t o r s , t h e B a y e s i a n e s t im a t e o f th e m e a n o f th e r e l at iv e e n -

t r o p y i n f o r m a t i o n i n ( 9 ) i s g i v e n b y :

y = 1

~ , ( n j + 1 ) - -

i = l j = l \ n . j q -

In

\ n j + + + 1

j = l - ~ -

1 3 )

Imp lement at ion o f i s cre ti zat ion

T h e b a s i c o b j e c t i v e o f t h is a p p r o a c h i s t o c h o o s e a s c h e m e f o r d i s cr e t iz i n g

the i n t e rva l Xo < x < x ° i n to m ( m > 1 ) s u b i n t e r v a l s . T h i s is e q u i v a l e n t t o

d e t e r m i n i n g m - 1 t h r e s h o l d v a lu e s . O n e c r i te r io n f o r s u c h a p e r f o r m a n c e i s


10/24


11/24

Optimum Discretization of Qu antitative GeologicalVariables 709

o n l y q u a n t i t a t i v e o b j e c t i v e v a r i a b l e s a r e a v a i l a b l e , t h e s e l e c t e d m e a s u r e m e n t

y ) m u s t b e d i s c r e ti z e d i n t o t h e q u a l i ta t iv e f o r m p r i o r to t h e u s e o f t hi s a l g o -

r it h m . T h e d i s c re t iz a t io n o f y c a n b e d o n e s i m p l y t h r o u g h s u b j e c ti v e m e t h o d s .

F o r e x a m p l e , t h e r a n g e o f y i s d i v i d e d i n to s e q u a l s u b i n t e r v a l s, e a c h o f w h i c h

i s re p r e s e n t e d b y i ts m i d - v a l u e . T h i s s i m p l e tr e a t m e n t i s r e a s o n a b l e , b e c a u s e

va r i a b l e y i s on l y u s e d a s a r e f e r e nc e f o r t he d i s c r e t i z a t ion o f o t he r m e a s u r e -

m e n t s .

V a l u e s s i g n m e n t t o t h e D i s c r e t iz e d V a r i a b l e

A f t e r t h e b e s t s c h e m e o f d i s c r e t i z a t i o n f o r m e a s u r e m e n t x i s f o u n d , a n

a p p r o p r i a t e a s s i g n m e n t o f v a l u e s t o t h e d i s c r e t i z e d v a r i a b l e s h o u l d b e e s t a b -

l i she d . T h i s s t e p is u s e f u l f o r m a n y ge o l o g i c a l s t ud ie s . I f t he a i m o f t he d i s c r e -

t i z a ti on i s t o un i f y g e o l og i c a l da t a o f d i ve r s e t yp e s , e a c h o f t he d i s c r e t i z e d

s u b i n t e rv a l s f o r a q u a n t i ta t i v e m e a s u r e m e n t m u s t b e r e p r e s e n te d b y a v a lu e f r o m

t h e u n if y i n g s c h e m e .

A us e f u l p r i nc i p l e f o r t h i s a s s i gnm e n t i s t o r e ve a l a s m u c h o f t he i n f o r -

m a t i on o f t he d i s e r e t i z e d va r i a b l e s a bou t t he s e l e c t e d ob j e c t i ve f e a t u r e a s i s

pos s i b l e . F o r b i na r y d i s c r e t i z a t ion , w e u s ua l l y a s s i gn 1 t o t he c a t e g o r y g r e a t e r

t ha n t he c r i t i c a l t h r e s ho l d va l ue a nd 0 t o t he o t he r c a t e go r y . F o r t he t e r na r y

t r a ns f o r m a t i on , t he t h r e e c a t e go r i e s a r e u s ua l l y r e p r e s e n t e d by va l ue s 1 , 0 , a nd

- 1 . F o r t e r n a r y o r h i g h e r o r d e r s o f d i sc r e t iz a t io n , t h e f o ll o w i n g p r i n c i p le is

s u g g e s t e d f o r v a l u e a s s i g n m e n t s . S u p p o s e t h a t y h a s th e s a m e n u m b e r o f q u a l-

i t a ti ve c a t e go r i e s a s t he d i s c r e t iz e d va r i a b l e x , i . e . , s = m . T h e n , t he va l ue

a s s i gnm e n t s hou l d be m a de i n s uc h a w a y t ha t t he f o l l ow i ng qua n t i t y i s m a x i -

m i z e d :

n 2

r x y 1 - - E e , - Y i

H i l l

w h e r e e i and Yi a re d i sc re t e num be r , su ch as 1 , 0 , - I , e t c .

