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Technische Universität München

TOPSISTechnique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution

-Technik zur Lösung von Entscheidungsproblemen-


TOPSIS

• Konzipiert von Hwang/Yoon 1981

• Simple Technik zur Effizienzanalyse, mit vergleichsweise

geringem Arbeitsaufwand

• Zahlreiche Anwendungen in verschiedenen Einsatzgebieten

• Beispiele:

• Auswahl von Robotern für den industriellen Einsatz

• Auswahl von Bearbeitungsverfahren für industrielle

Anwendungen

• betriebliche Standortwahl

• Bewertung von Transportsystemen

• Wahl des Holzernteverfahrens

16.05.2019 Sophia Heinze 2


Gliederung

1. Definition Effizienz

2. Ablauf von TOPSIS

3. Beispiele



Effizienz

relative Effizienz

Vergleich der Alternativen untereinander, da die

absolut effizienteste nicht bekannt ist. Die

einzelnen Alternativen sind aber alle mehr oder

weniger ineffizient.

Die Produktionsfunktion ist nicht bekannt.

Voraussetzung:

Mindestens zwei Alternativen

4

Aufgabenfeld der multikriteriellen

Effizienzanalyse – wie TOPSIS

= Verhältnis von eingesetzten Inputquantitäten zu erzielten Outputquantitäten

Zwei Vergleichsmaßstäbe stehen zur Verfügung

absolute Effizienz

Vergleich mit einer bekannten effizienten

Alternative.

Die Produktionsfunktion ist bekannt.

Voraussetzung:

Eine optimale Alternative als Bezugspunkt

16.05.2019 Sophia Heinze


Ansatz von TOPSIS

Die Effizienz einer Alternative (aus einer endlichen Anzahl

von Alternativen) wird bewertet, indem jeweils der Abstand

der einzelnen Merkmalsausprägungen der betrachteten

Alternative zu einer „virtuellen Alternative“ bestimmt wird.

Einfachstes Beispiel:

Ziel: Den effizientesten Spieler auswählen

3 Alternativen: Output: Input:

Tore: 25 Kosten 29 Mio €



Absolute Effizienz? Relative Effizienz? 25 Tore für 21 Mio € = 1,19 Tore/ Mio €

Effizienz:

1,16 Mio €/Tor

0,27 Tore/Mio €



6

Prinzipieller Ablauf von TOPSIS

Alternativen bestimmen

Kriterien bestimmen

Entscheidungsmatrix aufstellen

Entscheidungsmatrix normalisieren

Gewichte ermitteln / festlegen

Entscheidungsmatrix gewichten

virtuelle Alternativen bestimmen

Abstandsmaße berechnen

Effizienzindex und Rangfolge bestimmen

Mit Hilfe von AHP, o.ä.



7

Auswahl der Alternativen

• Wie bei allen Verfahren für multikriterielle

Entscheidungen steigt mit der Zahl der

Alternativen und der Zahl der Kriterien der

Aufwand.

• Man sollte anhand von K.O.-Kriterien die

Zahl der Alternativen gering halten.



8

Kriterien

Kriterien

Kostenkriterien Nutzenkriterien

minimale Wert maximale Wert

Inputs sind Kostenkriterien Outputs sind Nutzenkriterien



9

Wahl und Gewichtung der Kriterien

Die Wahl der Kriterien ist prinzipiell frei – kardinale Messbarkeit wird unterstellt.

Die Gewichtung der Kriterien wird nicht im Rahmen von TOPSIS vorgegeben.

Es kann eine einfache Ordinalskala verwendet werden.

Bedeutung

sehr gering gering mittel groß sehr groß

1 2 3 4 5

Es können jedoch auch elaboriertere Techniken der Gewichtung verwendet

werden, wie beispielsweise beim AHP (Analytic Hierarchy Process), bei dem

Kriterien paarweise miteinander verglichen werden.

Der Vorteil dieses Verfahrens ist, dass Inkonsistenzen begrenzt oder mindestens

erkannt werden können.



10

Die Entscheidungsmatrix D

Kriterien 1 bis m

TOPSIS grundsätzlich

nur auf kardinal

messbare Kriterien

anzuwenden

Für jede Alternative

muss die Erfüllung von

allen Kriterien ermittelt

werden.

