titrisation

TITRISATION

Journées d’étude des actuaires SACEI - IA

Présentation du 15 mars 2008

par Vincent DUPRIEZ

F I X A G E

Présentation du 15 mars 2008 FIXAGE 2

Sommaire

1. Introduction

2. Pourquoi titriser ?

3. Les intervenants

4. Les perspectives

5. Application au risque de mortalité


1. Introduction

Une titrisation est un montage financier qui permet à un assureur de vendre une partie de son risque aux marchés financiers. Pour se faire, l’assureur émet des obligations qu’il rembourse (comme un emprunt classique) si le risque qu’il veut couvrir ne se réalise pas mais qu’il ne rembourse pas ou que partiellement dans le cas contraire.

L’exemple le plus connu de ce type de montage financier est les Cat-Bonds qui garantissent les assureurs contre des risques de catastrophe naturelle (ouragan, inondation, …).

Les premières tentatives de titrisation ont eu lieu en 1995-1996, mais ont rencontré un succès mitigé auprès des investisseurs, déroutés par l’aspect jugé trop aléatoire de ces instruments. L’intervention des agences de notation fut un élément déterminant dans la réussite des premiers placements de « Cat-Bonds » fin 1996.


Sommaire

1. Introduction


3. Les intervenants

4. Les perspectives




2.1. Diminuer son exposition au risque

La titrisation est, par définition, une opération de transformation de risques en titres négociables. A ce titre, elle permet notamment de se couvrir contres les risques extrêmes suivants (par l’intermédiaire d’obligations catastrophes) :

• Catastrophes naturelles• Mortalité extrême• Longévité• Déviation de la sinistralité en IARD

Au contraire de la réassurance classique, ce type d’opération permet aux assureurs d’avoir un prix fixe sur plusieurs années et d’éliminer le risque de contrepartie.

Il permet également aux assureurs de libérer une partie de leurs fonds propres (si la réglementation le permet) et d’augmenter ainsi leur rendement.



2.2. S'autofinancer

2.2.1. Financement de l’activité :

Les assureurs vie se sont rapidement rendus compte que les opérations de titrisation pouvaient être un bon moyen de financement car elles leur permettent de réaliser immédiatement la valeur de leurs actifs générateurs de trésorerie.

Le principe est par exemple de titriser les flux de paiements de primes futures de polices d’assurance vie, l’élément déclencheur de la couverture étant alors la qualité des paiements de primes (dépendant de la mortalité par exemple). On peut aussi citer les titrisations d’Embedded Value qui permettent de monétiser les frais d’acquisitions reportés et d’anticiper la valeur des bénéfices futurs.



2.2.2. Financement d’exigence de capital réglementaire :

Ce cas est plus spécifique aux Etats-Unis où, pour certains contrats temporaires décès et d’assurance vie, les contraintes réglementaires en terme d’exigence de capital sont très fortes (réglementation XXX).

Les assureurs américains considérant qu’elles ne sont pas « économiquement » réalistes, ont recours à la titrisation des réserves dites « redondantes ». Ces réserves redondantes sont égales à la différence entre le montant des réserves réglementaires et le montant des réserves « économiques ».

La garantie d’exigence de capital réglementaire est ainsi fournie par les investisseurs. Leur investissement sera réduit d’autant que le montant des sinistres dépasse les réserves « économiques » constituées par la société.



2.3. Le montage

2.3.1. Le schéma type en assurance :

Emetteur

Collatérisation

Véhicule de titrisation Investisseur

Garantie financière

Prime (1)

Investissement initial (2)

Coût pour l’investisseur (4)

Intérêts + Prime (3)

Intérêts prévus (8)

Revenus portefeuilles (7)

Garanties (6) Indemnités (5)



2.3.2. Détail des flux :

• (1) Prime : Elle correspond à la rémunération de l’investisseur (sous forme de spread)

• (2) Investissement initial : Il correspond au montant des obligations achetées par l’investisseur

• (3) Intérêts prévus + Prime : En cas de non-survenance du risque, l’investisseur reçoit ses remboursements à un taux « sans risque » augmenté d’un spread

