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Trabajo Fin de Grado en Fısica

Transformaciones conformes y diagramas dePenrose en Relatividad General

Alejandro Jimenez Cano

Universidad de Granada

Junio de 2015

Tutor: Bert JanssenDepartamento de Fısica Teorica y del Cosmos

Universidad de Granada

Abstract

We introduce Weyl transformations that have the property of preser-ving the causal structure of a given metric. We use these in order totransform spacetimes into bidimentional diagrams (Penrose diagrams)in which we can analyze many aspects related to causality: the exis-tence of Cauchy surfaces, horizons, etc. We apply this compactificationprocess to study and discuss the maximally symmetric solutions andthe Friedmann-Robertson-Walker spacetime filled with a general perfectfluid p = wρ.

Convenios

1. En la ecuacion de Einstein

Rµν −12

gµνR = −8πGN(Tµν + Λgµν

),

vamos a absorber el termino de constante cosmologica dentro de Tµν, pues puede inter-pretarse como un fluido perfecto con parametro de estado w = −1 (ver justificacion en§1.2.2 en la discusion de la ecuacion de estado (1.20)).

2. Denotaremos ηµν a la metrica de Minkowski (en cualquier dimension).

3. Para la signatura de una metrica lorentziana asignaremos + a las componentes tempora-les y − a las espaciales de la metrica. Por ejemplo para una metrica lorentziana cuadri-mensional tendrıamos (+−−−).

4. El tensor de Riemann que usaremos se define, a partir de los sımbolos de Christoffel, delsiguiente modo:

Rµνρλ = ∂µΓλ

ρν − ∂νΓλµρ + Γλ

µσΓσνρ − Γλ

νσΓσµρ. (0.1)

5. El tensor de Ricci lo construiremos a partir del tensor de Riemann segun:

Rµν = Rµρνρ. (0.2)

I Indice

Indice

1. Introduccion. Nociones de Relatividad General 11.1. Las ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Soluciones cosmologicas de las ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1. Principios cosmologicos. Metrica Friedmann-Robertson-Walker . . . . 11.2.2. Ecuaciones de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3. Un caso muy especial: el universo estatico de Einstein E . . . . . . . . 6

1.3. Transformaciones de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Compactificacion conforme y diagramas de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Los universos maximamente simetricos. Analisis y compactificacion 102.1. El espaciotiempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. El universo de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. El universo anti-De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Compactificacion de las metricas FRW. Generalidades 203.1. Resolucion de las ecuaciones de Friedmann. Primeros pasos para k general . . 203.2. Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. El caso especial w = − 1

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.1. Integracion de las ecuaciones de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2. Tiempo conforme y comovil. Expresion final del factor de escala . . . 233.3.3. Singularidades con w = − 1

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Compactificacion conforme de un universo plano (FRW) 244.1. Estudio para w 6= − 1

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.1. Integracion de las ecuaciones de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.2. Singularidades (para w 6= −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.3. Compactificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2. Estudio del caso w = − 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3. Diagramas de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5. Compactificacion conforme de un universo cerrado (FRW) 295.1. Estudio para w 6= − 1

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1.1. Integracion de las ecuaciones de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . 295.1.2. Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.1.3. Compactificacion para los casos w < −1 y w > − 1

3 . . . . . . . . . . . 325.2. Estudio del caso w = − 1

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3. Diagramas de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6. Compactificacion conforme de un universo abierto (FRW) 346.1. Estudio para w 6= − 1

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.1.1. Integracion de las ecuaciones de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . 346.1.2. Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.1.3. Compactificacion para los casos w < −1 y w > − 1

3 . . . . . . . . . . . 366.2. Estudio del caso w = − 1

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Indice II

6.3. Diagramas de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7. Aproximacion a los casos w ∈ (−1, − 13 ) para metricas FRW con k = ±1 37

8. Conclusiones 38

Agradecimientos 39

Referencias 39

1 1 Introduccion. Nociones de Relatividad General

1. Introduccion. Nociones de Relatividad General

1.1. Las ecuaciones de Einstein

Nuestro punto de partida son las ecuaciones de Einstein de la Relatividad General (pu-blicadas en 1915). Estas consisten en un sistema de ecuaciones diferenciales1 que ligan elcontenido de materia y energıa de una variedad, cuantificada a traves de un tensor energıa-momento Tµν, con la curvatura de la misma:

Rµν −12

gµνR = −8πGNTµν, (1.1)

donde Rµν es el tensor de Ricci, gµν la metrica y R el escalar de Ricci asociados a la va-riedad y GN es la constante de gravitacion universal de Newton. A partir de ahora, porsimplicidad, llamaremos κ = 8πGN . A diferencia de la teorıa newtoniana, Einstein descri-be la gravedad como una teorıa de campos en la que el campo intermediario es la propiametrica del espaciotiempo. Esta, a traves del tensor Tµν, se acopla a todas las formas deenergıa; de hecho las ecuaciones de Einstein acoplan la metrica consigo misma, de formaque la geometrıa no es fija ni esta determinada a priori: el espaciotiempo es un sistemafısico dinamico. Tomando trazas en la ecuacion (1.1) se obtiene:

R− 2R = −κT ⇒ R = κT, (1.2)

de modo que podemos reescribir (1.1):

Rµν −12

gµνκT = −κTµν, (1.3)

Rµν = −κ

(Tµν −

12

gµνT)

. (1.4)

1.2. Soluciones cosmologicas de las ecuaciones de Einstein

1.2.1. Principios cosmologicos. Metrica Friedmann-Robertson-Walker

Vamos a centrar nuestro estudio en las soluciones que pretenden describir un universoa escalas cosmologicas. Para ello hemos de imponer sobre las ecuaciones de Einstein doscondiciones que se denominan principios cosmologicos y que enunciamos a continuacion:

1. Principio cosmologico (propiamente dicho): en cualquier instante de tiempo, el universoes homogeneo e isotropo a muy grandes escalas.

2. Principio de Weyl: a escalas cosmologicas la materia se comporta como un fluido perfecto,esto es, sin interacciones entre sus componentes, los cuales se mueven siguiendo geodesicastemporales, que no intersectan salvo quizas en un punto en el pasado.

1En concreto son diez ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden, en derivadas parciales y nolineales, lo cual hace que no hayan podido resolverse analıticamente en un caso general. Solo se conocenciertas soluciones muy particulares y con elevada simetrıa.

1 Introduccion. Nociones de Relatividad General 2

El principio de Weyl nos dice que existen unos observadores privilegiados que son los queestan en reposo respecto al fluido perfecto y, por tanto, se mueven siguiendo la evoluciondel universo. Estos observadores se denominan comoviles y a la direccion temporal de unode ellos se le llama tiempo cosmologico (t). Como consecuencia, es posible foliar el espacio-tiempo con una familia de hipersuperficies espaciales, una para cada instante t = cte. Porlo que la metrica debe tener necesariamente la forma:

ds2 = dt2 − S2(t)ds2, con ds2 = gijdxidxj (1.5)

donde gij es la metrica de las secciones espaciales tridimensionales y S2(t) es el factor deescala que mide la expansion o contraccion de dichas secciones espaciales.

El principio cosmologico por otro lado implica que el espacio ha de tener curvaturaconstante2, propiedad que viene dada por la siguiente restriccion sobre el tensor de Riemannde las secciones espaciales:

Rijkl = K(

gil gjk − gik gjl

), (1.6)

donde K es una constante relacionada con el radio de curvatura y que posee dimensiones deL−2. Se demuestra que en tres dimensiones las unicas variedades con curvatura constanteson aquellas con la forma siguiente:

ds2 =

|K|−1

[1

1−kr2 dr2 + r2 (dθ2 + sen2θdϕ2)] , si K 6= 0dr2 + r2 (dθ2 + sen2θdϕ2) , si K = 0

(1.7)

donde hemos introducido k := sgnK = K|K| . A partir de ahora denotaremos por dΩ2

2 al

elemento de angulo solido en una 2-esfera, dθ2 + sen2θdϕ2. Veamos cada uno de los casos:

p Con K = 0 (⇔ k = 0), tenemos Rijkl = 0, es decir, una variedad sin curvatura. Launica es el espacio tridimensional plano: R3. De hecho (1.7) con k = 0 es la metrica deR3 en coordenadas esfericas. Nos referiremos a estas soluciones FRW como universosplanos; notese que nos estamos refiriendo a la planitud de las secciones espaciales,pues incluyendo la direccion temporal no tienen por que serlo.

p Con K > 0 (⇔ k = 1), mediante el cambio de coordenadas:

r = senχ ⇔ dχ =dr√

1− r2, r ≥ 0 ⇔ 0 ≤ χ ≤ π, (1.8)

se llega a

ds2 = K−1[dχ2 + sen2χdΩ2

2

], (1.9)

que es la metrica de la 3-esfera (S3) que embebida en R4 posee un radio K−1/2. Aestas soluciones los llamaremos universos esfericos o cerrados.

2Lo cual es equivalente a decir que es maximamente simetrico (posee un maximo numero de simetrıas).


p Con K < 0 (⇔ k = −1), mediante el cambio de coordenadas:

r = senhχ ⇔ dχ =dr√

1 + r2, r ≥ 0 ⇔ χ ≥ 0, (1.10)

se llega a

ds2 = K−1[dχ2 + senh2χdΩ2

2

], (1.11)

que es la metrica del hiperboloide tridimensional H3 que no puede embeberse enR4 sino en el espacio de Minkowski cuadrimensional (R1,3); en este espacio se pre-senta como un hiperboloide a distancia temporal |K|−1/2 del origen. Por ello, estassoluciones reciben el nombre de universos hiperbolicos o abiertos.

En resumen, hemos visto que el ansatz que hemos de introducir en las ecuaciones de Eins-tein como consecuencia de los principios cosmologicos es la siguiente

ds2FRW = dt2 − a2(t)

[1

1− kr2 dr2 + r2dΩ22

], con a(t) =

S(t), si k = 0

|K|−12 S(t), si k = ±1

(1.12)

que es la llamada metrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW). Empleando los cambios decoordenadas que acabamos de ver, concluiremos que la metrica FRW para los distintosvalores de k puede escribirse del modo siguiente:

ds2FRW =

dt2 − a2(t)

(dr2 + r2dΩ2

2)

, si k = 0dt2 − a2(t)

(dχ2 + sen2χdΩ2

2)

, con χ ∈ [0, π] si k = +1dt2 − a2(t)

(dχ2 + senh2χdΩ2

2

), con χ ∈ [0, ∞) si k = −1

(1.13)

Nota: a partir de ahora redefino ds2 como la que acompana a a2(t) en la metrica cuadrimen-sional y no a S2(t), ası como todo lo relacionado con ella: metrica (gij), tensores y escalares decurvatura (Rijkl , Rij, R), sımbolos de Christoffel (Γk

ij), ...

Comentar tambien que a veces no conviene trabajar en coordenadas comoviles (las queestamos empleando en la que el factor de escala aparece multiplicando a la parte espacial).Es entonces cuando se introduce el llamado tiempo conforme, τ, el cual no tiene en generaluna interpretacion fısica, a traves del cambio de coordenadas:

dt = a(τ)dτ ⇒ t =ˆ

a(τ)dτ, ⇔ τ =

ˆa−1(t)dt, (1.14)

quedando la metrica:

ds2 = dt2 − a2(t)ds2 −→ ds2 = a2(τ)(

dτ2 − ds2)

. (1.15)


1.2.2. Ecuaciones de Friedmann

Observese que para cada valor de k lo ultimo que nos quedarıa por conocer es la funciona(t) que determina la evolucion de las secciones espaciales. Para ello introducimos el ansatzde FRW en las ecuaciones de Einstein y tambien hemos de considerar el modelo de fluidoperfecto impuesto por el postulado de Weyl que deriva en un tensor energıa-momento conla siguiente forma:

Ttt = ρ, Tij = a2 gijP, (1.16)

donde ρ es la suma de las densidades de todas las formas de energıa (∑α ρα) y P es la sumade las presiones asociadas a dichas formas de energıa (∑α Pα).

El resultado son dos ecuaciones diferenciales llamadas ecuaciones de Friedmann3

Ecs. Friedmannen coordenadas

comoviles.

(

aa

)2=

13

κρ− ka2

aa+

12

(aa

)2= −1

2κP− k

2a2

(1.17)

Ecs. Friedmannen coordenadas

conformes.