Vektor der Bewertungen der Alternative A1

Vektor der

Ausprägungen des

Kriteriums Cm über

die Alternativen

Peter und Zelewski, TOPSIS als Technik der Effizienzanalyse, 2007

Ausprägungen



Exkurs: Skalierungsmethoden

Skalierungsmethoden

Nominal-

skalaOrdinal-

skala

Kardinal-

skalaVerhältnis-

skala



Skalierungsmethoden

• Nominalskala:

– Entweder/oder

– Bsp.: Ja/Nein, weiblich/männlich,

evangelisch/katholisch/andere, Grundstück bereits

erschlossen?

– Keine Berechnungen möglich!



Skalierungsmethoden

• Ordinalskala:

– Rangfolge kann erstellt werden

– A1>A2>A3

– Anspruch: Urteilsperson muss eine Vergleichswertung abgeben

– Nachteil:

• keine Abstände zwischen den Alternativen möglich

• Zahlen wie 1,2,3… sind keine arithmetisch verrechenbare

Messwerte!

• Addition, Division … nicht erlaubt!

– Bsp.: Erdbebenstärke, Härtegrad von Werkstoffen, Herr A ist tüchtiger

als Herr B



Skalierungsmethoden

• Kardinal-/ Intervallskala:

– Quantitative Messungen, metrische Skalen

– Die Stufen der Skalen sind immer gleich groß

– Bsp. Celsius-Skala zur Temperaturmessung

- Addition und Subtraktion ist erlaubt!

0 1 2 3 4



Skalierungsmethoden

• Verhältnisskala:

– Höchstes Messniveau

– Absoluter „Nullpunkt“ (Geldwert)

– Alle mathematischen Rechnungen sind möglich

• Bsp.: Grundstückspreis 3x so teuer

• Richtwert: 150 km/h = 1

0,5 1 1,5

130 km/h 180 km/h

E= 0,87 E= 1,2



Skalentypen

Kriterium Maßeinheit Skalentyp

Farbe nominal

Leistung kW kardinal

Fahrkomfort Fahreindruck ordinal

Handhabung Fahreindruck ordinal

Kofferraum Liter kardinal

Innenabmessungen cm kardinal

Wartungsintervall Tkm kardinal

Pannenstatistik Pannen/Mio. km kardinal


17

Die Normalisierung der Entscheidungsmatrix

Grund der Normalisierung:

Wenn alle Kriterien kardinal gemessen werden konnten, aber jedes

in seiner Dimension, sind die Zahlen in den Spalten-Vektoren sehr

unterschiedlich groß.

Ohne Normalisierung würden dadurch implizite Gewichtungen der

Kriterien aufgrund von Skaleneffekten entstehen.




Normalisierung

3,0000 1,7500 8,00005,3332 3,0000 14,00001,1666 0,6667 3,0000

Ergebnismatrix

= 12,7500= 22,3332= 4,8333

0,31940,55950,1211

39,9165 1,0000

Reihensummen Normalisieren



Methode der Normalisierung von Hwang/Yoon

𝑟𝑖𝑗 =𝑑𝑖𝑗

σ𝑖=1𝑛 𝑑𝑖𝑗

2

1) Über die Spalten wird die Summe der Quadrate der Kriterienausprägungen

berechnet.

2) Daraus wird die Wurzel gezogen.

3) Dann wird jede Kriterienausprägung durch diese Wurzel dividiert.



20

Bestimmung der gewichteten normalisierten

Entscheidungsmatrix

Jeder Spaltenvektor der normalisierten Entscheidungsmatrix wird mit einem

Kriteriengewicht multipliziert.

Die Kriteriengewichte werden z.B. mit einer Technik zur Ermittlung von

Kriteriengewichten – wie z.B. dem AHP – bestimmt.

=

* Kriteriengewichte =normalisierte Entscheidungsmatrix R gewichtete normalisierte Entscheidungsmatrix V




21

Entwicklung „virtueller Alternativen“

Aus der gewichteten normalisierten

Entscheidungsmatrix werden jetzt

zwei „virtueller Alternativen“ entwickelt.

Darunter ist die beste mögliche

und die schlechteste mögliche

Alternative zu verstehen.

beste mögliche Alternative schlechteste mögliche Alternative

die höchsten Werte der

Nutzenkriterien

die niedrigsten Werte der

Kostenkriterien

die geringsten Werte der

Nutzenkriterien

die höchsten Werte der

Kostenkriterien

werden miteinander kombiniert




22

Berechnung von Abstandsmaßen

Für jede reale Alternative werden nun zwei Abstandsmaße zu den beiden

virtuellen Alternativen berechnet.

A

min

A

max

A1

real

Abstand zur Best-case-AlternativeAbstand zur Worst-case-Alternative

„Euklidische Abstände“ messen den Abstand zwischen zwei Punkten in einem

mehrdimensionalen Raum.

