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Ecole normale supérieure de cachan

TP4 SYSTEME NON LINEAIREMaster 2 FESup Physique AppliquéeFrançois Bailly – Simon Sellem

2 avril 2014

Table des figures1 Saturation de l’AOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Lieu de Nyquist de L(jω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Saturation de l’AOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Tracé de N(x) pour une saturation M=15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Lieux de Nyquist de L(p) pour différentes valeurs de K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tracé du lieu de Nyquist de L(jω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Caractéristique entrée-sortie de la non linéarité pour M = Vz1 avec en entrée un signal sinusoïdal à 16Hz 68 Caractéristique entrée-sortie de la non linéarité pour M = Vz1 avec en entrée un signal sinusoïdal à

100kHz. Observation (à gauche) dans la zone linéaire et à droite, apparition de la non linéarité . . . . . . 69 Observation des oscillations du système pour K=4 (à gauche) et K=10 (à droite) . . . . . . . . . . . . . . 710 Simulation à l’aide de simulink du système bouclé non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 Observation des oscillations du système simulé à l’aide de simulink pour K=4 (à gauche) et K=10 (à droite) 812 a. s’(t) fonction de s(t) pour différentes valeurs deK∗S0. | b. évolution temporelle de s(t) en fonctionnement

saturé (K ∗ S0=18). | c. évolution temporelle de s’(t) en fonctionnement saturé (K ∗ S0=18). . . . . . . . 813 Observation d’un foyer instable à l’oscilloscope en mode XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114 Observation d’un foyer stable à l’oscilloscope en mode XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115 Observation d’un noeud instable à l’oscilloscope en mode XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116 Observation d’un noeud stable à l’oscilloscope en mode XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117 Pour K=4 observation en mode XY de la convergence vers un cycle limite déformé par la non linéarité . . 1118 Pour K=6 observation en mode XY de la convergence vers un cycle limite déformé par la non linéarité . . 11

1 IntroductionLors de ce TP nous étudierons l’oscillateur à Pont de Wien, cas d’école des systèmes non linéaires, à travers les

méthodes du premier hamonique et du plan de phase.

2 Méthode du premier harmonique

� Préparation 1 : Afin de mener l’étude le schéma de l’oscillateur peut être éclaté en plusieurs blocs fonctionnels :

— Un gain pur qui peut s’écrire

K = αR2 +R1

R1

— Le bloc représentant la non linéarité introduite par l’amplificateur opérationnel

Figure 1 – Saturation de l’AOP

1

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— Un bloc ayant pour équation dans le domaine de Laplace :

L(p) =

−pω0

1 + 3p

ω0+p2

ω20

Ce qui nous donne avec p = jω et en divisant par le numérateur :

L(jω) =−1

3 + j(ω

ω0− ω0

ω)

On retrouve une forme du type(a+ jb(ω))−1

aveca = −3

etb(ω) =

ω0

ω− ω

ω0

Ainsi L(jω) parcours dans le domaine de Nyquist un cercle passant par l’orgine et de centre(

1

−6, 0

)

Figure 2 – Lieu de Nyquist de L(jω)

Calcul du gain complexe équivalent :

L’idée consiste à généraliser la méthode de l’analyse harmonique des systèmes linéaires. Considérons la saturation del’AOP de la figure 1, elle engendre sur un signal d’entrée sinusoïdal v(t) = Xsin(ωt) d’amplitude X > Xm, une sortiede la forme :

Figure 3 – Saturation de l’AOP

Pour 0 ≤ t ≤ t1 :v(t) = Xsin(ωt)

2


Pour t1 < t < T2 − t1 :

v(t) = Xsin(ωt1) = Xm

Le gain complexe équivalent est alors défini par :

N(X) =P (X) + jQ(X)

X

avec

P =2

T

∫ T

0

v(t)sin(ωt)dt

Q =2

T

∫ T

0

v(t)cos(ωt)dt

Compte-tenu de la parité des signaux on a directement :

Q = 0

et compte tenu des symétries on peut écrire :