(

a′

a

)2

=13

κa2ρ− k

a′′

a− 1

2

(a′

a

)2

= −12

κa2P− k2

(1.18)

Cuando aludamos a la ecuacion de Friedmann (en singular) nos estaremos refiriendo ala primera de ellas; a la otra se la conoce como ecuacion de evolucion pues involucra la ace-leracion. Combinandolas se obtiene la ecuacion de aceleracion, que en ambos sistemas decoordenadas queda:

(Comoviles)aa= −1

6κ (ρ + 3P) , (Conformes)

a′′

a=

16

κa2 (ρ + 3P) . (1.19)

Lo ultimo que necesitamos es conocer ρ y P. En primer lugar, tenemos una ecuacion deestado que nos liga la densidad y la presion de cada forma de energıa a traves del parametrode la ecuacion de estado w(α)

4:

Pα = w(α)ρα, (1.20)

de modo que nos basta con conocer ρ = ρ(t), y la presion sale directamente de esta relacion.Observese que con w = −1 tenemos P = −ρ y por las ecuaciones (1.16) se llega a Tµν =

3Emplearemos los puntos para indicar derivadas respecto al tiempo comovil t y apostrofes para lasderivadas respecto al tiempo conforme τ.

4La homogeneidad e isotropıa del espacio hacen que w(α) = f (t). Cada valor caracteriza a un fluido,por lo que para un tipo particular de fluido tampoco tendrıamos dependencia temporal. Si tuviesemos endistintas epocas diferentes tipos de energıa (w(α) = f (t)), serıa preferible considerar que lo que hay es unamezcla de fluidos (cada uno de ellos con w(α) = cte) que dominan, unos u otros, segun el momento. Porlo que, sin perdida de generalidad, consideramos w(α) constante.


gµνρ que tiene la forma del termino de constante cosmologica con Λ = ρ, y justifica elconvenio elegido. Luego el termino de constante cosmologica que representa una energıadel vacıo, puede tambien interpretarse como un fluido perfecto y exotico (estando pues eluniverso no-vacıo). Por otro lado imponiendo la conservacion de la energıa,∇µTµν = 0, sellega a:

ρ + 3aa(ρ + P) = 0 ⇒ ρα + 3

aa(ρα + Pα) = 0. (1.21)

Introduciendo la ecuacion de estado en esta ecuacion diferencial se obtiene justo lo quebuscabamos:

ρα = ρα0

(a(t)a0

)−3(w(α)+1)

. (1.22)

Como casos particulares podemos ver:

p Constante cosmologica (w = −1, P = −ρ) que corresponde a un modelo de energıaoscura en el que ρΛ = cte, independientemente del instante de tiempo. Lo cual sugie-re una interesante propiedad de la energıa oscura y es que no se diluye al agrandarseel espacio, de modo que al aumentar el tamano de este tambien crece la cantidad deenergıa oscura. Incluye como veremos, segun el signo de ρ, dos soluciones: De Sittery anti-De Sitter.

p Materia frıa o polvo (w = 0, P = 0). En este caso tenemos ρM ∼ a−3, tal y comoesperabamos, al incrementarse la escala del universo el volumen va con el cubo y ladensidad se diluye con su inverso.

p Materia ultrarrelativista o radiacion (w = 13 , P = 1

3 ρ). Ahora la densidad va conρR ∼ a−4 pues no solo se diluye con el volumen; debido a la expansion hay uncorrimiento al rojo que se manifiesta en una reduccion de la densidad de energıa conla distancia (a−1).

p Energıa fantasma (w < −1). Se obtiene ρF ∼ ab con b > 0, que se trata de un com-portamiento de lo mas exotico: el aumento del volumen tiene como consecuencia unincremento de la densidad de energıa.

Otro aspecto interesante es saber si un universo FRW tiende a acelerar o frenar su expan-sion/contraccion. Para ello se suele emplear el llamado parametro de deceleracion q que sedefine del siguiente modo

q = − aaa2 . (1.23)

Vemos que si q > 0 el universo es decelerado en su expansion (tiende a contraerse) ycon q < 0 es acelerado. Si sustituimos la ecuacion de estado 1.20 en la ecuacion de evolucion1.19 se obtiene:

aa= −1

6κ (1 + 3w) ρ. (1.24)


Figura 1: Representacion cilındrica del universo E.

El signo de este cociente es el mismo que el de q, y puede verse trivialmente que paraρ > 0 (cosa que consideraremos en todos los casos de nuestro estudio de metricas FRW) ycualquier valor de k: con w > − 1

3 , que incluye materia y radiacion, tenemos un universodecelerado, lo cual es logico pues estas formas de energıa gravitan y tienden a contrarrestarla expansion; con w < − 1

3 , donde incluimos diversas formas de energıa oscura y energıafantasma, tenemos aceleracion en la expansion; y en el caso w = − 1

3 la expansion o con-traccion no acelera ni decelera, va a un ritmo constante.

1.2.3. Un caso muy especial: el universo estatico de Einstein E

Este universo tiene un interes especial porque es dentro de el donde vamos a llevar a ca-bo la mayorıa de los procesos de compactificacion conforme. Fue la determinacion de estasolucion la que empujo a Einstein a introducir la constante cosmologica con objeto de obte-ner un espaciotiempo estatico, tal y como se creıa que era el cosmos en aquella epoca (1915).

Se trata de un universo con materia frıa (wM = 0) y una constante cosmologica (wΛ =−1) con densidades tales que las contribuciones de ambas se anulan y el resultado es ununiverso estatico (a = a = 0). Yendonos a la ecuacion de aceleracion,

0 ≡ aa= −1

6κ ∑

α

(1 + 3w(α)

)ρα = −1

6κ (ρM − 2ρΛ) ⇒ ρM = 2ρΛ. (1.25)

Esto implica, como no podıa ser de otra forma, que ρΛ > 0 (i.e. debe favorecer la ex-pansion). En caso contrario ambas densidades cooperarıan en la contraccion del espacio yno podrıa haber estaticidad. De la ecuacion de Friedmann se deduce que

0 ≡(

aa

)2=

13

κ

(ρM +

12

ρM

)− k

a2ρM>0−−−→ k > 0 ⇔ k = 1. (1.26)

De modo que se trata de un universo con espacio esferico y la metrica del universoestatico de Einstein que llamaremos E tiene la forma (despejando de la ecuacion anteriorse obtiene a2 = 2

κρM):


ds2E = dt2 − 2

κρM

(dχ2 + sen2χdΩ2

2

). (1.27)

Si recordamos χ ∈ [0, π] y t ∈ R, y si omitimos las otras dos coordenadas por simetrıa,podremos representar E como un cilindro en que el tiempo corre en la direccion de su eje ycada seccion ortogonal a este es una circunferencia parametrizada por χ que representa una3-esfera (cada punto del cilindro representa pues una 2-esfera correspondiente a las coorde-nadas omitidas). De modo que la topologıa de este universo es E = R⊗ S3. Es importantenotar que χ es una coordenada radial de modo que un valor de (t, χ) no determina unpunto del cilindro sino dos, del mismo modo que un instante de tiempo y un valor de r enun espacio de Minkowski 2-dimensional, R1,1, se corresponden con dos puntos: uno en laposicion r y otro en la posicion −r.

1.3. Transformaciones de Weyl

Dadas dos variedades N-dimensionalesM yM con metricas gµν y gµν , respectivamen-te, en el mismo sistema de coordenadas xµ. Diremos que ambos espacios son conformessi las metricas estan relacionadas con una transformacion conforme (o transformacion de Weyl)T , que consiste en una aplicacion tensorial de la forma:

gµνT7−→ gµν = e2Ω(x)gµν. (1.28)

donde e2Ω(x) se denomina factor conforme y es una funcion escalar de las coordenadas dosveces diferenciable y positiva (lo cual es inmediato a partir de su definicion). De ahora enadelante omitiremos la dependencia de Ω(x) en las coordenadas por simplicidad. Sus dospropiedades basicas son las siguientes:

p No preservan la norma.

‖V‖2= gµνVµVν = e2ΩgµνVµVν = e2Ω ‖V‖2 (1.29)

Vemos la importancia de la positividad del factor conforme: preserva el caracter tem-poral, nulo o espacial de los vectores, esto es, el signo de la norma.

p Preservan los angulos entre vectores, en particular, entre los vectores que definen losconos de luz.

θ = arccosgµνVµWν

‖V‖‖W‖= arccos

ZZe2ΩgµνVµWν

@@eΩ ‖V‖@@eΩ ‖W‖= arccos

gµνVµWν

‖V‖ ‖W‖ = θ. (1.30)

Las dos propiedades anteriores nos estan sugiriendo algo que comprobaremos despues yque es el nucleo de la importancia de las transformaciones conformes: mantienen intacta laestructura causal. Pero antes vamos a continuar intentando interpretar que son estas trans-formaciones. Notese que en cada punto de la variedad T actua como un cambio de escala,de modo que una transformacion conforme general (1.28) consiste en efectuar cambios deescala diferentes en cada punto de la variedad. De modo que queda de manifiesto que las


transformaciones conformes no son cambios de coordenadas, ya que modifican considera-blemente las propiedades geometricas de la variedad (alteran la metrica punto a punto, esdecir, la “forma de medir” o la unidad de longitud si se quiere). De hecho, los universosde De Sitter, anti-De Sitter y, en general, todas las metricas FRW son conformemente planas,es decir, estan relacionadas con el espacio de Minkowski mediante una transformacion deWeyl:

gµν = e2Ωηµν, (1.31)

y sabemos que son universos fısicamente muy distintos. La naturaleza de la funcion Ω(x)puede hacer, incluso, que dos variedades conformes no tengan las mismas singularidades;por ejemplo, la metrica FRW con w = 0 y k = 1 posee sendas singularidades al principio yal final del tiempo, y es conforme al espaciotiempo de Minkowski que es regular en todossus puntos.

Vamos a demostrar a continuacion que las geodesicas nulas se preservan bajo una trans-formacion de Weyl. Empezamos viendo la relacion entre las conexiones afines de ambasmetricas que vendran descritas por sus sımbolos de Christoffel:

Γλµν =

12

gλσ(

∂µgσν + ∂νgµσ − ∂σgµν

)=

12

gλσ(∂µgσν + ∂νgµσ − ∂σgµν

)+

12

e−2Ωgλσ(

∂µe2Ωgσν + ∂νe2Ωgµσ − ∂σe2Ωgµν

)= Γλ

µν + gλσ(

gσν∂µΩ + gµσ∂νΩ− gµν∂σΩ)

= Γλµν + δλ

ν ∂µΩ + δλµ ∂νΩ− gµν∂λΩ. (1.32)

Una curva xµ = xµ(σ) es una geodesica en una variedad con metrica gµν si es solucionde la ecuacion de la geodesica:

d2xµ

dσ2 + Γµλν

dxλ

dσ

dxν

dσ= 0. (1.33)

Tratemos de llegar a la ecuacion de la geodesica para su metrica conforme gµν. Para ellointroducimos (1.32) en (1.33):

0 =d2xµ

dσ2 +(

Γµλν + δ

µν ∂λΩ + δ

µλ∂νΩ− gλν∂µΩ

) dxλ

dσ

dxν

dσ

=d2xµ

dσ2 + Γµλν

dxλ

dσ

dxν

dσ+

dxλ

dσ

dxµ

dσ∂λΩ +

dxµ

dσ

dxν

dσ∂νΩ− gλν

dxλ

dσ

dxν

dσ∂µΩ

=d2xµ

dσ2 + Γµλν

dxλ

dσ

dxν

dσ+ 2

dxλ

dσ

dxµ

dσ∂λΩ− gλν

dxλ

dσ

dxν

dσ∂µΩ (1.34)

si ahora definimos un nuevo parametro σ = e−2Ωσ, de modo que, las derivadas resulten


dxµ

dσ=

dxµ

dσ

dσ

dσ=

dxµ

dσe−2Ω, (1.35)

d2xµ

dσ2 =d2xµ

dσ2dσ

dσe−2Ω − 2

dxµ

dσe−2Ω dΩ

dσ

dσ

dσ= e−4Ω

[d2xµ

dσ2 − 2dxµ

dσ

dΩdσ

], (1.36)

nuestra ecuacion queda

0 = e−4Ω

d2xµ

dσ2 −HHHHH

2dxµ

dσ

dΩdσ

+ Γµλν

dxλ

dσ

dxν

dσ+

ZZZZZZZ

2dxµ

dσ

dxλ

dσ∂λΩ︸︷︷︸

dΩ/dσ

− gλνdxλ

dσ

dxν

dσ∂µΩ

(1.37)

d2xµ

dσ2 + Γµλν

dxλ

dσ

dxν

dσ− gλν

dxλ

dσ

dxν

dσ∂µΩ = 0. (1.38)

Sabemos que las geodesicas pueden ser de tres tipos segun la norma del vector tangentea lo largo de la curva:

gµν xµ xν ≡ gµνdxµ

dσ

dxν

dσ=

0 si la geodesica es nula (de luz)1 si la geodesica es temporal−1 si la geodesica es espacial

(1.39)

A la vista de la ecuacion (1.38), ni las geodesicas espaciales ni las temporales coincidenen dos variedades conformes pues aparece un termino que va con ∂µΩ. En cambio lasgeodesicas nulas sı se preservan:

gλνdxλ

dσ

dxν

dσ= 0 ⇒ d2xµ

dσ2 + Γµλν

dxλ

dσ

dxν

dσ= 0 . (1.40)

Y las geodesicas nulas son las que, punto a punto, generan los conos de luz de los observa-dores. Como consecuencia: dos variedades conformes poseen la misma estructura causal.