Die Dimensionalität des Raumes wird durch die Anzahl der Kriterien bestimmt.




Berechnung von Abstandsmaßen


Kriterium 2

Kriterium 1

Grafische Repräsentation eines Entscheidungsproblems mit zwei Kriterien


24

Bestimmung der relativen Nähe zur Best-case-

Alternative

Auf Basis der Abstandsmaße kann für jede Alternative ein Abstands-Index

für die relative Nähe zur Best-case-Alternative berechnet werden.

Diesem Index liegt die Idee zugrunde, daß eine effiziente Alternative

möglichst nahe am effizienten Rand einer Technologiemenge liegen sollte

und gleichzeitig möglichst weit von ineffizienten Alternativen entfernt sein sollte.

Übliche Effizienzmaße sind Quotienten, bei denen der Output zum Input

ins Verhältnis gesetzt wird.

Bei dem TOPSIS-Effizienzmaß – auch einem Quotienten – steht im Zähler

der Abstand zur Worst-case-Alternative. Im Nenner steht die Summe der Abstände

zu beiden Alternativen.




25

Bestimmung des TOPSIS-Effizienzindexes

Abstand zur Worst-case-Alternative

Abstand zur Best-case-Alternative + Abstand zur Worst-case-Alternative

je höher der Abstand zum schlechtest denkbaren Fall,

desto höher der Indexwert

je geringer der Abstand zum besten denkbaren Fall,

desto höher der Indexwert

Der Indexwert ist null, wenn

der Abstand zur schlechtesten denkbaren

Alternative null ist.

Der Indexwert ist eins, wenn

der Abstand zur besten denkbaren

Alternative null ist.

Der Indexwert liegt also zwischen 0 und 1.

Dadurch ist die Interpretation erleichtert.

1

iS0

iS

iC




26

Beispiel: Effizienz von Filialen

• Umsatz

• Freundlichkeit des Personals

• Wartezeiten an den Kassen

• Aktualität und Frische der Produkte

• Kosten

Es soll die Effizienz von vier Filialen eines Handelskonzern verglichen werden.

Die folgenden Kriterien sollen verwendet werden:

Zwei Kriterien können in Geldeinheiten gemessen werden.

Die übrigen drei Kriterien werden auf einer Skala mit Punkten (1-5)

gemessen, wobei 1 = geringe Kriterienbedeutung und 5 = hohe

Kriterienbedeutung.


Output

Input



27

Beispiel 1 – Entscheidungsmatrix D

Filiale Umsatz

€

Freundlich-

keit PersonalWarte-

zeiten

Produkt-

frische

Kosten

€

1 856.108 5 5 5 774.459

2 1.046.354 4 4 4 937.957

3 903.669 2 3 2 808.880

4 1.008.305 3 5 4 920.746

Für die Filialen 1 bis 4 und die 5 Kriterien wurden die unten dargestellten

Kriterienausprägungen ermittelt.

Die Entscheidungsmatrix wird im ersten Rechenschritt normalisiert:

Für die Kriterienausprägung 1/1 gilt:




28

Beispiel 1 – normalisierte Entscheidungsmatrix R

Filiale Umsatz

€

Freundlichkeit

des PersonalsWarte-

zeiten

Produkt-

frische

Kosten

€

1 0,447 0,680 0,577 0,640 0,449

2 0,547 0,544 0,462 0,512 0,543

3 0,472 0,272 0,346 0,256 0,468

4 0,527 0,408 0,577 0,512 0,533

Diese normalisierte Entscheidungsmatrix ist nun mit den Kriteriengewichten

zu gewichten. Diese sind:

Umsatz

€

Freundlichkeit

des PersonalsWarte-

zeiten

Produkt-

frische

Kosten

€

Gewicht 0,42 0,06 0,06 0,04 0,42




29

Beispiel 1 – gewichtete normalisierte

Entscheidungsmatrix V

Filiale Umsatz

€

Freundlichkeit

des PersonalsWarte-

zeiten

Produkt-

frische

Kosten

€

1 0,188 0,041 0,035 0,026 0,188

2 0,230 0,033 0,028 0,020 0,228

3 0,198 0,016 0,021 0,010 0,197

4 0,221 0,024 0,035 0,020 0,224


z.B. 0,447 * 0,42



30

Beispiel 1 – Berechnung der „virtuellen

Alternativen“

Umsatz

€

Freundlichkeit

des PersonalsWarte-

zeiten

Produkt-

frische

Kosten

€

Best-C 0,230 0,041 0,035 0,026 0,188

Worst-C 0,188 0,016 0,021 0,010 0,228

Aus den Spalten werden nun die jeweils besten und schlechtesten Werte

herausgesucht.