C a s e S t u d y

T h e e n t r o p y i n f o r m a t i o n m e t h o d d e s c r i b e d a b o v e i s a p p l i e d t o th e p r o b l e m

o f d e l in e a t in g a n o m a l o u s t a r g e t s f o r th e e p i t h e r m a l g o l d - s i l v e r d e p o s i ts i n t h e

W a l k e r L a k e q u a d r a n g l e , w h i c h c o m p r i s e s th e a r e a b e t w e e n 3 8 ° a n d 3 9 ° N o r t h

l a ti t ude a nd 118 ° a nd 120 ° W e s t l ong i t ude a nd i nc l ude s pa r t s o f the s t a t e s o f

C a l i f o r n i a an d N e v a d a . T h e g e o c h e m i c a l d a t a u s e d i n t h is s t u d y w e r e c o l le c t e d

f r o m s t r e a m s e d i m e n t s a m p l e s . A m o n g 3 0 e le m e n t s a n a l y z e d , 1 4 e l e m e n t s ,

i n c lu d i n g A u , A g , C u , P b , Z n , F e , C a , S b , Z r , V , B i , M o , B e , a n d B , w e r e

e m p l o y e d i n t hi s a n a l y s i s.

T h e s e e l e m e n t s w e r e s y n t h e s i z e d i n t o a s i n g l e m e a s u r e m e n t - - t h e g e o -

c h e m i c a l s c o r e s b y u s i n g t h e m o d e l r e f e r r e d t o a s t h e w e i g h t e d a n d t a r g e t e d


12/24

710 Pan and Har r i s

o

o ~

oo

J

o

~

o~

iv3

o

ao

too

co

o

tM

a

¢¢

_>


13/24

O ptim um Discretization of Quan titative Geological Variables 7

m u l t i va r i a t e c r i t e r ion H a r r i s a nd P a n , 1987 , 1989a ) . T he s e s c o r e s w e r e t he n

f i lt e re d f o r no i s e . T he f i l te r e d s c o r e s a r e c on t ou r e d a nd s h ow n i n F i g . 1 .

C o n s i d e r th e o b j e c t i v e o f d e li n e a ti n g a n o m a l o u s t a r g e t s f o r t h e e x p l o r a t i o n

o f e p i th e r m a l g o l d - s i l v e r d e p o s it s . T h i s o b j e c t i v e ca n b e p e r c e i v e d a s a p r o b l e m

i n o p t i m u m d i s cr e t iz a t io n o f th e s y n t h e s i z e d g e o c h e m i c a l m e a s u r e m e n t i n to a

b i n a r y v a r i a b l e r e p r e s e n ti n g a n o m a l y a n d b a c k g r o u n d . I n o r d e r t o e n h a n c e t h e

i n f o r m a t i o n o f t h e s c o re s a b o u t t h e g o l d - s i l v e r d e p o s i t s , t h e s u m o f g o l d a n d

s i l ve r c onc e n t r a t e s w a s s e l e c t e d a s t he ob j e c t i ve va r i a b l e . T he e n t r op y i n f o r -

m a t i o n m e t h o d w a s t h e n a p p l i e d t o t h e g e o c h e m i c a l s c o r e s a n d t h e o p t i m u m

t h r e sh o l d v a l u e w a s f o u n d t o b e a b o u t 5 8 0 F i g . 2 ) . T h e v a l u e o f 1 w a s a s s i g n e d

t o t he s c o r e s g r e a t e r t ha n 580 a nd 0 t o t he s c o r e s l e s s t ha n o r e qua l t o 580 .

F i n a l ly , e x p l o r a t i o n t a rg e t s f o r th e e p i t h e r m a l g o l d - s i l v e r d e p o s i ts w e r e d e l i n -

e a t e d a s t h o s e a r e a s , s u c h a s W i n d m i l l , a c r o s s th e e n t ir e W a l k e r L a k e q u a d r a n -

g l e t ha t a r e re p r e s e n t e d b y a va l ue o f 1 a nd do no t ha ve kno w n de pos i t s F i g .

3).

o

o

C

0

L

= 0

O_

o

c3-

o

o

c~

e i g h t e d

cores

Fig. 2. Optimal discretization for the filtered geochemical scores using the entropy in

formation method.


14/24


o

0

l - - l e E

i ~ i , . - o o

~G •

n.. o

< [ z

~ 0 ~ ~a.

' , ~ ,

©

r-

. . =

c~

5

o

o .


