torsion

2 Exemples : section ouverte et section fermée

Torsion des profils minces

UAP 200

F

L= 2 m

GC

tf = 11.5 mm

tw = 8 mm

b = 75 mm

h = 200 mm

d1 = 22.2 mm

y

z

45.3 mm

Caractéristiques géométriques

Catalogue OTUA

Rappel : le centre de cisaillement C

est le point tel que l ’application de

l ’effort tranchant ne crée pas de

cisaillement de torsion

section ouverte

yc

Torsion des profils minces ouverts

GC y

zt

Cisaillement de

Torsion uniforme

(dite de St Venant)

w

Cisaillement de Torsion

non-uniforme (dite de

Vlassov)

Cisaillement

d ’effort tranchant)

t w

La force F n ’étant pas appliquée au centre de cisaillement : il en résulte en plus

des cisaillements d ’effort tranchant, des cisaillements de torsion uniforme. De

plus, le gauchissement du profil mince induit des cisaillements de torsion non-

uniforme

Cisaillement de

Torsion uniforme

(dite de St Venant)

t

GC y

ztmax

t

tsmaxt

I

tM

t

Mts : moment de torsion de

St Venant

It : inertie de torsion de St

Venant3

i

i

ihb3

1It


GC y

z

tI

SM

w

www

tw



Vlassov)

Mw : moment de torsion non

uniforme

Iw : inertie sectorielle

Sw : Moment Statique

sectoriel


GC y

z

tI

TS

y

y

y

t

T : effort tranchant

Iy : inertie de flexion

Sy : Moment Statique de la

partie supérieure à la

position considérée

Cisaillement

d ’effort tranchant


Contrainte normale de flexion :

section plane

y.el

y

maxfW

M

Gauchissement

Contrainte normale de torsion

non uniforme

w

wI

B


Aire sectorielle

rdsc

GC y

z

r ds

dsS cw

Moment statique sectoriel

tdsI 2

cw

Moment d ’inertie sectorielle

B : Bimoment sectoriel


GC

tf = 11.5 mm

tw = 8 mm

b = 75 mm

A = 31.98 cm2

d1 = 22.2 mm

y

z

45.3 mm

Caractéristiques géomètriques

Wel.y = 194.59 cm3

Iy = 169.69 cm4

It = 11.24 cm4 3

i

i

ihb3

1Ith = 200 mm


Calcul des sollicitations

UAP 200

F

L= 2 m

T = -F effort tranchant

My = -F(L-x) moment fléchissant

Mt = Fyc = Mts + Mw moment de torsion (uniforme et non-uniforme)

'GAT

EIM

3

3

wttdx

dEI

dx

dGIM

angle de rotation par rapport à

l ’axe longitudinal


0

0,00005

0,0001

0,00015

0,0002

0,00025

0,0003

0 0,5 1 1,5 2

Mts

Mw

)Lcosh(

))xL(cosh(1M

dx

dGIM ttts

t

t

GI

M)xcosh(C)xsinh(BA)x(

w

t

EI

GI

Conditions limites : 0)0x( 0)0x(dx

d0)Lx(

dx

d2

2

Mts max = 0.261 kN.m

)Lcosh(

))xL(cosh(M

dx

dEIM t3

3

ww

Mw max = 0.271 kN.m


)Lcosh(

))xL(sinh(MdxMB ts

x

0w

Bilan des contraintes normales à l ’encastrement

-102.8 MPa

102.8 MPa 134.8 MPa

51 MPa32 MPa

-51.8 MPa

Flexion TorsionFlexion + Torsion



t=0

w-7.4 MPa

-5 MPa

--1 MPa

1.5 MPa

2.4 MPa

-8.4 MPa

-3.5 MPa

Bilan des contraintes tangentes à l ’encastrement

St VenantTorsion

non

uniforme

Torseur RésultantEffort

tranchant


La torsion uniforme (de Saint Venant) est négligeable (cf annexe G EC3)

L ’essentiel du cisaillement de torsion est dû à la torsion non uniforme

Rappel : la majorité des profils de construction métallique est composée de

profils ouverts

Les contraintes normales dues à la torsion non uniformes ne sont pas

négligeables, elles représentent de 20% à 50% des contraintes normales de

flexion

Conclusion

2 Exemples : section ouverte et section fermée

Torsion des profils minces

UAP 200

F

L= 2 m

GC

tf = 11.5 mm

tw = 8 mm

b = 75 mm

h = 200 mm

y

z On reprend le même profilé fermé

par un plat de 8 mm d ’épaisseur

soudé aux extrémités des ailes

section fermée

La section est doublement

symétrique : G et C sont confondus

F

Torsion des profils minces fermés

G Cy

z

t

Cisaillement de

Torsion uniforme

(dite de St Venant)

w



Vlassov)

Cisaillement

d ’effort tranchant)

La force F n ’étant pas appliquée au centre de cisaillement : il en résulte en plus

des cisaillements d ’effort tranchant, des cisaillements de torsion uniforme. De

plus, le gauchissement du profil mince induit des cisaillements de torsion non-

uniformeLe moment de Torsion est plus

important que dans le cas du profil

ouvert (distance plus grande entre la

force appliquée et le centre de

cisaillement)

Le cisaillement de Torsion de Saint-

Venant contribue de façon très

importante : flux uniforme le long du

profil. Le cisaillement de Torsion non

uniforme est négligé (annexe G de

l ’EC3)


G Cy

z

t

Cisaillement de

Torsion uniforme

(dite de St Venant)

t

It : inertie de torsion de St Venant

i

ii

2

c

t/b

A4It

Ac

It = 1205 cm4 (plus de 10 fois plus

important que le profil ouvert)

1.7 MPa1.7 MPa

1.2 MPa

1.2 MPa

Bilan des contraintes normales à l ’encastrement

-80.4 MPa

80.4 MPa 77.9 MPa82.9 MPa

2.5 MPa

FlexionTorsion

Flexion + Torsion


La contrainte normale de gauchissement ne représente que 3% de la

contrainte de flexion : elle est négligée (annexe G de l ’EC3)


La torsion uniforme (de Saint Venant) est prépondérante (cf annexe G EC3)

L ’essentiel du cisaillement de torsion est dû à la torsion uniforme

La torsion non uniforme est négligeable (cf annexe G EC3)

Les contraintes normales dues à la torsion non uniformes sont négligeables

Conclusion

torsion

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