trabajo final 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA GEOLÓGICA

“ANÁLISIS DE DATOS Y VARIOGRAFÍA”

PRESENTADO por:

ABANTO ARAUJO, Ana.

AGUILAR PÉREZ, Melquisedec.

HUAMÁN YOPLA, Henry.

RAMOS VIGO, Darwin.

Docente:

Ing. Wilder Chuquiruna Chávez

CAJAMARCA – PERÚ2015

GEOESTADISTICA

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Escuela académico profesional de Ingeniería Geológica

INTRODUCCIÓN

La estadística y la geología son unas de las ciencias afines a la Geoestadítica,

pero eso no quiere decir que esta última sea la fusión de las dos. Es por ello

que nos vemos en la necesidad de entender correctamente los fundamentos,

definiciones y alcances de la geoestadística. El problema de modelar un

macizo rocoso acompaña siempre a la actividad minera, por ello la necesidad

de un mejor modelado para lograr una operación minera eficiente. Entonces,

¿cuál de las herramientas matemáticas existentes puede ofrecernos la

solución? En cuanto a los fenómenos naturales, la imposibilidad de explicar el

porqué del valor de una ley en un determinado punto de muestra está fuera de

nuestro alcance, de ahí que

Trabajamos con variables “aleatorias” (cada caso tiene la misma probabilidad

de ocurrir) y que las leyes tienen cierto grado de interdependencia. Además, la

geoestadística es el tratado de variables regionalizadas. No debemos pasar por

alto los puntos fundamentales que destacan: la consolidación de la

geoestadística con los trabajos de G. Matheron en 1965, el establecimiento de

la escuela de Fontainebleau y finalmente el desarrollo de la Geoestadística

asociada con la informática

ANALISIS DE DATOS Y VARIOGRAFIA

GEOESTADISTICA

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Estudiar los Análisis de datos y la Variografia

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Determinar el método de la transformada inversa.

Determinar y analizar el método de Montecarlo

Analizar la Variografia y sus diferentes aplicaciones en yacimientos

mineros.

Interpretar los resultados de las gráficas para comprender las diferencias

entre los parámetros estadísticos y la utilidad de la geoestadística


GEOESTADISTICA

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TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

SIMULACIÓN DE DISTRIBUCIONES

La idea básica detrás de la simulación goestadística consiste en obtener

nuevas realizaciones ¨artificiales¨ con igual comportamiento espacial que la

información observada en las muestras reflejen las mismas propiedades

estadísticas que esperan que posea la función aleatoria.

Según Lantuejoul y Rivoirard (1998) la simulación puede ser útil para obtener

una representación de una de las posibles realizaciones de la realidad de un

yacimiento. Esto da la posibilidad de sustituir un yacimiento real por uno

simulado y realizar un estudio de simulación de explotación, estudio de redes,

etc.

Teorema de límite central

Nos indica que en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables

aleatorias independientes, entonces la función de distribución de Sn se

aproxima a una distribución normal. Así pues el teorema asegura que esto

ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo

suficiente grande.

Definición

Sea la funcion de densidad de distribucion normal definida como:

Con la media u y una varianza . El caso en el que su función de densidad

en N(0,1), a la distribución se le conoce como normal estándar.

Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes,

idénticamente distribuidas y con una media u y con varianza finita.


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De manera que, la medio Sn es n.u y la varianza n. , dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso , se hace una estandarización de Sn como:

Para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar

igual a 1. Asi las variables de Zn converjan en la distribución normal estándar

N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si es la función de

distribución de N(0,1), para cada número real Z:

Donde Pr( )indica la probabilidad y lim se refiere a limite matemático.

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA

Determinar el método de la transformada inversa.

Definición:

El método de la transformada (o transformación) inversa, también conocido

como método de la inversa de la transformada, es un método para

la generación de números aleatorios de cualquier distribución de probabilidad

continua cuando se conoce la inversa de su función de distribución (cdf). Este

método es en general aplicable, pero puede resultar muy complicado obtener

una expresión analítica de la inversa para algunas distribuciones de

probabilidad. El método de Box-Muller es un ejemplo de algoritmo que aunque

menos general, es más eficiente desde el punto de vista computacional.