15/24

Op timum Discretization of Qu antitative Geological Variables 7 3

F i g u r e 3 s h o w s t h a t m o s t o f t h e k n o w n e p i t h e r m a l g o l d - s i l v e r d e p o s it s o r

m i n i n g d i s tr i c ts a r e w e l l d e l i n e a t e d . T h e d e l i n e a t e d a r e a s w i t h n o o c c u r -

r e n c e s o f d e p o s i t s m a y b e p o t e n t i a l t a rg e t s f o r th e e p i t h e r m a l g o l d - s i l v e r d e -

p o s i ts . E a c h t a r g e t s h o w n i n F ig . 3 h a s t w o b o u n d a r i e s . T h e i n n e r o n e w a s

d e r i v e d f r o m th e e n t r o p y i n f o r m a t i o n m e t h o d ; t h e o u t e r o n e w a s d e t e r m i n e d

u s i n g th e a r it h m e t i c m e a n o f t h e s c o r e s. E x a m i n a t i o n o f t h e s e b o u n d a r i e s o n

k n o w n d e p o s i t s s u g g e s t s t h a t t h e a n a l y s i s b a s e d u p o n e n t r o p y i n f o r m a t i o n

m e t h o d p r o d u c e s a m o r e p r e c i s e d e l in e a t i o n o f m i n e r a l t a r g et s b o u n d a r y t h a n

d o e s t h a t b a s e d u p o n t h e m e a n o f s c o r e s.

R A N K C O R R E L A T I O N M E T H O D

I n t h is s e c t i o n , a n a l t e r n a t iv e a p p r o a c h , r e f e r r e d t o a s t h e r a n k c o r r e l a t i o n

m e t h o d , is p r o p o s e d f o r t h e d i sc r e t iz a t i o n o f a q u a n t i ta t i v e m e a s u r e m e n t i n to a

q u a l i ta t iv e v a r i a b l e w i th a n y l i m i t e d n u m b e r o f c a t e g o r i es . T h i s m o d e l i s b a s e d

u p o n t h e c o n c e p t o f r a n k c o r r e l a t io n a n d e m p l o y s p r o b a b i l i ty d e n s it ie s o f t h e

m e a s u r e m e n t b e i n g d i s c r e t i z e d .

D e f in i t i o n o f P a r t ia l R a n k C o r r e l a t i o n

L e t u s s u p p o s e x a n d y a r e t h e q u a n t i t a t i v e a n d o b j e c t i v e v a r i a b l e s , r e -

s p e c t i v e ly , t h a t h a v e b e e n o b s e r v e d o n a s a m p l e o f s i ze n . R e a r r a n g e t h e e l e-

m e n t s i n y a n d o b t a i n Y 0

Y i ~ , Yi2 . . . . Y i . )

w h e r e

Yi~ < - Yi2


16/24


17/24

Op timum iscretization of Qu antitative Geological Variables

7 1 5

P R C C s w i t h y * , m e a n i n g t h a t t h e s e r e g i o n s m o s t l ik e l y c o - o c c u r w i t h th e la r g -

e s t v a l u e s o f y , w h e r e a s t h e o t h e r in c l u d e s t h o s e s u b r e g i o n s h a v i n g t h e m o s t

n e g a t i v e P R C C s , s u g g e s t i n g t h a t th e y a r e m o s t li k e l y a s so c i a t e d w i t h th e s m a l l -

e s t v a l u e s o f y . F o r e x a m p l e , l e t s = 2 , m e a n i n g t h a t x i s t r a n s f o r m e d i n t o a

b i n a r y v a ri a b le . D e n o t e t w o s u b r e g i o n s b y 0 a n d 1 , r e s p e c t iv e l y , a n d a s s u m e

1) ^ 2 )

t h a t t h e o ~y > 0 a n d < 0 . T h e n , c r i t e r i o n ( 1 7 ) w o u l d l e a d t o a n o p t i m u m

,xy

b i n a r y d i s c r e ti z a t io n o f x i n t h a t v a l u e 1 r e p r e se n t s i n f o r m a t i o n o f x a b o u t

t h e l a r g e st v a l u e s o f y , w h i l e ° ' 0 r e p r e s en t s i n f o r m a t i o n o f x a b o u t t h e sm a l l e st

v a l u e s o f y . I f y is t h e s iz e o f o r e d e p o s i t s , t h e n , o b s e r v a t i o n s o f 1 o n t h e

d i s c r e ti z e d v a r ia b l e in d i c a t e p o s s i b l e o c c u r r e n c e o f l a rg e d e p o s it s , w h i l e 0

i n d i c a t e s s m a l l o r n o d e p o s i t s .

V a l u e A s s i g n m e n t t o t h e D i s c r e t i z e d V a r i a b l e s

A g e n e r a l r o l e f o r v a l u e a s s i g n m e n t d o e s n o t e x is t f o r t hi s m e t h o d . T h e

p r i n c ip l e s f o r v a l u e a s s i g n m e n t s t o b i n a r y a n d t e r n a r y v a r ia b l e s o n l y a re s u g -

g e s t e d b e l o w . T h e s e p r i n c i p l e s a r e u s e f u l w h e n t h e d i s c r e t i z a t i o n i s m o t i v a t e d

b y t h e o b j e c t i v e o f m i n e r a l r e s o u r c e s e s t im a t i o n .

I n t h e b i n a r y c a s e s , t w o P R C C s a r e c o m p u t e d f o r t w o d i s c r e ti z e d s u b r e -

g i o n s . A s s i g n 1 a n d 0 t o th e t w o s u b r e g i o n s a c c o r d i n g t o th e f o l l o w i n g r o le s .