P =8

T

∫ T4

0

v(t)sin(ωt)dt

avec T =2π

ωet t1 défini comme l’instant à partir duquel apparaît la non linéarité (Xsin(ωt1) = Xm), on a :

P =4ω

π

∫ t1

0

Xsin2(ωt) +

∫ π

2ω

t1

Xmsin(ωt)dt

or

4ω

π

∫ t1

0

Xsin2(ωt)dt =4Xω

2π

∫ t1

0

(1− cos(2ωt)) dt

puis en intégrant et en utilisant la formule sin(2a) = 2sin(a)cos(a) on a :

2X

πarcsin(

Xm

X)− 2Xm

π

√1−

(Xm

X

)2

d’autre part

4ω

π

∫ π2ω

t1

Xmsin(ωt)dt =4Xm

πcos(ωt1) =

Xm

X

√1−

(Xm

X

)2

=4Xm

π

√1−

(Xm

X

)2

On en déduit ainsi facilement le gain equivalent complexe :

N(X) =P (X) + jQ(X)

X=

2

π

arcsin(Xm

X) +

Xm

X

√1−

(Xm

X

)2 si X > Xm sinon le système est linéaire

Gain à partir duquel apparaissent les oscillations

Dans le cas d’un système asservi possédant un seul élément non linéaire, on peut se ramener au modèle canoniquede la figure 2 de l’énoncé du TP avec le bloc non linéaire remplacé par son gain complexe équivalent N(x). En bouclefermée, la fonction de transfert généralisée peut s’écrire :

Hbf (jω) =KN(x)L(jω)

1 +KN(x)L(jω)

Quelle que soit l’entrée e, la stabilité du système dépend de la valeur du dénominateur. On obtient la condition nécessaired’auto-oscillation en annulant le dénominateur de la fonction de transfert :

1 +KN(x)L(jω) < 0

L’équation précédente de limite de stabilité s’écrit aussi

3−KN(x) + j

(ω

ω0− ω0

ω

)< 0

3


Ce qui donne directement en annulant partie réelle et imaginaire dans l’expression précédente :

ω = ω0

et3−KN(x) < 0

enfinK >

3

N(x)

Afin d’interpréter cette inégalité, on se propose de tracer N en fonction de x. Pour cela, il faut avoir à l’esprit que pourx < Xm, le bloc non linéaire se comporte comme un gain unitaire vis à vis du signal : N(x) = 1. La relation de N(x)trouvée plus haut étant valable pour x > Xm, on peut donc tracer N(x) :

Figure 4 – Tracé de N(x) pour une saturation M=15

Le cas limite de l’inéquation précédemment établie est atteint lorsque N(x) est maximum, ce qui est le cas pour les xfaibles, et N(x) vaut alors 1. Le système présente alors des oscillations pour

K > Klim = 3

.N.B. : Une saturation de M=15 correspond par exemple à celle d’un amplificateur opérationnel (en V).On peut tracer les lieux de Nyquist de K ∗ L(p) pour différentes valeurs de K ([3; 4; 5; 10]).

Figure 5 – Lieux de Nyquist de L(p) pour différentes valeurs de K

4


Comme on l’a démontré plus haut, le lieu de Nyquist de−1

N(x)n’est autre que la droite des réels prise entre [−∞;−1].

Les oscillations (ici stables ∀K) sont donc données par l’intersection de cette demi-droite avec les différents lieux de L(p) :

— Pour K=3, ωosc = ω0 et Aosc = 1— Pour K=4, ωosc = ω0 et Aosc = 1.33— Pour K=5, ωosc = ω0 et Aosc = 1.67— Pour K=10, ωosc = ω0 et Aosc = 3.33

Pour relever le lieu de Nyquist de la partie linéaire du système de fonction de transfert L(jω) on peut mettre en entréedu bloc un signal sinusoïdal à amplitude fixée et à fréquence variable et mesurer l’amplitude du signal de sortie ainsique le déphasage de la sotie par rapport à l’entrée. Ceci nous donne accès au module ρ et à la phase φ de la fonction detransfert donc au lieu de Black. Pour avoir le lieu de Nyquist il nous suffit alors d’écrire

Re(L(jω)) = ρcos(φ)

Im(L(jω)) = ρcos(φ)

En traçant Im(Re), on obtient directement le lieu de Nyquist du bloc considéré. Quant au lieu critique il sera donné parla demi droite des réels [−∞; 1], on aura donc les caractéristiques des oscillations à l’intersection de ces deux lieux.