El método se utiliza para simular valores de las

distribuciones exponencial, Cauchy, triangular, de Pareto y Weibull.


https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%83%C2%B3n_de_Weibull

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%83%C2%B3n_de_Pareto

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%83%C2%B3n_triangular

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%83%C2%B3n_de_Cauchy

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%83%C2%B3n_exponencial

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%83%C2%A9todo_de_Box-Muller

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%83%C2%B3n_de_distribuci%C3%83%C2%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%83%C2%B3n_inversa

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%83%C2%B3n_de_probabilidad_continua

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%83%C2%B3n_de_probabilidad_continua

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%83%C2%BAmeros_aleatorios

https://es.wikipedia.org/wiki/Generador_de_n%C3%83%C2%BAmeros_aleatorios

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OBTENCIÓN DEL MÉTODO

El método de la transformada inversa se basa en el siguiente teorema:

Teorema de inversión. Sea X una variable aleatoria con función de distribución

de probabilidad acumulada F, continua e invertible, y sea su función

inversa. Entonces, la variable aleatoria U = F(X) tiene distribución uniforme en

. Como consecuencia, si U es una variable aleatoria uniforme en

entonces la variable aleatoria satisface la distribución F.

EL MÉTODO

El método de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables

aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la función acumulada f(x) y la

generación de números pseudoaleatorios ri ~U (0,1).

El método consiste en:

Definir la función de Densidad f(x) que representa la variable a

modelar.

Calcular la función acumulada f(x).

Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa

f(x)-1.

Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números

pdeudoaleatorios ri ~U (0,1) en la función acumulada inversa.

El método de la transformada inversa también puede emplearse para simular

variables aleatorias de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de

Bernoulli, binomial, geométrica, discreta general, etc. La generación se lleva a

cabo a través de la probabilidad acumulada P(x) y la generación de números

pseudoaleatorios ri ~U (0,1).


https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribuci%C3%B3n_continua_uniforme&action=edit&redlink=1

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%83%C2%B3n_uniforme_(continua)

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_distribuci%C3%B3n_de_probabilidad_acumulada&action=edit&redlink=1

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_distribuci%C3%B3n_de_probabilidad_acumulada&action=edit&redlink=1

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METODOS DE MONTECARLO

Consiste en numerosos procedimientos probabilisticos para generar relaciones

de funciones aleatorias que tienen un variograma dado

Estos metodos son principalmente:

a) Método del análisis armonico

b) Método de las medias móviles

c) Método de las lineas rotantes

d) Método gaussiano secuencial

las deficiencias que estos métodos presentan son: el método a) es demasiado

laboriosos y presenta problemas de convergencia . El método d) presenta

roblemas de reproducción ddel variograma (por ejemplo, no reproduce bien el

modelo esférico).

EL MÉTODO DE LAS MEDIAS MOVILES

En este metodo se sortean la azar, relaciones independientes de wi de una

variable aleatoria Wi , la cual es normal o gaussiana con esperanza matemática

0 y varianza 1, y se afectan estos valores en los vertices de una malla regular

(1-D,2 ó D,3). Sea f una cierta función. La simulación es entonces:

En la figura 1 se tiene una grilla muy densa con valores normales con media 0

y varianza 1 (llamada también normal reducida). A cada punto de la grilla se le

asocia la suma ponderada siguiente, la cual se realiza sobre todos los puntos

que caen dentro de la elipse E:


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Siendo n el número de puntos que caen dentro de la elipse E. Es fácil probar

que Z(x, y) también sigue una ley normal reducida.

Un caso interesante es cuando f tiene la expresión siguiente, en el espacio de

tres dimensiones

Se puede demostrar, sin dificultad que obtiene en este caso el variograma

esférico, con alcance a.

Luego, para simular el variograma esférico en el espacio de 3 dimensiones, se

pasea una esfera de diámetro a por el interior de un paralelepípedo (o un

cuerpo tridimensional) el cual está lleno de valores aleatorios independientes

W (i, j, k) y se afecta al centro de la esfera, la suma de los valores W que

están en su interior. Más generalmente, en vez de una esfera, se puede

considerar un elipsoide (figura 30), con lo cual se obtienen realizaciones

anisótropas:


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el elipsoide proporciona una realización anisótropa

Si se desea simular en 2-D un variograma esférico, hay que tomar un plano

particular de la simulación precedente.