* I f th e s ig n o f ^(1) an d ~(2) (~)lxy ~ ,,y a r e op po s i t e an d ] ~ (1)

x y P x y F ~ c

w h e r e c

is a p o s i t i v e n u m b e r , t h e n t h e s u b r e g i o n c o r r e s p o n d i n g t o t h e p o s i t iv e p

i s a s s i g n e d a v a l u e o f 1 ; t h e o t h e r i s g i v e n 0 .

(1) a n d ~ (2 ) h a v e t h e s a m e s i g n

nd

] px(ly ^(2) t

I f

xy

Pxy

P~y r > C , t hen th e sub re -

g i o n w i t h t h e l a r g e r a b s o l u t e v a l u e i s a s s i g n e d a v a l u e o f 1 , a n d t h e

o t h e r , 0 .

* W h e n (~) ~(2)

x - ,~,, I c , t h is v a r i a b l e m a y b e d e l e t e d , i f it is b e l i e v e d

t o b e n o t s t r o n g l y c o r r e l a t e d w i t h t h e o b j e c t i v e v a r i a b l e y .

I n t e r n a ry c a s e s , t h r e e P R C C s a r e c o m p u t e d f o r t h e th r e e d i s c re t iz e d s u b r e-

g i o n s . A s s i g n v a l u e 1 , 0 , o r - 1 t o e a c h o f t h e 3 s u b r e g i o n s a c c o r d i n g to t h e

f o l l o w i n g r u l e s .

I f d i f f e r en t s i g ns ex i s t a m o n g th e t h r ee P R C C s , an d m a x i~ ; t (̂i)~,~, -

P (J) l > c , th e n t h e s u b r e g i o n w i t h th e l a r g e s t p o s i t iv e P R C C is g i v e n a

y

v a l u e o f 1 , t h e s u b r e g i o n w i t h t h e s m a l l e s t P R C C a v a l u e o f - 1 , a n d

t h e o t h e r a v a l u e o f 0 .

• W h e n th e P R C C s h a v e t h e s a m e s i g n , b u t [ p (j~ - ~ ( J) > c f o r a l l i v~

XY

j , t h e n t h e s u b r e g i o n w i t h th e l a r g e s t P R C C is g iv e n a v a l u e o f 1 i f

P R C C s a r e p o s i t iv e , a n d v a l u e - 1 i f t h e P R C C s a r e n e g a t i v e ; o t h e r

s u b r e g i o n s a r e g i v e n a v a l u e o f 0 .

• E x c e p t f o r t h e t w o c a s e s a b o v e , w h e n t h e v a r i a b le x i s b e l i e v e d t o b e

w e a k l y c o r r e la t e d w i th t h e v a r i a t io n o f th e o b j e c t i v e v a r i a b le y , it m a y

b e d e l e t e d .


18/24

7 6 Pan and Harris

C a s e S t u d y

T h e r a n k c o r r e l a t io n m e t h o d d e s c r i b e d a b o v e w a s a p p l i e d to a s e t o f d a t a

c o l l e c t e d i n th e W a l t e r L a k e 1 ° × 2 ° q u a d r a n g l e . T h e d a t a s e t c o n s i s t s o f 9

i n t e g r a t e d g e o f e a t u r e s , w h i c h a r e b r i e f l y d e s c r i b e d a s f o l l o w s ( H a r r i s a n d P a n ,

1 9 8 7, 1 9 8 8 , 1 9 8 9 a , b ; P a n a n d H a r r i s , 1 9 8 9 b ) : x~ , f i l te r e d g e o c h e m i c a l s c o r e s

t h a t w e r e d e r i v e d f r o m s y n t h e s is o f t h e 1 4 e l e m e n t s s a m p l e d f r o m d r a i n a g e

b a s i n s ; x 2 , h i g h p a s s s t r u c tu r a l f i e ld s t h a t w e r e o b t a i n e d b y s y n t h e s i s o f th e 1 0

s t r u c tu r a l d e s c r i p t o r s r e l a t e d t o f a u l t s; x 3, b a n d p a s s g r a v i t y f i e l d s t h a t w e r e

d e r i v e d f r o m c o h e r e n c y a n a l y s i s b e t w e e n h i g h p a s s i s o s ta t i c g r a v i t y f ie l ds a n d

f i l te r e d g e o c h e m i c a l f i e l d s; x 4 , b a n d p a s s m a g n e t i c f i e ld s t h a t w e r e d e r i v e d f r o m

c o h e r e n c y a n a l y s i s b e t w e e n h i g h p a s s m a g n e t i c f i e ld s a n d f i l t er e d g e o c h e m i c a l

