86.03/66.25 - Dispositivos Semiconductores Clase 3-1

Clase 3 1 - Fısica de semiconductores (II)

Transporte de Portadores

Marzo de 2017

Contenido:

1. Movimiento termico de portadores

2. Arrastre de portadores

3. Difusion de portadores

Lecturas recomendadas:

Julian P., Cap. 2, §§2.4

Muller-Kamins, Cap. 1, §§1.21Esta clase es una traduccion, realizada por los docentes del curso ”66.25 - Dispositivos Semiconduc-

tores - de la FIUBA”, de la correspondiente hecha por el prof. Jesus A. de Alamo para el curso ”6.012 -Microelectronic Devices and Circuits” del MIT. Cualquier error debe adjudicarse a la traduccion.

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Preguntas disparadoras

• ¿Cuales son los fenomenos fısicos que generan el flujode corriente en los semiconductores?

• ¿Que ocurre con los huecos y los electrones en presen-cia de un campo electrico?

• ¿Como se comportan los electrones y los huecos en unsemiconductor si su concentracion no es espacialmenteuniforme?

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1. Movimiento termico de portadores

En equilibrio termico los portadores no estan fijos en elespacio:

• Sufren colisiones (scattering) con los atomos de Si dela red que estan vibrando (Movimiento Browniano).

• Interactuan electrostaticamente con los atomos dopantescargados y entre si.

La constante de tiempo caracterıstica del movimiento termicoes el tiempo libre medio entre colisiones:

τc ≡ tiempo entre colisiones [s]

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Entre colision y colision los portadores tienen una granvelocidad:

vth ≡ velocidad termica [cm/s]

...Pero en promedio no van a ningun lado.

Longitud caracterıstica del movimiento termico:

λ ≡ Camino libre medio [cm]

λ = vthτc

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Experimentalmente se observa que para Si a 300 K:

τc ' 10−14 ∼ 10−13 s

vth ' 107 cm/s

⇒ λ ' 1 ∼ 10 nm

Para tener una referencia, en los MOSFETs actuales ellargo del canal es:

L ' 14 nm

⇒ Los portadores sufren colisiones dentro de los disposi-tivos semiconductores.

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2. Arrastre de portadores (drift)

Si se aplica un campo electrico sobre el semiconductor:

E ≡ campo electrico [V/cm]

⇒ Se genera una fuerza neta sobre los portadores

F = ±qE

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La velocidad del portador aumenta por la fuerza apli-cada hasta el momento de una colision la cual ocurre enpromedio cada τc.

El impulso aplicado por la fuerza durante τc es igual almomento promedio del portador, es decir:

±qEτc = m∗p,nva

Esta es llamada velocidad de arrastre [cm/s].

va = ± qτcm∗p,n

E

Definimos:

µn,p = qτcm∗n,p≡ movilidad [cm2/V · s]

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Luego, para los electrones:

van = −µnE

y para los huecos:vap = µpE

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Esta relacion lineal entre va y E es valida dentro de unrango amplio pero acotado:

A su vez la velocidad de saturacion depende de la tem-peratura:

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La movilidad es una medida de la facilidad para arrastrarportadores:

• si τc ↑, mayor tiempo entre colisiones → µ ↑• si m ↓, partıcula mas ”liviana” → µ ↑

”τc” depende de la temperatura y del nivel de dopaje.”m” depende del tipo de portador.

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La movilidad depende del dopaje. Para Si a 300K:

• Para un bajo nivel de dopaje, µ es limitada por coli-siones con la red.

• Para medio o alto nivel de dopaje, µ es limitada porcolisiones con los dopantes.

• Los huecos son tienen masa efectiva mayor que loselectrones:→ para el mismo nivel de dopaje, µn > µp

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La movilidad depende de la temperatura:

• Para temperaturas bajas µ es limitada por colisionescon los atomos dopantes. Esto se debe a que dichainteraccion es mas efectiva cuando la velocidad de losportadores es baja.

• Para temperaturas medias o altas µ es limitada porcolisiones con atomos de la red. Para mayor velocidadde los portadores disminuye la probabilidad de colisioncon las impurezas, pero aumenta interaccion con losatomos de la red debido a que estos aumentan susvibraciones con la temperatura.

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Corriente de arrastre

Partıculas cargadas que tienen velocidad neta debido a lapresencia de un campo ⇒ corriente electrica.

La densidad corriente arrastre es proporcional a:la velocidad arrastre de portadoresla concentracion de portadoresla carga de los portadores

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Corrientes de arrastre :

Jarrn = −qnvan = qnµnE

Jarrp = qpvap = qpµpE

Corriente total de arrastre:

Jarr = Jarrn + Jarrp = q(nµn + pµp)E

Tiene la apariencia de la Ley de Ohm:

J = σE =E

ρ

donde:

σ ≡ conductividad [Ω−1 · cm−1]

ρ ≡ resistividad [Ω · cm]

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Entonces:

ρ =1

σ=

1

q(nµn + pµp)

La resistividad se utiliza comunmente para especificar elnivel de dopaje.