• (4) Coût pour l’investisseur : En cas de survenance du risque, tout ou partie de l’investissement initial est versé à l’émetteur selon des règles déterminées à l’émission

• (5) Indemnités : L’organisme de garantie financière est rétribué pour la garantie qu’il apporte

• (6) Garantie : La garantie financière garantit le remboursement du capital et des intérêts

• (7) Revenus portefeuille : Les revenus du portefeuille sont versés à un organisme de collatérisation

• (8) Intérêts prévus : Celui-ci garantit au véhicule de titrisation un niveau de performance égal au taux d’intérêt prévu ; taux « sans risque » (LIBOR …) + spread


Sommaire

1. Introduction


3. Les intervenants

4. Les perspectives



3. Les intervenants

3.1. Les intervenants du montage

3.1.1. L’émetteur :

Il s’agit d’un assureur ou d’un réassureur dont la taille et les ressources sont assez importantes pour paraître crédible sur un sujet aussi pointu que la titrisation.

3.1.2. Les investisseurs :

Ce type d’obligation étant novateur, elles bénéficient d’un rendement plus élevé que d’autres titres ayant le même risque. De plus, elles permettent une diversification des portefeuilles d’actifs puisque les risques catastrophe et crédit sont très peu corrélés.

Les principaux investisseurs sont les hedges funds, les fonds catastrophes et les gérants de fonds. Les assureurs vie investissent dans une moindre mesure mais de moins en moins directement.


3. Les intervenants

3.1.3. Le véhicule de titrisation :

Il peut prendre deux formes distinctes : une entité disposant d’une personnalité juridique propre (type S.A.) ou une personnalité juridique non propre. Dans ce dernier cas (plus rare), le véhicule prend la forme d'un fonds commun de placement organisé soit en copropriété, soit en fiducie et doit disposer d’une société de gestion distincte.

3.1.4. La garantie financière :

Afin d’améliorer la notation du montage, l’émetteur peut avoir recours à un assureur caution (assureur monobranche ou organisme d’amélioration de la qualité du crédit) qui peut venir porter la notation du titre à AAA.

3.1.5. La collatérisation :

L’organisme de collatérisation garantit au véhicule de titrisation le versement des intérêts prévus au contrat (taux « sans risque » + spread) quel que soit le rendement des investissements effectués.


3. Les intervenants

3.2. Les intervenants annexes

3.2.1. Le réassureur :

Si l’émetteur est un assureur, il peut avoir recours à l’assistance d’un réassureur et bénéficier de ses connaissances des risques extrêmes pour définir les risques à couvrir.

3.2.2. L’actuaire :

L’actuaire est chargé de modéliser les risques contre lesquels la société veut se couvrir. C’est en partie à lui de définir le spread des obligations en fonction des projections qu’il a pu faire et des conséquences observées.

3.2.3. Les agences de notation :

Elles sont chargées de mettre une notation aux obligations émises en fonction des risques définis et des informations communiquées par l’actuaire.


3. Les intervenants

3.2.4. Les juristes :

Les juristes interviennent dans ce type de montage du fait de la complexité des transactions et des connaissances en droit qu’elles nécessitent.

3.2.5. Le fonds de garantie :

Les capitaux reçus par le véhicule de titrisation (investissement initial des investisseurs et prime versée par l’émetteur) sont versés à un fonds de garantie qui les gère.


Sommaire

1. Introduction


3. Les intervenants

4. Les perspectives



4. Les perspectives

La titrisation connaît une hausse de sa popularité depuis quelques années et elle devrait encore augmenter avec l’introduction de la nouvelle norme Solvency II. En effet, elle devrait permettre d’intégrer l’effet de la titrisation dans le transfert du risque et la réduction des fonds propres qui en découle (supérieure à la réassurance a priori puisque plus de risque de contrepartie).

Les réassureurs ne seront pas forcément en retrait pour autant car ils sont les plus aptes à avoir des portefeuilles de taille critique et bien diversifiés (pour les cas de titrisations du risque de mortalité par exemple) et ont une expérience approfondie des risques en général.