f i el d s ; x s, r a t i o o f r o c k d e n s i t y t o s u s c e p t ib i l i ty c o n t r a s t e s t i m a t e d b y a P o i s s o n

m o v i n g w i n d o w , b a s e d u p o n h i g h p a s s g r a v i t y a n d m a g n e t i c f i e ld s ; x 6, c o r r e -

l a t io n b e t w e e n h i g h p a s s g r a v i t y a n d m a g n e t i c f i e l d s e s t i m a t e d b y a P o i s s o n

m o v i n g w i n d o w ; XT, a r e a o f h o s t r o c k s ( i n k m 2 ) o u t c r o p p e d w i t h i n a c e l l f o r

e p i t h e r m a l g o l d - s i l v e r d e p o s i t s ; x s , a r e a o f T e r t i a r y i n t r u s iv e s t h at o u t c r o p

w i t h i n a c e l l ; a n d x9 , a r e a o f h y d r o t h e r m a l a l t e r a t i o n s f o u n d w i t h i n a c e l l .

E a c h o f t h e s e g e o f e a t u r e s i s v a l u e d o n a 5 5 x 5 5 i n t e r - g r i d m a t r i x a c r o s s

t h e W a l k e r L a k e r e g i o n . I n o r d e r to a p p l y t h e d i s c r e t iz a t i o n a p p r o a c h , a r e g io n

l o c a t e d c h i ef l y i n t h e A u r o r a 1 5 q u a d r a n g l e a n d c o n t a i n i n g 3 2 4 s a m p l e l o ca -

t i o n s w a s s e l e c t e d a s a c o n t ro l r e g i o n . U s i n g t h e n u m b e r o f ep i t h e r m a l g o l d -

s i l v e r m i n e r a l o c c u r r e n c e s a s t h e o b j e c t i v e v a r i a b l e , t h e s e q u a n t i t a t iv e m e a s u r e s

w e r e d i s c r e t iz e d o p t i m a l l y i n to t e r n a r y v a r i a b l e s b y t h e r a n k c o r r e l a t io n m e t h o d .

T h e b a s i c r e su l t s o f t h i s t r a n s f o r m a t i o n a r e s h o w n i n T a b l e 2 w h e r e c * a n d c~

a r e t h e tw o o p t i m u m t h r e s h o l d v a l u e s . T h e b e s t s u b i n t e r v a l s a r e r e c o g n i z e d in

t e r m s o f t h e ir c o r r e l a ti o n s w i t h m i n e r a l o c c u r r e n c e s . F o r e x a m p l e , g e o c h e m i c a l

s c o r e s ( x ~ ) g r e a t e r th a n 558 5 ( v a l u e o f 1 ) a r e m o s t f a v o r a b l e f o r m i n e r a l o c -

Ta ble 2. Discretized Results by the Rank Correlation Method

Item Xl X X3 X4 X5 X6 X7 X8

X9

min. 0 .0 31 - 1 7 .3 5 -7 .9 1 8 - 1 8 8 .4 -2 9 .6 1 -0 .8 6 4 0 .0 00 0 .0 0 0 0 .0 0 0

max. 3 70 5. 5 16.93 6.31 2 216.6 19.16 0. 84 5 6.330 0.880 0.840

p J ~

- 0 . 1 7 9 0 . 8 2 1 - 0 . 1 4 3 - 0 . 7 5 0 - 0 .9 6 4 - 0 . 8 5 7 - 0 .8 2 1 - 1 . 0 0 0 - 0 .7 5 0

p 2 ) - 0 . 1 7 - 0 . 8 5 7 0 . 7 1 4 0 .7 50 0 .9 64 0 . 6 4 3 0 .6 79 0 . 1 7 9 0 . 6 0 7

p~3) 0 .6 79 0 .7 14 - 0 . 8 2 1 0 .2 50 0 . 3 2 1 0 . 8 9 3 0 . 8 5 7 0 . 6 7 9 0 . 7 5 0

A p* 0 . 4 7 7 0 .4 40 0 .3 82 0 .2 80 0 . 8 0 3 0 .6 64 0 . 5 7 7 0 . 7 0 3 0 . 5 9 9

c* 26 .38 - -2 .494 0 .146 - -66 .86 1 .279 - -0 .010 0 .21 1 0 . 05 9 0 . 08 4

c* 558.5 4 .365 1 .569 - -39 .86 4 .530 0 . 38 9 1 .4 77 0 . 2 9 3 0 .336

< c * 0 1 0 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1

[c*, c*] 0 - 1 1 1 1 1 1 0 1

> c~ 1 1 - 1 0 0 1 1 1 1


19/24

Op timum Discretization of Qu antitative Geological Variables 7 7

c u r r e nc e , w h i l e s c o r e s l e s s tha n t he s a m e c u t o f f o f f e r l it tl e e v i de nc e f o r t he