1.4. Compactificacion conforme y diagramas de Penrose

Sea M una variedad solucion de las ecuaciones de Einstein cuya causalidad a escalaglobal (en particular en el infinito) estamos interesados en conocer. Vamos a llevar a caboun proceso denominado compactificacion conforme, que consta de tres pasos:

1. Un cambio de coordenadas que se traiga los infinitos a una distancia finita de formaque resulte un mapa compacto de nuestra variedad. Este cambio de coordenadasdebe ser adecuado, tal que la metrica acabe con la forma siguiente

ds2(xµ)Cambio de−−−−−−−−−→

coordenadasds2(yµ) = f (yµ) ds2

∗(yµ) (1.41)

donde f (yµ) es una funcion positiva de las coordenadas de buen comportamientoy ds2

∗ es una metrica asociada a otra variedad que llamaremosM∗. Notese que esta

2 Los universos maximamente simetricos. Analisis y compactificacion 10

metrica ha surgido como consecuencia de un cambio de coordenadas sobre nuestroespaciotiempoM, de modo que los rangos de las coordenadas originales xµ vana implicar que las nuevas coordenadas yµ se encuentren tambien acotadas y, engeneral, la metrica ds2

∗(yµ) no necesariamente cubre por completoM∗.

2. Efectuamos una transformacion conforme del tipo

ds2(yµ)T7−→ ds2

∗(yµ) = [ f (yµ)]−1 ds2(yµ), (1.42)

y el resultado es justamente el parche que ya anunciabamos de la variedadM∗ aco-tada por los rangos de las coordenadas yµ que ya no se extienden hasta el infinito.

3. Como trabajaremos con soluciones con espacios maximamente simetricos podremosomitir las coordenadas (θ, ϕ) debido a la simetrıa esferica que presentan y el resul-tado es una subvariedad bidimensional acotada deM∗ que extenderemos sobre unplano y constituira lo que llamaremos el diagrama de Penrose-Carter (o simplementediagrama de Penrose) de la solucionM.

Es importante tener presente queM∗ no es necesariamente un espaciotiempo fısico. Es unobjeto matematico que posee la misma estructura causal que nuestro universo fısicoM yque nos permite estudiarla de forma muy comoda. Entre otras cosas, y tal y como veremosmas adelante, podremos sobre un diagrama de Penrose de un solo golpe de vista determi-nar si el universoM presenta horizontes futuros de eventos u horizontes de partıculas.

Para estudiar algunos aspectos no hara falta compactificar todas las coordenadas, re-sultando diagramas de Penrose no acotados.

2. Los universos maximamente simetricos. Analisis y compac-tificacion

Comenzaremos analizando los diagramas de Penrose de los universos vacıos: Min-kowski, De Sitter y anti-De Sitter. Cuando pasemos a las metricas FRW, veremos que lascaracterısticas que hallaremos seran analogas o parecidas en cierto sentido a las que noshemos encontrado en estos tres espacios, de modo que nos dedicaremos a ir directos algrano y exprimir al maximo los diagramas de estas soluciones. Son muy especiales porqueno solo poseen un espacio con cuvatura constante sino que el espaciotiempo entero tie-ne curvatura constante (son maximamente simetricos en cuatro dimensiones) y de hechoson las unicas soluciones que cumplen esta propiedad que, recordemos, se traduce en unarestriccion sobre el tensor de Riemann

Rµνρλ = K(

gµλgνρ − gµρgνλ

), (2.1)

1. El espacio de Minkowski (R1,3) es la variedad cuadrimensional-lorentziana de cur-vatura nula, analogo a R3 y tiene K = 0. Puede embeberse en R1,4 donde se presentacomo un hiperplano a X4 = cte, donde X4 es la coordenada con la que hemos exten-dido el espaciotiempo. Su topologıa es R⊗R3 .

11 2 Los universos maximamente simetricos. Analisis y compactificacion

2. El universo de De Sitter es la variedad cuadrimensional-lorentziana de curvaturaconstante positiva, analogo a la esfera S3 y posee K < 05. Puede embeberse, al igualque S3 en un espacio mayor elevando en 1 la dimension espacial, pasando a R1,4

donde se presenta, suprimiendo las dos dimensiones angulares de dΩ22, como un

hiperboloide de una hoja con el tiempo corriendo en su eje. Su topologıa es R⊗ S3.

3. El universo anti-De Sitter es la variedad cuadrimensional-lorentziana de curvaturaconstante negativa, analoga al hiperboloide H3 y posee K > 0. Puede embeberse, aligual que H3 en un espacio elevando en 1 la dimension temporal, pasando a R2,3,donde se presenta, omitiendo de nuevo dΩ2

2, como un hiperboloide de una hoja conlas dos direcciones temporales generando el plano perpendicular a su eje. Su topo-logıa es S1 ⊗ R3 (el tiempo tiene topologıa circular). Como consecuencia la causa-lidad no se preserva pues existen curvas temporales cerradas; lo cual se solucionaquedandonos solo con un parche en la direccion de t, o desenrroscando el hiper-boloide para transformar la topologıa circular del tiempo en la de R (el recubridoruniversal), resultando una topologıa R⊗R3.

2.1. El espaciotiempo de Minkowski

El espaciotiempo de Minkowski (R1,3) es la solucion trivial de las ecuaciones de Einsteindel vacıo sin constante cosmologica6 (i.e. con Tµν = 0), en la que la curvatura es cero entodos los puntos de la variedad: Rµνρλ = 0. La metrica toma la forma, en coordenadasesfericas7 (t, r, θ, ϕ):

ds2 = dt2 − dr2 − r2dΩ22, con r > 0, t ∈ R. (2.2)

A continuacion llevamos a cabo los pasos del proceso de compactificacion conforme [versubseccion 1.4]. Como vemos tiene la forma de un univero FRW con k = 08 y factor deescala a = 1.

PRIMER PASO: Cambio de coordenadas.Efectuaremos el cambio de coordenadas (t, r) −→ (T, R) t− r = tg

(T−R

2

)t + r = tg

(T+R

2

) ⇔ T = arctg (t + r) + arctg (t− r)R = arctg (t + r)− arctg (t− r)

, (2.3)

que puede verse como una sucesion de tres cambios de coordenadas:

5Contraintuitivamente, pues S3 tenıa K > 0. Esto se debe a los convenios elegidos para la signatura dela metricaa (+,−,−,−) y al definir el tensor de Riemann. Lo contrario ocurre con anti-De Sitter.

6Pero no es la unica, piensese por ejemplo en el agujero negro de Schwarzschild. Pero a diferencia deMinkowski, esta no es plana y es singular en el origen.

7Obviaremos los rangos de las coordenadas contenidas en dΩ22 pues siempre se van a mantener en su

rango maximo 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ ϕ < 2π y no se veran afectadas por ninguna de las transformaciones quellevaremos a cabo durante todo nuestro estudio.

8Admite tambien una foliacion hiperbolica (con k = −1) pero solo mapea una parte de la variedad, elinterior del cono de luz futuro de un evento. A esta solucion se la conoce como universo de Milne.


tr

(1)−→

u = t− rv = t + r

(2)−→

U = arctguV = arctgv

(3)−→

T = V + UR = V −U

(2.4)

Veamos como se modifican los rangos de las coordenadas (recordemos que uno de losobjetivos es que T y R se traigan los infinitos a puntos finitos):

t ∈ R

r > 02r > 02t ∈ R

(1)−→

u ∈ R

v ∈ R

2r = v− u > 02t = v + u ∈ R *

(2)−→

−π

2 < U < π2

−π2 < V < π

2V −U > 0

(3)−→

−π < T + R < π−π < T − R < π

R > 0(2.5)

que nos interesa expresar en funcion de la suma y la diferencia de T y R para construir eldiagrama. En (3) hemos usado que T +R = 2V y T−R = 2U, y la condicion * se ha omitidoporque no aporta informacion. La metrica resultante de este cambio de coordenadas es,salvo un factor positivo, la metrica del universo estatico de Einstein con ρM = 2

κ y sometidoa las restricciones (2.5):

ds2 =1

4cos2( T−R2 )cos2( T+R

2 )

(dT2 − dR2 − sen2RdΩ2

2

)︸︷︷︸

E

. (2.6)

SEGUNDO PASO: Transformacion conformeEliminamos el factor conforme y obtenemos la metrica de una nueva variedadM∗:

ds2∗ = dT2 − dR2 − sen2RdΩ2

2, con T + R, T − R ∈ (−π, π) y R > 0. (2.7)

TERCER PASO: Diagrama de PenroseLas condiciones sobre las nuevas coordenadas restringen, en el cilindro que representa

a E, una region con forma de diamante [Figura 2]. Si lo plegamos de forma que los puntosa igual T y R coincidan (es como si al trabajar con distancias al origen plegamos R de formaque a y −a coincidan), el resultado es el que vemos a la derecha en la figura 2. Este es eldiagrama de Penrose del espacio de Minkowski R1,3. En la figura 2 se representan las lıneasa T constante y R constante. Cada punto del diagrama representa, dada la omision de θ y ϕ,una 2-esfera; salvo todos los puntos de R = 0 que representan un punto del espaciotiempo(el origen) en cada instante de tiempo, y esta en lınea discontinua recalcando que se tratade una singularidad de coordenadas.

Las geodesicas radiales nulas son rectas a 45º en los diagramas de Penrose, de formaque en todos los puntos del diagrama los conos de luz futuro (pasado) apuntan hacia arriba(abajo). Analicemos algunos puntos de interes que iran apareciendo en otros diagramas eintroduzcamos su notacion:

p Los puntos i+ e i− se denominan infinito temporal futuro e infinito temporal pasado,y representan la imagen de todos los puntos del espaciotiempo con R finito cuan-do T → ∞,−∞, respectivamente. Cualquier geodesica temporal (trayectoria de unapartıcula masiva no acelerada) pasara por ambos puntos.


Figura 2: Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski R1,3 (der.) y ubicado en el uni-verso estatico de Einstein (izq.).

p El punto i0 es el infinito espacial y representa los puntos a una distancia radial infi-nita del origen de coordenadas en cualquier instante finito T. Cualquier geodesicaespacial pasa por i0.

p Por ultimo tenemos los infinitos nulos futuro y pasado representados por I+ y I− querepresentan, respectivamente, el destino y el origen de todas las geodesicas nulas,en particular de todas las senales que viajen con velocidad c; son la imagen de lospuntos del infinito (R→ ∞) cuando T → ∞,−∞.

Al haber plegado la coordenada radial se observa que cuando un rayo de luz alcanza elpunto R = 0 que es la singularidad de coordenadas (no fısica) caracterıstica de E, el rayo“rebota” en el borde del diagrama y continua su trayecto dentro del mismo [Figura 3, izq.].Vemos pues algo que ya sabıamos: esperando el suficiente tiempo, un evento O influen-ciara a otros arbitrariamente lejos, y atendiendo al cono de luz pasado vemos que puederecibir influencias de todos los puntos del espacio siempre que hayan ocurrido lo suficien-temente pronto. Esta propiedad es consecuencia de que i± son puntuales; como veremosen la solucion de De Sitter esto no ocurre precisamente porque dejan de serlo.

El universo de RindlerPor ultimo estudiemos la existencia de horizontes. Es sabido que en el espacio de Min-

kowski existe un observador llamado de Rindler, OR, que no cubre con sus coordenadastodo R1,3 debido a la existencia de un horizonte (consecuencia de que c es la maxima velo-cidad permitida por la Relatividad), solo una region que llamaremos universo de Rindler,R

1,3R [Figura 3, der.]. Se trata de un observador acelerado que en t → −∞ se movıa con ve-


locidad c hacia el origen bajo una aceleracion constante hacia el infinito, de forma que se vafrenando, alcanza una distancia mınima a R = 0 y comienza a acelerar aproximandose a c.El horizonte representado en lınea continua gruesa en la figura tiene dos ramas: horizontefuturo y pasado. Notese que OR puede recibir influencias del exterior del horizonte pasado(zona sombreada clara) e influenciar el exterior del horizonte futuro (zona sombrada oscu-ra), pero no influenciar al primero ni recibir influencias del segundo.

Si consideramos un observador O en reposo en el espacio [Figura 3, der.] vemos quepenetra el horizonte pasado, entrando en R

1,3R donde permanece un tiempo propio finito, y

luego sale. No se topa con ningun tipo de barrera, es espaciotiempo vacıo y plano. No son,pues, singularidades fısicas, sino un artefacto de las coordenadas de Rindler empleadaspor OR, las cuales divergen en estos horizontes. Los cortes de la trayectoria de O con loshorizontes, ocurren a tRindler → ±∞, de modo que para OR, O siempre ha estado y siempreestara en R

1,3R , jamas lo vera atravesar ninguno de los horizontes.