� Manipulation 1 :

On trace dans un premier temps le lieu de Nyquist de L(jω) en relevant, pour différentes fréquences d’une part ledéphasage entre l’entrée et la sortie, d’autre part le module de l’entrée ainsi que celui de la sortie.Comme nous voulons tracer le lieu de Nyquist, il nous suffit de faire la transformation qui nous permet de passer del’écriture exponentielle à l’écriture algébrique d’un nombre complexe (cf. Préparation). On obtient ainsi le tracé du lieude Nyquist ci-dessous :

Figure 6 – Tracé du lieu de Nyquist de L(jω)

On observe bien une courbe typique du lieu de Nyquist de L(jω) (cf figure 5). De plus L(jω) parcours dans le domaine

de Nyquist un cercle passant par l’orgine et de centre(

1

−6, 0

), comme cela avait été prévu lors de la préparation.

On se propose à présent de relever la caractéristique entrée sortie du bloc non linéaire (de saturation) avec M = Vz1 =10V . On effectue dans un premier temps ce relevé avec en entrée un signal sinusoïdal de fréquence f = 16Hz (pulsationpropre du système oscillant choisi), le fruit de cette observation à l’oscilloscope (en mode XY) est donné ci-dessous :

5


Figure 7 – Caractéristique entrée-sortie de la non linéarité pour M = Vz1 avec en entrée un signal sinusoïdal à 16Hz

On vérifie bien la non linéarité théorique de la figure 1 à 16Hz, avec une zone linéaire pour les faibles tensions, et unezone saturée quand l’amplitude du signal d’entrée dépasse 10V. Mais lorsque l’on augmente la fréquence de ce signald’entrée (100kHz), on observe, toujours en mode XY, les figures ci-dessous à l’oscilloscope :

Figure 8 – Caractéristique entrée-sortie de la non linéarité pour M = Vz1 avec en entrée un signal sinusoïdal à 100kHz.Observation (à gauche) dans la zone linéaire et à droite, apparition de la non linéarité

De gauche à droite sur les courbes ci-dessus, on voit apparaître la non linéarité avec l’amplitude du signal d’entréequi augmente. Mais un autre phénomène est également visible : on peut voir une courbe semblable à une courbe deLissajous qui est caractéristique d’un comportement du type filtre passe bas. Ce comportement est certainement celui del’amplificateur opérationnel qui n’est pas idéal (comme tout composant électronique, sa bande passante est limitée pardes effets capacitifs à hautes fréquences).Aux hautes fréquences, on peut donc conclure qu’on a la superposition de deux phénomènes apportés par l’amplificateuropérationnel : une non linéarité, clairement visible pour les fortes tensions d’entrées, et un comportement du type filtrepasse bas. On pourra faire abstraction de cette complication du modèle par la suite, puisque étant en présence d’uncircuit oscillant, nous sommes censés travailler autour de sa pulsation propre (≈ 16Hz) pour laquelle le caractère passebas de l’AO n’influe pas.

On boucle maintenant le système, sans entrée, et on augmente progressivement le gain K jusqu’à apparition desoscillations. Ces oscillations apparaissent à K = 3comme prévu, on relève pour différents gains la fréquence et l’amplitudedes oscillations, ainsi :

— K=3, la fréquence des oscillations est de 15.98Hz pour une amplitude de 4.5V— K= 4, fréquence 14Hz et amplitude 5.51V— K=5, fréquence 12.42Hz et amplitude 5.87V— K=10, fréquence 8.85Hz et amplitude 6.59V

6


Par rapport aux résultats théoriques, on peut remarquer :1. Pour des gains allant jusqu’à 5, on est assez proche de la fréquence théorique des oscillations qui est de f0 = ω0

2π =15.91Hz

2. Lorsque ce gain augmente, on s’éloigne de cette fréquence théorique des oscillations qui va en diminuant ; cecidécoule du fait que l’augmentation du gain provoque l’apparition d’harmoniques d’amplitude non négligeabledans le circuit, que le pont de Wien (piètre facteur de qualité) ne peux totalement discriminer, et la méthode dupremier harmonique devient inexploitable. Les résultats théoriques sont donc en désaccord avec la pratique, onest en présence d’une limitation de notre modèle.

