Conice

U.T. Cluj-Napoca

Definitie: S. n.

curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n.

curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan,

de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F

este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;

b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;

b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1

elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica

o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica

o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana

de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.

Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9

cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9

cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;

b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0

doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;

c). x2 + 32xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Definitie: S. n. curba algebrica plana multimea punctelordin plan, de ecuatie implicita de forma

(C ) : F (x , y) = 0

ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .

Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;

c). x2

2 + y2

9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

Definitie: S. n. conica o curba algebrica plana de graduldoi.Ecuatia generala a unei conice este

(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + b1x + b2y + c = 0

cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si pause a211 + a212 + a222 6= 0.

Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3

2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.

Daca sistemul de coordonate Oxy

este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

1. Elipsa:

(E ) :x2

a2+

y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil,

ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

1. Elipsa:

(E ) :x2

a2+

y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice

se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

1. Elipsa:

(E ) :x2

a2+

y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita

forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

1. Elipsa:

(E ) :x2

a2+

y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau

ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

1. Elipsa:

(E ) :x2

a2+

y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate

(date prin ecuatiireduse) sunt:

1. Elipsa:

(E ) :x2

a2+

y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

1. Elipsa:

(E ) :x2

a2+

y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

1. Elipsa:

(E ) :x2

a2+

y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

1. Elipsa:

(E ) :x2

a2+

y2

b2− 1 = 0

ecuatia implicita;

Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

1. Elipsa:

(E ) :x2

a2+

y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

1. Elipsa:

(E ) :x2

a2+

y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

In cazul particular a = b = r

elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este

M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r ,

ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs:

D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric

elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric

al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y)

din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan

pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′

(numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare)

este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta.

In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0)

si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a,

unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos t

y = b sin t, t ∈ [0, 2π] ecuatii parametrice;

In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

(C ) : x2 + y2 = r2.

Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.

Obs: D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixeF si F ′ (numite focare) este constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0) si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.

(E ) :

{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]

ecuatii parametrice;

2. Hiperbola:

(H) :x2

a2− y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

2. Hiperbola:

(H) :x2

a2− y2

b2− 1 = 0

ecuatia implicita;

2. Hiperbola:

(H) :x2

a2− y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

2. Hiperbola:

(H) :x2

a2− y2

b2− 1 = 0 ecuatia implicita;

Hiperbola este o

curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita

(cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote

(dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs:

D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric

hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor

M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan

pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor

ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′

(focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este,

ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul,

constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru

F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0),

c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R

ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca

ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice

verifica ecuatia implicita.

Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

y =b

ax ; y = −b

ax .

Obs: D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor ladoua puncte fixe F ,F ′ (focare) este, ın modul, constanta. Incazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.

(H) :

{x = a · et+e−t

2 (:= a · cosh t)

y = b · et−e−t

2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;

T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

3. Parabola:

(P) : y2 = 2px ecuatia implicita;

D

3. Parabola:

(P) : y2 = 2px ecuatia implicita;

D

3. Parabola:

(P) : y2 = 2px ecuatia implicita;

D

Obs:

D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric

parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor

M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan

egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de:

o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa

(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p2 ) si fata de un punct

fix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie

x = −p2 ) si fata de un punct

fix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 )

si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix

(focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul)

F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este,

ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi

ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica,

obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:

-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente,

de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;

-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;

-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;

-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Obs: D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric alpunctelor M(x , y) din plan egal departate de: o dreapta fixa(directoare, notata (D), de ecuatie x = −p

2 ) si fata de un punctfix (focarul) F (p2 , 0).

(P) :

{x = t2

2p

y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;

Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ınplan, de forma

y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.

Conice degenerate:

Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

Recunoasteti conicele dinimaginile urmatoare!

Materia pentru Examen:

NU se cer pentru examen CURSUL 11 (SPATIIEUCLIDIENE );

de la SEMINARUL 11 se cere doar tipul de problema cuortogonalizare Gram-Schmidt;

NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;

exemple de ITEMI de TEORIE pentru NOTA 5:

Materia pentru Examen:

NU se cer pentru examen CURSUL 11 (SPATIIEUCLIDIENE );

de la SEMINARUL 11 se cere doar tipul de problema cuortogonalizare Gram-Schmidt;

NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;

exemple de ITEMI de TEORIE pentru NOTA 5:

Materia pentru Examen:

NU se cer pentru examen CURSUL 11 (SPATIIEUCLIDIENE );

de la SEMINARUL 11 se cere doar tipul de problema cuortogonalizare Gram-Schmidt;

NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;

exemple de ITEMI de TEORIE pentru NOTA 5:

Materia pentru Examen:

NU se cer pentru examen CURSUL 11 (SPATIIEUCLIDIENE );

de la SEMINARUL 11 se cere doar tipul de problema cuortogonalizare Gram-Schmidt;

NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;

exemple de ITEMI de TEORIE pentru NOTA 5:

Materia pentru Examen:

NU se cer pentru examen CURSUL 11 (SPATIIEUCLIDIENE );

de la SEMINARUL 11 se cere doar tipul de problema cuortogonalizare Gram-Schmidt;

NU se cer pentru examen problemele ”cu *” de la seminar;

exemple de ITEMI de TEORIE pentru NOTA 5:

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice,

desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative:

drepte si plane.

.

1 Vectori si Valori Proprii: definitii, proprietati;

2 Baza unui spatiu vectorial;

3 Subspatii vectoriale, suma directa, exemple de drepte si planecare sunt subspatii;

4 Produsul Vectorial;

5 Produsul Scalar;

6 Produsul Mixt;

7 Ecuatiile dreptei, cu exemple la fiecare tip;

8 Ecuatiile planului, cu exemple la fiecare tip;

9 Sfera, Elipsoid, Hiperboloizi, Paraboloizi (ecuatii implicite, cudesen, observatii si exemple numerice);

10 Cercul, Elipsa, Hiperbola, Parabola (ecuatii implicite siparametrice, desen, exemple numerice, observatiigeometrice); etc.;

11 Distante, unghiuri ıntre drepte plane, etc.;

12 Pozitii relative: drepte si plane.

.

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe

site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe

site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe

site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA=

=Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe

site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe

site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe

site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe

site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

Nota de la examen:

fiecare item din examen are 1 punct din OFICIU, maxim 10;

se dau 4 itemi (3 PROBLEME asemanatoare cu cele dinseminar, T.A. sau curs + 1 item de TEORIE);

NOTA==Rotunjire[ (Nota1+Nota2+Nota3+Nota4)/4 +Bonus];

Bonus= 1 pct. la MAXIM 4 absente SAU 1,50-2 pct. la 0absente si Activitate;

Bonusul e decis de SEMINARIST [si poate fi anulat oricand!(rareori marit-pentru raspunsuri din banca) ]

cititi si aplicati (ınainte de examen!) fisierul (ce va aparea pe

site) cu linkul intitulat ”REGULI-EXAMEN-SESIUNE”.

SUCCES!

http://users.utcluj.ro/∼todeacos/Teaching.html