En el caso de simular un modelo esférico (en 2-D o en 3-D), existe un método

más eficiente conocido como las monedas aleatorias, el cual consiste en

implantar en el plano (espacio) círculos (esferas) cuyos centros y diámetros son

aleatorios y asignar en cada implantación un número (aleatorio o no) a los

puntos interiores, sumando la contribución de las implantaciones (ver figura

30). En el espacio de 2 dimensiones el radio del círculo es aleatorio, en 3

dimensiones el diámetro de la esfera es una constante a (este método se

llama también “random token” o “monedas aleatorias”).

Monedas aleatorias. A la izquierda con 4 circulos, a la derecha, contribución con 600 círculos.

El método de las líneas rotantes

Sean k rectas al azar Di en el espacio. Cada recta se caracteriza por un vector


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unitario eI. Se genera, en cada recta Di, una realización Y aleatoria de una

dimensión (mediante el método de las medias móviles). Sea x un punto del

espacio. La simulación tridimensional es:

En que (x · ei) es el producto escalar entre el vector x (de componentes xy el

vector unitario ei : 1, x2, x3)

lineas rotantes en 2d y 3d

Para tener una buena convergencia, es necesario utilizar por lo menos unas 50

rectas aleatorias en 2 – D y unas 120 rectas aleatorias en 3 – D. También se

pueden utilizar rectas uniformemente distribuidas en 2D o 3D. La situación es

ligeramente más complicada en 3D.

Se puede demostrar que para simular mediante líneas rotantes el variograma

esférico hay que utilizar en las rectas la función f(x) (aplicada a la ecuación 1)

siguiente:

Para simular el variograma exponencial, hay que utilizar en las rectas la función

f(x) siguiente:

EJERCICIO APLICATIVO

Se muestran datos de un análisis en una campaña de explotación de petróleo


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de 200 días. La tabla incluye número de perforaciones productivas diarias a 50

metros de profundidad (0 a 5) junto con las frecuencias absolutas (número de

días en que se produjeron 0,1…, 5 perforaciones) las frecuencias relativas

(10/200 = 0.05,…) y las frecuencias relativas acumuladas.

Podríamos interpretar la frecuencia relativa como la probabilidad de que ocurra

el suceso asociado, en este caso, la probabilidad de un determinado número

de perforaciones (así por ejemplo, la probabilidad de que se den 4

perforaciones en un día sería de 0.2), por lo que la tabla anterior nos

proporciona la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria

discreta (la variable aleatoria es el número de perforaciones, que solo puede

tomar valores entre 0 y 5).

Supongamos que queremos conocer el número esperado (o medio) de perfora

ciones por día. La respuesta a esta pregunta es fácil si recurrimos a la teoría de

la probabilidad.

Denotando por X a la variable aleatoria que representa el número diario de

perforaciones, sabemos que:

Por otra parte, también podemos usar simulación de Monte Carlo

para estimar el número esperado de perforaciones (en este caso se ha

podido


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obtener el valor exacto usando teoría de probabilidad, pero ello no siempre

será factible). Veamos cómo:

Cuando se conozca la distribución de probabilidad asociada a una

variable

aleatoria discreta, será posible usar la columna de frecuencias relativas acumul

adas para obtener los llamados intervalos de números aleatorios asociados

a cada suceso. En este caso, los intervalos obtenidos son:

[0.00, 0.05) Para el suceso 0






El gráfico siguiente nos muestra cada una de las probabilidades sobre el númer

o de perforaciones. En él, se aprecia claramente la relación existente

entre probabilidad de cada suceso y el área que éste ocupa.

NÚMERO DE PERFORACIONES

Esto significa que, al generar un número pseudo-aleatorio con el ordenador

(proveniente de una distribución entre 0 y 1), estaremos llevando a cabo un

experimento cuyo resultado, obtenido de forma aleatoria y según la distribución

de probabilidad anterior, estará asociada a un suceso. Así por ejemplo si el

ordenador nos proporciona el número pseudo-aleatorio 0,2567, podríamos

suponer que ese día se han producido dos perforaciones productivas.

VARIOGRAFÍA


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VARIOGRAFIA VARIOGRAFÍA – Variables Regionalizadas.

