trasmissione del calore - tim 1... · coeﬃciente di conducibilità termica k, bensì la costante...

Trasmissione del calore

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ING UNIUD - LabFisica is

materiale necessario

• Termografo, completo di sensori di temperatura!

• Vaschetta per il termostato a temperatura ambiente!

• Recipiente pirex!

• Vaso dewar per il termostato a temperatura dell'acqua bollente!

• Fornello, con schermatura!

• Calibro o metro, per la misura della distanza L tra i fori di inserzione dei sensori!

• Termometro a mercurio, scala 0o:100o e precisione 0.1o!

• Ghiaccio

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Conduzione termica lungo una sbarra posta a contatto con due termostati a diversa

temperatura

sbarra

termostato 1 termostato 2

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barra di alluminio debitamente isolata.!Presenta 4 fori per l’inserzione dei sensori di temperatura.!

I due bracci favoriscono il contatto con i rispettivi termostati�4


fornello elettrico, fare attenzione a toccarlo dopo avere scaldato l’acqua!!!

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gruppo di 4 sensori di temperatura

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ING UNIUD - LabFisica is�7


taratura del termocrono

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Organizzazione dell’esperimento Sistema on-line e termocrono in condizioni

ottimali

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grafico dei dati raccolti

è opportuno prevedere una fase iniziale di almeno 30 secondi in cui la sbarra è in equilibrio termico con l’ambiente

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Legge di Fourier per la conduzione termica

ΔQ = −k ⋅ A ⋅ ΔΘ ⋅ Δt

dΔQΔt

= −k ⋅ A ⋅ ΔΘ

d

Θ2 Θ1

Θ2 Θ1

Θ2Θ3

Θ1

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Legge di Fourier per la conduzione termica

ΔQ = −k ⋅ A ⋅ ΔΘ ⋅ Δt

xΔQΔt

= −k ⋅ A ⋅ ΔΘ

x

Applichiamo la legge di Fourier agli scambi di calore tra gli elementi A, B e C.!L’elemento B assorbe dall’elemento A la potenza:

mentre l’elemento C assorbe da B la seguente potenza:

ΔQAB

Δt= −k

Ax

ΘB − ΘA( ) = −kAΘB − ΘA( )

x

ΔQCB

Δt= −k

Ax

ΘC − ΘB( ) = −kAΘC − ΘB( )

x

CA B

x+∆xx

Qin Qout

x-∆x

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complessivamente, nell’intervallo di tempo ∆t, B assorbe il calore

Qtot = Qin −Qout = kAΘc +ΘA − 2ΘB

Δx⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Δt

A causa di questo assorbimento di calore, B subisce la seguente variazione di temperatura

Qtot = cρΔxA ΘB,t+Δt − ΘB,t( )e per confronto

ΘB,t+Δt − ΘB,t( )Δt

=kcρ

ΘC +ΘA − 2ΘB

Δx( )2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

equazione alle differenze finite che ha il compito di descrivere il fenomeno della trasmissione di calore lungo la sbarra.

(1)

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Facendo limite per ∆x→0 e ∆t→0 nella (1), si ottiene la seguente equazione differenziale

nella quale si è adoperato il simbolo di derivata parziale in quanto la temperatura Θ è funzione di due variabili: x e t.

J∂2Θ x,t( )

∂x2=δΘ x,t( )

δt

esprime invece la conducibilità termometrica del materiale, nel nostro caso l’alluminio. La sua unità di misura è

J = kcρ

m2

s⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

La costante

(2)

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misura di JDallo sviluppo teorico precedente segue che non misureremo il coefficiente di conducibilità termica k, bensì la costante J. Ciò, però, non è una limitazione in quanto una volta misurato J e noti il calore specifico c e la densità ρ dell’alluminio, si può calcolare anche k.!La seconda considerazione è che J va misurato in situazione non stazionaria, altrimenti la sua presenza nelle equazioni precedenti scompare per cancellazione.!Inoltre l’equazione (1) è un’approssimazione della (2) ed il suo uso è tanto più giustificato quanto più Θ(x,t) risulta lineare rispetto alle sue variabili. Questa condizione si realizza nel punto di flesso delle curve.

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andamento tipico dei dati

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puntualizzazione!Per ragioni di precisione di calcolo numerico, però, alla equazione (1) si preferisce una equazione simmetrica rispetto all’istante t. Questa equazione si ottiene scrivendo la (1) anche per un intervallo ∆t precedente e, di seguito, facendone la semisomma con la (1). Si ottiene

Dalla (3) segue che per calcolare J bisogna scegliere un opportuno istante t e 5 valori di temperatura come nella seguente figura: nei punti A e C all’istante t e nel punto B agli istanti t-∆t, t, t+∆t.!Inoltre, occorre misurare ∆x fra i punti in cui sono posizionati i sensori di temperatura e ricordare il valore ∆t scelto come intervallo di campionamento (3s).