Beim Kostenkriterium ist der geringste Wert

der beste und der höchste der schlechteste!




31

Beispiel 1 – Berechnung der Abstandsmaße

Nun werden die euklidischen Abstände berechnet (am Beispiel Filiale 2):

Umsatz

€

Freundlichkeit

des PersonalsWarte-

zeiten

Produkt-

frische

Kosten

€

Best-C 0,230 0,041 0,035 0,026 0,188

Worst-C 0,188 0,016 0,021 0,010 0,228

Abstand zur besten

virtuellen Alternative:


2 0,230 0,033 0,028 0,020 0,228

Abstand zur schlechtesten




32

Beispiel 1 – Abstandmaße und Effizienzindex

Filiale Abstand

zum

Best-case

Abstand

zum

Worst-Case

Effizienz-

Index

Rangplatz

1 0,042 0,051 0,548 1

2 0,042 0,047 0,528 2

3 0,047 0,033 0,413 4

4 0,041 0,038 0,481 3

Beispiel für die Berechnung des Effizienz-Index für Filiale 2


𝐶2 =0,047

0,042 + 0,047≈ 0,528



Beispiel 2

Kriterien Einheit Gewicht

1 Holzeinschlag 1000 Fm 0,35

Output2 Förderungsfläche ha 0,15

3 Waldbesitzer Anzahl 0,23

4 Personaleinsatz Vollzeit-Äquivalente 0,22Input

5 Sachkosten Euro 0,05

Es sollen die Bezirke einer Forstverwaltung nach der Effizienz beurteilt

werden.

Folgende Kriterien mit den gegebenen Gewichten sollen verwendet werden.



Beispiel 2 - Entscheidungsmatrix

Entscheidungsmatrix

Output Input

Bezirk Einschlag Förderung Waldbesitzer Personal Sachkosten

1 8.805 2,6 1.231 134 170.000

2 9.387 2,5 843 81 143.278

3 10.167 1,7 1.121 78 97.411

4 12.329 1,2 784 112 58.253

5 11.213 3,0 1.579 210 284.170

Die Entscheidungsmatrix (Ausprägungen der Kriterien) wird normalisiert,

indem jedes Feld geteilt wird durch die Wurzel aus der Summe der

quadrierten Feldwerte der jeweiligen Spalte.𝑟𝑖𝑗 =

𝑑𝑖𝑗


2

𝒓𝟏𝟏 =𝟖. 𝟖𝟎𝟓

𝟖. 𝟖𝟎𝟓𝟐 + 𝟗. 𝟑𝟖𝟕𝟐 + 𝟏𝟎. 𝟏𝟔𝟕𝟐 + 𝟏𝟐. 𝟑𝟐𝟗𝟐 + 𝟏𝟏. 𝟐𝟏𝟑𝟐


Beispiel 2 – normalisierte Entscheidungsmatrix

Entscheidungsmatrix

Output Input


1 0,377 0,507 0,480 0,454 0,449

2 0,401 0,487 0,328 0,274 0,379

3 0,435 0,331 0,437 0,264 0,258

4 0,527 0,234 0,305 0,379 0,154

5 0,480 0,585 0,615 0,711 0,751

Einschlag Förderung Waldbesitzer Personal Sachkosten

Gewicht 0,35 0,15 0,23 0,22 0,05




Entscheidungsmatrix

Entscheidungsmatrix

Output Input


1 0,1318 0,0760 0,1103 0,0998 0,0225

2 0,1405 0,0731 0,0755 0,0603 0,0189

3 0,1522 0,0497 0,1004 0,0581 0,0129

4 0,1845 0,0351 0,0702 0,0834 0,0077

5 0,1678 0,0877 0,1415 0,1564 0,0376

Die Felder der normalisierten Entscheidungsmatrix müssen mit den Gewichten

multipliziert werden. z.B. 0,377 x 0,35


Beispiel 2 – Berechnung der

„virtuellen Alternativen“

Holzeinschlag Förderfläche Waldbesitzer Personal Kosten

Best-C0,1318 0,0877 0,1415 0,0581 0,0077

Worst-C0,1845 0,0351 0,0702 0,1564 0,0376

Aus den Spalten werden nun die jeweils besten und schlechtesten Werte

herausgesucht.

Beim Kostenkriterium ist der geringste Wert

der beste und der höchste der schlechteste!




