toric topology, number theory and applications · «oric topology, number theory and » september 6...

TORIC TOPOLOGY, NUMBER THEORY

AND APPLICATIONS

KHABAROVSK 2015

INTERNATIONAL CONFERENCE

CONFERENCE PROCEEDINGS

Математический институт РАН им. В.А. Стеклова

Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН

Тихоокеанский государственный университет

Министерство образования и науки Хабаровского края

ТОРИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ,

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Материалы Международной конференции

06–12 сентября 2015 года, Хабаровск

Хабаровск

Издательство ТОГУ

2015

УДК 517, 519 ББК В 152 Л 0 Т605

Т605

Торическая топология, теория чисел и их приложения: материалы Международной конференции, Хабаровск, 6–12 сентября 2015 г. / под научной ред. В. М. Бухштабера, В. А. Быковского – Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2015. – 139 с.

ISBN 978-5-7389-1774-5

Международная конференция проводится при поддержке

Правительства Хабаровского края, Российского фонда фундаментальных исследований (проект 15-01-20662), Фонда «Династия».

Утверждено к печати ученым советом Института прикладной математики ДВО РАН.

ISBN 978-5-7389-1774-5 © ХО ИПМ ДВО РАН, 2015 © Тихоокеанский государственный университет, 2015

International conference«Toric Topology, Number Theory and Applications»

September 6 - 12, 2015Khabarovsk, Russia

Organizers:

• Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences

• Institute for Applied Mathematics, Far-Eastern Branch of the

Russian Academy of Sciences

• Pacific National University

• Ministry of Education and Science of the Khabarovsk Krai

Program committee:

Victor Buchstaber (Steklov Mathematical Institute, Moscow,

chairman)

Mikhail Guzev (Institute for Applied Mathematics, Vladivostok,

vice-chairman)

Yuri Nesterenko (Moscow State University, Moscow, vice-chairman)

Vasilij Bernik (Institute of Mathematics, Belarus)

Tudor Ratiu (Ecole Polytechnique Federale de Lausanne, Switzerland)

Zhi Lu (Fudan University, China)

Mikiya Masuda (Osaka City University, Japan)

3

Iskander Taimanov (Sobolev Institute of Mathematics)

Taras Panov (Moscow State University)

Alexander Podgaev (Pacific National University)

Dong Youp Suh (KAIST, South Korea)

Local organizing committee:

Victor Bykovskii (IAM FEB RAS, chairman)

Maria Avdeeva (IAM FEB RAS, vice-chairman)

Alexander Sin (PNU, vice-chairman)

Maria Monina (IAM FEB RAS, secretary)

Natalia Markova (PNU)

Ellina Vikhtenko (PNU)

Mark Romanov (IAM FEB RAS)

Alexey Sundukov (MES KHK)

Alexei Ustinov (IAM FEB RAS)

Plenary speakers:

Vasilij Bernik (Institute of Mathematics, National Academy of

Sciences of the Republic of Belarus, Minsk)

Dmitry Bolotov (B. Verkin Institute for Low Temperature Physics

and Engineering, National Academy of Sciences of Ukraine, Khar’kov)

Victor Buchstaber (Steklov Mathematical Institute, Russian Academy

of Sciences, Moscow)

Nickolai Dobrovol’skii (Tula State Pedagogical University)

Nikolai Dolbilin (Steklov Mathematical Institute, Russian Academy

4

of Sciences, Moscow)

Askold Khovanskii (University of Toronto, Canada)

Shintaro Kuroki (Graduate School of Mathematical Sciences The

University of Tokyo, Japan)

Antanas Laurincikas (Department of Mathematics and Informatics,

Vilnius University, Lithuania)


Andrey Mironov (Sobolev Institute of Mathematics)

Alexander Mikhailov (University of Leeds, UK)

Nikolai Moshchevitin (Lomonosov Moscow State University)

Taras Panov (Lomonosov Moscow State University)

Dong Youp Suh (KAIST, South Korea)

All participants of the conference are invited to submit a paper

to the special volume of Far Eastern Mathematical Journal (FEMJ).

FEMJ is an open access mathematical journal published by Institute

for Applied Mathematics (Far-Eastern Branch of the Russian Academy

of Sciences). Send your papers to [email protected].

5

АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ

Ayzenberg A. A., 8

Bernik V. I., 10, 60

Buchstaber V.M., 9, 69, 112

Budarina N. V., 10

Bunkova E.Yu., 12

Bykovskii V., 14

Chebotarev A.Yu., 15, 16, 72, 85

Cho Y., 18

Dmitriev A.A., 23

Dolbilin N. P., 21

Gotze F., 10

Grinblat A., 24

Gudimenko A. I., 22

Guzev M.A., 22, 23

Husainov A.A., 25

Khovanskii A.G., 27

Kim M.K., 18

Konstantinou-Rizos S., 31

Kovtanyuk A.E., 15, 16, 85

Kuroki S., 33

Kustarev A., 37

Kuwata H., 41

Laurincikas A., 41

Limonchenko I. Yu., 42

Masuda M., 43

Mauleshova G. S., 44

Mikhailov A., 48

Mironov A.E., 44

Namm R.V., 49, 80

Novitskii I.M., 50

Panov T.E., 51

Suh D.Y., 18

Sukhonos A.G., 53

Ustinov A., 14

Vikhtenko E.M., 49

Woo G., 49

Агапова Е. Г., 54

Алексеев Г.В., 56

6

Амосова Е. В., 57

Ахунжанов Р.К., 59

Болотов Д. В., 64

Бризицкий Р.В., 66, 67

Брюно А.Д., 68

Вербицкий В.А., 71

Гренкин Г.В., 72

Демшин И.Н., 73

Добровольский Н.М., 75

Добровольский Н.Н., 75

Дорофеев Я.К., 76

Дубинин В.Н., 78

Дымченко Ю. В., 79

Дьяконова О.Е., 87

Ероховец Н. Ю., 69

Жильцов А. В., 80

Казак М.С., 81

Казинец В.А., 82

Карачанская Е. В., 84

Козлов А.В., 99

Кукина Т.М., 56

Лисенков К. В., 95

Лобанов А.В., 87

Ломакина Е.Н., 88

Машков Д.В., 89

Мендель В. В., 91

Мощевитин Н. Г., 92

Осипова М.А., 119

Павлов Н.А., 94

Пестрецова В.В., 85

Подгаев А. Г., 95

Попова Т.М., 99

Прилепкина Е. Г., 100

Прокопьева Д.Б., 116

Прохоров И.В., 102

Прудников В.Я., 104

Птахов Д.О., 108

Сарицкая Ж.Ю., 67

Скурихин Е.Е., 109

Соболева О.В., 110

Соколов А.А., 68

Соломадин Г.Д., 112

Соснов В.В., 113

Спивак Ю.Э., 115

Степанова А.А., 116

Сущенко А.А., 102

Тарасенко А.А., 121

Терешко Д.А., 118

Устиновский Ю.М., 112

Цициашвили Г.Ш., 119

Чеканов С. Г., 121

Шлык В.А., 73

7

ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ

VOLUME POLYNOMIAL OF A MULTI-FAN ANDCORRESPONDING DUALITY ALGEBRA

AntonA. Ayzenberg, based on joint work with M. Masuda(Osaka City University and Higher School of Economics,

Osaka/Moscow)

For a given complete simplicial fan ∆ ⊂ Rn with m rays considerthe set of all simple convex polytopes with normal fan ∆. Eachsuch polytope is completely determined by a collection of supportparameters c1, . . . , cm, where ci is the normalized distance from i-thfacet to the origin. The volume of the polytope depends on supportparameters thus determines a function V∆(c1, . . . , cm) which happensto be a homogeneous polynomial of degree n. It is called the volumepolynomial. Timorin showed that one can recover the cohomologyalgebra of the corresponding toric variety from V∆. He applied histechnique to give an elementary proof of Stanley’s g-theorem.

Multi-fans and multi-polytopes are combinatorial-geometrical no-tions which naturally generalize fans and polytopes. Masuda andHattori introduced these notions in relation with their study of torusmanifolds.

In our work we combined these two theories and found sev-eral interesting implications. For every complete simplicial multi-fan ∆ one can define the volume polynomial V∆. This polynomi-al gives rise to a Poincare duality algebra A∗(∆). When the un-derlying simplicial complex K of a multifan is a sphere, we have

8

A∗(∆) ∼= R[K]/(l.s.o.p.) and dimA2j(∆) = hj(K) as in Timo-rin’s classical case. If K is an oriented manifold, we have A∗(∆) ∼=R[K]/(l.s.o.p.)/Soc<2n and dimA2j(∆) = h′′j (K). This gives a con-nection of volume polynomials with a recent theory of h′′-numbersof Buchsbaum complexes.

We found a precise formula for the volume polynomial of a multi-fan, which, in particular, can be used to compute volumes of ordinarypolytopes and intersections of characteristic submanifolds in torusmanifolds.

Finally, we proved a somewhat unexpected result: almost everypolynomial (satisfying certain mild condition) is a volume polyno-mial of some multi-fan. Thus Stanley’s generalized g-conjecture doesnot hold on the class of all complete multi-fans.

[1] A. Hattori, M. Masuda, “Theory of multi-fans”, Osaka J. Math., 40(2003), 1–68.

[2] V.A. Timorin, “An analogue of the Hodge–Riemann relations forsimple convex polytopes”, Russian Math. Surveys, 54:2 (1999), 381–426.

TORIC TOPOLOGY AND CARBON STRUCTURES(FULLERENES AND GRAFENES)

V.M. Buchstaber (Steklov Mathematical Institute, RussianAcademy of Sciences, Moscow)

The talk is devoted to classical and modern mathematical results,which had drawn attention of physicists and chemists in connectionwith problems of nanotechnology.

• Fullerenes (Nobel Prize in Chemistry, 1996, R. F. Kurl, H. Kro-to, R. E. Smalley).

9

• Graphenes (Nobel Prize in Physics, 2010, A.K. Geim andK. S. Novoselov).

• Pentagraphenes (the possibility for this carbon structure toexist was proved).

We will formulate combinatorial, geometrical, and topologicaltasks concerning molecular carbon structures in terms of convexpolytopes, polygonal partitions of 2-surfaces, and edge paths onthese surfaces. The connection of these tasks with known and newproblems in graph theory and toric topology will be discussed.

The talk is prepared jointly with N.Yu. Erokhovets.All necessary notions will be explained during the lecture.

[1] V.M. Buchstaber, T. E. Panov, “Toric Topology”, AMS Math Surveysand Monographs, 204 (2015), 518 p.

[2] V.M. Buchstaber, N.Yu. Erokhovets, “Truncations of simple poly-topes and applications”, Proc. Steklov Inst. Math., 289 (2015), 115–144.

EFFECTIVE ESTIMATES OF THE MEASURE OFTHE SETS OF REAL NUMBERS WITH THE GIVEN

APPROXIMATION PROPERTY BY ALGEBRAICNUMBERS OF BOUNDED HEIGHT AND DEGREE

N.V. Budarina (IAM FEB RAS, Khabarovsk),V. I. Bernik (Institute of Mathematics, Belarus Academy of

Sciences, Minsk),F. Gotze (University of Bielefeld, Bielefeld)

The effective versions of metric theorems [1, 2, 3] have begunto develop in recent years. This led to estimates for the number

10

of integer polynomials with given distance between the roots, toestimates for discriminants and resultants.

Let P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0 be an integerpolynomial of degree degP = n and height H(P ) = max06j6n |aj|.Denote by P≤n(Q) the class of integer polynomials P of degree atmost n and H(P ) 6 Q where Q ∈ N. Let I = [0, 1] and δ = δ(n,Q).Denote by Mn(Q, I, δ) the set of x ∈ I for which the inequality

|P (x)| < δ

has a solution in polynomials P ∈ P≤n(Q). Let µ(A) be the Lebesguemeasure of a measurable set A ⊂ R. We are interested in the met-ric properties of the set Mn(Q, I, δ). We are going to prove a fewtheorems with estimations of the form

µ(Mn(Q, I, δ)) < s(n)Qlδµ(I), (1)

where s(n) is a function of n. Depending on whether we use knowninequalities in the theory of transcendental numbers [4] or methodsof Sprindzuk [1] and Bernik [3], we can obtain good estimations forthe function s(n) in (1) or the best possible result for the measureof the set Mn(Q, I, δ) in the terms of the height of the polynomials.

[1] V.G. Sprindzuk, Mahler’s problem in metric Number Theory, Naukai Tehnika, Minsk, 1967.

[2] V.V. Beresnevich, “On approximation of real numbers by real alge-braic numbers”, Acta Arith., 90:2 (1999), 97–112.

[3] V. Bernik, “On the exact order of approximation of zero by values ofintegral polynomials”, Acta Arith., 53 (1989), 17–28.

[4] G.V. Chudnovsky, “Contributions to the theory of transcendentalnumbers”, Math. Surveys Monogr., 19, Amer. Math. Soc., Providence,RI, 1984.

11

FORMAL GROUP FOR ELLIPTIC FUNCTION OFLEVEL 3

E.Yu. Bunkova (Steklov Mathematical Institute, RussianAcademy of Sciences, Moscow)

The talk will expand results of [1].Jacobi’s elliptic sine sn(x) has a realization as the elliptic func-

tion of level 2. The map C → C2, x 7→ (ξ, µ), ξ = sn(x), µ = sn′(x),

uniformizes the curve

µ2 = 1− 2δξ2 + εξ4.

The addition law for this curve is determined by the addition lawfor sn(x) in A. Cayley’s form

ψ(x+ y) =ψ(x)2 − ψ(y)2

ψ(x)ψ′(y)− ψ(y)ψ′(x),

and sn(x) is the exponent of the universal formal group of the form

F (u, v) =u2 − v2

uB(v)− vB(u).

The coefficient ring R2 of this formal group was calculated in [2]. Itturned out that B(u)2 = 1− 2δu2+ εu4, and thus R2[

12] = Z[1

2][δ, ε].

In the talk we will present analogous results for the elliptic func-tion f(x) of level 3. The map C → C2, x 7→ (ξ, µ), ξ = f(x),µ = f ′(x), uniformizes the curve

µ3 + 3aξµ2 = 1 + 2(a3 + 3b)ξ3 + (a3 − 3b)2ξ6. (1)

The elliptic function of level 3 is the exponential of the universal

12

formal group of the form

F (u, v) =u2C(v)− v2C(u)

uC(v)2 − vC(u)2, (2)

and thus it is determined by the corresponding addition law.This formal group is determined over the ring R3, such that

R3

[1

2,1

3

]= Z

[1

2,1

3

][a, b],

and C(u)2 = w(u)− au, where w(u) ∈ Z[13][a, b][[u]] is a solution of

w3 + 3auw2 = 1 + 2(a3 + 3b)u3 + (a3 − 3b)2u6 (3)

with initial conditions w(0) = 1.The formal group of the form (2) is a specialization of the formal

group of the form

F (u, v) =u2A(v)− v2A(u)

uB(v)− vB(u), (4)

introduced in [3]. This formal group is equivalent to Krichever formalgroup. It’s ring of coefficients is described in [2].

[1] V.M. Buchstaber, E.Yu. Bunkova, “Universal formal group determin-ing the elliptic function of level 3”, Chebyshev sb., 16:2 (2015), 66–78.

[2] V.M. Buchstaber, A. V. Ustinov, “Rings of coefficients of formalgroups”, Mat. Sbornik, (in print).

[3] V.M. Buchstaber, “Functional equations associated with addition the-orems for elliptic functions and two-valued algebraic groups”, RussianMath. Surveys, 45:3 (1990), 213–215.

13

DOUBLE SOMOS-4

Victor Bykovskii (IAM FEB RAS, Khabarovsk),Alexey Ustinov (IAM FEB RAS, Khabarovsk)

Let A(n) and B(n) be a pair of sequences defined by initialvalues

A(±1), A(0), A(2), B(±1), B(0), B(2),

and recurrence relations

A(n+ 2)B(n− 2) + αA(n+ 1)B(n− 1) + βA(n)B(n) = 0,

A(n− 2)B(n+ 2) + γA(n− 1)B(n+ 1) + δA(n)B(n) = 0.

Theorem. The general pair of such sequences (subject to somenatural restrictions on initial data) has the form

A(n) = ean2+b1n+c1σΓ(nz + z1), B(n) = ean

2+b2n+c2σΓ(nz + z2),

where a, b1,2, c1,2, z, z1,2 ∈ C and σΓ is Weierstrass σ–functionassociated with lattice Γ.

The case A = B was previously studied by A. Hone [1] andC. Swart [2].

This work was supported by the RFBR (project no. 14-01-00203)

[1] A. Hone, “Elliptic Curves and Quadratic Recurrence Sequences”, Bull.Lon, Math. Soc., 37:2 (2005), 161–171.

[2] C. Swar, “Elliptic curves and related sequences”, PhD thesis, RoyalHolloway, University of London (2003).

14

ANALYSIS OF THE SOLVABILITY IN THECOMPLEX HEAT TRANSFER PROBLEMS

A.Yu. Chebotarev (IAM FEB RAS, Far Eastern FederalUniversity, Vladivostok),

A. E. Kovtanyuk (IAM FEB RAS, Far Eastern FederalUniversity, Vladivostok)

Stationary process of free convection of a viscous incompressiblefluid with radiation in a bounded domain Ω with boundary Γ ismodeled by the following boundary value problem, which uses adiffusion P1 approximation for the radiative transfer equation.

−a∆θ + v · ∇θ + bκaθ4 = bκaφ, −α∆φ+ κaφ = κaθ

4,

−ν∆v + (v · ∇)v + βθg = −∇p, div v = 0.

θ|Γ = Θ0, α∂nφ+ γ(φ−Θ40)|Γ = 0, v|Γ = v0.

Here, θ is the normalized temperature, φ the normalized radiationintensity averaged over all directions, v is the velocity field and p

is the flow pressure, g is an acceleration of gravity. Through a, ν, β

designated constant coefficients of thermal diffusivity, kinematic vis-cosity and thermal expansion. Parameters α > 0, b > 0, and theabsorption coefficient κa describes the radiation-thermal propertiesof the medium.

Analysis of complex heat transfer in scattering media with re-flecting boundaries is important for applications. A lot of work isconnected with the numerical simulation of complex heat transferprocesses in continuous media. At the same time, few papers devot-ed to the theoretical analysis of the corresponding boundary valueproblems, that allows you to assess the adequacy of the models of

15

radiative heat transfer.The main result of this work is to obtain new a priori estimates

of temperature and radiation intensity in the space L∞, which ispossible to prove the solvability of the problem. It is shown thatthe class of weak solutions is homeomorphic to finite-dimensionalcompact. It is proved that the solution is unique, if the viscosity andthermal diffusivity are sufficiently large.

[1] A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,“Unique solvability of a steady-state complex heat transfer model”,Comm. in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 20 (2015),776–784.

[2] A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, “Stationary Free ConvectionProblem with Radiative Heat Exchange”, Differential Equations, 50:12(2014), 1592–1599.

BOUNDARY OPTIMAL CONTROL PROBLEM FORCOMPLEX HEAT TRANSFER MODEL

A.Yu. Chebotarev (IAM FEB RAS, Far Eastern FederalUniversity, Vladivostok),

A. E. Kovtanyuk (IAM FEB RAS, Far Eastern FederalUniversity, Vladivostok)

The interest in studying problems of complex heat transfer [1–3](where the radiative, convective, and conductive contributions aresimultaneously taken into account) is motivated by their importancefor many engineering applications.

The most interest is caused by optimal control problems for mod-els of complex heat transfer. A considerable number of works isdevoted to control problems for evolutionary models involving ra-diative heat transfer. Nevertheless, theoretical analysis of optimal

16

control problems for steady-state models of complex heat transferis a poorly studied. The main difficulty here is, in addition to non-linearities of the governing equations, the absence of appropriateenergy estimates.

The problem addressed is the design of reflection properties ofthe boundary or determine the boundary temperature in order tooptimize a cost functional, e.g. to maximize the energy outflow fromthe domain or to obtain the desired temperature in the part of do-main. The application of the P1 approximation to the radiative heattransfer equation yields an optimal boundary multiplicative controlproblem for a nonlinear elliptic system. The solvability of this systemis proven on the basis of new a priori estimates of solution norms.Necessary optimality conditions of first order are derived. The re-sults of numerical simulations are presented.

[1] A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,“The unique solvability of a complex 3D heat transfer problem”, J.Math. Anal. Appl., 409 (2014), 808–815.

[2] A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,“Theoretical analysis of an optimal control problem of conductive-convective-radiative heat transfer”, J. Math. Anal. Appl., 412 (2014),520–528.

[3] A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,“Solvability of P1 approximation of a conductive-radiative heat trans-fer problem”, Applied Math. and Comput., 249 (2014), 247–252.

17

EXISTENCE OF COMPACT LIE GROUP ACTIONSON SYMPLECTIC MANIFOLDS

Yunhyung Cho (Instituto Superior Tecnico, Lisbon, Portugal),Min Kyu Kim (Gyeongin National University of Education,

Incheon, Korea),Dong Youp Suh (KAIST, Daejeon, Korea)

In this lecture, we consider the existence of symplectic actionsof connected compact Lie groups on a symplectic manifold (M,ω)

satisfying the condition c1(M,ω) = λ · [ω] for some λ ∈ R, anddetermine when such actions are Hamiltonian. Before we give theprecise statement of the theorem, let us consider the special casewhen M is a compact oriented surface Σg of genus g as a motivation.In this case, the following proposition is well-known.

P r o p o s i t i o n 1. Let Σg be a closed Riemann surface withgenus g, and let G be a compact connected Lie group acting on Σg

effectively. Then,

1. if Σg∼= S2 (g = 0), then G must be a closed subgroup of

SO(3),

2. if Σg∼= T 2 (g = 1), then G must be a closed subgroup of

SO(2)× SO(2) ∼= S1 × S1, and

3. if g ≥ 2, then G = 1 by the connectivity of G.

Let ω be any G-invariant volume form on Σg so that (Σg, ω) is asymplectic surface. Suppose the G action is symplectic, i.e., g∗ω = ω

for all g ∈ G. Since we can give an ω-invariant almost complexstructure J on TΣg, and for any other such almost complex structureJ ′ two complex bundles (TΣg, J) and (TΣg, J

′) are isomorphic, the

18

first Chern class ci(Σg, ω) of the symplectic surface (Σg, ω) is well-defined. Moreover since H2(Σg;R) ∼= R, there exists λ ∈ R suchthat c1(Σg, ω) = λ · [ω]. Then Proposition 1 can be reformulated forsymplectic actions as follows.

P r o p o s i t i o n 2. (Symplectic version of Proposition 1). Let(Σg, ω) be a closed two-dimensional symplectic manifold with genusg such that c1(Σg, ω) = λ · [ω] and let G be a compact connectedLie group acting on Σg. Suppose that the G action is effective andit preserves ω. Then,

1. if λ > 0 (g = 0), then G is a closed subgroup of SO(3),

2. if λ = 0 (g = 1), then G is a closed subgroup of SO(2) ×SO(2) ∼= S1 × S1, and

3. if λ < 0 (g > 1), then G = 1.

If Σg = S2, since the sphere is simply connected, the symplecticaction of G on S2 is Hamiltonian. If Σg = T 2, then the symplecticaction of G on T 2 can not be Hamiltonian, because any Hamiltonianaction of a circle on a compact manifold must have at least two fixedpoints, but the action of any circle subgroup of SO(2) × SO(2) onT 2 does not have a fixed point. Therefore we have the followingHamiltonian version of Proposition 1.

P r o p o s i t i o n 3. (Hamiltonian version of Proposition 1). Let(Σg, ω) be a closed two-dimensional symplectic manifold with genusg such that c1(Σg, ω) = λ · [ω] and let G be a compact connected Liegroup. Suppose that the G action is effective symplectic. Then,

1. if λ > 0 (g = 0), then the G-action is Hamiltonian and G is aclosed subgroup of SO(3),

19

2. if λ = 0 (g = 1), then the G-action is non-Hamiltonian and Gis a closed subgroup of SO(2)× SO(2), and

3. if λ < 0 (g > 1), then G = 1.

We generalize this proposition to higher dimensional manifoldcase as follows.

Th e o r em. Let (M,ω) be any smooth closed symplectic man-ifold such that c1(M,ω) = λ·[ω] for some λ ∈ R. Let G be a compactconnected Lie group which acts on (M,ω) effectively and preservesω. Then,

1. If λ > 0, then the G-action is Hamiltonian.

2. If λ = 0, then the G-action is non-Hamiltonian.

3. If λ < 0, then G is trivial.

This theorem is proved in [1] and [2] by Ono, but we give amore elementary proof of it in this lecture. Indeed, we prove that ifthe G-action is non-Hamiltonian, then there exists a symplecticallyembedded 2-torus T in (M,ω) such that < c1(M,ω), [T ] >= 0, andfrom this result we can prove the theorem.

[1] K. Ono, “Some remarks on group actions in symplectic geometry”, J.Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 35 (1988), 431–437.