El horizonte futuro de hecho, es un horizonte muy similar al de eventos de una agujeronegro de Schwarzschild: si O fuese emitiendo pulsos de luz periodicos, el que lanza al llegara dicho horizonte se mueve sobre este y alcanza a OR en tRindler → ∞, lo que justifica queeste jamas deja de recibir pulsos (nunca ve a O atravesar el horizonte), solo que cada vezcon menos frecuencia. Se dice, pues, que el horizonte futuro una superficie de corrimientoal rojo infinito. Pero aunque el no vea a O atravesarlo, O desde su sistema de referenciapropio sı que lo ha hecho, justo como ocurre en el agujero negro de Schwarzschild. El otrohorizonte es analogo pero razonado al reves; por ejemplo, a la vista del diagrama podemosdeducir que es O el que ve, al alcanzar el horizonte, las senales emitidas por OR corridasinfinitamente hacia el azul pues recibe en pocos instantes los pulsos que OR lleva emitiendoperiodicamente desde tRindler → −∞.

2.2. El universo de De Sitter

El universo de De Sitter (dS4) es la solucion de las ecuaciones de Einstein del vacıo conuna constante cosmologica positiva (Λ > 0). Elegimos la metrica en coordenadas globa-les, llamadas ası porque cubren la variedad entera (otras elecciones solo cubren algunosparches):

ds2 = dt2 − R2DScosh2(t/RDS)

(dχ2 + sen2χdΩ2

2

), con χ ∈ [0, π], t ∈ R, (2.8)

donde RDS =√

3κΛ es el radio de De Sitter que tiene unidades de longitud. Como vemos

se trata de un universo que se contrae cada vez mas despacio hasta que se detiene con unfactor de escala RDS y luego comienza a expandir cada vez de forma mas rapida por efectode la constante cosmologica. Se trata de una metrica FRW con secciones espaciales esferi-cas9.

9Curiosamente, este espaciotiempo admite foliaciones con espacios no solo esfericos sino tambien hi-perbolicos y planos; estas dos ultimas solo cubren una parte de la variedad.


Figura 3: Diagramas de Penrose del espacio de Minkowski R1,3: (izq.) geodesicas nulasradiales, y pasado y futuro causal del evento O; (centro) ejemplo de trayectoria de unapartıcula masiva y sus conos de luz; (der.) observador de Rindler y sus horizontes.

PRIMER PASO: Cambio de coordenadasHay que llevar a cabo el paso a coordenadas conformes, para ello teniendo en cuenta

que a(t) = RDScosh(t/RDS), y usando (1.14):

τ = R−1DS

ˆcosh−1

(t

RDS

)dt = 2arctg

(et/RDS

), (2.9)

se llega a

ds2 = R2DSsen−2τ

(dτ2 − dχ2 − sen2χdΩ2

2

)︸︷︷︸

E

. (2.10)

Ahora dado que t toma todos los valores, et/RDS ∈ R+, su arcotangente estara entre 0 yπ/2 y el factor 2 hace que, finalmente, 0 < τ < π.

SEGUNDO PASO: Transformacion conformeEliminamos el factor conforme y obtenemos de nuevo la metrica del universo estatico

de Einstein, pero esta vez solo con restricciones en el tiempo:

ds2∗ = dτ2 − dχ2 − sen2χdΩ2

2, con τ ∈ (0, π) y χ ∈ [0, π]. (2.11)

TERCER PASO: Diagrama de PenroseEl diagrama de Penrose ahora sera una seccion de E perpendicular a su eje y de al-

tura π [Figura 4], y por tanto, sera cuadrado. Todos los puntos del diagrama representan


2-esferas, salvo χ = 0, π, que son puntos del espaciotiempo donde no hay singularida-des fısicas, sino de coordenadas (sen2χ = 0, lo que anula el determinante de la metrica).Las rectas χ = 0, π se comportan como la R = 0 de Minkowski: las geodesicas nulas enel diagrama “rebotan” en ellas, partiendo de algun punto de τ = 0 (t → −∞) y acabamuriendo en τ = π (t → ∞). Vemos que ahora los infinitos temporales coinciden con losnulos: i± = I± . Observese ademas, que al ser compactas las secciones espaciales no estadefinido el infinito espacial i0, esto es, en un instante de tiempo arbitrario no es posiblealejar arbitrariamente un par de puntos.

Como vemos, los infinitos temporales ahora no son puntos del diagrama sino hipersu-perficies espaciales, esto va a afectar considerablemente a la estructura causal, dando lugara horizontes que no existıan en Minkowski. Sean dos observadores O y O′ fijos en el espacio[Figura 4, der.]. Notese que el observador O no sabe de la existencia de O′ hasta que recibelas senales que este envio al principio del tiempo, y esto ocurre en el instante τ = τ2. En uninstante arbitrario anterior, como τ = τ1, el universo observable de O es la region sombradaen la figura y su frontera es lo que se llama un horizonte de partıculas. Todo lo que hay fueraes desconocido por O de momento. Ademas en el intervalo (τ2, τ2 + δτ)⇔ (t2, t2 + δt), Orecibira las senales que O′ envio en el intervalo (0, δτ) ⇔ δt = ∞ (¡durante infinito tiem-po!), las cuales al principio estaran infinitamente corridas hacia el azul.

Por contra, las senales que envıe O′ entre (τ3 − δτ, τ3) ⇔ (t3 − δt, t3) le llegaran a Oentre (π − δτ, π)⇔ δt = ∞, a lo largo de infinito tiempo, experimentando un corrimientoal rojo cada vez mayor. Y todo lo que haga O′ en un instante posterior, por ejemplo τ = τ4jamas influenciara a O, pues esta fuera del cono de luz futuro de O′, cuyo borde constituyelo que se conoce como horizonte futuro de eventos. Lo que ocurre es que De Sitter expande tanrapido que existen puntos lo sufientemente alejados en los que la velocidad de receso (conla que se crea el espacio intermedio) es superior a c y ninguna senal que parte de uno deellos es capaz de alcanzar el otro. Un efecto analogo pero inverso sucede con el horizontede partıculas antes citado.

Dada la simetrıa podemos elegir sin perdida de generalidad un observador en χ = 0fijo; podemos dividir dS4 en cuatro regiones. [Figura 4, centro]. El observador a lo largo desu historia podra influenciar a los eventos de I y II, y recibir influencias de los de I y III;pero respecto a la region IV, esta completamente fuera de contacto causal.

Consideremos un rayo de luz emitido en τ = 0 (i.e. t = −∞), por ejemplo, cualquierade las lıneas discontinuas gruesas del diagrama del centro de la figura 4. Como vemos, solologra dar media vuelta al universo, alcanzando el punto antipodal10 en τ = π (i.e. t = ∞).De Sitter expande tan rapido que, por mucho tiempo que emplee sera imposible para unapartıcula con masa que sale en una determinada direccion en cierto instante, alcanzar elpunto antipodal.

10El simetrico al punto de partida respecto al centro de la 3-esfera.


Figura 4: Diagrama de Penrose de dS4 (centro) y ubicado en el universo estatico de Einstein(izq.). Horizontes en dS4 (der.).

2.3. El universo anti-De Sitter

El universo anti-De Sitter (AdS4) es la solucion de las ecuaciones de Einstein del vacıocon una constante cosmologica negativa (Λ < 0). Expresada la metrica en coordenadasglobales11 queda

ds2 =

(1 +

r2

R2ADS

)dt2 −

(1 +

r2

R2ADS

)−1

dr2 − r2dΩ22, con r ≥ 0, t ∈ R, (2.12)

donde RADS =√−3κΛ tiene unidades de longitud. Anti-De Sitter se trata de un universo

estatico (se ve claramente en estas coordenadas, aunque en otras puede parecernos que ex-pande y contrae12), sin horizontes pero con una frontera o borde que no puede alcanzarsedebido a la intensa atraccion gravitatoria que ejerce la anti-materia oscura. Solo objetos avelocidad lumınica alcanzan la frontera. Siendo rigurosos al decir t ∈ R lo que estamosrepresentando es el recubridor universal de anti-De Sitter que denotaremos AdS4; en AdS4tendrıamos que identificar los instantes t = −πRADS y t = πRADS, debido a la topologıacıclica del tiempo.

PRIMER PASO: Cambio de coordenadasMediante el cambio de coordenadas

11Anti-De Sitter tambien puede expresarse en la forma FRW para k = −1; y admite foliaciones conhipersuperficies espaciotemporales (no espaciales, por lo que no es una FRW) con k = 0, 1.

12Hablar de expansion aludiendo a la metrica es delicado. Por ejemplo, De Sitter se contrae y luego ex-pande; sin embargo, su metrica admite una forma en coordenadas estaticas. Se puede proceder estudiandosus vectores de Killing (tangentes a las curvas en que la metrica es invariante); solo si existe un vector deKilling temporal globalmente definido tal que es ortogonal a una foliacion de la variedad completa con hi-persuperficies espaciales identicas, se puede decir que el universo es estatico (i.e. estacionario con simetrıat→ −t).


rRADS

= tgχ ⇔ 1 +r2

R2ADS

=1

cos2χ, ⇒ dr =

RADScos2χ

dχ (2.13)

se compactifica la coordenada radial entre r ∈[0, π

2)

(¡pero no el tiempo!) y se llega a lametrica:

ds2 =RADScos2χ

(dt2 − dχ2 − sen2χdΩ2

2

)︸︷︷︸

E

. (2.14)

De modo que se trata de un semicilindro (cortado longitudinalmente) puesto que t ∈R [Figura 5, izq.]. Luego lo interpretaremos. De momento, para compactificar el tiempollevaremos a cabo el cambio

t = tgτ, ⇒ dt =1

cos2τdτ. (2.15)

Ahora τ ∈(−π

2 , π2), y la metrica resulta:

ds2 =RADS

cos2χcos4τ

[dτ2 − cos4τ

(dχ2 + sen2χdΩ2

2

)]︸︷︷︸

ds2C

. (2.16)

SEGUNDO PASO: Transformacion conformeEliminando el factor conforme obtenemos la metrica ds2

C de un modelo cosmologicode universo que evoluciona del siguiente modo: parte de una singularidad en τ → −π

2 ,a continuacion comienza a expandir, alcanza un tamano maximo, y se contrae hasta unasingularidad en τ → π

2 . Se trata de singularidades tipo Big Bang/Crunch pues en ellas seanula la parte espacial dχ2 + sen2χdΩ2

2.

Volviendo a anti-De Sitter, observese que, gracias al factor conforme que contiene 1cos4τ

,las anteriores singularidades desaparecen y los puntos τ → ±π

2 (t = ±∞), si los consi-derasemos puntos de la variedad, serıan regulares. Esto es logico pues al ser estatico, enparticular no se contrae eternamente ya que esto implicarıa que la curvatura se harıa infini-ta en el lımite τ → π

2 , ni tampoco es un universo que expanda pues implicarıa eso mismoen τ → −π

2 . Todo ello esta justificado por la estaticidad de AdS4. A pesar de esta compac-tificacion del tiempo, la representacion no compacta nos permite estudiar la causalidad enel interior de la solucion bastante bien.

TERCER PASO: Diagramas de PenroseMediante la representacion en E el resultado es el de la figura 5 (izq.). En este diagrama

no-compacto podemos observar lo mas interesante de este universo y es que un observa-dor no tiene influencia causal en todo su futuro, sino solo en la region rectangular queaparece sombreada en la figura 5 (der.) debido a que desde los infinitos nulos que se situanen la frontera penetran influencias causales (indicadas con flechas en la figura); influen-cias causales que vienen del infinito. Recuerdese que estamos representando el recubridoruniversal, anti-De Sitter se representarıa como una porcion del cilindro con anchura 2π, y


Figura 5: Diagrama de Penrose no-compacto de AdS4 (centro) y ubicado en el universoestatico de Einstein (izq.). (Der.) Con la direccion radial desdoblada, futuro y pasado causalde una superficie t = cte, y futuro causal de un evento O.

completado ese ciclo se volverıa al instante de partida. Sin embargo los aspectos interesan-tes de AdS4 se pueden estudiar sin problema en el recubridor.

En este universo I son hipersuperficies temporales, cosa que no ocurrıa en ninguno delos otros universos: en Minkowski son nulas y en De Sitter espaciales. Esto es justamen-te lo que hace que la causalidad sea un tanto extrana en este espaciotiempo. Todas estasparticularidades se engloban en la nocion de que no se trata de una variedad globalmentehiperbolica, lo que significa que no existen superficies espaciales tales que los eventos quesucedan en ellas determinen su propio futuro (llamadas superficies de Cauchy), y la causa esclara: las influencias que proceden de la frontera. Se dice que anti-De Sitter es como una“caja” en la que la constante cosmologica impide a las geodesicas temporales (partıculasmasivas no aceleradas) alcanzar la frontera, solo las senales que viajan a c la alcanzan.