• En un semiconductor tipo N:

ρn '1

qNdµn

• En un semiconductor tipo P:

ρp '1

qNaµp

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Para Si a 300K:

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Ejemplo numerico:

• Si con Nd = 3× 1016 cm−3 a 300 K

µn ' 1000 cm2/V · s

ρn ' 0.21 Ω · cm

• si se aplica |E| = 1 kV/cm

|van| ' 106 cm/s vth

|Jarrn | ' 4.8× 103 A/cm2

• tiempo empleado para recorrer L = 0.1 µm:

td =L

van= 10 ps

Es rapido!

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3. Corriente de difusion (diffusion)

Difusion: partıculas que se mueven en respuesta a ungradiente de concentracion.

Elementos de la Difusion:

• un medio material (Cristal de Si)

• un gradiente de partıculas (huecos y electrones) den-tro del medio

• las colisiones entre las partıculas y el medio dispersana las partıculas en direcciones aleatorias:→ sin embargo, el movimiento neto de las partıculas

es en direccion contraria al gradiente

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Relacion fundamental de la Difusion (Primera ley deFick):

Flujo de Difusion ∝ - gradiente de la concentracion

Flujo ≡ numero de partıculas cruzando un area porunidad de tiempo [cm−2 · s−1]

Para electrones:

Fn = −Dndn

dx

Para huecos:

Fp = −Dpdp

dx

Dn ≡ Coeficiente de Difusion de los electrones [cm2/s]Dp ≡ Coeficiente de Difusion de los huecos [cm2/s]

D mide la facilidad con la que se difunden los portadoresen respuesta a un gradiente de concentracion.

D esta limitada por las vibraciones de los atomos de Side la red y de los dopantes ionizados.

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Densidad de corriente de Difusion = carga × flujo dela carga

Jdifn = qDndn

dx

Jdifp = −qDpdp

dx

Cuidado con los signos:

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Valor de las constantes de difusion

En el bloque de silicio de la figura la densidad de huecosdepende de la posicion. Para el siguiente analisis asumire-mos que ∆x = λc (camino libre medio). En tal caso de-spues de un tiempo τc, debido a la naturaleza aleatoriadel movimiento termico, se tiene que:

• la mitad de los huecos de la region izquierda 12Pi habran

atravesado la la superficie limitada por xr

• la mitad de los huecos de la region derecha 12Pd habran

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tambien atravesado la la superficie limitada por xr

Esto ocurre pues λc = vthτc.

Entonces el flujo de partıculas a traves de la superficie xres:

Fp = 12vth(pi − pd) = −1

2λcτc

[p(xr + λc)− p(xr − λc)]

Luego apoximando por Taylor de primer orden:

p(xr + λc) ≈ p(xr) + dpdxλc

p(xr − λc) ≈ p(xr)− dpdxλc

Se obtiene:

Fp = −λ2cτcdpdx

=> Dp = λ2cτc

Equivalentemente se puede proceder para hallar Dn.

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Relacion de Einstein

La fısica fundamental de la difusion y el arrastre es lamisma: colisiones entre partıculas y los atomos del medio⇒ Debe existir una relacion entre D y µ.

Tenemos que:

Dn,p = λ2cτc

y

µn,p = qτcm∗n,p

Por lo tanto si se considera que: vth = λcτc

Dn,pµn,p

= 1qm∗n,pv

2th

Los electrones libres y huecos, cuando el semiconductor noesta degenerado, cumplen con la estadıstica de Boltzman(que se estudiara en Fısica III). En el caso unidimensionalplanteado:

12m∗n,pv

2th = 1

2kT

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Queda entonces la Relacion de Einstein:

D

µ=kT

q

En semiconductores:

Dn

µn=Dp

µp=kT

q

kTq ≡ Voltaje termico [V ]

A 300 K:

kT

q' 25 mV

Por ejemplo: para Nd = 3× 1016 cm−3:

µn ' 1000 cm2/V · s → Dn ' 25 cm2/sµp ' 400 cm2/V · s → Dp ' 10 cm2/s

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Corriente electrica total

En general, la corriente puede fluir independientementepor arrastre o difusion. Corriente total:

Jn = Jarrn + Jdifn = qnµnE + qDndn

dx

Jp = Jarrp + Jdifp = qpµpE − qDpdp

dx

Finalmente:

Jtotal = Jn + Jp

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Resumen y conclusiones

• Los electrones y los huecos en un semiconductor soncargas moviles. Si hay movimiento de cargas ⇒ haycorriente electrica.

• Corriente de arrastre: producida por un campo electrico.

Jarr ∝ E

• Corriente de difusion: producida por un gradientede concentracion.

Jdif ∝ dn

dx,dp

dx

• Los portadores se mueven rapido en respuesta a cam-pos electricos y a gradientes.

• Los dispositivos semiconductores modernos tienen lacapacidad de controlar las corrientes de arrastre y/odifusion.