[2] K. Ono, “Equivariant projective embedding theorem for symplecticmanifolds”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 35 (1988), 381–392.

20

THE MINKOWSKI THEOREM ONPARALLELOHEDRA

AND ITS RECENT DEVELOPMENT

N.P. Dolbilin (Steklov Mathematical Institute, RAS, Moscow)

A parallelohedron of dimension d is defined as a convex bound-ed euclidean d-dimensional polyhedron P that admits a face-to-facetiling of space Rd by its translates. The concept and the term of aparallelohedron were introduced by E. S. Fedorov. Three-dimensionalparallelohedra play important role in crystallography. Multidimen-sional parallelohedra are used in the geometry of numbers, discretegeometry, and other areas of mathematics.

Th e o r em (H.Minkowski, [1]). Any parallelohedron P ful-fils the following conditions:(1) P is centrally symmetrical polyhedron;(2) each (d− 1)-face of P is centrally symmetrical;(3) the projection of P along a (d−2)-plane that contains a (d−2)-face onto the 2-dimensional complement is either parallelogram or acentrally symmetrical hexagon.

Later B.A.Venkov [2] proved that the conditions (1), (2), and (3)are also sufficient for a convex polyhedron to be a parallelohedron.

Let us call a convex polyhedron P a homothetohedron if there isa tiling of Rd by its homothetes µiP , where 0 < M1 < µi < M2. It isclear that any parallelohedron is a homothetohedron. However, theinverse statement is also true.

Th e o r em (N.Dolbilin, A.Magazinov, [4]). Any homoth-etohedron is a parallelohedron

The theorem implies that any convex polyhedron that admitswhatever tiling by its translates necessarily admits a face-to-facetiling.

21

In the talk we are going to discuss the mentioned above theoremsand some other related issues (see e.g.[3]).

[1] H. Minkowski, “Allgemeine Leherzatze uber konvexe Polyeder”, Nach.Ges. Wiss. Gottingen, (1987), 198–219.

[2] B.A. Venkov, “On some class of euclidean polyhedra”, Vestnik Lenin-gradskogo Universiteta, ser. mathem., phys.,chem., 9 (1954), 11–31.

[3] N. P. Dolbilin, “Properties of Faces of Parallelohedra”, Proc. SteklovInst. Math., 266 (2009), 105–119.

[4] N. P. Dolbilin, A. N. Magazinov, “On a generalization of the Minkows-ki theorem for parallelohedra”, (in preparation).

FIBER BUNDLE THEORY ANDINVARIANT FORM OF CONSERVATION LAWS IN

CONTINUUM MECHANICS

A. I. Gudimenko (IAM FEB RAS, Vladivostok),M. A. Guzev (IAM FEB RAS, Vladivostok)

The apparatus of differential geometry is used to represent the con-tinuum mechanics conservation laws in а form that is invariant underthe time-dependent coordinate transformations. The material con-tinuum is described in the framework of four-dimensional formalismin which the space-time is considered as the bundle π : R×R3 → Rover the time axis R, where π is the projection on the first factor.

It is shown that the mass conservation law is written in the form

Lu(ρdt ∧ ω) = 0, (1)

where u = ∂/∂t + ui∂/∂xi is the continuum 4-velocity field on thebundle, Lu is the Lie derivative of differential forms along this vectorfield, ρ is the mass density, and ω =

√|g|dx1∧dx2∧dx3 is the space-

like volume form determined by a space-like metric g on the bundle.

22

The proposed equation is really invariant under the time-dependentcoordinate transformations because it is expressed in terms of in-variant manifold calculus operations, such as the Lie derivative in(1), and invariant operands u and ρdt ∧ ω.

Invariant representations of conservation laws equations are usedin constructing new theories and models of continuum mechanics, es-pecially in modeling of materials with defects. The full account of ourstudy of conservations laws, including a consideration of the momen-tum balance equation and some applications of the representationsobtained, is published in the papers [1, 2].

[1] A. I. Gudimenko, M.A. Guzev, “Geometrical aspects of the mass con-servation law”, Far Eastern Mathematical Journal, 14:2 (2014), 173–190 (in Russian) .

[2] A. I. Gudimenko, M.A. Guzev, “On covariant form of the momentumbalance equation for perfect fluid”, Far Eastern Mathematical Journal,15:1 (2015), 41–53 (in Russian).

CRITICAL POINTS OF COUPLED PENDULUMS

M. A. Guzev (IAM FEB RAS, Vladivostok),A.A. Dmitriev (IAM FEB RAS, Vladivostok)

The report presents the problem about the equilibrium states ofthe two coupled pendulums with an arbitrary potential interaction.The case of sympathetic pendulums is described in literature [1].Symmetric equilibrium states are investigated for Hooke’s potential[2]. It this work we consider a modified system of two pendulums,rods of which intersect and glide without friction relatively to eachother. The pendulums are fixed in a vertical plane of the gravityfield and have the masses at the end of each one.

23

The problem under consideration is reduced to finding the criticalpoints of the function

Π(θ1, θ2) = f(s)−ν cos θ1 cos θ2, s2 = sin2 θ1+2µ sin θ1 cos θ2+µ2.

Here f(s) defines the interaction potential, the variables θ1, θ2 arelinked with the angles φ1, φ2 deflection rods from the horizontalline by relations θ1 = 1

2(φ1−φ2),θ2 = 1

2(π−φ1−φ2), s is the distance

between the pendulums, µ is the ratio of rod’s length to the distancebetween the points of suspension, ν is determined through the mass.

It is shown that there are symmetric and asymmetric equilibriumstates, and we formulated conditions of their existence. The criticalpoints can have stable and unstable character and correspondingrestrictions on the parameters µ, ν are obtained.

The obtained results allow us to study the equilibrium state inthe case of Hooke’s potential f(s) = 1

2(s − µ)2 and Coulomb’s one

f(s) = 1/s.

[1] A. Sommerfeld , Mechanics, N. Y.: Academic press inc., Publishers,1952, 289 p.

[2] A. P. Markeev, “The motion coupled pendulums”, Nonlinear Dynam-ics, 9:6 (2013), 27–38 (in Russian).

PARALLELIZATION OF PETRI NETS VIAPOLYNOMIALS

Andrey Grinblat (Komsomolsk-on-Amur)

A Petri net (also known as a place/transition net or P/T net) isone of several mathematical modeling languages for the descriptionof distributed systems. A Petri net is a directed bipartite graph,

24

in which the nodes represent transitions (i.e. events that may occur,signified by bars) and places (i.e. conditions, signified by circles). Thedirected arcs describe which places are pre- and/or post conditionsfor which transitions (signified by arrows). Some sources state thatPetri nets were invented in August 1939 by Carl Adam Petri Ҹ atthe age of 13 Ҹ for the purpose of describing chemical processes.

Like industry standards such as UML activity diagrams, BPMNand EPCs, Petri nets offer a graphical notation for stepwise processesthat include choice, iteration, and concurrent execution. Unlike thesestandards, Petri nets have an exact mathematical definition of theirexecution semantics, with a well-developed mathematical theory forprocess analysis.

In this report we introduce for any Petri net N the polynomialsP (N) ∈ Z+[x, y], also we will see that there is one to one correspon-dence between polynomials from Z+[x, y] and Petri nets. From thiscorrespondence we get

Те о р е м а. The computational process can be can be paral-lelized iff for the correspondence Petri Net N , the polynomial P (N)

can be decompose in the ring Z+[x, y].The construction of these polynomials allows us to use the meth-

ods and concepts of algebraic geometry. The author promise he willcontinue to study in this way.

THE CATEGORY OF TORIC SETS

A.A. Husainov (KnASTU, Komsomolsk-on-Amur)

We continue the investigations started in [1]. This work is devotedto the category of precubical sets which admit representations ascolimits of precubical tori.

A precubical set (Xn, ∂n,εi ) consists of a sequence of sets X0, X1,

X2, . . . with a family of maps ∂n,εi : Xn → Xn−1 1 6 i 6 n, ε ∈

25

0, 1, satisfying ∂n−1,νi ∂n,εj = ∂n−1,ε

j−1 ∂n,νi for n > 2, 1 6 i < j 6n, ε ∈ 0, 1, ν ∈ 0, 1. Let PCubes be the category of precubicalsets whose morphisms f : (Xn, ∂

n,εi ) → (X ′

n, ∂′n,εi ) are sequences of

maps fn : Xn → X ′n satisfying fn−1∂

n,εi = ∂′n,εi fn.

We call a precubical set (Xn, ∂n,εi ) to be toric if for every cube

x ∈ Xn, under conditions n > 1 and 1 6 i 6 n, the equality∂n,0i (x) = ∂n,1i (x) holds.

Every toric precubical set is isomorphic to the disjoint union oftoric sets with one vertex.

We introduce precubical tori as follows. Let N = 0, 1, 2, . . . bethe additive monoid of nonnegative integers. The category of tori T+

consists of monoids N0 = 0, N1 = N, N2 = N×N, · · · . MorphismsNm → Nn are compositions of maps δki : Nk−1 → Nk defined asδki (x1, · · · , xk−1) = (x1, · · · , xi−1, 0, xi, · · · , xk−1), 1 6 i 6 n. Foreach integer d > 0, the sequence of sets (T+(Nn,Nd))n>0 with themaps ∂n,εi : T+(Nn,Nd) → T+(Nn−1,Nd), x 7→ x δni , for n > 1 and1 6 i 6 n is the precubical set called the precubical (d-dimensional)torus. Its geometric realization is the real d-dimensional torus.

Let PTori ⊂ PCubes be the full subcategory consisting of alltoric precubical sets. The category PTori is complete and cocom-plete. It is easy to see that the embedding PTori ⊂ PCubes pre-serves limits and colimits. We construct left and right adjoint func-tors to this embedding and show that for every object X of thecategory PTori, there is a diagram of precubical tori that colimit inPCubes is isomorphic to X. We study homology of toric sets andthe relationship between toric sets and free partially commutativemonoids.

[1] Ahmet A. Husainov, “Cubical Sets and Trace Monoid Actions”, TheScientific World Journal, 2013 (2013), 285071.

26

IRREDUCIBLE COMPONENTS OF GENERICCOMPLETE INTERSECTIONS

Askold Khovanskii (The University of Toronto, Canada)

Newton polyhedra theory connects algebraic geometry to the ge-ometry of convex polyhdra with integral vertices in the frameworkof toric geometry.

A Laurent polynomial P is a linear combination of monomials(possibly of negative powers). The support s(P ) of P is the set ofthe powers of monomials appearing in P with nonzero coefficients.The Newton polyhedron ∆(P ) of P is the convex hull of s(P ). Fixk finite subsets A1, . . . , Ak in the lattice Zn and consider a generick-tuple of Laurent polynomials P1, . . . , Pk with the supports s(P1) =

A1, . . . , s(Pk) = Ak. Let X be the algebraic variety defined by thesystem

P1 = · · · = Pk = 0 (1)

in (C∗)n. Let ∆1, . . . ,∆k be Newton polyhedra of P1, . . . , Pk.De f i n i t i o n 1. For fixed k-tuple of convex bodies ∆1, . . . ,∆k

in Rn for any nonempty subset J ⊂ 1, . . . , k we define the defectd(J) of J to be the number d(J) = dim(∆J) − |J |, where ∆J =∑

i∈J ∆i and |J | is the number of elements in J .De f i n i t i o n 2. We call k-tuple ∆1, . . . ,∆k of convex bodies

independent if the defect of any nonempty subset J ⊂ 1, . . . , k isnonnegative.

Th e o r em (David Bernstein, 1975). The algebraic varietyX ⊂ (C∗)n defined by a generic system (1) is nonempty if and onlyif the k-tuple of Newton polyhedra ∆1, . . . ,∆k is independent (inthe sense of Definition 2).

According to the Newton polyhedra theory all natural discrete

27

invariants of the variety X defined by a generic system (1) dependonly on ∆1, . . . ,∆k (and are independent of a choice of supportsA1, . . . , Ak whose convex hulls are ∆1, . . . ,∆k and of a choice ofgeneric k-tuple of Laurent polynomials with these supports).

We compute the number of irreducible components of the alge-braic variety X defined by a generic system (1). Our results (seetheorem 1-3) generalize the famous Bernstein-Kouchnirenko theo-rem (see its statement below). This amazing theorem inspired muchactivity that eventually lead to the creation of the Newton polyhedratheory, of a birationally invariant version of the intersection theoryfor divisors [3] and of the theory of Newton-Okounkov bodies [4,5].

Let L be a real m-dimensional linear space containing a fixeddiscrete additive subgroup Λ ⊂ L of rank m. One can defined theunique translation invariant integral volume on L normalized by thefollowing condition: a m-dimensional parallepiped based on vectorse1, . . . , em ∈ Λ has the integral volume one if and only if vectorse1, . . . , em form a basis in Λ.

The space Rn of characters of the torus (C∗)n is equipped withthe lattice Zn of characters, so the integral volume on Rn is well de-fined. Newton polyhedra of Laurent polynomials on the torus (C∗)n

belong to the space Rn of characters, so one can talk about theintegral volume of Newton polyhedra.

Th e o r em (Bernstein-Koushnerenko, 1975). For k = n

the variety X defined by a generic system (1) is a finite set contain-ing n!V (∆1, . . . ,∆n) points where V (., . . . , .) is the mixed volumeassociated with the integral volume on Rn.

The David Bernstein theorem follows from the Bernstein-Koushni-renko theorem and from a Minkowsky theorem state below (its proofcan be found in [7]).

28

Th e o r em (Minkowsky). A given n-tuple of convex bodiesin Rn has the mixed volume equal to zero if and only if the n-tupleof convex bodies is dependent.

If k = n then the variety X is zero dimensional and number ofits irreducible components is equal to the number of points in X.Let us drop the assumption that k = n. One can assume that thek-tuple of Newton polyhedra ∆1, . . . ,∆k is independent: otherwiseaccording to the David Bernstein theorem the variety X defined bya generic system (1) is empty.

Th e o r em 1 ([7]). If for the k-tuple of Newton polyhedra∆1, . . . ,∆k the defect d(J) of each nonempty subset J ⊂ 1, . . . , kis positive then the algebraic variety X defined by a generic system(1) is irreducible.

The theorem 1 generalizes the following previously know result.

Th e o r em 1’ ([2]). If all Newton polyhedra ∆1, . . . ,∆k havedimension n and k < n then the algebraic variety X is irreducible.

Our proof of the theorem 1 (see [7]) is based on toric technique,including toric resolution of singularities of toric varieties and com-putations of cohomologies of invariant linear bundles on toric vari-eties. Very similar arguments allow to compute the arithmetic genusof X. For zero dimensional varieties X it implies the Bernstein-Koushnirenko theorem (see [1,2]).

Let J = i1, . . . , ip ⊂ 1, . . . , k be a biggest with respect to in-clusion subset among all nonempty subsets with zero defect. Denoteby ∆J the polyhedron ∆J =

∑i∈J ∆i. Let LJ ⊂ Rn be the linear

space parallel to the smallest affine subspace containing the poly-hedron ∆J . Consider the p-tuple ∆i1 , . . . ,∆ip of Newton polyhedra(where i1, . . . , ip = J). Polyhedra ∆ij for ij ∈ J can be shiftedby parallel translation into the space LJ . Thus the mixed volume

29

V (∆i1 , . . . ,∆ip) with respect to the integral volume on LJ is welldefined.

Th e o r em 2 ([7]). In the above notations the number b0(X)

of the irreducible components of X is equal to p!V (∆i1 , . . . ,∆ip).

The theorem 2 could be easily reduced to the theorem 1 (see [7]).

Co r o l l a r y. The variety X is irreducible only in the followingcases: 1) the k-tuple ∆1, . . . ,∆k of Newton polyhedra is independent(see theorem 1); 2) the number p!V (∆i1 , . . . ,∆ip) (see theorem 2) isequal to one.

Remark 1. Because of the corollary 1 the following question isimportant for us: is it possible to classify geometrically all p-tuplesof integral polyhedra in p-dimensional space whose integral mixedvolume multiplied by p! is equal to one? The answer on this questionis positive. Such classification is described in [6].

With the rational p-dimensional space LJ ⊂ Rn one can associatethe subtorus Tm of dimension m = n− p in the torus (C∗)n, definedby the following condition: g ∈ Tm if and only if χ(q) = 1 foreach character χ whose power belongs to the lattice Zn

∩LJ . The

embedding π : Tm → (C∗)n induces t he linear map π∗ : Rn →Rm from the space Rn of characters on (C∗)n to the space Rm ofcharacters on Tm. With each polyhedron with integral vertices ∆ ⊂Rn one can associate the polyhedron with integral vertices π∗(∆) ⊂Rm.

Th e o r em 3 ([7]). In the assumptions of the theorem 2 eachirreducible component of the variety X is isomorphic to a vari-ety Y ⊂ Tm defined by a system Qq1 = · · · = Qqm = 0 whereq1, . . . , qm = 1, . . . , k\J and Qq1 , . . . , Qqm is a genericm-tuple ofLaurent polynomials with Newton polyhedra π∗(∆q1), . . . , π

∗(∆qm).

Our proof of the theorem 3 is based on a simple explicit con-

30

struction (see [7]).Remark 2. The theorem 2 computes the number b0(X) of irre-

ducible components of X and the theorem 3 allows to compute allnatural discrete invariants of each component of X (each such invari-ant takes the same value at all components of X). Indeed, accordingto the Newton polyhedra theory all natural discrete invariants of Ycan be computed in terms of Newton polyhedra π∗(∆q1), . . . , π

∗(∆qm).

[1] A. Khovanskii, “Newton polyhedra, and toroidal varieties”, Funct.Anal. Appl., 11:4 (1978), 289–296 .

[2] A. Khovanskii, “Newton Polyhedra and the genus of complete inter-sections”, Funct. Anal. Appl., 12:1 (1978), 38–46.

[3] A. Khovanskii, K. Kaveh, “Mixed volume and an extension of inter-section theory of divisors”, MMJ, 10:2 (2010), 343–375.

[4] A. Khovanskii, K. Kaveh, “Newton-Okounkov convex bodies, semi-groups of integral points, graded algebras and intersection theory”,Annals of Math., 176:2 (2012), 925–978.

[5] R. Lazarsfeld, M. Mustata, “Convex bodies associated to linear series”,Ann. de l’ENS, 42:5 (2009), 783–835.

[6] A. Esterov, G. Gusev, “Systems of equations with a single solution”,arXiv:1211.6763v2, 2012.

[7] A. Khovanskii, “Newton polyhedra and irreducible components ofcomplete intersections”, To appear in Izvestiya RAN, seria matem-atichtskaia, 2015.

INTEGRABILITY PROPERTIES OF NLS TYPEEQUATIONS VIA DARBOUX TRANSFORMATIONS,

AND RELATED YANG-BAXTER MAPS

S. Konstantinou-Rizos (Chechen State University, Grozny)

Darboux transformations constitute a very important tool in thetheory of integrable systems. They map trivial solutions of inte-grable partial differential equations to non-trivial ones and they link

31

the former to discrete integrable systems. On the other hand, theycan be used to construct Yang-Baxter maps which can be restrictedto completely integrable maps (in the Liouville sense) on invariantleaves.

In this talk we present Darboux transformations related to par-ticular Lax operators of NLS type which are invariant under theaction of the so-called reduction group. Specifically, we considerthe cases of: 1) the nonlinear Schrodinger equation (with no reduc-tion), 2) the derivative nonlinear Schrodinger equation, where thecorresponding Lax operator is invariant under the action of the Z2-reduction group and 3) a deformation of the derivative nonlinearSchrodinger equation, associated to a Lax operator invariant underthe action of the dihedral reduction group. These reduction groupscorrespond to recent classification results of automorphic Lie alge-bras.

We derive Darboux matrices for all the above cases and we usethem to construct novel discrete integrable systems together withtheir Lax representations [2]. For these systems of difference equa-tions, we discuss the initial value problem and, moreover, we con-sider their integrable reductions [2]. Furthermore, the derivation ofthe Darboux matrices gives rise to many interesting objects, suchas Backlund transformations for the corresponding partial differen-tial equations as well as symmetries and conservation laws of theirassociated systems of difference equations [2].

Finally, we employ these Darboux matrices to construct six-dimensional Yang-Baxter maps for all the afore-mentioned cases [1].These maps can be restricted to four-dimensional Yang-Baxter mapson invariant leaves, which are completely integrable [1].

[1] S. Konstantinou-Rizos and A. V. Mikhailov, “Darboux transforma-

32

tions, finite reduction groups and related Yang-Baxter maps”, J. Phys.A.: Math. Theor., 46 (2013), 425201, 16.

[2] S. Konstantinou-Rizos, A. V. Mikhailov and P. Xenitidis, “Reductiongroups and integrable difference systems of NLS type”, accepted forpublication to J.Math.Phys, (2015).

ON A MAXIMAL TORUS WHICH ACTS ONA GKM-MANIFOLD

S. Kuroki (Graduate School of Mathematical Sciences TheUniversity of Tokyo, Tokyo)

An (m,n)-type GKM manifold is a 2m-dimensional compact, con-nected, almost complex manifold M with an n-dimensional torus T -action preserving the almost complex structure, whose one-skelton(i.e., the set of all elements whose orbit dimension is less than orequal to 1) has the structure of a graph; we often denote it as (M,T ),where n ≤ m. By using the orbit space of the one-skelton of (M,T )

and the tangential representations around fixed points, we can ob-tain a labeled graph called a GKM graph, say (Γ,A,∇).

Abstractly (without (M,T )), a GKM graph (Γ,A,∇) is definedas follows. The abstract graph Γ = (V (Γ), E(Γ)) is an m-valentgraph, i.e., the number of the set of all outgoing edges from everyp ∈ V (Γ), say Ep(Γ), is exactly m. The label A : E(Γ) → H2(BT n)

on edges is defined by a function which satisfies the following threeconditions:

(1) A(e) = −A(e) (where e is the edge e with the reversed orienta-tion);

(2) for every p ∈ V (Γ), the set A(Ep(Γ)) is pairwise linearly inde-pendent, i.e., each pair of ielements is linearly independent inH2(BT );

33

(3) for all e ∈ E(Γ), there exists a bijective map ∇e : Ei(e)(Γ) →Et(e)(Γ) (where i(e) is the initial vertex of e and t(e) is itsterminal vertex) such that

1. ∇e = ∇−1e ,

2. ∇e(e) = e, and

3. for each e′ ∈ Ei(e)(Γ), there exists an integer ce(e′) suchthat

A(∇e(e′))−A(e′) = ce(e

′)A(e) ∈ H2(BT ). (1)

The collection ∇ = ∇e | e ∈ E(Γ) is called a connection on thelabelled graph (Γ,A). We denote the labelled graph with connectionas (Γ,A,∇), and call it a(n) (abstract) (m,n)-type GKM graph. Inthis talk, we consider only GKM graphs with the following condition,called an effectiveness:

(4) for each p ∈ V (Γ), the set A(Ep(Γ)) spans H2(BT ).

The goal of this talk is to define a free Z-module O(Γ,A,∇) on(Γ,A,∇), and introduce that its rank gives the upper bound of thedimention of the torus action which is the extension of the torusaction on a GKM manifold (M,T ). In order to define O(Γ,A,∇),we first fix an order of outgoing edges on each vertex p, i.e., we mayput Ep(Γ) as

Ep(Γ) = e1,p, . . . , em,p.

Then, we can define the free Z-module with rank m on each p,say ZEp(Γ), by regarding e1,p, . . . , em,p as the formal generator of

34

ZEp(Γ). Namely,

ZEp(Γ) := Ze1,p ⊕ · · · ⊕ Zem,p ≃ Zm.

Because an order on eachEp(Γ) is fixed, the connection∇e :Ei(e)(Γ)→Et(e)(Γ) can be written as the permutation (m×m)-matrix inducedfrom the permutation on 1, . . . ,m. We denote this permutationmatrix induced from ∇e as

Ne : ZEi(e)(Γ) → ZEt(e)(Γ) ∈ GL(m;Z).

Take an edge e ∈ E(Γ). Note that the coefficient ce(e′) in E.q. (1)may be regarded as an integer attached on every edge e′ ∈ Ei(e)(Γ)

for fixed edge e ∈ E(Γ). Therefore, the m-tuple of these coefficientson e defines the element in ZEi(e)(Γ) by

ce = (ce(e1,i(e)), . . . , ce(em,i(e))) ∈ Ze1,i(e) ⊕ · · · ⊕ Zem,i(e) ≃ Zm.

Thus we may define the function

c(Γ,A,∇) : E(Γ) → Zm by c(Γ,A,∇)(e) = ce.