De forma analoga se puede razonar empleando la representacion compacta del AdS4[Figura 6]. Al aplicar la transformacion conforme hemos introducido un Big Bang y un BigCrunch que no existen en anti-De Sitter; sin embargo, al suceder en t = ±∞ que, en rigor,no son puntos del espaciotiempo, simplemente los “quitamos” manualmente del diagrama.Esto tiene como consecuencia que la frontera conforme I no se cierre de forma suave en i±.Nadie ha encontrado un set de coordenadas en el que el infinito conforme de AdS4 se halleunido de forma suave13.

13Hay razones que apuntan a que no puede encontrarse dicho sistema de coordenadas [10].

3 Compactificacion de las metricas FRW. Generalidades 20

Figura 6: (Izq.) Modelo cosmologico ds2C. (Centro) Diagrama de Penrose compacto de AdS4

ubicado en el modelo cosmologico ds2C. (Der.) Diagrama de Penrose compacto de AdS4 y

trayectoria de un rayo de luz emitido en el evento O.

3. Compactificacion de las metricas FRW. Generalidades

En las siguientes secciones vamos a llevar a cabo el desarrollo completo de las distintassoluciones FRW (reservaremos una seccion para cada uno de los tres valores de k): integra-remos las ecuaciones de Friedmann para encontrar la forma de la metrica, estudiaremos sussingularidades, aplicaremos la compactificacion conforme e interpretaremos los diagramasde Penrose resultantes. Pero antes vamos a dedicar una seccion a algunas generalidadesque necesitaremos en las proximas.

3.1. Resolucion de las ecuaciones de Friedmann. Primeros pasos para k ge-neral

Trabajaremos en coordenadas conformes, de otro modo, no podrıamos resolverlas deforma analıtica. Sustituyendo en las ecuaciones de Friedmann (1.18), la expresion para ladensidad de energıa en funcion de a (ec. (1.22)) para un unico fluido perfecto, donde vamosa asumir que ρ > 014, y simplificando se llega a:

14Puede trabajarse con densidades negativas de energıa, pero las vamos a ignorar en nuestro estudio;un ejemplo es anti De Sitter, que tiene w = −1 pero ρ = Λ < 0. Como consecuencia, al asumir en nuestroanalisis ρ = Λ > 0, el caso w = −1 se va a corresponder siempre con De Sitter.

21 3 Compactificacion de las metricas FRW. Generalidades

3(

a′

a

)2

= κρ0

a−3(w+1)0

a−(3w+1) − 3k

2a′′

a−(

a′

a

)2

= − κρ0

a−3(w+1)0

wa−(3w+1) − k(3.1)

Si ahora definimos el parametro de Hubble conforme h =a′

a, lo cual implica

a′′

a=

h′ + h2, 3(h2 + k) = κρ0

a−3(w+1)0

a−(3w+1)

2h′ + h2 + k = − κρ0

a−3(w+1)0

wa−(3w+1) (3.2)

Eliminando la potencia de a de las dos expresiones e igualando:

3w(h2 + k) = −2h′ − (h2 + k) ⇒ h′ = −3w + 12

(h2 + k). (3.3)

Hemos de distinguir dos casos para integrar h: w 6= − 13 y w = − 1

3 (que estudiaremosaparte). En el primer caso tenemos

τ = − 23w + 1

ˆdh

h2 + k. (3.4)

Para cada k hay que integrar esta expresion y obtener la correspondiente constante de in-tegracion sustituyendo en alguna de las ecuaciones de Friedmann; nosotros, en todos loscasos emplearemos la primera de ellas:

3(

a′

a

)2

=κρ0

a−3(w+1)0

a−(3w+1). (3.5)

3.2. Singularidades

Las singularidades son determinantes a la hora de estudiar causalidad. Vamos a calcu-lar la localizacion de las mismas para las metricas FRW. Para ello, en primer lugar recopi-laremos puntos candidatos a ser singularidades: aquellos en los que el determinante de lametrica, |g|, se anula o diverge. En FRW las partes espaciales son regulares, de modo quetodos los problemas vendran del factor de escala que aparece multiplicando en |g|:

p a2 → 0: espacio colapsa a un punto. Todas las distancias entre puntos se reducen acero (Big Crunch, “Gran crujido”) o se vuelven finitas siendo nulas en un principio(Big Bang, “Gran explosion”), y todo ello en un tiempo propio finito.

p a2 → ∞: se genera/destruye espacio punto a punto infinitamente rapido. Todas lasdistancias se vuelven infinitas (Big Rip, “Gran desgarro”15) o pasan de ser infinitas afinitas en un tiempo propio finito (los denominaremos anti-Big Rip).

15El Big Rip se llama ası porque si lo trasladasemos a un universo como el nuestro, la expansion tanrapida acabarıa distanciando las partıculas entre sı (los electrones de los nucleos por ejemplo) venciendola gravedad sobre todo tipo de fuerzas. El resultado es el desgarro de todas las formas de materia, una sopade partıculas elementales sin energıa y sin cohesion gravitatoria inmediatamente antes de la singularidad.

3 Compactificacion de las metricas FRW. Generalidades 22

Existen otros tipos de singularidades en los que a es finito16 pero no nos van a interesaren soluciones de tipo FRW. El siguiente paso sera evaluar invariantes de curvatura: R (escalarde Ricci o escalar de curvatura), RµνRµν (producto contraido del tensor de Ricci) y RµνρλRµνρλ

(invariante de Kretschmann). A partir de los tensores de Riemman y Ricci en coordenadascomoviles (izquierda) y conformes (derecha) de una metrica FRW, relacionados entre sıpor las reglas de transformacion de los tensores,

Rtitj = −aagij

Rijkl = −a2 [k + a2] (gil gjk − gik gjl

)(el resto nulas)

Rτiτ j =

(a′2 − aa′′

)gij

Rijkl = −[ka2 + a′2

] (gil gjk − gik gjl

)(el resto nulas)

(3.6)

Rtt = 3 a

aRij = −

[2k + aa + 2a2] gij

(el resto nulas)

Rττ = 3

[a′′a −

(a′a

)2]

Rij = −[

2k + a′′a +

(a′a

)2]

gij

(el resto nulas)

(3.7)

se puede obtener el escalar de Ricci en ambas coordenadas:

R = 6

[ka2 +

aa+

(aa

)2]= 6

[ka2 +

a′′

a3

]. (3.8)

Para el escalar RµνRµν se obtienen expresiones bastante largas y resulta mucho masfacil calcular el tensor de Ricci Rµν y luego calcular con el el invariante. El invariante deKrestschmann solo nos hara falta para los casos k = ±1, para los cuales estamos empleandocoordenadas conformes. En estas coordenadas toma una forma muy sencilla:

RµνρλRµνρλ =3a4

[(a′

a

)2

− a′′

a

]2

. (3.9)

Si en un punto en el que la metrica es singular diverge algun invariante de curvatura(solo hemos indicado tres, hay infinitos) se trata de una singularidad fısica o de curvatura; ysi nos aproximamos a el por una geodesica emplearemos un tiempo finito en alcanzarla;por eso no tiene sentido buscar singularidades en t → ±∞ pues no es un punto del espa-ciotiempo. Si, en cambio, no diverge ninguno no tenemos informacion. Y si encontramosun cambio de coordenadas que deshace la singularidad estaremos ante una singularidad decoordenadas, que es consecuencia de una inadecuada eleccion de las mismas17.

16Vease la clasificacion de singularidades N.O.T. (Nojiri, Odintsov y Tsujikawa) [14].17Por ejemplo, la metrica de R3 en coordenadas esfericas posee una singularidad en θ = 0 (se anula el

determinante de la metrica) pero no es fısica, solo es consecuencia de que ϕ no esta bien definido en eleje z; si cambiamos a coordenadas cartesianas el determinante de la metrica es 1, deshaciendo la aparentesingularidad.

23 3 Compactificacion de las metricas FRW. Generalidades

3.3. El caso especial w = −13

Este caso, como veremos, tiene una particularidad y es que la integracion de las ecua-ciones de Friedmann es independiente de k. De modo que antes de introducirlo en unaFRW con un k particular podemos exprimirlo y obtener muchas propiedades que serangenerales. Es por ello que lo desarrollaremos todo lo posible en esta seccion.

3.3.1. Integracion de las ecuaciones de Friedmann

Partimos de la ecuacion (3.3) (¡se va la k de nuestra ecuacion diferencial!) que en estecaso queda:

h′ = 0 ⇒ a′

a≡ h = cte = C ⇒ a(τ) = B0eCτ (3.10)

Sustituimos a(τ) en (3.5) y se obtiene C =√

κρ03 a0. Llamando δ =

√3

κρ0, que tiene dimen-

siones de L, llegamos aa(τ) = B0ea0τ/δ, ∀k, (3.11)

donde B0 es un factor que posee las dimensiones18 de a segun el caso. Notese que en el ex-ponente las dimensiones son consistentes pues el producto a0τ tiene dimensiones L siem-pre.

3.3.2. Tiempo conforme y comovil. Expresion final del factor de escala

Es facil obtener la relacion entre los tiempos conformes y comovil para todo k. Partimosde (3.11)

t =ˆ

a(τ)dτ =δ

a0B0ea0τ/δ (3.12)

Notese que B0/a0 es un factor adimensional constante que podemos absorber en t(observese que δ hace que la expresion sea correcta dimensionalmente pues t tiene uni-dades de longitud):

t/δ = ea0τ/δ ⇔ τ =δ

a0ln(

tδ

)(3.13)

⇒ a(t) = B0Ct (3.14)

Dadas las absorciones de constantes en la definicion de t, usando que a = dt/dτ:

a = δa0

δea0τ/δ = B0ea0τ/δ ⇒ B0 = a0. (3.15)

Ası, se llega a las expresiones finales para w = − 13 :

18Con k = 0, a0 al igual que a es adimensional pero el tiempo conforme tiene unidades de longitud; parak = ±1 ocurre justo lo contrario.

4 Compactificacion conforme de un universo plano (FRW) 24

t = δexp( a0τ

δ

)⇔ τ = δ

a0ln( t

δ

),

a(t) = a0δ t ⇔ a(τ) = a0exp

( a0τδ

).

(3.16)

Lo mas interesante de todo es que es independiente de k. Es decir, un espacio-tiempo conw = − 1

3 evoluciona, de acuerdo a las ecuaciones de Friedmann, de la misma manera sea cual sea lageometrıa de sus secciones espaciales.

3.3.3. Singularidades con w = − 13

En principio, el tiempo esta definido en −∞ < t < ∞, pero como consecuencia dellogaritmo de (3.13), este ha de restringirse a valores positivos. De esta manera la unicafuente potencial de singularidades (como se ve en la expresion de a) es el punto t = 0.Calculamos el escalar de Ricci en coordenadas comoviles para lo que necesitamos:

a(t) =a0

δt, a(t) =

a0

δ, a(t) = 0 ⇒ a

a= t−1,

aa= 0. (3.17)

Ası se llega a

R = 6[

δ2

a20k + 1

]t−2, (3.18)

que para todo k diverge en t → 0+ (un Big Bang) y, por tanto, es la unica singularidad eneste tipo de universos. Este punto se corresponde con τ → −∞.

4. Compactificacion conforme de un universo plano (FRW)

Nota: recordar que, segun la nomenclatura que introducimos previamente, con “plano” nos es-tamos refiriendo solo a las secciones espaciales.

Hemos visto en la seccion anterior que el universo no acelerado w = − 13 es un tanto

especial y va aparte. Por ello, distinguiremos dos casos en nuestro analisis: w 6= − 13 y

w = − 13 .

4.1. Estudio para w 6= −13


Partimos de la expresion obtenida para un k general (3.4) e imponemos k = 0:

τ = − 23w + 1

ˆdhh2 =

23w + 1

1h⇒ h =

23w + 1

τ−1 h= a′a−−−→ lna =

23w + 1

lnτ + C(w).