Les titrisations déjà réalisées (EV, risque de mortalité, …) devraient continuer à se développer tandis que celles liées au risque de longévité ont un avenir incertain malgré le risque non négligeable pour les assureurs ayant des portefeuilles de rentiers. En effet, les investisseurs ne sont pas prêts à prendre des engagements longs (plus de 3 ou 5 ans) alors qu’une émission de type risque de longévité devrait au moins porter sur 15 ou 20 ans pour être réaliste.


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1. Introduction


3. Les intervenants

4. Les perspectives




5.1. L’opération de titrisation du risque de mortalité

5.1.1. Le risque :Cette titrisation permet à un assureur de se prémunir contre le risque de décès massif au sein de sa population d’assurés (risque non diversifiable contrairement au risque terroriste par exemple). Ce risque n’est pas transférable à un réassureur traditionnel car en cas de chocs, le risque de défaut du réassureur est très important.La couverture de ce type d’opération est déclenchée si l’évolution d’un indice de mortalité de référence dépasse un certain seuil à la hausse. À noter que le recours à un indice externe peut conduire à une efficacité imparfaite de la couverture : la corrélation peut être partielle entre la mortalité de la population servant de base à l’indice externe et la mortalité de la population assurée. Il faut noter que cet indice est souvent paramétré sur l’indice de plusieurs pays afin d’éviter d’être affecté par des événements mineurs. Il s’agit de couvrir le risque systémique d’occurrence très rare (de type grippe espagnole) et non le risque d'événements comme un crash aérien ou une explosion d’usine. En effet, pour ces derniers cas, le risque est mutualisable et cessible en réassurance pour un coût moindre.



5.1.2. Détails de l’opération VITA I :

C’est la 1ère titrisation du risque de mortalité réalisée. Son instigateur est Swiss Re.

• Date d’émission : Novembre 2003• Maturité : 1er janvier 2007• Période de couverture : 1er janvier 2004 au 31 décembre 2006 (3 ans)• Pays couverts : USA (70%), Royaume-Uni (15%), France, Suisse et Italie• Indice de référence annuel (taux de mortalité pour 100 000 habitants en 2002 tout âge confondu de la population ci-dessus) • Déclenchement de la couverture : si entre 2004 et 2006 le taux de mortalité dépasse 130% de l’indice de 2002• Épuisement de la couverture : si entre 2004 et 2006 le taux de mortalité dépasse 150% de l’indice de 2002• 400 Millions d’euros de couverture souscrits• Risque sur le capital• Spread : 1,35%



5.1.3. Fonctionnement :

Nous allons traiter du fonctionnement de l’opération dans le cas de l’opération VITA I.

À l’émission

Swiss RE a créé une société ad hoc ou Special Purpose Vehicle (SPV). Le SPV s’engage auprès de Swiss RE au titre d’un contrat de couverture. Moyennant le versement d’une prime, le SPV est tenu d’indemniser Swiss RE si les indices de mortalité 2004, 2005 ou 2006 dépassent de plus de 30% l’indice de 2002.

Simultanément le SPV émet des obligations qu’il place auprès d’investisseurs. Les fonds reçus par le SPV sont placés en actifs sans risque. Les coupons versés par celui-ci correspondent au LIBOR + 1,35%. Prime (spread) Fonds

Assureur SPV Investisseurs



En l’absence de sinistre

Le SPV paye le coupon (LIBOR + spread à 1,35%) aux investisseurs à chaque date anniversaire du contrat. La partie LIBOR du coupon est payée grâce aux intérêts perçus sur les fonds placés et le spread correspond à la prime reçue au lancement de l’opération par le SPV.

À l’échéance, le SPV rembourse le principal aux investisseurs.

CouponAssureur SPV Investisseurs

CapitalAssureur SPV Investisseurs

+ Coupon



En cas de sinistre

Si un sinistre atteint une intensité suffisante pour faire jouer la couverture (le taux de mortalité dépasse 130% de l’indice de référence), le SPV indemnise l’assureur.

Dans le cas de Swiss RE, si par exemple l’indice de mortalité atteint 140% de l’indice de référence une année, l’indemnité s’élèvera à 50% du capital .