Una ocurrencia de la variable regionalizada Au al interior de los puntos de un

depósito está constituido por las leyes que pueden provenir de una campaña

de sondajes realizado en un depósito de minerales. La variable regionalizada

está constituida por todos los posibles valores de Au que pueden existir en

todos los puntos del espacio que encierra el depósito. A esta población de

valores de Au encontrada por la campaña de sondajes, podemos calcularle la

correlación entre pares de leyes que se encuentran a una distancia “h” metros

separadas entre sí. Si para cada uno de los N puntos muestreados en el

depósito se encuentran las leyes Z(xyz): (Z(xyz.1),Z(xyz.2), . . . ,Z(xyz.N))

El semivariograma se expresa de la siguiente forma: En esta expresión se

identifica Z(xyz) como la ley de una muestra (i) ubicada en la coordenada xyz,

se asume que existen muestras i = 1,…,N. También se observa la variable h

que indica que esta expresión es válida solo para cada valor de “h” que

corresponde a la distancia entre las dos leyes encerradas por corchetes.

También se observa que esta diferencia de leyes distanciadas h metros, se

encuentra elevada al cuadrado. Para un valor de h encontraremos N

diferencias elevadas al cuadrado, las que se suman y se dividen entre 2 y el

valor de N. Por lo tanto encontraremos para cada “h” valores que al graficarlo

se presentará la estructura del semivariograma.

VARIOGRAFIA UNIDIMENSIONAL

Poniendo como ejemplo una serie de leyes en una dirección, que podrían ser

leyes de una galería o leyes de un sondaje, se tiene:


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Gama(2m) = (0.3 - 0.5)^2 + (0.5 – 0.7)^2 + (0.7 – 0.4)^2 + (0.4 – 0.2)^2 + (0.2 –

0.6)^2 + - - - = 0.61 / (2*8) = 0.038

Gama(4m) = (0.3 – 0.7)^2 + (0.5 – 0.4)^2 + (0.7 – 0.2)^2 + (0.4 – 0.6)^2 + (0.2 –

0.8)^2 + - - - =1.22 / (2*7) = 0.087

Gama(6m) = (0.3 – 0.4)^2 + (0.5 – 0.2)^2 + (0.7 – 0.6)^2 + (0.4 – 0.8)^2 + (0.2 –

0.4)^2 + - - - =0.47 / (2*6) = 0.039

Gama(8m) = - - - - = 0.03 / (2*5) = 0.003

Gama(10) = - - - - -= 0.31 / (2*4) = 0.039

Gama(11) = - - - - -= 0.51 / (2*3) = 0.085

Gama(12) = - - - - -= 0.10 / (2*2) = 0.025

VARIOGRAFIA A DOS DIMENSIONES

Gama(6m) = (0.4 - 0.2)^2 + (0.6 – 0.8)^2 + (0.5 – 0.2)^2 + (0.2 – 0.6)^2 + (0.6 –

0.8)^2 + - - - = 0.61 / (2*8) = 0.038

Gama(12m) = (0.3 – 0.7)^2 + (0.5 – 0.4)^2 + (0.7 – 0.2)^2 + (0.4 – 0.6)^2 + (0.2

– 0.8)^2 + - - - =1.22 / (2*7) = 0.087

Gama(18m) = (0.3 – 0.4)^2 + (0.5 – 0.2)^2 + (0.7 – 0.6)^2 + (0.4 – 0.8)^2 + (0.2


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– 0.4)^2 + - - - =0.47 / (2*6) = 0.039

Gama(24m) = (0.3 – 0.4)^2 + (0.5 – 0.2)^2 + (0.7 – 0.6)^2 + (0.4 – 0.8)^2 + (0.2

– 0.4)^2 + - - - =0.47 / (2*6) = 0.039

Gama(30m) = (0.3 – 0.4)^2 + (0.5 – 0.2)^2 + (0.7 – 0.6)^2 + (0.4 – 0.8)^2 + (0.2

– 0.4)^2 + - - - =0.47 / (2*6) = 0.039

Gama(36m) = - - - - = 0.03 / (2*5) = 0.003

Gama(42) = - - - - -= 0.31 / (2*4) = 0.039

Gama(48) = - - - - -= 0.51 / (2*3) = 0.085

Gama(54) = - - - - -= 0.10 / (2*2) = 0.025

CARACTERISTICAS DEL VARIOGRAMA

1.- Al origen por lo general presenta un efecto de pepita, es decir no inicia en el

punto cero.