(3)

ΘB,t+Δt − ΘB,t( )Δt

=kcρ

ΘC +ΘA − 2ΘB

Δx( )2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

ΘB,t − ΘB,t−Δt( )Δt

=kcρ

ΘC +ΘA − 2ΘB

Δx( )2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

ΘB,t+Δt − ΘB,t−Δt( )2Δt

=kcρ

ΘC ,t +ΘA,t − 2ΘB,t

Δx( )2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

J =Δx( )22Δt

ΘB,t+Δt − ΘB,t−Δt( )ΘC ,t +ΘA,t − 2ΘB,t( )

da cui

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andamento tipico delle misure di temperatura verso tempo per tre punti lungo la sbarra

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Determinazione del punto di flessoUn primo metodo per individuare il punto di flesso è il seguente: si prendono i dati di temperatura in un opportuno intervallo, sufficientemente stretto e simmetrico attorno al punto di flesso, e con un algoritmo alle differenze finite (per es. ricorrendo a Excel), si calcola la derivata dei dati e quindi si ricerca l’istante t in cui i valori di questa massimizzano nel precedente intorno.

Per un esempio!aprire il file di Numbers: esp4-diff_finite e m_mobile

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Grafico 3

20

25

30

35

40

200 225 250 275 300

y = -2,848E-6x3 + 0,0019x2 - 0,281x + 25,163

�23


Grafico 2

0,05

0,10

0,15

0,20

200 225 250 275 300

�24


Determinazione del punto di flessosi può ricorrere ad appositi strumenti in dotazione di software specifici per l’elaborazione dei dati come ad esempio “datastudio”: vedi file: esp4-cond_termica Al

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Determinazione del punto di flessoAlternativamente il punto di flesso può essere stimato ad occhio attraverso l’analisi del grafico conseguente alle misure eseguite.!Qui di seguito si segue questa strada.

ABC

D

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dati selezionati nella fase in cui la dipendenza temporale della temperatura è approssimativamente lineare e con la pendenza

maggiore possibile

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calcolo di JSe si ricorre all’uso delle sonde termometriche A, B, C, l’istante più favorevole risulta attorno ai 120s. !!

ΘA,120=19.189!ΘB,117=22.865 , ΘB,120=23.178 , ΘB,123=23.454!ΘC,120=29.352!!

Segue:

J =

Δx( )22Δt

ΘB,123 − ΘB,117

ΘA,120 +ΘC ,120 − 2ΘB,120

=0,0402

2 ⋅ 323.454 − 22.865

19.189 + 29.352 − 2 ⋅23.178! 7.19 ⋅10−5 m2

s

contro il valore ufficiale per l’alluminio di 8.6·10-5 m2/s

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calcolo di JNel caso delle sonde B, C, D, l’istante più favorevole risulta attorno ai 90s quando si ha: !!

ΘB,90=20.251!ΘC,87=25.318 , ΘC,90=25.783 , ΘC,93=26.202!ΘD,90=34.387!!

Segue:

J =

Δx( )22Δt

ΘC ,93 − ΘC ,87

ΘB,90 +ΘD,90 − 2ΘC ,90

=0,0402

2 ⋅ 326.202 − 25.318

20.251+ 34.387 − 2 ⋅25.783! 7.7 ⋅10−5 m2

s

contro il valore ufficiale per l’alluminio di 8.6·10-5 m2/s

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calcolo dell’errore su JPer il calcolo dell’errore è sufficiente applicare le usuali procedure note partendo dalla espressione che ne consente il calcolo:

J =Δx( )22Δt

ΘB,t+Δt − ΘB,t−Δt( )Θc,t +ΘA,t − 2ΘB,t

da cui assunto che l’errore percentuale sulle varie temperature sia praticamente lo stesso e che risulti trascurabile quello relativo all’intervallo di campionamento, si ottiene:

ΔJJ

≤ 2 Δxx

+ 5 ΔΘΘ

= ... ≈ 2 140

+ 5 0.220

≈ 10%

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(7.2±0.7) m2/s

(7.7±0.8) m2/s

6.0 7.0 8.0 9.0

J

confronto fra le misure di J ed il valore atteso

La differenza fra le misure, sistematicamente più basse, ed il valore atteso è da imputare alla dispersione termica, non trascurabile, nonostante la coibentazione della sbarra.

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Bibliografia

�32

1. Caporaloni, Ambrosini - La misura e la valutazione della sua incertezza nella fisica sperimentale - Zanichelli!

2. John R. Taylor - Introduzione all’analisi degli errori - Zanichelli

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