Au terme du contrat, s’il n’y a eu que l’événement ci-dessus, les investisseurs recevront un dernier coupon et leur capital restant (50% du capital initial)

Capital réduitAssureur SPV Investisseurs

+ Coupon

IndemnitésAssureur SPV Investisseurs



5.2. Comparaison avec la réassurance

5.2.1. Avantages :

• Plus de risque de contrepartie du réassureur puisque l’assureur est sûr de toucher les capitaux prévus au contrat

• Le transfert de risque est réel• Offre des capacités nouvelles de financement

5.2.2. Inconvénients :

• La réglementation actuelle ne reconnaît pas le transfert de risque (cela devrait changer avec Solvency II) donc pas d’effet sur l’exigence de marge de solvabilité

• Le coût important de ce type de montage (rémunération des investisseurs et coût de mise en place du montage)

• Le montant de couverture idéal doit se situer, au minimum, entre 200 et 300 millions d’euros d’après les experts



5.3. Historique des titrisations du risque de mortalité

5.3.1. Opérations réalisées

On dénombre seulement, à ce jour, 5 opérations de titrisation du risque de mortalité :

• 2003 : Opération VITA I de Swiss Re (250 Millions d’euros de couverture proposés au lancement, 400 Millions d’euros souscrits au final)

• 2005 : Opération VITA II de Swiss Re (200 Millions d’euros de couverture proposés au lancement, 362 Millions d’euros souscrits au final)

• 2006 : Opération Tartan de Scottish Re (150 Millions d’euros de couverture proposés au lancement, 155 Millions d’euros souscrits au final)

• Fin 2006 : AXA (345 Millions d’euros souscrits)

• Début 2007 : Nouvelles émissions de titre de la part de Swiss Re (706 Millions d’euros souscrits)



5.3.2. Evolution des opérations

• Opération VITA I de Swiss Re : Population couverte : USA (70%), Royaume-Uni (15%), France, Suisse et Italie Durée de couverture : 3 ans Indice de référence annuel 1 seul tranche de risque (de 130% à 150% de l’indice de référence) Spread de 1,35% Risque sur le capital

• Opération VITA II de Swiss Re : Population couverte : USA (62,5%), Canada, Royaume-Uni, Allemagne et Japon Durée de couverture : 5 ans Indice de référence biannuel 3 tranches de risque (de 110% à 115%, de 115% à 120% et de 120% à 125% de l’indice de référence) Spreads de 1,9%, 1,4% et 0,9% Risque sur le capital



• Opération Tartan de Scottish Re : Population couverte : USA pendant 2 ans Indice de référence biannuel 2 tranches de risque (de 110% à 115% et de 115% à 120% de l’indice de référence) Risque sur le capital

• Opération d’AXA : Population couverte: France (60%), Japon (25%) et Etats-Unis (15%) pendant 4 ans Indice de référence biannuel 3 tranches de risque (de 106% à 110%, de 110% à 114% et de 114% à 119% de l’indice de référence) Spread de 5%, 2,85% et 1,2% Risque sur le capital ou sur les intérêts (pour la tranche 114%-119% ; spread de 0,2%)

• Opération de Swiss Re : Renouvellement de la couverture de l’opération VITA I qui arrivait à échéance



5.4. Techniques de tarification

5.4.1. Méthodologie de Milliman :Milliman est intervenu sur la plupart des opérations de titrisation du risque de mortalité.

• Pour l’opération VITA I

D’après les informations dont nous disposons, Milliman a utilisé 94 années de taux historiques de mortalité (voir graphique ci-dessous), a éliminé la tendance à la diminution de la mortalité et a effectué 50 000 simulations en « bootstrap » mais nous n’avons pas plus d’informations.Nombre de morts pour 100 000 habitants de 1907 à 2000

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000



• Pour les opérations VITA II et Tartan

Pour ces opérations, le modèle utilisé par Milliman a été significativement amélioré.