oc c u r r e nc e o f m i n e r a l de pos i t s . A no t h e r i n t e r e s ti ng f e a t u r e i s t ha t t he m i d - s ub -

i n t e r va l s o f s om e va r i a b l e s a r e m os t va l ua b l e f o r i nd i c a t i ng e x i s t e nc e o f m i ne r -

a l i z a t i o n - e . g . , i n te r va l [0 .146 , 1 . 569 ] r e ga l o f ba nd pa s s g r a v i ty x3 ) a nd

i nt er va l [ - 6 6 . 8 5 , - 3 9 . 8 6 ] g a m m a o f b a n d p a ss m a g n e ti c s x 4 ). T h e th ird

f e a t u r e is tha t t he d i s c r e t i z a t ion r e ve a l s ope r a t i on a l d i r e c t i ons o f t he va r i a b l e s

v i s - a - v is o b j e c t i v e v a ri a b l es . F o r e x a m p l e , g e o c h e m i c a l s c o r e s , h o s tr o c k s , h y -

d r o t he r m a l a l t e r a ti ons , e t c . , a r e pos i t i ve l y a s s oc i a t e d w i t h t he nu m be r o f m i n -

e r a l oc c u r r e nc e s .

S U M M A R Y

T h e t h r e e t ec h n i q u e s f o r t h e o p t i m u m d i s c re t iz a t io n p r o p o s e d a n d d e m -

ons t r a t e d i n t h i s pa pe r a r e po t e n t i a l l y u s e f u l f o r m a ny ge o l og i c a l p r ob l e m s .

P os s i b l e a pp l i c a t i ons i nc l ude t he f o l l ow i ng :

1. D e f i n in g t h e o p t i m u m b o u n d a r i e s o f g e o l o g i c o b j e c t s , g e o f i e ld s , a n d

v a r i o u s a n o m a l o u s t a r g e t s . T h e s e g e o l o g i c a l b o u n d a r i e s a r e i m p o r t a n t

i n m i ne r a l e xp l o r a t i on a nd m i ne r a l r e s ou r c e e s t i m a t i on , a s m i ne r a l e n -

do w m e n t un i t s o f va r i ous s c a l e s a nd k i nds a r e c l o s e l y r e la t e d to t he s e

g e o l o g i c b o u n d a r i e s .

2 . R e v e a l i n g t h o se s u b r e g i o n s o f a g e o l o g i c v a r i a b le c a r r y in g t h e m o s t

i n f o r m a t i on a bou t t he va r i a t i ons o f m i ne r a l r e s ou r c e s , a l t hough ove r a l l

t he va r i a b l e m a y i n s i gn i f ic a n t l y c o r r e l a t e w i t h m i ne r a l r e s ou r c e de s c r i p -

tors .

3 . Re f i n i ng a nd s e l e c t i ng i m por t a n t a nd u s e f u l ge o l og i c a l va r i a b l e s ba s e d

u p o n t h e m a x i m u m c o r r e l a t i o n s b e t w e e n t h e g e o l o g i c m e a s u r e m e n t s

a n d s o m e o b j e c t i v e v a r i a b le .

4 . U n i f y i n g d i v e r s e g e o d a t a t h r o u g h t r a n s f o r m a t i o n o f q u a n t i ta t iv e g e o -

l og i c va r i a b l e s i n to b i na r y o r t e r na r y da t a e . g . , c ha r a c t e r i s t ic a na l y s i s ) ,

w h i c h r e qu i r e s b i na r y o r t e r na r y i npu t va r i a b l e s .

5 . Re c ogn i z i ng t he ope r a t i ona l d i r e c t i ons o f va r i a b l e s i n r e l a ti ons to va r i -

a t i o n s o f t h e o b j e c t i v e v a r i a b l e - - d e t e c t i n g w h e t h e r a g e o l o g i c a l m e a -

s u r e m e n t i s a pos i t i ve o r ne ga t i ve f a c t o r i n t e r m s o f it s in f l ue nc e on t he

ob j e c t i ve va r i a b l e .

A P P E N D I X A

P r o o f fo r T h e o r e m

1

i. P r oo f f o r t he f ir s t pa r t by t he de duc t i on m e t hod .