3. L’amplitude des signaux observés est relativement éloignée de celle que nous devrions théoriquement obtenir avecla méthode du premier harmonique, pour les mêmes raisons que précédemment.

Ci-dessous, la forme du signal de sortie du système bouclé pour un gain de 4 puis un gain de 10 :

Figure 9 – Observation des oscillations du système pour K=4 (à gauche) et K=10 (à droite)

Ces relevés traduisent nos propos : le signal parcourant le circuit n’est plus purement sinusoïdal (une FFT montreraitl’apparition d’harmoniques de rang supérieurs), car mal filtré par le processus mis en œuvre, nos calculs théoriques n’ontdonc plus lieu d’être.Les assertions précédentes bien que pertinentes demandent à être vérifiées car les divergences entre nos mesures et lemodèle pourraient éventuellement avoir d’autres causes. Un moyen de vérifier notre interprétation est d’effectuer unesimulation numérique du système (composants parfaits une fois la saturation modélisée), afin de s’affranchir du douteconcernant les imperfections des différents éléments. C’est l’objet de la seconde manipulation.


Nous utilisons maintenant le logiciel de modélisation simulink afin de modéliser le système. Le bloc de saturation existedéjà tout fait, nous le paramétrons avec les valeurs haute et basse de saturation (-10V +10V). Un schéma est présentéci-dessous :

Figure 10 – Simulation à l’aide de simulink du système bouclé non linéaire

Notons la nécessité de mettre un échelon descendant à l’instant initial de la simulation pour que le système puissedémarrer (en pratique on a forcément un déséquilibre de notre système oscillant provenant des différentes perturbationsen présence).Les résultats de cette simulation sont exposés ci-dessous pour un gain de 4 et un gain de 10

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Figure 11 – Observation des oscillations du système simulé à l’aide de simulink pour K=4 (à gauche) et K=10 (à droite)

— On obtient par exemple : K=3, 16.27Hz, 4.7V (pk-pk), pour K=4, 12.88Hz, 7.85V.— Les simulations et les résultats expérimentaux sont très proches, tant sur la forme des signaux de sortie que sur

les fréquences des oscillations et amplitude de ces signaux.— En comparant les simulations et les résultats théoriques, on peut confirmer ce qui avait été préssenti avec l’expé-

rience : la méthode du premier harmonique n’est plus exploitable quand le gain devient trop élevé pour les raisonsénoncées précédemment.

On butte ici sur les limites de la méthode du premier harmonique qui est applicable sous certaines hypothèses restrictives.C’est la raison pour laquelle nous nous proposons d’étudier dans une seconde partie, la méthode du plan de phase.

3 Méthode du plan de phaseLa méthode du plan de phase est un cas particulier de la méthode de l’espace de phase, dans le cas où l’espace est

de dimension 2. Cette méthode s’applique de façon très générale à tout système décrit par un ensemble d’équationsdifférentielle. Dans le cadre des systèmes asservis non linéaires, cette méthode est exacte et ne suppose pas de conditionsparticulières, contrairement à la méthode du premier harmonique.

� Préparation 2 :

On se propose de tracer les différentes phases de fonctionnement dans le plan de phase.

Figure 12 – a. s’(t) fonction de s(t) pour différentes valeurs de K ∗S0. | b. évolution temporelle de s(t) en fonctionnementsaturé (K ∗ S0=18). | c. évolution temporelle de s’(t) en fonctionnement saturé (K ∗ S0=18).