(4.1)Despejando a(τ) y definiendo A(w) = eC(w) ∈ R+ resulta:

a(τ) = A(w)τ2

3w+1 . (4.2)

Sustituimos en (3.5) y despejando se llega a

A(w) =[κρ0

3a3(w+1)

0

] 13w+1

(3w + 1

2

) 23w+1

. (4.3)

25 4 Compactificacion conforme de un universo plano (FRW)

Definiendo la constante positiva

R0 :=[κρ0

3a3(w+1)

0

]− 12 , (4.4)

que tiene dimensiones de longitud ya que a0 es adimensional y κρ0 tiene dimensiones deL−2, se obtiene:

A(w) =

(3w + 1

2R−1

0

) 23w+1

. (4.5)

Luego

a(τ) =[(3w + 1)

2R−1

0 τ

] 23w+1

, donde w 6= −13

, (4.6)

como debe de ser, adimensional (las dimensiones de τ se cancelan con las de R0). La metricaen estas coordenadas quedarıa:

ds2 =

[3w + 1

2R−1

0 τ

] 43w+1 (

dτ2 − dr2 − r2dΩ22

). (4.7)

El caso plano puede expresarse en coordenadas comoviles de forma analıtica mediante(1.14), que toma la forma

τ = 13w+1

4R2

0 [3(w + 1)t]3w+1 1

3(w+1) ⇔ t = 13(w+1)

14 R−2

0 [(3w + 1)τ]3(w+1) 1

3w+1 ,(4.8)

quedando el factor de escala

a(t) =[

3(w + 1)2

R−10 t] 2

3(w+1), donde w 6= −1 . (4.9)

Observese que la integracion en coordenadas comoviles sı incluye el caso w = − 13 , pero

excluye w = −1, pero no importa porque este ya lo hemos estudiado (dS4). La metrica enestas coordenadas quedarıa:

ds2 = dt2 −[

3(w + 1)2

R−10 t] 4

3(w+1) (dr2 + r2dΩ2

2

). (4.10)

4.1.2. Singularidades (para w 6= −1)

Continuamos en coordenadas comoviles. A la vista de (4.9) vemos que los puntos sos-pechosos son t = 0, ±∞, pero t no toma nunca los valores ±∞ (es solo un lımite), de modoque el unico instante de tiempo candidato a ser singularidad es t = 0. Usando

aa=

[3(w + 1)

2t]−1

,aa= −3w + 1

2

[3(w + 1)

2t]−2

, (4.11)


obtenemos un escalar de Ricci

R = −4(

w− 13

)(w + 1)2 t−2 (4.12)

que diverge en t = 0, revelando la existencia de una singularidad fısica, salvo en el casow = 1

3 . Continuamos con el siguiente invariante, hallamos las componentes del tensor deRicci usando (3.7):

Rtt = −23

3w + 1(w + 1)2 t−2, Rij = a2

[3(w + 1)

2t]−2 3(w− 1)

2gij (4.13)

(interesa dejar ese factor a2 pues se cancelara como veremos a continuacion), de modo que,usando la metrica inversa gtt = a(τ)−2 y gij = −a(τ)−2 gij para bajar todos los ındices:

RµνRµν = RttRtt + gkigl jRijRkl

=

[−2

33w + 1(w + 1)2 t−2

]2+a−4 gki gl j

a2[

3(w + 1)2

t]−2 3(w− 1)

2

2

gij gkl

= ... =16(3w2 + 1

)9(w + 1)4 t−4, (4.14)

que diverge tambien para w = 13 . La conclusion es: todos los universos FRW planos (salvo De

Sitter) poseen en t = 0 una singularidad. Para w < −1 tenemos en ese punto a2 → ∞ por lo quetenemos un Big Rip, y para los casos w > −1 tenemos un Big Bang.

4.1.3. Compactificacion

Partiendo de la metrica FRW con k = 0 (y w 6= − 13 ) en coordenadas conformes (4.7) que

tiene la forma

ds2 = C0τ4

3w+1

[dτ2 − dr2 − r2dΩ2

2

](4.15)

donde llamamos C0 =[

3w+12 R−1

0

] 43w+1 para abreviar. Pasamos de (τ, r) a (T, R) aplicando

el mismo cambio de coordenadas que usamos con Minkowski [ec. (2.3)] y la metrica queda

ds2 =C0

4

[12 tg(

T+R2

)+ 1

2 tg(

T−R2

)] 43w+1[

cos(

T+R2

)cos

(T−R

2

)]2


2

)︸︷︷︸

E

, donde w 6= −13

.

(4.16)Los rangos de las coordenadas dependeran del w. Sabemos que hay una singularidad

en t = 0 de modo que t ∈ (0, ∞) y atendiendo a (4.8) se comprueba que:

27 4 Compactificacion conforme de un universo plano (FRW)

Si w > − 13 : τ ∼ tb (b > 0)

t∈(0, ∞)−−−−−−−→(Big Bang)

τ ∈ (0, ∞)

Si w ∈(−1, − 1

3

): τ ∼ −tb (b < 0)

t∈(0, ∞)−−−−−−−→(Big Bang)

τ ∈ (−∞, 0)

Si w < −1 : τ ∼ tb (b > 0)t∈(−∞, 0)−−−−−−→(Big Rip)

τ ∈ (−∞, 0)

(4.17)

De modo que el Big Bang se situa en τ → −∞ en el primer caso y en τ = 0 en elsegundo; y en el tercer caso tenemos el Big Rip en τ = 0. Bajo el cambio de coordenadas decompactificacion los rangos de τ pasan a ser, razonando de forma analoga a como hicimoscon Minkowski:

w ∈(−1, − 1

3

)y w < −1 :

−π < T + R < π−π < T − R < 0

R > 0, T < 0, w > − 1

3 :

0 < T + R < π−π < T − R < π

R, T > 0(4.18)

Y las singularidades

p Caso w > − 13 y w < −1

τ → 0+ ⇒

U = arctg (τ − r)→ −arctgrV = arctg (τ + r)→ +arctgr

⇔

T = V + U = 0R = V −U = 2arctgr

(4.19)

De modo que la singularidad (Big Bang en un caso y Big Rip en el otro) estara forma-da por todos los puntos con T = 0 y con R arbitraria ya que r es arbitraria.

p Caso w ∈(−1, − 1

3

)

τ → −∞⇒

U = arctg (τ − r) r>0−−→ −π2

V = arctg (τ + r) r>0−−→ indet⇔

Singularidad (Big Bang)T − R = 2U → −π , (4.20)

4.2. Estudio del caso w = −13

Empleando las expresiones (3.16), la metrica quedarıa en coordenadas comoviles y con-formes, respectivamente

ds2 = dt2 −( a0

δt)2 (

dr2 + r2dΩ22

)= a2

0e2a0τ/δ(

dτ2 − dr2 − r2dΩ22

). (4.21)

Aplicando sobre la ultima el mismo cambio de coordenadas que en el caso w 6= − 13 y

teniendo en cuenta que para w = − 13 , R0 = δ/a0, obtenemos:

ds2 = a20

exp[

1R0

tg(

T+R2

)+ 1

R0tg(

T−R2

)]4[cos

(T+R

2

)cos

(T−R

2

)]2


2

)︸︷︷︸

E

. (4.22)


Figura 7: Diagramas de Penrose para k = 0, de izquierda a derecha: caso decelerado w >− 1

3 ; caso no acelerado w = − 13 ; caso acelerado con alguna forma de energıa oscura w ∈(

−1, − 13

); caso acelerado con energıa fantasma w < −1.

Ya vimos que todos los universos con w = − 13 tenıan una unica singularidad en t = 0,

de modo que 0 < t < ∞. Al pasar a conformes, debido al logaritmo τ ∈ R, y el cambio decoordenadas de compactificacion nos lleva a T y R a los rangos:

−π < T + R < π−π < T − R < π

R > 0. (4.23)

La singularidad puede comprobarse que se encuentra en la recta T = R− π. El resulta-do es un diagrama de Penrose intermedio a los dos que se obtienen para los casos aceleradoy decelerado.

4.3. Diagramas de Penrose

p El caso w > − 13 se trata de un universo decelerado en el que i+ es puntual e i− es es-

pacial. Uniendo lo que sabemos de Minkowski y De Sitter concluimos que cualquierobservador de este espaciotiempo podra influenciar a cualquier punto del espacio sise espera el suficiente tiempo; sin embargo, no todo el universo es visible para el.Hay un horizonte de partıculas en el pasado, como consecuencia de la expansiondecelerada, el cual se va haciendo mas grande a medida que pasa el tiempo.

p Para w = − 13 , vemos una enorme similitud con el diagrama de Penrose del espa-

cio de Minkowski. Se trata de un espacio que expande pero a un ritmo constante(sin aceleracion). De modo que con T < 0 tenemos el mismo comportamiento queen el caso anterior, pero al no elevarse el ritmo de expansion, cualquier observadorpuede influenciar a cualquier punto del espacio esperando el suficiente tiempo. Es

29 5 Compactificacion conforme de un universo cerrado (FRW)

conclusion, no tiene horizontes de partıculas ni horizontes futuros de eventos comoconsecuencia de la expansion.

p Para w ∈(−1, − 1

3

)tenemos la misma situacion que en w > − 1

3 pero a la inversa:

ahora i− es puntual e i+ es espacial, de modo que tenemos un horizonte futuro deeventos debido a la expansion acelerada que dura eternamente (acabarıa en T →0 ⇔ t → ∞). Ningun observador en un instante finito puede influenciar a todo elespacio, el espacio ha crecido tanto que es imposible interaccionar causalmente coneventos lo suficientemente alejados. Al igual que en De Sitter, a medida que pasa eltiempo, el universo al que se puede influenciar es cada vez menor.

p Por ultimo, el caso w < −1 es de nuevo un universo acelerado, pero a diferencia dew ∈

(−1, − 1

3

), la expansion no dura eternamente pues ahora T → 0− es t → 0−.

El universo expande a un ritmo tan rapido, que en un determinado instante la metri-ca diverge (se genera infinito espacio en cada punto), tenemos un Big Rip y suponeel fin del espaciotiempo. Notese que, a diferencia de los otros tres, no hay Big Bangy, por tanto, con T muy pequeno el diagrama es el de Minkowski (se dice que esasintoticamente plano en t → −∞). Es decir, mucho antes del Big Rip, el universo esmuy aproximadamente un Minkowski que expande de forma despreciable pero que,poco a poco, va adquiriendo velocidad de expansion hasta la singularidad. En cual-quier instante todo el universo es visible para cualquier observador, pero no puedeinfluenciar a todo el espacio por la misma razon que en el caso w ∈

(−1, − 1

3

).

5. Compactificacion conforme de un universo cerrado (FRW)

Las soluciones FRW con k = 0 con w > −1 son bastante estandares, y en la literaturase muestran usualmente como ejemplos para comprender la compactificacion conforme. Acontinuacion vamos a desarrollar las FRW con espacio esferico (en la presente seccion) y loshiperbolicos (en la siguiente). Destacar que los proximos desarrollos no han sido extraidosde la bibliografıa sino que constituyen trabajo personal, ası como los universos con materiafantasma w < −1. Procedemos entonces con los universos con k = 1. Al igual que con losplanos, distinguimos dos casos: w 6= − 1

3 y w = − 13 .



Haciendo k = 1 en (3.4):

τ = − 23w + 1

ˆdh

h2 + 1=

23w + 1

arccotgh ⇒ h = cotg(

3w + 12

τ

)h= a′

a−−−→

h= a′a−−−→ lna =

23w + 1

ln[

sen(

3w + 12

τ

)]+ C(w). (5.1)

5 Compactificacion conforme de un universo cerrado (FRW) 30

Despejando a(τ) y definiendo A(w) = eC(w) ∈ R+ resulta:

a(τ) = A(w)

[sen

(3w + 1

2τ

)] 23w+1

. (5.2)

Sustituimos en (3.5) y despejando se llega a

A(w) =[κρ0

3a3(w+1)

0

] 13w+1

=: R±1 , (5.3)

que definimos como el parametro R±1 y que tiene dimensiones de L. Veamoslo:

[R±1] =([κρ0][a

3(w+1)0 ]

) 13w+1

=(

L−2L3(w+1)) 1

3w+1=(

L3w+1) 1

3w+1= L. (5.4)

R±1 nos va a aparecer tambien en el caso k = −1 de ahı la notacion y ası diferenciamosdel R0 del caso k = 0. Con todo ello, el factor de escala queda:

a(τ) = R±1

[sen

(3w + 1

2τ

)] 23w+1

, donde w 6= −13

, (5.5)

que tiene unidades de longitud como debe ser. La metrica en estas coordenadas queda:

ds2 = R2±1

[sen

(3w + 1

2τ

)] 43w+1 [

dτ2 − dχ2 − sen2χdΩ22

]. (5.6)

Si intentamos pasar a tiempo cosmologico llegaremos a una integral que no posee unaforma para w general que nos permita expresar la metrica de una manera razonablementecomoda:

t = R±1

ˆ [sen

(3w + 1

2τ

)] 23w+1

dτ. (5.7)

5.1.2. Singularidades

No queda otra que trabajar en conformes. A la vista de (5.5) vemos que los puntosτ = m 2π

3w+1 con m ∈ Z son la unica fuente de singularidades y recordemos que todo esto espara w 6= − 1

3 , caso que estudiaremos a parte. Para w > − 13 son puntos en los que a2 → 0,

se corresponderan a potenciales singularidades tipo Big Bang/Crunch; por otro lado, paraw < − 1

3 , tenemos a2 → ∞ por lo que son potenciales Big Rip/anti-Big Rip. Nos quedamoscon uno de los mapas de nuestra variedad acotada por estos puntos, por ejemplo el que sehalla entre τ = 0 y τ =

∣∣ 2π3w+1

∣∣ y vamos a estudiar la existencia de singularidades en ellos.Usando

a′

a= cotg

(3w+1

2 τ)

,a′′

a=

1− 3w2

cotg2(

3w+12 τ

)− 3w + 1

2, (5.8)


R = 3 (1− 3w) R−2±1

[sen

(3w+1

2 τ)]−6 w+1

3w+1 (5.9)


p Para w > − 13 , el exponente es negativo por lo que el escalar de Ricci diverge en

τ = 0,∣∣ 2π

3w+1

∣∣, es decir, tenemos una singularidad de tipo Big Bang y otra de tipo BigCrunch19.

p Para −1 < w < − 13 , el exponente es positivo y el escalar de Ricci no diverge. Por lo

que no tenemos informacion.

p Para w = −1 tenemos el universo de De Sitter con secciones espaciales esfericas y nosolvidamos de el en nuestro analisis (sustituyendo se obtiene el ya conocido 12R−2

±1,donde R±1 representarıa el radio de De Sitter RDS ).

p Para w < −1, ocurre lo mismo que en el primer caso, es decir, tenemos dos singula-ridades, pero en este caso son un Big Rip y un anti-Big Rip.