Holzeinschlag Förderfläche Waldbesitzer Personal Sachkosten

Best-C 0,1318 0,0877 0,1415 0,0581 0,0077

Worst-C 0,1845 0,0351 0,0702 0,1564 0,0376

Berechnung für Bezirk 2 als Beispiel

Nun werden die euklidischen Abstände berechnet:

S2+ = 0,1405 − 0,1318 2 + 0,0731 − 0,0877 2 + 0,0755 − 0,1415 2 + 0,0603 − 0,0581 2 + (0,0189 − 0,0077)² =0,069

S2- = 0,1405 − 0,1845 2 + 0,0731 − 0,0351 2 + 0,0702 − 0,0755 2 + 0,0603 − 0,1564 2 + (0,0189 − 0,0376)² = 0,114

2 0,1405 0,0731 0,0755 0,0603 0,0189

Abstand zur besten

virtuellen Alternative:Abstand zur schlechtesten



Beispiel 2 – Abstandmaße und Effizienzindex

Bezirk Abstand

zum

Best-case

Abstand

zum

Worst-Case

Effizienz-

Index

Rangplatz

1 0,055 0,097 0,637 2

2 0,069 0,114 0,623 3

3 0,060 0,112 0,651 1

4 0,106 0,079 0,426 5

5 0,109 0,090 0,453 4

Beispiel für die Berechnung des Effizienz-Index für Bezirk 2

C2 = 𝟎,𝟏𝟏𝟒

𝟎,𝟎𝟔𝟗+𝟎,𝟏𝟏𝟒= 0,623


Beispiel 3 - Entscheidungsmatrix

Drei Vorlesungen werden im Rahmen einer Evaluation nach Aktualität,

Informationsgehalt und Vortragsqualität bewertet.

(Grundlage der Bewertung sind Schulnoten.)

Vorlesung Aktualität

0,5

Informations-

gehalt

0,3

Vortrags-

qualität

0,2

Recht 2 3 1

BWL 3 2 4

VWL 3 1 2

𝑟𝑖𝑗 =𝑑𝑖𝑗


2


Beispiel 3 – normalisierte Entscheidungsmatrix

Vorlesung Aktualität Informations-

gehalt

Vortrags-

qualität

Recht

BWL

VWL

Aktualität Informations-

gehalt

Vortrags-

qualität

Gewicht 0,5 0,3 0,2

0,426 0,802 0,218

0,640 0,535 0,873

0,640 0,267 0,436



Entscheidungsmatrix

Vorlesung Aktualität Informations-

gehalt

Vortrags-

qualität

Recht

BWL

VWL

0,213 0,2406 0,0436

0,32 0,1605 0,1746

0,32 0,0801 0,0872


Beispiel 3 – Berechnung der

„virtuellen Alternativen“

Aktualität Informations-

gehalt

Vortrags-

qualität

Best-Case

Worst-Case

0,32 0,2406 0,1746

0,213 0,0801 0,0436


Vorlesung Abstand

zum

Best-

Case

Abstand

Zum

Worst-

Case

Effizienz-

Index

Rangplatz

Recht

BWL

VWL


0,169 0,160 0,487 2

0,080 0,187 0,700 1

0,183 0,115 0,387 3


Vergleich AHP vs. TOPSIS

Eigenschaften AHP TOPSIS

Skala kardinal kardinal

Hauptaugenmerk der

Vorgehensweise

Paarweiser Vergleich Abstandsmaße von

Best-Case und Worst-

Case

Kriterien gegeben gegeben

Erhebung der Gewichtung Paarweiser Vergleich gegeben

Konsistenzcheck möglich nicht möglich

Anzahl der empf. Kriterien 7 ± 2 oder hierarchische

Zerlegung

mehr möglich

Anzahl der empf.

Alternativen

7 ± 2 mehr möglich

Sonstiges multikriterielle

Entscheidungsfindung

multikriterielle

Entscheidungsfindung

Shih/Shyr/Lee, An extension of TOPSIS for group decision making, 200716.05.2019 Sophia Heinze 45


Literatur

• Peters, Malte L. und Zelewski, Stephan: TOPSIS als Technik zur Effizienzanalyse. Wirtschaftsstudium, Heft 1, 2007, S. 9-15

• Hwang und Yoon: Multiple Attribute Decision Making-Methods and Applications A State of the Art Survey, Berlin, Heidelberg, New-York, 1981

• Shih, Shyur, Lee: An extension of TOPSIS for groupdecision making, Mathematical and Computer Modelling45 (2007), S. 801-813


topsis - fwl.wi.tum.de · technische universität münchen effizienz relative effizienz vergleich...

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