Then, a free Z-module O(Γ,A,∇) is defined as the submoduleof

f : V (Γ) → Zm =⊕

p∈V (Γ)

ZEp(Γ) ≃⊕

p∈V (Γ)

Zm

which satisfies that the following relations for all e ∈ E(Γ):

Ne(f(p))− f(q) = f(q)ec(Γ,A,∇)(e) (2)

35

where i(e) = p, t(e) = q(= i(e)) and f(q)e ∈ Z is the integer ap-pearing on the edge e; note that e ∈ Ei(e) = e1,q, . . . , em,q andf(q) ∈ ZEi(e)(Γ) ≃ Zm can be written as

f(q) = (f(q)e1,q , . . . , f(q)em,q) ∈ Zm.

This module O(Γ,A,∇) is said to be an extension module of (Γ,A,∇).Now we may state our main theorem:Th e o r em 1. Let (Γ,A,∇) be an (m,n)-type GKM graph.

Then the following two statements are equivalent:

1. there is an (m,k)-type GKM graph (Γ, A,∇) extending the(Γ,A,∇) for some k ≥ n, i.e., A : E(Γ) → H2(BT k) is anextension of the function A : E(Γ) → H2(BT n);

2. k ≤ rank O(Γ,A,∇)(≤ m).

In particular, if rank O(Γ,A,∇) = k, then there is an extended(m,k)-type GKM graph (Γ, A,∇) which is the maximal among ex-tensions.

From this theorem, we have the following corollary:Co r o l l a r y. Let (M2m, T n) be a GKM manifold and

(ΓM ,AM ,∇M) be its GKM graph. If rank O(ΓM ,AM ,∇M) = n,then the torus action of (M2m, T n) is the maximal effective torusaction. In other words, if there is an extended (effective) torus ac-tion (M2m, T k) of (M2m, T n), then k = n.

As an application of this result, the following fact can be proved:Th e o r em 2. The T n-action on the flag manifold F l(Cn+1) ≃

U(n + 1)/T n+1, induced from the standard multiplication of T n onthe first n coordinates of Cn+1, is the maximal effective torus action.In other words, there are no effective T n+1-actions on F l(Cn+1) ex-tending this T n-action.

36

This result may be regarded as the generalization of Shunji Taku-ma’s result.

[1] M. Goresky, R. Kottwitz and R. MacPherson, “Equivariant cohomol-ogy, Koszul duality, and the localization theorem”, Invent. Math., 131(1998), 25–83.

[2] V. Guillemin and C. Zara, “One-skeleta, Betti numbers, and equiv-ariant cohomology”, Duke Math. J., 107:2 (2001), 283–349.

[3] S. Kuroki, “An obstruction to the extension of a torus action on aGKM manifold” , in preparation.

[4] S. Takuma, “Extendability of symplectic torus actions with isolatedfixed points”, Duke Math. J., 1393 (2004), 72–78.

PROJECTIVE EMBEDDINGS OF QUASITORICMANIFOLDS

Andrey Kustarev (Higher School of Economics, Moscow)

This is a joint work with Prof. V. M. Buchstaber.

1. Moment-angle manifolds

Suppose that the polytope P = P n is defined by m inequalitiesof the form (ai, x) + bi > 0, i = 1 . . .m. P is called simple if everyface of codimension k is an intersection of exactly k facets (faces ofcodimension one). In matrix form we have APx+bP > 0, where bP ∈Rm and AP is an (m×n)-matrix of rank n. The map iP (x) = APx+

bP is an affine embedding and we have iP (P ) = iP (Rn) ∩ Rm>0. Let

ρ : Cm → Rm>0 be the map given by the formula z 7→ (|z1|2, . . . , |zn|2).

De f i n i t i o n 1. The compact set ZP = ρ−1(iP (P )) is calledthe moment-angle manifold corresponding to simple polytope P .

Th e o r em 1. (Buchstaber-Panov-Ray). ZP is an (m + n)

real-algebraic submanifold in Cm. It is given by (m − n) equations

37

of the form CP (ρ(z) − bP ) = 0, where CP is ((m − n) ×m)-matrixsuch that CPAP = 0 and rkCP = m− n. Equivalently, CP fits intothe exact sequence 0 → Rn AP−→ Rm CP−→ Rm−n → 0.

The rows of AP and columns of CP are in one-to-one correspon-dence with the facets of P .

Ex a mp l e 1. P = ∆1, AP = (1,−1)T and bP = (0, 1)T .Then iP (x) = (x, 1 − x). We may take CP = (1, 1) so that ZP =

|z1|2 + (|z2|2 − 1) = 0 = S3.Similarly for P = ∆n we have ZP = S2n+1. The manifold ZP ⊂

Cm is invariant under the standard action of torus Tm = (t1, . . . , tm),|ti| = 1. Clearly, ZP/T

m = P .

2. Quasitoric manifolds

If F1, . . . , Fm are facets of P , we let FI =∩i∈IFi and

TI = (t1, . . . , tm) ∈ Tm | tj = 1 for all j /∈ I

for a given index subset I ⊂ [1,m]. Consider an arbitrary subgroupK ⊂ Tm.

L em m a 1. K ⊂ Tm acts freely on ZP ⇔ for every F = FI ⊂P we have K ∩ TI = 1.

Clearly, in this case dimK 6 (m−n). Suppose that for the givenpolytope P there exists (m−n)-dimensional toric subgroup K ⊂ Tm

acting freely on ZP (not for any P such K exists).De f i n i t i o n 2. The smooth manifold ZP/K = M is called

a quasitoric manifold.M is equipped with an action of torus Tm/K ≃ T n. We have a

projection map π : M → M/T n = P . Since Tm/K ≃ T n, we have ashort exact sequence 1 → K → Tm → T n → 1. One can describe Kin terms of this sequence.

38

L em m a 2. Suppose Λ is an (n×m)-integer matrix definingepimorphism l : Tm → T n. Then K = ker l acts freely on ZP ⇔ forevery vertex v = FI ∈ P the matrix Λv formed by columns of Λ

from index set I has detΛv = ±1.Ex a mp l e 2. Let P = ∆n and ZP = S2n+1. We have m−n =

1. Consider

Λ =

1 . . . 0 −1... . . . ...

...0 . . . 1 −1

Then K = ker l is the diagonal subgroup. We have S2n+1/K = CP n.

Ex a mp l e 3. When AP = ΛT and bP ∈ Zm, M is a projectivenon-singular toric variety. The action of K on Cm is Hamiltonianand in this case ZP ⊂ Cm is a level set of Hamiltonian defined byK. So M = ZP/K also has a symplectic structure invariant underthe action of Tm/K = T n. The map M → M/T n = P is a momentmap.

3. Equivariant embeddings

Whitney theorem is a classical result on embeddings of manifolds:any smooth Mn can be embedded into R2n. There is an equivariantversion:

Th e o r em 2. (Mostow-Palais). Smooth manifold M with asmooth action of compact Lie group G can be equivariantly embed-ded into RN .

There is also Kodaira’s theorem on complex submanifolds ofCPN :

Th e o r em 3. (Kodaira). Let M be a compact complex man-ifold with a positive holomorphic linear bundle (in particular, thisis true, if M has a rational Kahler form). Then there exists a holo-morphic embedding M → CPN .

39

These are existence theorems: no bounds on N are provided. Inthe case of quasitoric manifolds we may use information encoded inthe polytope P and the matrix Λ to obtain stronger results.

Here is our main result.Th e o r em 4. For any x ∈ H2(M,Z) there exists a T n-

equivariant map φx : M → CP q−1 s.t. φ∗x([CP q−2]∗) = x and π ×

φx : M → P × CP q−1 is a smooth embedding.The map φx is constructed explicitly and q 6 (n+1)(number of

vertices of P ). In practice, q is often smaller. If x = 0, then φx(M)

lies in some affine chart Cq−1 ⊂ CP q−1.Construction of the map φx. We have H2(M,Z) = (characters

of K), so x ∈ H2(M,Z) determines some character χ : K → S1.We construct q monomial maps φi : Cm → C of the form za11 . . . zammwhere zi = zi or zi and ai > 0. The maps φi all satisfy the conditionφi(tz) = χ(t)φi(z) for all t ∈ K. Let φ =

∏φi. Then φ : ZP → Cq

induces a map φx : (ZP/K) → CP q−1.We know from toric geometry that sometimes we do not need π

to define an embedding.Th e o r em 5. Suppose that AP = ΛT and bP ∈ Zm. Then

the map φ[bP ] is a smooth embedding of M to CP q−1.In this case all of the monomial functions φi do not contain zj’s

and therefore are holomorphic on Cm. Their coefficient vectors aredescribed explicitly: these are vertices of iP (P ) and points on edgesof iP (P ) that are next to vertices.

The author was supported by NSF grant 14-11-00414.

40

ON THE SPACE OF SECTIONS OF A LINE BUNDLEON A TOPOLOGICAL TORIC MANIFOLD

H. Kuwata (Department of Mathematics Graduate school ofscience Osaka City University, Osaka)

It is well known that the space of sections Γ(X,L) of a line bun-dle L on a toric manifold X (i.e. a compact smooth toric variety)is finite dimensional and the direct sum of Γ(X,L), with runningover isomorphism classes of line bundles over X, is isomorphic to apolynomial ring ([1]). In this talk, we discuss a generalization of thisresult to the category of topological toric manifolds, where topologi-cal toric manifolds are a topological generalization of toric manifoldsintroduced by Ishida-Fukukawa-Masuda ([2]).

[1] DavidA. Cox, “The homogeneous coordinate ring of a toric variety”,J. Algebraic Geom., 4:1 (1995), 17–50.

[2] H. Ishida, Y. Fukukawa and M. Masuda, “Topological toric manifolds”,Mosc. Math. J., 13:1 (2013), 189–190.

UNIVERSALITY OF ZETA-FUNCTIONS

A. Laurincikas (Department of Mathematics andInformatics,Vilnius University, Lithuania)

We will present some new results on the discrete universality ofthe Riemann and Hurwitz zeta-functions. The main attention willbe devoted to joint universality theorems.

41

TOPOLOGY OF SOME POLYHEDRAL PRODUCTSARISING FROM MINIMALLY NON-GOLOD

COMPLEXES

I. Yu. Limonchenko (Moscow State University, Moscow)

A simplicial complex K on m vertices and its face ring k[K] arecalled Golod (over a field k) if all Massey operations inTork[v1,...,vm](k[K], k) are trivial. This is a graded version of an origi-nal notion of a Golod local ring, introduced in homological algebra byT. Gulliksen and G. Levin [4] in 1969 as a generalization of a classof local rings with rational Poincare series studied by E. S. Golod[3]. In 2007 A. Berglund and M. Jollenbeck [1] introduced a notionof a minimally non-Golod simplicial complex, that is a non-Golodcomplex which turns into a Golod one after deleting any of its ver-tices. Since 2007 combinatorial and algebraic properties of these twoclasses of simplicial complexes K and the topology of their polyhe-dral products (X,A)K were studied intensively in toric topology byJ. Grbic, K. Iriye, D. Kishimoto, T. E. Panov, S. Theriault, J. Wuand others (see [2]).

We show that certain operations on simplicial complexes (e.g.,simplicial multiwedge, connected sum) preserve Golodness and mini-mal non-Golodness. Using this we introduce infinite families of Golodand minimally non-Golod simplicial complexes K, starting fromsome neighbourly triangulations of manifolds with few vertices, anddiscuss the topology of their polyhedral products (D2, S1)K .

The author was supported by RFBR grants nn. 14-01-31398 and14-01-92612.

[1] A. Berglund, M. Jollenbeck, “On the Golod property of Stanley–Reisner rings”, J. Algebra, 315:1 (2007), 249–273.

42

[2] V.M. Buchstaber and T. E. Panov, “Toric Topology”, Amer. Math.Soc., Providence, R.I., 2015.

[3] E. S. Golod, “On the cohomology of some local rings”, Soviet Math.Dokl., 3 (1962), 745–749 (in Russian).

[4] T.H. Gulliksen, G. Levin, “Homology of local rings”, Queen’s Pa-pers in Pure and Applied Mathematics, V. 20, Queen’s University,Kingston, Ontario, 1969.

THE ROOT SYSTEMS OF TORUS MANIFOLDS


One of the original motivation of toric geometry initiated by De-mazure was to study the automorphism group Aut(X) of a toric va-riety X. He described Aut(X) when X is complete and non-singular,by introducing a root system associated to the fan of X (see [2]). Inthis case Aut(X) is an algebraic group (of finite dimension) and theC∗-torus acting on X is a maximal torus of Aut(X).

A torus manifold M is a closed smooth manifold of even di-mension, say 2n, with an effective smooth action of a compact n-dimensional torus T having a fixed point. A complete non-singulartoric variety with the restricted compact torus action is a torus mani-fold. The torus T can be regarded as a subgroup of the group Diff(M)

of diffeomorphisms of M but Diff(M) is infinite dimensional unlikeAut(X).

In this talk I introduce a root system R(M) for a torus manifoldM and show that if there is a compact Lie subgroup G of Diff(M)

containing the T , then the root system of G must be a subsystemof R(M). This talk is based on a joint work with Shintaro Kuroki([1]).

43

[1] S. Kuroki and M. Masuda, Root systems and symmetries of torusmanifolds, arXiv:1503.05264.

[2] T. Oda, Convex Bodies and Algebraic Geometry. An Introductionto the Theory of Toric Varieties, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 15,Springer-Verlag, Berlin, 1988.

COMMUTING DIFFERENCEKRICHEVER–NOVIKOV OPERATORS

Gulnara S. Mauleshova (Novosibirsk State University,Novosibirsk),

Andrey E. Mironov (Sobolev Institute of Mathematics, SiberianBranch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk,

Novosibirsk)

We denote by Lk, Ls the difference operators of orders k = N−+

N+ and s =M− +M+, where

Lk =

N+∑j=N−

uj(n)Tj, Ls =

M+∑j=M−

vj(n)Tj, n ∈ Z,

T is the shift operator. The condition of their commutativity isequivalent to a complicated system of nonlinear difference equationson the coefficients. These equations have been studied since the be-ginning of the 20th century (see [1]). An analogue of the Burch-nall –Chaundy lemma holds. Namely, if LkLs = LsLk, then thereexists a nonzero polynomial F (z, w) such that F (Lk, Ls) = 0 [2].The polynomial F defines the spectral curve

Γ = (z, w) ∈ C2|F (z, w) = 0.

44

The spectral curve parametrizes common eigenvalues, i.e. if

Lkψ = zψ, Lsψ = wψ,

then (z, w) ∈ Γ. The dimension of the space of common eigenfunc-tions with the fixed eigenvalues is called the rank of the pair Lk, Ls

l = dimψ : Lkψ = zψ, Lsψ = wψ,

where the point (z, w) ∈ Γ is in general position.The maximal commutative ring of difference operators contain-

ing Lk and Ls is isomorphic to the ring of meromorphic functionson an algebraic spectral curve Γ with poles q1, . . . , qm ∈ Γ (see [3]).Such operators are called m-points operators. The commuting dif-ference operators of rank one were found by I. M. Krichever [2] andD. Mumford [4]. Eigenfunctions (Baker –Akhiezer functions) and co-efficients of such operators can be found explicitly with the help oftheta-functions of the Jacobi varieties of spectral curves. In the caseof l > 1 eigenfunctions cannot be found explicitly. Finding suchoperators is still an open problem. Rank two one-point operatorsat g = 1 were found in [3], operators with polynomial coefficientsamong them were obtained in [5].

In this paper we consider one-point operators of rank two L4,L4g+2 corresponding to the hyperelliptic spectral curve Γ

w2 = Fg(z) = z2g+1 + c2gz2g + c2g−1z

2g−1 + ...+ c0,

herewith

L4 =2∑

i=−2

ui(n)Ti, L4g+2 =

2g+1∑i=−(2g+1)

vi(n)Ti, u2 = v2g+1 = 1,

45

L4ψ = zψ, L4g+2ψ = wψ, ψ = ψ(n, P ), P = (z, w) ∈ Γ.

Common eigenfunctions of L4 and L4g+2 satisfy the equation

ψ(n+ 1, P ) = χ1(n, P )ψ(n− 1, P ) + χ2(n, P )ψ(n, P ),

where χ1(n, P ) and χ2(n, P ) are rational functions on Γ having 2g

simple poles, depending on n (see [3]). The function χ2(n, P ) ad-ditionally has a simple pole at q = ∞. To find L4 and L4g+2 it issufficient to find χ1 and χ2. Let σ be the holomorphic involution onΓ, σ(z, w) = σ(z,−w). The main results of this paper are Theorems1–4.

Th e o r em 1. If

χ1(n, P ) = χ1(n, σ(P )), χ2(n, P ) = −χ2(n, σ(P )),

then L4 has the form

L4 = (T + VnT−1)2 +Wn,

where

χ1 = −VnQn+1

Qn

, χ2 =w

Qn

, Qn(z) = zg+αg−1(n)zg−1+. . .+α0(n).

Functions Vn,Wn, Qn satisfy

Fg(z) =

= Qn−1Qn+1Vn +QnQn+2Vn+1 +QnQn+1(z − Vn − Vn+1 −Wn).(1)

It is a remarkable fact that (1) can be linearized. Namely, if wereplace n → n + 1 and take the difference with (1), then the resultcan be divided by Qn+1(z). Finally we obtain the linear equation on

46

Qn(z).

Co r o l l a r y 1. Functions Qn(z), Vn,Wn satisfy the equation

Qn−1Vn +Qn(z − Vn − Vn+1 −Wn)−−Qn+2(z − Vn+1 − Vn+2 −Wn+1)−Qn+3Vn+2 = 0.

At g = 1, the equation (1) allows us to express Vn,Wn via afunctional parameter γn.

Co r o l l a r y 2. The operator L4 = (T +VnT−1)2+Wn, where

Vn =F1(γn)

(γn − γn−1)(γn − γn+1), Wn = −c2 − γn − γn+1,

commutes with

L6 = T 3 + (Vn + Vn+1 + Vn+2 +Wn − γn+2)T+

+Vn(Vn−1 + Vn + Vn+1 +Wn − γn−1)T−1 + Vn−2Vn−1VnT

−3.

The spectral curve of L4, L6 is w2 = F1(z).

Theorem 1 allows us to construct the examples.

Th e o r em 2. The operator

L♯

4 = (T + (r3n3 + r2n

2 + r1n+ r0)T−1)2 + g(g + 1)r3n, r3 = 0

commutes with a difference operator L♯

4g+2.


LX4 = (T+(r1a

n+r0)T−1)2+r1(a

2g+1−ag+1−ag+1)an−g, r1, a = 0,

where a2g+1−ag+1−ag+1 = 0, commutes with a difference operatorL

X4g+2.

47


L

4 = (T + (r1 cos(n) + r0)T−1)2 − 4r1 sin(

g

2) sin(

g + 1

2) cos(n+

1

2),

r1 = 0

commutes with a difference operator L

4g+2.

[1] G. Wallenberg, “Uber die Vertauschbarkeit homogener linearer Dif-ferenzenausdrucke”, Arch. Math. Phys. bd., 15 (1909), 151–157.

[2] I.M. Krichever, “Algebraic curves and non–linear difference equa-tions”, Russian Math. Surveys, 33:4 (1978), 255–256.

[3] I.M. Krichever, S. P. Novikov, “Two-dimensional Toda lattice, com-muting difference operators, and holomorphic bundles”, Russian Math.Surveys, 58:3 (2003), 473–510.

[4] D. Mumford, “An algebro-geometric construction of commuting op-erators and of solutions to the Toda lattice equation, Korteweg–deVries equation and related non-linear equations”, Proceedings of theInternational Symposium on Algebraic Geometry (Kyoto Univ., Ky-oto, 1977), Kinokuniya, Tokyo, 1978, 115–153.

[5] A. E. Mironov, “Discrete analogues of Dixmier operators”, Sbornik:Math., 198:10 (2007), 1433–1442.

DIFFERENTIAL-DIFFERENCE ANDFINITE-DIFFERENCE INTEGRABLE SYSTEMSASSOCIATED WITH KAC-MOODY ALGEBRAS

A. Mikhailov (University of Leeds, Leeds)

We consider Lax operators for two–dimensional “periodic” Todatype systems corresponding to classical series of Kac-Moody alge-bras and G(1)

2 [1]. For these Lax operators we construct systematical-ly elementary Darboux transformations and integrable differential-difference systems (Backlund transformations). Conditions of Bianchi

48

permutability for Backlund transformations, or, more precisely, thecommutativity conditions for the Darboux transformations lead tosystems of integrable partial difference equations.

Thus, with every classical Kac-Moody Lie algebra and G(1)2 we

associate an integrable Toda type system, a pair of differential-difference systems and a partial difference system. These differential-difference systems represent Backlund transformations for the Todatype system and serve as (non-local) symmetries for the partial-difference system of equations. For some of these partial-differencesystems we have constructed local symmetries and correspondingYang-Baxter maps.

[1] V. G. Drinfeld and V. V. Sokolov, “Lie Algebras and Equations ofKorteweg-de Vries type”, J. Sov. Math., 30 (1985), 1975–2036.

SENSITIVITY FUNCTIONALS IN CONTACTPROBLEMS OF ELASTICITY THEORY

R.V. Namm (Computing Center Far East Division RussianAcademy of Sciences, Khabarovsk),

E.M. Vikhtenko (Pacific National University, Khabarovsk),G. Woo (Changwon National University, Changwon)

Sensitivity functionals arise in the construction and analysis ofduality schemes based on modified Lagrangian functionals. The con-vergence of modified duality methods leans heavily on the character-istic properties of sensitivity functionals. The lower semicontinuityis its main property. We show that the sensitivity functional corre-sponding to the variational elasticity problem with a given frictionis lower semicontinuous.

49

ON COMPUTING THE RESOLVENT KERNELS FORCARLEMAN INTEGRAL OPERATORS

Igor M. Novitskii (IAM FEB RAS, Khabarovsk)

If k is in N and B is a Banach space with norm ∥·∥B, let C(Rk, B)

denote the Banach space, with the norm

∥f∥C(Rk,B) = supx∈Rk

∥f(x)∥B ,

of all continuous functions f from Rk into B such that

lim|x|→∞

∥f(x)∥B = 0,

where | · | is the euclidian norm in Rk. A function T ∈ C (R2,C) iscalled a K0-kernel [1] if the so-called Carleman functions t, t′ : R →L2, defined via T by t(s) = T (s, ·), t′(s) = T (·, s), belong toC (R, L2), where L2 = L2(R). Let 0 < τn +∞ as n → ∞ and letPn stand for an L2 orthogonal projection defined on each f ∈ L2 byPnf = χ(−τn,τn)f . Let T |λ (resp., T n|λn) denote that K0-kernel whichinduces the Fredholm resolvent T (I−λT )−1 (resp., Tn(I−λnTn)

−1)for the integral operator T (resp., Tn = PnT ) on L2 at its regularvalue λ ∈ Π(T ) (resp., λn ∈ Π(Tn)).

Given an arbitrary sequence λn of complex numbers satisfyingλn ∈ Π(Tn) for each n and converging to some λ ∈ C, the sequenceT n|λn

(*) (all of whose terms are computed explicitly in terms of

the original K0-kernel T |0 of T , as the quotient of the first Fredholmminor and the Fredholm determinant for the corresponding Tn [2]) isnot known to converge in general. Natural questions to arise are forexample these: if the sequence (*) converges in C (R2,C), possiblyup to the extraction of a subsequence, to a function A say, whether

50

λ is necessarily a regular value for T ; and if λ turns out to belongto Π(T ), whether A = T |λ, and if not, what further connectionsbetween λn and λ guarantee the existence of the limit-relationT |λ = limn→∞ T n|λn in C (R2,C)? Similar questions can be askedconcerning the C (R, L2) sequences

tn|λn

, t′n|λn

formed by therespective Carleman functions for the resolvent kernels T n|λn (n ∈N).

The object of this talk is to discuss some old and some newresults in answering the above questions.

[1] I.M. Novitskii, “Integral representations of linear operators by smoothCarleman kernels of Mercer type”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 68:1(1994), 161–177.

[2] I.M. Novitskii, “Fredholm minors for completely continuous opera-tors”, Dal’nevost. Mat. Sb., 7 (1999), 103–122, (in Russian).

ON TORIC GENERATORS IN THE UNITARY ANDSPECIAL UNITARY BORDISM RINGS

Taras E. Panov (Moscow State University; Institute forTheoretical and Experimental Physics; Institute for InformationTransmission Problems, Russian Academy of Sciences, Moscow)

Finding geometric representatives of bordism classes is a classicalproblem on the borders of geometry and topology. The theory of bor-dism and cobordism is one of the deepest and most influential partsof algebraic topology, which experienced a spectacular developmentin the 1960s. Although the original definition of bordism, going backto Pontryagin and Thom, was very geometric, it soon became clearthat elaborate homotopy-theoretic, algebraic and number-theoretictechniques were required to obtain structural results on bordismgroups and (co)bordism rings.