Si continuamos calculando invariantes de curvatura llegaremos a que todos nos dan lamisma informacion y ninguno dice nada de lo que sucede con w ∈

(−1,− 1

3

):

Rtt = −3(3w + 1)

2sen−2

(3w+1

2 τ)

Rij =3(w− 1)

2sen−2

(3w+1

2 τ)

gij

⇒ RµνRµν =9(3w2 + 1

)R4±1

[sen

(3w+1

2 τ)]−12 w+1

3w+1 ,

(5.10)

RµνρλRµνρλ = 34 R−4±1 (3w + 1)2

[sen

(3w+1

2 τ)]−12 w+1

3w+1 . (5.11)

Estos casos no pueden estudiarse mediante invariantes de curvatura, hemos de echarmano de otros recursos de geometrıa diferencial. Por ejemplo estudiando la completitudgeodesica de la variedad; consiste en lo siguiente: se dice que una variedad es geodesicamen-te completa si cualquier geodesica parametrizada con un tiempo propio σ (del observadorque la sigue) puede extenderse hasta σ → ±∞. Dicho de otra manera, si se tarda infinitotiempo en recorrer cualquier geodesica partiendo de un punto de ella en cualquiera de losdos sentidos. Si un universo no es geodesicamente completo, por ejemplo, porque ningunageodesica temporal llegue a σ → ∞, necesariamente implica que las geodesicas se acabanen en algun punto y por tanto ha de haber una singularidad en el (aunque quizas no seafısica, para ello habrıa que analizar la inextendibilidad de la curva). Dejaremos estos casospara la ultima seccion en la que daremos algunas pautas para comenzar este analisis en elque no entraremos pues sobrepasa los objetivos de este trabajo. La conclusion es pues: todoslos universos FRW esfericos (salvo De Sitter) con w /∈

[−1,− 1

3

]poseen sendas singularidades en

τ = 0 y en τ =∣∣ 2π

3w+1

∣∣; en particular, los w < −1 poseen un Big Rip y un anti-Big Rip en esospuntos y los w > − 1

3 tienen un Big Bang y un Big Crunch, respectivamente.

19Notese que no sabemos con que valores de t, el tiempo cosmologico, se corresponden; de modo queen rigor no podemos afirmar que, por ejemplo, τ = 0 se trate de un Big Bang y τ = τ0 > 0 un Big Crunchpues podrıa ocurrir que se correspondiesen, respectivamente, con un t = t0 > 0 y t = 0, de modo que loque ocurre antes en τ ocurre despues en t. Aun ası, abusaremos del lenguaje dado que no podemos pasara tiempo cosmologico para hacer dicho analisis.

5 Compactificacion conforme de un universo cerrado (FRW) 32

5.1.3. Compactificacion para los casos w < −1 y w > − 13

Partimos de la metrica FRW con k = 1 (y w 6= − 13 ) que, si recordamos, tiene la siguiente

forma en coordenadas conformes:

ds2 = R2±1

[sen

(3w + 1

2τ

)] 43w+1 [


]︸︷︷︸

E

, (5.12)

donde χ ∈ (0, π) (por definicion de χ para una metrica FRW con k = 1). En los casos w /∈[−1, − 1

3 ], las dos singularidades fısicas nos acotan el tiempo, de modo que τ ∈(0,∣∣ 2π

3w+1

∣∣)y, en consecuencia, ¡ya esta compatificado! Aplicamos la transformacion conforme y el re-sultado es una “rebanada” de E de ancho π (en χ) y alto

∣∣ 2π3w+1

∣∣ (en τ). En particular conw > − 1

3 tenıamos un Big Bang y un Big Crunch, y con w < −1 tenıamos un Big Rip y unanti-Big Rip.

A diferencia del caso plano (y del hiperbolico como veremos) en el que todos los dia-gramas en un cierto rango de w tenıan el mismo aspecto, en este caso tenemos un continuode diagramas de Penrose: con w > − 1

3 tenemos todas las alturas posibles y con w < −1tenemos todas las comprendidas entre 0 y π20.


Partiendo una vez mas de las relaciones (3.16), la metrica quedarıa en coordenadascomoviles y conformes, respectivamente

ds2 = dt2 −( a0

δt)2 (

dχ2 + sen2χdΩ22

)= a2

0e2a0τ/δ(


)︸︷︷︸

E

. (5.13)

Como no podıa ser de otra forma, es conforme al universo estatico de Einstein. No te-nemos ninguna restriccion sobre la coordenada radial y τ ∈ (−∞, ∞), de modo que aun noesta compactificado. De hecho serıa el cilindro completo E pero en el infinito descendiendopor el cilindro tendrıamos la singularidad (que esta en τ → −∞ que es t → 0+). Llevare-mos a cabo el mismo procedimiento que se sigue para compactificar el t de AdS4, esto es,cambiar a T = arctgτ. Omitimos las operaciones; el resultado es

ds2 =a2

0e2a0tgT/δ

cos4T

[dT2 − cos4T

(dχ2 + sen2χdΩ2

2

)]︸︷︷︸

ds2C

. (5.14)

Al multiplicar por el factor conforme nos quedamos con el modelo cosmologico ds2C con

T ∈(−π

2 , π2)

y con el Big Bang en T = −π2 (t → 0+), mientras que T = π

2 , que representael final del tiempo t (t→ ∞), es regular.

20Este serıa el caso lımite w = −1. Recuerdese que el diagrama de Penrose de De Sitter es justamente uncuadrado de lado π.


Figura 8: Diagramas de Penrose para k = 1, de izquierda a derecha: caso decelerado conw > − 1

3 ; caso no acelerado w = − 13 no compactificado y compactificado, respectivamente;

caso acelerado con energıa fantasma w < −1.


En la figura 8 vemos la solucion general para un FRW de espacio esferico y decelerado.Representa un universo con materia que gravita (frena la expansion) con densidad por en-cima del crıtico y esto hace hace que el espacio recolapse. I± son espaciales de modo quetodas las geodesicas nulas nacen en τ = 0 y mueren en τ = 2π

3w+1 , al igual que las tem-porales. De nuevo todos los puntos del diagrama salvo los lados izquierdo y derecho delrectangulo representan 2-esferas, mientras que estos representan puntos del espaciotiempo:el origen de χ y su punto antipodal en la 3-esfera. Veamos dos casos particulares:

p Para materıa frıa (w = 0) tenemos un diagrama el doble de alto que de ancho, demodo que, si recordamos el diagrama de De Sitter, nos dice que la luz emitida duran-te el Big Bang da exactamente una vuelta completa al universo hasta que se alcanzala singularidad final. El caracter espacial de los infinitos temporales implica que hade haber horizontes cerca de ellos. Y es ası, pero la longitud del diagrama hace quecualquier observador en τ < π carezca de horizonte futuro de eventos pero sı po-see un horizonte de partıculas. Cuando alcanza τ = π todo el espacio es observable,pero a partir de el deja de poder influenciar a puntos lo suficientemente alejados,consecuencia de que la luz es incapaz de dar media vuelta al espacio y llegar a lasantıpodas en menos de ∆τ = π. No surge el horizonte como en dS4 como consecuen-cia de una expansion acelerada (de hecho hay contraccion), sino por el hecho de queel Big Crunch es alcanzado en un tiempo finito por todos los observadores y la luzno tiene tiempo de llegar tan lejos.

p Para radiacion (w = 13 ) la estructura causal es igual que la de dS4. Aunque la justifi-

cacion de los horizontes, de nuevo, es muy distinta y se razona igual que con w = 0.A diferencia de este ultimo, solo sera visible todo el universo en el momento de al-

6 Compactificacion conforme de un universo abierto (FRW) 34

canzar la singularidad final; y solo durante el Big Bang podremos influenciar a todoslos eventos.

Por otra parte tenemos el universo con energıa fantasma w < −1 en el que tenemos de nue-vo un rectangulo de altura dependiente de w (esta vez la altura oscila entre 0 con w→ −∞y π con w → −1 en el que no tendrıamos las singularidades como ya sabemos), siendopues identico al anterior el analisis de la estructura causal. Sin embargo tratemos de inter-pretar que ocurre. Esta delimitada por un Big Rip y un anti-Big Rip. Al final, el universoalcanza un ritmo de expansion divergente y las distancias entre puntos se hacen arbitraria-mente grandes en un corto periodo de tiempo hasta que se alcanza la singularidad. Pero elanti-Big Rip que ocurre en el pasado es incluso mas raro de imaginar: tenemos un universoen un estado no-definido (singular) en τ = 0 y se muestra como un universo infinito quecomienza a contraer infinitamente rapido en τ ∼ 0+ y en un instante el universo adquiereun tamano finito, i.e. con distancias finitas entre cualesquiera dos puntos del espacio.

Con w = − 13 la representacion en E se corresponderıa con el cilindro completo con

una singularidad de Big Bang en el extremo inferior del mismo (que esta en el infinito). Setrata de un universo expande a un ritmo constante (q = 0) por lo que no colapsa nunca.Por otro lado vemos que cubre por completo ds2

C con la singularidad inicial pero con unfuturo regular. Al igual que en AdS4, quitamos i+ del diagrama al no pertenecer a nuestravariedad, de modo que no hay una union suave entre χ = 0 y χ = π en el futuro; logico,pues el universo no colapsa y son puntos antipodales: no tiene sentido que esten unidos deforma suave en T = π

2 . Hay una gran diferencia con anti-De Sitter ya que I± = i±, y en eldiagrama cada punto representa una 2-esfera salvo χ = 0, π (incluyendo i±) que son sin-gularidades de coordenadas y no bordes del espaciotiempo (es globalmente hiperbolico).Observese que los i± son puntuales, de modo que el espacio entero es siempre observablee influenciable; igual ocurrıa en el caso plano con este mismo w, y lo mismo ocurrira en elhiperbolico.

6. Compactificacion conforme de un universo abierto (FRW)

Para terminar, nos queda analizar los universos con k = −1. Una vez mas distinguire-mos dos casos: w 6= − 1

3 y w = − 13 .



Tomando k = −1 en (3.4):

τ = − 23w + 1

ˆdh

h2 − 1=

23w + 1

arccotghh ⇒ h = cotgh(

3w + 12

τ

)h= a′

a−−−→

h= a′a−−−→ lna =

23w + 1

ln[

senh(

3w + 12

τ

)]+ C(w). (6.1)

35 6 Compactificacion conforme de un universo abierto (FRW)

Despejando a(τ) y definiendo A(w) = eC(w) ∈ R+ resulta:

a(τ) = A(w)

[senh

(3w + 1

2τ

)] 23w+1

. (6.2)

Sustituimos en (3.5) y despejando se llega a A(w) = R±, el mismo que hemos definido enel caso k = 1 en (5.3), quedando el factor de escala queda entonces:

a(τ) = R±1

[senh

(3w + 1

2τ

)] 23w+1

, donde w 6= −13

, (6.3)

que tiene unidades de longitud como esperabamos. La metrica en estas coordenadas tienela forma:

ds2 = R2±1

[senh

(3w + 1

2τ

)] 43w+1 [

dτ2 − dχ2 − senh2χdΩ22

]. (6.4)

Si intentamos pasar a tiempo cosmologico ocurre algo parecido a (5.7) pero con senohiperbolico en vez de seno, no siendo factible tampoco expresar la metrica en coordenadascomoviles.