W he n n = 3 , fo r any g iv en n~ _< 3) , i t i s r ead i ly prov en tha t the fi r st pa r t

o f the t he o r e m i s c o r r e c t . S up pos e t ha t the f i rs t pa r t o f the t he o r e m i s c o r r e c t


20/24

7 1 8 P a n a n d H a r r i s

f o r a n y i n t e g e r n ~ = k l


21/24

O p t i m u m D i s c r e t i z a t io n o f Q u a n t i t a ti v e G e o l o g i c a l V a r i a b l e s 7 9

i i. P r o o f f o r t h e s e c o n d p a r t b y t h e d e d u c t i o n m e t h o d :

S u p p o s e t h a t n i s a n e v e n n u m b e r a n d n~ = n o = n / 2 a n d o t h e r c a s e s c a n

b e s h o w n s i m i l a r l y . W h e n n = 4 , t h e s e c o n d p a r t o f t h e t h e o r e m i s e a s i l y

p r o v e n . S u p p o s e th a t t h e c o n c l u s i o n is a l s o t r u e w h e n n = k k > 4 ) . N o w w e

a r e g o i n g t o p r o v e t h a t t h e c o n c l u s i o n i s s t i l l t r u e , w h e n n = k + 1 . L e t e~ b e

t h e f o l l o w i n g a r r a y :

ek = 0 , 1 , 0 , 1 . . . , 0 , 1 )

T h e d i s t a n c e a s s o c i a t e d w i t h t h i s a r r a y is d e n o t e d b y d e k ) . A p p e n d a n a d d i -

t i o n a l e l e m e n t , e k + l = O , t o th e e n d o f t h e a r r a y ek a n d f o r m a n e w a r r a y :

e k + , = 0 , 1 , 0 , 1 . . . . . 0 , 1 , 0 ) = e k , 0 ) = e ~ _ l , 1 , 0 )

w h e r e e k _ 1 = 0 , 1 , 0 , 1 . . . . . 0 ) , c o n t a i n i n g t h e f ir s t k - I e l e m e n t s . C o m -

p u t e t h e a r r a y d i s t a n c e :

d e k + l ) = d e ~ _ l ) + 2 [ 2 + 4 + . . . + k - 2 ) ]

H o w e v e r , i f th e a d d i t i o n a l e l e m e n t ek + 1 is i n s e r t e d i n t o t h e a r r a y e k a t t h e i th

p o s i t i o n 1 < i __ k ) , i t d e s t r o y s th e o r i g i n a l c o n f i g u r a t i o n o f t h e a r r a y i . e . ,

I1 : g 1 a n d l o : ~ 1 ) . I n o r d e r t o c o m p u t e t h e n e w a r r a y d i s t a n c e , t h i s a r r a y i s

r e v e r s e d n o t e th a t su c h a m o d i f i c a t i o n d o e s n o t a l te r t h e a r r a y d i s t a n c e ) . T h e n ,

t h e n e w a r r a y b e c o m e s :

e ~ + , = 1 , 0 , 1 , 0 . . . . . 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , . . , 1 , 0 ) = e ; _ , , 1 , 0 )

w h e r e e ~ _ 1 c o n t a i n s t h e f i r st k - 1 e l e m e n t s .

C o m p u t e t h e a r r a y d i s t a n c e o f e £ + 1:

d e ; + / ) = d e ; _ , ) + [ 2 + 4 + . . . + k - i - 2 )

+ k - i + 1 ) + k - i + 3 ) + . . . + k - 1 ) ]

+ [ 2 + 4 + . . . + k - i - 2 )

+ k - i - 1 ) + k - i + 1 ) + . . . + k - 3 ) ]

= d e ~ , _ l ) + 2 [ 2 + 4 + . . + k - 2 ) ]

F i n a l l y , w e h a v e

d e ~ + , ) -

d e k + , ) = d e £ _ , - d e k _ , ) >_ 0

w h i c h l e a d s t o t h e c o n c l u s i o n :

d e k + , ) _< d e ~ + , )

S i m i l a r p r o o f c a n b e o b t a i n e d , w h e n e k+ 1 = 1. T h e r e f o r e , a c c o r d i n g t o

t h e r u le o f t he d e d u c t i o n m e t h o d , t h e p r o o f i s c o m p l e t e d .


22/24

72 Pan and Harris

A P P E N D I X B

P r o o f f o r T h e o r e m 3

T h e p r o o f is g i v e n o n l y f o r t h e c a s e s w h e r e b o t h x a n d y a r e d i sc r e te .

E q u a t i o n ( 8) c a n b e w r i t te n a s p ( x ~ y ) = 1 - V x ( y ) , w h e r e

m

2 ~ p y j l x i ) g x i ) l n p y j l x i )

i l j l

V x ( y ) = m

E p y i)in p yj)

j = l

C l e a r l y , v X y ) >_ 0 . F u r t h e r m o r e ,

p y j ) >- p y j l x i ) >- p y ~ l x , ) g x , ) = p x , , Y i)

w h i c h i m p l i e s t h a t Vx ( y ) - - 1 . T h u s , 0


23/24

Op timum Discretization of Qu antitative Geological Variables 72

w e h a v e

p ( y j , ) p ( x i , [ y j , ) = p ( x i * , Y : ) = p ( x i * ) P ( Y j * ] x t * )

= p x , . ) : 2 > o

j = 1

T h u s , w e m u s t h a v e p ( x i , 1y j , ) > 0 . F u r t h e r m o r e , ~ - ( y --* x ) = 1 - v y ( x ) =

1 i f a n d o n l y i f V y ( X ) = 0 . H e n c e , w e o b t a i n

x , , = ¢ y : ) =

D e n o t e ~b b y 3,. T h e n , w e h a v e y : . = ) , ( x i . ) a n d x i . = 3 ~ ( ) ) . ) . B e c a u s e i *

a n d j * a r e a r b it r a ry , t h e p r o o f f o r th e l a st p a rt o f t he t h e o r e m is c o m p l e t e d .