51

Here we consider a family of projective toric manifolds obtainedby iterated projectivisation of sums of line bundles, starting froma complex projective space. Such iterated projectivisations are alsoknown as generalised Bott manifolds. Our first result (Theorem 1)shows that the complex bordism ring ΩU can be generated by themost simple nontrivial 2-stage projectivisations: manifoldsL(n1, n2) = CP (ξ), where ξ is the sum of a tautological line bun-dle and an n2-dimensional trivial bundle over CP n1 . This new toricgenerator set is somewhat simpler than either of the set of Mil-nor hypersurfaces H(n1, n2) or Buchstaber and Ray’s toric setB(n1, n2).

Th e o r em 1. The bordism classes [L(n1, n2)] ∈ ΩU2(n1+n2)

generate the ring ΩU .

Recall that a stably complex (or unitary) manifold M is specialunitary (an SU -manifold for short) if c1(M) = 0. We proceed byproviding explicit families of quasitoric SU -manifolds which containpolynomial generators of the SU -bordism ring ΩSU ⊗ Z[1

2] (Theo-

rem 2). In fact, our quasitoric SU -manifolds are genuinely indecom-posable and indivisible elements in ΩSU (integrally, without invert-ing any prime), however ΩSU is not a polynomial ring.

Th e o r em 2. There exist quasitoric SU -manifolds M2i, i ≥ 5,with si(M

2i) = mimi−1 if i is odd and si(M2i) = 2mimi−1 if i is

even. These quasitoric manifolds represent polynomial generators ofthe ring ΩSU ⊗ Z[1

2].

Characteristic numbers of SU -manifolds satisfy intricate divis-ibility conditions. Ochanine’s theorem asserting that the signatureof a 8k + 4-dimensional SU -manifold is divisible by 16 is one of themost famous examples. We therefore find it quite miraculous thatpolynomial generators for the SU -bordism ring ΩSU occur within

52

the most basic families of examples that one can produce using toricmethods: 2-stage complex projectivisations, and 3-stage projectivi-sations with the first stage being just CP 1. The proof of Theorem 2involves calculating the characteristic numbers and checking variousdivisibility conditions. We use both classical and more recent resultson binomial coefficients modulo a prime.

This is a joint work with Zhi Lu (Fudan University, China).Supported by the Russian Science Foundation (project no. 14-

11-00414)

[1] Zhi Lu and Taras Panov, “On toric generators in the unitary andspecial unitary bordism rings”, Preprint (2014), arXiv:1412.5084.

COHOMOLOGICAL DIMENSIONS OF POINTED CHUSPACES

A.G. Sukhonos (IAM FEB RAS, Vladivostok)

A triple A = (A⋆, r,X⋆), where r : A⋆×X⋆ −→ Σ⋆ is a mappingof pointed sets, such that a⋆ ∈ A⋆, x⋆ ∈ X⋆, σ⋆ ∈ Σ⋆ — basepointand r(a⋆, x) = r(a, x⋆) = σ⋆ for all a ∈ A⋆, x ∈ X⋆ is called aPointed Chu space over the alphabet Σ⋆. Pointed Chu spaces andtheir homomorphisms consitute a category, which we will denote byChuΣ⋆ .

We study the Aleksandrov–Cech cohomology and Grothendieckcohomology on Pointed Chu spaces.

Suppose that (A⋆, X⋆) is a normal Pointed Chu space, τ is theGrothendieck X⋆-topology on 2A

⋆ , a ∈ 2A⋆ , Sτ is the category of

abelian τ -sheaves on 2A⋆ , and α = ai ≤ a | i ∈ I is a family of

elements. The functors Γτ,a, Γτ,α, and Γτ,a,α : Sτ → Ab are defined

53

as follows: Γτ,a(A) = A(a), Γτ,α(A) = H0(α,A) and Γτ,a,α(A) =

kerA(a) → H0(α,A).Define the Grothendieck cohomology Hn

τ (a,A), Hnτ (α,A), and

Hnτ (a, α,A) with coefficients in an abelian presheaf A as the values

at the τ -sheaf defined by A of the nth right derived functors RnΓτ,a,RnΓτ,α, and RnΓτ,a,α. Namely,Hn

τ (a,A) = (RnΓτ,a)(Sτ (A)),Hnτ (α,A) =

(RnΓτ,α)(Sτ (A)) andHnτ (a, α,A) = (RnΓτ,a,α)(Sτ (A)), where Sτ (A)

is the τ -sheaf generated by A.The Aleksandrov–Cech cohomologies Hn(α,A) and Hn

τ (a,A) aredefined similarly to the case of topological spaces.

It is proved that the Aleksandrov–Cech cohomology is isomorphicto the Grothendieck cohomology.

We consider the problems of the cohomological characterizationof the dimension of a Pointed Chu space.

[1] E. E. Skurikhin and A. G. Sukhonos, “Grothendieck topologies on Chuspaces”, Siberian Adv. Math., 19:3 (2009), 192–210.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Е. Г. Агапова (ТОГУ, Хабаровск)

Несмотря на значительное число публикаций, посвященныхтеории нелинейных вырождающихся параболических уравнений,нет общих методов доказательства существования, единственно-сти решения краевых задач для подобных уравнений. Одним изфакторов, определяющих сложность проблемы, является нели-нейность в главной части дифференциального уравнения в част-ных производных и его вырождение не на заданных многообра-зиях, а на решении, которое само неизвестно. Рассмотрим тре-

54

тью краевую задачу: найти функцию u(x, t), удовлетворяющуюуравнению:

∂

∂t[|2u+1|1/2(2u+1)]− ∂2u

∂x2= f, x ∈ (0, 1), 0 < t ≤ T <∞, (1)

и условиям

∂u(0, t)

∂x+ ku(0, t) = 0,

∂u(1, t)

∂x+ ku(1, t) = 0,

k > C = const > 0,

(2)

u(x, 0) = u0(x), x ∈ (0, 1). (3)

В общем случае решение существует в обобщенном смысле [1,2]. Уравнение (1) является нелинейным и вырождающимся припроизводной по времени; к подобным уравнениям классическиеметоды не применимы. Решение задачи (1)–(3) приближеннымметодом при различных входных и начальных данных имеет по-рядок погрешности 10−3, что говорит об эффективности пред-лагаемого приближенного метода и о достаточной адекватностипостроенной разностной схемы исходной задаче. Из сравненияполученных результатов наблюдается скачок в начальный мо-мент времени в зависимости от начальных условий и затуханиес течением времени.

[1] Е. Г. Агапова, А. Г. Подгаев, “Разрешимость нелинейного с вырож-дением при производной по времени на решении уравнения теп-лопроводности в классах неограниченных функций”, ДАН, 382:3(2002), 1–3.

[2] Е. Г. Агапова, “Разрешимость нелинейного с вырождением припроизводной по времени на решении уравнения теплопроводностив классах неограниченных функций”, Дальневосточный матема-тический журнал, 7:(1–2) (2007), 3–16.

55

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХМАСКИРОВКИ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ НА

ОСНОВЕ ВОЛНОВОГО ОБТЕКАНИЯ

Г.В. Алексеев (ИПМ ДВО РАН, ДВФУ, Владивосток),Т.М. Кукина (ДВФУ, Владивосток),О. С. Ларькина (ДВФУ, Владивосток)

В докладе рассматриваются задачи маскировки материаль-ных тел от их обнаружения с помощью электромагнитной и аку-стической локации на основе метода волнового обтекания. Дает-ся краткий обзор ряда методов маскировки и результатов ре-шения задач маскировки, полученных с помощью этих методов.Развивается приближенный метод маскировки, основанный наиспользовании оптимизационного метода.

Сущность данного метода состоит во введении определенно-го функционала качества, адекватно отвечающего рассматрива-емой обратной задаче маскировки, и последующем сведении еек задаче нахождения минимума введенного функционала каче-ства. В качестве управлений выбираются неизвестные физиче-ские параметры среды или границы, входящие коэффициента-ми в дифференциальные уравнения рассматриваемых моделейили в импедансное граничное условие. Роль указанного функци-онала качества играет средне-квадратичная норма рассеянногоакустического поля. Если, в частности, на решении экстремаль-ной задачи указанный функционал обращается в нуль, то этоэквивалентно равенству нулю рассеянного акустического поля.Последнее может означать, что указанный объект невозможнообнаружить с помощью локации. Для решения так сформули-рованной задачи управления применяются хорошо разработан-ные к настоящему времени методы решения экстремальных за-

56

дач. Важно отметить, что данный метод применим для решениязадач, возникающих как при использовании пассивных средствмаскировки, так и в случае смешанного метода маскировки, ос-нованного на совместном использовании пассивных и активныхсредств маскировки. Более детально о данном методе можнопрочитать [1–2].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российскогофонда фундаментальных исследований (код проекта 13-01-00313-a).

[1] G.V. Alekseev, “Cloaking via impedance boundary condition for the2-D Helmholtz equation”, Appl. Anal., 93 (2014), 254–268.

[2] Г. В. Алексеев, “Оценки устойчивости в задаче маскировки мате-риальных тел для уравнений Максвелла”, Журн. вычисл. матем.матем. физ., 54 (2014), 1863–1878.

КОНЕЧНОМЕРНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ СЗАДАННОЙ СКОРОСТЬЮ ДВУМЕРНЫМ

ПОТОКОМ ВЯЗКОГО ГАЗА

Е.В. Амосова (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Одним из важных направлений исследований системы урав-нений, описывающих движения вязкого газа, являются вопросыкачественной теории, включая анализ равномерных по t свойстврешений и поведения решений при t → ∞. Соответствующиерезультаты имеют особый интерес, когда они получены «в боль-шом» по данным.

Будем предполагать, что газ заполняет ограниченную областьQ = Ω× (0, T ), T > 0, Ω ⊂ R2 с границей класса C2 и его состо-яние характеризуется распределением плотности и поля скоро-стей, которые удовлетворяют следующим уравнениям:

57

ρt + div (uρ) = 0, ut + (u · ∇)u = τ(x, t) + f(x), (1)

где τ(x, t) = µ∆u+(λ+µ)∇div u−c2∇(ργ), λ, µ — коэффициен-ты динамической и объемной вязкости, γ — показатель адиаба-ты, γ ≥ 1. Уравнения (1) дополняются краевыми и начальнымиусловиями:

u|∂Ω×(0,T ) = 0; ρ|t=0 = ρ0(x), u|t=0 = u0(x), x ∈ Ω. (2)

Пусть распределения плотности ρs ∈ L2γ(Ω) и поля скоростейus ∈ H1

0 (Ω) являются стационарным решением задачи (1)–(2),то есть

div (usρs) = 0, (us·∇)us = µ∆us+(λ+µ)∇div us−c2∇(ργs )+f(x),

us|∂Ω = 0, и пара (ρs;us) является неустойчивой особой точкойдинамической системы, порождаемой эволюционными уравнени-ями (1) в пространстве L2(Ω). Задача стабилизации заключаетсяв следующем. Для заданного σ > 0 требуется найти операторуправления с обратной связью S(·, t) : L2(Ω) 7→ L2(Ω) размер-ность образа которого зависит от стабилизируемого стационар-ного решения и предписанной скорости стабилизации, причемобраз оператора S(·, t) лежит в шаре заданного радиуса и такой,что решение задачи для замкнутой системы

ρt + div (uρ) = 0, ut + (u · ∇)u = τ(x, t) + f(x) + S(·, t) = 0

при t > 0 сходится к (ρs;us) с заданной скоростью σ:

∥ρ(t)− ρs∥ ≤ C1e−σt, ∥u(t)− us∥ ≤ C2e

−σt при t→ ∞,

если норма ∥u0 − us∥H10 (Ω) достаточно мала, а ρ0 = ρs.

58

О МНОГОМЕРНЫХ СПЕКТРАХ ЛАГРАНЖА ИДИРИХЛE

Р.К. Ахунжанов (Астраханский государственныйуниверситет, Астрахань)

Одномерным спектром Лагранжа называется множество

L =

λ ∈ R | ∃v ∈ R : lim inf

q→∞q||qv|| = λ

.

Хорошо известно, что дискретная часть спектра Лагранжа со-держит последовательность

1√5,

1

2√2,

5√221

,13√1517

, . . .

которая сходится к 13. Также известно, что спектр Лагранжа со-

держит некоторый отрезок [0, λ∗], который называют лучом Хол-ла (Холл первый доказал, что λ∗ > 0).

Определим s-мерный спектр Лагранжа

Ls =

λ ∈ R | ∃v ∈ Rs : lim inf

q→∞q1/s max

16i6s||qvi|| = λ

.

Одномерным спектром Дирихле называется множество

D =

λ ∈ R | ∃v ∈ R : lim sup

t→∞t · min

16q6t||qv|| = λ

.

Структура одномерного спектра Дирихле изучалась многимиматематиками. В частности D ⊂ [1/2+1/2

√5, 1] и существует так

называемая “дискретная часть спектра”. Кроме того известно,что [d∗, 1] ⊂ D для некоторого d∗ < 1.

59

Определим s-мерный спектр Дирихле в евклидовой норме

Ds =

λ ∈ R | ∃v ∈ Rs : lim supt→∞

t · min16q6t

(s∑

i=1

||qvi||2)s/2

= λ

.

Те о р е м а I(2013). Пусть 0 < t < T , тогда

Ls

∩[t, t(1 +B · t1+1/s)

]=Ø,

где константы T > 0 и B > 0 зависят только от размерности s.Те о р е м а II(2013).

D2 =

[0,

2√3

].

МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХЧИСЕЛ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХЧИСЕЛ, ДИСКРИМИНАНТОВ И РЕЗУЛЬТАНТОВ

В.И. Берник (Институт математики НАН Беларуси,Минск)

В 30-ых годах прошлого века К. Малер и Ф. Коксма предло-жили две классификации действительных и комплексных чисел.В классификации Малера число γ ∈ R относилось к одному изчетырех типов в зависимости от значений целочисленных мно-гочленов P (x) в точке γ. В классификации Коксма во главу угластавилось значение |γ − α|, где α — алгебраическое число степе-ни degα = n с высотой минимального многочлена H = H(α). Всередине 60-ых годов В. Г. Спринджук решил центральную про-блему классификации Малера [1]. Он доказал, что для любого

60

ϵ > 0 мера Лебега множества тех x ∈ R, для которых неравен-ство

|P (x)| < H(P )−n−ϵ (1)

имеет бесконечное число решений в целочисленных многочленахP (x) = anx

n + . . . + a1x + a0, H = H(P ) = max0≤j≤n

|aj|, равна ну-

лю. В конце 20-го века задача о разрешимости неравенства вида(1) была доведена до уровня теоремы Хинчина о приближениидействительных чисел рациональными числами. Пусть Ψ(x) —монотонно убывающая функция положительного аргумента x,Ln(Ψ) — множество точек x из некоторого интервала I с меройЛебега µI, для которого неравенство

|P (x)| < H−n+1Ψ(H) (2)

имеет бесконечно много решений в многочленах P (x) ∈ Z[x].Тогда

µLn(Ψ) =

0,

∞∑H=1

Ψ(H) <∞,

µI,∞∑

H=1

Ψ(H) = ∞.

Случай сходимости ряда∞∑

H=1

Ψ(H) был рассмотрен в [2], а

расходимости в [3]. Несколько ранее этих работ в статье [4] А. Бей-кер и В. Шмидт ввели понятие регулярной системы и доказали,что действительные алгебраические числа образуют регулярнуюсистему. Это принципиально важный результат, так как недавноД. Коледа [5] доказал, что алгебраические числа распределенынеравномерно.

В последние годы неравенства (1) и (2) изучаются в классах

61

полиномов

Pn(Q) = P (x) ∈ Z[x], degP ≤ n,H(P ) ≤ Q,

определенных для достаточно больших натуральных чисел Q.Было установлено, что для “большинства” значений x ∈ I нимногочлен P (x) ∈ Pn(Q), ни одна из его производных не мо-гут принимать значения сильно отличающиеся от тех, которыеполучаются при применении принципа Дирихле к неравенствамвида (1) и (2).

Те о р е м а 1. [6] Обозначим через B1(δ0, c0) множество то-чек некоторого интервала I, для которых система неравенств

δ0Q−v0 < |P (x)| < c0Q

−v0 ,

δ0Q−vj < |P (j)(x)| < c0Q

−vj , 1 ≤ j ≤ m < n,

δ0Q < |P (j)(x)| < c0Q, m+ 1 ≤ j ≤ n,

имеет решение в полиномах P (x) ∈ Pn(Q), −1 ≤ vj, 0 ≤ j ≤ m,v0 + v1 + . . . + vm = n − m. Тогда существуют такие величины(δ0, c0), что

µB1(δ0, c0) >3

4µI.

На основании теоремы 1 можно за счет выбора величин vj,0 ≤ j ≤ m получить информацию о распределении корней α1,α2, . . . , αm+1 в окрестности точки x ∈ B1(δ0, c0) и доказать рядтеорем о распределении как самих алгебраических чисел, так иразличных функций, определенных на корнях полиномов P (x) ∈Pn(Q).

Те о р е м а 2. [10] Существует не менее, чем c1(n)Qn+13 по-

линомов P (x) ∈ Pn(Q), для пары (α1, α2) корней которых вы-

62

полняется неравенство |α1 − α2| < c2(n)Q−n+1

3 .Те о р е м а 3. Обозначим через Pn(Q, u) ∈ Pn(Q) множе-

ство полиномов, дискриминанты которых удовлетворяют нера-венству 1 ≤ |D(P )| < Q2n−2−2u, 0 ≤ u ≤ n− 1. Тогда

#Pn(Q, u) > c3(n)Qn+1−n+2

nu.

Аналогичное теореме 3 утверждение выполняется для коли-чества пар полиномов из Pn(Q) с заданными результантами.

При построении регулярных систем из действительных ал-гебраичских чисел все зависимости между основными парамет-рами распределений эффективны, за исключением зависимостиот Q и длины интервала,которому принадлежат алгебраическиечисла. Вид этой зависимости — это гипотеза Я. Бюжо [7]. На ос-новании новых метрических теорем, в которых µI = Q−γ1 , γ1 > 0

удалось построить регулярные системы на интервалах I с γ1 = 1

и показать, что при γ1 > 1 существуют интервалы без алгебраи-ческих точек α, H(α) ≤ Q.

В докладе будут проанализированы методы доказательстваприведеных теорем и сформулированы гипотезы, решение ко-торых позволит получить новую информацию о распределенииалгебраических чисел.

Новые и частично находящиеся в печати результаты по темедоклада были получены автором совместно с Н.В. Будариной,А. Г. Гусаковой и Ф. Гетце.

[1] В. Г. Спринджук , Проблема Малера в метрической теории чи-сел, Минск: Наука и техника, 1967, 184 c.

[2] V. Bernik, “The exact order of approximating zero by values of integerpolynomials”, Acta Arith., 53:1 (1989), 17–28.

63

[3] V. Beresnevich, “On approximation of real numbers by real algebraicnumbers”, Acta Arith., 90:2 (1999), 97–112.

[4] A. Baker, W. Schmidt, “Diophantine approximation and Hausdorffdimension”, Proc. London Math. Soc., 21:3 (1970), 1–11.

[5] Д.В. Коледа, “Аб размеркаваннi рэчаiсных алгебраiчных лiкаудадзенай ступенi”, Доклады НАН Беларуси, 56:3 (2012), 28–33.

[6] V. Beresnevich, “Rational points near manifolds and metric Diophantineapproximation”, Ann. of Math., 175:1 (2012), 178–235.

[7] Y. Bugeaud, “Approximation by algebraic numbers”, Cambridge Tractsin Mathematics, 160, CUP, (2004), xvi + 274 p.

[8] В.И. Берник, Ф. Гетце, “Распределение действительных алгебра-ических чисел произвольной степени в коротких интервалах”, Из-вестия РАН. Cер. мат., 79:1 (2014), 21–42.

[9] V. Beresnevich, V. Bernik, F. Goetze, “The distribution of close conjugatealgebraic numbers”, Compos. Math., 146:5 (2010), 1165–1179.

[10] В.В. Бересневич, В. И. Берник, Ф. Гетце, “Совместные приближе-ния нуля целочисленным многочленом, его производной и малыезначения дискриминантов”, Доклады НАН Беларуси, 54:2 (2010),26–27.

МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬPSC-МНОГООБРАЗИЙ С ВИРТУАЛЬНО

АБЕЛЕВОЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППОЙ

Д.В. Болотов (ФТИНТ, Харьков)

Мы представляем совместный результат с А.Н. Дранишнико-вым о макроскопической размерности универсального накрытиязамкнутого PSC-многообразия (т.е. многообразия, допускающе-го метрику положительной скалярной кривизны) с виртуальноабелевой фундаментальной группой.

Напомним определение макроскопической размерности, дан-ное М. Громовым [1].

64

Опр е д е л е н и е. Макроскопическая размерность метри-ческого пространства X не превышает k, или dimmcX ≤ k, ес-ли существует k-мерный полиэдр P k и собственное непрерыв-ное отображение h : X → P k такое, что Diam(h−1(p)) ≤ ε

для некоторого ε > 0 и произвольного p ∈ P k. Скажем, чтоdimmcX = k, если k наименьшее из чисел, для которых выпол-нено dimmcX ≤ k.

Те о р е м а. Предположим, что замкнутое n-мерное PSC-многообразие M имеет виртуально абелеву фундаментальнуюгруппу π1(M) ранга r = n и неспиновое универсальное накрытие.Тогда dimmc M ≤ n − 2. Это подтверждает гипотезу Громова омакроскопической размерности PSC-многообразий.

Замечание. Для многообразий со спиновым универсальнымнакрытием теорема верна без ограничения на r (см. [2], когда M— спиновое, и [3], когда M — неспиновое

[1] M. Gromov, “Positive curvature, macroscopic dimension, spectral gapsand higher signatures”, Functional analysis on the Eve of the 21 stcentury, V. II (New Brunswick, NJ, 1993), 1–213, Progr. Math., 132,Birkhauser Boston, Boston, MA, 1996.

[2] D. Bolotov, A. Dranishnikov, “On Gromov’s scalar curvature conjecture”,Proc. AMS, 138 (2010), 1517–1524.

[3] A. Dranishnikov, “On Gromov’s positive scalar curvature conjecturefor virtual duality groups”, Journal of Topology and Analysis, 6:3(2014), 397–419.

65

КРАЕВЫЕ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МГД ПРИ

СМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ДЛЯМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Р.В. Бризицкий (ИПМ ДВО РАН, ДВФУ, Владивосток)

В ограниченной области Ω ⊂ R3 с границей ∂Ω, состоящей издвух частей Στ и Σν рассматривается краевая задача для стаци-онарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжима-емой жидкости:

ν∆u+ (u · ∇)u+∇p− rotH×H = f , divu = 0 в Ω, (1)

ν1rotH− E+ æH× u = ν1j, divH = 0, rotE = 0 в Ω, (2)

u|∂Ω = 0, H · n|Στ = q, H× n|Σν = q, E× n|Στ = k. (3)

Здесь u и H — векторы скорости и магнитного поля, E = E′/ρ0,p = p′/ρ0, где E′ — электрическое поле, p′ — давление, ρ0 = const

— плотность жидкости, æ = µ/ρ0, ν1 = 1/ρ0σ = æνm, ν и νm — по-стоянные коэффициенты кинематической и магнитной вязкости,σ — постоянная электропроводность, µ – постоянная магнитнаяпроницаемость, n — единичный вектор внешней нормали к ∂Ω, j— плотность сторонних токов, f — объемная плотность внешнихсил. Ниже на задачу (1)–(3) при заданных функциях f , j,k,q иq будем ссылаться как на задачу 1. Все величины в (1)–(3) яв-ляются размерными и записаны в системе СИ.

Доказана глобальная разрешимость задачи 1 при условияхна область Ω и ее границу Σ, не исключающих пересечения за-мыканий Στ и Σν . Глобальная разрешимость краевой задачи дляуравнений (1), (2) при однородных условиях (3) доказана в [1].

66

Для задачи 1 исследованы задачи управления, когда роль управ-ления играет функция q ∈ L2(Στ ).

[1] G. Alekseev, R. Brizitskii, “Solvability of the boundary value problemfor stationary magnetohydrodynamic equations under mixed boundaryconditions for the magnetic field”, Applied Mathematics Letters, 32(2014), 13–18.

КРАЕВЫЕ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯНЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ –

ДИФФУЗИИ – РЕАКЦИИ

Р.В. Бризицкий (ИПМ ДВО РАН, ДВФУ, Владивосток),Ж. Ю. Сарицкая (ДВФУ, Владивосток)

В ограниченной области Ω ⊂ R3 с границей Γ, рассматрива-ется краевая задача

−λ∆φ+ u · ∇φ+ kφ = f в Ω, φ = 0 на Γ. (1)

Здесь функция φ имеет смысл концентрации загрязняющего ве-щества, u — заданный вектор скорости, f — объемная плотностьвнешних источников вещества, λ — постоянный коэффициентдиффузии, функция k = k(φ) имеет смысл коэффициента реак-ции.