6.1.2. Singularidades

De nuevo trabajaremos en conformes. A la vista de (6.3) vemos que los problemas apa-recen en τ = 0, ya que τ → ±∞ representa un punto que no pertenece a la variedad enestas coordenadas (en otras puede que fuesen puntos finitos y sı habrıa que considerarlos).Al igual que con k = 1, para w > − 1

3 se correspondera a un potencial Big Bang y paraw < − 1

3 , un potencial Big Rip. Usando

a′

a= cotgh

(3w+1

2 τ)

,a′′

a=

1− 3w2

cotgh2(

3w+12 τ

)+

3w + 12

, (6.5)


R = 3 (1− 3w) R−2±1

[senh

(3w+1

2 τ)]−6 w+1

3w+1 (6.6)

Vemos algo parecido al caso esferico:

p Para w > − 13 , el exponente es negativo por lo que el escalar de Ricci diverge en

τ = 0; tenemos singularidad de tipo Big Bang en el tiempo conforme. Igual ocurrecon w < −1 pero la singularidad es un Big Rip.

p Para −1 < w < − 13 , el exponente es positivo y el escalar de Ricci no diverge. Por lo

que no tenemos informacion.

p Para w = −1 tenemos el universo de De Sitter, esta vez, foliado con secciones espa-ciales hiperbolicas.

6 Compactificacion conforme de un universo abierto (FRW) 36

Tampoco obtenemos informacion del resto de invariantes de curvatura para w ∈(−1,− 1

3

).

Omitimos las expresiones de Rtt, Rij y los invariantes pues son iguales que los de k = 1cambiando sen por senh, curiosamente. Estos casos los dejaremos para la seccion ultima deltrabajo. Concluimos: todos los universos FRW hiperbolicos (salvo De Sitter) con w /∈

[−1,− 1

3

]poseen una singularidad en τ = 0; en particular, los w < −1 poseen un Big Rip en este punto y losw > − 1

3 tienen un Big Bang.

6.1.3. Compactificacion para los casos w < −1 y w > − 13

Recordemos la metrica FRW con k = −1 (y w 6= − 13 ) que, en coordenadas conformes,

tiene la forma

ds2 = R2±1

[senh

(3w + 1

2τ

)] 43w+1 [


]. (6.7)

Considerando los casos cuyas singularidades conocemos: con w > − 13 tenemos τ ∈ (0, ∞)

(τ → 0 es singular) y para con w < −1, tenemosτ ∈ (−∞, 0) (τ → 0 es singular) y,en ambos casos, χ ∈ (0, ∞), por definicion de χ para una metrica FRW con k = −1. Leaplicamos el cambio de coordenadas (τ, χ)→ (T, R): τ = arctgh

[tg(

T+R2

)]+ arctgh

[tg(

T−R2

)]χ = arctgh

[tg(

T+R2

)]− arctgh

[tg(

T−R2

)] (6.8)

La metrica queda

ds2 = R2±1

[12 (cosR + senT)

3w+12 − 1

2 (cosR− senT)3w+1

2] 4

3w+1

cos2 (T + R) cos2 (T − R)ds2

E, (6.9)

y los rangos de las nuevas coordenadas,

w > −13

:

0 < T + R < π

2−π

2 < T − R < π2

R, T > 0, w < −1 :

−π

2 < T + R < π2

−π2 < T − R < 0R > 0, T < 0

(6.10)

Se comprueba que la singularidad en τ → 0 se transforma en los puntos de la recta T = 0.


Razonando como en los casos anteriores, la metrica quedarıa en coordenadas comovilesy conformes, respectivamente

ds2 = dt2 −( a0

δt)2 (

dχ2 + senh2χdΩ22

)= a2

0e2a0τ/δ(


). (6.11)

En conformes tenemos χ ∈ (0, ∞) y τ ∈ R con singularidad de Big Bang (t → 0+) enτ → −∞. Aplicando sobre la ultima el mismo cambio de coordenadas que en el caso w /∈[−1, − 1

3 ] [ec. (6.8)] obtenemos:

37 7 Aproximacion a los casos w ∈ (−1, − 13 ) para metricas FRW con k = ±1

ds2 = a20

exp

2a0δ arctgh

[tg(

T+R2

)]+ 2a0

δ arctgh[tg(

T−R2

)]cos (T + R) cos (T − R)

ds2E. (6.12)

La compactificacion nos lleva a T y a R a los rangos:−π

2 < T + R < π2

−π2 < T − R < π

2R > 0

(6.13)

Notese que estos rangos hacen que el factor conforme sea positivo. Si por alguna razontuvieramos otros intervalos, cos (T + R) cos (T − R) podrıa ser negativo y no estarıamosen condiciones de efectuar una transformacion conforme. Respecto a la singularidad, trasel cambio de coordenadas se ve que esta constituida por los puntos de la recta T = R− π

2 .


Los diagramas con w < −1, w = − 13 y w > − 1

3 son identicos a los del caso planocon esos mismos valores de w, salvo que estos ultimos tienen sus vertices a distancia πdel origen, mientras que los hiperbolicos los tienen a π/2, de modo que en el cilindrode E aparecen dos puntos i0 que no se tocan aunque fısicamente representen el mismopunto. Estos hechos no tienen significado fısico, pudiendose afirmar que, curiosamente,soluciones FRW hiperbolicas y planas, al menos en este rango de valores de w, son identicascausalmente hablando. Dada la similitud no vamos a repetir el analisis causal.

7. Aproximacion a los casos w ∈ (−1, −13) para metricas FRW

con k = ±1

En estos casos, simplemente citar una posible forma de proceder. Tomemos arbitraria-mente k = 1. Nos planteamos calcular, por ejemplo, las geodesicas temporales de observa-dores fijos en el espacio (χ = θ = ϕ = 0). Si hallamos los sımbolos de Christoffel veremosque muchos son nulos y se obtiene:

0 = τ + Γτνρ xν xρ = τ + Γτ

ττ ττ. (7.1)

Sustituimos e invertimos las derivadas del parametro de la curva σ respecto a τ, admi-tiendo que σ(τ) es continua, y operando se obtiene la ecuacion diferencial

d2τ

dσ2 = −R−2±1cos

(3w + 1

2τ

) [sen

(3w + 1

2τ

)]− 3w+53w+1

, (7.2)

cuya solucion puede expresarse en funcion de dos constantes de integracion:

σ = C1± 2R±1|3w+1|

ˆ 3w+12 τ

1

dξ√(senξ)

−43w+1 + C2

Reparametrizo−−−−−−−−−−→y absorbo ctes

σ =

ˆ 3w+12 τ

1

dξ√(senξ)

−43w+1 + C2

.

(7.3)

8 Conclusiones 38

Habrıa que ver si con τ tendiendo a los candidatos a singularidades σ se va a infinito o no,habiendo singularidad como ya dijimos anteriormente en este ultimo caso. C2 < 0 no estanpermitidos y el problema es que se obtienen resultados diferentes segun se tome C2 = 0 oC2 > 0, por lo que habrıa intentar comprender el significado fısico de C2. Otro camino serıaemplear la Proposicion 4.1. de [11], pero necesitarıamos metodos numericos para resolverlas integrales. Dejamos este analisis aquı; sı comentar que para k = −1 todo es identicocambiando sen y cos por senh y cosh.

8. Conclusiones

Para concluir, conviene insistir en el interes del proceso de compactificacion conforme:pasamos de un universo a otro diferente, con otra geometrıa, pero con la misma estructuracausal. Al suprimir coordenadas aprovechando la simetrıa encontramos los bidimensiona-les diagramas de Penrose. En ellos se puede extraer rapidamente informacion muy valiosa.Por ejemplo, de la diferencia de caracter (espacial/temporal/nulo) de los infinitos deri-van las grandes diferencias entre Minkowski, De Sitter y anti-De Sitter; o con el campo degeodesicas nulas a 45º es facil localizar horizontes. En estos tres universos, especialmentepor su regularidad, pudimos introducir las claves que nos servirıan posteriormente para elresto de universos que tratamos.

Analizando las soluciones FRW de forma global podemos extraer una interesante con-clusion: todas las soluciones vistas con espacio plano tienen los mismos diagramas de Pen-rose que sus correspondientes (con la misma w) hiperbolicos y, en consecuencia, la mismaestructura causal. Por otra parte, los esfericos presentan todos forma rectangular acotada enel tiempo por dos singularidades, y las alturas varıan continuamente con w. Esto nos hacepensar que, de alguna manera, existe una gran distincion (causal) entre universos cerradosy no cerrados, independientemente de si son planos o abiertos. Tambien hemos comproba-do que entre los universos acelerados, aquellos con energıa fantasma (w < −1) eran muyespeciales pues, en todos los casos, el destino del espacio era un Big Rip al final. En defini-tiva, con multitud de ejemplos se ha puesto de manifiesto el proceso de compactificacionconforme y el enorme potencial que tienen los diagramas de Penrose para el estudio de lacausalidad de las soluciones de las ecuaciones de Einstein.

Insistir una vez mas en que la mayor parte de la resolucion y el analisis para w generalha sido trabajo personal, permitiendo una completa inmersion en todos y cada uno de losaspectos teoricos que hemos tratado: integracion de las ecuaciones de Friedmann, calculode tensores de curvatura y sus contracciones escalares para localizar singularidades, apli-cacion de un cambio de coordenadas a una metrica dada y analizar sus comportamientosasintoticos, compactificacion de la misma y construccion e interpretacion del diagrama dePenrose.

Pero tambien se han quedado cosas por el camino. Centrarnos en las metricas FRWnos ha hecho dejar de lado soluciones tan fascinantes como los agujeros negros. En estos,cobran relevancia aspectos como el caracter asintoticamente plano, los horizontes de even-

39 Referencias

tos e incluso habrıamos de introducir las extensiones maximas de dichas soluciones21. Si,en cambio, se quisiese indagar aun mas en las metricas FRW, un siguiente paso razonablepodrıa ser incluir dos fluidos perfectos: combinar materıa frıa y radiacion, o cualquiera deestas con una constante cosmologica; las posibilidades son infinitas y muchas se puedenencontrar facilmente en la bibliografıa.

Acabar diciendo que puede que nos hayamos focalizado mucho en el analisis causal,llegando incluso a perder de vista su importancia fundamental. Y es que no hemos deolvidar que la causalidad es una condicion necesaria para lo que en definitiva perseguimos:un modelo fısico del universo.

Agradecimientos

Agradecimientos a mi tutor, Bert Janssen, por haberme motivado y empujado a aden-trarme en estos interesantes temas relacionados con gravedad y Relatividad. Por su enri-quecedora crıtica y por esas tardes parados delante de la pizarra preguntandonos dondeesta el fallo.

Tambien a Miguel Sanchez Caja, profesor del departamento de Geometrıa y Topologıa,por concederme una cita con el, de la que extraje algunas ideas clave que acabaron corri-giendo errores de procedimiento y me permitieron afinar en la interpretacion objetiva de laexpansion.

Referencias

[1] B. Janssen, Teorıa de la Relatividad General, Granada, 2015.

[2] R. d’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity, Oxford University Press, New York,1992.

[3] J. B. Griffiths, J. Podolsky, Exact Space-Times in Einstein’s General Relativity, CambridgeUniversity Press, New York, 2009.

[4] S. Hawking and Ellis, The large scale structure of space-time, Cambridge University Press,New York, 1973.

[5] S. Weinberg, Gravitation and cosmology, Wiley, Canada, 1972.

[6] D. F. Lawden, Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology, Dover, NewYork, 2002.

[7] R. M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, Chicago, 1984.

[8] Cecile Mezzera, Geometrıa Lorentziana y singularidades, Universidad de la Republica deMontevideo, Montevideo, 2014.

[9] A. Cabrera, D. A. Solıs, Espacio conforme y compactificacion en espacio-tiempos de curvaturaconstante, Universidad Autonoma de Yucatan, 2009.

21Vease por ejemplo la extension de Kruskal para el agujero negro de Schwarzschild.

Referencias 40

[10] V. Di Carlo, Conformal compactification and anti-de Sitter space (Master thesis). 13

[11] M. Sanchez, On the Geometry of Generalized Robertson-Walker Spacetimes: Geodesics, Gra-nada, 1998. 7

[12] R. Geroch, What is a Singularity in General Relativity, New Jersey, 1968.

[13] Te Ha, Y. Huang, K. D. Pechan, T. J. Renner, A. Wang, et al., Classification of the FRWuniverse with a cosmological constant and a perfect fluid of the equation of state p = wρ,http://arxiv.org/abs/0905.0396

[14] S. Nojiri, S. D. Odintsov, S. Tsujikawa, Properties of singularities in (phantom) dark energyuniverse,http://arxiv.org/abs/hep-th/0501025v2 16

[15] S. Carroll, Lecture Notes on General Relativity,http://fr.arxiv.org/abs/gr-qc/9712019

[16] A. Rozas-Fernandez, Covariant holography of a tachyonic accelerating universe,http://arxiv.org/abs/1407.8426

http://arxiv.org/abs/0905.0396

http://arxiv.org/abs/hep-th/0501025v2

http://fr.arxiv.org/abs/gr-qc/9712019

http://arxiv.org/abs/1407.8426

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