2.- Cuantos más pares de puntos se presentan en el variograma experimental,

más peso e importancia se le debe dar a la distancia que se presenta.

3.- El variograma con frecuencia mantiene un crecimiento desde el origen hasta

lograr alcanzar un valor estable denominado meseta, y tiende a coincidir con la

varianza.

4.- Comportamiento Direccional, el variograma en una determinada dirección

es distinta al variograma en otra dirección, a estos casos se le conoce como

anisotrópicos. Por lo general en los depósitos de minerales no existe isotropía,

toda vez que el flujo mineralizante proviene de una determinada dirección.

A continuación se presentan tres posibles presencias de variables

regionalizadas que distinguen el comportamiento en el origen del variograma.


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TIPOS DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES


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MODELADO DE VARIOGRAMAS

El modelamiento del variograma se realiza una vez que se eligieron los

variogramas representativos del depósito para las direcciones principales.

El modelamiento consiste en elegir el variograma experimental más

representativo de acuerdo a las características mencionadas anteriormente.

Una vez elegido, el variograma experimental supuesto con el modelo

autorizado que más se le aproxima. El modelo

Los modelos de variogramas autorizados mantienen una condición principal de

ser siempre positivos. Es por ello que se requiere de ciertas acotaciones o

condiciones para mantener esta positividad.

Efecto Pepita. El variograma con efecto pepita, presenta la siguiente

formulación: en el caso que h=0 si h es mayor que cero. (h) 0 (h) C

Modelo Esférico El variograma con efecto pepita, presenta la siguiente

formulación:

En el caso que h>0 (h) C si h es mayor que a

Modelo Potencia o Monómico.

El variograma con efecto pepita, presenta la siguiente formulación:

En el caso que h > 0

Modelo Exponencial. El variograma con efecto pepita, presenta la siguiente

formulación:


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En el caso que h>0

(h) C si h es mayor que 3a.

En este caso es importante tomar en cuenta que el alcance o llegada a la

meseta ocurre a tres veces el valor de a, siendo a una variable de la función

variograma exponencial.

ModeloGausiano. El variograma con efecto pepita, presenta la siguiente

formulación:

En el caso que h=0

si h es = a (h) C

El alcance se logra de forma asintótica, y para casos prácticos se puede

considerar que alcanza a la meseta a una distancia de a√3


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CONCLUSIONES

Este método de la transformada inversa es muy útil en algunos aspectos

de lo que es la estadística espacial dando apoyo a un sinnúmero de

análisis dentro de una investigación ya sea en cualquier rama de

ciencias numéricas donde son los datos los que son estudiados.

El Variograma es una herramienta que nos ayuda analizar cómo están

distribuidas las variables y determinar su comportamiento espacial, en lo

cual la estadística se limita en solo analizar el conjunto más no el orden

BIBLIOGRAFÍA

Samuel Canchaya M. “EL MÉTODO GEOESTADÍSTICO: UNA

PRESENTACIÓN COMPARATIVA CON LOS MÉTODOS TRADICIONALES

DE ESTIMACIÓN DE RESERVAS”.

LINKOGRAFIA

http://www.academia.edu/8844884/CONSTRUCCI

%C3%93N_DE_VARIOGRAMAS_Y_AN%C3%81LISIS_GEOESTAD

%C3%8DSTICO_DE_5000_DATOS_GENERADOS_ALEATORIAMENTE_GE

OESTAD%C3%8DSTICA_I

http://sampling-ok.com/web/publicaciones/2013-01-31_VPL.pdf


http://sampling-ok.com/web/publicaciones/2013-01-31_VPL.pdf

http://www.academia.edu/8844884/CONSTRUCCI%C3%83%C2%93N_DE_VARIOGRAMAS_Y_AN%C3%83%C2%81LISIS_GEOESTAD%C3%83%C2%8DSTICO_DE_5000_DATOS_GENERADOS_ALEATORIAMENTE_GEOESTAD%C3%83%C2%8DSTICA_I



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