При достаточно общем виде нелинейной зависимости k(φ) до-казана глобальная разрешимость краевой задачи (1) и локаль-ная единственность ее решения. При доказательств использова-лись методы [1]. Для задачи (1) доказана разрешимость задачуправления, когда роль управления играет плотность источни-ков f . Отметим, что при частных случаях функции k, например,

67

k = φ2 и k = φ4 имеет место нелокальная единственность реше-ния задачи (1).

Для функции k = φ2 выведена система оптимальности и до-казана локальная единственность решения задачи управлениядля определенного функционала качества.

[1] Г. В. Алексеев, Оптимизация в стационарных задачах тепло-массопереноса и магнитной гидродинамики, Научный мир: Москва,2010.

ГЛОБАЛЬНОЕ ОБОБЩЕНИЕ АЛГОРИТМАЦЕПНОЙ ДРОБИ

А.Д. Брюно (Институт прикладной математикиим. М.В. Келдыша РАН, Москва),

А.А. Соколов (Имперский колледж, Лондон)

Пусть в n-мерном вещественном пространстве Rn заданы l

линейных и k квадратичных форм (n = l + 2k). Модули этихформ задают отображение пространства Rn в положительныйортант S = Rm

+ m-мерного вещественного пространства Rm, m =

l + k > 2. При этом целочисленная решҷтка Zn в Rn отобража-ется в некоторое множество Z в S. Замыкание выпуклой обо-лочки H множества Z\0 является многогранным множеством.Целочисленные точки из Rn, отображающиеся на границу ∂H

многогранника H, дают наилучшие диофантовы приближенияк совокупности корневых подпространств m заданных форм. Валгебраическом случае, когда заданные формы определҷннымобразом связаны с корнями многочлена степени n, доказывает-ся, что многогранник H имеет m − 1 независимый период. Этообобщение теоремы Лагранжа о периодичности цепной дроби

68

квадратичной иррациональности. По теореме Дирихле соответ-ствующее поле алгебраических чисел имеет ровно m − 1 фун-даментальных единиц. Граница ∂H многогранника H вычисля-ется стандартной программой вычисления выпуклых оболочек.Будут примеры таких вычислений для разных l и k. При l = 2

и k = 0 получаются обычные цепные дроби.

[1] А.Д. Брюно, “Обобщения цепной дроби”, Чебышевский сборник,7:3(19) (2006), 4–71.

ТОРИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ ФУЛЛЕРЕНОВ

В.М. Бухштабер (МИАН имени В.А. Стеклова, Москва),Н.Ю. Ероховец (МГУ имени М.В. Ломоносва, Москва)

В торической топологии каждому простому выпуклому n-мерному многограннику P с m гипергранями F1, . . . , Fm кано-нически сопоставляется (m+n)-мерное момент-угол многообра-зие ZP с действием тора (S1)m. Это позволяет изучать комбина-торику многогранников при помощи алгебраической топологиимомент-угол многообразий и наоборот.

R∗(P ) = Λ[u1, . . . , um]⊗ Z[v1, . . . , vm]/(uivi, v2j , vi1 . . . vik : Fi1 ∩· · · ∩ Fik = ∅), mdegui = (−1, 2i), mdegvi = (0, 2i), dui = vi,dvi = 0.

Теорема. [1] Имеем изоморфизм колецH[R∗(P )] ≃ H∗(ZP ,Z).Этот изоморфизм задает мультиградуированную структуру

в кольце H∗(ZP ). Положим β−i,2j =∑

ω⊂[m],|ω|=j β−i,2ω.

Фуллереном называется простой выпуклый трехмерный мно-гогранник, у которого все грани являются пятиугольниками ишестиугольниками (см. [3]). k-поясом называется циклическаяпоследовательность двумерных граней (Fi1 , . . . , Fik), в которой

69

поднабор граней пересекается тогда и только тогда, когда он со-стоит из двух соседних граней.

Теорема 1. [2] У фуллерена нет 3-поясов.Теорема 2. У фуллерена нет 4-поясов.Теорема 3. Фуллерен P имеет 12 + k пять-поясов: 12 поя-

сов вокруг пятиугольных граней и k поясов из шестиугольников,граничащих с соседними по противоположным сторонам. Еслиk > 0, то P состоит из k последовательных поясов шестиуголь-ников и двух «додекаэдрических шапок».

Следствие. Для фуллерена P имеем β−1,6 = β−2,8 = 0,β−3,10 = 12 + k, причем если k > 0, то фуллерен имеет вид,описанный в теореме 3. Умножение H3(ZP )⊗H3(ZP ) → H6(ZP )

тривиально.Работа выполнена при поддержке грантов Президента РФ

МК-600.2014.1 и РФФИ 14-01-00537-а и 14-01-31398-мол-а.

[1] V.M. Buchstaber, T. E. Panov, “Toric Topology”, AMS Math Surveysand Monographs, 204 (2015), 518 p.

[2] В.М. Бухштабер, Н.Ю. Ероховец, “Усечения простых многогран-ников и приложения”, Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 289 (2015),115–144 .

[3] М. Деза, М. Дютур Сикирич, М. И. Штогрин, “Фуллерены и диск-фуллерены”, УМН, 68:4(412) (2013), 69–128.

70

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ

В.А. Вербицкий (ХГАЭП, Хабаровск)

Пусть

∥f∥p =

∞∫∞

|f(x)|pdx

1/p

, 1 ≤ p <∞,

∥f∥∞ = essup|f(x)|

норма функции f в лебеговом пространстве функций Lp. Обо-значим через F (f) преобразование Фурье функци f из L1 сле-дующим образом

F (f)(x) =

∞∫∞

|f(y)|e2πixydy

,

где i — мнимая единица. Говорят, что функция m(x) являетсямультипликатором интеграла Фурье Lp, если оператор Tm опре-деленный равенством

F (Tmf)(x) = m(x)F (f)(x),

для функции f из L1∩Lp является ограниченным отображениемиз Lp в Lp.

В работе рассматривается класс функций

m(x, α, β) =sin(|x|α)

|x|βφ(x),

где α, β — вещественные числа, а φ(x) — бесконечно диффе-

71

ренцируемая функция φ(x) = 1, если |x| < 1, и φ(x) = 0, ес-ли |x| > 2. Для каждой пары значений α, β указан нтервалI = (p0, p1) такой, что для всех p из I функция m(x, α, β) яв-ляется мультипликатором интеграла Фурье Lp.

Аналогичные результаты получены для класса функций

M(x, α, β) =sin(|x|α)

|x|β(1− φ(x)).

ГРАНИЧНОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВМОДЕЛИ СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА

Г. В. Гренкин (ИПМ ДВО РАН, Владивосток),А.Ю. Чеботарев (ИПМ ДВО РАН, ДВФУ, Владивосток)

Рассматривается задача мультипликативного граничногоуправления для полустационарной модели сложного теплообме-на, в которой используется P1 приближение для уравнения пе-реноса излучения:

∂θ/∂t− a∆θ + v · ∇θ + bκa(|θ|θ3 − φ) = 0, (1)

−α∆φ+ κa(φ− |θ|θ3) = 0, x ∈ Ω, t ∈ (0, T ), (2)

a∂nθ + β(θ − θb)∣∣Γ= 0, α∂nφ+ u(φ− θ4b )

∣∣Γ= 0, θ

∣∣t=0

= θ0. (3)

Функция u(x), x ∈ Γ, играет роль управления. Требуется мини-мизировать функционал качества

J(θ, φ) = J1(θ, φ) + J2(θ|t=T ) → inf (4)

при ограничениях на управление u1(x) ≤ u(x) ≤ u2(x). ЗдесьJ1, J2 — ограниченные снизу, слабо полунепрерывные снизу и

72

дифференцируемые в соответствующих пространствах функци-оналы.

Задача (1)–(3) однозначно разрешима, при этом решение огра-ничено. Доказана разрешимость задачи управления (4). Необхо-димые условия оптимальности выводятся без явного использо-вания принципа Лагранжа. Для оптимального управления вы-полняется принцип bang-bang, т.е. оптимальное управление при-нимает либо минимальное, либо максимальное значение:

u(x) =

u1(x), ψ(x) < 0

u2(x), ψ(x) > 0,ψ(x) =

T∫0

(φ− θ4b )p2dt, x ∈ Γ.

Здесь p2(x, t) — сопряженное состояние.Для нахождения оптимального управления предложен чис-

ленный алгоритм, который является вариантом градиентногометода и обобщает метод простой итерации. Решение ищется ввиде bang-bang управления. Следующее приближение пересчи-тывается не более чем в k узлах, при этом выбираются узлы смаксимальным модулем градиента приведенного функционалакачества J(u) = J(θ(u), φ(u)). Представлены результаты вычис-лительных экспериментов.

РАВЕНСТВО ЕМКОСТИ И МОДУЛЯОБОБЩЕННОГО ПОЛИКОНДЕНСАТОРА

И. Н. Демшин (ДВФУ, Владивосток),В.А. Шлык (ДВФУ, Владивосток)

В задачах теории плоских конформных и квазиконформныхотображений наиболее эффективным оказалось использованиеконформного модуля набора семейств кривых, соединяющих со-ответствующие наборы пластин поликонденсатора [2, 4]. В. В. Асе-

73

ев и Б.Ю. Султанов [1] нашли теоретико-функциональное выра-жение этого модуля поликонденсатора через емкость данного по-ликонденсатора. Этот результат Ю. В. Дымченко и В.А. Шлык[3] распространили на весовые модуль и емкость поликонденса-тора.

В данной работе вводится конформный модуль набора се-мейств кривых, как соединяющих, так и разделяющих соответ-ствующие наборы пластин плоского поликонденсатора.

Затем, модифицируя приемы из [3] применительно к семей-ству кривых, разделяющих пластины поликонденсатора, уста-навливаем равенство модуля поликонденсатора и его емкости внашем случае.

[1] В.В. Асеев, Б.Ю. Султанов, Модули поликонденсаторов и изо-морфизмы пространств следов непрерывных фунций класса W 1

n ,Новосибирск, 1989, препринт 31 /АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-тматематики.

[2] Дж. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отобра-жения, М.: ИЛ, 1962, 268 c.

[3] Ю.В. Дымченко, В. А. Шлык, “Некоторые свойства емкости имодуля поликонденсатора и устранимые множества”, Аналити-ческая теория чисел и теория функций. 26. (Зап. научн. семин.ПОМИ), 392 (2011), 84–94.

[4] Г. В. Кузьмина, “Модули семейств кривых и квадратичные диф-ференциалы”, Тр. Института математики АН СССР. Ленин-градское отделение., 139 (1980), 1–216.

74

ПРИВЕДЕННЫЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСТОВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Н.М. Добровольский (ТГПУ им. Л. Н. Толстого, Тула),Н.Н. Добровольский (МБОУ СОШ 56, г. Тула)

В работе изучается вид и свойства минимальных многочле-нов остаточных дробей в разложении алгебраических чисел вцепные дроби.

Показано, что для чисто-вещественных алгебраических ир-рациональностей α степени n ≥ 2, начиная с некоторого номераm0 = m0(α), последовательность остаточных дробей αm являет-ся последовательностью приведенных алгебраических иррацио-нальностей.

Дано определение обобщенного числа Пизо, которое отлича-ется от определения чисел Пизо отсутствием требования цело-численности.

Показано, что для произвольной вещественной алгебраиче-ской иррациональности α степени n ≥ 2, начиная с некоторогономера m0 = m0(α), последовательность остаточных дробей αm

является последовательностью обобщенных чисел Пизо.Найдена асимптотическая формула для сопряженных чисел

к остаточным дробям обобщҷнных чисел Пизо. Из этой формулывытекает, что сопряженные к остаточной дроби αm концентри-руются около дроби −Qm−2

Qm−1либо в интервале радиуса O

(1

Q2m−1

)в случае чисто-вещественной алгебраической иррациональности,либо в круге такого же радиуса в общем случае вещественной ал-гебраической иррациональности, имеющей комплексные сопря-женные числа.

Установлено, что, начиная с некоторого номера m0 = m0(α),справедлива рекуррентная формула для неполных частных

75

qm разложения вещественной алгебраической иррациональностиα, выражающая qm через значения минимального многочленаfm−1(x) для остаточной дроби αm−1 и его производной в точкеqm−1.

Найдены рекуррентные формулы для нахождения минималь-ных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-рациона-льных преобразований.

[1] Н.М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, “О минимальных мно-гочленах остаточных дробей для алгебраических иррационально-стей”, Чебышевский сборник, 16:3 (2015), (в печати).

МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С

ПЕРЕКРЕСТНОЙ ДИФФУЗИЕЙ

Я. К. Дорофеев (ТОГУ, Хабаровск)

Для моделирования процессов на контакте блоков горных по-род используется система уравнений в частных производных слинейной кросс-диффузией:

∂u/∂t = u(u− a)(1− u)− v +Dv∂2v

∂x2,

∂v/∂t = ε(u− v)−Du∂2u

∂x2,

Du ≥ 0, Dv ≥ 0, ε≪ 1, a < 0, 5,

где u, v — соответственно, скорость смещения блока и скоростьволны деформации; Du, Dv — коэффициенты диффузии; a, ε —численные параметры [1], [2]. С помощью данной модели пред-лагается смоделировать распространение волн упругой дефор-мации при землетрясении. Проведены численные эксперименты

76

по системе уравнений для x ∈ [0, L], где размер среды L варьи-ровался для разных экспериментов. На границах среды выпол-нялись условия:

∂u

∂x

∣∣∣∣x=0,L

=∂v

∂x

∣∣∣∣x=0,L

= 0.

Начальные условия выбирались двух видов:

u(x, 0) = Θ(δ − x), v(x, 0) = 0

для запуска одной волны (на левом конце); и

u(x, 0) = Θ(δ − x) + Θ(x− (L− δ)), v(x, 0) = 0

для запуска двух волн с обоих концов, где Θ — функция Хеви-сайда, а δ = 2.

Проведены численные расчеты с использованием неявных раз-ностных схем и стандартной конечно-разностной аппроксима-цией. Для граничных условий использовался метод фиктивныхузлов. По результатам численного расчета получены графикифронта распространения волны при различных значениях пара-метра источника возмущения и времени. Установлена погреш-ность аппроксимации. При расчетах неустойчивость счета не на-блюдалась.

[1] R. Burridge, L. Knopoff, “Model and theoretical seismicity”, Bull.Seismol. Soc. Am., 57 (1967), 341–371.

[2] J. H. E. Cartwright, E. Hernandez-Carcia, O. Piro, “Burridge-KnopoffModels as Elastic Excitable Media”, Physical Review Letters, 79:3(1997), 527–530.

77

НОВЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРУГОВОЙСИММЕТРИЗАЦИИ В ТЕОРИИ МНОГОЛИСТНЫХ

ФУНКЦИЙ

В.Н. Дубинин (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

В работах [1]–[2] дано определение круговой симметризацииконденсаторов на римановых поверхностях, изучены свойствасимметризации и даны некоторые приложения в геометрическойтеории функций. В данном сообщении приводятся новые прило-жения этой симметризации для мероморфных в круге функций[3] и для комплексных полиномов [4].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российскогонаучного фонда (грант 14-11-00022).

[1] В.Н. Дубинин, “Новая версия круговой симметризации с прило-жениями к p-листным функциям”, Матем. сб., 203:7 (2012), 79–94.

[2] В.Н. Дубинин, “Круговая симметризация конденсаторов на ри-мановых поверхностях”, Матем. сб., 206:1 (2015), 69–96.

[3] В.Н. Дубинин, “Неравенства для модулей функций, p-листных всреднем по окружности”, Зап. научн. сем. ПОМИ., 429 (2014),44–54.

[4] В.Н. Дубинин, “Об одной экстремальной задаче для комплексныхполиномов с ограничениями на их критические значения”, Сиб.матем. журн., 55:1 (2014), 79–89.

78

РАВЕНСТВО ЕМКОСТИ И МОДУЛЯ ВСУБФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Ю. В. Дымченко (ДВФУ, Владивосток)

Равенство емкости и модуля конденсатора имеет важное зна-чение в геометрической теории функций. Оно позволяет свя-зать теоретико-функциональные и геометрические свойства мно-жеств. В случае евклидовой метрики равенство емкости и моду-ля в самых общих предположениях было доказано В.А. Шлыком[1]. В случае римановой метрики равенство было доказано в [2].

Финслеровы пространства были введены как обобщение ри-мановых многообразий на случай, когда метрика зависит не толь-ко от координат, но и от направления. Равенство емкости и моду-ля конденсатора в финслеровых пространствах в самых общихпредположениях было установлено в работе [3].

Пространства Карно-Каратеодори и субфинслеровы простран-ства отличаются от римановых и финслеровых пространств со-ответственно ограничением класса допустимых путей. Равенствоҷмкости и модуля конденсатора было установлено И. Г. Марки-ной в работе [4].

В данной работе доказано равенство емкости и модуля кон-денсатора в субфинслеровых пространствах.

[1] В.А. Шлык, “О равенстве p-емкости и p-модуля”, Сиб. мат. журн.,34:6 (1993), 216–221 .

[2] Ю.В. Дымченко, “Равенство емкости и модуля конденсатора наповерхности”, Аналитическая теория чисел и теория функций.17 (Зап. научн. семин. ПОМИ), СПб.: Наука, 276 (2001), 112–133.

[3] Ю.В. Дымченко, “Равенство емкости и модуля конденсатора в фин-слеровых пространствах”, Матем. заметки, 85:4 (2009), 594–602.

79

[4] I. Markina, “On coincidence of p-module of a family of curves andp-capacity on the Carnot group”, Rev. Mat. Iberoamericana, 19:1(2003), 143–160.

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА ДЛЯРЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ С ТРЕЩИНОЙ

А. В. Жильцов (ДВГУПС, Хабаровск),Р. В. Намм (ВЦ ДВО РАН, Хабаровск)

Рассматривается задача о равновесии мембраны, содержащейразрез, на берегах которого заданы нелинейные краевые усло-вия. В задаче полагается, что Ω ⊂ R2 — ограниченная область сдостаточно гладкой границей Γ, а γ ⊂ Ω — это трещина внутриΩ, Ωγ = Ω\γ. В области Ωγ требуется найти функцию u, такую,что:

−u = f в Ωγ, u = 0 на Γ, (1)

[u] > 0, [ux2 ] = 0, ux2 6 0, ux2 [u] = 0 на γ.

Здесь f ∈ L2(Ω) — заданная функция, описывающая давле-ние на область; ux2 =

∂u∂x2

— производная по нормали к трещине;[u] = u+ − u− — скачок функции u на γ.

Задача (1) записывается в виде задачи минимизации функ-ционала

J(v) =1

2

∫Ωγ

|∇v|2dx−∫Ωγ

fvdx→ minv∈K

, (2)

K = v ∈ H1Γ(Ωγ) : [v] > 0 п. в. на γ.

80

Доказывается выпуклость и полунепрерывность снизу функ-ционала чувствительности. На основе доказанного свойства стро-ится двойственный метод решения модельной задачи.

[1] А.М. Хлуднев, Задачи теории упругости в негладких областях,М.: Физматлит, 2010.

[2] К. Гроссман, А. А. Каплан, Нелинейное программирование на ос-нове безусловной минимизации, Новосибирск: Наука, 1981.

[3] Э.М. Вихтенко, Г. Ву, Р.В. Намм, “О сходимости метода Удзавыс модифицированным функционалом Лагранжа в вариационныхнеравенствах механики”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:8(2010), 1357–1366.

РЕШЕТКИ КОНГРУЭНЦИЙ ЦИКЛИЧЕСКИХПОЛИГОНОВ НАД МОНОИДОМ (N ;max)

М. С. Казак (ДВФУ, Владивосток)

Структура любой алгебры частично определяется строени-ем решетки конгруэнций этой алгебры. В работе [1] описанынесвязные полигоны, решетки конгруэнций которых модулярныи дистрибутивны. В данной работе рассмотрены полигоны надмоноидом (N ;max) с линейной решеткой конгруэнций, где N —множество натуральных чисел.

Напомним некоторые определения из универсальной алгеб-ры, которые можно найти в [2, 3].

Пусть S — моноид. Левым S-полигоном (или, просто, поли-гоном) SA называется множество A, на котором определено дей-ствие моноида S, причем единица S действует на A тождествен-но. Полигон SA называется циклическим, если существует a ∈ A

такой, что A = Sa.

81

Конгруэнцией θ полигона SA называется отношение эквива-лентности на множестве A такое, что

⟨a, b⟩ ∈ θ ⇒ ⟨sa, sb⟩ ∈ θ

для любых a, b ∈ A, s ∈ S.Заметим, что совокупность всех конгруэнций полигона SA

образует решетку относительно следующих операций:

θ1 ∧ θ2 = θ1 ∩ θ2,

θ1 ∨ θ2 — наименьшая конгруэнция, содержащая θ1 ∪ θ2,

где θ1, θ2 — конгруэнции полигона SA. Эту решетку будем обо-значать Con(SA).

Теорема. Если NA — циклический полигон, то решеткаCon(NA) конгруэнций полигона NA дистрибутивна.

[1] Д.О. Птахов, А. А. Степанова, “Решетки конгруэнций несвязныхполигонов”, Дальневосточный математический журнал, 13:1(2013), 107–116.

[2] M. Kilp, U. Knauer, A. V. Mikhalev, Acts and Categories, Berlin:Walter de Gruyet, 2000.

[3] Л.А. Скорняков, Элементы общей алгебры, М.: Изд-во Наука,1983.

СВОЙСТВА СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫЗАДАННОЙ ГЕНЕТИЧЕСКИМ КОДОМ

В.А. Казинец (ГОУ ВПО ДВГГУ, Хабаровск)

Обозначим через Sn симметрическую группу на множествеM = 0, 1, · · · , n−1. В работе [1] был представлен генетическийкод группы Sn.

82

Те о р е м а 1. Пусть x1, x2, · · · , xn−1 образующие элементысвободной группы G, тогда соотношения

xi+1i = e,

xixk = x1xk+1xi, i > k,

e — единичный элемент группы G. Образуют генетический кодгруппы Sn.

Данные соотношения позволяют доказать теорему о пред-ставлении элементов группы Sn через образующие xi.

Те о р е м а 2. Любой элемент группы Sn однозначно пред-ставим в виде g = xα1

1 xα22 . . . x

αn−1

n−1 , где 0 ≤ αi ≤ i.

Рассмотрим перестановку множества M , заданную стандарт-ным образом

g =

(0 1 · · · n− 1

γ0 γ1 · · · γn−1

),

и установим ee связь с представлением элементов группы в видеодночлена.

Лемма 1. Имеет место равенство

γi = (· · · ((i+ iαi)i+1 + (i+ 1)αi+1)i+2 + · · ·+ (n− 1)αn−1)n,

где (m)k — остаток от целочисленного деления m на k.

Данные леммы позволяют наложением условий на αi выде-лять подгруппы симметрической группы. Например в следую-щей теореме.

Те о р е м а 3. Элемент g = xα11 x

α22 . . . x

αn−1

n−1 принадлежит

83

подгруппе An четных подстановок тогда и только тогда, когда

n−1∑i=1

iαi ≡ 0 mod 2.

[1] В.А. Казинец, “Копредставление симметрической группы”, Даль-невосточная школа-семинар им. ак. Е.В.Золотова: тез. Докл.,Хабаровск: ТОГУ (2009), 33–35 .

[2] Г. С.М. Коксетер, У.О. Дж. Мозер, Порождающие элементы иопределяющие соотношения дискретных групп, Москва: Наука,1980, 240 с.

УПРАВЛЯЕМАЯ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ 1ВРАЩАТЕЛЬНАЯ ДИФФУЗИЯ В МУТНОЙ СРЕДЕ

Е.В. Карачанская (ТОГУ, Хабаровск)

Известно [1, 2], что вращательная диффузия частицы в трех-мерном пространстве может быть описана с помощью уравнениятипа Ланжевена, которое можно привести к виду стохастическо-го линейного дифференциального уравнения Ито вида

dv(t) = −µ(t)v(t) dt+ a(t)3∑

k=1

Bkv(t)dw(t),

где v(t) — скорость, w(t) — трехмерный винеровский процесс,функции µ(t) > 0 и a(t) — непрерывны, матрицы Bk, k = 1, 2, 3

составляют группу поворотов. Случайная скорость v(t) =(v1(t),

v2(t), v3(t))

при этом обладает является решением ОДУ [1]:

d|v(t)|2 = h(t, |v(t)|

)dt,

84

где h(t, |v(t)|

)— некоторая неслучайная функция.

Двигаясь в мутной (случайной) среде, частица сталкивает-ся со случайными препятствиями, вследствие чего ее скоростьможет существенно меняться. Если необходимо, чтобы модульскорости все же оставался постоянным, можно ввести управле-ние u(t,v(t)):

dv(t) =(−µ(t)v(t) + α(t)u(t,v(t))

)dt+

3∑k=1

Bk(t,v(t))dw(t),

которое позволит выполнить это требование, представленное ввиде v21(t) + v22(t) + v23(t) = C, C > 0, с вероятностью 1 [3].