Un modèle stochastique de mortalité a été développé

Il s’appuie sur 3 modèles de mortalité

Le modèle de mortalité « de base » Le modèle de mortalité « épidémique » (celui qui prend 99% du poids global)

Le modèle de mortalité « terroriste »

Le 1er modèle s’appuie sur une régression des taux de mortalité historiques

Les deux derniers établissent des lois de « sévérité / fréquence » sur une base d’événements historiques.

Cependant, comme pour la modélisation de l’opération VITA I, nous ne disposons pas de plus d’informations.



5.4.2. Méthodologie utilisée :

La tarification comporte au minimum 2 étapes : l’évaluation du coût probable des risques (approche du type risque de défaut) et la conversion de ce coût en spread.

Composantes théoriques du spread

Théoriquement, on peut diviser le spread en 4 composantes :

• Pertes moyennes attendues (Expected Loss)• Aversion de l’investisseur• Prime de liquidité• Prime de nouveauté

Les pertes moyennes attendues sont le seul paramètre que l’on puisse évaluer à partir d’une étude technique des risques.

Dans la suite, le but va alors être de reconstituer le spread de l’opération VITA I (1,35% pour une unique tranche de risque ; 130% - 150%)



Simulation des taux de mortalité

Données utilisées :La population couverte en majeure partie par l’opération VITA I est les Etats-Unis (à hauteur de 70%). Ne disposant pas du poids de certains autres pays et des classes d’âges utilisées, nous nous limiterons aux données américaines ci-dessous.Taux de mortalité aux Etats-Unis de 1900 à 2002

0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

2.5%

3.0%

1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Taux de mortalité



Modèle utilisé :Le modèle utilisé pour décrire les évolutions possibles de la mortalité future est le modèle de Y. LIN et S.H. COX.

Caractéristiques :• Modèle stochastique de mortalité• Permet la prise en compte de sauts de mortalité• Ecriture : qt+h = qt * exp{ (- 0,5 2) * h + * brownien) } * saut{t ; t +h}

• Le saut est de distribution lognormale (de paramètres m et s) et se produit avec une certaine probabilité p

0%

2%

4%

6%

8%

10%

0.1273 1.6986 3.2699 4.8412 6.4125 7.9838 9.5551 11.126



Estimation des paramètres :

• 5 paramètres à estimer et : paramètres classiques des formules de diffusion financière

p : probabilité de survenance d’un saut m et s : paramètres de la loi lognormale (soit u une loi normale centrée réduite, on a le saut égal à em+s*u)

• Méthode Estimation par la méthode du maximum de vraisemblance Comme on cherche à ajuster au mieux les taux de mortalité historiques, cela revient à ajuster au mieux les variations entre les taux de mortalité d’une année à l’autre

On utilise alors la fonction Z(1) = ln(qt+1) – ln(qt) On obtient Z(1) = (- 0,5 2) + * brownien + ln(saut{t ; t +1}) -

ln(saut{t ; t-1})

On peut alors envisager 4 scénarios pour la fonction ci-dessus : Entre t–1 et t et entre t et t+1, il n’y a pas de saut de mortalité : probabilité de cette occurrence = (1-p)*(1-p) / Moyenne = (- 0,5 2) / Ecart-type = 2



Entre t – 1 et t, il n’y a pas de saut de mortalité et entre t et t + 1, il y en a un : probabilité de cette occurrence = (1-p)*p / Moyenne = (- 0,5 2) - m / Ecart-type = 2 + s2

Entre t–1 et t, il y a un saut de mortalité et entre t et t+1, il n’y en a pas : probabilité de cette occurrence = p*(1-p) / Moyenne = (- 0,5 2) + m / Ecart-type = 2 + s2

Entre t–1 et t et entre t et t+1, il y a des sauts de mortalité : probabilité de cette occurrence = p*p / Moyenne = (- 0,5 2) / Ecart-type = 2 + 2*s2

On peut alors en déduire la fonction de vraisemblance à maximiser fZ(1)(z), qui est la somme des 4 lois normales issues des

scénarios, pondérée par les probabilités de survenance fZ(1)(z) = (1-p)*(1-p)* fZ(1)(z,m1, 1) + (1-p)*p* fZ(1)(z,m2, 2) +

p*(1-p)* fZ(1)(z,m3, 3)