A C K N O W L E D G M E N T S

G r a t e f u l a c k n o w l e d g e m e n t i s m a d e o f t h e s u p p or t o f th e d a t a p r o v i d e d b y

v a r i o u s U . S . G e o l o g i c a l S u r v e y o f fi c e s a n d p e r s o n n e l . S p e c i a l th a n k s a r e g i v e n

t o t h e g u i d a n c e p r o v i d e d b y D r . D a v i d M e n z i e . I a l s o w i s h to t h a n k t h e r e f e r e e s

f o r t h e i r v a l u a b l e c o m m e n t s a n d s u g g e s t i o n s . F i n a l l y , w e a r e a p p r e c i a t i v e o f

t h e a s s is t a nc e o f A l i c e Y e l v e r t o n a n d Y i n g h o n g M i a o i n p r e p a ra t io n o f ta b le s

a n d f i g u r e s .

R E F E R E N C E S

Agterberg, F. P., 1989, Systematic approach to dealing with uncertainty of geoscience inform ation

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24/24

7 P a n a n d H a r r i s

s i m u l t a n eo u s e s t i m a t i o n o f d i s c o v e r e d r e s o u r ce s a n d e n d o w m e n t s : R e p o r t a n d R e s e a r c h S p o n -

so re d by U . S . G e o l og i c a l S u rve y , i n p re pa ra t i on .

H a m s , D . P . , a n d P a n , G . C . , 1 9 8 9 b , I n f o r m a t i o n fi e ld s a n d e x p l o r a ti o n t a rg e t s w i t h a d e m o n -

s t ra t io n o n t h e W a l k e r L a k e q u a d r a n g l e o f N e v a d a a n d C a l i fo r n i a : M a t h . G e o l . , s u b m i t t e d .

M c C a m m o n , R . B . , B o t b o l , J . M . , S i n d i n g - L a r s e n , R . , a n d B o w a n , R . W . , 1 98 3, C h a r a c t e r is t ic

a n a l y s i s - - 1 9 8 1 : F i n a l p r o g r a m a n d a p o s s i b l e d i s c o v e r y : M a t h . G e o l . , v . 1 5, p . 5 9 - 8 3 .

P a n , G . C . , 1 98 5, Q u a n t i ta t iv e m i n e r a l r e s o u r c e a s s e s s m e n t o n t h e p e g m a t i ti c N b - T a m i n e r a l

d e p o s i t s i n F u li a n P r o v i n c e o f C h i n a - - M e t h o d I n v e s ti g a t io n i n C h i n e s e ) : M . S . t h e s is ,

C h a n g c h u n C o l l e g e o f G e o l o g y , 1 41 p .

P a n , G . C . , a n d H a m s , D . P . 1 98 9a , D e c o m p o s e d a n d w e i g h t e d c h a r a c te r i st i c a n a l y s is in th e

q u a n t it a ti v e e v a l u a ti o n o f m i n e r a l r e s o u r c e s w i t h a c a s e s t u d y o n t h e p e g m a t i t ic N b - T a d e -

pos i t s i n Ch i na : Ma t h . G e o l . , submi t t e d .

P a n , G . C . , a n d H a m s , D . P . , 1 9 8 9 b , Q u a n t it a ti v e an a l y s is o f a n o m a l o u s so u r c e s a n d g e o c h e m i c a l

s i g n a tu r e s in t h e W a l k e r L a k e q u a d r a n g l e o f N e v a d a a n d C a l if o r n ia : J . G e o c h e m . E x p l o r . i n

p re s s ) .

P a n , G . C . , a n d W a ng , Y . , 1987 , W e i gh t e d c ha ra c t e r is t i c a na l ys i s a nd i t s a pp l i c a t i ons i n t he

a s s e s s m e n t o f t h e p e g m a t i ti c N b - T a m i n e r a l re s o u r c e s in F u j ia n P r o v i n c e : G e o l . P r o s p e c t . ,

v . 23 , p . 34 -42 .

P a n , G . C . , a n d X i a , L .0 1988 , M e t ho ds fo r qua n t i f i c a t i on o f a s soc i a t i on be t w e e n va r i a b l e s by

m e a n s o f i n f o r m a t i o n t h e o r y : M a t h . S ta r. A p p l i e d P r o b . , v . 3 , p . 7 - 2 0 .

three nonparametric techniques for the optimum

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