[1] В.А. Дубко , Первый интеграл системы стохастических диффе-ренциальных уравнений : препринт, Киев: Ин-т математики АНУССР, 1978, 22 с.

[2] Е. В. Карачанская, Случайные процессы с инвариантами, Хаба-ровск: Из-во Тихоокеанского гос. ун-та, 2014, 148 с.

[3] Е. В. Карачанская, “Построение программных управлений с веро-ятностью 1 для динамической системы с пуассоновскими возму-щениями”, Вестник Тихоокеанского государственного универси-тета, 2 (21) (2011), 51–60.

МОДЕЛИРОВАНИЕРАДИАЦИОННО-КОНДУКТИВНОГО

ТЕПЛООБМЕНА В СЛОЕ

А.Е. Ковтанюк (ИПМ ДВО РАН, ДВФУ, Владивосток),В. В. Пестрецова (ДВФУ, Владивосток),

А.Ю. Чеботарев (ИПМ ДВО РАН, ДВФУ, Владивосток)

Моделирование радиационно-кондуктивного теплообмена яв-ляется важным для многих инженерных задач. Обычно этот

85

процесс описывается нелинейной системой двух дифференци-альных уравнений: уравнения переноса теплового излучения иуравнения теплопроводности [1–3]. Задача характеризуется ани-зотропным рассеянием среды и зеркальным и диффузным отра-жением границ. Используется диффузионное приближение (такназываемое P1 приближение) для упрощения модели сложно-го теплообмена. Это приближение дает хорошее описание тем-пературных полей в вычислительно сложных случаях высокихтемператур и может успешно применяться для различных задачтеплообмена, в которых не требуется высокая точность. Цельюданной работы является доказательство однозначной разреши-мости краевой задачи радиационно-кондуктивного теплообменав рассеивающем слое с отражающими границами. Предлагаемыйподход связан с нахождением неподвижной точки нелинейногооператора решения краевой задачи. На основании свойства мо-нотонности оператора решения обосновывается сходимость ите-рационного алгоритма. Проведены вычислительные эксперимен-ты, демонстрирующие эффективность предложенного алгорит-ма.

[1] A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,“The unique solvability of a complex 3D heat transfer problem”,J. Math. Anal. Appl., 409 (2014), 808–815.

[2] A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, “An iterative method for solvinga complex heat transfer problem”, Applied Math. Comput., 219 (2013),9356–9362.

[3] A. E. Kovtanyuk, A. Yu. Chebotarev, N.D. Botkin, K.-H. Hoffmann,“Solvability of P1 approximation of a conductive-radiative heat transferproblem”, Applied Math. and Comput., 249 (2014), 247–252.

86

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУМЕРНОЙЗАДАЧИ МАСКИРОВКИ НА ОСНОВЕ

ВОЛНОВОГО ОБТЕКАНИЯ

А. В. Лобанов (ИПМ ДВО РАН, Дальрыбвтуз,Владивосток),

О. Е. Дьяконова (ДВФУ, Владивосток)

Начиная с 2006 г., значительное внимание уделяется дизай-ну устройств, служащих для маскировки материальных тел [1].Нужно отметить, что решения задач маскировки обладают ря-дом недостатков. Основным недостатком является трудность тех-нической реализации полученных решений. Чтобы упростить про-блему технической реализации полученных решений, в работепредлагается заменить задачу построения точной маскировоч-ной оболочки приближенной задачей построения слабо рассеи-вающей оболочки.

В работе рассматривается задача маскировки для модели аку-стического рассеяния, описываемой 2D уравнением Гельмгольца.Доказывается ее разрешимость и выводится система оптималь-ности, описывающая необходимые условия экстремума. На ос-нове ее анализа развивается численный алгоритм. Указанныйалгоритм применяется для численного моделирования маскиро-вочных свойств оболочки, заполненной специальной средой (такназываемым PEMC-материалом, который является обобщениемPEM и PEC материалов). Целью моделирования является на-хождение набора постоянных параметров среды. Указанные па-раметры подбираются путем решения задачи минимизации ин-тегральной нормы поля [2], рассеянного искомой маскировочнойоболочкой при падении на нее плоской волны. Исследуется за-висимость решения от параметра полной проводимости (адмит-

87

танс) M , размеров оболочки, частоты падающей волны и рядадругих параметров, входящих в рассматриваемую задачу. В за-ключение обсуждаются результаты проведенных вычислитель-ных экспериментов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российскогонаучного фонда (проект 14-11-00079).

[1] J. Pendry, D. Shurig, D. Smith, “Smith D. Controlling electromagneticfields”, Science, 312 (2006), 1780–1782.


ОЦЕНКИ АППРОКСИМАТИВНЫХ ЧИСЕЛОПЕРАТОРА ХАРДИ В ПРОСТРАНСТВАХ

ЛОРЕНЦА

Е. Н. Ломакина (ХГАЭП, Хабаровск)

Поведение аппроксимативных чисел оператора Харди, дей-ствующего в весовых пространствах Лебега, изучено достаточ-но подробно и получено много обощений, но исследований дляданного оператора в классе других пространств почти не про-водилось. В работах Е.Н. Ломакиной и В.Д. Степанова [1], [2]рассмотрены ограниченность, компактность, мера некомпактно-сти и оценки аппроксимативных чисел в пространствах Лорен-ца, когда оператор T : Lrs

v (R+) → Lpqu (R+) действует при условии

1 < max(r, s) ≤ min(p, q) < ∞, и далее, уже в более общих ба-наховых функциональных пространствах удовлетворяющие ℓ−условию.

В данных исследованиях получены двусторонние оценки по-ведения аппроксимативных чисел оператора Харди и оценки норм

88

Шаттена – Неймана в новом случае, когда компактный оператор

Tf(x) =

x∫0

f(τ) dτ,

действует из пространство Лебега в пространство Лоренца T :

Lrv(R

+) → Lpqω (R+), в области 1 < p < r ≤ q < ∞. Уста-

новлена эквивалентность нормы Шаттена – Неймана оператораT : Lr

v(R+) → Lpr

ω (R+), 1 < p < r < ∞, 1 < s < ∞ интегрально-му выражению, зависящему от весовых функций оператора(∑

n

asn(T )

)1/s≈

( ∞∫0

( x∫0

v1−r′(t) dt

)s/r′( ∞∫x

ω(t) dt

)sp−1

ω(x) dx

)1/s.

[1] E. Lomakina, V. Stepanov, “On the compactness and approximationnumbers of Hardy type integral operators in Lorentz spases”, J. LondonMath. Soc., 53:2 (1996), 360–382.

[2] E. Lomakina and V. Stepanov, “On the Hardy-type integral operatorsin Banach function spaces”, Public. Matem. Universsitat Autonomade Barselona, 42 (1998), 165–194.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ

МОДЕЛИ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ

Д.В. Машков (Дальрыбвтуз, Владивосток)

В последние годы большое внимание было уделено разработ-ке и исследованию новых классов задач для моделей тепло- имассопереноса. В этой работе мы рассмотрим задачу идентифи-кации коэффициентов в дифференциальном уравнений для мо-

89

дели теплопереноса с использованием дополнительной информа-ции о решении начально-краевой задачи. Изучение этой задачиможет быть сведено к изучению соответствующей задачи экс-тремума для некоторого функционала качества [1–3].

Целью работы является создание эффективного численногоалгоритма решения коэффициентных обратных экстремальныхзадач и численный анализ оптимальных решений. Рассматрива-ется модель тепло–переноса в ограниченной области с липшице-вой границей. Исследуемая краевая задача для модели теплопе-реноса содержит ряд параметров, которые должны быть зада-ны для обеспечения единственности решения. На практике мо-гут возникать ситуации, когда некоторые из параметров неиз-вестны, и их требуется определить из измерения температурыв некоторой подобласти. Для данной задачи идентификации мыприменяем метод оптимизации и сводим решение к соответству-ющей экстремальной задаче (см [3]). Используя математическийаппарат из [3], в работе выводится система оптимальности. Этасистема имеет смысл необходимого условия экстремума первогопорядка. Она состоит из прямой задачи, сопряженной задачи ивариационного неравенства в виде принципа минимума. Осно-вываясь на системе оптимальности и методе Ньютона, в работеразрабатывается алгоритм численного решения задач иденти-фикации, исследуется сходимость и проводятся численные экс-перименты. Эксперименты показали эффективность алгоритмаи методов распараллеливания для решения задач идентифика-ции.

[1] Г.И. Марчук, Математическое моделирование в проблеме окру-жающей среды, Наука, Москва, 1982.

[2] А.А. Самарский, П. Н. Вабишевич, Численные методы реше-

90

ния обратных задач математической физики, Едиториал УРСС,Москва, 2004.

[3] Г. В. Алексеев, Д. А. Терешко, Анализ и оптимизация в гидро-динамике вязкой жидкости, Дальнаука, Владивосток, 2008.

КОПРЕДСТВЛЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКОЙГРУППЫ И ИНВЕРСИИ

В.В. Мендель (ГОУ ВПО ДВГГУ, Хабаровск)

Симметрические группы (группы всевозможных перестано-вок элементов) являются важнейшим видом групп, так как лю-бая конечная группа представима в виде подгруппы подходя-щей симметрической. Существует множество способов представ-ления этих групп, одним из которых является представление спомощью порождающих элементов и определяющих соотноше-ний. В данной работе рассматривается один из способов реализа-ции такого подхода. А именно следующее копредставление сим-метрической группы порядка n [1]

xi+1i = e, i = 1, n− 1,

xkxi = x1xi+1xk, k > i,

здесь xi = e1e2 . . . ei, а ei транспозиция соседних элементов i− 1

и i.В работе исследуется групповая операция в выбранных тер-

минах и его свойства. В процессе изучения свойств умножениявыявлена связь между представлением элемента симметриче-ской группы и его таблицей инверсий.Теорема. Если элемент симметрической группы порядка n за-дан в виде одночлена xα1

1 xα22 . . . x

αn−1

n−1 , то его таблица инверсий

91

имеет вид: (0 1 · · · n− 1

b0 b1 · · · bn−1

),

где bi =i∑

j=n−1

αjmod(j + 1), при i = 1, n− 1, b0 = 0, то есть

bn−1 = αn−1, bn−2 = (bn−1 + αn−2)mod n, · · · , b1 = (b2 + α1)mod 2.На основе этой связи описан способ перемножения элементов втерминах таблиц инверсий. Это позволяет расширить матема-тический аппарат и одновременно исследовать свойства симмет-рической группы, как с помощью выбранного копредставления,так и с помощью таблиц инверсий не прибегая к сложным вы-числениям для перехода.

[1] В.А. Казинец, “Копредставление симметрической группы”, Даль-невосточная школа-семинар им. ак. Е. В. Золотова: тез. Докл.,Хабаровск: ТОГУ (2009), 33–35.

[2] Г. С.М. Коксетер, У.О. Дж. Мозер, Порождающие элементы иопределяющие соотношения дискретных групп, Москва: Наука,1980, 240 с.

[3] В.В. Мендель, “Умножение в симметрической группе в терминахпорождающий и соотношений”, Сборник статей аспирантов истудентов ДВГГУ, (2012), 297–303.

О НЕКОТОРЫХ НЕРЕШЕННЫХ ЗАДАЧАХТЕОРИИ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Н.Г. Мощевитин (МГУ имени М.В. Ломоносва, Москва)

Мы обсудим несколько вопросов, касающихся некоторых нере-шенных задач, в-основном связанных с совместными диофанто-выми приближениями.

92

Итак, пусть α1, ..., αn суть вещественные числа, линейно неза-висимые вместе с единицей над Z. Практически вся информацияо совместных диофантовых приближениях к этим числам содер-жится в функции Ярника

ψ(t) = minq≤t,q∈Z

max1≤j≤n

||qαj||

(здесь через || · || обозначено расстояние до ближайшего целого).

В частности, мы затронем следующие задачи.

• Вычисление и оценка диофантовых констант. Известнаятеорема Гурвица утверждает, что при n = 1 для любого α1 =

α ∈ R \ Q выполнено lim inft→∞ tψ(t) ≤ 1/√5 и что константа

1/√5 точна. Каковы многомерные аналоги этого результата?

• Спектры Лагранжа, Дирихле, Минковского и их много-мерные обобщения. Мы обсудим классические и новые задачи,связанные с дискретными частями спектров L,D,M и "лучамиХолла".

• Показатели роста наилучших диофантовых приближений.Теорема Хинчина-Леви гласит, что для почти всех α1 = α зна-менатели подходящих дробей удовлетворяют асимптотическомуравенству q

1/nn ∼ π2/12 log 2, n → ∞. C другой стороны, ясно,

что всегда qn ≥(

1+√5

2

)n−1

. Мы обсудим многомерные аналогиэтих утверждений.

• Неравенства между диофантовыми экспонентами. Задачио соотношениях между показателями

ω = supγ : lim inft→∞

tγψ(t) <∞,

ω = supγ : lim supt→∞

tγψ(t) <∞,

93

рассмотренные в 30-50х годах прошлого века В. Ярником, в по-следнее десятилетие оказались очень популярными. Параметри-ческая геометрия чисел Шмидта-Зуммерера и теория Руа да-ли новый подход к старым проблемам. В завершении выступле-ния докладчик сделает попытку изложить некоторое осмысле-ние этой теории и соответствующих результатов.

ТЕОРЕМА ИСКАЖЕНИЯ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

Н.А. Павлов (ДВФУ, Владивосток)

Пусть функция f голоморфна в единичном круге U = z ∈C : |z| < 1 и удовлетворяет условию |f(z)| < 1 при z ∈ U . Точ-ка z, |z| = 1, называется неподвижной граничной точкой функ-ции f , если существует угловой предел ∠ lim

ζ→zf(ζ) = z. По лемме

Жюлиа – Вольфа существование углового предела f(z) в непо-движной граничной точке z влечет за собой существование угло-вой производной f ′(z) [1, с. 79–83]. В недавней статье [2, теорема6] получена нижняя оценка f ′(eiθ)f ′(e−iθ), зависящая от величи-ны Φ(f(0)). Здесь Φ есть дробно-линейный автоморфизм кругаU , такой, что Φ(f(0)) ∈ (0, 1), Φ(e±iθ) = e±iθ. В данной рабо-те устанавливается точное неравенство, включающее произведе-ние f ′(eiθ)f ′(e−iθ) и производную Шварца, вычисленную в точкеz = 0. Следующее утверждение получено методами теории по-тенциала [3].

Теорема. Для любой голоморфной и однолистной в кругеU функции f с неподвижными граничными точками e±iθ, θ ∈

94

(0, π) выполняется неравенство

|Sf (0)| ≤ 6

(1− |f ′(0)|2

(1− |f(0)|2)2

)− 3 log |f ′(eiθ)f ′(e−iθ)|−

− 3 log1− Φ2(f(0))

1− 2Φ(f(0)) cos θ + Φ2(f(0)).

Равенство достигается в случае тождественного отображе-ния.

Работа выполнена при финансовой поддержке РоссийскогоНаучного Фонда (проект 14-11-00022).

[1] Ch. Pommerenke, Boundary behaviour of conformal maps, Springer,1992, 299 p.

[2] A. Frolova, M. Levenshtein, D. Shoikhet, A. Vasil’ev, “Boundary distor-tion estimates for holomorphic maps”, Complex Analysis and OperatorTheory, 8:5 (2014), 1129–1149.

[3] В.Н. Дубинин, Емкости конденсаторов и симметризация в гео-метрической теории функций комплексного переменного, Влади-восток, Дальнаука, 2009, 401 c.

ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И МЕТОДЫКОМПАКТНОСТИ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ

КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХУРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С НЕМОНОТОННОЙ

НЕЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ГРАНИЦЕЙ

А.Г. Подгаев (ТОГУ, Хабаровск),К. В. Лисенков (ТОГУ, Хабаровск)

Указанными методами исследуется существование регуляр-ных решений для квазилинейных параболических уравнений в

95

нецилиндрической области с заданной границей классаW 12 в слу-

чае одной пространственной переменной [1] или с границей клас-са C2,1

x,t в многомерном случае [2]. При этом не предполагаетсямонотонность границы. Допускается вырождение уравнения нарешении.

Проекционные методы и методы компактности, хорошо раз-витые для случая цилиндрических границ, не могут без суще-ственной доработки использоваться в существенно нелинейныхзадачах в нецилиндрических областях. На основании разрабо-танных ранее и предложенных в указанных работах методов по-лучены утверждения о существовании решений квазилинейныхуравнений в таких областях.

Представлены также результаты исследования задачи Сте-фана, когда часть границы неизвестна и находится вместе с ре-шением [3].

Для случая заданной границы приближенные решения стро-ятся проекционным методом с использованием семейства проек-торов зависящих от временного параметра. Доказывается, чтонекоторый предел этих решений будет решением задачи.

Этот метод при доказательстве теорем существования прак-тически никем не использовался, поскольку отсутствовали со-ответствующие теоремы компактности, а в многомерном слу-чае еще возникали трудности с обоснованием наличия семействфункций, которые были бы базисами в пространствах W k

p (Dt)

на каждом сечении t = const нецилиндрической области и до-статочно гладкими по параметру t. Трудности оставались и приобосновании предельных переходов даже после того как такиесистемы удавалось построить. Подробное описание построениятаких систем имеется в упомянутой работе [2].

96

Для обоснования существования предела в одномерном слу-чае используются разработанные в [4], [5] и приспособленные кданным задачам методы компактности множества функций изшкалы банаховых пространств.

В случае n переменных развивается метод монотонности наслучай нецилиндрических областей.

Одномерная задача для случая монотонной границы классаW 1

2 рассматривалась в [6] .

Как и в [4] рассматривается уравнение

∂u

∂t=

∂

∂xφ(ux) + a(x, t)

∂u

∂x+ b(x, t)u,

но граница x = s(t) ∈ W 12 (0, T ) необязательно должна быть мо-

нотонной. При этом основным дополнительным условием на s(t)является предположение, что отрезок [0, T ] можно разбить на ко-нечное число интервалов, на каждом из которых s′(t) ≥ 0 почтивсюду, либо s′(t) ≤ 0 почти всюду. Случай s(T ) = 0 допустим. Вэтом случае ни одна часть границы не освобождается от краевыхусловий.

Установлены теоремы существования решений краевых задачпри допущении возможного вырождения уравнения (φ

′ ≥ 0).

В многомерном случае с границей класса C2,1x,t изучено урав-

нение

ut =n∑

i=1

∂

∂xiai(uxi

) + f

в нецилиндрической области∪

t∈(0,T )

t×Ωt = Qt. Обосновано су-

ществование и единственность решения первой начально-краевойзадачи. Показано, какие изменения можно внести в метод мо-нотонности, чтобы он “работал” в нестационарном случае неци-

97

линдрических областей (основное неравенство выводится суще-ственно более долгим путем).

[1] А. Г. Подгаев, К. В. Лисенков, “Разрешимость квазилинейного па-раболического уравнения в области с кусочно-монотонной грани-цей”, Дальневосточный математический журнал, 13:2 (2013),250–272 .

[2] А. Г. Подгаев, Н. Е. Истомина, “О методах Фаэдо – Галеркина имонотонности в нецилиндрической области для вырождающегосяквазилинейного уравнения”, Дальневосточный математическийжурнал, 14:1 (2014), 73–89.

[3] А. Г. Подгаев, “Краевые задачи и задачи управления для вырож-дающихся параболических уравнений в областях с нецилиндри-ческой или неизвестной границей”, Научное обеспечение техни-ческого и социального развития Дальневосточного региона: сб.науч. ст. к 55-летию Тихоокеан. гос. ун-та, Хабаровск: Изд-воТихоокеан. гос. ун-та, 2013.

[4] А. Г. Подгаев, “Об относительной компактности множества аб-страктных функций из шкалы банаховых пространств”, Сиб. мат.журн., 34:2 (1993), 135–137.

[5] А. Г. Подгаев, “Теоремы компактности в нестационарных областяхи некоторые их применения”, Неклассические уравнения матема-тической физики. Всероссийский научный семинар. Тезисы до-кладов. Часть I, Якутск, 2010, 15–18.

[6] К.В. Лисенков, “Проекционный метод решения задачи для квази-линейного параболического уравнения в нецилиндрической обла-сти с границей класса W 1

2 ”, Дальневосточный математическийжурнал, 12:1 (2012), 48–59 .

98

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНОГОУРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ

УСЛОВИЯМИ

Т.М. Попова (ТОГУ, Хабаровск),А. В. Козлов (ТОГУ, Хабаровск)

Исследуется вопрос о численном решении начально-краевойзадачи с разрывными граничными условиями для уравнения си-ноптических течений в океане [1 – 2]

∂∆ψ

∂t− γ∆2ψ +R

(∂ψ∂x

∂∆ψ

∂y− ∂ψ

∂y

∂∆ψ

∂x

)+∂ψ

∂x= f(x, y, t), (1)

ψ(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ Ω (2)

ψ(x, y, t) = ∆ψ(x, y, t) = 0, (x, y, t) ∈ S1,T , (3)

ψ(x, y, t) =∂ψ

∂n(x, y, t) = 0, (x, y, t) ∈ S2,T . (4)

Здесь Ω — выпуклая область в R2, ограниченная отрезками, ле-жащими на прямой y = 1, с концами в точках (0,1) и (1,1), и напрямой y = 0 с концами в точках (0,0) и (1,0), а также гладки-ми кривыми γ1 и γ2, соединяющими соответственно точки (0,0),(0,1) и (1,0), (1,1), ∂Ω — граница области Ω, Γ1 = γ1(y) ∪ γ2(y),Γ2 = ∂Ω\Γ1, Q = Ω × (0, T ) — цилиндр с боковой поверхностьюST = S1,T ∪S2,T , где S1,T = Γ1 × (0, T ), S2,T = Γ2 × (0, T ), где T —конечное число, n — внешняя нормаль к Γ2. Параметры R, γ —положительные постоянные, ψ(x, y, t) — характерная величинафункции полного потока, f(x, y, t) — функция, характеризую-щая внешние воздействия.

Обобщенное решение задачи существует [3] Для численно-го решение поставленной задачи применим метод конечных раз-ностей, который представляет решение задачи в виде сеточной

99

функции uh, с некоторой степенью точности аппроксимирующейточное решение.Построим разностные аппроксимации диффе-ренциальных операторов до четвертого порядка, и аппроксими-руем краевые условия путем сноса значений в ближайшие к гра-нице узловые точки. Практический интерес представляет оценкаблизости полученной сеточной функции к точному решению илисравнение близости двух сеточных функций между собой.

[1] Г.И. Марчук, Математические модели циркуляции в океане,Под ред. Марчука Г.И., Саркисяна С.А., М.: Наука, 1988.

[2] А.С. Саркисян, Моделирование динамики океана, Санкт-Петер-бург, Гидрометеоиздат, 1991.

[3] Т.М. Попова, “Разрешимость начально-краевой задачи уравнениясиноптических течений с разрывными граничными условиями”,Альманах современной науки и образования. Серия “Математи-ка, физика, технические науки и методика их преподавания”, 1:8(2008), 164–168.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА ОТ Н-ФУНКЦИИФОКСА

Е. Г. Прилепкина (ДВФУ, ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Пусть A = (A1, A2, ..., Ap), B = (B1, B2, ..., Bq) положитель-ные и a = (a1, ..., ap), b = (b1, ...., bq) произвольные вещественныечисла, причем

∑pi=1Ai =

∑qj=1Bj. В данной работе рассмотрим

частный случай H-функции Фокса, определяемой интегралом

Hp,0q,p

(z

∣∣∣∣∣ (B,b)(A, a)

)=

1

2πi

∫L

∏pk=1 Γ(Aks+ ak)∏qj=1 Γ(Bjs+ bj)

z−sds.

Детали выбора контура подробно изложены в теореме 1.1 кни-ги [1]. Свойства функции Фокса во многом зависят от усло-

100

вий на параметры A0 = (2π)(p−q)/2∏p

k=1Aak−1/2k

∏qj=1B

1/2−bjk , ρ =

p∏k=1

AAkk

q∏j=1

B−Bj

j , µ =q∑

j=1

bj −p∑

k=1

ak +p−q2. Хорошо известно [1],

что в случае µ > 1 существует преобразование Меллина от H-функции при ℜs > − min

1≤k≤p(ak/Ak), и

∫ ρ

0

Hp,0q,p

(x

∣∣∣∣∣ (B,b)(A, a)

)xs−1dx =


.

Нам удалось установить справедливость данного равенства идля µ > 0. Кроме этого, доказано, что при µ = −m, где m неот-рицательное целое, преобразование Меллина Н-функции такжесуществует и

ρ∫0

Hp,0q,p

(x

∣∣∣∣∣ (B,b)(A, a)

)xs−1dx =


−A0ρs

m∑k=0

lm−ksk,

где l0 = 1 и коэффициенты lr, r ≥ 1 определены рекурсионнымисоотношениями

lr =1

r

r∑t=1

qtlr−tt,

qt =(−1)t+1

t+ 1

[p∑

k=1

Bt+1(ak)

Atk

−q∑

j=1

Bt+1(bj)

Btj

],

Bt(·) полиномы Бернулли степени t порядка 1. В качестве при-ложений рассматриваются новые интегральные представлениядля функции Фокса и отношения гамма функций.