+ p*p* fZ(1)(z,m4, 4)

Utilisation du Solveur d’Excel pour cette maximisation



• Résultats est négatif (explique la baisse de la mortalité) p est faible (autour de 1%)

Taux de mortalité aux Etats-Unis de 1900 à 2002

0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

2.5%

3.0%

1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Taux de mortalité



Simulation :Après avoir déterminé les paramètres du modèle, nous pouvons effectuer des simulations (50 000 trajectoires). Nous obtenons alors une répartition des taux de mortalité pour 2004 ci-dessous (graphique similaire pour les simulations de 2005 et 2006).Répartition des taux de mortalité 2004 simulés

0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

2.5%

0.007200.007360.007520.007670.007830.007990.008150.008300.008460.008620.008780.008940.009090.009250.009410.009570.009730.009880.010040.010200.010360.010510.010670.010830.010990.011150.011300.011460.011620.011780.011930.01209Taux de mortalité

Indice de référence

130% de l’indice



Détermination des pertes moyennes attendues

Pour estimer les pertes attendues, nous utilisons une approche « risque de défaut ». C’est-à-dire qu’à chaque fois qu’un taux de mortalité simulé dépasse le seuil de déclenchement de la couverture, on considère qu’il y a défaut de celui qui émet les obligations (assureur ou réassureur) et nous évaluons les pertes associées pour l’investisseur (selon la règle suivante : perte = Min (1; (indice simulé - 130% I)).

(150% I - 130% I))

Résultats sur les 3 années de couverture :

Résultats globaux :• Pertes moyennes attendues : 0,011 %• Fréquence de retour des pertes : 0,068 % (environ 1 fois tous les 1 500 ans)

Année 2004 2005 2006Perte moyenne attendue 0,004% 0,002% 0,004%

Fréquence de retour 0,022% 0,012% 0,034%



Utilisation d’un facteur de prudence : La transformée de Wang à 2 facteurs

Présentation de la transformée : Pour déterminer la prime de risque à offrir à l’investisseur et donc le spread proposé, nous appliquons la transformée de Wang, sous sa forme à 2 facteurs, à la distribution des taux de mortalité simulés.

Son écriture est F*(qt) = Q { (F(qt)) - } avec :• Q est une loi de Student à 6 degrés de libertés et est une loi normale centrée réduite

• F est la fonction de répartition correspondant à la fonction de densité f, qui est la distribution initiale des taux de mortalité simulés

• est un paramètre à fixer

Impact de la transformée :Son impact est une déformation de la répartition initiale des taux de mortalité qui donne plus de poids aux éléments défavorables (fort taux de mortalité)



Données initiales

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

0,007 0,009 0,010 0,012 0,013 0,015 0,016

Taux de mortalité

Probabilité

Impact de la transformée de Wang à 1 facteur

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

0,007 0,009 0,010 0,012 0,013 0,015 0,016

Taux de mortalité

Probabilité

Impact de la transformée de Wang à 2 facteurs

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

0,007 0,009 0,010 0,012 0,013 0,015 0,016

Taux de mortalité

Probabilité



Nouvelle distribution des taux de mortalité :La distribution ci-dessous est obtenu à partir des taux de mortalité 2004 simulés auparavant auxquels on applique la transformée de Wang avec un égal à 0,75. Répartition des taux de mortalité 2004 simulés et transformés

0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

2.5%


Distribution initialeDistribution transformée

Indice de référence

130% de l’indice



Zoom sur la queue de distribution :

Répartition des taux de mortalité 2004 simulés et transformés

0.0%

0.2%

0.4%

0.6%

0.8%

1.0%


Distribution initialeDistribution transformée

130% de l’indice



Pertes moyennes finales

Résultats sur les 3 années de couverture :

Résultats globaux :• Perte moyenne attendue : 1,35 % = spread de l’opération• Fréquence de retour des pertes = 4,87 % (environ 1 fois tous les 20 ans)

Année 2004 2005 2006Perte moyenne attendue 1,632% 1,327% 1,908%

Fréquence de retour 0,570% 0,338% 0,444%

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Documents

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