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Ici, s(t) = K ∗S0 ∗sin(ω0 ∗ t), avec ω0 la pulsation des oscillations étudiées plus haut. Ces différentes figures (noire, rougeet bleue) dans le plan de phase sont tracées pour une saturation de 15 (celle de l’amplificateur opérationnel classique) etpour des amplitudes K ∗S0 différentes (respectivement : 10, 15 et 18). On a bien la saturation qui se traduit sur s(t) parun écrêtage (cf. Figure 6|b) et sur s’(t) par une annulation (cf. Figure 7|c).

Dans la zone de fonctionnement linéaire on a :

FTBF (p) =S(p)

E(p)=

−pω0

1 + (3−K)p

ω0+

p2

ω02

Ainsi :E(p) ∗ ω0p = −S(p) ∗

(ω0

2 + (3−K)ω0p+ p2)

Si on considère que e(t)=0 alors l’équation différentielle vérifiée par la sortie s(t) est :

s(t) + (3−K)ω0s(t) + ω02s(t) = 0

Notonsz =

[ss

]et donc z =

[ss

]or

s(t) = −(3−K)ω0s(t)− ω02s(t)

d’oùz =

[s

−(K − 3)ω0s(t)− ω02s(t)

]et ainsi

A =

[0 1−ω0

2 (K − 3)ω0

]Calculons les valeurs propres de la matrice A.

A− λI2 =

[−λ 1−ω0

2 (K − 3)ω0 − λ

]

detA− I2 = −λ((K − 3)ω0 − λ) + ω02

= λ2 − (K − 3)ω0λ+ ω02

On en déduit les valeurs propres de A qui vérifient :

det(A−XI2) = 0

Calculons le discriminant du polynôme caractéristique :

∆ = ((K − 3)2 − 4)ω20 = (K − 1)(K − 5)ω2

0

On en déduit les valeurs propres réelles de A dans le cas ou ∆ > 0, i.e. K ∈]−∞; 1[∪]5; +∞[ :

X1 =ω0

2

(K − 3−

√(K − 1)(K − 5)

)X2 =

ω0

2

(K − 3 +

√(K − 1)(K − 5)

)On remarque d’autre part que : ∏

pôles = ω20 et

∑pôles = (K − 3)ω0 = 2Re

Si le produit des pôles est positif, ils sont de même signe.

— Pour −∞ > K > 1 on a ∆ > 0 et∑

pôles < 0Les deux pôles sont réels négatifs.

— Pour 1 > K > 3 on a ∆ < 0 et∑

pôles < 0Les deux pôles sont complexes à partie réelle négative.

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— Pour 3 > K > 5 on a ∆ < 0 et∑

pôles > 0Les deux pôles sont complexes à partie réelle positive.

— Pour 5 > K >∞ on a ∆ > 0 et∑

pôles > 0Les deux pôles sont réels positifs.

Il y a alors 3 cas limites pour K ∈ {1, 3, 5} pour lesquels les pôles sont soit réels et doubles (K=1 et K=5),soit imaginaires purs (K=3).

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Dans cette partie, l’entrée est prise nulle (e(t)=0).On cherche à observer expérimentalement ce que nous devrions théoriquement observer sur l’influence de K dans le plande phase (page 24 de l’énoncé du TP) . Pour cela, on se place toujours en mode XY à l’oscilloscope, en haute résolutionet on utilise le mode de persistance infinie pour observer la forme des trajectoires, en observant le signal en fonction desa dérivée. Vérification expérimentale de ce que l’on devait observer (nœuds et foyers) :

Figure 13 – Observation d’un foyer instable à l’oscillo-scope en mode XY

Figure 14 – Observation d’un foyer stable à l’oscillo-scope en mode XY

Figure 15 – Observation d’un noeud instable à l’oscil-loscope en mode XY

Figure 16 – Observation d’un noeud stable à l’oscillo-scope en mode XY

Figure 17 – Pour K=4 observation en mode XY dela convergence vers un cycle limite déformé par la nonlinéarité

Figure 18 – Pour K=6 observation en mode XY dela convergence vers un cycle limite déformé par la nonlinéarité