[1] A.A. Kilbas, M. Saigo, H-transforms and applications, AnalyticalMethods and Special Functions, 9, Chapman & Hall/CRC, 2004.

101

ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИКОШИ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА С ФРЕНЕЛЕВСКИМИ

УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ

И.В. Прохоров (ИПМ ДВО РАН, ДВФУ, Владивосток),А.А. Сущенко (ИПМ ДВО РАН, ДВФУ, Владивосток)

Вопросы существования, единственности и гладкости реше-ний краевых задач для стационарных и нестационарных линей-ных уравнений переноса излучения с традиционными условиямисопряжения на границах раздела сред типа непрерывной склей-ки в основном были решены во второй половине прошлого ве-ка. Теория краевых задач для уравнения переноса излучения собобщенными условиями сопряжения на границах раздела средеще не завершена и в настоящее время достаточно интенсивноразвивается. Обобщенные условия сопряжения позволяют опи-сывать различные физические эффекты на границах раздела, неучтенные в самом уравнении. В частности, френелевские усло-вия сопряжения моделируют зеркальное отражение и прелом-ление по закону Снеллиуса потока излучения на поверхностираздела двух сред.

В докладе будут представлены результаты недавней работы[1], которая является продолжением исследований [2, 3] и посвя-щена изучению краевых задач для нестационарного уравненияпереноса. В [2, 3] доказана разрешимость уравнения излучения всреде с плоско-параллельной симметрией и с оператором сопря-жения достаточно общего вида. Причем, благодаря специфиче-ской геометрии области основной результат получен без ограни-чения типа «сжатия» на оператор сопряжения.

В общем случае существует пример неединственности реше-

102

ния задачи для стационарного уравнения переноса излучения вчисто поглощающей трехмерной области с нестрого сжимающимоператором сопряжения, что в общем случае приводит к неедин-ственности решения нестационарного уравнения. Однако, дляшироко известных операторов сопряжения, к которым можноотнести френелевский оператор, единственность стационарногорешения имеет место при традиционных ограничениях на коэф-фициенты уравнения. Последнее обстоятельство позволяет пока-зать корректность задачи Коши для нестационарного уравненияпереноса с френелевскими условиями сопряжения [1]. Доказа-тельство основного утверждения строится на сведении исходнойначально-краевой задачи к абстрактной задаче Коши для эволю-ционного уравнения. Используя теорему Хилле-Иосиды, показа-но существование единственной сильно непрерывной полугруп-пы разрешающих операторов и получены условия стабилизациинестационарного решения.

[1] И.В. Прохоров, А. А. Сущенко, “О корректности задачи Кошидля уравнения переноса излучения с френелевскими условиямисопряжения”, Сибирский математический журнал, 56:3 (2015).

[2] И.В. Прохоров, “О разрешимости начально-краевой задачи дляинтегро-дифференциального уравнения”, Сибирский математи-ческий журнал, 53:2 (2012), 377–387.

[3] И.В. Прохоров, “Задача Коши для уравнения переноса излуче-ния с обобщенными условиями сопряжения”, Журнал вычисли-тельной математики и математической физики, 53:5 (2013),753–766.

103

О НЕРАВЕНСТВЕ ИЕНСЕНА

В. Я. Прудников (ТОГУ, Хабаровск)

В работах [1, 2] доказано неравенство Иенсена в идеальныхпространствах, причем подынтегральная функция является по-лунепрерывной снизу. В данной статье неравенство Иенсена при-ведено с меньшими ограничениями на подынтегральную функ-цию.

Пусть D — некотрое множество пространства Rn, Σ — σ-алгебра подмножеств D, ν — полная σ-конечная мера на Σ. Обо-значим через S(D, Σ, ν) пространство всех вещественнозначныхν-измеримых п.в. конечных функций с обычным отождествлени-ем эквивалентных функций.

Идеальным прстранством называется линейное многообразиеY ⊂ S(D, Σ, ν) такое, что из v ∈ Y, u ∈ S, |u| ≤ |v| следуетu ∈ Y [3].

Норма ∥ • ∥ на идеальном пространстве Y называется моно-тонной, если из u, v ∈ Y, |u| ≤ |v| следует ∥u∥ ≤ ∥v∥.

Банаховым идеальным пространством называется идеальноепространство, полное по монотонной норме.

Норма в нормированном идеальном пространстве Y называ-ется порядково непрерывной, если для любой последовательно-сти um ⊂ Y такой, что um ↓ 0 следует ∥um∥ → 0.

Те о р е м а 1. Пусть Y ⊂ S(D, Σ, ν) — идеальное про-странство с порядково непрерывной нормой, для открытого мно-жества E ⊂ Rd мера µ такова, что µ(E) = 1.

Если неотрицательная функция g(x, y) измерима по мере

104

µ× ν, а элементы

y → g(x, y), y →∫E

g(x, y)dµx

принадлежат Y, то для полунепрерывного снизу выпуклого функ-ционала F : Y → (−∞, +∞] выполнено нервавенство

F

∫E

g(x, •)dµx

≤∫E

F (g(x, •)) dµx.

Доказательтво. Известно [3], что в банаховом идеальномпространстве с порядково непрерывной нормой любой линейныйнепрерывный функционал u∗ имеет интегральное представале-ние, а т.к. элемент

y →∫E

g(x, y)dµx

принадлежит пространству Y, то⟨u∗,

∫E

g(x, •)dµx

⟩=

∫D

u(y)dνy

∫E

g(x, y)dµx =

=

∫D

u+(y)dνy

∫E

g(x, y)dµx −∫D

u−(y)dνy

∫E

g(x, y)dµx, (1)

где u ∈ Y ∗.

Из этого представления следует ν-суммируемость функций

y → u+(y)

∫E

g(x, y)dµx, y → u−(y)

∫E

g(x, y)dµx.

105

Согласно теореме Тонелли функции u+(y)g(x, y), u−(y)g(x, y)µ × ν-суммируемы, поэтому, используя теорему Фубини, из (1)получим: ⟨

u∗,

∫E

g(x, •)dµx

⟩=

∫E

⟨u∗, g(x, •)⟩ dµx. (2)

Т.к. F полунепрерывный снизу выпуклый функционал, то потеореме Фенхеля –Моро [4]

F (u) = sup l(u) : l ≤ F ,

где l(u) = ⟨u∗, u⟩+ a – аффинная функция.

Если F

(∫E

g(x, •)dµx

)< +∞, то для данного ε > 0 суще-

ствует функция lε такая, что

F

∫E

g(x, •)dµx

< lε

∫E

g(x, •)dµx

+ ε,

причем lε ≤ F в Y . Поэтому, используя (2), получим требуемоенеравенство.

Аналогично показываем, что если

F

∫E

g(x, •)dµx

= +∞,

то ∫E

F (g(x, •)) dµx = +∞.

Замечание. Если функционал F положительно однороден,

106

то мера может быть σ-конечной. Покажем это.

Пусть 0 < µ(E) <∞, тогда согласно теореме 1

F

(1

µ(E)

∫E

g(x, •)dµx

)≤ 1

µ(E)

∫E

F (g(x, •)) dµx,

поэтому

F

∫E

g(x, •)dµx

≤∫E

F (g(x, •)) dµx. (3)

Если µ(E) = +∞, то существует последовательность Ei

множеств Ei ⊂ Σ таких, что E =∞∪i=1

Ei, µ(Ei) < ∞. Поэтому из

(3) следует неравенство

F

∫∪m

i=1 Ei

g(x, •)dµx

≤∫

∪mi=1 Ei

F (g(x, •)) dµx,

но тогда, т.к. F полунепрерывен снизу, то

F

∫E

g(x, •)dµx

≤ limm→∞F

∫∪m

i=1 Ei

g(x, •)dµx

≤

≤ limm→∞

∫∪m

i=1 Ei

F (g(x, •)) dµx =

∫E

F (g(x, •)) dµx.

[1] В.Я. Прудников, “Неравенство Иенсена в идеальном простран-стве”, Сиб. журнал инд. математики, 10:2 (2007), 119–127.

[2] В.Я. Прудников, “Неравенство Иенсена в произвольном идеаль-ном пространстве”, Вестник ТОГУ, 4:11 (2008), 55–62.

107

[3] Л.В. Канторович, Г.П. Акимов, Функциональный анализ, М.:Наука, 1977, 744 с.

[4] Ж.-П. Обен, Нелинейный анализ и его экономические приложе-ния, М.: Мир, 1988, 264 с.

ПОЛИГОНЫ НАД МОНОИДАМИ ЛЕВЫХ НУЛЕЙС (P,1)-СТАБИЛЬНОЙ ТЕОРИЕЙ

Д. О. Птахов (ДВФУ, Владивосток)

В данной работе рассматриваются полигоны над моноидомлевых нулей с (P, 1)-стабильной теорией. Понятие (P, 1)-стабиль-ной теории было введено в [1]. Это понятие является обобщениемпонятия стабильности теории. В [2] приводится характеризация(P, 1)-стабильных теорий как класса теорий, определимо интер-претируемых в какой-либо теории языка, состоящего только изодноместных предикатов.

Моноид S называется моноидом левых нулей, если для лю-бых a, b ∈ S выполняется ab = a. Под левым полигоном SA надмоноидом S или просто полигоном понимается множество A, накотором определено действие элементов из S, причем единицадействует на A тождественно. Пусть T — теория языка L, языкLP получается из языка L добавлением одноместного предикат-ного символа P , ∆ — некоторое множество предложений языкаLP . Теория T называется P∆-стабильной в мощности λ, если длялюбого множества X мощности ≤ λ в теории T множество

T∆(X) = T (X) ∪ P (a) | a ∈ X ∪∆

имеет не более λ пополнений в языке (L(X))P , где L(X) — язык,получаемый из языка L добавлением множества X в качестве

108

множества новых констант. Теория T называется P∆-стабильной,если она является P∆-стабильной в некоторой бесконечной мощ-ности λ. Теория T называется (P, 1)-стабильной, если она P∆-стабильна для ∆ = ∅. Полигон SA называется P∆-стабильным,если теория Th(SA) этого полигона P∆-стабильна.

Те о р е м а. Пусть S — моноид левых нулей. Полигон SA

является (P, 1)-стабильным тогда и только тогда, когда числонеодноэлементных компонент связности этого полигона конечно.

[1] Е.А. Палютин, “E∗-стабильные теории”, Алгебра и Логика, 42:2(2000), 194–210.

[2] М.А. Русалеев, “Характеризация (P, 1)-стабильных теорий”, Ал-гебра и Логика, 46:2 (2007), 346–359.

МНОЖЕСТВА С ДЕЙСТВИЕМ ПОЛУГРУППЫ,КАК КАТЕГОРНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ

ПРОСТРАНСТВА

Е.Е. Скурихин (ИПМ ДВО РАН, ДВФУ, Владивосток)

В тезисах к (не состоявшемуся) докладу Е. Е. Скурихина наМеждународной конференции Торическая топология и автоморф-ные функции, Хабаровск, 5 – 10 сентября 2011 года, анонсиро-вался результат о связи сложности по В.И. Арнольду, определя-емой в контексте понятия монады, то есть конечного множествас фиксированным отображением этого множества в себя, с раз-мерностью лебеговского типа категорного топологического про-странства, ассоциированного с монадой с помощью конструкцииЧу. При этом сложность характеризовалась, как размерность ле-беговского типа и как когомологическая размерность соответ-ствующего категорного топологического пространства.

109

Как прямо следует из определений, монада может быть отож-дествлена с множеством, на котором действует аддитивная по-лугруппа неотрицательных целых чисел, так что результаты осложности, упомянутые выше, могут быть увязаны с более об-щими результатами о действиях полугрупп с единицей на мно-жествах.

В докладе предполагается дать описание эквивалентностикатегории A-множеств, то есть множеств, на которых действу-ет слева полугруппа A с единицей, с категорией пучков мно-жеств и тем самым естественным образом отождествить каж-дое A-множество с категорным топологическим пространством.С другой стороны, каждому A-множеству сопоставляется про-странство Чу. Топологические характеристики этих категорныхтопологических пространств и пространств Чу, их размерности,в том числе и когомологические, связываются с характеристи-ками исходных A-множеств, в частности со сложностями монад.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯДИФФУЗИИ – РЕАКЦИИ

О. В. Соболева (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

В работе исследуется задача идентификации коэффициентав параболическом нелинейном уравнении диффузии – реакциирассмотренном в ограниченной области при условии Дирихлена границе, используя дополнительную информацию о решенииначальной краевой задачи.

Рассмотрим в ограниченной области Ω ∈ Rd, d = 1, 2 с липши-

110

цевой границей Γ задачу нахождения функции φ из соотношений

∂φ

∂t=

∂

∂x(λ∂φ

∂x)− kφ+ f, x ∈ (a, b), t ∈ [0, T ],

φ(x, 0) = ψ(x), φ(a, t) = ξ1(t), φ(b, t) = ξ2(t). (1)

Здесь λ ≡ λ(x) > 0 — переменный коэффициент диффузии,k = const ≥ 0 — величина, характеризующая распад веществаза счет химических реакций, f = f(x, t) — плотность объемныхисточников, ψ(x) — функция заданная в начальный момент вре-мени, ξ1(t), ξ2(t) — функции заданные при x = a и x = b.

Обратная задача заключается в нахождении неизвестного ко-эффициента λ, который требуется определелить вместе с реше-нием φ по дополнительной информации о состоянии среды внекоторой подобласти Q ⊂ Ω. Указанная задача формулирует-ся как задача минимизации соответствующего функционала нарешениях исходной краевой задачи. Исследование поставленнойкоэффициентной обратной задачи сводится к исследованию со-ответствующей экстремальной задачи [1].

В работе разрабатывается алгоритм численного решения об-ратной экстремальной задачи основанный на методе сопряжен-ных градиентов и развивается программный комплекс для чис-ленного решения поставленной коэффициентной обратной зада-чи. Анализ результатов численных экспериментов, показал эф-фективность алгоритма и программного комплекса для числен-ного решения коэффициентной обратной для модели массопере-носа.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 13-01-00313-а).

[1] Г. В. Алексеев, Д.А. Терешко, Анализ и оптимизация в гидроди-

111

намике вязкой жидкости, Владивосток: Дальнаука, 2008, 365 с.[2] V.A. Timorin, “An analogue of the Hodge–Riemann relations for

simple convex polytopes”, Russian Math. Surveys, 54:2 (1999), 381–426.

ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РОД ТОДДА ИТОРИЧЕСКИЕ РАЗРЕШЕНИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ

Г.Д. Соломадин (МГУ им. Ломоносова, Москва),Ю.М. Устиновский (Princeton University, New Jersey, USA),

В.М. Бухштабер (Математический Институтим. В.А. Стеклова РАН, Москва)

Двупараметрический ряд Тодда Tda,b ([1]) является обобще-нием известного χy-рода Хирцебруха ([2]). В работе [3] была по-ставлена задача определения рода Хирцебруха ϕ, задаваемогоусловием совпадения на классических флопах проективных ал-гебраических многообразий. Одним из следствий результов [4] ипоследней работы является доказательство ϕ = Ell, где Ell естьрод Кричевера. В настоящей работе дается элементарное дока-зательство этого факта, не использующее методов [4]. В част-ности, показывается, что для произвольной фиксированной по-следовательности Xn особых проективных торических много-образий (dim Xn = n) условие совпадения ϕ на классическихфлопах над Xn эквивалентно ϕ = Ell. Известно, что классиче-ские флопы над данным многообразием X (если определены)имеют одинаковые числа Бетти. В этой связи также показы-вается, что условие совпадения ϕ на разрешениях особенностейособых проективных пространств Xn (последовательность Xnфиксирована) с одинаковыми числами Бетти в торической кате-гории эквивалентно ϕ = Tda,b. Выводятся некоторые следствия.

112

Ставится задача: для фиксированной последовательности ком-бинаторных типов Πn многогранников найти род Хирцебрухаϕ, для каждого n ∈ N совпадающий на всех торических много-образиях над реализацией Πn. Показывается, что если для каж-дого n ∈ N существуют торические многообразия Xn

1 , Xn2 над

реализациями Πn, имеющие различные числа Тома-Милнора, тотогда ϕ = Tda,b. Также изучаются частные случаи этой задачидля серий замечательных многогранников (граф-ассоциэдров).

[1] F. Hirzebruch, Topological methods in algebraic geometry. Grundleh-ren der mathematischen Wissenschaften, 131, Springer, Berlin [et al.],ISBN 0-387-03525-7.

[2] В.М. Бухштабер, “f -полиномы простых многогранников и двупа-раметрический ряд Тодда”, УМН, 63:6 (2008), 153–154.

[3] B. Totaro, “Chern Numbers for Singular Varieties and Elliptic Homo-logy”, Ann. of Math., 151:2 (2000), 757–791.

[4] L. Borisov, L. Libgober, Elliptic Genera of Singular Varieties,arXiv:math/0007108.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИИМПЕДАНСНОЙ МАСКИРОВКИ В ДВУМЕРНОМ

СЛУЧАЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВОПТИМИЗАЦИИ

В.В. Соснов (ДВФУ, Владивосток)

В настоящее время активно исследуются задачи, связанныес созданием средств маскировки материальных тел от акусти-ческой или электромагнитной локации [1, 2]. Недостатком мно-гих из предложенных к настоящему времени способов маски-ровки является трудность их технической реализации. Однимиз возможных решений данной проблемы является замена задач

113

построения точных маскировочных оболочек задачами построе-ния приближенных маскировочных оболочек. Эти задачи могутбыть сведены к обратным экстремальным задачам. Данный под-ход основан на введении функционала качества, адекватно отве-чающего рассматриваемой задаче, и нахождении его минимума[3]. Эти экстремальные задачи могут быть решены приближеннос использованием различных методов оптимизации.

В работе рассматриваются задачи управления для двумерно-го уравнения Гельмгольца в неограниченной области с импеданс-ным граничным условием. Импедансное граничное условие мо-делирует свойства специальных материалов, покрывающих гра-ницу рассеивателя. Это граничное условие связывает звуковоедавление и нормальную компоненту колебательной скорости че-рез граничный коэффициент, называемый поверхностным импе-дансом.

Обсуждаются результаты численных экспериментов, основан-ных на разных алгоритмах оптимизации.

[1] А. Е. Дубинов, Л.А. Мытарева, “Маскировка материальных телметодом волнового обтекания”, Успехи физических наук, 53 (2010),455–479.

[2] A. Alu, N. Engheta, “Plasmonic and Metamaterial Cloaking: PhysicalMechanisms and Potentials”, Journal of Optics A: Pure and AppliedOptics, 10:9 (2008), 093002.


114

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ В 2D ПРИБЛИЖЕННОЙЗАДАЧЕ МАСКИРОВКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

СЛОИСТОЙ ОБОЛОЧКИ

Ю. Э. Спивак (ДВФУ, Владивосток)

В настоящее время невидимость и маскировка широко об-суждаются в научных кругах, об этом можно судить по коли-честву публикаций на указанную тему. Так, например, в статье[1] рассматривается подход к достижению наилучшей маскиров-ки, основанный на комбинации приближенной маскировки сов-местно с дискретизацией маскирующего вещества. Такая ком-бинация позволяет избежать сингулярностей параметров компо-нентов тензоров (диэлектрической и магнитной проницаемостейε, µ) на внутренней границе для цилиндрической оболочки: ком-поненты εϕ, µϕ бесконечны, тогда как ερ, µρ, εz, µz равны нулю.Приближенная маскировка заключается в том, чтобы преобразо-вать скрываемое тело в объект, величина которого описываетсямалым параметром c. Указанный метод приводит к некоторомурассеянию, так как скрываемое тело преобразуется в небольшойобъект, тем не менее рассеяние уменьшается по мере уменьше-ния c.

Важной характеристикой при анализе свойств и поведениярассматриваемого метода маскировки является ширина рассея-ния σ(φ), определяемая по формуле

σ(φ) = limρ→∞

2πρ|ES(φ)|2

|Einc|2= lim

ρ→∞2πρ

|HS(φ)|2

|H inc|2,

где φ ∈ [0; 2π], ES и HS — рассеянные поля, Einc и H inc — пада-ющие поля для TEz и TMz-поляризаций, соответственно.

115

Для случая TEz-поляризации развивается численный алго-ритм решения рассматриваемой задачи маскировки, исследуют-ся его свойства, разрабатывается комплекст программ, реали-зующих этот алгоритм, на основе которого проводятся вычисли-тельные эксперименты, и обсуждаются результаты проведенныхэкспериментов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российскогофонда фундаментальных исследований (проект 13-01-00313-а).

[1] H.M. Zamel, E. El-Diwany, H. El-Hennawy, “Approximate electromag-netic cloaking of a conducting cylinder using homogeneous isotropicmulti-layered materials”, Journal of Electrical Systems and Informa-tion Technology, 1 (2014), 82–83.

СИЛЬНО ТОЧНЫЕ ПОЛИГОНЫ С ЛИНЕЙНЫМИРЕШЕТКАМИ КОНГРУЭНЦИЙ

А. А. Степанова (ДВФУ, Владивосток),Д. Б. Прокопьева (ДВФУ, Владивосток)

В работе рассмотрены сильно точные полигоны над комму-тативным моноидом, решетки конгруэнций которых линейны.Пусть S — моноид. Левым S-полигоном (или, полигоном надS, или, просто, полигоном) SA называется множество A, на ко-тором определено действие моноида S слева, причем единицаS действует на A тождественно. Полигоны можно рассматри-вать как унарные алгебры. В [1] дана характеризация унарныхалгебр с дистрибутивными и модулярными решетками конгру-энций. Строение несвязных полигонов с дистрибутивными и мо-дулярными решетками конгруэнций изучено в [2].

Напомним некоторые определения. Полигон SA называетсясильно точным, если для любых a ∈ A, s, t ∈ S из равенства

116

sa = ta следует s = t. Полигон SA называется линейно упо-рядоченным, если Sa ⊆ Sb или Sb ⊆ Sa для любых a, b ∈ A.Отношение эквивалентности θ на множестве A называется кон-груэнцией полигона SA, если соотношение aθb влечет sa θ sb длялюбых a, b ∈ A, s ∈ S. Заметим, что совокупность всех конгру-энций полигона SA образует решетку относительно следующихопераций: θ ∧ η = θ ∩ η, θ ∨ η – наименьшая конгруэнция поли-гона SA, содержащая θ и η, где θ, η – конгруэнции полигона SA.Решетку конгруэнций полигона SA обозначим через Con(SA).Решетка (L;≤) называется линейной, если (L;≤) является ли-нейно упорядоченным множеством.

Утверждение. Если S — группа и решетка конгруэнцийCon(SS) полигона SS линейна, то S — циклическая группа, по-рядок которой является степенью простого числа, или квазицик-лическая группа.

Теорема. Пусть S — коммутативный моноид, SA — силь-но точный полигон. Решетка конгруэнций Con(SA) полигона SA

является линейной тогда и только тогда, когда SA линейно упо-рядоченный полигон и решетка конгруэнций Con(SS) полигона

SS линейна.

[1] Д.П. Егорова, Л. А. Скорняков, “О структуре конгруэнций унар-ной алгебры”, Межвузовский научный сборник, (1977), 28–40.

[2] Д.О. Птахов, А. А. Степанова, “Решетки конгруэнций полигонов”,Дальневосточный математический журнал, 13:1 (2013), 107–116.

117

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОЙ

ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ

Д.А. Терешко (ИПМ ДВО РАН, Владивосток)

Задачи создания течения с требуемым полем скорости ли-бо температуры имеют важное прикладное значение. Указан-ные задачи формулируются как задачи управления, для реше-ния которых необходимо разрабатывать специальные численныеалгоритмы. Чаще всего такие алгоритмы основаны на использо-вании системы оптимальности, описывающей необходимые усло-вия экстремума первого порядка (см., например, [1] для стацио-нарного случая). Переход к нестационарному случаю вносит до-полнительные сложности, связанные с разнонаправленностью повремени прямой и сопряженной задачи. Численное решение си-стемы оптимальности на больших временных интервалах сопря-жено с существенными трудностями, поэтому возникает необ-ходимость создания нового алгоритма решения экстремальныхзадач без использования системы оптимальности. В основу алго-ритма была положена идея конечномерной минимизации из ра-боты [2], обобщенная на случай нестационарных уравнений теп-ловой конвекции.

Главным преимуществом этого алгоритма является эконо-мичность, так как его реализация не требует многократного по-очередного решения прямых и сопряженных задач. Управление,роль которого может играть граничное значение скорости, тем-пературы либо потока тепла, находится вместе с решением пря-мой задачи за один проход временного интервала. В алгоритменет итерационного процесса, сходимость которого обычно гаран-тируется специальным выбором параметров. Для проверки рабо-

118

тоспособности предложенного алгоритма была проведена сериявычислительных экспериментов, в ходе которых определялосьвлияние различных факторов на точность решения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российскогофонда фундаментальных исследований (проект 13-01-00313-a).

[1] Г. В. Алексеев, Д.А. Терешко, Анализ и оптимизация в гидроди-намике вязкой жидкости, Владивосток: Дальнаука, 2008, 365 с.

[2] G.V. Alekseev, V. V. Malikin, “Numerical analysis of optimal boundarycontrol problems for Navier-Stokes equations”, Comp. Fluid DynamicsJ., 3 (1994), 1–26.

СХОДИМОСТЬ К ПРЕДЕЛЬНЫМРАСПРЕДЕЛЕНИЯМ В МОДЕЛЯХ РАСТУЩИХ

СЛУЧАЙНЫХ СЕТЕЙ

Г.Ш. Цициашвили (ИПМ ДВО РАН, ДВФУ, Владивосток),М.А. Осипова (ИПМ ДВО РАН, ДВФУ, Владивосток)

1. Рассматривается модель экспоненциальной растущей се-ти, в которой вновь появляющаяся вершина соединяется с лю-бой из уже существующих вершин с равной вероятностью. Пустьна шаге 1 имеется вершина 1 и ребро, соединяющее эту верши-ну с собой (петля). На шаге 2 появляется вершина 2 и ребро свероятностью 1 соединенное с вершиной 1. На шаге t + 1 появ-ляется вершина t+ 1, которая с вероятностью 1/t соединяется содной из вершин 1, . . . , t. Обозначим p(k, s, t) вероятность того,что на шаге t ≥ 1 с вершиной s, 1 ≤ s ≤ t, соединено k ребернеориентированного графа экспоненциальной сети, что называ-

119

ется степенью вершины s и положим

P (k, t) =1

t

t∑s=1

p(k, s, t), fk(t) = P (k, t+ 1)− Π(k),

Π(k) = 2−k k ≥ 1.

Те о р е м а 1. При t→ ∞ выполняются соотношения

f1(t) ≡ f2(t) ≡ 0, f3(t) ∼ − 1

4t2,,

fk(t) ∼ −Ck lnk−3 t

t2, Ck =

1

4(k − 3)!, k ≥ 3.

2. Рассматривается модель растущей сети Барабаши [1], вкоторой вновь появляющаяся вершина соединяется с любой изуже существующих вершин с вероятностью, пропорциональнойстепени этой вершины. Обозначим p(k, s, t) вероятность того, чтона шаге t ≥ 1 с вершиной s, 1 ≤ s ≤ t, соединено k ребернеориентированного графа сети Барабаши. Обозначим

fk(t) = P (k, t+ 1)− Π(k), Π(k) =4

k(k + 1)(k + 2), k ≥ 1.

Те о р е м а 2. При t → ∞ и k ≥ 1 выполняются соотноше-ния fk(t) ∼ t−3/2/3

√π.

3. Рассмотривается модель растущей сети Дороговцева, в ко-торой из вновь появляющейся вершины направляется в суще-ствующие вершины ориентированное ребро с вероятностью, про-порциональной степени этой вершины плюс a. Здесь a > 0 явля-ется параметром модели. Обозначим p(k, s, t) вероятность того,что на шаге t ≥ 1 с вершиной s, 1 ≤ s ≤ t, соединено k реберориентированного графа, что является в этой модели степенью

120

вершины s. Обозначим Ak = (k + a)/(a+ 1), k ≥ 0,

Π(k) = (1+a)Γ(1 + 2a)Γ(k + a)

Γ(a)Γ(k + 2 + 2a), fk(t) = P (k, t+1)−Π(k), k ≥ 0.

Те о р е м а 3. Выполняются соотношения

fk(t) ∼ Ckt−1−A0 , t→ ∞, k ≥ 0,

C0 =1

(1 + A0)2Γ(−1− A0),

Ck−1(k − 1 + a)

(a+ 1)(Ak − A0)= Ck, k > 0.

[1] L.A. Barabasi, R. Albert, “Emergence of scaling in random networks”,Science, 286 (1999), 509–512 .

АНАЛИЗ СТОЙКОСТИ КРИПТОГРАФИЧЕСКИХПРОТОКОЛОВ АУТЕНТИФИКАЦИИ НА ОСНОВЕ

НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛОГИК

С. Г. Чеканов (ДВФУ, Владивосток),А.А. Тарасенко (ДВФУ, Владивосток)

При создании криптографических примитивов и протоколовнаиболее трудной и важной является задача оценки стойкостиалгоритмов. Существуют различные подходы для решения этойпроблемы. Один из таких подходов – использование логическихисчислений, адаптированных для анализа протоколов. Широкоераспространение получила BAN-логика и многочисленные рас-ширения и модификации указанной логики.

Актуальность указанной проблемы объясняется тем, что да-же в протоколах, которые используются уже много лет, обнару-живаются уязвимости и недостатки. Например, протокол Нидхе-

121

ма –Шрҷдера с ассиметричной системой шифрования был пред-ложен в 1978 году, и только 17 лет спустя, в 1995, Гэвин Лоупривел атаку на этот протокол [2].

Известно, что BAN-логика является разрешимой, что позво-ляет реализовать алгоритм, выясняющий доказуемость утвер-ждений относительно свойств безопасности протоколов. На ос-нове результатов работы [3] такой алгоритм разработан и про-граммно реализован.

В ходе работы были проанализированы такие известные про-токолы как Нидхема –Шредера с симметричным ключом, Кер-бероса, Wide Mouth Frog, Ву-Лама. Кроме того, результаты ана-лиза протоколов были проверены с помощью пакета программAVISPA.

Следует заметить, что модель, основанная на логических ис-числениях, позволяет обнаружить слабости протоколов, но непозволяет построить атаку на протокол. Для построения атак сиспользованием обнаруженных слабостей необходимо использо-вать дополнительные модели.

[1] J. Schiller, Strong Security Requirements for Internet EngineeringTask Force Standard Protocols, Massachusetts Institute of Technology,2002 .

[2] G. Lowe, “An attack on the Needham-Schroeder public key authentica-tion protocol”, Information Processing Letters, 56:3 (1995), 131–136.

[3] D. Kindred, J.M. Wing, “Fast, Automatic Checking of Security Proto-cols”, In Second USENIX Workshop on Electronic Commerce, November1996, 105–121.

122

СПИСОК УЧАСТНИКОВ

Ayzenberg AntonAndreyevich

Osaka City University,Osaka

[email protected]

ChebotarevAlexander Yu.

IAM FEB RAS,Vladivostok

[email protected]

Frolenkov Dmitrii Steklov Mathematicalinstitute, Moscow

[email protected]

Grbic Jelena University ofSouthampton,Southampton

[email protected]

Husainov AhmetAksanovich

KnASTU,Komsomolsk-on-Amur

[email protected]

KhovanskiiAskold G.

University of Toronto,Toronto

[email protected]

Konstantinou-Rizos Sotiris

Chechen StateUniversity, Grozny

[email protected]

Kuroki Shintaro Graduate School ofSciences The Universityof Tokyo, Tokyo

[email protected]

Kustarev Andrey Higher School ofEconomics, Moscow

[email protected]

KovtanyukAndrey Egorovich


[email protected]

Kuwata Hideya Osaka City University,Osaka-city

[email protected]

LaurincikasAntanas

Vilnius University,Vilnius

[email protected]

LimonchenkoIvan

Moscow StateUniversity, Moscow

[email protected]

123

Lu Zhi Fudan University,Shanghai

[email protected]

Masuda Mikiya Osaka City University,Osaka

[email protected]

MikhailovAlexander

University of Leeds,Leeds

[email protected]

Mironov Andrey Sobolev Institute ofMathematics,Novosibirsk

[email protected]

Novitskii Igor M. IAM FEB RAS,Khabarovsk Division,Khabarovsk, Russia

[email protected]

Panov Taras Moscow StateUniversity, Moscow

[email protected]

Ratiu TudorStefan

Ecole PolytechniqueFederale de Lausanne,Lausanne

[email protected]

Sazegar Hashem Azad MashhadUniversity, Mashhad

[email protected]

Suh Dong Youp Korea AdvancedInstitute of Science andTechnology, Daejeon

[email protected]

Sukhonos AndreyGregoryevich


[email protected]

Ustinov Alexey IAM FEB RAS,Khabarovsk Division,Khabarovsk

[email protected]

Woo Gyungsoo Changwon NationalUniversity, Changwon

[email protected]

Авдеева МарияОлеговна

ХО ИПМ ДВО РАН,Хабаровск

[email protected]

Агапова Елена ТОГУ, Хабаровск [email protected]

АгафонцевВалерийВасильевич

Псковскийгосударственныйуниверситет, Псков

[email protected]

124

АлексеевГеннадийВалентинович

ИПМ ДВО РАН,Владивосток

[email protected]

Алешин МаксимСергеевич

ТОГУ, Хабаровск [email protected]

АлипченкоАнтон


Амосова ЕленаВладимировна


[email protected]

Аносов ВячеславДмитриевич

в/ч 43753, Москва [email protected]

Аносова ЛарисаРомановна

РУДН, Москва [email protected]

АстраханцеваАленаАлексеевна

ДВФУ, Владивосток [email protected]

АхунжановРенатКамилевич

Астраханскийгосударственныйуниверситет,Астрахань

[email protected]

Берник ВасилийИванович

Институт МатематикиНАН Беларуси,Минск

[email protected]

БогоутдиноваЮлияГеннадьевна


[email protected]

БолотовДмитрий

ФТИНТ НАНУ,Харьков

[email protected]

БризицкийРоманВикторович

ИПМ ДВО РАН,ДВФУ, Владивосток

[email protected]

БрюноАлександрДмитриевич

Институт прикладнойматематики им.М.В.Келдыша РАН,Москва

[email protected]

125

БударинаНатальяВикторовна


[email protected]

Бунькова ЕленаЮрьевна

МИ PАН им.Стеклова, Москва

[email protected]

БуртыкаФилиппБорисович

Южный федеральныйуниверситет,Ростов-на-Дону

[email protected]

БухштаберВикторМатвеевич


[email protected]

БушинаВикторияЭдгаровна


БыковскийВикторАлексеевич


[email protected]

БыковскаяЕленаВладиленовна


[email protected]

ВербицкийВикторАлександрович

ХГАЭП, Хабаровск [email protected]

Верeвкин ЯковАлександрович

МГУ им. Ломоносова,Москва

[email protected]

ВихтенкоЭллинаМихайловна


ГоловчанскийВладимирВасильевич


[email protected]

ГореликовЕвгенийЮрьевич

НГУ, Новосибирск [email protected]

ГореликоваАнастасия

НГУ, Новосибирск [email protected]

126

Гребенюк ЯнаАлексеевна


Гренкин ГлебВладимирович


[email protected]

ГринблатАндрейДавидович

РН-КомсомольскийНПЗ, Комсомольск наАмуре

[email protected]

ГудименкоАлексейИванович


[email protected]

Гузев МихаилАлександрович


[email protected]

ДмитриевАлександрАлексеевич


[email protected]

ДобровинскаяМаргаритаСеменовна


ДобровольскийНиколайМихайлович

ТГПУим. Л. Н. Толстого,Тула

[email protected]

ДобровольскийНиколайНиколаевич

МБОУСОШ 56,Тула

[email protected]

ДолбилинНиколайПетрович


[email protected]

ДубининВладимирНиколаевич


[email protected]

Дорофеев ЯковКонстантинович


Дымченко ЮрийВикторович


127

ЕроховецНиколайЮрьевич

МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва

[email protected]

ЖильцовАлександрВладимирович

ДВГУПС, Хабаровск [email protected]

Жукова ТатьянаВитальевна


Жуплев АнтонСергеевич


[email protected]

Зиньков СеменЮрьевич


ИлларионовАндрейАнатольевич


[email protected]

ИлларионоваЛюбовьВикторовна

ВЦ ДВО РАН,Хабаровск

[email protected]

Казак МихаилСергеевич


Казинец ВикторАлексеевич

ДВГГУ, Хабаровск [email protected]

КалмыковСергейИванович


[email protected]

Кан ВладимирАлексеевич


КарачанскаяЕленаВикторовна


КармановДмитрийАлександрович


Карп ДмитрийБорисович


[email protected]

128

Ким СветланаДмитриевна


Кириллова ДинаАлександровна

ПГУим. Шолом-Алейхема,Биробиджан

[email protected]

КоваленкоЕвгенийОлегович


Козлов АлексейВладимирович


Коношко Ксения ТОГУ, Хабаровск [email protected]

КудряшоваПолинаПавловна

ДВФУ,ВЛАДИВОСТОК

[email protected]

Кузьмина ОльгаВладимировна


ЛобановАлексейВикторович


[email protected]

ЛосевАлександрСергеевич


[email protected]

Ломакина ЕленаНиколаевна

ХГАЭП, Хабаровск [email protected]

Лукина ЭлинаЭдуардовна


МазенкинаНадеждаВикторовна


МарковаНатальяВладимировна


Машков ДенисВалериевич

Дальрыбвтуз,Владивосток

[email protected]

129

МендельВасилийВикторович

ДВГГУ, Хабаровск [email protected]

МишуровМихаилИгоревич


Младова ИринаАлександровна

МАОУ СОШ 10,Кандалакша

[email protected]

Монахова АннаСергеевна


Монина МарияДмитривна


[email protected]

МощевитинНиколайГерманович

МГУ, Москва [email protected]

НазаровВасилийГеннадиевич


[email protected]

Намм РобертВикторович


[email protected]

НасыровВячеславВячеславович


НасыроваМарияГеоргиевна


[email protected]

НефедевКонстантинВалентинович


Осипова МаринаАнатольевна


[email protected]

Павлов НикитаАлександрович


ПарусниковВладимирИгоревич

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН,Москва

[email protected]

130

ПархоменкоИгорь Сергеевич


Пассар-КовальПавелАлександрович


ПестрецоваВероникаВладимировна


ПодгаевАлександрГригорьевич


ПодсыпанинЕвгенийВладимирович

Санкт-ПетербургскийПолитехническийУниверситет ПетраВеликого,Санкт-Петербург

[email protected]

Попова ТатьянаМихайловна


ПрилепкинаЕленаГумаровна

ИПМ ДВО РАН,ДВФУ, Владивосток

[email protected]

ПрокопьеваДина Борисовна


Прохоров ИгорьВасильевич


[email protected]

ПрудниковВиталийЯковлевич


Птахов ДенисОлегович


ПятецкаяНатальяВасильевна

Администрацияг. Хабаровска,Хабаровск

[email protected]

РатушненкоВладимирВикторович


131

Романов МаркАнатольевич


[email protected]

СарицкаяЖанна Юрьевна


Сатаев ИванАлександрович


СвятухаВладимирАндреевич


[email protected]

Синьков ДенисСергеевич


СкурихинЕвгенийЕвгеньевич


[email protected]

СмирновЕвгенийЮрьевич

Высшая школаэкономики, Москва

[email protected]

Смотров МихаилНиколаевич


[email protected]

Соболева ОльгаВладимировна


[email protected]

Соколов АндрейАндреевич

Imperial College,Лондон

[email protected]

СоломадинГригорийДмитриевич

МГУ им. Ломоносова,Москва

[email protected]

СоседоваНадежда


Соснов ВалерийВладимирович


Спивак ЮлияЭдуардовна

ШЕН ДВФУ,Владивосток

[email protected]

СтепановаАленаАндреевна


132

Сущенко АндрейАндреевич


[email protected]

ТаймановИскандерАсанович

Институт математикиим. С.Л. Соболева СОРАН, Новосибирск

[email protected]

ТалькоАнастасияСергеевна


ТарасенкоАлександрАлександрович


ТерешкоДмитрийАнатольевич


[email protected]

ТрепачеваАлинаВикторовна

Южный федеральныйуниверситет,Ростов-на-Дону

[email protected]

ТусиковаАнгелинаАлександровна


Уленгов АндрейВениаминович


Ушаков АндрейАндреевич


Харченко ЮрийНиколаевич


[email protected]

Цирулик МарияЮрьевна


ЦициашвилиГурамиШалвович


[email protected]

Чеканов СергейГеннадьевич


Чепурко СергейАлександрович


133

ЧеремисинАнатолийАлександрович


Чернов СергейСергеевич


Шевкун ДарьяВладимировна


ШлыкВладимирАлексеевич


Эйрих НадеждаВладимировна

ПГУ им. Шолом-Алейхема,Биробиджан

[email protected]

Яровенко ИванПетрович


[email protected]

134

Содержание

Авторский указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Тезисы докладов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Ayzenberg A. A. Volume polynomial of a multi-fan and corres-

ponding duality algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 8Buchstaber V.M. Toric Topology and carbon structures (ful-

lerenes and grafenes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Budarina N. V., Bernik V. I., Gotze F. Effective estimates

of the measure of the sets of real numbers with thegiven approximation property by algebraic numbersof bounded height and degree . . . . . . . . . . . . . 10

Bunkova E. Yu. Formal group for elliptic function of level 3 12Bykovskii V., Ustinov A. Double Somos-4 . . . . . . . . . . 14Chebotarev A. Yu., Kovtanyuk A. E. Analysis of the solvability

in the complex heat transfer problems . . . . . . . . . 15Chebotarev A. Yu., Kovtanyuk A. E. Boundary optimal control

problem for complex heat transfer model . . . . . . . 16Cho Y., Kim M.K., Suh D. Y. Existence of compact Lie

group actions on symplectic manifolds . . . . . . . . 18Dolbilin N. P. The Minkowski theorem on parallelohedra

and its recent development . . . . . . . . . . . . . . . 21Gudimenko A. I., Guzev M.A. Fiber bundle theory and invari-

ant form of conservation laws in continuum mеchanics 22Guzev M. A., Dmitriev A. A. Critical points of coupled pen-

dulums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

135

Grinblat A. Parallelization of Petri nets via polynomials . . 24Husainov A. A. The category of toric sets . . . . . . . . . . 25Khovanskii A.G. Irreducible components of generic complete

intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Konstantinou-Rizos S. Integrability properties of NLS type

Equations via Darboux transformations, and relatedYang-Baxter maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Kuroki S. On a maximal torus which acts on a GKM-manifold 33Kustarev A. Projective embeddings of quasitoric manifolds 37Kuwata H. On the space of sections of a line bundle on a

topological toric manifold . . . . . . . . . . . . . . . 41Laurincikas A. Universality of zeta-functions . . . . . . . . 41Limonchenko I. Yu. Topology of some polyhedral products

arising from minimally non-Golod complexes . . . . . 42Masuda M. The root systems of torus manifolds . . . . . . 43Mauleshova G. S., Mironov A. E. Commuting difference Krichever –

Novikov operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Mikhailov A. Differential-difference and finite-difference integ-

rable systems associated with Kac-Moody algebras . 48Namm R.V., Vikhtenko E. M., Woo G. Sensitivity functionals

in contact problems of elasticity theory . . . . . . . . 49Novitskii I.M. On computing the resolvent kernels for Carle-

man integral operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Panov T. E. On toric generators in the unitary and special

unitary bordism rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Sukhonos A. G. Cohomological dimensions of pointed Chu

spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Агапова Е. Г. Приближенное решение третьей краевой

задачи для параболического уравнения . . . . . . . 54Алексеев Г. В., Кукина Т.М., Ларькина О. С. Методы оп-

тимизации в задачах маскировки материальных телна основе волнового обтекания . . . . . . . . . . . . 56

Амосова Е. В. Конечномерная стабилизация с заданнойскоростью двумерным потоком вязкого газа . . . . 57

136

Ахунжанов Р.К. О многомерных спектрах Лагранжа иДирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Берник В.И. Метрическая теория трансцендентных чи-сел и распределение алгебраических чисел, дис-криминантов и результантов . . . . . . . . . . . . . 60

Болотов Д. В. Макроскопическая размерность PSC-много-образий с виртуально абелевой фундаментальнойгруппой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Бризицкий Р. В. Краевые и экстремальные задачи длястационарных уравнений МГД при смешанных гра-ничных условиях для магнитного поля . . . . . . . 66

Бризицкий Р. В., Сарицкая Ж.Ю. Краевые и экстремаль-ные задачи для нелинейного уравнения конвекции –диффузии – реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Брюно А. Д., Соколов А. А. Глобальное обобщение алго-ритма цепной дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Бухштабер В.М., Ероховец Н.Ю. Торическая топологияфуллеренов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Вербицкий В. А. Об одном классе мультипликаторов ин-тегралов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Гренкин Г. В., Чеботарев А.Ю. Граничное оптимальноеуправление в модели сложного теплообмена . . . . 72

Демшин И.Н., Шлык В. А. Равенство емкости и модуляобобщенного поликонденсатора . . . . . . . . . . . 73

Добровольский Н.М., Добровольский Н.Н. Приведенныеиррациональности чисто вещественных алгебраи-ческих полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Дорофеев Я. К. Метод численного решения системы па-раболических уравнений с перекрестной диффузией 76

Дубинин В. Н. Новые приложения круговой симметри-зации в теории многолистных функций . . . . . . . 78

Дымченко Ю. В. Равенство емкости и модуля в субфинсле-ровых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

137

Жильцов А. В., Намм Р.В. Метод множителей Лагранжадля решения модельной задачи с трещиной . . . . 80

Казак М.С. Решетки конгруэнций циклических полиго-нов над моноидом (N ;max) . . . . . . . . . . . . . 81

Казинец В. А. Свойства симметрической группы задан-ной генетическим кодом . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Карачанская Е. В. Управляемая с вероятностью 1 вра-щательная диффузия в мутной среде . . . . . . . . 84

Ковтанюк А. Е., Пестрецова В. В., Чеботарев А.Ю. Мо-делирование радиационно-кондуктивного теплооб-мена в слое . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Лобанов А. В., Дьяконова О. Е. Численное исследованиедвумерной задачи маскировки на основе волновогообтекания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Ломакина Е. Н. Оценки аппроксимативных чисел опера-тора Харди в пространствах Лоренца . . . . . . . . 88

Машков Д. В. Численное решение задач идентификациидля стационарной модели конвекции-диффузии . . 89

Мендель В. В. Копредставление симметрической группыи инверсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Мощевитин Н. Г. О некоторых нерешенных задачах тео-рии диофантовых приближений . . . . . . . . . . . 92

Павлов Н. А. Теорема искажения для голоморфных од-нолистных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Подгаев А. Г., Лисенков К. В. Проекционные методы иметоды компактности в краевых задачах для ква-зилинейных параболических уравнений в областяхс немонотонной нецилиндрической границей . . . . 95

Попова Т.М., Козлов А. В. Численное решение квази-линейного уравнения с разрывными граничнымиусловиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Прилепкина Е. Г. Преобразование Меллина от H-функцииФокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

138

Прохоров И. В., Сущенко А. А. Об однозначной разреши-мости задачи Коши для интегро-дифференциально-го уравнения переноса с френелевскими условия-ми сопряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Прудников В. Я. О неравенстве Иенсена . . . . . . . . . . 104Птахов Д.О. Полигоны над моноидами левых нулей с

(P,1)-стабильной теорией . . . . . . . . . . . . . . . 108Скурихин Е. Е. Множества с действием полугруппы, как

категорные топологические пространства . . . . . 109Соболева О. В. Исследование обратной экстремальной

задачи для параболического нелинейного уравне-ния диффузии – реакции . . . . . . . . . . . . . . . 110

Соломадин Г.Д., Устиновский Ю.М., Бухштабер В.М. Дву-параметрический род Тодда и торические разре-шения особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Соснов В. В. Приближенное решение задачи импеданс-ной маскировки в двумерном случае с использова-нием методов оптимизации . . . . . . . . . . . . . . 113

Спивак Ю. Э. Численный анализ в 2D приближенной за-даче маскировки с использованием слоистой обо-лочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Степанова А. А., Прокопьева Д. Б. Сильно точные поли-гоны с линейными решетками конгруенций . . . . 116

Терешко Д. А. Численный анализ задач управления длянестационарных уравнений вязкой теплопроводнойжидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Цициашвили Г.Ш., Осипова М.А. Сходимость к предель-ным распределениям в моделях растущих случай-ных сетей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Чеканов С. Г., Тарасенко А. А. Анализ стойкости крипто-графических протоколов аутентификации на осно-ве неклассических логик . . . . . . . . . . . . . . . 121

Список участников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

139

Научное издание

ТОРИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ, ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Материалы Международной конференции

Отпечатано с оригинал-макета, изготовленного в Хабаровском отделении Института прикладной математики ДВО РАН

Ответственный за выпуск А.З. Син Оператор компьютерной верстки М.О. Авдеева

Подписано в печать 10.08.15. Формат 60×84/16. Бумага писчая. Гарнитура «Таймс». Печать цифровая. Усл. печ. л. 8,2. Тираж 150 экз. Заказ 256.

Издательство Тихоокеанского государственного университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136

Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета.

680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136

toric topology, number theory and applications · «oric topology, number theory and » september 6...

Documents