Explications sur la forme de la non linéarité dans le plan de phase :En régime linéaire on observe une ellipse dans le plan de phase.Lors de l’apparition des non linéarités (augmentation de K), on observe une forme un peu plus exotique que nous allonsessayer d’expliquer : on peut placer une frontière entre un régime de fonctionnement linéaire et un régime non linéaire.Cette frontière est une droite verticale qui est à une distance Vsat

K de l’origine. Elle délimite la zone elliptique de latrajectoire de sa zone moins régulière. En effet, le signal de sortie étant multiplié par K, lorsqu’il atteint la valeur Vsat

K

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avant le bloc de gain, il vaut Vsat à l’entrée du bloc de saturation, d’où la déformation de notre cycle à partir de cettevaleur du signal.

4 Régime forcéDans cette partie l’entrée e(t) n’est plus nulle, nous étudions l’influence de différentes entrées sur le système.


Dans cette partie, nous considérons une entrée constante du type E=xV. Nous n’avons malheureusement pas pu récu-pérer nos courbes mais nous allons quand même décrire les résultats observés à l’oscilloscope dans les mêmes conditionsque la manipulations 3.

1. Observation dans le plan de phase : On travaille autour d’un point de polarisation qui n’est plus 0. Pour desvariations symétriques autour de ce point sur la droite linéaire, le signal attaquera la zone non linéaire du bloc desaturation sur une de ces alternances avant l’autre. C’est la raison pour laquelle on a pu observer une déformationnon symétrique de la courbe de lissajous (la déformation n’est plus symétrique comme dans la partie précédente).Pour un offset E > 0 la non linéarité +M sera atteinte avant la non linéarité −M .

2. Annulation des oscillations à partir d’une certaine valeur du gain K :Ce résultat surprenant de prime abord s’explique : par le biais du paramètre de gain, on augmente l’asymétrieintroduite par la tension d’offset. Le point de polarisation est donc modifié et on travaille à partir d’une certainevaleur de K entièrement dans la zone non linéaire. En partant de la fin de la boucle, dans le cas ou il y aurait unrésidu de variations, (autour de 0, car composante continue filtrée par le pont de Wien), on leur ajoute la tension depolarisation et on multiplie le tout par K de manière à se retrouver intégralement dans une des zones de saturationdu bloc NL. Chacune des alternances du signal étant comprise dans la zone non linéaire, la tension délivrée ensortie de ce bloc vaut ±M suivant la saturation atteinte. La sortie de bloc est donc une tension constante, filtréepar le pont de Wien, et on retrouve bien une tension nulle dans la boucle. Les oscillations ont disparu !

5 ConclusionNous avons, lors de ce TP étudié un système présentant une seule non linéarité (par saturation) à travers deux mé-

thodes : la méthode du premier harmonique et la méthode du plan de phase.La méthode du premier harmonique est une méthode applicable à condition que les parties non linéaires et linéaires del’asservissement soient séparables et que la partie linéaire se comporte comme un filtre passe bas. Dans notre étude lapremière hypothèse était vérifiée mais la deuxième pouvait laisser à désirer, le pont de Wien n’étant pas assez sélectifà partir d’une certaine importance des harmoniques. C’est pourquoi nos résultats n’étaient pas en adéquation avec lathéorie à partir de certaines valeurs de gain. La méthode du premier harmonique est une méthode approchée, puisqu’ellenéglige les termes harmoniques d’ordre supérieur à 1, mais elle est malgré tout précise si les conditions énoncées plushaut sont vérifiées.

La méthode du plan de phase est un cas particulier de la méthode de l’espace de phase, dans le cas où l’espace estde dimension 2. Cette méthode s’applique de façon très générale à tout système décrit par un ensemble d’équationsdifférentielle. En revanche, il n’existe pas toujours de solutions analytiques aux trajectoires calculées dans l’espace desphase. Cette méthode, connue depuis longtemps, connaît un regain d’intérêt lié aux performances des calculateurs actuelsqui rendent possible le calcul des trajectoires solutions par intégration numérique. Dans le cadre des systèmes asservis nonlinéaires, cette méthode est exacte et ne suppose pas de condition particulière, contrairement à la méthode du premierharmonique.

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